Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı: Haros László 2008. jauár
2.1 Tartalomjegyzék 2. Gazdasági matematikai alapok...1 2.1 Tartalomjegyzék...2 2.2 Bevezetés...3 2.2.1 A taulási egység célja...3 2.2.2 A taayag elsajátítását követıe Ö képes lesz...3 2.2.3 Az ayagba szereplı legfotosabb fogalmak, szakkifejezések...4 2.2.4 Ajálott irodalom...5 2.3 Sorozatok...5 2.4 Kamatszámítás...6 2.5 Jeleérték-számítás (diszkotálás)...7 2.6 Járadék számítás...8 2.7 Pézfolyamábrák...11 2.8 Folytoos kamatos kamatozás...12 2.9 Összefoglalás...13 2.10 Elleırzı kérdések...14 2
2.2 Bevezetés 2.2.1 A taulási egység célja A jele egység célja feleleveítei azokat az alapvetı matematikai ismereteket, melyek élkülözhetetleek ahhoz, hogy egy befektetést, vagy egy fiaszírozási lehetıséget elemezi tudjuk. Az itt taultak haszosak leszek majd az igatlaértékelés külööse a hozamelvő értékelési módszerek alkalmazása valamit az igatlavagyo-gazdálkodás tervezése, értékelése sorá is. Ameyibe az itt szereplı fogalmak, módszerek meglehetıse ismerısek tőek, esetleg a mukája sorá redszerese alkalmazza is azokat, akkor javaslom, hogy ugorja át ezt az egységet és kezdje a taulást a következı résszel. Ameyibe késıbb mégis valamilye godja támada a számítások elvégzésével, akkor yugodta térje vissza ehhez az egységhez, taulmáyozza az itt bemutatott fogalmakat és összefüggéseket, ill. a példatárba szereplı kidolgozott feladatokat, esetleg próbálja megoldai a gyakorló feladatokat, majd ezek utá térje vissza a taayag azo részéhez, ahol korábba elakadt. 2.2.2 A taayag elsajátítását követıe Ö képes lesz Felismeri azokat a gazdasági jellemzıket, melyek számtai, vagy mértai sorozatkét viselkedek, Alkalmazi az egyszerő és a kamatos kamatszámítást, A külöbözı idıpotokba jeletkezı pézösszegek értékét egy közös idıpotra átszámítai, Felismeri a járadék-szerőe viselkedı pézfolyamokat és ezek tulajdoságait a gyakorlati problémák megoldása sorá felhaszáli, A boyolultabb pézfolyamokat grafikusa is ábrázoli, ezáltal felismeri beük az esetleges szabályos viselkedést, A agyo sőrő jeletkezı pézáramlások (ú. folytoos pézfolyam) eseté a folytoos kamatos kamatozás alkalmazásával a pézfolyam jeleértékét potosa meghatározi. 3
2.2.3 Az ayagba szereplı legfotosabb fogalmak, szakkifejezések A taayagba törtéı köyebb tájékozódás érdekébe ebbe a potba megtalálhatók a legfotosabb fogalmak ABC szerit összegyőjtve. Auitás Diszkotálás Egyszerő kamatozás Folytoos kamatos kamatozás Gyüjtıjáradék Járadék Jeleérték-számítás Jövıérték-számítás Kamat Kamaterısség Kamatitezitás Kamatos kamat Mértai sorozat Növekvı tagú örökjáradék Örökjáradék Számtai sorozat Egy véges idıtartam alatt, azaoos idıközökét kifizetett (vagy megkapott) pézösszeg. Egy jövıbeli pézösszeg mai értékéek meghatározása. A kamatidıszak végé jóváírt kamat a következı idıszakba em kamatozik (em tıkésedik). Matematikailag végteleül kicsi kamatperiódust feltételezı kamatos kamatozás. Azoos iidıközökét, azoos összegő redszeres betétgyőjtés egy véges idıszakba. Azoos idıközökét kifizetett pézösszegek sorozata. Lsd. diszkotálás Egy jelebeli pézösszeg értékéek átszámítása egy jövıbeli idıpotra a kamatos kamatozás segítségével. Egységyi idıszakra kifizetett pézösszeg a tıke %-ába ( A péz ára ). Folytoos kamatláb, mely az éves kamatlábból származtatható. Lsd. kamaterısség A kamatidıszak végé jóváírt kamat a következı idıszakba a tıkével együtt kamatozik (tıkésedik). Olya számsorozat, melybe a szomszédos elemek háyadosa álladó. Olya örökjáradék, melybe az egyes idıszakokba kifizetett összeg em álladó, haem mértai sorozatkét viselkedik, azaz azoos %-kal ı, vagy csökke. Végtele hosszú idıszako keresztül, azoos idıközökét, redszerese kifizetett, azoos pézösszegek sorozata. Olya számsorozat, melybe a szomszédos elemek külöbsége álladó. 4
2.2.4 Ajálott irodalom Eperjesi Ferecé Jámbor Balázs: Gazdasági matematika, Nemzeti Taköyvkiadó, Budapest, 2006. Kis Istváé: Gazdasági matematika a felsıfokú szakképzésbe résztvevı hallgatók számára, Duaújvárosi Fıiskola, Duaújváros, 2006. Szalay Istvá: Gazdasági matematika, Szegedi Tudomáyegyetem, Szeged, 2004. Bíró Fatime Vicze Szilvia: A gazdasági matematika alapjai, Debrecei Egyetem, Debrece, 2002. Horváth Istvá Tóth Zoltá: Gazdasági matematika, Gödöllıi Agrártudomáyi Egyetem, Gyögyös, 1991. 2.3 Sorozatok Az olya függvéyt, melyek értelmezési tartomáya a természetes számok halmaza (N), képhalmaza pedig a valós számok halmaza (R), számsorozatak (rövide sorozatak) evezzük. Az olya számsorozatot, melybe a két szomszédos elem külöbsége álladó, számtai sorozatak evezzük. A számtai sorozat elsı eleméek (a1) és külöbségéek (d) ismeretébe bármely elemét kiszámíthatjuk: a = a + ( 1) d 1 Számtai sorozat A számtai sorozat elsı eleméek összege: S ( a + a ) [2a1 = = 2 + ( 1) 2 1 d Az olya számsorozatot, melybe a szomszédos elemek háyadosa álladó, mértai sorozatak evezzük. A mértai sorozat. eleme a következıképpe írható fel az elsı elem és a háyados ismeretébe: ] Mértai sorozat a = a q 1 1 A mértai sorozat elsı eleméek összege: S = a1( q 1) q 1 5
2.4 Kamatszámítás Az általáos értelmezés szerit kamat alatt a péz árát (a péz haszálatáak díját) értjük. Matematikai értelembe a kamat egy idıaráyosa fizetedı pézösszeget jelet, melyet a tıke százalékába szoktuk kifejezi (kamatláb, r). természetese a számításaik sorá a kamatlábat em %-os formába, haem tizedestört alakjába helyettesítjük be az összefüggésekbe. Egyszerő kamatozás eseté a fizetedı kamat összegét (L) a tıkeösszeg (P), a kamatláb (r) és az idıszakok (pl.: évek) számáak () ismeretébe a következı összefüggéssel számíthatjuk ki: Kamat Egyszerő kamatozás L = P r Kamatos kamatozás eseté az egyes idıszakok végé a kamat összege melyet az idıszako belül az egyszerő kamatozás szabályai szerit határozuk meg hozzáadódik a tıkéhez (tıkésedik) és a következı idıszakba már a korábbi tıkével együtt kamatozik: Kamatos kamat Idıszak Tıke az idıszak elejé [a] Egyszerő kamat [b] Tıke az idıszak végé [a+b] 1. P0=PV P0r P1=P0+P0r=P0(1+r) 2. P0(1+r) P0(1+r)r P2= P0(1+r)+ P0(1+r)r= P0(1+r) 2. P0(1+r) -1 P0(1+r) -1 r P= P0(1+r) =FV Az elsı idıszak elejé P0-al jelölt tıkét a továbbiakba jeleértékek (PV) fogjuk evezi, míg az. idıszak végére felövekedett összeget (P) jövıértékek (FV) hívjuk. A kamatozás lehet éves kamatperiódusú, ekkor az idıszaki kamat jóváírása évete törtéik. Havi kamatozás eseté az általuk haszált összefüggések ayiba módosulak, hogy az idıszakok száma () helyére a hóapok számát kell behelyettesíteük, míg a kamatláb (r) helyére pedig az éves kamatláb 1/12-ed részét írjuk. Hasolóa járuk el egyedéves, féléves, vagy esetleg api kamatozás eseté is. Végezetül meg kell említeük, hogy a gyakorlatba általába ú. betét egyeértéke számoluk, ami azt jeleti, hogy a számításaik sorá mide hóapot 30 aposak tekitük, míg az évet 360 appal vesszük figyelembe. 6
2.5 Jeleérték-számítás (diszkotálás) A péz értéke idıbe változik. Ebbe természetese szerepe va az iflációak is, de azt kiküszöbölhetjük, ha a péz reálértékét tekitjük. Ebbe az esetbe még midig igaz az, hogy idıbe miél késıbb kapuk meg egy pézösszeget, aál kisebb értéket yerük, hisze ha korábba jutottuk vola hozzá eze összeghez, akkor az eltelt idıszakba azt befektethettük vola, azaz kamatozott vola számukra a kamatos kamatozás szabályai szerit. A gyakorlatba ige sokszor kell külöbözı idıpotokba jeletkezı pézösszegeket összehasolítauk. Ezt úgy tehetjük meg, hogy választuk egy közös idıpotot és mide pézösszeg értékét eze idıpotra számítjuk át. Matematikailag ez egyarát lehet egy jövıbeli idıpot, vagy a jelebeli idıpot. Ha jövıbeli idıpotot választuk, akkor a kamatos kamatozás összefüggéséek segítségével (jövıérték-számítás) dolgozuk. Ha közös idıpotak a jelet választjuk, akkor a kamatos kamat képletét a jeleértékre átredezve a következı összefüggéshez jutuk: FV = PV (1 FV PV = (1 Jövıérték Jeleérték A feti összefüggésbe ugyaazt a kamatlábat haszáltuk, amit a kamatos kamatozásál, azaz amivel a jeleértéket idıaráyosa övelve jutottuk el a jövıértékhez. Ha a jövıértékbıl szereték a jeleértékhez eljuti egy idıaráyos csökketéssel, akkor viszot egy másik százaléklábat, az ú. diszkotlábat (d) kell haszáluk. Ez esetbe a feti összefüggés a következıképpe módosul: PV = FV ( 1 d) mivel a kamatláb és a diszkotláb közötti összefüggés: d r = 1+ r A gyakorlatba a diszkotláb helyett általába a kamatlábat alkalmazzuk, de pl. a termıföldek hitelbiztosítéki értékelése sorá haszált összefüggések a diszkotláb segítségével fejezik ki a jeleértéket. Sok esetbe em egyetle jövıbeli pézösszeg jeleértékére vagyuk kívácsiak, haem egy pézösszeg sorozatot (ú. pézfolyamot) kell diszkotáluk. Ilyekor általáos esetbe úgy járuk el, hogy a pézfolyam egyes elemeit külö-külö diszkotáljuk, majd az egyes jeleértékeket összeadjuk. A pézfolyam egyes elemeit C-vel jelölve a jeleérték: PV = C t t t= 0 (1 7
2.6 Járadék számítás A befektetések vizsgálata sorá gyakra találkozuk olya pézfolyamokkal, melyek egy részébe, vagy akár egészébe valamifajta szabályos viselkedést figyelhetük meg. Ilye esetbe a járadékszámítás segítségével a pézfolyamot egyszerőbbe kezelhetjük a számításaik sorá. Járadék alatt az azoos idıközökét kifizetett pézösszegek sorozatát értjük. Mi a továbbiakba azzal az egyszerősítéssel élük, hogy eze pézösszegeket azoos agyságúak tekitjük. Ekkor auitásról (A) beszélük. Elsıkét vizsgáljuk meg, hogya mőködek a redszeres megtakarítások (pl.: egy társasház felújítási számlája). Képzeljük el egy számlát, ahová mide idıszak elejé befizetük egy azoos pézösszeget (A). A számlá lévı péz a kamatos kamatozás szabályai szerit kamatozik. A kérdés, hogy az utolsó befizetés utái egy idıszak múlva meyi péz lesz eze a számlá. Azért tekitjük az utolsó befizetés utái idıszakot, mert külöbe az utolsó befizetések már em lee értelme. Az ú. gyüjtıjáradék probléma megértéséhez tekitsük a következı ábrát: Gyüjtıjáradék S 1. 2. 3...... -1 +1 A A A A A A(1+r) A(1+r) 2.. A(1+r) -2 A(1+r) -1 A(1+r) Kezdjük el idıbe visszafelé vizsgáli, hogy mi törtét az egyes befizetésekkel. Az utolsó, az. idıszakba befizetett A összeg egy idıszako keresztül kamatozik, így aak jövıértéke A ( 1 lesz. Hasolóa az (-1). Idıszakba befizetett összeg 2 jövıértéke pedig A ( 1. Ahhoz, hogy megkapjuk a megtakarítás összegét (S) mide befizetett A összeg jövıértékét ki kell számítauk (ez látható az ábra jobb oldalá), majd ezeket összegezük kell. Ehhez azoba fel kell ismerük, hogy eze jövıértékek egy mértai sorozatot alkotak. A mértai sorozat összegképletét felhaszálva a megtakarítás tehát: 8
S = A(1 + A(1 +... + A(1 (1 = A(1 r 2 1 A feti összefüggést gyüjtıjáradék-képletek evezzük. Ha a problémát megfordítjuk és modjuk egy hitel törlesztését vizsgáljuk, akkor törlesztıjáradékról beszélük. Tegyük fel, hogy felveszük egy P összegő kölcsöt és mide idıszakba A foritot törlesztük. Vizsgáljuk meg, hogya alakul a tartozásuk az. év végé (T): Törlesztıjáradék P 0 1. 2...... -2-1 A A A A A A A(1+r) A(1+r) 2.. A(1+r) -2 A(1+r) -1 P(1+r) Ameyibe em fizeték ki egyetle törlesztırészletet sem, akkor az. idıszak végére a tartozásuk éppe P ( 1 összegre övekede. Természetese a kifizetett törlesztırészletek utá a hátralévı idıbe már em kell kamatot fizetük, így ezek jövıértéke a feálló tartozásukat csökketi. Ha kiszámítjuk mide egyes kifizetett törlesztırészlet jövıértékét (lsd. az ábra jobb oldalá), akkor ismét észrevehetjük, hogy ezek mértai sorozatot alkotak, így a mértai sorozat összegképletét alkalmazva a feálló tartozásuk: T = P(1 (1 A r 1 Abba az esetbe, ha a kölcsöt az. idıszak végére teljese visszafizetjük: T = 0 P(1 (1 = A r 1 Ha a feti egyeletet P-re redezzük, akkor megkapjuk az auitás jeleértékét: P = A[(1 1] 1 1 = A r(1 r r(1 = PV Auitás 9
Ha a fetihez hasoló, ú. auitásos hitel törlesztırészletére vagyuk kívácsiak, akkor pedig az egyeletet A-ra kell redezük: r A = P(1 (1 1 Mid a győjtıjáradék, mid a törlesztıjáradék eseté egy véges számú idıszakot feltételeztük (). Ha azoba egy összegre redszerese, mide idıszakba a végteleségig számíthatuk, azaz, akkor a feti összefüggés émiképp leegyszerősödik: = r (1 A P(1 = P r (1 1 (1 1 (1 Ha, akkor lim = 1, így ezt a határértéket a feti egyeletbe (1 1 behelyettesítve: A A = P r P = = PV r A fetihez hasolóa viselkedı járadékot örökjáradékak hívjuk. Az Egyesült Királyságba létezek ú. örökjáradék-kötvéyek. Ezek olya államkötvéyek, melyek évértékét em fizetik vissza, viszot mide évbe örökjáradék formájába egy fix összegő jövedelmet ígérek. Hazákba ugya ics ilye állampapír, de az összefüggés mégis haszos lesz a számukra olya befektetések modellezésére, melyek egy hosszú idı keresztül évete azoos hozamot biztosítaak. A gyakorlatba láti fogjuk, hogy a valóságba em kell végtele hosszú idıszakot vizsgáluk, ugyais a feti függvéy ige gyorsa tart a határértékéhez, így sok esetbe elégséges, hogy az álladó összegő redszeres hozam 7-8 éve keresztül femaradjo. Ameyibe az évete esedékes összeg egy álladó ütemő (g %-os) övekedést mutat, akkor övekvı tagú örökjáradékról beszélük. Ez esetbe az örökjáradék jeleértéke: A1 PV =, ahol A1 az elsı évbe esedékes összeg. r g Örökjáradék Növekvı tagú örökjáradék 10
2.7 Pézfolyamábrák Az összetettebb, boyolultabb pézáramlások vizsgálatáál gyakra segít, ha azokat grafikusa is szemlélteti tudjuk, mert ebbe az esetbe az ábráról leolvasható, ha valamely idıszakba a pézfolyam valamilye szabályos viselkedést mutat és ez esetbe a jeleérték kiszámítása is leegyszerősödik, ahogy ezt a járadékszámításál már láttuk. 200 200 100 100 100 100 50 150 50 100 idı 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9... -2-1 300 150 450 PÉNZFOLYAMÁBRA A pézfolyam egyes elemeit yilakkal ábrázoljuk. A bevételeket felfelé mutató, míg a kiadásokat lefelé mutató yilakkal jeleítjük meg. A yilak hosszáak elvileg aráyosak kell leie a pézösszeg agyságával, de ezt a feltételt em midig sikerül betartai, így a legjobb, ha a yilak mellé odaírjuk az összeget is. Fotos megjegyezi, hogy az ábra midig a készítıje szempotjait tükrözi, így például ha egy hitelfelvételt ábrázolák, akkor az más-más ábrát eredméyeze a bak és a hitelfelvevı szempotjából. Pézfolyamábra A vizsgálat kezdıidıpotja midig a jele, azaz a 0. év, így az ábráak ics egatív ága. Láti fogjuk, hogy a gyakorlatba általába ics is szükség arra, hogy a múltbeli pézáramlásokat ábrázoljuk, de ha mégis, akkor az ábrát el kell toli oly módo, hogy az a 0. potba kezdıdjö. Az ábrázolás sorá ekük kell megválasztai az ábra léptékét, azaz el kell döteük, hogy milye idıközökét ábrázoljuk. A gyakorlatba általába ics lehetıség arra, hogy egy boyolult és sok elemő pézfolyam mide egyes elemét feltütessük, mert ekkor az ábra gyakorlatilag folytoossá vála. Így egy-egy idıitervallumot egy-egy yíllal ábrázoluk oly módo, hogy az adott idıszak bevételeit és kiadásait összegezve, azok eredméyét jeleítjük meg. Ez esetbe általába az eredméyt az adott idıitervallum végé jeleítjük meg, ahogy ezt a feti ábrá is tettük. 11
2.8 Folytoos kamatos kamatozás A korábbiakba a kamatos kamatozással, ill. a diszkotálással kapcsolatba kimodatlaul is azt feltételeztük, hogy a kamat fizetése kamatperiódusokét egyösszegbe az adott periódus végé törtéik. Elméletileg elképzelhetı lee, hogy a kamat kifizetése a periódus folyamá egyeletese, tetszılegese kicsiy részletekbe, azaz folytoosa törtéik. Emlékezzük csak vissza mit modtuk, hogy mi változik az összefüggéseikbe modjuk havi kamatozás eseté: Az idıszakok száma () helyére a hóapok számát helyettesítjük, az éves kamatláb (r) helyére pedig aak 1/12-ed részét. Ha em havota, haem évete m alkalommal törtéik kamatfizetés, akkor a kamatos kamat összefüggése az elıbb elmodottak alapjá a következıképpe változik: r P 1 = P0 (1 + ) m m Folytoos kamatozás eseté m, így a zárójelbe lévı függvéyt r m r r helyettesíthetjük a határértékével. Mivel lim (1 + ) = e, így P1 P0 e m m = adódik, ahol e a természetes alapú logaritmus alapja (megközelítıleg 2,718). Ha a folytoos rt kamatozás t éve keresztül folytatódik, akkor = P e. Pt 0 Folytoos kamatos kamatozás Természetese a gyakorlatba em fordul elı olya befektetés, ami folytoosa kamatoza, de eek segítségével potosabb számításokat végezhetük olya befektetések eseté, ahol a pézáramlások em évete egy alkalommal, haem az év sorá apró részletekbe viszoylag folytoosa elosztva jeletkezek. Ilye lehet például egy agyobb szálloda, vagy egy agy bevásárlóközpot, amelybe sok kisbérlı található. Ahhoz, hogy az ilye, folytoos pézáramlások jeleértékét felírhassuk, be kell vezetük a kamatitezitás (kamaterısség, ri) fogalmát mely em más, mit a folytoos kamatláb. A folytoos kamatláb az éves kamatlábból származtatható: r i = l( 1+ r), ahol r az éves kamatláb. Kamatitezitás A fetebb levezetett összefüggés alapjá egy jövıbeli pézösszeg jeleértéke folytoos kamatozást feltételezve: FV PV = r i t e 12
Egy külöbözı elemekbıl álló pézfolyam jeleértéke: PV = t= 1 C e t ri t, ahol Ct a t. évbe törtét pézáramlások egyelege. Egy örökjáradékkét viselkedı pézáramlás jeleértéke: PV = Egy auitás-szerőe viselkedı pézfolyam jeleértéke: A r i PV = 1 1 1 A r i t A (1 e ) r i t = ri ri e ri Végezetül szeretém megjegyezi, hogy a gyakorlatba sokszor megelégszük a jeleérték közelítı becslésével, így bár idokolt lee, mégsem haszáljuk feltétleül a folytoos kamatozást. A jeleértékszámításokál általába egy max. 5%-os hibát még el szoktuk fogadi és ha em túl magas kamatlábakkal kell dolgozuk, akkor a két eljárás közti eltérés belül marad eze a hibahatáro. Ez esetbe viszot valóba egyszerőbb az éves kamatozás haszálata. 2.9 Összefoglalás Eze egység taulmáyozása sorá Ö feleleveítette a sorozatokkal, azo belül is elsısorba a számtai és mértai sorozatokkal kapcsolatos legfotosabb tudivalókat. A számsorozatok ismerete elsısorba a boyolultabb pézáramlások modellezéséhez szükséges, mivel ha felismerjük, hogy egy pézfolyam valamely idıszakba hasolóképpe viselkedik, akkor azt egyszerőbbe kezelhetıvé tehetjük. Ahhoz, hogy a pézfolyam külöbözı idıpotokba jeletkezı elemeit össze tudjuk hasolítai, szükségük va egy olya módszerre, melyek segítségével mide pézösszeget egy közös idıpotra számíthatuk át. Ha közös idıpotak egy jövıbeli idıpotot választuk, akkor kamatos kamatszámításról (jövıérték-számításról), míg ha a közös idıpot a jele, akkor pedig jeleérték-számításról (diszkotálásról) beszélük. Járadékról akkor beszélük, ha azoos idıközökét redszerese azoos pézösszegek kifizetése, vagy befizetése törtéik. Ha egy pézfolyamba felismerjük a járadékszerő viselkedést, akkor aak jeleértékét a megtault összefüggések segítségével egyszerőe meg tudjuk határozi. A pézáramlások iráyától függıe győjtı-, vagy törlesztı-járadékról beszélhetük. Ha a járadék végtele hosszú idıszako keresztül jeletkezik, akkor azt örökjáradékak evezzük. 13
Persze ahhoz, hogy az esetleges szabályos viselkedést felismerjük, em árt ha ismerük valamilye grafikus módszert is a pézfolyam megjeleítésére. Potosa ezt a célt szolgálják az ú. pézfolyamábrák. A valóságba létezek olya befektetések, ahol a pézáramlások agyo sőrő követik egymást (a pézfolyamábra gyakorlatilag folytoossá válik). Ez esetbe a jeleértéket potosabba is kiszámíthatjuk, ha ú. folytoos kamatos kamatozást feltételezük. 2.10 Elleırzı kérdések 1. Mit evezük számtai sorozatak? 2. Mit evezük mértai sorozatak? 3. Mit értük kamat alatt? 4. Mit jelet az egyszerő kamatozás? 5. Mit evezük kamatos kamatak? 6. Mit jelet a péz idıértéke? 7. Hogya tudja kiszámítai egy pézösszeg jeleértékét? 8. Mi a külöbség a kamatláb és a diszkotláb között? 9. Hogya tudja kiszámítai egy pézfolyam jeleértékét? 10. Mit evezük járadékak? 11. Mi a győjtıjáradék? Hogya számítjuk ki? 12. Mi a törlesztıjáradék? Hogya számíthatjuk ki? 13. Mit értük auitás alatt? Hogya számítjuk ki a jeleértékét? 14. Mikor beszélük örökjáradékról? Hogya számítjuk ki a jeleértékét? 15. Mit értük övekvı tagú örökjáradék alatt? 16. Milye célt szolgálak a pézfolyamábrák? Milye koveciók szerit törtéik az ábrázolás? 17. Mit értük kamatitezitás (kamaterısség) alatt? 18. Folytoos kamatos kamatozást feltételezve hogya módosulak a jeleérték összefüggései? 14