Komputeralgebra Rendszerek

Komputeralgebra Rendszerek Polinomok Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 24. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 80

TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Egyváltozós polinomok Alapfogalmak Egyváltozós polinomok a MAPLE -ben Műveletek Egyéb műveletek Faktorizáció és GCD Egyváltozós polinomok a SAGE -ben Alapok I Alapok II Polinomok Z fölött 3 Többváltozós polinomok... a MAPLE -ben... a SAGE -ben 4 Racionális törtfüggvények TARTALOMJEGYZÉK 2 of 80

ALAPFOGALMAK A polinom fogalma: egy gyűrű elemeiből alkotott csak véges sok nem zérus elemet tartalmazó sorozat. Egyváltozós polinomok 3 of 80

ALAPFOGALMAK A polinom fogalma: egy gyűrű elemeiből alkotott csak véges sok nem zérus elemet tartalmazó sorozat. Jelöléstechnika: n i=1 a ix i ahol a i a gyűrű eleme, az x szimbólum a változó. Egyváltozós polinomok 4 of 80

ALAPFOGALMAK A polinom fogalma: egy gyűrű elemeiből alkotott csak véges sok nem zérus elemet tartalmazó sorozat. Jelöléstechnika: n i=1 a ix i ahol a i a gyűrű eleme, az x szimbólum a változó. Jellemzők: fokszám, főegyüttható, főtag. Egyváltozós polinomok 5 of 80

ALAPFOGALMAK A polinom fogalma: egy gyűrű elemeiből alkotott csak véges sok nem zérus elemet tartalmazó sorozat. Jelöléstechnika: n i=1 a ix i ahol a i a gyűrű eleme, az x szimbólum a változó. Jellemzők: fokszám, főegyüttható, főtag. Számítógépes ábrázolás: kanonikus forma (extended canonical form), összevont forma (collected form) Egyváltozós polinomok 6 of 80

MŰVELETEK Információk és alapműveletek A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 7 of 80

MŰVELETEK Információk és alapműveletek A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 8 of 80

MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 9 of 80

MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk type(p,polynomial) A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 10 of 80

MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk type(p,polynomial) lcoeff, tcoeff, coeff A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 11 of 80

MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk type(p,polynomial) lcoeff, tcoeff, coeff coeffs, powers A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 12 of 80

MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk type(p,polynomial) lcoeff, tcoeff, coeff coeffs, powers degree A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 13 of 80

MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk type(p,polynomial) lcoeff, tcoeff, coeff coeffs, powers degree testeq A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 14 of 80

MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk Műveletek type(p,polynomial) lcoeff, tcoeff, coeff coeffs, powers degree testeq A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 15 of 80

MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk type(p,polynomial) lcoeff, tcoeff, coeff coeffs, powers degree testeq Műveletek összeadás A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 16 of 80

MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk type(p,polynomial) lcoeff, tcoeff, coeff coeffs, powers degree testeq Műveletek összeadás szorzás A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 17 of 80

MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk type(p,polynomial) lcoeff, tcoeff, coeff coeffs, powers degree testeq Műveletek összeadás szorzás osztás: q:=quo(p2,p1,x, r ), r:=rem(p2,p1,x, q ), divide (p2,p1, q ) (Ez utóbbi csak Q) fölött. A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 18 of 80

MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk type(p,polynomial) lcoeff, tcoeff, coeff coeffs, powers degree testeq Műveletek összeadás szorzás osztás: q:=quo(p2,p1,x, r ), r:=rem(p2,p1,x, q ), divide (p2,p1, q ) (Ez utóbbi csak Q) fölött. expand A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 19 of 80

MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk type(p,polynomial) lcoeff, tcoeff, coeff coeffs, powers degree testeq Műveletek összeadás szorzás osztás: q:=quo(p2,p1,x, r ), r:=rem(p2,p1,x, q ), divide (p2,p1, q ) (Ez utóbbi csak Q) fölött. expand collect A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 20 of 80

MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk type(p,polynomial) lcoeff, tcoeff, coeff coeffs, powers degree testeq Műveletek összeadás szorzás osztás: q:=quo(p2,p1,x, r ), r:=rem(p2,p1,x, q ), divide (p2,p1, q ) (Ez utóbbi csak Q) fölött. expand collect sort() A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 21 of 80

A POLYNOMIALTOOLS CSOMAG Csak az egyszerűbbek: CoefficientList(... ) az együtthatók listája, futtatható nem kanonikus polinomra Egyváltozós polinomok 22 of 80

A POLYNOMIALTOOLS CSOMAG Csak az egyszerűbbek: CoefficientList(... ) az együtthatók listája, futtatható nem kanonikus polinomra CoefficientVector Egyváltozós polinomok 23 of 80

A POLYNOMIALTOOLS CSOMAG Csak az egyszerűbbek: CoefficientList(... ) az együtthatók listája, futtatható nem kanonikus polinomra CoefficientVector Translate(p,x, c) az x változó helyett x+c -be "tolja" a polinomot (Létezik olyan változata, amely csak az expand-ot használja) Egyváltozós polinomok 24 of 80

A POLYNOMIALTOOLS CSOMAG Csak az egyszerűbbek: CoefficientList(... ) az együtthatók listája, futtatható nem kanonikus polinomra CoefficientVector Translate(p,x, c) az x változó helyett x+c -be "tolja" a polinomot (Létezik olyan változata, amely csak az expand-ot használja) GcdFreeBasis(p 1, p 2,..., p n ) - a polinomok által generált ideál egy gcd-mentes bázisa (Mi is az ideál?) Egyváltozós polinomok 25 of 80

FAKTORIZÁCIÓ ÉS GCD A Z-beli számítás esetén a név egy i szuffixet kap, alapértelmezett Q. A gcd és lcm Egyváltozós polinomok 26 of 80

FAKTORIZÁCIÓ ÉS GCD A Z-beli számítás esetén a név egy i szuffixet kap, alapértelmezett Q. A gcd és lcm Az lnko [i]gcd(p 1, p 2 ) Egyváltozós polinomok 27 of 80

FAKTORIZÁCIÓ ÉS GCD A Z-beli számítás esetén a név egy i szuffixet kap, alapértelmezett Q. A gcd és lcm Az lnko [i]gcd(p 1, p 2 ) A bővített euklidesz algoritmusra: [i]gcdex Egyváltozós polinomok 28 of 80

FAKTORIZÁCIÓ ÉS GCD A Z-beli számítás esetén a név egy i szuffixet kap, alapértelmezett Q. A gcd és lcm Az lnko [i]gcd(p 1, p 2 ) A bővített euklidesz algoritmusra: [i]gcdex Létezik lkkt is: [i]lcm Egyváltozós polinomok 29 of 80

FAKTORIZÁCIÓ ÉS GCD A Z-beli számítás esetén a név egy i szuffixet kap, alapértelmezett Q. A gcd és lcm Az lnko [i]gcd(p 1, p 2 ) A bővített euklidesz algoritmusra: [i]gcdex Létezik lkkt is: [i]lcm Faktorizáció Egyváltozós polinomok 30 of 80

FAKTORIZÁCIÓ ÉS GCD A Z-beli számítás esetén a név egy i szuffixet kap, alapértelmezett Q. A gcd és lcm Az lnko [i]gcd(p 1, p 2 ) A bővített euklidesz algoritmusra: [i]gcdex Létezik lkkt is: [i]lcm Faktorizáció Az alapfüggvény:[i]factor(p), ez Z, Q-ban Egyváltozós polinomok 31 of 80

FAKTORIZÁCIÓ ÉS GCD A Z-beli számítás esetén a név egy i szuffixet kap, alapértelmezett Q. A gcd és lcm Az lnko [i]gcd(p 1, p 2 ) A bővített euklidesz algoritmusra: [i]gcdex Létezik lkkt is: [i]lcm Faktorizáció Az alapfüggvény:[i]factor(p), ez Z, Q-ban Bővítményben: factor(p, K), ahol a "K" a bővítés, pl. A Gauss egészek fölött: factor(p,i) Egyváltozós polinomok 32 of 80

FAKTORIZÁCIÓ ÉS GCD A Z-beli számítás esetén a név egy i szuffixet kap, alapértelmezett Q. A gcd és lcm Az lnko [i]gcd(p 1, p 2 ) A bővített euklidesz algoritmusra: [i]gcdex Létezik lkkt is: [i]lcm Faktorizáció Az alapfüggvény:[i]factor(p), ez Z, Q-ban Bővítményben: factor(p, K), ahol a "K" a bővítés, pl. A Gauss egészek fölött: factor(p,i) Maradékosztályokban: Factor(p) mod m, a függvény inert formájával Egyváltozós polinomok 33 of 80

FAKTORIZÁCIÓ ÉS GCD A Z-beli számítás esetén a név egy i szuffixet kap, alapértelmezett Q. A gcd és lcm Az lnko [i]gcd(p 1, p 2 ) A bővített euklidesz algoritmusra: [i]gcdex Létezik lkkt is: [i]lcm Faktorizáció Az alapfüggvény:[i]factor(p), ez Z, Q-ban Bővítményben: factor(p, K), ahol a "K" a bővítés, pl. A Gauss egészek fölött: factor(p,i) Maradékosztályokban: Factor(p) mod m, a függvény inert formájával Véges testekben a bővítő polinommal adhatjuk meg.(pl Z 4 -ben x 2 + x + 1) Egyváltozós polinomok 34 of 80

FAKTORIZÁCIÓ ÉS GCD A Z-beli számítás esetén a név egy i szuffixet kap, alapértelmezett Q. A gcd és lcm Az lnko [i]gcd(p 1, p 2 ) A bővített euklidesz algoritmusra: [i]gcdex Létezik lkkt is: [i]lcm Faktorizáció Az alapfüggvény:[i]factor(p), ez Z, Q-ban Bővítményben: factor(p, K), ahol a "K" a bővítés, pl. A Gauss egészek fölött: factor(p,i) Maradékosztályokban: Factor(p) mod m, a függvény inert formájával Véges testekben a bővítő polinommal adhatjuk meg.(pl Z 4 -ben x 2 + x + 1) A két forma keverhető Egyváltozós polinomok 35 of 80

FAKTORIZÁCIÓ ÉS GCD A Z-beli számítás esetén a név egy i szuffixet kap, alapértelmezett Q. A gcd és lcm Az lnko [i]gcd(p 1, p 2 ) A bővített euklidesz algoritmusra: [i]gcdex Létezik lkkt is: [i]lcm Faktorizáció Az alapfüggvény:[i]factor(p), ez Z, Q-ban Bővítményben: factor(p, K), ahol a "K" a bővítés, pl. A Gauss egészek fölött: factor(p,i) Maradékosztályokban: Factor(p) mod m, a függvény inert formájával Véges testekben a bővítő polinommal adhatjuk meg.(pl Z 4 -ben x 2 + x + 1) A két forma keverhető Az inert forma használható a sort, expand függvényekre is Egyváltozós polinomok 36 of 80

A SAGE ALGEBRAI ÉRTELMEZÉSE A MAPLE -el ellentétben a SAGE a "csak úgy" beírt polinomokat nem tekinti számstruktúra felettinek, ez automatikusan a "szimbolikus gyűrű" eleme lesz Egyváltozós polinomok 37 of 80

A SAGE ALGEBRAI ÉRTELMEZÉSE A MAPLE -el ellentétben a SAGE a "csak úgy" beírt polinomokat nem tekinti számstruktúra felettinek, ez automatikusan a "szimbolikus gyűrű" eleme lesz Ha számstruktúra fölött polinomokkal akarunk dolgozni, előre kötelező a gyűrűt definiálni. Egyváltozós polinomok 38 of 80

A SAGE ALGEBRAI ÉRTELMEZÉSE A MAPLE -el ellentétben a SAGE a "csak úgy" beírt polinomokat nem tekinti számstruktúra felettinek, ez automatikusan a "szimbolikus gyűrű" eleme lesz Ha számstruktúra fölött polinomokkal akarunk dolgozni, előre kötelező a gyűrűt definiálni. A gyűrű (is) önálló matematikai objektumként használható programozáshoz is Egyváltozós polinomok 39 of 80

A SAGE ALGEBRAI ÉRTELMEZÉSE A MAPLE -el ellentétben a SAGE a "csak úgy" beírt polinomokat nem tekinti számstruktúra felettinek, ez automatikusan a "szimbolikus gyűrű" eleme lesz Ha számstruktúra fölött polinomokkal akarunk dolgozni, előre kötelező a gyűrűt definiálni. A gyűrű (is) önálló matematikai objektumként használható programozáshoz is Az objektumok két fontos adata: Egyváltozós polinomok 40 of 80

A SAGE ALGEBRAI ÉRTELMEZÉSE A MAPLE -el ellentétben a SAGE a "csak úgy" beírt polinomokat nem tekinti számstruktúra felettinek, ez automatikusan a "szimbolikus gyűrű" eleme lesz Ha számstruktúra fölött polinomokkal akarunk dolgozni, előre kötelező a gyűrűt definiálni. A gyűrű (is) önálló matematikai objektumként használható programozáshoz is Az objektumok két fontos adata: Hova tartozunk :.parent() Egyváltozós polinomok 41 of 80

A SAGE ALGEBRAI ÉRTELMEZÉSE A MAPLE -el ellentétben a SAGE a "csak úgy" beírt polinomokat nem tekinti számstruktúra felettinek, ez automatikusan a "szimbolikus gyűrű" eleme lesz Ha számstruktúra fölött polinomokkal akarunk dolgozni, előre kötelező a gyűrűt definiálni. A gyűrű (is) önálló matematikai objektumként használható programozáshoz is Az objektumok két fontos adata: Hova tartozunk :.parent() Honnan jöttünk :.base_ring() Egyváltozós polinomok 42 of 80

A SAGE ALGEBRAI ÉRTELMEZÉSE A MAPLE -el ellentétben a SAGE a "csak úgy" beírt polinomokat nem tekinti számstruktúra felettinek, ez automatikusan a "szimbolikus gyűrű" eleme lesz Ha számstruktúra fölött polinomokkal akarunk dolgozni, előre kötelező a gyűrűt definiálni. A gyűrű (is) önálló matematikai objektumként használható programozáshoz is Az objektumok két fontos adata: Hova tartozunk :.parent() Honnan jöttünk :.base_ring() Egy gyűrű általában több módon definiálható. Egyváltozós polinomok 43 of 80

A SZIMBOLIKUS POLINOMGYŰRŰ A szimbolikus gyűrű Egyváltozós polinomok 44 of 80

A SZIMBOLIKUS POLINOMGYŰRŰ A szimbolikus gyűrű A.parent() függvény eredménye: Symbolic Ring Egyváltozós polinomok 45 of 80

A SZIMBOLIKUS POLINOMGYŰRŰ A szimbolikus gyűrű A.parent() függvény eredménye: Symbolic Ring A beszorzás itt sem automatikus, kell az.expand() Egyváltozós polinomok 46 of 80

A SZIMBOLIKUS POLINOMGYŰRŰ A szimbolikus gyűrű A.parent() függvény eredménye: Symbolic Ring A beszorzás itt sem automatikus, kell az.expand() Az azonos fokú tagok összegyűjtése és a rendezés automatikus Egyváltozós polinomok 47 of 80

A SZIMBOLIKUS POLINOMGYŰRŰ A szimbolikus gyűrű A.parent() függvény eredménye: Symbolic Ring A beszorzás itt sem automatikus, kell az.expand() Az azonos fokú tagok összegyűjtése és a rendezés automatikus A megfelelő függyvényenvek hasonlóak:.leading_coeff(),.trailing_coeff().degree() Egyváltozós polinomok 48 of 80

A SZIMBOLIKUS POLINOMGYŰRŰ A szimbolikus gyűrű A.parent() függvény eredménye: Symbolic Ring A beszorzás itt sem automatikus, kell az.expand() Az azonos fokú tagok összegyűjtése és a rendezés automatikus A megfelelő függyvényenvek hasonlóak:.leading_coeff(),.trailing_coeff().degree() Itt nincs osztás! Egyváltozós polinomok 49 of 80

A SZIMBOLIKUS POLINOMGYŰRŰ A szimbolikus gyűrű A.parent() függvény eredménye: Symbolic Ring A beszorzás itt sem automatikus, kell az.expand() Az azonos fokú tagok összegyűjtése és a rendezés automatikus A megfelelő függyvényenvek hasonlóak:.leading_coeff(),.trailing_coeff().degree() Itt nincs osztás! Összeadás, szorzás, faktorizáció, gcd működik, bővített gcd nincs! Egyváltozós polinomok 50 of 80

A SZIMBOLIKUS POLINOMGYŰRŰ A szimbolikus gyűrű A.parent() függvény eredménye: Symbolic Ring A beszorzás itt sem automatikus, kell az.expand() Az azonos fokú tagok összegyűjtése és a rendezés automatikus A megfelelő függyvényenvek hasonlóak:.leading_coeff(),.trailing_coeff().degree() Itt nincs osztás! Összeadás, szorzás, faktorizáció, gcd működik, bővített gcd nincs! A függvényekben általában kötelező a változót feltüntetni (hiszen szimbolikus!) Egyváltozós polinomok 51 of 80

SZÁMSTRUKTÚRA FÖLÖTTI POLINOMOK Z[x] és a többiek Egyváltozós polinomok 52 of 80

SZÁMSTRUKTÚRA FÖLÖTTI POLINOMOK Z[x] és a többiek A gyűrű létrehozása: pl. R.<x> = PolynomialRing(ZZ) vagy R = ZZ[x] (avagy QQ, stb) Egyváltozós polinomok 53 of 80

SZÁMSTRUKTÚRA FÖLÖTTI POLINOMOK Z[x] és a többiek A gyűrű létrehozása: pl. R.<x> = PolynomialRing(ZZ) vagy R = ZZ[x] (avagy QQ, stb) A beszorzás is automatikus (néha sajnos) Egyváltozós polinomok 54 of 80

SZÁMSTRUKTÚRA FÖLÖTTI POLINOMOK Z[x] és a többiek A gyűrű létrehozása: pl. R.<x> = PolynomialRing(ZZ) vagy R = ZZ[x] (avagy QQ, stb) A beszorzás is automatikus (néha sajnos) A függvénynevek nem konzisztensek: pl..leading_coefficient() (rövidítés nélkül) Egyváltozós polinomok 55 of 80

SZÁMSTRUKTÚRA FÖLÖTTI POLINOMOK Z[x] és a többiek A gyűrű létrehozása: pl. R.<x> = PolynomialRing(ZZ) vagy R = ZZ[x] (avagy QQ, stb) A beszorzás is automatikus (néha sajnos) A függvénynevek nem konzisztensek: pl..leading_coefficient() (rövidítés nélkül) Nincs utolsó tag lekérdezés, csak konstans-tag Egyváltozós polinomok 56 of 80

SZÁMSTRUKTÚRA FÖLÖTTI POLINOMOK Z[x] és a többiek A gyűrű létrehozása: pl. R.<x> = PolynomialRing(ZZ) vagy R = ZZ[x] (avagy QQ, stb) A beszorzás is automatikus (néha sajnos) A függvénynevek nem konzisztensek: pl..leading_coefficient() (rövidítés nélkül) Nincs utolsó tag lekérdezés, csak konstans-tag Az együtthatók lekérdezhetők:.coefficients(), ez egy lista, nem tartalmazza a 0-kat. Egyváltozós polinomok 57 of 80

SZÁMSTRUKTÚRA FÖLÖTTI POLINOMOK Z[x] és a többiek A gyűrű létrehozása: pl. R.<x> = PolynomialRing(ZZ) vagy R = ZZ[x] (avagy QQ, stb) A beszorzás is automatikus (néha sajnos) A függvénynevek nem konzisztensek: pl..leading_coefficient() (rövidítés nélkül) Nincs utolsó tag lekérdezés, csak konstans-tag Az együtthatók lekérdezhetők:.coefficients(), ez egy lista, nem tartalmazza a 0-kat. Listává alakítható:.list() vagy.coeffs() - tartalmazz a 0-kat Egyváltozós polinomok 58 of 80

SZÁMSTRUKTÚRA FÖLÖTTI POLINOMOK Z[x] és a többiek A gyűrű létrehozása: pl. R.<x> = PolynomialRing(ZZ) vagy R = ZZ[x] (avagy QQ, stb) A beszorzás is automatikus (néha sajnos) A függvénynevek nem konzisztensek: pl..leading_coefficient() (rövidítés nélkül) Nincs utolsó tag lekérdezés, csak konstans-tag Az együtthatók lekérdezhetők:.coefficients(), ez egy lista, nem tartalmazza a 0-kat. Listává alakítható:.list() vagy.coeffs() - tartalmazz a 0-kat Van bővített euklideszi is:.xgcd() Egyváltozós polinomok 59 of 80

SZÁMSTRUKTÚRA FÖLÖTTI POLINOMOK Z[x] és a többiek A gyűrű létrehozása: pl. R.<x> = PolynomialRing(ZZ) vagy R = ZZ[x] (avagy QQ, stb) A beszorzás is automatikus (néha sajnos) A függvénynevek nem konzisztensek: pl..leading_coefficient() (rövidítés nélkül) Nincs utolsó tag lekérdezés, csak konstans-tag Az együtthatók lekérdezhetők:.coefficients(), ez egy lista, nem tartalmazza a 0-kat. Listává alakítható:.list() vagy.coeffs() - tartalmazz a 0-kat Van bővített euklideszi is:.xgcd() Van maradékos osztás.quo_rem, vagy külön // és % Egyváltozós polinomok 60 of 80

SPECIALITÁSOK Műveletek Ugyanazok, mint az egyváltozósoknál Többváltozós polinomok 61 of 80

SPECIALITÁSOK Műveletek Ugyanazok, mint az egyváltozósoknál Rendezés sort(expr, method) Többváltozós polinomok 62 of 80

SPECIALITÁSOK Műveletek Ugyanazok, mint az egyváltozósoknál Rendezés sort(expr, method) Teljes fokszám alapján (default) Többváltozós polinomok 63 of 80

SPECIALITÁSOK Műveletek Ugyanazok, mint az egyváltozósoknál Rendezés sort(expr, method) Teljes fokszám alapján (default) Tiszta lexikografikus x i y j < x i y j <=> i < i vagy(i = i, j < j ) Többváltozós polinomok 64 of 80

SPECIALITÁSOK Műveletek Ugyanazok, mint az egyváltozósoknál Rendezés sort(expr, method) Teljes fokszám alapján (default) Tiszta lexikografikus x i y j < x i y j <=> i < i vagy(i = i, j < j ) A disztributív és rekurzív alak között a collect() függvény paramétereivel váltunk (recursive, distributed, ezen belül a változósorrend is állítható) Többváltozós polinomok 65 of 80

SPECIALITÁSOK Az egyváltozóshoz hasonlóan ha nem definiálunk alapgyűrűt, akkor a szimbolikus gyűrűben dolgozunk Többváltozós polinomok 66 of 80

SPECIALITÁSOK Az egyváltozóshoz hasonlóan ha nem definiálunk alapgyűrűt, akkor a szimbolikus gyűrűben dolgozunk A gyűrű definiálása hasonló az egyváltozóshoz, opcionálisan megadható a kitevő-rendezettség (order) Többváltozós polinomok 67 of 80

SPECIALITÁSOK Az egyváltozóshoz hasonlóan ha nem definiálunk alapgyűrűt, akkor a szimbolikus gyűrűben dolgozunk A gyűrű definiálása hasonló az egyváltozóshoz, opcionálisan megadható a kitevő-rendezettség (order) lex = lexikografikus Többváltozós polinomok 68 of 80

SPECIALITÁSOK Az egyváltozóshoz hasonlóan ha nem definiálunk alapgyűrűt, akkor a szimbolikus gyűrűben dolgozunk A gyűrű definiálása hasonló az egyváltozóshoz, opcionálisan megadható a kitevő-rendezettség (order) lex = lexikografikus degrevlex = teljes fokszám szerinti, egy kifejezésen belül fordított lexikografikus Többváltozós polinomok 69 of 80

SPECIALITÁSOK Az egyváltozóshoz hasonlóan ha nem definiálunk alapgyűrűt, akkor a szimbolikus gyűrűben dolgozunk A gyűrű definiálása hasonló az egyváltozóshoz, opcionálisan megadható a kitevő-rendezettség (order) lex = lexikografikus degrevlex = teljes fokszám szerinti, egy kifejezésen belül fordított lexikografikus deglex, invlex,... Többváltozós polinomok 70 of 80

SPECIALITÁSOK Az egyváltozóshoz hasonlóan ha nem definiálunk alapgyűrűt, akkor a szimbolikus gyűrűben dolgozunk A gyűrű definiálása hasonló az egyváltozóshoz, opcionálisan megadható a kitevő-rendezettség (order) lex = lexikografikus degrevlex = teljes fokszám szerinti, egy kifejezésen belül fordított lexikografikus deglex, invlex,... Az x kivételével kötelező a változókat a var kulcszóval definiálni. (Kivéve, ha a munkalapot egy automatic_names utasítással kezdjük) Többváltozós polinomok 71 of 80

SPECIALITÁSOK Az egyváltozóshoz hasonlóan ha nem definiálunk alapgyűrűt, akkor a szimbolikus gyűrűben dolgozunk A gyűrű definiálása hasonló az egyváltozóshoz, opcionálisan megadható a kitevő-rendezettség (order) lex = lexikografikus degrevlex = teljes fokszám szerinti, egy kifejezésen belül fordított lexikografikus deglex, invlex,... Az x kivételével kötelező a változókat a var kulcszóval definiálni. (Kivéve, ha a munkalapot egy automatic_names utasítással kezdjük) A fokszám szerinti rendezés automatikus Többváltozós polinomok 72 of 80

... A MAPLE -BAN Racionális törtfüggvény, numer, denom Racionális törtfüggvények 73 of 80

... A MAPLE -BAN Racionális törtfüggvény, numer, denom Az egyszerűsítés nem automatikus, kivéve ha azonnal felismerhető a közös faktor Racionális törtfüggvények 74 of 80

... A MAPLE -BAN Racionális törtfüggvény, numer, denom Az egyszerűsítés nem automatikus, kivéve ha azonnal felismerhető a közös faktor Egyszerűsítés: normal Racionális törtfüggvények 75 of 80

... A SAGE -BEN Itt is különbséget kell tennünk a szimbolikus gyűrű és a számstruktúrák fölöti objektumok között. Racionális törtfüggvények 76 of 80

... A SAGE -BEN Itt is különbséget kell tennünk a szimbolikus gyűrű és a számstruktúrák fölöti objektumok között. Két szimbolikus polinom hányadosa a szimbolikus gyűrűben van (ugyanis test) Racionális törtfüggvények 77 of 80

... A SAGE -BEN Itt is különbséget kell tennünk a szimbolikus gyűrű és a számstruktúrák fölöti objektumok között. Két szimbolikus polinom hányadosa a szimbolikus gyűrűben van (ugyanis test) Z[x] esetén automatikusan létrehozza a hányadostestet. Racionális törtfüggvények 78 of 80

... A SAGE -BEN Itt is különbséget kell tennünk a szimbolikus gyűrű és a számstruktúrák fölöti objektumok között. Két szimbolikus polinom hányadosa a szimbolikus gyűrűben van (ugyanis test) Z[x] esetén automatikusan létrehozza a hányadostestet. A számláló, nevező:.numerator() és.denominator() Racionális törtfüggvények 79 of 80

... A SAGE -BEN Itt is különbséget kell tennünk a szimbolikus gyűrű és a számstruktúrák fölöti objektumok között. Két szimbolikus polinom hányadosa a szimbolikus gyűrűben van (ugyanis test) Z[x] esetén automatikusan létrehozza a hányadostestet. A számláló, nevező:.numerator() és.denominator() Z[x] esetén automatikusan az egyszerűsítés Racionális törtfüggvények 80 of 80