ADDITÍV KONVOLÚCIÓS ÖSSZEGEK SPEKTRÁLIS FELBONTÁSA HARCOS GERGELY Ha a(n) eg számelméleti függvén, akkor természetes feladat a a(m)a(n)w(m, n) m±nh alakú additív konvolúciós összegek vizsgálata. Ha W : (,) 2 C eg rögzített szép súlfüggvén, akkor a kérdés a fenti összegek viselkedése a h növekedtével. Gakorlati szempontból a fenti összegeket bizonos b(h) természetes számelméleti függvének kombinációjával próbáljuk közelíteni ol módon, hog az összeg kívánatos tulajdonságai láthatóvá váljanak. Már Jacobi (1829) felismerte, hog eges speciális esetekben a fenti közelítés hibatag nélkül megvalósítható, ráadásul az eredeti a(n) függvénhez hasonló b(h) függvének segítségével. Tekintsük példaképpen az alábbi explicit formulát a osztószám-függvénekre: σ ν (n) : d ν d n (1) σ 3 (m)σ 3 (n) 1 m+nh 12 σ 7(h) 1 12 σ 3(h). A formulára gors és lénegre törő bizonítást adhatunk a holomorf moduláris formák elméletének segítségével. Nevezetesen minden k páros pozitív egészre E k (z) : 1 2 (m,n)1 (mz + n) k eg k súlú holomorf moduláris forma az SL 2 (Z) csoportra nézve (az ún. Eisenstein-sor), aminek Fourier-sorfejtése E k (z) 1 2kB 1 k ahol B k a k. Bernoulli-szám. Speciálisan, E 4 1 + 24 n1 tehát az (1) azonosság ekvivalens azzal, hog n1 σ k 1 (n)e(nz), σ 3 (n)e(nz) és E 8 1 + 48 E 2 4 E 8. n1 σ 7 (n)e(nz), Az utóbbi egenlet annak következméne, hog E 2 4 E 8 eg 8 súlú csúcsforma, továbbá a 8 súlú csúcsformák tere -dimenziós. Általában az mondható el, hog ha f (z) n 1 a(n)e(nz)
2 HARCOS GERGELY eg k súlú moduláris forma az SL 2 (Z) csoportra nézve, akkor alkalmas c j konstansokkal létezik eg (2) f 2 (z) c E 2k (z) + c j g j,k (z) spektrális felbontás, ahol (g j,k ) a 2k súlú csúcsformák terének eg normalizált Heckebázisa, tehát a megfelelő Hecke-sajátértékekkel (3) a(m)a(n) c σ 2k 1 (h) + h k 1/2 c j λ j,k (h). m+nh Megjegezzük, hog Deligne (1973) neves eredméne szerint λ j,k (h) d(h). Maradjunk továbbra is holomorf moduláris formák Fourier-egütthatóinál, de most próbáljuk a mínusz típusú konvolúciós összegekre alkalmazni a fenti gondolatmenetet. Szorítkozzunk arra az esetre, amikor f (z) n1 λ f (n)n k 1 2 e(nz) eg Hecke-csúcsforma. Az f 2 (z) forma helett most az f (z) 2 kifejezéssel szeretnénk dolgozni, de ez már nem holomorf moduláris forma, tehát (2) alakú spektrális felbontása nem létezik. Mindenesetre F(x + i) : k f (x + i) 2 invariáns a Γ : SL 2 (Z) csoportra nézve, és természetesen F,F <, ahol F 1,F 2 : F 1 (z)f 2 (z) dxd 2, vagis F-re alkalmazhatjuk az L 2 (Γ\H ) Hilbert-tér spektrálelméletét. Ebben a térben F felbontható mint F(z) F,1 3 π + F,g j g j (z) + 1 4π Γ\H F,E(, 1 2 + it) E(z, 1 2 + it)dt, ahol (g j ) az L2 cusp(γ\h ) Hilbert-altér eg L 2 -normalizált Hecke-bázisa, továbbá az Eisenstein-sor. Tekintsük most a P h (z,s) : E(z,s) : γ Γ \Γ γ Γ \Γ Poincaré-sort és a spektrális felbontásból nerhető (4) F,P h (,s) F,g j g j,p h (,s) + 1 4π I(γz) s I(γz) s e(hr(γz)) F,E(, 1 2 + it) E(, 1 2 + it),p h(,s) dt
ADDITÍV KONVOLÚCIÓS ÖSSZEGEK SPEKTRÁLIS FELBONTÁSA 3 Plancherel-azonosságot. A bal oldal a híres Rankin Selberg kihajtogatós technika szerint (jegezzük meg, hog λ f (n) valós) k f (x + i) 2 I(γz) s e( hr(γz)) dxd 2 Γ\H Γ \H 1 γ Γ \Γ f (x + i) 2 s+k dxd e( hx) m,n1 (mn) k 1 2 m nh Γ(s + k 1) (2π) s+k 1 2 (mn) k 1 2 e(()z)e( hx) s+k 2 dxd m nh e 2π(m+n) s+k 1 d ( ) k 1 mn. A (4) jobb oldalán hasonló számolással kapjuk, hog a g,p h (,s) alakú belső szorzatok a megfelelő g forma λ g (h) Hecke-sajátértékével arános. Il módon a (4) azonosságból a (3) eg analogonját nerjük: (5) m nh ( ) k 1 mn Itt az analízis szempontjából fontos w j (s) + { h 2 1 s λ j (h)w j (s) + 1 h it σ 2it (h)w(s,t)dt 4π alakú becslés visszavezethető eg (6) F,g j 2 e π t j + t j T w(s,t) dt ε s A, T T R(s) > 1 2 + ε F,E(, 1 2 + it) 2 e π t dt T B alakú becslésre, ez utóbbit Good (1981) igazolta. Az (5) azonosságot többen többféle módszerrel próbálták általánosítani az f (x + i) λ f ( n )K ir (2π n )e(nx) n Hecke Maass csúcsformák esetére ( 1 4 + r2 a forma Laplace-sajátértéke), de mindeddig csak közelítő formulákat sikerült igazolni. Kiemelném Sarnak (1994) és Jutila (1996) eredménét, miszerint a fontos (6) egenlőtlenség továbbra is fennáll az F(x + i) : f (x + i) 2 L 2 (Γ\H )-beli függvénre, továbbá Blomer (24) eredménét, miszerint ha m nh σ,ε s A h 1 2 σ+θ+ε, σ R(s) > 1 2 + θ, j h : λ j (h) d(h)h θ. }.
4 HARCOS GERGELY A holomorf formákra szépen működő fenti gondolatmenettel a legfőbb nehézség az, hog pozitív egész (m,n) párokra csak eg K ir (2πm)K ir (2πn) s d G(s,ir) ( ) 2ir mn közelítés igaz, ahol G(s,ir) az s és az ir eg alkalmas függvéne. A közelítés nag (m,n) párokra (ahol m n h) elég pontos, de megmutatható, hog a bal oldali integrálokból nagon sok szép W(m, n) súlfüggvén nem rakható ki, tehát végtelen sok hiánzó harmonikussal kell szembenéznünk. A továbbiakban arról szeretnék beszámolni, hog Blomerrel közösen sikerült a hiánzó harmonikusokat reprezentációelméleti módszerekkel azonosítanunk és a következő tételt igazolnuk: (7) m,n 1 m nh ahol (8) ( ) 1 mn { h 1 2 s j (h)w j (s) + λ w j (s) + k1 k1 } λ j,k (h)w j,k (s) + 1 h it σ 2it (h)w(s,t)dt, 4π w j,k (s) + w(s,t) dt ε s 22, 1 2 + ε < R(s) < 3 2 ε. Láthatjuk tehát, hog a spektrális felbontásban nem csak a Maass- és Eisenstein-spektrumok vesznek részt, hanem a teljes holomorf spektrum is. A tétel működik holomorf Hecke-csúcsformákra és kevert λ f (m)λ g (n) alakú szorzatokra is. Ez szépen harmonizál Motohashi (1994) formulájával, amiben σ α (m)σ β (n) alakú egütthatók kerülnek összegzésre és amiben szintén részt vesz mindhárom fajta spektrum. Ezek a formulák igen hasznosak különböző automorf L-függvének vizsgálatában. A 1 kitevőnek csak anni a szerepe, hog elég nag, ennek növelésével a (8)-nál jóval erősebb becslés is garantálható a súlfüggvénekre. A bizonítás alapötlete az, hog a λ f ( n ) Hecke-sajátértékek nem csak az eredeti f formában lelhetők fel, hanem azok ún. Maass-eltoltjaiban is. A Maass-eltolásokat maga Maass (1953) fedezte fel és a számunkra léneges tulajdonságok a következők. Minden p egészhez van eg λ f ( n ) f p (x + i) W f,p (n)e(nx) n n 2p súlú Hecke Maass csúcsforma a felső félsíkon, továbbá a W f,p függvének teljes ortogonális rendszert alkotnak az L 2 (R ) Hilbert-térben. Az f p függvének nem Γ-invariánsak, de felemelhetők a G : SL 2 (R) csoport balról Γ-invariáns függvéneivé a n(x) : λ f ( n ) φ p (n(x)a()k(θ)) : W f,p (n)e(nx)e 2ipθ, n n ) ( ) 1 x, a(u) : 1 ( 1/2 1/2 definícióval. Kiderül, hog eg alkalmas C f > konstanssal p q : W f,p,w f,q C f φ p,φ q, ( ) cosθ sinθ, k(θ) : sinθ cosθ
ADDITÍV KONVOLÚCIÓS ÖSSZEGEK SPEKTRÁLIS FELBONTÁSA 5 vagis (9) W : c p W f,p φ : C 1/2 f p Z p Z c p φ p eg L 2 (R ) L 2 (Γ\G) Hilbert-tér izomorfizmus. Az íg kapható φ függvének az L 2 (Γ\G) eg irreducibilis alterét alkotják, ezeken a vektorokon a G jobbról hat. A megfelelő W függvének alkotják ezen automorf reprezentáció Kirillov-modelljét, amin tehát szintén hat a G. A G-hatás segítségével definiálhatók a φ és W függvének Lie-deriváltjai és a deriváltak átlagos nagságát mérő Szoboljev-normák. Nagjából elmondható, hog a (9)-beli összegek annál gorsabban konvergálnak, minél kisebbek az előállítandó W Szoboljev-normái, ez utóbbi pedig nagjából azon múlik, hog a W milen gorsan csökken a -ban és a ±-ben. Végső soron azt kapjuk, hog minden kellően szép W L 2 (R ) súlfüggvénhez tartoznak kis Szoboljev-normákkal rendelkező φ ± L 2 (Γ\G) vektorok úg, hog φ ± λ f ( n ) (n(x)a()) W(±n)e(nx). n n A φ + φ vektort spektrálisan felbonthatjuk az L 2 (Γ\G) térben, ami a Fourier-egütthatók szintjén eg λ f ( m )λ f ( n ) W(m)W(n) m nh mn λ j (h) W j (h) + h k1 λ j,k (h) W j,k (h) + 1 h 4π h it σ 2it (h) W(h,t)dt h azosságot eredménez. A jobb oldalon szereplő súlfüggvének a végtelenben gorsan csökkennek, a nulla körül pedig majdnem négzetgökösen, ami miatt a bal oldali tagok nagjából négzetgökösen kiejtik egmást. Végezetül eg Laplacetranszformáltas technikával, különböző W L 2 (R ) súlfüggvének és > számok feletti átlagolással kapjuk a (7) spektrális felbontást és a (8) becslést. MTA RÉNYI ALFRÉD MATEMATIKAI KUTATÓINTÉZET, 153 BUDAPEST, REÁLTANODA U. 13-15. E-mail address: gharcos@reni.hu