2. Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata jegyzőkönyv Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: 2008. 09. 24. Leadás dátuma: 2008. 10. 01. 1
1. Mérések ismertetése Az 1. ábrán látható összeállításban vizsgáljuk a minták gerjesztett rezgéseit. A detektort a minta rögzített végétől 1-2 cm-re helyezzük, és ekkor a rajta mérhető feszültség az amplitúdóval arányos. A különböző frekvenciájú gerjesztésnél a legnagyobb amplitúdót akkor kapjuk válasznak, ha a minta sajátfrekvenciájával gerjesztjük. Ezeket a frekvenciákat keressük minden esetben. 1. ábra. A mérési összeállítás Az első részben a megvastagított végű mintának keressük meg a sajátfrekvenciáit a gerjesztő frekvencia változtatásával. Ezután az alapharmonikus frekvencia kis környezetében mérjük ki a rezonanciagörbét úgy, hogy a frekvencia kis lépésekben való változtatásával mérjük a detektoron a feszültséget. Az ábrázolt adatokra elméleti görbét illeszthetünk. A rezonanciagörbe alapján kiszámolhatjuk a csillapítás nagyságát. A különböző sajátfrekvenciákból kiszámolható a minta x irányú Young-modulusa. Végül adott hossz mellett megtaláljuk az első sajátmódushoz tartozó csomópont helyét a gerjesztő elektromágnes mozgatásával úgy, hogy keressük azt a helyzetet, ahol az amplitúdó nullához közelít. A második részben a megvastagított vég nélküli mintának rezgő hosszának változtatásával mérjük az adott hosszokhoz tartozó alapharmonikusokat. Ábrázoljuk a rezonanciafrekvenciákat a hossz reciprokának négyzete függvényében, és ha ez egyenes bebizonyítottuk, hogy 1/l 2 -es a függés. Ennek az egyenesnek a meredekségéből kiszámítható a minta Young-modulusa. 2. A B jelű minta sajátfrekvenciái A gerjesztő frekvenciának lassú növelésével keressük a rezonanciamaximumokat. A gerjesztés módjából adódóan minden sajátfrekvenciát két gerjesztő frekvenciánál mérhetjük. Majd az 1 táblázatban ellenőrizzük a következő kifejezést: ν 0i ν 00 = ( k i k 0 ) 2 Kiszámoltuk, hogy a mért és az előző kifejezésből számolt értékek mennyivel térnek el egymástól. A maximumok helyét, a számolt és a mért értékeket, 1
illetve ezek eltérését az 1. táblázatban rögzítettük. ν 0i [Hz] i ν 0i ν 00 mért ( ki k 0 ) 2 számolt eltérés 126.71 0 253.39 0 1 1 798.82 1 1597.9 1 6.306 6.267 0.6 % 2241.8 2 4483.2 2 17.69 17.547 0.8 % 8820.0 3 34.808 34.386 1.2 % 1. táblázat. A minta sajátfrekvenciái Az alapharmonikusnak megfelelő frekvencia (253.39Hz) környékén megmértük a rezonanciagörbét. A különböző kis lépésekben változtatott frekvenciákhoz tartozó amplitúdókat a 2. táblázatban gyűjtöttük össze. Ezután pedig ábrázoltuk a voltmérőn leolvasott feszültséget a frekvencia függvényében (2. ábra). A mért adatpontokra ráillesztettük az elméleti görbét, amit a folytonos vonal jelöl. ν[hz] A[mV ] ν[hz] A[mV ] ν[hz] A[mV ] 252.07 49 253.14 145 253.71 140 252.19 57 253.17 150 253.80 130 252.41 71 253.21 155 253.87 120 252.60 84 253.28 160 253.97 110 252.69 93 253.39 165 254.06 100 252.80 103 253.43 164 254.14 90 252.85 110 253.53 160 254.27 80 252.95 120 253.58 155 254.41 70 253.03 130 253.63 150 254.69 54 253.10 140 253.67 145 2. táblázat. A rezonanciagörbe mért értékei A rezonanciagörbe félértékszélessége ( ν) annak a két frekvenciának különbsége, ahol az amplítúdó a maximum 2-ed része. A rezonanciagörbe félértékszélessége a 2. ábráról leolvasható: ν = (0.97 ± 0.05)Hz Ebből kiszámítható a κ csillapítási tényező a következő módon: κ = π ν = (3.05 ± 0.16)Hz A minta Young-modulusának kiszámításához szükségünk van a minta geometriai adataira: a szélességre, b vastagságra illetve az l hosszra, és ezek hibájára, 2
180 160 Amplitúdó (mv) 140 120 100 80 60 40 252 252.5 253 253.5 254 254.5 255 Frekvencia (Hz) 2. ábra. Az alapharmonikus rezonanciagörbéje amit az átlagtól való legnagyobb eltérés ad: a = (15.05 ± 0.01) 10 3 m b = (2.01 ± 0.04) 10 3 m l = (80.1 ± 0.05) 10 3 m A következő képlet alapján számolható a minta Young-modulusa, ahol E a minta x irányú Young-modulusa, I a minta másodrendű felületi nyomatéka, q = ab a keresztmetszet felülete és ρ a minta sűrűsége, amit 2700 kg m -nek vesszünk. 3 ν i0 = k2 i 1 EI 2π l 2 ρq A másodrendű felületi nyomaték téglalap keresztemtszetű minta esetén: I = 1 12 ab3 = (10.2 ± 0.6) 10 12 m 4 A Young-modulus az alapharmonikus frekvenciájából, és az ehhez tartozó k 0 konstansból: 4π 2 E 0 = ν 00 k0 4 l 4 ρq I = ν 4π 2 00 k0 4 l 412ρ b 2 Ennek a relatív hibáját a következő módon határozhatjuk meg: E = ν + 4 l + 2 b E 0 ν 00 l b 3
Behelyettesítések után a B jelű minta Young-modulusa hibával együtt: E = (6.8 ± 0.3) 10 10 N m 2 Ez az érték körülbelül megfelel az alumínium Young-modulusának irodalmi értékének, ami 70 GPa, tehát a mérésünk jól visszaadta az irodalmi értéket. Végül megvizsgáljuk az első sajátfrekvenciánál a csomópont helyzetetét úgy, hogy a gerjesztő mágnes helyzetét változtatjuk, miközben a gerjesztő frekvenciát az első sajátfrekvenciára álltíjuk be, ami 1597.9 Hz. A csomópontban a rezgés nem gerjeszthető, tehát azt a helyzetet keressük, ahol az amplitúdó nulla. A 3. ábra alapján a csomópont helyzete a rezgő rúd hosszának 0.774-szerese kell, hogy legyen. Ez a számolt érték: x = 0.062 m. A mágnes mozgatásával a mért 3. ábra. A rezgési módusok érték: x = 0.06 m, ami 3%-os eltérést jelent a számolttól, tehát a mérésünk helyesnek tekinthető. 3. Az alapharmonikus függése a rezgő hossztól A 16-os számú megvastagított vég nélküli minta méretei és hibájuk, ha hibának az átlagtól való legnagyobb eltérést tekintjük: a = (15.07 ± 0.01) 10 3 m b = (3.021 ± 0.009) 10 3 m Ezekből a hosszadatokból a minta másodrendű felületi nyomatéka: I = 1 12 ab3 = (34.62 ± 0.33) 10 12 m 4 Megmértük a különböző hosszokhoz tartozó alapharmonikus frekvenciákat. A frekvenciákat 1/l 2 függvényében ábrázoljuk, hogy egyenest kapjunk. Az mért 4
pontokra egyenest illeszthetünk. Jól látható a 4. ábrán, hogy nem tökéletes az illeszkedés, de ha az utolsó pontot, vagyis a legkisebb hosszhoz tartozó frekvenciát kihagyjuk az illesztésből, akkor az illesztés sokkal pontosabbá válik. Ez látható az 5. ábrán. Ennek oka az, hogy kis hosszúságú minta esetén megváltoznak a körülmények, és nehezebb megrezgetni a mintát. 1600 1400 Frekvencia(Hz) 1200 1000 800 600 400 200 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 Hossz reciprokának négyzete ( 1 m ) 2 4. ábra. Az alapharmonikus függése a rezgő hossztól 1600 1400 Frekvencia(Hz) 1200 1000 800 600 400 200 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 Hossz reciprokának négyzete ( 1 m ) 2 5. ábra. Az alapharmonikus függése a rezgő hossztól A következőkben kiszámítjuk a minta Young-modulusát. Az előbbiek miatt a második esetnél illesztett egyenes meredekségével számolunk, mert az pontosabb: m = (2.29 ± 0.01)Hz m 2 5
ν = 1 k0 2 EI l 2 2π ρq E = 4π2 k 4 0 ρq I m2 Így a megmért Young-modulus hibája, ha a sűrűség hibáját nem tekintjük, az alábbiak szerint számolható: E E = 2 m m + 2 b b Behelyettesítés után a 16-os számú minta Young-modulusa hibával együtt: E = (5.945 ± 0.087) 10 10 N m 2 6