Ä ÃÌÊÇ ÁÆ ÅÁÃ º Ð µ
Ð ØÖÓ ÞØ Ø ÆÝÙ Ú Ø ÐØ Ò ÐÐ Ò Ð ØÖÓÑÓ Ø Ö º ½º Å Ò Ò Þ Ñ ÒÒÝ ÐÐ Ò Þ Òº ¾º Ø ÐØ Ò Ñ ÑÓÞÓ Ò Ø Ø v = 0 ØÓÚ Ò Ò Ö Ñ J = 0º Å ÜÛ ÐÐ Þ ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ú Ø Þ ÓÖÑ Ø ÐØ ½º Å rot H = 0, H t2 H t1 = 0 H t2 = H t1, ¾º Å div D = ρ D n2 D n1 = η º Å rot E = 0 E t2 E t1 = 0, º Å div B = 0 B n2 B n1 = 0. Å ¹ Ø ÝÑ Ø Ð ØÐ Ò Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖÖ Ò Þ Øº Þ Ý Þ Ð ØÖÓÑÓ Ñ Ñ Ò Ø Ö ØÙÐ ÓÒ Ø Ö Ð º Þ Ð ØÖÓ ÞØ Ø Ù Ø Ö D = ǫ0 ǫ r E ÓÐ ǫ = ǫ0 ǫ r.
Þ Ð ØÖÓ ÞØ Ø Ù Ø Ö ÔÓØ Ò Ð ÞØ Ø Ù Ø Ö Ø Ð Ö Ð Ô Ý ÒÐ Ø rot E = 0, div D = ρ div E = ρ. Ã ÐÐ Þ Ñ Ø ÒÙÒ ρ( r, t) E( r, t). Å Ú Ð rot E = 0 ÓÐÝ Ò Ý ÖØ ò φ( r, t) Ð Ö Ú ÒÝ Ñ ÐÝÖ E = grad φ. À Ñ Ö φ( r, t) Ú ÒÝØ E = grad φº Ð ØÓØ Ú Þ Ú Þ ØØ φ Ð ÖØ Ö Ñ Ø ÖÓÞ Ö º φ¹ø ÞØ Ø Ù Ø Ö ÔÓØ Ò Ð Ò Ò Ú ÞÞ º À ÐÝ ØØ Ø Þ E = grad φ Þ Ø div E = ρ
Ý ÒÐ Ø ÓÖ φ = ρ div grad φ = ρ 2 φ x 2 + 2 φ y 2 + 2 φ z 2 = ρ. ÈÓ ÓÒ¹ Ý ÒРغ ÓØØ ρ( r, t) Ø ÐØ ÐÓ ÞÐ ÔÓØ Ò Ð Ø ÈÓ ÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ ÒØ Ô¹ Ù º Ø Ö Ö Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ö ÐØ Ø Ð φ ÔÓØ Ò Ð Ø Ú Ð Ú Ø Þ Å φ ÔÓØ Ò Ð Þ Ð ÒØ (grad φ)n 2 (grad φ)n 1 = η, (grad φ)t 2 (gard φ)t 1 = 0.
A Φ(Α) B Φ(Β) ËÞ Ñ Ø Ù ÞØ ÑÙÒ Ø Ñ Þ E Ø Ö Ú Þ Ñ ÓÖ ÔÓÞ Ø Ú Ý ÒÝ Ø ÐØ Ø Þ ÔÓÒØ Ð ¹ ÑÓÞ Ø º ÅÙÒ B B A E ds = grad φ ds = φ(a) φ(b). A Ú Þ ØØ ÑÙÒ Ø Ø Þ Ø Ú ÔÓÒØ Ò ÖÚ ÒÝ ÔÓØ Ò ÐÓ Ð Ò ¹ Ú Ð Ý ÒÐ º φ ÔÓØ Ò Ð Þ E Ø Ö Ö Þ ØØ Ô ÓÐ Ø Ý ÓÒ Ø Ò Ö Ñ Ø ÖÓÞÓØØ Ù Ý Ò φ¹ Þ Ø Ø Þ Ð ÓÒ Ø Ò ÓÞÞ ¹ Ø Ò Ð Ð Ó Ý E Ñ Ú ÐØÓÞÒ º Ò ÒÝ Ñ Ú Ð ÞØ Ð Ø Ð Ø Þ º Þ ÐÑ Ð Ø Þ Ò ÔÓØ Ò Ð ÖØ Ø Ú Ø Ð Ò Ø ÚÓÐ ÔÓÒØ Ò Ú Ð ÞØ Ù Þ ÖÙ Ò º φ( ) = 0º Ì Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò ÐØ Ð Ò Ð ÔÓØ Ò Ð ÖØ Þ ÖÙ ºµ Å ÙØ Ò Ú Ø Ð Ò Ø ÚÓÐ ÔÓÒØ Ò ÐÚ ØØ ÖØ Ø Ð ÖØÙ Ý Ñ Ö Ò Ñ
ÔÓØ Ò Ð Ð Ò Ò Ò Ñ Ñ Ò ÔÓØ Ò ÐÒ Ú Ò Þ Ð ÒØ φ(p) Þ ÑÙÒ Ñ ÐÝ Ø Þ Ð ØÖÓ ÞØ Ø Ù Ø Ö Ú Þ Ñ ÓÖ ÔÓÞ Ø Ú Ý ÒÝ Ø ÐØ Ø È ÔÓÒØ Ð Ú Ø Ð Ò ÑÓÞ Ø º ÞØ Ø Ù Ø Ö ÑÙÒ ØÐ Ò Þ ØØ Ð Þ Ú ÐÐ ÔÓØ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÞ º Þ Ð ØÖÓ ÞØ Ø Ù Ø Ö ÓÒÞ ÖÚ Ø Úº
ÔÓÒØØ ÐØ Ð ØÖÓ ÞØ Ø Ù Ø Ö Ã Ö φ( r, t) ÔÓØ Ò Ð ÖØ Ø Ø Ö Ú Ð Ñ ÐÝ P(x, y, z) ÔÓÒØ Ò Ð Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Þ E( r, t) ÖØ Øº z +e P(x,y,z) y ÔÓØ Ò Ð ÖØ Ò Ñ Ø ÖÓÞ Ö ÈÓ ÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ø ÞÒ Ð Ù Ðº ÔÓÒØØ ÐØ Ò Ø Ø Þ ÓÖ Òµ Ú Ð Þ Ý ÒÐ Ø Ó ÓÐ Ð Þ ÖÙ º Ñ Óй Ò Ý ÒÐ Ø Ø Ø φ = 0. x ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Þ ÑÑ ØÖ Ù º ¹Ø Ñ ÔÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø Ò Ö Ù Ð ϑ ϕ Ñ Ö Ò Ò Ý d 2 φ dr + 2 dφ 2 r dr = 0.
Î Þ ψ = rφ Ú ÒÝØ ÓÖ φ = 1 r ψ, φ, = 1 r 2ψ + 1 r ψ,, φ,, = + 2 r 3ψ 1 r 2ψ, 1 r 2ψ, + 1 r ψ,, = 2 r 3ψ 2 r 2ψ, + 1 r ψ,,, 1 d 2 ψ r dr = 0, 2 ψ = Ar + B, φ = B r + A, r = φ( ) = 0 A = 0, φ = B r E = grad B r = B r 2 r r.
Þ E Ø Ö Ù Ö Ö ÒÝ Ñ Þ ÑÑ ØÖ Ù Ø Öº B ÖØ Ø Ù ¹Ø Ø Ð Ð Ø ÖÓÞ Ø Ù Ñ F E df = E F(G) df = B r 24πr2 = 4πB. Å Ú Ð E Ð Ð Ø Ò ÐÐ Ò Ò Ý Ù Ö Ö ÒÝ Ô Ù µ 4πB = e, Ì Ø B = e 4π. φ( r ) = 1 4π e r, E( 1 e r r ) = 4π r 2 r.
ÓÒ ÓÐ ÙÒ Ý Ñ e Ø ÐØ Ø ÓÖ Þ ØØ ÐÐ Ô Ö F = e, E( r ), F = 1 4π e, e r 2 r r. Þ Þ Þ Ð Ø Ø Þ Ý ÒÝ Ø ÐØ Ò Ð Ö Ý ÒÝ Þ Ø ÐØ Ñ ÐÝ Ú ÙÙÑ Ò Ø Ð ½ Ñ¹Ö Ð Ú Ù Ý Ò Ý ÒÝ Ø ÐØ Ö ½ Æ Ö Ø Ø º À Ø ÐØ Ø Ò Ñ Þ ÓÖ Ò Ñ Ý Ø Ø Þ Ð P 0 (x 0, y 0, z 0 ) ÔÓÒØ ¹ ÐÝ ÞÞ Ý P(x, y, z) ÔÓÒØ Ò ÔÓØ Ò Ð ÖØ Ú Ø Þ φ(x, y, z) = 1 e 4π (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2.
Ì ÔÓÒØØ ÐØ Ð ØÖÓÑÓ Ø Ö Ø Þ Ý Ø ÐØ Ø Ö Ò ÞÙÔ ÖÔÓÞ Ñ º Í Ý Ò Þ Ð Ô Ý ÒÐ Ø Ð Ò Ö ÚÓÐØ Ñ ØØ Þ Ý Ñ ÓÐ Ó Þ Ñ ÓÐ E = E1 + E 2 +... = grad φ 1 grad φ 2... = grad (φ 1 +φ 2 +...) = grad φ, ÓÐ E 1, E 2,º º º φ 1, φ 2,ººº Þ Ý ÔÓÒØØ ÐØ ÐØ Ð ÐØ ØØ Ð ØÖÓÑÓ Ø Ö Ö Ø ÐÐ ØÚ ÞÓ ÔÓØ Ò Ð Ø Ð ÒØ φ = φ 1 + φ 2 +...º À Þ e i ÔÓÒØØ ÐØ ÐÝ ÓÓÖ Ò Ø x i, y i, z i, ÓÖ φ(x, y, z) = E = grad Φº i=1,n 1 e i 4π (x xi ) 2 + (y y i ) 2 + (z z i ) 2, φ = i=1,n 1 4π e i r i,
ÓÐÝØÓÒÓ Ø ÐØ ÐÓ ÞÐ ÔÓØ Ò Ð z Ä Ý Ò Ý V Ø Ö Ó Ø Ñ ÐÝ Ø Ð Ø¹ ÖÓÑÓ Ø ÐØ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ø ÐØ ρ òöò¹ к À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ ÒÒ Ø ÐØ ¹ ÐÓ ÞÐ Ò Þ Ð ØÖÓ ÞØ Ø Ù ÔÓØ Ò ¹ Ð Ø P(x, y, z) ÔÓÒØ Òº x ρ 1 dv 1 V y r i P(x,y,z) φ(x, y, z) = 1 4π V 1 φ(x, y, z) = lim Vi 0 4π i ρ i V i r i ρ(x,, y,, z, )dx, dy, dz, (x x, ) 2 + (y y, ) 2 + (z z, ) 2, Ú Ý Ö Ú Ò φ(x, y, z) = 1 4π V ρdv. r
ÔÓÒØØ ÐØ Ð ØÖÓ ÞØ Ø Ù ÔÓØ Ò Ð Ø ÈÓ ÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ ÒØ ÔØÙ º Ð Þ Ò Ð Ý ÓÖ ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò ØØ Ð Ú Ø Þ¹ Ø ØØ Ò ÓÐÝØÓÒÓ Ø ÐØ ÐÓ ÞÐ ÔÓØ Ò Ð Þ Ö º ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø ÐÓ¹ Ð Ô Ò ÞØÓ Ú ÝÙÒ Ò Ó Ý Þ Ñ ÓÐ Ñ ÓÐ Ð Þ ÈÓ ÓÒ¹ Ý ÒÐ ØÒ º ÞÓÒ Ò Ò ÒÝ ÐÝ Ò Ø Ò Ð Þ Öò Ñ ÑÙ¹ Ø ØÒ ÔÓÒØÓ Ñ Ø Ñ Ø µ Ñ Þ Ö Ð Ó Ý ÒØ ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò ØØ Ð ÒÝ ÖØ Ñ ÓÐ Ó Ú Ð Ò Ñ ÓÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ô Ý ÒÐ Ø Ò º Â Ð Ò Ø Ò Φ = ρ µ¹ Ò º Ì Ý Ð Ó Ý ψ φ Ö Ò Ð ÒÝ Ó Ù Ð Ý ØØ Ö ÙÐ Ö Ú ÒÝ Þ Ü Ý Þ Ú ÐØÓÞ Ò V Ø Ö Ó Ø Òº ψ, φ, ψ, φ ÓÐÝØÓÒÓ ÓÖÐ ØÓ Þ ÖØ ÐÑ Þ ØØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒºµ Ö Ò¹Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ ÓÖ ÒÒ ÐÐ Ú Ø Þ Ý ÒÐ V (ψ φ φ ψ)dv = F (ψ grad φ φ grad ψ) df,
ÓÐ F V Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ø ÖÓÐ Ð Ð Ø º Ä Ý Ò P(x, y, z) V Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ý Ø Ø Þ Ð ÔÓÒØ º Ø ÔÓÒØ ØØ Ð Þ Ñ ØÓØØ Ø ÚÓÐ Ø Ð Ð Ð Ö¹Ö Ðº V gömb V F P(x,y,z) G φ r dv = F ψ Ø Ú Ð ÞÙ Ô Ð Ò Ý Ó Ý ¹ Ð Ø ψ = 0 Ý ÒÐ Ø Ø ψ = 1 r º Þ ψ Ú ÒÝ P ÔÓÒØ Ò Ò Ñ Ö ¹ ÙÐ Ö º Ã Þ ÖÚ P ÔÓÒØÓØ Ø Ö Ó Ø¹ Ð Ñ Ö Ñ Ò Ø Ú ÒÝ ψ φ Ö ÙÐ Ö Ð Þº φ Ú ÒÝÖ Ð Ø Ø Ð Þ¹ Þ Ð Ó Ý Þ Ö ØØ ÔÓØ Ò ÐÐ Ð Ý Þ Ñ º Ý Ú Ø Þ Ý ÒÐ ¹ Ø Ô Ù ( 1 r grad φ φ grad 1 r ) df + ( 1 G r grad φ φ grad 1 r ) df.
Ñ Ð Ð Ø Ò Ú ØØ ÒØ Ö Ð Ò (grad φ) n = ( φ r ) r=r; (grad 1 r ) n = 1 R 2, df = R 2 dω, ÓÐ dω P ¹ Ð Ò ÙÐ Ð Ñ Ø Ö Þ º À Ñ Ð Ð Ø Ø ÓÐÝØÓÒÓ Ò Þ ÞÞÙ P ÔÓÒØÖ Ñ Ö Ú ØØ Ð Ð Ø ÒØ Ö Ð 4πφ(P) ¹ Þ Ø Öغ ÒÒ Ð Ó Ú φ(p) = 1 4π V φ r dv + 1 ( 1 4π F r grad φ φ grad 1 r ) df. ÅÓ Ø ÐØ Ø Ð ÞÞ Ó Ý Ø ÒØ ØØ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Þ Þ Ú Ø Ð Ò Ø Ö Ó Ý φ ÔÓØ Ò Ð Ö Ò Ð ÒÝ Ó Ú Ð Ý ØØ Ñ Ò Ò ØØ ÓÐÝØÓÒÓ ÓÖÐ ¹ ØÓ º ÓÖ Þ ÒØ Ö Ð Ò Þ Ö ÔÐ Ñ Ð Ð Ø Ú Ø Ð Ò Ù Ö Ñ Ð Ð Øº Å Þ Ø ÖØ ÒØ Ð Ð Ø ÒØ Ö Ð F Ø Ö ØÑ Ò Ø Òº Ú Ø Ð Ò Ò φ
Ý Ø ÖØ Þ ÖÙ ÓÞ Ñ ÒØ 1 r (grad Φ) n (grad 1 ) r n Ô Ý Ñ ÒØ 1 º Þ r 2 Þ Ò Ö Ò Ù Þ Ø Ø Ý Ú Ð Ú Ø Ð Ò Ò Ñ ÒØ 1 º df = r 2 dω r 3 Ð Ð Ø Ð Ñ Ñ Ó Ó Ú ÒÝ ÒØ Ø ÖØ Ú Ø Ð Ò Þº Þ ÖØ Þ Þ ¹ Ð Ð Ø ÒØ Ö Ð Þ ÖÙ ÓÞ Ø ÖØ Ñ ÓÖ Þ F Ð Ð Ø Ø ØÓÐ Ù Ú Ø Ð Ò º ÒÒ Ð Ó Ú Ý ÒÐ Ø Ò Ú Ø Ð Ò Ø ÖÖ Ø Ö ÞØÚ Ú Ø Þ Ð ÓØ Ú Þ Ð φ(p) = 1 φ 4π r dv. ÈÓ ÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ð Ô Ò φ ÐÝ ρ Ö Ø º Ý Ú Ð ÔÔ Ò Ñ Ö ÓÖ Ò Ð ÖØ Ñ ÓÐ Ø Ô Ù φ(p) = 1 ρ 4π r dv. ÞÞ Ð Ñ ÑÙØ ØØÙ Ó Ý Ú Ð Ò φ = ρ ÈÓ ÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ º À ÓÐÝØÓÒÓ Ø ÐØ ÐÓ ÞÐ Ò Ñ Ø Ö Ó Ø Ò Ñ Ð Ð Ø η òöò Ð ÓÖ
Þ Ð Þ ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø Þ ÓÒÐ Ò φ ÔÓØ Ò ÐÖ Ô Ù φ = 1 4π F η r df. ýðø Ð ÒÓ Ø Ò Ñ ÓÖ Ð Ð Ø Ø Ö Ó Ø Ø ÐØ ÐÓ ÞÐ Ð Ò Ú Ò Þ Ð ØÖÓ ÞØ Ø Ù Ø Ö ÔÓØ Ò Ð Ø Ú Ø Þ φ = 1 4π V ρ r dv + 1 4π F η r df.
Î Þ Ø Ð ØÖÓ ÞØ Ø Ù Ø Ö Ò j = σ E. Þ Ð ØÖÓ ÞØ Ø Ù Ø Ö Ò Ø ÐØ ÒÝÙ ÐÓÑ Ò Ú ÒÒ Ø Ø Ò Ò Ö Ñ J = 0º ÒÒ Ð Ó Ú Ç Ñ¹Ø ÖÚ ÒÝ Ð Ú Ø Þ Ó Ý ÞØ Ø Ù Ø Ö Ø Ò Ú Þ Ø Ò Þ Ð ØÖÓÑÓ Ø Ö Ö Ñ Ò Ò ØØ Þ ÖÙ E = 0. Å Ú Ð D = E D = 0º Ì Ø Ú Þ Ø Ò ÞØ Ø Ù Ð ØÖÓÑÓ Ø Ö Ø Ò div D = 0. À ÞØ Þ Ú Ø Þ ÐØ Ð ÒÓ ÖÚ ÒÝò ¾º Å ¹Ø Ð div D = ρµ ÓÖ Ð Ø Ø Ó Ý Þ Ð ØÖÓ ÞØ Ø Ò Ú Þ Ø Ò Þ Ð ØÖÓÑÓ Ø ÐØ Ø Ö Ó Ø òöò
Ñ Ò Ò ØØ Þ ÖÙ ρ = 0. Ð Ú Ø Þ Ó Ý Þ Ð ØÖÓÑÓ Ø ÐØ Ú Þ Ø Ð Ð Ø Ò ÐÝ Þ Ð Ú Ý η 0º À Ø ÐØ ØØ Ú Þ Ø Ø Ð Ð ØÖÓÑÓ Ø Ö ÐÝ ÞÞ Ø ÐØ Ð Ð Ø Ò ØÖ Ò Þ Ý Ó Ý Ð Ð Þ ÐØ Ð ÐØ ØØ Ø Ö Ð Ø Ö Ø Ø Ð Ò ÓÑÔ ÒÞ Ð º Ø Ö Ö Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ö ÐØ Ø Ð Ø ÐØ ØØ Ø Ö Ð Ð Ø Ñ ÒØ Ò D n2 D n1 = η, E t2 E t1 = 0. ¾¹ Ò Ü ÚÓÒ Ø ÓÞÞ Ú Þ Ø Ð Ð Ø Ð ÒÓÖÑ Ð Ö Þ ÖØ D n2 = E n2 ØÓÚ E t1 = 0 D n1 = 0 Ñ ÖØ Ú Þ Ø Ò Þ Ð ØÖÓÑÓ Ø Ö¹ Ö Ñ Ò Ò ØØ Þ ÖÙ µº Ø ÐØ ØØ Ú Þ Ø Ð Ð Ø Ò
E n2 = η, E t2 = 0. Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ø ÐØ ØØ Ú Þ Ø Ð Ð Ø Ø Þ Ð ØÖÓÑÓ Ö ÚÓÒ Ð Ñ Ö ¹ Ð Ò Ý Ð Ú Ý Ð Ð Ø Ò E = η n2. η=0 n 1 n 2 vezetõ Þ E = grad φ Ð Ô Ò φ = konst. Ú Ø Þ º Ú Þ Ø Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ò ÞÓÒÓ ÔÓØ Ò Ð ÖØ ºµ
Þ Ø ÔÓØ Ò ÐÓ ÖØ Ú Ð (grad φ) n2 = η (gradφ) t2 = 0.
Ì ÐØ ØØ Ú Þ Ø Ñ Ð ØÖÓ ÞØ Ø Ù Ø Ö Ì ÒØ Ò Ý R Ù Ö Ú Þ Ø Ñ Ø Ñ ÐÝÒ Ø ÐØ eº ÓÖ η = e = Ðк Ð Ð Ø Ò Ð ÐÝ Þ ØØ Ø ÐØ ÐØ Ð ÐØ ØØ ÞØ Ø Ù Ø Ö 4πR 2 ÔÓØ Ò Ð Ø Ú Ø Þ Þ φ(p) = 1 4π F dx η r df = 1 4π e 4πR 2 F df r. R r x P x df=2 π R dx a
r = R 2 + a 2 2aR cos(r, a) = R 2 + a 2 2ax, φ(p) = e 1 R 2πRdx 4πR 2 4π R R2 + a 2 2ax = e 1 2R 4π R R dx R2 + a 2 2ax = = e 1 [ 2Ra R 4π 2 + a 2 2ax] R R = = e 1 { 2Ra R 4π 2 + a 2 2aR R 2 + a 2 + 2aR}. À P re (a > R), ÓÖ φ k = e 2Ra 1 1 e {a R a R} = = 4π 4π a À P re (a < R), ÓÖ e 4πa. φ b = 1 e 1 e 4π {R a a R} =. 2Ra 4π R. = Ñ Ò Ú Ð ÔÓØ Ò Ð ÓÐÝ Ò Ñ ÒØ Þ Þ e Ø ÐØ Ñ Þ Ô¹ ÔÓÒØ Ò Ð ÒÒ Ý ØÚ º. = Ñ Ò Ð Ð ÔÓØ Ò Ð ÐÐ Ò º
(a) b=áll.=1/(4 )*e/r k=1/(4 )*e/a R a