Neutrínóoszcilláció és kvantumösszefonódás részletes vizsgálata

Neutrínóoszcilláció és kvantumösszefonódás részletes vizsgálata Meszéna Balázs 2010. május 26. Témavezet : Patkós András 1

Tartalomjegyzék 1. A kísérleti helyzet 2 2. Az oszcilláció standard leírása 6 3. Bomlás során keletkez neutrínók leírása 8 3.1. Az oszcilláció közelít formulája............................ 8 3.2. Numerikus számolások................................. 13 4. A neutrínó "hullámfüggvénye 13 5. S r ségmátrix 18 5.1. Közegen való áthaladás................................ 19 Bevezetés Az elmúlt fél évszázadban a neutrínózika a kísérleti részecskezika fontos részterületévé vált. A dolgozatban a neutrínófajták egymásbaalakulásának, a neutrínóoszcillációnak elméleti leírásával foglalkozunk. Az els szakaszban, bevezetésként ismertetünk néhány, az oszcilláció jelenségét bizonyító kísérletet. Ezt követ en, felidézzük a jelenség egyszer sített, jól ismert levezetését. Ebb l megkaphatjuk a legfontosabb összefüggést: az oszcillációs hossz és a neutrínótömegek közti összefüggést. Azonban látni fogjuk, hogy ez a leírás elméleti szempontból nem tekinthet tisztának. Ez motiválja a dolgozat f részét, melyben egy részecskebomlás során keletkez neutrínó-lepton pár összefonódott állapotának elemzéséb l származtatjuk az oszcillációt. Ez a leírás is, mint ahogy a standard tárgyalás, egydimenziós egyenesvonalú terjedést leíró lesz. A 3.1 szakaszban levezetünk egy közelít formulát az oszcillációra a szokásos leíráshoz képest új paraméterekkel, melyek meghatározzák az oszcilláció részleteit. Ennek eredményeként olyan jelenségeket vizsgálunk meg, melyeket a standard formalizmus nem tartalmaz. Ezek után a fenti modellben a közelítéseket nem tartalmazó képletet használva numerikusan is megvizsgáljuk az oszcillációt, és ezt összevetjük a közelít képlettel. Az ezt követ szakaszban megvizsgáljuk a neutrínó megtalálási valószín ségét a tér és az id függvényében. Végül megkonstruáljuk a neutrínó s r ség-mátrixát, amelynek fejl dését vizsgáljuk a neutrínónyaláb anyagon való áthaladása során. 1. A kísérleti helyzet 1964-ben John Bahcall végzett el ször részletes számítást a Napban zajló fúziós folyamatokat leíró Napmodellel a keletkez neutrínó uxusra. A számítást a kísérleti kimutatás célja motiválta. A neutrínók észlelése nehéz feladat, mivel a neutrínók nagyon gyengén hatnak kölcsön az anyaggal. Így a detektoroknak kis hatásfokú, hatalmas berendezéseknek kell lenniük. 2

Az els meghatározó mérés a témában R. Davis nevéhez f z dik. Ez volt a Homestake kísérlet az 1960-as években, amely a klórnak neutrínó besugárzás hatására bekövetkez argonná alakulásán alapult. A kutatók a föld alá telepítettek egy 600 tonna tetraklór-etilént tartalmazó tartályt. A beérkez neutrínók reakcióba léptek a klóratomokkal: ν e + 37 Cl 37 Ar + e. (1) A keletkez argon radioaktív, melyet a kísérletiek kémiai módszerekkel néhány hetente kigy jtöttek a tartályból és megmérték az aktivitását. Ezzel állapították meg mennyi neutrínó érkezett be. A kísérlet során a Napból jöv neutrínóuxusra jóval kisebb értéket mértek a kutatók, mint azt várták. Sokan azonban nem bíztak ebben a mérésben a rengeteg hibaforrása miatt. A kísérletben azt találták, hogy átlagosan naponta 0.5 argon atom keletkezik, azaz néhány atomot kellett kigy jteni a hatalmas tartályból! Ennél megbízhatóbb méréseket végeztek a Japánban található Super-Kamiokande (SK) detektorral 1998-ban. Ez egy 1000m-rel a föld alatt lév 50000 tonnás víztartályból áll, melynek falán fotoelektron-sokszorozók vannak. A detektálás alapja a ν α + e ν α + e, α = e, τ, µ (2) reakció során meglök dött elektron által kibocsátott Cserenkov-sugárzás. Ez egy kúp mentén történik, a tartály falán ennek vetületét láthatjuk. A detektor szintén elektron-neutrínóra a legérzékenyebb (ennek a folyamatnak a legnagyobb a hatáskeresztmetszete). A mérések eredménye itt is az volt, hogy szignikánsan kevesebb neutrínót mértek, mint az várható volt. Ezek magyarázatának a neutrínóoszcillációt javasolták, mely szerint a különböz fajtájú (íz ) neutrínók egymásba alakulhatnak. Így a Napban keletkez elektron-neutrínók egy részét tau-, illetve müon-neutrínó formájában kell keresnünk! Ehhez egy olyan detektorra volt szükség, amely érzékeny mindhárom ízre. Ezért hozták létre 1999-ben a Kanadában lév Sudbury Neutrino Observatory-t (SNO), mely 2000m-rel a föld alatt 1000 tonnányi nehézvizet tartalmazott. A detektálás alapja a következ reakciók voltak: ν e + d p + p + e (3) ν α + d p + n + ν α (4) ν α + e ν α + e (5) Ezek közül a kegfontosabb a középs reakció, mivel az egyenl mértékben érzékeny mindhárom neutrínó-fajtára. A kísérletek eredményét és az oszcilláció nélküli elméleti várakozást az 1. ábra foglalja össze. Az utolsó oszlopon látszik az SNO-ban mért teljes neutrínóuxus és a Napmodellb l számolt elméleti érték egymáshoz viszonyított értéke. Láthatjuk, hogy a két érték a hibán belül megegyezik. A második természeti neutrínókkal meggyelt jelenség az atmoszférikus neutrínókkal kapcsolatos. A légkörben lév atommagok és a kozmikus sugárzás er sen kölcsönhat egymással és pionok keletkeznek. Utóbbi egy müonra és müon-neutrínóra bomlik: π + µ + + ν µ. (6) 3

1. ábra. A Nap-neutrínó kísérletekben mért neutrínóuxusok és elméleti jóslatuk összehasonlítása. Forrás: http://indico.cern.ch/getfile.py/access?resid=1&materialid=slides&confid=57523 A müon pedig tovább alakul pozitronná, elektron-neutrínóvá, valamint anti-müon-neutrínóvá. µ + e + + ν e + ν µ. (7) Ebb l azt várjuk, hogy a detektált ν µ : ν e arány 2:1 lesz. A Super-Kamiokande-ban vizsgálták 1998-tól kezdve az elektron-, illetve müon-neutrínó uxust a bejöv neutrínók iránya és a zenit közt bezárt szög függvényében. Ennek eredményét láthatjuk a 2. ábrán[6]. Látható, hogy a zenit fel l érkez neutrínókra nagyjából teljesül a 2:1-es arány, azonban a Föld túloldaláról érkez neutrínókra egyáltalán nem. Ezt a jelenséget is magyarázza az oszcilláció elmélete, miszerint a távolról érkez müonneutrínók egy része tauneutrínóvá alakul. Léteznek reaktoros kísérletek is, melyek atomer m ben termel d izotópok gyenge bomlásából származó, mesterséges neutrínónyalábbal dolgoznak. 2005-ben a KamLand detektorral mérték a környez reaktorokban inverz béta-bomlással keletkez anti-elektron-neutrínóuxust és a beérkez neutrínók energiáját. Így a spektrumról kaptak információkat. A 3. ábrán[5] látható az elektron-neutrínó megtalálási valószín sége L 0 /E ν függvényében, ahol L 0 a reaktor és a detektor távolsága, E ν pedig a beérkez neutrínó energiája. Ez az egyetlen eddigi olyan kísérlet, ahol közvetlenül sikerült egy oszcillációs periódust kimérni. Megemlítjük még a K2K kísérletet, melyben a KEK gyorsítóból jöv pionokat irányítottak a Super-Kamiokande felé. A mérés elrendezése a 4. ábrán látszik. 12 GeV-es protonnyaláb csapódott egy alumínium targetbe, ahol pionok keletkeztek. Ezeket egy 200 méteres bomlási cs be fókuszálták, ahol az alábbi reakció megy végbe: π + µ + + ν µ. (8) A neutrínók egy közeli detektorhoz érkeztek, mely a SK-detektor kicsinyített mása. Ezek után a 4

2. ábra. SK detektor elhelyezkedése az atmoszférikus neutrínók mérésében (balra). Elektron-, illetve müon-neutrínóuxus a zenitszög függvényében(jobbra). 3. ábra. A KamLand mérés eredménye. Az elektron-neutrínó megtalálási valószín sége L 0 /E ν függvényében. 5

4. ábra. A K2K kísérlet elvi felépítése.forrás: http://neutrino.kek.jp/intro/k2k.html nyaláb tovább haladt a 250km-re lév Super-Kamiokande detektorhoz. Így össze tudták hasonlítani a közeli és távoli detektorokba érkez neutrínók számát. Ezzel a méréssel is az oszcilláció jelenségét sikerült meger síteni. Látható, hogy a pion bomlásában keletkez neutrínók fontos szerepet kapnak a kísérletekben. Ugyanezen az elven m ködik az USA-ban lév MINOS kísérlet. Itt a neutrínók a Fermilabban keletkeznek, továbbá itt található a közeli kis detektor is. A távoli, nagy detektor ett l 735km-re, Észak Minnesotában a Soudan bányában helyezkedik el. 2. Az oszcilláció standard leírása Sok esetben a három neutrínó keveredésének leírása helyett két neutrínóval is lehet tárgyalni a jelenséget közelít leg. Pl. a müon-neutrínó els sorban tau-neutrínóvá alakul. Tekintsük át a neutrínóoszcilláció szokásos, egyszer levezetését két neutrínó oszcillációjára korlátozódva! A = 1, c = 1 egységrendszert használjuk. Eszerint az íz sajátállapotok (f 1, f 2 ) nem esnek egybe a tömeg sajátállapotokkal: Egy reakció során íz sajátállapotok keletkeznek, amik nem sta- ahol θ a keveredési szög. cionáriusak. f 1 >= cos θ a > + sin θ b >, (9) f 2 >= sin θ a > + cos θ b >, (10) Ψ(0) >= f 1 > (11) Ψ(t) >= cos θ a > exp( ie a t) + sin θ b > exp( ie b t), (12) ahol E a = m 2 a + p 2 a p impulzusú, m a tömeg neutrínó energiája. A valószín sége annak, hogy t id múlva f 1 íz neutrínót találunk a következ : P 1 = cos 4 θ + sin 4 θ + 1 2 sin2 (2θ) cos(e a E b )t. (13) Mivel a neutrínó tömege a kinetikus energiájához képest kicsi E a E b m2 a m2 b 2p = m2 2p. Általában az oszcillációt nem az id függvényében vizsgáljuk, hanem a keletkezés helyét l való eltávolodás függvényében, vagy rögzített távolságnál az energia függvényében (ld. 3. ábra). Mivel a neutrínó gyakorlatilag fénysebességgel terjed x t. Így P 1 = cos 4 θ + sin 4 θ + 1 2 sin2 (2θ) cos m2 x. (14) 2p 6

Ha három neutrínó keveredését vizsgáljuk, a fentinél bonyolultabb lesz az oszcillációs görbe. Ilyen oszcillációk láthatóak az általam készített számítógépes Mathematica demonstráción[3], ahol a keveredési szögek és a neutrínó tömegértékek változtathatók. Az oszcillációs modell paramétereinek az 1. fejezet kísérleteinek együttes leírásával mért értékei (forrás: http://en.wikipedia.org/wiki/neutrino_oscillation): θ 12 = 33.9 +2.4 2.2, (15) θ 23 = (45 ± 7), (16) m 2 21 = 8.0 +0.6 0.4 10 5 ev 2, (17) m 2 23 m 2 31 = 2.4 +0.6 0.5 10 3 ev 2. (18) Az (1,2) index adatok a napneutrínó jelenséget meghatározó paraméterek. A (2,3) index ek pedig a müon-neutrínó tau-neutrínóba alakulásának paraméterei. Továbbá θ 13 -ról tudjuk (ami a ν τ ν e átalakulásért felel s), hogy 3 -nál kisebb, így a müon-neutrínó oszcillációját jól közelíthetjük 2 fajta neutrínó gyelembe vételével (mint ahogy azt tettük). Látható, hogy m 2 23-nek, illetve m 2 31-nek az el jelét nem ismerjük, így kétféle sorrendje lehet a tömegértékeknek. Az egyik lehet ség a normál tömegspektrum: m 1 < m 2 << m 3. A másik az invertált spektrum: m 3 << m 1 < m 2. Ezek ismeretében már meg tudjuk állapítani, hogy mikor tárgyalhatunk egy jelenséget két neutrínó gyelembevételével három helyett. Amennyiben müon-neutrínó keletkezik egy folyamatban, akkor tau-neutrínó fog els sorban keletkezni, mivel m 23 >> m 21. A levezetés és a kapott eredmény megragadja a legfontosabb tulajdonságát a jelenségnek, azonban több kérdés is felmerül vele kapcsolatban. 1. A számolásban nem tör dtünk a neutrínó koordinátatérbeli hullámfüggvényével, azonban a x t helyettesítés csak akkor értelmes, ha a részecske jól lokalizált (helybizonytalansága sokkal kisebb, mint az a távolság, amit a neutrínó megtesz miközben egy periódusnyit oszcillál). Ehhez a neutrínó impulzusának elég határozatlannak kell lennie. 2. Másrészr l a levezetésben határozott impuzussal számoltunk (nem is beszélve arról, hogy a két neutrinó diszperziós relációjába ugyanazt a p értéket írtuk), tehát a valódi bizonytalanság csak kicsi lehet. Világos, hogy a neutrínót hullámcsomagként lehet csak elképzelni, melynek impulzusbizonytalansága teljesíti a fenti követelményeket[1]. 3. Amennyiben a határozott tömeg neutrínókat síkhullámként kezeljük, felmerül a kérdés, hogyan tud két különböz frekvenciájú hullám interferálni. 4. Egy másik érdekességet is érezhetünk kvalitatívan, amir l a fenti eredmény semmit nem tud. A két különböz tömeg neutrínó csoportsebessége egy kicsit eltér egymástól, így hosszú id múlva a hozzájuk tartozó, adott kiterjedés hullámfüggvények átfedése megsz - nik[1](a gyorsabb elhagyja a lassabbat). Mivel így az interferencia jelleg tag megsz nik, az oszcillációnak is le kell csengenie. Ezt követ en állandó számú neutrínót találunk minden ízb l. Pl. f 1 neutrínó megtalálási valószín sége a következ lesz: P 1 = cos 4 θ + sin 4 θ. (19) 7

5. A levezetésben a neutrínó impulzusa határozott volt, energiája pedig határozatlan. Ezt a tulajdonságát kézzel raktuk bele. Megkérdezhetjük, hogy miért nem határozott energiával és határozatlan impulzussal számoltunk. Vagy továbbmenve: miért nem volt az energia és az impulzus is határozatlan? 6. Tudjuk továbbá, hogy keletkeznek egyéb részecskék is a neutrínók mellett egy folyamatban. Ezeknek szintén van energiájuk, impulzusuk, így ahhoz, hogy az energia-, illetve impulzusmérleggel elszámoljunk, ezeket is gyelembe kell venni. Ezek vezetnek ahhoz az igényhez, hogy a jelenség elméletét megértsük precízebben, kevesebb feltételezéssel. A fentiekb l világos továbbá, hogy ehhez egy olyan konkrét, teljesebb kvantummechanikai modell szükséges, amely a bomlást kell részletességgel írja le. 3. Bomlás során keletkez neutrínók leírása 3.1. Az oszcilláció közelít formulája A neutrínók nem forrásmentesen keletkeznek, hanem egy bomlás során. Tárgyalásunkat a jelenség elején kezdjük: a bomló részecskénél. Majd a neutrínó és a bomlás során keletkezett másik részecske együttes hullámfüggvényét analizálva fogjuk az oszcillációt értelmezni. A jelenség prototípusa a pion bomlás: π + µ + + ν µ, általában ezt fogjuk a szemünk el tt tartani. Azonban az oszcilláció részletei megértésének, illetve numerikus vizsgálatok céljából nemcsak a fenti reakció adataival fogunk dolgozni, hanem az adatokat egy széles tartományban hangoljuk. Továbbá egydimenziós modellel dolgozunk. A közelít számolás alapötlete, valamint a kapott eredmények egy része az [2] cikkben is megtalálható, azonban a dolgozatban a számolás menete részben eltér a cikkt l, melynek eredményeként egy általánosabb, több részletet tartalmazó kompakt formulát kapunk. A két neutrínó-tömegállapotba való bomlást két külön csatornának tekintjük. Meg fogjuk határozni a keletkezett neutrínó-müon kétrészecske hullámfüggvényt külön arra a két esetre amikor m a, illetve m b tömeg neutrínó keletkezik. A bomlás során keletkezett állapot Ψ(x 1, x 2, t) >= cos(θ) a > ψ a (x 1, x 2, t) + sin(θ) b > ψ b (x 1, x 2, t). (20) Itt tehát ψ a (ψ b )az m a (m b ) tömeghez tartozó térbeli hullámfüggvény, a > (illetve b >) pedig az egyik íz-térbeli tömegsajátállapot. A hullámfüggvényeket Weisskopf-Wigner közelítéssel[4] határozzuk meg. El ször fel6írjuk a szabad, bomló pion hullámfüggvényét. Az M tömeg, Γ tömegbizonytalanságú (azaz szélesség ) pion hullámcsomag a következ alakú az exponenciális bomlástörvény szerint: ψ π0 = dpf(p) exp[ipx (ie p + MΓ/2E p )t], (21) ahol a p impulzushoz tartozó energia: E p = p 2 + M 2. Mivel Γ a nyugalmi rendszerbeli félszélesség, ez mozgó rendszerben MΓ/E p -vé transzformálódik. A normáltság miatt f(p) 2 = 1 2π. 8

Ekkor, elegend en hosszú id után, mikor az összes pion elbomlott (azaz t E p /MΓ), a Weisskopf-Wigner közelítésben a müon és neutrínója összefonódott hullámfüggvénye [2] alapképlete szerint: ψ γ = N dp 1 dp 2 f(p) exp(ip 1x 1 + ip 2 x 2 i(e 1 + E 2 )t), (22) E 1 + E 2 E p + imγ/2e p ahol a γ index az a, vagy b értékeket veheti fel, p = p 1 + p 2. A fenti képlet levezetésének vázlata a Függelékben található. Az 1 index utal valamelyik határozott tömeg neutrínóra, a 2-es pedig a müonra. N a normálási tényez N = 1 2π ΓM v12 /E P, itt P az f(p) függvény maximumhelye. A számolás során feltételezzük, hogy ez a maximum elég éles, azaz P sokkal nagyobb, mint az impulzus bizonytalansága. Ehhez hasonlóan jelöljük a keletkez részecskék impulzusainak legvalószín bb értékét P 1, illetve P 2 -vel. Ekkor v 12 = v 1 v 2 = P 1 /E(P 1 ) P 2 /E(P 2 ) a legvalószín bb relatív sebessége a két részecskének. Mivel a neutrinó gyakorlatilag fénysebességgel halad: v 1 1, v 12 = 1 v 2 (feltételezzük, hogy a neutrínó jobbra halad a pozitív irányba). Ebben a pontban azt vizsgáljuk, mekkora annak a valószín sége, hogy müon-neutrínót detektálunk bármilyen helykoordinátával. Ekkor tehát a müont nem észleljük, így x 2 koordinátára kiintegrálunk. Gyakorlatban a mérés egy adott méret (emberi léptékekhez képest meglehet sen nagy) detektorral történik. Amennyiben ennek mérete nagyobb, mint a neutrínó helybizonytalansága, úgy egy valódi kísérletben a neutrínó hullámfüggvényének részleteit nem tudjuk mérni, csak a detektor méretének megfelel intervallumon történ integrálját (azonban a detektor méretének pontosságával meg tudjuk mondani, hol van a neutrínó a detektálás pillanatában). Mint látni fogjuk a 4. szakaszban, a neutrínó térbeli szétkentsége legalább 1/Γ a pion nyugalmi rendszerében. Pl. pion bomlás esetén 1/Γ néhány méter nagyságrend, míg a detektorok mérete több tíz méter. Ekkor tehát x 1 -re ki kell integrálnunk a detektor méretének megfelel en. Ha azonban ez sokkal nagyobb, mint a neutrínó helybizonytalansága, úgy korlát nélkül végezhetjük az integrálást. A müon-neutrinó állapot: cos(θ) a > + sin(θ) b >. Így ez a valószín ség a következ : P = cos 4 θ + sin 4 θ + 2 sin 2 (θ) cos 2 (θ)rei, (23) ahol I = dx 1 dx2 ψaψ b. Ennek a mennyiségnek a kiszámolása okozza a nehézséget, ezt fogjuk közelít leg megtenni. Elvégezve a koordinátákra vonatkozó integrált: I = (2πN) 2 f(p) 2 exp(i(e a E b )t) dp 1 dp 2 (E a + E 2 E p imγ/2e p )(E b + E 2 E p + imγ/2e p ), (24) ahol E a = m 2 a + p 2 1. Mivel a neutrínó tömege kicsi a tipikus impulzusához képest, az el z képletet sorbafejthetjük: E a E b = m2 a m2 b 2p 1 = m2 2p 1. P 1, illetve P 2 -t energia- és impulzusmegmaradásból határozhatjuk meg. A neutrínó tömegét elhanyagolva: P 1 + P 2 = P, (25) P 1 + P2 2 + m2 = M 2 + P 2, (26) ahol m a müon tömege. Most fejtsünk sorba a (24) kifejezésben a számlálóban és a nevez ben x = p 1 P 1, illetve y = p 2 P 2 szerint lineáris rendig. Továbbá használjuk a v = P/E P jelölést: 9

(2πN) 2 exp(i m2 t) 2P 1 f(p) 2 exp( i m 2 x 2 t) P1 dp 1 dp 2 2 ( m2 a 2P 1 + (1 v)x + (v 2 v)y imγ/2e P ) 1. ( m2 b 2P 1 + (1 v)x + (v 2 v)y + imγ/2e P ) Megmutatjuk, hogy ha ezekkel a közelítésekkel élünk, akkor az integrál faktorizálódik. Térjünk át az integrálásokban az α = p 1 + p 2 (= p), illetve a β = (1 v)x + (v 2 v)y változókra. Ebben a pontban a továbbiakban E 2 = E(P 2 ) = P 2 2 + m2 : ahol E 2 I = (2πN) 2 exp(i m2 t) F (t)g(t), (27) 2P 1 E 2 P 2 F = G = dβ dα f(α) 2 exp( i m2 2P 2 1 exp( i m2 2P 2 1 v v 2 1 v 2 (α P )t) (28) β 1 v 2 ) ( m2 a 2P 1 + β imγ/2e P )( m2 b 2P 1 + β + imγ/2e P ). (29) Szétbontottuk tehát a két integrált, mindkett egy Fourier-transzformáció. F (t) lényegében f 2 (a pion hullámcsomagjának) transzformáltja, míg G egy konkrét integrál, amit reziduum-tétel segítségével az alsó félsíkot körbezárva el is végezhetünk: G(t) = A végeredmény tehát: I = exp(i m2 t)f (t) 2P 1 2π exp( m2 MΓ m2 2P 1 i + MΓ/E P 4P1 2 t) (30) E P (1 v 2 ) m2 2P 1 2π E P MΓ i + 1 exp( m2 4P1 2 MΓ t). (31) E P (1 v 2 ) A kifejezés els tényez je a 2. fejezetben levezetett, koszinuszos oszcillációt adja meg. Ett l a kapott formulánk három tényez ben különbözik. Nagy t-re az oszcilláció az utolsó tényez szerint exponenciálisan csökken. Minél nagyobb Γ, annál gyorsabb ez a lecsengés. Hasonló a helyzet F (t)-vel, mivel ez a kezdeti impulzuseloszlás Fourier-transzformáltja. Így minél nagyobb a pion impulzus bizonytalansága, annál keskenyebb lesz F (t) függvény. Ez a két tag a neutrínó impulzus bizonytalanságával áll kapcsolatban. Minél bizonytalanabb, annál több frekvenciájú oszcillációt kell összegeznünk, amik bizonyos id után kioltják egymást (koherenciájuk megsz nik). Érdekes (31) harmadik tényez je, ami egy komplex szorzó. Ennek abszolút értéke A = 1 1+η 2, fázisa δ = arctan(η), η = m2 2P 1 E P MΓ. Ez akkor játszik szerepet, ha a Γ szélesség nagyon keskeny, összemérhet m2 E P 2P M -vel (ez pion-bomlás esetén nem teljesül, ott ez a tag elhanyagolható). Ez azt jelenti, hogy a bomló részecske élettartama összemérhet vé válik az oszcilláció periódusidejével. Ekkor a koszinuszos oszcilláció amplitúdója lecsökken, fázisa eltolódik. Ennek szemléletes magyarázata a következ : mivel nem tudjuk a neutrínó keletkezésének pillanatát, 10

5. ábra. Kis Γ értékeknél (hosszú élettartam esetén) az els pár oszcilláció ábrázolása. A pöttyös görbénél Γ = 10 10 ev, a szaggatottnál Γ = 10 11 ev, a folytonosnál Γ = 10 12 ev. különböz j fázisú rezgéseket kell összegeznünk. Minél nagyobb a pion élettartama, annál szélesebb id intervallumot kell összegeznünk. Az eredmény egy kisebb amplitúdójú, eltolt fázisú szinuszos rezgés. Amennyiben az élettartam nagyon nagy, úgy minden információnk elvész, mikor keletkezett a neutrínó, így az oszcilláció megsz nik. Ez a tényez megjelenik [2]-ben is, míg az els kett a fent vázolt módosított számolásunkból jön ki. Vizsgáljuk meg ezeket az eektusokat különböz Γ és impulzusbizonytalanság mellett. Legyen a szemléltetéskor használt konkrét impulzuseloszlás egy ablakfüggvény: f(p) = 1 4πd (32) amennyiben d < p < d, ezen kívül pedig nulla. A példákban M = 130MeV, m = 100MeV (azaz megközelít leg a pion, illetve a müon tömege), m 2 = 10 3 ev 2 (ez szintén egy reális adat), a bomló részecske impulzusának várható értéke nulla (azaz P zérus). Ekkor az oszcillációs id nagyságrendje 10 4 s. Ezen adatok mellett az 5. ábrán látható az els néhány oszcilláció különböz kicsi Γ értékek mellett. Látható, hogy minél kisebb Γ, az oszcilláció amplítúdója annál kisebb. Valamint a fellép fázistolás annál nagyobb (maximum π/2). Ez tehát az az eset, amikor a bomló részecske élettartama összemérhet vé válik (majd nagyobb lesz), mint az oszcillációs id. Ne feledjük, hogy a közelítés csak akkor jó, ha t 1/Γ. Ebben az esetben ez azt jelenti, hogy az els néhány oszcillációig nem érvényes a grakon. Itt Γ nem a pion-bomlásból származó érték, hanem annál kisebb. Abban a folyamatban Γ = 2.6 10 8 ev, azaz az itt illusztrált hatás elhanyagolható. A 6. ábrán az oszcilláció lecsengését láthatjuk. A fenti görbén Γ nagy, és d hozzá képest kicsi, így a lecsengést Γ határozza meg, exponenciális alakú lesz. Ez a Γ érték sokkal nagyobb, mint a pion valódi szélessége. Ennek csak az az oka, hogy valódi adat esetén a grakon áttekinthetetlen lesz, mert nagyon sok oszcilláció lezajlik a lecsengésig. Valódi adat esetén a lecsengés idejének nagyságrendje τ P 2 1 m 2 1 Γ 1032 1 MeV 1010 s 300év. (33) 11

6. ábra. Az ábrákon a kezdeti tömegbizonytalanságból, illetve impulzusbizonytalanságból származó lecsengés. Az els ábrán Γ = 1MeV, d = 10 5 MeV, a másodikon Γ = 10 5 MeV, d = 1MeV. Tehát nagyságrendileg 10 14 oszcilláció következik be addig. Ez azt jelenti, hogy egy szupernóvában keletkez neutrínó esetén jelent s ez az eektus. A lenti görbén a lecsengést az impulzus bizonytalansága dominálja. Ennek alakja f(p)-t l függ, annak Fourier-transzformáltja. Ablakfüggvény esetén tehát sin t t prolú. Amennyiben a neutrínó elég jól lokalizált az oszcillációs hosszhoz képest, az id helyébe most is helykoordinátát írhatunk (mert ebben az esetben a fenti kiintegrálás egy sz k helytartományra vonatkozik, most pedig ennek a tartománynak pl. a közepét írhatjuk), ahogy azt a standard leírásban tettük. A fenti eset nem áll fent, amikor az 5. ábrán látható jelenség számottev. Ugyanis, ennek feltétele a következ : 2P 1 m 2 >> 1 Γ, (34) azonban ez nem igaz mikor a bomló részecske élettartama (szintén 1/Γ) az oszcillációs id vel összemérhet vé válik. Hangsúlyozzuk, hogy itt egyetlen bomló pion kvantumos bizonytalanságáról van szó. Egy 12

kísérletben a neutrínónyaláb impulzuseloszlása jóval szélesebb egyszer en azért, mert az anyarészecske nyalábja (ez esetben a pionnyaláb) különböz energiájú részecskéket tartalmaz. Ugyanez igaz természetes neutrínóforrások is. Például egy szupernóva robbanás során az els dleges neutrínókon kívül keletkeznek többek között pionok is. Ezek bomlásából további neutrínók jönnek létre. Becsüljük meg ezen pionok termikus bizonytalanságának nagyságrendjét. A csillag összeomlása során a h mérséklet kt 10M ev körüli. Nem-relativisztikus közelítéssel élve a pionok sebességeloszlására Boltzmann-eloszlást tételezünk fel. Ekkor a momentumok: v 2 = 8kT πm, v2 = 3kT m v. A pionok impulzusszélességére tehát mondhatjuk: m 2 v 2 = mkt 0.45 25MeV. 3.2. Numerikus számolások Ebben a pontban a közelít (31) eredményt hasonlítjuk össze a numerikusan számolt értékekkel. Ehhez térjünk vissza (24) képlethez. Arra az esetre korlátozódunk megint, amikor P = 0 és f(p) az el z pontban leírt ablakfüggvény. Egy közelítéssel élünk: a számlálóban szerepl E p helyett M-et írunk. Ezzel másodrend hibát vétünk csak, hisz Ep p = 0 a p = 0 helyen. Ekkor adódik: I = (2πN) 2 f(p) 2 exp(i(e a E b )t) dp 1 dp 2 (E a + E 2 M iγ/2)(e b + E 2 M + iγ/2). (35) Ablakfüggvény esetén a p 2 szerinti integrál egzaktul elvégezhet. A kifejezés meglehet sen hosszú, jelöljük csak H(p 1 )-el. Tehát I = (2πN) 2 dp 1 H(p 1 ) exp(i(e a E b )t) (36) egyszeres integrál adódik, amit numerikusan vizsgáltam a Mathematica program segítségével. A numerikus integrál elvégzése nem könny : az integrandusban szerepel egy gyorsan oszcilláló tag és egy er sen szinguláris tag is. Ezek miatt numerikusan nem írhattam kísérleti paramétereket az integrálba. A részecskezika energiái (ebben az esetben M, m 2, illetve Γ) túlságosan különböz nagyságrend ek, ezért nem tudja a program stabilan, rövid id n belül kiszámolni a kívánt értéket. Így m 2 = 0.1MeV 2 értékkel dolgozunk ebben a pontban. A 7. ábrán demonstrálunk négy paraméterbeállítást. Láthatjuk, hogy aránylag lassú lecsengés esetén nagyon pontos az egyezés. A második esetben akkor látunk egy kicsiny eltérést, ha a burkoló nulla értéket vesz föl, azonban lényegében itt is a közelít formulára illeszked pontokat láthatunk. Jelent s eltérést akkor kapunk, ha (a közelítés feltételét megsértve) a lecsengés id tartama összemérhet az oszcillációs id vel, azaz néhány oszcilláció után a lecsengés jelent s. 4. A neutrínó "hullámfüggvénye Ebben a szakaszban az el z nél megpróbálunk többet mondani a neutrínóról. Nemcsak arra vagyunk kíváncsiak, hogy egy adott id pontban milyen eséllyel találunk egy adott fajta neutrínót bárhol a térben, hanem arra is, hogy hol találtuk. A leptont továbbra sem detektáljuk, így az koordinátájára integrálnunk kell. Ekkor a helyt l függ megtalálási valószín ség: P (x 1 ) = cos 4 θ dx 2 ψ a 2 + sin 4 θ dx 2 ψ b 2 + 2 sin 2 (θ) cos 2 (θ)rei(x 1 ) (37) 13

7. ábra. Numerikus eredmények összehasonlítása a közelít formulával. A folytonos görbe a 14 közelít formula, míg a pontok a numerikus számolások eredményei. Felülr l az els grakonon d = 1MeV, Γ = 0.5MeV, a másodikon d = 5MeV, Γ = 0.01MeV, a harmadikon d = 20MeV, Γ = 1MeV, a negyediken d = 0.01MeV, Γ = 1keV.

ahol I(x 1 ) = dx 2 ψaψ b. Technikailag egy hármas integrált kell elvégeznünk. Az el z alponthoz hasonlóan P = 0-t vizsgálunk, és a nevez ben E p -t M-mel közelítjük. Ekkor I(x) = 2πN 2 f (p 1 + p 2 )f(q 1 + p 2 ) exp(i(q 1 p 1 )x i(e q1 E p1 )t) dp 1 dp 2 dq 1. (38) (E p1 + E 2 M iγ/2)(e q1 + E 2 M + iγ/2) Ha f-et ablakfüggvénynek vesszük, akkor q 1 p 1 = s > 0 esetén f (p 1 + p 2 )f(q 1 + p 2 ) 0, ha p 1 d < p 2 < q 1 + d, ez akkor lehetséges, ha 0 < s < 2d. Fordítva, ha s < 0, f (p 1 + p 2 )f(q 1 + p 2 ) 0, ha q 1 d < p 2 < p 1 + d, 2d < s < 0. Csakúgy mint az el z pontban, a p 2 -es integrál elvégezhet, melynek eredményét G(q 1, p 1 ), valamint J(q 1, p 1 )-el jelöljük s el jelét l függ en (a két eset az integrálási határokban különbözik). Ekkor: I + (x) = 2πN 2 dp 1 dq 1 exp(isx i(e q1 E p1 )t) G(q 1, p 1 ). (39) 2d>s>0 Hasonlóan I -nál J szerepel, I = I + + I. A kett s numerikus integrál a Mathematicában a LocalAdaptive módszerrel végeztem, miközben a PrecisionGoal 5-ös értékre volt állítva (utóbbi opció áll kapcsolatban a numerikus pontossággal). Nézzük meg a megtalálási valószín ség alakját különböz Γ és d értékek mellett (8. ábra). Itt technikailag a t = 0 állapot van ábrázolva, azonban ekkor még nem érvényes a közelítés (nincs még keletkezett neutrínó). Kés bb azonban (ha a lecsengést l eltekintünk) a prol ugyanígy néz ki, amikor épp maximális er sítés van (csak a koordinátatengelyen balra eltolódik a függvényalak). Amennyiben d lényegesen kisebb, mint Γ, egy szimmetrikus görbét kapunk, melynek szélessége 1/d. Γ-t csökkentve a görbe jobb oldalának alakja változatlan marad, bal oldala viszont szélesedik, egyre aszimetrikussabbá válik a grakon. Mikor Γ lényegesen kisebb lesz a baloldali farok kiterjedése kb. 1/Γ lesz. A kezdeti megtalálási valószín ség ezen alakját kvalitatívan is megérthetjük. Ha Γ nagy, azaz a bomlás pillanatszer, akkor a neutrínó elkentségét a kezdeti pion hullámcsomag elkentsége határozza meg. Utóbbi azonban szimmetrikus, így a kapott jelalak is az, melynek határozatlansága így nagyságrendileg 1/d. Ha azonban Γ kicsi, nem tudjuk 1/Γ pontosságnál jobban, hogy a neutrínó mikor keletkezett. Így azt sem, mekkora utat tett meg, mégha a keletkezésének 1/d helybizonytalansága kicsi is. Ekkor annak a valószín ségét, hogy a neutrínó egy adott helyen van, az határozza meg, hogy mikor keletkezett a bomlás során, ennek valószín ségeloszlása pedig exponenciális. Ezt úgy lehet szemléletesen látni, hogy sok piont képzelünk el. Ekkor a pionsokaság aktivitása id ben exponenciális. Ekkor tehát a jelalak aszimetrikus. Amennyiben d és Γ értéke nagyságrendileg megegyezik, az el z két magyarázatot kell öszszerakni. Visszatérve a sok pion képhez, a jelalak maximumától jobbra azok a neutrínók adnak járulákot, amik t 0-ban keletkeztek. Ezek szétkentsége a pionforrás szétkentségéb l adódik (1/d). A maximumtól balra a jelalak alakját, szélességét pedig az adja, hogy még 1/Γ ideig keletkeznek neutrínók (egyre kevesebb számban). A 9. ábrán a teljes megtalálási valószín ség -P (x)- id beli oszcillációja látható egy perióduson keresztül. A neutrínó tömegek m 2 a = 0.02MeV 2, illetve m 2 b = 0.01MeV 2. Továbbá d = 0.1MeV, Γ = 0.05MeV volt. Két egymást követ ábra között 3.3 10 18 s id különbség van, a tengelyen növekv x-értékek jelzik a neutrínócsomag haladását. Természetesen nagyon hosszú id múltán az oszcilláció lecseng és a függvényalak állandósul, ha a hullámcsomag szétfolyásától eltekintünk. 15

8. ábra. A megtalálási valószín ség a hely függvényében a t = 0 pillanatban. Az els ábrán d = 0.001MeV, Γ = 0.01MeV, a másodikon d = 0.01MeV, Γ = 0.005MeV, a harmadikon d = 0.01MeV, Γ = 0.001MeV. 16

9. ábra. A helyfügg megtalálási valószín ség id beli fejl dése (oszcillációja). A grakonok id ben balról jobbra haladva következnek. 17

A 2. fejezet kérdéssorának lév 4. pontjában már megsejtettük a lecsengést. Okként pedig a különböz tömeg neutrínókomponsek szétcsúszását hoztuk fel. Ismerve az oszcilláció id függését, valamint a hullámcsomag alakját, vizsgáljuk meg ezt az állítást! A (31) képletb l látszik, hogy a lecsengés karakterisztikus idejét (τ 1 ) Γ, illetve d paraméterek közül a nagyobbik határozza meg: τ 1 P 2 1 m 2 max(γ, d). (40) Ahhoz, hogy megállapítsuk, hogy a lecsengés oka kizárólag a szétcsúszás, becsüljük meg, ez mekkora id elteltével következik be. A két különböz tömeg neutrínókomponens sebességkülönbségének nagyságrendje (az irreleváns 2-es faktortól eltekintve): v = (P 1 /E 1 ) m 2 /P 2 1. A hullámcsomagok kiterjedésének nagyságrendjét pedig Γ és d közül a kisebbik határozza meg: l 1/ min(γ, d). Így a szétcsúszás karakterisztikus idejére τ 2 P 2 1 m 2 min(γ, d) (41) adódik. Látható, hogy a két nagyságrend csak akkor egyezik meg, ha Γ d. Amennyiben valamelyik paraméter nagyságrendekkel eltér a másiktól, így a lecsengés lényegesen hamarabb következik be, mint a szétcsúszás. Az els pillanatra meglep jelenség oka, hogy az ebben a szakaszban számolt megtalálási valószín ség a lepton koordinátáira ki van integrálva. A (24) interferencia tagban azonban a kétrészecske ψ γ hullámfüggvényeket kell összeszoroznunk (és csak azt követ en lehet a lepton koordinátájára integrálni). Ezek kiterjedése azonban kisebb, mint a megtalálási valószín ség. d megbecslése nehéz (kissé önkényes) feladat. Ennek egy lehetséges módja az alábbi gondolat. A K2K kísérletben a pionok elbomlása egy mintegy 200m-es bomlási cs ben történik. Feltesszük, hogy a pionok helybizonytalansága ennél nem sokkal kisebb, pl. x 10m. Ekkor az impulzus bizonytalansága d 2 10 8 ev. Ez megegyezik Γ nagyságrendjével, tehát τ 1 és τ 2 nagyságrendje is nagyjából azonos, azaz 300 év körül van (ld. (33)). 5. S r ségmátrix Láthatjuk, hogy a neutrínót csak a müonnal összefonva tudjuk tiszta hullámfüggvényként leírni. Ha csak a neutrínó adataival akarunk dolgozni, akkor az s r ségmátrixát kell megkonstruálnunk. Ebben a szakaszban ezt tesszük meg. A teljes rendszer s r ségoperátora a hullámfüggvényekkel felírva a tömegsajátállapotok segítségével(az id függés jelölését elhagyva): Ψ >< Ψ = cos 2 θψ a(x 1, x 2 )ψ a (y 1, y 2 ) a >< a + sin 2 θψ b (x 1, x 2 )ψ b (y 1, y 2 ) b >< b (42) + sin θ cos θψ a(x 1, x 2 )ψ b (y 1, y 2 ) a >< b + sin θ cos θψ b (x 1, x 2 )ψ a (y 1, y 2 ) b >< a. 18

Amennyiben a lepton koordinátáit nem mérjük, úgy azokra ki kell átlagolni. S r séoperátor formalizmusban ez azt jelenti, hogy a müonnak megfelel koordinátákat egybeejtjük és integrálunk rá. A csak neutrínóadatokat tartalmazó s r ségoperátor tehát: ρ = cos 2 θφ aa a >< a + sin 2 θφ bb b >< b + sin θ cos θφ ab a >< b + sin θ cos θφ ba b >< a, (43) ahol φ αβ (x, y) = 2πN 2 f (p 1 + p 2 )f(q 1 + p 2 ) exp(i(q 1 y p 1 x E q1 + E p1 )t) dp 1 dp 2 dq 1. (44) (E p1 + E 2 M iγ/2)(e q1 + E 2 M + iγ/2) Az α, β indexek rendre az E p1 (m α ) és az E q1 (m β )diszperziós relációban szerepl tömegre utalnak. Ha csak az íz-térbeli viselkedés érdekel minket, ki kell átlagolni a koordináta-térre. Ez úgy történik, hogy az x, y indexeket egybeejtjük, és a helykoordinátára integráljuk a kifejezést. Így tömeg-bázisban a kapott s r ségmátrix: ( ) cos ρ m = 2 θ I sin θ cos θ I sin θ cos θ sin 2. (45) θ Láthatjuk, hogy ennek kiszámításának nehéz részét (I számolását) az el z szakaszokban már megtettük. Az íz-bázisról tömeg-bázisra való áttérést a vektorok között az ( ) cos θ sin θ U = (46) sin θ cos θ mátrix végzi. Így a redukált s r ségmátrixot ízbázisban a ρ = U 1 ρ m U képlet segítségével határozhatjuk meg. ( ρ = cos 4 θ + sin 4 θ + 1 2 sin2 (2θ)ReI 1 2 ( i ImI + cos(2θ)rei cos(2θ)) sin(2θ) 1 1 (i ImI + cos(2θ)rei cos(2θ)) sin(2θ) 2 2 (1 ReI) sin2 (2θ) A diagonális elemek a kétféle íz megtalálási valószín ségei. Pl. a bal fels elem megegyezik (23) kifejezéssel. Az o-diagonális elemek írják le a koherenciát. Legyen ρ 12 = r. Látszik, hogy ez is oszcillál ugyanazzal a frekvenciával, mint a valószín ségek. Láttuk, hogy hosszú id után I lecseng és így r 1 4 sin(4θ)-hez tart nagy t-re. θ = 0, θ = π 4, illetve π 2 esetén tisztán képzetes (így r nullához tart hosszú id elteltével). A valódi keveredési szögek a mai tudásunk alapján θ 13 0, θ 12 34, θ 23 45 körüli értékek. A 10. ábrán Re(r)-et láthatjuk θ = π 6 esetén. 5.1. Közegen való áthaladás ) (47) Ebben a részben megvizsgáljuk egy bomló részecskéb l származó neutrínó terjedését, mely anyagon halad át. Közegben a neutrínók gyenge kölcsönhatás révén reakcióba lépnek a közeget alkotó részecskékkel. Ez lehet töltött-, vagy semleges áramú reakció. Semleges áramú reakcióban a lepton mindhárom fajta neutrínóval Z bozont cserélve kölcsönhat. A neutrínófajták azonos módon vesznek részt, így ez az oszcilláció jelenségét nem befolyásolja. Töltött áramú reakció során a neutrínók a velük azonos fajtájú leptonnal egy W bozon kicserélésével hatnak kölcsön. Elektronneutrínó esetén pl.: ν e + e ν e + e (lásd 11. ábra). 19

10. ábra. A s r ségmátrix o-diagonális elemeinek valós része az id függvényében θ = π 6, Γ = 1MeV, d = 10 5 MeV, m 2 = 10 3 ev 2 paraméterállásoknál. 11. ábra. Elektronneutrínó elektronon való szóródása töltött, illetve semleges áramú reakcióval. 20

Ezen folyamat Hamilton-s r sége alacsony energiákon[9]: H(x) = G F 2 [ νe (x)γ α (1 γ 5 )e(x) ] [ e(x)γ α (1 γ 5 )ν e (x) ], (48) ahol G F a Fermi-állandó, γ-k a szokásos γ mátrixok, e(x), ν(x) az elektron-, illetve neutrínó téroperátorok. Ezt másik alakba is írhatjuk, ahol az elektrontér operátorok egymás mellett helyezkednek el: H(x) = G F 2 [ νe (x)γ α (1 γ 5 )ν e (x) ] [ e(x)γ α (1 γ 5 )e(x) ], (49) Amennyiben a közeget alkotó elektronokat statisztikus sokaságnak tekintjük, a fenti operátor helyett annak átlagát vehetjük a sokaságra. Ezt úgy tehetjük meg, hogy a második zárójelben szerepl operátor helyett, annak adott elektronállapotok között vett várható értékének statisztikus átlagát vesszük. Ezzel a módszerrel egy átlagos potenciált származtathatunk le melyben az elektronneutrínók mozognak: V = 2G F N e, ahol N e az elektronok száms r sége az anyagban.[9] Ez egy törésmutató jelleg tag. Természetesen ennek a potenciálnak az alakja azonos müon-, illetve tauneutrínókra is, amennyiben a hozzájuk tartozó lepton is jelen van a közegben. Vizsgáljuk meg a bomló részecskéb l származó neutrínót, mely közegen halad át. Az egyszer ség kedvéért egy olyan modellben dolgozunk, ahol a közegben jelenlév leptonok íze megegyezik a bomlás során keletkez neutrínók ízével. Amennyiben az atmoszférában pion-bomlásból keletkez neutrínók Földön való áthaladását szeretnénk leírni, akkor már három neutrínófajta keveredését kell gyelembe vennünk. Ugyanis a keletkez müon-neutrínók tau-neutrínóba alakulnak els sorban, a Földben viszont elektronok találhatók. A s r ségmátrix id fejl dését leíró egyenlet közegben az impulzustérben diagonális elemekre [7] alapján a Fermi állandóban els rendig: i ρ p = [H, ρ p ] = [ O 2p + 2G F ND, ρ p ] (50) ahol D = diag(1, 0). Itt az els tag felel s az oszcillációért: O = U 1 ( m 2 a 0 0 m 2 b ) U, (51) a második pedig az anyag leptonjaival való kölcsönhatást írja le a fent vázolt módon. Legyen c = 2 2G F N. Ennek értéke a közeg s r ségének függvényében (feltételezve, ( hogy a közeget elektromosan semleges atomos anyag tölti ki) c = 7.63 10 14 σ ev g/cm )[8], ahol σ a közeg 3 s r sége. Ez egy négy ismeretlenb l álló lineáris dierenciálegyenlet-rendszer, amit tagonként kiírva: i ρ 11 = i ρ 22 = m2 4p (ρ 12 ρ 21 ) sin(2θ), (52) i ρ 12 = m2 4p (2ρ 12 cos(2θ) + (ρ 11 ρ 22 ) sin(2θ)) + (c/2)ρ 12, (53) i ρ 21 = m2 4p (2ρ 21 cos(2θ) + (ρ 11 ρ 22 ) sin(2θ)) (c/2)ρ 21. (54) 21

A leíráshoz a kezdeti (a közegbe történ behatolás el tti) s r ségmátrixot impulzus-bázisban kell felírnunk. Ennek alakja tömeg-bázisban (43)-gyel egyezik meg, azonban most ( t = 0-ban) a (44) képletet a Fourier-transzformáltjára kell cserélnünk: φ αβ (p 1, q 1, 0) = (2πN) 2 f (p 1 + p 2 )f(q 1 + p 2 ) dp 2 (E p1 + E 2 M iγ/2)(e q1 + E 2 M + iγ/2). (55) Amennyiben m 2 /p 1 << Γ (valamint m 2 /q 1 << Γ), a fenti φ αβ (p 1, q 1, 0) = φ(p 1, q 1 )kifejezés független az α, β tömegindexekt l. Így le lehet választani a mátrixelemekb l. Ekkor ízbázisban a kezdeti s r ségmátrix: ( 1 0 ρ(0) = φ(p 1, q 1 ) 0 0 Az egyenlet megoldása a s r ségmátrix (2,2)-es elemére (azaz az átalakulás valószín ségére): ). ρ 22 φ(p, p) = r 22(p) = 1 m4 + c (1 cos( 2 p 2 2c p m 2 cos(2θ) t)) (56) 2 2p m 4 sin 2 (2θ) m 4 +c 2 p2 2c p m 2 cos(2θ). Áttekinthet bbé válik a kifejezés, ha bevezetjük az (impulzustól függ ) eektív tömegkülönbség paramétert: m 2 p = m 4 + c 2 p 2 2c p m 2 cos(2θ). Az nem-diagonális elemekre a következ kifejezés adódik: r 12 = 1 2 sin(2θ) m2 m 4 p [ (c p m 2 cos(2θ)) ( 1 cos ( m 2 p 2p )) + i m 2 p sin ( m 2 p 2p )]. (57) Továbbá r 21 ennek komplex konjugáltja. Amennyiben az impulzustól független átalakulás valószín ségére vagyunk kíváncsiak, úgy a kiszámolt, impulzustérben diagonális elemeket kell összeintegrálnunk: P = (2πN) 2 f(p 1 + p 2 ) 2 (1 cos(( m 2 p dp 2 dp 1 /2p 1 )t)) sin 2 (2θ)/2 m 4 1 (E p1 + E 2 E p imγ/2e p )(E p1 + E 2 E p + imγ/2e p ) m 4. (58) p 1 A nevez ben lév m 4 p miatt az átalakulás különböz neutrínó-impulzusok mellett rezonanciaszer : egy bizonyos impulzustartományban van csak jelent s átalakulás. Ez az MSW eektus[10]. Feltételezzük azonban, hogy ennek a tartománynak a szélessége jóval nagyobb, mint a neutrínó impulzusbizonytalansága. Így ezt a lassan változó tényez t kiemeljük az integrál elé és az átlagos impulzussal helyettesítjük p-t. Ekkor a következ alakot kapjuk: P = m4 m 4 sin 2 (2θ) 1 (1 ReJ), (59) P 1 2 ahol a kiszámítandó integrál J = (2πN) 2 f(p 1 + p 2 ) 2 exp(i( m 2 p dp 2 dp 1 /2p 1 )t) 1 (E p1 + E 2 E p imγ/2e p )(E p1 + E 2 E p + imγ/2e p ). (60) 22

12. ábra. A lecsengést meghatározó µ 2 paraméter c függvényében. m 2 = 10 3 ev 2,m = 100MeV, M = 130MeV, θ = π/6. Ezek után ugyanúgy sorbafejtünk a nevez ben, illetve az exponenciális függvény argumentumában, mint a 3.1-es szakaszban. A különbséget a megváltozott tömegparaméter okozza. Most: m 2 p 1 m2 P 1 µ2 2p 1 2P 1 2P1 2 (p 1 P 1 ), (61) µ 2 = c P 1 m 2 cos(2θ) + m 4 m 2 P 1, (62) ahol µ 2 lehet negatív is. Így a vákuumbeli esetb l (24) a lecsengésért felel s tagokat a m 2 µ 2 helyettesítéssel kaphatjuk meg: J = exp(i m2 P 1 t)f (t)2π exp( µ2 MΓ t), (63) 2P 1 E P (1 v 2 ) F = 4P 2 1 dα f(α) 2 exp( i µ2 v v 2 2P1 2 (α P )t). (64) 1 v 2 Az exponenciálisan lecseng tagban az abszolútérték jel azért kell, mert a 3.1 pontban elvégzett Cauchy-integrált negatív µ 2 esetén a fels félsíkon haladó kontúron kell elvégezni. Láthatjuk, hogy az oszcilláció frekvenciáján kívül (mely jólismert az irodalomban) az oszcilláció lecsengésének karakterisztikus ideje is függ c (valamint P 1 ) értékét l. c értékét növelve kezdetben n, c = m2 P 1 cos(2θ) -t elérve végtelenné válik a közelít képletben. Valójában a (61) els tagja t nik el, nagyságrendekkel megnövelve a lecsengési id t. Reális adatokkal ( m 2 = 10 3 ev 2, P 1 = 10MeV, θ = π/6) c = 2 10 10 ev adódik, ami σ 2000g/cm 2 -es közegs r ségnek felel meg. Ez tehát 2000N A /cm 3 leptons r séget jelent, ahol N A az Avogadro-szám. Összehasonlításképpen: a Nap belsejében lév elektron s r ség kb. 200N A /cm 3 [9]. Ez a jelenség tehát nagy, de csillagászati objektumokban reális s r ségnél jelentkezik. Tovább növelve c-t µ 2 n, majd m 2 cos(2θ)-hoz konvergál. 23

13. ábra. ReJ az id függvényében a közelít formula, valamint az egzakt integrál numerikus kiértékelése alapján. m 2 = 0.1MeV 2, Γ = 0.5MeV, d = 0.1MeV, c = 5keV, m = 100MeV, M = 130MeV, θ = π/6. A 13. ábrán látható ReJ integrál az id függvényében. A folytonos görbe a közelít formulát ábrázolja, míg a pontok az egzakt integrál numerikus értékei. A 14. ábrán ugyanez a mennyiség látható különböz c értékek mellett. Összefoglalás A dolgozatban a neutrínóoszcilláció elméletével foglalkoztam. Els sorban elvi kérdéseket fogalmaztunk meg, melyek az oszcilláció standard leírásánál merülnek fel, azzal nem megválaszolhatók. Az irodalomban a mai napig el fordulnak viták, félreértések az oszcillációval kapcsolatban a jól használható, ám intuitív tárgyalás miatt. A konkrét (hullámcsomagon alapuló) modellen való elemzés lehet séget ad arra, hogy rávilágítson az oszcilláció létrejöttének feltételeire, továbbá elkerüljük az önkényes (gyakran látszólag önellentmondó) feltevéseket. A standard formalizmus ismertetése után egy bomlási reakciót elemezve a neutrínó-lepton összefont hullámfüggvényét vizsgálva jutottam el egy oszcillációs formuláig. Ez bizonyos paramétertartományok és id tartományok esetén visszaadja a szokásos képletet, ezen túl kvantitatív eredményt ad az oszcilláció lecsengésér l, valamint az oszcilláció amplitúdójáról kis bomlási szélesség mellett. Ezek után numerikus eredményekkel hasonlítottam össze a közelít formulát, melyb l láthattuk, hogy a közelítés jól m ködik olyan extrém esetekt l eltekintve, mikor a lecsengés karakterisztikus ideje összemérhet az oszcillációs hosszal. Majd a neutrínó megtalálási valószín ségét számoltam ki a hely, és id függvényeként. Itt azt találtam, hogy a prol alakjának baloldalát a Γ szélesség, jobboldalát a d impulzus prol szélesség határozza meg. Az utolsó szakaszban a neutrínó s r ségmátrixát konstruáltam meg. Az lecsengés eredményeképpen tömegbázisban a nemdiagonális elemek elt nnek, míg íz bázisban konstanshoz tartanak. Vizsgáltam továbbá a s r ségmátrix alakulását a neutrínók anyagon való áthaladása során. Itt az ismert tulajdonságokon kívül (eektív tömegkülönbség, MSW eektus) a lecsengési paraméter változását határoztam meg. Érdekes módon a közeg s r ségének (vagy vele ekvivalens módon a neutrínó impulzusának) egy meghatározott értékénél a lecsengés drasztikusan lecsökken. 24

14. ábra. ReJ id függése különböz anyags r ség mellett. Fentr l lefelé az ábrákon c értéke növekszik: 0eV, 7 10 11 ev, 5 10 10 ev. Mindegyik görbe esetén Γ = 0.7MeV, d = 10 5 MeV, m 2 = 10 3 ev 2, m = 100MeV, M = 130MeV, θ = π/6. 25

Köszönetnyílvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani korábbi témavezet mnek, Bajnok Zoltánnak, aki els évfolyamos koromban is tudott TDK témával szolgálni. Köszönettel tartozom továbbá e diploma témavezet jének, Patkós Andrásnak a dolgozat megírásában nyújtott segítségéért, szövegének (többszöri) gyelmes áttanulmányozásáért. Függelék (22) képlet levezetése Vegyünk egy p határozott impulzusú bomló piont. Írjuk fel a pion, neutrinó, müon együttes állapotvektorát a következ alakban: φ >= b 0 (t) exp( ie p t) π > + p 1,p 2 b p1,p 2 (t) exp( i(e 1 + E 2 )t) p 1 p 2 >, (65) ahol p 1 p 2 > egy olyan határozott impulzusú állapot, melyben a neutrínónak p 1, a müonnak p 2 az impulzusa. Tudjuk, hogy b p1,p 2 (0) = 0, továbbá b 0 (t) id ben lecseng. Weisskopf-Wigner közelítést használunk az együtthatók kiszámításához. [4] (13.52) képletének analógiájára (183. oldal) az együtthatókra a következ egyenletrendszer igaz: ḃ 0 (t) = i exp(i(e p E 1 E 2 )t)w 0p1p 2 b p1p 2, (66) p 1p 2 ḃ p1p 2 = i exp( i(e p E 1 E 2 )t)w p1p 20b 0 (t), (67) ahol W p1p 20 a bomlásért felel s Hamilton-operátor rész mátrixeleme. Legyen a pion energia-szélessége a nyugalmi rendszerében Γ. Ekkor egy olyan rendszerben, melyben p impulzusa van, ez a szélesség ΓM E p. Tudjuk, hogy b 0 exponenciálisan cseng le az el bbi paraméterrel. [4] (13.55) képlete analógiájára: Ezt visszaírva (67)-be és felintegrálva kapjuk: b 0 (t) = exp( ΓM 2E p t). (68) exp( i(e p E 1 E 2 i ΓM 2E b p1p 2 = W p )t) 1 p1p 20 E p E 1 E 2 i ΓM. (69) 2E p Feltételezzük, hogy W p1p 20 nem függ az impulzusoktól, továbbá elegend id elteltével nézzük a rendszert. Ekkor már a pion elbomlott, a számlálóban az els tag elhanyagolható. Ekkor a neutrínó-müon hullámfüggvénye: ψ p = N dp 1 exp(ip 1 x 1 + ip 2 x 2 i(e 1 + E 2 )t) E 1 + E 2 E p + imγ/2e p, (70) 26

ahol p 2 = p p 1 Ha a pion nem határozott impulzusú, hanem egy f(p) függvénnyel jellemezhet, akkor a végeredményt is meg kell szorozni f(p)-vel és össze kell integrálni p-re. Ekkor megkapjuk a [2]-ben közölt formulát, ami jelen dolgozatban a (22) képlet. Hivatkozások [1] Boris Kayser, Phys Rev. D 24 (1981) 110 [2] M. Nauenberg, Phys. Lett., B447 (1999) 23., http://arxiv.org/abs/hep-ph/9812441 [3] Balázs Meszéna, Neutrino oscillation, The Wolfram demonstrations project, http://demonstrations.wolfram.com/neutrinooscillations/ [4] Geszti Tamás: Kvantummechanika, Typotex kiadó, Budapest, 2007 [5] The KamLand Collaboration, Phys. Rev. Lett. 100, 221803 (2008), arxiv:0801.4589 [hepex] [6] The Super-Kamiokande Collaboration, Phys. Rev. D 71, 112005 (2005), hep-ex/0501064 [7] G. Sigl and G. Raelt, Nucl. Phys. B406, 423 (1993) [8] M. Honda, Y. Kao, N. Okamura, T. Takeuchi, arxiv:hep-ph/0602115 [9] Carlo Giunti, Chung W. Kim: Fundamentals of Neutrino Physics and Astrophyiscs, Oxford University Press, 2007 [10] S.P Mikheev, A. Yu. Smirnov, Sov. J. Nucl. Phys 42, 913(1985) 27