Kvantum rendszerek allapotrekonstrukcioja

Kvantum rendszerek allapotrekonstrukcioja tudomanyos diakkori dolgozat Szanto Andras matematikus hallgato BME Analzis tanszek Temavezet}ok: Hangos Katalin es Petz Denes Kivonat Egy osszetett kvantum rendszer allapota rekonstrualhato az egyik reszrendszeren vegzett meresekb}ol, ha a ket reszrendszer kozott kolcsonhatasokat kapcsolunk be. A dolgozatban ket kvantum bit}ol allo osszetett rendszert vizsgalunk, es celunk annak megallaptasa, hogy minimalisan hany kolcsonhatasra van szukseg a hatekony es teljes rekonstrukciohoz. A kerdes arra a matematikai problemara vezethet}o vissza, hogy az eredeti rendszerhez tartozo matrixalgebra hogyan bonthato fel olyan reszalgebrakra, melyek szinten matrixalgebrak. A problema a komplementaris meresek fogalmanak reszalgebrakra valo kiterjesztesehez is elvezet. A dolgozatban reszletesen targyaljuk a ket kvantum bit}ol allo rendszert lero 4x4-es matrixalgebra esetet. Megmutatjuk, hogy legalabb hat reszalgebra szukseges a teljes 4x4-es matrixalgebra linearis kifesztesehez, ha a reszalgebrakat elemi tenzorokkal lehet generalni. Mind a hat reszalgebra nem lehet (paronkent) komplementaris, de negy paronkent komplementaris reszalgebra konnyen konstrualhato. A linearis kifeszteshez egy otodik reszalgebrat veletlen uniterrel is generalhatunk. Erdekessegkeppen azt is megmutajuk, hogy az otodik reszalgebra Hadamard-matrixokkal is kifeszthet}o. Petz es Kahn bizonytottak, hogy ot paronkent komplememtaris reszalgebra nem letezik. Erre az eredmenyre uj bizonytast adunk, es azt is megmutatjuk, hogy ha a negy komplementaris reszalgebrat elemi tenzorok generaljak, akkor az ortogonalis komplementumuk kommutatv algebra. SZTAKI Rendszer- es Iranytaselmeleti Kutato Laboratorium BME Analzis tanszek

Tartalomjegyzek. Bevezetes 3. Alapfogalmak 3.. Veges kvantummechanikai rendszerekr}ol................. 3.. Kvantum bit es allapotanak reprezentacioja............... 4 3. Ket kvantum bit allapotanak rekonstrukcioja 5 3.. Absztrakt Pauli-matrixok......................... 6 3.. Elemi tenzorok esete............................ 6 3.3. Rekonstrukcio elemi tenzorokkal...................... 8 3.4. Minimalis rekonstrukcio.......................... 8 3.5. Minimalis rekonstrukcio veletlen uniter transzformaciokkal....... 8 4. Komplementaritas 9 4.. Hasznos uniterek.............................. 9 4... Konstrukcio............................. 0 4.. Komplementaritas ket kvantum bit eseteben............... 4... Paronkent komplementaris algebrak ortokomplementuma.... 3 5. Osszefoglalas 4 5.. Tovabbi kutatasi iranyok.......................... 4

. Bevezetes A kvantum rendszerek lerasanak, allapot reprezentaciojanak es iranytasanak matematikai problemai napjaink meltan nepszer}u, elmeletileg erdekes es gyakorlati szempontbol is fontos kutatasi teruletei. A kvantum rendszerek kezelesenek matematikai problemait az informacioatvitel ujfajta modjai es a kvantumszamtogep elmeleti megjelenese is motivalja [3, ]. Az iranytashoz is szorosan kapcsolodo problemakor a kvantumrendszerek allapotbecslese, masszoval a kvantumtomograa []. Amennyiben a rendszer egeszere vonatkozo mereseket vegzunk, akkor egy erdekes, es az irodalomban alaposan vizsgalt kerdes az, hogy hany es milyen obszervabilis kell ahhoz, hogy az allapotot hatekonyan rekonstrualni tudjuk. Konny}u latni, hogy egy N szint}u rendszer allapotrekonstrukciojahoz legalabb N =(N ) = N + obszervabilisra van szukseg. Termeszetesen az obszervabiliseket tobbszor is meg kell merni, a rendszer azonos modon preparalt peldanyain, mivel a meres kimenetele sztochasztikus. A dolgozatban vizsgalt problemak olyan kvantumtomograai kerdesek vizsgalatakor vet}odtek fel, amikor egy tobb kvanrum bitb}ol allo rendszernek csak az egyik bitjen vegzett meresekb}ol probalunk kovetkeztetni a rendszer allapotara. Ez volt a szerz}o hallgatoi temalaborja, amely aztan a [9] publikaciohoz vezetett. A hatekony allapotbecsleshez kapcsolodik a meresek komplementaritasanak fogalma, amely szeles irodalommal rendelkezik [4]. Amennyiben a reszleges informaciot a kvantum rendszerr}ol nem meressel, hanem egy reszrendszer ismeretevel kapjuk, akkor mas, de hasonlonak mondhato komplementaritasi fogalom jelenik meg.. Alapfogalmak Az alabbiakban osszefoglaljuk azokat a kvantummechanikai alapismereteket, melyek szuksegesek a dolgozat megertesehez. A reszletes targyalas standard, matematikai szemlelet}u kvantummechanikai tankonyvekben megtalalhato, lasd peldaul [7, 8]... Veges kvantummechanikai rendszerekr}ol Minden veges kvantummechanikai rendszerhez tartozik egy Hilbert-ter. A rendszer allapotait a Hilbert-teren ertelmezett statisztikus operatoroknak, azaz nyomu, pozitv operatoroknak feleltethetjuk meg. Veges dimenzios esetben, azaz veges rendszerek eseteben a statisztikus operatorokat s}ur}usegi matrixoknak is nevezik. Egy allapotot tisztanak nevezunk, ha felrhato D = jxihxj alakban, ahol x egy egysegvektor. Minden rangu matrix felrhato ilyen alakban. A nem tiszta allapotokat keverteknek nevezzuk. A kevert allapotok mer}olegesseget a Hilbert-Schmidt bels}o szor- 3

zattal ertelmezzuk: ha; Bi = Tr(A B): Egy rendszert N-szint}unek nevezunk, ha a hozza tartozo Hilbert-ter C N. Egy osszetett rendszerhez tartozo Hilbert-ter az alrendszerekhez tartozo terek tenzorszorzata. A merest egy obszervabilis, azaz egy onadjungalt operator segtsegevel ertelmezhetjuk. A meres eredmenye az obszervabilis sajatertekeinek egyike, es a meres utan a rendszer tiszta allapotba kerul. Ha A = P i ie i egy obszervabilis spektralis felbontasa, akkor a i sajatertek valoszn}usege TrDE i, ahol D az allapot s}ur}usege a meres el}ott, a meres varhato erteke pedig TrAD, melyre az hai D jelolest is hasznaljak. Egy H : : : H n szorzatteren az A i = i z } { I : : : I A I : : : I obszervabilist felfoghatjuk egy, az i-edik komponensre koncentralt meresnek. Ennek segtsegevel bevezethetjuk a redukalt s}ur}usegeket : D i az i-edik redukaltja D-nek, ha TrDA i = TrD i A. A redukalt s}ur}useg a marginalis eloszlas analogiaja, es ahhoz hasonloan egy konkret felbontashoz tartozo redukalt s}ur}usegek egyuttesen sem adnak teljes informaciot az allapotrol. A redukalt s}ur}usegek kiszamolasahoz hasznos m}uvelet a parcialis nyom. Ha egy H : : : H n szorzatteren hato onadjungalt operatorok kozott rogztunk egy fb i : : : Bn in g i ;:::;i n bazist, akkor a Tr k (B i : : : B in n ) = Tr(B i k k ) B i : : : B i k k Bi k+ : : : k+ Bin n kiterjed egy linearis lekepezesse, es D i = Tr : : : Tr i Tr i+ : : : Tr n D.. Kvantum bit es allapotanak reprezentacioja Az egyik legegyszer}ubb kvantummechanikai rendszer a kvantum bit (roviden qubit, vagy masneven feles spin). A hozza tartozo Hilbert-ter C. A C teren hato onadjungalt matrixok tereben ortogonalis bazist alkotnak az I = 0 identitas es a Pauli-matrixok. = 0 0 ; = 0 i i 0 ; 3 = 0 0 : 4

A Pauli-matrixok onadjungaltak, nulla nyomuak, es teljesul rajuk a kovetkez}o oszszefugges: ahol ijk a Levi-Civita tenzor: i i :::i n = 8 < : i j = ij I + i 3X k= ijk k ; 0 ha 9j; k, hogy i j = i k, ha (i i : : : i n ) paros permutacio, ha (i i : : : i n ) paratlan permutacio. Egy feles spin allapota felrhato 3X (I + x i i ) i= alakban, ahol x i R. Ekkor a pozitivitas kriteriuma ekvivalens P P 3 a i= x i 3 egyenl}otlenseggel, es tiszta allapotot kapunk pontosan akkor, ha i= x i =. Igy az allapotok egy-egyertelm}uen megfeleltethet}oek az R 3 -beli egyseggomb pontjainak, es ez a megfeleltetes linearis. Ezt a reprezentaciot nevezzuk Bloch-gombnek. A Bloch-gombbel torten}o abrazolas nagy el}onye, hogy konnyen kepszer}usthet}o. Ennek a reprezentacionak egy altalanostasahoz, az altalanostott Bloch-vektorhoz jutunk, ha egy N-szint}u rendszer eseten rogztunk egy f i g N i= bazist a C N nulla nyomu onadjungalt operatorai kozott, es a D = N I + N X i= i i ; i R allapotnak a = f i g N i= R N vektort feleltetjuk meg. A Bloch-vektorok tere N 3 esetben nem olyan egyszer}u, mint a Bloch-gomb, de mindig resze az N-dimenzios egyseggombnek, es tetsz}oleges N-re a valasztott bazis bizonyos strukturalis konstansaitol fugg}o egyenl}otlensegek formajaban pontosan megadhato [6]. 3. Ket kvantum bit allapotanak rekonstrukcioja Legyen a ket kvantum bitb}ol allo rendszerunk s}ur}usege D 0. Ekkor az M (C) M (C) szorzatteren kepezhetjuk a D 0 = Tr D redukalt s}ur}useget. A rendszeren bekapcsolt kolcsonhatas egy uniter transzformacionak felel meg: D i = U i D 0 U i valamely U i uniter transzformacioval, es az ehhez tartozo redukalt D i = Tr D i. Igy redukaltak egy fdg i k i= sorozatahoz jutunk. A kerdes az, hogy mekkora legyen k minimalisan, hogy az eredeti s}ur}useget mar meg tudjuk hatarozni. Megmutatjuk, hogy ez a minimum 5. 5

A s}ur}useg helyett az algebrat is transzformalhatjuk, azaz M 4 (C) algebranak olyan A i reszalgebrait keressuk, melyek izomorfak az M (C) algebraval, es kifesztik a teljes M 4 (C) algebrat. Mivel dim M 4 (C) CI = 5, es dim M (C) CI = 3, ezert legalabb 5 reszalgebrara mindenkepp szukseg van. Azt kell tehat megmutatni, hogy ennyi eleg is. 3.. Absztrakt Pauli-matrixok Egy S = fs i g 3 i= M 4 (C) harmast absztrakt Pauli-matrix harmasnak, vagy egyszeruen csak Pauli-harmasnak nevezunk, ha nulla nyomuak, onadjungaltak, es teljesul rajuk a Pauli-matrixok szorzasszabalya, azaz S i S j = ij I + i 3X k= ijk S k Egyszer}u szamolasbol kovetkezik, hogy ez ekvivalens a egyenletekkel. S = I; S = I S S + S S = 0 S 3 = is S Az S i M 4 (C) absztrakt Pauli-matrixok eseten a i 7! S i megfeleltetes kiterjed az M (C) algebranak az M 4 (C) algebraba valo beagyazasava. 3.. Elemi tenzorok esete Elemi tenzornak nevezzuk a k() : : : k(n) alaku szorzatokat. A kovetkez}o tetel mutatja, hogy ket feles spin eseteben elemi tenzorokbol nem letezik minimalis rekonstrukcio.. Tetel. Tegyuk fel, hogy a ket feles spinhez tartozo rendszer minden redukaltjat elemi tenzorokbol allo absztrakt Pauli-matrix harmasokkal adunk meg. Ekkor legalabb 6 redukalt szukseges a rekonsrukciohoz. Bizonytas. Legyen egy ilyen redukalt a ft ; T ; T 3 g Pauli harmas. Ha T = i j es T = k l ; i; j; k; l f; ; 3g, akkor a T i -kre vonatkozo szorzasi szabalyok alapjan i T 3 = T T = ( i k ) ( j l ) 6

es az i -kre vonatkozok alapjan X X X i T 3 = ( ikm jln m n )+i( ik ( jln 0 n )+ jl ( ikm m 0 ))+ ik jl 0 0 m;n n amib}ol (mivel T 3 onadjungalt, de i i j nem az) latszik, hogy i = k es j = l kozul pontosan az egyiknek kell fennallnia, es minden ilyen redukaltban legalabb az egyik tagnak 0 j vagy j 0 alakunak kell lennie. Viszont nyilvan az sem lehet, hogy pontosan ket ilyen tag van, mert m ( i 0 )( j 0 ) = i k 0 is ilyen alaku, azaz harom ilyen tagot kapunk, illetve ( i 0 ) es ( 0 j ) kommutalnak, gy nem alkothatnak Pauli-matrix harmast. Ekkor viszont a skatulya elvb}ol es abbol, hogy osszesen harom-harom 0 j es j 0 alaku elemi tenzor van, kovetkezik, hogy ha a redukaltak elemei kifesztik a teret, akkor legalabb hat ilyen redukaltra van szukseg. A tetel egy altalanostasat Sz}oll}osi Ferenc mutatta meg [9] az alabbi tetel formajaban:. Tetel. Ha az n feles spinb}ol allo rendszer minden redukaltjat elemi tenzorokbol allo absztrakt Pauli-matrix harmasokkal adunk meg, akkor tobb, mint n redukaltra van 3 szukseg. Bizonytas. Vilagos, hogy egy elemi tenzor matrix minden eleme tisztan valos vagy tisztan kepzetes, mert az egyetlen Pauli-matrixnak, amelynek kepzetes elemei is vannak, minden eleme tisztan kepzetes. Ebb}ol kovetkezik, hogy egy ft ; T ; T 3 g Pauli harmasnak vagy egy vagy harom tisztan kepzetes tagja van. Legyen egy rekonstrukcioban az el}obbiek szama N, az utobbiake M. Ekkor, mivel a tisztan kepzetes onadjungalt matrixok altere n n dimenzios, ezert N + 3M = n n ami nem allhat egyszerre fent a minimalitasbol kovetkez}o egyenl}oseggel. N + M = n 3 7

3.3. Rekonstrukcio elemi tenzorokkal A. tetel szerint ot elemi tenzorokkal generalt reszalgebrakkal nem letezik rekonstrukcio, hattal viszont mar igen. Az alabbi hatos egy lehetseges megoldast mutat. f ; ; I 3 g f ; 3 ; I g f 3 3 ; 3 ; I g f ; 3 ; Ig f 3 3 ; 3 ; Ig f ; ; 3 Ig Ez a rekonstrukcio nem minimalis, de jol attekinthet}o a strukturaja, tovabba nem egyertelm}u, peldaul a Pauli-matrixok indexeit testsz}olegesen permutalva egy masik kaphato. () 3.4. Minimalis rekonstrukcio A kovetkez}o negy Pauli-harmast 0 nyomu elemi tenzorok alkotjak: fi ; ; 3 g fi ; 3 ; g f I; ; 3 g f I; 3 ; g Ha talalunk hozza egy olyan otodik Pauli-harmast, hogy az azt alkoto matrixok f}oatloja fuggetlen, akkor egy teljes, es minimalis rekonstrukciot kapunk. Erre egy peldat Sz}oll}osi Ferenc talalt szamogepes keresessel [9]: 0 B @ C A ; 0 B @ i i i i i i i i C A ; 0 B @ i i i i i i i i Az otodik reszalgebrat a fenti Hadamard-matrixok [3] fesztik ki linearisan. C A : Egy masik megkozeltesben az otodik reszalgebrat veletlen uniter generalasaval is kereshetjuk []. 3.5. Minimalis rekonstrukcio veletlen uniter transzformaciokkal Konnyen lathato, hogy azok a W ; W ; : : : ; W 5 uniter transzformaciok, amelyekre az W i (I M (C))W i reszalgebrak nem feszitik ki linearisan a 4 4-es matrixok algebrajat egy alacsonyabb dimenzios reszhalmazat alkotjak az U() Lie-csoport otodik hatvanyanak. Ezert ez a halmaz a Haar-mertekre nezve 0 mertek}u kell, hogy legyen. 8

Ha tehat a W i unitereket a Haar-mertek szerint veletlenul valasztjuk, akkor a fw i (I j )W i g 3 j= Pauli-harmasok valoszn}useggel linearisan fuggetlenek lesznek, es gy az identitassal egyutt linearisan kifesztik az egesz M 4 (C) algebrat [9, ]. Ez a modszer tetsz}oleges szamu feles spin eseteben alkalmazhato. 4. Komplementaritas A komplementaris, vagy kolcsonosen torztatlan bazisok fontos szerepet jatszanak a peldaul kvantumtomograaban [4] es a kvantummechanika mas teruletein [5]. A kolcsonosen torztatlan meresek paronkent komplementaris, maximalis kommutatv algebraknak felelnek meg [5]. A kovetkez}o tetel ennek egy analogiaja: 3. Tetel. [9] Legyenek az A es az A reszalgebrai az M n (C) algebranak, es legyenek izomorfak az M k (C) algebraval. Ekkor az A CI es az A CI alterek pontosan akkor ortogonalisak, ha minden P A es P A minimalis projekciora TrP P = n k. A hasonlosag indokolja a kovetkez}o elnevezest: azt mondjuk, hogy a fenti tetelben szerepl}o A es az A reszalgebrak komplementarisak, ha az A CI es az A CI alterek ortogonalisak. A komplementaris meresek hatekonyabb allapotrekonstrukciot tesznek lehet}ove [4], ez az oka annak, hogy komplementaris reszalgebrakat igyekszunk talalni. 4.. Hasznos uniterek Felmerul a kerdes, hogy mikor lesz ket reszalgebra komplementaris. Valojaban eleg a CI M n (C) algebraval valo komplementaritast vizsgalni, hiszen tetsz}oleges U; W M n (C)M n (C) uniter transzformaciok eseten ha a CI M n (C) es W (CI M n (C))W algebrak komplementarisak, akkor nyilvan az algebrak is azok. U(CI M n (C))U es UW (CI M n (C))W U P 4. Tetel. [0] Legyen W = = E ij ij U ij uniter matrix, ahol E ij ; U ij M n (C), es (E ij ) kl = ik jl. A W (CI M n (C))W algebra pontosan akkor komplementaris a CI M n (C) algebraval, ha fw ij g ortonormalt bazist alkot a M n (C) matrixok kozott. A tetelbeli W uniter matrixokat hasznos unitereknek nevezunk. 9

Hasznos uniterre egy jo pelda a I 3 p i blokkmatrix alakban rt transzformacio. A tetel szerint k paronkent komplementaris reszalgebra letezese ekvivalens hasznos uniterek olyan W 0 = I; W ; W ; : : : ; W k csaladjanak letezesevel, hogy W i W j is hasznos uniter. 4... Konstrukcio Hasznos uniterek konstrukciojara jol hasznalhato az alabbi modszer. i egy bazis, q = e n es legyenek X es Y a kovetkez}o uniter transz- jei+ i; ha i f0; ; : : : ; n g Xje i i = je 0 i; ha i = n Legyen fje i ig n i=0 formaciok: Y = X i q i je i ihe i j: Lathato, hogy Y X = qxy, vagy altalanosabban Y j X k = q jk X k Y j teljesul. Legyen S j;k = Y j X k = n X i=0 q ij je i ihe i+k j; ahol az indexbeli osszeadas modulo n ertend}o. Ekkor S j;k S l;m = q kl S j+l;k+m ; es TrS j;k = 0, kiveve, ha j = 0, vagy k = 0, gy a fs j;k : 0 j; k n matrixok paronkent ortogonalisak. Legyen g uniter U ij = c ij S i;j ; ahol (c ij ) uniter. Ha W = X ij = E ij U ij ; akkor (W W ) ik = X j U ij U kj = X j c ij c klx i k = ik I es W uniter matrix. Masreszt TrU ij U ij = jc ij j TrI = njc ij j. Ha ez, akkor W egy hasznos matrix lesz. 0

4.. Komplementaritas ket kvantum bit eseteben Ha W M 4 (C) hasznos uniter, akkor letezik W Cartan felbontasa []: W = (L L )N(L 3 L 4 ); ahol L i M (C); i = ; : : : ; 4 uniter matrixok, es uniter. N = e i P j j j j M 4 (C) Egyszer}u behelyettestesb}ol latszik, hogy a W (CI M n (C))W algebra nem fugg az L 3 ; L 4 matrixoktol, a CI M n (C) algebraval valo komplementaritas pedig az L ; L matrixoktol. ahol Igy feltehetjuk, hogy Li = I. A 4. tetel alapjan kapjuk, hogy N = 3X i=0 c i i i ; c 0 = cos cos cos 3 + i sin sin sin 3 c = cos sin sin 3 + i sin cos cos 3 es c = sin cos sin 3 + i cos sin cos 3 c 3 = sin sin cos 3 + i cos cos sin 3 ; jc i j = 4 ; azaz a (4.) kepletben szerepl}o i parameterek kozul kett}o =4+k= alaku, a harmadik tetsz}oleges [0]. Legyen N a felteteleket kielegt}o uniter matrixok halmaza, es N i = fn N : i tetsz}oleges, a masik kett}o =4 + k= alakug. Lemma. Ha N i N i ; akkorn i (I i )N i = i I Bizonytas. Jeloljuk N elemeit N( ; ; 3 )-al a parameterek fuggvenyekent. parameterek szimmetriajabol adodik, hogy ha egy permutacio, akkor N( () ; () ; (3) ) = 3X c (i) i i = 3X i=0 i=0 c i (i) (i) ; A c i ezert eleg a tetel alltasat egy konkret i-re belatni.

0 B @ Legyen N k;l () = N(=4 + k=; =4 + l=; ) N 3. Ekkor N k;l () az alabbi alaku: cos( (k l))ei 0 0 sin( (k l))iei 0 sin( (k + l))e i cos( (k + l))ie i 0 0 cos( (k + l))ie i sin( (k + l))e i 0 sin( (k l))iei 0 0 cos( (k l))ei Mivel N k;l () = N (k+);l (), illetve N k;l () = N k;(l+) (), ezert elegend}o az fn k;l () : (k; l) f0; g g transzformaciokat vizsgalni, az alabbiak szerint: C A : N 0;0 ()(I )N 0;0() = sin() I + cos() 3 ; N 0;0 ()(I )N 0;0() = sin() I cos() 3 ; N 0;0 ()(I 3 )N 0;0() = 3 I N 0; ()(I )N 0;() = sin() I cos() 3 ; N 0; ()(I )N 0;() = sin() I cos() 3 ; N 0; ()(I 3 )N 0;() = 3 I N ;0 ()(I )N ;0() = sin() I + cos() 3 ; N ;0 ()(I )N ;0() = sin() I + cos() 3 ; N ;0 ()(I 3 )N ;0() = 3 I N ; ()(I )N ;() = sin() I cos() 3 ; N ; ()(I )N ;() = sin() I + cos() 3 ; N ; ()(I 3 )N ;() = 3 I Az egyenl}osegekb}ol lathato, hogy valoban teljesul a lemma alltasa. Lathato az is, hogy az N k;l ()(CI M n (C))N k;l () algebra nem fugg k es l valasztasatol. A. lemma egy fontos kovetkezmenye a kovetkez}o ket tetel: 5. Tetel. Ha A az M 4 (C) algebra reszalgebraja az M (C) algebraval izomorf, es az CI M (C) algebraval komplementaris, akkor A es M (C)CI metszete nem trivialis. Bizonytas. Van olyan W = (L L )N hasznos uniter es i f; ; 3g, hogy N N i, es A = W (CI M n (C))W. Ekkor (L L )N(I i )N (L L ) = L i L I; es L i L 6= ci, hiszen i spektruma f; g.

6. Tetel. Az M 4 (C) algebranak nincs 5 paronkent komplementaris, az M (C) algebraval izomorf reszalgebraja. Bizonytas. Legyenek az fag 4 i= algebrak a tetel felteteleben szerepl}o tulajdonsaguak. Ekkor az A i algebra metszete a (M (C)CI) C(I I) terrel legalabb dimenzios, es mivel dim(m (C) CI) C(I I) = 3, ezert az A i algebrak nem lehetnek paronkent komplementarisak. A 6. tetel els}o bizonytasat Petz Denes es Jonas Kahn adta [0]. 4... Paronkent komplementaris algebrak ortokomplementuma Erdekes kerdes az, hogy a 4 reszalgebra ortogonalis komplementuma (az identitast hozzaadva) algebra strukturaval is rendelkezik-e, es ha igen, milyennel? Azt talaltuk, hogy elemi tenzorok eseteben ez egy kommutatv algebra lesz, es azt sejtuk, hogy ez mindig gy van. 7. Tetel. Ha az A i M 4 (C); i = ; : : : ; 4 elemi tenzorokkal generalt reszalgebrak az M (C) algebraval izomorfak es paronket komplementarisak, akkor az ortogonalis komplementumuk egy kommutatv algebra. Bizonytas. Minden az A i reszalgebrahoz tartozo Pauli-harmas tartalmaz pontosan egy vagy harom k I vagy I k alaku elemet (lasd az.tetel bizonytasaban). Tegyuk fel, hogy az egyik, peldaul A 0 az CI M reszalgebra. Ekkor az 5. tetel miatt minden j I; j = ; ; 3 benne van pontosan az egyik reszalgebrahoz tartozo Pauli-harmasban, legyen ez A j. Tehat az A j reszalgebrat generalo Pauli-harmas f kj nj ; lj nj ; j Ig alaku, ahol rogztett j-re k j ; l j ; j kulonboz}ok, nem nullak, es ugyan ez teljesul az n ; n ; n 3 indexekre is. Tehat a harom kimarado elemi tenzor a f j nj g 3 j=, es ezek az indexek kulonboz}osege miatt egy kommutatv algebrat generalnak. Az A 0 = M CI eset ugyangy bizonythato. Tegyuk fel most azt, hogy nincs a negy reszalgebra kozott CI M. Ekkor, mivel osszesen hat k I vagy I k alaku elemi tenzor van, ezert ezek kozul kett}o olyan van, amelyik nem eleme egyik A i reszalgebranak sem. Belatjuk, hogy az nem lehet, hogy a ket kimarado elemi tenzorban az identitas ugyan abban a tenzorfaktorban van. Tegyuk fel indirekt, hogy az A 0 reszalgebrahoz tartzo Pauli-harmas a f r I; y x ; z x g; x 6= 0, es az A k ; k = ; ; 3 reszalgebrahoz tartzo pedig a fi k ; lk mk ; lk nk g, ahol m k ; n k ; k kulonboz}ok, nem nullak, es ugyanez teljesul az r; y; z indexekre is. Nyilvan ha p 6= q, akkor l p 6= l q, hiszen csak harom lk s ; s 6= 0 alaku elemi tenzor van, es gy lm x = A k 8k pontosan akkor, ha m = x. Ekkor viszont az A 0 reszalgebranak a tobbi reszalgebraval valo komplementaritasahoz az z = l x = y egyenl}osegnek teljesulnie kell, ami viszont ellentmondas, mert z 6= y. 3

Ezek alapjan feltehetjuk, hogy f r I; I s g \ A k = ;; k = 0; ; ; 3, ahol r; s nem nullak. r s nem lehet benne egyik A k reszalgebraban sem, mert ha peldaul az A 0 algebrahoz tartozo Pauli-harmas a f n I; r s ; m s g lenne, ahol n; r; m kulonboz}ok, nem nullak, akkor, mivel abban a ket reszalgebraban, melyek Pauli-harmasaban van I p alaku tag, kell lennie q (p) s alaku tagnak is, mar negy x s ; x 6= 0 alaku elemi tenzort kapnank, ami ellentmond az A k reszalgebrak komplementaritasanak. Ekkor viszont r s = A k, es a f r I; I s ; r s g Pauli-harmas egy kommutatv reszalgebrat general. 5. Osszefoglalas Az allapotrekontstrukciot abban az esetben vizsgaltuk, amikor a meresek csak az egyik biten hajthatok vegre a ket kvantum bitb}ol allo rendszerben. Belattuk, hogy ket kvantum bit eseteben elemi tenzorokbol legalabb hatra van szukseg a rekonstrukciohoz, es megadunk egy Hadamard matrixokat hasznalo rekonstrukciot is. Ezen tulmen}oen mutattunk egy algoritmust veletlenul generalt minimalis rekonstrukcio el}oalltasara [9], ahol az utobbi tetsz}oleges meret}u rendszerre kiterjeszthet}o. Vizsgaltuk a komplementaritast ket kvantum bit eseteben, es uj bizonytast adtunk a komplementaris algebrak maximalis szamarol szolo tetelre [0], valamint megmutattuk, hogy ha a negy komplementaris algebrat elemi tenzorok generaljak, akkor az ortogonalis komplementumuk kommutatv algebra. 5.. Tovabbi kutatasi iranyok A tovabbi kutatasok soran szeretnenk meghatarozni ket qubit eseteben a paronkent komplementaris algebrak ortokomplementumat az altalanos esetben, es megbecsulmi a komplementaris reszalgebrak szamat tobb kvantum bit eseten. Vilagos, hogy az n kvantum bitb}ol allo rendszer n dimenzios, gy legfeljebb n ilyen algebra lehet, 3 de a. Tetel alapjan arra kovetkeztethetunk, hogy a fels}o korlat altalaban nem erhet}o el. Hivatkozasok [] C. W. Helstrom: Quantum Decision and Estimation Theory, Academic Press, New York, 976. [] M. A. Nielsen, I. L. Chuang: Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, 000. 4

[3] M. Ohya, D. Petz: Quantum Entropy and its Use, Springer-Verlag, Berlin, 993. nd ed. 004. [4] A. Klappenecker, M. Rotteler: Constructions of mutually unbiased bases, arxiv:quant-ph/03090, 003. [5] K. R. Parthasarathy: On estimating the state of a nite level quantum system, arxiv:quant-ph/0408069, 004. [6] G. Kimura: The Bloch-vector for N-level systems, Physics Letters A, 34, 5-6, 339-349, 003. [7] D. Petz: Lectures on Quantum Information Theory, kezirat, 005. [8] Petz D.: Linearis Analzis, Akademiai Kiado, Budapest, 00. [9] D. Petz, K. M. Hangos, F. Szoll}osi, A. Szanto: State tomography for two qubits using reduced densities, J. Phys. A: Math. Gen. 39(006) 090-0907. [0] D. Petz, J. Kahn: Complementary reductions for two qubits, arxiv:quantph/06087, 006. [] J. Zhang, J. Vala, K. B. Whaley, S. Sastry: A geometric theory of non-local two-qubit operations, Phys Rev. A, 67, 0433 003. [] Hangos K. M.: Systems and control methods for quantum systems, http://daedalus.scl.sztaki.hu/pcrg/quantum, 006. [3] W. Tadej, K. Zyczkowski: A concise guide to complex Hadamard matrices, arxiv:quant-ph/0554, 005. [4] W. K. Wooters, B. D. Fields: Optimal state determinationby mutually unbiased measurements Ann. Phys., NY, 9 363-8, 989. [5] K. Kraus: Complementarity and uncertainty relations Phys. Rev. D 35 3070-5, 987. 5