Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Jegyzet ELE, Iformata Kar

Hegedős: Numerus Aalízs ARALOM Gép szám, hbá 3 Normá, egyelıtlesége 9 3 A umerus leárs algebra egyszerő traszformácó 6 4 Mátro LU-felbotása, Gauss-Jorda algortmus 5 Az LU-felbotás tuladosága, specáls verze 7 6 Gram-Schmdt ortogoalzácó, QR-felbotás 3 7 Az algebra saátértéfeladat 36 8 A legsebb égyzete módszere 46 9 Ortogoáls polomo 5 Leárs egyeletredszere megoldása terácóval 55 A Lagrage terpolácó és hbáa 6 A polom-terpolácó tuladosága 64 3 Iterált terpolácó (Nevlle, Ate, Newto) 67 4 Newto- és Hermte-terpolácó 7 5 Iterpolácó sple (doga-) függvéyeel 76 6 Nemleárs egyelete megoldása I 8 7 Nemleárs egyelete megoldása II 89 8 Numerus tegrálás (vadratúra) I 9 9 Numerus tegrálás, Gauss-vadratúrá II 97 Közöséges dfferecálegyelete

3 Gép szám, hbá Áttetü a gép artmeta éháy ellegzetességét és szemügyre vesszü a számításoat terhelı hbafatáat A gép számo A gép számo leggyarabba -es alapú (vagy bárs), elıeles ormalzált számo, így elsısorba ezeel fogu foglaloz Alau ± = ± m elıel, t db bárs egy տ tevı () A emzérus matssza mdg -gyel ezdıd, ematt 5 m <, m Ha az alap em, aor a -es és a 6-os (headecmáls) számo fordula még elı a gyaorlatba A bárs gép számo halmazát elöle M ( t,, + ), ahol t a matsszahossz, a legsebb tevı, pedg a legagyobb tevı Az általu haszált PC-be, - személy számítógépebe a szmplapotos szám 4 bát = 3 bt területet foglal el a memórába és az egyes fucó osztása a övetezı: + 8 3 bt ut az elıelre, 8 bt a tevıre és 3 a matsszára Eze számo potossága b 7 decmáls egye felel meg ( 3log 693, azaz b 3-del szorzadó a bte száma) és a agyságred 38 38 -tól -g teredhet A duplapotos (étszeres potosságú) számo 64 bte helyezede el: 5 elıel: bt, tevı bt és a matsszahossz: 5 bt Most a potosság b 5 decmáls egy, és az 37 ábrázolható számo agyságrede 37 -tıl -g tered Egyes programyelve megeged a égyszeres potosságú számoat s A orét megvalósításba haszálható, hogy a emzérus matssza elsı bte mdg, ematt elhagyható Ezzel a fogással még plusz bthez lehet ut, ame eletısége az artmeta tuladoságaa avításába va Eor vszot meg ell tud ülöböztet a zérust 5-tıl Erre többféle lehetıség va, hsze zérus matssza mellett a tevı bte etra formácót hordozhata Az ge agy abszolút értéő, a gép számoal em ábrázolható számo elölésére s lehet alaíta egy bt-ombácót A már em ábrázolható agy számora a elet fogu haszál Szoás még az NaN elölés: ot-a-umber : em szám, értsd: em gép szám Egyes programyelvebe ezt apu eredméyül, ha zérussal próbálu oszta Ha NaN-el ezutá bármlye artmeta mőveletet végzü, az eredméy NaN, mégha zérussal szoroztu, aor s Nevezetes gép számo A legsebb poztív matssza: ½ A legagyobb matssza: legsebb poztív szám: ε = = / t db -es t = M ( t,, + ) -ba a

Hegedős: Numerus Aalízs 4 A más evezetes szám ε, az a legsebb poztív szám, amelyet -hez hozzáadva -él agyobb gép számot apu: + ε = +, e ε t + = A legagyobb ábrázolható szám: + + t M = ( ) = ( ) A legsebb szám ee a egatíva Például legye a gép számo halmaza M (5, 4,3) Eor a legagyobb matssza: = 5, a 4 5 legsebb matssza ½ Az elsı poztív gép szám: ε = / = Az utá övetezı elsı gép szám távolsága -tıl: 5 3 = ( ) = 8 / 4 + t+ 4 t = = A legagyobb ábrázolható szám: M ( ) ε 3 Valós számo overzóa gép számmá = = A övetezı érdés: a valós számoat hogya alaítsu át gép számoá Az ezt megvalósító put függvéyt fl -lel elölü (a floatg pot umber feezés ezdıbető), fl : R M Megadása a övetezı:, ha > M fl( ) =, ha < ε, -hez legözelebb gép szám, ha ε M ahol az -hez legözelebb gép szám a ereítés szabálya szert értedı Például alaítsu át 87-et 8-egyő bárs számmá Ezt célszerőe úgy tesszü, hogy az egész részt -vel osztu, és egyezzü a maradéoat A sorredet megfordítva apu a bárs egyeet A tört részt -vel szorozzu A övı egész részt em szorozzu tovább, haem bárs egyét megırízzü Az utolsó egyet már abból meg tudu állapíta, hogy a tört rész sebb-e 5-él Ha sebb, az adódó egy, egyébét 87 5 74 = 87 = 48 96 Kaptu: 87 = Ez em ereítéssel, haem csoítással apott eredméy A ereített szám megállapításához még egy egyet meg ell határoz Ha a övetezı egy, aor az utolsó bárs egyhez -et adu, egyébét változatlaul hagyu Esetübe a övetezı (leced) egy, így a ereített érté: Ha 87-et az elıbb példába szereplı M (5, 4,3) halmazra íváu leépez az fl függvéyel, aor fl(87) =, mert M < 87 Gyaorlat Legye a gép számo halmaza M (5, 4, 4) Határozzu meg a evezetes számat! M lesz a övetezı számo leépezése a halmazba: /5, 37, 367, 7, 78? Gyaorlat Hogya overtálá 87-et 3-as alapú számredszerbe? Feltesszü, hogy -et potosa smerü Eor fl( ) hbáa a övetezıépp becsülhetı:, ha > M fl( ) ε, ha < ε ε M, ha ε M (), (3) ahol / ε t M = ε = a gép epszlo, ez ada az ε és M özé esı szám ábrázolásáa relatív hbáát Itt az elsı sora csa elzés értée va A másod sor ömagáért beszél, egyedül a harmad

sor ívá ém magyarázatot Azt feez, hogy az ábrázolt szám hbáa em agyobb, mt a t -ed bárs egybe elövetett hba A harmad sor átredezése a relatív hba orlátát ada: 5 fl( ) ε (4) M A relatív hba megállapításaor elég a matssza hbáát tete, mert a tevı osztásor es A ereítésor a matsszába elövetett hba legfelebb t A relatív hbááa felsı orlátát úgy apu, hogy a lehetséges legsebb poztív matssza-értéel osztu: ½-vel Így apu eredméyül = t -t ε M 3 Gyaorlat Hogya módosula a gép epszlo, ha a ereítés helyett csoítást alalmazá? 4 A gép artmeta Vaa gép száma, a övetezı érdés, hogy mlye tuladoságú lesz a lebegıpotos számoal megvalósított gép artmeta A övetezı számpéldába a tízes alapú számredszert fogu haszál, ahol va égy decmáls együ és a tevı elıeles étegyő szám lehet Eze gép számo halmazát egyszerőe M -mel fogu elöl Jelölés: 543 = 543 + A gép artmetába em lesz gaz mde, amt a valós számtestbe megszotu Az alábbaba felsorolu lye eltéréseet: Létezhet emzérus a, b M, amelyre a + b = a Ez a számo eltérı agyságrede matt lehetséges Például adu össze a övetezı számoat: 346 + és 454 3: 346 + 454 + 346 + Létezhet a, b, c M, amelyre ( a + b) + c a + ( b + c) Például de elıször a ét cs számot összeadva 346 + 346 + 454 + 387 + 346 + 346 + 387-346 + 454-8386 + 8386-346 + Ez arra t, hogyha so számot összegzü, aor az abszolút érté szert csel érdemes ezde Létezhet a, b, c M, amelyre ( ab) c a( bc) Például (45 +6 434 58) 436 54 = 537 +3 436 54 = 343-5, míg a más záróelezés szert a másod és harmad szám szorzata sebb, mt a legsebb ábrázolható gép szám, így ez a szorzat zérus, am a teles szorzatra zérus eredméyt ad Így, ha so számot ell összeszorozu, még agyobb godossággal ell eláru, mert öye erülhetü abba a helyzetbe, hogy az eredméy, vagy valamely rész-szorzata ívül es a számábrázolás tartomáyá Ha az eredméy túl agy, vagy túl cs, aor egy lehetıség a godo csöetésére az eredméy logartmusát számol Összevoás utá az eredméy relatív hbáa eletıse megıhet Például

Hegedős: Numerus Aalízs 6 4693 + 468 + + am egyelı +-val Látu, tt már csa az elsı ét egy potos Ezt eleséget voás egyvesztesége evezzü Néha adható fogáso a voás egyveszteség elerülésére vagy csöetésére, pl ha 347 347 -et így számítu, haszálva, hogy a gyö alatt egész számo vaa: ( 347 347)( 347 + 347) = 347 + 347 347 + 347 A másodfoú egyelet gyöet pedg az alább módo célszerő számíta: p + q = gyöe: = p + sg( p) p q, = q / Elıfordulhat olya eset, amor a özbülsı eredméy túlcsordul (agyobb mt M ), ematt rossz a program futása, pedg a végeredméy az ábrázolható számo özt va Például legye a = 365 + 6, b = 567 + és számítadó a + b Az elsı szám tevıe égyzetre emelésor, így túlcsordult számot apu Ha vszot s = ma( a, b ), aor ez em övetez be s ( a / s) + ( b / s) -et számítu, ahol Néha arra s számíta ell, hogy egy függvéy em ada olya potossággal vssza a helyettesítés értéet, mt amlye potossággal dultu Például tetsü a s függvéyt Ha az argumetum cs, aor cs semm ba Ha azoba értée agy, például = 356, aor s(356) számításaor 356 π -vel vett osztás maradéát ell veü A maradéba már csa egy lesz potos ha a fet artmetát haszálu, így az eredméyél sem remélhetü agyobb potosságot A mutatott példá alapá megállapíthatu, hogy a gép artmeta emváatos elesége elsısorba aor öveteze be, ha a számo özött túl agy a agyságred ülöbség, vagy egymáshoz agyo özel számoat vou egymásból 5 Hbá Az géyes számításoál arra s vácsa vagyu, hogy az eredméyt mlye potosa tudtu elıállíta Ehhez számba ell ve a lehetséges hbafatáat Az elsı a dulásul haszált adato örölött hbáa, evezhetü ezt adathbáa s Lehet, hogy a számítás sorá magu s tévedü, ezt godos elleırzéssel magua ell felfedezü és avítau A éplethba az alalmazott módszerhez tartoz A ereítés hbá részbe beövetezhete a éz számítás, adatelıészítés sorá, de a gép artmetáa s mdg va lye hbáa A hbaelemzés sorá fel ell smerü, mely az a hbafata, am az adott feladat szempotából léyeges So olya számítás va, amor az adathba, vagy a éplethba elet a fı hbaforrást Az adathbát soszor csa tudomásul vehetü, de a éplethbát esetleg csöethetü potosabb módszer alalmazásával A hbaszámítás alapmodelle szert a özelítı értéeel apott potos számítás eredméyét özelítése tetü és azt vzsgálu, meora a hbáa Jelölése Az meység potos értée, hbáa: =, ahol elıeles szám A relatív hba δ = / / Itt megegyezzü, hogy egyes szerzı a relatív hbát a potos értéel defálá, tehát az tt látható másod formulát haszálá A m választásu tudomásul vesz, hogy a potos értéet em smerü A hbaorlát egy emegatív szám, amellyel felülrıl becsülü a hba abszolút értéét: Hasolóépp δ a relatív hbaorlát, amelyre δ δ

4 Gyaorlat Mutassu meg, hogy a relatív hba étféle megadása özött a ülöbség másodredő: ( ) / δ = δ /( δ ) δ = δ /( δ ) A valóságba a hogy az érté valamely hbát em smerü, csa aa felsı orlátát Ematt dulásul ayt tudu, -sugarú öryezetébe va A hbaalízs szempotából fotosa az alapmővelete, +,,*,/ hbá Alább a baloldal összefüggése a hbára, a obboldala pedg a hbaorlátora voatoza: ( ± y) = ± y, = +, ± y y ( y) = y + y, = + y, y y y y y + y ( / y) =, / y = y y A hbaformulá hasoló módo származtatható, mt az összeg-, szorzat-, és háyadosfüggvéye dfferecálás szabálya Ie az s látható, hogy a formulá csa aor tethetı óa, ha a hbá valóba cs, és a másodredő hbatago elhayagolható A obboldal formulá a baloldalaból öveteze, aárcsa az alább, relatív hbára voatozó feezése: 7 (5) δ ± yδ y δ + y δ y δ ( ± y) =, δ ± y =, ± y ± y δ ( y) = δ y + δ, δ = δ + δ, y y δ ( / y) = δ δ y, δ = δ + δ / y y (6) A függvéyértée hbáa Legye f : Eor a Lagrage özépérté-tétel szert létez ξ [, ], amelyre R R legalább étszer folytoosa dfferecálható függvéy ( ) f ( ) = f ( ) + f ( ) + f ( ξ ) / Ie a másodredő csy utolsó tag elhagyásával a függvéyérté hbáa: f ( ) f ( ) = f f ( ) (7) Legye ma f ( ) = M, ezzel f = M, ahol vegyü tetetbe, hogy a becslés egy [, + ] sugarú öryezetére voatoz A relatív hbára apu: Az abszolút értéere áttérve: f f ( ) f ( ) δ f = = δ f ( ) f ( ) f ( ) δ f c( f, ) δ, (8) ahol a c( f, ) = f ( )/ f ( ) számot az f függvéy potbel odcószámáa evezzü Ha ez a szám agy, aor a függvéyt stabla, vagy gyegé meghatározotta evezzü, mert az argumetum csy megváltozása agy függvéyérté-megváltozást eredméyez úl agy odcószám mellett a gép számo ereítés hbá s elvselhetetleül agy végsı hbához vezete Az (7) és (8) összefüggése sugallá a övetezı stabltás fogalmat: egy algortmus stabl, ha ét bemeı érté:, és a hozzáu tartozó meı értée, f, f özött feáll egy f f C,, X (9)

Hegedős: Numerus Aalízs 8 típusú összefüggés, ahol C az algortmus adatatól függetle em túlságosa agy álladó Vegyü észre, tt, f gép számo, egy véges halmaz eleme Fotos még az verz stabltás fogalma Egy leépezés verz stabl, ha az eredméy egy ssé perturbált ezdetértébıl potos számítással megapható

9 Normá, egyelıtlesége Ebbe a szaaszba vetoro és mátro özött távolságfüggvéyeet fogu bevezet Metrus tér Legye X egy halmaz, amelye eleme özt bevezetü egy távolságfüggvéyt : ( ) Azt íváu, a, b X -re redelezze a övetezı tuladoságoal: δ X X R ) δ ( a, b) = δ ( b, a), azaz a legye olya távolságra b -tıl, mt b a -tól (szmmetra) ) δ ( a, b) = a = b, a távolság csa aor legye zérus, ha a ét elem azoos ) δ ( a, c) δ ( a, b) + δ ( b, c), a háromszög-egyelıtleség Azt feez, hogy ét pot özött legrövdebb út az egyees m Eor a ( δ, X ) párt metrus tére evezzü A övetezıbe X gyaát az R és R halmazo erüle szóba, azaz vetoro és mátro özött fogu távolságfüggvéyeet észíte Ez a δ em lehet egatív értéő, mert = δ ( a, a) δ ( a, b) + δ ( b, a) = δ ( a, b) övetezméy A vetoro hatváyormáa A vetor ormáa : R R a övetezı tuladoságoal redelez: ) = =, ) λ = λ, ) + y + y () Eor a δ (, y) = y választás metrát ad, mert a ívát tuladoságo telesüle Az elsı ét feltételt trválsa elégít a hatváyorma: a harmadat ésıbb fogu belát / p p =, p, p () = β y y= p- A Hölder-egyelıtleség A hatváyormára feáll a Hölderegyelıtleség: y y y, + =, (3) p q p q = α am p = q = -re a ólsmert Cauchy-Buyaovsz egyelıtleségbe megy át A p és q özött összefüggés átredezhetı a p = /( q ) alaba, amt szem elıtt tartva öye belátható az alább p egyelıtleség Az alalmazott függvéy y =, az elsı tegrál a függılegese, a másod a vízsztese satírozott területet elet:

Hegedős: Numerus Aalízs Ezutá az α β p q d y dy p q α β αβ + = + p q α =, β = p y y q helyettesítéssel és az szert összegzés elvégézésével apu (3) obb oldal összefüggését () harmad összefüggése, a háromszög-egyelıtleség úgy látható be, hogy p / q = p szem elıtt tartása mellett a p p p p { } = = + y = + y + y + y egyelıtleség obb oldaláa mdét tagára alalmazzu a Hölder-egyelıtleséget Eor az elsı tagra a övetezı eredméy adód: / q p ( p ) q p / q + y + y = + y, p p p = = és a más taggal s hasoló eredméyre utu, a ettıt együtt redezve apu a vát egyelıtleséget, amt általáosa a p de mellett a Mows-egyelıtlesége evezü 3 A hatváyormá éháy tuladosága A hatváyormára telesül: hsze ez az összefüggés átredezhetı a alaba Ha tt, p, s, (4) + p s p+ s p p = = = p s / p, = ma aor a obb oldal elsı téyezıe tagról tagra agyobb vagy egyelı a bal oldalál, a másod téyezı vszot bztosa em sebb -él A fotosabb hatváyormá a övetezı: = = Ez az -es vagy otaéder orma, mvel a 3-dmezós térbe az azoos ormáú vetoro egy olya otaédere helyezede el, amelye csúcspota az {( ±,, ),(, ±, ),(,, ± ) } vetoro az vetor euldész, ettes vagy gömbormáa A p határesetbe adód = = /

p / p p = ma = ma lm = ma a Csebsev-, -, vagy oca-orma Mt látu, (4) alapá tt a legagyobb és legsebb hatváyormá szerepele, továbbá az ortogoáls traszformácóal szembe varás -es orma Ezere a ormára a defícó alapá levezethetı a övetezı egyelıtlesége: 4 Kovergeca ormába A ormá evvalecáa A orma alalmas arra, hogy segítségével egy vetorsorozat overgecáát értelmezzü Eze ( ) ( ) alapá alatt azt értü, hogy R, lm = Az és ormáat evvalese evezzü, ha c () (), c > úgy, hogy c c () () () 65 étel (bzoyítás élül): Végesdmezós vetortérbe bármely ét orma evvales Ez azt elet, hogy a ormá aármeyre em ülöbözhete egymástól Így mdegy, mlye ormába vzsgálu a overgecát 5 Mátrormá,, (5) A mátr ormáa A : m R R a övetezı tuladoságoal redelez: ) A = A =, ) λ A = λ A, ) A + B A + B, v) AB A B (6) Az utolsó ét tuladoságot aor övetelü meg, ha a ét mátr összeadható vagy összeszorozható Mvel a vetoro specáls mátroa tethetı, mde mátrorma meghatároz egy vetorormát, amelyet a mátrormával ompatbls vetorormáa evezü Ez az út fordítva s beárható, ugyas mde vetororma duál egy mátrormát a övetezıéppe: A A = sup = sup A, (7) = ahol vetororma Csa megegyezzü, az általáosabb defcóba megegedhetı, hogy más ormá szerepelee a számlálóba és a evezıbe A (7) defícó egyees övetezméye 6 étel Az duált mátrorma eleget tesz a (6) feltételee Bzoyítás Ad A = A = A = A = re A = A A (8)

Hegedős: Numerus Aalízs Ad λ A = sup λ A = λ sup A = λ A = = A + B = sup ( A + B) sup A + B A + B Ad 3 { } = = Ad 4 R, = : AB = AB A B A B 7 Az duált mátrormá meghatározása p =, oszloporma: A = ma Ae = ma a (9) ( ) ( ) = Legye =, eor A = a a = a = = = = = = ( ) ma a = ma Ae m m m m m = ( ) Ezt a felsı orlátot valamely = ( ) találtu meg p =, sororma: Legye =, eor ( ) ( ) ( ) = e -ra el s ér, így a mamumot A = ma e A = ma A e = ma a () ( ) ( ) ( ) = = együ fel, a = A = ma a ma a ma a mamum a -ad sorra övetezett be Eor = és A éppe a megállapított felsı orlát az = = a / a p =, spetrál orma: Eor a övetezı mamumot eressü: Az tt látható háyados az vetorral, ahol a felülvoás omple ougáltat elöl A A ( ) ( λ ) / A A = ma ( ) () A A A = ma = ma A A mátrra voatozó Raylegh-háyados Ha λ saátértéel, aor u Raylegh háyados legagyobb értée legalább λma ma λ A A egy saátvetora u λ lesz Ie vlágos, a = választással a Raylegh-háyados értée éppe = Megmutatu, agyobb értée em lehet udu, a szmmetrus mátr saátvetora teles ortoormált redszert alota, így bármely vetor fethetı = α u alaba Ezt helyettesítve a Raylegh-háyadosba, a ülöbségre apu: λ ma = am mutata, hogy a mamumot találtu meg λ α ( λ ma λ ) α = = α α = = A A = λma =, 8 A spetrálsugár és az duált ormá összefüggése Egy mátr spetrál sugara alatt a övetezıt értü:

3 ρ( A) = ma λ ( A), () ahol λ ( A) az A mátr saátértée Az A mátrorma és az vetororma lleszedı, ha bármely -re eleget tesze a (8) összefüggése Ez utóbb defícó arra az esetre szól, amor a vetororma em ompatbls, vagy a mátrorma em a vetorormából duált, mert ülöbe az lleszedés trváls Igaz az összefüggés: ρ( A) A, (3) ahol A tetszıleges orma, mert Au = λ u, u = mellett a vetorora s ugyaazt a mátrormát alalmazva λ u = λ = Au A u = A, -ra A (3) relácó aor s gaz, ha olya mátrormá va, am csa égyzetes mátrora va defálva Eor az Au u = λ u u feezést épezve lehet a bzoyítást megsmétel 9 A leárs egyeletredszer megoldásáa perturbácó Két esetet fogu megvzsgál Az egy, amor az egyeletredszer b obboldalát perturbálu egy s δ b vetorral, a más, amor az együtthatómátr perturbácóát vzsgálu Az elsı esetbe A( + δ ) = b + δ b -bıl övetez Aδ = δ b és lleszedı ormá eseté apu a becslést: A A δ b δ δ b A A (4) b b Az eredet és a perturbált értéere voatozó egyeletebıl b = A = A b, δ δ, b A A b, δ δ A apott egyelıtlesége azoos oldalat összeszorozva apu (4) obboldal összefüggését A baloldalt ugyaígy apu, csa a mátrot a más oldalra redezzü az duló egyeletebe: = A b δ b = Aδ,,, A b δ b A δ 9 Lemma Ha B <, aor I + B vertálható és duált ormára érvéyes ( I B) + (5) B Az elızı szaaszba látott orma és spetrál sugár összefüggése szert most B spetrál sugara sebb -él, így mde saátértée s sebb, azaz em lehet I + B egy saátértée sem ahoa ( I B) B ( I B) ( I + B) = ( I + B B)( I + B) = I B( I + B) + + +, és átredezéssel apu az állítást,

Hegedős: Numerus Aalízs 4 Ha az együtthatómátrot perturbálu δ A -val: ( A + δ A)( + δ ) = b ( A + δ A) δ = δ A δ = ( I + A δ A) A δ A, e apu a becslést: δ δ A δ A ( δ ) I + A A A A A A, A A A δ A (6) az utolsó lépésbe felhaszáltu az elıbb lemmát A mátr odcószáma Az elıbb becslése azt mutatá, hogy a megoldás relatív megváltozása aráyos a cod( A) = A A számmal, ezért ezt a számot a mátr odcószámáa evezzü Szoás még a κ ( A) elölés haszálata s Ha az egyeletredszer együtthatómátráa odcószáma agy, aor az egyeletredszert gyegé meghatározotta evezzü A relatív maradé A δ / szám em ellemz a megoldó módszer stabltását, mert a megoldó módszertıl függetleül agy lehet, ha cod( A ) agy Erre a célra alalmasabb a maradévetor együ fel, az ɶ özelítı megoldást aptu, eor a maradévetor: r = b Aɶ, amt szoás még rezduum vetora s evez A relatív maradéot a övetezı formulával észítü: r η = (7) A ɶ A stabltás verz megfogalmazása szert a megoldó módszer stabl, ha a apott eredméy egy ssé A + δ A ɶ = b, ahol δ A / A cs perturbált duló eredméyhez tartoz: ( ) Meg lehet mutat: ha η agy, A / A r δ A ɶ Ezt η feezésébe írva δ s agy Ugyas ( δ ) = b A + A ɶ = r δ Aɶ, ahoa η = r A ɶ δ A A Másrészt, ha η cs, aor -es ormába a mátr relatív megváltozása s cs Ugyas megoldás rɶ rɶ δ A =, mert b A b A r + ɶ = ɶ = ɶ ɶ ɶ ɶ δ A r Eor -es ormába rɶ = r ɶ (l 5 gyaorlat), s ezzel = A A ɶ Gyaorlato Mutassu meg: duált ormára I = Ha A vertálható, aor A = A s vetororma 3 A mátr odcószáma duált ormáál em lehet sebb -él 4 -es ormáál az ortogoáls vagy utér mátro odcószáma δ A -ra (8)

5 5 6 ab = a b U U = I (ortogoáls) ab a b = AU = A = ab a b 7 A B A ± B 8 3 A =, A =? A =? A =? 4 9 A A A / Frobeus-orma: A a = = tr( A A ) = tr( AA ) F Igazolu, ez s mátrorma, de, em duált orma, I =? A A (A -es ormával lleszedı mátrorma) F F A = A, aor A mmáls orma ( U U = I (ortogoáls) = ρ( A) = spetrál sugár, azaz szmmetrus mátrora a spetrálorma a = spetrál orma) AU = A F F 3 AB = BA, ha A = A és B = B 4 cod ( A A) = cod ( A)

Hegedős: Numerus Aalízs 6 3 A umerus leárs algebra egyszerő traszformácó 3 Jelölése A mátroat lat agybetőel: A, B, C, a vetoroat lat sbetőel: a, b, c, elölü, véve az,,, l, m, betőet, amelyeet deebe fogu haszál A salárora görög sbetőet alalmazu Ha az A mátrot az a, a, oszlopvetoroból állítu össze, aor ezt így elölü: A = [ aa a ] A mátr egy más megadás formáa A = [ a ], eor az -ed elemet adu meg általáosa Az -edredő egységmátr I = [ e e e ], amely az e, e,, e Descartesegységvetoroat tartalmazza az oszlopaba A traszpoált elölése: a, omple esetbe a H traszpoált ougált elölése a 3 A mátro szorzása m l Az A = [ a ], B = [ b ] R R mátro összeszorzásáa eredméye a [ ] C = AB = c = m l = a b = R mátr A vetoro egy sorból vagy oszlopból álló specáls mátroa tethetı, szorzásu em elet úat Az alalmazásoba megülöböztetü a vetoro étféle szorzás módát Az egy a salárs szorzat, például a b, amelye eredméye egy salár A más a dadus szorzat, például ab, az eredméy egy -ragú mátr Vegyü észre, az elsı esetbe szüséges, hogy a vetoro hossza azoos legye, a másod esetbe em 3 Gyaorlat Íru fel egy dádot Idoolu meg, hogy a raga téyleg Hogya egyszerőbb egy vetort dáddal szoroz? a) Képezzü A = ab -t, mad A -et b) Elıször számítu b -et és ezzel a salárral szorozzu az a vetort A továbbaba rátérü specáls mátro smertetésére 33 Permutácó-mátr Úgy apu, ha az egységmátr sorat vagy oszlopat permutálu, ematt mde sor és oszlopba csa egy -es fordulhat elı, a több elem Az ábrázolásuhoz em szüséges a mátrot tölte, elég egy egész (számoból álló) vetor együ fel, egy mátr sorat cserélgetü és ezt szereté egy vetorba felegyez, am a permutácómátrot reprezetála Kezdetbe a vetor -ad eleme legye egyelı -val A cseré sorá ee a vetora az elemet cserélgessü ugyaúgy, mt a mátr sorat (mtha oszlopvetorét a mátrhoz csatoltu vola) Így a végé mdegy sorról meg tudu állapíta, hogy hova erült Ha például az elsı elem 5-ös, aor ez azt elet, hogy az ötöd sor az elsıbe erült 3 Gyaorlat etsü a Π = [ e, e4, e3, e ] permutácó-mátrot és elleırízzü, hogy az verze a traszpoálta! Ezt a téyt általáosa bzoyítsu be! Hogya tárolu a fet mátrot egy 4-elemő vetorba? 34 Dáddal módosított egységmátr A umerus leárs algebrába ülööse fotos szerepet átszaa az olya egyszerő mátro, amelye az egységmátrtól csa egy dádba ülöböze: F = I + ab (3)

Segítségüel a ülöféle leárs algebra traszformácó egyszerőe végezhetı, a beü szereplı a és b vetoro megválasztása mdg az eléredı céltól függ 7 Ee a mátra az verze öye meghatározható Feltételezve, hogy FF = I összefüggésbıl adód: /( α = + b a ), így F I ab = + α, az F ab b a I + (3) Az verz em létez, ha + b a =, ebbıl már sethetü, hogy a evezı em más, mt F determása 35 Példa Ha az egységmátrból vesszü az -ed oszlopot és a helyére betesszü az a vetort: Az verze: F = I + ( a e ) e ( a e ) e ( a e ) e F = I = I + e ( a e ) e a Az lye típusú mátro fotosa a leárs egyeletredszer-megoldó algortmusoál 33 Gyaorlat Elleırízzü: 36 Példa F a e = A övetezı mőveletet végezzü: az A mátr -ed oszlopát α -val szorozzu és hozzáadu a - ad oszlopához Íru fel azt a mátrot, amellyel szorozva A -t, pot ez törté! Megoldás A + α Ae e = A( I + αe e ) 34 Gyaorlat Az elıbb apott összefüggés segítségével bzoyítsu be, hogy a mátr determása em változ, ha egy oszlopáa számszorosát egy más oszlopához hozzáadu Haszálu fel a szorzatmátr determására taultaat! 37 Példa Igazolu, hogy az I + ab determás egyelı + b a -val! Megoldás Feltesszü, az a és b vetoro egye sem zérus, mert ülöbe a feladat trváls vola Legye az a vetor -ed eleme e a = a, és tetsü az I ( a / a ) e e mátrot Ee mde átlóeleme és az -ed oszlopába vaa még emzérus eleme De ezeet a emzérus elemeet az -ed sor valamely számszorosáa hozzáadásával lehet ulláz, ebbıl övetez, hogy a determása Most szorozzu az I + ab mátrot balról I ( a / a e ) e -vel Ez az a vetort az ae vetorba vsz, így az eredméy: I ( a / a ) e e + aeb, amely már csa az - ed sorába és oszlopába ülöböz az egységmátrtól Most szorozzu a apott mátr -ad oszlopát a / a -vel és adu hozzá a -ed ( ) oszlophoz (ld 36 Példa): a a a a e I ( e ) e + aeb I + ee = I e e + aeb + ab ee a a a Mt látu, az a vetor -ad eleme ullázódott, és az -ed átlóelem + ab + ab lett Ezt a mőveletet mde -re végrehatva az a / a vetor mde átló ívül eleme ullázód, az -

Hegedős: Numerus Aalízs 8 ed átlóelem + b a, a több pedg -gyel egyelı A övetezı fázsba az e, sorvetoroal az ullázhatu 38 Dádösszege, fetése aeb sorvetor emdagoáls elemet a determás megváltozása élül Az -edredő egységmátr felírható dádösszegét: aor a szorzatmátr dádösszeg-elıállítását apu: I = Ha ezt beíru ét mátr özé, e e = AB = Ae e B, = A oszlopa és B sora épez a dádoat, -ed oszlop és -ed sor 35 Gyaorlat: Íru ADB dádösszeg elıállítását, ahol D = [ d δ ] dagoálmátr, (csa a fıátló eleme emzéruso) udu, az -edredő vetor elıállítása az egységvetoro segítségével = e ( e ) Az elıállítás hasoló a { q } = ortoormált vetorredszerrel Ugyas vezessü be a Q = [ qq q ] mátrot Eor Q Q = I = QQ az ortoormáltság matt, tehát írható = = QQ = q ( q ) Az = lye tuladoságú Q mátroat ortogoáls (omple megfelelıe: utér) mátroa evezzü 39 Defícó Az { a } = és { b } = redszere bortogoáls vetorredszert alota, ha a b = αδ, α telesül bármely dere Ha a vetoro dmezóa, aor a redszer teles 36 Gyaorlat Az elıbb vetoroat győtsü az A = [ a, a,, a ] és B = [ b, b,, b ] mátrba Elleırízzü, hogy A B dagoálmátr! Eor az vetor hogya állítható elı az a vetoro leárs ombácóaét? És hogya fethetı a b vetoro segítségével? 3 étel, mátr egyszerő szorzatora botása Mde emszgulárs A R mátr felírható egyszerő mátr szorzataét, ahol egy téyezı egy permutácóból és egy I + ( a e ) e típusú tagból áll A permutácóra cs mdg szüség Bzoyítás Megadu az elárást Az elsı lépésbe vzsgálu meg az A mátr elsı oszlopát Ha az elsı elem a = e Ae, aor sorcserére cs szüség Ha az elsı elem zérus, aor az oszlopba eresü egy emzérus elemet, mad ee a sorát felcserélü az elsı sorral Ha az oszlop mde eleme zérus vola, aor em lee vertálható a mátr Az elsı permutácó mátrot elülü Π- gyel és legye A = Π A Most szorozzu A -et a = I ( A e e ) e / e A e mátrszal udu, ee eredméyeét az elsı oszlop e -be megy át és = I + ( A e e ) e A másod lépésbe hasolóa áru el A másod oszlopával: A = Π A olya mátr lesz, ahol a -es pozcó emzérus elem va Így a = I ( Ae e ) e / e Ae mátrszal szorozva a másod oszlopot az e vetorba vsszü Vegyü észre, az e vetort helybe hagya Hasolóa folytatva, az -ed lépésbe A = Π A olya mátr, ahol az pozcóba emzérus áll (Ha az -ed oszlop zérus vola, smét elletmodásba erülé azzal a feltevéssel, hogy a mátr emszgulárs) Eor a = I ( A e e ) e / e A e mátrszal szorozva apu e -t az -

ed oszlopba és az eddg elészült sebb deő egységvetoro sem romlotta el A -ed lépés utá egységmátrot apu, tehát végeredméybe a mátr verzével szoroztu A szorzatoat összegyőtve: Π Π = A 9 Fgyelü meg, smerü megadásához elég, ha az deet és a bee szereplı a = A e vetort 3 Háromszögmátro szorzatora botása Az L mátrot alsó háromszögmátra evezzü, ha a fıátló felett eleme md zérust tartalmaza Hasolóa az U mátr felsı háromszög mátr, ha a fıátló alatt eleme zéruso A háromszögmátro szorzatora botása ülööse egyszerő Az elıbb tételt alalmazva azoal adód az -edredő L alsó háromszögmátr szorzat-elıállítása: am tömöre így s írható ( ( ) )( ( ) ) ( ( ) ) L = I + L I e e I + L I e e I + L I e e, = ( ( ) ) L = I + L I e e, ha megegyezzü, hogy a téyezı övevı dee szert mdg balról obbra haladva íradó A feezést özvetleül s gazolhatu a -ed oszlop meghatározásával Jobbról az e vetorral szorozva az elsı e vetortól ülöbözı eredméyő szorzat e Le e Le + = az L mátr -ed oszlopa A több szorzatba lévı e, < vetorral ee a salárs szorzata zérus, ematt a végeredméy Le Felírható a sorvetoroal s a szorzatora botás: = ( ( )) L = I + e e L I Elleırízzü, hogy ee a -ed sora vsszaada L -ed sorát! A U felsı háromszögmátrra voatozó hasoló összefüggése: ( ( ) ) ( ( )), U = I + U I e e = I + e e U I = ( ) = ( ) ahol a téyezı balról obbra az dee szert csöeı sorredbe íradó 3 Vetítımátro etsü a P = I ab (33) mátrot, ahol b a = Ee determása, így az verze em létez Va azoba egy érdees tuladosága: ömagával szorozva vsszaada saát magát: Az P ( I ab )( I ab ) = I ab + ab ab = I ab = P feltételt elégítı mátroat vetítı-mátroa vagy proetoroa evezzü Ha a = b, aor a mátr szmmetrus A szmmetrus vetítımátro ortogoáls vetítı, mert egy altérre merıleges vetítést valósítaa meg Ha a és b em egyráyú, aor ferde vetítésrıl

Hegedős: Numerus Aalízs beszélü Szoás még a proetoroat dempotes mátroa evez arra a tuladoságura utalva, hogy a mátr mde hatváya ömaga Vegyü észre, (33)-ból: Pa = és b P = Az ábra azt szemléltet, a (33) proetor hogy vetít az és y vetort az a ráy meté a b ormálsú síba, amely áthalad az orgó Ha a ráya megegyeze b ráyával, aor a síba vetítés merılegese törtée 37 Gyaorlat Elleırízzü: ha P proetor, aor I P s az 38 Gyaorlat Egy sí ormálvetora s, egyelete s = σ Legye a vetítımátr P = I ss / s s Mutassu meg, a tér bármely y vetorára a Py + σ s / s s mővelet egy síbel vetort állít elı 39 Gyaorlat Mutassu meg, az elıbb P mátrszal Py s Adu meg a Py + σ s / s s vetort és az y vetort összeötı vetort! 33 Ivolutórus mátro Az A mátrot volutórusa evezzü, ha eleget tesz az A = I P alaba meghatároz egy volutórus mátrot: A ( I P)( I P) = I 4P + 4P = I, és mde volutórus mátr ( I A) / alaba meghatároz egy proetort: ( I A)( I A) / 4 = (I A) / 4 = ( I A) / = I összefüggése Mde proetor Ie látható, -él agyobb mérető egységmátrból végtele soféleépp lehet gyööt vo 3 Gyaorlat Igazolu, hogy a J = [ ee e ] mátr, ahol az egységmátr oszlopa fordított sorredbe vaa felsorolva, volutórus mátr Mlye proetort határoz meg ez a mátr, ha =,3? Az ab / b a, b a proetorral a övetezı volutórus mátrot észíthetü: I ab / b a Az ábrából megállapíthatu, hogy ez a mátr a b ormálsú síra való ferde türözést végz, am ayt elet, hogy az a ráy meté elutu a síg, mad azt eresztezve ugyaaora távolságot teszü meg a túloldalo A türözés aor merıleges a síra, ha a = b 3 Gyaorlat Mutassu meg, hogy az I ( y)( y) /( y) ( y) mátr az és y vetoroat egymásba türöz, ha azo ülöbözıe és = y y 3 Gyaorlat Az elıbb türözı mátrszal lehetıségü va arra, hogy az vetort az y = ± σ e vetorba türözzü, ahol σ = Hogya válasszu meg σ elıelét ahhoz, hogy a voás egyveszteséget bztosa elerülü? 34 Blo mátro A mátroat emcsa salár elemebıl rahatu össze, haem sebb mérető mátroból s Az lye mátr elemet blooa evezzü, ha pedg egy mátrot sebb mátrora botu, aor a mátrot bloosítu A bloosítás törtéhet a övetezıépp: Az egységmátrot az oszlopo b y Ábra a

meté felszeletelü részre: I = [ E, E,, E ] Ha a soroat ugyalye módo osztu fel bloora, aor az -ed blo A = E AE és a mátr: A A A A A A A A A A = 33 Gyaorlat Legye F = I + UV, U és V l -es mátro, azaz l < oszlopból álla Ha a elölt verz létez, elleırízzü: F = I U ( I + V U ) V, ahol I l l l -es egységmátr l

Hegedős: Numerus Aalízs 4 Mátro LU-felbotása, Gauss-Jorda algortmus Az LU-felbotás em más, mt a Gauss-elmácó olya átredezése, ahol a részleteredméyeet s elrau Ez úgy törté, hogy az A mátrot felbotu egy L alsó és egy U felsı háromszögmátr szorzatára 4 étel, LU-felbotás Ha A R emszgulárs mátr, aor a sora mdg átredezhetı egy P permutácó-mátrszal PA -ba úgy, hogy az felbotható egy L alsó és U felsı háromszögmátr szorzatára PA felbotása egyértelmő, ha L átlóelemet -e választu Bzoyítás etsü A elsı oszlopát Ha a zérus, aor eressü az oszlopba egy emzérus elemet és sorcserével mozgassu az elsı sorba A továbbaba feltesszü, hogy a Eor szorozzu A -t az L = I ( Ae / a e ) e mátrszal! A 37 példába láttu, ee a mátra determása és mde átlóeleme, övetez, hogy az verzét úgy apu, ha a bee szereplı dádot poztív elıellel vesszü A szorzás eredméyeét az Ae oszlopvetor -be megy át, tehát ( ( / ) ) I Ae a e e Ae = Ae Ae + a e = a e (34) a * * * * L A =, (35) * * ahol a * egységese emzérus mátrelemeet elöl Látu, a felsı háromszögmátr elsı oszlopa megelet L = I + ( Ae / a e ) e pedg a LU-felbotásba szereplı L mátr elsı szozóa, ahoa olvashatu L elsı oszlopvetorát: Ae / a -et A másod lépésbe ugyaezt smételü meg a apott mátr obb alsó ( ) ( ) -es bloára, ahol az elsı lépés valamely emzérus eleme a, pozcóba mozgatása, ha szüséges: a * * * * A =, * * így L másod oszlopába az elsı elem, a másod elem Az elárást hasolóa folytatva végül =, = = L L L L U L L L PA * * * * * (36) * Ha az A = b egyeletredszert oldu meg, aor a b vetort célszerő az A mátr mellé ve: [ A, b ], mert b -re s ugyaazo a traszformácó hata Például legye az egyeletredszer:

3 Vegyü észre, az 3 4 5 3 = 6 5 4 3 L -gyel való szorzás a mátr elsı sorát em változtata meg: -edredő bloba pedg a övetezıet ell számíta,, > : alsó ( ) Ae a a a e I e e Ae = a = a a a a a Ae Ez mutata, hogy az A e A e Ae dádot ell számítau a obb alsó ( ) e L = e A obb -edredő blora Az ebbe szereplı oszlopvetor éppe L elsı oszlopa, így célszerőe a övetezıéppe árhatu el: elölü a fıelemet, vele leosztu az alatta lévı oszlopelemeet, a saát sorát pedg változatlaul átmásolu A mátr több részébe ebbıl a sorból és oszlopból észített dádot vou le: 3 3 3 4 5 3 5 4 5 4 6 5 4 3 3 5 5 3 3 L =, U 5 4 = 3 A végé még megoldadó U = [ ], alulról felfelé megoldva = [ ] 4 Gyaorlat Oldu meg LU-felbotással a övetezı egyeletredszert: 4 Az LU-felbotás mőveletgéye 3 4 3 7 5 = 6 7 5 3 Az elsı lépésbe az oszlopvetor leosztása osztás, a dád levoása ( ) szorzást és összeadást géyel Az artmeta mővelete mdegye ugyaay deőe számít, ematt az elsı lépés mőveletgéye: ( )( ) flop (= floatg pot operato, magyarul: lebegıpotos mővelet) A övetezı lépés géye ( )( 3) flop, így a teles mőveletgéy = ( )( ) 3 flop Ezt úgy özelítü, hogy a legmagasabb foú tagot tegrálu -tól -g: / 3 A orrecós tago sebb hatváya, em határozzu meg ıet, mert a legmagasabbfoú tag a domás 4 Gyaorlat Mey A, LU, U L mőveletgéye? Az utolsó példáál alalmazzu a szaaszba megsmert fatorzácós összefüggéseet! 43 Blo LU-felbotás Néha célszerő a felbotást vagy a mátr vertálását bloosított formába végez pusa ez a helyzet aor, amor az egy elülöített blo egyszerőe vertálható, például azért mert egységmátr, vagy alsó ll felsı háromszögmátr M most a blo LU -felbotást a -es esetbe fogu megéz A fıelem lyeor blo, amelyrıl fel ell tételezü, hogy létez az verze

Hegedős: Numerus Aalízs 4 Legye az egységmátr egy felosztása I = [ E, E ], A = E AE, eor az L mátr a (34)-be látható L mátr bloos megfelelıe (ld még 33 Gyaorlat) és a mátr bloos felbotása a övetezı: ( ) L = I AE A E E (37) A A I A A, ahol L =, U A A I = A A A A A A A (38) A A A 44 Schur-omplemes A felbotás obb alsó sarába megelet mátrot az A mátr A -re voatozó Schur- omplemesée evezzü és elölése: ( ) A A = A A A A ermészetese létez az A -re voatozó Schur-omplemes s Ez az elıbbbıl úgy ö létre, hogy az decserét elvégezzü 45 Partcoált verz A (38) felbotás alapá írhatu: ahoa I A A I A I A A A =, A A I ( A A = ) A A I ( A A ) I A A I A A I = (39) I ( A A ) A A I A dádösszeg fetés bloos alaát felhaszálva (ld 35 Gyaorlat) ez még a ét blo-oszlop és blo-sor alapá fethetı az alaba 45 Feladato A A A A = + ( A A ) A A I I (3) A 33 Gyaorlat alapá mutassu meg, hogy a (37) mátr verze úgy észíthetı, hogy a -es blo egatívát vesszü A felsı háromszögmátrra voatozó eredméy e traszpoálással származtatható L alsó háromszögmátr, amelyet alul egészítü egy blo-sorral [ ] L L agyobb mérető alsó háromszögmátrra Mutasssu meg, hogyha a dagoálbloo vertálható, aor partcoált verz formulával a egészített mátr verze L L L L L L L L =

5 46 A Gauss-Jorda módszer az verz mátr számítására Láttu, mde mátr, amelye va verze, egyszerő mátro szorzatára botható, ahol az mővelet mdegye tartalmaz egy sorcserét ha szüséges, és egy dáddal módosított egységmátrszal való szorzást Egy lye mőveletsorozattal a mátr az egységmátrba A A, I és a traszformálható Kézefevı az ötlet: a mátrhoz hozzáíru az egységmátrot: [ ] bıvített mátrra alalmazzu a traszformácó-sorozatot: [ A, ] = [ I, ] Vlágos, = A Ez a módszer alalmas leárs egyeletredszer megoldására s, de a mőveletszámlálás azt mutata, hogy az LU -felbotás elıyösebb Ha azoba a mátr verzét aaru elıállíta, aor a mőveletgéy ugyaaora, sıt lehetıség va arra, hogy a mátrot helybe vertálu együ fel, az -ed lépésbe szorzás: A már olya, hogy a sorcserét végrehatottu, ha ellett Az -ed A e e A ee A ee A I e A = A + e A e e A e e A e Itt obb oldalo az elsı ét tag azt a dád-levoást elet, amt már megsmertü Az LU - felbotáshoz épest azoba eltérés, hogy az -ed sor és oszlop vételével mde területre ell alalmazu Az harmad tag azt mutata, hogy az -ed sort a fıelemmel ell oszta, az elsı ét tagból származó -ed sor ugyas zérus Az elmodottaat egy példá szemléltetü Ivertáladó a 3 mátr A bıvített mátrba 3 6 az elsı lépés egy sorcsere: 3 3 sorcsere 3 6 3 6 r Az elsı traszformácós lépésbe az elsı oszlop átmegy e -be, az elsı sort véggosztu a fıelemmel, a több helye pedg végrehatu az elsı dád levoását: 3 3/ 3/ / r r3 3/ / / 3 / / / Az utolsó lépésbe az duló egységmátr helyé megelet az verz A helybe vertáláshoz azt ell észreveü, hogy mde lépésbe összegyőthetı egy egységmátr a bıvített mátrból Ezt szüségtele tárol A obboldal 3 3-as területe mde lépésbe egy ú vetor ele meg, a bal oldal 3 3-as területe pedg a távozó vetor helyére egy egységvetor lép be A tömör algortmusba a obb oldalo belépı ú vetort beíru a bal oldalo belépı egységvetor helyére Az -ed egységvetor helyé a obb oldalról származó ú vetor A /,, e e A e e e A e = I e e = e = ( ) ( ) e A e e A e a / a, Ez fog áterül a bal oldalo az -ed oszlopba Így a tömör algortmusba a fıelem helyére aa recproa erül, az oszlop több eleme pedg egatív elıelet ap és osztód a fıelemmel A levoadó dád ezelése ugyaaz, mt orábba A beeretezett elem elöl azt a dádot (sor, oszlop), amelybıl a levoadó dádot épezzü ehát a tömör algortmus:

Hegedős: Numerus Aalízs 6 3 3 3 3 6 3 6 3 3/ -3/ -/ -3/ 3/ -/ oszlopcsere / 3/ -/ 3/ / -/ -/ -/ / -/ -/ / Π A mátrot vertáltu, ahol Π permutácó- A ezdet sorcsere matt em az eredet, haem a mátr Ee az verze A Π, mert obbról Π -vel, am tt az oszlopcserét elet sorcsere r r r3 Π = Π Így a apott eredméyt még szorozu ellett 44 Gyaorlat M a Gauss-Jorda vertáló módszer mőveletgéyébe a domás tag?

7 5 Az LU-felbotás tuladosága, specáls verze 5 Szmetrus poztív deft mátro Egy valós szmmetrus A mátrot poztív defte evezü, ha A > telesül mde vetorra Poztív szemdeft a mátr, ha csa A telesül A egatív deft és egatív szemdeft tuladoságot hasolóépp értelmezzü, ha A < vagy A valamelye telesül Ideft esetbe a belsı szorzat egatív és poztív értéeet egyarát felvehet A poztív deft tuladosága adható még ét más evvales defcóa Az egy szert eor a mátr mde saátértée poztív, a más szert pedg a bal felsı saro aldetermáso (fımoro) md poztíva Szemdeft mátra va zérus saátértée és zérus értéő saro aldetermása A emszmmetrus mátrot poztív defte modu, ha a szmmetrus része poztív deft A mátr szmmetrus része A = ( A + A ) / és az atszmmetrus része A = ( A A ) /, + A = A+ + A Vegyü észre, az atszmmetrus részhez tartozó belsı szorzat A mdg zérus Ha -et e -e választu, aor a defcóból övetez, hogy valós szmmetrus poztív deft mátrra a > mde -re, = e ± e eseté pedg a + a ± a > -a ell telesüle Eze az egyszerő feltétele éha haszosa aa gyors eldötésébe, hogy a mátr egyáltalá lehet-e poztív deft Például, ha a mátr fıátló-bel eleme md - és a fıátló ívül eleme özött vaa emzérus eleme, aor rögtö állítható, hogy a mátr deft 5 étel, elegedı feltétel poztív deftségre Ha A = V V alaba elıállítható, ahol V oszlopa leársa függetlee, aor A poztív deft Bzoyítás A defcó alapá mde emzérus -re oszlopa leársa függetlee A V V V 5 étel, a poztív deftség megırzıd az LU-felbotásba = = > mert V, ha V Poztív deft A mátr LU-felbotása megırz a poztv deftséget, más szóval: mde lépés utá a vsszamaradó obb alsó blo poztív deft marad Az állítás blo LU-felbotásor s gaz Bzoyítás Legye A bloos alaa A A A =, ( A A ) = A A A A, A A ahol a blo LU-felbotás egy lépése utá vsszamaradó blo az ( ) vetorra ( ) ell gazol, hogy tetszıleges emzérus hogy megmutatu: létez egy egészített (, ) A A Schur-omplemes Azt A A > Az állítást azzal bzoyítu, = vetor, amelyre ( ) A = A A Ehhez válasszu -et úgy, hogy szorzásor az elsı blo-sor zérust ado: A + A = Ezzel = A A és < A = = ( A A A A ) A A + Megegyzés Ugyaígy látható be, hogy a felbotás sorá a poztív szemdeftség s megırzıd

53 étel, poztív szemdeft mátr felbothatósága Ha A poztív szemdeft, aor A Hegedős: Numerus Aalízs 8 = LL alaba elıállítható Bzoyítás Láttu, A fıátlóába csa emegatív eleme lehete Ha a >, aor észítsü el a övetezı Ae e A A = A, (4) e Ae mátrot, amelyrıl tudu, hogy az elsı sora és oszlopa zérus Válasszu L elsı oszlopáa Le = Ae / a -et, ezzel A = A Lee L Ha az elsı dagoálelem zérus, aor ugyaazo sor és oszlop cseréével mozgassu egy emzérus dagoálelemet az, pozcóba és ugyaígy áru el Folytassu az elárárást a megmaradó -gyel sebb mérető obb alsó bloal mdaddg, ameddg találu poztív dagoálelemet Mde lépésbe az L mátr egy úabb oszlopát yerü Ha olya helyzethez értü, ahol a megmaradt obb alsó bloba mde dagoálelem zérus, aor a teles bloa zérusa ell lee, mert ha em így vola, aor a megmaradó blo deft vola az 5 étel elıtt tett megegyzés szert és ez elletmodaa aa, hogy a szemdeftség megmarad Vegyü észre, az alalmazott sor-oszlop cseré a felbotást csa ayba befolyásolá, hogy P AP = LL -et ellett vola íru, - P permutácó mátr -, de ez átredezhetı az A = LL ɶɶ alaba, ahol L ɶ = PL Szmmetrus, poztív deft mátrra az A = LL felbotást Cholesy-felbotása evezzü Itt most L fıátlóába em -ese álla, mert például Le = Ae / a elsı eleme a A Cholesyfelbotás hasolóépp észíthetı, mt az LU-felbotás, csa most a fıelembıl gyööt ell vo, és azzal végg ell oszta a saát sort és oszlopot A számítógépes algortmusba haszálható, hogy a felsı háromszög részt em ell számíta, ezzel a mőveletgéy agyából megfelezıd 54 Példa Choles-felbotásra 4 7 9 6 3 3, 7 6 6 4 L = 3, L 3 = 4 4 Látható, a dádo levoása ugyaolya módo törté, mt az LU-felbotásba 55 Feladato Legye A = LL egy Cholesy felbotás Mey a mőveletgéye A számításáa, ha az eredet mátrot haszálu? Hogya csöethetı a mőveletgéy, ha az LL alaot haszálu? A gyövoást elerülhetü, ha az A = LDL alaot haszálu, ahol L egységátlóú mátr és D dagoálmátr Dolgozzu ee a felbotása a lépéset! Ezt a módszert deft esetbe s alalmazhatu, ha em adód túlságosa csy elem D -be

9 5 Fıátló-domaca Soro szert fıátló-domás vagy dagoál-domása evezzü a mátrot, ha mde sorba a emdagoáls soreleme abszolút összege sebb, mt a fıátlóbel elem abszolút értée: a > e ( A dag( A)) Léyegébe fıátló-domás a mátr, ha em mde sorba a el s megegedett és eze a soro emzérus soro Az oszlopo szert fıátló-domás mátro értelmezése hasoló Itt dag( A) = D a mátr fıátlóából észített dagoálmátrot elöl 5 étel, a fıátló-domaca megmaradása Ameybe az A mátr fıátló-domás, az LU -felbotás végrehatása sorá a még fel em botott obb alsó részbe a fıátló-domaca megmarad Máséppe: a Schur-omplemes megırz a fıátló-domacát Bzoyítás Az LU-felbotás elsı lépése utá a mátr elsı oszlopa az ae vetorba megy át és a - ad sorvetor: a e ( I ( a / a e ) e ) A = ( e A e A)( I e e ), >, a ahol a hozzáírt I ee vetítımátr az amúgy s zérus elsı sorelemet ullázza, így változást em ooz Az e A( I ee ) sorvetor redelez a fıátló-domaca tuladosággal, mert csa az elsı a elemet hagytu el A levot vetor sorormáa pedg ( ) / ( )/ a e A I e e a = a e A I e e a < a, ha a Itt az átlóelemmel osztott elsı sor ormáa sebb -él (fıátló-domaca!) és ez szorozza a-et ehát a vett a helyébe egy sebb abszolút értéő elem erül az abszolút sorösszeg számításaor, így a -ad sor fıátló-domacáa em romolhat A tovább lépésebe a helyzet hasoló A tétel övetezméye, hogy fıátló-domás mátroál az átlóelem mdg alalmas fıeleme 5 Feladato Mutassu meg: A fıátló-domaca megmarad, ha a mátrot balról emszgulárs dagoálmátrszal szorozzu, vagy ha ugyaazt a ét sort és oszlopot felcserélü ( ), Léyegébe fıátló-domás mátro LU-felbotásaor a -ed lépésbe szgorú fıátlódomaca övetez be a -ad sorba, ha a -ed sorba megvolt a szgorú fıátlódomaca és volt emzérus a < elem Az oszlopo szert fıátló-domaca s örölıd 53 Két- és háromátlóú mátro 53 Specáls mátro A étátlóú vagy bdagoáls mátroál csa a fıátló és valamely mellette lévı átlóba vaa a,,, vagy, Nevezetes épvselıü a emzérus eleme: { } { } ülöbségépzés mátra:

Hegedős: Numerus Aalízs 3 K = K = S =, Iverze éppe az összegzésmátrot ada E ét mátr segítségével egyszerőe megadható a gyara elıforduló mátr verze: = (4) ( K K ) K ( S S ) K K ( I ee ) K K I K + ee = + = + = + =, (43) ahol e a csupa -esbıl álló vetor A vetor elıállítása így 4 flop mőveletet géyel 53 Fıátló-domás háromátlós mátr Láttu, ebbe az esetbe em ell a fıelemválasztással foglaloz az LU-felbotás sorá Ha a felbotást a mutatott módo hatu végre, aor a leárs egyeletredszer megoldásáa mőveletgéye léyegébe 9 flop Háromátlós esetbe va azoba ét módszer s, amellyel 8 flop mővelettel célba érü A övetezıbe ezeet smertetü Az elsı módszert hívhatu gyors LUfelbotása Vegyü fel a háromátlós mátrú egyeletredszert a övetezı alaba: d c b a d b H = = c a d b Az LU -felbotás elsı lépése csa a másod sort változtata meg: [ ] a / d d a c / d c = b b a / d Eredméyül aptu egy -gyel sebb mérető háromátlóú mátrot, amre az elárást megsmételhetü ovább folytatva végül a fıeleme és obboldala a övetezı lesze: d = d ; d = d a c / d, =,3,,, b = b ; b = b a b / d, =,3,, Most a felbotás U mátra felsı bdagoáls - étátlóú mátr - és a megoldadó egyeletredszer: d c b d b =, = b / d ; = ( b c )/ d, =,,, + c d b Látu: az L mátr em s ell a megoldáshoz, másrészt (45) mdét sorába szerepel a / d, amt elegedı egyszer elıállíta Ezzel a megoldás algortmus: (44) (45)

3 Kezdés: d = d, b = b =,3,, -re s : = a / d ; d : = d c * s; b : = b b * s : = b / d ; =,,,-re : = ( b c * ) / d + A más módszer a megoldás másod fázsába érvéyes reurzót vesz alapul: f g + = Az egyeletredszer elsı sorából = ( b c ) / d, ezzel f = b / d és g = c / d Ezutá az -ed sorba helyettesítve feezését e a ( f g ) + d + c = b, + b a f c = = f g + + d a g d a g ahoa f és g elıállítása olvasható Ezzel az üldözéses vagy passzázs algortmus: Kezdés: f = b / d, g : = c / d =,3,, -re s : = d a g ; f : = ( b a f ) / s; g : = c / s : = f ; =,,,-re 533 Feladat : = f g * + Ha ú obboldal vetort apu, mlye részletszámításoat ırízzü meg és mt számítsu úra mdét algortmusba? Igazolu, hogy az (4)-be szereplı háromátlós mátr poztív deft, mert va, LL -felbotása

Hegedős: Numerus Aalízs 3 6 Gram-Schmdt ortogoalzácó, QR-felbotás Az egyszerő lerárs algebra traszformácó özött a harmad feezetbe megsmeredtü a vetítı mátroal E mátro alalmasa arra, hogy a vetoro egy adott észletébıl ortogoáls vetoroat állítsu elı Ha eze vetoroat egy mátr oszlopaba redezzü, aor a apott módszer a mátr egy úabb felbotását szolgáltata, ezt hívu a QR -felbotása 6 A Gram-Schmdt ortogoalzácó együ fel, va egy leársa függetle vetoroból álló halmaz: { a} =, a R Szereté e vetoro felhaszálásával olya ortogoáls redszert észíte, amellyel a halmaz vetora elıállítható Eor elárhatu a övetezıéppe A észülı ortogoáls vetoroat elölü q -val Az elsı lépésbe válasszu q = a -et A övetezı vetort észítsü úgy, hogy az a vetort szmmetrus - vagy más szóhaszálattal - ortogoáls vetítéssel ortogoalzálu q -re: qq I a = q (5) q q Beszorzással q q = A övetezı vetort úgy észítü, hogy az a 3 vetort q és q -re ortogoalzálu: qq qq I I a 3 = q3 (5) q q q q Ismét beszorzással elleırízve apu, hogy q q3 és q q3 A továbbaba vezessü be az - ed ortogoáls vetorhoz a q q P = I (53) q q vetítımátrot Látu, ha ezzel a mátrszal bármely vetorra szorzu, eredméyül a ortogoáls vetorhoz utu Az + -ed ortogoáls vetort a övetezı vetítése sorozatával apu az a + vetorból: + + m q vetorra PP Pa = q (54) Vegyü észre, a vetítımátro a szorzatba tetszıleges sorredbe írható a beü szereplı vetoro ortogoaltása matt Feáll az összefüggés: q q q q PP P = I = I = q q, (55) = q q ame az gazolását egy feladatra hagyu Ez mutata, hogy umerusa étféle lehetıség va az ortogoalzálásra Az egy, amor a fet összefüggésbe a szummás alaot haszálu Eor mde q vetor az a + vetorral szorzód és (54), (55) összevetésébıl apu: q q a+ q q a+ + = +, + = + + = q q = q q, (56) q a a q azaz mde a + vetor az ortogoáls vetoro segítségével elıállítható, ahol a fetés együttható

33 r q a + = q q (57), + Ha (54)-be a mátrszorzatot alalmazzu, aor a övetezı vetor-sorozatot észítü: A vetítımátro írásával eor az elıállításra utu z = a, z = P z,, z = P z, q = z + + + + r = q z + q q (58), A szummás alaot evezzü a lasszus Gram-Schmdt (G-S) ortogoalzácóa, a szorzatmátros változatot pedg módosított Gram-Schmdt ortogoalzácóa Åe Börc a umerus tuladoságo vzsgálata sorá mutatta, hogy a módosított G-S módszer obb hbatuladoságoal redelez Úabb eredméye szert mdét módszer egyformá ó, ha mde ortogoalzácós lépést étszer hatu végre Eor a apott ormált vetoro ortogoaltása özel gép potossággal telesül 6 Feladato Igazolu a (55) formulát! Mutassu meg, hogy a (57) és (58) formulával adott r, + megegyez! Győtsü az ortogoáls vetoroat a Q = [ qq q ] mátrba Vezessü le, hogy PP P ( ) = I Q Q Q Q Legye A = m R, ahol A oszlopa leársa függetlee Elleırízzü, hogy ( ) I A A A A szté vetítımátr és egy vetorra alalmazva az eredméy olya vetor lesz, amely A összes oszlopára ortogoáls 6 étel, QR-felbotás Legye m A R, ahol A oszlopa leársa függetlee Eor A mdg felírható A = QR (59) alaba, ahol Q oszlopa egymásra ortogoáls vetoro és R felsı háromszög mátr Q és R oszlopa az elsıvel ezdve reurzíva felépíthetı Bzoyítás Szüséges m, ülöbe em lehetée A oszlopa leársa függetlee Fogu fel az A mátrot úgy, mt am az a, a,, a oszlopvetoroból va összeállítva és alalmazzu az elızı szaaszba megsmert G-S ortogoalzácót! Eor (56) és (57) öszevetésébıl apu: Az = = + a = q r, ahol r = +, + +, + = A [ a, a,, a ], Q [ q, q,, q ] mátroal ez pedg em más, mt a (59) elıállítás, ahol R = [ r ] A G-S ortogoalzácóba az r, > eleme em volta defálva Ncs s ráu szüség, így ezeet az elemeet zérusa választva (59) potosa telesül

Hegedős: Numerus Aalízs 34 6 Feladato A G-S ortogoalzácóál dolgozható az a változat, amor a q vetoro ormálta, Íru át a formuláat erre az esetre! q = Legye D = Q Q, ezzel Qɶ = QD / oszlopvetora ormálta (59)-be legye A = QR ɶɶ Adu meg R ɶ -et mátros alaba és a ormált ortogoáls vetoro segítségével feezzü rɶ -t! A 3 gyaorlatba láttu, hogy mde vetor egy σ e vetorba vhetı türözéssel, ahol σ = Ha egy lye türözést alalmazu A elsı oszlopára, aor a QR -felbotás az elsı oszlopra megvalósult: R = I vv / v v ortogoáls mátr, ahol v σ e Hogya folytassu a türözéseet, hogy egy QR -felbotáshoz ussu? = és A R ( R A) = Ha redelezésüre áll A egy QR -felbotása, hogya oldu meg egy A = b egyeletredszert? 63 Példa QR-felbotásra Elészítü az 3 A = = a a a [ ] 3 mátrra a QR -felbotás emormált változatát Idulásor q = a és q q = A övetezı vetorhoz q a = 6 és 6 q a = = = 5 q a q q q qq = =, ezt az eredméyt elıállíthatu a apott q vetorból, de úgy s számíthatu, hogy 5 5 észrevesszü: elıállításához 3 5 ( q ) a q a q a 36 q q = a q 4 a q = a a = = A harmad vetor q q q q q q 5 q a = és q a 3 =, ezeel a harmad vetor és a QR -felbotás: 3 q a3 q a3 5 q3 = a3 q q = + =, q q q q 5 / 5 / 3/ 5 / 3/ 5 / / 5 A = 5 / 5 / 5 / = / / 5