5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra vagy lefelé törtéhet? P A P R I K A J F E L A D A T M A T E M A A P R I K A J A E L A D A T A T E M A T P R I K A J A N L A D A T T E M A T I R I K A J A N C A D A T E M A T I K I K A J A N C S D A T M A T I K A S Z A K K K A J A N C S I A T S Z A K K Ö T Z A K K Ö R 2. Háy olya legfeljebb ötjegyű szám va, amelyek mide jegye külöböző, és a számjegyei balról jobbra csökkeő sorredbe követik egymást? 3. Egy cukrászdába 5-féle süteméy kapható, midegyikből kellőe sok. Szereték 0 db süteméyt vei úgy, hogy e legye mid csupa külöböző. Háyféleképpe tehetjük ezt meg? 4. Háyféleképpe írhatjuk fel a 205-öt éháy (egy vagy több) pozitív egész szám összegekét, ha az összeadadók sorredje is számít? 5. Háy téglatest található egy 3 4 5-ös kockarácsba? 6. Egy zsákba 0 külöböző pár cipő található. Háyféleképpe vihetük magukkal a zsákból 6 darab cipőt úgy, hogy legye közöttük összetartozó pár? 7. Egy macska egy 0 szites lépcső legfelső szitjéről szerete lejuti a talajra éháy ugrással. Háyféleképpe teheti ezt meg, ha a) egyszerre bármekkorát tud ugrai, de midig csak letebbi szitre? b) egyszerre midig csak, 2 vagy 3 szitet ugorhat lefelé? c) egyszerre midig csak vagy 2 szitet ugorhat lefelé, de em ugorhat rá az alulról 4. lépcsőre? 8. Legfeljebb háy pozitív egész számot adhatuk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és külöbsége se legye osztható 205-tel? 9. Háy olya hatjegyű szám va, amelybe a számjegyek szorzata páros? 0. Felvettük három párhuzamos síko redre 8, 9 és 0 potot. Legfeljebb háy tetraédert határozhatak meg ezek a potok?. Háy olya ötjegyű szám va, amely 6-ra végződik és 3-mal osztható? 2. Egy 52 lapos fraciakártya-csomagot szétosztuk 4 játékos között. Háy olya leosztás va, amelybe mide játékosak jut legalább egy treff? (A fracia kártyába 4-féle szíű lap található, amely szíek egyike a treff, és mide szíből 3 lap fordul elő.)
3. 0 ember szíházba met, ahol midegyikük leadta a kabátját a ruhatárba (a kabátok mid külöbözőek). A szórakozott ruhatáros összecserélte a kiadott sorszámokat, és az előadás végé úgy adta vissza a kabátokat (mide emberek egyet-egyet), hogy seki sem a saját kabátját kapta vissza. Háyféle külöböző módo kaphatták vissza a kabátokat? (A visszaadás sorredje em számít.) 4. Nyolc ember sorba áll a mozi jegypéztárába. A jegy 000 Ft-ba kerül, a kasszába kezdetbe icse váltópéz. Négy ember 000 Ft-ossal, égy ember 2000 Ft-ossal fizet ez utóbbiakak csak akkor tud a péztáros visszaadi, ha kellő számú 000 Ft-ossal fizettek már. Háyféle sorredbe vehetek jegyet az emberek úgy, hogy mideki tudjo fizeti? (Az embereket em külöböztetjük meg.) 5. a) Háyféle sorredbe számíthatjuk ki a 23 456 7 szorzat értékét, ha egy lépésbe midig csak két szomszédos számot szorozhatuk össze? (Egy lehetséges sorred például, aláhúzással jelölve a lépéseket: 2 3 4 5 6 7 = 2 3 20 6 7 = 2 60 6 7 = 260 42 =20 42 =5040.) b) Háyféle sorredbe számíthatjuk ki a 23 456 7 szorzat értékét, ha egy lépésbe midig két tetszőleges számot szorozhatuk össze? (Egy lehetséges sorred például, aláhúzással jelölve a lépéseket: 2 3 4 5 6 7 = 2 8 4 5 7 =0 8 4 7 =80 4 7 =80 28 =5040.) c) Háyféleképpe helyezhetük el 5 zárójelpárt a 23 456 7 szorzatba úgy, hogy a műveletek elvégzésekor midig egy zárójele belüli két téyezőt kell összeszorozuk? (Az a) feladatba szereplő 2 3 4 5 6 7 = 2 3 20 6 7 = 2 60 6 7 = 260 42 =20 42 =5040 műveletsort például 2 3 4 5 6 7 a zárójelezéssel írhatjuk le.) 6. Háyféleképpe lehet egy kovex hatszöget egymást em metsző átlóival háromszögekre botai? 7. Esetleges zárójelek elhelyezésével háyféle eredméye lehet a 0 9 8 7 6 5 4 3 2 kifejezések? 8. Határozzuk meg 2 2 2 2... 0 2 értékét zárt alakba. 9. Az ; 2; 3; 4;...; 205 halmazból szereték kiválasztai Aáak egy A és Beáak egy B em üres részhalmazt úgy, hogy ezekek e legye közös eleme. Háyféleképpe tehetjük ezt meg? 20. 5 matematikataár 30 érettségi dolgozatot szerete elosztai javításra egymás között úgy, hogy midegyikük legalább egyet kijavítso. Háyféleképpe tehetik ezt meg? 2. Háyféleképpe lehet úgy sorozatba redezi az, 2, 3,, 0 számokat, hogy a kapott sorozat az elsőtől valaháyadik eleméig mooto övekedő, oatól pedig mooto csökkeő legye? (A két részsorozat határa akár a sorozat első vagy utolsó eleme is lehet.) 22. Határozzuk meg azo 4 4-es, emegatív egész számokat tartalmazó táblázatok számát, amelyekre teljesül, hogy mide sorba és mide oszlopba legfeljebb két em ulla szám található, továbbá mide sorba és mide oszlopba az ott található számok összege 3. Náboj Nemzetközi Matematika Csapatversey 204/205. 2
23. Egy 5 3-as rács bal felső sarkába ül egy egér (E), aki el akar juti a jobb alsó sarokba található sajthoz (S). Emellett a rács bal alsó sarkába ül egy rák (R), aki pedig a jobb felső sarokba található algalevelet (A) szemlélte ki magáak. A két állat egyszerre mozog a rácso: mide másodpercbe az egér egy rácsyit halad jobbra vagy lefelé, a rák pedig egy rácsyit halad jobbra vagy felfelé. Háyféleképpe érhetik el a céljukat úgy, hogy útközbe semelyik mező se találkozzaak? E A R S Náboj Nemzetközi Matematika Csapatversey 204/205. 24. Háy olya égyjegyű pozitív egész szám va, amelyek éháy számjegyét a szám elejéről (ugyaolya sorredbe) a szám végére helyezve visszakapható az eredeti szám? (Például az 234 em ilye, mert a 234, 342, 423 mid külöbözek tőle.) Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 204/205; kezdők, I-II. kategória,. forduló 25. Háy olya legfeljebb égyjegyű természetes szám va, amelyek számjegyei között több 2-es szerepel, mit -es? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 204/205; haladók, I. kategória,. forduló 26. Háyféle módo lehet felmei egy 25 lépcsőfokból álló lépcső, ha midig csak 2-t vagy 3-at léphetük felfelé? (Két feljutás külöböző, ha va legalább egy olya lépcsőfok, amelyre az egyik feljutásba rálépük, de a másikba em.) Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 204/205; haladók, II. kategória,. forduló 27. Felvettük 30 külöböző potot a síko úgy, hogy semelyik három em esik egy egyeesre. Mide potot összekötöttük mide másikkal, és a keletkező élek midegyikét pirosra vagy kékre szíeztük. Tudjuk, hogy így mide potból potosa 2 kék szíű él idul ki. Nevezzük egyszíűek azokat a háromszögeket, amelyekek midhárom csúcsa a 30 pot közül való, és midhárom oldala ugyaolya szíű. Összese háy egyszíű háromszög va az ábrá? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 20/202; haladók, III. kategória,. forduló 28. Megrajzoltuk egy kovex yolcszög összes átlójáak egyeesét, majd eze egyeesek összes metszéspotját. Legfeljebb háy metszéspot eshet a yolcszögö kívülre? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 204/205; haladók, III. kategória,. forduló 29. Háy olya pozitív egész szám va, amelybe a számjegyek összege és szorzata egyarát 24? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 20/202; haladók, I. kategória, 2. forduló 30. Háy olya sorredje va a 2007, 2008, 2009, 200, 20, 202, 203 számokak, amelybe bármely égy egymást követő szám összege osztható 3-mal? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 202/203; kezdők, II. kategória, dötő 3. Háy olya tízjegyű természetes szám va, amelybe az, 2, 3 számjegyek midegyike legalább kétszer szerepel, és ezeke a számjegyeke kívül más számjegy ics a számba? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 203/204; kezdők, II. kategória, dötő 3
32. Va 202 darab (em feltétleül külöböző) pozitív számuk: a, a 2,, a 202, amelyek összege 2S. A k természetes számot felezőek evezzük, ha az a i számok közül kiválasztható k darab, amelyek összege éppe S. Legfeljebb háy külöböző k természetes szám lehet egyszerre felező? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 20/202; haladók, III. kategória, dötő 33. Háyféleképpe olvasható ki az ábrából a BUDAPEST szó, ha csak jobbra és lefelé haladhatuk, és kettőél többször em léphetük egymás utá ugyaabba az iráyba? B U D A P E S T U D A P E S T D A P E S T A P E S T P E S T E S T S T T Zríyi Iloa Matematikaversey 20. évi feladata alapjá 34. Háyféleképpe juthatuk el a koordiátaredszer origójából a 4; 2 potba, ha 0 lépést teszük, mide lépésük egységyi hosszú és párhuzamos a tegelyek valamelyikével? OKTV 202/203; II. kategória,. forduló 35. Háy olya ötjegyű tízes számredszerbeli pozitív egész szám va, amelybe a számjegyek szorzata 50-re végződik? OKTV 203/204; II. kategória,. forduló 36. Tekitsük azokat az ötjegyű számokat, amelyek csak az 5, 6, 7, 8 számjegyeket tartalmazzák, de midegyiket legalább egyszer. Meyi ezekek az ötjegyű számokak az összege? OKTV 204/205; II. kategória,. forduló 37. Háy olya 50-jegyű tízes számredszerbeli pozitív egész szám va, amelyek mide számjegye páratla, és bármely két szomszédos jegy eltérése 2? OKTV 203/204; II. kategória, 2. forduló 38. Jelölje r az ; 2;...; halmaz azo részhalmazaiak számát, amelyek em tartalmazak szomszédos számokat, ahol az -et és az -et is szomszédosak tekitjük. Határozzuk meg r 6 értékét. x függvéy értelmezési tartomáya A, és mi- 39. Legye A ; 2; 3; 4; 5 és B ; 2; 3. Az f de A-beli x eseté f x A. Háy f x függvéyre teljesül, hogy OKTV 200/20; II. kategória, dötő f f x xa B? OKTV 20/202; II. kategória, dötő 4
II. Megoldások. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra vagy lefelé törtéhet? P A P R I K A J F E L A D A T M A T E M A A P R I K A J A E L A D A T A T E M A T P R I K A J A N L A D A T T E M A T I R I K A J A N C A D A T E M A T I K I K A J A N C S D A T M A T I K A S Z A K K K A J A N C S I A T S Z A K K Ö T Z A K K Ö R. megoldás: Írjuk be mide egyes mezőbe, hogy odáig háyféleképpe juthatuk el a bal felső sarokból. Ekkor az első sor és az első oszlop mide mezőjébe kerül, mide további mezőbe pedig a tőle közvetleül balra és a tőle közvetleül felfelé lévő szám összege (ha e két mező valamelyike üres, akkor azt 0-ak tekithetjük). A végeredméyt a szavak utolsó betűjéek megfelelő szám (illetve a második szó esetébe eze számok összege) adja. 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 3 6 0 5 2 28 36 3 6 0 5 4 0 20 35 56 84 20 4 0 20 5 5 35 70 26 20 330 5 5 6 2 56 26 252 462 792 6 Tehát a PAPRIKAJANCSI szót 792-féleképpe, a FELADAT szót 6 5 20 5 6 64 - féleképpe olvashatjuk ki. 2 3 4 5 6 3 6 0 5 2 4 0 20 35 56 5 5 35 70 26 26 26 26 26 26 26 252 378 504 630 756 26 378 756 260 890 2646 Tehát a MATEMATIKASZAKKÖR szót 2646-féleképpe olvashatjuk ki. 2. megoldás: A PAPRIKAJANCSI szó esetébe mide lehetséges kiolvasási útvoalo összese 7-szer lépük jobbra, 5-ször pedig lefelé. Ez megfordítva is igaz: ha 7 jobbra és 5 lefelé lépést tetszőleges sorredbe egymás utá íruk, akkor biztosa egy-egy jó kiolvasást kapuk. Elegedő tehát a 7 jobbra és 5 lefelé lépésből álló sorozatok számát meghatározi. Ha a jobbra lépést J-vel, a lefelé lépést L-lel jelöljük, a feladatuk a 7 db J és 5 db L betűből alkotható szavak számáak meghatározása. Ez pedig az ismétléses permutáció képletével 2! 2 792. 7! 5! 5 5
A FELADAT szó esetébe az F, E, L, A, D, A betűk bármelyiké állva 2-felé léphetük tovább (jobbra vagy lefelé), így a lehetséges lépéssorozatok száma 6 2 2 2 2 2 2 2 64. A MATEMATIKASZAKKÖR szó esetébe az S betű előtti A betű csak egy példáyba fordul elő, eze a mező tehát mideképpe áthaladuk, amely két részre tagolja az útvoalat. E két részbe a lehetőségek számát először külö-külö határozzuk meg. A PAPRIKAJANCSI szóál látottakat alkalmazva a MATEMATIKA kiolvasásához 5 jobbra és 4 lefelé lépés szükséges, ezt 9 tehát 26 -féleképpe tehetjük meg, az ASZAKKÖR kiolvasásához pedig 5 jobbra és 2 lefe- 4 7 lé lépés szükséges, ere 2-féle lehetőségük va. Mivel az első téglalap bármelyik útvoalát 2 a második téglalap bármelyik útvoalával folytathatjuk, így a lehetőségek száma összese 9 7 26 2 2646. 4 2 2. Háy olya legfeljebb ötjegyű szám va, amelyek mide jegye külöböző, és a számjegyei balról jobbra csökkeő sorredbe követik egymást? Ha meghatározzuk, hogy mely számjegyek szerepeljeek egy ilye számba, azokat már csak egyféle sorredbe (csökkeő sorredbe) írhatjuk egymás mellé. Elég tehát azt megézük, háyféleképpe választhatjuk ki a keresett számokba szereplő számjegyeket. 0 Ha a keresett szám ötjegyű, akkor a 0 számjegyből -féleképpe választhatuk ki 5-öt, így 5 eyi ötjegyű szám felel meg a feltételek (0-val em kezdődhet szám, de a kiválasztott 5 számjegy legagyobbika biztosa em 0). Hasolóképpe a keresett égyjegyű számokból 0 4, a há- 0 romjegyűekből 3, a kétjegyűekből pedig 0 darabot találuk. Az egyjegyű számok esetébe 2 9 már figyelük kell arra, hogy a 0-t em választhatjuk, így ott lehetőséget kapuk. Vagyis összese a feltételekek. 0 0 0 0 9 252 20 20 45 9 636 5 4 3 2 szám felel meg 3. Egy cukrászdába 5-féle süteméy kapható, midegyikből kellőe sok. Szereték 0 db süteméyt vei úgy, hogy e legye mid csupa külöböző. Háyféleképpe tehetjük ezt meg? Hagyjuk először figyelme kívül azt a feltételt, hogy em lehet mid a 0 süteméy külöböző. Ekkor 5 süteméyből kell k 0 darabot veük úgy, hogy az ismétlődés megegedett, és em számít a süteméyek kiválasztásáak sorredje. Ezt az ismétléses kombiáció képlete alapjá k 5 0 24 -féleképpe tehetjük meg. k 0 0 6
Ebből le kell vouk a rossz eseteket, amikor 0 külöböző süteméyt vettük, ezt 24 5 módo tehettük meg. Tehát a lehetőségek száma 96256 3003 958253. 0 0 7 5 -féle 0 4. Háyféleképpe írhatjuk fel a 205-öt éháy (egy vagy több) pozitív egész szám összegekét, ha az összeadadók sorredje is számít?. megoldás: Próbálkozzuk először a 205 helyett kisebb számokkal. Az -et -féleképpe írhatjuk fel (), a 2-t 2-féleképpe ( 2 ), a 3-at 4-féleképpe ( 3 2 2 ). Ie megsejthetjük, hogy az pozitív egész szám lehetséges felírásaiak száma 2. Sejtésüket teljes idukcióval igazoljuk. Az állítás a fet látott módo igaz, 2, 3-ra. Tegyük fel most, hogy az állítás igaz valamilye rögzített k-ra, majd lássuk be k -re. Tudjuk tehát, hogy a k pozitív egész számot 2 k -féle összegkét írhatjuk fel, és eek segítségével be szereték láti, hogy a k számot 2 k -féleképpe (vagyis kétszer ayi módo) írhatjuk fel. Tekitsük a k szám összegkét törtéő felírásait. Mide ilye felírásból képezhetjük a k szám két külöböző felírását: az egyiket úgy, hogy az utolsó összeadadót -gyel öveljük, a másikat pedig úgy, hogy még egy tagot az összeg végére íruk. (Például k 2 eseté a 2-ből kapjuk így a 3 és a 2 felírásokat, míg az -ből az 2 és az felírásokat.) Így a k szám 2 k k k külöböző felírásából a k szám 22 2 db felírását kaptuk. Ezek mid külöbözőek, továbbá a k szám tetszőleges felírása előáll így, hisze az eljárás visszafelé is egyértelmű (a k szám egy adott felírásából megkaphatjuk a k szám egy felírását úgy, hogy ha az utolsó öszszeadadó, akkor ezt elhagyjuk, ellekező esetbe pedig -gyel csökketjük). Tehát a k számra 2 k Vagyis a 205-öt 2. megoldás: lehetséges felírást kaptuk, ezzel az idukciós lépést beláttuk. 204 2 -féleképpe írhatjuk fel éháy pozitív egész összegekét. Tekitsük egy 205 cm hosszú szalagot, amely egész cetiméterekét be va jelölve. A 205 egy tetszőleges összegfelbotását megkaphatjuk úgy, hogy ezt a szalagot bizoyos bejelölésekél elvágjuk, és a keletkező darabokat sorba megfeleltetjük az egyes összeadadókak. (Például a 205 5 900 00 felbotást úgy kapjuk, ha a szalagot balról számítva 5 cm-él és 95 cm-él elvágjuk.) Mivel 204 jelölés va a szakaszo (-től 204-ig az egész cetiméterekél), ezért 204 helye döthetük egymástól függetleül arról, hogy elvágjuk-e a szalagot. Ez mideütt 2 lehetőséget jelet, így összese 2 2 2... 2 2 204 -féleképpe írhatjuk fel a 205-öt a vizsgált módo. 204 5. Háy téglatest található egy 3 4 5-ös kockarácsba? Helyezzük el a kockarácsot egy térbeli koordiátaredszerbe úgy, hogy a rácsegyeesek párhuzamosak legyeek a tegelyekkel, és a rács két átellees sarka a 0; 0; 0, illetve a 3; 4; 5 pot legye.
Ha a keresett téglatestek bármelyikét levetítjük az x, y, z tegelyekre, akkor midhárom esetbe egy-egy olya szakaszt kapuk, amelyek végpotjai egész számok, mégpedig az x tegelye 0 és 3 közötti, az y tegelye 0 és 4 közötti, a z tegelye 0 és 5 közötti értékek. Megfordítva, ha midhárom tegelye felveszük egy-egy ilye szakaszt, akkor ezek egyértelműe kijelölek egy megfelelő téglatestet, amelyek vetületei éppe az adott szakaszok. (Ha a szakaszok végpotjaiba merőleges síkokat állítuk a koordiátategelyekre, akkor e 6 sík éppe a megfelelő téglatestet határolja.) Elegedő tehát azt meghatározuk, hogy háyféleképpe választhatjuk ki ezt a három szakaszt az egyes koordiátategelyeke. Az x tegelye a 0,, 2, 3 számok közül kell kiválasztauk a szakasz két végpotját, ezt féleképpe tehetjük meg. Az y tegelye a 0,, 2, 3, 4 számok közül tegelye a 0,, 2, 3, 4, 5 számok közül 4 2-5 -féleképpe, míg a z 2 6 -féleképpe választhatuk. A választások egymástól 2 4 5 6 függetleek, így összese 6 0 5 900 téglatestet találuk a kockarácsba. 2 2 2 6. Egy zsákba 0 külöböző pár cipő található. Háyféleképpe vihetük magukkal a zsákból 6 darab cipőt úgy, hogy legye közöttük összetartozó pár? A jó esetek számát megkaphatjuk úgy, ha az összes eset számából kivojuk a rossz esetek számát 20 (ezt összes rossz módszerek is evezik). A zsákba lévő 20 cipő közül 6-ot összese 6 - féleképpe vehetük ki. Ezek közül rossz esetek számít, ha icse összetartozó pár a kivett ci- 0 6 pők között, vagyis mid a 6 cipő külöböző párból való. Erre 2 lehetőségük va, hisze ki 6 kell választauk a 0 párból 6-ot, majd mide ilye párból a bal vagy a jobb cipőt. Tehát a kedvező esetek száma 20 0 6 6 6 2 38760 3440 25320. 20 86 4 2 0 Megjegyzés: a rossz esetek számát a képlettel is megkaphatjuk (az első kiválasztott cipő 20-féle lehet, a második már csak a femaradó 9 párból valamelyik, azaz 8-féle 6! stb., majd leosztuk a lehetséges sorredek számával, hisze a magukkal vitel sorá em számít a 6 cipő kiválasztásáak sorredje). 8
7. Egy macska egy 0 szites lépcső legfelső szitjéről szerete lejuti a talajra éháy ugrással. Háyféleképpe teheti ezt meg, ha a) egyszerre bármekkorát tud ugrai, de midig csak letebbi szitre? b) egyszerre midig csak, 2 vagy 3 szitet ugorhat lefelé? c) egyszerre midig csak vagy 2 szitet ugorhat lefelé, de em ugorhat rá az alulról 4. lépcsőre? a) A macska az alsó 9 szit midegyikéről egymástól függetleül eldötheti, hogy ráugrik-e vagy -féle választási lehetőséget je- sem. Ez szitekét 2-féle választást, összese pedig let. 9 2 52 Megjegyzés: a feladat úgy is átfogalmazható, hogy a 0-et szereték éháy (egy vagy több) pozitív egész szám összegekét felíri, ahol az összeadadók sorredje is számít. Ekkor az összeadadók az egyes ugrások hosszát jelölik, például a 0 3 6 felbotás azt jeleti, hogy először 3-at, utáa 6-ot, végül pedig -et ugrik a macska. A korábba látott feladat alapjá ezt 0 9 2 2 -féleképpe lehet megtei. b) Oldjuk meg a feladatot először kisebb esetekre. Jelöljük a -el azt az értéket, aháyféleképpe az alulról -edik lépcsőről lejuthat a talajra a macska ( 0, egész szám). Nyilvá a, hisze az. lépcsőről út vezet a talajra. Továbbá a2 2 (vagy az. lépcső át jut le a macska, vagy rögtö a talajra ugrik), illetve a3 4 (az. és a 2. lépcső midegyikére vagy ráugrik, vagy em). Idáig a lehetőségek megegyezek az a) feladatrészbe látottakkal. Azoba a 4. lépcsőről már em ugorhat közvetle a talajra, ietől tehát változik a megoldás. Ha a 4. lépcsőfoko áll, akkor három lehetőségből választhat: a 3., a 2., vagy az. lépcsőre ugorhat. Ezeket redre a 3, a 2, illetve a -féleképpe fejezheti be, azaz a4 a3 a2 a 4 2 7. Ez az összefüggés a következő értékekre is teljesül, azaz mide 4 eseté a a a a. Így a5 7 4 2 3, a6 3 7 4 24, a7 24 3 7 44, 2 3 a8 44 24 3 8, a9 8 44 24 49 és a0 49 8 44 274. Tehát összese 274-féleképpe juthat le a macska. Megjegyzés: Ha bevezetjük az a0 és a 0 értékeket, akkor a megadott rekurzió már 2 eseté teljesül. c) Ha a b) rész mitájára b -el jelöljük az -edik lépcsőről való lejutások számát, akkor b, b2 2, továbbá 3 eseté b b b 2, de b4 0, hisze a 4. lépcsőfokot em érithetjük. Ezek alapjá b3 2 3, b4 0, b5 3 0 3 és b6 0 3 3. ( b 3 b 5 b 6 azért is yilvávaló, mert az 5. lépcsőfokról csak a 3. lépcsőfokra, míg a 6. lépcsőfokról csak az 5. lépcsőfokra ugorhatuk.) Folytatva a sorozatot, b7 3 3 6, b8 6 3 9, b9 9 6 5 és b0 5 9 24. Tehát összese 24-féleképpe juthat le a macska. Másképpe: ha a 4. lépcsőfok kihagyására voatkozó feltételtől eltekiteék, akkor éppe a Fiboacci-sorozat tagjait kapák:, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89. Így összese 89 útvoal lee, amelyekből ki kell vouk a rossz tehát a 4. lépcsőfokot éritő utak számát. A 0. lépcsőfokról a 4. lépcsőfokig 6 lépcsőt kell megtei, tehát itt éppe ayi út vezet, mit ameyi a 6. lépcsőfokról a talajra vezete, vagyis az előbbi sorozat 6. tagja, ami a 3. A 4. lépcsőfokról a talajig 5 út vezet, így a 4. lépcsőfokot éritő útvoalak száma 35 65. Vagyis a jó útvoalak száma 89 65 24. 9
8. Legfeljebb háy pozitív egész számot adhatuk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és külöbsége se legye osztható 205-tel? Két szám külöbsége potosa akkor osztható 205-tel, ha ugyaayi a 205-ös maradékuk. Két szám összege pedig potosa akkor osztható 205-tel, ha vagy midkét szám osztható 205-tel, vagy az egyik 205-ös maradéka, a másiké 205 (ahol 204 ). Készítsük 008 db skatulyát a 205-ös maradékok alapjá a következőképpe: egy skatulyába kerüljeek a 0 maradékot adó számok, a következőbe az vagy 204 maradékot adók, a következőbe a 2 vagy 203 maradékot adók, és így tovább általába az és a 205 maradékot adó számok kerülek azoos skatulyába, végül az utolsóba az 007 vagy 008 maradékot adók. Ekkor potosa abba az esetbe lesz két szám összege vagy külöbsége 205-tel osztható, ha ezek ugyaabba a skatulyába kerülek. Az eddigiek alapjá 008-ál több számot biztosa em tuduk megadi, hisze ekkor a skatulyaelv miatt valamelyik skatulyába egyél több szám kerüle. 008 számot viszot meg tuduk adi úgy, hogy midegyik külöböző skatulyába kerüljö, például az, 2, 3,, 007, 205 számok teljesítik ezt a feltételt. Tehát legfeljebb 008 számot adhatuk meg a kívát módo. 9. Háy olya hatjegyű szám va, amelybe a számjegyek szorzata páros? A számjegyek szorzata akkor páros, ha szerepel a számba páros számjegy. Egyszerűbb a rossz eseteket összeszámoluk: a számjegyek szorzata akkor páratla, ha mide számjegy páratla. Mivel 5 páratla számjegy va, ezért 6 5 ilye hatjegyű szám képezhető. A hatjegyű számok száma 5 5 6 9 0, így az összes rossz módszert alkalmazva 90 5 900000 5625 884375 olya hatjegyű szám va, amelybe páros a számjegyek szorzata. 0. Felvettük három párhuzamos síko redre 8, 9 és 0 potot. Legfeljebb háy tetraédert határozhatak meg ezek a potok? A tér égy külöböző potja midig tetraédert határoz meg, kivéve ha mid a égy pot egy síkba esik, vagy ha valamelyik három pot egy egyeesre esik. A lehető legtöbb tetraédert tehát akkor kapjuk, ha semelyik három pot em esik egy egyeesre, és a megadott három párhuzamos síko kívül ics másik olya sík, amelyre háromál több ese a potok közül. (A potok megfelelő kiválasztásával ezek a feltételek elérhetők.) 27 A megadott 8 9 0 27 pot közül -féleképpe választhatuk ki égyet. Ezek közül biztosa rosszak azok a választások, amikor mid a égy pot ugyaarra a síkra (az eredetileg 4 meg- 8 9 0 adott három párhuzamos sík valamelyikére) esik, ez 4 4 4 lehetőség. 27 8 9 0 7550 70 26 20 744 tetraédert 4 4 4 4 Tehát a potok legfeljebb 0
határozhatak meg.. Háy olya ötjegyű szám va, amely 6-ra végződik és 3-mal osztható? Keressük a kérdéses számokat abc 6 alakba, ahol a, b és c egyjegyű számok, továbbá a em lehet 0. A 3-mal oszthatóság feltétele, hogy a b c 6 osztható legye 3-mal. Válasszuk meg b és c értékét tetszőlegese (ez 0 0 00 ) lehetőség, majd mide ilye esetbe vizsgáljuk meg a b c 6 összeg 3-as maradékát. Ha ez 0, akkor a értéke 3, 6 vagy 9 lehet. Ha a maradék, akkor a értéke 2, 5 vagy 8 lehet. Ha pedig a maradék 2, akkor a értéke, 4 vagy 7 lehet. Tehát mide esetbe 3-féle értéket vehet fel a, így összese 300 300 megfelelő ötjegyű szám létezik. 2. Egy 52 lapos fraciakártya-csomagot szétosztuk 4 játékos között. Háy olya leosztás va, amelybe mide játékosak jut legalább egy treff? (A fracia kártyába 4-féle szíű lap található, amely szíek egyike a treff, és mide szíből 3 lap fordul elő.) Álljo a H alaphalmaz a kártyacsomag 4 játékos közötti összes lehetséges szétosztásából, továbbá legyeek eek A, A2, A3, A 4 részhalmazai azo szétosztások, amelyekbe az., 2., 3., illetve 4. játékosak em jut treff. Feladatuk ekkor H \ A A A A szita-módszert fogjuk alkalmazi. Tudjuk, hogy adhatjuk. Azt is tudjuk, hogy meghatározása, amelyre a 2 3 4 52 H 4, hisze mid az 52 lapot egymástól függetleül a 4 játékos bármelyikéek A A2 A3 A4 3 4 3 39, mert eze szétosztások esetébe a 3 treffet midig csak 3 játékos valamelyike kaphatja (például A esetébe csak a 2., 3. vagy 4. játékos), a femaradó 39 lapot pedig a 4 játékos bármelyike. A A2 A A3 A A4 A2 A3 A2 A4 A3 A4 2 4 3 39, hisze ekkor a 3 treffet csak 2 játékos valamelyike kaphatja (például A A2 esetébe csak a 3. vagy 4. játékos), a femaradó 39 lapot pedig továbbra is bárki. A A2 A3 A A2 A4 A A3 A4 A2 A3 A4 4 3 39, hisze ekkor a 3 treffet midig csak egy játékos kaphatja (például A A2 A3 esetébe csak a 4. játékos), a femaradó 39 lapot pedig továbbra is bárki. Végül A A2 A3 A4 0, hisze ekkor egyik játékos sem kaphata treffet, ilye szétosztás pedig yilvávalóa em létezik. A szita-módszer szerit H \ A A A A 2 3 4......... H A A A A A A A A A A, 2 2 3 2 3 4 ahol a redre az összes ugyaayi halmazból álló metszet felsorolását jeleti. A korábbi számításokat behelyettesítve a keresett meyiség 52 3 39 3 39 3 39 4 43 4 6 2 4 4 4 0 39 3 3 3 4 4 43 6 2 4, tehát eyi a megfelelő leosztások száma. (A végeredméy közelítő értéke 3,837 0.)
Megjegyzés: Egy jóak tűő, ámde hibás godolatmeet a következő: adjuk először mide játékosak egy-egy treffet (ezt 32 0 -féleképpe tehetjük meg), majd a femaradó lapokat osszuk szét tetszőlegese (erre 48 48 4 lehetőségük va). A végeredméy tehát 32 0 4. Ez 52 a megoldás yilvávalóa rossz, hisze a treffre voatkozó feltétel élkül is csak 4 -féleképpe oszthatók szét a lapok, ám a kapott végeredméy eél agyobb. (A hibát ott követtük el, hogy ha egy játékos több treffet is kap, ezeket az eseteket többször számoltuk meg aszerit, hogy melyik treffet kapta elsőek, és melyeket később.) 3. 0 ember szíházba met, ahol midegyikük leadta a kabátját a ruhatárba (a kabátok mid külöbözőek). A szórakozott ruhatáros összecserélte a kiadott sorszámokat, és az előadás végé úgy adta vissza a kabátokat (mide emberek egyet-egyet), hogy seki sem a saját kabátját kapta vissza. Háyféle külöböző módo kaphatták vissza a kabátokat? (A visszaadás sorredje em számít.) Álljo a H alaphalmaz a 0 kabát 0 ember közötti összes lehetséges szétosztásából, továbbá legyeek eek A, A2,..., A 0 részhalmazai azo szétosztások, amelyekbe az., 2.,, illetve 0. ember a saját kabátját kapja vissza. Feladatuk ekkor H \ A A... A amelyre az előző feladatba is látott szita-módszert fogjuk alkalmazi. meghatározása, 2 0 i Tudjuk, hogy H 0!, továbbá A 9! (ahol i 0 ), hisze ha az i-edik ember a saját kabátját kapja, akkor a femaradó 9 kabátot a többi 9 ember között 9!-féleképpe lehet kiosztai. Hasolóképpe A A 8! (ahol i, j 0 és i j), illetve bármely k részhalmaz metszetéek i j 0 elemszáma 0 k! (ahol k 0 ). Mivel k részhalmazt -féleképpe lehet kiválasztai, k így a szita-formulát felírva a keresett lehetőségek száma a következő: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0! 0 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2!! 0! 2 3 4 5 6 7 8 9 0 (ahol 0! alapjá az utolsó tag jelöli a 0 halmaz közös metszetét, vagyis azt az lehetőséget, amikor mideki a saját kabátját kapja vissza). Felhaszálva a k 0 0! 0! 0! 0! k k k! 0 k összefüggést, az előző eredméy fel-! k! írható 0! alakba is, amelyek potos értéke 0!! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 0! 33496. (A zárójelbe álló összeg értéke egyébkét azt mutatja meg, hogy a 0! összes esetek háyadrésze megfelelő számukra.) Tehát 33496-féleképpe kaphatták vissza a kabátokat. Megjegyzés: Felsőbb matematikai módszerekkel belátható, hogy ha értékét öveljük, akkor az... kifejezés értéke 0,369 0!! 2!! e -hez tart, tehát agy -ekre az összes lehetséges kiosztás kb. 36,9%-ába seki em a saját kabátját kapja vissza. 2
4. Nyolc ember sorba áll a mozi jegypéztárába. A jegy 000 Ft-ba kerül, a kasszába kezdetbe icse váltópéz. Négy ember 000 Ft-ossal, égy ember 2000 Ft-ossal fizet ez utóbbiakak csak akkor tud a péztáros visszaadi, ha kellő számú 000 Ft-ossal fizettek már. Háyféle sorredbe vehetek jegyet az emberek úgy, hogy mideki tudjo fizeti? (Az embereket em külöböztetjük meg.). megoldás: Jelöljük az 000 Ft-ossal fizető embereket -essel, a 2000 Ft-ossal fizetőket 2-essel. Ekkor mide jegyvásárlási sorred leírható az,,,, 2, 2, 2, 2 számok valamely sorredjével. Ezeket közvetleül egymás mellé fogjuk íri, például 2222 jelöli azt a yilvávalóa helyes sorredet, amikor először jöttek égye 000 Ft-ossal, majd utáuk égye 2000 Ft-ossal. Vegyük észre, hogy a péztáros potosa akkor em tud visszaadi egy 2000 Ft-osból, ha a sor elejétől ézve az éppe 2000 Ft-ossal fizető embert is beleszámítva többe fizettek 2000 Ftossal, mit 000 Ft-ossal. (Hisze mide 2000 Ft-ossal fizetőek vissza kell adi egy 000 Ftost.) Például az 2222 sorred eseté az aláhúzással jelölt helye em lehetséges a visszaadás, hisze amikor az illető 2000 Ft-ossal fizet, már ics 000 Ft-os a kasszába. Átfogalmazva, egy sorred potosa akkor helyes, ha bármelyik tagjáál megállva, odáig (vagyis egy kezdőszeletbe) legfeljebb ayi 2-es fordul elő, mit -es. (Ebből már az is következik, hogy a sor biztosa -essel kezdődik. Sőt, a sor biztosa 2-esre végződik, hisze ha -esre végződe, akkor az első hét tagja között három -es és égy 2-es lee, ami em helyes.) A helyes sorredeket meghatározhatjuk egyesével felírva, például övekvő csoportosítás szerit (vagyis úgy, hogy ha mide sorredet egy-egy yolcjegyű számkét tekitük, akkor ezek a számok övekvő sorba kövessék egymást). Ezek pedig a következők (a megoldásokat aszerit tagoltuk, hogy háy darab -es található a szám elejé): 2222 2222 2222 2222 2222 2222 2222 2222 2222 2222 2222 2222 2222 2222 Összese 4 megfelelő számot találtuk, tehát 4-féle sorredbe vehetek jegyet az emberek. 2. megoldás: Helyezzük a feladatot a derékszögű koordiátaredszerbe, mégpedig a következőképpe: mide egyes sorred eseté iduljuk az origóból, továbbá 000 Ft-ossal fizető ember eseté lépjük egyet jobbra, 2000 Ft-ossal fizető ember eseté pedig lépjük egyet felfelé. Ekkor a sor végére a 4; 4 potba kell eljutuk, és amikor utuk sorá az ; x y potba járuk, ez azt jeleti, hogy az addigi sorba x ember fizetett 000 Ft-ossal, y ember pedig 2000 Ft-ossal. Az előző megoldásból tudjuk, hogy mide egyes pillaatba teljesülie kell az y x feltételek. Mivel a lépéseket csak rácspotokba vizsgáljuk, feladatukat így is megfogalmazhatjuk: a 0; 0 -ból el kell jutuk a 4; 4 -be egységyi jobbra és felfelé lépésekkel úgy, hogy közbe em érithetjük az yx egyeest (evezzük ezt tiltott egyeesek). A következő ábra az 2222 lépéssorozatak megfelelő útvoalat és a tiltott egyeest szemlélteti. 3
Háy ilye útvoal létezik? Ezt az összes rossz módszerrel számoljuk ki. Ha a tiltott egyeest em kellee figyelembe veük (vagyis a kasszába lee elegedő váltópéz), akkor tetszőlegese lépheték jobbra és felfelé (vagyis az emberek tetszőleges sorredbe érkezhetéek), így 4 4 4 8 jobbra és 4 felfelé lépést összese 70 -féleképpe teheték meg. Ebből kell kivouk a rossz eseteket, vagyis az olya útvoalakat, amelyek sorá éritjük a tiltott egyeest 4 4 (evezzük ezeket rossz útvoalakak). Ezek összeszámlálására alkalmazhatjuk a következő ötletet: bármely rossz útvoal eseté tekitsük az első olya pillaatot, amikor rálépük a tiltott egyeesre. Az origótól idáig terjedő útszakaszt tükrözzük tegelyese a tiltott egyeesre (emiatt tükrözési elvek is hívják ezt a módszert), az út további részét pedig hagyjuk változatlaul. A következő ábrá a folytoos zöld voallal jelölt útszakaszt tükröztük, a tükörképet szaggatott zöld voallal jelöltük: Mivel az origó tükörképe a ; pot, így a tükrözött útvoal, valamit az eredeti útvoal folytatása együttese egy ; -ből 4; 4 -be vezető útvoalat ad. Ugyaígy mide origóból iduló rossz útvoalak megfeleltethető egy olya útvoal, amely a ; -ből a 4; 4 -be vezet. Megfordítva, mide ; -ből 4; 4 -be vezető útvoalak is megfeleltethető egy origóból iduló 4
rossz útvoal, hisze a ; -ből a 4; 4 -be csak úgy juthatuk el, hogy legalább egyszer éritjük a tiltott egyeest ha pedig az első éritési potig terjedő útszakaszt tükrözzük a tiltott egyeesre, akkor éppe az origóból iduló rossz útvoalat kapjuk. Így a rossz útvoalak kölcsööse egyértelműe megfeleltethetők a ; -ből 4; 4 -be vezető útvoalakak. Ez utóbbiakat pedig köye összeszámolhatjuk: összese 5-ször kell jobbra lép- 5 3 8 ük, 3-szor felfelé, így az útvoalak száma 56. 3 5 Mivel összese 70 útvoal va, amelyek közül 56 rossz, így a jó útvoalak vagyis a yolc ember helyes sorredjeiek száma 70 56 4. Megjegyzés: Ez utóbbi megoldás köye általáosítható arra az esetre, ha ember fizet 000 Ftossal és ember 2000 Ft-ossal ( pozitív egész). Jelöljük a helyes sorredek számát a -el. Ekkor 2 az összes útvoal száma, a rossz útvoalaké pedig 2 hisze a ; -ből az ; potba haladva összese -szer kell jobbra lépi, felfelé pedig -szer, így a rossz utak száma 2. Vagyis a helyes sorredek száma 2 2 a. Algebrai át- alakítással ez az eredméy a 2 alakra is hozható. 5. a) Háyféle sorredbe számíthatjuk ki a 23 456 7 szorzat értékét, ha egy lépésbe midig csak két szomszédos számot szorozhatuk össze? (Egy lehetséges sorred például, aláhúzással jelölve a lépéseket: 2 3 4 5 6 7 = 2 3 20 6 7 = 2 60 6 7 = 260 42 =20 42 =5040.) b) Háyféle sorredbe számíthatjuk ki a 23 456 7 szorzat értékét, ha egy lépésbe midig két tetszőleges számot szorozhatuk össze? (Egy lehetséges sorred például, aláhúzással jelölve a lépéseket: 2 3 4 5 6 7 = 2 8 4 5 7 =0 8 4 7 =80 4 7 =80 28 =5040.) c) Háyféleképpe helyezhetük el 5 zárójelpárt a 23 456 7 szorzatba úgy, hogy a műveletek elvégzésekor midig egy zárójele belüli két téyezőt kell összeszorozuk? (Az a) feladatba szereplő 2 3 4 5 6 7 = 2 3 20 6 7 = 2 60 6 7 = 260 42 =20 42 =5040 műveletsort például 2 3 4 5 6 7 a zárójelezéssel írhatjuk le.) a) A szorzat kezdetbe hattéyezős, azaz 5 szorzásjel (vagyis 5 egymás melleti számpár) található bee. Ezek közül bármelyiket választhatjuk első lépésbe. Az első szorzás elvégzése utá öt téyező marad, 4 szorzásjellel, amelyek közül bármelyikkel folytathatjuk, és így tovább. A lehetőségek száma tehát 5! 20. b) A szorzat kezdetbe hattéyezős, azaz 6 szám közül választhatjuk ki azt a kettőt, amelyeket először összeszorzuk. Erre 6 5 2 lehetőségük va. Az első szorzás elvégzése utá öt téyező marad, tehát 5 szám közül választhatjuk ki a két összeszorzadót, ezt 5 0 -féleképpe tehet- 2 5
jük meg. Ezt folytatva, a lehetőségek száma 2 2 2 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 5 350 2 2 2 2 2 2. c) Először is vegyük észre, hogy ez a kérdés külöbözik az a)-ba szereplő kérdéstől. Ugyais bár az a) feladat mide egyes sorredje kijelöl egy zárójelezést, ezek em feltétleül mid külöbözők. (Megfordítva, ha adott egy zárójelezés, akkor lehet, hogy az alapjá akár többféle sorredbe is elvégezhető a szorzás.) Egy kisebb példá szemléltetve, a 2345 szorzat esetébe a 23 4 5= 64 5 = 6 20 =20 és a 23 4 5= 2 3 20 = 6 20 2 3 4 5 =20 sorred egyarát ugyaahhoz a zárójelezéshez vezet. Tehát a c) kérdésre adadó válasz kisebb, mit az a) kérdésbe szereplő 20 lehetőség. Vizsgáljuk meg a feladatot kisebb esetekre! Jelöljük b -el azt az értéket, aháyféleképpe egy - téyezős szorzatba zárójelpár elhelyezhető. Ekkor a feladatuk b 6 meghatározása. Egy -téyezős szorzat -féleképp zárójelezhető (úgy, hogy em teszük bele zárójelet), így b. Egy 2-téyezős szorzat is -féleképp zárójelezhető: 23, így b2. Egy 3-téyezős szorzat 2-féleképp zárójelezhető: 2 3 4 és 2 3 4, így b3 2. Egy 4-téyezős szorzat 5-féleképp zárójelezhető: 23 4 5, 23 4 5, 2 3 4 5 és 2 3 4 5 2 3 4 5, így b4 5., Megfigyelhetjük, hogy a legkülső zárójelpár midig a műveletsor legelejé és legvégé áll (hisze az utolsó szorzás elvégzésekor már csak két téyező szerepel, és ez a zárójelpár ezeket határolja). Próbáljuk meg a 4-téyezős szorzat zárójelezéseit visszavezeti a korábbi esetekre! Csoportosítsuk az eseteket aszerit, hogy melyik szorzást végezzük el legutoljára! A következőkbe vastagítással jelöljük az utoljára elvégzett szorzás jelét, és eek helye szerit tagoljuk oszlopokra az eseteket: 23 4 5 2 3 4 5 23 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 Vegyük észre, hogy ha az utolsó szorzásjel a 2 és a 3 közötti, akkor eek elvégzése előtt egy - téyezős (2) és egy 3-téyezős ( 345 ) szorzatot kell egymástól függetleül zárójelezük. Ha az utolsó szorzásjel a 3 és a 4 közötti, akkor eek elvégzése előtt egy 2-téyezős ( 23 ) és egy másik 2-téyezős ( 45 ) szorzatot kell egymástól függetleül zárójelezük. Ha pedig az utolsó szorzásjel a 4 és az 5 közötti, akkor eek elvégzése előtt egy 3-téyezős ( 234 ) és egy -téyezős (5) szorzatot kell egymástól függetleül zárójelezük. Így a b4 b b3 b2 b2 b3 b összefüggést kapjuk, vagyis 5 2 2. Tehát a 4-téyezős szorzat zárójelezhetőségeiek száma megkapható úgy, ha a 4-et felbotjuk két pozitív egész szám összegére az összes lehetséges módo ( 3, 2 2, 3 ), majd az összegekbe szereplő sorszámú b értékeket párokét összeszorozzuk, és e szorzatokat összeadjuk. Ugyaez a godolatmeet továbbvihető a b sorozat következő éháy tagjáak meghatározására: b5 b b4 b2 b3 b3 b2 b4 b 5 2 2 5 4 6
b6 b b5 b2 b4 b3 b3 b4 b2 b5 b 4 5 22 54 42 Tehát a feladatba szereplő 6-téyezős 23 456 7 szorzatba 42-féleképpe helyezhetük el 5 zárójelpárt. Megjegyzés: Észrevehetjük, hogy például b5 4 megegyezik az előző feladatba szereplő a4 4 értékkel. Igazolható, hogy ( a 0 bevezetésével) mide természetes számra teljesül az a összefüggés, azaz egy -téyezős szorzatba ugyaayiféleképpe helyezhetük el b zárójelpárt, mit aháyféleképp 2 ember db 000 Ft-ossal és db 2000 Ft-ossal fizethet az előző feladat feltételeiek megfelelőe. Így a mostai feladatba rekurzív módo meghatározott b b b b2 b 2... b 2 b2 b b sorozatra is adható explicit képlet: b a, vagyis 22 22 b. E sorozat tagjai (mid explicit, mid rekurzív formába megadva) az 2 úgyevezett Catala-számok (Eugée Charles Catala XIX. századi belga matematikusról elevezve). Az első éháy Catala-szám:,, 2, 5, 4, 42, 32, 429. 6. Háyféleképpe lehet egy kovex hatszöget egymást em metsző átlóival háromszögekre botai?. megoldás: A hatszög háromszögekre botásához 3 átlót kell behúzuk. Esetszétválasztással kapjuk, hogy ezek léyegébe háromféleképpe helyezkedhetek el: egy csúcsból kiiduló három átló: három egymáshoz csatlakozó átló: három átló, amelyek egy háromszöget alkotak: Ez összese 6 6 2 4 eset, tehát 4-féleképpe botható háromszögekre egy hatszög. 2. megoldás: Vizsgáljuk meg a kérdést kisebb oldalszámú sokszögekre! Jelöljük c -el azt az értéket, aháyféleképpe egy kovex -szög ( 3 ) egymást em metsző átlóival háromszögekre botható. Nyilvá c3, hisze egy háromszöget em kell tovább botai, így az -féleképpe botható háromszögekre. 7
c4 2, hisze a égyszög 2-féleképpe botható háromszögekre: c5 5, hisze az ötszög 5-féleképpe botható háromszögekre: Az előző megoldásba már láttuk, hogy c6 4, ezt azoba a közvetle összeszámlálás helyett megpróbáljuk most a kisebb esetekre visszavezeti. Rögzítsük a hatszög egy tetszőleges oldalát (az ábráko vastagítással jelöljük), és alkalmazzuk esetszétválasztást aszerit, hogy ez az oldal melyik háromszögek lesz része: Az első esetbe a berajzolt háromszög mellett még egy ötszöget kell háromszögekre botauk, ezt tehát c5 -féleképpe tudjuk folytati. A második esetbe egy háromszöget és egy égyszöget kell egymástól függetleül háromszögekre botauk, itt tehát c3 c4 a lehetséges folytatások száma. A harmadik esetbe hasolóa egy égyszöget és egy háromszöget kapuk, a folytatások száma c4 c3. Végül a egyedik esetbe újra egy ötszöget kapuk, amelyet c5 -féleképpe tuduk befejezi. A középső két esetbe a behúzott háromszög két oldalá egy-egy sokszög (háromszög és égyszög) keletkezett. Az első és az utolsó esetet is átfogalmazhatjuk így: ekkor a háromszög egyik oldalá ugya em keletkezett sokszög, azoba ha ezt a részt egy elfajuló sokszögek (kétszögek) tekiteék, és bevezeték a c2 jelölést (vagyis esetek tekiteék e kétszög felbotását is), akkor a korábbról már ismerős c6 c2 c5 c3 c4 c4 c3 c5 c2 összefüggést kapák, ahoa c6 5 2 2 5 4 adódik. Megjegyzés: A most rekurzíva defiiált c c2 c c3 c2... c2 c3 c c2 sorozatról belátható, hogy az megegyezik az előző két feladatba megjeleő Catala-számokkal, mégpedig c b a2 (például 4 c6 b5 a4 ). 7. Esetleges zárójelek elhelyezésével háyféle eredméye lehet a 0 9 8 7 6 5 4 3 2 kifejezések? Először megmutatjuk hogy az esetlegese elhelyezett zárójelek felbotásával (és elhagyásával) a kifejezés 0 9 8 7 6 5 4 3 2 alakúra hozható, sőt, mide ilye alakú műveletsor előállítható az eredeti kifejezésből megfelelő zárójelezéssel. Ehhez elég azt megfigyelük, hogy tetszőleges zárójel elhagyásakor a zárójel előtti előjel megfordítja a zárójelbe szereplő előjele- 8
ket, például 0 9 8 7 0 9 8 7 vagy 8 7 6 5 8 7 6 5. Tehát ha kívülről befelé haladva egyesével elhagyjuk a zárójeleket, akkor mide ilye esetbe felcserélődek a + és előjelek a zárójeles részbe. Mivel az első zárójelet leghamarabb a 9-es elé tehetjük ki (a 0 elé em érdemes, hisze ez em változtat a végeredméye), ezért a 9 előjele biztosa egatív marad, leghamarabb a 8 előjelét, legkésőbb pedig az előjelét tudjuk megváltoztati. Most megmutatjuk, hogy a 0 9 8 7 6 5 4 3 2 kifejezésbe bárhogya is választjuk meg az előjeleket, az így kapott műveletsor előállítható az eredetiből megfelelő zárójelezéssel. Eek egyik lehetséges módja, hogy balról jobbra megvizsgáljuk az előjeleket, és ahol előjelváltás törtéik (+ utá következik vagy fordítva), ott elkezdük egy zárójelet (az előjelváltás előtt), amelyet a következő előjelváltás előtt bezáruk. Például a 0 9 8 7 6 5 4 3 2 esetet a 0 9 8 7 6 5 4 3 2 zárójelezéssel kaphatjuk. (Ugyaezt más zárójelezéssel is előállíthaták.) Tehát feladatuk a 0 9 8 7 6 5 4 3 2 lehetséges eredméyeiek vizsgálatára egyszerűsödött. A kifejezés értékéek miimuma 0 9 8 7 6 5 4 3 2 0 45 35, maximuma 0 9 8 7 6 5 4 3 2 36 37. Vegyük észre, hogy a kifejezés értékéek paritása álladó (jele esetbe midig páratla), hisze ha egy tetszőleges a helyett a -t íruk, akkor az összeg 2a -val, azaz páros számmal csökket (a fordított esetbe pedig ugyaeyyivel őtt). Megmutatjuk, hogy a kifejezés mide 35 és 37 közötti páratla értéket felvehet. Ezt úgy igazoljuk, hogy a 0 9 8 7 6 5 4 3 2 35 kifejezésbe éháy előjelet +-ra cserélük úgy, hogy ezáltal 2-vel, 4-gyel, 6-tal,, 72-vel öveljük a végeredméyt. Ha 2 -el szereték öveli a végeredméyt, akkor ehhez összese -et kell adi azo ( és 8 közötti) számok összegéek, amelyek előjelét módosítottuk (ahol 36 ). Az és 36 közötti egész számok pedig mid előállíthatók az, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 számok közül éháy összegekét, például úgy, hogy a kívát összegből midig levojuk a lehetséges legagyobb számot, amelyik még redelkezésükre áll (a 9 esetébe például 9 8, 7 4 és 4 4 0, tehát 8 7 4 9 ). Mivel 37 35 72 35 36 2, ezért összese 37 páratla szám található 35 és 37 között (a határokat is beleértve). Vagyis összese 37-féle eredméye lehet a kérdéses kifejezések. 8. Határozzuk meg 2 2 2 2... 0 2 értékét zárt alakba. Az k k összefüggést felhaszálva a kifejezés a következő alakra hozható:... 0 2 2 0 Tekitsük egy zsákba piros és kék golyót (az azoos szíű golyókat megkülöböztetjük egymástól). Ha szereték e 2 golyóból összese darabot kiválasztai, ezt egyrészt yilvá 2 -féle módo tehetjük meg. Másrészt a választásokat csoportosíthatjuk aszerit is, hogy melyik szíű golyóból háy darabot választottuk. Ha pirosból 0, kékből darabot választottuk, ezt 9
-féleképpe tehettük meg. Ha pirosból, kékből darabot választottuk, akkor erre 0 lehetőségük volt, és így tovább, i piros és i kék golyó eseté a lehetséges választások száma éppe, ahol 0 i. Ezek éppe a vizsgált összegbe szereplő tagok. i i Mivel ugyaazt a meyiséget kétféleképpe is meghatároztuk (a módszert kettős leszámlálásak 2 is evezik), ezért a két eredméy szükségképpe egyelő, így a kérdéses kifejezés értéke. 9. Az ; 2; 3; 4;...; 205 halmazból szereték kiválasztai Aáak egy A és Beáak egy B em üres részhalmazt úgy, hogy ezekek e legye közös eleme. Háyféleképpe tehetjük ezt meg?. megoldás: Ha Aáak egy -elemű részhalmazt választuk (ahol 204 ), akkor Bea részhalmazába a femaradó 205 szám közül választhatuk. Mivel 205 elem közül -et 205 -féleképpe választhatuk, továbbá egy k-elemű halmazak 2 k em üres részhalmaza va, ezért a lehetőségek száma felírható a következőképpe: 205 205 205 205 2 i 204 204 203 205 i 2 2... 2... 2 Ebből átalakítás utá kapjuk a következő kifejezést: 205 204 205 203 205 205 205 205 2 2... 2... 2 204 2 204 205 205 205 205 Tudjuk, hogy... 2 (az egyelőség midkét oldalá egy 205-0 205 elemű halmaz részhalmazait számoljuk össze, a bal oldalo elemszám szeriti botásba). Azt is tudjuk, hogy a biomiális tétel alapjá: 205 205 205 205 205 3 2 2 2 2... 2 0 2 205 205 205 0 204 203 2 0 205 E két összefüggést felhaszálva a vizsgált kifejezés a következő alakra hozható: 205 205 205 0 205 0 205 205 205 205 3 2 2 2 0 205 0 205 Tehát a lehetséges kiválasztások száma 3 205 2 205 2 205 3 205 2 2 205 205 205 3 22. 20
2. megoldás: Az alaphalmaz mid a 205 elemét 3 külöböző helyre tehetjük: az A részhalmazba, a B részhal- 205 mazba, illetve egyikbe sem. Ez 3 -féle szétosztást jelet, azoba ezek közül ki kell vouk azokat az eseteket, amikor A vagy B valamelyike (esetleg midkettő) üres. Ha az A részhalmaz üres, akkor mid a 205 elemet két helyre tehetjük: a B részhalmazba, illetve 205 205 egyikbe sem, ez 2 lehetőség. Ugyaígy 2 azo lehetőségek száma is, amikor a B részhalmaz üres. De ha A és B egyszerre üres, ezt az egy esetet midkét alkalommal megszámoltuk. Tehát a rossz esetek száma 205 22, így a jó esetek száma 205 205 3 22. 20. 5 matematikataár 30 érettségi dolgozatot szerete elosztai javításra egymás között úgy, hogy midegyikük legalább egyet kijavítso. Háyféleképpe tehetik ezt meg? Álljo a H alaphalmaz a 30 érettségi dolgozat 5 taár közötti összes lehetséges szétosztásából, továbbá legyeek eek A, A2, A3, A4, A 5 részhalmazai azo szétosztások, amelyekbe az., 2., 3., 4., illetve 5. taárak em jut dolgozat. Feladatuk ekkor H \ A A A A A meghatározása, amelyre a szita-módszert fogjuk alkalmazi. Tudjuk, hogy 30 H 5, hisze a 30 dolgozat midegyikét az 5 taár bármelyikéek adhatjuk. Továbbá 2 3 4 5 30 Ai 4 (ahol i 5 ), hisze ha az i-edik taárak em jut dolgozat, akkor mide dolgozatot 4 taár valamelyikéek adhatuk. Hasolóképpe A 30 i Aj 3 (ahol i, j 5 és i j), illetve bármely k részhalmaz metszetéek elemszáma 5 k 30 (ahol k 5). Mivel k részhalmazt 5 -féleképpe lehet kiválasztai, így a szita-formulát felírva a keresett lehetőségek k 30 5 30 5 30 5 30 5 30 5 30 száma 5 4 3 2 0 (ahol az utolsó tag jelöli az 5 halmaz 2 3 4 5 metszetét, amely yilvávalóa üres, hisze ekkor egyik taár se kaphata dolgozatot). A lehetséges szétosztások száma tehát értéke 20 9,256 0.) 30 30 30 30 5 5 4 03 0 2 5. (A végeredméy közelítő 2. Háyféleképpe lehet úgy sorozatba redezi az, 2, 3,, 0 számokat, hogy a kapott sorozat az elsőtől valaháyadik eleméig mooto övekedő, oatól pedig mooto csökkeő legye? (A két részsorozat határa akár a sorozat első vagy utolsó eleme is lehet.) Nyilvávaló, hogy a övekedő és a csökkeő részsorozatot elválasztó elem csak a 0 lehet, hisze eél agyobb elem ics a megadott számok között. Így a sorozatba a 0 előtti elemekek övekvő, a 0 utái elemekek csökkeő sorredbe kell következiük. Ezért mide ilye sorozatot egyértelműe meghatároz a 0 előtti elemek halmaza (ezeket az elemeket övekvő sorredbe kell felsoroluk, majd a 0 utá a maradék elemeket csökkeő sorredbe). Mivel az, 2, 3,, 9 számok midegyikéről egymástól függetleül eldöthetjük, hogy a 0 előtt vagy utá álljo, ezért a 0 előtti elemek halmaza 9 2 52 -féle lehet. Ez az érték egyébkét meg- 2
egyezik az ; 2; 3;...; 9 halmaz részhalmazaiak számával. Vagyis 52-féle lehetséges sorozatba redezés létezik. 22. Határozzuk meg azo 4 4-es, emegatív egész számokat tartalmazó táblázatok számát, amelyekre teljesül, hogy mide sorba és mide oszlopba legfeljebb két em ulla szám található, továbbá mide sorba és mide oszlopba az ott található számok összege 3. Náboj Nemzetközi Matematika Csapatversey 204/205. Bármely sorba, illetve oszlopba a megadott feltételek mellett csak kétféleképpe lehet 3 az öszszeg: vagy egy -es és egy 2-es szerepel bee (és két 0), vagy egy 3-as (és három 0). Ez utóbbit az előző lehetőség speciális esetekét is értelmezhetjük: ha ugyaazo mezőbe került egy -es és egy 2-es. Így (a 0-kat figyelme kívül hagyva) biztosa állíthatjuk, hogy mide sor/oszlop potosa egy -est és potosa egy 2-est tartalmaz (esetleg ugyaabba a mezőbe). Ez azt is jeleti (mivel két 2-es em állhat ugyaazo sorba/oszlopba), hogy mide ilye táblázat felbomlik két olya 4 4-es táblázat elemekéti összegére, amelyek közül az egyik mide sorába és oszlopába potosa egy 2-est tartalmaz, a másik pedig mide sorába és oszlopába potosa egy -est. Megfordítva pedig, két ilye táblázat összege yilvá mide esetbe teljesíti a feladat feltételeit. Elegedő tehát az ilye táblázatpárok darabszámát meghatározuk. Mivel egy 4 4-es táblázat 4!-féleképpe tölthető ki (például 2-essel) úgy, hogy mide sorba és mide oszlopba potosa egy mezőbe kerüljö szám, ezért a vizsgált lehetőségek száma 2 2 4! 24 576. 23. Egy 5 3-as rács bal felső sarkába ül egy egér (E), aki el akar juti a jobb alsó sarokba található sajthoz (S). Emellett a rács bal alsó sarkába ül egy rák (R), aki pedig a jobb felső sarokba található algalevelet (A) szemlélte ki magáak. A két állat egyszerre mozog a rácso: mide másodpercbe az egér egy rácsyit halad jobbra vagy lefelé, a rák pedig egy rácsyit halad jobbra vagy felfelé. Háyféleképpe érhetik el a céljukat úgy, hogy útközbe semelyik mező se találkozzaak? E A R S Náboj Nemzetközi Matematika Csapatversey 204/205. A két állat csak a középső sorba tud összetalálkozi (hisze ha például a felső sorba találkozáak, akkor az egér eddig a pillaatig csak jobbra mozoghata, de a rákak ugyaeyi jobbra lépés mellett még felfelé is kellee haladia, ami több időbe tele). Ha ismerjük midkét állat esetébe, hogy a középső sorba mely (szomszédos) mezőkö haladt át, ebből már a teljes útvoalukat meg tudjuk határozi. Mivel a középső sor bármely mezőjére midkét állat potosa ugyaayi idő alatt tud csak eljuti (balról jobbra redre, 2, 3, 4, illetve 5 másodperc alatt), ezért akkor és csak akkor em találkozak, ha a középső sorba megtett útvoalrészleteik em metszik egymást. Vagyis azt kell megszámoluk, hogy a középső sorból háyféleképpe választhatuk ki két diszjukt szakaszt (szakasz alatt most egy vagy több szomszédos égyzetet értük). 22