Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat Egyeletes eloszlásra Normalitásra Kétmitás próbák: Átlagra, aráyra (szórásra) Többmitás próba: ANOVA (Variacia-aalízis) 1
Hipotézis-vizsgálat Bevezetı példa: Eldötedı kérdés (hipotézis): igaz-e, hogy az 5 g feliratú kávés zacskók átlagos tömege valóba 5 g? Mitavétel: 1, mitaátlag 48 g, a mita (korrigált) szórása 3 g. Megoldás az átlag-becslés módszerével: µ X x ± z s µ X 48 ± 1,96 Következtetés: A kapott itervallumba a hivatalos 5 g em esik bele. A hipotézist em fogadjuk el. 3 1 3 Megoldás a hipotézis-vizsgálat módszerével: 1) A hipotézisük az, hogy a zacskók átlagos tömege 5 g. ) Ha ez igaz, akkor a z s x kifejezés értéke (jó közelítéssel) stadard ormál eloszlású. X 5 3) Tehát a mita-átlag stadardizált értékéek 95 % valószíőséggel az [- 1,96; 1,96] itervallumba kellee esi. 4) A z függvéy értéke z 48 5 3 1 Ez kívülesik a feti [- 1,96; 1,96] itervallumo, tehát agy valószíőséggel em igaz a hipozézis! s x 6,67 4
A hipotézis: A hipotézis-vizsgálat alapfogalmai a sokaság egy paraméterére vagy tulajdoságára voatkozó feltevés, (amelyek a feállását a mita alapjá elleırizzük.) Null-hipotézis H Elle-hipotézis (alteratív hipotézis) H 1 Egyoldali és kétoldali próba Próba-fv: Olya fv, amely a mitelemek értékéhez egy ismert eloszlású értéket (valószíőségi változót) redel. (Azaz: egy mitából számolható olya érték, amely mitáról mitára változik.) 5 Alapfogalmak (folyt.) Elfogadási tartomáy: ha a ullhipotézis helytálló, akkor (adott megbízhatósági szite) a próbafüggvéy értéke ebbe a tartomáyba esik. Ha a próbafv értéke ide esik, akkor H -t elfogadjuk. Elutasítási (kritikus tartomáy): ha a próbafüggvéy értéke ide esik, a ullhipotézist el kell vetük. Kritikus érték: az elfogadási és az elutasítási tartomáyt elválasztó érték (az elutasítási tartomáy részéek tekitjük). 6 3
Az egy- és kétoldali próba A ull-hipotézis (H ) midig egyelıség Ha az alteratív hipotézis (H1) em egyelı agyobb kisebb ( X X, P P σ σ ) ( X X, P P σ σ ), ( X > X, P > P, σ > σ ) ( X < X, P < P σ < σ ),, kétoldali próba jobboldali próba baloldali próba 7 A statisztikai próba lépései és általáos logikája a) A hipotézisek: H és H 1 felállítása b) Próba-fv megválasztása és kiszámítása c) A kritikus érték(ek) meghatározása, és ezzel az elfogadási és elutasítási tartomáy meghatározása adott α szigifikacia-szite d) Eek alapjá dötés a hipotézisekrıl. Logika: Ha a -hipotézis igaz, akkor 95 % valószíőséggel a próba-fv értékéek az elfogadási tartomáyba kell esie. - Ha odaesik, ics okuk kétségbe voi a -hipotézist. - Ha em esik bele, akkor viszot elutasítjuk a -hipotézist és az alteratíváját fogadjuk el. 8 4
Az átlagra voatkozó hipotézis-elleırzés próbafüggvéyei A sokaság NORM, A szórás ismert: z σ Stadard ormális eloszlás A sokaság Norm, A szórás em ismert: s t Nagy eseté a Studet eloszlás helyett z eloszlás. t-eloszlású: (Szabadságfok: -1 s z 9 A sokasági átlagra voatkozó próba a) Hiptozésisek H b) A próbafüggvéy: c) Kritikus érték (tábl.-ból): X X H1 : : X X z H : X > X 1 Vagy: H : X < X 1 Vagy: Vagy: σ s t d) Következtetés: 1 5
PÉLDA A korábbi példa: Eldötedı kérdés (hipotézis): igaz-e, hogy az 5 g feliratú kávés zacskók átlagos tömege valóba 5 g? Mitavétel: 1, mitaátlag 48 g, a mita (korrigált) szórása 3 g. 11 Megoldás: Hipotézisek: H : X 5 H 1 : X 5 (Kétoldali) Próba-fv: 48 5 6, 67 3 1 z s x Kritikus érték: α,5 eseté z a - 1,96 és z f 1,96 Következtetés: z értéke az elutasítási tartomáyba esett, H 1 -et fogadjuk el, H -t elutasítjuk 5%-os szigifikacia szite 1 6
Elkövethetı hibák H hipotézist elfogadjuk elvetjük H hipotézis Igaz Helyes dötés Elsıfajú hiba Hamis Másodfajú hiba Helyes dötés 13 15. Példa Egy TV képcsı típus átlagos élettartama a gyártó vállalat szerit ezer óra. Az élettartam közelítıleg ormáleloszlást követ. Egyszerő véletle mitavétellel kiválasztott 5 képcsı átlagos élettartama 19,4 ezer óra volt, az átlagtól való eltérés átlagosa 1, ezer óra. Állapítsa meg, va-e szigifikás külöbség a gyártó állítása és a megfigyelt élettartam között! (α,5) 14 7
16. Példa Egy személygépkocsifajta átlagos fogyasztása a gyártó vállalat szerit 7 liter/1 km EV mitavétellel kiválasztott 5 gépkocsi átlagos fogyasztása 7,5 volt, az átlagtól való eltérés átlagosa 1,8 liter / 1 km volt. A sokasági eloszlás közelítıleg ormálisak tekithetı. Állapítsa meg, va-e szigifikás külöbség a gyártó állítása és a téyleges fogyasztás között! (a,5) 15 Sokasági aráyra voatkozó próba Ha kismita, akkor : Biomiális eloszlás Ha elég agy a mita, és P és (1 P) em túl kicsi, akkor : z P p P ( 1 P ) Stad orm 16 8
A sokasági aráyra voatkozó próba a) Hiptozésisek b) A próbafüggvéy: H z c) Kritikus érték (tábl.-ból): P P H1 : : P P Vagy: P p P ( 1 P ) H : 1 P P H : 1 P P Vagy: d) Következtetés: 17 17. Példa Egy új típusú TV készülékre voatkozóa a fejlesztık és techológusok elvárása, hogy a készülékek maximum 1%-a fog garaciális javításra szoruli. Az új típus 3 kisérleti darabjából 6 db-ot kellett garaciális idıszakba javítai. Elleırizze 5%-os szigifikacia szite azt a hipotézist, hogy az új típusál valóba 1% alatti a garaciális javítási aráy! 18 9
Egy mammut-cég dolgozóiból vett 4 fıs mitából 14 fı válaszolta, hogy doháyzik. Az országos átlag 31 %. 18. Példa Elleırizze 5%-os szigifikacia szite azt a hipotézist, hogy a) a cégál a doháyosok aráya megegyezik az országos átlaggal! b) a cégál a doháyosok aráya agyobb, mit az országos átlag! c) Nics-e elletmodásba a két eredméy? 19 19. Példa Egy ember telepatikus képességét kell teszteli. Azt állítja, hogy megérzi, hogy a szomszéd szobába fehér vagy feketeruhás egyé va. A kísérletet 1-szor elvégezve 6-szor talált. a) Elfogadjuk-e %-os szigifikacia szite, hogy emberük redelkezik telepatikus képességgel? b) Elfogadjuk-e 5%-os szite? 1
. Példa Tesztelük egy pézérmét, szabályos-e -szor feldobtuk, 88-szor fej lett. Elfogadható-e az állítás, hogy szabályos az érme? 1 a) Hipotézisek: b) Próba-fv: A szóráségyzetre voatkozó próba meete A Khi-égyzet próba feltétele: a sokasági eloszlás ormális χ c) Kritikus érték (táblázatból): d) Következtetés: H : σ σ 1 H : H : 1 H : 1 ( 1) s σ χ krit Jobboldali α Baloldali: Kétoldali: Szabadságfok: -1 ( 1 α) ( 1 ) α és α valószíőséghez tartozó érték 11
Példa a szóráségyzet tesztelésére Igaz-e, hogy a testmagasság sokasági szórása 15 cm? Véletle mita, 1, s 14 cm. A testmagasság ormális eloszlású. a) Hipotézisek: b) Próba-fv: c) Kritikus érték (táblázatból): d) Következtetés: 3 Köszööm a figyelmüket! 4 1