ár: Ár Bodó B, Somonné Szó Klár Mtmtik. közgzdászoknk
II. modul: Intgrálszámítás. lck: Intgrálási szályok Tnulási cél: Szorztfüggvénykr vontkozó intgrálási tchnikák mgismrés és különöző típusokr vló lklmzás Motivációs fldt Vlószínűség-számításnál tlálkozhtunk kövtkző prolémávl. Egy vlószínűségi változó várhtó 0, értékénk mghtározásához szükségünk vn z 0, d htároztln intgrálr. Az intgrálás nhézségét z dj, hogy nm tudunk olyn áltlános szályokt mondni, mi szorzt, hánydos vgy összttt függvényk stén mindig hsználhtó lnn. Azzl fogunk próálkozni, hogy ismrt driválási szályok mgfordításávl új intgrálási módszrkt kpjunk. Elmélti összfoglló Első stként vizsgáljuk z összttt függvény driválási szályát. Tudjuk, hogy összttt függvény driválj külső függvény driváltj z rdti lső függvény szrint, szorozv lső függvény driváltjávl. Nézzünk két példát: sin( ) cos( )( ) H ( ) + = + +, kkor cos( )( ) sin( ) H ( ) + + d = + + c =, kkor d = + c Mi közös két intgráln? Mindkét stn z intgrndus gy olyn szorztfüggvény, hol z gyik tényző gy összttt függvény, másik pdig éppn z összttt függvény lső függvényénk driváltj. A végrdménykn pdig z közös, hogy csk külső függvény primitív függvényét dtuk mg z rdti lső függvény szrint. Az ötlt nm csk zn két stn működik, áltlán is igz kövtkző tétl: Tétl: H vlmly intrvllumon ( ) ( ) függvény F( ) és h ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) f g g d = F g + c. g gy diffrnciálhtó függvény és f ( ) f g összttt függvény létzik, kkor függvény primitív
Kidolgozott fldtok. fldt: ( + )( + ) d Mgoldás: Az intgrndus gy szorztfüggvény, mlyn z gyik tényző, ( ) függvény külső és hsználhtjuk z új intgrálászi szályt. Csk z krsni. + gy összttt + lső függvénnyl. Ennk driváltj pdig ( + ) = +. Thát külső függvényhz kll primitív függvényt d = + c. Az új szály szrint, kpott primitív függvény lsz z új külső függvény, lső pdig z rdti. Thát ( )( ) ( ) ( ) g( ) f ( g ( )) ( + ) + + d = + + d = + c. fldt: tg d cos Mgoldás: Az intgrndus gy törtfüggvény. Eől z lkól nm látszik, hogy miért lklmzhtnánk z új módszrt. D h észrvsszük, hogy ( tg ) = és z intgrndust cos átírjuk z lái lkr, kkor mindn hlyér krül. tg d = ( tg ) d = ( tg ) d = cos cos cos A ( tg ) lsz z összttt függvény f ( g( )) g( ) külső és tg lső függvénnyl, mlynk driválj z intgrndus másik tényzőj. Mindn hlyén vn, lklmzhtjuk z új intgrálási módszrt. Mivl 6 6 d = + c zért ( tg ) ( tg ) 6 tg tg 6 d = d = + c = + c cos cos 6 6. fldt: d
Mgoldás: Az intgrndus gy szorztfüggvény. függvénnyl. Mivl ( ) z összttt függvény külső és lső = 0, zért zt mondhtjuk, hogy lső függvény driváltj mjdnm ott vn. Csk -st ki klln csrélni ( 0) -r. D zt gy ővítéssl l tudjuk érni. d = 0 d = 0 Ezzl ővítéssl mindn hlyér krült, csk z összttt függvény külső függvényéhz kll primitív függvényt krsni z rdti lső függvény szrint. Mivl d = + c, zért d = 0 d = 0 d = + c 0 0 0 g( ) f ( g ( )). fldt: ln d Mgoldás: Az intgrndus gy törtfüggvény. Eől z lkól nm látszik, hogy miért is lhtn tnult módszrt lklmzni rá. D vgyük észr, hogy z intgrndusn szrpl ln és és tudjuk, hogy ( ln ) =. Alkítsuk át gy kicsit z intgrndust. ln d = ln d = ln d = g( ) f ( g ( )) Most már jól láthtó, hogy ln összttt függvény külső és ln lső függvény, mlynk driváltj pdig éppn szorzt másik tényzőj. A külső függvény primitív függvényét kll még mgkrsni, mjd vnni z rdti lső függvénnyl lkotott összttt függvényét. d = d = + c = + c Folytssuk z intgrálást: ( ln ) ln ( ) d = ln d = + c = (ln ) + c = ln + c tszt rész
Ellnőrző kérdésk. ctg sin d ctg + c ctg + c ctg + c ctg + c. ln d ln + ln c + c ln + c ln + c. 0 sin cos d = sin + c sin + c cos + c 0 sin cos + c
. 6 d 7 6 + 6 7 + c 6 c + c 6 6 0 6 + c. + d ( + ) + c 6 ( ) + + c 9 ( ) + + c 9 + + c ( ) 6. ( + ) ( + ) ( ) 6 d + + c ( + ) 6 ( + ) 6 + c + c 8 + + c ( ) 6 normál rész 6
Elmélti összfoglló A szorztfüggvény driválási szályánk mgfordításáól gy új intgrálási módszrhz juthtunk. Az lái tétl rről szól. Tétl: H z u( ) és v( ) függvényk diffrnciálhtók, vlmint u ( ) v( ) z u ( ) v ( ) függvény is intgrálhtó és ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) u v d u v u v d. intgrálhtó, kkor A prciális intgrálás lklmzásávl z u ( ) v ( ) függvény intgrálását z u ( ) v( ) függvény intgrálásr vztjük vissz. A szályt olyn szorztok stén célszrű lklmzni, mlykn könnyn intgrálhtó v( ) -nk mgfllő tényző könnyn intgrálhtó, s h z u ( ) v( ) mint u ( ) v ( ). A szály lklmzásávl soh nm fjződik fldt mgoldás, hiszn jo oldlon második tg még intgrált trtlmz. Ezért is kpt lnvzését szály, hiszn csk részn történik mg z intgrálás. Az lklmzás során ngyon fontos, hogy z intgrálndó szorzt tényzői közül mlyikt válsztjuk u( ) -nk, illtv v( ) fldtokn dunk útmuttást. Kidolgozott fldtok. fldt: ( 6) sin d -nk. Err vontkozón kidolgozott Mgoldás: Az intgrndus gy szorzt, s zon lül is gyik tényzőj polinom, másik pdig sin. Próálkozzunk z lő mgismrt prciális intgrálás lklmzásávl. Válsszuk polinomot u( ) -nk, mrt így szály lklmzás után visszmrdó intgráln mjd zn polinom driváltj fog mgjlnni, mi már csk gy konstns. Így prciális intgrálás után már nm szorztfüggvény áll mjd z intgrndusn. Lgyn thát u( ) = 6 és v ( ) = sin. Ekkor u ( ) = és v( ) =cos. Az ismrt v( ) -ől intgrálássl kptuk mg v ()-t. Ezért fontos, hogy v( ) tényző könnyn intgrálhtó lgyn. Hlyttsítsünk szály. ( 6) sin d = ( 6) cos cos d = -nk válsztott A fldtot még nm oldottuk mg, hisz még vn gy intgrálunk. Eől zonn konstns szorzót kimlhtjük, s után már csk gy lpintgrál mrd. Így z rdmény kövtkző lsz: 7
( 6) cos cos d = ( 6) cos + cos d = ( 6) cos + sin + c. 6. fldt: ( + 7) d Mgoldás: Az intgrndus gy hsonló szorzt, mint milyn z lőző fldtn szrplt. Az lső tényző most is gy polinom, második tényzőn pdig vtt át sin szrpét. Az is könnyn intgrálhtó, így mgint prciális intgrálássl próálkozhtunk. Lgyn u( ) = + 7 és v ( ) =. Ekkor u ( ) = és v ( ) =. ln Hlyttsítsünk szály. ( + 7) d = ( + 7) = ln d ln A még mghtározndó intgrálól mljük ki konstnsokt, így már csk gy lpintgrál mrd, mit mghtározunk. ( + 7) ( 7) ln d = + ln ln ln d = ( + 7) + c = + 7 + c ln ln ln ln ln A két fldtn z volt közös, hogy olyn szorztot klltt intgrálnunk, mlyk gyik tényzőj gy polinom, másik tényzőj pdig z,, sin, cos függvényk vlmlyik. Ilynkor célszrű prciális intgrálást lklmzni olyn szrposztássl, hogy () u polinom lgyn, v( ) pdig másik tényző. A szályt hsználv visszmrdó intgráln ggyl lcsony fokszámú polinom mrd már csk. H z rdti polinom lsőfokú volt, kkor visszmrdó intgráln u ( ) már csk gy konstns lsz, mi z intgrálól kimlhtő. A v( ) -nk mgfllő függvényt könnyn tudjuk intgrálni, hiszn z,, sin, cos függvényk mindgyik lpintgrál. Rádásul z intgrálás rdményként kpott v () függvényt is könnyű intgrálni, mrt z is lpintgrál, vgy nnk számszoros lsz. Ez kkor fontos, h polinom nm lsőfokú. Ilynkor szályt töször kll lklmzni gymás után, gészn ddig, míg polinomól csk gy konstns mrd driválások után. Err mjd későikn muttunk példát. 7. fldt: ( + ) ln d Mgoldás: Ismét szorztot kll intgrálnunk, és z gyik tényző most is polinom, d másik tényzőn álló ln más típusú mint mi z lőző két fldtn szrplt. Akkor ott olyn függvény 8
állt, mly lpintgrál volt. A ln nm ilyn függvény. Ezért nm célszrű őt v' ( ) -nk válsztni, hiszn kkor v ()-t nm könnyű mghtározni. Lgyn thát szrposztás most prciális intgrálás során kövtkző: u( ) = ln és v ( ) = +. Ekkor u ( ) = és v( ) = +. Hlyttsítsünk zután szály. ( ) ( ) ( + ) ln d = + ln + d = A még mghtározndó intgráln gyszrűsítsünk, mjd végzzük l z intgrálást. Nm lsz nhéz dolgunk, mrt z gyszrűsítés után gy polinomot kll intgrálnunk. ( ) ln ( ) ( ) ln ( ) = + + d = + + + c 8. fldt: ln d Mgoldás: Hsonló szorztot kll intgrálnunk mint z lőző fldtn, csk most polinom nm tö tgól áll, hnm csk gytln tgól. Ugynúgy járhtunk l, mint z lő. Lgyn u( ) ln = és =. v () Ekkor u ( ) = és v ( ) =. Hlyttsítsünk zután szály. = = ln d ln d A visszmrdó intgráln most is gyszrűsítsünk, konstns szorzót pdig mljük ki. Mivl - nk gy htvány mrd csk, így zt már könnyn tudjuk intgrálni. ln ln ln d = = + d c Az rdmény gyszrű lkn is flírhtó, h kimljük mit lht. ln + c = ln + c 9
9. fldt: ln d Mgoldás: Az lőző négy fldtn szorzt állt z intgráln, d most nm. Azz gy gyszrű trükkl most is szorzttá lkíthtjuk. Írjuk z ln -t ln formán. Az is gy polinom, csk 0 ngyon gyszrű polinom, hiszn 0 fokszám. ( ) lőző két fldtn. Lgyn u( ) = ln és v ( ) =. = Így már ugynúgy járhtunk l, mint z Ekkor u ( ) = és v( ) =. Hlyttsítsünk zután szály. ln d = ln d A visszmrdó intgráln gyszrűsítsünk, mjd hjtsuk végr z intgrálást. ln d = ln d = ln + c Az rdmény kimlés után most is flírhtó más lkn. ( ) ln + c = ln + c Az utolsó három fldtn olyn szorztokt klltt intgrálni, mlyk gyik tényzőj polinom volt, z lhttt csk gy konstns is, másik tényzőj pdig z ln. Ilynkor is lklmzhtó prciális intgrálás, d nm polinomot kll u ()-nk válsztni, hnm z ln -t. Ennk ok z, hogy z ln nm lpintgrál, így nm olyn könnyn intgrálhtó mint például sin. Trmésztsn z zt is jlnti, hogy ilynkor polinom lsz v ( ). Ez jó is, hiszn gy polinomn csk pozitív gész kitvős htványfüggvényk állhtnk, mlyk pdig könnyn intgrálhtók. Az intgrálás növli htványok fokszámát, így z intgrálás utáni polinomn nm szrpl konstns tg. A lglcsony fokszámú tg is lglá lsőfokú. Mivl z ln driváltj, így visszmrdó intgráln gy lglá lsőfokú tgokt trtlmzó polinomot szorzunk -szl. Ilynkor mindig gyszrűsíthtünk -szl, és gy polinomot kpunk. Ezt pdig könnyn tudjuk intgrálni. tszt rész 0
Ellnőrző kérdésk 7. ( )sin d cos sin + c ( ) sin cos + c ( ) sin cos + c ( ) cos sin + c ( ) 8. ( + 7) d + 7 + c ln ln + 7+ + c ln ln ln ( 7 ln ) + + c ln ( 7 ln ) + + + c 9. ( + 8) cos d + 8 sin cos + c ( ) + 8 sin + cos + c ( ) + 8 cos + sin + c ( ) + 8 cos sin + c ( ) 0. (8 9) ln d ( 9 ) ln ( 8 9) + c
( 9 ) ln ( 8 9) + + c ( 9 ) ln ( 9 ) + c ( 9 ) ln ( 9 ) + + c normál rész Továi kidolgozott fldtok 6 + cos d 0. fldt: ( ) Mgoldás: Az intgrndus gy szorzt, mlynk lső tényzőj gy polinom, második tényzőj vzt célhoz. pdig cos. Ilyn stn prciális intgrálás ( u v= u v uv) Lgyn = 6 + és v cos u =. Ekkor u = 8 6 és v sin =. Hlyttsítsünk szály. ( ) ( ) ( ) 6 + cos d = 6 + sin 8 6 sin d A még mghtározndó intgrál ugynolyn típusú, mint milyn z rdti fldt volt, csk -gyl lcsony polinom fokszám, zz már csk lsőfokú. Ezért újr lklmzzuk prciális intgrálást. Lgyn u= 8 6 és v = sin. u = és v= cos. Ekkor 8 Amikor szály hlyttsítünk, kkor figyljünk od, hogy z intgrál lőtt ngtív lőjl állt, mi z intgrál hlyér krülő mindkét tgr vontkozik mjd. Ezért célszrű zárójlt hsználni hlyttsítésnél, hogy csökkntsük hi lhtőségét. ( ) ( ) ( ) 6 + cos d = 6 + sin (8 6) ( cos ) 8( cos ) d Bontsuk fl zárójlt, és mljük ki konstnst z intgrálól. ( ) ( ) 6 + cos d = 6 + sin + (8 6) cos 8 cos d Már csk gy lpintgrálást kll lvégzni, mjd mit lht össz kll vonni. Az rdmény kövtkző:
( ) ( ) ( ) c 6 + cos d = 6 + sin + (8 6) cos 8sin + c = = 6 sin + (8 6) cos +.. fldt: (7 + ) d Mgoldás: Az intgrndus gy szorzt, mlynk lső tényzőj gy polinom, második tényzőj pdig gy ponnciális függvény gy lináris lső függvénnyl. A korái fldtok zt sugllják, hogy most is lklmzzuk prciális intgrálást. A szokott módon polinomot driváljuk, és pdig intgráljuk. Az intgrálásnál hsználjuk z lőző félévn már tnult szályt: ( + ) F f ( + ) = + c Ennk rdményként kpjuk kövtkző primitív függvényt. -t d = + c Most már lklmzzuk prciális intgrálást. Lgyn u= 7+ és v =. Ekkor u = 7 és Hlyttsítsünk. v =. (7 ) d (7 ) 7 d (7 ) 7 d + = + = + + = Az új intgrndust gyszrű lkr tudjuk hozni, h konstns szorzókt kivisszük z intgráljl lé. 7 (7 + ) + d = Vgyük észr, hogy intgrálását fldt mgoldás során már gyszr lvégztük. 7 7 (7 + ) + + = (7 + ) + c c A kpott rdményt rövid lkn is fl tudjuk írni, h -t kimljük.
7 7 (7 + ) + c = 7 + c = ( 7 6,) + c Az rdmény: + = ( ) + c (7 ) d 7 6,. fldt: 0ln( ) d Mgoldás: Az intgrndus gy szorzt, mlynk lső tényzőj gy polinom, második tényzőj pdig logritmusfüggvény gy lináris lső függvénnyl. Hsználjuk prciális intgrálást. A korái fldtok mgoldás lpján logritmus függvényt driváljuk és konstns függvényt pdig intgráljuk. Lgyn u= ln( ) és v = 0. Ekkor u = = és v= 0 Hlyttsítsünk. 0ln( )d = 0ln( ) 0 d = 0ln( ) + 0d = Vgyük észr, hogy lináris lső függvény llnér is működik prciális intgrálás. Az gyszrűsítést után most is csk gy lpintgrálhoz jutottunk. Thát végrdmény: 0 ln( )d = 0ln( ) + 0 + c. fldt: ( + 7 )ln( )d Mgoldás: Az intgrndus gy polinom és ln szorztáól áll. Ez is gy típusfldt prciális intgrálásr. Már tudjuk, hogy ilyn stn logritmusfüggvényt fogjuk driválni. Lgyn u= ln és = +. v 7 Ekkor u = és v = + 7. Hlyttsítsünk : ( + 7 )ln( )d = + 7 ln + 7 d =
En z stn is gyszrűsítsünk -szl z új intgrndusn. + 7 ln 7 d 7 ln 7 d + = + + = Az intgrál mögött most is gy gyszrű polinom vn, csk z gyütthtók nm szép gész számok, mint z lőző fldtoknál. Írjuk át z intgrndust kövkző lk, hogy z intgrálás lépési jól láthtók lgynk. 7 + 7 ln + d = Most már csk tgonkénti intgrálást kll lklmzni htványfüggvénykr. 7 7 ln 7 + + + c = + ln 7 + c 9 Thát végrdmény: + = + + c 9 ( 7 )ln( )d 7 ln 7. fldt: ln d Mgoldás: Már koráikn csk ln -t kiintgráltuk. Az ötlt z volt, hogy gy gys szorzóvl fldtot prciális intgrálásr vzttük vissz. Alklmzzuk ugynzt z ötltt. ln d ln d = = Lgyn u = ln és v =. Ekkor u = ln és v =. Hlyttsítsünk, mjd z új intgrndusn gyszrűsítsünk -szl. = = ln ln d ln ln d Fjzzük z intgrálást. Egy szorztot kptunk, mlynk gyik tényzőj, mi gy nulldfokú polinom, másik pdig ln. Alklmzzuk újr prciális intgrálást. Lgyn u= ln és v =.
Ekkor u = és v =. Hlyttsítsünk, d ügyljünk rr, hogy z intgrál lőtti ngtív lőjl z újonnn kpott mindkét kifjzésr vontkozik, így tgyük ki most is zárójlt. = ln ln d = Az új intgrndusn lvégzv z gyszrűsítést csk -t kll kiintgrálni: ( ) ln ln + c = ln ln + + c A végrdmény thát: ln d ln ln = + + c tszt rész Ellnőrző kérdésk. 0, ( + ) d 0, 0, + c 0, 0, + 0 + c + + 0, 0, c + 0, 0, 0 c. ( ) 6 ln d ln( ) + c ln( ) ln + c ln( ) + + c 6ln( ) + c 6
+ cos d. ( ) ( ) + cos + ( ) sin cos + c ( ) + sin () cos + sin + c ( ) + sin + () cos sin + c ( ) + cos ()sin + cos + c + sin d. ( ) + cos + + sin cos + c ( ) ( ) + sin + cos + cos + c ( ) ( ) + cos + + sin + cos + c ( ) ( ) + sin + cos + c ( ) ( ). log d log + c ln log + c ln ln log + c log + c 7
. lck: Improprius intgrálás Tnulási cél: Htározott intgrál foglmánk kitrjsztés végtln intrvllumr. Dfiníciók lklmzás konkrét fldtok stén. Motivációs péld Eddig htározott intgrált csk végs zárt intrvllumon számoltunk. H z intgrndus z dott intrvllumon folytonos, kkor htározott intgrál létzik és primitív függvény ismrtén könnyn mghtározhtó. Vlószínűség-számításnál tlálkozhtunk kövtkző típusú fldttl. f =, h. Lgyn ( ) Bizonyítsuk, hogy f függvény és z tngly áltl közzárt trült ngyság. Korái ismrtink lpján tudjuk, hogy h gy f függvény dott intrvllumon nm vsz fl ngtív értékt, kkor f és z tngly áltl közzárt trült ngyságát f dott intrvllumhoz trtozó htározott intgrálj dj mg. Thát n z stn intgrált klln kiszámolni. Ezzl z d gond, hogy htározott intgrál számolásánál ddig végs értékkkl dolgoztunk, mlykt tudtunk hlyttsítni Nwton-Liniz-formulá. A -t nm tudjuk hlyttsítni. A kérdés zután áltlánosn úgy foglmzhtó mg, hogy miként tudunk intgrálni olyn stn, mikor z intgrálási intrvllum nm végs, zz htári között szrpl, vgy, vgy mindkttő. Err djuk mg válszt z láikn. Elmélti összfoglló A dfiníciók jo mgértéséhz próáljuk mg kikövtkzttni intgrál értékét. d Gondolkodjunk kövtkzőképpn. Számoljuk ki lső lépésn htározott intgrált,00 intrvllumon. Mjd z intrvllum flső htárát toljuk gyr kijj és kijj. Mivl z intgrndus folytonos, így ármly, intrvllumon ( ) htározott intgrálok létznk. Primtitív függvényt tudunk dni, így zkt z intgrálokt ki is tudjuk számolni. Mjd vizsgáljuk mg, hogy zn értékkről mit tudunk mondni. 00 00 00 00 d = d = = + = 99 00 00 000 000 999 d = = + = 000 000 8
000 000 000 000 999 999 d = = + = 000 000 000 000 Jlöljuk -vl flső htárt és állítsuk lő vl htározott intgrálokt. d = = + = Jól láthtó, h z intrvllum flső értékét gyr kijj toljuk, kkor gyr kis értékt kll kivonni -ől. Thát h flső htár végtln, kkor z intgrál értékét -nk vhtjük. Másképp mgfoglmzv: mivl végs zárt intrvllumon számolt htározott intgrálok értékit lő tudtuk állítni flső intgrációs htár függvényként, mly gyr közl és közl sik -hz (trt -hz), h flsőhtár mindn htáron túl növkszik, zért d = lgyn. Adjuk mg most már gy folytonos függvénynk gy végtln nyúló intrvllumon értlmztt intgráljánk dfinícióját, mit szokás improprius intgrálnk nvzni. dfiníció rész Dfiníció: Lgyn f( ) z [, [ intrvllum értlmztt folytonos függvény. Ekkor f ( ) d improprius intgrál pontosn kkor létzik, h lim f ( ) d htárérték létzik (végs), és kkor z improprius intgrál érték lgyn éppn kpott htárérték, zz f ( ) d = lim f ( ) d. normál rész H htárérték létzik, kkor szokás zt mondni, hogy z improprius intgrál konvrgns. H htárérték nm létzik (nm végs), kkor z improprius intgrál nm létzik. Ilyn stn szokás zt mondni, hogy z improprius intgrál divrgns. A htározott intgrálhoz hsonlón z improprius intgrálhoz is tudunk gomtrii jlntés dni. H f( ) 0 z, intrvllumon és f ( ) d konvrgns, kkor z improprius intgrál érték éppn f függvény és z tngly áltl közzárt trült mérőszámát dj z, intrvllumon. f z, H ( ) 0 intrvllumon és ( ) f d konvrgns, kkor z improprius intgrál érték 9
iztosn nmpozitív, d szolút érték éppn függvény és z tngly áltl közzárt trült mérőszámát dj mg. Thát áltlán gy függvény, intrvllumon vtt intgrálj szmléltsn nnk síkrésznk z lőjls trültét dj mg, mi függvény grfikonj és z tngly között hlyzkdik l z, intrvllumon. En z z érdks, hogy olyn lkzt trültéről szélünk, mi vízszints irányn -ig nyúlik, thát nm korlátos. {á:_.png} Szmléltsn nyilvánvló, hogy gy ilyn lkztnk csk kkor létzht trült, h flé hldv z lkzt gyr kskny lsz, zz függvény grfikonj simul z tnglyhz, mi zt jlnti, függvény htárérték végtlnn 0. (D z önmgán nm lgndő fltétl z improprius intgrál konvrgnciájár. H gy függvény htárérték végtlnn null, z improprius intgrálj még lht divrgns.) dfiníció rész Dfiníció: Lgyn f( ) ], ] intrvllumon értlmztt folytonos függvény. Ekkor f ( ) d improprius intgrál pontosn kkor létzik, h lim f ( ) d htárérték létzik (végs) és kkor z improprius intgrál érték lgyn éppn kpott htárérték, zz f ( ) d = lim f ( ) d. normál rész H htárérték végs, kkor szokás zt mondni, hogy z improprius intgrál konvrgns. Mindn más stn z improprius intgrál nm létzik, másképpn divrgns. 0
Itt is kimondhtjuk, hogy gy függvény ], ] intrvllumon vtt intgrálj szmléltsn nnk síkrésznk z lőjls trültét dj mg, mi függvény grfikonj és z tngly között hlyzkdik l z ], ] intrvllumon. {á:_.png} Nyilván csk kkor lht konvrgns gy ilyn intgrál, h z f ( ) függvény htárérték -n 0, zz f ( ) lim 0 dfiníció rész =. Dfiníció: H z gyik intgrációs htár sm végs, kkor z intgrálást úgy fogjuk fl, hogy mind z lsó, mind flső htárt végsnk válsztjuk, mjd mindkttőt gyr kijj és kijj toljuk (z lsót mínusz végtln, flsőt plusz végtln) és kkor f ( ) d = lim f ( ) d. normál rész Az improprius intgrál kkor lsz konvrgns, h htárértékk külön-külön létznk, mindn más stn pdig divrgns. Egy függvény, intrvllumon vtt intgrálj szmléltsn nnk síkrésznk z lőjls trültét dj mg, mi függvény grfikonj és z tngly közötti hlyzkdik l z, intrvllumon.
g} {á:_.pn Nyilván csk kkor lht konvrgns gy ilyn intgrál, h z f ( ) függvény htárérték -n és -n is 0, zz f ( ) f ( ) lim = lim = 0. Kidolgozott fldtok Htározzuk mg z lái improprius intgrálok értékét.. fldt: d Mgoldás: Az intgrndus értlmzv vn és folytonos [, [, Továikn folytonosságot nm vizsgáljuk, csk olyn fldtot nézünk, mlykr fltétlk tljsülnk. Alklmzhtjuk dfiníciót. A flső intgrációs htárn szrplő jlét csréljük l -r. d = lim d = Első lépésként végzzük l z intgrálást, és után jöht htárérték krsés. Szükségünk vn gy primitív függvényr. Azért hogy mgoldás jon átláthtó lgyn, végzzük l külön htároztln intgrál krsését, mjd térjünk vissz z improprius intgrál mghtározásához. d = d = + c = + c Folytssuk z improprius intgrálást: d = lim d = lim lim = + =
Alklmzzuk korái htárértékr vontkozó ismrtinkt. Első lépésként lég htárértékét vizsgálni. Mivl nvző mindn htáron túl növkdni fog, zért rciprok gyr kis pozitív szám lsz, zz h = 0 Most már tudunk htárértékt dni. lim 0 + = + = Thát htárérték létzik (végs), z improprius intgrál konvrgns és érték d =. fldt: 8 + d Mgoldás: Ez is gy improprius intgrál, mrt flső htár. Alklmzzuk dfiníciót. A jlét csréljük l -r. d = lim d = + + 8 8 Külön végzzük l htároztln intgrál számítását. Vgyük észr, hogy z intgrndus most gy lináris kifjzés ngtív kitvős htványként írhtó fl. Ekkor hsználhtó z lái intgrációs szály: ( + ) F f ( + ) d = + c, h F ( ) = f ( ). ( + ) d = d ( ) d c ( ) c = + = + = + + + ( + ) Vn primitív függvényünk, folytssuk z improprius intgrálást: d = lim d = lim ( + ) d = lim ( + ) = 8 + 8 + 8 8 + + = + + = lim ( ) lim ( ) 6
Most is z összg lső tgját kll vizsgálnunk, mivl második tg konstns, így önmgához trt. Hsználjuk fl korái htárértékr vontkozó ismrtinkt, zz h ( ) ( ) + + Thát + + = + = lim ( ) 6 6 Mivl htárérték nm gy végs vlós szám, hnm zért z improprius intgrál nm létzik, zz divrgns.. fldt: 0 d Mgoldás: Egy improprius intgrálll vn dolgunk. A dfiníció szrint írjuk át z intgrált. d = lim d = 0 0 Első lépésként djunk primitív függvényt. Vgyük észr, hogy gy összttt függvénnyl vn dolgunk. A lső függvény, újr hsználhtó z lái intgrációs szály: ( + ) F f ( + ) d = + c, h F ( ) = f ( ). Így: d = + c Folytssuk z intgrálást kpott primitív függvény flhsználásávl. 0 lim d = lim = lim = lim + = 0 0 Mivl gy konstns függvény mindig önmgához trt, zért csk zt klln vizsgálni, hogy z lső tg, zz vjon hov trt, h. Hsználjuk fl, hogy mivl lim =, kkor lim = lim = = 0. Így
lim + = 0 + = Thát z improprius intgrál konvrgns és érték d = 0. fldt: 0 ( ) d Mgoldás: Egy improprius intgrálll vn dolgunk. A dfiníció szrint írjuk át z intgrált. 0 0 d = lim d = ( ) ( ) Ahhoz, hogy tová tudjunk lépni, szükségünk vn gy primitív függvényr. Vgyük észr, hogy z 0 intgrndus gy összttt függvény, mlyn külső függvény, lső függvény pdig, zz gy lináris függvény. A külső függvény mitt z intgrndust ngtív kitvőjű htvány írhtó, és kkor vn intgrálási módszrünk: ( ) ( ) 0 c ( ) ( ) 8( ) 0 d = 0 ( ) d = 0 + = + c 0 lim d = lim = lim = ( ) ( ) ( ) Hsználjuk fl, hogy gy ngyon ngy értékkt vsz fl, kkor gy szám, zért önmgához fog trtni, így csk zt kll vizsgálni, h ( ) hov fog trtni. Mivl lim( ) ( ) = =, így lim n ( ) = = 0. Most már térjünk vissz z rdti fldthoz. lim = 0 = = ( ) 00 Thát z improprius intgrál konvrgns és érték
0 d = 00 ( ) tszt rész Ellnőrző kérdésk. 0 8 d = Az intgrál divrgns. 0,000 0,00 0,0008. 0 ( + ) d = Az intgrál divrgns. 0. 6 ( ) d = Az intgrál divrgns. 6
. 0 d Az intgrál divrgns. normál rész Kidolgozott fldtok. fldt: d + Mgoldás: Alklmzzuk dfiníciót. Most z lsó intgrációs htárn szrplő -t kll lcsrélni. Az új lsó htár lgyn. d = lim d = + + Ahhoz, hogy tová tudjunk lépni, szükségünk vn gy primitív függvényr. Vizsgáljuk mg + d htároztln intgrált. Mivl nvző gy lsőfokú (lináris) polinom, így driváltj gy szám, n z stn éppn. Egy ővítéssl kilkíthtjuk számlálón nvző driváltját, f( ) mjd hsználhtjuk z = ln f ( ) + c intgrálási szályt. f ( ) ln d = d = + + + + c Vn primitív függvényünk, folytssuk z improprius intgrálást. d = lim d = lim ln + = + + Hsználjuk Nwton-Liniz tétlt, ügylv rr, hogy z lsó intgrációs htár most éppn. lim ln lim ln ln lim ln ln + = + = + = 7
lim 0 ln lim ln lim ln + = + = + = Korái htárértékkr vontkozó ismrtink lpján mondhtjuk, h, kkor + =. Mivl mindn htáron túl növkvő számok trmészts lpú logritmus is mindn htáron túl növkvő, így lim ln + = = Thát z improprius intgrál nm létzik, másképpn divrgns, mivl vizsgált htárérték nm végs. 6. fldt: 6 ( ) 7 d Mgoldás: Alklmzzuk dfiníciót. Most is z lsó intgrációs htárt kll lcsrélni. 6 6 d = lim d = ( ) ( ) 7 7 A kövtkző lépés primitív függvény lőállítás. Az intgrndus most is összttt függvény gy 6 lináris lső függvénnyl. A külső függvény, mit csk kkor tudunk intgrálni, h átírjuk 7 ngtív kitvős htványként. Mjd lklmzzuk lináris lső függvényr vontkozó intgrálási szályt: ( + ) F f ( + ) d = + c, h F ( ) = f ( ). Hjtsuk végr mgdott lépéskt. 7 ( ) ( ) 6 d = 6( ) 7 d = 6 + c = 6 + c= 0 + c 6 ( ) ( ) A primitív függvény ismrtén folytssuk z improprius intgrálást. lim 6 ( ) ( ) ( ) 7 0 0 0 d = lim = lim + = 8
Most z összg lső tgj gy konstns, mi önmgához, zz 0 -hoz trt. A második tg htárértékét kll vizsgálni. Hldjunk lépésnként. H, kkor ( ) ( ) =. Mivl mindn htáron túl növkvő pozitív számok lim ötödik gyök is mindn htáron túl növkvő szám lsz, zért ( ) túl növkvő pozitív számok rciproki pdig gyr közl snk nullához, zz 6 6 lim = = 0 ( ) Most már tudjuk fjzni z improprius intgrálást. 0 0 lim + = 0 + 0 = 0 ( ) =. Mindn htáron Thát z improprius intgrál konvrgns és érték éppn 6 d =0. ( ) 7 7. fldt: 7 8 + d Mgoldás: Alklmzzuk szokott módon dfiníciót. 7 + 7 + 8 d = lim 8 d = A kövtkző lépés most is primitív függvény lőállítás. Az intgrndus gy összttt függvény gy lináris lső függvénnyl. Most is lklmzzuk z lái intgrálási szályt: ( + ) F f ( + ) d = + c, h F ( ) = f ( ). 7+ 7+ 8 7+ 8 d = 8 + c = + c 7 7 Térjünk vissz z improprius intgrálhoz. 7+ 7+ 8 7+ 8 8 7+ 8 d = lim 8 d = lim lim 7 = = 7 7 A htárérték lőállításához zt kll mgnézni, hogy ngyon kicsi ngtív stén trt? Hldjunk most is lépésnként. 7 + vjon hov 9
H, kkor 7 +. D ngyon kicsi ngtív számokhoz közlítv 7 gyr közli értékkt vsz fl, zz lim + = 0. 7 + nullához Thát htárérték végs, z improprius intgrál konvrgns és érték: 8 8 8 8 8 8 7 7 7 7 7 7 7+ lim = 0 = = 8. fldt: 0 + d Mgoldás: Induljunk l szokott módon. 0 0 d = lim d = + + Folytssuk primitív függvény mgdásávl. Tört intgrndus stén z z lső mit érdms mgnézni, hogy vjon mi nvző driváltj. Láthtó, hogy számlálón éppn nvző driváltj szrpl. Így vn intgrálási szályunk, mit tudunk lklmzni. + ( ) d = ln + + c = ln + + c Flhsználv, hogy + csk pozitív értékkt vht fl, z szolút érték gyszrűn lhgyhtó. Térjünk vissz z improprius intgrálhoz. 0 0 0 d = lim d = lim ln ( + ) = lim ln ln ( + ) + + A htárértéknél most is lépésnként hldjunk. H, kkor 0 + + = és kkor ( ) ln + ln A htárérték thát végs, z improprius intgrál konvrgns és érték: 0 d = lim ln ln ( + ) = ln ln = ln + tszt rész 0
Ellnőrző kérdésk. 0 d = Az intgrál divrgns. 6. 7 9 d = 9 Az intgrál divrgns. 7. d = 6 Az intgrál divrgns.
8. 0 ( 8 ) 7 d = 8 Az intgrál divrgns. 9. + d Az intgrál divrgns. normál rész Kidolgozott fldtok 9. fldt: + d Mgoldás: Egyik htár sm végs, így mindkttőt mgváltozttjuk, mjd mgváltozttott htárokkl trtunk z rdtikhz. Így kttős htárértékünk lsz. d = lim d = + + Primitív függvényt kll lőállítni. Az intgrndus gy törtfüggvény, mlynk számlálóján mjdnm nvző driváltj láthtó. Mivl ( ) f = ln f + c f intgrálási szályt. + =, zért ővítsünk -ml és hsználjuk
+ + ( ) d = d = ln + + c = ln + + c Mivl + mindn lhtségs stén pozitív értékt vsz fl, z szolút érték lhgyhtó. Folytssuk z improprius intgrálást. lim lim ln( ) d = + = + Hsználjuk fl, hogy h 0 + és h +, így lim ln( ) li ln( + m + ) = ln = Thát z gyik htárérték nm létzik, így + d improprius intgrál divrgns. 0. fldt: d + Mgoldás: Az lsó és flső htárt is l kll csrélni, mjd z lái két htárértékt kll vizsgálni: d = lim d = + + Végzzük l primitív függvény krsését. Az intgrndus gy törtfüggvény. Vgyük észr, hogy számlálón ővítéssl kilkíthtó nvző driváltj. Mivl ( ) 6 + =, ővítsünk 6 -tl. 6 d = d = ln + + C + 6 + 6 Mivl 0 + mindn vlós stén, zért z szolút értékt továikn lhgyjuk. lim d lim ln( ) lim ln( ) lim ln( ) + 6 6 6 = + = + + = Vizsgáljuk mg z lső htárértékt: h ln( ) + +. Kövtkzik másik htárérték:
h ln( ) + +. Thát + + = 6 6 lim ln( ) lim ln( ) Mivl htárértékk nm végsk, z improprius intgrál nm létzik. (Már z lső htárértékszámolás után mondhttuk voln, hogy z improprius intgrál divrgns.). fldt: d Mgoldás: Most is zzl kll kzdni fldtot, mind z lsó, mind flső intgrációs htárt lcsréljük. d = lim d = Szükségünk vn gy primitív függvényr, hogy tová tudjunk lépni. Az ilyn típusú intgráloknál észr kll vnni, hogy függvény driváltj pdig gy összttt függvény, mlynk lső függvény. A lső, mi gy gyszrű ővítéssl kilkíthtó z intgrndusn. H pdig gy összttt függvényt szorzunk éppn lső függvényénk driváltjávl, kkor hsználhtó koráról ismrt intgrálási szály: f ( g ( ) ) g( ) d = F ( g ( ) ) + c, hol F ( ) = f ( ) Végzzük l számolást: d = d = + c A primitív függvény sgítségévl htározzuk mg z improprius intgrált. Alklmzzuk z új htárokr Nwton-Liniz tétlt: d = lim d = lim lim lim = = A htárértékk vizsgált kövtkzik. Hldjunk lépésnként. H kko é r s 0 Hsonló kövtkzttésr jutunk másik htárértéknél is. H kkor és 0
Thát két htárérték külön-külön létzik, z improprius intgrál konvrgns és érték: lim lim 0 0 0 = + = Mgjgyzés: Az rdmény mglhtősn furcs. H zonn árázoljuk függvényt, végrdmény gyértlmű. Jól láthtó, hogy függvény z origór szimmtrikus és így két gör ltti trült mggyzik. D z tngly fltti és ltti trültkt z intgrálás llntéts lőjlll dj mg. Így z összgük null lsz. {á:_.png} Ellnőrző kérdésk 0. + 6 d 0 6 6 Az intgrál divrgns.. d 0 Az intgrál divrgns.
. + d Az intgrál divrgns. 0. Mlyik számolás hlys? + 6 d = + 6 0 = + + = 0 lim d lim ln ( 6) lim ln ( 6) + 6 0 = + + + = + 0 lim d lim ln ( 0 6) lim ln ( 0 6) 0 0 + 6 0 0 lm i d ( ) ( ) = lim + 6 lim + 6 = = 0 lim d + 6 ( ) + 6 ( + 6) = lim lim = 0 0 = 0 6
Modulzáró llnőrző kérdésk. ln d ln ln ln ln pont. cos sin d = cos cos cos sin sin pont. d pont 7
. 0, d = 0, 0, 0, + c + 0, 0, c 0 00 + 0, 0, c 0 0 0, 0, + + c pont. ( ) ( ) + sin d = + sin cos + sin + c + cos cos + sin + c ( ) + cos sin cos + c ( ) + cos + sin + cos + c ( ) pont 6. ( ) ln(6 ) d = + + + ( ) ln ( 6 ) c + ln ( 6 ) c + + c ( ) + c ( ) pont 7. d = 6 8
6 Az intgrál divrgns. pont 8. 8 ( ) d = 6 8 6 Az intgrál divrgns. pont 9. 0 d ( + ) 9 9 pont ( + ) 0. d 0 9
0 Az intgrál divrgns. pont. d pont. d Az intgrál divrgns. pont. + 7 d, ln 0 0
, ln Az intgrál divrgns. pont