Háromdimenziós, relativisztikus, gyorsuló hidrodinamikai megoldások nehézion-ütközésekben

Háromdimenziós, relativisztikus, gyorsuló hidrodinamikai megoldások nehézion-ütközésekben Kurgyis Bálint Fizika BSc. II. Témavezet : Csanád Máté ELTE TTK Atomzikai Tanszék 017. november 16. TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOLGOZAT

Absztrakt A nagyenergiás nehézionzika egyik legfontosabb felfedezése az volt, hogy a relativisztikus atommagütközésekben létrejön az er sen kölcsönható kvark-gluon plazma, amely majdnem tökéletes folyadékként viselkedik, és így id fejl dése hidrodinamikai modellekkel írható le. A numerikus számításokon túl az egzakt, analitikus megoldások kiemelten fontosak a kezdeti- és a végállapot kapcsolatának megértésében. A relativisztikus hidrodinamika egyenleteinek kevés analitikus megoldása ismert, ezek között vannak realisztikus többpólusú szimmetriával rendelkez ) megoldások, amelyek Hubble-tágulást írnak le, és jól leírják a hadronok és fotonok kísérletekben mért eloszlásait. Ugyanakkor ezen megoldások gyorsulásmentes tágulást írnak le, így nem használhatóak az id fejl dés kezdetének leírására. Ismertek gyorsuló tágulást modellez megoldások is, ezek viszont térben csak egydimenziósak vagy gömbszimmetriával rendelkeznek, így legfeljebb a longitudinális dinamika vizsgálatára használhatóak. Tudományos diákköri munkám célja egy analitikus, gyorsuló, perturbatív megoldás kidolgozása és bemutatása, egzakt Hubble-folyás típusú, többpólusú megoldásokat alapul véve. A munkám során talált megoldás a hidrodinamika egyenleteinek els rend perturbációinak segítségével kapható meg. A rendszer leírásához használt minden mez t négyessebesség, nyomás, energias r ség és száms r ség) els rendben perturbáltam, majd a perturbált mez kre vonatkozó egyenletek megoldásaiból kaptam a keresett mennyiségeket. A kapott perturbációk az eredeti mez kkel arányosak, illetve minden perturbációban ugyanaz az egyetlen perturbációs paraméter szabályozza a talált megoldás skáláját. A relativisztikus hidrodinamika ilyen módszerrel kapott új megoldásosztálya azért fontos, mert a realisztikus, többpólusú szimmetriával rendelkez eloszlásokat összehangolja a gyorsuló tágulással. Így alkalmas arra, hogy a Hubble-táguláshoz közeli dinamikával rendelkez rendszerben fellép gyorsulást és nyomásgradienst realisztikus geometria mellett analitikusan leírjuk. A talált megoldásosztály jelent sége továbbá az, hogy megérthetjük általa a kezdeti gyorsulásnak és a nyomásgradienseknek a végállapotbeli eloszlásokra gyakorolt hatását. 1

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 1.1. Bevezetés a nehézionzikába................................. 4 1.. A tökéletes kvarkfolyadék.................................. 4. Hidrodinamika 6.1. A relativisztikus hidrodinamika alapegyenletei....................... 7.. Ismert megoldások...................................... 8 3. A relativisztikus hidrodinamika perturbatív kezelése 9 3.1. A perturbációkra vonatkozó egyenletek........................... 10 3.. Álló közeg perturbációi.................................... 10 4. Hubble-tágulás perturbációira vonatkozó egyenletek 11 4.1. Az energiaegyenlet megoldása................................ 1 4.. Az Euler-egyenlet megoldása................................ 1 4.3. A kontinuitási egyenlet megoldása.............................. 13 5. A talált perturbatív megoldásosztály 14 5.1. Konkrét megoldások megadása............................... 14 6. Mérhet mennyiségek kiszámítása 7. Összefoglalás 7 Hivatkozások 8 A. Függelék 30 A.1. További skálaváltozók I.................................... 30 A.. További skálaváltozók II.................................... 31

1. Bevezetés A körülöttünk lév atomos anyag elektronokból, és az atommagot felépít neutronokból valamit protonokból áll. Ezek közül az elektron elemi részecske, viszont a protonok és a neutronok kvarkokból és az ket összetartó gluonokból állnak. A természetben találhatunk más kvarkok és gluonok által felépített részecskéket azaz hadronokat) is, például kaonokat vagy pionokat. Ezeket az er s kölcsönhatás, más néven a kvantum-színdinamika QCD) írja le. Ennek az elméletnek több érdekes tulajdonsága is van, ami az er sen kölcsönható rendszereket jellemzi. Az egyik a kvarkbezárás jelensége, amely azt jelenti, hogy hétköznapi körülmények között a kvarkokat szabadon nem, csupán az általuk alkotott, színtöltésre nézve semleges hadronokban gyelhetjük meg. Az er s kölcsönhatás másik érdekes tulajdonsága az úgynevezett aszimptotikus szabadság, ami azt jelenti, hogy extrém nagy energián a kvarkok kiszabadulhatnak a hadronokból, illetve az energia növelésével a köztük ható kölcsönhatás eltüntethet. Az Univerzumunk körülbelül 13.7 milliárd éves [1]. Az id ben visszafelé haladva egyre forróbb és s r bb világgal találjuk szembe magunkat, ahogyan azt az 1. ábra is illusztrálja. Az Žsrobbanást követ en egymilliomod másodperccel még nem léteztek protonok vagy neutronok, az Univerzumot a kvarkok és gluonok forró egyvelege, azaz a kvark-gluon plazma QGP), töltötte be. Ahhoz, hogy ezt az újfajta közeget és ezzel együtt az Žsrobbanást is jobban megérthessük, az akkori körülményeket kell reprodukálnunk a Földön. 1. ábra. Az Univerzum története az Žsrobbanástól napjainkig. 3

1.1. Bevezetés a nehézionzikába A kvark-gluon plazma vizsgálatához mini- srobbanásokat hozunk létre nehézion-ütközésekben. Részecskegyorsítókban ultrarelativisztikus sebességekre azaz majdnem fénysebességre) gyorsítunk nehézionokat például elektronjaitól megfosztott ólom Pb) vagy arany Au) atommagokat), majd ezeket ütköztetjük egymással. Így megteremthetjük a szükséges feltételeket a kvark-gluon plazma létrejöttéhez [, 3]. A létrejöv kvark-gluon plazmát közvetlenül azonban még itt sem tudjuk vizsgálni, mivel élettartama nagyon rövid kb. 10 fm/c). Ahogy a kvark-gluon plazma h l, egy kritikus kifagyási h mérséklet elérésénél bekövetkezik a hadronizáció, mely során a kvarkok és gluonok újra hadronokká állnak össze. Az ütközési pont köré telepített detektorrendszerekben egyrészt az ütközéskor közvetlenül keletkez leptonokat és fotonokat, másrészt a hadronizáció során létrejöv részecskéket gyelhetünk meg, ahogyan ezt a. ábrán is láthatjuk. Ezeknek a jól ismert részecskéknek mérhetjük különböz paramétereit impulzusát, tömegét, töltését). Az így nyert információkból tudunk következtetni arra, hogy mi történt az ütközés pillanatában, létrejött-e a kvark-gluon plazma. El ször az amerikai Relativisztikus Nehézion-Ütköztet ben RHIC) végeztek olyan méréseket, amelyeknél egyértelm bizonyítékot találtak egy újfajta anyag létrejöttére [47]. Számos olyan jelenséget tapasztaltak, amely arra utalt, hogy egy új fázisú anyag jött létre az ütközés során. Meggyelték azt, hogy kevesebb nagyimpulzusú részecske keletketett az Au+Au ütközésekben, mint azt a proton-proton p+p) ütközésekb l várták volna [8]. Ha azt feltételezzük, hogy sok nukleonból álló atommagok ütközésekor nem történik más, mint sok szimultán nukleon-nukleon ütközés, akkor azt várhatnánk, hogy annyi részecske keletkezik a nehézion-ütközésben, mint az ütközésben résztvev bináris nukleon-nukleon ütközések száma, szorozva a p+p ütközésekre jellemz értékkel. Ennek az aránynak a jellemzésére bevezethetjük a nukleáris módosulási faktort R AA ): R AA = Au+Au ütközésben keletkez részecskék száma p+p ütközésben keletkez részecskék száma x Bináris ütközések száma Ezek után a nehézion-ütközéseket centralitásosztályokba rendezhetjük, ami azt jelenti, hogy százalékos értékkel jellemezzük a periférikusságot. Tehát ha egy ütközés 100%-os centralitású, az azt jelenti, hogy az a legperiférikusabb ütközés. Ha százalékos intervallumot adunk meg, akkor például a 0-10% az ütközések legcentrálisabb tizede. Ennek az új osztályozásnak a segítségével azt vehetjük észre, hogy a nukleáris módosulási faktor a centralitás függvényében egyre inkább eltér ett l, centrálisabb ütközésekben kevesebb részecskét gyelhetünk meg, mint amennyit várnánk. Ennek egyszer magyarázatát adja az a feltevés, hogy a centrálisabb ütközésekben nagyobb térfogatban keletkezik egy újfajta közeg, amelyben így hosszabb úton tudnak fékez dni a részecskék. Így végül kisebb impulzussal érkeznek a detektorokba. Ugyanezt a jelenséget látjuk a jetek nagyimpulzusú, jól deniált irányba érkez részecskezáporok) elnyomásánál [68]. A nagyenergiás ütközésekben általában csak párban keletkeznek nagyon nagy energiájú részecskék, mivel kezdetben a nyalábokban érkez részecskék nyalábra mer leges impulzusa nulla, így a keletkez részecskéknek a nyalábra mer leges síkban azaz transzverz síkban) vett impulzusösszege nulla kell, hogy legyen. Ennek következtében általában jet-párokat gyelhetünk meg egymással ellentétes irányban. Így p+p ütközéseknél, ha találtunk egy jetet, akkor az ellentétes irányban lév detektorokban megtalálhatjuk annak párját, ám a centrálisabb nehézion-ütközésekben gyakran hiányzik, vagy nagyon szétlapult az ellentétes oldalon keresett jet. Ezek a meggyelések azt jelzik, hogy nem szimplán nukleon-nukleon ütközések szimultán sokasága zajlott le, hanem egy újfajta közeg alakult ki az ütközések során. Ez az új közeg a keresett kvark-gluon plazma, amit 005-ben fedeztek fel a RHIC-ben. Azóta az európai Nagy Hadronütköztet ben LHC) is el állították a kvark-gluon plazmát [91], és mindkett intézményben ma is aktívan kutatják a maganyag ezen érdekes fázisát. 1.. A tökéletes kvarkfolyadék A kísérletekben láttuk azt, hogy egy újfajta közeg, a maganyag egy új fázisa jön létre. Szeretnénk a kísérletek során tapasztalt jelenségeket elméleti modellekkel is leírni. Kézenfekv az er sen kölcsönható 4

. ábra. A nehézion-ütközésekben létrejön a kvark-gluon plazma, amelyb l a kifagyás során létrejöv hadronokat mérhetjük. Emellett az ütközésben közvetlenül keletkez leptonok és fotonok az er sen kölcsönhat QGP-vel nem lépnek interakcióba, így ezekb l közvetlen információt kaphatunk az ütközésr l. megolvadt kvarkanyag alapvet tulajdonságait a hidrodinamika segítségével leírni. Ennek oka, hogy a kísérletekben létrejöv maganyag majdnem tökéletes folyadékként viselkedik [1316]. A folyadékkép kialakulásához több meggyelt jelenség is hozzájárult. Az egyik, hogy a közeg termalizálódik, így a hadronizáció során létrejöv részecskék impulzuseloszlása MaxwellJüttner-eloszlást követ. A QCD által jósolt 170 MeV-es h mérséklet ez nagyjából 1.16 10 1 K) jól egyezik az impulzuseloszlásból kísérletileg meghatározott hadronizációs h mérséklettel [171]. Egy másik érdekes jelenség, amelyet nehézion-ütközésekben meggyelhetünk, a periférikusabb ütközéseknél a transzverz impulzuseloszlásban jelentkez anizotrópia. Az ultrarelativisztikus sebességre gyorsított, és a Lorentz-kontrakció miatt kilapított atommagok, ha nem teljesen centrálisan ütköznek, akkor az ütközési tartomány els közelítésben ellipszis alakú. Az ütközési tartomány ellipszoidális szimmetriáját illusztrálja a 3. ábra. A transzverz síkban, az ellipszis nagytengelyét l mért φ szög függvényében Fourier-sorba fejtve a kezdeti alakot: F φ) = f 0 + a n cosnφ) + 1 b n sinnφ) 1) 1 Itt a naiv elképzelésünknek megfelel en a cosφ) együtthatója a meghatározó. Ezután, ha deniáljuk a reakciósíkot, ami az ellipszis kistengelye és a nyaláb által meghatározott sík, akkor azt mondhatjuk, hogy a rendszerünk erre a síkra szimmetrikus, így a páratlan indexhez tartozó cosnφ) együtthatók elhanyagolhatóak. Továbbá az ellipszis nagytengelyére is szimmetrikus a rendszer, és mivel a szöget az egyik nagytengelyt l mérjük, így a sinnφ) tagok teljesen elt nnek, vagyis minden ütközést a reakcíósíkba forgatva cosnφ ψ n )) kifejezést kapjuk, ahol a ψ n szögek a reakciósík n-ed rend elfordulását jelzik. A valóságban az atommagok nem folytonosak, hanem véges számú nukleonból állnak, így a páratlan index a n együtthatók is megmaradnak. Megvizsgálhatjuk azt, hogy a kezdeti geometriai alak, amit a 1) kifejezéssel írhatunk fel, mennyire tükröz dik a végs, detektorokban mért impulzuseloszlásban. Ha azt feltételeznénk, hogy csak ilyen alakban elrendezett nukleon-nukleon ütközések történnek, amelyek önmagukban gömbszimmetrikusak, akkor egy hengerszimmetrikus transzverz impulzuseloszlást várnánk. Ám tudjuk, hogy itt egy újfajta termalizálódott közeg jön létre, tehát a kérdés az, hogy milyen mértékben marad meg, vagy emészt dik 5

3. ábra. Két nehézion nem centrális ütközésénél egy ellipszoidális szimmetriával rendelkez ütközési térrész alakul ki. fel a kezdeti gömbszimmetrikushoz képesti anizotrópia. Ha a létrejöv kvark-gluon plazma inkább gáz jelleg közeg lenne, akkor a kezdeti anizotrópia egyeltalán nem, vagy csak nagyon kicsit jelenne meg a végs impulzuseloszlásban. Ezzel szemben a folyadékképben azt várjuk, hogy az impulzuseloszlást Np t, φ)) a következ alakban írva: ) Np t, φ) = N 0 p t ) 1 + v n cosnφ ψ n ) ) a mért eloszlásban a v együttható értéke jelent s lesz. A mérések alapján valóban azt tapasztaljuk, hogy egy nagyon fontos jellemz lesz az elliptikus folyásnak nevezett v érték, illetve magasabb harmonikusokat v 3,v 4,...) is kimérhetünk [4]. A folyadékmodellek tehát jól leírják a kísérleti adatokat. Ezen kívül további fontos eredmény a folyadékmodellekb l meghatározott kinematikai viszkozitás η s ) értéke. Erre az értékre húrelméleti számítások adtak egy elméleti alsó határt [5], noha a számolás csak konform térelméletekre volt levezetve η/s > /4π), sokak szerint a QCD által vizsgált rendszerekre is érvényesnek kell tekinteni. A kvark-gluon plazma kinematikai viszkozitására a különböz hidrodinamikai modellek ehhez az elméleti minimumnak tekinthet értékhez nagyon közeli értékeket jósolnak [6]. Így a kvark-gluon plazma a legfolyékonyabb anyag, nagyságrenddel alacsonyabb a kinematikai viszkozitása még az ultrahideg héliuménál is. Összegezve a fent leírtakat, a kés bbi modellalkotás során joggal tekinthetjük tökéletes folyadéknak a vizsgált kvark-gluon plazmát.. Hidrodinamika Az eddigiek fényében kijelenthetjük, hogy a hidrodinamika az er sen kölcsönható kvark-gluon plazma leírására alkalmas. Általánosan a hidrodinamika valamilyen folytonosnak tekinthet közeget ír le, amelynek így a kollektív viselkedését, és a teljes rendszert jellemz makroszkópikus paramétereket ismerhetjük meg. A kísérleti eredmények leírásához relativisztikus keretben kell dolgoznunk. A vizsgált folyadék tekinthet tökéletes, így viszkozitás-, és h vezetésmentes folyadéknak. Attól függ en, hogy csak a nyalábirányú longitudinális) vagy a transzverz dinamikát is szeretnénk vizsgálni, alkalmazhatunk egy id - és egy térdimenziós 1+1D), vagy egy id - és három térdimenziós 1+3D) megoldásokat. Egyes várakozások szerint a rendszerben fellép gyorsulás, és nyomásgradiens is, amelyek hatását szintén szeretnénk gyelembe venni. További er s feltételt szabunk azzal, ha a modellünket a relativisztikus hidrodinamika analitikus megoldásai között keressük. Ám a QGP id fejl désének mélyebb megértéséhez szükségesek az analitikus modellek, így érdemes ezt a célt magunknak kit zni. n=1 6

4. ábra. A kvark-gluon plazma id fejl dése nehézion-ütközések során. Fontos a hidrodinamika hatáskörét is tisztázni. Az ultra-relativisztikus sebességre gyorsított nyalábok találkozásakor a lezajló ütközésekben a közeg termalizálódik, ett l a pillanattól kezdve tekinthetjük majdnem tökéletes folyadéknak a maganyagot. Ezután a közeg elkezd tágulni, és h lni. Majd a kifagyási h mérséklet elérésekor lejátszódik a hadronizáció, amivel megsz nik a folyadéknak tekinthet közeg. Tehát a mini- srobbanások id fejl désében a hidrodinamikát arra használjuk, hogy az ütközési pillanattól kezdve a termalizálódott közeg megsz néséig leírjuk a létrehozott forró, táguló kvark-gluon plazmát, ahogyan azt a 4. ábra is illusztrálja..1. A relativisztikus hidrodinamika alapegyenletei A következ kben a relativisztikus hidrodinamika perturbatív megoldásait keressük. Els ként írjuk fel a tökéletes folyadékra vonatkozó viszkozitás- és h vezetés-mentes) relativisztikus hidrodinamika alapegyenleteit. Az egyenletekben az általam vizsgált zikai mennyiségeket három skalár- és egy vektormez segítségével írhatjuk le. Ezek a vizsgált mez k: a nyomás p), valamilyen megmaradó mennyiség pl. barionszám, n), az energias r ség ɛ), és a négyessebesség u µ ). Illetve megemlítend, hogy végig c = 1 egységekben számolok. Többször el kerül mennyiség a koordináta-sajátid, amelyet a következ képpen írhatunk fel a négyeshelyvektorok x µ ), vagy a térid -koordináták segítségével: Továbbá a négyessebesség Lorentz-hossza 1-re van normálva, azaz: = x µ x µ = t x y z. 3) u µ u µ = 1. 4) Valamely n megmaradó mennyiségre pl bariontöltés) vonatkozik a kontinuitási egyenlet: µ nu µ ) = 0. 5) Tökéletes viszkozitás- és h vezetés-mentes) folyadékokra az energia-impulzus tenzor alakja a következ : T µν = ɛ + p)u µ u ν pg µν. 6) Ebben az ɛ a korábban már említett energias r ség, p a nyomás, u µ pedig a négyessebesség. A számolás során a Minkovski-térben dolgozok, ahol g µν jelöli a metrikus tenzort, melynek alakja a következ : 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 7) 0 0 0 1. 7

Az energia lokális megmaradása miatt az energia-impulzus tenzor kovariáns divergenciája elt nik: µ T µν = 0. 8) Mivel azonban így még alulhatározott a rendszer, egy további összefüggésre van szükségem. Felhasználom még az állapotegyenletet is, ami a következ : ɛ = p. 9) Ismertek olyan megoldások, amelyeknél a együttható a h mérséklet függvénye [7], jelenleg azonban egy konstans szorzót jelent, így a számolás további részében az energias r ség helyett mindenhol egyszer en csak a p mez t használom. A h mérsékletet ezek után megmaradó száms r ség esetén p = nt módon, vagy az entrópias r ség segítségével T = ɛ + p)/σ módon deniálhatjuk. Ekkor az entrópias r ség ilyen alakú deníciójából, valamint az energia-impulzus tenzor tökéletes folyadékra vonatkozó alakjából, és annak megmaradásából következik, hogy az entrópias r ségre σ) is felírható egy 5) egyenlethez hasonló összefüggés: µ u µ σ) = 0. 10) Tekintsük most a relativisztikus hidrodinamika egy megoldásának bármely olyan ɛ, p, u µ, n) vagy ɛ, p, u µ, σ)) mez ket, amelyek megoldják a fenti egyenleteket. Az egyszer ség kedvéért dolgozzunk innent l csak az n-re vonatkozó egyenlettel, de tartsuk észben, hogy az n σ csere bármikor elvégezhet. Az energia-impulzus tenzor megmaradására vonatkozó egyenlet tovább alakítható: u ν Lorentzpárhuzamos és arra Lorentz-) mer leges egyenletekre bonthatjuk szét a tenzoregyenletünket. Az így kapott egyenletek ekvivalensek lesznek az eredeti egyenlettel, ám számolás szempontjából sokkal kényelmesebb egy vektor, és egy skaláregyenlettel dolgozni. Szorozzuk az egyenletet el ször az u ν -vel: u ν µ T µν = 0, 11) u µ µ ɛ + p) + ɛ + p) µ u µ + ɛ + p)u ν u µ µ u ν u ν ν p = 0. 1) Itt felhasználható, hogy u ν µ u ν = 0, és így a következ adódik: u µ µ p + + 1)p µ u µ = 0. 13) A 13) egyenlet az energiaegyenlet, ez a folyadék energiamérlege. Ezután az Euler-egyenletet a fenti egyenlet u ν -vel való szorzásából és az eredeti µ T µν = 0 egyenletb l való kivonásával kaphatjuk meg: Az Euler-egyenlet tehát: µ T µν [u µ µ p + + 1)p µ u µ ] u ν = 0. 14) + 1)pu µ µ u ν = g µν u µ u ν ) µ p. 15) A következ kben a kontinuitási 5), az Euler- 15) és az energiaegyenletnek 13) keressük a perturbatív megoldásait... Ismert megoldások A relativisztikus hidrodinamikában felmerül dierenciálegyenletek megoldásainak nehézsége miatt a numerikus technikák használata általános. Léteznek analitikus megoldások is, melyek a modellezett rendszer mélyebb megértését teszik lehet vé. Tekintsünk néhányat az eddigi ismert analitikus megoldások közül. Történetileg az els jelent s analitikus megoldása a relativisztikus hidrodinamikának az 1+1 dimenziós LandauKhalatnikov-megoldás [8, 9], amely gyorsuló rendszert ír le. Ennek a megoldásnak az állapotegyenletében = 3 található. Másik tulajdonsága, hogy a mez k nem írhatóak fel benne expliciten a koordináták függvényében. Másik jól ismert relativisztikus hidrodinamikai megoldás a HwaBjorken-megoldás [30, 31]. Ez egy 1+1 dimenziós gyoruslásmentes áramlást ír le. 8

A relativisztikus hidrodinamika területén fellendülést jelentett a kvark-gluon plazma felfedezése, és annak felismerése, hogy folyadéknak tekinthetjük az ütközésekben létrejöv közeget. Így sok új megoldás született, amelyek célja els sorban a forró, táguló, tökéletes folyadék leírása volt. Ismertek azonban realisztikus geometriájú Hubble-tágulást leíró, 1+3 dimenziós analitikus megoldások is [3]. A kozmológiai Hubble-tágulás sebességproljához hasonló sebességmez mellett u µ = x µ /) ez a megoldás egy nem gyorsuló tágulást ír le. Az önhasonlóságot egy S skálaváltozó biztosítja, amire a következ kikötésnek kell teljesülnie: u µ µ S = 0 16) Az u µ µ kifejezést átírhatjuk a sajátid segítségével, és akkor ez a sajátid szerinti deriváltat jelenti, azaz u µ µ =. Így könnyen látható, hogy a skálaváltozóra a sajátid ben vett konstans függvények adnak megoldást, így biztosítva az id fejl dés során az önhasonlóságot. Ennek segítségével a jól ismert megoldást a következ mez k adják: u µ = xµ, 17) 0 n = n 0 N S), 18) p = p 0 0 T = T 0 0 + 3, 19) 1 N S). 0) Ahol N S) a skálaváltozó tetsz leges függvénye lehet, illetve p 0 = T 0 n 0. Ez a megoldás tovább általánosítható többpólusú megoldássá [33], ami még általánosabb 3 dimenziós geometriát tesz lehet vé. Az így kapott megoldásosztály nagy jelent séggel bír a nehézionzikában, mivel jó leírását adja a kísérletekben mért fotonok és hadronok eloszlásának is [34, 35]. 3. A relativisztikus hidrodinamika perturbatív kezelése A munkám során a [36] hivatkozásban tárgyaltakhoz hasonlóan, a zika egyik legszéleskör bben használt módszerét, a perturbációszámítást alkalmaztam a relativisztikus hidrodinamikában. A perturbációszámítás egy közelít módszer, aminek a segítségével bonyolult rendszerek viselkedését tudjuk egyszer bben leírni az egyensúlyi pontok körül. Az egyensúlyi rendszerünket vizsgálva arra a kérdésre keressük a választ, hogy mi történik, ha a rendszerbe egy kis zavart, azaz perturbációt viszünk. A szemléletünk megköveteli, hogy a perturbáció kicsi legyen. Ez eektíven azt jelenti, hogy elvárjuk, hogy a perturbációban bizonyos rendt l kezdve a tagok elhanyagolhatóak legyenek. Els rend perturbációszámítást alkalmaztam, ami azt jelenti, hogy a perturbációban másod-, vagy magasabb rend tagokat elhanyagolhatóan kicsinek tekintettem. Feltételezzük, hogy ismerjük a relativisztikus hidrodinamika egyenleteinek egy megoldását, tehát van egy jól leírt rendszerünk és ebbe viszünk perturbációt. Vezessünk be tehát kissé perturbált mez ket: u µ u µ + δu µ, 1) p p + δp, ) n n + δn. 3) Vizsgáljuk meg a segességperturbációra δu µ ) fellép ortogonalitási feltételt, amely a négyessebesség hosszának állandóságából adódik. Az eredeti u µ u µ = 1 helyett u µ + δu µ )u µ + δu µ ) = 1 4) lesz, és ebb l a másodrend δu µ δu µ tagot elhagyva, illetve az eredeti egyenletet kivonva, a következ ortogonalitási reláció írható fel: u µ δu µ = 0. 5) 9

Ennek a feltételnek a kielégítésére a kés bbiekben gyelni kell, amikor egy konkrét megoldás esetén a δu µ perturbációt szeretném meghatározni. 3.1. A perturbációkra vonatkozó egyenletek A perturbált mez ket 1)-3) az eredeti 5), 13), 15) egyenletekbe helyettesítve megkaphatjuk a perturbációkra vonatkozó egyenleteket. Állítsuk el tehát a perturbációkra vonatkozó, perturbációkban lineáris azaz els rend ) egyenleteket. A kontinuitási egyenletbe 5) a perturbált mez ket behelyettesítve: µ [n + δn)u µ + δu µ )] = 0. 6) Ebb l a perturbációban másodrend tagokat elhagyva, illetve a nulladrend az eredeti) egyenletet kivonva kapjuk a perturbációkra vonatkozó kontinuitási egyenletet: u µ µ δn + δn µ u µ + δu µ µ n + n µ δu µ = 0. 7) Az eredeti energiaegyenletbe 13) behelyettesítve a perturbált mez ket: u µ + δu µ ) µ p + δp) + + 1)p + δp) µ u µ + δu µ ) = 0. 8) Ebb l a nulladrend egyenlet kivonásával, majd a másod-, vagy magasabb rend tagok elhanyagolásával megkaphatjuk a perturbációkra vonatkozó energiaegyenletet: δu µ µ p + u µ µ δp + + 1)δp µ u µ + + 1)p µ δu µ = 0. 9) Az Euler-egyenletnél az el z ekhez hasonlóan behelyettesítünk az eredeti egyenletbe 15), majd az eredeti egyenletet levonva és a perturbációban els rend nél magasabb tagokat elhanyagolva megkapjuk a perturbációkra vonatkozó Euler-egyenletet: +1)δpu µ µ u ν ++1)pδu µ µ u ν ++1)pu µ µ δu ν = g µν u µ u ν ) µ δp δu µ u ν µ p u µ δu ν µ p. 30) Most a kapott egyenletek megoldásához el ször ki kell választanunk egy ismert megoldást, amelyet alapmegoldásként felhasználunk. Majd ezt követ en oldhatjuk meg a perturbációkra vonatkozó egyenleteket. 3.. Álló közeg perturbációi El ször az ismert megoldás legyen egy igen egyszer rendszer, az álló folyadék. Itt példaként nézzük meg, milyen perturbációk alakulhatnak ki. Az álló közeget az alábbi mez k írják le: u µ = 1, 0, 0, 0), 31) n = n 0, 3) p = p 0. 33) Ennél a példánál csak az energia- 9) és az Euler-egyenleteket 30) használom fel, és csak a négyessebesség, illetve a nyomásmez kre lesz szükség. El ször használjuk ki u µ és p konkrét alakját: Ezeket felhasználva az energiaegyenlet 9): µ u µ = 0, 34) µ p = 0, 35) u µ µ = 0. 36) 0 δp + + 1)p µ δu µ = 0. 37) 10

Ennek vegyük a nulladik koordináta, azaz az id szerinti detiváltját 0 ): 0δp + + 1)p 0 µ δu µ = 0. 38) Most térjünk rá az Euler-egyenletre 30), ahol szintén kihasználjuk u µ és p konkrét alakját. Így az Euler-egyenlet: + 1)p 0 δu ν u µ u ν g µν ) µ δp = 0. 39) Itt bevezetjük a Q µν = u µ u ν g µν ) jelölést, ahol Q µν = diag0, 1, 1, 1). Az Euler-egyenletre hattatva a Q ρν ρ operátort: + 1)p 0 Q ρν ρ δu ν Q ρν ρ Q µν µ δp = 0. 40) Itt tekintsük el ször az els + 1)p 0 Q ρν ρ δu ν ) tagot: + 1)p 0 Q ρν ρ δu ν = + 1)p 0 u ρ u ν g ρν ) ρ δu ν, 41) u ρ u ν ρ δu ν = u ρ ρu ν δu ν ) u ρ δu ν ρ u ν = 0, 4) + 1)p 0 Q ρν ρ δu ν = + 1)p 0 ν δu ν. 43) Ezután alakítsuk át a második Q ρν ρ Q µν µ δp) tagot. Itt vegyük észre, hogy: Q ρν ρ Q µν µ = 1 + + 3). 44) Ez láthatóan megfelel a háromdimenziós Laplace-operátornak. Így az Euler-egyenlet alakja a következ : + 1)p 0 ν δu ν + δp = 0. 45) Most vonjuk ki a 38) egyenletb l a 45) egyenletet. Fontos, hogy az egyenleteknél az indexek elnevezése tetsz leges, így ν δu ν = µ δu µ. A kapott 46) egyenlet: 0δp 1 δp = 0. 46) Ezzel a nyomásperturbációra vonatkozó hullámegyenlethez jutottunk, ahol a hangsebesség c s = 1/. Ez az eredmény nagyon ismer s lehet a nemrelativisztikus hidrodinamikából, ahol ehhez a gondolatmenethez hasonlóan megkaphatjuk az álló folyadék esetén a nyomásperturbációra vonatkozó hullámegyenletet. Ezen a példán láttuk tehát azt, hogy a relativisztikus hidrodinamika esetén az els rend perturbációszámítás eredményes lehet. A következ lépés, hogy egy másik realisztikus megoldásból kiindulva is meghatározzuk a perturbációkat. 4. Hubble-tágulás perturbációira vonatkozó egyenletek A vizsgált megoldás, amellyel dolgoztam munkám során, a hidrodinamika jól ismert Hubble-folyás típusú megoldása volt [3]. Ez a megoldásosztály nem gyorsuló tágulást ír le, míg a kísérletek alapján gyorsulás is fellép a QGP tágulása közben. Munkám célja, hogy gyorsuló perturbatív megoldást találjak a Hubble-folyásból kiindulva. Így a felhasznált mez k alakja a korábban felírt 17)-0) megoldásból származik. Továbbá teljesül a már korábban felírt 16) egyenlet, amely a skálaváltozóra ad egy megkötést u µ µ S = 0.) Ezen konkrét alakok felhasználásával a perturbált energia-, és Euler-egyenleteket egyszer bb alakra tudjuk hozni. A perturbált kontinuitási egyenlet itt az alábbi alakot ölti: Az energiaegyenlet a következ képpen írható fel: δu µ n N N µs + u µ µ δn + 3δn + n µ δu µ = 0. 47) u µ µ δp + 3 + 1) δp = + 1)p µ δu µ. 48) 11

Az Euler-egyenlet pedig így adódik: µ δp + 1)p [gµν u µ u ν ] = 3 δuν + u µ µ δu ν. 49) Láthatóan az így kapott dierenciálegyenletrendszer igen bonyolult, már mások is foglalkoztak a Hubble-táguló rendszeren terjed perturbációkkal [37], viszont az általam talált analítikus megoldást korábban még nem írták fel. A dierenciálegyenleteket kell en általános alakú tesztfüggvények segítségével oldottam meg. Általánosan a perturbációk alakját úgy választottam meg, hogy lehet leg azok arányosak legyenek az eredeti mez kkel. Els lépésként célszer a nyomásperturbáció alakját meghatározni, majd ennek segítségével feltenni egy alakot a sebességmez perturbációjára, végül pedig a kontinuitási egyenlet segítségével a száms r ség perturbációja kényszerként adódik a rendszerbe. 4.1. Az energiaegyenlet megoldása El ször tehát a nyomásperturbáció tesztfüggvényét írtam fel. Ez arányos az eredeti mez vel, így szorzótagként tartalmazza a p 0 0 /+3/ kifejezést. A perturbációs paraméter legyen a kicsi δ szám, ezzel és egy tetsz leges skálaváltozótól függ πs) taggal a nyomásperturbáció: 0 + 3 δp = δ p 0 πs). 50) Ezután az energiaegyenlet 48) alakjába helyettesítve a fenti tesztfüggvényt a következ egyszer összefüggést kaptam: µ δu µ = 0. 51) Most egy olyan alakú sebességperturbációt kell választanom, amely teljesíti egyszerre a négyessebességre és perturbációjára vonatkozó ortogonalitási feltételt 5) és a fent kapott energiaegyenletet 51), de elég általános ahhoz, hogy a további egyenletekre is találhassak megoldást. A sebességperturbációban is a δ szám lesz a perturbációs paraméter. Ezen kívül bevezetem a skálaváltozó tetsz leges χs) függvényét, illetve a sajátid tetsz leges F ) függvényét, valamint a tetsz leges gx µ ) függvényt. Továbbá egy µ S taggal biztosítom a 5) ortogonalitási feltétel teljesülését. Így a sebességperturbáció alakja: δu µ = δ F ) µ SχS)gx µ ). 5) A sebességperturbáció ezen 5) alakját behelyettesítve a 51) egyenletbe a következ t kaptam: δ F ) [ µ µ SχS)gx µ ) + µ S µ Sχ S)gx µ ) + χs) µ µ Sgx µ ) ] = 0. 53) A triviális megoldás, ha a perturbációs paraméter δ) vagy a sajátid bevezetett függvénye F )) nulla. A nem triviális megoldást a következ egyenet adja: χ S) χs) = µ µ S µ S µ S µs µ ln gx µ ) µ S µ. 54) S Látható, hogy ez nem csak megadja a χs) függvény alakját, de megszorítást ad a gx µ ) függvényre és S-re is: csak olyan S skálaváltozó és gx µ ) függvény megfelel, amik esetén a fenti egyenlet jobb oldalán szerepl mennyiség kizárólag S-t l függ, külön a térid -koordinátáktól nem. 4.. Az Euler-egyenlet megoldása Következ lépésben az Euler-egyenlet megoldását kerestem meg, pontosabban a kezdetben tetsz leges függvényekre az Euler-egyenlet által adódó megkötéseket. El ször az Euler-egyenletbe 49) a nyomásperturbációt 50) behelyettesítve a következ t kaptam: 3 δuµ + u ν ν δu µ = 1 1 + 1) δπ µ S. 55)

Ezután a fenti 55) egyenletbe a sebességperturbációt 5) behelyettesítve adódik a következ : 3 F ) δ χs)gx µ ) µ S + δ u ν ν F )χs)gx µ ) µ S) = 1 + 1 δ π S) µ S. 56) Ezen egyenlet bal oldalának második tagja A = u ν ν F )χs)gx µ ) µ S)) átalakítható a szorzatfüggvény deriválására vonatkozó szabály, illetve a skálaváltozó deníciójából adódó 16) egyenlet felhasználásával, az A kifejezés így írható: A = F )χs)gx µ ) µ S F )χs)gx µ ) µ S + F )χs) µ u ν ν gx µ ). 57) Ezt felhasználva kiderül, hogy az Euler-egyenlet minden tagja a δ µ S négyesvektorral arányos, így a következ egyenlet adódik: π [ S) = + 1) F ) u µ µ g 3gx ) ] µ) + F )gx µ ). 58) χs) Látható, hogy ebben az esetben is a 54) egyenlethez hasonlóan a bal oldalon álló kifejezés csak a skálaváltozótól függ, így ez egyrészt megadja a πs) függvény alakját, valamint megszorítást ad az F ) és a gx µ ) függvényekre. 4.3. A kontinuitási egyenlet megoldása Ezután a perturbált kontinuitási egyenletre térek rá. Itt a 47) egyenletben felhasználva a 51) összefüggést a következ egyenletet adódik: δu µ n N N µs + u µ µ δn + 3δn = 0. 59) Következ ként a száms r ség perturbációjának tesztfüggvényét is meghatároztam. A perturbáció arányos az eredeti mez vel, így tartalmaz egy n 0 0 / szorzótényez t. Továbbá a perturbáció skáláját a δ perturbációs paraméter határozza meg. Ezen kívül bevezettem a kezdetben teljesen tesz leges hx µ ) és a skálaváltozótól függ tetsz leges νs) függvényeket. Így a száms r ség perturbációjának tesztfüggvénye a következ alakú: 0 δn = δ n 0 hxµ )νs). 60) Ezután a sebességperturbációt 5) és a száms r ségperturbációt 60) behelyettesítettem a 59) egyenletbe: δ F )g µ 0 S µ Sn 0 χn 0 ) [ ] 3 3 + δ n 0 ν h + uµ µ h + 3 δn 0 0 νh = 0. 61) Itt egyszer sítve, és rendezve: νs) χs)n S) = F )gx µ) µ S µ S u µ. 6) µ hx µ ) A fenti 6) egyenlet bal oldala a skálaváltozó függvénye, így a jobb oldalnak is S függvényének kell lennie. Ez megszorítást ad a skálaváltozóra, a gx µ ) és a hx µ ) függvényekre nézve is. Továbbá ez az egyenlet adja meg a νs) függvény alakját is. Ezzel tehát a kezdeti dierenciálegyenletrendszerb l egy másik egyenletrendszert állítottam el, ami a skálaváltozót S), és annak függvényeit: χs), πs), νs)n S), valamint a hx µ ) és gx µ ) függvényeket tartalmazza. 13

5. A talált perturbatív megoldásosztály Összegezve az eddigieket, a relativisztikus Hubble-tágulást alapul véve találtam egy olyan perturbatív megoldásosztályt, amelynél a legáltalánosabb perturbációk a következ alakúak: δu µ = δ F )gx µ ) µ SχS), 63) δp = δ p 0 0 δn = δ n 0 0 + 3 Ezen kívül teljesülnie kell következ három relációnak is: πs), 64) hxµ )νs). 65) χ S) χs) = µ µ S µ S µ S µs µ ln gx µ ) µ S µ, 66) S π [ S) = + 1) F ) u µ µ g 3gx ) ] µ) + F )gx µ ), 67) χs) νs) χs)n S) = F )gx µ) µ S µ S u µ. 68) µ hx µ ) Láthatóan egy konkrét megoldás megtalálásához találni kell olyan gx µ ) és hx µ ) függvényt, amelyek mellett a fenti egyenletek megoldhatóak. Emellett olyan skálaváltozót kell keresni, ami eleget tesz a következ feltételeknek: Az eredeti Hubble-tágulásból jöv 16) feltételt teljesíti, azaz u µ µ S = 0. Az 66) egyenlet miatt a µ µ S µs µ S µs µ ln gx µ) µs µ S A 68) egyenlet miatt a F )gxµ) µs µ S u µ µhx µ) kifejezés csupán a skálaváltozó függvénye. kifejezés egyedül a skálaváltozótól függhet. Ennek fényében a következ lépés, hogy ebb l az általános formából kiindulva konkrét megoldásokat keressünk, amelyek ennek az osztálynak a tagjai. Ehhez választanom kellett egy hx µ ) és egy gx µ ) függvényt, ami mellett tudtam olyan S skálaváltozót felírni, amivel megoldhatóak a fenti 66), 67), 68) egyenletek, amik a perturbációkban lév skálafüggvényeket kapcsolják össze. A konkrét megoldások esetén meg lehet vizsgálni a perturbált mez k alakját, illetve a hidrodinamikai modellb l számolható mérhet mennyiségeket. Ezeket kés bb össze lehet hasonlítani mérési eredményekkel, vagy más modellek eredményeivel. 5.1. Konkrét megoldások megadása A konkrét megoldások keresésénél el ször az eredeti megoldásból származó 16) egyenletben megfogalmazott kikötést u µ µ S = 0) vizsgáltam. Könnyen belátható, hogy tetsz leges a, b kitev k mellett, ha t az id koordináta, r pedig a helyvektor abszolútértéke, azaz r = x + y + z,akkor teljesül a következ : r u µ µ a t a b ) t b = 0. 69) Következ lépésben a gx µ ) függvény alakját rögzítettem le egy igen egyszer választással, ezzel egyszer sítve a további munkát: gx µ ) = 1. 70) Ezzel a választással leegyszer södik az energiaegyenletb l adódó 66) egyenlet: χ S) χs) = µ µ S µ S µ S. 71) 14

Illetve az Euler-egyenletb l jöv 58) egyenlet is egyszer bb alakot ölt: π [ S) = + 1) 3 F ) ] + F ). 7) χs) Mivel itt az egyenlet bal oldala csak S függvénye, így a F ) 3F )/) + 1)/ kifejezésnek konstansnak kell lennie, tehát a következ dierenciálegyenletet kell megoldani: F ) 3F ) Ezzel az F ) függvény megadható a következ alakban: = K, ahol K konstans. 73) F ) = + c 0 0, ahol c tetsz leges, dimenziótlan konstans. 74) Mivel a sebességperturbációban már volt egy tetsz leges konstans δ), így az F ) függvényt úgy választottam, hogy ne adjon az is az egész egyenletrendszerre vonatkozó további tetsz leges konstans szorzóként megjelen járulékot, mivel akkor is ugyanezt a megoldást kapnánk. Ezzel a 7) egyenletb l a következ összefüggésre jutottam: π S) = + 1) 3) χs). 75) A kontinuitási egyenletb l jöv 68) egyenlet alakja is kis mértékben egyszer södik. Ám továbbra is egy ismeretlen hx µ ) függvényt tartalmaz. Ahhoz, hogy erre a függvényre is találjak egy megfelel alakot, felhasználom azt a felismerést, hogy az S = r m /t m skálaváltozó mellett megoldható az említett 68) egyenlet, ha a következ teljesül: ) + c 0 0 u µ µ hx µ ) =. 76) Ennek ismeretében rögzítettem a kés bbiekre nézve a hx µ ) függvényt. Fontos, hogy ez csupán egy tetsz leges választás, és a megoldásosztályban más hx µ ) függvényekhez tartozó megoldások is lehetnek. Tehát a választott függvény: ) hx µ ) = ln + c 0 3 ) hx µ ) = 1 + c) ln 0 0 1, ha 3, 77), ha = 3. 78) Ezzel a skálaváltozóra, és a bevezetett függvényekre vonatkozó egyenletek közül a 85) a következ alakúra módosul: νs) = µ S µ SχS)N S). 79) Ezzel a megoldásosztályban már csak a sklálaváltozó és a skálafüggvények nincsenek meghatározva. Így a fentiek alapján rögzített gx µ ) és hx µ ) függvények mellett a megoldásosztály a következ alakot ölti: ] δu µ = δ [ + c 0 0 µ SχS), 80) 0 + 3 δp = δ p 0 πs), 81) [ ) ) 3 δn = δ n 0 0 ln 0 + c 3 0 1] νs). 8) 15

Továbbá teljesülnie kell a skálafüggvényekre vonatkozó alábbi három egyenletnek is: χ S) χs) = µ µ S µ S µ S, 83) π + 1) 3) S) = χs), 84) νs) χs)n S) = µ S µ S. 85) Ezzel probléma a konkrét skálaváltozó megválasztására redukálódott. Ez a probléma már jóval könyebb, mint az eredeti dierenciálegyenletrendszer, több megoldását is megtaláltam. A rögzített 77) hx µ ) és 70) gx µ ) függvények mellett a következ skálaváltozók megoldják a perturbációk skálafüggvényeire vonatkozó 83), 84) és 85) egyenleteket: S = rm t m, S = rm m, S = m t m. 86) A továbbiakban ezekkel a skálaváltozó alakokkal foglalkozom, így eljutva a megoldásosztály egy konkrét tagjához. 5.1.1. Kiválasztott skálaváltozóra vonatkozó megoldás Vizsgáljuk most a korábban felsoroltak közül a S = r m /t m esetet, amely gömbszimmetrikus rendszereket írhat le. Ez a skálaváltozó teljesíti az eredeti Hubble-folyásból származó 16) feltételt u µ µ S = 0). Fontos továbbá, hogy az eredeti megoldás nem függ közvetlenül a skálaváltozótól, csak annak függvényét l a száms r ségben lév N S) függvény formájában. Így az eredeti megoldás alakja minden m kitev esetén lehet ugyanaz. Érdemes el ször kiszámolni a skálaváltozó négyesgradiensét, annak Lorentz-hosszát, illetve a d'alambert-operátor hatását a skálaváltozóra. Ezek a következ alakúak: ) µ S = m rm rm rm, my, mz, 87) µ S µ S = m t µ µ S = t [ r mm + 1) t Felhasználom továbbá az alábbi összefüggést:, mxrm m+1 t m ) m r t t [ r t m t m ) m ], 88) t ) m r t ) m ]. 89) 90) t = 1 S/m ). 91) A fentieket el ször a sebességperturbáció skálafüggvényére vonatkozó 83) egyenletbe helyettesítem be, ez adja az els feltételt a skálaváltozóra. Ebben az esetben a 89) és a 88) kifejezések hányadosa a 91) összefüggés segítségével átalakítható, így ki tudjuk fejezni csupán a skálaváltozó segítségével. Ezzel a skálaváltozóra kirótt feltételek közül láthatjuk, hogy teljesül a 83) egyenlet miatti megszorítás is. Egy egyszer dierenciálegyenletet kapok χs)-re nézve: χ S) χs) = m + 1 ms 9) Ennek megoldása a következ alakú: χs) = χ 0 S m+1 m 93) 16

Itt a χ 0 egy tetsz leges konstans, mivel ez kés bb minden perturbációban szorzóként jelenik meg, viszont minden perturbációban azonosan van már egy tetsz leges perturbációs paratméterünk δ), így a χ 0 értékét a kés bbiekre nézve χ 0 = 1-nek rögzítem. Így a perturbációkban lév, skálaváltozótól függ χs),πs) és νs) függvények alakja a következ : χs) = S m+1 m, 94) + 1) 3) πs) = ms 1 m, 95) ) ) νs) = m S m 1 m S m 1 1 S m N S). 96) Ezzel a megoldásosztály egy sz k csoportját határoztam meg, amely a c és δ konstansokon kívül az m kitev re, és az N S) függvényre nézve továbbra is tetsz leges. A perturbációk alakja ebben az esetben: ) δu µ = δ + c 0 0 µ S, 97) + 3 0 + 1) 3) δp = δ p 0 ms 1 m, 98) 0 ) ) 3 1) ) ) δn = δ n 0 ln + c m S m 1 m S m 1 1 S m N S). 99) 3 0 0 Következ lépésként az m kitev értékének, és a N S) függvény alakjának megválasztásával egy olyan konkrét alakhoz lehet eljutni, amelyben csupán kett, perturbációra jellemz szabad konstans marad. Ezen paraméterek hatását már könnyen lehet vizsgálni a perturbált mez kre, illetve a számolható mennyiségekre is. 5.1.. A skálaváltozó egy másik esete Következ ként a 5.1.1. szakaszban említett megoldás m = esetén adódó speciális esetét vizsgáljuk. A 94), 95) és 96) egyenletek alapján egyszer en megkaphatjuk a keresett χs), πs) és νs) függvényeket. Ha elvégezzük a behelyettesítést, akkor a következ adódik: χs) = S 3, 100) + 1) 3) πs) = S 1, 101) νs) = 4S 1) S 1 N S). 10) Következ lépés a N S) függvény megválasztása, amely az eredeti száms r ségben szerepel. Itt az adott id pillanatban Gauss-eloszlás szer száms r séget feltételezek, amely a valós zikai rendszernek egy jó közelítése. Noha ez a megoldás gömbszimmetrikus, mutatja a perturbáció jellegét, ahogyan azt a következ kben tárgyaljuk. Válasszuk tehát N S) alakját a következ képp: r b N S) = e t = e bs 103) Ezzel a száms r ségperturbációban szerepl νs) alakját is meg lehet határozni 110) alapján: νs) = 4b1 S) S 1 N S) 104) 17

Ezzel már egyszer en megkaphatjuk a perturbációk alakját is, amik a következ k lesznek: ) δu µ = δ + c 0 S 0 3 µ S, 105) + 3 0 + 1) 3) δp = δ p 0 S 1, 106) 0 ) ) 3 1) δn = δ 4bn 0 ln + c 1 S) S 1 N S). 107) 3 0 Ezek után megvizsgálhatjuk a megoldásosztály egy másik tagját, amely az itt felírt megoldáshoz hasonlóan az S = r m /t m skálaváltozó egy tetsz leges kitev höz tartozó esete. 5.1.3. A skálaváltozó harmadik esete A 5.1.1 alfejezet speciális eseteként vegyük az m = 1 esetet. Ebben az esetben láthatóan a χs) függvény alakja igen egyszer lesz 94) alapján. Illetve a többi függvény alakja is egyszer en meghatározható: 0 χs) = 1, 108) + 1) 3) πs) = S, 109) νs) = 1 S ) N S). 110) r b Itt is a 5.1.. szakaszhoz hasonló megfontolás alapján válasszuk a N S) = e t = e bs függvényt. Ezzel a νs) függvény alakja a következ : νs) = bs 3 1 S ) N S). 111) Ezzel megkaptuk a megoldásosztály egy konkrét tagját a következ formában: ) δu µ = δ + c 0 0 µ S, 11) 0 + 3 + 1) 3) δp = δ p 0 δn = δ bn 0 0 S, 113) ) ) 3 ln + c S 3 1 S ) N S). 3 114) 0 A kapott mez kben már csak a c és a δ szabad paraméterek szerepelnek, olyan tekintetben, hogy a többi konstans paratmétert az eredeti megoldás is tartalmazza b, n 0, p 0, 0, ). Ez a megoldás gömbszimmetrikus, így egy kiválasztott origótól nézve bármely radiális irányban vizsgálva azonos mez kkel találkozunk. Vizsgáljuk ennek megfelel en egy dimenzióban az eredeti és a perturbált mez ket. Az eredeti megoldásban szerepl 0, és b konstansokat a nehézion-ütközésekben jellemz értékeknek választottam [34]. A p 0 és n 0 paramétereketet ebben az esetben tetsz legesen választottam, a paramétereket a 1. táblázat tartalmazza. Ezekhez képest tudtam vizsgálni a δ és a c paraméter hatását. Els ként egydimenziós ábrákon vizsgáltam a perturbációk jellegét, minden mez nél rögzített = 6 fm/c, c = 3 és δ = 0.001 értékek mellett. Az eredeti négyessebesség x irányú komponense az x távolság függvényében és a perturbált mez x irányú komponense az x távolság függvényében az 5. ábrán láthatóak. Látszik, hogy a sebességperturbáció a skálaváltozó által meghatározott régió közepén ad jelent s járulékot, távolabb nem érezhet a hatása. Megvizsgálhatjuk továbbá a c és δ paraméterek változtatásának hatását a sebességperturbációra. Ezt láthatjuk a 6. ábrán, ahol az eredeti és a perturbált mez k arányát hasonlítom össze. Láthatóan a δ paraméter a perturbáció nagyságát határozza 18 0

0 [fm/c] 7.7 10 b -0.1 T 0 [MeV] 170 1. táblázat. Az ábráknál használt paraméterek 1. 1 0.8 δ=0 δ=0.001, c=-3 =6 fm/c u x +δu x 0.6 0.4 0. 0 0.5 1 1.5.5 3 3.5 4 4.5 5 x [fm] 5. ábra. Az eredeti négyessebesség és a perturbált mez x komponense = 6 fm/c-nél ábrázolva. meg, ahogyan vártuk. A c paraméter viszont a sebesség irányát is megváltoztatja, ezzel sokkal drasztikusabb változást el idézve. Az eddig említett ábrák, mind egy statikus sajátid beli állapotot, a = 6 fm/c pillanatot ábrázolták. Ám megnézhetjük azt is, hogy id ben hogyan változik a perturbáció. A sebességperturbáció esetében ezt láthatjuk a 7. ábrán. Itt a hármassebesség perturbációja látható az x y síkon, négy különböz egymást követ pillanatban. Látható, hogy a perturbáció id ben egyre növekszik. Következ ként rátérhetünk a nyomásmez re, és annak perturbációjára. Ebben az esetben is el ször, az el z esethez hasonlóan rögzített δ = 0.001 és = 6 fm/c értékek mellett vizsgáltam az eredeti és a perturbált mez viszonyát egy dimenzióban, az x tengely mentén, ez látható a 8. ábrán. Látható, hogy a sebességmez höz hasonlóan itt is az x szerint lecseng perturbációt kaptunk. Ezután megvizsgálhatjuk a δ paraméter hatását a perturbációra, a nyomásperturbáció független a c értékét l. Ennek megfelel en a 9. ábrán az eredeti és a perturbált mez k aránya látható, különböz δ paraméterek mellett. A δ itt is várakozásunknak megfelel en a perturbáció er sségét határozza meg. Megvizsgálhatjuk még a nyomásperturbáció id fejl dését is. Ezt a 10. ábrán láthatjuk, ahol négy különböz id pillanatban ábrázoltam az x y síkon a nyomásperturbáció nagyságát. Láthatóan a nyomásperturbáció az id el rehaladtával lecseng, épp ellentétben a 7. ábrán látható id ben növekv sebességperturbációval. Végül vizsgáljuk meg a száms r ségperturbáció hatását. A korábbiakhoz hasonlóan el ször az eredeti száms r ség és a perturbáció viszonyát vizsgáltam, rögzített = 6 fm/c, δ = 0.001 és c = 3 értékek mellett. A gömbszimmetria miatt ebben az esetben is csak egy dimenzióban az x tengely mentén vizsgáltam a mez ket. Ahogy az a 11. ábrán is látható a perturbáció a nyomáshoz és a négyessebességhez hasonlóan x irányban gyorsan lecseng. Következ ként megvizsgálhatjuk, hogy milyen hatással van a száms r ségperturbációra a c és δ paraméterek megváltoztatása. A 1. ábrán az eredeti és a perturbált mez k aránya látható, különböz c és δ értékek mellett. Láthatóan a δ ebben az esetben is a perturbáció er sségét szabályozza. A c paraméter azonban a perturbáció jellegét meg tudja változtatni olyan módon, hogy az többletjárulékot 19

u x +δu x )/u x 1.8 1.6 1.4 1. 1 0.8 0.6 0.4 δ=0 δ=0.001, c=-3 δ=0.001, c=, δ=0.0005, c=-3 δ=0.0005, c= =6 fm/c 0. 1 1.5.5 3 3.5 4 4.5 5 x [fm] 6. ábra. A perturbált és az eredeti négyessebesség x irányú komponenseinek aránya, különböz δ és c paraméterek esetén. 0.1 1 0.08 y [fm] 0-1 - =3 fm/c - -1 0 1 x [fm] =4 fm/c - -1 0 1 x [fm] =6 fm/c - -1 0 1 x [fm] =8 fm/c - -1 0 1 x [fm] 0.06 0.04 0.0 0 7. ábra. A sebességperturbáció id fejl dése az x y síkban. p+δp)/p 0.5.45.4.35.3.5..15.1 1 3 4 5 6 7 8 x [fm] δ=0 δ=0.001 =6 fm/c 8. ábra. Az eredeti nyomás és a perturbált mez az x tengely mentén = 6 fm/c-nél. 0

p+δp)/p 1.8 1.6 1.4 1. 1 0.8 1 3 4 5 6 x [fm] δ=0 δ=0.01 δ=0.005 δ=0.001 δ=0.0005 =6 fm/c 9. ábra. Az eredeti és a perturbált nyomás aránya, különböz δ paraméterek mellett. 100 1 10 y [fm] 0-1 1 - =3 fm/c - -1 0 1 x [fm] =4 fm/c - -1 0 1 x [fm] =6 fm/c - -1 0 1 x [fm] =8 fm/c - -1 0 1 x [fm] 0.1 10. ábra. A nyomásperturbáció sajátid szerinti id fejl dése az x y síkon. δ=0 δ=0.001, c=-3 n+δn)/n 0 1.5 1 0.5 =6 fm/c 0 0.5 1 1.5.5 3 3.5 4 4.5 5 x [fm] 11. ábra. Az eredeti száms r ség és a perturbált mez az x tengely mentén rögzített δ = 0.001, c = 3 és = 6 fm/c értéknél. 1

n+δn)/n 1.6 1.4 1. 1 0.8 0.6 0.4 δ=0 δ=0.01, c=-3 δ=0.01, c= δ=0.005, c=-3 δ=0.005, c= 0.5 1 1.5.5 3 3.5 4 4.5 5 x [fm] =6 fm/c 1. ábra. Az eredeti és a perturbált száms r ségek aránya az x tengely mentén, különböz δ és c értékek mellett. ad az eredeti mez höz, vagy csökkenti azt. Láthatóan ez a megoldás nagy perturbációt eredményez kis x, y, z értékekre azaz kis radiális távolságra), és a következ kben ilyen tulajdonsággal nem rendelkez alosztályokat is keresünk, ennek ellenére kés bb látni fogjuk, hogy ez a mérhet mennyiségekben nem játszik érdemi szerepet. Tehát noha a nagy perturbációk tartománya nem realisztikus, a teljes térid fejl désben ez elhanyagolható járulékot ad a meggyelhet mennyiségekhez. További megoldásokat is találhatunk, ezek közül néhányat az A. függelékben tárgyalok. Következ kben térjünk rá a meggyelhet mennyiségekre. 6. Mérhet mennyiségek kiszámítása A nehézion-ütközéseknél a nyomás, száms r ség vagy sebességmez ket közvetlenül nem lehet mérni, helyette a hadronizáció során keletkez részecskék eloszlását vizsgáljuk. A hidrodinamikai modellek lehet séget nyújtanak többek között a részecskék impulzuseloszlásának vizsgálatára is. Els ként azt feltételezve, hogy a részecskék egy termalizált közegb l, azaz a kvark-gluon plazmából származnak, felírhatjuk a relativisztikus Jüttner-eloszlás forrásfüggvényét a következ alakban: Sx, p) = Nn exp p µu µ ) H)p µ d 3 Σ µ x µ )d, 115) T ahol N egy normálási faktor, p µ pedig a részecske négyesimpulzusa. A p µ d 3 Σ µ x µ ) a CooperFrye-faktor [38], a d 3 Σ µ x µ ) a kifagyási hiperfelület vektormértéke, ennek Lorentz-szorzata a p µ négyesimpulzussal adja a részecskeuxust. Feltétezzük, hogy a kifagyás konstans 0 sajátid nél történik, pillanatszer en. Így a H) függvény a 0 id pillanathoz tartozó Dirac-delta lesz: A CooperFrye-faktor pedig a következ képp néz ki: H) = δ 0 ). 116) p µ d 3 Σ µ x µ ) = p µu µ u 0 d3 x 117) Vizsgáljuk a forrásfüggvényt is a hidrodinamikai mez k szerint els rendben perturbálva. Ehhez a 115) egyenletbe behelyettesítem az általánosan perturbált mez ket. Fontos, hogy a h mérsékletben is

perturbációt viszünk a rendszerbe: T T + δt. 118) Ahol a h mérséklet perturbációját a nyomás és a száms r ség perturbációival fejezem ki a p = nt összefüggés segítségével: T + δt = p δp n + n pδn ) n. 119) Ezzel az általam talált megoldásosztályra fel tudom írni a h mérsékletperturbációt, ami a következ alakú: 0 N S)πS) hx µ )νs) δt = δ T 0 N. 10) S) Ezután a forrásfüggvénybe behelyettesítve az általános perturbációkat, megkaphatjuk az általános perturbációkra nézve els rend forrásfüggvényt: Sx, p) = Nn exp p µu µ ) δ 0 ) p µu µ [1 T u 0 + δu0 u 0 + p µδu µ p ν u ν p µδu µ + p µu µ δt T T + δn ] ddx 3 n 11) Ezután vizsgáljunk egy konkrét megoldást, és annak perturbációit. Tekintsük most a Hubble-folyást és az általam talált perturbatív megoldásosztályt. El ször a perturbatív megoldásosztályt, és a Hubblefolyást is általános esetben írom fel, tetsz leges S, hx µ ), gx µ ), F ) és N S) függvények mellett. Ebben az esetben a 11) egyenletbe helyettesítve az eredeti mez ket 17)-0), és perturbációkat 80)-8), 10) a következ alakú forrásfüggvényt kapjuk: Sx, p) =Nδ 0 )dd 3 0 xn 0 N S) exp p µu µ T 0 N S) pµ u µ ) t 0 [ 1 + δ F )gx µ) 0 SχS) + F )gx µ)χs)t t p µ u µ p µ µ S + F )gx µ)χs) T 0 0 )] + p µu µ )N S)πS) hx µ )νs)) T 0 + hx µ)νs) N S) 0. Ezután kiválasztva a hx µ )-nak a 77), gx µ )-nek 70), F )-nak 74), S-nek pedig a 5.1.3. szekcióban tárgyalt alakját. Illetve az eredeti megoldásból származó N S)-nek a következ alakot feltételezve: N S) = e b x +y +z R 0 t 1) A forrásfüggvény nem mérhet, mivel tartalmazza a részecskék keletkezési helyét. Így a térid -koordinátákra kell kiintegrálni a forrásfüggvényt, hogy megkapjuk az egyrészecske impulzuseloszlást. El ször a -ra nézve végzem el az integrált, miután az id változót is kifejeztem -val. Ezután az integrál értékét Gauss-féle nyeregpronti közelítéssel számolom ki, ami azt jelenti, hogy egy fx) gx) alakú függvény integrálját a következ képpen közelítem, ha x 0 -ban gx)-nek éles maximuma van, fx) pedig lassan változó függvény: π fx)gx) = fx 0 )gx 0 ) lngx 0 ))) 13) Ezt azért tehetem meg, mert azzal a feltételezéssel élhetünk a kvark-gluon plazma kifagyásával kapcsolatban, hogy 0 >> r. Ebben az esetben az integrált két tagra lehet bontani az alapján, hogy a 3