Kvantumkáosz és véletlen mátrixok I.

Hasonló dokumentumok
Kvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje

Szilárdtestek el e ek e tr t o r n o s n zer e k r ez e et e e t

Elektronok mozgása nanostruktúrákban 2-D elektrongáz, kvantumdrót és kvantumpötty

Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

A hőterjedés dinamikája vékony szilikon rétegekben. Gambár Katalin, Márkus Ferenc. Tudomány Napja 2012 Gábor Dénes Főiskola

Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban.

Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény

A spin. November 28, 2006

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:

AZ ELEKTRON MÁGNESES MOMENTUMA. H mágneses erœtérben az m mágneses dipólmomentummal jellemzett testre M = m H forgatónyomaték hat.

Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ

1 A kvantummechanika posztulátumai

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

Monte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás

Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

January 16, ψ( r, t) ψ( r, t) = 1 (1) ( ψ ( r,

Idegen atomok hatása a grafén vezet képességére

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását

Pere Balázs október 20.

ω mennyiségek nem túl gyorsan változnak

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Abszorpciós spektroszkópia

2015/16/1 Kvantummechanika B 2.ZH

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,

Atomok és molekulák elektronszerkezete

3. (b) Kereszthatások. Utolsó módosítás: április 1. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Atomfizika. A hidrogén lámpa színképei. Elektronok H atom. Fényképlemez. emisszió H 2. gáz

Véletlen mátrix extrém-érték statisztika: Tracy-Widom eloszlás

Végeselem analízis. 1. el adás

Modern fizika laboratórium

Wigner tétele kvantummechanikai szimmetriákról

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

Compton-effektus. Zsigmond Anna. jegyzıkönyv. Fizika BSc III.

SZTE Elméleti Fizikai Tanszék. Dr. Czirják Attila tud. munkatárs, c. egyetemi docens. egyetemi docens. Elméleti Fizika Szeminárium, december 17.

Ψ - 1/v 2 2 Ψ/ t 2 = 0

Folyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv

dinamikai tulajdonságai

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem

Forgó molekulák áthaladása apertúrán

összetevője változatlan marad, a falra merőleges összetevő iránya ellenkezőjére változik, miközben nagysága ugyanakkora marad.

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia március 18.

Dekoherencia Markovi Dinamika Diósi Lajos. Elméleti Fizikai Iskola Tihany, augusztus szeptember 3.

Tartószerkezet-rekonstrukciós Szakmérnöki Képzés

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Kísérlettervezés alapfogalmak

Reciprocitás - kvantumos és hullámjelenségek egy szimmetriája

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2.

Nemlineáris jelenségek és Kao2kus rendszerek vizsgálata MATHEMATICA segítségével. Előadás: Szerda, 215 Labor: 16-18, Szerda, 215

Univerzalitási osztályok nemegyensúlyi rendszerekben, Ódor Géza

Tartalom. Typotex Kiadó

Tartalomjegyzék. Emlékeztetõ. Emlékeztetõ. Spektroszkópia. Fényelnyelés híg oldatokban A fény; Abszorpciós spektroszkópia

1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában

A kvantummechanika kísérleti előzményei A részecske hullám kettősségről

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk

Magfizika szeminárium

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

az Aharonov-Bohm effektus a vektorpotenciál problémája E = - 1/c A/ t - φ és B = x A csak egy mértéktranszformáció erejéig meghatározott nincs fizikai

KVANTUMKAOTIKUS RENDSZEREK VIZSGÁLATA

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata


Véletlen bolyongás. 2. rész. Márkus László jegyzete alapján Tóth Tamás december 10.

Készítette: Fegyverneki Sándor

Kör alakú szupravezető grafén rendszer kvantumos és szemiklasszikus vizsgálata

Milyen simaságú legyen a minta felülete jó minőségű EBSD mérésekhez

14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull

T obbv altoz os f uggv enyek integr alja. 3. r esz aprilis 19.

Átmenetifém-komplexek ESR-spektrumának jellemzıi

Tartalomjegyzék. Emlékeztetõ. Emlékeztetõ. Spektroszkópia. Fényelnyelés híg oldatokban 4/11/2016. A fény; Abszorpciós spektroszkópia

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

SCHRÖDINGER-EGYENLET SCHRÖDINGER-EGYENLET

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

Az egydimenziós harmonikus oszcillátor

2. Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata jegyzőkönyv. Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: Leadás dátuma:

Kísérlettervezés alapfogalmak

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Elektrodinamika. Maxwell egyenletek: Kontinuitási egyenlet: div n v =0. div E =4 div B =0. rot E = rot B=

Vázlatos tartalom. Szerkezet jellemzése és vizsgálata Szilárdtestek elektronszerkezete Rácsdinamika Transzportjelenségek Mágneses tulajdonságok

KOMPOZITLEMEZ ORTOTRÓP

Beugró kérdések. Elektrodinamika 2. vizsgához. Számítsa ki a gradienst, divergenciát és a skalár Laplace operátort henger koordinátákban!

Nemparaméteres próbák

Lagrange és Hamilton mechanika

Fluktuáló terű transzverz Ising-lánc dinamikája

Molekuláris dinamika I. 10. előadás

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Z v 1 (t)v 2 (t τ)dt. R 12 (τ) = 1 R 12 (τ) = lim T T. ill. periódikus jelekre:

Röntgensugárzás az orvostudományban. Röntgen kép és Komputer tomográf (CT)

Anyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása. Anyagvizsgálati módszerek

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26.

Átírás:

Hagymási Imre V. éves fizikus Bolyai Kollégium fizikus szeminárium 2009. október 7. 1 / 35

1 Bevezetés Az előadás menete Káosz a klasszikus mechanikában Mi a kvantumkáosz? 2 A kvantumkáosz kísérleti bizonyítékai biliárd kísérletek mezoszkopikus rendszerek gyenge lokalizáció univerzális vezetőképesség fluktuáció 3 Véletlen mátrix elmélet alapjai Szimmetriák, univerzalitási osztályok 4 Véletlen mátrix elmélet eredményei sajátértékek együttes eloszlásfüggvénye szinttávolság statisztika 5 Szemiklasszikus dinamika EBK kvantálás, Gutzwiller-féle trace-formula alkalmazás: scarok 2 / 35

Káosz a klasszikus mechanikában Disszipatív rendszerek Általában: A fázistér két közeli pontjából indított trajektóriák exponenciálisan távolodnak. Fázistér összehúzódik (különös) attraktor Konzervatív rendszerek A H(q i,p i ) Hamilton-függvény, N szabadsági fok, N-nél kevesebb mozgásállandó van kaotikus a rendszer 3 / 35

Konzervatív rendszerek Integrálható rendszerek H(q i,p i ) Hamilton-függvény, N szabadsági fok, legalább N mozgásállandó van. A fázistérbeli mozgás tóruszokon megy végbe. Kaotikus rendszerek kis perturbáció a tóruszok egy része felbomlik, kaotikus tartományok jönnek létre (KAM-tétel) a perturbáció további növelésével a tóruszok eltűnnek, csak kaotikus tartomány marad 4 / 35

Mi a kvantumkáosz? Probléma (80-as évek) A káosz klasszikus mechanikában adott definíciója nem vihető át a kvantummechanikába. Hogy jelentkezik egy klasszikusan kaotikus rendszer kvantumos megfelelőjében a káosz? Mérhető mennyiségek? Csak Ψ 2 és az {E n } energiaszintek mérhetők. ezeket vizsgáljuk Véletlen mátrixok először Wigner, Dyson, Mehta alkalmazta az atommagok spektrumának számítására 80-as évek: a kaotikus rendszerek energiaspektruma jól leírható véletlen mátrixok segítségével 5 / 35

Wigner-Dyson sokaság Véletlen mátrixok N N-es hermitikus mátrixok sokasága, a következő valószínűség eloszlással: P(H) = c exp[ βtrv(h)] Ha V(H) H 2, gausszi-sokaságról beszélünk. Ekkor a mátrixelemek független eloszlásúak. β = 1, 2, 4 a mátrixelemek szabadsági fokát számolja (valós, komplex, valós kvaternió) a H UHU 1 transzformáció hatására P(H) invariáns, annak megfelelően, hogy U ortogonális (β = 1), unitér (β = 2), szimplektikus (β = 4) mátrix, beszélünk ortogonális, unitér, szimplektikus sokaságokról. 6 / 35

Univerzalitási osztályok Univerzális viselkedés, attól függően, hogy melyik véletlen mátrix sokaságba tartozik a Hamilton-operátor. Gaussian Unitary Ensemble (GUE) A Hamilton operátornak nincs időtükrözési szimmetriája, pl H = 1 2m (p ea)2 + V(x) Gaussian Orthogonal Ensemble (GOE) A Hamilton-operátornak van időtükrözési szimmetriája, de nincs benne spin-pálya kölcsönhatás, pl. H = p2 2m + V(x) Gaussian Symplectic Ensemble (GSE) A Hamilton-operátornak van időtükrözési szimmetriája és van benne spin-pálya kölcsönhatás, pl. H = p2 2m + V(x) + ALS 7 / 35

Vizsgált mennyiségek A véletlen mátrix elmélet néhány eredménye sajátértékek együttes eloszlásfüggvénye: P(E 1,...,E N ) n>m(e ( n E m ) β exp A n E 2 n ) szinttávolság statisztika: P(s) s β exp( As 2 ), s = E n E n 1 β = 1, 2, 4 rendre a GOE, GUE, GSE sokaságokra Integrálható rendszerek Az energiasajátértékek korrelálatlanok, a szinttávolság statisztika Poisson-eloszlást követ: P(s) = exp( s) 8 / 35

Szinttaszítás 9 / 35

Biliárd kísérletek Első kísérletek: rezgő lemezek (Chladni) A kitérésfüggvény: Ψ n = k ( ) 2 Ψ n = knψ 4 n 2Ψ Ψ n = kn 2 }{{ Ψ } Helmholtz-egyenlet rögzített perem esetén kvantummechanikai problémával analóg nem alkalmas kvantitatív mérésekre 10 / 35

Felszíni vízhullám kísérletek Biliárd kísérletek Ha az f (x,y) amplitúdó kicsi a mélységhez képest, a Navier-Stokes egyenletek linearizálhatók: +Neumann határfeltétel ( + k 2 )f = 0 11 / 35

Ultrahang kísérletek Biliárd kísérletek Hengeres tartályban lévő folyadékot gerjesztenek néhány MHz-es ultrahanggal a nyomáseloszlás eleget tesz a Helmholtz-egyenletnek: ( + k 2 )p = 0, +Neumann hat. felt. I diffraktált p 2 12 / 35

Új jelenség: Scarok További ultrahangos kísérletek A hullámfüggvény nagy értékeket vesz fel a klasszikus periodikus pályák mentén. (Pl. bouncing ball, whispering gallery módusok.) 13 / 35

Mikrohullám biliárdok Mikrohullám kísérletek Különböző alakú üregrezonátorok, E, B kielégíti a Helmholtz-egyenletet: ( + k 2 )E = 0 n E S = 0 ( + k 2 )B = 0 nb S = 0 n a felület normális irányú egységvektora TM-módus E z (x,y,z) = E(x,y)cos [ + k 2 ( nπ d ( nπz ), B z (x,y,z) = 0 d ) 2 ] E = 0, E(x,y) S = 0 n = 0 esetén teljesen analóg a kvantummechanikai problémával 14 / 35

Mikrohullám kísérletek Vizsgált mennyiségek A rezonátor sajátfrekvenciái kimérhetők szinttávolság statisztika E z szintén mérhető hullámfüggvény 15 / 35

Szinttávolság statisztika Integrálható rendszerek Az energiaszintek teljesen korrelálatlannak tekinthetők. Szinttávolság statisztikát ekkor a Poisson-eloszlás írja le: P(s) = exp( s) 16 / 35

Mikrohullám kísérletek Hullámfüggvények Scarok ismét láthatók a periodikus pályák mentén. 17 / 35

Kétdimenziós elektrongáz 18 / 35

Kétdimenziós elektrongáz Tulajdonságok Fermi-hullámhossz 400 Å szabad úthossz 100-1000 nm fáziskoherencia hossz 200 nm összemérhetők a minta méreteivel Az elektronok zárt térrészbe terelhetők, ahol ballisztikusan, fáziskoherensen mozognak. 19 / 35

S-mátrix Transzportfolyamatok Hullámfüggvény alakja a csőben: ψ ± n (r) = Φ n (y,z)e ±iknx n a propagáló módusokat indexeli, Φ n (y,z) a transzverzális hullámfüggvény. Az S-mátrix a be- és kiféle propagáló elektronok hullámfüggvényének amplitúdóit kapcsolja össze: c in = (a + 1,a+ 2,... a+ N,b 1,b 2,...,b N ), c out = (a 1,a 2,... a N,b+ 1,b+ 2,...,b+ N ), c out = Sc in 20 / 35

Az S-mátrix fontosabb tulajdonságai Unitaritás Az S-mátrix unitér, az árammegmaradás miatt, S = S 1. A particionált alak Az S-mátrix a következő blokkokra bontható: ( ) r t S = t r Landauer-formula A G vezetőképesség: Mérhető mennyiség! G = 2e2 h Tr(tt ) 21 / 35

Néhány jelenség a mezoszkopikus rendszerekben I. Univerzális vezetőképesség fluktuáció (UCF) A vezetőképesség valamilyen paraméter függvényében mindig e2 h nagyságrendben oszcillál. Független a minta paramétereitől. 22 / 35

Néhány jelenség a mezoszkopikus rendszerekben II. Gyenge lokalizáció Klasszikusan a reflexió és transzmisszió valószínűsége egyenlő. Kvantumosan a reflexió kicsit nagyobb az időtükrözött pályák interferenciája miatt. Reflektált intenzitás klasszikusan: A p 2 + T A p 2 = 2 A p 2 kvantumosan: A p + T A p 2 = 4 A p 2 23 / 35

A jelenség leírása Gyenge lokalizáció Vezetőképesség meghatározásához kell az S-mátrix. S nm 2 CXE = 1 (1 2/β)δ nm N 1 + N 2 1 + 2/β, β = 1,2,4 N 1 G = G 0 N 2 n=1 m=n 1 +1 S nm 2, G 0 = 2e2 h N 1,N 2 nyitott csatornák száma jobb és bal oldalon. A gyenge lokalizációs korrekció (N 1,N 2 1): δg = 1 ( 1 2 ) G 0 4 β Mért érték: 0.2G 0, számolt 1 4 G 0. 24 / 35

Univerzális vezetőképesség fluktuáció A jelenség leírása A szórásmátrixok cirkuláris sokaságára való átlagolás után a következőt kapjuk: VarG/G 0 = 2(N 1N 2 ) 2 β(n 1 + N 2 ) 4, ha N 1,N 2 1. β = 1 esetén 0.41(e 2 /h) 2, β = 2 esetén 0.27(e 2 /h) 2. Mért érték sokkal kisebb az elméletinél, ennek oka a rugalmatlan szórás. 25 / 35

Szemiklasszikus vizsgálat A közelítés célja rendszer kvantumos viselkedésének megértése (pl. scarok) az energiasajátértékek közelítése A szemiklasszikus hullámfüggvény ( ) i Ψ sc = A(q,I)exp S(q,I) A(q,I), lassan változó amplitúdó, S(q,I) a klasszikus hatás 26 / 35

Integrálható rendszerek EBK-kvantálás A hullámfüggvény egyértékűségének megköveteléséből: I i := 1 ( pdq = n i + ν ) i 2π C i 4 n i,ν i Z, ν i : Maslov indexek Az integrált a tóruszokon fekvő, egymásba folytonosan át nem deformálható C i kontúrok mentén kell kiszámolni. periodikus pályákhoz kvantált energiaszintek tartoznak 27 / 35

Kaotikus rendszerek Problémák Kaotikus rendszerekben nem működik az EBK-kvantálás. Az állapotsűrűségre tudunk csak állítást kimondani. Gutzwiller-féle trace formula A szemiklasszikus Green-függvény G sc (q,q,e) = G 0 (q,q,e) + G }{{} j (q,q,e) sima rész j }{{} G 0 (q,q,e) H (1) D 2 D oszcilláló rész 2mE ( 2 q q ) 28 / 35

Gutzwiller-féle trace formula következményei Weyl-formula A (E) állapotsűrűség: A sima rész: (E) = 0(E) + oszc (E) 0(k) = A 2π k ± L ( 4π +... E = 2 k 2 ) 2m a biliárd klasszikus paraméterei jelennek meg a sorban az alak meghatározza a spektrumot? nem 29 / 35

Ellenpélda 30 / 35

Scarok Scarok Periodikus pályák nyomai a hullámfüggvényben. Bogomolny-féle leírás ψ(q) 2 = w(e) n ψ n (q) 2 δ(e E n )de n G(q A,q B,E) = n ψ n(q B )ψ n (q A ) E E n δ(e E n )ψn(q B )ψ n (q A ) = 1 π lim Im[G(q A,q B,E + iε)] ε 0 ψ(q) 2 = 1 ( ) π Im w(e)g(q,q,e)de 31 / 35

Scarok Bogomolny-féle leírás G(q,q,E) = G 0 (q,q,e) + G oszc (q,q,e) ( ) 1 d ψ(q) 2 0 = 0(q,E), 0(q,E) = dpδ[e H(p,q)] 2π A Green-függvény oszcilláló része G oszc = i ( ) 1 (d 1)/2 [ i r 1/2 exp 2πi S r(q,q,e) i ν ] rπ 2 r 32 / 35

Scarok Energia szerinti integrál elvégzése: S r (q,q,e) = S r (q,q,e 0 ) + T r (q,e 0 )(E E 0 ) +... G oszc (q,q,e) = = i ( ) 1 (d 1)/2 2πi r ŵ(t r (q,e 0 )) = [ i r 1/2 exp S r(q,q,e 0 ) i ν rπ 2 [ ] i w(e)exp T r(q,e)(e E 0 ) de ] ŵ(t r (q,e 0 )) Kérdés Az összegzés jelenleg minden zárt pályára kiterjed. Miért a periodikus pályák adják a lényeges járulékot? 33 / 35

Scarok Tekintsünk egy zárt trajektóriát, amelyhez tartozó hatás S r (q,q,e 0 ). Vegyünk ettől egy kezdő és végállapotban infinitezimálisan eltérő pályát: ( Sr S r (q + q,q + q,e 0 ) = S r (q,q,e 0 ) + q + S ) r q B q }{{ A } p B q p A q q eltérés oszcillálást eredményez az exponensben kiátlagolódnak Kivétel azok a pályák, ahol p B q = p A q periodikus pályák 34 / 35

Amiről nem esett szó atommagok Riemann-zeta függvény periodikus időfüggésű rendszerek vegyes fázisterű rendszerek szupravezetőhöz kapcsolt rendszerek, Andreev-biliárdok... 35 / 35