1. A matematikai logika alapfogalmai Megjegyzések: a) A logikában az állítás (kijelentés), valamint annak igaz vagy hamis voltát alapfogalomnak tekintjük, nem definiáljuk. b) Minden állítással kapcsolatban megköveteljük, hogy az vagy igaz, vagy hamis legyen. Nem fordulhat tehát elő, hogy egy állítás igaz is, hamis is. c) Az állításokra kirótt követelményeknek csak a kijelentő mondatok, és azoknak is csak egy része tesz eleget. d) Valamely állítás igaz, ill. hamis voltát az állítás logikai értékének is nevezik, és célszerűen az igaz állításokhoz az 1, a hamis állításokhoz pedig a 0 logikai értéket rendeljük. a) A 2 természetes szám. Logikai értelemben ez a mondat állítás, logikai értéke 1. b) A 2 nem racionális szám. Logikai értelemben ez a mondat állítás, logikai értéke 0. 3 c) Beborult az élet vidám orcája. Logikai értelemben ez a mondat nem tekinthető állításnak. 2. A matematikai logika műveletei Megjegyzés: Állításokból kiindulva a következőkben ismertetésre kerülő műveletek segítségével újabb állításokhoz juthatunk. Definíció: Legyen A és B két állítás. A és a B konjunkcióján (logikai és művelet) olyan állítást értünk, amely pontosan akkor igaz, ha A és B is igaz. Jele: A B. Megjegyzés: A konjunkció ún. igazságtáblázata: A = A 2 természetes szám. B = 2 nem nagyobb 1-nél. A B = A 2 természetes szám és nem nagyobb 1-nél. Az A állítás logikai értéke 1, a B állításé 0, így a A B állítás logikai értéke 0, azaz hamis az állítás. Definíció: Legyen A és B két állítás. A és a B diszjunkcióján (logikai megengedő vagy művelet) olyan állítást értünk, amely pontosan akkor igaz, ha A és B közül legalább az egyik igaz. Jele: A B. Megjegyzés: A diszjunkció igazságtáblázata: A = A rombusz minden szöge 90 -os. B = A rombusz oldalai egyenlő hosszúságúak. A B = A rombusz minden szöge 90 -os vagy a rombusz oldalai egyenlő hosszúságúak. Az A állítás logikai értéke 0, a B állításé 1, így a A B állítás logikai értéke 1, azaz igaz az állítás. 1
Definíció: Legyen A és B két állítás. A és a B antivalenciáján (logikai kizáró vagy művelet) olyan állítást értünk, amely pontosan akkor igaz, ha A és B közül pontosan az egyik igaz. Jele: A B. Megjegyzés: A antivalencia igazságtáblázata: A = A 2 racionális szám. B = A 2 irracionális szám. A B = A 2 vagy racionális, vagy irracionális szám. Az A állítás logikai értéke 0, a B állításé 1, így a A B állítás logikai értéke 1, azaz igaz az állítás. Definíció: Valamely A állítás tagadásán vagy negációján (logikai nem művelet) olyan állítást értünk, amely pontosan akkor igaz, ha A hamis. Jele: A. Megjegyzés: A A állítást A negáltjának nevezzük. A negáció igazságtáblázata: A = A háromszög szögei egyenlők. B = Két páros szám összege mindig páros. A = A háromszög szögei nem egyenlők. B = Két páros szám összege sohasem páros. Az A állítás logikai értéke 0, így a A állítás logikai értéke 1, azaz igaz az állítás. A B állítás logikai értéke 1, így a B állítás logikai értéke 0, azaz hamis az állítás. Definíció: Legyen A és B két állítás. A előtagú és B utótagú implikációnak nevezzük azt az állítást, amely pontosan akkor hamis, ha A igaz és B hamis. Jele: A B. Megjegyzés: Az implikáció igazságtáblázata: A = A H háromszög szabályos. B = A H háromszög egyenlő szárú. A fenti állítások esetén A B igaz, B A hamis. Megjegyzés: Ha valamely matematikai tételben a A B implikáció igaz, akkor gyakran a következő kifejezések valamelyikét használjuk: Az előző példa esetében: a) ha A, akkor B; b) A-ból következik B; c) A elégséges feltétele B-nek; d) B szükséges feltétele A-nak; e) Minden A-ra igaz B is. a) ha a H háromszög szabályos, akkor (a H háromszög) egyenlő szárú is; b) abból, hogy a H háromszög szabályos, következik, hogy (a H háromszög) egyenlő szárú is; c) a H háromszög szabályos volta elégséges ahhoz, hogy (a H háromszög) egyenlő szárú legyen; d) a H háromszög egyenlő szárú volta szükséges ahhoz, hogy H szabályos háromszög legyen. 2
Definíció: Legyen A és B két állítás. A és B ekvivalenciáján azt az állítást értjük, amely pontosan akkor igaz, ha A B és B A is igaz. Jele: A B. Megjegyzés: Az ekvivalencia igazságtáblázata: A = A H háromszög szögei egyenlők. B = A H háromszög oldalai egyenlők. A fenti állítások esetén A B és B A implikációk igazak, ezért A B igaz. Megjegyzés: Ha valamely matematikai tételben a A B ekvivalencia igaz, akkor gyakran a következő kifejezések valamelyikét használjuk: Az előző példa esetében: a) A akkor és csak akkor, ha B; b) A pontosan akkor, ha B; c) A szükséges és elégséges B-hez; d) B egyenértékű (vagy ekvivalens) A-val. a) a H háromszög szögei akkor és csak akkor egyenlők, ha (a H háromszög) oldalai egyenlők; b) a H háromszög szögei pontosan akkor egyenlők, ha (a H háromszög) oldalai egyenlők; c) ahhoz, hogy a H háromszög szögei egyenlők legyenek, szükséges és elégséges, hogy (a H háromszög) oldalai egyenlők; d) az, hogy a H háromszög szögei egyenlők, egyenértékű azzal, hogy (a H háromszög) oldalai egyenlők. Megjegyzés: Ha állításokat az előbb említett műveletekkel összekapcsoljuk, akkor az un. logikai formulákhoz jutunk. (Ha n darab állítással dolgoztunk, akkor n változós logikai formuláról beszélünk.) (egyváltozós) logikai formulák: A; A; ( A); A A; stb. (kétváltozós) logikai formulák: A B; (A B); A B; stb. (háromváltozós) logikai formulák: (A B) C; (A B) C; (A B) C; stb. Ha valamely logikai formula változóiba konkrét állítást helyettesítünk, akkor vagy igaz, vagy hamis állításhoz jutunk. Tétel: Fennállnak az alábbi, logikai formulákra vonatkozó azonosságok: a) A B = B A, illetve A B = B A (kommutativitás); b) (A B) C = A (B C), illetve (A B) C = A (B C) (asszociativitás); c) (A B) C = (A C) (B C), illetve (A B) C = (A C) (B C) (disztributivitás); d) A A = A, illetve A A = A; e) (A B) = ( A) ( B), illetve (A B) = ( A) ( B) (De Morgan-azonosságok); f) ( A) = A; g) A B = A B, illetve A B = ( A B) (A B). 3
1.3 Állítások tagadása és megfordítása Definíció: Egy állítás tagadásán azt az állítást értjük, ami igaz, ha az eredeti állítás hamis, illetve hamis, ha az eredeti állítás igaz. Megjegyzés: Egy állítás tagadása többféleképpen is megfogalmazható. A = Ma hétfő van. Ekkor az A állítás tagadása: A = Nem igaz, hogy ma hétfő van. vagy inkább használatosabb: A = Ma nem hétfő van. Állítás és (A B) vagy (A B) kizáró vagy (A B) akkor és csak akkor (A B) ha-akkor (A B) minden ( A) van olyan ( A) Tagadása vagy ( A B) és ( A B) akkor és csak akkor (A B) kizáró vagy (A B) A B van olyan ( A) minden ( A) Tagadjuk le az alábbi kijelentéseket! a) Péter moziba megy. Péter nem megy moziba. b) Tegnap nem kaptam levelet. Tegnap kaptam levelet. c) Minden holló fekete. Van olyan holló, amelyik nem fekete. ( Nem minden holló fekete. ) d) Van olyan fiú, aki nem szereti a focit. Minden fiú szereti a focit. e) Elmentem a boltba és nem vettem tejet. Nem mentem el a boltba vagy vettem tejet. f) Holnap moziba megyek vagy tanulok. Holnap nem megyek moziba és nem tanulok. g) Ha hétfő van, akkor (mindig) fogorvoshoz megyek. (Van olyan, hogy) hétfő van és nem megyek fogorvoshoz. h) Akkor és csak akkor veszek új autót, ha ötösöm lesz a lottón. Vagy új autót veszek, vagy ötösöm lesz a lottón. (kizáró vagy, azaz pontosan az egyik teljesül) Definíció: Egy A B típusú állítás megfordításán a B A állítást (vagyis a feltétel és a következmény megcserélését) értjük. A Ha egy szám osztható 10-zel, akkor páros. megfordítása: Ha egy szám páros, akkor osztható 10-zel. Megjegyzés: A fenti példában az eredeti állítás igaz, a megfordítása azonban hamis. Ha egy A B típusú állítás és a megfordítása is igaz, akkor a két állításra: A B. 4
1.4 Kidolgozott feladatok 1. Feladat Írja fel rövidebb formulával az alábbi kifejezést! (A B) ( A B). A logikai formulákra vonatkozó azonosságok felhasználásával: (A B) ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) (A B) A B Megjegyzés: Másik lehetséges megoldás, ha elkészítjük a kifejezés logikai értéktáblázatát. A táblázatból kiolvasható, hogy a kifejezés értéke pontosan akkor igaz, ha A és B logikai értéke megegyezik, azaz ekvilanciáról (A B) van szó. 2. Feladat Fogalmazzuk meg a következő állítások tagadását! a) Minden barátomnak van legalább két testvére. b) Minden szállodában van telefon vagy rádió. c) Idén vagy a tengerparton, vagy a hegyek között nyaralunk. (kizáró vagy) d) Van olyan falu, ahol nincs posta. e) Van olyan tantárgy, amelyikből írásban és szóban is vizsgázunk. f) Ha tanulok, nem félek a dolgozattól. g) Minden embernek van olyan könyve, amelyiknek minden sorát kívülről tudja. a) Van olyan barátom, akinek legfeljebb egy testvére van. b) Van olyan szálloda, ahol nincs telefon és nincs rádió. c) Idén akkor és csak akkor nyaralunk a tengerparton, ha a hegyek között is. d) Minden faluban van posta. e) Minden tantárgyra igaz, hogy nem vizsgázunk belőle írásban vagy nem vizsgázunk belőle szóban. f) Tanulok és félek a dolgozattól. g) Van olyan ember, akinek minden könyvében van olyan sor, amit nem tud kívülről. 3. Feladat Fogalmazzuk meg a következő állítás megfordítását: Ha egy húrnégyszögnek van derékszöge, akkor téglalap. Igaz-e az állítás, illetve a megfordítása? 5
Az állítás megfordítása: Ha egy húrnégyszög téglalap, akkor van derékszöge. Az eredeti állítás hamis (egy lehetséges ellenpélda az a négyszög, amelynek szögei az egyik körüljárás szerint: 90, 60, 90 és 120, ez a négyszög a húrnégyszögek tételének megfordítása miatt húrnégyszög, de nem téglalap. Az állítás megfordítása igaz, hiszen egy tetszőleges téglalapnak van derékszöge. 4. Feladat Zsuzsi azt mondja édesanyjának: Ha az újságot elolvasom, vagy a rádió híreit meghallgatom, akkor nem kapcsolom be a televíziót és levelet írok. Zsuzsi kijelentésének mi a logikai értéke abban az esetben, ha nem olvasott újságot, a rádió híreit hallgatta, bekapcsolta a televíziót, levelet írt? Az egyszerű kijelentések: Az összetett kijelentés: A: Újságot olvas. B: A rádió híreit hallgatja. C: Bekapcsolja a televíziót. D: Levelet ír. (A B) ( C D). Értékeljük ki az összetett kijelentést: Az előzőek értelmében a kifejezés logikai értelemben hamis. 5. Feladat A következő állításokat bontsuk fel egyszerű kijelentésekre, és azokból logikai műveletek segítségével írjuk fel az összetett kijelentést! a) Esik az eső és délután nem megyek úszni. b) Ha kedd van, akkor délután úszni vagy teniszezni megyek. c) Akkor és csak akkor megyek teniszezni, ha nem esik az eső és nem fúj a szél. d) Ha délután tanulok és nem megyek moziba, akkor holnapra felkészülök, és Pistával pingpongozom vagy sakkozom. a) Az egyszerű kijelentések: A: Esik az eső. B: Délután úszni megyek. Az összetett kijeletés: A ( B). b) Az egyszerű kijelentések: A: Kedd van. B: Délután úszni megyek. C: Teniszezni megyek. Az összetett kijeletés: A (B C). 6
c) Az egyszerű kijelentések: A: Teniszezni megyek. B: Esik az eső. C: Fúj a szél. Az összetett kijeletés: A ( B C). d) Az egyszerű kijelentések: A: Délután tanulok. B: Délután moziba megyek. C: Holnapra felkészülök. D: Pistával pingpongozom. E: Pistával sakkozom. Az összetett kijelentés: (A B) (C (D E)). 6. Feladat Készítsük el az alábbi kifejezés logikai értéktáblázatát! (A B) A. A kifejezés kétváltozós, ezért négy esetet kell megkülönböztetni: A B A B (A B) (A B) A 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 7