Megoldási útmutató, eredménye A feladato megoldásaor mindig ismételje át a feladatban szereplő fogalma definícióit. A szüséges fogalma, definíció: valószínűségi változó, diszrét-, folytonos valószínűségi változó. Művelete eseményeel, egymást izáró, független eseménye, feltételes valószínűség fogalma. Eloszlásfüggvény, valószínűségeloszlás, sűrűségfüggvény eze tulajdonságai, apcsolatu, jelentésü. Tanult nevezetes eloszláso, azo tulajdonságai, paraméterei. Használja a zh-n, vizsgán is használható összefoglaló táblázatot. A szöveges feladat megoldását mindig úgy ezdje, hogy határozza meg a valószínűségi változó jelentését, az általa felvehető értéeet, folytonos-e diszrét-e, típusa. Nagyon hasznos, ha felrajzolja a ülönböző függvényeet, ha a onrét érdésnél, feladatnál többet is megpróbál értelmezni. A számításoat minden esetben ellenőrizze! Fontos, hogy az egyenlete megoldását, az integrálást is gyaorolja. Nem elég csa a megoldás gondolatmenetét megérteni..) A változó jelentse a továbbított ötös jelsorozatban a helyes jele számát. Így értéészlete a {,,,,4,5} számoból álló halmaz. Egy továbbított jel vagy helyes (sier,,8 valószínűséggel), vagy hibás (udarc,, valószínűséggel). Azzal a feltételezéssel élün, hogy a továbbított jele egymástól függetlenül helyese, vagy tévese. Így a változó binomiális eloszlásúna teinthető, n=5 és p=,8 paramétereel. Ahhoz, hogy jól történjen a deódolás legalább három helyes továbbított jelne ell lenni. A eresett valószínűség tehát a, 4, 5 5 5 egymást izáró eseménye összegéne valószínűsége: 5,8,. Számolja i a valószínűséget!.) A ísérletne ét imenetele van, balezes (sier, p=,) nem balezes (udarc q=,87). A ísérletet n=-szor egymástól függetlenül elvégezzü. Legyen ξ valószínűségi változó jelentése a balezese száma ebben az fős csoportban. Így ξ diszrét és felveheti a,,,, értéeet, vagyis ξ B(,,).,,87 értéet ell meghatározni. Enne, de az ellentett eseményne a iszámítása is ellemetlen, hosszú számolás, ezért próbáljun valamilyen határeloszlás tételt alalmazni. Ilyen a Moivre- Laplace, amelyne a feltételei teljesülne, mivel, 5,87 5,,.,,,87,94,94, 864,,87 A Moivre-Laplace tétel is egy példa a normális eloszlás jelentőségére, alalmazására..) A valószínűségi változó jelentése legyen az allergiás betege száma a fős csoportban. A ísérletne ét imenetele van, a sier (allergiás valai) valószínűsége, a udarc (nem allergiás) valószínűsége,7. Feltételezhető, hogy a csoport tagjai egymástól függetlenül allergiása, vagy sem. Ezért a binomiális eloszlást övet n= és p=, paramétereel. várható értée np=6, szórásnégyzete npq=4,. 6 5 6,,7,46 8 4 8,,7,7796 4 6 4 a.) 6,,7,96. b.). c.).
4.)Legyen a valószínűségi változó jelentése azona a napona a száma, amelyeen a napi hőmérséleti csúcs meghaladta a 8 C-ot az adott hét során! Ha feltesszü, hogy az egymást övető napo napi hőmérséleti maximuma egymástól független, aor binomiális eloszlással jellemezhető n=7 és p=,65 paramétereel. 7 7,65 4, 7 a.),65,5,998. M. b.) 55 5.) Legyen a valószínűségi változó jelentése a háromgyerees családoban a lányo száma! Mivel az egymást övető gyeree neme egymástól független esemény, ezért a teinthető egy n= és p=,49 paraméterű binomiális eloszlású változóna.,49,58,49,,49,58,889 6 6 np és 7 49 a.) valószínűségeloszlást. M 476,, 8659 b.). 6.) Az, összefüggésből a értée (=,,,) behelyettesítésével apju a D. npq egyenleteből álló egyenletrendszert ell megoldani. 7.) A feladat összetett, több ísérlet, így több valószínűségi változó szerepel benne. Az egyi változó X, amely az első nyereményig szüséges játszmá számát jelenti. X felveheti az,, értéeet. Így X olyan geometriai eloszlású változó, amelyne várható értée a játéos tapasztalata szerint 6 => sier valószínűsége /6. A mási változó Y jelenti az n-szer megismételt játésorozatban a nyert játszmá számát. Minden játéban ét imenetel van: a sier (nyer) p=/6 valószínűséggel, udarc (nem nyer) q=6/6 valószínűséggel, az egyes játéo imenetele egymástól független. Az Y felveheti a,,,n értéeet. Vagyis Y egy n, p=/6 paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változó Y Bn,. Az eredeti feladat 6 n n n 6 Y, 99 egyenlőtlenség megoldását jelentené, ami igen nehéz feladat, 6 6 hiszen n a ísérlete száma az ismeretlen. Ehelyett a omplementer esemény valószínűségét számolju. n 6 Így az ( Y ), egyenlőtlenséget ell megoldani. Innen n 88a megoldás. Vagyis 6 ezeel a feltételeel legalább 88-szor ell megismételni a ísérletet, a játéot. Megjegyzés: Ez a játészám jóval nagyobb, mint 6. Számolja i mi anna a valószínűsége, hogy a 6. játszma lesz az első, amelyben nyerni fog a játéos. 8.) A valószínűségi változó jelentése legyen a tárgy teljesítéséhez szüséges vizsgá száma, a sierre való váraozás. Értéei lehetne:,,. Teinthetjü geometriai eloszlásúna,6 sier valószínűséggel. Így a vizsgá számána várható értée:, 67, tehát a hallgató átlagban,67-szer vizsgázna.,6 9.) A sierre (4 méternél nagyobb ugrás) való váraozás, tehát geometriai eloszlás, / sier valószínűséggel, ha azt feltételezzü, hogy az egymást övető ugráso hossza egymástól független esemény..) A sierre való váraozás, szintén geometria eloszlás, ahol a sier valószínűsége /6.
.) Legyen a valószínűségi változó jelentése az egy táblában lévő hibá száma. Így a változó felveheti a,,,.. értéeet. Tehát a változó diszrét eloszlású, és oisson eloszlást övet, amelyre λ=,5. (Térben, időben történő pontszerű elhelyezedés.) a.) Az a érdés, hogy a táblá milyen valószínűséggel, hány százaléban leszne hibátlano. A,5!, 5 e értéet eressü, ami,66. Vagyis a táblá 6,6 %-a lesz hibátlan. b.) A valószínűség egyenlő a ; valószínűséget vonja a feltételes valószínűséggel. Ki ell számolni a feltételes. Figyelembe ell venni, hogy a { } esemény maga után eseményt, valamint azt, hogy a nevezőben szereplő eseménye egymást izáró eseménye. Számolja i a valószínűséget! c.) A ísérlet az, hogy db táblát megvizsgálun, és azt figyeljü, hogy egy tábla tartalmaz-e hibát, vagy sem. Tehát ét imenetel van, hibátlan (sier), vagy tartalmaz hibát (udarc). Az η valószínűségi változó jelentése legyen a hibátlan táblá száma. Így lehetséges értéei a {,,,} halmaz elemei. Vagyis η egy B(,,66) eloszlású valószínűségi változó. Keressü a ( ),66, 66 értéet. Végezze el a számolást! Gondolodhattun volna úgyis, ha a hiba várható értée egy táblában,5, aor táblában *,5=5. Azaz tábla esetén olyan oisson eloszlásról van szó, amelyre λ=5. Így anna a valószínűsége, hogy 5 5 tábla özül mindegyi hibátlan, azaz egyetlen hibás sem lesz e, ami megegyezi a fenti értéel.!.) Az X valószínűségi változó jelentése legyen a ét óra alatt érező híváso száma! Az X változó szintén oisson eloszlást övet. Annyit tudun, hogy egy óra alatt átlagban hívás érezi, aor óra alatt a híváso átlaga (várható értée) 4. Vagyis az eloszlás paramétere 4..) Az X valószínűségi változó jelentése a regisztrált részecsé száma. A változó diszrét eloszlású, felveheti a,,,,n értéeet. Mivel a p sier valószínűség icsi és feltehetőleg n elég nagy, ezért a binomiális eloszlású valószínűségi változó özelíthető np paraméterű oisson eloszlással. 4. A végtelen sorral történő számolás helyett a omplementer esemény X e 4! valószínűségéne meghatározásával ténylegesen a e, 99 egyenlőtlenséget! megoldani. Innen λ= =>n= 5. 4.) A iszolgáló egységhez érező ügyfele száma, többnyire oisson eloszlással jellemezhető. a változó jelentése legyen az időegység alatt érező ügyfele száma. Vigyázzun a mértéegységeel! a.) Az eloszlás paraméter nincs megadva. A megadott valószínűségből ell meghatározni.! e e összefüggésből adódi, hogy a perc alatt érező ügyfele számána várható értée (az eloszlás paramétere),5. Eor a 6 perc alatt érező az ügyfele számána várható értée,5.,5,5 e, a eresett valószínűség.! b.) Az esemény omplementeréne valószínűségét önnyebb iszámolni. 5.) A változó egyenletes eloszlású, így sűrűségfüggvénye: ell
ha x, b f ( x) b és tudju, hogy dx 4 4 => b=. M ( ), D ülönben b 4 7 Fejezze be a példát, írja fel az eloszlásfüggvényt! 6.) Legyen a Z valószínűségi változó jelentése a levél érezéséne időpontja. Tudju, hogy egyenletes eloszlású, de nem tudju, hogy mely intervallumon. A várható értée, az intervallum özepe ismert, 7, adott a szórás is. Meg ell a b oldani az: 7 b a ; intervallum határait iszámolta, aor Z ét ismeretlenes, ét egyenletből álló lineáris egyenletrendszert. Ha az min, b 6 f ( x) dx. Rajzolja fel a függvényt és vigyázzon a határora! 7.) Az X valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: ha x, f x. Eor a várható értée, a szórása. Táblázat! ülönben Keressü a valószínűséget. Ez a valószínűség ét integrál összege: 6 dx + dx. Fejezze be! 8.)Legyen az Y valószínűségi változó jelentése a hívás időpontja. A sűrűségfüggvénye: ha x 8, b f x b 8 mivel tudju, hogy dx,8 a b értée meghatározható, b=,5. ülönben b 8 8 9 Fejezze be!,5 a.),5 Y dx 8 9,5 b.) 9,5 Y Y 9,5 definíciójána és az,5 Y 9, 5 Y feltételes valószínűséget eressü. Végezze el a számolást a feltételes valószínűsség 9 összefüggésne a felhasználásával. 9.) A feladat összetett, ét ísérletből, ét valószínűségi változóból áll. Az egyi egyenletes eloszlású valószínűségi változó. Az eloszlásfüggvényét alalmazva: 4,5 4,5 4 4 8 6. Van egy mási valószínűségi változó η, amely értée azt adja meg, hogy 5 egymástól független ísérletből hányna az eredménye esi a megadott intervallumba. Eor η felveheti a,,,,5 értéeet. Így η binomiális eloszlású valószínűségi változó n=5 és p=/6 (amit az első részben iszámoltun) paramétereel. Ki ell számolni valószínűséget. A esemény 4 egymást izáró esemény összege, ezért a 5 5 5, 684. 6 6.) Az exponenciális eloszlás használható olyan élettartamot jelentő valószínűségi változó eloszlásána leírására, amelyben a meghibásodás nem a használati időtől, hanem valamilyen véletlen esemény (pl. feszültségingadozás) miatt övetezi be. Bebizonyítottu, hogy az exponenciális eloszlásna nincs emléezete (öröifjú tulajdonság). 6 6. Az ellentett esemény valószínűsége, az exponenciális Így M eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényéne, valamint az 5 5 e e adódi. felhasználásával:
.) Használju fel, hogy exponenciális eloszlás esetén M D x e dx e e., amiből. =, vagy az ellentett esemény és az eloszlásfüggvényéne a felhasználásával.) Elvárás: anna a valószínűsége, hogy a szerezet élettartama x-nél rövidebb legfeljebb,5 legyen. x x e, 5 => x 6, 55. Mivel napi óra üzemidőt számítun, ezért legfeljebb 6 nap legyen a garanciaidő..) A megoldás menete, a felhasznált összefüggése, mint a. feladatban. 4.) Enne a feladatna a megoldásához azt ell meggondolni, hogy a λ paraméterű oisson eloszlás esetén, milyen eloszlással jellemezhető a ét esemény beövetezése özött eltelt idő. Jelölje ξ az első vevő (esemény) érezéséig eltelt időt! Anna a valószínűsége, hogy az x> hosszúságú időtartam alatt egy vevő sem érezi (egyszer sem övetezi be az esemény): x x x x! e e. Így a ét vevő (esemény) érezése özött eltelt idő olyan exponenciális eloszlással jellemezhető, amelyne paramétere szintén λ. Ez szemléletesen azt jelenti, hogy ha óránént (6 perc alatt) átlagban vevő érezi, aor ét vevő érezése özött eltelt idő átlagosan / óra, azaz perc. Így a eresett valószínűsége meghatározásához a szintén λ paraméterű, de exponenciális eloszlást ell használni. 6 6 a.) F e, 7 6 b.) F e, 78 6 c.) F F. Végezze el a számolást! 6 6 5.) Folytonos valószínűségi változó esetén az ilyen típusú valószínűsége meghatározása a sűrűségfüggvény adott intervallum fölé eső területéne a iszámításával, azaz a sűrűségfüggvény adott intervallumon történő integrálásával lehetséges. Az eloszlásfüggvény ismeretében történhet az eloszlásfüggvény meghatározott helyeen vett helyettesítési értééből is megaphatju a eresett valószínűséget, de csa aor, ha az eloszlásfüggvény ismert, illetve sűrűségfüggvénye integrálását el tudju végezni. Ha a sűrűségfüggvény integráljána meghatározása csa numerius módszere alalmazásával (pl. sorfejtéssel) lehetséges, ezehez az eloszlásohoz eloszlásfüggvény táblázato észülte, hogy ne elljen minden alalommal elvégezni a rengeteg számítást. Ha ξ egy m, σ paraméterű normális eloszlású m valószínűségi változó, aor a transzformációval, egy új η valószínűségi változót apun, amely N(,) változó, azaz standard normális eloszlású. A sűrűségfüggvény várható érté örüli szimmetriáját az eloszlásfüggvényre alalmazva az ( x) ( x) összefüggést apju. Így a bármilyen paraméterű normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényéne értéét minden valós számra a standard normális eloszlásfüggvény nemnegatív értéere vonatozó táblázatából meg tudju határozni.
a.) ( x), 5 Az ellentett esemény valószínűségét ell felhasználnun, mivel definíció szerint F( x) ( x), és mivel folytonos valószínűségi változóról van szó, ezért (ξ=x)=. 6 x 6 x 6 ( x) ( x). Standardizálás után ( ) ( ), 5. A érdés az, x 6 hogy a független változó milyen értéére veszi fel a függvény a,5 értéet. Ebből => x=6. Maga a várható érté. Ha a normális eloszlás sűrűségfüggvényéne tulajdonságait jól ismerjü, aor számolni sem ell, hiszen a normális eloszlás esetében igaz, hogy M(ξ)=Medián(ξ). b.) ( x 9) F(9) F( x), összefüggést ell alalmazni. Standardizálás után a övetező x 6 6 9 6 9 6 x 6 egyenletet ell megoldani. ( ) ( ) ( ), => x= 7,8 c.) ( 4, 6, )? Standardizálju, majd alalmazzu a ( x) ( x) összefüggést. Fejezze be a számolást! Rajzolja fel az N(6,) és a N(,) eloszláso sűrűségfüggvényét! Értelmezze a feladatot, jelölje be a feladatban szereplő területeet! 6. Jelentse X a észülé élettartamát, azaz a meghibásodásig eltelt időt. Erről tudju, hogy X N6,; 6,. Keressü azt az x értéet, amelyre X x,. Azaz x, egyenletet ell megoldani. 6, x Mivel az eloszlásfüggvény,5-nél isebb értéeet negatív értéere vesz fel, ezért, egyenletet ell megoldani. Fejezze be! 7. Legyen X olyan valószínűségi változó, amely a deszá hosszát jelenti => folytonos, még az is adott, hogy X N(4, ). a.) ( 98 X 4) F(4) F(98), mivel folytonos a valószínűségi változó, ezért anna a valószínűsége, hogy egy adott értéet (pl. 98) vesz fel. Mivel normális eloszlású a változó és enne az eloszlásfüggvényét nem tudju meghatározni egy éplet formájában, ezért standardizálás után a N(,) eloszlásfüggvény táblázatát használju. 98 4 X 4 4 4 4 4 98 4 b.) Vagyis. Felhasználva a standard normális eloszlásfüggvény tulajdonságait, a eresett valószínűség:. Fejezze be a számítást! c.) A 97,5 X 4,5 valószínűséget eressü. A standardizálja, majd eresse i a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényéne értéeit a táblázatból!
8.) Most az intervallum felső határa a érdés. Tudju, hogy A, 5. Standardizálás után a A A,5 egyenlőtlenséget ell megoldani úgy, hogy özben most is fel ell használni azt, hogy ( x) ( x), mivel a táblázatban az eloszlásfüggvény értée csa a nemnegatív valós számora adott. 9.) A valószínűségi változó jelentése legyen a zajszint db-ben. Ez folytonos és N(45, σ) eloszlású. A mérési (tapasztalati) adatoból arra öveteztetün, hogy 5, és M( ) 45 db. Keressü 7 F 7 értéét. Standardizálás után a standard normális eloszlásfüggvény táblázatát ell 5 5 45 5 használni. A, 9 egyenletet ell megoldani. Számolja végig!.) Ha a valószínűségi változó jelentése a céghez beérező megrendelése száma, aor ez valójában diszrét eloszlású valószínűségi változó. Mivel azonban a megrendelése száma nagyon nagy, és so véletlen hatás együtteséne az eredménye is lehet, ezért ilyen esetben esetleg orábbi megfigyelése alapján- használhatun folytonos eloszlást, a normális eloszlást. A ξ valószínűségi változó jelentése a F => A naponta beérező megrendelésszám, N(m, ). Tudju, hogy m m m, összefüggésből az m értéét ell meghatározni a standard normális eloszlásfüggvény táblázatból, amely -nál isebb értéere nem tartalmazza az m eloszlásfüggvény értéeet. Így az, egyenletet ell megoldani. m, 9 alapján a táblázatból azt ell megeresni, milyen értére veszi fel az eloszlásfüggvény a,9 értéet. Ez a m hely,9 =>, 9=> m=..) A feladat ét részből áll. Az első részben szerepel ét valószínűségi változó: ξ amely N(;,4) és ξ, amely N(;,8) eloszlású, mind a ettőne a jelentése a betöltött folyadé mennyisége. A standard normális eloszlásfüggvény táblázatána segítségével i ell számítani a várható érté örüli, dl ingadozás valószínűségét a övetező összefüggése alapján:,9,,4,4,4,9,,5,8,8,8,9,,7,7,7,9,,5,5 Az első géppel töltött térfogat,5 valószínűséggel ingadozi a várható érté örül legfeljebb, dl-rel, a másodi géppel töltött térfogat,78 valószínűséggel. róbálja értelmezni ezt az eredményt. A feladat másodi részében szerepel ét esemény G, melyne jelentése az. géppel töltés, G, jelenti a. géppel töltést. Ez a ét esemény teljes eseményrendszert alot. (Nincs harmadi gép és egy üvegbe nem töltene ét gépből). Ugyanehhez a ísérlethez tartozi egy harmadi esemény: E a várható értétől való eltérés adott határon belül. Keressü E teljes valószínűségét az egész észletben, függetlenül attól, hogy melyi géppel töltötté a palacot. Tudju: (G )=,6, (G )=,4, valamint E G, és E G, 78. 5.
A teljes valószínűség tétele alapján: E,5,6,78, 4,64.