SIKALAKVÁLTOZÁSI FELADAT MEGOLDÁSA VÉGESELEM-MÓDSZERREL ADOTT: Az ábrán látható db végslmből álló tartószrkzt gomtriája, mgfogása és trhlés. A négyzt alakú síkalakváltozási végslmk mért 0 X 0 mm. p Anyagjllmzők: E 08000 MPa 0, Trhlés: p 00MPa 0 mm 0 mm 0 mm FELADAT: Egy végslm mrvségi mátrixának flírása Globális mrvségi mátrix flírása Kondnzált mrvségi mátrix flírása Csomóponti thrvktor flírása Egys csomópontok lmozdulásainak mghatározása
Gomtria és lmozdulásmző közlítés: Izoparamtrikus végslm-módszr stén a gomtriát és az lmozdulásmzőt ugyanolyan függvénykkl közlítjük: Egy lm gomtriájának közlítés: r H x Egy lm lmozdulásának közlítés: u H q ahol H az alakfüggvényk mátrixa, x a csomóponti koordináták vktora, q a csomóponti lmozdulások vktora csomópontú négyszög lm stén zk az alábbi alakúak: 0 0 0 0 0 0 0 0 H r x x y x h h h h y x h h h h x y y x y 0 0 0 0 0 0 0 0 H u q u v u h h h h v v h h h h u u v u v
. ALAKFÜGGVÉNYEK ÉS DERIVÁLTJAIK. csomópontú négyszöglm alakfüggvényi: A lokális csomópontozás lgyn az alábbi: Így az alakfüggvényk: h h h h. Alakfüggvényk és szrinti driváltjai. alakfüggvényk szrinti driváltjai h h h h alakfüggvényk szrinti driváltjai h h h h. Alakfüggvényk x és y szrinti driváltjai Mivl az alakfüggvényk -nk és -nak a függvényi, zért x és y szrinti driválásukhoz a láncszabályt alkalmazzuk. Ez alapján: h h h h h h y y y i i i x x x, illtv: i i i A fnti összfüggést mátrixos alakban is fl tudjuk írni:
h h i i x x x hi hi y y y, ahol J x x az -dik lm Jacobi mátrixának invrz, amiből y y az -dik lm Jacobi mátrixa kifjtv flhasználva a gomtria közlítését: J x y az -dik lm Jacobi mátrixa. x y J x y hi hi h h h h h h h h xi yi x x x x y y y y i i x y hi hi h h h h h h h h x x i yi x x x i i y y y y Bhlyttsítv az alakfüggvényk és szrinti driváltjait, valamint az gys lmk csomópontjainak x és y koordinátáit, az gys lmk Jacobi mátrixai: J 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 0 0 0 0 5 5 5 5 0 0 J 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 5 5 5 5 0 0 Mivl a lm azonos, Jacobi mátrixuk is mggyzik, illtv mivl téglalap alakúak a Jacobi mátrix lmi nm függnk -től és -tól.
Egy diagonálmátrix invrz a diagonállmk rciprokait tartalmazó diagonálmátrix, így a Jacobi mátrixok invrz: J J 0 0, 0, 0 Ezt, illtv az alakfüggvényk és szrinti driváltjait bhlyttsítv a kiinduló mátrixgynltb, az alakfüggvényk x és y szrinti driváltjai: h 0, 0 x 0 0 0 h 0 0, y 0 0 0 h 0, 0 x 0 0 0 h 0 0, y 0 0 0 h 0, 0 x 0 0 0 h 0 0, y 0 0 0 h 0, 0 x 0 0 0 h 0 0, y 0 0 0
. ALAKVÁLTOZÁS KÖZELÍTÉSE Az alakváltozási jllmzőkt az lmozdulás driválásával kapjuk: u H q B q B ahol a driváló mátrix, H az alakfüggvényk mátrixa. B h h h h 0 0 0 0 0 x x x x x h 0 h 0 h 0 h 0 h h h h H 0 0 0 0 0 y 0 h 0 h 0 h 0 h y y y y h h h h h h h h y x y x y x y x y x Bhlyttsítv az alakfüggvényk x és y szrinti driváltjait: B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
. FESZÜLTSÉGMEZŐ KÖZELÍTÉSE D D B q ahol D az -dik lm anyagjllmző mátrixa: D 0 0, 0, 0 80000 0000 0 E 08000 D 0 0, 0, 0 0000 80000 0 0, 0, 0, 0 0 80000 0 0 0 0 D B D B 0 0 0 0 80000 0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0000 80000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 80000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7000 7000 000 000 7000 7000 000 000 7000 7000 000 000 7000 7000 000 000 000 000 7000 7000 000 000 7000 7000 000 000 7000 7000 000 000 7000 7000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
. AZ ELEMEK MEREVSÉGI MÁTRIXA A fntikt bhlyttsítv a rugalmas prmérték fladat gyng alakjába gy lm mrvségi mátrixára az alábbi összfüggés adódik: T dt K B D B J dd dv 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7000 7000 000 000 7000 7000 000 000 7000 7000 000 000 7000 7000 000 000 0 0 0 0 0 0 000 000 7000 7000 000 000 7000 7000 000 000 7000 7000 000 000 7000 7000 dt dd 0 0 0 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K xx xy xx xy xx xy xx xy yx yy yx yy yx yy yx yy xx xy xx xy xx xy xx xy yx yy yx yy yx yy yx yy xx Kxy K xx K xy K xx K xy K xx K xy yx yy yx yy yx yy yx yy xx xy xx xy xx xy xx xy yx yy yx yy yx yy yx yy
Az intgrálásokat lmnként lvégzv: 7000 7000 000 000 00 7500 7500 7500 7500 5000 5000 5000 5000 Kxx d d d d 0 0 0 0 7500 5000 5000 0000 500d d 7500 5000 5000 0000 500 d 5000 7500 5000 5000 5000 500 7500 5000 5000 5000 500 d 5000 70000 d 5000 5000 5000 5000 5000 5000 70000 5000 5000 0000 Kxy 000 000 000 000 00d d 7500 7500 7500 7500 5000 5000 5000 5000d d 0 0 0 0 500 500 500 500d d 500 500 500 500 d 650 650 500 500 650 650 500 500 d 5000 5000d 5000 5000 500 5000 500 5000 50000 Flhasználva, hogy: A dd A A dd A A dd 0 A dd 0 A dd 0 Add A Thát lég a négyzts és konstans tagokkal foglalkozni, így pl: K xx 7000 7000 000 000 00d d 0 0 0 0 7500 5000 7500 7500 5000 5000d d 7500 5000 80000
Kiszámolva a maradék 6 intgrált, gy lm mrvségi mátrixa numrikusan az alábbi alakú: 5 6 7 8 0000 50000-80000 0000-60000 -50000 0000-0000 50000 0000-0000 0000-50000 -60000 0000-80000 -80000-0000 0000-50000 0000 0000-60000 50000 0000 0000-50000 0000-0000 -80000 50000-60000 -60000-50000 0000-0000 0000 50000-80000 0000 5-50000 -60000 0000-80000 50000 0000-0000 0000 6 0000 0000-60000 50000-80000 -0000 0000-50000 7-0000 -80000 50000-60000 0000 0000-50000 0000 8 5. GLOBÁLIS MEREVSÉGI MÁTRIX ELŐÁLLÍTÁSA Egy lm lokális csomópontszámai és DOF számai: 8 6 Figyljük mg, hogy az i-dik lokális csomóponthoz tartozó vízszints lmozduláshoz tartozó DOF szám i-, míg a függőlgs lmozduláshoz tartozó DOF szám i 7 5 lokális DOF szám lokális csomópontszám
A tljs, végslmből álló szrkzt globális csomópontszámai, DOF számai és lmszámai: 6 5 A globális sorszámozás, valamint az lmk sorszámozása ttszőlgsn történht. Itt gy lhtségs st krül bmutatásra. Figyljük mg, hogy az i-dik globális csomóponthoz tartozó vízszints lmozduláshoz tartozó DOF szám i-, míg a függőlgs lmozduláshoz tartozó DOF szám i. 8 7 végslm sorszáma globális DOF szám globális csomópontszám 0 5 6 9 Kapcsolat a lokális és globális csomópontszámok között (connctivity matrix): lmk sorszáma lokális csomópontszámok 5 5 6 Kapcsolat a lokális és globális DOF számok között (DOF matrix): lmk sorszáma lokális DOF számok 5 6 7 8 7 8 9 0 9 0 5 6 MATLAB: %Connctivity matrix: nn=[,5,,;5,6,,]; %DOF matrix: DOF=zros(,8); DOF(:,::7)=*nn-; DOF(:,::8)=*nn;
Áttérés a lokális szorsámozásról a globális sorszámozásra az gys lmk mrvségi mátrixai stén:. mrvségi mátrix: 7 8 9 0 5 6 7 8 0000 50000-80000 0000-60000 -50000 0000-0000 7 50000 0000-0000 0000-50000 -60000 0000-80000 8-80000 -0000 0000-50000 0000 0000-60000 50000 9 0000 0000-50000 0000-0000 -80000 50000-60000 0-60000 -50000 0000-0000 0000 50000-80000 0000 5-50000 -60000 0000-80000 50000 0000-0000 0000 6 0000 0000-60000 50000-80000 -0000 0000-50000 7-0000 -80000 50000-60000 0000 0000-50000 0000 8 A DOF mátrixból kiolvasható, hogy az gys lokális DOF számokhoz mly globális DOF számot kll hozzárndlni. Például: Az(,) hlyn lévő 0000 érték globális sorszámozás szrint a (7,7) hlyr krül. Az(,) hlyn lévő 50000 érték globális sorszámozás szrint a (7,8) hlyr krül. Ennk mgfllőn mindn lmt rakjunk b globális sorszámozás szrint a mgfllő hlyr.. mrvségi mátrix globális sorszámozás szrint: 5 6 7 8 9 0 0000-50000 -80000-0000 0 0 0000 0000-60000 50000 0 0-50000 0000 0000 0000 0 0-0000 -80000 50000-60000 0 0-80000 0000 0000 50000 0 0-60000 -50000 0000-0000 0 0-0000 0000 50000 0000 0 0-50000 -60000 0000-80000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0000-0000 -60000-50000 0 0 0000 50000-80000 0000 0 0 7 0000-80000 -50000-60000 0 0 50000 0000-0000 0000 0 0 8-60000 50000 0000 0000 0 0-80000 -0000 0000-50000 0 0 9 50000-60000 -0000-80000 0 0 0000 0000-50000 0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
. mrvségi mátrix: 9 0 5 6 5 6 7 8 0000 50000-80000 0000-60000 -50000 0000-0000 9 50000 0000-0000 0000-50000 -60000 0000-80000 0-80000 -0000 0000-0000 0000 0000-60000 50000 0000 0000-50000 0000-0000 -80000 50000-60000 -60000-50000 0000-0000 0000 50000-80000 0000 5 5-50000 -60000 0000-80000 50000 0000-0000 0000 6 6 0000 0000-60000 50000-80000 -000 0000-50000 7-0000 -80000 50000-60000 0000 0000-50000 0000 8. mrvségi mátrix globális sorszámozás szrint: 5 6 7 8 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0000-50000 -80000-0000 0 0 000 0000-60000 50000 0 0-50000 0000 0000 0000 0 0-0000 -80000 50000-60000 0 0-80000 0000 0000 50000 0 0-60000 -50000 0000-0000 5 0 0-0000 0000 50000 0000 0 0-50000 -60000 0000-80000 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0000-0000 -60000-50000 0 0 0000 50000-80000 0000 9 0 0 0000-80000 -50000-60000 0 0 50000 0000-0000 0000 0 0 0-60000 50000 0000 0000 0 0-80000 -0000 0000-50000 0 0 50000-60000 -0000-80000 0 0 0000-50000 -50000 0000
Adjuk össz a globális sorszámozás szrinti mrvségi mátrixot, z lsz a globális mrvségi mátrix: 5 6 7 8 9 0 0000-50000 -80000-0000 0 0 0000 0000-60000 50000 0 0-50000 0000 0000 0000 0 0-0000 -80000 50000-60000 0 0-80000 0000 0000+0000 50000-50000 -80000-0000 -60000-50000 0000+0000-0000+0000-60000 50000-0000 0000 50000-50000 0000+0000 0000 0000-50000 -60000 0000-0000 -80000-80000 50000-60000 0 0-80000 0000 0000 50000 0 0-60000 -50000 0000-0000 5 0 0-0000 0000 50000 0000 0 0-50000 -60000 0000-80000 6 0000-0000 -60000-50000 0 0 0000 50000-80000 0000 0 0 7 0000-80000 -50000-60000 0 0 50000 0000-0000 0000 0 0 8-60000 50000 0000+0000 0000-0000 -60000-50000 -80000-0000 0000+0000-50000+50000-80000 0000 9 50000-60000 -0000+0000-80000-80000-50000 -60000 0000 0000-50000+50000 0000+0000-0000 0000 0 0 0-60000 50000 0000 0000 0 0-80000 -0000 0000-50000 0 0 50000-60000 -0000-80000 0 0 0000-50000 -50000 0000 5 6 7 8 9 0 0000-50000 -80000-0000 0 0 0000 0000-60000 50000 0 0-50000 0000 0000 0000 0 0-0000 -80000 50000-60000 0 0-80000 0000 0000 0-80000 -0000-60000 -50000 0000 0-60000 50000-0000 0000 0 0000 0000 0000-50000 -60000 0-6000 50000-60000 0 0-80000 0000 0000 50000 0 0-60000 -50000 0000-0000 5 0 0-0000 0000 50000 0000 0 0-50000 -60000 0000-80000 6 0000-0000 -60000-50000 0 0 0000 50000-80000 0000 0 0 7 0000-80000 -50000-60000 0 0 50000 0000-0000 0000 0 0 8-60000 50000 0000 0-60000 -50000-80000 -0000 0000 0-80000 0000 9 50000-60000 0-6000 -50000-60000 0000 0000 0 0000-0000 0000 0 0 0-60000 50000 0000 0000 0 0-80000 -0000 0000-50000 0 0 50000-60000 -0000-80000 0 0 0000-50000 -50000 0000
MATLAB: Kglob=zros(,); for =: Kglob(DOF(,:),DOF(,:))= Kglob(DOF(,:),DOF(,:))+K; nd 6. KONDENZÁLT MEREVSÉGI MÁTRIX ELŐÁLLÍTÁSA: A kinmatikai prmfltétlkt úgy vsszük figylmb a globális mrvségi mátrixnál, hogy azon DOF számoknak mgfllő sorokat és oszlopokat, mlyk l vannak kötv kinullázunk, kivév a főátló lmit, ahova -t írunk. Így kapjuk mg a kondnzált mrvségi mátrixot. Jln stbn a bfalazás miatt a q, q, q 7, q8 lmozdulás koordináták 0-ák, így a globális mrvségi mátrix.. 7. és 8. sorát és oszlopát kll kinullázni, kivév a főátló lmit, thát az (,), a (,), a (7,7) és a (8,8) hlykt, ahová -k krülnk. Így a kondnzált mrvségi mátrix: 5 6 7 8 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0000 0-80000 -0000 0 0 0000 0-60000 50000 0 0 0 0000 0000 0000 0 0 0-6000 50000-60000 0 0-80000 0000 0000 50000 0 0-60000 -50000 0000-0000 5 0 0-0000 0000 50000 0000 0 0-50000 -60000 0000-80000 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0000 0-60000 -50000 0 0 0000 0-80000 0000 9 0 0 0-6000 -50000-60000 0 0 0 0000-0000 0000 0 0 0-60000 50000 0000 0000 0 0-80000 -0000 0000-50000 0 0 50000-60000 -0000-80000 0 0 0000-50000 -50000 0000
7. CSOMÓPONTI TEHERVEKTOR ELŐÁLLÍTÁSA Síkalakváltozási fladat stén a vastagságot gységnyink vsszük. Így gy élr ható trhlés: N F p A 00 0mm mm 000N mm Mivl a trhlés konstans, a kapott rő gynlő arányban oszlik mg az él csomópontja között. 000N 000N 000N 000N 000N 000N 000N 6 5 8 7 0 5 6 9
A trhlés a.. és 6. DOF-ra hat, így a csomóponti thrvktor: 0-000 0-000 0 5-000 6 0 7 0 8 0 9 0 0 0 0 Figylmb vév a kinmatikai prmfltétlkt, az.. 7. és 8. sor nullázandó, így a csomóponti thrvktor: 0 0 0-000 0 5-000 6 0 7 0 8 0 9 0 0 0 0
8. CSOMÓPONTI ELMOZDULÁSVEKTOR KISZÁMÍTÁSA K q f q K f Matlabbal lvégzv a csomóponti lmozdulásvktor: Az lmozdulásmző 0-szorosan flnagyítva: 0 0 0,076-0,087 0,0507 5-0,85 6 0 7 0 8-0,0058 9-0,0766 0-0,069-0,86