Prezentációk készítése



Hasonló dokumentumok
A beamer haszálata. A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor

1. A maradékos osztás

1. A maradékos osztás

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

1. Komplex szám rendje

1. Hatvány és többszörös gyűrűben

1. Polinomok számelmélete

Diszkrét matematika I.

1. Egész együtthatós polinomok

Lineáris egyenletrendszerek Műveletek vektorokkal Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal Determinánsok és alkalmazásaik

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad- és negyedfokú egyenlet

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Diszkrét matematika 2.

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

DISZKRÉT MATEMATIKA 2 KIDOLGOZOTT TÉTELSOR 1. RÉSZ

1. Interpoláció. Egyértelműség Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Kongruenciák. Waldhauser Tamás

Diszkrét matematika I.

Számítógépes Hálózatok 2012

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

1. A komplex számok definíciója

Alapvető polinomalgoritmusok

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.


Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.


Diszkrét matematika 1. estis képzés

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Numerikus módszerek 1.

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga

Gy ur uk aprilis 11.

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal Függvények Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Bevezetés az algebrába 1

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea

Műveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz

1. Interpoláció. Egyértelműség (K2.4.10) Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.

1. A Horner-elrendezés

Valasek Gábor

3. el adás: Determinánsok

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.

1. Geometria a komplex számsíkon

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek

1. A kétszer kettes determináns

Diszkrét matematika II. feladatok

1. Lineáris leképezések

Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság

Komplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.

Juhász Tibor. Lineáris algebra

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Mátrixok 2017 Mátrixok

Hibafelismerés: CRC. Számítógépes Hálózatok Polinóm aritmetika modulo 2. Számolás Z 2 -ben

Matematika A1a Analízis

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Gonda János POLINOMOK. Példák és megoldások

Lineáris egyenletrendszerek

Juhász Tibor. Diszkrét matematika

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék.

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs.

Határozatlan integrál

Irreducibilis polinomok szakkörre

13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste

Diszkrét matematika I.

A gyakorlati jegy

Számítógépes Hálózatok 2008

2. Algebrai átalakítások

1. fogalom. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak? Hogyan ellenőrizzük az összeadást?

1. A komplex számok ábrázolása

Átírás:

Prezentációk készítése 2009 1 / 14 Prezentációk készítése Beamer gyorstalpaló Írta: Kiss Emil ewkiss@cs.elte.hu 2009

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag.

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból.

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file.

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg.

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll,

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor.

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor. A TEX forrásban csak egyszer kell leírni a tartalmát,

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor. A TEX forrásban csak egyszer kell leírni a tartalmát, de a prezentációs pdf file-ban ez 15 oldal.

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor. A TEX forrásban csak egyszer kell leírni a tartalmát, de a prezentációs pdf file-ban ez 15 oldal. Mindegyik frame alján navigáló gombok találhatók.

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor. A TEX forrásban csak egyszer kell leírni a tartalmát, de a prezentációs pdf file-ban ez 15 oldal. Mindegyik frame alján navigáló gombok találhatók. A frame fejléce és a lábléce testreszabható.

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor. A TEX forrásban csak egyszer kell leírni a tartalmát, de a prezentációs pdf file-ban ez 15 oldal. Mindegyik frame alján navigáló gombok találhatók. A frame fejléce és a lábléce testreszabható. A nyomtatható változatban ez a frame

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor. A TEX forrásban csak egyszer kell leírni a tartalmát, de a prezentációs pdf file-ban ez 15 oldal. Mindegyik frame alján navigáló gombok találhatók. A frame fejléce és a lábléce testreszabható. A nyomtatható változatban ez a frame nem külön oldal;

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor. A TEX forrásban csak egyszer kell leírni a tartalmát, de a prezentációs pdf file-ban ez 15 oldal. Mindegyik frame alján navigáló gombok találhatók. A frame fejléce és a lábléce testreszabható. A nyomtatható változatban ez a frame nem külön oldal; a sorok is szélesebbek,

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor. A TEX forrásban csak egyszer kell leírni a tartalmát, de a prezentációs pdf file-ban ez 15 oldal. Mindegyik frame alján navigáló gombok találhatók. A frame fejléce és a lábléce testreszabható. A nyomtatható változatban ez a frame nem külön oldal; a sorok is szélesebbek, ezért a folyamatos, hosszabb szövegek tördelése is más lehet.

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani.

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor);

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer;

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer.

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file.

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file. E három parancs helyettesíthető a következők bármelyikével:

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file. E három parancs helyettesíthető a következők bármelyikével: pdflatex prez.tex

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file. E három parancs helyettesíthető a következők bármelyikével: pdflatex prez.tex./wt prez

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file. E három parancs helyettesíthető a következők bármelyikével: pdflatex prez.tex./wt prez Ezek a latex parancsot csak egyszer futtatják!

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file. E három parancs helyettesíthető a következők bármelyikével: pdflatex prez.tex./wt prez Ezek a latex parancsot csak egyszer futtatják! A wt script letölthető ugyanonnan, ahonnan ez a tutorial.

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file. E három parancs helyettesíthető a következők bármelyikével: pdflatex prez.tex./wt prez Ezek a latex parancsot csak egyszer futtatják! A wt script letölthető ugyanonnan, ahonnan ez a tutorial. Az eredmény az acroread prez.pdf paranccsal nézhető meg.

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file. E három parancs helyettesíthető a következők bármelyikével: pdflatex prez.tex./wt prez Ezek a latex parancsot csak egyszer futtatják! A wt script letölthető ugyanonnan, ahonnan ez a tutorial. Az eredmény az acroread prez.pdf paranccsal nézhető meg. Nyomjuk meg a Ctrl-l billentyűt a teljes képernyős módhoz.

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 3 / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file. E három parancs helyettesíthető a következők bármelyikével: pdflatex prez.tex./wt prez Ezek a latex parancsot csak egyszer futtatják! A wt script letölthető ugyanonnan, ahonnan ez a tutorial. Az eredmény az acroread prez.pdf paranccsal nézhető meg. Nyomjuk meg a Ctrl-l billentyűt a teljes képernyős módhoz. Kilépés: Esc.

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma:

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása;

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat;

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció;

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat;

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat; wt: fordítást segítő triviális script;

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat; wt: fordítást segítő triviális script; hpbk_macros.tex: szükséges makrók.

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat; wt: fordítást segítő triviális script; hpbk_macros.tex: szükséges makrók. beameruserguide.pdf: remek beamer-manuál.

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat; wt: fordítást segítő triviális script; hpbk_macros.tex: szükséges makrók. beameruserguide.pdf: remek beamer-manuál. A wt és hpbk_macros.tex a kurrens alkönyvtárban legyen.

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat; wt: fordítást segítő triviális script; hpbk_macros.tex: szükséges makrók. beameruserguide.pdf: remek beamer-manuál. A wt és hpbk_macros.tex a kurrens alkönyvtárban legyen. A manuálból mindig a legfrissebb verziót használjuk.

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat; wt: fordítást segítő triviális script; hpbk_macros.tex: szükséges makrók. beameruserguide.pdf: remek beamer-manuál. A wt és hpbk_macros.tex a kurrens alkönyvtárban legyen. A manuálból mindig a legfrissebb verziót használjuk. Ez általában itt található: www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/beamer/doc/

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat; wt: fordítást segítő triviális script; hpbk_macros.tex: szükséges makrók. beameruserguide.pdf: remek beamer-manuál. A wt és hpbk_macros.tex a kurrens alkönyvtárban legyen. A manuálból mindig a legfrissebb verziót használjuk. Ez általában itt található: www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/beamer/doc/ Pár tudnivaló e prezentáció harmadik fejezetében is szerepel.

Áttekintés Prezentációk készítése 2009 4 / 14 A szükséges file-ok letöltése http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/beamer/ Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat; wt: fordítást segítő triviális script; hpbk_macros.tex: szükséges makrók. beameruserguide.pdf: remek beamer-manuál. A wt és hpbk_macros.tex a kurrens alkönyvtárban legyen. A manuálból mindig a legfrissebb verziót használjuk. Ez általában itt található: www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/beamer/doc/ Pár tudnivaló e prezentáció harmadik fejezetében is szerepel. A többi nyilvánvaló a következő mintaoldalak alapján.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) =

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) +

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. A z C ellentettje w, ha z + w = 0.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. A z C ellentettje w, ha z + w = 0. Az ellentett jele z.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. A z C ellentettje w, ha z + w = 0. Az ellentett jele z. A z = a + bi (egyetlen) ellentettje

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. A z C ellentettje w, ha z + w = 0. Az ellentett jele z. A z = a + bi (egyetlen) ellentettje w = ( a) +

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. A z C ellentettje w, ha z + w = 0. Az ellentett jele z. A z = a + bi (egyetlen) ellentettje w = ( a) + ( b)i.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. A z C ellentettje w, ha z + w = 0. Az ellentett jele z. A z = a + bi (egyetlen) ellentettje w = ( a) + ( b)i. A kivonás az ellentett hozzáadása: u z =

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 5 / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. A z C ellentettje w, ha z + w = 0. Az ellentett jele z. A z = a + bi (egyetlen) ellentettje w = ( a) + ( b)i. A kivonás az ellentett hozzáadása: u z = u + ( z).

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m,

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n. Ekkor f 0 = f (a/b)x n m g-ből kiesik az n-edfokú tag.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n. Ekkor f 0 = f (a/b)x n m g-ből kiesik az n-edfokú tag. Indukciós feltevés: f 0 = gq 0 + r,

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n. Ekkor f 0 = f (a/b)x n m g-ből kiesik az n-edfokú tag. Indukciós feltevés: f 0 = gq 0 + r, ahol r = 0, vagy gr(r) < gr(g).

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n. Ekkor f 0 = f (a/b)x n m g-ből kiesik az n-edfokú tag. Indukciós feltevés: f 0 = gq 0 + r, ahol r = 0, vagy gr(r) < gr(g). f = f 0 + (a/b)x n m g

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n. Ekkor f 0 = f (a/b)x n m g-ből kiesik az n-edfokú tag. Indukciós feltevés: f 0 = gq 0 + r, ahol r = 0, vagy gr(r) < gr(g). f = f 0 + (a/b)x n m g = g ( q 0 + (a/b)x n m) + r.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n. Ekkor f 0 = f (a/b)x n m g-ből kiesik az n-edfokú tag. Indukciós feltevés: f 0 = gq 0 + r, ahol r = 0, vagy gr(r) < gr(g). f = f 0 + (a/b)x n m g = g ( q 0 + (a/b)x n m) + r. Tehát f is elosztható maradékosan g-vel.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n. Ekkor f 0 = f (a/b)x n m g-ből kiesik az n-edfokú tag. Indukciós feltevés: f 0 = gq 0 + r, ahol r = 0, vagy gr(r) < gr(g). f = f 0 + (a/b)x n m g = g ( q 0 + (a/b)x n m) + r. Tehát f is elosztható maradékosan g-vel. A q és r együtthatói a négy alapművelettel kaphatók.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 6 / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n. Ekkor f 0 = f (a/b)x n m g-ből kiesik az n-edfokú tag. Indukciós feltevés: f 0 = gq 0 + r, ahol r = 0, vagy gr(r) < gr(g). f = f 0 + (a/b)x n m g = g ( q 0 + (a/b)x n m) + r. Tehát f is elosztható maradékosan g-vel. A q és r együtthatói a négy alapművelettel kaphatók. Az eljárás során csak g főegyütthatójával osztunk.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 7 / 14 3 3-as felső háromszögmátrix determinánsa Felső háromszögmátrix a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 7 / 14 3 3-as felső háromszögmátrix determinánsa a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Felső háromszögmátrix a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 felső háromszögmátrix,

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 7 / 14 3 3-as felső háromszögmátrix determinánsa a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Felső háromszögmátrix a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 felső háromszögmátrix, ha a 21 = a 31 = a 32 = 0.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 7 / 14 3 3-as felső háromszögmátrix determinánsa a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Felső háromszögmátrix a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 felső háromszögmátrix, ha a 21 = a 31 = a 32 = 0. Ezért a fenti összeg utolsó öt tagja nulla lesz.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 7 / 14 3 3-as felső háromszögmátrix determinánsa a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Felső háromszögmátrix a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 felső háromszögmátrix, ha a 21 = a 31 = a 32 = 0. Ezért a fenti összeg utolsó öt tagja nulla lesz. Elemzés A főátló alatti elemek azok, ahol a sorindex nagyobb, mint az oszlopindex,

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 7 / 14 3 3-as felső háromszögmátrix determinánsa a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Felső háromszögmátrix a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 felső háromszögmátrix, ha a 21 = a 31 = a 32 = 0. Ezért a fenti összeg utolsó öt tagja nulla lesz. Elemzés A főátló alatti elemek azok, ahol a sorindex nagyobb, mint az oszlopindex, azaz a ij, ahol i > j.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 7 / 14 3 3-as felső háromszögmátrix determinánsa a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Felső háromszögmátrix a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 felső háromszögmátrix, ha a 21 = a 31 = a 32 = 0. Ezért a fenti összeg utolsó öt tagja nulla lesz. Elemzés A főátló alatti elemek azok, ahol a sorindex nagyobb, mint az oszlopindex, azaz a ij, ahol i > j. A megmaradó tag az identikus permutációhoz tartozik.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói?

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása,

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység. A p R felbonthatatlan (irreducibilis),

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység. A p R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla, nem egység,

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység. A p R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla, nem egység, és nincs nemtriviális felbontása.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység. A p R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla, nem egység, és nincs nemtriviális felbontása. Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység. A p R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla, nem egység, és nincs nemtriviális felbontása. Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese. Példa: A 23 felbonthatatlan Z-ben,

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység. A p R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla, nem egység, és nincs nemtriviális felbontása. Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese. Példa: A 23 felbonthatatlan Z-ben, mert nem nulla, nem ±1,

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység. A p R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla, nem egység, és nincs nemtriviális felbontása. Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese. Példa: A 23 felbonthatatlan Z-ben, mert nem nulla, nem ±1, és osztói csak ±1 és ±23.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 8 / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység. A p R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla, nem egység, és nincs nemtriviális felbontása. Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese. Példa: A 23 felbonthatatlan Z-ben, mert nem nulla, nem ±1, és osztói csak ±1 és ±23. Az összes felbontása: 23 = 1 23 = 23 1 = ( 1)( 23) = ( 23)( 1).

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre.

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz?

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt?

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen?

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 2 3 4 5 k

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0 2 3 4 5 k 0123450

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1 2 3 4 5 k 0123450

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2 2 3 4 5 k 0123450

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3 2 3 4 5 k 0123450

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4 2 3 4 5 k 0123450

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5 2 3 4 5 k 0123450

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 2 3 4 5 k 0123450

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 2 3 4 5 k 0123450

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 2 3 4 5 k 0123450

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 3 4 5 k 0123450

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0 3 4 5 k 0123450

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2 3 4 5 k 0123450

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2-4 3 4 5 k 0123450

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2-4-0 3 4 5 k 0123450

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2-4-0 3 3 4 5 k 0123450

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2-4-0 3 1 3 4 5 k 0123450

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2-4-0 3 1 3 3 4 5 k 0123450

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2-4-0 3 1 3 3 0 4 5 k 0123450

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2-4-0 3 1 3 3 0-3 4 5 k 0123450

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2-4-0 3 1 3 3 0-3-0 4 5 k 0123450

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2-4-0 3 1 3 3 0-3-0 2 4 5 k 0123450

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2-4-0 3 1 3 3 0-3-0 2 1 4 5 k 0123450

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2-4-0 3 1 3 3 0-3-0 2 1 2 4 5 k 0123450

Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése 2009 9 / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám 1 0-1-2-3-4-5-0 6 1 6 2 0-2-4-0 3 1 3 3 0-3-0 2 1 2 4 0 5 k 0123450