Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek a halmaza az eseménytér. Jele:. Deníció. Eseményeknek nevezzük a kísérlet aktuális kimeneteléhez kapcsolódó állításokat. Azt mondjuk, hogy egy esemény bekövetkezik, ha a kísérlet aktuális végrehajtásakor olyan kimenetelt kapunk, melyre ez az állítás igaz. Egy adott kísérlet esetén a hozzá kapcsolódó összes esemény halmazát eseményalgebrának nevezzük. Jele: A. Két nevezetes esemény: Egy eseményt biztos eseménynek nevezük, ha a kísérlet minden lehetséges kimenetele esetén bekövetkezik. Egy eseményt lehetetlen eseménynek nevezük, ha a kísérletnek nincs olyan kimenetele, melyre ez az esemény bekövetkezne. Deníció. Legyen A 1, A 2,... eseményeknek véges vagy végtelen sorozata. Azt mondjuk, hogy ezek az események páronként kizáróak avagy páronként diszjunktak, ha bármely kett t kiválasztva azoknak üres a metszete. A kizáró események közül legfeljebb egy következhet be egyszerre, hiszen nincs olyan kimenetel, melyet két vagy több esemény is tartalmazna. Deníció. Azt mondjuk, hogy a B esemény maga után vonja az A eseményt, ha B A, tehát B minden eleme az A halmaznak is eleme. Ez azt jelenti, hogy ha a B esemény bekövetkezik, akkor az A esemény is feltétlenül bekövetkezik. Deníció. Azt mondjuk, hogy egy P : A [0, 1] függvény valószín ség vagy valószín ségi mérték az eseményalgebrán, ha teljesíti az alábbi két tulajdonságot: A biztos esemény valószín sége P ( = 1. Additivitás: Ha A 1, A 2,... páronként kizáró eseményeknek egy véges vagy végtelen sorozata, akkor az egyesítésük valószín sége P (A 1 A 2 = P (A 1 + P (A 2 + A 1 A 2 A 3 Tehát a valószín ségi mérték egy olyan függvény, mely az eseményekhez 0 és 1 közötti számokat rendel hozzá. Az A eseményhez rendelt P (A értéket úgy nevezzük, hogy az A valószín sége. Deníció. Az (, A, P hármast valószín ségi mez nek hívjuk. A véletlen kísérleteket mindig egy megfelel en konstruált valószín ségi mez vel írjuk le. Az alaphalmaz a kísérlet kimeneteleinek a halmaza (eseménytér, a A eseményalgebra a vizsgált események rendszere, és végül a P függvény mondja meg az egyes események valószín ségét. 1
Tétel. A valószín ség általános tulajdonságai: A lehetetlen esemény valószín sége: P ( = 0. A komplementer esemény valószín sége: P (A = 1 P (A. Kivonási szabály: tetsz leges A és B esemény mellett P (A\B = P (A P (A B. Speciálisan, ha B maga után vonja az A eseményt, akkor P (A\B = P (A P (B. Monotonitás: ha B maga után vonja az A eseményt, akkor P (B P (A. A Komplementer esemény A B Kivonási szabály A B Monotonitás Szubadditivitás: Ha A 1, A 2,... tetsz leges eseményeknek egy véges vagy végtelen sorozata, akkor P (A 1 A 2 P (A 1 + P (A 2 + Két esemény uniójának a valószín sége: tetsz leges A és B esemény mellett P (A B = P (A + P (B P (A B. Három esemény uniójának a valószín sége: tetsz leges A, B és C esemény mellett P (A B C = P (A+P (B+P (C P (A B P (A C P (B C+P (A B C A 1 A 3 A B A 2 A 4 Szubadditivitás A B Két esemény uniója C Három esemény uniója Poincaré-formula avagy szitaformula: tetsz leges A 1,..., A n események mellett P (A 1 A n = n ( 1 k+1 P (A i1 A ik k=1 1 i 1 < <i k n különböz egészek 2
A Poincaré-formula részletesebben: P (A 1 A n = P (A 1 + + P (A n ketteses metszetek valószín sége + hármas metszetek valószín sége négyes metszetek valószín sége. ± P (A 1 A n Diszkrét és geometriai valószín ségi mez k Tétel. Egy n elem halmaz elemeit n! módon lehet sorbaállítani. Ezeket a sorbaállításokat nevezzük a halmaz permutációinak. Ha egy n elem halmazból visszatevéssel kiválasztunk k elemet, akkor a kiválasztás sorrendejét is gyelembe véve n k különböz kiválasztást kaphatunk. Ezeket a kiválasztásokat nevezzük variációknak. Ha egy n elem halmazból visszatevés ( nélkül kiválasztunk k elemet, akkor a kiválasztás n sorrendejét gyelmen kívül hagyva k különböz kiválasztást kaphatunk. Ezeket a kiválasztásokat nevezzük kombinációknak. Deníció. Azt mondjuk, hogy egy (, A, P valószín ségi mez diszkrét valószín ségi mez, ha = {ω 1, ω 2,... }, tehát a kísérlet lehetséges kimenetelei egy véges vagy végtelen sorozatot alkotnak. Deníció. Azt mondjuk, hogy egy (, A, P valószín ségi mez klasszikus valószín ségi mez, ha az eseménytérnek csak véges sok eleme van van, és minden kimenetelnek azonos a valószín sége. Tétel. Klasszikus valószín ségi mez n egy tetsz leges A esemény valószín sége P (A = A = kedvez kimenetelek száma összes kimenetel száma Deníció. Azt mondjuk, hogy egy (, A, P valószín ségi mez geometriai valószín ségi mez, ha rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: Az eseménytér egy olyan geometriai alakzat, melynek a mértéke: 0 < µ( <. Egyenletességi hipotézis: Az események valószín sége egyenesen arányos az események mértékével. Tehát, minden A eseményre P (A = µ(a µ( = kedvez hosszúság/terület/térfogat összes hosszúság/terület/térfogat. 3
Feltételes valószín ség és események függetlensége Deníció. Tegyük fel, hogy P (B > 0. Ekkor az A eseménynek a B eseményre vett feltételes valószín sége P (A B = P (A B/P (B. A feltételes valószín ség megmutatja, hogy mennyi az A esemény valószín sége, ha tudjuk, hogy a B esemény bekövetkezik. Tétel. Legyen B pozitív valószín ség esemény. Ekkor a B eseményre vett feltételes valószín ség valószín ségi mérték. Ebb l következik, hogy a feltételes valószín ségre teljesülnek a valószín ség általános tulajdonságai. Tétel (Láncszabály. Legyen A 1,..., A n olyan esemény, melyre P (A 1 A n > 0. Ekkor P ( A 1 A n = P (A1 P ( A 2 A 1 P ( A3 A 1 A 2 P ( An A 1 A n 1. Tétel (Bayes-formula. Legyen A és B pozitív valószín ségi esemény. Ekkor P (B A = P (A BP (B P (A Deníció. Azt mondjuk, hogy a B 1,..., B n események teljes eseményrendszert alkotnak, ha teljesítik az alábbi tulajdonságokat: páronként kizáróak, tehát tetsz leges i j esetén B i B j = ; együttesen lefedik az eseményteret, tehát B 1 B n = ; mindegyik eseménynek pozitív a valószín sége. Tétel (Teljes valószín ség tétele. Legyen B 1,..., B n teljes eseményrendszer, és tekintsünk egy tetsz leges A eseményt. Ekkor n P (A = P (A B i P (B i = P (A B 1 P (B 1 + + P (A B n P (B n. i=1 Deníció. Legyen A és B két tetsz leges esemény. Azt mondjuk, hogy a két esemény független egymástól, ha P (A B = P (AP (B. Tétel (A függetlenség ekvivalens deníciói. Ha A és B pozitív valószín ség események, akkor az alábbiak ekvivalensek: A és B független egymástól. P (A B = P (A. P (B A = P (B. Deníció. Legyen A 1, A 2,... eseményeknek egy véges vagy végtelen sorozata. Azt mondjuk, hogy ezek az események (teljesen függetlenek, ha közülük tetsz leges sok és különböz A i1,..., A in eseményt kiválasztva P (A i1 A in = P (A i1 P (A in.. 4
Valószín ségi változók Deníció. Egy ξ valószín ségi változó diszkrét, ha az értékkészlete egy véges vagy végtelen sorozat: R ξ = {x 1, x 2,... }. Egy ξ diszkrét valószín ségi változó eloszlása vagy valószín ségeloszlása az értékek valószín ségei: p xk = P (ξ = x k, x k R ξ. Egy diszkrét eloszlás várható értéke: E(ξ = x R ξ xp (ξ = x = x 1 P (ξ = x 1 + x 2 P (ξ = x 2 + Tétel (A valószín ségeloszlások tulajdonságai. Egy p 0, p 1,... sorozatot pontosan akkor egy valószín ségi változó eloszlása, ha teljesül az alábbi két feltétel: a sorozat elemei nemnegatívak, tehát p n 0 minden n esetén; a sorozat elemeinek az összege 1, tehát p 0 + p 1 + = 1. Deníció. Egy ξ valószín ségi változó folytonos eloszlású, ha létezik olyan f ξ : R R függvény, hogy tetsz leges a b valós számok esetén P (a ξ b = b a f ξ (x dx. Ekkor az f ξ függvényt a ξ változó s r ségfüggvényének nevezzük, és a változó várható értéke E(ξ = xf ξ (x dx. Tétel (A s r ségfüggvények tulajdonságai. Egy f : R R függvény pontosan akkor egy ξ folytonos valószín ségi változó s r ségfüggvénye, ha teljesíti az alábbi két feltételt: f(x 0 minden x valós szám esetén; f(xdx = 1, tehát a függvény görbéje alatti teljes terület 1. Deníció. Legyen ξ olyan valószín ségi változó, melynek véges a várható értéke. Ekkor a ξ változó varianciája vagy szórásnégyzete ( [ξ ] Var(ξ = D 2 2 (ξ = E E(ξ A változó szórása a variancia négyzetgyöke: D(ξ = Var(ξ. A szórás azt mutatja meg, hogy mennyi a változónak a várható értékt l való átlagos eltérése. Az E(ξ 2 várható értéket a ξ második momentumának nevezzük. Tétel (A variancia meghatározása. Ha ξ olyan változó, melynek véges a várható értéke, akkor Var(ξ = E(ξ 2 (E(ξ 2. 5
Tétel. Legyen ξ diszkrét vagy folytonos valószín ségi változó, és legyen h : R R egy tetsz leges függvény. Ekkor a h(ξ transzformált változó várható értéke az alábbi módon határozható meg: Ha ξ diszkrét, akkor E ( h(ξ = xp (ξ = x = h(x 1 P (ξ = x 1 + h(x 2 P (ξ = x 2 + x R ξ Például h(x = x 2 esetén E(ξ 2 = x R ξ x 2 P (ξ = x. Ha ξ folytonos, és f ξ a s r ségfüggvénye, akkor E ( h(ξ = h(xf ξ (x dx, Például h(x = x 2 esetén E(ξ 2 = x2 f ξ (xdx. Deníció. Egy ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye egy F ξ : R [0, 1] függvény, mely a következ formulával van deniálva: F ξ (t = P (ξ < t, t R. Tetsz leges t valós szám esetén az F ξ (t érték azt mutatja meg, hogy a ξ változó mekkora valószín séggel esik a a számegyenesen a t-t l balra, tehát a (, t intervallumba. Tétel (Az eloszlásfüggvények általános tulajdonságai. Egy F : R [0, 1] függvény pontosan akkor eloszlásfüggvény, ha teljesülnek az alábbi tulajdonságok: F monoton növekv ; lim t F (t = 0 és lim t F (t = 1; F mindenhol balról folytonos. Tétel. Legyen ξ tetsz leges valószín ségi változó, és legyen F ξ az eloszlásfüggvénye. Tetsz leges a < b + számok esetén P ( a ξ < b = F ξ (b F ξ (a. Tetsz leges a valós szám esetén az F ξ függvény pontosan akkorát ugrik az a pontban, mint amekkora a P (ξ = a valószín ség. A várható érték, a szórás és a kovariancia tulajdonságai Deníció. Legyen ξ és η olyan valószín ségi változó, melynek véges a szórása. Ekkor a két változó kovarianciája: ( [ξ ][ ] Cov(ξ, η = E E(ξ η E(η A két változó korrelációja avagy korrelációs együtthatója: corr(ξ, η = Cov(ξ, η D(ξD(η Ha corr(ξ, η = 0, akkor azt mondjuk, hogy a két változó korrelálatlan. 6
Tétel (A várható érték és a szórás tulajdonságai. Legyen ξ tetsz leges valószín ségi változó, és legyen a valós szám. Konstans várható értéke: Ha P (ξ = a = 1, akkor E(ξ = a. Egy ξ valószín ségi változónak pontosan akkor 0 a szórása, ha a változó konstans, tehát P (ξ = a = 1 valamilyen a valós számra. Ekkor a = E(ξ. Konstansszoros: E(aξ = ae(ξ és D(aξ = a D(ξ. Tétel. Legyen ξ 1,..., ξ m, η tetsz leges valószín ségi változó, és tekintsünk a 1,..., a m, b valós számokat. Ekkor teljesülnek az alábbi azonosságok. A változók összegének a várható értéke: E ( a 1 ξ 1 + + a m ξ m = a1 E(ξ 1 + + a m E(ξ m. A változók összegének a varianciája: ha ξ 1,..., ξ m független, akkor D 2( a 1 ξ 1 + + a m ξ m = a 2 1 D 2 (ξ 1 + + a 2 md 2 (ξ m. Két változó összegének a varianciája a nem független esetben: D 2( aξ + bη = a 2 D 2 (ξ + b 2 D 2 (η + 2abD(ξD(ηcorr(ξ, η. Tétel (A kovariancia és a korreláció fontosabb tulajdonságai. Legyen ξ és η olyan valószín ségi változó, melynek véges a szórása. A kovariancia és a korreláció szimmetrikus a két változóban, tehát Cov(ξ, η = Cov(η, ξ és corr(ξ, η = corr(η, ξ. Egy változónak az önmagával vett kovarianciája: Cov(ξ, ξ = Var(ξ. A kovariancia az alábbi formulával határozható meg kényelmesen: Cov(ξ, η = E(ξη E(ξE(η A korrelációs együttható értéke mindig a [ 1, 1] intervallumba esik. Ha a ξ és az η változó független, akkor ez a két változó korrelálatlan is, tehát corr(ξ, η = 0. Ennek az állításnak a megfordítása nem igaz, tehát a korrelálatlanságból általában még nem következik a függetlenség. 7
A valószín ségszámítás fontosabb tételei Deníció. A µ = 0 várható érték és σ = 1 szórású normális eloszlást standard normális eloszlásnak nevezzük. A standard normális eloszlás s r ségfüggvénye és eloszlásfüggvénye: ϕ(x = 1 t e x2 /2, Φ(t = ϕ(x dx. 2π Tétel. Legyen η normális eloszlású valószín ségi változó µ várható értékkel és σ szórással. Ekkor teljesülnek a következ tulajdonságok: (Standardizálás. Az (η µ/σ változó standard normális eloszlást követ. (2σ-szabály. P ( µ 2σ η µ + 2σ 95% Tétel (de MoivreLaplace-tétel. Legyen ξ binomiális eloszlású változó n és p paraméterrel, továbbá legyen η normális eloszlású változó µ = np és σ = np(1 p paraméterrel. Ekkor tetsz leges a és b számok esetén P ( a ξ b P ( a η b, és a közelítés annál pontosabb, minál nagyobb az n paraméter értéke. Tétel (Centrális határeloszlás-tétel (CHT. Legyen ξ 1,..., ξ n független és azonos eloszlású változó véges szórással, és legyen η normális eloszlású változó µ = ne(ξ 1 és σ = nd(ξ 1 paraméterrel. Ekkor tetsz leges a < b valós számok esetén P ( a ξ 1 + + ξ n b P ( a η b, és a közelítés annál pontosabb, minél nagyobb az n értéke. Tétel (A nagy számok Kolmogorov-féle törvénye. Legyen ξ 1, ξ 2,... független és azonos eloszlású valószín ségi változó véges várható értékkel. Ekkor ξ 1 + + ξ n n E(ξ 1, n, tehát a változók számtani átlaga konvergál a közös várható értékhez. Tétel (A nagy számok Borel-féle törvénye. Legyen A egy tetsz leges esemény, és jelölje k n (A az A bekövetkezési gyakoriságát n végrehajtás után. Ekkor k n (A/n P (A amint n, tehát a relatív gyakoriság konvergál az esemény valószín ségéhez. 8