1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét a megvizsgált / rendelkezésre álló adatokból nem tudjuk előre megmondani. tömegjelenség: megfigyelés azonos körülmények között akárhányszor/sokszor megismételhető. Valóság megfigyelése matematikai modell következtetések a valóságra. Eseménytér (Ω), esemény algebrája (F) és a valószínűség (P ) együttese: valószínűségi mező. Elemi esemény, eseménytér, esemény algebra, műveletek események között Definíció. A véletlen kísérlet lehetséges kimenetelei - elemi események. Általában ezeket ω-val (kis omega) jelöljük. Ezek összességét eseménytérnek nevezzük és Ω-val (nagy omega) jelöljük. Definíció. Ω bizonyos részhalmazait eseményeknek nevezzük. Ezek kísérletek kimenetelével kapcsolatos kijelentéseknek felelnek meg. Általában betűkkel jelöljük:a, B, C. Azt mondjuk, hogy egy A esemény bekövetkezik, ha a kísérlet kimenetele ω A. Megjegyzés. Folytonos esetben általában csak olyan részhalmazt tekintünk eseménytérnek, amiknek értelmezhető a hossza/területe. Műveletek események között A + B: A vagy B bekövetkezik, legalább az egyik bekövetkezik - A B unió. A B A B metszet. A- tagadás komplementer A B A bekövetkezik de B nem A \ B 1
ezekhez a műveletekhez érvényesek a szokásos halmazelméleti tulajdonságok, állítások, azonosságok. Pl. 1. De Morgan: 2. 3. A + B = A B A B = A + B A = A A + A = Ω (A + B) C = AC + BC Egymást kizáró események, teljes eseményrendszer Definíció. A és B egymást kizáró események, ha (egyszerre nem következhetnek be.) A B = Példa. A = {2, 4, 6}-párosok, B = {5}-ötös egymást kizáró események Definíció. A 1, A 2,...A n (végtelen esemény is lehet) események teljes eseményrendszert alkotnak, ha 1. Páronként egymást kizáróak: A i A j = i j 2. Valamelyik biztosan bekövetkezik közülük uniói a biztos esemény: vagy n A i = Ω n A i = Ω Azaz mindig pontosan egy következik be közülük, avagy ezek az Ω egy parkettázását adja. 2
Modellalkotás relatív gyakoriság megfigyelésével (a valószínűség tapasztalati származtatása) Valószínűség tapasztalati származtatása Példa. Egy bizonyos fajta izzó több mint 2000 óráig ég. - B esemény. Mi ennek a valószínűsége? aív válasz: Sok izzót megnézünk, megszámoljuk, ebből hányra teljesül hogy több mint 2000 óráig ég, azaz a B esemény. Ezt a számot jelölje: k B, - kedvező esetek gyakorisága. k B, Tapasztalat szerint. relatív gyakoriság, növelésével egyre kevésbé ingadozik, beáll egy számra és ezt a számot hívjuk a B esemény tapasztalati valószínűségének, és P (B)-vel jelöljük. aívan azt írhatjuk, hogy k B, lim + = P (B) - de ez csak egy "naív" jelölés! Mivel k B, véletlen szám, ezért a szokásos analízisbeli definíciója a határértéknek itt nem lesz megfelelő, ezt "bonyolítani" kell: ε > 0, δ > 0 -ra Ñ, hogy > Ñ esetén ( ) k B, P P (B) < ε 1 δ Ez az ún. nagy számok gyenge törvényének speciális esete. Tapasztalati valószínűség / relatív valószínűségre igaz. 1. 2. - biztos esemény. 0 k B, 1 = 0 P (B) 1 k B, = 1 P (Ω) = 1 3. Ha A és B diszjunktak, azaz A B =, k A+B, = k A, + k B, P (A + B) = P (A) + P (B) A valószínűség matematikai fogalma, a valószínűség axiómái A P valószínűség egy P : F R függvény, azaz A F eseményhez hozzárendel egy P (A) R valós számot, amelyre a következő tulajdonságok teljesülnek: 1. A F eseményre 0 P (A) 1 3
2. P (Ω) = 1 3. Tetszőleges A és B egymást kizáró eseményre: A B = A B = P (A + B) = P (A) + P (B) 3 Tetszőleges Megszámlálhatóan végtelen sok, egymást kizáró A 1, A 2,...A n eseményre: ( + ) + P A i = P (A i ) vagy ( + ) P A i = + P (A i ) Az 1, 2, 3, 3 tulajdonságokat együttesen a valószínűség axiómáinak nevezzük. Megjegyzés. Ezek az axiómák nem mondják meg azt, hogy hogyan kell a valószínűséget kiszámítani. Azonban ezekből az alaptulajdonságokból számtalan általános, a valószínűségre vonatkozó tétel levezethető, amelyeket a gyakorlatban lehet használni. Valószínűségi mező (eseménytér, eseményalgebra, valószínűség Definíció. A fenti megadott tulajdonságokkal rendelkező eseménytér (Ω) - esemény algebra (F) - valószínűség (P ) hármast valószínűségi mezőnek nevezzük. A valószínűség néhány tulajdonsága. Szita formula. Klasszikus valószínűségi mező, geometriai valószínűség, példák. Állítás. Például: A valószínűség axiómáiból következnek az alábbi tulajdonságok. 1. P (A) = 1 P (A) 2. Ha A 1, A 2,...A n teljes eseményrendszert alkot, akkor P (A 1 ) + P (A 2 ) +...P (A n ) = 1 3. ha A B (A bekövetkezése maga után vonja B-t) akkor P (A) P (B) 4. P (A B) = P (A) P (AB) 4
Szita formula. Ha A és B nem egymást kizáróak, akkor nem feltétlenül igaz a 2. tulajdonság. Ekkor használjuk a szita formulát: 3 eseményre: P (A + B) = P (A) + P (B) P (AB) P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) P (AB) P (AC) P (BC) + P (ABC) Klasszikus valószínűségi mező Tegyük fel, hogy Ω < és elemi esemény azonos valószínűségű, azaz Ω = esetén (Ω = (ω 1, ω 2,...ω n )) Ekkor tehát A esemény esetén P (ω 1 ) =... = P (ω n ) = 1 P (A) = A az A szempontjából kedvező esetek száma = Ω az összes eset száma Geometriai valószínűség Definíció. Legyen Ω R n tartomány, (n = 1, 2, 3... terület térfogatát lehet értelmezni, ebből kell pontot kiválasztani.) ω Ω pontok elemi események. (Kísérlet: ω Omega pontot kiválasztok.) Tegyük fel, hogy Ω-nak nincsenek kitüntetett részei, azaz tetszőleges A Ω mérhető halmaz esetén annak az esélye, hogy A-ból választok pontot, P (A) = t(a) t(ω) azaz az A területével/térfogatával arányos. Megjegyzés. Ez azt fejezi ki, hogy egyenletes eloszlás szerint választom a ω Ω pontot az Ω halmazból. Példák Két kocka. Feldobjuk, mi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 7? Megoldás: Ω = (1, 1),..(6, 6) - 36 lehetőség, és A = (1, 6), (2, 5), (6, 1)... P () = 6 36 = 1 6 Céltáblára lövök. P (a tábla felső felét találom el) = P (A) =? P (6 pontos lövésem lesz) = P (B) =? 5
A táblát mindig eltalálom, és nincs kitüntetett része a táblának. P (A) = t( ) t( ) = 1 2 P (B) = t( ) t( ) = 32 π 2 2 π 5 2 = 1 π 5 Példa volt még: Karola és Lőrinc randevúznak. mi a val.e hogy találkoznak, mennyit kell várnia valamelyiküknek..., Buffon tű problémája. 6