A hozamgörbe paraméteres becslési módszerei Diplomamunka Szanka Julianna alkalmazott matematikus szak matematikatanár szak Témavezet k: Prokaj Vilmos, egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Vancsó Ödön, egyetemi adjunktus Matematikatanítási és Módszertani Központ Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2011
El szó A hozamgörbe azonos kockázati kategóriába es kötvények hozamait ábrázolja a lejáratig hátralév id függvényében, azaz megmutatja, hogy az egyes jöv beli id pontokhoz tartozó pénzáramlásokat mekkora hozamokkal értékeli, diszkontálja a piac. Ezáltal információt nyerhetünk a piaci szerepl k várakozásairól a gazdaság jöv beni állapotát illet en, így a hozamgörbe becslése központi kérdés a gazdasági szerepl k és a monetáris politika szemszögéb l. Emellett a hozamok ismeretében árazhatóvá válnak a piacon megjelen új kötvények és a kamatlábak származékos termékei is. A paraméteres modellek el zetes feltételezésekkel élnek a hozamgörbe alakjára vonatkozóan és a piacon meggyelhet árak segítségével határozzák meg a modell paramétereit. Attól függ en, hogy használunk-e valószín ségszámítási módszereket a modell származtatására, statikus és dinamikus megközelítések léteznek a hozamgörbe becslésére. Ahogy a matematika minden területén, úgy jelen esetben is érvényes a mondás, "all models are false, but some models are useful" (Box, 1976), lássuk tehát, hogy milyen jól használható modellek készültek a kamatlábak lejárati szerkezetének vizsgálatához. A diplomamunka els része egy rövid bevezetés a kötvények és kamatlábak világába. A második részben statikus, a harmadik részben dinamikus módszereket mutatok be a teljesség igénye nélkül [2],[4],[7],[9] alapján. A bemutatott módszerek közül két statikus és egy dinamikus modellt implementáltam az R programcsomag segítségével, a negyedik részben ennek folyamatát és magyar államkötvényekre való alkalmazását tárgyalom. Az ötödik rész pedagógiai témájú, ebben a középiskolai szinten megjelen pénzügyi matematika tanításával foglalkozom. Köszönettel tartozom témavezet mnek, Prokaj Vilmosnak, akit l a felmerül kérdéseimre gyors és precíz válaszra számíthattam bármikor a diplomamunka megírása alatt, és aki a konzultációk során példát mutatott arra, hogyan érdemes hozzákezdeni egy probléma megoldásához. Köszönöm továbbá unokatestvéremnek, Szilágyi Péter Gábor nak a számításokhoz használt b séges adatmennyiséget, valamint Hertz Istvánnak a hasznos tanácsokat és könyvajánlásokat. A pedagógiai részhez nyújtott segítséget és érdekes ötleteket köszönöm tanári szakos témavezet mnek, Vancsó Ödönnek és szakdolgozó társamnak, Krusper Mártának.
Tartalomjegyzék Bevezetés 1 Statikus modellezés 11 Nelson-Siegel módszer............................ 11 Svensson módszer.............................. 13 Dinamikus modellezés 14 Short rate modell............................... 17 An short rate modell............................ 23 Vasicek modell................................ 25 További modellek............................... 28 Becslési módszerek a gyakorlatban 30 Pénzügyi matematika a középiskolában 41 Óravázlat (Lineáris kamatszámítás)..................... 44 Óravázlat (Kamatoskamat-számítás).................... 47 Óravázlat (Törleszt részlet számítás).................... 51 Projektmunka leírása............................. 59 Hivatkozások 67
BEVEZETÉS Bevezetés Kötvényt els dleges piacon megvásárolva kölcsönt 1 adunk a kötvény kibocsátójának, aki lehet egy vállalat, önkormányzat, vagy akár az állam. A kibocsátó köteles egy x jöv beli id pontban - ez a kötvény lejárati ideje 2 - visszazetni a mindenkori kötvénytulajdonosnak a kölcsönbe kapott t két, valamint szintén x id pont(ok)ban az el re meghatározott kamato(ka)t. Bár a kötvény biztonságos befektetésnek számít, kockázatunk így is van, például a kibocsátó zetésképtelensége, vagy a kamatlábkockázat 3. Ez utóbbi akkor lép fel, ha lejárat el tt eladjuk a kötvényt, hiszen ekkor a hozam (a befektetett t ke egységére adott id szakasz alatt jutó nyereség) a kötvény piaci árától fog függeni, amit az aktuális piaci kamatláb határoz meg. Minél hosszabb lejáratú kötvényünk van, árfolyama annál érzékenyebb a kamatláb ingadozására, emiatt a rövid lejáratú államkötvényt tekintik a legbiztonságosabb befektetésnek, mivel ennél nemcsak a nemzetés kockázata alacsony, hanem a befektetési id rövidsége miatt a kamatlábkockázat is. A kötvényeket csoportosíthatjuk kamatzetésük természete alapján. elemi kötvény (zérókupon kötvény) Nevéb l adódóan nem zet kupont, nyereségünk abból származik, hogy névérték alatti áron vásárolhatjuk meg és lejáratkor a névértéket kapjuk vissza. Általában 1 évnél rövidebb lejárati idej, mivel hosszabb távú kötvénynél a befektet k már elvárják a rendszeres kamatzetést. kuponzet kötvény A lejáratig el re meghatározott (általában félév vagy év) gyakorisággal zet kupont, majd lejáratkor a névértéket is megkapjuk. Lehet x vagy változó kamatozású. Fix kamatozás esetén a kupon a névérték egy bizonyos százalékában van meghatározva, a változó kamatozású kötvényhez tartozó kupont pedig valamilyen közismert rátához igazítják (például BUBOR 4 +0.15). 1 De a kötvény - a kölcsönnel ellentétben - kereskedhet. 2 maturity date 3 interest rate risk 4 Budapest Interbank Oered Rate (budapesti bankközi kamatláb), a kereskedelmi bankok kihelyezési rátájának átlaga. 1
BEVEZETÉS A hozamgörbe az azonos kockázati kategóriába tartozó, különböz lejáratú kötvényekhez tartozó éves hozamokat szemlélteti a lejáratig hátralév id függvényében. Az azonos kockázati kategória fontos tényez, ugyanis például egy vállalati kötvényen a nemzetés nagyobb kockázata miatt magasabb hozamot várunk el, mint egy államkötvényen. A hozamgörbét alakja szerint a következ típusokba soroljuk. normál (emelked ) hozamgörbe A lejáratig hátralév id növekedésével a hozam mértéke n. Ez tükrözi azt a várakozást, hogy egy hosszabb távú, így kockázatosabb befektetésb l többet protáljunk, mint egy rövidebb lejáratúból. Emellett azt jelzi, hogy a piaci szerepl k a gazdaság növekedésére és növekv inációra számítanak. meredek hozamgörbe Akkor használjuk ezt a kifejezést, ha a hosszabb lejáratú kötvények hozama jóval a rövidebb lejáratúak hozama felett van. Általában gyors gazdasági növekedés kezdetét, vagy egy recesszió végét jelzi. púpos/u alakú/s alakú hozamgörbe A hozamgörbe nem monoton, növeked és csökken részei is egyaránt meg- gyelhet ek. Ez is inációs várakozásokat tükröz. vízszintes hozamgörbe Akkor gyelhet meg, amikor minden lejáraton közel azonos mérték ek a hozamok. A valóságban ritkán fordul el, de elméletben gyakran használják, ugyanis egyszer síti a modellezés folyamatát. csökken (inverz) hozamgörbe A piaci szerepl k csökken inációra és alacsony piaci kamatlábra számítanak, ezért a hosszú lejáratú kötvények a rövidtávúhoz képest kisebb hozamot biztosítanak. Ennek magyarázata, hogy a várakozások teljesülése esetén a jöv ben, az akkor kibocsátott kötvényekhez képest ezek már magas hozamú befektetésnek fognak számítani, ezért az alacsonyabb hozamszint mellett is érdemes lehet hosszútávra befektetni. Magyarországon jellemz ez az alak, 2
BEVEZETÉS itt közrejátszik az alacsonyabb hozamszint euroövezethez való csatlakozás közeledte. normál meredek hozam (%) 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 hozam (%) 6.0 7.0 8.0 9.0 0 5 10 15 lejárat (év) 0 5 10 15 lejárat (év) púpos inverz hozam (%) 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 hozam (%) 6.5 7.0 7.5 8.0 0 5 10 15 lejárat (év) 0 5 10 15 lejárat (év) 1. ábra. Különböz alakú hozamgörbék Kamatlábak A hozamgörbét a kamatlábak lejárati szerkezetének is nevezik, azaz a hozamok megfelelnek a kamatlábaknak, ezért a továbbiakban a két fogalmat felváltva használjuk ugyanarra a mennyiségre. Az elemi kötvény árát adottnak véve többféle hozamot deniálhatunk. Legyen a T-elemi kötvény ára t-ben p(t, T ) 5 ahol t jelölje 5 Minden értéket a névérték arányában fejezünk ki, valamint (ahol külön nem jelezzük) folytonos kamatozással számolunk, az id t években mérve. 3
BEVEZETÉS a mai dátumot, T pedig a kötvény lejáratának id pontját (t T). s(t, T )-vel jelöljük és azonnali kamatlábnak 6 nevezzük a lejáratig megtartott p(t, T ) elemi kötvényen elérhet hozamot, azaz p(t, T ) e s(t,t ) (T t) = 1, vagyis s(t,t ) (T t) p(t, T ) = e ln(p(t, T )) s(t, T ) = (T t). Ebb l az alakból jól látszik, hogy egy elemi kötvény ára és azonnali kamatlába ellentétes irányba mozognak, ha az egyik n, a másik szükségszer en csökken. 7 Határid s ügyleten 8 olyan szerz dést értünk, amikor a jelen id pontban megállapodunk egy jöv beli id tartamon érvényes kamatláb mértékében. Három id pontunk van: t < S < T, t-ben akarjuk megállapítani, hogy mekkora lesz a (konstans) kamatláb az [S, T ] intervallumon. Jelöljük f(t, S, T )-vel ezt a kamatlábat, így ha 1-et zetünk S-ben, ezért T-ben e f(t,s,t ) (T S) -t kell kapnunk. A pénzáramlásaink a különböz id pontokban: t S T f(t,s,t ) (T S) 0 1 e Ezt a pénzáramlás struktúrát el tudjuk állítani elemi kötvények segítségével. Ahhoz, hogy S-ben 1-et zessünk, el kell adnunk t-ben 1 db S-elemi kötvényt, ez 1 p(t, S) pénzáramlásnak felel meg. Mivel a t-beli pénzáramlásnak 0-nak kell lenni, ezt ki kell egyensúlyoznunk, ezért veszünk p(t,s) db T-elemi kötvényt, mely p(t,t ) egyenként p(t, T )-be kerül. Így t-ben A p(t,s) p(t,t ) átrendezve 1 p(t, S) + p(t, S) ( p(t, T )) = 0. p(t, T ) db T-elemi kötvény T-ben p(t,s) p(t,t ) 1-et ér, tehát ef(t,s,t ) (T S) = p(t,s) p(t,t ), ezt f(t, S, T ) = ln p(t, T ) ln p(t, S). T S 6 spot rate 7 Két id pont között eltel id számolására lásd [4, 16.o.]. 8 forward rate agreement 4
BEVEZETÉS Az f(t, T ) = lim S T f(t, S, T ) mennyiséget határid s kamatlábnak 9 nevezzük. Ez képletesen azt mutatja meg, hogy t-b l nézve egy T-ben létrejöv, azonnal megtérül befektetésen mekkora a hozamunk. Határátmenettel f(t, T ) = ln p(t, T ). T Pillanati kamatlábnak 10 nevezzük és r(t)-vel jelöljük egy t-ben létrejöv, és azonnal megtérül befektetés hozamát, azaz r(t) = f(t, t). A p(t, T ), s(t, T ), f(t, T ) mennyiségek egymásból kifejezhet ek: s(t,t ) (T t) p(t, T ) = e p(t, T ) = e T t f(t,s)ds ln(p(t, T )) s(t, T ) = (T t) s(t, T ) = 1 ˆ T f(t, s)ds T t t ln p(t, T ) f(t, T ) = T f(t, T ) = s(t, T ) + (T t) s(t, T ). T A kamatlábak lejárati szerkezetét e három függvény bármelyikével tudjuk szemléltetni. Feltételezve, hogy t = 0, valamint T a lejáratig hátralév id, T s(0, T ) a spot hozamgörbe, T f(0, T ) a forward hozamgörbe, T p(0, T ) a diszkontfüggvény. Ha a piacon tetsz leges lejárati id re biztosítva lenne elemi kötvény, akkor ezek árait ábrázolva a lejárati id függvényében, megkapnánk a diszkontfüggvényt, ebb l pedig a felírt egyenletek alapján tudnánk származtatni a spot és a forward 9 forward rate 10 short rate 5
BEVEZETÉS hozamgörbét is. Viszont az elemi kötvények általában csak 1 évnél kisebb lejáraton kerülnek kibocsátásra, a hosszabb lejáratúak már kuponzetést is biztosítanak, ezért a hozamgörbe 1 éven túli lejárathoz tartozó pontjait legtöbbször kuponzet kötvények adataiból kell becsülnünk. Kuponzet kötvények Egy kuponzet kötvény árát elemi kötvények segítségével határozhatjuk meg. Tegyük fel, hogy a kötvény a t T 1 < T 2 <... < T m = T id pontokban c 1, c 2,..., c m kupont zet, T-ben pedig az akkor esedékes kuponon felül még a névértéket is. Ez megfelel m db, egyenként c k (k = 1,..., m) névérték és 1 db 1 névérték, különböz lejáratú elemi kötvénynek. A kötvény ára tehát ezen elemi kötvények árainak összege, C = (c 1,..., c m ) jelöléssel P (t, T, C, m) = m c k p(t, T k ) + 1 p(t, T ). k=1 ár (névérték % ában) 92 94 96 98 100 102 2010 2011 dátum 2. ábra. Egy kuponzet kötvény árának alakulása 6
BEVEZETÉS Az azonnali kamatlábbal kifejezve és c k c x kamatozást feltételezve P (t, T, C, m) = P (t, T, c, m) = m c e s(t,t k) (T k t) + 1 e s(t,t ) (T t). k=1 Megjegyzés. Ha nincs kuponzetés, azaz c = 0, akkor P (t, T, c, m) = p(t, T ), tehát visszakapjuk az elemi kötvény árát. A c értéket nevezzük kuponrátának, melynek kizetése általában rendszeres id közönként történik, éves gyakoriságot feltételezve a k. kuponzetési id pont, T k = T 1 + (k 1). Ha egy kuponzet kötvény árfolyama adott, ez nem határozza meg egyértelm en a kamatzetési id pontokra vonatkozó s(t, T k ), k = 1,..., m azonnali kamatlábakat, ezért szokás egy átlagos hozamszintet számolni, melyet lejáratig számított hozamnak 11 nevezünk és y(t, T )-vel jelölünk. Ezt úgy kapjuk meg, hogy az összes jöv beli pénzáramlást ugyanazzal a kamatlábbal diszkontáljuk, P (t, T, c, m) = m c e y(t,t ) (Tk t) + e y(t,t ) (T t), k=1 vagyis feltételezzük, hogy a hozamgörbe vízszintes. Az árazó egyenletben így egyetlen ismeretlen van, ami a kötvényár ismeretében egyértelm en meghatározható. Az y(t, T ) érték függ attól, hogy melyik kötvény árát felhasználva számítottuk ki, ezt tüntessük fel a jelölésben is: y(t, T ) = y P (t, T ). Ez az érték - ahogy a neve is jelzi - megadja, hogy mekkora a hozamunk, ha a P kötvényt lejáratig megtartjuk. y P (t, T ) az s(t, T k ), k = 1,..., m azonnali hozamok egyfajta átlaga, melyet fel szoktak tüntetni a kötvényár mellett, segítve az egyes értékpapírok közötti választást. Kibocsátáskor, ha a kötvényt névértéken árulják, akkor a kuponráta megfelel a kötvényen elérhet hozamnak. 12 Ugyanis, ha adott a c kuponráta és a kamatzetések m száma, akkor (kamatos kamatozást alkalmazva, mivel a gyakorlatban 11 yield to maturity, YTM 12 A bevezetés további részében feltételezzük, hogy t = 0, T a lejáratig, T k a k. pénzáramlásig hátralév id. 7
BEVEZETÉS ezzel számolnak) az 1 = m k=1 c (1 + y) + 1 k (1 + y) = 1 ( m (1 + y) 1 c ) + c m y y egyenlet egyetlen pozitív megoldása y = c. Ha viszont a kötvényt névérték felett/alatt árulják, akkor a kuponráta felül/alulbecsüli a kötvényen elérhet hozamot, ezért van szükség a lejáratig számított hozam kiszámítására, hiszen ez tartalmazza a kötvény kibocsátáskori árából származó veszteséget/nyereséget. 13 Az összehasonlításon kívül még ún. referencia hozamgörbe származtatására is szokták használni a T 1, T 2,..., T n év múlva lejáró P 1, P 2,..., P n benchmark kötvényekre kiszámolt lejáratig számított hozamokat. Ekkor a T 1, T 2,..., T n id tartamokhoz hozzárendelik az y P 1 (0, T 1 ), y P 2 (0, T 2 ),..., y Pn (0, T n ) értékeket és ezt ábrázolják folytonos függvényként, az egyes pontok között interpolálva. Ez technikailag egyszer bb, mint a másik három hozamgörbe kivitelezése, viszont fontos látni, hogy a kétféle ábrázolás eltér tartalmú. Az el z ekben bemutatott hozamgörbék a legtöbb piacon forgó kötvényt felhasználják a függvény készítéséhez, míg a referencia hozamgörbe csak néhány kötvény lejáratig számított hozamát ábrázolja, mely hozamok kiszámításához azt feltételezi, hogy a hozamgörbe vízszintes. Ezért ha egy új terméket a referencia hozamgörbével árazunk be, akkor ennek ára teljes mértékben a hozamgörbe készítéséhez felhasznált benchmark kötvények hozamától fog függeni. Egy elemi kötvény lejáratig hátralév ideje megmutatja, hogy a tulajdonos mekkora id távra fekteti be a pénzét, egy kuponzet kötvénynél azonban ez nem megfelel mutató, mivel a lejárat el tt is történik pénzáramlás. Ezért deniálta Macaulay 14 a kötvények átlagidejét 15, mégpedig a jöv beli pénzáramlásokig hátralév id tartamok súlyozott átlagaként, annál nagyobb súlyt adva egy id tartamnak, minél nagyobb a hozzá tartozó pénzáramlás hozzájárulása a kötvény árfolyamához. E mutató kiszámításához feltételezik, hogy a hozamgörbe y értéken 13 [8] alapján 14 Frederick Robertson Macaulay 15 duration 8
BEVEZETÉS vízszintes, D P = m k=1 P V (CF k ) P T k = m k=1 c k e y T k m l=1 c l e y T l T k = 1 P m c k e y Tk T k. k=1 Az átlagid mértékegysége év, értéke a következ pénzáramlásig hátralév és a lejáratig hátralév id közé esik (elemi kötvény esetén éppen a lejáratig hátralév id vel egyezik meg). Minél nagyobb egy kötvény átlagideje, annál érzékenyebb a kötvény ára a hozamváltozásra, azaz annál nagyobb a kötvény kamatlábkockázata. Módosított átlagid nek 16 nevezik azt az értéket, ami azt mutatja meg, hány százalékban változik a kötvény árfolyama a kamatláb egységnyi változása esetén, P DP y = P = 1 P m c k e y Tk T k = D P, k=1 azaz folytonos kamatozást feltételezve a két mutató értéke megegyezik (kamatos kamatozás esetén DP = D P ). A (módosított) átlagid akkor méri jól a kötvény 1+y kamatláb kockázatát, ha a hozamváltozás kismérték, párhuzamos (azaz minden lejáraton ugyanakkora) és a hozamgörbe vízszintes. Az utóbbi megkötés feloldható a Fisher-Weil átlagid alkalmazásával, mely az azonnali hozamgörbével diszkontálja a pénzáramlásokat, D F W P = 1 P m c k e s(0,t k) Tk T k = 1 P k=1 m c k p(0, T k ) T k, ez esetben viszont nem tudunk módosított átlagid t számolni. A gyakorlatban általában nem teljesül a hozamok párhuzamos változása, ezért az átlagid számítást egyre inkább felváltja a kockázatkezelésben népszer mutatószám, a VaR 17 alkalmazása. A hozamgörbe becslése a piacon meggyelhet kötvényárak felhasználásával történik. A következ kben tárgyalt statikus és dinamikus hozzáállás közötti különbség, hogy míg a statikus modellek nem feltételeznek semmilyen sztochasztikát, a dinamikus szemléletben a kötvényárakat befolyásoló piaci tényez k sztochasz- 16 modied duration 17 Value at risk k=1 9
BEVEZETÉS tikus folyamatokként jelennek meg. A statikus módszerek egy adott nap adatai alapján el állítják az aznapra érvényes hozamgörbét, a dinamikus modellek ezen túl a kamatlábak id beli fejl dését is próbálják megbecsülni. Mindkétféle becslés történhet paraméteres és nemparaméteres módon. A paraméteres modellek a hozamgörbét paraméteres függvényként írják le, amit a piaci adatokra alkalmazott f komponensanalízis eredménye indokol, miszerint a hozamgörbe viselkedését kevés számú paraméter jól magyarázza. A nemparaméteres modellek ezzel szemben azt feltételezik, hogy a lehetséges hozamgörbék tere végtelen dimenziós, ezért nem tehet ek el zetes feltételezések a függvény alakjára vonatkozóan. Ezek a modellek tehát kizárólag az adatokra támaszkodva becsülik a hozamgörbét, így a kötvények illikviditása és a hiányzó adatok er sen megnehezítik a különböz módszerek használatát. A nemzeti bankok nagy része a következ részben bemutatott eljárásokat alkalmazza, kivétel ez alól Kanada, Japán, az Egyesült Királyság és az Amerikai Egyesült Államok, ahol különféle spline módszerek vannak használatban. 10
STATIKUS MODELLEZÉS Statikus modellezés Az egyes paraméteres statikus modellek abban térnek el egymástól, hogy különböz függvényalakot feltételeznek a hozamgörbére. Az alábbiakban a Nelson-Siegel módszer és ennek egy kib vített változata, a Svensson módszer kerül bemutatásra. Nelson-Siegel 18 módszer A modell feltevése, hogy a forward hozamgörbe egy állandó együtthatós másodrend dierenciálegyenlet megoldása. x = (T t) jelöléssel a paraméteres függvény: f NS (x, b) = β 0 + β 1 e x τ + β2 x τ x e τ, ahol b = (β 0, β 1, β 2, τ) a paramétervektor. τ az id komponens, β 0 reprezentálja a távoli határid s kamatlábat, (β 0 + β 1 ) pedig a pillanati kamatlábat, ezért τ > 0 lim f NS(x, b) = β 0 > 0 x lim f NS(x, b) = (β 0 + β 1 ) > 0. x 0 β 2 és τ okozzák az esetleges "púpot" a hozamgörbében, β 2 > 0 esetén ez valóban púp, β 2 < 0 esetén "völgy". A púp nagyságát β 2 abszolút értéke, míg elhelyezkedését β 2 és τ együtt határozza meg. A függvényt hosszú lejáraton a β 0, rövid lejáraton a β 1, míg a kett közötti részen a β 2 paraméterrel állíthatjuk be. A következ ábrán láthatjuk, hogy ez miért van így. Az els komponens konstans, tehát nem válik 0-vá hosszú lejáraton. A második tag x = 0-ban β 1, majd meredeken tart 0-hoz, így megfelel rövidtávú komponensnek, míg a harmadik tag rövid és hosszú lejáraton is 0, így ez lehet a középtávú lejáraton érvényes kamatláb interpretációja. 18 Charles R. Nelson; Andrew F. Siegel 11
STATIKUS MODELLEZÉS 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 2 4 6 8 10 lejárat (év) 3. ábra. A Nelson-Siegel hozamgörbe komponensei β 0 = β 1 = β 2 = τ = 1 esetén Az azonnali hozamgörbe és a diszkontfüggvény integrálással kapható meg: s NS (x, b) = 1 x ˆ x 0 f NS (u, b)du = β 0 β 2 e x τ + (β1 + β 2 ) τ x x (1 e τ ) p NS (x, b) = e x 0 f NS(u,b)du = e (β 1+β 2 ) τ β 0 x+[(β 1 +β 2 ) τ+β 2 x] e x τ. 12
STATIKUS MODELLEZÉS Svensson 19 módszer Svensson a modell rugalmasságának növelésére és az illeszkedés pontosságának javítására a Nelson-Siegel függvénycsalád egy extra komponenssel való kib vítését javasolja, mely által a függvény képes még egy púpot/völgyet produkálni. A függvény két új paramétert tartalmaz: f S (x, b) = β 0 + β 1 e x τ 1 + β 2 x e τ 1 x τ 1 + β 3 x e τ 2 x τ 2, ahol b = (β 0, β 1, β 2, β 3, τ 1, τ 2 ) a paramétervektor, β 0, τ 1, τ 2 > 0. Az azonnali hozamgörbe: ( ( s S (x, b) = β 0 +β 1 (1 e x τ 1 ) τ1 x +β 2 (1 e x x τ 1 ) τ1 x e τ 1 )+β 3 (1 e x τ 2 ) τ2 x e x τ 2 ). Habár a Nelson-Siegel módszer kevésbé általános, sokan inkább azt használják, mivel a kisebb dimenzió robosztusabb és stabilabb modellt eredményez. A Svensson módszer hívei között is vannak, akik el ször a Nelson-Siegel függvényt illesztik az adatokra, a kapott paraméternégyest kiegészítik két újjal, és ezeket kezdeti értékként használva a Svensson függvényhez végzik el a minimalizálást. Ezután csak akkor alkalmazzák az eredeti Svensson módszert, ha a kapott β 3 szignikánsan eltér 0-tól és τ 2 nem túl kicsi. 19 Lars E. O. Svensson 13
DINAMIKUS MODELLEZÉS Dinamikus modellezés A dinamikus modellekben egy elemi kötvény p(t, T ) árát az (Ω, F,P) valószín ségi mértéktéren meghatározott valószín ségi változónak tekintjük, ahol 0 t T < +. A lehetséges (t, T ) párok halmazát jelölje I. A kezelhet ség érdekében feltesszük, hogy T p(t, T ) 1 valószín séggel sima függvény. A piaci résztvev k nem látják a jöv t, döntéseiket csak az adott pillanatig elérhet információkra tudják alapozni. Ennek modellezésére deniálták a ltráció fogalmát, mely egy b vül σ-algebra sorozat, {F t } t 0, ahol F s F t, ha s < t, és F t testesíti meg a t id pontig elérhet információmennyiséget. Jelen esetben feltesszük, hogy (Ω, F, P)-n adott egy {F t } t 0 ltráció, és minden T > 0 esetén a {p(t, T ); 0 t T } sztochasztikus folyamat adaptált ehhez a ltrációhoz. Azt mondjuk, hogy a kamatlábak lejárati szerkezetét egy faktormodell adja meg, ha létezik {Z t } t 0 Itô folyamat, amely egy nyílt D R k halmazból veszi fel az értékeit, hogy p(t, T ) = P (Z) (t, T, Z t ) valamilyen (I D) (t, T, z) P (Z) (t, T, z) valós, determinisztikus függvénnyel. Z t komponenseit nevezzük a modell faktorainak, melyek modellezik a gazdaság helyzetének azon részét a t id pontban, ami releváns a kamatlábak lejárati szerkezetének szempontjából. Általában feltesszük, hogy {Z t } t 0 egy Itô diúzió, azaz dz t = µ (Z) (t, Z t )dt + σ (Z) (t, Z t )dw t, ahol {W t } t 0 k-dimenziós Wiener-folyamat és a µ (Z) : [0, ) D R k drift és σ (Z) : [0, ) D R k k diúziós együtthatók olyan sima, determinisztikus függvények, melyek garantálják az egyértelm er s megoldás létezését. Kikötjük, hogy a kamatláb dinamikájára csak ezek a faktorok vannak hatással, ezért feltesszük, hogy a ltráció a Z t folyamat által van generálva, F t = F (Z) t = σ{z u : u t}. A kezelhet ség érdekében feltesszük még, hogy a diúziós tag együtthatómátrixa invertálható, ekkor a ltrációt a Z t folyamatot meghajtó Wiener folyamat generálja, azaz F t = F (Z) t = F (W ) t = σ{w u : u t}, t 0. Mivel p(t, T ) = P (Z) (t, T, Z t ), minden T > 0-ra {p(t, T )} 0 t T egy Itô folyamat: dp(t, T ) = µ (p) (t, Z t )dt + σ (p) (t, Z t )dw t, 14
DINAMIKUS MODELLEZÉS µ (p) és σ (p) determinisztikus függvényekkel. Mivel r t = lim T t 1 T t ln P (Z) (t, T, Z t ), {r t } t 0 is Itô folyamat ugyanazzal az F (W ) t ltrációval: dr(t) = µ (r) (t, r t )dt + σ (r) (t, r t )dw t. Tegyük fel, hogy a piac a (d + 1)-dimenziós {B (0) t, B (1) t,..., B (d) t } t 0 sztochasztikus folyamat által van megadva, ahol {B (i) t } t 0 az i-dik termék árának id beli fejl dését adja meg. ({Bt 0 } t 0 jelképezi ) a bankbetétet, ezért ez pozitív folyamat. BT t = (B (0) t ) 1 B (1) t,..., B (d) t jelöli a diszkontált árakat, {φt } t 0 egy d-dimenziós önnanszírozó kereskedési stratégiát, mely szerint el állított portfólió diszkontált értéke egy sztochasztikus dierenciálegyenlet formájában adható meg: dṽt = φ t, d B t, melyr l feltesszük, hogy jól deniált, azaz az t φs, d B 0 s sztochasztikus integrál értelmezve van. A {φ t } t 0 stratégia megengedhet, ha létezik K R +, hogy minden t 0, és ω Ω esetén t φs, d B 0 s > K. Deníció. Arbitrázsnak nevezzük a megengedhet, önnanszírozó {φ t } t 0 kereskedési stratégiát, ha valamely T > 0 -ra és (ˆ T P φs, d B ) s 0 = 1 0 (ˆ T P φs, d B ) s > 0 > 0. 0 A következ tétel az eszközárazás alaptételének egy egyszer sített változata: Tétel. Ha létezik ekvivalens martingálmérték - azaz létezik P P valószín ségi mérték, hogy a ( B t, F t ) t 0 folyamat P szerint martingál - akkor nincs arbitrázs a piacon. Gyengébb arbitázsfogalom esetén a tétel megfordítása is érvényes, ezért általában úgy tekintjük, hogy az ekvivalens martingálmérték létezése és az arbitrázs hiánya 15
DINAMIKUS MODELLEZÉS ekvivalensek. A P ekvivalens martingálmértéket szokás kockázatmentes mértéknek is nevezni. Célunk a (t, T, z) P (Z) (t, T, z) függvény meghatározása arbitrázsmentes piacon. Adott Z t esetén P (Z) (t, T, Z t ) egy T-elemi kötvény ára, ezért a modell arbitrázsmentes akkor és csak akkor, ha {(B (0) t ) 1 P (Z) (t, T, Z t )} 0 t T martingál minden T > 0, ennek biztosítására törekszünk tehát a továbbiakban. 16
DINAMIKUS MODELLEZÉS Short rate modell A short rate modellek szerint a Z(t) közgazdasági faktor egydimenziós és Z(t) = r(t), azaz a kamatlábak lejárati szerkezetére csak a pillanati kamatláb alakulása van hatással. A short rate dinamikája tehát az egyetlen, ami a priori adott, dr(t) = µ(t, r(t))dt + σ(t, r(t))dw (t). Ha adott r(t) dinamikája, akkor ismert a piacon lév {B(t)} t 0 bankbetét folyamat is, melyet a következ képpen deniálunk: db(t) = r(t) B(t)dt B(0) = 1 melynek megoldása B(t) = e t 0 r(s)ds. A bankbetét az egyetlen adott termék, ezért ennek segítségével akarjuk meghatározni az elemi kötvények árát. Mivel arbitrázsmentes piacon minden diszkontált árfolyamat P martingál, p(t, T ) B(t) = E P ( p(t, T ) B(T ) ) ( 1 ) F(t) = E P F(t). B(T ) Ezt átrendezve, egy T-elemi kötvény t id pontbeli ára: ( B(t) ) ( p(t, T ) = E P F(t) = E P e T t B(T ) r(u)du ) F(t). A P kockázatmentes mérték nem ismert, de azt tudjuk, hogy a piacon adott termék diszkontált érték folyamata martingál e mérték szerint. A bankbetét diszkontált érték folyamata B(t) = B(t) 1 B(t) 1, azaz a konstans 1 folyamat, ami minden mérték szerint martingál. Ezért minden, a piacon meglév mértékkel ekvivalens mérték megfelel kockázatmentes mértéknek, tehát ezt nem tudjuk egyértelm en meghatározni. Ebb l kifolyólag az elemi 17
DINAMIKUS MODELLEZÉS kötvények ára sem határozható meg egyértelm en kizárólag a short rate P szerinti dinamikájának megadásával. Ez nem azt jelenti, hogy ebben a modellben a kötvényárak bármilyen értéket felvehetnek, hiszen különböz lejáratú kötvények árainak úgy kell alakulni, hogy ne fordulhasson el arbitrázs a piacon. Ráadásul (ahogy a következ részben kiderül), ha egy "benchmark" kötvény árának dinamikáját adottnak tekintjük, akkor a többi kötvény ára már egyértelm en meghatározott. A kockázat piaci ára Készítsünk egy portfóliót két különböz lejáratú elemi kötvényb l, legyenek ezek a lejáratok S és T. Alkalmazva az Itô-formulát, a következ dinamikát kapjuk a T-elemi kötvény árára (az alsó index parciális deriválást jelöl): ( d t P (r,t ) = P (r,t ) t + µ P r (r,t ) + 1 ) 2 σ2 P rr (r,t ) dt + σ P r (r,t ) dw (t). Az S-elemi kötvény árdinamikájára hasonló egyenlet adódik. Jelölje (u S, u T ) a relatív portfóliónkat, ekkor a portfólió értékének dinamikája dv = V (u T Bevezetve a következ jelöléseket: dp (r,t ) P (r,t ) + u S ) (r,s) dp. P (r,s) α T = P (r,t ) t + µ P r (r,t ) + 1 2 σ2 P rr (r,t ) P (r,t ) β T = σ P r (r,t ), P (r,t ) α S, β S hasonlóan, a portfólió értékének dinamikája dv = V ( ) (u T α T + u S α S )dt + (u T β T + u S β S )dw (t). 18
DINAMIKUS MODELLEZÉS Kockázatmentes portfóliót kapunk, ha a diúziós együttható 0, ekkor dv = V ( ) (u T α T + u S α S )dt adódik, melyre az arbitrázsmentességi feltétel miatt teljesül, hogy ( ) P t : u T α T + u S α S = r(t) = 1. A portfólióra tehát a következ egyenletrendszer írható fel: u S + u T = 1 u T β T + u S β S = 0. Az els egyenlet a relatív portfólió deníciójából adódik, a második a diúziós együttható eltüntetése. Az egyenletrendszert megoldva: u T = βs β T β S u S = β T β T β S. Az arbitrázsmentességi feltétel így a következ formában írható fel: α S β T α T β S β T β S = r(t) 1-valószín séggel minden t-re. Ezt átrendezve, α S (t) r(t) β S (t) = αt (t) r(t). β T (t) Vegyük észre, hogy a bal oldali folyamat nem függ T-t l, míg a jobb oldali nem függ S-t l. A közös hányados tehát nem függ S és T megválasztásától, így a következ megállapítást tehetjük. 19
DINAMIKUS MODELLEZÉS Állítás. Tegyük fel, hogy a kötvénypiac arbitrázsmentes. Ekkor létezik egy λ folyamat, hogy tetsz leges T választással 1-valószín séggel minden t-re. Mivel egy T-elemi kötvény árdinamikája λ(t) = αt (t) r(t) β T (t) dp (r,t ) = (P (r,t ) α T )dt + (P (r,t ) β T )dw (t), így α T (t) a lokális megtérülési ráta a T-elemi kötvényen. r(t) a kockázatmentes termék megtérülési rátája, ezért (α T (t) r(t)) a T-elemi kötvényhez tartozó kockázati prémium, amit az arbitrázslehet ség kizárása érdekében követel meg a piac. β T (t) a lokális volatilitás, így λ(t) interpretációja az egységnyi volatilitásra es kockázati prémium. λ(t)-nek a szakirodalomban használatos neve a kockázat piaci ára, az el z állítás tehát egyenérték a következ vel: Állítás. Arbitrázsmentes piacon az összes kötvényre megegyezik a kockázat piaci ára. A λ(t) = αt (t) r(t) egyenletet átrendezve, és behelyettesítve α T (t) és β T (t) értékét β T (t) a következ, igen fontos tételt fogalmazhatjuk meg: Tétel (Lejárati szerkezet egyenlet). Egy arbitrázsmentes kötvénypiacon P (r) kielégíti a következ egyenletet: P (r) t + (µ λσ)p (r) r + 1 2 σ2 P (r) rr rp (r) = 0 P (r) (T, r) = 1. A kockázat piaci ára nem egyértelm, ami azt jelenti, hogy ugyanahhoz a short rate dinamikához különböz kötvénypiacok is elképzelhet ek. A kötvények iránti kereslet és kínálat közötti kapcsolat fogja meghatározni, hogy a kötvényár folyamatok melyik halmaza realizálódik a piacon. Ez pedig mi mástól függene, mint a piac 20
DINAMIKUS MODELLEZÉS szerepl inek viselkedését l (azaz kockázathoz való hozzáállásától). A piaci szerepl k kockázatkerülésének lerögzítésével, azaz λ megadásával már egyértelm vé tesszük, hogy mely kötvényárak fognak megvalósulni. A λ(t) folyamat meghatározása történhet egy "benchmark" kötvény árdinamikájának megadásával. Ha ugyanis rögzítjük egyetlen kötvény árának dinamikáját, akkor λ(t) = αt (t) r(t) β T (t) miatt egyúttal λ(t) is adott lesz, és így a lejárati szerkezet tétel segítségével már tetsz leges lejáratú kötvény ára kiszámolható. Vagyis az összes kötvényárat meghatározza a short rate, és egy "benchmark" kötvény árának P szerinti dinamikája. Kockázatmentes mérték Hogyan válasszuk meg λ-t egy konkrét esetben? Induljunk ki a kockázatmentes árazásból. Egy T-elemi kötvény ára p(t, T ) = E P (e T t ) r(u)du F(t). Az árazáshoz nem elég, ha a short rate P szerinti dinamikáját ismerjük, hiszen P szerint kell várható értéket számolnunk. Tehát meg kell határoznunk az ekvivalens martingálmérték szerinti dinamikát. Ha a piacon meglév P mérték szerinti dinamika akkor ϕ(t) adaptált folyamattal dr(t) = µ(t)dt + σ(t)dw (t), dw (t) = ϕ(t)dt + dw (t), ahol W (t) Wiener folyamat a P P mérték szerint, melyet a Girsanov tétel alapján határozhatunk meg. Ekkor dr(t) = (µ(t) + ϕ(t) σ(t))dt + σ(t)dw (t). Figyeljük meg, hogy csak a drift együtthatója változott, a diúziós együttható 21
DINAMIKUS MODELLEZÉS ugyanaz maradt. A lejárati szerkezet egyenlet egyértelm en meghatározza a kötvényárakat, ha megadjuk a µ, σ és λ értékeket. Tegyük fel, hogy σ-ra van már egy becslésünk. 20 Ez esetben az egyenlet felírásához elég, ha a (µ λσ) értéket határozzuk meg, nincs szükség µ és λ értékeire külön-külön. ϕ(t) = λ(t) választással a short rate P szerinti dinamikája dr(t) = (µ(t) λ(t) σ(t))dt + σ(t)dw (t), azaz (µ λσ) éppen a short rate ekvivalens martingálmérték szerinti driftjének együtthatója. Állítás. A lejárati szerkezetet egyértelm en meghatározza a short rate ekvivalens martingálmérték szerinti dinamikájának megadása. Azaz, a kockázat piaci árának meghatározása ekvivalens a short rate P szerinti dinamikájának felírásával. A short rate modellek ezért az eredeti mérték helyett az ekvivalens martingálmérték szerinti dierenciálegyenlet együtthatóit próbálják meghatározni. A dierenciálegyenlet általános alakja dr(t) = µ(t, r(t))dt + σ(t, r(t))dw (t). Ha feltételezzük, hogy a kockázat piaci ára λ(t, r(t)) alakú, akkor a dierenciálegyenlet megoldásaként kapott r(t) Markov-folyamat lesz a P mérték szerint. Emiatt egy T-elemi kötvény t-beli árát nem befolyásolja a pillanati kamatláb t id pont el tti alakulása, tehát p(t, T ) = P (r) (t, T, r) = P (t, T, r(t)). A P (t, T, r(t)) függvény alakjára feltételezésekkel élhetünk, ez alapján többféle short rate modellt különböztetünk meg. A továbbiakban az an short rate modellt tárgyaljuk. 20 Mivel a diúziós együttható nem változik a mértékcserével, σ-t becsülhetjük az adatokból. 22
DINAMIKUS MODELLEZÉS An short rate modell Az an modellek feltételezése, hogy P (t, T, z) = e A(t,T )+B(t,T ) z, ahol A és B sima függvények. Az an elnevezés onnan ered, hogy ez esetben a forward kamatláb a Z(t) közgazdasági faktor lineáris (an) függvénye. E modell népszer ségének oka, hogy a lejárati szerkezet egyenletnek sok konkrét esetben "szép" megoldása van. Az an modellt ötvözve a short rate modellel kapjuk az an short rate modellt, melyben mindkét feltételezéssel élnek, azaz Z(t) = r(t) P (t, T, r) = e A(t,T )+B(t,T ) r, ahol (t, T ) A(t, T ), (t, T ) B(t, T ) sima, determinisztikus függvények. P (t, T, r(t)) kielégíti a lejárati szerkezet egyenletet, ezért A t (t, T ) {1 + B t (t, T )} r µ(t, r) B(t, T ) + 1 2 σ2 (t, r) B 2 (t, T ) = 0. A peremfeltétel: P (T, T, r(t )) = 1, melynek minden r(t ) értékre teljesülni kell, tehát A(T, T ) = 0 B(T, T ) = 0. A µ és σ függvényeket úgy szeretnénk megválasztani, hogy biztosítsák az egyenletet kielégít A és B létezését. Erre egy lehet ség, ha µ és σ 2 a short rate an függvényei, esetleg id t l függ együtthatókkal, azaz µ(t, r) = α(t) r + β(t) σ(t, r) = γ(t) r + δ(t). 23
DINAMIKUS MODELLEZÉS Az egyenlet a következ képpen néz ki: A t (t, T ) β(t) B(t, T ) + 1 2 δ(t) B2 (t, T ) {1 + B t (t, T ) + α(t) B(t, T ) 1 2 γ(t) B2 (t, T )} r = 0, melynek tetsz leges t, T, és r értékre teljesülni kell. Rögzített t, T esetén, mivel az egyenletnek r minden értékére igaznak kell lennie A t (t, T ) β(t) B(t, T ) + 1 2 δ(t) B2 (t, T ) = 0 1 + B t (t, T ) + α(t) B(t, T ) 1 2 γ(t) B2 (t, T ) = 0. Így A és B kielégíti a következ dierenciálegyenleteket A t (t, T ) = β(t) B(t, T ) + 1 2 δ(t) B2 (t, T ) A(T, T ) = 0 B t (t, T ) + α(t) B(t, T ) 1 2 γ(t) B2 (t, T ) = 1 B(T, T ) = 0. A második egy Ricatti-féle dierenciálegyenlet, amely nem tartalmazza A-t. Ennek megoldását az els egyenletbe helyettesítve A-t integrálással kaphatjuk meg. 24
DINAMIKUS MODELLEZÉS Vasicek modell 21 dr(t) = a (b r(t))dt + σdw (t) r(0) = r 0 ahol r 0, a, b, σ > 0 konstansok. 22 A modell rendelkezik az átlaghoz (b-hez) visszahúzó tulajdonsággal 23, ugyanis b-nél magasabb kamatláb esetén a drift negatívvá, b-nél alacsonyabb kamatláb mellett pozitívvá válik. Tehát a kamatláb a ütemben tér vissza a b szintre. Ez alapvet, hiszen a részvényárfolyamokkal ellentétben a kamatlábakra jellemz, hogy hosszútávon visszatérnek egy átlagos szinthez. Az együtthatók konstansok, így r(t) egy lineáris sztochasztikus dierenciálegyenlet megoldása, ezért Gauss-folyamat, tehát minden t > 0 -ra pozitív valószín séggel vehet fel negatív értéket. Ez a modell legf bb hátránya, viszont körültekint paraméterválasztással a negatív kamatláb valószín sége minimálisra csökkenthet. Ezért, és egyszer számíthatósága miatt népszer maradt az alkalmazásokban. A pillanati kamatláb egy Ornstein-Uhlenbeck folyamat, a megoldóformula r(t) = e at (r 0 + b(e at 1) + azaz r(t) valóban normális eloszlású és ˆ t E(r(t)) = e at (r 0 + b(e at 1)) 0 ) σ e as dw (s), ( 1 e D 2 (r(t)) = σ 2 2at ). 2a Az elemi kötvény árának meghatározására kétféle módszer van. 21 Oldrich Alfons Vasicek 22 A Vasicek, és a következ szakaszban megjelen további modellek a short rate kockázatmentes mérték szerinti dinamikáját próbálják felírni, ezért innent l végig a P mérték szerint dolgozunk. Az egyenletekben megjelen W (t) tehát P szerinti Wiener folyamat, de mostantól ezt külön nem jelöljük. 23 mean reversion 25
DINAMIKUS MODELLEZÉS Els módszer 24. Ez a módszer r(t) normalitásán alapul és nem használja ki, hogy an modellben dolgozunk. Egy T-elemi kötvény ára p(t, T ) = E(e T t r(u)du F(t)). T t r(u)du is Gauss-folyamat (ez generátorfüggvények segítségével mutatható meg) és tudjuk, hogy X N(m, s 2 ) E(e X ) = e m+ s2 2, ami igaz feltételes várható érték esetén is, tehát p(t, T ) = e E( T t r(u)du F(t))+ 1 2 D2 ( T t r(u)du F(t)). Ez alapján a T-elemi kötvény ára kiszámolható, az eredmény ahol R = b σ2 2a 2 p(t, T ) = P (t, T, r(t)) = e (T t) R(T t,r(t)), jelöléssel R(t, r) = R 1 at [(R r)(1 e at ) σ2 4a 2 (1 e at ) 2 ]. Második módszer. Most kihasználjuk az anitást és az el z szakaszokban tárgyalt dierenciálegyenleteket oldjuk meg ebben a konkrét esetben. A megoldandó dierenciálegyenletek: B t (t, T ) a B(t, T ) = 1 B(T, T ) = 0 24 [5] alapján A t (t, T ) = ab B(t, T ) 1 2 σ2 B 2 (t, T ) A(T, T ) = 0. 26
DINAMIKUS MODELLEZÉS Rögzített T mellett az els egy közönséges dierenciálegyenlet, melynek megoldása A második egyenletet integrálva A(t, T ) = σ2 2 B(t, T ) = 1 a (1 e a (T t) ). ˆ T behelyettesítve az els egyenlet megoldását A T-elemi kötvény ára t ˆ T B 2 (s, T )ds ab B(s, T )ds, t A(t, T ) = (B(t, T ) T + t) (a2 b 1 2 σ2 ) σ2 B 2 (t, T ). a 2 4a p(t, T ) = P (t, T, r(t)) = e A(t,T )+B(t,T ) r(t). A második módszer általánosabb, nem csak normális eloszlású pillanati kamatláb esetén használható, kevesebb számolást igényel, valamint nem utolsósorban elegánsabb megoldás a kötvényárak kiszámítására. 27
DINAMIKUS MODELLEZÉS További modellek A bemutatott modellek (beleértve az el z szakaszban tárgyalt Vasicek modellt is) által feltételezett short rate dinamikák a következ dierenciálegyenlet speciális esetei: dr(t) = α(t) (β(t) r(t))dt + σ(t) r γ (t)dw (t) r(0) = r 0 ahol t α(t), t β(t) és t σ(t) nemnegatív determinisztikus függvények, γ 0, r 0 > 0 konstansok. A modell an γ = 0 és γ = 1 2 esetén. Dothan modell. dr(t) = (a r(t))dt + (σ r(t))dw (t) r(0) = r 0 azaz α(t) a, β(t) 0, σ(t) σ és γ = 1. A modell azt feltételezi, hogy r(t) egy geometriai Brown-mozgást követ, azaz hogy a kamatlábak ugyanúgy viselkednek, mint a részvényárfolyamok. Ez a feltételezés ma már nem számít elfogadottnak, ugyanis (ahogy már említettük) a részvényárfolyamokkal ellentétben a kamatlábakra jellemz, hogy hosszútávon visszatérnek egy átlagos szinthez. A megoldóképlet: σ2 (a r(t) = r 0 e 2 ) t+σ W (t). Cox-Ingersoll-Ross (CIR) modell. dr(t) = a (b r(t))dt + σ r(t)dw (t) r(0) = r 0 azaz α(t) a, β(t) b, σ(t) σ és γ = 1. 2 28
DINAMIKUS MODELLEZÉS A modell orvosolja a Vasicek modell problémáját, ugyanis a short rate négyzetgyökét l függ volatilitás miatt a kamatláb nem válhat negatívvá. Ráadásul, ha teljesül a Feller-kritérium, azaz ha ab > 1 2 σ2, akkor a kamatláb szigorúan pozitív marad. Emellett a modell megtartja az átlaghoz visszahúzó tulajdonságot. Hull-White (kiterjesztett Vasicek) modell. azaz γ = 0. dr(t) = a(t) (b(t) r(t))dt + σ(t)dw (t) r(0) = r 0 A modell a Vasicek modell kiterjesztése, konstans helyett id t l függ együtthatókkal. A megoldás továbbra is Gauss-folyamat. 29
BECSLÉSI MÓDSZEREK A GYAKORLATBAN Becslési módszerek a gyakorlatban Ahogy már volt szó róla, a hozamgörbe el állítása egy adott napon rendkívül egyszer en történne, ha lenne a piacon tetsz leges T lejáratra T-elemi kötvény. Ez viszont a valóságban nem teljesül, hiszen az elemi kötvényeket általában 1 évnél kevesebb id re bocsátják ki, így csak a rövidtávra érvényes hozamgörbét tudjuk közvetlenül az adatokra illeszteni. 1 évnél hosszabb lejárat esetén csak a kuponzet kötvények árai állnak rendelkezésünkre, amik nem határozzák meg egyértelm en a kuponzetési id pontokra vonatkozó s(0, T k ), k = 1,..., m azonnali hozamokat, ezért becslési módszerekhez kell folyamodnunk. Jelölje α a paramétervektort, ekkor a becslési eljárás menete statikus modelleknél a következ : 1. Kiválasztjuk a modellt, amely megadja a T s(0, T ; α) azonnali hozamgörbét és a T p(0, T ; α) diszkontfüggvényt paraméteres függvényként. 2. Ezzel a hozamgörbével/diszkontfüggvénnyel árazunk egy, a piacon lév kötvényt, azaz a hozamgörbe/diszkontfüggvény megfelel pontjaival diszkontáljuk a kötvény pénzáramlásait és ezeket összegezzük. Így megkapjuk a kötvény (bruttó) elméleti árát paraméteres alakban. 3. Minden kötvényre elvégezve a számolást el állítjuk a P (0, T i, c, m; α) elméleti kötvényárakat véges számú T i lejárati id re. 4. Megkeressük azt az α paramétervektort, melyre az elméleti és a valós árak eltérése minimális. Ezen paraméter melletti hozamgörbe/diszkontfüggvény lesz az adott napon a piacon meggyelhet hozamgörbe/diszkontfüggvény. Dinamikus modelleknél hasonló a becslés menete, de itt a modell kiválasztása még nem biztosítja rögtön a paraméteres hozamgörbét. 1. Kiválasztunk egy kamatlábmodellt, azaz meghatározzuk paraméteresen a short rate P mérték szerinti dinamikáját. 2. Megoldva a lejárati szerkezet egyenletet, vagy ha lehetséges, egyéb módon számolva (például a Vasicek modellnél látott els módszerrel) megkapjuk az 30
BECSLÉSI MÓDSZEREK A GYAKORLATBAN elméleti elemi kötvény árakat, azaz a diszkontfüggvényt paraméteres alakban: {p(0, T ; α), T 0}. 3. Ezután folytatjuk a statikus módszernél leírt menet 2. pontjával és hasonló módon el állítjuk az adott napra érvényes diszkontfüggvényt, majd ebb l származtatjuk az azonnali hozamgörbét. A becslést magyar államkötvény adatokon végeztem el, ugyanis így nem kellett számolni a nemzetésb l adódó kockázattal, hiszen ez államkötvények esetén (a legtöbb esetben) minimális. A 2001.06.26-2011.03.04 id intervallumra kaptam adatokat 84 db kötvényre vonatkozóan, excel formátumban. Minden kötvényhez tartozik egy leírás, mely a kötvény paramétereit tartalmazza, lásd 1. táblázat. Az egyes kereskedési napokon már a bid/ask árak alapján becsült egyetlen ár volt feltüntetve minden kötvényhez, így ezt az értéket vettem a kötvény aktuális piaci árának. Az árfolyamkockázat kisz rése végett csak forintban kereskedett kötvényekkel dolgoztam. A 2009.07.31 el tti árakban sok ismétl dést tapasztaltam, valamint néhány kötvény esetén az ismétl dés kés bb is el fordult, ezért ezeket az adatokat kivettem a vizsgált halmazból. A becslést így végül 54 db kötvényen végeztem el, 2010.11.26-tól kezd d en, ekkor már nagy részük kibocsátásra került, vagyis szinte minden napra volt 54 db áradatom. A vizsgált kuponzet kötvények mindegyike évente egyszer x kupont zet, melynek értéke a névérték százalékában van feltüntetve a kötvény leírásában. A piacon a kötvényeket nettó áron jegyzik, ennek meghatározásához a kötvény pénzáramlásai jelenértékének összegéb l még le kell vonnunk az el z kuponzetés óta felhalmozódott kamatot, aminek értéke AI = t T n T n+1 T n c, ahol T n+1 a következ, T n pedig az ezt megel z kuponzetés id pontja, t = T esetén AI := c. A diszkontálást kamatos-kamatszámítással végeztem el, mivel a gyakorlatban általában így számolnak. Mindhárom bemutatott módszert implementáltam, azaz volt egy Nelson-Siegel, egy Svensson és egy Vasicek ármeghatározó függvényem. Egy kötvény elméleti árának kiszámításához írt program alapötlete [3, 164.o.] található. A becslés során az eltérések súlyozott négyzetösszegét minimalizáltam, súlyoknak a kötvények 31
BECSLÉSI MÓDSZEREK A GYAKORLATBAN EXPLANATION HUNGARY 2005 5% 09/05/17 LEAD MANAGER ROYAL BANK OF SCOTLAND PLC DATASTREAM CODE 20985Q ISIN CODE HU0000402045 DATE - ISSUE 2002.01.17 DATE - REDEMPTION 2013.02.12 TARGET MARKET DOM MARKET HN EXCHANGE LISTING FF BL BD SW SECURITY TYPE BOND MEDIUM-TERM NOTES N CURRENCY HF BOND TYPE STR COUPON TYPE FIX COUPON 6,75 FLOATING RATE BASE RATE FLOATING RATE MARGIN PAYMENTS PER YEAR 1 DATE - FIRST COUPON PAID 2003.02.12 ACCRUAL BASIS ACTUAL/ACTUAL LIFE AT ISSUE 11,0712 ISSUE PRICE 100,788 AMOUNT ISSUED 597280800 AMOUNT ISSUED IN USD 3007199 1. táblázat. Egy kötvény leírása átlagidejét véve. A kötvények nagyobb része rövid lejáratú volt, ezért vizsgáltam a súlyozatlan esetet is, hiszen a súlyozott módszer hosszabb lejáraton ad pontosabb eredményt. Több becslést elvégezve a Svensson függvény túlparaméterezettnek bizonyult ezekhez az adatokhoz, ezért csak a másik két modellel foglalkoztam részletesebben. A becslést egy adott napra az R programcsomagban meglév nemlineáris legkisebb négyzetek módszerével végeztem el, ez a függvény viszont az összes napon egyszerre történ minimalizálás során leállt, a lépésszáma elérte a maximumát. Ezért az egész id intervallumra történ optimalizálás a robosztusabb, optim nev függvénnyel valósult meg, mely a legtöbb esetben konvergált. A becsléshez kezdeti értéket kellett adni a minimalizálandó függvény paramétereinek. Az optimalizálás 32
BECSLÉSI MÓDSZEREK A GYAKORLATBAN nem m ködött tetsz leges kezdeti érték megadásával, de mivel mindkét modell esetén jól értelmezhet a paraméterek jelentése, ezért lehet ség van a ténylegeshez közeli értékek meghatározására, melyeket vehetünk a becslés kezdeti értékének. Lefuttatva a teljes adatsorra a becslést, minden napra kapunk egy Nelson-Siegel és egy Vasicek paraméternégyest. Ezeket külön-külön átlagolva képet kaphatunk arról, hogy az egyes módszerek milyen rövid- és hosszútávú kamatlábra számítanak. > load("parameterek.rda") > NSparam BETA0 BETA1 BETA2 TAU 0.03916676 0.01545974 0.06748235 2.30993671 > VASparam a b r0 sigma 0.28207991 0.13525436 0.05293921 0.10005911 A Nelson-Siegel modellben az els, a Vasicek modellben a második paraméter jelenti a hosszútávú kamatlábat, ennek el rejelzésében tehát jelent s eltérés mutatkozik a két módszer között. A rövidtávú kamatláb értéke viszont közel hasonló a két esetben, hiszen BETA0 + BETA1 = 0.0546265 r0. Adott napon az 1 évnél kisebb lejáratú kötvények egyetlen pénzáramlást biztosítanak a jöv ben, így ebben az esetben az azonnali hozamok becslés nélkül megállapíthatóak. Ezért els ként azt vizsgáltam, hogy az egyes becslési módszerek mennyire pontosan számítják ki az 1 éven belül lejáró kötvények hozamait. Az egy napra, egy kötvényre vonatkozó eltérés a két módszerrel: > load("tudom_nshiba.rda") > load("tudom_vashiba.rda") > sum(sqrt(tudom_nshiba))/length(bill_nap) [1] 0.002741796 > sum(sqrt(tudom_vashiba))/length(bill_nap) 33
BECSLÉSI MÓDSZEREK A GYAKORLATBAN [1] 0.00359088 tehát a Nelson-Siegel függvény pontosabban, 0.27 %-os hibával becsül, de a Vasicek modell hozamai is csak 0.359 %-kal térnek el átlagosan a tényleges adatoktól. Ezt követ en azt vizsgáltam, hogy a becsült hozamgörbék mennyire pontosan határozzák meg olyan kötvények árát, amiket nem használtam fel a hozamgörbe készítéséhez. Ehhez minden 5. kötvényt kivettem a mintából, a maradék adatra elvégeztem a becslést, majd árazva a kimaradt kötvényeket, összehasonlítottam az elméleti és a valós árakat. Az eredmény: > load("kimarad_nshiba.rda") > load("kimarad_vashiba.rda") > sum(sqrt(kimarad_nshiba))/length(kimarad) [1] 0.004122804 > sum(sqrt(kimarad_vashiba))/length(kimarad) [1] 0.001262528 A Vasicek módszer lényegesen jobb becslést produkál, 0.125 %-os eltéréssel becsüli meg a kimaradó kötvények árát, a Nelson-Siegel módszer eltérése 0.4 %. Csak egyetlen napra, 2011.03.04-re is elvégeztem a becsléseket. A 4. ábra mutatja az 54 db kötvényre elvégzett minimalizálás során kapott becsl függvényeket a teljes lejárati id re. Jól látszik a súlyozott és súlyozatlan módszerrel kapott azonnali hozamgörbék közötti eltérés rövid lejáraton a Nelson-Siegel esetben. Több becslést elvégezve hasonló volt a tapasztalat, a Nelson-Siegel függvény rugalmasabb a Vasicek függvénynél. Az 5. ábrán látható az ismert adatok elhelyezkedése a becsültekhez képest. Mindkét függvény alulbecsüli az azonnali hozamokat, de egyértelm, hogy a Vasicek pontosabb. Ráadásul súlyozott esetben a Nelson-Siegel függvény jelent sen eltér a pontos adatoktól, míg a Vasicek a súlyozatlanhoz hasonló szinten becsül. 34
BECSLÉSI MÓDSZEREK A GYAKORLATBAN súlyozatlan hozamgörbe súlyozatlan diszkontfüggvény s(0,t) (%) 5.0 6.0 7.0 p(0,t) (%) 40 60 80 100 0 2 4 6 8 10 12 T (év) 0 2 4 6 8 10 12 T (év) súlyozott hozamgörbe súlyozott diszkontfüggvény s(0,t) (%) 4 5 6 7 p(0,t) (%) 40 60 80 100 0 2 4 6 8 10 12 T (év) 0 2 4 6 8 10 12 T (év) 4. ábra. Azonnali hozamgörbék és diszkontfüggvények 2011.03.04-én (piros színnel a Vasicek, zöld színnel a Nelson-Siegel becsléssel kapott eredmény) A második feladat, azaz minden 5. kimaradó kötvény árának megbecslése során a következ eredményeket kaptam: > load("kimarad.rda") > sqrt(sum((nsbecsult_ar - valos_ar)^2))/length(kimarad) [1] 0.158577 > sqrt(sum((vasbecsult_ar - valos_ar)^2))/length(kimarad) [1] 0.09193832 35
BECSLÉSI MÓDSZEREK A GYAKORLATBAN súlyozatlan hozamgörbe súlyozatlan diszkontfüggvény s(0,t) (%) 5.0 5.5 6.0 p(0,t) (%) 94 96 98 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T (év) T (év) súlyozott hozamgörbe súlyozott diszkontfüggvény s(0,t) (%) 4.0 5.0 6.0 p(0,t) (%) 94 96 98 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T (év) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T (év) 5. ábra. Az ismert adatok és a becsl függvények 2011.03.04-én (piros színnel a Vasicek, zöld színnel a Nelson-Siegel becsléssel kapott eredmény) > load("kimarad_dur.rda") > sqrt(sum((ns_dur_becsult_ar - valos_ar)^2))/length(kimarad) [1] 0.2809427 > sqrt(sum((vas_dur_becsult_ar - valos_ar)^2))/length(kimarad) [1] 0.09335776 tehát mindkét esetben pontosabb a Vasicek módszer és ismét látható, az eredményét nem befolyásolja jelent sen, hogy súlyozott, vagy súlyozatlan minimalizálást végzünk. 36
BECSLÉSI MÓDSZEREK A GYAKORLATBAN A Vasicek modell alapján végzett becslés után kapott paraméterek nem csak a hozamgörbe el állítására szolgálnak, segítségükkel meghatározhatjuk a short rate várható értékét és szórását, így képet kaphatunk ennek jöv beli alakulásáról, melyet a 6. ábra szemléltet. Ez jól mutatja a modell hiányosságát, miszerint a short rate pozitív valószín séggel vesz fel negatív értéket. Az eredmények alapján levonhatjuk azt a következtetést, hogy a jelen adatsoron rövidtávon a két módszer hasonló pontossággal becsül, míg hosszabb távon a Vasicek modell közelíti meg jobban a piacon meggyelhet adatokat. r(t) (%) 10 5 0 5 10 15 20 25 2012 2014 2016 2018 2020 2022 2024 dátum 6. ábra. A short rate lehetséges alakulása (2011.03.04, 3 trajektória) 37