Prezentációk készítése 2009 1 / 14 Prezentációk készítése Beamer gyorstalpaló Írta: Kiss Emil ewkiss@cs.elte.hu 2009
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag.
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból.
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file.
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg.
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll,
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor.
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor. A TEX forrásban csak egyszer kell leírni a tartalmát,
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor. A TEX forrásban csak egyszer kell leírni a tartalmát, de a prezentációs pdf file-ban ez 15 oldal.
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor. A TEX forrásban csak egyszer kell leírni a tartalmát, de a prezentációs pdf file-ban ez 15 oldal. Mindegyik frame alján navigáló gombok találhatók.
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor. A TEX forrásban csak egyszer kell leírni a tartalmát, de a prezentációs pdf file-ban ez 15 oldal. Mindegyik frame alján navigáló gombok találhatók. A frame fejléce és a lábléce testreszabható.
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor. A TEX forrásban csak egyszer kell leírni a tartalmát, de a prezentációs pdf file-ban ez 15 oldal. Mindegyik frame alján navigáló gombok találhatók. A frame fejléce és a lábléce testreszabható. A nyomtatható változatban ez a frame
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor. A TEX forrásban csak egyszer kell leírni a tartalmát, de a prezentációs pdf file-ban ez 15 oldal. Mindegyik frame alján navigáló gombok találhatók. A frame fejléce és a lábléce testreszabható. A nyomtatható változatban ez a frame nem külön oldal;
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor. A TEX forrásban csak egyszer kell leírni a tartalmát, de a prezentációs pdf file-ban ez 15 oldal. Mindegyik frame alján navigáló gombok találhatók. A frame fejléce és a lábléce testreszabható. A nyomtatható változatban ez a frame nem külön oldal; a sorok is szélesebbek,
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor. A TEX forrásban csak egyszer kell leírni a tartalmát, de a prezentációs pdf file-ban ez 15 oldal. Mindegyik frame alján navigáló gombok találhatók. A frame fejléce és a lábléce testreszabható. A nyomtatható változatban ez a frame nem külön oldal; a sorok is szélesebbek, ezért a folyamatos, hosszabb szövegek tördelése is más lehet.
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani.
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor);
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer;
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer.
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file.
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file. E három parancs helyettesíthető a következők bármelyikével:
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file. E három parancs helyettesíthető a következők bármelyikével: pdflatex prez.tex
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file. E három parancs helyettesíthető a következők bármelyikével: pdflatex prez.tex./wt prez
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file. E három parancs helyettesíthető a következők bármelyikével: pdflatex prez.tex./wt prez Ezek a latex parancsot csak egyszer futtatják!
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file. E három parancs helyettesíthető a következők bármelyikével: pdflatex prez.tex./wt prez Ezek a latex parancsot csak egyszer futtatják! A wt script letölthető ugyanonnan, ahonnan ez a tutorial.
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file. E három parancs helyettesíthető a következők bármelyikével: pdflatex prez.tex./wt prez Ezek a latex parancsot csak egyszer futtatják! A wt script letölthető ugyanonnan, ahonnan ez a tutorial. Az eredmény az acroread prez.pdf paranccsal nézhető meg.
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file. E három parancs helyettesíthető a következők bármelyikével: pdflatex prez.tex./wt prez Ezek a latex parancsot csak egyszer futtatják! A wt script letölthető ugyanonnan, ahonnan ez a tutorial. Az eredmény az acroread prez.pdf paranccsal nézhető meg. Nyomjuk meg a Ctrl-l billentyűt a teljes képernyős módhoz.
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file. E három parancs helyettesíthető a következők bármelyikével: pdflatex prez.tex./wt prez Ezek a latex parancsot csak egyszer futtatják! A wt script letölthető ugyanonnan, ahonnan ez a tutorial. Az eredmény az acroread prez.pdf paranccsal nézhető meg. Nyomjuk meg a Ctrl-l billentyűt a teljes képernyős módhoz. Kilépés: Esc.
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma:
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása;
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat;
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció;
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat;
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat; wt: fordítást segítő triviális script;
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat; wt: fordítást segítő triviális script; hpbk_macros.tex: szükséges makrók.
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat; wt: fordítást segítő triviális script; hpbk_macros.tex: szükséges makrók. beameruserguide.pdf: remek beamer-manuál.
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat; wt: fordítást segítő triviális script; hpbk_macros.tex: szükséges makrók. beameruserguide.pdf: remek beamer-manuál. A wt és hpbk_macros.tex a kurrens alkönyvtárban legyen.
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat; wt: fordítást segítő triviális script; hpbk_macros.tex: szükséges makrók. beameruserguide.pdf: remek beamer-manuál. A wt és hpbk_macros.tex a kurrens alkönyvtárban legyen. A manuálból mindig a legfrissebb verziót használjuk.
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat; wt: fordítást segítő triviális script; hpbk_macros.tex: szükséges makrók. beameruserguide.pdf: remek beamer-manuál. A wt és hpbk_macros.tex a kurrens alkönyvtárban legyen. A manuálból mindig a legfrissebb verziót használjuk. Ez általában itt található: www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/beamer/doc/
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat; wt: fordítást segítő triviális script; hpbk_macros.tex: szükséges makrók. beameruserguide.pdf: remek beamer-manuál. A wt és hpbk_macros.tex a kurrens alkönyvtárban legyen. A manuálból mindig a legfrissebb verziót használjuk. Ez általában itt található: www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/beamer/doc/ Pár tudnivaló e prezentáció harmadik fejezetében is szerepel.
Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat; wt: fordítást segítő triviális script; hpbk_macros.tex: szükséges makrók. beameruserguide.pdf: remek beamer-manuál. A wt és hpbk_macros.tex a kurrens alkönyvtárban legyen. A manuálból mindig a legfrissebb verziót használjuk. Ez általában itt található: www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/beamer/doc/ Pár tudnivaló e prezentáció harmadik fejezetében is szerepel. A többi nyilvánvaló a következő mintaoldalak alapján.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) =
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) +
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. A z C ellentettje w, ha z + w = 0.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. A z C ellentettje w, ha z + w = 0. Az ellentett jele z.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. A z C ellentettje w, ha z + w = 0. Az ellentett jele z. A z = a + bi (egyetlen) ellentettje
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. A z C ellentettje w, ha z + w = 0. Az ellentett jele z. A z = a + bi (egyetlen) ellentettje w = ( a) +
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. A z C ellentettje w, ha z + w = 0. Az ellentett jele z. A z = a + bi (egyetlen) ellentettje w = ( a) + ( b)i.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. A z C ellentettje w, ha z + w = 0. Az ellentett jele z. A z = a + bi (egyetlen) ellentettje w = ( a) + ( b)i. A kivonás az ellentett hozzáadása: u z =
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. A z C ellentettje w, ha z + w = 0. Az ellentett jele z. A z = a + bi (egyetlen) ellentettje w = ( a) + ( b)i. A kivonás az ellentett hozzáadása: u z = u + ( z).
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m,
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n. Ekkor f 0 = f (a/b)x n m g-ből kiesik az n-edfokú tag.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n. Ekkor f 0 = f (a/b)x n m g-ből kiesik az n-edfokú tag. Indukciós feltevés: f 0 = gq 0 + r,
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n. Ekkor f 0 = f (a/b)x n m g-ből kiesik az n-edfokú tag. Indukciós feltevés: f 0 = gq 0 + r, ahol r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n. Ekkor f 0 = f (a/b)x n m g-ből kiesik az n-edfokú tag. Indukciós feltevés: f 0 = gq 0 + r, ahol r = 0, vagy gr(r) < gr(g). f = f 0 + (a/b)x n m g
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n. Ekkor f 0 = f (a/b)x n m g-ből kiesik az n-edfokú tag. Indukciós feltevés: f 0 = gq 0 + r, ahol r = 0, vagy gr(r) < gr(g). f = f 0 + (a/b)x n m g = g ( q 0 + (a/b)x n m) + r.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n. Ekkor f 0 = f (a/b)x n m g-ből kiesik az n-edfokú tag. Indukciós feltevés: f 0 = gq 0 + r, ahol r = 0, vagy gr(r) < gr(g). f = f 0 + (a/b)x n m g = g ( q 0 + (a/b)x n m) + r. Tehát f is elosztható maradékosan g-vel.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n. Ekkor f 0 = f (a/b)x n m g-ből kiesik az n-edfokú tag. Indukciós feltevés: f 0 = gq 0 + r, ahol r = 0, vagy gr(r) < gr(g). f = f 0 + (a/b)x n m g = g ( q 0 + (a/b)x n m) + r. Tehát f is elosztható maradékosan g-vel. A q és r együtthatói a négy alapművelettel kaphatók.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n. Ekkor f 0 = f (a/b)x n m g-ből kiesik az n-edfokú tag. Indukciós feltevés: f 0 = gq 0 + r, ahol r = 0, vagy gr(r) < gr(g). f = f 0 + (a/b)x n m g = g ( q 0 + (a/b)x n m) + r. Tehát f is elosztható maradékosan g-vel. A q és r együtthatói a négy alapművelettel kaphatók. Az eljárás során csak g főegyütthatójával osztunk.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 7 / 14 3 3-as felső háromszögmátrix determinánsa Felső háromszögmátrix a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 7 / 14 3 3-as felső háromszögmátrix determinánsa a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Felső háromszögmátrix a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 felső háromszögmátrix,
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 7 / 14 3 3-as felső háromszögmátrix determinánsa a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Felső háromszögmátrix a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 felső háromszögmátrix, ha a 21 = a 31 = a 32 = 0.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 7 / 14 3 3-as felső háromszögmátrix determinánsa a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Felső háromszögmátrix a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 felső háromszögmátrix, ha a 21 = a 31 = a 32 = 0. Ezért a fenti összeg utolsó öt tagja nulla lesz.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 7 / 14 3 3-as felső háromszögmátrix determinánsa a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Felső háromszögmátrix a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 felső háromszögmátrix, ha a 21 = a 31 = a 32 = 0. Ezért a fenti összeg utolsó öt tagja nulla lesz. Elemzés A főátló alatti elemek azok, ahol a sorindex nagyobb, mint az oszlopindex,
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 7 / 14 3 3-as felső háromszögmátrix determinánsa a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Felső háromszögmátrix a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 felső háromszögmátrix, ha a 21 = a 31 = a 32 = 0. Ezért a fenti összeg utolsó öt tagja nulla lesz. Elemzés A főátló alatti elemek azok, ahol a sorindex nagyobb, mint az oszlopindex, azaz a ij, ahol i > j.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 7 / 14 3 3-as felső háromszögmátrix determinánsa a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Felső háromszögmátrix a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 felső háromszögmátrix, ha a 21 = a 31 = a 32 = 0. Ezért a fenti összeg utolsó öt tagja nulla lesz. Elemzés A főátló alatti elemek azok, ahol a sorindex nagyobb, mint az oszlopindex, azaz a ij, ahol i > j. A megmaradó tag az identikus permutációhoz tartozik.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói?
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása,
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység. A p R felbonthatatlan (irreducibilis),
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység. A p R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla, nem egység,
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység. A p R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla, nem egység, és nincs nemtriviális felbontása.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység. A p R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla, nem egység, és nincs nemtriviális felbontása. Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység. A p R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla, nem egység, és nincs nemtriviális felbontása. Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese. Példa: A 23 felbonthatatlan Z-ben,
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység. A p R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla, nem egység, és nincs nemtriviális felbontása. Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese. Példa: A 23 felbonthatatlan Z-ben, mert nem nulla, nem ±1,
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység. A p R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla, nem egység, és nincs nemtriviális felbontása. Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese. Példa: A 23 felbonthatatlan Z-ben, mert nem nulla, nem ±1, és osztói csak ±1 és ±23.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység. A p R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla, nem egység, és nincs nemtriviális felbontása. Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese. Példa: A 23 felbonthatatlan Z-ben, mert nem nulla, nem ±1, és osztói csak ±1 és ±23. Az összes felbontása: 23 = 1 23 = 23 1 = ( 1)( 23) = ( 23)( 1).
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre.
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz?
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt?
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen?
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 2 3 4 5 k
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0 2 3 4 5 k 0123450
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1 2 3 4 5 k 0123450
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2 2 3 4 5 k 0123450
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3 2 3 4 5 k 0123450
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4 2 3 4 5 k 0123450
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5 2 3 4 5 k 0123450
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 2 3 4 5 k 0123450
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 2 3 4 5 k 0123450
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 2 3 4 5 k 0123450
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 3 4 5 k 0123450
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0 3 4 5 k 0123450
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2 3 4 5 k 0123450
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2-4 3 4 5 k 0123450
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2-4-0 3 4 5 k 0123450
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2-4-0 3 3 4 5 k 0123450
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2-4-0 3 1 3 4 5 k 0123450
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2-4-0 3 1 3 3 4 5 k 0123450
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2-4-0 3 1 3 3 0 4 5 k 0123450
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2-4-0 3 1 3 3 0-3 4 5 k 0123450
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2-4-0 3 1 3 3 0-3-0 4 5 k 0123450
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2-4-0 3 1 3 3 0-3-0 2 4 5 k 0123450
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2-4-0 3 1 3 3 0-3-0 2 1 4 5 k 0123450
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2-4-0 3 1 3 3 0-3-0 2 1 2 4 5 k 0123450
Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2-4-0 3 1 3 3 0-3-0 2 1 2 4 0 5 k 0123450