Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I., TYPOTEX Kiadó, Budapest, 6. (Erre a könyvre így fogunk hivatkozni: Thomas ). Sydsæter Hammond: Matematika közgazdászoknak, Aula Kiadó, 998. (Erre a könyvre így fogunk hivatkozni: S H ). február
. Imroprius integrálok (Thomas. kötet: 77 94. oldal) (Sydsaeter-Hammond: 339 35. oldal) F. Az előző félévi előadások alapján ismételje át az első típusú és a második típusú improprius integrálokat. Számítsa ki az alábbi integrálokat: x α dx, + x α dx, + + x dx, x dx, x dx, x dx, 3 (x ) 3 dx. F. Számítsa ki az alábbi integrálokat: (a) (c) + 3 + x x dx, e x sin x dx, (b) (d) + + x + 3 (x )(x + ) dx, xe x dx, (e) + + e x dx, (f) Az (f) feladatban λ > adott valós paraméter. ( x λ) λe λx dx F3. Döntse el, hogy az alábbi improprius integrálok közül melyek konvergensek. Konvergencia esetén számolja ki az integrál értékét. (a) (c) (e) (g) xe x dx, (b) ln x x dx, (d) ln x, dx, ln x x dx, ln x + x dx, (f) e x cos x dx, dx, (h) (x + )(x + ) x (x + ) dx.
F4. Az összehasonlító kritérium felhasználásával mutassa meg, hogy az alábbi improprius integrálok konvergensek: (a) cos x x dx, F5. Mutassa meg, hogy 3 (b) sin x x dx. ( ) + dx = 4 5. x + 3 x b x F6. Mutassa meg, hogy a lim dx határérték létezik és véges, de a b + b +x improprius integrál divergens. x + x dx (Emlékeztetőül: a f(x)dx improprius integrált akkor mondjuk konvergensnek, ha a f(x)dx és f(x)dx improprius integrálok mindegyike konvergens, és ebben az esetben f(x)dx := f(x)dx + f(x)dx.) F7. A valószínűségszámításban a λ > paraméterű exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye így van definiálva: f λ (x) := λe λx (x [, + )). Néhány λ > paraméter esetén szemléltesse az f λ függvényt, és mutassa meg, hogy az f grafikonja alatti terület a [, + ) intervallumon minden λ > esetén -gyel egyenlő, azaz f λ (x)dx = minden λ > számra. F8. Legyen f λ (x) := λe λx (x [, + ), λ > ). Bizonyítsa be, hogy minden λ > paraméter esetén (a) xf λ (x) dx = λ (ez a szám az exponenciális eloszlás várható értéke); (b) (x /λ) f λ (x) dx = λ (ez a szám az exponenciális eloszlás szórásnégyzete). 3
F9. Milyen a, b R esetén lesz f(x)dx =, ha (a) f(x) := xe ax (x R); { e a bx, ha x [, + ) (b) f(x) :=, ha x (, ). F. Mutassa meg, hogy xe ax = minden a (, + ) paraméterre. F. Az f(x) := e x (x R) függvényt Gauss-féle haranggörbének szokás nevezni. Szemléltesse a függvény grafikonját. Az összehasonlító kritérium felhasználásával mutassa meg, hogy a e x / dx improprius integrál konvergens. Jegyezze meg, hogy Tekintse a Φ(x) := π x e x dx = π. () e t dt (x R) függvényt. Mi a szemléletes jelentése a Φ(x) számnak? Vizsgálja meg a Φ függvény tulajdonságait, és ábrázolja a grafikonját. Megjegyzések. o A statisztikában és a valószínűségszámításban fontos szerepet játszik az f és a Φ függvény. A szokásos elnevezések: Az f függvény az ún. standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye. A Φ(x) (x R) függvényt (ennek jelölésére gyakran az erf (x) (x R) szimbólumot is használják) a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényének, vagy valószínűségintegrálnak, illetve Gauss-féle hibaintegrálnak szokás nevezni. o Számos statisztikai problémánál fontos ismerni a Φ(x) (x R) értékeket. Az e x dx integrált azonban nem lehet elemi függvényekkel kifejezni, ezért a pontos értékek meghatározására nincs lehetőségünk. Közelítő (numerikus) értékeit táblázatokban szokás megadni. Egy ilyen táblázatot az utolsó oldalon láthatnak. F. Legyen µ tetszőleges valós és σ pozitív valós paraméter, és tekintse az f(x) := σ (x µ) π e σ (x R), függvényt. Mutassa meg, hogy 4
(a) (b) (c) + + + f(x)dx = ; xf(x)dx = µ; (x µ) f(x)dx = σ. Útm. Az (a) feladatnál használja az u = (x µ)/ σ helyettesítést és az () képletet, a (b)-nél pedig az F9. faladat eredményét. Megjegyzések. o A valószínűségszámításban az (a), illetve a (b) feladat eredményét röviden úgy fejezik ki, hogy az f sűrűségfüggvényű eloszlás várható értéke, illetve szórása µ, illetve σ. Ezért szokás az f függvényt a µ várható értékű és a σ szórású normális eloszlás sűrűségfüggvényének nevezni. o Érdekességképpen megjegyezzük még azt, hogy a fenti f függvénynek a harang alakú grafikonját, Carl Friedrich Gauss (777 855) arcképét, valamint Göttingen történelmi épületeit láthatjuk az 99-ben kiadott német márkás bankjegyen: 5
. Műveletek vektorokkal. Koordinátageometriai alkalmazások Műveletek vektorokkal Skaláris szorzat Thomas, 3. kötet. fejezet F3. Számítsa ki az a = (3,, ) és b = (,, 3) vektorok skaláris szorzatát. F4. Határozza meg λ értékét úgy, hogy az a = (3,, ) és a b = (, 5, λ) vektorok merőlegesek legyenek. F5. Határozza meg az a = (,, ) és a b = (,, ) vektorok szögét. F6. Számítsa ki az A = (, 5, ), B = (6, 3, 5), C = (6, 4, 9) csúcspontú háromszög szögeit. F7. Bontsa fel a v = (3,, 5) vektort az a = (4,, 3) vektorral párhuzamos és arra merőleges komponensek összegére. F8. Tükrözze az v = (, 6, ) vektort az a = (,, ) vektorra. Határozza meg a tükörkép vektor koordinátáit. Vektoriális szorzat F9. Számítsa ki az a = (,, 3) és b = (, 4, 7) vektorok vektoriális szorzatát. F. Határozza meg az ABC háromszög területét, ha A(,, ), B(,, ) és C(,, ). Vegyesszorzat F. Határozza meg az a = (,, 5), b = (,, 4) és c = (,, 3) vektorok abc, cba és cab vegyesszorzatait. F. Számítsa ki az a = (,, 3), b = (,, ) és c = (,, ) vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogatát. F3. Bizonyítsa be, hogy az A = (4,, ), B = (3,, ), C = (4,, ) és D = (7,, 6) pontok egy síkon fekszenek. 6
Koordinátageometriai alkalmazások F4. Írja fel a P (,, 4) ponton átmenő n = (,, 3) normálvektorú sík egyenletét. F5. Írja fel az A(,, ), B(4,, ), C(,, 3) pontokon átmenő sík egyenletét. Számítsa ki a P (,, 3) pont távolságát a fenti síktól. Írja fel a P ponton átmenő, a fenti síkra merőleges egyenes egyenletét. Keresse meg a P pontnak a fenti síkra való merőleges P vetületének a koordinátáit. F6. Mutassa meg, hogy az x y+z = és a x 4y+z = síkok párhuzamosak, és határozza meg a két sík távolságát. F7. Írja fel az A(4,, 3) és a B(,, 5) pontokon átmenő egyenes vektoregyenletét, paraméteres egyenletrendszerét és egy egyenletrendszerét. F8. Keresse meg az x y + 4z = és az x + y z = 5 síkok metszésvonalának az egyenletét. F9. Határozza meg a P (,, 8) ponton átmenő és az x + = y = 3 z 3 egyenletű egyenesre merőleges síknak az egyenessel való döfésponját. F3. Számítsa ki a P (5,, 4) pont távolságát az x = t, y = 3t, z = 3t + 4 (t R) egyenletű egyenestől. sík egyenletét. Írja fel a P ponton átmenő és az adott egyenesre illeszkedő F3. Mutassa meg, hogy az x 3 = y + 4 = z 3 4 és x + 4 = y = z + 5 8 egyenletű egyenesek párhuzamosak. Határozza meg a távolságukat. két egyenesre illeszkedő sík egyenletét. Írja fel a 7
3. Lineárisan összefüggő és független vektorrendszerek. Alterek F3. Döntse el, hogy a következő R 3 -beli vektorok lineárisan függetlenek-e vagy nem: (a) 3,, ; (b),, ; 3 3 3 4 F33. Tegyük fel, hogy az R 6 tér b, b, b 3, b 4, b 5 és b 6 vektorai lineárisan függetlenek. Döntse el, hogy az alábbi vektorrendszerek lineárisan függetlenek vagy összefüggők: (a) b b, b 3 b, b 4 b 3, b 5 b 4, b 6 b 5, b ; (b) b b, b 3 b, b 4 b 3, b 5 b 4, b 6 b 5, b b 6. F34. Határozza meg a síkvektorok terének (azaz R -nek) az összes alterét. F35. Tekintsük az R 3 tér a := (, 3, 4 ), b := (, 7, ), c := (,, ) vektorait. Döntse el, hogy az x := ( 3,, ) vektor benne van-e a vektorok által generált az a, b, c szimbólummal jelölt altérben. F36. Igazolja, hogy az R 4 tér M := { (x, x, x 3, x 4 ) R 4 x + 3x = 5x 3 x 4 } részhalmaza egy altér R 4 -ben. Hány dimenziós ez az altér? Adja meg egy bázisát. Műveletek mátrixokkal 4. Mátrixok F37. Végezze el a következő szorzásokat: [ ] 7 x x, y, z 6 y. 5 z 8
F38. Számítsa ki az AB mátrixot, ha 3 4 A = 5 3 5, B = 4 3. 4 3 3 4 F39. Egy kereskedelmi cég n féle terméket forgalmaz m boltjában. Az A mátrix a ij eleme jelentse a j-edik termék i-edik boltban egy hónap alatt forgalmazott mennyiségét. A p vektor p i komponense jelölje az i-edik termék egyszégárát. Az A mátrix, az p vektor, az e i (a kanonikus bázisvektor), valamint az (az az oszlopvektor, amelynek minden koordinátája ) vektorok segítségével írja fel: (a) az r-edik boltban a q-adik áruból eladott mennyiséget; (b) az r-edik bolt bevételét termékenként; (c) a q-adik termék eladásából származó bevételt; (d) az egy hónap alatt eladott termékmennyiséget termékenként; (e) a havi összbevételt. F4. Határozza meg mindazon B mátrixokat, amelyek az [ ] A = 3 mátrixszal felcserélhetők. Determinánsok F4. Az elemi tulajdonságok alkalmazásával számítsuk ki az alábbi mátrixok determinánsát: 4 9 6 a b + c (a) b a + c, (i) 4 9 6 5 9 6 5 36. c a + b 6 5 36 49 F4. Legyen A =. Számítsa ki az A T A mátrixot és ennek a determinánsát. 9
Mátrix és vektorrendszer rangja F43. Határozza meg az alábbi mátrix rangját: 4. 3 6 3 F44. Az a és b paraméterek mely értékei mellett lesz az alábbi mátrix rangja 4: 3 7 5 3 a 5 3 3. b F45. Határozza meg az 3 a :=, a :=, a 3 :=, a 4 := 3 6 vektorok által generált altér dimenzióját, és adja meg az altér egy bázisát. Négyzetes mátrix inverze [ ] a b F46. Mutassa meg (és jegyezze meg), hogy a másodrendű A = c d akkor és csak akkor invertálható, ha det A = ad bc, és ekkor A = [ ] d b. det A c a mátrix F47. Milyen λ valós paraméterek esetén invertálható az alábbi mátrix: 5 9 3 5? 3 9 λ Írja fel ebben az esetben a mátrix inverzeit is. (Sortranszformációs módszerrel dolgozzon!) F48. Legyen A := 3 3 4 8 4 3 7 x. 4 8 y
Az x, y valós paraméterek mely értékei mellett lesz (a) az A mátrix rangja ; (b) az oszlopvektortér dimenziója 3; (c) a mátrix invertálható; (d) a sorvektortér valódi altér? F49. Legyen A := 3 8 4, B :=. 3 Igazolja, hogy az A mátrix invertálható, és határozza meg az inverzét. Oldja meg a következő mátrixegyenletet: Mátrixegyenletek A X = B. F5. Határozza meg azt az X mátrixot, amelyre X a T b C = X A teljesül, ahol A := 3, C :=, a := 3, b :=. 3 3 F5. Határozza meg azt az X mátrixot, amelyre B ( X + A ) = A T X + B teljesül, ahol 3 3 4 4 B :=, A := 9 4. 9 8
Lineáris egyenletrendszerek F5. Oldja meg az egyenletrendszert (a) mátrixinvertálással; (b) a Cramer-szabállyal; (c) a Gauss-féle eliminációval. F53. Oldja meg a valós számok körében x + x + x 3 = x x + x 3 = 4 4x + x + 4x 3 = 3x + x x 3 x 4 = 9x + x x 3 x 4 x 5 = 5 x x x 4 + x 5 = x + x x 3 3x 4 + 4x 5 = egyenletrendszert. Mennyi az együtthatómátrix rangja és a rendszer szabadságfoka? Adja meg a homogén rész megoldáshalmazának egy bázisát is, és írja fel a homogén egyenlet általános megoldását.