Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is a teljes Q? Q a acioális száok halaza. A válasz: e. Megaduk olya, a feltételekek egfelelő f és g függvéyeket, aelyeke fg e veszi fel a 0-t. Legye f. z yilvá szigoúa ooto ő, és étékkészlete a teljes Q. Legye 3, ha g, ha < < 3, ha A g függvéy a -,],, és [, itevalluokba külö-külö szigoúa ooto ő, e háo itevallua egszoítva étékkészlete a -,-], -,-, illetve [-, itevalluok acioális eleeiből áll. zét igaz, hogy g szigoúa ooto ő, és étékkészlete a teljes Q. Tegyük fel, hogy létezik olya Q, aelye fg0. a vagy, akko fg-3, ai csak 3 eseté lee 0, de ez a szá e szeepel a egadott itevalluokba. a <<, akko f g 0 z pedig e lehetséges, et ilye acioális szá ics. Tehát f g e veszi fel a 0-t.. Az a, b, c egész száok legagyobb közös osztója. Az a,b,c száháast ás száháasoka cseélhetjük úgy, hogy ide lépésbe az egyik száot öveljük vagy csökketjük a száháas egy ásik eleéek valailye többszöösével. Igaz-e, hogy az a, b, c száok egválasztásától függetleül, legfeljebb 0 lépésbe eljuthatuk az,0,0 száháashoz? Megutatjuk, hogy legfeljebb 5 lépésbe idig eljuthatuk az,0,0 száháashoz. lőszö abba az esetbe oldjuk eg a feladatot, ha például b és c elatív píek. kko báilye szá, így az is előállítható abyc alakba, alkalas és y egész száokkal. zét két lépésbe eljuthatuk az,b,c szához úgy, hogy a- hoz előbb b -szeesét, ajd c y-szoosát adjuk hozzá. zutá további két tiviális lépésbe eljuthatuk az,0,0 száháashoz. Abba az esetbe tehát, ha b és c elatív píek, 4 lépés biztosa elegedő. Most bebizoyítjuk, hogy egyetle lépésbe eléhető, hogy a száháas két elee elatív pí legye. a b vagy c ulla, akko a ásik két szá elatív pí. a b és c egyike se 0, akko legye d a c azo pítéyezőiek szozata, aelyek e osztják b-t. a ilye píosztó ics, akko legye d. Azt állítjuk, hogy az egy lépésbe előálló a,bda,c száháas egfelelő, azaz bda és c elatív píek. Tekitsük c egy tetszőleges p píosztóját; azt kell igazoluk, hogy ez e osztója a bda száak. /
Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008 a p osztója b-ek, akko d defiíciója szeit p e osztója d-ek. Azt is tudjuk, hogy a, b és c elatív píek, tehát p az a-ak se lehet osztója. bbe az esetbe tehát a bda összeg első tagja osztható p-vel, a ásodik tagja e. a p e osztója b-ek, akko d defiíciója szeit p osztója d-ek. Tehát a bda összeg első tagja e osztható p-vel, a ásodik tagja viszot osztható vele Midkét esetbe azt kaptuk, hogy p e osztója a bda száak. Összefoglalva: egy lépésbe eléhetjük, hogy a ásodik és a haadik szá elatív pí legye, ie pedig további égy lépésbe eljuthatuk az,0,0 száháashoz. 3. Jelöljük tetszőleges pozitív egész száa S-el az jegyeiek összegét tízes száedszebe. Igazoljuk, hogy li S Legye k ögzített pozitív egész. Tetszőleges -e jelölje tízes száedszebeli felíásába c az utolsó k szájegy által alkotott egészt, b az előtte levő 3k jegy által alkotott száot, végül a az összes ezek előtt álló szájegyből alkotott száot. 4k k 0 a 0 b c ahol 0 b<0 3k és 0<c<0 k. A c e lehet 0, et például utolsó jegye se 0. a 4k, akko a 0 k bc -0 4k a szá osztható 4k -al, a c szá viszot e, et 0<c<0 k < 4k. iatt b e lehet 0. Legye ost 4, és tekitsük utolsó 4 jegyét. Az előbbi eggodolást k4 0, 4,..., 4 - -e egisételve ki tuduk jelöli összese daab olya páokét diszjukt szájegyhalazt, aelyek idegyikébe szeepel legalább egy 0-tól külöböző szájegy. zét 4 eseté S >. A hatááték tehát tetszőleges valós száál agyobb:. 4. gy R sugaú keek asztalo elhelyeztük daab sugaú pézéét úgy, hogy ide ée egy teljes lapjával az asztalo fekszik. Az asztala újabb ée á e helyezhető el. Mutassuk eg, hogy R R. Mivel ide ée egy teljes lapjával az asztalo fekszik, azét az éék lapjáak összteülete legfeljebb akkoa, it az asztallap teülete, azaz π R π. bből edezéssel kapjuk a R egyelőtleséget. Rajzoljuk az éék középpotjai köül sugaú kööket, az asztal középpotja köül pedig egy R- sugaú k köt. a eek a k köek lee egy olya P potja, ait a sugaú köök egyike se tatalaz, akko a P középpotú sugaú kö egyik éét se etszeé, és teljes egészébe az asztalo vola lásd az ábát. agyis egy újabb éét helyezheték az asztala úgy, hogy középpotja egybeese P-vel. A feladat feltételei szeit ez e lehetséges, ezét a sugaú köök teljes egészébe lefedik k-t. iatt a teületük legalább akkoa, it k teülete: R- π π. zt átedezve éppe a bizoyítadó /
Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008 egyelőtleséget kapjuk. R 5. atáozzuk eg idazokat a p és q píszáokat, aelyeke alkalas > eseté 3 p q p q A jobb oldalo egyszeűsítve és idkét oldalból -et kivova, p q q p p p p q q p p p p q q A bal oldalo valaelyik téyező osztható a jobb oldalo szeeplő q píszáal; ez a téyező legalább q. Mivel a legagyobb téyező a p, p q ide esetbe teljesül. zt a becslést alkalazzuk jobb oldalá: p p p p p p p p p p 3 p 3p a p vagy legalább 3, akko p p - p 3p, vagyis 3 e teljesülhet. Tehát csak p lehetséges. zt behelyettesítve -be qq30, azaz q5. A feladat egyetle egoldása tehát p, q5 és. 6. Adottak f, g N N bijektív függvéyek úgy hogy ide N szá eseté. Bizoyítsuk be, hogy f g a két függvéy azoos. Mivel f: N N szüjektív függvéy ezét létezik úgy hogy. De a feladat feltétele alapjá így. Mivel a g függvéy teészetes száot vesz fel ezét. asolóa létezik úgy hogy, és ivel f ijektív, ezét. Így. Mivel g is ijektív, vagyis csak lehetséges. Ietől teljes idukcióval az összes előző esetet felhaszálva bizoyítjuk -e, hogy. zt így folytatva idukcióval bizoyítottuk a feladat állítását. 7. Legyeek az és a k adott poztív egész száok, az S pedig olya -eleű síkbeli pothalaz, aelyek seelyik háo potja ics egy egyeese; az S halaz ide potjához található legalább k daab S beli pot, aelyek id egyelő távolsága vaak a P pottól. 3/
Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008 Bizóyítsuk be, hogy Redezés utá égyzeteeelve a következőt kapjuk: Mivel a bal oldalo az első tag egész ezét elegedő igazoli, hogy: A baloldalo éppe a kele közül kiválasztahtó páok száa va. Az S pothalaz ide potjához tekitsük a tőle egyelő távolsága lévő lévő k potból képezhető páokat. zek száa: a egy A, B potpát szába vettükegy P potál akko P ajta va AB felezőeőlegesé. Mivel S-be ics háo pot egy egyeese, így a feti száolás utá ide potpát a -sze kaphattuk eg, azaz: ahoa -el osztva éppe a bizoyítadó állítást kapjuk. 8. Az kifejezésbe száítsuk ki az -es tag együtthatóját. Ahhoz hogy a feti kifejezés -es tagjáak eggyütthatóját egkapjuk, ki kell száítauk az kifejezés -ös tagjáak együtthatóját. Legye. A bioiális tétel szeit a köbös tag együtthatója. Így az -es tag együtthatója. 9. Az egyeletű ellipszis síkjába levő P poto áthaladó d egyees az ellipszist az M és M potokba etszi. Szekesszük P át egy olya f d- től külöböző egyeest, hogy aak az ellipszissel való etszéspotjai, valait az M és M potok egy köö legyeek. A feladatot tekitsük egoldottak. Jelöljük M3 és M4-gyel az f egyees, valait az ellipszis etszéspotját, 0,y0-val a P pot koodiátáit, α-val és β-val a d és f egyees tegellyel alkotott szögeit. Továbbá legye PM, PM, PM33, PM44 és 4/
Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008 Az M, M, M3, M4 potok paaetikus koodiátái: Az M, M, M3, M4 potok az ellipszise vaak, tehát: Mivel M, M, M3, M4 egy köö vaak, ezét felíható az alábbi egyelőség: azaz 34 3 Az és összefüggések alapjá: A 4 és 5 összefüggéseket figyelebevéve a 3 összefüggés a következő lesz: Az előbbi összefüggés akko igaz, ha αβπ, vagy α-β0 aely esetbe df. a αβπ, akko PPP háoszög egyelő száú. Az f egyees egszekesztése: Meghúzzuk a P középpotú PP sugaú köt, aely az tegelyt ásodszo P potba etszi. A keesett f egyees a PP egyees lesz. 0. Legye a, b és c háo külöböző egész szá, és P egy egész együtthatós polio, Mutassuk ki, hogy e állhat fe egyidejűleg a következő háo egyelőség: Idiekte bizoyítjuk. Tegyük fel, hogy egyidejűleg feálhatak a feti egyelőségek. a αz, akko: P-αQPα, ahol Q szité egész együtthatós polio. Az előbbi alapjá felíhatjuk a következőt: b-cpa-pba-bqa, c-apb-pcb-cqb, a-bpc-pac-aq3c, ahoa következik, hogy a-b b-c, b-c c-a, c-a a-b, ai csak úgy lehetséges, ha az abszolútétékek egegyezek. Feltehetjük, hogy a>b>c, tehát az abszolútétékeke felít egyelőség a következőképpe íható: a-bb-ca-c, vagyis abc, ai elletodás.. Legye p egy pí és legye G, egy gáf, aiek több it dp- csúcsa va. kko bizoyítsuk be, hogy G csúcsaiak va egy e ües U 5/
Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008 észhalaza úgy, hogy azokak a d csúcsú klikkekek a száa, aelyekek va közös észük U-val, legye osztható p-el. Bizoyítás: G ide I észhalazáa KI jelölje azokak a d csúcsú klikkekek a száát, aelyek tatalazzák I-t. Most G ide v csúcsához edeljük hozzá egy v, és képezzük azt a polioot odulo p fölött, hogy: F i ii I,,..., v K I v 0 I p KI yilvá 0, hogyha I több, it d eleű, tehát az F polio foka, ivel a ásodik záójeles tag foka legfeljebb dp-, ai kisebb, it. zekívül a polioba v együtthatója e 0, így a kobiatoikus ullstellesatz tételt v felhaszálva létezek olya v { 0,} száok, aelyeke F v v e 0 odulo p. Tudjuk, hogy ekko e ide v 0, hisze akko a polio 0-t ada étékül. Így va olya v, ai. kko azoba az első záójeles tag eltűik és a kis-feat tétel iatt A ásodik záójelbe levő tagak 0-ak kell lei odulo p, tehát: 0 I I K I ii i 0 od p együk észe azoba, hogy a bal oldalo éppe azokak a d-klikkekek a száa áll, aelyekek va közös észe az U { v v }. z a szitaódsze alapjá látható. Így valóba találtuk egy e ües U halazt, aelye teljesül a feladat feltétele. zzel az állítást igazoltuk.. gy kofeeciáa két oszágból, A-ból és B-ből ékezik egy azoos létszáú küldöttség, tagjaik közül éháya á égebből iseték egyást. Bizoyítsuk be, hogy az A oszágbeli tagok közül kiválasztható éháy legalább úgy, hogy teljesüljö az alábbi lehetőségek egyike: a kiválasztottak közül a B oszágbeli tagok idegyikéek páos sok iseőse va. a kiválasztottak közül a B oszágbeli tagok idegyikéek páatla sok iseőse va. Bizoyítás: Az A oszágbeli tagok közöl - db féléképpe választhatuk ki éháyat. 6/
Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008 Mide ilye kiválasztáshoz edelük egy hosszú, 0 soozatot, égpedig úgy, hogyha a B-beli i-edik tag páos sokat ise a kiválasztottak közül, akko a soozat i-edik tagja 0, egyébkét. A feladat állítása úgy is fogalazható, hogy ekko lesz -hosszú, vagy -hosszú 0 soozat. Ilye hosszú,0 soozatokból daab va. Most két esetet külöböztetük eg:. eset: A soozatok között ics két ugyaolya. kko - soozatuk va a ből, tehát csak egy hiáyzik, így lesz egy hosszú, vagy egy hosszú 0 soozat. Így ezzel az esettel késze vagyuk.. eset: A soozatok közt va két egegyező. kko az A oszágba az egyik soozathoz tatozó észhalaz legye U, a ásik. kko beláto, hogy az U U e ües észhalaz egfelel az a feltételek. Ugyais a B oszágból egy tetszőleges ebe az U és a halazból is páosat vagy idkettőből páatla sokat ise, tehát összeadva a két étéket páos száot kapuk, viszot ebből le kell voi az U -be levő iseősei szááak a kétszeesét, így ideképpe páos szához jutuk. zzel a ásodik esettel is végeztük, tehát a feladat állítását igazoltuk. 3. Jelöljük az y egyelet egoldásszáát -el. Bizoyítsuk be, hogy létezik olya c pozitív álladó, hogy tetszőleges N teészetes száa: N π N < c Bizoyítás: Tekitsük ide olya, y egész száokból álló szápát, hogy y e N szápáok száa yilvávalóa. együk fel ost a síkba egy deékszögű koodiátaedszet, és képezzük ide ilye, y szápáa azt az M,y égyzetet, ely az s, yt potokból áll, ahol 0 s <, 0 t <. Jelöljük e N égyzetek egyesítését -vel. Nyilvávaló, hogy az tatoáy teülete. Jelöljük továbbá az oigó középpotú sugaú köleezt K-el. Köye látható, hogy: K K 7/
Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008 8/ bből pedig következik, hogy teülete a K, ill. K köök teülete közé esik, ahoa adódik az állítás odjuk π c -e. 4. gy uifo hipegáfak éle va, báely kettőek a etszete legfeljebb k potot tatalaz. Bizoyítsuk be, hogy legalább k potja va. Bizoyítás: Jelölje d az fokát -ba. kko tetszőleges -a: { } k F F d F F Összegezzük ezt ide éle, akko d d d d Ie: k, tehát k 5. Bizoyítsuk be, hogy az y egyeletek, ahol -él e kisebb egész száot jelöl, ics olya pozitív egész egoldása -be és y-ba, aelyél és elatív píek Bizoyítás: A feladat állításával elletétbe tegyük fel, hogy -ek létezik olya pozitív egész egoldása, aelyeke és elatív píek. Íjuk fel i-et... y y y y Megutatjuk, hogy ebbe az esetbe y- és y y - y is elatív píek. Tegyük fel ugyais, hogy idkette oszthatók egy p píszáal, ekko is osztható p-el. y aadékot ad p-el osztva, tehát y y - y aadékot ad, tehát osztható p-el, de ez e lehet, hisze és elatív píek. Így beláttuk, hogy y- és y y - y is elatív píek.
Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008 kko azoba -ből y- és y y - y is -edik hatváyszá, azoba y y - y agyobb, it y, de kisebb, it y, ai elletodás. Így az idiekt állításból elletodása jutottuk, tehát a feladat állítását igazoltuk. 6. Adott egy változós polio. Tudjuk, hogy ha idegyik változója helyébe vagy -et, vagy --et helyettesítük, étéke pozitív lesz, aeyibe a --ek száa páos és egatív, ha a --ek száa páatla. Igazoljuk, hogy a polio legalább -ed fokú. löszö egyszeüsítjük a szóba jövö poliookat. lég olya poliooka szoítkozi, aelyekbe ide változó legfeljebb elsö hatváyo szeepel. a ugyais ide páos hatváyo szeeplö változót -gyel, a páatla hatváyo szeeplöket pedig a változó elsö hatváyával helyettesítjük, ezzel a polio foka e övekszik, a feladatba egadott tulajdosága pedig yilvávalóa egaad, és eze az se változtat, ha a ódosítás utá összevoható tagokat összevojuk. a pedig a ódosított polio legalább -edfokú, akko az eedeti is. A továbbiakba a polioo idig a odott ódo egyszeüsített polioot étük. Az állítást teljes idukcióval bizoyítjuk. gy egyváltozós polio ab alakú. Feltétel szeit ab > 0, ab < 0, azaz ab > 0, tehát a > 0, a > 0. A polio tehát elsöfokú. Az eedeti polio legalább elsöfokú. Tegyük fel, hogy a legfeljebb változós poliooka igaz a feladat állítása. gy változós polio f,..., f,..., alakba íható, ahol f és f legfeljebb -változós polio. Legye c,..., c egy -ekböl és --ekböl álló soozat. a a ci -k közt páos száú - va, akko -ek egysze, egysze - étéket adva, a feltétel szeit f c,..., c f c,..., c > 0 f c,..., c f c,..., c < 0. Az utóbbit így íhatjuk: f c,..., c f c,..., c > 0 és így f c,..., c > 0; ha pedig a ci -k között a --ek száa páatla, akko f c,..., c f c,..., c < 0, f c,..., c f c,..., c > 0, tehát f c,..., c f c,..., c < 0 és így f c,..., c < 0. Azt kaptuk, hogy f -ek is egva a tételbe egfogalazott tulajdosága, s így az idukciós feltétel szeit legalább -edfokú, az eedeti polio legalább -edfokú. zzel beláttuk, hogy a tétel állítása ide -e igaz. 9/
Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008 7. Jelölje egy paalelogaa két szoszédos oldaláak aáyát. atáozzuk eg, hogy hogya függ -től az átlók közti hegyesszög legagyobb lehetséges étéke.. egoldás Tekitsük egy ABCD paalelogaát, aelyikbe AB és BC hossza a, illetöleg λa λ >, az átlók etszéspotja és a BC oldal felezöpotja, illetöleg F. kko egybe az átlók közös felezöpotja is, így F az AB-vel páhuzaos középvoal fele, hossza /. a. A szóba jövö potok tehát az F középpotú, /. a sugaú k kö potjai, kivéve a BC egyeessel való két etszéspotot, aelyek a kö átellees potjai. Szietia okokból elég a BC egyees egyik oldalá levö félköt vizsgáli. ába. Figue : A kö átéöje a BC szakasz észe. Az átlók szöge a BC szakasz látószöge -böl, tehát topaszög hisze az átéö látószöge deékszög. ek az α szögek a lehetö legkisebb étékét kell tehát eghatáozuk. Belátjuk, hogy α étéke a félkö 0 felezöpotjáa a legkisebb. A BC0 háoszög köé ít k0 köt belülöl éiti k, et idkét kö középpotja a BC-e F-be eelt eölegese va, és k átéöje a BC szakasz észe. A D és k0 etszéspotját G- vel jelölve CB CGBGC > CGB C0 B, ait állítottuk. A keesett legagyobb hegyesszög, 0 eek a szögek ellékszöge, és ivel a BC0 háoszög egyelö száú, az 0 BF kétszeesével egyelö, tehát például így fejezhetö ki λ-val a B0 F deékszögböl: λa azaz 0 acctgλ, 0 BF ahol az akusz-függvéy 0 és 90 közé esö ctg λ, étékét kell vei. 0 F Megjegyzés: A feladat szövege feltételezte a ugya, de eggodolásaik soá bizoyítást is yet, hogy ezt a aiális étéket fel is veszi az átlók szöge, és azt is beláttuk, hogy a téglalapba a legagyobb ez a szög. 8. Bizoyítsuk be, hogy egy szabályos dodekaéde csúcsaiak a P pottól való távolságösszege akko iiális, ha P a dodekaéde középpotja. 0/
Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008 A bizoyításhoz azt a leát haszáljuk fel, hogy a tébe egy pottól ét távolság, it függvéy, kove. gy vektotée ételezett valós f függvéyt koveek evezük, ha ide A, B vektoa és α, β > 0 száa, ahol αβ, igaz, hogy fαa βb αfa βfb. a az egyelőtleség egy A, B vektopáa ide egfelelő α, β-a szigoúa feáll, azt odjuk, hogy a függvéy szigoúa kove az A, B vektook között. Két kove függvéy összege is kove: fαa βb gαa βb αfa βfb αga βgb. Igaz továbbá az is, hogy két kove függvéy összege potosa azo potpáok között lesz szigoúa kove, aelyek között legalább az egyik függvéy szigoúa kove. gy szigoúa kove függvéyek legfeljebb egy iiuhelye lehet. Tegyük fel ugyais, hogy va két iiuhelye. kko a két iiuhely között báelyik potba az étéke kisebb lee, it a iiuhelyekbe. Legye egy O pot távolságfüggvéye az a té potjai ételezett függvéy, ai egadja a O pottól ét távolságot. z kove, és ide A, B-e, ai e esik egy egyeese O-val, szigoúa kove: a egy egyeese esek O-val, akko az abszolút éték függvéy koveitásáól va szó. a e esek egy egyeese O-val, akko az ába szeit éjük fel OB-t az OA egyeese, így kapjuk a B potot. A C pot az AB szakasz tetszőleges belső potja. A BB szakasszal páhuzaosa vetítsük le a C potot az OB egyeese, ez lesz a C pot. Így az OC a két függvéyéték, OA és OB, egfelelő lieáis kobiációja. Az OBB, BB O és CC O szögek egegyezek. Az OBB háoszögbe az O-ál levő szög agyobb, it az OCC háoszögbe, et C az A és B között va. élfogva az OCC szög agyobb, it az OBB szög, tehát az OC Cél is. Mivel egy háoszögbe agyobb szöggel szebe agyobb oldal va, OC agyobb, it OC, vagyis a függvéyétékek lieáis kobiációja agyobb, it lieáis kobiációba a függvéyéték. együk a dodekaéde ide egyes csúcsáak a távolságfüggvéyét, és adjuk össze őket. Az így kapott függvéy kove, valait ide potpáa szigoúa kove, ivel ide potpához va olya csúcs, aellyel e esik egy egyeesbe. Tehát csak egy iiuhelye lehet. Tegyük fel, hogy ez e a középpot. Fogassuk 7 -kal el az egyik csúcs és a középpot által eghatáozott tegely köül, olya köül, aelyike ics ajta. Az így kapott pot az ába szietiája iatt szité iiuhely lee. Tehát csak a középpotba lehet a iiu. A függvéyek va alsó kolátja 0, úgyhogy va legagyobb alsó kolátja, vagyis iiua, és ivel folytoos, és ide iáyba végtelehez tat, fel is veszi a iiuát. Tehát a középpotba iiális. 9. gy 3 3-as égyzetács sakoko lévő égyzeteiek belsejébe kijelölük egyegy potot. Bizoyítsuk be, hogy az így kapott kove égyszög a sakoko lévő égyzetekből összese kisebb teületet etsz ki, it az oldalako lévő égyzetekből összese. /
Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008 A kiválasztott égy pot idegyikét kössük össze a középső égyzet hozzá legközelebbi csúcsával. Így a sakokba lévő égyzetekből kietszett teületeket két-két háoszöge botottuk. Botsuk az oldalsó égyzetekből teületeket két-két háoszöge egy tetszőleges átlójuk behúzásával. Most tekitsük azokat a szoszédos háoszögeket, elyek közül az egyik egy sako lévő, ásik egy oldalsó égyzetbe va. Mide ilye pá egyik oldala közös. a ezt tekitjük alapak, akko az oldalsó égyzetekbe lévő háoszögek agassága égyzetoldalyi, a ásik háoszögé eél kisebb. Így ide ilye pába az oldalsó égyzetbe lévő háoszög teülete kisebb. Tehát összese is kisebb a sakokba lévő teületek összege. 0. gy ABCD tetaéde ABC lapjáak D súlypotját összekötjük a D csúccsal. A DD -vel páhuzaosokat húzuk az A, B, C csúcsoko keesztül és eletsszük velük az egyes csúcsokkal szeközti lapok síkját az A, B, C potokba. Bizoyítsuk be, hogy az eedeti tetaéde téfogata haada az A B C D tetaédeéek. A feladat állítása a tetaéde affiitásától e változik. Affiítsuk tehát a tetaédet szabályossá. Az A, B, C potok így az ába szietiája iatt ugyaolya távol leszek az ABC síktól, és, ivel DD eőleges az ABC síka, és AA, BB, CC páhuzaos vele, az A B C háoszög az ABC háoszög eőleges eltoltja lesz. DD -t AA -be a BC él felezőpotjából lehet agyítai, és ivel D a súlypot, 3-szoosáa kell agyítai, hogy D az A-ba keüljö. Tehát AA háoszoosa DD -ek, vagyis az A B C D tetaéde agassága az ABCD-éek háoszoosa. Így a téfogatuk aáya is eyi. /