(III) Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata (Ablakhoz közeli mérőhely) Mérést végezte: Szalontai Gábor Mérőtárs neve: Nagy Dániel Mérés időpontja: 2012.11.22. Bevezető A hétköznapi és kézzelfogható dolgok, például épületek, hidak, vagy egyéb más makroszkópikus tárgyak tervezésében és építésében kulcsofontosságú a felhasznált anyagok rugalmas tulajdonságainak ismerete. Az anyag makroszkópikus tulajdonságait fenomenologikus úton jellemezzük. Komplex az adott rendszerre jellemző jelenségeket és folyamatokat, csupán a nekünk szükséges részletességgel írjuk le, sok paraméter hatását csupán néhányba sűrítjük. Az anyag egyszerű rugalmasságtani jellemzői között van például a Young modulusz (E), amely az anyag (test) deformációjának mértékét adja meg, a benne ébredő feszültség függvényében. Általános esetben ezek a mennyiségek tenzorok, de egyszerű körülmények között csupán konstansok. Ahhoz, hogy ezt egy anyagra meghatározhassunk, szükség van valamilyen módszerre, ami feszültséget kelt benne, és ennek hatására deformációt. A módszer megválasztása tetszőleges, azonban előnyös olyat választani, ami kellő precízségű mérést tesz lehetővé. A fizikában gyakran elterjedt mérési módszer a rezonancia jelenségének kihasználása, a számunkra fontos információk megismeréséhez. Mérésünk céljai a következők voltak: Mérési eszközök: 1. Fémhasáb sajátrezgéseinek vizsgálata. 2. Fém hasáb tulajdonságainak vizsgálata rezonancia segítségével. -Két a méréshez használt minta (Ezek jelei: "14" illetve "B" ) -A gerjesztő rezgést előállító váltakozó mágneses mezőt keltő elektromágnes -Az azt hajtó frekvencia generátor -Oszcilloszkóp (segít megtalálni a rezonanciafrekvenciát, és segít leolvasni a minta rezgésének a gerjesztő függvényhez képesti fázisát) -Precíz a gerjesztő frekvencia leolvasását lehetővé tevő műszer -Detektor kristály, amit a mintára kell helyezni, és a rezgés amplitúdójával arányosan feszültséget generál -Ezt a feszültséget mérő voltmérő Mindezek sematikus elrendezése látható a 0.1 ábrán. 0.1 ábra
1. A "B" minta sajátrezgéseinek vizsgálata Elmélet A fém hasáb, mint merev test mozgásegyenletét felírva, és megoldva az látható, hogy a húrhoz hasonlóan felléphet benne a rezonancia jelensége. Vannak bizonyos sajátmódusok, sajátfrekvenciák, amelyeknél kellő idő elteltével a rezgés amplitúdója kimagaslóan nagy lesz, a többi gerjesztő frekvencián mérhető amplitúdókhoz képest. Megjegyzés: Ideális esetben végtelen idő után a végtelen nagy amplitúdót is elérhetnénk, de ezt a fizikai valóság nem engedi meg. A rezonancia segítségével a rúdba pumpált energia egy része folyamatosan a környezetnek adódik át, a rúd csillapított rezgést végez. Egy húr sajátrezgéseinek frekvencia arányai (sajátmódusai) egész számokkal jellemezhetőek. Ezzel ellenben a hasábnál két frekvencia hányadosa irracionális szám lesz. Mérésünk során az elmélet által jósolt sajátfrekvencia arányokat hasonlítottuk össze az elméletileg előrejelzettekkel. A pontos arányt az 1.1 képlet adja meg. ( ν 2 0 i ν 00) =( k 2 0i k 0 0) (1.1 képlet) A mérés menete/eredmények Befogtuk a mintát a mérési elrendezésbe, és kellően szorosra csavartuk az azt tartó satut, hogy az elméleti leírásban használt határfeltételek megfelelően teljesüljenek. Ezután kellően közel a mint széléhez igazítottuk a mágnest ami a gerjesztést végzi. Óvatosan ráhelyeztük az amplitúdót mérő tűt, aminek segítségével megtudjuk állapítani mikor vagyunk rezonancián (a voltmérőről leolvasva) 200 Hz től elkezdtük tekerni a frekvenciagenerátort felfelé, mindaddig, míg kimagaslóan nagy amplitúdó értéket nem kaptunk. (Ennek megállapításában az oszcilloszkóp és a voltmérő együttese segített) Ezután finomhangolóval megkerestük a tényleges rezonanciafrekvenciát, majd ellenőriztük, hogy az alapmóduson vagyunk-e. Ezt úgy tettük, hogy a gerjesztő mágnest a minta teljes hosszán végig toltuk, és figyeltük, találunk-e olyan pozíciót, ahol az amplitúdó nullára csökken. Ha találtunk volna, az azt jelentette volna, hogy ott a sajátrezgést leíró függvénynek csomópontja van, és ott a minta nem gerjeszthető. Csomópontok az alapmódus kivételével minden sajátmódusnál jelentkeznek. Mi nem találtunk csomópontot, így feljegyeztük ezt az alapmódus értékének. Ugyanezzel az eljárással a többi frekvencia értéket is lejegyeztük, összesen négyszer kettő adatot. (Az elrendezésből következik, hogy egy sajátmódust két frekvencián is gerjeszthetünk) A mérési adatainkat az 1.1 táblázat tartalmazza. V 0i (Hz) i (V 0i /V 00 ) 2 (k i /k 0 ) 2 eltérés 128 0 0,5 0,5 0,15% 255,63 0 1 1 0,00% 809,24 1 3,17 3,13 1,03% 1616,82 1 6,32 6,27 0,92% 2259,3 2 8,84 8,77 0,73% 4516 2 17,67 17,55 0,68% 4406 3 17,24 17,19 0,25% 8821 3 34,51 34,39 0,35% 1.1 táblázat A táblázat tartalmazza a mért frekvencia értékeket, az ezek arányát az alapmódushoz képest, az elméletileg számolt arányt (1.1 képlet), valamint a két érték eltérését.
2.1 A "B" minta vizsgálata (Young modulus és rezonancia görbe) Elmélet Az első olyan frekvenciát, ahol rezonancia fellép alapmódusnak hívjuk A mérés során ezen gerjesztettük rudat. "Kis" számolással belátható, hogy a rúd anyagi paramétereitől a az alapmódus frekvenciája az 1.1 képlet szerint függ. A képlet tartalmazza a Young moduluszt (E), a minta hosszát (l ), keresztmetszetét (q), sűrűségét (ρ), A hajlítási nyomatékot (I) valamint az 1.1 képletből származó "k"- számot. ω i0 = k 2 i0 EI l 2 (2.1 képlet) ρq A Young moduluszt ebből kifejezhetjük, ahogy az 1.2 képletben tettük. E= ρq( ω i0 l 2 I k i 2 )2 (2.2 képlet) A hajlítási nyomaték a következő 2.3 képlet szerint határozható meg (A megfelelő keresztmetszre): I = 1 12 d h3 (2.3 képlet) A d és h jelentése a 2.1 ábrán látható. A 2.1 képlet által használt összes mennyiség közvetlen úton megmérthető, így a Young modulusz meghatározható. Mérési feladat volt továbbá az alapmódus körüli rezonanciagörbe felvétele. Ennek, célja, hogy alakjából megtudjuk határozni a környezetre jellemző csillapítást (κ). Belátható, hogy a rezonanciagörbe félértékszélességéből ( Δ ν ) a (κ) paraméter a 2.4 képlet szerint kiszámolható. κ=δ ν π (2.4 képlet) A mérés menete/eredmények Elsőként lemértük a minta geometriai adatait, (ezek d, h, L a 2.1 ábrának megfelelően). A d és h mérését több pontban elvégeztük, csavarmikorméterrel, és az adatokat a 2.1 táblázatba foglaltuk. A mérési értékek átlagát vettük a megfelelő d illetve h értékeknek. Hibájukat pedig a szórásuk adja a 2.5 képlet szerint. Az L értéket egyszer mértük le, ennek hibája a tolómérő leolvasási hibája. Δ = 6 Δ( i ) 2 (2.5 képlet) i=1 30 i h i (mm) d i (mm) (Δd i ) 2 (Δh i ) 2 1 2,02 15,3 5,63E-3 4,97E-3 2 2,01 15,55 1,06E-1 6,01E-3 3 2,03 15,05 3,06E-2 3,66E-3 4 1,97 15,1 1,56E-2 1,45E-2 5 2,3 15,3 5,63E-3 4,60E-2 6 2,2 15,05 3,06E-2 1,31E-2 2.1 táblázat
A kapott geometriai adatok: Ezekből a felület: d =0,01523±0,00008 m h=0,00209±0,00005 m L=0,07950±0,00005 m q=l d =0,001210±0,000007 m 2 Lemértük továbbá a minta tömegét is (m) a mérőhelyen található precíz mérleggel, valamint kiszámoltuk a térfogatát is a (ρ) sűrűség meghatározásához. A térfogat hibáját a 2.6 képlet szerint számoltuk. (A sűrűségét ugyanilyen relatív hibákra vonatkozó képlettel) ΔV =V ( Δ d Δ d + Δh Δh + Δ L Δ L) m=0,0146487±0,0000001 kg V =d h L=(2,524±0,08) 10 6 m 3 ρ= m V =5800±185 kg m 3 A geometriai adatokból kiszámítható a hajlítási nyomaték a 2.3 képlet alapján: I =(1,15±0,1) 10 11 m 4 (2.6 képlet) Ezzel megvan minden adatunk a Young modolusz kiszámításához. A hibát a következő 2.7 képlettel számoltuk: Δ E=E( Δρ ρ + Δ q q + Δ ω 00 +2 Δl + Δ I (2.7 képlet) ω 00 l I ) A Young modulusz tehát a 2.2 képletbe való behelyettesítés után (Az alapmódus frekveniáját az 1.1 táblázatból vettem, és megszoroztam 2π-vel, hogy átszámítsam körfrekvenciába): E=(5,0879±0,6) 10 12 A csillapítási tényező kiszámolása következett. Befogtuk a mintát a rezgető szerkezetbe, majd megkerestük az alapmódust, az előző fejezetben említett eljárásnak megfelelően. A rezonancia frekvencia alá állítottuk a finomhangolóval a frekvencia generátort,majd lejegyeztük az itt mérhető feszültség értéket. Ezután tekertük felfelé, amíg túl nem mentünk a rezonanciafrekvencián. Az összetartozó adatokat a 2.2 táblázatba foglaltuk, majd ábrázoltuk (2.2 ábra)
f (Hz) U (mv) 260,49 8 259,22 12 258,85 14,5 258,33 18 257,75 22,3 257,26 27 256,84 31 256,46 35 255,98 39 255,51 42 255 43,5 254,39 41 254,11 38 2.2 táblázat Az adatpárokra elméleti görbét illesztettem (2.2 ábra), és leolvastam róla a félértékszélességet. Ebből kiszámoltam a csillapítást a 2.4 képlet szerint. A maximális amplitúdó kiderül az adatokból, hogy 43,5 mv. Ennek a gyök ketted része 30,76 mv. Ha itt vízsintes vonalat húzunk, leolvassuk a metszéspontok helyeit, majd ha ezek különbségét vesszük akkor kapjuk a félértékszélességet. Ez az eljárás látható a 2.3 ábrán. 2.2 ábra 2.3 ábra
A kapott félértékszélesség: Ebből a csillapítási tényező a 2.4 képlet szerint: Δ ν=3,5 Hz κ=11,618 Hz 2.2 A "14" minta Young moduluszának meghatározása az alapharmonikus rezonanciafrekvenciájának mintahossztól való függéséből Elmélet A 2.1 képlet alapján azt láthatjuk, hogy a rezonanciafrekvencia a rezgő mintahossz négyzetének reciprokával arányos. A young modulus úgy is meghatározható, ha megmérjük az alapmódus frekvenciáját különböző mintahosszaknál, majd a mérési pontokra egyenest illesztünk. Ennek meredkségét figyelembe véve és a 2.1 képletet átrendezve a nekünk szükséges összefüggés a következővé alakul (2.8 képlet): E= 4 π2 k 1 4 ρ q I m 2 (2.8 képlet) A mérés menete/eredmények Elsőként lemértük a minta geometriai adatait, (ezek d, h, L a 2.1 ábrának megfelelően). A d és h mérését több pontban elvégeztük, csavarmikorméterrel, és az adatokat a 2.3 táblázatba foglaltuk. A mérési értékek átlagát vettük a megfelelő d illetve h értékeknek. Hibájukat pedig a szórásuk adja a 2.5 képlet szerint. Az L értéket egyszer mértük le, ennek hibája a tolómérő leolvasási hibája. A geometriai adatok: i h i (mm) d i (mm) (Δd i ) 2 (Δh i ) 2 1 2,02 15,3 5,63E-3 4,97E-3 2 2,01 15,55 1,06E-1 6,01E-3 3 2,03 15,05 3,06E-2 3,66E-3 4 1,97 15,1 1,56E-2 1,45E-2 5 2,3 15,3 5,63E-3 4,60E-2 6 2,2 15,05 3,06E-2 1,31E-2 2.3 táblázat d =0,0151±0,0002 m h=0,0033±0,0001 m L=0,1000±0,0001 m Ezekből a felület: q=l d=0,00151±0,00002 m 2 Lemértük továbbá a minta tömegét is (m) a mérőhelyen található precíz mérleggel, valamint kiszámoltuk a térfogatát is a (ρ) sűrűség meghatározásához. A térfogat hibáját a 2.6 képlet szerint számoltuk. (A sűrűségét ugyanilyen relatív hibákra vonatkozó képlettel) ΔV =V ( Δ d Δ d + Δh Δh + Δ L Δ L) m=0,0400960±0,0000001 kg V =d h L=(4,90±0,2) 10 6 m 3 ρ= m V =8200±350 kg m 3 A geometriai adatokból kiszámítható a hajlítási nyomaték a 2.3 képlet alapján: I =(4,3±0,5) 10 11 m 4 (2.6 képlet)
Miután ezek megvoltak, a mintát befogtuk a rezgető szerkezetbe, majd megkerestük az alapmódus frekvenciáját, az első mintahossznák. Ugyanígy jártunk el egészen addig amíg a 3 cm-es mintahosszig el nem értünk. A mért adatpárokat a 2.4 táblázatba foglaltuk. i (8/i) 2 f (Hz) 0 8 1 259,14 7 1,31 320,21 6 1,78 444,83 5 2,56 643,31 4 4 1032,13 3 7,11 1196,09 2.4 táblázat Az adatpárokra lineráis függvényt illesztettem, (Az i=3 hoz tartozó mérési pontnak túl nagy a hibája, így azt nem vettem figyelembe az illesztésnél) ez látható a 2.4 ábrán. A rezonancia frekvencia mintahossz függése 1200 1000 800 600 400 200 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 Az illesztett függvény egyenlete: ν( 1 l 2) =μ 1 2.4 ábra 1 l +b =259,77 Hz 1 2 1 m2 13,07 Hz 2 l A meredekség hibája (téglalapmódszerrel számítva): Δμ=7 Hz m 2 Ezzel minden adatunk megvan a young modulusz kiszámításához. A hibát 2.8 képletben szereplő mennyiségeknek megfelelően a relatív hibákból számoltam a 2.7 képlet analógiájára. Tehát a Young modulusz a behelyettesítés után: E=(1,58±0,4) 10 15