MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent István Egetem Ybl Miklós Mőszki Fıiskoli Kr Mtemtik Tnszék

I. NAP I. Logiki kifejezések mtemtikábn. Jelentésük, hsználtuk esetleg jelölésük: Létezik, minden, nem létezik, nem minden, vn oln, h kkor, kkor és csk kkor, és, vg (kizáró, nem kizáró) Aiómák, definíciók, tételek. II. Hlmzelméleti lpfoglmk, jelölések. Hlmzok egenlısége. Részhlmz, üreshlmz. Mőveletek hlmzokkl (Egesítés, metszet, különbség, komplementer.) Jvsolt feldtok:... Legen z I lphlmz két vlódi részhlmz A és B. Melik igz következı állítások közül:. α, β, γ. d. A B / b. A B / e. I B I c. B I B f. A B /... Legen I két különbözı nem üres részhlmz oln, hog A B I. Melik igz következı állítások közül:. A B A e. A / B / b. A B B f. A B A c. A B A g. A B B d. A / B A h. B ( A B)... Végezzük el eg A tetszıleges hlmzzl és / üres hlmzzl következı mőveleteket:. A / c. A\O/ b. A / d. O/ \A 7. Htározz meg A\B és B\A hlmzt, h {, b, c d} A B {, b, c, d, } A B {, c} A, 75. Mi lehet B hlmz, h A {, b, c, d} ; A B A és A B B?

76. Milen kpcsolt vn z lábbi esetekben z A és B hlmz között?., A \B / és A B b., A\B / és A B c., A\B / és B\A /. Eg osztál létszám. Az osztálbn nelvet tnulnk, ngolt, oroszt és frnciát, és minden diák leglább eg nelvet tnul. Angolul -en tnulnk, oroszul 5-en, frnciául pedig 5-en. Pontosn két nelvet összesen ht diák tnul. Hánn tnulják mindhárom nelvet? Felmérı teszt perc. A A III. Vlós számok: R Pozitív egészek természetes számok egész számok rcionális számok irrcionális számok. Mőveletek, mőveleti tuljdonságok: ; -; : Vlós számok tizedestört lkj. Ábrázolás számegenesen. Intervllum: (;b), [ ; b], [ ; b), ( ; b] Jvsolt feldtok: 9 5 5 7 7 : 8 6 5 97 7.d., : c.,. Állpíts meg, melik állítás igz, és melik hmis! (hmisnem igz). Minden egész szám rcionális szám. b. Minden rcionális szám egész szám. c. Véges sok törtszám vn. d. Végtelen sok törtszám vn. e. Nem minden rcionális szám egész szám.. Állpíts meg melik állítás igz, melik hmis!. Vn legngobb törtszám. b. Nincs legkisebb rcionális szám. c. Véges sok törtszám vn és között. d. Végtelen sok oln törtszám vn, melnek nevezıje 7. e. Végtelen sok rcionális szám vn.

. Melik állítás igz, melik hmis?. Minden vlós szám felírhtó q p lkbn, hol p és q egész számok és q. b. H eg tizedestört nem véges tizedestört, kkor irrcionális szám. c. Minden véges tizedestört rcionális szám. d. Nincs oln irrcionális szám, mel véges tizedestört. e. és között véges sok vlós szám vn.. Állpíts meg, melik állítás igz és melik hmis!. Vlós számok összedás kommuttív mővelet. b. A vlós számok kivonás kommuttív mővelet. c. Szorzt osztás disztributív mővelet. d. Különbség osztás disztributív mővelet. e. Az osztás kommuttív mővelet. f. A szorzás sszocitív mővelet. g. Az osztás sszocitív mővelet.. Melik állítás igz és melik hmis!. Két rcionális szám összege rcionális szám. b. Két rcionális szám szorzt nem mindig rcionális szám. c. Vn oln két rcionális szám, meleknek hándos irrcionális szám. d. Két irrcionális szám összege mindig irrcionális. e. Két irrcionális szám hándos lehet rcionális szám. f. Két irrcionális szám hándos lehet irrcionális szám. g. Eg rcionális és eg irrcionális szám összege mindig irrcionális szám. h. Két irrcionális szám különbsége mindig irrcionális szám. i. Két irrcionális szám szorzt nem mindig irrcionális szám. IV. Htván, gök logritmus. Htvánozás pozitív egész kitevıre zonosságok. Jvsolt feldtok: 7. Melik szám ngobb? 8 vg 9 7

8. Melik szám ngobb? 6 7 5 8 7 7 vg 8. Melik szám ngobb? 5 vg 8 5. Melik szám ngobb? 8 5 7 vg. Számíts ki következı tört értékét! 7 5 8. Számíts ki következı tört értékét! 5 8 5 8 5. Számíts ki következı tört értékét! 5 5 6 Gökvonás zonosságok (Kiemelten négzetgökvonás def.) Jvsolt feldtok: 87. Melik szám ngobb? 6 6 6 vg 6 89. Állíts ngság szerinti sorrendbe következı számokt! ; ; 5

9. Végezze el következı mőveleteket! 5 9.. Végezze el következı mőveleteket! 5 5 9 Jvsolt feldtok: 5. Számíts ki következı kifejezések pontos értékét! ; 7 ; b; 8 7 ; c; 98 6 6. Számíts ki következı kifejezések pontos értékét! ; 75 7 b; 8 7 6 7. Számíts ki következı kifejezések pontos értékét! 8. Számíts ki következı kifejezések pontos értékét! 5 59 75 59 9. Számíts ki következı kifejezések pontos értékét! 6 6 5. Számíts ki következı kifejezések pontos értékét! 6

5. Számíts ki következı kifejezések pontos értékét! 5 5 5. Számíts ki következı kifejezések pontos értékét! ; 7 6 7 6 b; 7 7 5. Számíts ki következı kifejezések pontos értékét! ( 7 5 ) ( 6 8 5 7) 5. Számíts ki következı kifejezések pontos értékét! 7 8 8 55. Számíts ki következı kifejezések pontos értékét! ( 7 75 7 8 8) ( 8 7 7 5 8 5) 57. Számíts ki következı kifejezések pontos értékét! 8 5 5 5 ( 5) Htvánozás rcionális kitevıre: ; -n ; n n ; Jvsolt feldtok:.... 5 b. 99.... 5 5 5 b. c. 7

.... 8 b. 8 8 6 c. 9, másképpen 8 ( 8) 9 7 8 A logritmus foglm zonossági. Jvsolt feldtok:.5.. 5 log. log 5, mert b. log 5 5, mert 5 5 log c., mert d. log, mert e. log 9, mert 9 6. Htározz meg zokt számokt, meleknek lpú logritmus ; ;; ; ; ; ; 5 ; 7. Milen lpszám esetén lesz -nek logritmus sorbn: ;; ; ; ; 8. Htározz meg következı logritmusok értékét:. log 6 b. log 5 c. 5 log d. log 7 8 6 6. Hozz egszerőbb lkr következı kifejezést, és htározz meg helettesítési értékét, h 9. log 5 5, > 8

7. Hozz egszerőbb lkr következı kifejezést, és htározz meg helettesítési értékét, h b log b, b> 8. Számíts ki következı kifejezések értékét! lg 5. b. lg 7 9. Htározz meg következı kifejezések értékét! 7 log59 7 log 7 ( ). Számíts ki következı kifejezések értékét! log 5 log lg 9 5 5. Htározz meg következı kifejezések értékét! 7 log7 5 5. Tudjuk, hog log 6 5p. Fejezze ki p segítségével log 6 5 5. Fejezze ki k segítségével log 6 5-et, h tudjuk, hog log 6 8k! 5. Fejezze ki b segítségével log -et, h tudjuk, hog log b! 65. Számíts ki következı kifejezés pontos értékét! lg5lglg-lg-lg9 66. Számíts ki következı kifejezés pontos értékét! log 5 5log 5 5-log 5 68. Htározz meg következı kifejezés pontos értékét! -et! lg lg lg5 lg 9

69. Számíts ki következı kifejezés pontos értékét! lg 5 lg lg5 lg 5 lg 7. Számíts ki következı kifejezés pontos értékét! log 5 log log log 6 log 7. Számíts ki következı kifejezés pontos értékét! log5 75 log5 5 log5 8 log5 I. Algebri lpfoglmk. II. NAP Algebri kifejezések egtgú többtgú, nem lgebri kifejezések, fokszám, rcionális egész, rcionális tört, irrcionális kifejezések. Mőveletek lgebri kifejezésekkel: Összevonás szorzás osztás zárójel felbontás szorzás eg tggl szorzás több tggl. Nevezetes szorztok: (b) ; (-b) ; (b)(-b); (b) ; (-b) ; (b)( -bb ); (-b)( bb ) Jvsolt feldtok:. Végezze el következı mőveleteket! (-5)(5)-() 6(5). Végezze el következı mőveleteket! ()(-) -() l5

Mőveletek lgebri törtekkel: Jvsolt feldtok: 5. Htározz meg zokt z értékeket, melekre nincsenek értelmezve z lábbi törtek!. 5 b. 6 c. 8 d. c. ( ) 6. Htározz meg, milen értékeinél lesz z lábbi törtek értéke!. b. 6 c. 5 d. ( 8) e. ( ) ( ) 5 f. ( ) ( ).. Hozz egszerőbb lkr z lábbi kifejezéseket! 5b 5 b 5 b b 5 b b. itt ; b kell, hog teljesüljön! 9 8b 9b 9 ( b b ) b. b ( b ) ( b)( b) ( b)( b) ( b) ( b) itt b ; b. kell, hog teljesüljön, más szóvl b... Végezze el kijelölt mőveleteket!. b. b c d b c, hol bc c b bc c b b c bc bc bc bc hol, b c. c. 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) hol

d. ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ), hol... Végezze el kijelölt mőveleteket és hol lehet egszerősítsen!., hol b. ( ) ( ), hol, és..5. Végezze el kijelölt mőveleteket és hol lehet egszerősítsen!., 6 9 6 9 6 : 9 c c c c c c c hol, c,, b. ( )( ) ( )( ) ( )( ), : hol,, és,. Egszerősítse következı törtet! ( ) ( ) ( ) ( ) ; 7 b b b b b,, b. Végezze el számlálóbn kijelölt mőveleteket, mjd egszerősítse következı törtet! ( )( ) ( ) 8 ;, Htározz meg kifejezés helettesítési értékét, h. 5. Végezze el számlálóbn kijelölt mőveletet, mjd egszerősítse következı törtet! ( ) ( )( ) 5 ;,

8. Végezze el következı mőveleteket! ( 9 ) ( 5 ) : 6 ( ) 5 ( 5 ) ;,, 9. Végezze el következı mőveleteket! 6 ( 7 b ) 9 b : ( b ) ( b ) ;, b, 56. Végezze el következı mőveleteket! 9 ; 6. Végezze el következı mőveleteket! 9 5 : ;,, 66. Végezze el következı mőveleteket! c : c 5 c 5 5 ; c, 5 67. Végezze el következı mőveleteket! b b : ; b, b, b b 5 7. Végezze el következı mőveleteket! ;, 8. Egszerősítse következı törtet!, ;

8. Végezze el következı mőveleteket! b b b b ;, b, b, b : 88. Végezze el következı mőveleteket! b b b b b b : b b b ; b b b ( 5) ; II. Függvéntni lpfoglmk Függvén foglm, értelmezési trtomán, értékkészlet, megdási módok, ábrázolás (grfikonnl történı megdás) Elemi lpfüggvének: Lineáris függvén fordított rán másodfokú hrmdfokú Abszolútérték egészrész törtrész Dirichlet fv. elıjel fv. Négzetgök függvén (inverz függvén foglm) eponenciális logritmus Jvsolt feldtok: 5... Ábrázoljuk koordinátrendszerben z lábbi függvéneket!. b. c. 5 d. e. 6 5... Ábrázoljuk eg koordinátrendszerben értéktáblázt lpján!. b. c. d.

5... Ábrázoljuk eg koordinátrendszerben!. b. c. 585. Htározz meg vlós számok hlmzánk zt legbıvebb részhlmzát, melen z. 5 5 ; b. 5 5 ; c. sgn( 5) kifejezés értelmezhetı! Ábrázolj z ezen hlmzon értelmezett. 5 5 ; b. 5 5 ; c. sgn( 5) függvéneket [,] intervllumon! Állpíts meg függvének értékkészletét! Milen kpcsoltot tlál függvének között? 586. Htározz meg vlós számok hlmzánk zt legbıvebb részhlmzát, melen z. - ; b. ( ) ; c. ( ) kifejezés értelmezhetı! Ábrázolj z ezen hlmzon értelmezett. ; b. ( ) ; c. ( ) függvéneket [,] intervllumon! Állpíts meg függvének értékkészletét! Milen kpcsoltot tlál függvének között? 587. Htározz meg vlós számok hlmzánk zt legbıvebb részhlmzát, melen z. - b. ( ) ; c. ( ) kifejezés értelmezhetı! 5

Ábrázolj z ezen hlmzon értelmezett. ; b. ( ) ; c. ( ) függvéneket [,] intervllumon! Állpíts meg függvének értékkészletét! Milen kpcsoltot tlál függvének között? 588. Htározz meg vlós számok hlmzánk zt legbıvebb részhlmzát, melen z. ; b. kifejezés értelmezhetı! Ábrázolj z ezen hlmzon értelmezett. ; b. függvéneket [,] intervllumon! Állpíts meg függvének értékkészletét! Milen kpcsoltot tlál függvének között? 589. Htározz meg vlós számok hlmzánk zt legbıvebb részhlmzát, melen z. log ; b. log ; c. log kifejezés értelmezhetı! Ábrázolj z ezen hlmzon értelmezett. log ; b. log ; c. log függvéneket [,8] intervllumon! Állpíts meg függvének értékkészletét! 59. Htározz meg vlós számok hlmzánk zt legbıvebb részhlmzát, melen z. b. ; c. kifejezés értelmezhetı! Tekintse z ezen hlmzon értelmezett. ; b. ; c. függvéneket! Milen kpcsoltot tlál közöttük? Állpíts meg z. b. c. függvén értékkészletét! 6

59. Htározz meg vlós számok hlmzánk zt legbıvebb részhlmzát, melen z. b. ( ) Ábrázolj z ezen hlmzon értelmezett ( ). ; b. függvéneket [,] kifejezés értelmezhetı! intervllumon! Állpíts meg függvének értékkészletét! Milen kpcsoltot tlál függvének között? 596. Htározz meg vlós számok hlmzánk zt legbıvebb részhlmzát, melen z ( ) kifejezés értelmezhetı! Ábrázolj z ezen hlmzon értelmezett ( ) függvént [,5] intervllumon! Állpíts meg függvén értékkészletét! 598. Mel vlós számokr értelmezhetı z. lg b. lg kifejezés? 599. Mel vlós és mel egész számokr értelmezhetı z. lg ( ) lg( ) ; b. lg( ) 6. Mel vlós számokr értelmezhetı z kifejezés?. lg ; b. lg( ) kifejezés? 6. Mel vlós számokr értelmezhetı z. lg ; b. lg ( ) kifejezés? 7

6. Mel ) vlós, b) rcionális, c) egész számokr értelmezhetı következı kifejezés? lg Függvének tuljdonsági: Páros, pártln, periódikus, monotonitás, szélsıérték Jvsolt feldtok:.. Igz-e, hog minden szigorún monoton függvén kölcsönösen egértelmő hozzárendelés? b. Igz-e, hog minden kölcsönösen egértelmő hozzárendelés szigorún monoton függvént htároz meg?. Vn-e oln mindenütt értelmezett, pozitív értékő függvén, mel:. páros b. pártln?. Foltss függvén grfikonját -tól blr, hog z eg mindenütt értelmezett páros függvén legen!. Vn-e oln függvén, mel páros is és pártln is egszerre? 5. Lehet-e eg mindenütt értelmezett, szigorún monoton függvén. páros b. pártln? 8

59. Válssz ki z lábbi függvének közül periódikus függvéneket!. f(); b. f()sign; c. f() [ ] ; d. f() [ ] e. f(); f. f() h rcionális szám, h irrcionális szám. ; 6. Válssz ki z lábbi függvének közül periódikus függvéneket!. f ( ) ; h, h b. f() d. f ( ) ; h >, h e. f() [ ] ; ; c. f() ; 8. Vizsgálj meg z f() és z f() függvént. Döntse el, hog z lábbi kijelentések közül melik igz, melik hmis!. közös z értelmezési trtománuk, b. közös z értékkészletük, c. z egik páros függvén, d. z egik szigorún monoton növı függvén. 7. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket!. f() lg b. f()lg( ) Függvéntrnszformációk lineáris f() D f [, b] R f [ d ] c,. f()k. k f ( ) k>. f(). f(k) 5. f(k) k> 6. f(-) 9

Jvsolt feldtok: 8. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket!. f() ; b. f() ; 5. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket!. f()-[ ] ; b. f() 5. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket!. f() 9 ; b. f() 5. Ábrázolj és vizsgálj következı függvént! b. f() 5. Ábrázolj és vizsgálj következı függvént! ; f ( ) h, h > 7. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket!. f() ; b. f() 6; c. f() 75. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket!. f() ; b. f() ; c. f() 76. Ábrázolj és vizsgálj következı függvént! b. f() 8

77. Ábrázolj és vizsgálj következı függvént! f ( ) 6 9 8. Ábrázolj és vizsgálj következı függvént! f ( ) 8. Htározz meg z 6 6 5 f ( ) függvén minimumát és mimumát! 8. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket!. f ( ) b. f ( ) c. f ( ) d. f ( ) 8. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket!. f ( ) b. f ( ) c. f ( ) d. f ( ) 8. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket!. ( ) ( ) f f b. ( ) c. f ( ) 9. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket!. f ( ) b. f ( ) c. f ( ) d. f ( ) 5. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket!. f ( ) lg b. f ( ) lg c. f ( ) d. f ( ) lg ( ) lg

6. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket! lg lg. f ( ) lg b. ( ) lg f c. f ( ) d. ( ) lg d. ( ) f f 8. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket!. ( ) lg ( ) f c. f ( ) lg ( ) d. f ( ) lg f b. ( ) ( 6) lg ( ) e. f ( ) lg lg III. NAP I. Egenletek egenlıtlenségek egenletrendszerek Jvsolt feldtok: 6. Oldj meg következı egenletet! 66.b. Oldj meg következı egenletet! 8 5 67. Oldj meg következı egenletet! 5 7 68. Oldj meg következı egenletet!

7. Oldj meg következı egenleteket!. 7 7 7 ; b. ( ) ( ) 7. Oldj meg következı prméteres egenletet! 7. Oldj meg következı prméteres egenletet! 78. Oldj meg következı egenletrendszereket!. 5 c. 8 b. -5 d. 8 6 8. Oldj meg következı egenletrendszert! -z; -z; z5 8. Oldj meg következı prméteres egenletrendszert! ; z 87. Htározz meg p és q értékét úg, hog z -z pz zq egenletrendszernek. pontosn eg megoldás legen, b. ne legen megoldás, c. végtelen sok megoldás legen!

5. Hozzátrtozik-e z [ 5,] intervllum következı egenlıtlenség megoldáshlmzához? < 5. Hozzátrtozik-e z [ 6,8] intervllum következı egenlıtlenség megoldáshlmzához? > 5. Oldj meg következı egenlıtlenségeket! <. ; b. 55. Adj meg következı egenlıtlenségek megoldáshlmzát! 5 > 5 5 5 9. ; b. > ; c. > 87. Oldj meg következı egenletet! ( ) ( )( ) ( ) 89. Oldj meg következı egenleteket! 7 9. ; b. 8 ; d. 8 6 9 7 9. Oldj meg következı egenletet! 6 9. Oldj meg következı egenletet! 6 ( ) 5

9. Oldj meg következı egenletet! ( ) 9. Oldj meg következı egenletet! 9. Htározz meg z prméter értékét, úg, hog z másodfokú egenlet két göke egenlı legen! 97. Htározz meg p prméter értékét úg, hog z 5p p egenlet gökeinek négzetösszege legen! 7. Oldj meg következı egenlıtlenségeket!. -86>; b. --6<; c. --5. Adj meg következı egenlıtlenségek megoldáshlmzát! 8 6. ; b. ; c. > 6 5 > >. Az [,] intervllum hozzátrtozik-e következı egenlıtlenség 5 6 < megoldáshlmzához?. Adj meg következı egenlıtlenségek megoldáshlmzát! 6 <. 7 ; b. 7. Oldj meg következı egenletrendszert!. b. 5. Oldj meg következı egenletrendszert! 5 6 5

7. Oldj meg z ; z prméteres egenletrendszert! Htározz meg z prméter értékét úg, hog z egenletrendszernek. ne legen megoldás, b. végtelen sok megoldás legen! 88. Oldj meg következı egenleteket természetes számok hlmzán!. 6 ; b. ; c. d. 7 e. 5 89. Oldj meg következı egenleteket megdott intervllumokon!. 6 6 [,5] b. 7 [,] c. 5 [,9] intervllumon, intervllumon, 5 intervllumon, d. 5 5 [,5] intervllumon, 8 e. 6 6 [,5] intervllumon, 99. Oldj meg következı egenlıtlenséget! 6 >. Oldj meg következı egenlıtlenséget! >. Oldj meg következı egenlıtlenséget! < 6

. Az változó mel értékeire teljesül következı egenlıtlenség? ( ) < 9. Oldj meg következı egenletrendszereket!. ; b. 5; c. ; ; ; 8;. Milen értékre igzk következı egenlıségek?. 5 ; b. 8 9 ; c. d. 8 9 ; 5. Oldj meg következı egenleteket!. 5-5 - - ; b. 9 7. Oldj meg következı egenletet! ( ) ( ) 8. Oldj meg következı egenleteket! 6 X X, 5 X 9. Oldj meg következı egenletet! 9 X X X X 69. Oldj meg következı egenleteket!. ( ) ; b. ( ) 7

. Oldj meg következı egenlıtlenségeket! 8 5. b. ; c. < ; d. > e. 7 9 ; f. (, ) 5. Oldj meg következı egenletrendszert! 5 56-5 5. Oldj meg következı egenleteket! lg lg 8. lg ; b. lg d. lgπ lg ; e. 5. Oldj meg következı egenleteket!. lg 9 5 ; b. d. lg ; e. 5 lg 5 lg 55. Oldj meg következı egenleteket! 6 ; c. lg( 5) lg( 5) ; ; c. lg( ) ;. lg lg ; b. lg lg lg ; hol p, q, r, dott prméterek. lg 56. Oldj meg következı egenleteket! lg lg p q. lg9 ; b. lg ; c. lg( ) lg( ) c. 57. Oldj meg következı egenleteket! r ;. [ lg( )] ; b. lg ( ) ; c. lg lg d. lg ( lg ) ; 8

58. Oldj meg következı egenleteket!. ( lg ) lg ; b. lg lg( ) lg 59. Oldj meg következı egenleteket!. lg( 8) lg( ) ; b. lg ( ) lg ( ) c. lg lg lg 6. Oldj meg következı egenletet! lg lg ( ) 5 5 ; 6. Oldj meg következı egenleteket! lg. lg ; b. lg lg ; c. ( lg ) 6. Oldj meg következı egenleteket!. lg( 5 ) lg lg[ 5( 5 ) ] ; b. lg ( 9 7) lg ( ) ; c. ( lg 9)( ) 69. Oldj meg következı egenlıtlenségeket!. lg ( ) lg( 7 ) < ; b. lg( ) lg( 8 ) > lg ; c. lg ( ) lg( ) < lg( ) ; d. [ lg ( ) ] lg( ) 7. Oldj meg következı egenlıtlenségeket! > lg lg < lg. < ; b. lg ( 6 ) >, c. 9

76. Oldj meg következı egenletrendszert! lg 56 7 lg 5 II. Vektorok (sík, tér) Alpfoglmk jelölések (hossz, állás, iránítás) Vektorok egenlısége. Ellentett vektor, nullvektor, egségvektor. Mőveletek vektorokkl ; - Vektorok szorzás sklárrl. Vektorok felbontás. Ajánlott feldtok:.5.. A.5.. ábrán szbálos htszöget dtunk meg. Bontsuk fel vlmenni megjelölt vektort.. z -vl és d -vel, b. b -vl és d -vel párhuzmos összetevıkre! Megoldás:. A b párhuzmos d -vel és fele oln hosszú. Ig b d. Mivel bcd, ezért cd--b f d ; g d. d ; e d ; b. Az ábr lpján nilván csk z f bonthtó fel b és d vektorokkl párhuzmos összetevıkre, ez többféleképpen is.

.5.. Legenek és b közös kezdıpontból kiinduló vektorok, hjlásszögük (ezen zt szöget értjük, melet közös kezdıpontból kiinduló, vektorokt trtlmzó félegenesek bezárnk) legen hegesszög, vg tompszög. Szerkesszünk oln vektort, melnek egenese felezi két vektor hjlásszögét. Megoldás: Vegünk fel oln és vektorokt, melek z és b vektorok közös kezdıpontjából indulnk, állásuk és iránuk zonos illetve b vektor állásávl és iránávl, továbbá legen. (Pl.: z és b egségvektorok ilenek.) E két vektor összegének egenese felezi z és b vektorok hjlásszögét, ugnis eg rombusz átlój felezi rombusz szögét..5.. Az ABC háromszög BC oldlánk felezıpontj legen D. Szerkesszük meg zt D, pontot, melre AD AD és állítsuk elı D A és D B vektorokt z AB és AC vektorok segítségével..5.. Bizonítsuk be, hog h eg pontból z AB szksz végpontjihoz és b vektorok vezetnek, kkor z AB szksz : ránbn osztó P pontb b 5 vektor vezet. Megoldás: Az ábráról leolvshtó: AP:PB: vektorokkl: p : b p : Ig: b p p Mivel b-p és p- vektorok párhuzmosk. (b-p)(p-) ebbıl: b-pp- tehát b p. 5 (Foglmk: lineáris kombináció, vektorok függısége, függetlensége.) Síkbeli vektorok elıállítás i; j lprendszerben. Térbeli vektorok elıállítás i; j; k; lprendszerben. Mőveletek koordinátákkl dott vektorokkl.

Jvsolt feldtok:.8.. Adjuk meg P (;) pontból P (; -) pontb muttó vektort komponenseivel síkbeli derékszögő koordinát-rendszerben! Megoldás: A P pont helvektor A P pont helvektor A P r i r j i j P vektor két vektor különbsége, íg: P P r r j.8.. Állpítsuk meg z AB szksz felezıpontjánk koordinátáit, h A(; -; ); B(; ; )! Megoldás: Legen A i j k és B b i j k. Az F vektor z F pont helvektor, íg F koordinátái zonosk z F vektor koordinátáivl. F vektor z b vektor ½ -szerese.: F F. ( b) i j k. A felezıpont koordinátái: ; ;.8.. Adott z ABC háromszög három csúcspontj A(5;-5), B(-;), C(,-). Htározzuk meg z A csúcsból induló szögfelezı hosszát! Megoldás: Felhsználjuk zt tételt, hog háromszög belsı szögfelezıje szemközti oldlt szöget közrefogó oldlk ránábn osztj. A szöget közrefogó AC és AB vektorok elıállíthtók z A,B,C pontok helvektori segítségével, ezek: r A 5i 5 j ; r B i j ; r C i j íg, AC r r i j és AB r r 6 i j C A B A 8 Ezek bszolútértékei z oldlk hossz: AB c AC b 5

A szögfelezınek BC oldlll vló metszéspontj D, BC oldlt 5:: ránbn osztj. A.5..-ben megoldott feldttl vló nlógi lpján (ott P pont z AB szkszt : ránbn osztó pont volt) z OD vektor elıállíthtó z r és r helvektorok segítségével: r OD b r c c ( i j) ( i j) i Mivel OD vektor D pont helvektor, íg: D, z AD szögfelezı hossz : Az OA r A 5i 5 j AD AD, z AD OD OA., ezért AD 5 i 5 j. Tehát szögfelezı hossz: AD. j ; 8. Az origóból z A, B,, C pontokhoz muttó vektorok rendre (; -); b(7;); c(7;8). Mutss meg, hog A,B és C eg egenesen vnnk!. Eg szbálos htszög C csúcsából szomszédos két csúcsb z, illetve b, vektor mutt. Fejezze ki ezek segítségével többi htszögcsúcsb muttó vektort!. A középpontú körben vegünk fel két egmásr merıleges húrt, ezek végpontji A, B, illetve C, D, metszéspontjuk M. Bizoníts be, hog A B C D M! Két vektor skláris szorzt (sík, tér). Skláris szorzt kiszámítás koordinátákkl dott vektorok esetén. Jvsolt feldtok:.9.. Htározzuk meg z i j k hjlásszögét. és b i j k vektorok

Megoldás: A szöget b cos ϕ képlet lpján számoljuk. b Mivel b ( ) ( ) ezért cos 9 ; ; b o ϕ ; ebbıl szög: ϕ 6,6... Adjunk meg két oln vektort, melnek összege z egik vektorrl egenlı hosszú!... Egségvektor-e z ( i j k) egségvektorát! vektor? H nem, számíts ki..5. Két közös kezdıpontból kiinduló, nem párhuzmos vektorok bszolútértékei egenlıek. Mit mondhtunk összegükrıl és különbségükrıl?..6. Lineárisn függetlenek-e z i j és b i j vektorok?... Eg kock A csúcsából kiinduló élvektorok legenek, b, c. Htározzuk meg z A-ból lpközéppontokb vezetı vektorokt.... Eg prlelogrmm oldlir kifelé négzeteket írunk. Igzoljuk vektorokkl, hog ezek középpontji eg négzet csúcsi.... Bizonítsuk be, hog h eg pontból z AB szksz végpontjihoz és b vektorok vezetnek, kkor z AB szkszt AP : PB λ : µ ránbn osztó P pontbn vektor vezet. Htározzuk meg p pont koordinátáit, h b b i b j i j ; µ λb µ λ... Az O pontból két félegenes indul ki. Az egiken levı A, illetve A pontb O-ból z, illetve λ vektor vezet, másikon levı B illetve B pontbn viszont b illetve µ b vektor. Htározzuk meg z A B és B A egenesek metszéspontjáb muttó v vektort. ( λ, µ, z A és A ill. B és B pontok különbözık.)

..5. Eg tégllp két szomszédos csúcs z origó és z A(;) pont. Htározzuk meg 7 egségni oldlú tégllp másik két csúcspontjánk koordinátáit!..6. Bonts fel v 8i 8 j vektort z i j és b i 8 j vektorokkl párhuzmos összetevıkre, számítsuk ki z összetevı vektorok koordinátáit!..7. Az ABCDEF szbálos htszög oldlink hossz. Számítsuk ki következı szorztok értékét: AB DE ; AB FC ; AC AE ; AC CE..8. Bizonítsuk be, h eg pontból kiinduló ; b; c; vektorok végpontji eg egenesbe esnek és z ; b vektorok nem párhuzmosk, kkor c vektor elıállíthtó. c α βb lkbn, hol α β...9. Bontsuk fel z ij-k vektort bi-j-k vektorrl párhuzmos és rá merıleges összetevıkre.... Eg háromszög csúcsi: P (; -; ), P (; ; ), P (; -; 5), Számítsuk ki P csúcsponthoz trtozó mgsságánk hosszát!. Trigonometri Szögfüggvének értelmezése tetszıleges szög esetén. Nevezetes szögek szögfüggvénértékei (, 9, 8, 7, 6, 5,, 6 ). Alpzonosságok: cos α sin α ( 9 ) ( ) ( ) ( α ) cos( 6 α ) cos α cos 8 α cos α cos 8 α cos α cos 5

Jvsolt feldtok:... Htározzuk meg következı szögek szögfüggvéneit:. 5 π ; b. ; c. -5 Megoldás:. sin5 sin(6 )sin sin(8 - )sin,68 cos5 cos -cos -,766 tg5 tg -tg -,89 ctg5 ctg -ctg -,9 b. π 6π 5π 5π 5π π sin sin sin sin π sin π 5π π cos cos cos π 9π π π π tg tg tg tg sin 5 sin 5 ; c. sin( 5 ) cos ( 5 ) cos 5 cos 5 tg ( 5 ) tg 5 tg 5 ctg( 5 ) ctg 5 ctg 5... Htározzuk meg zokt szögeket, melek kielégítik z lábbi egenlıségeket:. sin α ; b. cos α ; c. tgα ; d. ctg α Megoldás:. sin α ; 6 -nál kisebb két oln szög vn, melnek sinus, ezek: és 5. 6

Ig z egenlıséget kielégítı összes megoldás: k 6 ; 5 k 6 ; k Ζ b. cos ;cosα ± ± 6 α bıl ; h cos α 6 ; kkor z elızı példához hsonlón: 5 k ; 5 k ; vg π -vel kifejezve: π 7π kπ ; kπ ; H cos α ; kkor 5 k 6 ; 5 k 6 ; vg π -vel kifejezve: π 5π kπ ; kπ ; hol k Ζ d. tgα Mivel tg 6 ; ezért 6 segítségével számoljuk zokt szögeket, meleknek tngense. A (9, 8 )-b esı szögek tngense negtív és tngens szögfüggvén π szerint periódikus, π íg α kπ. e. ctg α egenlıséget nem elégíti ki egetlen szög sem, mivel eg vlós szám negedik htván nem lehet negtív. Trigonometrikus összefüggések háromszögben. Sinus tétel, cosinus tétel. Összefüggések területszámításhoz: bsinγ t sin β sinγ sinα Jvsolt feldtok:.5. Az A és B tereppontok távolság közvetlenül nem mérhetı meg, ezért kitőztük P és Q pontokt, melek A-vl eg egenesbe esnek. Megmértünk két szöget: 7

APB< ; AQB< 9. Mekkor z A és B tereppontok távolság, h d 5 m; d m? AP AQ 6 Megoldás: A PQB háromszögbıl PBQ< és PQ6m, lklmzzuk sin9 6 sin erre háromszögre sinustételt: honnn: 6sin 7 5, 8m sin A keresett távolság (AB) cosinustétellel számolhtó ki. 5 5,8-5 5,8cos 65,5; íg 65,m.5.. Eg háromszög területe 7,5 cm, két oldlánk rán :, áltluk bezárt szög 5. Számítsuk ki háromszög oldlit és köré írhtó kör sugrát Megoldás: Az oldlkt jelöljük rendre:,,, sugrt R-rel. Alklmzzuk területszámítási képletet: bsinγ sin5 t 7,5 ; innen, sin5 sin mitt 675 5, tehát két oldl: cm; b5cm. A hrmdik oldl cosinus tétellel számolhtó: 5-5 cos5 95 5 ; 7,55m A köré írhtó kör sugránk kiszámításához, hog z AB húrhoz trtozó kerületi szög 5, középponti szög ennek kétszerese, tehát. A kör sugr z AOB háromszögbıl számolhtó, ennek mgsságát megrjzolv derékszögő háromszögbıl:.5.. Eg háromszög szögei α, β, γ. sinγ Bizoníts be, hog h cosα, kkor háromszög sin β egenlıszárú. Megoldás: A bloldlr cosinus tétellel z oldlknk eg kifejezését írhtjuk: b c bc cosα, innen b c cosα. bc 8

A jobboldlr sinustétel segítségével b c hándost írhtunk, íg b c bc c b vlóbn egenlıszárú., ebbıl pedig b dódik, íg háromszög.6.. Adott eg háromszög két oldl: 7 cm és cm, z áltluk bezárt szög 6. Mekkor másik két szög és hrmdik oldl? Megoldás: Az ábr jelölései lpján felírjuk megdott két oldlr sinustételt: ( α ) sin sinα A számlálóbn lklmzzuk sin( α β ) sinα cos β cosα sin β ddiciós tételt: A sin sin cosα cos sinα 7 sinα 7 α mitt számlálót tgonként oszthtjuk és -os szög szögfüggvéneit beírjuk: honnn: ctgα ; 7 ctgα ; 8, 95 α 8,5 7 α ; és A hrmdik oldlt meghtározhtjuk sinustétellel és cosinustétellel is. Számoljunk cosinustétellel: 7-7 cos 6 9, innen: 9, 6..6.. Számítsuk ki z lábbi kifejezés pontos értékét (közelítı értékek nem hsználhtók): 8sin ( cos5 ) ( sin 75 ) Megoldás: Vegük észre, hog cos 5 sin75 és zt, hog íg nevezıben nevezetes szorzt lesz, továbbá sin fenti kifejezést következı lkbn írhtjuk: ( sin 75 ) sin 6 ; ezért 9

Kiszámítjuk összegezési tétel segítségével sin 75 -ot, ugnis: sin75 sin(5 ) sin 5 cos cos 5 sin 6 6 8 sin 75 6 6 Ezt behelettesítjük kifejezésbe: 8 8 A ( ) tört nevezıjét göktelenítettük: ( ) ( ) 8 Addíciós tételek fontosbb zonosságok függvéntábl Jvsolt feldtok:.6.. Bizonítsuk be, hog 8 cos cos cos8 sin Megoldás: Mivel sin cos sin ezért célszerő z egenlıség mindkét oldlát sin kl beszorozni: sin cos cos cos8 sin ugnúg, mint z elıbb: tehát: sin8 cos8 sin cos cos8 sin sin cos sin 8 ; sin sin 6 sin Ez pedig definíció szerint igz.

.6.. Számíts ki cos értékét, h eleget tesz következı feltételeknek: tg 5tg ; és π < <. Megoldás: Az egenlet másodfokú tg-re! tg 5 ± 5 6 5 ; innen: tg és tg. Mivel venni. π < < ; ezért csk tg értéket kell figelembe Mivel coscos -sin -sin, ezért elegendı sin értékét kiszámítni: tg sin sin cos sin zz sin. 5 cos sin. 5 5 Ebbıl: sin -sin Ig:.7.. Eg háromszögnek legngobb oldlávl szemközti szöge kétszer kkor, mint legkisebb oldlll szemközti szöge. A háromszög oldlink mérıszámi egmás után következı egész számok. Htározzuk meg z oldlkt és szögeket!.7.. Eg kör 6 -os középponti szögét osszuk fel két részre úg, hog rész-szögekhez trtozó húrok rán 5: legen!.7.. Számíts ki tg α értékét, közelítı értékek hsznált nélkül, h 5 tg α!.7.. Eg háromszög egik szöge -os, egik oldl egenlı másik kettı számtni közepével. Hogn ránlnk egmáshoz z oldlk?

Szögfüggvének ábrázolásuk tuljdonságik. Jvsolt feldtok: Ábrázolj, jellemezze: sin sin ; sin; cos tg ; tg 59. A vlós számok hlmzánk mel legbıvebb részhlmzán értelmezhetı lg sin sin kifejezés? 5. A vlós számok hlmzánk mel legbıvebb részhlmzán értelmezhetı sin lg sin kifejezés? 5. A vlós számok hlmzánk mel legbıvebb részhlmzán értelmezhetı cos sin kifejezés? 5. A vlós számok hlmzánk mel legbıvebb részhlmzán értelmezhetı ctg cos cos kifejezés? 58. A vlós számok hlmzánk mel legbıvebb részhlmzán értelmezhetı sin cos kifejezés? Adj meg kifejezés értékkészletét is!

Trigonometrikus egenletek, egenletrendszerek, egenlıtlenségek. Jvsolt feldtok:... Oldjuk meg: sinsincos Megoldás: Az egenlet bl oldlán lklmzzuk sin cos ; továbbá sinsin cos zonosságokt. Ekkor bloldlon teljes négzetet kpunk: sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos ( ) Alklmzzuk ( sin cos ) új ismeretlen bevezetését, íg: zz - (-) egenletnek megoldási: ; ; íg egrészt cossin; másrészt sincos. Az elsı egenletbıl: tg- π kπ ; k Ζ A második egenlet mindkét oldlát négzetre emeljük: sin sin cos cos Mivel sin cos ; és sin cos sin íg: sin; tehát vgis: kπ ; k Ζ π k k Ζ. Az eredeti egenletbe vló behelettesítéssel meggızıdhetünk, hog mindkét érték kielégíti z egenletet.... Oldj meg vlós számok hlmzán következı egenletet: ctg sin ctg cos

Megoldás: Felhsználv cos sin ctg és kétszeres szögekre vontkozó trigonometrikus zonosságokt, z egenlet: cos sin cos sin cos sin ( cos sin ) ; h kπ, k Ζ, lkúr hozhtó. Ezután sin - szel szorzunk és rendezzük z egenletet úg, hog -r redukáljuk: cos sin cos cos Összevonjuk és cos -et kiemeljük: cos ( sin cos ) sin cos Mivel -sin cos ; ezért szorzt második ténezıje -vl egenlı. Az egenleten megdott feltétel mellett csk ekvivlens átlkításokt végezhetünk, ezért z egenletnek z k π ( k Ζ) kivételével minden vlós szám megoldás.... Oldjuk meg következı trigonometrikus egenletrendszert: π ; tgtg Megoldás: Az egenletrendszer értelmezettségére következı feltételeket kell π π kikötni: kπ kπ k Ζ Vegük z elsı egenlet mindkét oldlánk tngensét, ugnis, h két szög egenlı, kkor tngensük is egenlı, íg: π tg ( ) tg A bloldlt z rr vontkozó ddíciós tétel szerint kifejtjük: tg tg tg tg A bloldli tört számlálój z eredeti egenletrendszer második tg tg egenlete szerint ; ezért: honnn: tg tg

Eg szorzt kkor és csk kkor zérus, h vlmelik ténezıje ; zz egrészt: tg; zz kπ k Ζ π íg z elsı egenletbıl: k ; másrészt: tg ; zz íg: π kπ π kπ Ζ k Mivel átlkításink ekvivlensek voltk, ezért z értékpárok vlóbn megoldási z egenletrendszernek.... Mel vlós p értékekre vn sinpsin egenletnek oln megoldás, melre <<π? Megoldás: Fejezzük ki sin-et sin segítségével! sin( ) sin cos cos sin sin cos ( cos sin ) sin ( sin ) ( sin ) sin, sin sin beszorzás, összevonás után: Ennek lpján z egenlet: sin sin sin sin sin p sin -r redukálunk és kiemelünk: sin ( p sin ) Ebbıl, vg vg sin p sin A <<π feltétel mitt <sin ; ezért feldtbn szereplı egenletnek kkor és csk kkor vn feltételnek megfelelı p megoldás, h < ebbıl pedig: p <..5. Oldjuk meg vlós számok hlmzán sin cos < egenlıtlenséget! Megoldás: Osszuk el z egenlıtlenség mindkét oldlát -vel, íg: Mivel sin cos π sin és < π cos, 5

π π ezért sin cos cos sin < Felhsználjuk z ddíciós tételt: sin < π, π < sin < π ezt másképp írv, Tehát -re csk zok szögek nem nem jöhetnek szób, meleknek sinus -; vg. π π π Ig tehát kπ, zz kπ hol k Ζ egébként R nilván. 6