4. Fogyasztói preferenciák elmélete (ld. Temesi J.: A döntéselmélet alapjai, 47-63) 4.1 Preferencia relációk Mit jelent a fogyasztó választása? Legyen X egy olyan halmaz amelynek az elemei azok a lehetőségek (javak, szolgáltatások, stb.) amelyekből a fogyasztó választhat. Ha az egyed választani akar, akkor rendelkeznie kell valamiféle olyan véleménnyel az X halmaz elemeiről, amelynek alapján eldöntheti azt, hogy két x, y X elem közül melyiket értékeli többre, magasabbra. Ha pl. x a jobb y-nál, akkor ezt megfelelő sorrendbe írással adhatjuk meg (x, y), x, y X (azaz x legalább úgy értékelt mint y, vagy x is preferred to y). Ennek matematikai megközelítése a relációkhoz vezet el. Az A és B halmazok Descartes -féle A B szorzathalmazán az (a, b), a A, b B rendezett párok halmazát értjük. (a rendezés azt jelenti, hogy az elemek sorrendje lényeges, első az A-beli elem). Az A B szorzathalmaz egy R A B részhalmazát (binér) relációnak nevezzük, jelölése (a, b) R vagy arb, esetleg R helyett valamilyen szimbólumot használunk, pl. a jelet, ami emlékeztet a nagyobb vagy egyenlő jelre, így szuggesztív. Egy R A B reláció értelmezési tartományán és értékkészletén az alábbi halmazokat értjük: D R : = { a A : van olyan b B melyre (a, b) R } R R : = { b B : van olyan a A melyre (a, b) R } Ha A = B = X, és R X X akkor azt mondjuk, hogy R egy reláció X-en. A nálunk fellépő relációknál 1
2 D R = D R = X is teljesül. x Ry azt jelenti, hogy x nincs R relációban y-nal. Relációk tulajdonságai. Definíciók. Legyen R egy reláció X-en. Azt mondjuk, hogy R reflexív, ha bármely x X esetén xrx, szimmetrikus, ha bármely x, y X, xry esetén yrx, tranzitív, ha bármely x, y, z X, xry és yrz esetén xrz, teljes, ha bármely x, y X, esetén xry vagy yrx, irreflexív, ha bármely x X esetén x Rx, aszimmetrikus, ha bármely x, y X, xry esetén y Rx, antiszimmetrikus, ha bármely x, y X, xry és yrx esetén x = y. Relációk osztályai. Definíciók. Legyen R egy reláció X-en. A R relációt félig rendezésnek nevezzük, ha reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív, (lineáris) rendezésnek nevezzük, ha félig rendezés és teljes, gyenge rendezésnek (preferenciának) nevezzük, ha reflexív, tranzitív, és teljes, ekvivalencia relációnak nevezzük, ha reflexív, szimmetrikus és tranzitív.
Ha R egy ekvivalencia reláció X-en, akkor R az X halmaz egy osztályozását (vagyis X felbontását páronként idegen halmazok egyesítésére) adja meg oz módon, hogy az egymással relációban álló elemek egy osztályba kerülnek. Ez fordítva is igaz, minden osztályozás egy ekvivalencia relációt határoz meg (úgy, hogy az egy osztályban levő elemek állnak relációban egymással). A R reláció által meghatározott osztályok halmazát X/R-rel szokás jelölni. X/R tehát X olyan, páronként idegen részhalmazainak összességét jelöli, melyek egyesítése éppen az X halmaz. Induljunk ki egy tetszőleges relációból X-en. Ennek segítségével négy egymást kizáró eset fogalmazható meg: x y (x y és y x), ekkor x es y-t ekvivalenseknek (indifferenseknek, közömböseknek) nevezzük, másik jelölés xiy, x?y (x y és y x), ekkor x es y-t nem összehasonlíthatóknak nevezzük, másik jelölés xjy, x y (x y és y x), ekkor x szigorúan (erősen) preferált y-hoz képest, másik jelölés xsy. y x (y x és x y), ekkor y szigorúan (erősen) preferált x-hez képest, ez ugyanaz az eset mint az előző, másik jelöléssel ysx. Megjegyezzük, hogy az I relációt szokás szimmetrikus részének is nevezni, S-t pedig aszimmetrikus részének. Így, I és S mindig egy kiinduló relációtól függ, annak függvénye (az esetek többségében ez a függés nem okoz félreértést). A most bevezetett relációkra a tulajdonságok definíciói alapján igazolható, hogy 3
4 I (vagy ) reflexív és szimmetrikus, J (vagy?) irreflexív és szimmetrikus, S (vagy ) irreflexív és aszimmetrikus. Érvényes a következő Tétel. Ha gyenge preferencia (rendezés) X-en, akkor I (vagy ) ekvivalencia reláció X-en, nincs összehasonlíthatatlanság, azaz a J (vagy?) reláció értelmezési tartománya üres halmaz az S (vagy ) szigorú (erős) preferencia irreflexív, aszimmetrikus, és tranzitív. Racionális viselkedést (döntést) gyenge preferencia határozza meg. Ennek három axiómája közül a reflexivitás természetes (és különben is következik a teljességből (x = y-nal)), ezért a tranzitivitás és teljesség az melyekkel empirikus szempontból foglalkozni kell. Hozható érv mindkét feltételezés mellett és ellenük is. 1. A teljesség azzal kritizálható, hogy túl erős feltevés: nem biztos, hogy a fogyasztó bármely két fogyasztási kosarat össze tud hasonlítani. 2. Marshak (1950) szerint a preferencia tulajdonságait olyan axiómáknak foghatjuk fel, mint a számolás axiómáit. Okfejtése szerint több-kevesebb ember vét a számolási szabályok ellen, de ez nem jelenti azt, hogy az emberek nem fogadják el azokat. Ha figyelmeztetik őket az elkövetett hibára, akkor igyekeznek kijavítani azt. Ugyanez a helyzet a döntéshozatalban is: előfordulhat, hogy a döntéshozók nem tranzitív döntést hoznak. Ha figyelmeztetik őket a
tranzitivitás azaz következetességük hiányára, akkor törekednek a döntés megváltoztatására. Ellenvetés: ha az egyedek egy része a tapasztalat szerint nem tranzitívan dönt, akkor ezt tényként kell elfogadni, és ennek megfelelően kell a keresletükre számítani. 3. Az emberi viselkedést a tanultság erősen befolyásolja. Ha valaki megtanulja a mikroökonómia alapelveit, akkor öntudatlanul is követni igyekszik azokat, hiszen azok racionalitásáról magyarázatot kapott. 4. A tranzitivitás ellen a legfőbb érv Arrow nevezetes lehetetlenségi tétele röviden szólva azt mondja ki, hogy tranzitív egyedi döntések ésszerű feltételek kikötése mellett nem aggregálhatók tranzitív kollektív döntéssé. Az egyedi fogyasztó, akivel a mikroökonómia számol, valójában nem egy egyed, hanem az egyedek aggregációjának képzelt absztrakt társadalmi fogyasztó. Arrow tétele szerint hiába racionálisak az egyedek, a társadalom, ill. annak kollektív egységei család, rétegek, csoportok stb. nem racionálisak. 5. Az emberi érzékelés tulajdonságai is érveket adhatnak a tranzitivitás ellen. Például képzeljük el, hogy valaki nem tud különbséget tenni (közömbös) lakása fűtésénél a 19 és 20 fok és a 20 és 21 fok között, de jobbnak találja a 21 fokot a 19-nél. Ez azt jelenti, hogy 21 20, 20 19, de 21 19, ami ellentmond a tranzitivitásnak. Ezt a jelenséget küszöb effektusnak (threshold effect) szokás nevezni. 6. Egy érdekes eset melyet Pearce ír le. Képzeljük el, hgy X úr vendégségben vacsorázik, és a végén, a gyümölcs fogásnál az első lépésben egy kis és egy nagy alma közül a kisebbiket választja (mert éhes ugyan, de jólnevelt). A 5
6 második kínálásnál egy nagy körte és egy kis alma közül a körtét választja (mert éhes). A harmadik kínálásnál egy nagy alma és nagy körte közül az almát választja (mert azt jobban szereti). Matematikailag: kis alma nagy alma, nagy körte kis alma, nagy alma nagy körte amiből, tranzitivitást feltételezve kis alma nagy alma nagy körte kis alma adódna ami ellentmondás. Itt, különböző körülmények között a döntés különböző motívációja erősödik meg. 4.2 Értékelő függvények Definíció. Legyen egy gyenge preferencia (rendezés) X-en és R legyen a valós számok halmaza. Az u : X R függvényt a reláció értékelő függvényének (a közgazdaságtanban a hasznossági függvény elnevezés hsználatos) nevezzük, ha a következő állítások valamelyike teljesül: x y u(x) u(y), (1) x y u(x) > u(y), x y u(x) = u(y). (2) Belátjuk, hogy (1) és (2) ekvivalensek. (1) (2). A következő ekvivalenciák alapján adódik (2) első fele: x y (x y és y x) (u(x) u(y) és u(y) u(x)) u(x) > u(y).
(2) második fele hasonlóan jön: x y (x y és y x) (u(x) u(y) és u(y) u(x)) u(x) = u(y). 7 (2) (1). A következő ekvivalenciasorozat adja az (1) állítást: x y (x y és x y) (u(x) > u(y) és u(x) = u(y)) u(x) u(y). Nyilvánvalóan igaz a következő Tétel. (értékelő függvények monoton transzformációi) Legyen egy gyenge preferencia (rendezés) X-en, u : X R legyen egy értékelő függvénye és φ : R R egy szigorúan monoton növekedő függvény. Akkor is egy értékelő függvény. v(x) := φ(u(x)) (x X) Ez a tétel lehetőséget ad az értékelő függvény kalibrálására, arra hogy olyan értékelő függvényt adjunk meg melynek értékei egy adott intervallumba pl. a [0, 1]-be esnek. 4.3 Egzisztencia tételek értékelő függvényekre Példa gyenge preferenciára melynek nincs értékelő függvénye. Vegyük az X = R 2 síkon az alábbi relációt (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) (x 1 > x 2 vagy x 1 = x 2 és y 1 y 2 ).
8 Ez az un. lexikográfikus rendezés gyenge preferencia, melynek nincs értékelő függvénye. Ábránk szerint egy adott (x 2, y 2 ) ponthoz képest azok az (x 1, y 1 ) pontok melyekre (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) teljesül, a sík vonalkázott részén helyezkednel el, mely egy (nyílt) félsíkból és egy (zárt) félegyenesből áll. Bizonyítás. Egyszerűen belátható, hogy gyenge preferencia. Indirekt úton igazoljuk, hogy nincs értékelő függvény. Tegyük fel, hogy van egy u : R 2 R értékelő függvény, és vegyünk két síkbeli (x, 2), (x, 1) elemet. Ekkor (x, 2) (x, 1), mert (x, 2) (x, 1) (x, 1) (x, 2), így u(x, 2) > u(x, 1). Rendeljük hozzá minden valós x számhoz az [u(x, 1), u(x, 2)] zárt intervallumot, azaz legyen f(x) = [u(x, 1), u(x, 2)] Ha x 1 > x 2 akkor u(x 1, 1) > u(x 2, 2), így (x R). u(x 2, 1) < u(x 2, 2) < u(x 1, 1) < u(x 1, 2)
miatt, az f(x 1 ) es f(x 2 ) intervallumok idegenek. Ezért f egy kölcsönösen egyértelmű leképezése a valós számok halmazának diszjunkt, valódi zárt intervallumok egy rendszerére. Mivel az ilyen intervallumok halmaza megszámlálhatóan végtelen, a valós számok halmaza pedig kontinuum számosságú, így ellentmondást kaptunk, ami bizonyítja állításunkat. Tétel. (értékelő függvény létezése) Legyen egy gyenge preferencia (rendezés) X-en, és tegyük fel, hogy az X/ indifferencia osztályok halmaza megszámlálható. Akkor van -nek értékelő függvénye. Tétel. (értékelő függvény létezése) Legyen egy folytonos gyenge preferencia (rendezés) az X topológikus téren (mely eleget tesz a második megszámlálhatósági axiómának: van megszámlálható bázisa a térnek), akkor -nek létezik értékelő függvénye. Megjegyzés. Az relációt folytonosnak nevezzük az X topológikus téren, ha bármely x X esetén a { y X : x y }, { y X : y x } halmazok zártak. Tétel. (értékelő függvény létezése) Legyen egy folytonos gyenge preferencia (rendezés) az X összefüggő és szeparábilis topológikus téren, akkor -nek létezik értékelő függvénye. Megjegyzés. Az X topológikus teret összefüggőnek nevezzük ha X nem bontható fel két diszjunkt, nyílt, nemüres halmaz uniójára. 9
10 Az X topológikus teret szeparábilisnek nevezzük ha van megszámlálható mindenütt sűrű részhalmaza. Példa értékelő függvényre. Az X = R 2 síkon legyen (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) 0, 4x 1 + 0, 6y 1 0, 4x 2 + 0, 6y 2. Ez egy gyenge preferencia, melynél a közömbösségi osztályok { (x 1, y 1 ) R 2 : 0, 4x 1 + 0, 6y 1 = x } (x R) alakúak ahol x R tetszőleges valós szám. Ezek halmaza most kontinuum, de van értékelő függvény, mert mindkét előző tétel feltételei teljesülnek. Egy értékelő függvény a következő u(x 1, y 1 ) = 0, 4x 1 + 0, 6y 1. Jóval nehezebb igazolni folytonos értékelő függvény létezését. Erre vonatkozóan hasonló eredmény igaz. Tétel. (Debreu tétele) Második megszámlálhatósági axiómának elegettevő topológikus téren tetszőleges folytonos preferenciának van folytonos értékelő függvénye. Megjegyzés. Egy u : X R függvényt folytonosnak nevezünk az X topológikus téren, ha bármely R-beli G nyílt halmaz inverz képe nyílt. u 1 (G) := { x X : u(x) G }
Tétel. (Eilenberg-Debreu tétele) Összefüggő, szeparábilis topológikus téren tetszőleges folytonos preferenciának van folytonos értékelő függvénye. 11