4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket! Milyen összefüggést tlálunk két szám számtni és mértni közepe között? 4 ) 4 és 5; b) 0 és 40; c) 5 és 6; d) és ; e) 7, és 7,. 3 5 b A G ) 4 5 4,5 0 b) 0 40 5 0 c) 5 6 0,5 8,94 d) 3 4 5 47,57 0,97 30 e) 7, 7, 7, 7, Azt tpsztltuk, hogy számtni közép nem kisebb mértni középnél, és mindkét közép két szám áltl meghtározott intervllumb esik. Két pozitív szám mértni közepe nem ngyobb, mint két szám számtni közepe: b. Egyenlőség kkor és cskis kkor áll fenn, h két szám egyenlő. h = b
4. modul: SZÁMTANI ÉS MÉRTANI KÖZÉP 5 Két pozitív szám ( és b) számtni és mértni közepét ábrán is szemléltethetjük. Rjzoljuk meg z +b hosszúságú szksz Thlész-körét. Az ábr jelöléseivel: r =, és PQR derékszögű háromszögben mgsságtétel szerint m = b, vgyis kör sugr és b számtni közepe, z m-mel jelölt szksz és b mértni közepe. Mivel z m hosszúságú szksz kör sugránál nem lehet hosszbb, érvényes z m r egyenlőtlenség, vgyis b. Az egyenlőség kkor teljesül, h m = r, vgyis két szksz egyenlő hosszú: = b. A számtni és mértni közép közötti összefüggést gykorltbn változó mennyiségek esetén becslésre (egyenlőtlenség felírásár) és szélsőérték-feldtok megoldásár hsználjuk. Ehhez z kell, hogy vgy z összeg, vgy szorzt állndó legyen. Mintpéld 7 Bizonyítsuk be, hogy z f ( x) = x + (x > 0) függvény -nél kisebb értéket nem vesz fel. x A számtni és mértni közép közötti összefüggés x + szerint: x x =, innen x +. x x Ezt z állítást gykrn így foglmzzuk meg: egy pozitív szám és reciprokánk összege leglább.
6 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintpéld 8 0 méter hosszú kerítéssel legfeljebb mekkor területű tégllp lkú telket lehet körülkeríteni? Legyen és b két oldl. Ekkor kerület ( + b) = 0, vgyis = 60. Teljesül z összeg állndóságánk feltétele, ezért becsülhetünk számtni és mértni közép közötti összefüggéssel: b b 30 b 900. Tehát legfeljebb 900 m területű telket lehet körbekeríteni. A legngyobb érték 900, mi = b = 30 esetében, vgyis négyzet lkú teleknél lehetséges. Megjegyzés: A feldt megoldhtó másodfokú függvény szélsőértékének vizsgáltávl is. Az = b = 60. A teljes négy- = 60 összefüggésből b = 60. A tégllp területe T zetet trtlmzó kifejezéssé átlkítást lklmzv T = ( 60) = [ ( 30) 900]= ( 30) + 900 =. A másodfokú függvény minimum z M(30;900) pontbn, zz z = 30 m. Tehát mximális terület 900 m. Természetesen = 30 m esetén b = 30 m dódik. Mintpéld 9 Leglább mennyi kerítésre vn szükség egy 0 m -es, tégllp lkú telek körbekerítéséhez? Legyen és b két oldl hossz. A kerítés hossz kerület, vgyis (+b). A számtni és mértni közép közötti összefüggést felírv b 4 b ( ) 4 b K 4 0 K 43, 8 K Tehát leglább körülbelül 44 méter kerítés kell. Megjegyzés:. A kerítés = b = 0 m oldlhosszú négyzet esetén legkisebb.. Ebben feldtbn függvényvizsgált középiskolábn nem szereplő mtemtiki ismereteket igényel.
4. modul: SZÁMTANI ÉS MÉRTANI KÖZÉP 7 Mintpéld 0 Mekkor mximális területe nnk tégllpnk, melynek kerülete 40 cm? Mekkorák ekkor tégllp oldli? A feldt hsonlít z egyik előző mintpéldár, de most megoldjuk két másik módszerrel is. Jelölje x és y két oldlt!. megoldás: x + y x és y pozitív számok, ezért x y x y 0 x y 00. Tehát legfeljebb 00 cm lehet terület. Egyenlőség (legngyobb érték) bbn z esetben fordul elő, h x = y = 0 cm. Egyéb megoldások: A kerületből ( + y) = 40 x, honnn x + y = 0, y = 0 x. Ezt területbe helyettesítve T x ( 0 x) = x + 0x =. A feldt nem más, mint megkeresni, hogy milyen x esetén lesz másodfokú kifejezés értéke legngyobb. Ez két módszerrel: nevezetes zonosság vgy függvényvizsgált felhsználásávl is meghtározhtó.. megoldás: Alkítsuk át terület képletét úgy, hogy teljes négyzet szerepeljen benne: ( x 0x) = ( x 0) [ ] 00 = 00 ( ) T = x + 0x = x 0 esetén veszi fel legngyobb értékét, mi 00. 3. megoldás: Htározzuk meg kifejezés zérushelyeit, és vázoljuk fel másodfokú kifejezéshez trtozó prbolát! A zérushelyeket x + 0 x = 0 egyenlet megoldásávl kpjuk: 0 és 0. A prbol szimmetriáj mitt legngyobb értékét két zérushely között, éppen középen, zz fel, vgyis x = 0 esetén.. Ez kifejezés x = 0 0 + 0 Tehát mximális terület 00 cm, és 0 cm oldlú négyzet esetén teljesül. helyen veszi Megjegyzés: szélsőérték vizsgált differenciálszámítássl is történhet. Ez z emelt szintű érettségi nyg.
8 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintpéld Szerkessz 8 cm oldlhosszúságú szbályos háromszöget! Mekkorák z oldli háromszögbe írhtó tégllpok közül nnk, melynek területe lehető legngyobb? A kiszámítás után szerkeszd meg háromszögbe kpott tégllpot! Jelölje x és y tégllp oldlit z ábr szerint, tégllp területe T = x y, hol 0 < x < 8. Az ADE derékszögű háromszög egyik szöge 60, ezért x DE = AE 3 y = 3 4. x 3 3 T = x 3 4 = 4 3x x = x( 8 x) másodfokú kifejezés mximális értékét két zérushely (0 és 8) számtni közepénél veszi fel, 4 vgyis x = 4 esetén. Ekkor y = 3 4 = 3. A terület: T = 8 3. Megszerkesztése könnyű, mert z AB oldl negyedelő pontjit kell megszerkeszteni. Feldtok 5. Szerkeszd meg következő hosszúságú szkszok számtni és mértni közepét! ) 4 cm és 6 cm; b) 3 cm és 9 cm; c) 5 cm és 8 cm. 6. Egy derékszögű háromszög befogóink összege 5 cm. Legfeljebb mekkor lehet területe, és legngyobb terület esetén mekkorák háromszög oldli? 7. Egy derékszögű háromszög befogóink összege 40 cm. Legfeljebb mekkor lehet területe, és legngyobb terület esetén mekkorák háromszög oldli?
4. modul: SZÁMTANI ÉS MÉRTANI KÖZÉP 9 m 8. Egy rkétát függőlegesen felfelé lövünk ki v 0 = 40 kezdősebességgel. Milyen mgsr repül rkét, h repülési mgsságát z y = v0 t s g t képlet lpján htározhtjuk meg (t z indulástól számított idő). Mikorr állítsuk robbnást meghtározó m időzítőt, h pály legmgsbb pontján kell robbntni? g = 0. s m 9. Egy rkétát függőlegesen felfelé lövünk ki v 0 = 30 kezdősebességgel. Milyen mgsr repül rkét, h repülési mgsságát z y = v0 t s g t képlet lpján htározhtjuk meg (t z indulástól számított idő). Mikorr állítsuk robbnást meghtározó m időzítőt, h pály legmgsbb pontján kell robbntni? g = 0. s 0. Igzoljuk, hogy > 0 esetén fennáll + + egyenlőtlenség!. Igzoljuk, hogy > 0 esetén fennáll + 3 + egyenlőtlenség!. Igzold, hogy pozitív x, y, és b számok esetén teljesülnek következő egyenlőtlenségek: ) x + y x y ; b) b ; c). 5 3. Htározd meg z f ( x) x + x minimális függvény értéke? = ( x > 0) függvény minimális értékét! Milyen x esetén
30 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 4. ) Egy 0 cm hosszúságú szkszt két részre osztunk, és mindkét részre írunk egy négyzetet. Mekkor részekre kell osztni szkszt, hogy négyzetek területének öszszege lehető legkisebb legyen? b) Oldd meg feldtot áltlánosn is, mikor szksz hossz egység! 5. Egy 40 cm hosszúságú szkszt két részre osztunk, és mindkét részre írunk egy szbályos háromszöget. Mekkor részekre kell osztni szkszt, hogy háromszögek területének összege lehető legkisebb legyen? Oldd meg feldtot áltlánosn is, mikor szksz hossz egység! 6. A 600 m területű, tégllp lkú telkeknek ) leglább mekkor lehet z átlój? b) leglább mekkor lehet kerülete? 7. 300 méteres kerítéssel 3 oldlról krunk egy tégllp lkú telket körbe keríteni. Adj becslést telek legngyobb területére! 8. 450 méteres kerítéssel 3 oldlról krunk egy tégllp lkú telket körbe keríteni. Adj becslést telek legngyobb területére! 9. Mekkorák szbályos háromszögbe írhtó mximális területű tégllp oldli, h háromszög oldl ) 4 cm; b).
4. modul: SZÁMTANI ÉS MÉRTANI KÖZÉP 3 Kislexikon és b pozitív számok számtni közepe (átlg) A =, mértni közepe G = b. Számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenség: két pozitív szám mértni közepe nem ngyobb, mint számtni közepe. A számtni és mértni közép kkor és cskis kkor egyenlő, h két szám egyenlő. b. A számtni és mértni közép mellett hsználjuk következő közepeket is: Hrmonikus közép (H): + b b =, z lgebri átlkításokt elvégezve H =. H Négyzetes közép (N): N =. Az egyenlőtlenségek közötti kpcsolt: H G A N.