tejes potenciáis energia minimuma ev Ovassa e a bekedést! Jegyee meg a tejes potenciáis energia értemeését! Írja fe és tanuja meg a küső erőrendser potenciáját! tejes potenciáis energia minimuma ev konervatív erőrendserek esetén érvényes tejes potenciáis energia értemeése: Π= U W k tejes potenciáis energia a aakvátoási energiának, aa a beső erőrendser potenciájának és a küső erőrendser potenciájának össege küső erőrendser potenciáját formaiag a küső erőrendser munkájának mínus egysereséve írjuk fe: = F dv u q dv u p d ( V) ( V) ( p ) aakvátoási energia térfogati erőrendser munkája feüeti erőrendser munkája tejes potenciáis energia minimuma evné a u emoduásmeő a esődeges (primer) ismereten: Π=Π( u ) aakvátoási- és a F fesütségmeő a u -bó sármatatott (másodagos) mennyiség Egy u kinematikaiag ehetséges emoduásmeőhö is sámítható kinematikaiag ehetséges potenciáis energia: = u = U u q dv u p d ( V ) ( p ) kinematikaiag ehetséges aakvátoási energia a U = F dv ( V ) össefüggés segítségéve sámítható, ameyben ν F = G + I E és = u + u ν Ovassa e a bekedést! Kövesse végig a minimum bionyítását! minimum bionyítása: u u egyen két, ugyanarra a peremérték feadatra vonatkoó kinematikaiag ehetséges emoduásmeő = U U u u q dv u u p d ( V ) ( p ) Átaakítás a U értemeésének és a virtuáis munka evének fehasnáásáva: U = F dv ( V)
Mive F dv = u u q dv + u u F n d ( V) ( V) u u F n d = u u F n d + u u p d ( u ) ( p ) = aáhúott tagokat heyettesítsük vissa a tényeges megodás egyen: potenciáis energia küönbségbe: ( V ) ( V ) Π Π = F F dv F dv u = u, =, F = F = F Egy kinematikaiag ehetséges emoduásmeőhö tartoó mennyiségek pedig egyenek: u = u küönbség: Átaakítás: = F = F = F F F dv V F F = F F F + F Ha fennána a F = F össefüggés, akkor éppen a integrandust kapnánk További átaakítások: F E = ( ρ e + ρy ey + ρ e) ( e e + ey ey + e e) = = ρ e + ρ e + ρ e = σ + σ + σ = F y y y I Simmetrikus tenorok kétseres skaáris sorásáná a tényeők sorrendje fecseréhető: F E = E F = σ + σ + σ = F Et fehasnáva a második tag átaakítására: y I ν ν F = F F F = F F FI F E G + ν G + ν kamava a kétseres skaáris sorásra kapott FI = E F, ietve F E = F I össefüggést, a visgát kétseres skaáris sorat: ν F = F FI E F = F = F G + ν utosó, kapcsos aáhúássa jeöt egyenőségné fehasnátuk, hogy simmetrikus tenorok kétseres skaáris sorásáná a tényeők sorrendje fecseréhető kérdéses egyenőség tehát tényeg fenná! Et figyeembe véve:
= F F dv u dv = ( V) ( V) energia jeegű Jegyee meg a tejes potenciáis energia minimuma evet! tejes potenciáis energia minimuma ev: össes kinematikaiag ehetséges emoduásmeő köü a tejes potenciáis energia a tényeges emoduásmeőre minimumot sogátat = csak akkor á fenn, ha = és u = u Jegyee meg a egakt és a köeítő megodás jeemőit! Egakt megodás: Köeítő megodás: ha a össes kinematikaiag ehetséges köü váastjuk ki a egkisebbet: min = ha nem a össes kinematikaiag ehetséges köü váastjuk ki a egkisebbet: min Ovassa e a bekedést! Kövesse végig a tejes potenciáis energia minimuma evét síkbei tartókra! tejes potenciáis energia minimuma ev síkbei tartókra Pédaként visgájunk meg egy síkbei hajított-nyírt tartót, ameyre q = qe y y vona mentén megosó erőrendser hat Ebben a esetben a virtuáis emoduás csak y irányú: u( ) = v( ) e y Minden kinematikaiag ehetséges emoduásmeőhö sámítható egy tejes potenciáis energia tejes potenciáis energia minimuma ev: y q v Váassunk két kinematikaiag ehetséges emoduásmeőt:
π v( ) = csin π π v ( ) = csin + csin Ha a trigonometrikus sorban végteen sok tagot váastanánk, akkor a egakt megodást kapnánk megodás pontosságáró energia érteemben is ehet beséni megodás pontosságát a mennyiség jeemi Határouk meg a kinematikaiag ehetséges tejes potenciáis energiát: = U W, dv d ϕ =, ( ) =, u ε σ d v κ = d σ = Eε, d v ε = κ y = y dy Itt ϕ jeenti a rúd kerestmetsetének kinematikaiag ehetséges sögeforduását, κ pedig a rúd köépvonakának kinematikaiag ehetséges görbüetét eőbbieket fehasnáva a tejes potenciáis energia eső tagja: d v d v u dv E y dd I E = d d = V ( ) d n m küső erők munkája: Wk = v qy d + vi Fyi + ϕ j M j ( ) i= j= a koncentrát erők és nyomatékok munkája Egy kinematikaiag ehetséges u emoduásmeőhö tartoó tejes potenciáis energia: n m d v = I E y i yi j j d v q d v F ϕ M ( ) d ( ) i= j= Lagrange-fée variációs ev Ovassa e a bekedést! Jegyee meg a Lagrange-fée variációs ev jeentését! Kövesse végig a eveetést! tejes potenciáis energia minimuma ev variációs megfogamaása tejes potenciáis energia is tekinthető funkcionának: [ u ] = U [ u ] u q dv u p d ( V ) ( p ) Peremfetéte: δ u u =, aa u értéke adott a u feüeten sésőérték sükséges fetétee: δ =,
δ = δu δu q dv δu p d = ( V ) ( p ) tejes potenciáis energiának a tényeges emoduásmeőre sésőértéke van Rugamasságtani feadatok esetén a δ = ev megegyeik (aonos) a virtuáis emoduások evéve minimum eégséges fetétee sésőérték akkor minimum, ha δ ionyítható, hogy mindkét fetéte tejesü második variációt második derivátta anaóg módon képeük tejes potenciáis energia minimuma ev ( δ = ) fiikai tartama aonos és a Lagrange -fée variációs ev Kérdés: a tejes potenciáis energia minimuma ev (vagy a Lagrange-fée variációs ev) aapján sámított egakt (vagy pontos) megodás kieégíti-e a rugamasságtan egyenetrendserét? δ = egyenet fiikai tartama: δ = δu δu q δu p d = ( V ) ( p ) aakvátoási energián végeük e a követkeő átaakításokat: δu = δu dv = δ F dv = F δ dv = V ( V) ( V) = F δ( u ) dv = F ( δu ) dv = ( δu F ) δu ( F ) dv = ( V) ( V) ( V ) D = δu F n d δu ( F ) dv ( V) δu F n d + δu F n d ( p ) ( u ) = eőő össefüggés negyedik egyenőségjee után a aakvátoási tenor heyére u -t (aa a aakvátoási vektor D derivát tenorát) írtuk, mert F δu = F δ + F δψ D = F Ψ = egyenetet aért írhattuk, mert Ψ ferdén simmetrikus, és egy simmetrikus és egy ferdén simmetrikus tenor kétseres skaáris sorata nua δ U össefüggésen végrehajtott átaakítások eredményét beheyettesítve a Lagrange-fée variációs evbe és at átrendeve: δ = δu F + q dv + δu F n p d = ( V ) ( p ) Mive δu tetsőeges, eért a δ = egyenet csak akkor tejesü, ha a [ ]-ben evő kifejeések küön-küön egyenők érussa Ebbő követkeik, hogy a tejes potenciáis energia minimuma eve tartamaa Joseph-Louis Lagrange (Giuseppe Lodovico Lagrangia) (76-8) francia matematikus
- a F + q = egyensúyi egyeneteket és - a F n = p dinamikai peremfetéteeket variációsámítás serint, ha a sóba jöhető össes függvényt figyeembe vessük (konkurenciába bocsájtjuk), akkor egakt megodást kapunk, mert - kinematikaiag ehetséges emoduásmeő kieégíti a kinematikai egyenetet és a kinematikai peremfetéteeket - δ = Lagrange-fée variációs ev pedig tartamaa a egyensúyi egyenetet, a dinamikai peremfetétet, vaamint a anyagtörvényt a u, ameyné a -nek minimuma van, kieégíti a rugamasságtan egyenetrendserét, tehát egakt megodás Egakt megodás: Ha a össes kinematikaiag ehetséges emoduásmeőt figyeembe vessük, akkor kieégünek a egyensúyi egyenetek és a dinamikai peremfetéteek is Köeítő megodás: Ha a figyeembe vett függvények hamaa nem tartamaa a össes kinematikaiag ehetséges emoduásmeőt, akkor a minimum ev, vagy variációs ev igyeksik kieégíteni a egyensúyi egyeneteket és a dinamikai peremfetéteeket Ekkor a egyensúyi egyenetek és a dinamikai peremfetéteek csak köeítőeg eégünek ki Rit-módser Ovassa e a bekedést! Jegyee meg a Rit-módser serepét! Kövesse végig a eveetést! Rit -módserre köeítő megodás áítható eő a tejes potenciáis energia minimum ev fehasnáásáva össes kinematikaiag ehetséges emoduásmeőbő egy réshamat ragadunk ki kinematikaiag megengedett emoduásmeőt véges sámú ( n darab) paraméter segítségéve áítjuk eő: u = u( c, c, c n ) Így tejes potenciáis energiában is csak a eőbb beveetett n darab (ismereten) paraméter jeenik meg: ( c c c ) =,, n E at jeenti, hogy nem vessük figyeembe a össes kinematikaiag ehetséges emoduásmeőt, ami kinematikaiag megengedett, hanem csak n -et Eek köü a meők köü a adja a jobb köeítést, meyre fenná a δ = δc + δc + + δcn = c c cn fetéte, hisen a variációképés formáisan paraméterek serinti differenciát jeent Mive c, c,, c n egymástó függeten, tetsőegesen váastható paraméterek, eért δ c, δ c,, δ c n Water Rit (878-99) svájci fiikus
δ tehát csak akkor ehet nua, ha a δ ci -k együtthatói küön-küön nuáva egyenők: =, c =, c n darab ineáris agebrai egyenet = c n Ee tehát a c, c,, c n paraméterekre egy inhomogén, ineáris agebrai egyenetrendsert kaptunk, ameynek megodása sogátatja a feadat köeítő megodását Ovassa e a bekedést! Kövesse végig a tartó súyponti sáának deformát aakját meghatároó megodást! Péda a Rit-módser akamaására Tekintsünk egy befogott tartót, meynek ismerjük a geometriai adatait ( I ) rugamassági moduusát ( E ), vaamint a terheését ( q ) y,, anyagának q Határouk meg a tartó súyponti sáának deformát aakját a) etti-tétee (csak a végpont v emoduását és a ϕ sögeforduását), b) a rugamas sá differenciáegyenetének megodásáva, c) Rit-módserre a) Megodás etti-tétee: v meghatároásáho a kerestmetsetben fe ke venni egy egységnyi, y irányú erőt eredeti terheéshe és a egységnyi erőhö tartoó igénybevétei ábrák a követkeő ábrán áthatók Eredeti terheés: v kisámításáho fevett ER:
M Fy = q = q T y M h y q kn kn q q t v m v y q q M h ( ) = q + mv = ( ) etti-téte: W = U q q q q q v = M hmvd = ( ) + = = ( ) 6 8 6 8 ϕ sögeforduás sámításáho a tartóra a pontban egy egységnyi nyomatékot ke fevenni, majd a eőő gondoatmenethe hasonóan járunk e
knm ϕ kisámításáho fevett ER: y knm m ϕ etti-tétebő: q q q ϕ = = + = M hmϕ d 6 8 6 b) Megodás a rugamas sá differenciáegyenetének fehasnáásáva: hajított-nyírt tartó rugamas sáának differenciá-egyenete: dv Mh ( ) q q = = q + d sögeforduás differenciá-egyenet egyseri integráásáva határoható meg: dv Mh ( ) q q q ϕ ( ) = = d c c d + = + + 6 c értéke a peremfetétebő adódik peremfetéte a = heyen (a befogási heyen) ϕ = ϕ = = = [ + + ] + c c = q q q Tehát a sögeforduás függvény: ϕ ( ) = + 6 q q q q kerestmetset sögeforduása: ϕ = ϕ( = ) = + = 6 6 ehajás értékét a rugamas sá differenciá-egyenetébő kétseri integráássa határohatjuk meg: Mh ( ) q q q v( ) = d d c + c = + + c 6 = peremfetéte = -ná v =, ebbő pedig a eőbbihe hasonó módon követkeik, hogy c = q q q emoduásfüggvény tehát: v( ) = + 6 kerestmetset y irányú emoduása: q q q q q v = v( = ) = + = = 6 8 c) Megodás Rit-módserre: Legyen kinematikaiag ehetséges köeítő emoduásmeő poinom:
n i n v = c = c + c+ c + c + c + + c i= peremfetéteek: = -ná = -ná i v = c =, dv ϕ = = c = d Köeítés másodfokú poinomma: eső köeítő emoduásmeőt áítsuk eő a fenti másodfokú köeítő poinom segítségéve peremfetéteek miatt a köeítő poinomban most csak a másodfokú tag dv d v v = c, = c, d d tejes potenciáis energia: d v I E = d ( q ) v d = ( ) d ( c ) + qc ( ) serepe köeítő meő és derivátjai: ( ) n ( ) = c I Ec q tejes potenciáis energia sésőértékének fetétee: = c = + q Innen c kifejehető: c = q köeítő megodás: v ( ) =, dv q d 6I E Eekbe a össefüggésekbe = értéket beheyettesítve: q q v( ) =, ϕ( ) = 6 Köeítés harmadfokú poinomma: köeítő emoduásmeő egyen harmadfokú poinom: ( ) = c + c ( ) = c + 6 c dv d v v ( ) = c + c,, d d tejes potenciáis energia: d v ( ) = I E ( ) ( ) d q v d = I E c + c d + q c + c = ( ) d ( ) ( ) ( ) = I E ( c + 6cc + 9c ) d + q c + c = = ( c + cc + c ) + q c + c sésőérték fetétee: = = I E c + 6 c + q, c = = ( 6c + c) + q c megodandó ineáris agebrai egyenetrendser:
q c + c = 6 + c = 8 c 6 q eső egyenetet -e megsorova, majd a második egyenetbő kivonva kapjuk c -at: Et vissaheyettesítve: köeítő emoduásmeő: kerestmetset köeítő emoduása: köeítő sögeforduásmeő: c q c = q q 5q = = 6 5q q v = + 5q q q v = v( = ) = + = 8 5q q ϕ = + q kerestmetset köeítő sögeforduása: ϕ = 6 Köeítés negyedfokú poinomma: köeítő emoduásmeő egyen negyedfokú poinom: v ( ) c c c = + +, tejes potenciáis energia: dv ( ) c c c d ( ) c c c = + +, d v ( ) d ( ) ( ) c c c d v = + 6 + d = I E d + q v d d v = + 6 + háromtagú kifejeést négyetre emeve, majd a integráást d evégeve, a eső tag integrája: ( ) ( ) 5 8 d c c c cc cc cc d v = + + + + + d 5 második tagja integrája: q v d q c c c 5 = + + 5 sésőérték meghatároásáho eő ke áítanunk derivátjait: = = I E ( 8c + c + 6 c ) + q, c = = ( c + c + 6 c) + q, c megfeeő paraméterek serinti
5 88 5 = = c + 6c + 6 c + q c 5 5 megodandó ineáris agebrai egyenetrendser: q 8c + c + 6 c = q c + c + 6c = 5 88 5 q 6c + 6c + c = 5 5 q q q egyenetrendser megodása: c =, c =, c = 6 köeítő megodás a emoduásmeőre: q v = + 6 negyedfokú poinomma kapott köeítő megodás megegyeik a egakt megodássa! E aért van így, mert a Mh ( ) nyomatéki függvény másodfokú rugamas sá differenciá egyenetébő eért a egakt megodásra egy negyedfokú poinomot kapunk Itt a Rit-módserné fevett negyedfokú poinomsereg tartamaa at a negyedfokú függvényt is, ami a tényeges (egakt) megodás, eért adódik beőe a egakt megodás