Modern differenciálgeometria Sokaságok és a Riemann-geometria elemei Szilasi József

Modern differenciálgeometria Sokaságok és a Riemann-geometria elemei Szilasi József DE, Matematikai Intézet 2015-16. 2. félév Tartalomjegyzék Panoráma 0 Jelölések, megállapodások, előismeretek 1 Sima sokaságok 1 2 Sima leképezések 13 3 Érintővektorok, derivált, görbék 23 4 Részsokaságok 39 5 Sokaság érintőnyalábja. Vektormezők és elsőfokú differenciálformák 47 6 Tenzorok 65 7 Tenzorderivációk 80 8 Kovariáns deriválás 87 9 Párhuzamos eltolás 107 10 Geodetikusok 127 11 Pszeudo-Riemann sokaságok, Riemann-izometriák, ívhossz 141 12 A Levi-Civita deriválás 161 13 Riemann-geodetikusok 171 14 A Riemann-féle görbületi tenzor. Ricci-görbület, skalárgörbület 198 15 Vektornyalábok 219 16 Riemann-sokaságok görbületi operátora és metszetgörbülete 235 17 Irányított sokaságok 261 Feladatok Megoldások

Panoráma Algebrai és differenciáltopológia Közönséges differenciálegyenletek Parciális differenciálegyenletek Liecsoportok Sokaságok elmélete Differenciálgeometria Homologikus algebra Klasszikus analízis Integrálelmélet Kommutatív algebra Az elmélet megalapozói és legfontosabb továbbfejlesztői: (1) Sokaság-fogalom (3) Konnexióelmélet C. F. Gauss (1777 1855) É. Cartan (1869 1951) B. Riemann (1826 1866) T. Levi-Civita (1873 1941) H. Weyl (1885 1955) S.-S. Chern (1911 2004) (2) Vektormezők (4) Riemann-sokaságok H. Poincaré (1854 1912) B. Riemann H. Hopf (1894 1971) É. Cartan J. F. Adams, M. Atiyah J. Nash

0. Jelölések, megállapodások, előismeretek 0.1. (1) Ha A és B halmazok, A B azt jelöli, hogy az A halmaz minden eleme a B halmaznak is eleme, így az A B reláció megengedi az A = B lehetőséget is. (2) Egy S halmaz identikus transzformációját 1 S jelöli, tehát Ha ϕ: S T egy leképezés és H S, akkor 1 S (s) := s, minden s S esetén. ϕ H : h H (ϕ H)(h) := ϕ(h) T a ϕ leképezés H-ra való leszűkítése. A H részhalmaz S-be való (kanonikus) inklúziója j H := 1 S H. (3) A természetes számok {0, 1, 2,... } halmazát N jelöli; Z, Q és R a szokásos módon rendre az egész, a racionális és a valós számok halmazának jelölésére szolgál. Ha A R, A := A \ {0}, A + := {a A a 0}. Így A + = {a A a > 0}; speciálisan N := N \ {0} a pozitív egészek halmaza. (4) A valós értékű leképezéseket rendszerint függvényekként említjük. (5) Legyenek I és A halmazok. Egy f : I A, i f(i) =: a i leképezésre időnként az A-beli elemcsalád elnevezést és az (a i ) i I jelölést használjuk. Ilyenkor az I értelmezési tartományt indexhalmaznak hívjuk. Ha nem áll fenn félreértés veszélye, (a i ) i I helyett egyszerűen azt is írjuk, hogy (a i ). Amennyiben I N, elemcsalád helyett (A-beli) sorozatról beszélünk. I := J n := {1,..., n} (n N ) esetén az (a i ) i I sorozatra az (a i ) n i=1 vagy az (a 1,..., a n ) jelölést is használjuk. (6) Legyen S egy halmaz, és jelölje P(S) az S halmaz hatványhalmazát (azaz összes részhalmazainak halmazát). Egy (A i ) i I P(S)-beli elemcsaládot S-beli halmazcsaládnak nevezünk. Egy ilyen halmazcsalád A i metszete i I A i uniója és i I értelemszerűen definiálható. Megállapodás szerint A i = és A i = S, ha I =. i I Az (A i ) i I halmazcsalád Descartes-szorzata A i := {(a i ) i I a i A i }, ha I. i I I = J n = {1,..., n} esetén i I A i helyett azt is írjuk, hogy A 1 A n. i I (7) Egy S halmaz egy B részhalmazának lefedésén olyan (A i ) i I S-beli halmazcsaládot értünk, amelyre B i I A i teljesül. 0.2. (1) Gyűrűn asszociatív, egységelemes gyűrűt értünk; egy gyűrű egységelemét, ill. zéruselemét rendszerint az 1, ill. a 0 szimbólummal jelöljük. i

(2) Legyen K kommutatív gyűrű és n N. A K elemeiből képzett n n-es mátrixok halmazát M n (K)-val jelöljük. Pontosan szólva, M n (K) elemei A: J n J n K, (i, j) A(i, j) =: a i j alakú kétindexes S-beli elemcsaládok. A szokásos írásmódot használva, a 1 1 a 1 2... a 1 n A = (a i j) = a 2 1 a 2 2... a 2 n......, a n 1 a n 2... a n n ahol a felső index sorindex alsó index oszlopindex megállapodással élünk. A mátrixok szokásos összeadásával és szorzásával M n (K) egységelemes gyűrű, amely nem kommutatív, ha n > 1. Az M n (K) gyűrű egységeleme az { 1 n = (δj), i δj i 1, ha i = j := 0, ha i j egységmátrix. (Itt δ i j a Kronecker-szimbólum.) (3) Egy (additív módon írt) V kommutatív csoport egy K kommutatív gyűrű fölötti modulus (röviden K-modulus), ha adva van egy skalárral való szorzásnak mondott leképezés, eleget téve a következő feltételeknek: (i) λ(u + v) = λu + λv; (ii) (λ + µ)v = λv + µv; (iii) (λµ)v = λ(µv); (iv) 1v = v. K V V, (λ, v) λv Ezekben a feltételekben u és v V -nek, λ és µ K-nak tetszőleges elemei. Ha speciálisan a K gyűrű test, a test fölötti vektortér jól ismert fogalmához jutunk. (4) Legyen V és W K-modulus. Egy ϕ: V W leképezés K-lineáris (vagy egyszerűen lineáris), ha ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v), ϕ(λv) = λϕ(v) tetszőleges u V, v V és λ K esetén. A V -ből W -be való összes K-lineáris leképezések halmazát L K (V, W )-vel (vagy egyszerűen L(V, W )-vel) jelöljük. Ha ϕ, ψ L K (V, W ), λ K és tetszőleges v V esetén (ϕ + ψ)(v) := ϕ(v) + ψ(v), (λϕ)(v) := λϕ(v), akkor az így definiált összeadással és skalárral való szorzással L K (V, W ) szintén K-modulus. Speciálisan End K (V ) := L K (V, V ) a bevezetett összeadással és a leképezés-kompozícióval mint szorzással egységelemes, de nem kommutatív gyűrű, a V modulus endomorfizmus-gyűrű je. (Az egységelem az 1 V identikus transzformáció.) 0.3. (1) Egy S halmazon adott topológián S részhalmazainak egy olyan T halmazát (azaz egy olyan T P(S) halmazt) értünk, amelyre teljesülnek a következők: (i) T, S T ; ii

(ii) ha A T és B T, akkor A B T ; (iii) ha (A i ) i I tetszőleges T -beli elemcsalád, akkor i I A i T. Ebben az esetben az (S, T ) párt (vagy egyszerűen S-et) topologikus tér nek, a T halmaz elemeit pedig nyílt halmaz oknak nevezzük. Topologikus tér egy részhalmaza zárt, ha a komplementere nyílt. Egy B T halmaz bázisa a topológiának (vagy a topologikus térnek), ha minden nyílt halmaz előállítható B-beli halmazok uniójaként. (2) Legyen (S, T ) topologikus tér és A S. Ha T A := {U A A U T }, akkor T A topológia az A halmazon, amelyet az A-n T által indukált topológiának vagy altér-topológiának hívunk. Azt is mondjuk ekkor, hogy (A, T A ) (vagy egyszerűen A) altere az (S, T ) topologikus térnek. A (3) Tegyük fel, hogy (S i, T i ) i Jn topologikus terek egy véges családja, és legyen S := S 1 S n. B = {U 1 U n S U 1 T 1,..., U n T n } halmaz bázisául szolgál egy T topológiának S-en, amelyet szorzattopológiának hívunk. Az (S, T ) topologikus teret az (S i, T i ) i Jn család szorzatterének mondjuk; ha nem áll fenn félreértés veszélye, egyszerűen S 1 S n szorzattérről beszélünk. (4) Egy topologikus tér egy pontjának (ill. részhalmazának) környezetén a pontot (ill. a részhalmazt) tartalmazó nyílt halmazt értünk. Egy topologikus tér Hausdorff-tér, ha bármely két (értsd: két különböző) pontja rendelkezik diszjunkt környezetekkel. Hausdorff-tér alterei is Hausdorff-terek. (5) Legyen H részhalmaza egy S topologikus térnek. Ekkor int(h) := H belseje := a H által tartalmazott nyílt halmazok uniója; cl(h) := H lezártja := a H halmazt tartalmazó összes zárt halmaz metszete; bd(h) := cl(h) cl(s \ H) H határa. Egy p S pont torlódási pontja (vagy limeszpontja) H-nak, ha p minden környezete tartalmaz tőle különböző H-beli pontot; egy q H pont izolált pontja H-nak, ha {q} nyílt halmaz. Egy topologikus tér egy részhalmaza akkor és csak akkor zárt, ha tartalmazza valamennyi torlódási pontját. (6) Legyen S és T topologikus tér, f : S T pedig egy leképezés. Azt mondjuk, hogy f folytonos egy p S pontban, ha az f(p) pont minden V környezetéhez van olyan U környezete a p pontnak, hogy f(u) V. Az f leképezés folytonos S-en, ha annak minden pontjában folytonos. A következő megállapítások ekvivalensek: (i) Az f : S T leképezés folytonos S-en. (ii) Bármely A T nyílt halmaz esetén f 1 (A) nyílt részhalmaza S-nek. (iii) Bármely B T zárt halmaz esetén f 1 (B) zárt részhalmaza S-nek. (iv) Tetszőleges H S részhalmaz esetén f(cl(h)) cl(f(h)). (7) Legyen S és T topologikus tér, H S, és legyen adva egy f : H T leképezés. Tegyük föl, hogy a S torlódási pontja H-nak, és legyen b T. Azt mondjuk, hogy f határértéke az a pontban b, ha a b pont minden V környezetéhez van olyan U környezete a-nak, hogy Ilyenkor azt írjuk, hogy f(p) V, ha p U H és p a. lim f(x) = b vagy lim x a,x H f(x) = b vagy f(x) b, ha x a (x H). x a iii

Megjegyzendő, hogy itt az a pont nem köteles az f leképezés H értelmezési tartományába tartozni, és hogy a H esetén nem föltétlenül kell annak teljesülnie, hogy f(a) = b. A folytonosság és a határérték közötti kapcsolatot a következő észrevétel adja: Egy f : S T leképezés akkor és csak akkor folytonos egy p S pontban, ha p izolált pontja S-nek, vagy p torlódási pontja S-nek és lim x p f(x) = f(p). A fenti általánosságban bevezetett határérték nem feltétlenül egyértelmű, ha azonban a T topologikus tér Hausdorff-tér, akkor ( ) lim f(x) = b 1 és lim f(x) = b 2 = b1 = b 2. x a x a (8) Egy topologikus terek közötti leképezést homeomorfizmusnak nevezünk, ha folytonos, bijektív és az inverze is folytonos. Két topologikus tér homeomorf, ha létezik közöttük homeomorfizmus. (9) Egy (S, T ) Hausdorff-tér kompakt, ha S minden nyílt lefedésének van véges részlefedése, azaz ha egy (U i ) i I T -beli elemcsalád lefedése S-nek, akkor van olyan J I véges halmaz, hogy (U i ) i J is lefedés. Egy A S halmazt akkor mondunk kompaktnak, ha az (A, T A ) altér kompakt topologikus tér. Mivel V T A pontosan akkor teljesül, ha V = A U valamely U T -re, A S akkor és csak akkor kompakt, ha minden T -beli elemcsaláddal való nyílt lefedésének van véges részlefedése. (10) Egy topologikus tér összefüggő, ha nem állítható elő két nemüres, diszjunkt nyílt halmaz uniójaként. Topologikus tér egy részhalmazát akkor mondjuk összefüggőnek, ha mint altér összefüggő. (11) Egy M halmazon adott távolságfüggvényen (röviden távolságon) olyan d: M M R függvényt értünk, amely rendelkezik a következő tulajdonságokkal: (i) d(a, b) = 0 a = b (definitség); (ii) bármely a M és b M esetén d(a, b) = d(b, a) (szimmetria); (iii) bármely a M, b M és c M esetén d(a, c) d(a, b) + d(b, c) (háromszög-egyenlőtlenség). Ekkor az is teljesül, hogy (iv) bármely a M, b M esetén d(a, b) 0 (nemnegativitás), ugyanis 0 (i) = d(a, a) (iii) d(a, b) + d(b, a) (ii) = 2d(a, b). Egy távolságfüggvénnyel ellátott halmazt metrikus térnek nevezünk. a (12) Legyen (M, d) egy metrikus tér. Megadva egy a M pontot és egy r nemnegatív valós számot, B r (a) := {p M d(a, p) < r}, ill. a B r (a) := {p M d(a, p) r} halmazt a középpontú, r sugarú nyílt gömbnek, ill. zárt gömbnek nevezzük. Definiáljunk egy T d P(M) halmazt a következő előírással: U T d def. minden p U ponthoz van olyan ε R +, hogy B ε (p) U Ekkor T d topológia M-en, amelyet a d távolság által indukált metrikus topológiának nevezünk. Az (M, T d ) topologikus tér Hausdorff-tér, amelynek a nyílt gömbök nyílt halmazai, a zárt gömbök zárt halmazai. Metrikus térben dolgozva rendszerint hallgatólagosan föltesszük, hogy a tér el van látva a távolságfüggvény által indukált topológiával. (13) Egy V valós vektortéren adott norma olyan : V R, v v függvény, amely rendelkezik a következő tulajdonságokkal: (i) v = 0 v = 0 (definitség); iv

(ii) bármely v V és λ R esetén λv = λ v (abszolút homogenitás); (iii) bármely u V és v V esetén u + v u + v (Minkowski-egyenlőtlenség). Ekkor az is teljesül, hogy (iv) bármely v V esetén v 0 (nem-negativitás). Valóban, 0 (i) = 0 = v + ( v) (iii) v + v (ii) = 2 v. Egy normával ellátott valós vektorteret normált térnek, egy véges dimenziójú normált teret Minkowskitérnek nevezünk. Ha a v V v R függvény norma a V vektortéren, akkor a d: V V R, (a, b) d(a, b) := a b függvény távolság V -n, amelyet a norma által indukált távolságnak mondunk. Minden normált teret metrikus térnek tekintünk az indukált távolsággal, és topologikus térnek az ebből származó metrikus topológiával. (14) Egy valós vektortéren adott két normát ekvivalensnek mondunk, ha ugyanazt a (metrikus) topológiát származtatják. Véges dimenziójú valós vektortéren bármely két norma ekvivalens. Az R n valós vektortéren normát ad meg a ( n v := (ν i ) 2) 1 2, ha v = (ν 1,..., ν n ) előírás. Ez az euklideszi norma, amely a d E : (a, b) R n R n d E (a, b) = ha a = (α 1,..., α n ), b = (β 1,..., β n ) i=1 ( n ) 1 i=1 (αi β i ) 2 2, euklideszi távolságot származtatja. Tárgyalásunk során föltesszük, hogy R n el van látva az euklideszi normával és az ebből származó struktúrákkal (távolság, metrikus topológia). 0.4. Tekintsük (az imént mondottak szellemében) az R n valós vektorteret. Jelölje (e i ) n i=1 Rn kanonikus bázisát, vagyis azt a vektorsorozatot, ahol i e i = (0,..., 1,..., 0); i Jn. Legyen (e i ) n i=1 a kanonikus bázis duálisa, amelyet az e i (e j ) = δ i j; i J n, j J n (0.1) feltétellel jellemezhető e i : R n R lineáris függvények alkotnak. Ekkor tetszőleges a = (α 1,..., α n ) R n -beli pont esetén e i (a) = e i( n ) α j e j = j=1 n j=1 α j e i (e j ) (0.1) = n α j δj i = α i. Azt is mondjuk, hogy az (e i ) n i=1 függvénysorozat Rn kanonikus koordinátarendszere. (1) Legyen U R n nyílt halmaz, p egy pontja U-nak, és tekintsünk egy f : U R m leképezést. Azt mondjuk, hogy f-nek létezik egy v R n vektor szerinti iránymenti deriváltja a p pontban, ha létezik a j=1 f(p + tv) f(p) D v f(p) := lim R m t 0 t v

határérték. Speciálisan az R n tér kanonikus bázisának tagjai szerint képzett D i f(p) := D ei f(p) = lim t 0 f(p + te i ) f(p) t iránymenti deriváltakat ha léteznek f p-beli parciális deriváltjainak hívjuk. Amennyiben D i f(p) minden p U pontban létezik, úgy képezhető a leképezés, f U fölötti i-edik parciális deriváltja. D i f : U R m, p D i f(p) (2) Legyen U továbbra is (nemüres) nyílt részhalmaza R n -nek. Azt mondjuk, hogy egy f : U R m leképezés differenciálható egy p U pontban, ha van olyan L: R n R m lineáris leképezés, hogy lim v 0 Ekkor tetszőleges v R n esetén Valóban, ez nyilvánvaló, ha v = 0. v 0 esetén 1 ( ) f(p + tv) f(p) L(v) = 0 R m. (0.2) v f(p + tv) f(p) L(v) = lim = D v f(p). t 0 t f(p + tv) f(p) ( f(p + tv) f(p) L(tv) ) lim = lim + L(v) t 0 t t 0 t f(p + tv) f(p) L(tv) (0.2) = L(v) + v lim = L(v), t 0 t v és ezt állítottuk. Következik a mondottakból, hogy ha f differenciálható a p pontban, akkor a (0.2) feltételben szereplő L lineáris leképezés egyértelműen meghatározott. Ezt a lineáris leképezést f p-beli deriváltjának nevezzük és f (p)-vel jelöljük. Tehát: Ha U R n nyílt halmaz és f : U R m differenciálható egy p U pontban, akkor a p-beli deriváltja az az egyértelműen meghatározott f (p): R n R m lineáris leképezés, amelyre teljesül, minden v R n esetén. f (p)(v) = D v f(p) = lim t 0 f(p+tv) f(p) t (0.3) Az f (p) deriváltnak az R n, ill. az R m vektortér kanonikus bázisára vonatkozó mátrixát az f leképezés p-beli Jacobi-mátrixának nevezzük, és rá a J f (p) jelölést használjuk. Legyen (ẽ i ) m i=1 az Rm tér kanonikus koordinátarendszere. Az f i := ẽ i f : U R m R, i {1,..., m} függvényeket az f leképezés euklideszi koordinátafüggvényeinek hívjuk; ezek segítségével az f leképezés az f = f 1. f m alakban állítható elő. Ekkor, tetszőleges v R n esetén, (f 1 ) (p)(v) f (p)(v) =. (f m ) (p)(v) vi

írható. Speciálisan j {1,..., n}. Ily módon J f (p) = f (p)(e j ) = (f 1 ) (p)(e j ). (f m ) (p)(e j ) = D 1 f 1 (p) D 2 f 1 (p)... D n f 1 (p) D 1 f 2 (p) D 2 f 2 (p)... D n f 2 (p)... D 1 f m (p) D 2 f m (p)... D n f m (p) D j f 1 (p). D j f m (p), = (D jf i (p)) m n. (3) Legyen U R n nyílt halmaz. Egy f : U R függvényt folytonosan differenciálhatónak vagy C 1 -osztályúnak nevezünk, ha a D i f : U R, i {1,..., n} parciális deriváltak mindegyike létezik és folytonos. Teljes indukcióval folytatva, legyen k N, k 2. Az f függvény C k -osztályú, ha C 1 -osztályú és D 1 f,..., D n f parciális deriváltjai C k 1 -osztályúak. Az f függvény C -osztályú, vagy sima U fölött, ha minden k N esetén C k -osztályú. Akkor mondjuk, hogy egy F : U R m leképezés C k -osztályú (k N { }), ha az euklideszi koordinátafüggvényei ilyen tulajdonságúak. (4) Tegyük fel, hogy H egy részhalmaza R n -nek, és legyen adva egy F : H R m leképezés. Ha p belső pontja H-nak (azaz p int(h)), a D j F i := D j (ẽ i F ); i {1,..., m}, j {1,..., n} parciális deriváltak mindegyike létezik p egy környezetében és folytonos p-ben, akkor az F leképezés differenciálható a p pontban. (5) Legyen V és W véges dimenziójú valós vektortér, ellátva azzal a természetes topológiával, amelyet egy-egy normájuk indukál. Legyen U V nyílt halmaz. (0.3) által motiválva, azt mondjuk, hogy egy ϕ: U W leképezés differenciálható egy p U pontban, ha van olyan ϕ (p): V W lineáris leképezés, hogy ϕ (p)(v) = lim t 0 ϕ(p+tv) ϕ(p) t, v V (0.4) Ekkor ϕ (p) a ϕ leképezés p-beli deriváltja. Ha ez minden p U pontban létezik, tekinthetjük a ϕ : U L(V, W ), p ϕ (p) leképezést, amelyet ϕ deriváltjának mondunk. Mivel L(V, W ) is véges dimenziójú vektortér, szólhatunk ϕ differenciálhatóságáról. Ennek deriváltja (ha létezik) ϕ : U L(V, L(V, W )) = L 2 (V, W ) alakú leképezés, ahol L 2 (V, W ) jelöli a V V W bilineáris leképezések vektorterét. Általánosan, ϕ k-adik (k N ) deriváltja olyan ϕ (k) -val jelölt leképezés (ha létezik), amely a p U pontokhoz ϕ (k) (p): V k W k-lineáris leképezéseket rendel. vii