Városok Viadala JUNIOR, sz, második forduló

Átírás

1 JUNIOR, sz, els forduló. Adott két pozitív valós szám. Bizonyítsuk be, hogy ha az összegük kisebb, mint a szorzatuk, akkor az összegük nagyobb 4-nél. (N. Vasziljev, 4 pont) 2. Egy szabályos háromszög csúcspontjai az ABCDEF szabályos hatszög AB, CD és EF oldalain helyezkednek el. Bizonyítsuk be, hogy a háromszögnek és a hatszögnek azonos a középpontja. (N. Sedrakjan, 4 pont) 3. Keressünk 0 különböz pozitív egész számot úgy, hogy mindegyikük osztója legyen az összegüknek. (S. Fomin, 4 pont) 4. Egy as négyzet alakú táblát egységnégyzetre osztottak fel. Egy egységnégyzetet kivágunk. Le tudjuk-e fedni a tábla többi részét egyenl szárú derékszög háromszögekkel, amelyeknek 2 hosszú az átfogójuk éspedig úgy, hogy átfogóik az egységnégyzetek oldalain helyezkednek el, a másik két oldaluk pedig az átlókon. A háromszögek nem fedhetik egymást, és nem lóghatnak túl a tábla szélén. (S. Fomin, 5 pont) 39/66

2 JUNIOR, sz, második forduló. Adott a = és b = Bizonyítsuk be, hogy a b <. 99! 00! (G. Galperin, 4 pont) 2. Az AB átmér re egy S félkört rajzolunk. Egy az S-en lév tetsz leges C pont esetében (C A, C B) az ABC háromszög AC és BC oldalaihoz a háromszögön kívül négyzeteket illesztünk. Keressük meg a négyzetek középpontjait összeköt szakasz felez pontjainak mértani helyét, miközben a C az S mentén mozog. (J. Tabov, 4 pont) 3. Egy 8 8-as tábla (64 db -es négyzet) fehérre van festve. Kiválaszthatjuk a 64 négyzet közül bármely 3-as téglalapot, és mindhárom négyzetet ellenkez szín re festjük (a feketéket fehérre, a fehéreket feketére). Be lehet az egész táblát feketére festeni ezzel a módszerrel? (I.S. Rubanov, 5 pont) 4. Egy ABCD négyszög AB, BC, CD illetve DA oldalai rendre egyenl k az A B C D négyszög A B, B C, C D és D A oldalaival. Tudjuk, hogy AB párhuzamos CD-vel és B C párhuzamos D A -vel. Bizonyítsuk be, hogy mindkét négyszög paralelogramma. (V. Proizvolov, 5 pont) 5. Az {x n } számsorozatra teljesül, hogy x n+ = x n x n minden n> értékre. Bizonyítsuk be, hogy a sorozat periodikus 9-re, azaz bármely n > -re x n = x n+9. (M. Koncsevics, 6 pont) 6. Egy kártyacsomag n különböz kártyából áll. Egy lépés során kihúzunk egy csoport egymás melletti kártyát együtt a csomag bizonyos helyér l és valahova máshova visszarakjuk anélkül, hogy a csoporton belül kevernénk, vagy megfordítanánk bármely kártyát. Szeretnénk megfordítani a teljes pakliban a kártyák sorrendjét ilyen cserékkel. a) Bizonyítsuk be, hogy n = 9 esetében ez 5 lépésben megtehet. b) Bizonyítsuk be, hogy n = 52 esetében ez i. 27 lépésben megtehet, ii.7 lépésben nem tehet meg, iii. 26 lépésben nem tehet meg. (S.M. Voronin, pont) 40/66

3 JUNIOR, tavasz, els forduló. Adott N db egész szám. Bizonyítsuk be, hogy a négyzetösszegük osztható N-nel, ha tudjuk, hogy közülük bármelyik N- szorzata és a kimaradó szám közti különbség N-nel osztható. (D. Fomin, 3 pont) 2. Három kör mindegyike kívülr l érinti a másikat, sugaraik rendre, r és r. Milyen r értékekre van olyan háromszög, amelyben e körök benne foglaltatnak. (A körök a háromszög belsejében vannak, mindegyik kör érinti a háromszög két oldalát és a háromszög minden oldala két kört érint.) (N.B. Vasziljev, 3 pont) 3. Egy sorban 30 csizma áll (5 pár). Bizonyítsuk be, hogy van tíz olyan egymást követ csizma a sorban valahol, hogy közülük 5 jobb lábas és 5 bal lábas. (D. Fomin, 3 pont) 4. Egy számítógép képerny je a 23-as számot mutatja. Minden percben a számítógép 02-vel növeli a képerny n látható számot. Misa, a számítógépguru meg tudja cserélni a képerny n megjelen szám számjegyeinek sorrendjét. El tudja-e érni azt, hogy soha ne jelenjen meg 4 jegy szám a képen? (F.L. Nazarov, 4 pont) JUNIOR, tavasz, második forduló 3 k. Bizonyítsuk, hogy a 99 darab 3 ( k=,2,,99) alakú tört szorzata nagyobb, mint 2/3. k + (D. Fomin, 3 pont) 2. Az ABCDE ötszögnek van beírt köre és az AD és CE átlók ennek O középpontjában metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy a BO szakasz és a DE oldal mer legesek egymásra. (4 pont) 3. Olyan 5-re végz d számokat keresünk, melyeknek tízes számrendszerbeli alakjában mindegyik számjegy a másodiktól kezd d en legalább akkora, mint az el z számjegy. Ezenkívül a számok négyzetére is teljesülnie kell a fenti tulajdonságnak. a) Keressünk 4 ilyen számot. b) Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok ilyen szám van. (A. Andjans, 2+3 pont) 4. Egy kört az AB húr 2 részre oszt és az egyiket elforgatjuk az A pont körül bizonyos szöggel, így a B pontot a B -be visszük. Összekötjük BB középpontjával az el nem forgatott AB ív felez pontját és az elforgatott AB ív felez pontját is. Mutassuk meg, hogy ezen szakaszok mer legesek egymásra. (F. Nazyrov, 4 pont) 5. Egy országban 8 város van. A király egy olyan úthálózatot szeretne, hogy bármely városból bármely másikba el lehessen jutni legfeljebb egy város érintésével. Semelyik városból nem indulhat k-nál több út. Mely k értékekre lehetséges ez? (D. Fomin, 6 pont) 6. Egy versenyen 6 ökölvívó vesz részt. Minden ökölvívó naponta egyszer mérk zik. A versenyz k különböz kondícióban vannak és az er sebbik mindig nyer. Bizonyítsuk be, hogy egy 0 napos verseny megrendezhet úgy, hogy az er sorrend kiderüljön. A meccsek kiosztása az azt megel z nap este történik és nem változtatható meg. (A. Andjans, 8 pont) 4/66

4 SENIOR, sz, els forduló. A pozitív egészeket -t l n 2 -ig tetsz legesen elhelyeztük egy n n-es sakktábla mez iben. Bizonyítsuk be, hogy van két olyan szomszédos mez (van közös csúcsuk vagy közös olda- luk), hogy a bennük lev számok különbsége legalább n +. (N. Sedrakyan, 4 pont) 2. A síkot párhuzamos egyenesek három végtelen halmazával azonos terület szabályos háromszögekre osztottuk. Legyen M a csúcsok halmaza, továbbá A és B egy ilyen szabályos háromszög két csúcsa. Egy lépésben elforgathatjuk a síkot az M halmaz bármely pontja körül 20 kal. Kerülhet-e A pont B-be ilyen lépések sorozata után? (N. Vasiliev, 4 pont) 3. A falon két ugyanolyan óra van: az egyik a jelenlegi moszkvai id t, a másik pedig a jelenlegi helyi id t mutatja. A két kismutató vége közti minimális távolság m, a maximális távolság M. Mennyi a távolság a két óra középpontja között? (S. Fomin, 4 pont) 4. Téglányokat készítünk a következ módon: veszünk egy egységnyi oldalú kockát, és három közös csúccsal rendelkez lapjához három újabb egységkockát ragasztunk, úgy, hogy az összeragasztott lapok pontosan fedjék egymást. Építhetünk-e ilyen téglányokból 2 3-as téglatestet? (A. Adjans, 5 pont) SENIOR, sz, második forduló. A juniorok. feladata. Itt 3 pont. 2. M az ABC szabályos háromszög körülírt körének AC ívén lév pont. P ennek az ívnek a felez pontja, N a BM húr felez pontja, K pedig a P-b l az MC-re állított mer leges talppontja. Bizonyítsuk be, hogy az ANK háromszög szabályos. (I. Nagel, 4 pont) 3. Vegyük a síkon az egységnégyzetek M véges halmazát. A négyzetek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, és metszhetik egymást. Tudjuk, hogy bármely két négyzet középpontja közti távolság legfeljebb 2 egység. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan egységnégyzet (nem feltétlenül M egyik eleme), aminek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, és M halmaz minden négyzetével van legalább egy közös pontja. (A. Adjans, 4 pont) 4. Adott 20 pont a síkon úgy, hogy semelyik három nincs egy egyenesen. Ezen pontok közül 0 piros, a többi kék. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan egyenes, aminek mindkét oldalán 5 piros és 5 kék pont van. (A. Kusnirenko, 5 pont) 5. Az ABC háromszögben AC = CB. D az AB szakasz egy pontja. Tudjuk, hogy az ACD háromszög beírt körének sugara megegyezik a DB szakaszt, valamint CD és CB szakaszok meghosszabbítását egyaránt érint kör sugarával. Bizonyítsuk be, hogy ez a sugár egyenl az ABC háromszög két egyenl hosszúságú magasságának negyedével. (I. F. Sharygin, 7 pont) 6. Egy kártyacsomag n különböz kártyából áll. Egy lépésben kiveszünk a csomagból valahonnan néhány egymás után következ kártyát, és visszatesszük máshova anélkül, hogy megcserélnénk a sorrendet, vagy akármelyik kártyát felfordítanánk. Az a feladatunk, hogy ilyen lépések sorozatával megfordítsuk a kártyák sorrendjét a csomagon belül. a) Bizonyítsuk be, hogy n = 9 esetén ez megtehet 5 lépésben. b) Bizonyítsuk be, hogy n = 52 esetén ez i. 27 lépéssel megtehet, ii. 7 lépéssel nem tehet meg, iii. 26 lépéssel nem tehet meg. (S. M. Voronin, pont) 42/66

5 SENIOR, tavasz, els forduló. Keressük meg az összes n természetes számot és x, y egészeket (x és y különböz ), amelyek kielégítik a következ egyenletet: n n x + x + x x = y + y + y y (4 pont) 2. Adott egy körön két pontot, K és L. Szerkesszünk olyan ABC háromszöget, aminek C csúcsa és az AK és BL súlyvonalainak metszéspontja egyaránt a körön vannak (K és L a BC, illetve AC oldalak felez pontjai). (4 pont) 3. Egy táblára felírtuk a következ száz számot:, /2, /3,..., /00. Ha letöröljük közülük az a és b számokat, akkor az a + b + ab számot írjuk fel helyettük. 99 ilyen lépés után egyetlen szám marad fenn a táblán. Mi ez a szám? (D. Fomin, 4 pont) 4. a) Elhelyezhetünk-e úgy 5 darab fából készült kockát a térben, hogy mindegyikük érintse az összes többi kockát valamelyik lapjának egy-egy részével? b) Oldjuk meg ugyanezt a kérdést hat kocka esetén is! (2+2 pont) SENIOR, tavasz, második forduló. Olyan 5-re végz d számokat keresünk, amiknek tízes számrendszerbeli alakjában a második jegyt l kezdve egyik számjegy sem kisebb, mint az el tte álló. Továbbá a számok négyzetének ugyanilyen tulajdonságokkal kell rendelkezniük. Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok ilyen szám van. (A. Adjans, 4 pont) 2. Egy körben rögzítjük az MN húrt. A kör minden AB átmér jéhez vegyük az AM és BN szakaszok C metszéspontját, és szerkesszük meg azt az l egyenest, ami átmegy C-n és mer leges AB-re. Bizonyítsuk be, hogy az összes ilyen l egyenes egy ponton megy át. (E. Kulanin, 5 pont) 3. Az x, x 2, x 3,..., x n számok összege 0, négyzeteik összege. Bizonyítsuk be, hogy van közöttük két olyan szám, amiknek szorzata nem nagyobb, mint -/n. (Stolov, 5 pont) 4. Kiválasztottunk 5 pontot a gömbön úgy, hogy közülük semelyik három nem esik egy f körre (a f kör a gömb metszete egy olyan síkkal, ami átmegy a gömb középpontján). Két f kör egyenérték, ha egyikük sem tartalmazza egyik pontot sem az öt közül, és egymásba mozgathatók anélkül, hogy áthaladnának valamelyik kiválasztott ponton. a) Hány olyan f kört tudunk rajzolni a gömbön, amik nem egyenérték ek, és nem tartalmazzák egyik kiválasztott pontot sem? b) Oldjuk meg ugyanezt a kérdést n kiválasztott pontra. (A. Belov, 3+3 pont) 5. Egy királyságban 6 város van. A király olyan úthálózatot akar építtetni, hogy bármelyik városból bármelyik másikba el lehessen jutni legfeljebb egy közbens város érintésével, de minden városból legfeljebb 5 út induljon ki. a) Bizonyítsuk be, hogy ez lehetséges. b) Bizonyítsuk be, hogy 5 helyett 4 út esetén nem lehetséges. (D. Fomin, 4 pont) 6. Egy tornán 32 ökölvívó vesz részt. Mindegyikük legfeljebb egyszer játszhat egy nap. Tudjuk, hogy nem egyforma er sek, és mindig az er sebb gy z. Bizonyítsuk be, hogy rendezhetünk egy 5 napos tornát, aminek az eredménye alapján elkészíthetjük az er sorrendet. A találkozók menetrendjét mindig a mérk zés el tti napon kell rögzíteni, és a nap folyamán nem lehet megváltoztatni. (A. Adjans, 8 pont) 43/66

6 JUNIOR, sz, els forduló. A k kör középpontja rajta van k 2 körön. A és B a körök metszéspontjai. k 2 kör B pontban húzott érint je k kört C pontban metszi. Bizonyítsd be, hogy AB = AC. (V. Prasovov, 3 pont) 2. A repül bástya úgy mozog, mint a sakkban a bástya, de nem léphet szomszédos mez re egy lépésben. Lehetséges-e, hogy egy 4 4-es sakktáblán a repül bástya minden mez re pontosan egyszer lép és végül 6 lépésben visszatér a kezd mez re? (A. Tolpygo, 3 pont) 3. Bizonyítsd be, hogy + = (G. Galperin, 3 pont) 4. Egy körre hat számot írunk. A = B - C, ahol A bármely a körön lév szám, B és C pedig az A-t követ számok a körön az óramutató járásával megegyez irányban. A körön lév hat szám összege. Mik a körön lév számok? ( 3 pont) /66

7 JUNIOR, sz, második forduló. 32 lovag él egy királyságban. Néhány közülük másokat szolgál. Egy szolgának csak egy gazdája lehet, és minden gazda gazdagabb, mint a szolgái. Az olyan lovagot, akinek minimum 4 szolgája van, bárónak hívjuk. Maximum hány báró lehet? (A királyság egyik fontos törvénye: A szolgám szolgája nem az én szolgám ). (A. Tolpygo, 3 pont) 2. Az ABC háromszögben AB = AC és a BAC szög 20º. Legyen D pont az AB oldalon úgy, hogy AD = BC. Mekkora a BCD szög? (I. F. Sharygin, 6 pont) 3. Lehetséges-e, hogy páronként különböz, 00-nál kisebb pozitív egészeket egy 4 4-es táblázat mez ibe írva minden sorban és minden oszlopban a számok szorzata egyenl? (N. B. Vasiliev, 8 pont) 4. Az a n sorozat képzési szabálya: a 0 = 9 és bármilyen nemnegatív k- ra: a k+ =3(a k ) 4 + 4(a k ) 3. Bizonyítsuk be, hogy a 0 (tízes számrendszerben) legalább 00 db 9-est tartalmaz! (Yao, 8 pont) 5. Egy 9 9-es négyzet 8 egységoldalú négyzetre, azaz mez re van felosztva. Néhány mez satírozott. A távolság bármely két satírozott mez középpontja között több mint 2. a) Adj példát jó satírozásra 7 satírozott mez esetén! b) Bizonyítsd be, hogy nem lehet 7-nél több satírozott mez! (S. Fomin, 5 pont) 6. Az ABCDEFGH konvex nyolcszögnek minden bels szöge egyenl, AB = CD = EF = GH, valamint BC = DE = FG = HA. (Az ilyen nyolcszöget félszabályosnak nevezzük) Az AD, BE, CF, DG, EH, FA, GB és HC átlók részekre osztják a nyolcszöget. Tekintsük azt a részt, amelyik a nyolcszög középpontját tartalmazza. Ha ez a rész is nyolcszög, akkor ez a nyolcszög is félszabályos (ez nyilvánvaló). Ekkor megint megszerkesztjük az átlókat a bels nyolcszögben, megint nézzük a középpontot tartalmazó részt és így tovább. Ha valahány lépés után a középpontot tartalmazó alakzat nem nyolcszög, akkor az eljárás leáll. Bizonyítsd be, hogy ha sosem ér véget az eljárás, akkor az eredeti nyolcszög szabályos volt! (A. Tolpygo, 8 pont) 7. n gyerek akar elosztani m darab azonos nagyságú csokoládét egyenl részekre úgy, hogy egyik csokoládé sincs eltörve egynél többször. a) Milyen n-re lehetséges ez, ha m = 9? b) Milyen n és m esetén lehetséges ez? (Y. Tschekanov, 5+7 pont) JUNIOR, tavasz, els forduló. A hónap elején egy boltnak 0 különböz eladnivaló áruja van, azonos árakkal. Minden nap, minden egyes áru ára vagy megduplázódik, vagy megtriplázódik. A következ hónap elejére minden ár különböz lesz. Bizonyítsd be, hogy a legnagyobb és a legkisebb ár aránya nagyobb, mint 27! (D. Fomin és Stanislav Smirnov, 3 pont) 2. Az ABCD trapézban a BC és AD oldalak párhuzamosak, AC = BC + AD, és az átlók közti szög 60º. Bizonyítsd be, hogy AB = CD! (Stanislav Smirnov 3 pont) 3. Frednek, az éremgy jt nek van néhány pénzérméje. Egyiknek sem nagyobb az átmér je 0 cm-nél. Fred minden pénzérméjét egy cm alapterület dobozban tartja. Egy 25 cm átmér j érmével leptük meg. Bizonyítsd be, hogy Fred bele tudja rakni az összes pénzérméjét egy cm alapterület dobozba! (Fedja Nazarov, 3 pont) 4. Egy körvonalat 7 körcikkre osztottunk. Bármely két szomszédos középponti szög összege maximum 03º. Mekkora annak az szögnek a legnagyobb értéke, amire bármelyik középponti szög nagyobb mint? Mutassuk meg, hogy ez valóban a maximális. (A. Tolpygo, 5 pont) 45/66

8 JUNIOR, tavasz, második forduló. Egy n számból álló (n > 2) halmazt zsúfoltnak hívunk, ha minden eleme kisebb, mint a halmaz elemeinek összege osztva n--gyel. Legyen {a, b, c, } egy zsúfolt számhalmaz, elemeinek összege S. Bizonyítsd be, hogy a) a halmaz minden eleme pozitív, b) mindig igaz, hogy a + b > c, c) mindig igaz, hogy a + b S / (n ). (Regina Schleifer, pont) 2. Tekintsük az ABC derékszög háromszöget, ahol A a derékszög csúcs és AC > AB. Legyen E és D rendre az AC-n és BC-n úgy, hogy AB = AE = BD. Bizonyítsd be, hogy az ADE háromszög akkor és csak akkor derékszög, ha az AB:AC:BC arány 3:4:5. (A. Parovan, 6 pont) 3. Legyenek n, m és k természetes számok, ahol m > n. Melyik szám a nagyobb: n + m + n +..., vagy m + n + m +...? Megjegyzés: Mindkét kifejezés k darab négyzetgyökjelet tartalmaz, n és m pedig váltakozik. (N. Kurlandchik, 6 pont). Legyen a P pont az ABC háromszög körülírt körén. Vegyünk fel egy olyan tetsz leges A B C háromszöget, aminek az A B, B C és C A oldalai rendre párhuzamosak a PC, PA és PB szakaszokkal, és húzzunk párhuzamosakat A -en, B -en és C -en keresztül rendre BC, CA és AB oldallal. Bizonyítsuk be, hogy ez a három egyenes egy pontban metszi egymást az A B C háromszög körülírt körén! (V. Prasolov, 0 pont) 2. Adott 50 ezüstérme súly szerint sorba rendezve és 5 aranyérme szintén súly szerinti sorrendben. Bármely két érme súlya különböz. Egy kétkarú mérleggel két érme súlyát összehasonlíthatjuk. Hogy található meg a középs súly (ami az 5. helyen van, ha a 0 érmét súly szerint sorba rendezzük) 7 méréssel? (A. Andjans, 0 pont) 3. Egy kört n körcikkre osztottunk fel. Néhány körcikken gyalogok vannak, összesen n + -en. Ez a helyzet a következ képpen változik: valamely két gyalog, akik ugyanazon a körcikken vannak, egyszerre szomszédos mez re lépnek különböz irányban. Bizonyítsd be, hogy néhány ilyen lépés után elkerülhetetlenül el áll egy olyan helyzet, amikor legalább a körcikkek felében van gyalog. (D. Fomin, 2 pont) SENIOR, sz, els forduló. Egy szögön belül két kör fekszik, A és B középponttal. Érintik egymást és a szög mindkét szárát. Bizonyítsuk be, hogy az AB átmér j kör a szög mindkét szárát érinti. (V. Prasolov, 3 pont) 2. lány és n fiú gombászni ment. Összesen n 2 + 9n - 2 darabot találtak, minden gyerek ugyanannyit. Kik vannak többen, a fiúk vagy a lányok? (A. Tolpygo, 3 pont) AD AB 3. A D pont az ABC háromszög AB oldalán fekszik, és =. Bizonyítsuk, hogy a C- DC BC nél lév szög tompaszög. (S Berlov, 3 pont) 4. Egy körre harminc számot írunk. A = B C, ahol A bármely a körön lév szám, B és C pedig az A-t követ számok a körön az óramutató járásával megegyez irányban. A körön lév harminc szám összege. Mik a körön lév számok? ( 3 pont) 46/66

9 SENIOR, sz, második forduló. Az ABCD húrnégyszögben BC = CD. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög területe egyenl ( AC) 2 sin 2 BAD. (D. Fomin, 6 pont) 2. Fel lehet-e osztani a síkot sokszögekre úgy, hogy mindegyik sokszög 360/7 fokos forgásszimmetriával rendelkezzen? A sokszögek minden oldala legyen cm-nél nagyobb! (Legyen sokszög a sík egy olyan része, melyet önmagát nem metsz zárt töröttvonal határol, és nem feltétlenül konvex.) (A. Andjans, 8 pont) 3. Elhelyezhet -e 8 darab 99-nél kisebb, egymástól különböz pozitív egész szám egy 9 9- es tábla mez iben úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban megegyezzen a számok szorzata? (N.B. Vasziljev, 8 pont) 4. A juniorok 4. feladata. Itt 6 pont. 5. Legyen M az ABC háromszög súlypontja. M körüli 20 fokos forgatással B pont P-be, M körüli 240 fokos forgatással C pont Q-ba megy át. Bizonyítsa be, hogy APQ egyenl oldalú háromszög vagy A, P és Q egybeesnek. (Bykovszky, Kabarovszk, 8 pont) 6. Egy számtani sorozat, melynek különbsége nem egyenl 0-val, természetes számokból áll. Egyik szám sem tartalmaz 9-est. a) Bizonyítsa be, hogy a tagok száma kevesebb, mint 00. b) Adjon példát ilyen sorozatra 72 taggal! c) Bizonyítsa, hogy a tagok száma nem haladja meg a 72-t, ha a sorozat a fenti tulajdonságú. (V. Bugajenko, Tarasov, pont) 7. A juniorok 7. feladata. SENIOR, tavasz, els forduló. A juniorok. feladata. 2. Egy háromszög oldalai 3, 4 és 5 egység. Mindegyik oldalt meghosszabbítjuk, míg el nem metszi a szemközti szög küls szögfelez jét. Így három új pontot kaptunk. Igazoljuk, hogy ezek egyike a másik két pont által meghatározott szakasz felez pontja. (V. Prasolov, 3 pont) 3. Legyen O egy szabályos n-szög középpontja, melynek csúcsai rendre A,..., A n. Legyen a >a 2 > >a n >0. Bizonyítsuk be, hogy az a OA + a 2OA a n OAn vektor nem egyenl a nullvektorral. (D. Fomin, A. Kiricsenko, 4 pont) 4. 0 számot helyeztünk el egy körön. Összegük 00. Bármely 3 szomszédos szám összege legalább 29. Találja meg azt a minimális A-t, aminél bármely ilyen sorozatra igaz, hogy a 0-es sorozat egyik tagja sem nagyobb A-nál. Bizonyítsuk be, hogy A értéke tényleg minimális. (A. Tolpygo, 4 pont) 47/66

10 SENIOR, tavasz, második forduló. Bizonyítsuk be, hogy az egész számok szorzata ( ) -t l (2 99 ) -ig nem négyzetszám. (V. Senderov, 6 pont) 2. Legyenek a és S egy egységsugarú körbe írt szabályos háromszög oldalhossza és területe! A körbe 5 egyenl szakaszból álló zárt töröttvonalat írtunk, A A 2...A 5 A. Ebben bármely két szomszédos pont távolsága éppen a. Tekintsük a következ 5 háromszöget: A A 2 A 3, A 2 A 3 A 4,, A 49 A 50 A 5, A 50 A 5 A, A 5 A A 2. Bizonyítsuk be, hogy területeik összege legalább 3S. (A. Berzins, 6 pont) 3. Egy n n es táblázat i. sorának j. eleme legyen. Kiválasztunk n mez t úgy, hogy i + j minden sorban és oszlopban pontosan egy kiválasztott legyen. Mutassuk meg, hogy a kiválasztott mez kön álló számok összege legalább. (S. Ivanov, 8 pont) 4. Az A A 2 A 3, B B 2 B 3, C C 2 C 3 háromszögek súlypontjai egy egyenesen vannak. A háromszögek csúcsai között nincs három egy egyenesen. Tekintsük mind a 27 háromszöget, melyeknek egy-egy csúcsát rendre az els, második és harmadik háromszögb l választottuk. (A i B j C k típusúak.) Igazoljuk, hogy ez a 27 háromszög két csoportra osztható úgy, hogy a területösszeg mindkett ben ugyanannyi legyen. (A. Andjans, 8 pont) 5. Adott 00 ezüstérme súly szerint sorba rendezve és 0 aranyérme szintén súly szerinti sorrendben. Bármely két érme súlya különböz. Egy kétkarú mérleggel két érme súlyát összehasonlíthatjuk. Hogy található meg a középs súly (ami az 0. helyen van, ha a 20 érmét súly szerint sorba rendezzük) a lehet legkevesebb méréssel? Igazoljuk, hogy ennél kevesebb mérés nem elegend. (A. Andjans, 2 pont) 6. Az n és b természetes számokhoz legyen V(n,b) azon szorzatoknak a száma, melyeknek értéke n és minden tényez jük nagyobb, mint b. Például 36 = 6 6 = 4 9 = = 3 2, tehát n V(36,2)=5. Mutassuk meg, hogy V ( n,b) < minden n és b értékre. b (N.B. Vasziljev, 2 pont) JUNIOR, sz els forduló. 0 sakkozó mindegyike már több bajnokságban is indult. Egyik bajnokságban sem vettek részt mindannyian. A 0 játékos közül bármely kett pontosan egyszer indult ugyanabban a bajnokságban. Igazoljuk, hogy van köztük olyan, aki legalább bajnokságban indult. (Minden bajnokságban mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszik.) (A. Andjans, 3 pont) 2. Egy paralelogramma minden oldalán választunk egy tetsz leges pontot. A közös csúcsú (szomszédos) oldalakon lev pontokat összekötjük. Igazoljuk, hogy a paralelogramma csúcsainál így keletkez négy háromszög köréírt köreinek középpontjai paralelogrammát alkotnak. (ED Kulanin, 3 pont) 3. Mutassuk meg, hogy minden pozitív egész M-nek létezik olyan többese, melynek jegyeinek összege páratlan. (D. Fomin, 3 pont) 4. a) Az ABC háromszögben az A-nál nagyobb szög van, mint B-nél. Mutassuk meg, hogy BC nagyobb, mint AB-nek a fele. b) Az ABCD konvex négyszögben az A-nál nagyobb szög van, mint C-nél, a D-nél nagyobb szög van, mint B-nél. Mutassuk meg, hogy BC nagyobb, mint AD fele. (F. Nazarov, 2+3 pont) 48/66