newton Dr. Szalai Kálmán "Vasbetonelmélet" c. tárgya keretében elhangzott előadások alapján k 1000 km k m meter m Ft 1 1 1000 Feszített vasbeton gerendatartó tervezése költségoptimumra deg A következőkben egy négyszög keresztmetszetű, kéttámaszú, vegyes vasalású vasbeton gerenda tervezését végezzük el az Eurocode szerint. Az alábbi ábrán látható l támaszközű tartóra ható terhek: g 0 önsúly, g 1 állandó teher a gerenda súlyán felül, valamint a q esetleges teher. A négyszög alakú keresztmetszetben egyszerűsítésképpen a lágyvasalás és feszítőacélok azonos magasságban helyezkednek el. A példában a kezdeti feszítési feszültség a t 0 időpontban a szakítószilárdság 80%- ra, a feszítési veszteség t időben pedig 5%-ra van beállítva. Ezek az értékek természetesen tervezés során szükség szerint módosíthatók. A tervezés direkt módszere, azaz a szükséges lágyvas és feszítőacél mennyiség explicit számítása a szerkesztési szabályok illetve a használati határállapotokkal kapcsolatos követelmények miatt körülményes lenne. Ezért a költségoptimumra (anyagköltségek szempontjából) való tervezés indirekt módon valósul meg. A példában a felvett lágyvas és feszítőacél mennyiségre ellenőrizzük a teherbírási és használati követelmények feltétel teljesülését és párhuzamosan számítjuk felvett gerenda jellemzőkhöz tartózó bekerülési költséget. A geometriai adatok változtatásával lépésről lépésre közelíthető az optimális ár, miközben ellenőrizhetjük, hogy az MSZ E 199-1-1 szerinti teherbírási és használhatósági követelmények teljesülnek-e. A teljes anyagköltség kimutatásához a gerenda számítása hajlítási méretezés mellett nyírási méretezést és tartóvég vizsgálatot is tartalmaz. A hajlítási méretezésben az kiinduló adatok felvételét egy előtervezési szegmens segíti. A példa tartalmazza a használhatósági határállapotok (repedezettségi állapot, feszültségek korlátozása, lehajlás) vizsgálatát is. 1. Adatok 1.1. Geomatriai adatok, statikai váz l 5900mm b 300mm h 500mm g 0k, g 1k, q k l d a a c b h A s A p 1.. Terhek Önsúly: ρ rc 5 k m 3 g 0k bh ρ rc g 0k 3.75 k m
Állandó teher (az önsúlyon kívül): g 1k 7 k m Összes állandó teher: g k g 0k + g 1k g k 10.75 k m A parciális tényező: γ g' 1.35 vagy γ g'' 1.15 Hasznos teher: q k 0 k m A parciális tényező: γ q 1.5 A kombinációs tényező: ψ 0 0.7 Mértékadó teher: p Ed max γ g'' g k γ g' g k + + γ q q k ψ 0 γ q q k p Ed 4.36 k m Teher a használati határállapot vizsgálatához a feszítés után: p ser.0 g 0k p ser.0 3.75 k m A kombinációs tényezők: ψ 1 0.5 ψ 0.3 Teher a repedéstágasság vizsgálatához végleges állapotban (gyakori teherkombináció): p ser.1 g k + ψ 1 q k p ser.1 0.75 k m Teher a lehajlás vizsgálatához végleges állapotban (kvázi-állandó teherkombináció): p ser.3 g k + ψ q k p ser.3 16.75 k m 1.3 Anyagok 1.3.1. Beton szilárdsági jellemzői Beton "C50/60" f ck strnum( substr( Beton, 1, ) ) A nyomószilárdság karakterisztikus értéke: f ck 50 γ c 1.5 α cc 1.0 α cc f ck A nyomószilárdság tervezési értéke: f cd γ c f cd 33.333 A húzószilárdság várható értéke: f ctm 3 0.3 f ck f ctm f ctm f ctm 4.07 A húzószilárdság alsó karakterisztikus értéke: f ctk5 0.7 f ctm f ctk5.85 f ctk5 A húzószilárdság tervezési értéke: f ctd f ctd 1.9 γ c - -
0.3 f ck + 8 A rugalmassági modulus várható értéke: E cm 000 E cm 3778 10 E cm A rugalmassági modulus tervezési értéke: E cd E cd 485 γ c A beton határösszenyomódása: ε cu 3.5 1.3.. Betonacél szilárdsági jellemzői Betonacél "S500B" A rugalmassági modulus értéke: E s 00 k A folyáshatár karakterisztikus értéke: f yk 500 γ s 1.15 f yk A folyáshatár tervezési értéke: f yd f yd 435 γ s A relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete a húzott acélbetétek szempontjából: ξ c0 0.8 E s ε cu E s ε cu + f yd ξ c0 0.493 A relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete a nyomott acélbetétek szempontjából: ξ' c0 0.8 E s ε cu E s ε cu f yd ξ' c0.111 Betonacél és feszítőpászma térfogatsúly: ρ s 7850 kg m 3 1.3.3. Feszítőpászmák szilárdsági jellemzői Feszítõpászma "Fp 55/1770-R" A szakítószilárdság karakterisztikus értéke: f pk 1770 Az 0,1%-os egyezményes folyáshatárhoz tartozó feszültség: f p0.1k 1490 0.9f pk A szakítószilárdság tervezési értéke: f pd f pd 1385 γ s Rugalmassági modulus: E p 195 k 1.4 Anyagárak betonacél: ar s 60 Ft feszítőkábel: ar p 100 Ft kg kg beton: ar c 30000 Ft m 3-3 -
. Igénybevételek számítása Mértékadó nyomaték a mezőközépen: A nyomaték alapértéke mezőközépen feszítés után: A nyomaték alapértéke mezőközépen az önsúlyból: Mértékadó nyíróerő a támasznál: Az igénybevételi ábrák: 14.97 p Ed l M Ed 8 p ser.0 l M g0 8 g k l M gk 8 V Ed.max p Ed l Maximális nyíróerõ ábra M Ed 184.33 km M g0 16.3 km M gk 46.78 km V Ed.max 14.97 k 6.48 yíróerõ [k] 0 1 3 4 5 6 6.48 14.97 yomaték [km] 9.16 184.33 Maximális nyomaték ábra 0 1 3 4 5 3. Előtervezés, a vasalás felvétele, költségbecslés 3.1. Lágyvasalás yomott vasak keresztmetszeti területe: A sc 0-4 -
Húzott vasak adatai: a 50mm a c 50mm - hasznos magasság: d h a d 450 mm - darabszám: n s 4 - átmérő: φ s 1mm - km.-i terület: π A s n s φ s A s 45 4 3.. Feszítőbetétek Hasznos magasság: d p d 50mm d p 400 mm 1 db. pászma km.-i területe: A P 55 3.3. Szükséges acélkeresztmetszet lágyvasalás alkalmazása esetén m gazd M Ed ξ gazd bd ξ gazd 1 1 m gazd ζ gazd 1 ζ gazd 0.95 f cd A s.szüks M Ed A s.szüks 989 ζ gazd d f yd 3.4. A felvett vegyes vasalás közelítő ellenőrzése hajlításra A vegyes vasalásnak az előzőleg számított tiszta lágyvasas megoldással közel azonos húzóerőt kell felvennie, azaz: A s.szüks f yd A p.szüks f pd + A s f yd A szükséges feszítőpászma mennyiség: A p.szüks 168.6 A p.szüks Az alkalmazott feszítőpászma darabszám: n p ceil n p 4 A P Az alkalmazott feszítőpászma mennyiség: A p n p A P A p 0 Ellenőrzés: A s.szüks f yd 430. k A p f pd + A s f yd 501.44 k A feszítési hányad: 3.5. Költségbecslés az előtervezés alapján χ A p f pd A p f pd + A s f yd χ 0.608 1,0 m tartószakasz ára (a nyírási vasalás nélkül): ( ) ρ s Áregység A s + A sc ar s + A p ρ s ar p + bh ar c Áregység 7496 Ft m 4. Részletes számítás 4.1. A nyomatéki teherbírás számítása - 5 -
Feszítési feszültség: σ p0 0.8 f pd σ p0 1108 Hatásos feszítési feszültség: σ ph 0.85 σ p0 σ ph 94 Hatásos feszítő erő: P d σ ph A p P d 07.3 k A nyomott zóna magasságát és a tervezési szilárdságot meghatározó tényezők: λ 0.8 ha f ck < 50 / η 1.0 ha f ck < 50 / Feszítőpászma feszültség a keresztmetszet elfordulásából: d p x d p x σ p ( x) ε cu E p if ε cu x x f pd E p f pd otherwise Vetületi egyensúly (feltéve, hogy a nyomott vasak rugalmasan viselkednek): A s f yd ellenőrzés: x a c + P d + ( σ p ( x) σ ph ) A p A sc ε cu E s x b λ x η f cd A nyomott zóna magassága a vetületi egyensúlyi egyenletből számítható: λ x 50.1 mm + ξ c ξ' c λ x ξ c 0.111 < ξ c0 0.493 a húzott vasak képlékeny állapotban d λ x ξ' c 1.003 < ξ' c0.111 a nyomott vasak valóban rugalmasak a σ ph d p x + ε cu 3.67 > E p x f pd 7.104 a feszítőpászmák képlékeny E p állapotban A nyomatéki teherbírás (a km. magasság felére felírva): x a σ sc ε cu E s σ sc 141.6 x yomatéki teherbírás számítása a feszítést külső erőnek tekintve: - 6 -
M Rd h a h P d + ( σ p ( x) σ ph ) A p d p A sc σ sc + h λ x + b λ x η f cd + A s f yd d h... M Rd 197.84 km A nyomatéki teherbírás ellenőrzése: M Rd 197.84 km > M Ed 184.33 km tehát a tartó nyomatékra megfelel! megf hajl M Rd > M Ed megf hajl 1 Szerkesztési szabályok ellenőrzése: Helyettesítő hasznos magasság: d' d p A p + A p + da s A s d' 434 mm A s.min 0.6 f ctm b f yk d' A s.min 75.4 < A s + A p 67-7 -
4.. yírási vasalás ellenőrzése 4..1. Adatok s α k d h tam l tam b tam/+d (tam+d)/ V Ed.1 V Ed. V V Ed,max Feltámaszkodás hossza: tam 00mm A nyíróerő tervezési értéke: A hatékonysági tényező: tam V Ed. V Ed.max p Ed d' + f ck ν 0.61 50 ν 0.48 4... A nyírási teherbírás felső korlátja (a nyírásból származó nyomás értékének ellenőrzése) tam V Ed.1 V Ed.max p Ed 0.5d' + V Ed.1 111.55 k V Ed. 83.99 k V Rd.max 0.5ν f cd b d V Rd.max 1080 k > V Ed.max 14.97 k tehát a betonkeresztmetszet képes a nyíróerő felvételére. 4..3. yírási teherbírás ellenőrzése k max 1 + 00 d'.0 k ρ l min A s + A p bd' 0.0 ρ l 5.169-8 -
A feszítésből keletkező normálfeszültség a keresztmetszetben: σ cp P d bh σ cp 1.38 A beton által felvehető nyíróerő: 1 0.18 V Rdc k 100 ρ l γ 3 f ck c ( ) + 0.15 σ cp b d' V Rdc 119.3 k > V Ed.1 111.5 k V min 3 1 0.035 k f ck + 0.15 σ cp V Rdc > V min tehát nincs szükség számított nyírási vasalásra. b d' V min 118.0 k 4..4. Lehorgonyzás ellenőrzése tartóvégen (főfeszültség ellenőrzése) I b h3 1 I 3.15 10 9 mm 4 α l 1.0 S b d 8 Ib f ctd + V Rd.c S α l σ cp f ctd S 7.594 10 6 mm 3 V Rd.c 308.81 k V Rd.c > V Ed.1 tehát a tartóvég főfeszültségre megfelel. 4..5. Szerkesztési szabályok szerinti ellenőrzés A fentiek alapján a gerendába elegendő a szerkesztési szabályok szerint szükséges nyírási vasalást elhelyezni. Alkalmazott kengyeltávolság legyen: Alkalmazott kengyelátmérő: s 180mm φ w 1mm 1 kengyel km.-i területe: A sw φ w π 4 A sw 6 A kengyelek vízszintes tengellyel bezárt szöge: α k 90-9 -
yírási vashányad ellenőrzése: A sw 0.08 ρ w ρ sb sin( α k ) w 0.004 > ρ w.min f ck ρ w.min 0.0011 f yk Tehát a tartó nyírási vashányad szempontjából megfelel. megf nyírás ρ w > ρ w.min megf nyírás 1 Kengyeltávolság ellenőrzése: s max 0.75 d 1 + cot α k min s 600mm max 337.5 mm > s 180 mm ( ( )) Tehát a kengyelek elegendően sűrűn vannak elhelyezve a tartóban. 4..6. yírási teherbírás ellenőrzése az alkalmazott nyírási vasalás esetén A nyomott beton rácsrudak hajlásszögét az E által megengedett legkisebb értékre vesszük fel: θ atan( 0.4) θ 0.381 θ 1.801 ν 1 0.6 mert f ck nem nagyobb 60 / tan( θ) 0.4 cot( θ).5 A sw 0.9 d f yd cot( θ) V Rds V Rds 553.19 k s α c 1 if σ cp 0 σ cp 1 + if 0 < σ cp < 0.5 f cd f cd 1.5 if 0.5 f cd σ cp < 0.5 f cd α c 1.041 σ cp.5 1 f cd if 0.5 f cd σ cp f cd 1 V Rdmaxθ α c b 0.9 d ν 1 f cd V Rdmaxθ 87.66 k cot( θ) + tan( θ) V Rdmaxθ > V Ed.1 és V Rds > V Ed.1 tehát a tartó nyírásra megfelel. Megjegyzés: A fenti két számítási részletet csak a teljesség kedvéért közöljük. Ezekre a számításokra abban az esetben lett volna szükség ha a tartó nyírásra bereped, azaz: V Rdc < V min - 10 -
4..7. Tartóvég vizsgálata rövidkonzol analógia alapján d 0.45 m z α V Ed.max d 1 0.8 d A sl A sl 359 z f yd π d c V Ed.max + 1 c 00.05 k 4 z A w.szüks c A w.szüks 163 4 cos( α) f yd A tartóvégen alkalmazott kiegészítő vízszintes vasalás: Ø1 (hajtű alagzatú) A w.alk 1 π A w.alk 6 4 megf vég A w.szüks < A w.alk megf vég 1 4.3. Az alakváltozás ellenőrzése 4.3.1. Hatásos feszítőerő és az ebből származó negatív nyomaték, görbület és felemelkedés a t 0 időpontban a) Ideális keresztmetszet keresztmetszeti jellemzői rugalmas-repedésmentes állapotban E cd1 A i1 E cm ( ) A s A p α e ( ) E s E cd1 α e 5.365 bh + α e 1 + + A sc A i1 1.59 10 5 ( ) S i1 b h + ( α e 1) A s d + A p d p + A sc a S i1 3.877 10 7 mm 3 S i1 y I A i1 y I 53.5 mm bh 3 I i1 1 h + bh y I + α e 1 ( ) ( ) A s d y I ( ) ( ) + A p d p y I + A sc a y I I i1 3.4 10 9 mm 4 b) Igénybevételek és a szélsőszál-feszültségek ellenőrzése r s.i d y I r sc.i y I a r p.i d p y I A kezdeti feszítőerő és a belőle származó nyomaték: P 0.8 f pd A p P 43.798 k Pr p.i 35.71 km Az önsúlyból keletkező nyomaték: M g0 16.317 km - 11 -
Ellenőrzés (a negatív előjel nyomást jelent): P Pr p.i M g0 σ f + y I y I σ f 0.07 < A i1 I i1 I i1 0.6 f ck 30 P Pr p.i M g0 σ a ( h y I ) + ( h y I ) σ a 3.08 < A i1 I i1 I i1 0.6 f ck 30 Tehát a keresztmetszet valóban rugalmas-repedésmentes állapotban van. c) Görbület számítása a középső keresztmetszetben σ a σ f ρ 1 ρ 1 1.614 10 4 1 E cd1 h m d) A középső keresztmetszet eltolódása (a negatív előjel felemelkedést, a pozitív lehajlást jelent) y 1 0.15 ρ 1 l y 1 0.70 mm 4.3.. Lehajlás vizsgálata t időpontban a) Adatok A veszteségekkel (15%) csökkentett feszítőerő és nyomatéka: P 3 0.85 0.8 f pd A p P 3 07.9 k A teher használati értékéből származó nyomaték: p ser.3 l M 3 M 3 7.88 km 8 b) Dekompressziós nyomaték (M 0 ) számítása: Kúszási tényező végértéke: ϕ E cd3 A i3 E cm E s 1 + ϕ α e E cd3 α e 16.1 ( ) ( ) A s A p bh + α e 1 + + A sc A i3 1.601 10 5 S i3 y II ( ) b h + ( α e 1) A s d + A p d p + A sc a S i3 4.19 10 7 mm 3 S i3 A i3 y II 61.6 mm bh 3 I i3 1 h + bh y II + α e 1 ( ) ( ) A s d y II ( ) ( ) + A p d p y II + A sc a y II I i3 3.451 10 9 mm 4 r p.ii d p y II - 1 -
P 3 P 3 r p.ii I M 0 + ( h y II ) i3 M A i3 I i3 0 47.407 km h y II A repedések megnyílásának vizsgálata: M 0 47.41 km < M 3 7.88 km tehát a tartó megreped! c) Görbület és lehajlás számítása Mivel M 0 < M 3, fokozatos közelítéssel határozzuk meg a görbületet. ( ) M ps M 3 + P 3 d d p M ps 83.45 k m - 13 -
Iteráció az acélfeszültség számítására: σ s i 1 x' 0.5 h σ s0 f yd σ s1 0.5 f yd while σ si σ si > 0.001 1 P 3 A' si A s + σ si 1 x rootb x' i M ps σ si + 1 i i + 1 x i d 3 α e A' si ( d x' ), x' A' s i σ si Az iteráció után a keresett acélfeszültség: σ s 56.63 A semleges tengely: x 3 d M ps P 3 σ s A s + σ s x 77.5 mm Két repedés közötti húzott beton alakváltozást gátló hatását figyelembe vevő ζ tényező: A ζ számításában közelítésképpen σ sr /σ s helyett (M rep - M 0 ) / (M 3 - M 0 ) alkalmazunk. A repesztő nyomaték: P 3 M rep A i3 P 3 r p.ii I i3 + ( h y II ) + f ctd I i3 h y II M rep 74.9 km A teher jellegét figyelembe vevő tényező: M rep M 0 ζ max 1 β, 0.6 M 3 M 0 β 0.5 ζ 0.6 (tartós terhelés) α er E s E cd3 α er 16.095-14 -
P 3 P 3 r p.ii M 3 σ f + y II y II σ f 4.65 A i3 I i3 I i3 P 3 P 3 r p.ii M 3 σ a ( h y II ) + ( h y II ) σ a 1.76 A i3 I i3 I i3 A görbület értéke: σ a σ f ρ 3.I ρ 3.I 1.031 10 3 1 E cd3 h m ρ 3.II σ s 1 ρ 3.II 1.641 10 3 1 d x E s m A lehajlás számítása: y 3 0.15 l ζ ρ 3.II + ( 1 ζ) ρ 3.I + y 1 y 3 5.38 mm < Tehát a tartó lehajlásra megfelel. l megf lehajl y 3 < 50 megf lehajl 1 l 50 3.60 mm 4.4. Repedéstágasság vizsgálata t időpontban Igénybevételek a terhek gyakori csoportosításából mezőközépen: P 1 0.85 0.8 f pd A p P 1 07.3 k p ser.1 l M 1 M 1 90.9 km 8 ξ 0.5 (tapadási tényező különbség) k t 0.4 (a terhet tartós jellegűnek véve) φ p 9.6mm (pászmák névleges átmérője) ξ 1 φ s ξ ξ 1 0.791 φ p A hatékony húzott betonfelület: A c.eff.5 b ( h d) A c.eff 37500 A hatékony vasszázalék: ρ p.eff A s + ξ 1 Ap 1 ρ p.eff 0.016 A c.eff - 15 -
Acélfeszültség számítása: Mivel M 0 < M 1, fokozatos közelítéssel határozzuk meg a görbületet. ( ) M ps M 1 + P 1 d d p Iteráció az acélfeszültség számítására: M ps 100.65 k m σ s i 1 x' 0.5 h σ s0 f yd σ s1 0.5 f yd while σ si σ si > 0.001 1 P 1 A' si A s + σ si 1 x rootb x' i M ps σ si + 1 i i + 1 x i d 3 α e A' si ( d x' ), x' A' s i σ si Az iteráció után a keresett acélfeszültség: A semleges tengely: f ct.eff f ctm ε scm max σ s x 3 d M ps P 3 σ s A s + σ s f ct.eff k t ρ p.eff 1 + α e ρ p.eff E s ( ) σ s, 0.6 E s σ s 133.953 x.6 mm f ct.eff 4.07 ε scm 0.40-16 -
φ n s φ s + n p φ p n s φ s + n p φ p φ 10.9 mm A repedések átlagos távolsága: c 40mm k 1 0.8 k 0.5 ( bordás betét) ( hajlítás esetén) φ s r.max 3.4 c + 0.45 k 1 k ρ p.eff s r.max 54. mm A mértékadó repedéstágasság értéke: w k s r.max ε scm w k 0.10 mm < w adm 0.mm Tehát a tartó repedéstágasságra megfelel. megf rep w k < 0. mm megf rep 1 4.5. A költségek összegzése megfelel megf hajl megf nyírás megf lehajl megf rep megf vég Ellenõrzés "A tartó megfelel!" A gerenda anyagára (tartalmazza a beton, a hosszanti feszített és nem feszített betétek, valamint a kengyelezés árát 10% hulladék figyelembevételével a teljes gerendára vonatkoztatva): ( ) ρ s Ár A s + A sc Ár 78730 Ft ar s + A p ρ s h + b + φ w 10 ar p + bh ar c + A sw s ρ s ar s 1.1 l - 17 -