ØÚ ÄÓÖ Ò ÌÙ ÓÑ ÒÝ Ý Ø Ñ Ì ÖÑ Þ ØØÙ ÓÑ ÒÝ Ã Ö Ã Ø Ñ ÒÞ Ø Ð Ð ÔÔ ÓÐ Ó ËÞ ÓÐ ÓÞ Ø Ã Ö ÐÐ Å Ø Ñ Ø Ëº Ð ÐÑ ÞÓØØ Ñ Ø Ñ Ø Ù Þ Ö ÒÝ Ì Ñ Ú Þ Ø Ã Ö ÐÝ Ì Ñ Ý Ø Ñ ÙÒ ØÙ ÇÔ Ö ÙØ Ø Ì Ò Þ Ù Ô Ø ¾¼½½

ÆÝ Ð Ø ÓÞ Ø Æ Ú Ã Ö ÐÐ ÄÌ Ì ÖÑ Þ ØØÙ ÓÑ ÒÝ Ã Ö Ñ Ø Ñ Ø Ë Þ ÌÊ ÞÓÒÓ Ø Ã È Ìº ÄÌ ËÞ ÓÐ ÓÞ Ø Ñ Ã Ø Ñ ÒÞ Ø Ð Ð ÔÔ ÓÐ Ó Þ ÓÐ ÓÞ Ø Þ ÖÞ ÒØ Ý ÐÑ Ð Ð Ñ ØÙ Ø Ò Ð ÒØ Ñ Ó Ý ÓÐ ÓÞ ØÓÑ Ò ÐÐ ÑÙÒ Ñ Ö Ñ ÒÝ Ø Þ ÐÐ Ñ Ø ÖÑ Ñ ¹ Ò Ú Ø ÓÞ Ó Þ Ø Ò Ö Þ ÐÝ Ø Ú Ø Þ Ø Ò Ð ÐÑ Þ¹ Ø Ñ Ñ Ó ÐØ Ð ÖØ Ö Þ Ø Ñ Ð Ð Þ Ò Ð Ð Ò Ñ ÞÒ ÐØ Ñ Ðº Ð Ö ØÙÑ

Ã Þ Ò ØÒÝ ÐÚ Ò Ø Þ ØÓÒ Þ Ö ØÒ Ñ Ñ Þ ÒÒ Ø Ñ Ú Þ Ø ÑÒ Ã Ö ÐÝ Ì Ñ Ò Ö Ò ¹ Ø ÓÒÞÙÐØ Ö ÓÖ ØÓØØ Ø ÞÒÓ Ø Ò Ó Ø ØÐ Ø Øº Ã Þ Ò Ø ÐÐ Ø ØÓÚ Ö ØÓÑ Ø Ñ ÖØ Ñ Ò Ø Ø ÒÝ ØÓØØ Þ ÐÐÙ ÞØÖ Ð Ö Þ ÐØ ÔÖÓ Ö Ñ Ö Þ Ò Ð Ø Ñ Ú Ð Ñ ÒØ Ñ Ø Ó ÐÑ Þ ÐÝ Ö ÓÖÖ Ð Öغ Ã Ð Ò Þ Ò Ø Ö Ò ÝÒ ¹ Ò ÑÒ Þ ÓÐ ÓÞ Ø Ö ÓÞ ÞØÓ ØÓØØ Ð Ö ÐÑ ÒÝ Öغ Þ ÑÙÒ Þ Ø ÑÓ Ø Ù Ò Ð Ð Ò Ñ Ø ØØ ÚÓÐÒ Ð ØÖ º

Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ ½º Ú Þ Ø ½ ¾º Æ Ý Ö Ò ¾º½º Æ Ú Þ Ø Þ ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º ý Ö ÞÓÐ Þ Ñ Ø Ô Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð Ô Ó ÐÑ º½º È ÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º Ð ÔÖ Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º à ÒÝ Þ Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º º ÃÓÒØ Ö ØÖÙ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º Ê ÔÖ Þ ÒØ ½ º½º ËÞ ØÚ Ø ØÖÙ Ø Ö Ö ÔÖ Þ ÒØ ÐØ Ð ÒÓ Ø º º º ½ º½º½º ËÞ ØÚ Ð Ò Ý Ð Þ º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º¾º ÆÓÖÑ ÐØ Ð Ò Ý Ð Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º º Ê Ò Þ ØØ Þ ØÚ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º º ýðø Ð ÒÓ ØÓØØ Ð Ò Ý Ð Þ º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º¾º ÅÓÞ ØÖÙ Ø Ö Ö ÔÖ Þ ÒØ ÐØ Ð ÒÓ Ø º º º º º º ¾ º¾º½º Ë ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º¾º ýðø Ð ÒÓ ØÓØØ ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º º ɹ ÓÖÓÞ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ýðø Ð ÒÓ ØÖÙ Ø Ö Ö ÔÖ Þ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º º½º ǹ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º º¾º ¹ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÅÓ ÙÐ ÓÖÓÞ Ø¹Ô Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ÒÞ Ø Ú Ð Þ ÖØ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð ÓÖ ØÑÙ Ó ¼ º½º ÅÓ Ð ÓÖ ØÑÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾º ÄÓ Ð Ö ÖÓ ÓÒ Ð ÓÖ ØÑÙ º º º º º º º º º º º º º º

º¾º½º ÄÓ Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾º Ì Ù Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º º ËÞ ÑÙÐ ÐØ òø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Å Ú Ð Ø Ö Ñ ÒÝ º½º Þ ÓÒÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º Æ ÒÝ Ô ÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Þ Ó Ð Ð ÁÖÓ ÐÓÑ ÝÞ

½º Þ Ø Ú Þ Ø ËÓ Ý ÓÖÐ Ø Ð Ø Ò Ð ÓÖ ÙÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ð Ø Ó ÐÑ ÞÒ ¹ Ð Ò Þ Ð ÑÓ ÙÐÓ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Þ ÑÔÓÒØ Þ Ö ÒØ Ô ÓÐ Ð Ø Ö Ø Ú Ý ÖÓÑ Ñ ÒÞ Òº Å Ò Ø Ñ ÒÞ Ò Ð Ø Ð ØÙÒ Ð Ô ¹ ÓÐ ÓÐ ÐÙÒ Ý ÓØØ Ñ Ö Øò ÓÒØ Ò Ö Ñ Ò Ð Ó ÐÝ ÞÒ ¹ Ð Ð Ô ÓÐÒ ÑÓ ÙÐÓ Ø ÐÐ ØÚ Þ Ó Ý Þ Þ ÑÓ ÙÐØ Ð Ø Ð ¹ Ú ÐÝ Ò Ô ÓÐ Ù Ð º ÚÔ ÓÐ Ò Ð ÓÒØ Ò Ö Ñ Ö Ø Þ Ý ÓÓÖ Ò Ø Ø Ò ÐÝ Ñ ÒØ Ò Ò Ò ÓÖÐ ØÓÞÚ ÐÝ Ò ÓÖ Ð ØÙÒ Þ Þ ÑÓ ÙÐØ Ð ÐÝ ÞÒ ÒÒ Ý Ó Ý Þ Ò Ø Ò ÐÝ Ñ ÒØ Ò Ñ Ò Ñ Ð Þ ÐÙÒ º À ÓÒØ Ò Ö Ñ Ö Ø Ñ ÐÝ Ö ÒÝ Ò Ñ ÓÖÐ ØÓÞÓØØ ÓÖ Ð Ø Ø Ö Ð Ø»Ø Ö Ó Ø¹Ñ Ò Ñ Ð Þ Ð º ÑÓ ÙÐÓ Ð ØÒ Ø Ð Ð ÔÓ»Ø Ð Ø Ø Ó Þ»ÔÓÐ Ö Ú Ý Ø Ð Ò ÐØ Ð ÒÓ Ð º È Ð ÙÐ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ó ÓÞÓÐØ Þ ÐÐ ØÑ ÒÝ ÓÔØ Ñ Ð Ô ÓÐ Ú ÓÒÓ ÖÓÑ Ñ ÒÞ Ð ¹ Ô ÓÐ Ò Ý Þ Ñ ÒØ Ö Þ Ò Ú Þ ÒÝ Ð Ô Ö Ö Ð¹ Ñ ÒÝ Þ Øص Ø Ñ ÒÞ ÚÔ ÓÐ Ò Ð Ð Ñ ÐØ Ð ÒÓ Ð ÑÓ¹ ÙÐÓ Ö º Þ Þ Ð ØÓÚ Ò Ø Ö Ð ØÑ Ò Ñ Ð Þ Ð Ð ØÖ Ð Ð Þ Þ Ø Ð Ð ¹ ÔÓ Ö Ñ ÐÝÒ Ý Ð ÓÒØÓ Ð ÐÑ Þ Ø Ö Ð Ø ÎÄËÁ¹Ø ÖÚ Þ º ÁØØ ÞÓÒ Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ØÑ Ò Ñ Ð Þ Ð Ð Þ ÓÔØ Ñ Ð ÙÞ ÐÓÞ ¹ Ð Ø º Ð ØÓØ ØÓÚ Ò Þ Ø Þ Ó Ý Ý Ð ØÖ Þ Þ Ö Ñ Ö Ð Ô ÞÓÒÝÓ Ö Þ Ò ÐÝ Þ ØÒ Ð Ú Ý Þ Þ Ö ÒØ Ý ¹ Ð ÓÖ Ø Ø ¼ ¹ Ð ÐÐ ØÚ Ð ÓÖ ÙÐ Ø Ó Ý Þ ÓÐ Ð Ó Þ Ò Ñ Ø ØØ Þ Þ Ø Ö Ð Ø Ñ Ø ÖØ Ú Ð ÞÓÒÝÓ Ö Ø Þ ØØ Ú ÐØÓÞØ Ø Ø º ÒÒ ÓÐ ÓÞ ØÒ Ö Ø Ò Ñ Ø Þ Ð Ø Ú Ý ÐÝ Ò Þ Ø ØØ Ð Ø Ø Ö Ý Ð Øº ÞÓÒ Ò Ð Ø Þ Ý Ý ÓÖÐ Ø Ò ÞÒ ÐØ ÒØ ÖÒ Ø Ø ¹ ÒÓÐ Ñ ÐÝ Ò Ñ Ð Ò Ø Ö Ð ØÑ Ò Ñ Ð Þ Ð Ð ØÒ Ý Ô Ð Ú ÐØÓÞ Ø º ½

ËË ËÔÖ Ø Ý Û ÓÐ Ð ¹ Ð Ý Þ Öò Ø Ú Ú ¹ Ñ Ò Ø Ð Ð Ðк Þ Þ ØØ Ú Ò Þ ÓÐ Ð Þ Ö Þ Ø Ø Ð Ö ÀÌÅÄ Ø ÐÙ ÖØ Ð Ð ËË Ð Ò¹ Þ Þ Ö ÔØ ÐÓ Ú Ð Ñ ÒØ Þ ÓÐ ÐÓÒ Ñ Ð Ò Ø Ò Ô º Þ Ñ Ò Þ ÓØØ Û ÓÐ ÐØ Þ Ñ ÐØ Ø ÞÓÐ ÐØ Ø Þ ÖÚ Ö Ò ÐÝ Þ Ò Ðº ÓÞ Ó Ý Þ ÓÐ Ð Ò Þ Ò Ø Ð Ø Ò Ñ Ð Ò Ò ÙÒ ÓÒ Ð ÓÒ Þ Ø Ð ÓØ Þ ÐÒ Ð ÐÐ Ø ÐØ Ò Þ Ñ Ø Ô Ñ Ñ Ö º ÒÒ Ö Ò Ò Þ ÀÌÌȹ Ö Ø Ð Þ ÖÚ Ö Ð Ð Þ Ö ÀÌÅĹ Ð ÖØ Ñ Þ Ò Ø Ð Ð Ø Ú Ø ÓÞ Ó ÓÖÖ Ò Ò Ø Öغ Å Ú Ð Ò Þ Ò ÒÝ Þ ÐÓÒ ÓÑÑÙÒ Ð Þ ÖÚ ÖÖ Ð Þ Ý Ò Ð Ø Ðع Ø ÐÓ Þ Ñ ÓÖÐ ØÓÞÚ Ú Òº Å Ö ÞØ Ò ÝÓÒ Ñ Ö Øò ÐÓ Ø Ò Ð ÓÖ ÙÐ Ø Ó Ý Ð Ø ÐØ Ö Ö ÒÝÙÐ Ö Ñ Ö Ø Ò ÝÓ Ñ ÒØ Ñ Ðº Ñ ØØ Ý Û ÓÐ Ð Ó Ô Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ð Þ Öò Þ Ð Ý ØÐ Ò Ò ÝÓ Ô Ø ¹ ÝÒ Ú Þ ØØ ËË ËÔÖ Ø ¹ÓØ ¹ Ð ØÖ ÓÞÒ Þ ÓÐ ¹ ÐÓÒ Ô ÐÝ Ò ËÔÖ Ø Ô Ø Ð Ò Ø Ò Ñ Ý Ó Ý Ñ Ð Ð Ö ÞÐ Ø Ð Ø Þ ÓÒº Þ ËË Ø ÒÓÐ Ú Ð Ý Þ Öò Ò Ñ Ú Ð Ø Ø º Ý ÀÌÌȹ Ö Þ Ñ Ø Ð ÒØ Ò ÒØ Ò ØÙ Ù ÞÞ Ð Ô Þ ÓÐ Ð Ø ÐØ Ø ÝÓÖ Ø Ò º ËÔÖ Ø Ô Þ Ø ÓÖ Ò Ø Ö Þ Ò ÖÖ Ó Ý Ñ Ö Ø Ð Ø Ð Ð Ý Òº Þ Ô ÓÖÑ ØÙÑ Ø Ð Ô Ü Ð Ò Þ Ñ ØÓØØ Ñ Ö Ø Ø Ð º Þ ÙØ Ò Ð Ø Ð Ø Ø Ð Ø Ñ ÒÞ Ø Ö Ð ØÑ Ò Ñ Ð ¹ Þ Ð Ð ØÒ Þ Ô Ð Ø Ñ ÓÖ ÑÓ ÙÐÓ Ø Ð Ð Ô Ð Ü Ñ Ö Øò Ò Ñ Ð ÓÖ Ø Ø º ÓÐ ÓÞ ØÓÑ Ò Ñ ÖÐ Ñ ÑÙØ ØÒ ÒÒ Ð ØÒ Ð Ò Þ Ñ ÓÐ Ð Ø Ø Ð ÐØ Ö Ø Ö Ô¹ Ö Þ ÒØ Ò Ð ØÖ Ô ÐØ Ð Ö Ò Ö ÞØ Ð Þ Þ Ö Ð ÐÑ ÞÓØØ Ð ÔÚ Ø ÙÖ ÞØ Ù Ð ÓÖ ØÑÙ Ó ÑÙØ Ø º ËÞ Ö Ô ÐÒ Ó Ð Ò ¹ Þ Ñ Þ Ö ÐÑ Ð Ø Þ ÑÔÓÒØÓ Ôк ÙØ µ Þ Ö ÒØ Þ ÓÒÐ Ø Ú Ð Ñ ÒØ Ý ÓÖÐ Ø Ö Ñ ÒÝ Ñ ÐÝ Ø Ñ ÐÐ ÐØ Î ¹Ò Ø Ð Ð Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ú Ð ÐÐ ØÓØØ Ñ Ð º ¾

¾º Þ Ø Æ Ý Ö Ò Å Ò Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ð Ñ ÐÝ Ø Þ Ñ Ø Ô Ò Þ Ö ØÒ Ò ÙØØ ØÒ Ò Ý ¹ Ð ÒØ Ú Ò Ò Ý Ö Ò Ò º ÝÖ ÞØ Ð ÒÝ Ó Ý ØÖÙ Ø Ö Ñ ÐÝ Ø Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÞÒ Ð Ñ ÓÖ Ñ Ñ Ö Ø Ó Ð ÐÒ Ú Ð Ñ ÒØ Þ Ó Ý Ñ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ ÒÒÝ Ð ØØ ÙØ Ð º Å ÒØ Ñ Ö Ø Ò Ñ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ð ÓÖ ØÑÙ Ó Ñ Ö Þ Ñ Ñ Ò Ø Ø Ò Ñ ÖÒ Ú Ø ÓÐÝ Ò Ò Ó Ý Ý ÓÖÐ Ø Ò ÞÒ Ð Ø Ð Ý Ò º È Ð ÙÐ Ý (n!) 2 n 2 Ò Ý Ö Ò ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ø Ð Ð ÓÞÒ Ó ÙÒ ÐÝ ÒÒ Ðµ Ñ Ö n = 7 Ø Ò Ñ Ò ÑÙÑ Ö ÙØÒ º ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ð ÓÖ ØÑÙ Ó Ò Ð Ñ Ò Ð Ø Ú Ø Ö Þ Ø Ð ÒÝ Ò ÐØ Ð ÒÓ Ò ÐÑÓÒ ¹ Ø Ó Ý Þ n 3 ¹Ò Ð Ò ÝÓ Ò Ý Ö Ò Ò Ñ Ñ Ð Ð Ñ Ò ØÓ Ò Ý Þ Ñ Ø Òº À Ú Þ Ø Ò Ñ ÖØ Ø ØØ Ý ÓÖÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ð Ø ÒÓÐ Ð Ò n = 100¹Ò Ð Ø Ñ Ò ØÖ Ò Ñ ÐÐ Þ Ñ Ø ¹ Ò Ò Ñ ÖØ Ø ØØ Ð ÓÖ ØÑÙ Ó ÐØ Ð ÞÒ ÐØ Ñ Ñ Ö Ò Ý ¹ Ö Ò Ø ÙØ Ø ØØ Ð ØÐ Ò Ð ÐØ Ð ÒÓ Ò Ø ÖÓÞÞÙ Ñ º Ý Ö Ò Ð ÓÖ ÙÐ Ø Ò Þ Ø Ò Ø Ö Ý Ð Ù º ¾º½º Æ Ú Þ Ø Þ ÑÓ ½º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò S 2n Ó Þ XY ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝ Ò Þ X¹ Y ¹Ó Þ ¹ Ñ Ñ Ý Þ S Ñ ÐÝ ÔÖ Ü Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Y ¹Ø Ñ ÒØ X¹ غ Ð Ò Þ ÐÝ Ò S ÓÖÓÞ ØÓ Þ Ñ Ñ Ý Þ Þ nº Ø Ð Ò¹ Þ ÑÑ Ð C n = 1 ( ) 2n n+1 n Æ Ý Ö Ò Ò C n O(2 2n /n 1.5 )

ÞÓÒÝ Ø º ý Ö ÞÓÐ Ù Ð Ø XY ÓÖÓÞ ØÓ Ø ÓÓÖ Ò Ø ¹Ö Ò Þ Ö Ò Þ Ö Ò Ð Ø Ø Ñ ÓÒº Ä Ý Ò A B Ø ÚÓÐ 2nº Þ A¹ Ð B¹ Ú Þ Ø ÓÐÝ Ò ÙØ Þ Ñ Ñ ÐÝ Ò Ò Ò ÔÓÒØ Þ x¹ø Ò ÐÝ Ð ØØ Ñ Ý Þ Ñ Ò ØØ XY ÓÖÓÞ ØÓ Þ Ñ Ú Ðº Þ A B ÙØ Þ Ñ Ø Ñ Ô Ø Ù Ý Ó Ý Þ Þ A B Ø Þ Ñ Ð Ð ÚÓÒ Ù ÞÓ Ø Ñ ÐÝ Ò Ú Ò Þ ÔÓÒØ Þ x ¹Ø Ò ÐÐÝ Ðº Þ ÙØ Ð Ú ÞÓÒØ Ø Ö Þ ÐÚ Ð Ô Ò ÔÓÒØÓ Ò ÒÒÝ Ú Ò Ñ ÒØ Ñ ÒÒÝ Þ Þ A B Ø Þ Ñ º Ý Ö ØØ Þ Ñ ( ) ( ) 2n 2n K = = 1 (2n)! n n+1 n+1 (n!) 2 ËØ ÖÐ Ò ¹ ÓÖÑÙÐ Ú Ð Þ ÑÔØÓØ Ù Ò Ð Ø n!¹ø n! ( n n 2πn e) ÞØ Ð ÞÒ ÐÚ K Ð Ö ( 1 2π2n 2n e K ( ( n+1 2πn n e = ) 2n ) n ) 2 = 1 n+1 2 2n πn(n+1) = O(2 2n /n 1.5 ) ) 2n 2 πn ( 2n e 2πn ( ) n 2n = e ½º ýðð Ø º Ð Ò Þ n Ò Ö Ò Þ Ñ Ñ Ý Þ C n ¹Ò к ÞÓÒÝ Ø º ÁÒ Ù Ú Ð ÞÓÒÝ ØÙÒ º Ð Ò Þ 1 n = 1µ Ò Ö Þ Ñ B 1 = 1 = C 1 º Ý n 1 Ò Ö Ò Ý ÖØ Ð Ð Ò Þ n 1 Ð k Ö Ú Ò Ð Ö Þ Ò n k 1 Ó Ö Þ Òº Þ Þ Ð Ò Þ n+1 Ò Ö Þ Ñ Ø Ý Ô Ù Ó Ý Þ Þ Ò Þ Þ Ð Ø k¹ö º n 1 B n = B k B n k k=0 Þ Ò Ù ÐØ Ú Þ Ö ÒØ Ö Þ Ö Þ Þ ÐÐ Ø Ý n 1 B n = C k C n k = C n k=0

Å ÝÞ º À Þ Ð Þ ÐÐ Ø Ò Ø Ö Ý ÐØ ÐØ Ð ÒÓ Ð Ò Ö Ø ¹ Þ Ø Ý Ó Ý Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò ÓÞ Ñ ÐÝÒ ¾¹Ò Ð Ú Ý Ö Ú Ò ÓÞÞ ÙÒ ÒÒÝ Ý Ö Ø Ñ ÒÒÝ Ø Ñ Ü Ñ Ð Ò Ð Ø ÓÖ ÔÓÒØÓ¹ Ò ÞÓ Ø Ò Ö Ø Ô Ù Ñ ÐÝ Ò n Ð Ù n+1 Ð Ú Ð Ú Ò Þ Ö Ù Ó Ý Þ Þ Ð Ò ¾ Ý Ö Ú Òº ÒØ ÐÐ Ø Ð Ô Ò Þ ÐÝ Ò Ð Ò Þ Ò Ö Þ Ñ C n º ½º Ò º Æ Ú ÞÞ Ñ Ò ØØÒ Ý ÓÖÓÞ Ø ÓÐÝ Ò Þ Ö Ð Þ Ø Ñ ÐÝÖ Þ Ú Ø Þ µ Þ Ö Ð Þ ÐÝ Þ Ö Ð Þ µ Ý Þ Ö Ð Ñ Ò Ñ Ð Ò Ø Ø ÓØ Ø ÖØ ÐÑ Þ µ Ò Ò ÙÔÐ Þ Ö Ð Ñ ÐÝ Ø ÓÔÓÖØ Ö Ð Úµ Ú Ò Ý Þ Ö ÐÔ Ö Ñ ÐÝ Þ Þ ÓÖÓÞ ØÓØ Ñ Ó Ð Ð º È Ð º Ì ÒØ Þ ABCD ÓÖÓÞ ØÓغ ÓÖ Ò Ñ Ñ Ò ØØ Þ Ö Ð Þ ¹ µ Þ Ö ÒØ (AB(C)D) µ Þ Ö ÒØ (AB((CD))) Úµ Þ Ö ÒØ (AB)(CD) Å Ò ØØ Ô Ð ÙÐ (A(BCD)) ((AB)(CD))º ÙÔ Ò Ý Ð Ñ Ð ÐÐ ÓÖÓÞ ØØ Ð Ú Ò Þ Ò ÓÖ (ii) Þ Ö ÒØ ¹ Ñ Ú Ð Ý Ø Ð ÐÐ ¹ Ò Ñ Ð ØÒ Þ Ö Ð ÞÒ Ñ (iv) Ñ Ú Ø Ð Ó Ð Ð Þ Ö Ð Øº Ò Þ Ý Ø Ò Ñ Ò Þ (A) Ð Þ Ö ¹ Ð Þ Øº ¾º Ì Ø Ðº Ý n Ð Ñò ÓÖÓÞ Ø Ø Ò ÒØ Ò ÐØ Ñ Ò ØØ Þ Ö Ð ¹ Þ Þ Ñ A n ÓÐ A n Þ n. ÞÙÔ Ö Ø Ð Ò¹ Þ Ñ Ú Ý Ë Ö Ö¹ Þ Ñ A n = (3(2n 3))A n 1 (n 3)A n 2 n A 1 = A 2 = 1 ¾º Ò º Ú Ø Þ ÓÖÑÙÐ Ú Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ B n Þ ÑÓ Ø ÜØ Ö¹ Þ ÑÓ Ò Ò Ú ÞÞ ( ) 1 ( ) 1 n ( )( )( ) n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 B n = 1 2 k 1 k k +1 k=1

¾º ýðð Ø º ÓÐ T n+1 (i+1,j +1) = T 0 (i,j) = B n+1 = T n (i,j), n 0 i,j 0 T n (i+k,j)+t n (i,j +k) k=1 { 1 i,j = 0 0 Ý ÒØ T n (i,j) = 0 i < 0 Ú Ý j < 0 Ú Ý i+j > n ¾º¾º ý Ö ÞÓÐ Þ Ñ Ø Ô Ò Ò ÑÙØ Ø Ö Ö Ð Ô ÓÐ Ó Ø Ð Ö Ö ÔÖ Þ ÒØ Ú Ø Þ ÖÓÑ ØÖÙ Ø Ö Ú Ð ÓÐ ÓÞ ØÒ µ ËÓÖÓÞ ØÓ µ à РÐØ Ý ÖÔÓÒØØ Ð Ö Ò Ð Þ Ò Ö µ à РÐØ Ý ÖÔÓÒØØ Ð Ö Ò Ð Þ ÐØ Ð ÒÓ ÓÐ Ý Ý Ö ¹ Ò ÓÖÖ Ò Ð ÒÝ º Å Ò ÖÓÑ Ø ØÖÙ Ø Ö Ð Ñ Ð ØÒ 0...n Þ Þ ÑÓ ØÐ Ñ m¹ Ð Ô Ð Ö Ø Ö Ý Ó Ý Þ Þ Þ ÑÓ Ñ Ò Ý Ð Ð Ý Þ Ö Þ Ö Ô Ð Ø ØÖÙ Ø Ö Ò Ñ Ô Ð Ö Ø Ö Ö Ò Ò ÐÝ Ò Ñ Ø º Þ Ò Ú Ð ÓÖÓÞ ØÓ Ð ØÒ 0 Þ 1 Þ Ñ Ý Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ ÝÒ Ú Þ ØØ Ø ÓÖÓÞ ØÓ º Â Ú Ð ÞØ Ô Ð Ö Ø Ö Ø Þ n + 1,n + 2,...,n + m Þ Þ ÑÓ ÒØ Ö ÞÓÐÒ Þ Ò Þ Þ ÑÓ Ò Ñ Þ Ö Ô ÐÒ ØÖÙ Ø Ö Ö Ø Þ Ñ ÐÑ Þ Ò Ý Ò Ñ Ó ÓÞ ØÒ Ú ÖÓ Ø ÓÖ ØÖÙ Ø Ö ÞÓÒÓ Ø ÔÙ Ð Ñ Ø Ó Ø ÖØ ÐÑ ÞÒ º ÐÑ Ð Ø Ò Ý a Þ Þ Ñ Ø ÖÓÐ ÓÞ loga ØÖ Ú Ò Þ Ý Þ Ð Ø ØÖÙ Ø Ö Ø Ò ¹ Þ Ð Ú ÓÐØ Ö ÞÓÐ Ø Ú Ð ÞØ Ù ¹ Þ ØÓ Ø ÖÓÐ ÓÞ Þ Ø Þ Ñ Ø Ð ÐÖ Ð Ð Ø (n+m)log n+m ¹Ú к Þ m = 0 Ô Ð Ø Ò Þ Þ n logn Ð ÓØ ÐØ º Ý ÓÖÐ Ø Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÞ ÒÝ ÐÚ Ò Ò Ñ Ð Ø Þ l Ø Ô Ø ØØ ÞØ ÔÙ Ù Ñ Ò Ò l¹ö º ýðø Ð Ò Þ 1 8 16 32 64 Ø Ø ÔÙ Ó Þ Ð Ú Ð ÞØ ØÙÒ º Ý Ô Ð ÙÐ Ð ÐØ Ð ÒÓ Ò ÞÒ ÐØ 32 Ø Ø ÔÙ Ð ÓÐ ÓÞÙÒ ÓÖ Þ Þ Þ Ò 32 Ø Ø Ó Ó Ð ÐÒ Ñ Ñ Ö Ò

Þ ÐØ ÐÙÒ ÞÒ ÐØ Ð Ò ÝÓ Þ Ñ 2 32 ¹Ò к 0 1 ÓÖÓ¹ Þ ØÓ Ò Ð ÞÓÒ Ò Ð Ø Þ ÔÓÒØÓ Ò ÐÐ Þ 1 Ø Ñ Ö Ø Þ ÝÒ Ú Þ ØØ ÐÓ Ø ÔÙ º Þ Ò Ú Ð Ò Ñ Ð Þ Ð Ñ Ø Ö ÞÓÐÒÙÒ ÞØ Ð Ú Ú ÞÓÒÝÓ Ø Ô Ð ÙÐ ÓÖÓÞ ØÒ Ð ÓÖÖ Ò Ø Ø ÖÓÐÒÙÒ Ðк ÞØ ÓÖÓÞ ØÓ Ø Ò Ñ Ø Ø Ø Ñ Ð Ú Ý Ú Ð Ñ ÐÝ Ò ÑÙØ Ø Ø ÞÒ Ð Ø Þ Ö Þ ØØ Ðº Å Ò Ø Ø Þ Ö Þ ØÒ Ñ Ú ÒÒ Þ Ð ÒÝ ØÖ ÒÝ º Ø Ñ Ñ Ö Ø Ø Ð Ö Ñ ÐÐ Ò º Ý n Ñ Ö Øò Ø Ñ Ø Ò Ñ ¹ Ñ Ö Ò Ò¹ Þ Ö Ø Ñ Ò Ø ÖÓÐØ Ø ÔÙ Ñ Ö Ø Ò Ñ Ð Ð ÐÝ Ð Þ Ð Ó Ð ÐÚ Ñ Ú Ð ÐÝ Ò ÓÖ Ø Ñ Ð Ñ Ò Ð Ó Ð ÐØ Ö Þ ÝÑ ÙØ Ò Ú Ø ÞÒ Ñ Ñ Ö Ò ÒÒ Ñ Ú Ð Ø Ò Þ Ð ÒÝ Ó Ý Þ Ð Ñ ÞÚ ØÐ Ò Ð Ñ Þ Ø º Þ Ð Þ Ð ØÖ ÒÝ Ñ Þ Ö ÒØ Ø Ñ Ñ Ö Ø Ò Ñ Ò Ñ Ù Ý Þ Ö Ø ÖÐ Ø Ò Þ Þ Ø Ñ Ø Ø ÐÐ Ñ ÓÐÒÙÒ Ý Þ Ò ÑòÚ Ð Ø Ò Ú Ö Ø Ø Ñ Ñ Ö Ø Ú Ð Ö ÒÝÓ Ø Ú Þ ÒÝ º ÅÙØ Ø Ø ÞÒ Ð Ø Þ Ö Þ Ø Ø Ò Ó Ð ÐØ Ö Þ Ò Ñ ÝÑ ÙØ Ò Ú Ø ÞÒ Ñ Ñ Ö Ò Ý Ñ Ö Ø Ò Ñ Ù Ø ÖÐ Þ Ö ÓÒ Ø Ò Ø Ú Þ ÒÝ º Å Ö ÞÖ Ð ÓÖ Ò Ñ Ñ Ù Ø Þ Ð Ñ Ø Ò Ñ Ú Ø Þ» Ð Þ Ø Ò Ý Ö» Þ Ð µ Ð ÑÖ ÑÙØ Ø ÑÙ¹ Ø Ø Ø Ø ÖÓÐÒÙÒ Ðк Å Ú Ð Þ Ð Ñ Ò Ú Ð ÐÝ Ò Ô Ð ÙÐ ÓÖÓÞ Ø Ð Ð Ñ Ú Ý Ý Ö µ Ø Ð Ñ ÞÓÑ Þ Ò Ö ÞØ Ð Ö Ø Ð Þ ÖØ Ø Ñ Ø Ð ÐØ Ö Ò Ò Þ Ø Ò Ý Ð Ñ Ñ Ø Ð Ð Þ Ø Þ Ö Þ Ø Ð Ñ Þ Ñ Ò Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ú ÒÝ Ú Ð Ö ÒÝÓ Ò Ñ ÓÒ Ø Ò Ò Ø Ø Ñ º

º Þ Ø Ð Ô Ó ÐÑ Ä Ý Ò M Ø Ð Ð Ô Ð ÑÓ ÙÐÓ m Ð Ñò ÐÑ Þ º Å Ò Ò ÑÓ ÙÐ Þ Ð Ñ ÓØØ Ú Ð Þ Ñ ÓÖ ÒØ Üº Ý a ÑÓ ÙÐ Þ Ð Ø w a Ñ Ø h a Ð Ð º ÑÓ ÙÐ ÓÓÖ Ò Ø Ò Ð Ð ÖÓ ÓÓÖ Ò Ø Ø ÖØ Ñ ÐÝ Ø x a ¹Ú Ð ÐÐ ØÚ y a ¹Ú Ð Ð Ð Ò º Ý x a = 0,y a = 0,h a = 0,w a = 0 ØÙÐ ÓÒ Ó Ð Ö Ò Ð Þ a ÑÓ ÙÐØ Ö ÑÓ ÙÐÒ Ò Ú Þ Ò º º½º È ÓÐ M Ð Ñ Ò Ý Ø Ò Ð Ð Ð ÐÝ Þ Ø ÓÒ Ô ÓÐ Ò Ô ¹ Ò µ Ò Ú ÞÞ º Ý Ô ÓÐ Ø Ý ØÙÒ Ñ Ó Ý Ñ Ù ÒÒ Þ Ö ÔÐ Þ ÑÓ ÙÐ ÓÓÖ Ò Ø Øº Ô ÓÐ Ø Ø ÖÓÐ Ñ Ò Ñ Ð Ø Ö Ð Øò Ø Ð Ð Ô Þ Ôµº º½º Ö º È ÓÐ Ð ÔÖ Þ Ý Ô ÓÐ Ø ¹ ÓÑÔ ØÒ Ä¹ ÓÑÔ ØÒ µ ÑÓÒ ÙÒ Ñ ÐÝ ÑÓ ÙÐ Ò Ñ ÑÓÞ Ø Ø Ð Þ Ý¹Ø Ò ÐÐÝ Ð Ü¹Ø Ò ÐÐÝ Ðµ Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ò Ð ¹ Ð ÐÖ µ Ø ÑÓ ÙÐ Ü Ò Ñ Ö º Ý Ô ÓÐ Ø Ä ¹ ÓÑÔ ØÒ ÑÓÒ ÙÒ ¹ ÓÑÔ Ø Ä¹ ÓÑÔ Øº

º¾º Ö º Ä ¹ ÓÑÔ Ø Ô ÓÐ º¾º Ð ÔÖ Þ Þ Ð ÔÖ Þ ÓÓÖÔÐ Òµ Þ ÐÓ ÞØ Ø Ð Ð ÔÓ Ö Ñ ÐÝ Ø ÞÓ¹ Ò ÖÓÓѵ Ò Ú Þ Ò º Å Ò Ò ÞÓ Ð Ð Ý ÑÓ ÙÐØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Øº Þ Ý ØÐ Ò ÑÓ ÙÐØ Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ ÞÓ Ø Ö Ò ÑÔØݵ Ú Ù º ÞÓ¹ Ø Ö Ø ¹ Ð ÖØÚ Þ Ò Ý ÓÐ Ð Ø ¹ ÐÒ ÙØØ Ò ¹ µ Ò Ú ÞÞ º Þ ÓÐ Ð Ò Ú Ø Ð Ú Ð Ñ Ò Ò Ð Ý Ö Ñ Ö Ð Ð Ò Ú Þ Ì¹ Ö ÒØ Þ Ø Ì¹ ÒØ Ö Ø ÓÒµ ÓÖÑ ÐÚ º Ý Ð ÔÖ ÞÓØ ÑÓÞ Ò ÑÓ µ Ò Ú Þ Ò Ú Ø Þ Ø Ð ÐÒ µ Å Ò Ò ÞÓ ÔÓÒØÓ Ò Ý ÑÓ ÙÐØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Þ Þ Ò Ò Ö ÞÓ º µ Þ Ð ÔÖ Þ Ò Ñ Ð ÙÐØ Þ Þ Ò Ò + Р̹ Ö ÒØ Þ º Í Ý Ò ÓÞ Ô ÓÐ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ø ÑÓÞ Ð ÔÖ ÞÓØ Ú Ú Ð Ò Ò Ø Ò¹ Ø Ò Þ Ý Ñ ØÖ Ò Þ ÓÖÑ Ð Ø Þ Ý Ý Ò Ñ ÒØ Ò Þ ÖÖ Ñ Ö Ð Ð ÐØÓÐ Ú Ðº º º Ö Ò Ø Ú Ú Ð Ò Ð ÔÖ Þ Ð Ø Ø º º º Ö º Ú Ú Ð Ò Ð ÔÖ ÞÓ Ý Ð ÔÖ ÞÓØ Þ ØÚ Ø Ò Ð Ò µ Ò Ú Þ Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ú ÖØ Ð ØØ Ú Ó Ð Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÐÐ Ø Ø º Ý ØØ Ú ÙØ Ò ¹ Ð Ø Þ Ø ÞÓ Ø Ñ Ù Ò Ó Ð Ð Ö Ó Ø ÞÙÔ Ö ÞÓ Ò Ò Ú¹ Ù º

º º Ö º Ð ÔÖ ÞÓ Ø ÔÙ º º Ö Ò Ð Ø Ø Ð ÔÖ ÞÓ Þ Ð Þ (a) Þ ØÚ Ø ÑÓÞ (b) ÑÓÞ Ò Ñ Þ ØÚ Ø (d) Ò Ñ Þ Ø¹ Ú Ø Ò Ñ ÑÓÞ º (c) Þ ØÚ Ø ÞÓ Ð ¹ Ò Ñ Ò Ñ Ð ÐØÓÐ Ú Ð ÐØ Ð Ò Ñ Þ ÒØ Ø Ø Þ Ð ÙÐØ º ÓÖ Ý Ú Ð Ú Ú Ð Ò Ð ÔÖ ÞÓØ ÔÙÒ Ñ ÐÝ Ñ Ö ÑÓÞ º º º Ö Ð Ø Ò Ú Ø Ð Ø¹ Ò Ò Ñ ØÙ Ù ÐØÓÐÒ Ñ Ò Ò ÞÓ Ø ÔÓÒØÓ Ò Ø ÐØ ÒÒ Ø Ð Ð Ø ÑÓ Ùк ØØ Ð Þ ØØ Ð ÑÓ Ø ÐØ ÒØ Ò Þ ÐÝ Ò Ð ÔÖ ÞÓ Ø ÑÓÞ Ò Ø ÒØ º ÒØ Ð Ô Ò Þ Ð ÔÖ ÞÓ Ø ÔÙ Ö º º Ö Ò Ð Ø Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ó Ø Ð ¹ ÐÒ º Ý Ô ÓÐ Ø Þ Ö ÒØ Ò Ú Þ Ò Þ ØÚ ¹ Ø Ò ÑÓÞ Ò ÐÐ ØÚ ÐØ Ð ÒÓ Ò Ó Ý Ñ ÐÝ Þ Ð Þò Ð ÔÖ ÞØ ÔÙ Ñ ÐÝ ÓÒ ØÖÙ Ð Ø ÓÞÞ º ËÞ Ø¹ Ú Ø Ô ÓÐ Ø Ò Þ Ý ÞÙÔ Ö ÞÓ Ø ÖØÓÞ ÑÓ ÙÐÓ Ø ÞÙÔ ÖÑÓ¹ ÙÐÒ Ò Ú ÞÞ º º º à ÒÝ Þ Ö Ö Ý ÓØØ Ô ÓÐ ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ú ÖØ Ð µ ÒÝ Þ Ö Ö ÓÒ ØÖ ÒØ Ö Ô µ Ý Ð Ù Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ñ ÐÝ Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ò ÓÒ ØÖÙ Ð ØÙÒ Ñ º Å Ò Ò ÑÓ ÙÐÒ Ñ Ð Ð Ý º Ý ÓØ Ò Ñ Ð Ð ÑÓ ÙÐØ Ù Ý Ò ÞÞ Ð ØòÚ Ð Ð Ð º Ä Ý Ò a b Ø ÑÓ¹ Ùк Þ Ü¹Ø Ò ÐÝÖ Ý¹Ø Ò ÐÝÖ µ Ú ØØ Ú Ø Ð Ø Þ Ö Þ Ø Ð Ð P x (a,b) P y (a,b)µº Þ a Ð b ÓÖ Ú Þ Ø Ð Þ a ÑÓ ÙÐ b ÑÓ¹ ÙÐØ Ð ÐÖ Ð µ ÐÝ Þ Ð Ú Ø Þ Ø Ð ÐÒ µ P y (a,b) P x (a,b)µ Ø Ñ ÒØ Ý ÔÓÒØ Ð ÐÐ µ Ò Ñ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò i Þ a¹ø Ð Ó Ö Ð µ b¹ø Ð ÐÖ Ð µ ½¼

Ð ÐÝ Þ ÑÓ ÙÐ Ñ ÐÝÖ P y (a,b) P y (a,i) P x (a,b) P x (a,i)µ Ø Ñ ÒØ Ý ÔÓÒØ Ð Ðк º º Ö º à ÒÝ Þ Ö Ö Ö ÓÞ ÓÞÞ ÙÒ Ý ÓÖÖ ¹ Ú Ð Ñ ÒØ Ý ÒÝ Ð ÔÓÒØÓغ ÓÖÖ Ð Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò ÑÓ ÙÐÒ Ñ Ð Ð Ú Þ Ø Ð Ñ ÐÝ Ò Ò Ò Ú Ð º ÒÝ Ð Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò ÑÓ ÙÐÒ Ñ Ð Ð Ð Ú Þ Ø Ð Ñ ÐÝÒ Ò Ò Ñ Ò Ð º º ýðð Ø º ÒÝ Þ Ö Ö Ö ÞÓÐ Ø º ÞÓÒÝ Ø º ÒØ ÐØ Ø Ð ÞØ Ð ÒØ Ó Ý ÓÐÝ Ò ÑÓ ÙÐÓ Þ ØØ Ú Þ Ø Ø Ð Ñ ÐÝ Ú Ý Ö ÒØ ÞÒ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ö Ø Òµ Ý Ð ÓÐ ÐÓÒ Ú Ý Ò Ñ Ö ÒØ ÞÒ Ù Ý Ò Þ Ý Ó Ñ Ð ÓÐ ¹ Ð Þ ØØ Ø Ð Ð Ø Ý Ú Ñ ÐÝ Ò Ò Ò Ò Ñ ÑÓ Ùк Ý Ö ÔÓÒØ Ø ÑÓ ÙÐÓ Þ ÔÔÓÒØ Ò Ð ÐØ Ø Ñ Þ Ð Ú Ý ÑÓ ÙÐÓ¹ ÓÒ Ð Ð Ð Ò Ú Ý ÚÓ Òº Î Ð Ó Ó Ý Ñ Ò Þ Ø Ý Ó Ý Ò Ñ Ø Þ ÝÑ Øº Ý Ö¹ ÒÝ Ð ÔÓÒØ Ð Ö Þ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð º Þ Ð Ô Ò Ö Ò Ð Ð 3 V 6 Þ Þ n ÑÓ ÙÐ Ø Ò 3n Ð Ú Òº ½½

º º ÃÓÒØ Ö ØÖÙ Ø Ö Ý ÓØØ Ô ÓÐ ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ú ÖØ Ð µ ÓÒØ Ö ÓÒØÓÙÖµ Ô ÓÐ Ø Ð ÐÖ Ð Ó ÓÐ ÐÖ Ðµ Ø ÖÓÐ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ø Ö ØØÚÓÒ Ð ÐØ Ð Ö Ò¹ Ø ØØ ÑÓ ÙÐÓ Ð Ø Þ y¹ø Ò ÐÝØ Ð x¹ø Ò ÐÝØ Ðµ Þ Ú º ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ú ÖØ Ð µ Ø Ö ØØÚÓÒ Ð Þ ÔÓÒØ ÐÐ ØÚ Ð Ú Þ Þ ÒØ µ Þ Ñ Ò¹ Ò Ñ Ð Ð ÔÓÞ Ð ÓØ ÐÐ ÞØ ÔÓÒØÓ Ò ÖØ Ø ÓÒ ÔÓ Òص ÐÑ Þ Øº º º Ö º ÃÓÒØ Ö ØÖÙ Ø Ö À Ý n ÑÓ ÙÐ Ð ÐÐ Ô ÓÐ Ø Þ Ö Ô ÓÐ Ø Ð Ò ÙÐÚ ÑÓ ÙÐÓ ÝÑ ÙØ Ò Ô ÓÐ Ø Ø Þ Ý Ñ ÓØØx¹ ÓÓÖ Ò Ø Ò Ð Ø ¹ Ð y¹ ÓÓÖ Ò Ø Ò Ø ÖØ Ò ÓÞÞ ÐÐ ÞØ Ú Ð Ô Ø Ò Ð ÓÖ Ö ØØ y¹ ÓÓÖ Ò Ø Ô ÓÐ Ò Ñ Ö Þ Ö ÔÐ Þ x¹ø Ò ÐÝÖ Þ ÑÓ Ùй Ð Ð Ø Ú Ø Ð Ø Ø Ð ÓØ ÑÓ ÙÐÓ Ð ÓÐ Ð Ò Ñ Ü Ñ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ð Þº Ö ØØ y¹ ÓÓÖ Ò Ø Þ ÑÓÐ ÓÞ Ñ Ò Ò Ð Ô Ò Ñ Ö Ð Þ ¹ Ø ØØ Ô ÓÐ Þ ÑÓ ÙÐ Ø Ú ÐÐ Ò ÞÒ Ý Þ O(n 2 ) Ø Ú Þ ÒÝ º Í Ý Ò Þ ÐÝÞ Ø Ó ÓÐ Ð ÓÞ Ú Ð ÐÐ ÞØ ÓÖ Ñ ÓØØ y Ñ Ö ¹ Ò Ñ Ò Ñ Ð x¹ ÓÓÖ Ò Ø Ø Òº Ú Ø Þ ÐÐ Ø Þ Ö ÒØ Ô Ð Ø Ò ÑÓ ÙÐÓ Þ Ñ Ò Ð Ò Ö Ò ÐÚ Þ Ø Þ Þ ÐÐ ÞØ º º ýðð Ø º n ÑÓ ÙÐ ÝÑ ÙØ Ò ÓÒØ Ö ÓØØ ÐÐ ÞØ ÔÓÒØ Ò Ø ÖØ Ò ÐÐ ÞØ Ú Ð Ñ ÒØ ÓÒØ Ö Ð Ð Ö O(n) Ø Ú Þ ÒÝ º ÞÓÒÝ Ø º Å Ò Ò ÑÓ ÙÐ ÐÐ ÞØ ÓÖ ÔÓÒØÓ Ò ÒÝ Þ Ö Ö Ò ÓÞ¹ Þ Ø ÖØÓÞ Ú Ð Ò Ñ Ð Ð ÑÓ ÙÐÓ Ø Ú Þ Ð Ù Ñ Ý Þ Þ ÐÐ ÞØ ÒÝ Þ Ö Ö Ð Ú Ð Ö ÒÝÓ Ò O(n)¹ Ò ÐÚ Þ ¹ Ø º ½¾

Þ ½º Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÒØ ÖØ Ö Ð Ð Þ Ö ÙÑ ÒØÙÑ ÒØ ÔÓØØ ÑÓ ÙÐРк ÓÒØ Ö Ý ÑÓ ÙÐÓ Ð ÐÐ Ð ÒÓÐØ Ð Ø ¼¹Ø Ð Ò Ü ÐÚ º ÐÐ ÞØ ÔÓÒØÓ ÖØ ÐÑ Þ Ø Ý Ó Ý Þ Þ Ð Ñ ÐÝ ÑÓ ÙÐ Ð Ð Ö Ò x¹ ÓÓÖ Ò Ø Ò ÐÐ ÑÓ ÙÐØ ÐÐ ÞØ Ò º ÒÒ ÑÓ ÙÐÒ Þ Ò Ü Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ Ó Ö ÙÑ ÒØÙÑ ÐÐ ØÚ Þ ÙØÓÐ ÐÐ ÞØ ÔÓÒØ Ñ ÓÖ Þ Ð Ð ÓÞ ÐÐ ÞØ ÑÓ ÙÐص Ð Ø Ó Þ Ú Ð Ñ Ý Þ Ò ÜÒ Ð Ð Ñ º ÖÑ Ö ÙÑ ÒØÙÑ Þ Þ x¹ ÓÓÖ Ò Ø Ñ Ð ÑÓ ÙÐÓ Ø ÓÒØ Ö Ò Ú Þ ÐÒ Ðк Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÞÞ Ð ÑÓ ÙÐÐ Ð Ø Ö Ú Þ Ñ ÐÝÒ Ð Ð ÓÞ Ð y¹ ÓÓÖ Ò Ø Ò ÐÐ ÞØ Ò Ú ÒØ ÑÓ ÙÐØ ÐÐ ÞØ Ò Ð Øº Ð ÓÖ Ø Ñ ½ ÍÔ Ø ÑÓ ÙÐ Ò ÁÒ Ü Ñ Ü µ Û Ö Å Ü ÑÔØÝ ÑÓ ÙÐ Ñ Ü ¼ Û Ð Ò ÁÒ Ü < ÓÒØÓÙÖº ÓÙÒØ Ò ÓÒØÓÙÖ Ò ÁÒ Ü º < Ñ Ü Ó Ñ Ü < ÓÒØÓÙÖ Ò ÁÒ Ü º + ÓÒØÓÙÖ Ò ÁÒ Ü ºÀ Ø Ø Ò Û Ö Å Ü ÓÒØÓÙÖ Ò ÁÒ Ü Ñ Ü Û Ö Å Üº + Û Ö Å ÜºÀ Ø Ò ÓÒØÓÙÖ Ò ÁÒ Ü º + ÓÒØÓÙÖ Ò ÁÒ Ü ºÏ Ø Ñ Ü Ø Ò Ö ÑÓÚ Ð Ñ ÒØ ÖÓÑ ÓÒØÓÙÖ Ø Ò ÁÒ Ü Ò Ò Û Ð Ò ÖØ ÑÓ ÙÐ ÒØÓ ÓÒØÓÙÖ Ø Ò ÁÒ Ü Ö ØÙÖÒ Û Ö Å Ü Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø ÞÒ ÐÚ ÐÐ ÞØ Ò ÑÓ ÙÐ ÓÓÖ Ò Ø Ú Ø Þ ¹ ÔÔ Ô Ø Ñ º º º Ö º ÐÐ ÞØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÒØ Ö Ø Ú Ð ½

ÑÓ Ùк ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÒØÓÙÖ Ò ÁÒ Ü º ÐÓÛÅÓ ÙÐ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÒØÓÙÖºÍÔ Ø ÑÓ ÙÐ Ò ÁÒ Ü ÑÓ ÙÐ º + ÑÓ ÙÐ ºÏ Ø µ ÑÓ Ùк ÐÓÛÅÓ ÙÐ º + ÐÓÛÅÓ ÙÐ ºÀ Ø Å ÝÞ º Þ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÒØ ÖØ ÞÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÙ ¹ Ñ ÒØ Ð Ø ØØÙ ¹ Ñ Ò ÞÓ Ø ÑÓ ÙÐÓ Ø Ú Þ Ð Ñ ÐÝ Þ Ö Ò ÑÓ ÙÐÐ Ð Ú ÖØ ¹ Ð ÒÝ Þ Ö Ö Ò Þ Ú ÒÒ ØÚ Þ Þ Ð ÞÞ Ð Ø Ö Ú Þ Ñ ÐÝ Ð ÓÐ Ð Ñ ÒØ Ò Ö ÒØ Þ Þ Ö Ò ÑÓ ÙÐÐ Ð Ú Ý ÑÓ ÙÐ Þ Ð Ð Ú Ð Ö ÒØ Þ ÓÖ Ý Ö ÑÓ ÙÐРк À Þ Ö ÑÓ ÙÐØ Ñ ¹ Ð ÐØ Ø ÒÝ Þ Ö Ö Ý Ö Ò Þ Ö Ò ÑÓ ÙÐÒ Ñ Ð Ð ÓØ Ñ Ò Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ð ÔÓØØ ÑÓ ÙÐÒ Ñ Ð Ð Ð Ø Þ ÓÖ Ý Ð Ó Þ ÙØ Þ Ø Ø Ô Ù Ú ÖØ Ð Ö Òº ½

º Þ Ø Ê ÔÖ Þ ÒØ Å Ð ØØ Ð Þ Ò Ò Ñ Ö Ò Þ ÓÔØ Ñ Ð Ô ÓÐ Ø n ÓØØ ÑÓ ÙÐ ¹ Ø Ò Þ Ò Ú Ò Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐÖ Ñ ÐÝ Ô ÓÐ Ø Ð Ð Ö º Þ ØØ Ñ ÖØ Ø ØØ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ô ÓÐ Ó Ø ÓÖÓÞ ØÓ Ð ÐÐ ØÚ Ð ÓÐ º ÞÓÒ Ò Ú ÒÒ Ñ ÓÐ Ó Ô Ð ÙÐ Þ ÐØ Ð ÒÓ Ø ¹ ÔÙ Ô ÓÐ Ó Ø Ð ÖÒ Ô Ë ÓÙÒ Ð Ð Ò Ö µ Ñ ÐÝ ÑÓ ÙÐÓ ÝÑ ÓÞ Ô Ø Ú ÞÓÒÝ Ø Ô Ð ÙÐ Ý Ò ÝÞ ØÖ Ò Ö ÞÓÐ º Ñ ÖØ Ø ØØ Ð ÓÖ ØÑÙ Ó Ñ Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ö ¹ Ð ÓÞ Ø ÖØÓÞÒ Ñ ÐÝ Ò Ö Ø Ö Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ ÒØ ÖØ ÐÑ ÞÞ º Ý ÓØ Ñ Ú Ð Ø Ø Ò Ð µ Ò Ú Þ Ò Ø ÖØÓ¹ Þ ÓÞÞ Ô ÓÐ º Ð Ø Ñ Ø Ð ÐÒ ÞØ Ñ Ú Ð Ø Ø ÓØ Ñ ÐÝ Ñ Ò Ñ Ð Ø Ö Ð Øò Ô ÓÐ Ø Ö Ð º Ý Þ ÓÔØ Ñ Ð Ñ ÓÐ Ñ Ø Ð Ð ¹ Ò Ð Ø Þ ÑÔÓÒØ Ð ÓÒØÓ Ó Ý ÓÖÓÒ Ú Ø Þ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ñ Ð ÐÒ ¹ Þ Ð Ò ÐØ Ó ÐÓÑÒ º ½½ º Ò º ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Ö Ø Ö È¹Ñ Ò ØØ È¹ Ñ Ð µ Þ Ð Ò Ý ØÙÐ ÓÒ Ø Ð Ð µ Ö Ø Ö Ú µ ÒÒ Þ Ö ÔÐ Þ Ñ Ú Ð Ø Ø µ Ñ Ò Ò ÖØ Ð ÓÞÞ Ø ÖØÓÞ Ô ÓÐ Ö Ð Þ Ð Ø¹ ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Úµ Ð Ó Ò Ø Ð ÐØ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ô ÓÐ ÓÔØ Ñ Ð Ñ ÓÐ Ø ¹ Ð Ð ÔÔ ÓÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ò º Þ ØÚ Ø ÐÐ ØÚ ÑÓÞ ØÖÙ Ø Ö Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð Ú Ò Ñ Ð ØÒ È¹Ñ Ò ØØ Ñ Ú Ð Ò Ñ Ø Ð Ø Úµ ÐØ Ø Ðغ µ ÐØ Ø Ð Ö Ð Ø Ò Ö Ð ÓÖ ØÑÙ Ó ÓÐÝØÓÒÓ Ñò Þ Ñ Þ Ò ÓÖ ÖØ Ð Ð ØØ Ú Ý ÐÐ Ò Ö ÞÒ ÐÐ Ñ Ú Ð Ø Ø Ø Ú Ý ÖÓ Þ Ó ÖØ Ð Ø ÐÐ Ñ Þ Ø Ò º ÁÐÝ Ò Ð Þ Ô Ð ÙÐ Þ ØØ Ø Ö Ý ÐØ ½

Ö ÔÖ Þ ÒØ Þ Ð Þ Ç¹ º Þ µ µ ÐØ Ø Ð Þ Ý Ö Ô¹ Ö Þ ÒØ ÓÞ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð º º½º ËÞ ØÚ Ø ØÖÙ Ø Ö Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð¹ Ø Ð ÒÓ Ø º½º½º ËÞ ØÚ ËÐ Ò ØÖ µ Ð Ò Ý Ð Þ ÈÓ¹ Ð ÜÔÖ ÓÒ º Ò º Þ ØÚ Ý Ò Ö Ñ ÐÝÒ Ñ Ò Ò Ð Ò + Þ Ñ ÐÙÑÓ Ú Ð Ñ ÐÝ Þ Ö Ô Ð Ð Ú Ð Ô Þ 1...n Þ Þ ÑÓ Ð Ñ Þ ØØ º Þ ØÚ Ð ÐÐ Ø Þ Ð ÔÖ Þ Ð Ý Ø ÖØ Ò Ó Ý Ñ Ò Ò Ð Ô Ò Ö ¹ Ò Ý ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ú Ý Ú ÖØ Ð Þ ØÚ Ý Ò Ø ÒÒ Ñ ÒØ Ò ØØ Ú ¹ Ù Þ Ð ÔÖ ÞÓغ ÀÓÖ ÞÓÒØ ¹ Ð Ú ÖØ Ð µ ØØ Ú ¹ Ø Ò Þ ØÚ Ý Ö º½º Ö + µ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ð Ð ÓÐ Ð Ö Þ Ó Ñ Ð ÐÒ Þ Ð Ð ÓÐ Ð µ Ó ÓÐ Ð Ô Ð Ó ÓÐ Ð µ ÞÙÔ Ö ÞÓ Ò º ÞÙØ Ò Þ Ð Ö Ø Ø Ö Ð Ù ÞÙ¹ Ô Ö ÞÓ ÓÒ Ñ Ð Ð Ö Þ ÓÒº º½º Ö Ò Ý Þ ØÚ Ø Ð ÔÖ Þ Ú Ð Ñ ÒØ ÓÞÞ Ø ÖØÓÞ Þ ØÚ Ð Ø Ø º º ýðð Ø º Ý n ÑÓ ÙÐ Ð ÐÐ Ô ÓÐ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ð Ò Þ Þ ØÚ Þ Ñ O(n!2 3n 3 /n 1.5 ) ÞÓÒÝ Ø º Ä ØØÙ Ó Ý Ð Ò Þ Ð n Ð Ú Ðò Ò Ö Þ Ñ C n 1 Þ Þ ½º Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ò Ý Ö Ò Ò O(2 2n 2 /(n 1) 1.5 º Ð Ó Þ Ñ n 1 Ñ Ò Ò Ð + Ú Ý Ñ ò Ð Ø Þ 2 n 1 Ð Ø º Þ n Ð Ú Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ n! ÓÖÖ Ò Ò ÖÑ ÐÝ ÐРغ Þ ØÚ ÒÓÖ Ö Ö Ú Ð Ý Ö ØÑ Ø Þ Ø ÔÙÒ Ô Ð¹ Ò Ò Þ(e+((a+b) d)) (c+f)¹ غ ÒÒ ÔÓ Ø Ü Ð Ð Ò Ý Ð ÓÖÑ Ô Ð Ò eab+d +cf + Ñ ÔÓ ØÓÖ Ö Ö Ò Ð Ð Ñ º ½

º Ò º Ý b 1 b 2...b m 0 1 ÓÖÓÞ ØÓØ ÐÐÓØ ÓÖÓÞ ØÒ ÚÙÒ Ñ Ò Ò ÔÖ Ü Ò 0¹ Þ Ñ Ú Ñ ÒØ Þ 1¹ Þ Ñ º º Ò º ½ Ý α 1 α 2...α 2n 1 {1,2,...,n,+, } 2n 1 ÓÖÓÞ Ø Ý n ÑÓ ÙÐ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ð Ò Ý Ð Þ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ú Ø Þ Ø Ð ¹ ÐÒ µ i ÔÓÒØÓ Ò Ý Þ Ö Þ Ö Ô Ò ÒÒ Ñ Ò Ò 1 i n¹ö µ σ(α 1 )σ(α 2 )...σ(α 2n 1 ) ÐÐÓØ ÓÖÓÞ Ø ÓÐ σ : {1,2,...,n,+, } {0,1} σ(i) = 1, 1 i n σ(+) = σ( ) = 0 Ô ÓÐ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ð Ò Ý Ð Þ Ø Ñ Ô Ø Ù Þ ØÚ ÔÓ ØÓÖ Ö Ö Ð Ú Ý Þ ØÚ Ð ÐÐ Ø ÓÞ ÓÒÐ Ò º Þ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ú ÖØ Ð µ Þ ØÚ ÓÖ Ú Ø Þ Ð Ý ÞÞ Þ AB+ AB µ Þ Ø ÓÐ Þ Ð Ð ÓÐ Ð µ Ô Ð Ó ÓÐ Ð µ ÞÙÔ Ö ÞÓ Ø ÐÞ º Ø Ð Ô Ò Ý ÞÙÔ Ö ÞÓ ØØ Ú ÓÖ Ò Ñ Ð Ð ØòØ Þ Ò Ð Ö Ð Ð Ø Þ ÓÖÓÞ ØÖ º Þ ØÚ Ð Ò Ý Ð Þ Þ ØØ Ð Ò Ò Ý ÖØ ÐÑò Ñ Ð ÐØ Ø Ú Ò Ý Ð Ø Ú Ö Þ Ñ Ñ Ý Þ µº Ý n ÑÓ ÙÐ Ð ÐÐ Ð ÔÖ Þ ÓÞ ÞÓÒ Ò Ø Þ ØÚ Ð Ò Ý Ð Þ Ø ÖØÓÞ Øº ÒÒ Þ Ó Þ Ó Ý Ñ ÓÖ Ø Þ ØÚ Ð Ø Ú Ò ÓÖ ÖÑ ÐÝ Ø Ú Ð ÞØ Ø Ù º Ý Þ ØÚ ÓÞ ÓÞÞ Ø ÖØÓÞ Ô ÓÐ Ø Ö ÙÖÞ Ú Ò ÓÒ ØÖÙ Ð Ø Ù Ñ º Ð ÓÖ ØÑ٠к ÒÒÝ ÓÐÚ Ø Ú ÖØ Ú Þ Ò Ò ¹ ÒÝ Ð Ð Øº ºÅÓ ÙÐ Ð Þ ÐØ Ð Ö ÔÖ Þ ÒØ ÐØ ÑÓ ÙÐÖ ÚÓÒ Ø ÓÞÒ º Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ½ º ÐÐ ØÚ ½ º ÓÖ Ò Þ Ö ÔÐ + Ò Ú Ð Ø Ð Òغ Ò Ú Ð ÞÙÔ ÖÑÓ ÙÐ Ø Ò Þ Þ ÒÒ Ø Ð Ð Ø ÑÓ¹ ÙÐÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ º ½ º ÓÖ Ò Ð Ý Ö Þ ÐÐ ØÚ Ó Ý Ö Þ Ø ÖØÓÞ ÑÓ ÙÐ ÓÞÞ M¹ Þ ÞÙÔ ÖÑÓ ÙÐ Ø Ò Þ Þ ÒÒ Ø Ð Ð Ø ÑÓ¹ ÙÐ ÓÞÞ Ø Ð ÒØ º Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ú Ò Þ ØÚ Ý ØÐ Ò ÔÓÒØ Ð Þ Ö Ø Ý Ö Ð ½

Ó ÐÐÒ Þ Þ Ø ÖØÓÞ ÞÙÔ ÖÑÓ ÙÐ Ò Ô ÑÓ ÙÐÓ Þ Ñ ØÓØØ ÓÓÖ Ò Ø Ð Þ Ö Ô ÐÒ º À Þ ØÚ Ð Ð ÔÖ ÞÓØ Þ Ö ØÒ Ò ÓÒ Ø¹ ÖÙ ÐÒ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ð ½¾º ½ º ÓÖ Ò Ø Ð Ð Ø Ñ Ü ÑÙÑ Þ Ñ Ø ¹ Ð Ð ÓÖ Ø ÖØ Ñ Ý Þ º Ð ÓÖ Ø Ñ ¾ ËØÌÓÈÐ Ñ ÒØ ÖÓÓص ½ Ð Ø Ð ÒÓØ Ð Ø Ò ¾ ËØÌÓÈÐ Ñ ÒØ Ð Ø Ð µ Ò Ö Ø Ð ÒÓØ Ð Ø Ò ËØÌÓÈÐ Ñ ÒØ Ö Ø Ð µ Ò Å Ò Û ÙÔ ÖÑÓ ÙРź Ð Ø Ð ºÅÓ ÙÐ º ź Ð Ø Ð ºÅÓ ÙÐ º ½¼ ÖÓÓس Ð Ð + Ø Ò ½½ źÀ Ø Ð Ø Ð ºÅÓ ÙÐ ºÀ Ø Ö Ø Ð ºÅÓ ÙÐ ºÀ Ø ½¾ ÅºÏ Ø max(ð Ø Ð ºÅÓ ÙÐ ºÏ Ø Ö Ø Ð ºÅÓ ÙÐ ºÏ Ø ) ½ Ö Ø Ð ºÅÓ ÙÐ º + Ð Ø Ð ºÅÓ ÙÐ ºÀ Ø ½ Ð ßÖÓÓس Ð Ð Ð ½ ÅºÏ Ø Ð Ø Ð ºÅÓ ÙÐ ºÏ Ø Ö Ø Ð ºÅÓ ÙÐ ºÏ Ø ½ źÀ Ø max(ð Ø Ð ºÅÓ ÙÐ ºÀ Ø Ö Ø Ð ºÅÓ ÙÐ ºÀ Ø) ½ Ö Ø Ð ºÅÓ ÙÐ º + Ð Ø Ð ºÅÓ ÙÐ ºÏ Ø ½ Ò ½ Ð Ø Ð ºÅÓ ÙÐ Ò Ö Ø Ð ºÅÓ ÙÐ ØÓ Å ¾¼ Ð Ø ÖÓÓس Ð Ö Ò ¾½ ÖÓÓغÅÓ ÙÐ Å º½º¾º ÆÓÖÑ ÐØ Ð Ò Ý Ð Þ ÆÓÖÑ Ð Þ ÈÓÐ ÜÔ¹ Ö ÓÒµ º Ò º ½ Ý Þ ØÚ Ø Þ ÑÑ ØÖ Ù Ò Ò Ú Þ Ò Ò Ò ÓÐÝ Ò Ó Ý Ó Ý Ö Ù Ý Ò ÞØ Þ ÓÔ Ö ØÓÖØ Ø ÖØ Ð¹ Ñ ÞÞ º Ò Ñ Ð ÙÐØ Þ ØÚ Ø Ð ÔÖ ÞÓ Þ Þ ÑÑ ØÖ Ù Þ ØÚ Þ ØØ Ð Ò Ò Ý ÖØ ÐÑò Ñ Ð ÐØ Ø ÐÐ ÒÒº Í Ý Ò Þ Þ ÑÑ ØÖ ¹ Ù Þ ØÚ ÒÒ Ð ÐÒ Ñ Ó Ý Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð ØØ Ú Ò Ð ÓÞ ÓÖ ÞÓ Þ Ð Ñ Ò Ð Ð Ø Ø Ú ÖØ Ð Ò Ð ÓÞ ÞÓ Þ Ð Ñ Ò Ó Þ Ð Ø Ú Ð ÞØ Ù º ½

Å ÝÞ º Þ Þ ÑÑ ØÖ Ù Ù Ý Ò Ñ Þ ÒØ Ø Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ø Ú ÖØ Ð Þ ØÚ Ð Ø Ð Ö ÙÒ Ò Ø Ò Ñ Þ Ò¹ Ø Ø Ñ ÞØ Ñ Ò Þ Ó Ó Ý Ñ Ò Ø Ð Þ ØÚ Ð Ø º À ÐÝ Ò ÐÝÞ Ø ÐÐ ÒÒ Ú Ð ÞØ ØÒ Ò Ô Ð ÙÐ Ñ Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð Þ ØÚ Ø Ý Þ ØÚ Ð ÙÐØ Ø Ò Ý ÖØ ÐÑò Ð ÒÒ º Þ Ú Ð ÞØ ÔÖ ¹ Ö Ò ÞÓÒ Ò Ò Ñ ÞÓÒÓ Ø Ø Ð Ú Ð Ñ ÐÝ ØÙÐ ÓÒ Ú Ðº ÒÓÖÑ ÐØ Ð Ò Ý Ð Þ Þ Þ ÑÑ ØÖ Ù Þ ØÚ ÔÓ ØÓÖ Ö Ö Ò Ð ÐÒ Ñ Ý Ú Ð ÞØ ÐØ Ø Ð ØØ Ð Ñ Ó ÐÑ Þ ¹ Ø º º Ò º Þ ÓÐÝ Ò Ð Ò Ý Ð Þ Ø Ñ ÐÝ Ò Ò Ñ ÐÐ ÝÑ Ñ Ð¹ Ð ØØ ÞÚ ØÐ Ò Ð Ø Ñ Ý Þ ÓÔ Ö ØÓÖ ++ Ú Ý µ ÒÓÖÑ ÐØ Ð Ò Ý Ð ¹ Þ Ò Ò Ú ÞÞ º ½ º ýðð Ø º Ý n ÑÓ ÙÐ Ð ÐÐ Ô ÓÐ Ø 2n!A n Ð Ò Þ ÒÓÖÑ ÐØ Ð Ò Ý Ð Þ Ö Ø Ð ÓÐ A n Þ n. ÞÙÔ Ö Ø Ð Ò¹ Þ Ñº ÞÓÒÝ Ø º Þ Ò Ð Ð ÑÓ ÙÐ Ñ n! Ð ÓÖÖ Ò Ò ÐÐ ØÒ º À Ñ Ø Ò Ñ Ð Ò ÞØ Ø Ñ ÓÖ Þ Ð 2A n Ð Ð Ø Ð º ÐÐ Ø ÞÓÒÝ Ø Øº Ý ÒÓÖÑ Ðص Ð Ò Ý Ð Þ Þ Ø ÖØÓÞ Ô ÓÐ Ø º Ð ÓÖ ØÑ٠Рй Ð Ø ØÙÒ Ð º Ò Ú Ð Þ Ð Þ Þ Ø Ò ÐÑÓÒ ÓØØ ÓÞ ÓÒÐ Ò ØØ ÞÙÔ ÖÑÓ ÙÐ Þ Ð Ñ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞÒ ÐÐ ØÚ Ð ÔÖ Þ Ð ÐÐ Ø ¹ Ø Ò Ñ Ü ÑÙÑ Þ Ñ Ø Ó Ò Ñ Þ º Þ Ð ÓÖ ÑÙ Ú Ò Ú Ö Ñ Ý ØÐ Ò ÞÙÔ ÖÑÓ ÙÐØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ñ ÐÝ Ò ÑÓ ÙÐÓ Þ Ñ ØÓØØ ÓÓÖ ¹ Ò Ø Ð Ø Ð Ð Ø Ñ º º½º º Ê Ò Þ ØØ Þ ØÚ ËÐ Ò ÇÖ Ö ÌÖ µ º Ò º Ý Ø Ú Ø Þ ØÙÐ ÓÒ Ó Ð Ý n ÞÓ Ð ÐÐ Þ Ø¹ Ú Ø Ð ÔÖ Þ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ö Ò Þ ØØ Þ ØÚ Ò Ò Ú Þ Ò º µ Ø ÒØ Ø ØØ Ý ÖÔÓÒØØ Ð Ö Ò Ð Þ n Ñ Þ ØØ Ð Ú Ð Ú Òº µ Å Ò Ò Ð ÔÓÒØÒ Ð Ð Ø Ý Ö Ú Òº µ Å Ò Ò Ð ÔÓÒØ v h Ñ Ú Ð Ñ ÐÝ Ú Ð Ñ Þ Øغ Úµ Å Ò Ò Ð Ú Ð Ñ Ð Ò Þ º Úµ Å Ò Ò Ð ÔÓÒØ Ñ Ð Ò Þ Þ Ð Ñ Ø Ðº Ý ÓØØ Ò Ñ Ð ÙÐØ Ð ÔÖ Þ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ö Ò Þ ØØ Þ ØÚ Ø Ö ÙÖÞ ¹ Ú Ò ÓÒ ØÖÙ ÐÙÒ Ñ Ý Ó Ý Þ Ð Ð Ô Ò Þ Þ Ð Ø ØØ Ú ¹ Ø ÐÚ ÞÞ º À Þ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ú ÖØ Ð µ ÚÓÐØ ÓÖ Ý ¹ Ö À¹Ø ιص ÖÙÒ Þ ØÚ Ó ÙØ Ò Ð Ø Þ ÞÙÔ Ö ÞÓ ÐÖ Ð ½

Ð ÓÖ Ø Ñ È ÌÓÈÐ Ñ ÒØ ÜÔÖ ÓÒ ÑÓ ÙÐ ½ºººÒ µ ½ Ë ÑÔØÝ Ø ¾ ÓÖ ÐÐ Ò ÜÔÖ ÓÒ Ó ÑÓ ÙÐ Ð Ð Ø Ò ËºÈÙ ÑÓ ÙÐ µ Ð ß ÓÔ Ö ØÓÖÐ M R ˺ÈÓÔ µ M L ˺ÈÓÔ µ Å Ò Û ÙÔ ÖÑÓ ÙРź M L º ½¼ ź M L º ½½ + Ø Ò ½¾ źÀ Ø M L ºÀ Ø M R ºÀ Ø ½ ÅºÏ Ø max(m L ºÏ Ø M R ºÏ Ø ) ½ M R º + M L ºÀ Ø ½ Ð ß Ð ½ ÅºÏ Ø M L ºÏ Ø M R ºÏ Ø ½ źÀ Ø max(m L ºÀ Ø M R ºÀ Ø) ½ M R º + M L ºÏ Ø ½ Ò ¾¼ Ò ¾½ M L Ò M R ØÓ Å ¾¾ ˺È٠ŵ ¾ Ò ÓÖ ¾¼

Ó Ö Ð ÒØÖ Ð Ð Ð µ Ú ØØ ÓÖÖ Ò Ò Ð ÞÒ Ý Ö º ÞÙØ Ò Þ Ð Ö Ø ÞÙÔ Ö ÞÓ ÓÒ Ò Ñ Ð Ð Ð Ñ ÒØ Ý Ö Ð Ò ÙÐ Ö Þ¹ ÓÒ Ø Ö Ð Ù Þ Ò Ñ Ñ Ò Ò ÞÙÔ Ö ÞÓ Ý ØÐ Ò ÞÓ Ð Ò Ñ Ðк º¾º Ö Ò Ý Ò Ñ Ð ÙÐØ Þ ØÚ Ø Ð ÔÖ Þ ÓÞÞ Ø Ö¹ ØÓÞ Ö Ò Þ ØØ Þ ØÚ Ð Ø Ø º ÓÒ ØÖÙ Ð Ò Ò Ñ Ð ÙÐØ º¾º Ö º Ê Ò Þ ØØ Þ ØÚ Þ ØÚ Ø Ð ÔÖ ÞÓ Ö Ò Þ ØØ Þ ØÚ Ð Ò Ò Ñ Ð ÐØ Ø ¹ Ø ÝÑ Ò º Ý Þ Þ Ð Ø n Ö Ñ Þ ØØ ÞÓ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ð ÔÖ Þ ÐÐ ØÚ nñó ÙÐ Ð ÐÐ Ô ÓÐ Þ Ñ Ñ Ý Þ Þ n ÑÓ ÙÐ Ñ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Þ ØÚ Þ Ñ Ú Ðº ÌÓÚ Ñ Ú Ð Þ Ý¹ Ý ÖØ ÐÑò Ñ ¹ Ð ÐØ Ø ÒÓÖÑ ÐØ Ð Ò Ý Ð Þ Ò Ñ Ð ÙÐØ Þ ØÚ Ø Ð ÔÖ ÞÓ Þ ØØ ÒÒ ÐÐ Þ n ÞÓ ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÒÓÖÑ ÐØ Ð Ò Ý Ð Þ Þ Ñ ÒÒÝ º º Ì Ø Ðº n ÞÓ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ò Ñ Ð ÙÐØ Þ ØÚ Ø Ð ÔÖ ÞÓ Þ Þ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð Ö Ò Þ ØØ Þ ØÚ Þ Ñ n!2a n ÓÐ A n Þ n. ÞÙÔ Ö Ø Ð Ò¹ Þ Ñº ÞÓÒÝ Ø º ÑÓ ÙÐ Ñ ÓÒ Ð Ð n! Ð ÓÖÖ Ò Ò ÐÐ ØÒ º Þ Ý Ö Þ Ø ØØ Ô ÖÑÙØ ÓÞ Ö Ò Þ ØØ Þ ØÚ Þ Ñ ¹ Ú Ó¹ Ø ÐÞ Ó Ñ Ø Ò Ñ Ð Ò ÞØ Ø Ñ ¹ Ñ Ý Þ Ñ Ò ¹ ØØ Þ Ö Ð Þ Ðº Ð ÐØ Ñ Ú Ó Ø ÐÞ Ó Ø Ý Ö ¹ Ø Ñ Ù Ò Ó Ð Ð Þ Ö ÐÔ ÖÓ Ò º Ý º¾º Ö Ò Ð Ø Ø Ô Ð ÙÐ ((g(de)a)(hfb)(ic)) Þ Ö Ð Þ Ò Ð Ð Ñ Ñ Ð Þ ÒØ Ò Ý ÖØ ÐÑò Ò Ú Þ Ø Ø Þ ØÚ º ¾º Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ý Þ ØÚ Þ Ñ Ò Ñ Ñ Ð Ò ÞØ Ø ØØ Ú Ñ Ð A n º Ú Ó ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ó Ñ¹ Þ ÒØ Ò ÒØ Ú ÐØ ÓÞÒ Ý Þ Ø Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÞ Ý Ö Ñ Ñ Ø Ð Ð Ø Ø Ø Ð Ø Þ Ñ 2A n º Ö Ò Þ ØØ Þ ØÚ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ô ÓÐ Ð ØÖ ÓÞ Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ò ÝÓÒ ÓÒÐ Ø Þ ØÚ ÓÞ ÞÞ Ð Ð Ò Ð Ó Ý ØØ Ð Ý ¹ Ö Ó Ý Ö ÓÖÖ Ò ÐÝ ØØ Þ Ð Ý Ö Ñ Ó Ý Ö Ø º ÓÖ¹ ¾½

Ö Ò Ò Ô Ø Ð Ö ÙÖÞ Øº Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ð Ö Ò Þ ÓØØ Ñ ÖØ Ø ØØ Ý Þ Öò Ø Ø Ð ÐÑ ÞÞÙ º Ð ÓÖ Ø Ñ ËÓØÌÓÈÐ Ñ ÒØ ÖÓÓص ½ ÓÖ ÐÐ Ð Ó ÖÓÓØ Ó ¾ Ð ÒÓØ Ð Ø Ò ËÓØÌÓÈÐ Ñ ÒØ Ð µ Ò Ò ÓÖ ÓÖ ÐÐ Ð Ó ÖÓÓØ Ü ÔØ Ö Ø Ð Ó Å Ò Û ÙÔ ÖÑÓ ÙРź Ö Ø Ð ºÅÓ ÙÐ º ź Ö Ø Ð ºÅÓ ÙÐ º ½¼ ÖÓÓس Ð Ð + Ø Ò ½½ źÀ Ø Ö Ø Ð ºÅÓ ÙÐ ºÀ Ø Ð ºÅÓ ÙÐ ºÀ Ø ½¾ ÅºÏ Ø max( Ö Ø Ð ºÅÓ ÙÐ ºÏ Ø Ð ºÅÓ ÙÐ ºÏ Ø ) ½ Ð ºÅÓ ÙÐ º + Ö Ø Ð ºÅÓ ÙÐ ºÀ Ø ½ Ð ßÖÓÓس Ð Ð Ð ½ ÅºÏ Ø Ö ØºÏ Ø Ð ºÅÓ ÙÐ ºÏ Ø ½ źÀ Ø max( Ö ØºÀ Ø Ð ºÅÓ ÙÐ ºÀ Ø) ½ Ð ºÅÓ ÙÐ º + Ö ØºÅÓ ÙÐ ºÏ Ø ½ Ò ½ Ö Ø Ð ºÅÓ ÙÐ Ò Ð ºÅÓ ÙÐ ØÓ Å ¾¼ Ð Ø ÖÓÓس Ö Ø Ð ß ÓÒ Ð Ø Ö Ø ÒÓÛÐ ¾½ ÖÓÓغ Ö Ø Ð ºÅÓ ÙÐ Å ¾¾ Ò ÓÖ º½º º ýðø Ð ÒÓ ØÓØØ Ð Ò Ý Ð Þ Ò Ö Ð Þ ÈÓ¹ Ð ÜÔÖ ÓÒµ º º Ö º Ë ÖÓ Ú ÒÒ Ö Ò Ó Ý Ð Ò Ý Ð Þ Þ Ð¹ Ø Ð ÒÓ Ð ÔÖ ÞÓ Ø Þ ÐÒ ØÙ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ú ÖØ Ð ØØ Ú Ð Ø Ñ ÐÐ Ú Þ Ø Ò Ý ØØ Ú Ñ Þ ÖØ ÖÓ Ú Ø Ñ ÐÝ Ð Ú Ø Ð Òغ à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý Ý ÐØ Ð ÒÓ Ð ÔÖ ÞÓÒ ÐÐ ØÚ Ô ÓÐ ÓÒ ÖÓÑ Þ Ð Ú Ð ¹ Ñ ÐÝ Ø Ñ Ò Ð Ð Ø Ú ÞÒ º ÖÓ Ú ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÓÔ Ö ØÓÖØ ÖÓ ÓÔ Ö ØÓÖÒ ÓÖÒ Ö ÓÔ Ö ¹ ØÓÖµ Ò Ú ÞÞ Ö Ø ÖÖ Ð Ð Ð º ¾¾

½¼º Ò º Ý 2n 1 Ó Þ ÓÖÓÞ Ø Ý n ÑÓ ÙÐ ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÐØ Ð ¹ ÒÓ ØÓØØ Ð Ò Ý Ð Þ Ð Ò Ý Ð Þ Ò Ò Þ Ð Ô¹ ÐÑ Þ ÓÞ Ð Ø ÓÞÞ Ú Ú σ(@)¹ø ÒÙÐÐ Ò Ò ÐÚ Þ ÐÑÓÒ ÓØØ Ø Ð ÐÒ º º ýðð Ø º Ý n ÑÓ ÙÐ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ô ÓÐ Ø O(n!2 2n 2 3 n 1 /n 1.5 ) Ð Ò Þ ÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ Ð Ò Ý Ð Þ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð Øº ÞÓÒÝ Ø º ÞÓÒÝ Ø Þ º ÐÐ Ø ÞÓÒÝ Ø Ú Ð Ø Ð Ò Ò Ð º Ý ÐØ Ð ÒÓ Ô ÓÐ ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ Ð Ò Ý Ð Þ Ø Þ Ø¹ Ú Ø Ô ÓÐ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ð Ò Ý Ð Þ Ñ ÒØ Ö Ô ØÙÒ Ñ º º º Ö Ú Þ Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ú ÖØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ø Ò Ø Ð Ò Ù Ý Ò¹ Ý Ñò º Ë ÖÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ø Ò Ú Ø Þ ÑÓ ÙÐØ Ø Ñ Ö Ô Ó¹ Ð Ò Ð Ú ÑÓ ÙÐ ÓÐ Ð ÐØ Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ ÖÓ Ø Þ Ú Ø Þ ÔÖ Ö Ò Ð Ô Ò ¾ µ Ú Ð ÞÙ Þ Ð ÓÐÝ Ò Ö ÓØ Ñ ÐÝ ÓÐ Ð Ò Ñ Ö Ø ÔÓÒØÓ Ò Ñ ¹ Ð Ð Þ Ð ÐÝ Þ Ò ÑÓ ÙÐ ÓÐ Ð Ò Ñ Ö Ø Ò µ Ú Ð ÞÙ Þ Ð ÓÐÝ Ò Ö ÓØ Ñ ÐÝ Ò ÑÓ ÙÐ Ð ÐÝ Þ Ò Ñ Ò Ú Ð Ñ Ô ÓÐ Ø Ö Ð Ø Øº Ä Ø Ø Ó Ý Ý ÖÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓÒØÓ Ñ ÓÞ Þ Ú Ò Ö¹ ÓØ Ñ ÑÓ ÙÐÓ Ñ Ò Ú Þ Ö Ô Ð ÙÐ º º Ö Ò Ð Ø Ø Ô ÓÐ ¹ ÓÞ Þ ØÚ ÓÞ ae+f cb+d @ (a,f) ÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ Ð Ò Ý Ð Þ Ø ÖØÓÞ º Ñ ØØ Ý ÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ Ð Ò Ý Ð Þ Ð Ô ÓÐ Ð ÐÐ Ø Þ Ò Ð Ú Ð ÓÒÝÓÐÙÐØ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø ÒÝ Ðº Å ÝÞ º ÒÓÖÑ ÐØ Ð Ò Ý Ð Þ Ñ ÒØ Ö Ñ Ð ÓØ Ø Ù Þ ÐØ ¹ Ð ÒÓ ØÓØØ ÒÓÖÑ ÐØ Ð Ò Ý Ð Þ Øº ÓÖ ÞÓÒØ Ð ØØ Ú Ó Þ Ð Ú ¹ Ð ÞÙ Ñ Ò Ð Ð Ø Ú ÖØ Ð Þ Ð Ó Þ Ð Ø ÖÓ Ú Ó Þ Ð Ô ÞØ Ñ ÐÝÒ Ð ÖÓ ÓÖ Ø Ð Ú Ð Ø ÚÓÐ Ð Ò ÝÓ º ¾

º¾º ÅÓÞ ØÖÙ Ø Ö Ö ÔÖ Þ ÒØ ÐØ Ð ¹ ÒÓ Ø º¾º½º Ë ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø ÓÖÒ Ö ÐÓ Ä Øµ ½½º Ò º Ý ÞÓ Ø ÖÓ ÞÓ Ò ÓÖÒ Ö ÐÓ µ Ò Ú Þ Ò Þ Ð ÔÖ Þ Ó Ð Ö Ò ÐÝ Þ Ðº º ýðð Ø º Å Ò Ò Ð ÔÖ Þ ÓÞ ÔÓÒØÓ Ò Ý ÖÓ ÞÓ Ø ÖØÓÞ º Ý ÖÓ ÞÓ Ð Ð Ö Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ì¹ Ö ÒØ Þ ¼ ¹ Ð µ Ú Ý ½ ¼ ¹ Ð µ Ð ÓÖ ØÓØØ Ð Ø º ½¾º Ò º ÞÓ ÓÖ ÒØ Ø Ú ÖØ Ð Ò ÐÐ ØÚ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò Ò Ú ÞÞ 0¹Ú Ð Ú Ý 1¹ Ý Ð Ð Ð ÒÒ Ñ Ð Ð Ò Ó Ý Ð Ð Ö ÓØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ì¹ Ö ÒØ Þ ¼ ¹ Ð Ú Ý ½ ¼ ¹ Ð Ú Ò Ð ÓÖ ØÚ º º º Ö º Ë ÖÓ ÞÓ Ø ÖÐ ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø Ø ÖÓ ÞÓ ÝÑ Ø Ú Ø Ø ÖÐ Ú Ð ÐÐ Ø Ù Ð º À Þ ØÙ Ð ÖÓ ÞÓ ÓÖ ÒØ ¼ ÖÓ ÞÓ Ð Ð Ø Ð Ð ÞÞÙ Þ ÓÖ ÒØ ½ Ð Ð Ø ÞÞÙ Ó ÓÐ Ð Ð º Ä Ô Ë Ä Ì ½ ¼ ¼ ¾ ½ ½½¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½¼ ¼ ¼ Å Ò Ò Ð Ô Ò Ð Ý ÞÞ ÖÓ ÞÓ Ñ¹ Ø ÓÖ ÒØ Ø Ú Ð Ñ ÒØ ÞÓ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ì¹ Ö ÒØ Þ Ø ÓÐÝ Ñ ÓÒ Ó Ý Ð ÖÙÒ ÒÒÝ Ý Ø ÒÝ Ì¹ Ö ÒØ Þ Ø Þ Þ ÞÓØØ Ð Ø ÖØ ÐÑ ÞÓØØ Ú Ð Ñ ÒØ Ý ¼¹ Ø Ñ ÐÝÒ Þ Ô Ö Þ Ö Ô Ú Òº º º Ö Ò Ý Ð ÔÖ Þ ÖÓ ÞÓ Ø ÖÐ ¹ Ò Ð Ò ÒÝ Þ ÙØÓÐ Ø Ð Ô Ð Ø Ø º À Þ Ð ÔÖ Þ Ñ Ö Ý ÞÓ Ð ÐÐ ÓÖ ÒÒ ÞÓ Ò Þ ÓÖ ÒØ Ð ÒÝ Ø Ð Ò Þ ÖØ Ò Ñ Ò Ð Ù µ Ú Ð Ñ ÒØ ÓÖ Ì¹ Ö ÒØ Þ Þ Ñ Ñ Ò 0 Ý ÞØ Ñ Þ Ð Ý ÞÒ º Ô Ð Ð Ô Þ Ø ÖØÓÞ ¹ ØÓ Ñ ÐÐ ÐØ Ø Ð Þ Ø Ò Ð Ø Ø º Þ S Ó ÞÐÓÔ ÖÓ ÞÓ Ñ Ø ¾

Þ L Þ ÓÖ ÒØ Ø T ÓÞÞ Ù Ø ÖØÓÞ Ì¹ Ö ÒØ Þ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ¹ Þ º Þ Ó ÞÐÓÔÓ Ø ÐÙÐÖ Ð Ð Ð Þ ÓÐÚ Ú Ô Ù Þ Ð ÔÖ Þ ÓÞ Ø ÖØÓÞ (S,L,T) ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø Øº ÒØ Ô Ð ÓÞ Ø Ø Ú Ø Þ ÖÑ Ø ÖØÓ¹ Þ (S,L,T) = (gdhebafc,0100010,0100001100)º º ýðð Ø º ÓØØ n ÞÓ Ð ÐÐ Ð ÔÖ ÞÓØ Ð Ö (S,L,T) ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø Ø ÖÓÐ ÓÞ Ð Ð 3(n 1)+n logn ØÖ Ú Ò Þ º ÞÓÒÝ Ø º ÞÓ Ñ Ð Ý Ò Þ Þ ÑÓ º ÓÖ Ý Ñ Ð Ð¹ logn Ø Ò Ø ÖÓÐ Ø Ý S Ø ÖÓÐ ÓÞ Ð Ð n logn ØÖ Ú Ò Þ º L Ý n 1 Ó Þ 0 1 ÓÖÓÞ Ø Ý n 1 Ø Ò Ø ÖÓÐ Ø º T ¹ Ò Þ ÙØÓÐ Ø Ú Ú Ñ Ò Ò ÞÓ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ý 0 Þ Ô Ö Ð Ö Ø Ö Þ n 1 غ Þ Ò Ú Ð Ú ÖØ Ð ÓÖ ÒØ ÞÓ ÓÞ Ý ØØ Ò Ð Ð ÒÒÝ Ì¹ Ö ÒØ Þ Ø ÖØÓÞ Ø Ñ ÒØ ÒÝ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÖ ÒØ ÞÓ Ú Ò ÓÖ ØÚ º Ý Ì¹ Ò Þ Ò Ð Ð n 1 Ý Ð Ø Þ Þ T Ð Ö Ø 2(n 1) ØØ Ðº ½¼º ýðð Ø º Ý n ÞÓ Ð ÐÐ Ð ÔÖ Þ ÓÞ O(n!2 3n 3 /n 1.5 ) Ð Ò Þ ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø Ø ÖØÓÞ Øº ÞÓÒÝ Ø º Ð Ò Þ S¹ Þ Ñ n! Ñ Ð Ò Þ L¹ 2 n 1 º T Ð Ð 2n 2 Ó Þ Ð Ø Ñ ÐÝ ÔÖ Ü Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ø ½¹ Ø Ñ ÒØ ¼¹ Ø Ù Ý Ò Ñ Ò Ò ¼ Ý ÞÓ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ñ Ò Ò ÞÓ ÐÐ ÞØ Ú Ð Ý Ì¹ Ö ÒØ Þ Ø ÓÞÙÒ Ð ØÖ Ñ Þ Ý Ð ÞÒ ÐØ Ì¹ Ö ÒØ Þ Ø ÐÞ Ñ ÐÝ Ð Ô Ò Ò Ñ ÞÒ Ð ØÙÒ Ð Ø Ì¹ Ö ÒØ Þ Ø Ñ ÒØ Ñ ÒÒÝ Ø Ð ØÖ ÓÞØÙÒ º Þ ½º Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ð Ø T ¹ Þ Ñ O(2 2n 2 /n 1.5 )º Ý ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø Ð ÓÞÞ Ø ÖØÓÞ Ð ÔÖ ÞÓØ ÖÓ ÞÓ Ò Þ Ð ÔÖ Þ Ø ÖØ Ò ÝÑ ÙØ Ò Þ Ö Ú Ð ÐÐ Ø Ù Ð º Ð Ð Ô Ò Ð Ø¹ Ö ÓÞÞÙÒ Þ Ð ÔÖ ÞÓØ Ý Ó Ý ÞØ Ø ÐØ Þ Ð ÞÓ º ÞÙØ Ò Ñ Ò Ò Ð Ô Ò S Ú Ø Þ Ð Ñ Ð Þ Þ ØÙ Ð Ò Þ Ö Ò ÞÓ L Ú Ø Þ Ð Ñ ÞÓ ÓÖ ÒØ Ø T ¹ Ò Ú Ø Þ 0¹ Þ Ö ÔÐ Ð Ñ 0¹Ø Ð ÖØÚ µ ÞÓ ÐØ Ð ØØ Ì¹ Ö ÒØ Þ Þ Ñ º À Þ ÓÖ ÒØ ¼ ÓÖ Ú Þ Þ Ð Ð Ò ÞØ Þ Ñ Ò Ø Ñ ÐÝ Ó ÓÐ Ð ÐØ Ð Þ Ý Ð ÐÖ Ñ Ö Ð Ð Ò Ú Þ ÔÓÒØÓ Ò ÒÒÝ Ì¹ Ö ÒØ Þ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ð Ò Ñ ÒÒÝ Ì¹ Ö ÒØ Þ Ò ÓÖÑ Ý ¹ Ò Þ Ñ º ÞØ Þ Ñ Ò Ø ÐØÓÐ Ù Ð Ð Ð Ø Þ ÐÝÖ Ö Ð Þ Ö Ò ÞÓ º À Þ ÓÖ ÒØ Ý ÓÒÐ Ò ÖÙÒ Ð Þ Ó ÓÐ Ð Ð Ò Ð ÐØ Ð Þ Þ Ñ Ò Ú Ðº ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø Ú Ð Ô ÓÐ Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ò ØÙ Ù Ð ÐÐ Ø Ò º Å Ò¹ Ò ÑÓ ÙÐ Ñ Ñ Ý Þ Þ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ ÞÓ Ñ Ú Ð Ñ Ò Ò ¾

ÑÓ ÙÐØ Þ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ ÞÓ Ð Ð Ö Ò ÐÝ Þ Ò Ðº Þ Ð Ð ¹ Ô Ò Þ Ð ÞÓ Ø ÐØ Þ Ð Ò Ý Øº ÞÙØ Ò Ñ Ò Ò Ð Ô Ò ÐÐ ÞØ Ò ÑÓ ÙÐ ÓÖ ÒØ Ò Ñ Ð Ð Ò Þ Ó ÓРл Ð ¹ Ð Ò Ñ Ð Ð Þ Ñ Ò Ø ØÓÐ Ù ÐÖ»Ð Ð Ñ Þ Ñ Ò Ð ØØ ÞÓ Ò Ð Ú ÑÓ ÙÐÓ Ð ÓÐ Ð Ò Ð Ñ Ü ÑÙÑ Ò º º º Ö Ò Ý Ô Ð Ð Ø Ø º º º Ö º ÅÓ ÙÐÓ Ô ÓÐ ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø Ú Ð Ô ÓÐ Ð ÐÐ Ø Ø º º Ð ÓÖ ØÑÙ Þ ÑÐ ÐØ Ø º ÁØØ T i¹ Ð Ñ T ¹Ò i + 1º ÑÓ ÙÐ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ø Ð ÒØ Ø Ø Ô Ð ÙÐ º ÑÓ ÙÐÒ Ø Ì¹ Ö ÒØ Þ Ø ÐÐ Ð Ò ÓÖ T[2] = 110º Å Ò Ò Ø Ñ Ò¹ Ü Ð ¼¹Ø Ð Þ Ø Ñ Ó Þ ÒÒ Ø ÖÓÐØ ÑÓ ÙÐÓ Þ Ñ Ø Ð ÒØ º ÑÓ ÙÐ Ø Ñ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ ÑÓ ÙÐÓ Ø Ð Ñ Ö ÑÓ ÙÐÓ Ò Ú Ú Ð ¹ Ú Ø ÓÞÙÒ º ÓÒØ Ö Ð Ñ Ü ÑÙÑ Ñ Ø Ð Ð ÓÞ ½ º ÓÐ ÐÓÒ Ø Ð Ð Ø ½º Ð ÓÖ ØÑÙ Ø ÞÒ Ð Ù º Å Ú Ð ØØ Þ ÖØ ÑÓ ÙÐ ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÞÓ ÑÓ ÙÐ Ñ Ö Ø Ø Ð ØÐ Ò Ð Ñ ÓØØ Ì¹ Ö ÒØ Þ Ø Þ ÖØ Ñ Ò Ò Ø Ò Ú Ò ÞÞ ÓÒØ Ö Þ ØÖ Ð Ú Ð Ñ Ø Ñ Ò Ø Ø Ö Ð Ú Ð ¹ Ñ ÒØ Ð Ô Ú Ò Þ ØÙ Ð Ò Ò Ñ ÞÒ ÐØ ÓÒØ Ö Ú Ö Þ Ö Ù Þ ÓØØ Ð Ñ Øº Ä Ø Ø Ù Ó Ý ÑÓÞ Ð ÔÖ ÞÓ ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø Þ ØØ Ð ¹ Ò Ò Ý ÖØ ÐÑò Ñ Ð ÐØ Ø Ú Òº Ý ÖÓ ÞÓ Ð Ø Ø Ú Ð Ñ ØÙ Ù Ø ÖÓÞÒ Þ n ÞÓ Ð ÐÐ ÑÓÞ Ô ÓÐ Ó ÔÓÒØÓ Þ Ñ Øº º Ì Ø Ðº Þ n ÞÓ Ð ÐÐ ÑÓÞ Ð ÔÖ ÞÓ Þ Ñ B n ÓÐ B n Þ n. ÜØ Ö¹ Þ Ñº ÞÓÒÝ Ø º  РРF n (i,j)¹ú Ð Þ ÓÐÝ Ò n ÞÓ Ð ÐÐ Ð ÔÖ ÞÓ Þ Ñ Ø Ñ ÐÝ Ò Ð Þ Ð Ð Ò i Ó Ð Ò j ̹ Ö ÒØ Þ ÐÝ Þ Ðº Ý Ú Ø Þ Ñ ÐÐ Ô Ø Ó Ø Ø Ø µ F 1 (0,0) = 1 Þ Þ 1 ÞÓ Ð ÐÐ Ô ÓÐ º µ F 1 (i,j) = 0 i > 0 Ú Ý j > 0 Ù Ý Ò Ý 1 ÞÓ Ð ÐÐ Ð ÔÖ Þ Ø Ò Þ Ñ ÐÝ Ð Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ì¹ Ö ÒØ Þ Øº ¾

Ð ÓÖ Ø Ñ ÐÌÓÈÐ Ñ ÒØ ÑÓ ÙÐ Ë Ä Ìµ ÁÒ Ø Ð Þ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÒØÓÙÖ Û Ø ÑÓ ÙÐ Ë ¼ ÁÒ Ø Ð Þ Ú ÖØ Ð ÓÒØÓÙÖ Û Ø ÑÓ ÙÐ Ë ¼ i 0 Û Ð i+1 < n Ó L[i] = 0 Ø Ò Ò ÁÒ Ü ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÒØÓÙÖºÄ Ò Ø ¹ Ì ºÇÒ ¹ ½ ÑÓ ÙÐ Ë º ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÒØÓÙÖ Ò ÁÒ Ü º Û Ö Å Ü ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÒØÓÙÖºÍÔ Ø ÑÓ ÙÐ Ë Ò ÁÒ Ü µ ÑÓ ÙÐ Ë º Û Ö Å Üº Ú ÖØ Ð ÓÒØÓÙÖº ÑÓ ÙÐ Ë µ Ð Ò ÁÒ Ü Ú ÖØ Ð ÓÒØÓÙÖºÄ Ò Ø ¹ Ì ºÇÒ ¹ ½ ÑÓ ÙÐ Ë º Ú ÖØ Ð ÓÒØÓÙÖ Ò ÁÒ Ü º Û Ö Å Ü Ú ÖØ Ð ÓÒØÓÙÖºÍÔ Ø ÑÓ ÙÐ Ë Ò ÁÒ Ü µ ÑÓ ÙÐ Ë º Û Ö Å Üº ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÒØÓÙÖº ÑÓ ÙÐ Ë µ Ò Ò Û Ð µ F n (0,0) = 0 n > 1 Ù Ý Ò Ð Ð Ø ÞÓ Ð ÐÐ Ô ÓÐ Ø Ò Þ Ú Ý Ó Ú Ý Ð Ð Ò ÐÐ Ó Ý Ø ÖØ ÐÑ ÞÞÓÒ Ð Ð Ý Ì¹ Ö ÒØ Þ Øº Úµ F n (i,j) = 0 i+j n Ù Ý Ò Ý n ÞÓ Ð ÐÐ Ô ÓÐ Ð Ð n 1 ̹ Ö ÒØ Þ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Þ Òº Úµ F n (i,j) = 0 i < 0 Ú Ý j < 0 Þ Ò Ì¹ Ö ÒØ Þ Þ Ñ Ò Ñ Ð Ø Ò Ø Úº Ì Ý Ð Ó Ý Ñ Ö Ñ Ö ÞÓÒ n ÞÓ Ð ÐÐ Ð ÔÖ ÞÓ Þ Ñ Ø Ñ ¹ ÐÝ Ò Ð Ð Ò i Ó Ð Ò Ô Ø Ñ ÒØ j ̹ Ö ÒØ Þ ÐÝ Þ Ð Ú Ð Ñ ÒØ ÞÓ Ø Ñ ÐÝ Ò Ð Ð Ò Ø Ñ ÒØ i Ó Ð Ò Ô j ̹ Ö ÒØ Þ ÐÝ Þ Ðº Ý Ñ Ö Ñ Ô Ø Ù Þ ÓÐÝ Ò n+1 ÞÓ Ð ÐÐ Ø Ñ ÐÝ Ò Ð Ð Ò ÔÓÒØÓ Ò i+1 Ó Ð Ò ÔÓÒØÓ Ò j + 1 ̹ Ö ÒØ Þ Ø Ð Ð Ø º Í Ý Ò ÐÐ ÞØ Ò Ý 0 ÓÖ ÒØ ÞÓ Ø Ý j ̹ Ö ÒØ Þ Ø Ó Ð Ò Ø Ñ ÒØ i¹ø Ð Ð Ò Ø ÖØ ÐÑ Þ Ð ÔÖ Þ¹ ÓÖ Þ ÑòÚ Ð Ø Ó ÐÓÒ Ð Ú Ì¹ Ö ÒØ Þ Þ Ñ Ø Ý Ð Ò Ú Ð Ý j+1 ̹ Ö ÒØ Þ Ø ÔÙÒ Ñ Ð ÐÓÒ Ð Ú Þ Ð ÔÓÒØÓ Ò ÒÒÝ Ø Ò Ð Ú Ð Ó Ý Ñ Ñ Ö Ì¹ Ö ÒØ Þ Þ Ñ i+1 Ð Ý Ò Ø Ø i+1 Ø Ò 0¹Ø i+2 Ø Ò 1¹ Ø Ø º À ÓÒÐ ÑÓÒ Ø Ð Þ 1 ÓÖ ÒØ ÞÓ ÐÐ ÞØ ÓÖ Ð ÐÓÒi Ó ÐÓÒ Ð Ð j+1 ̹ Ö ÒØ Þ Ø ¾

Ø ÖØ ÐÑ Þ Ð ÔÖ Þ º ÒØ Ð Ô Ò Ú Ø Þ Ö ÙÖÞ Ú µ F n+1 (i+1,j +1) = k=1 F n(i+k,j)+f n (i,j +k) Þ Þ Þ Ø ÒÝÙ Ó Ø Ò Ú Þ Ø Ú Ø Ð Ò Þ Ò Úµ Ð Ô Ò Ø Ó Ý ÙØ Ò0¹ Ð ÞÒ º ÒØ Ð Ô ÒF n i,j Ñ Ý Þ ¾º ÐÐ Ø T n 1 ¹ Ú Ðº Î Ð Ó Ó Ý Þ Þ n ÞÓ Ð ÐÐ Ð ÔÖ Þ M(n) Þ Ñ Ñ Ô Ø Ð Ó ÐÓÒ Ð Ú Ì¹ Ö ÒØ Þ i j Þ Ñ Þ Ö ÒØ Þ Þ Ò Þ Þ Ð Ø Ñ ÓÒ Ý M(n) = i,j 0 F n (i,j) = i,j 0T n 1 (i,j) = B n º¾º¾º ýðø Ð ÒÓ ØÓØØ ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø ÜØ Ò ÓÖÒ Ö ÐÓ Ä Øµ ½ º Ò º Ý ÓÐÝ Ò ÑÓ ÙÐØ Ñ ÐÝÒ Þ Ð Ñ ÒÙÐÐ Ñ ÑÓ ÙÐÒ Ò Ú Þ Ò º Ý ÐÝ Ò ÑÓ ÙÐØ Ø ÖØ ÐÑ Þ ÞÓ ÔÓÒØ Þ Ö ÞÓ Ò Ð Ð Ñ º Þ Ú Þ Ø Ú Ð ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø Ñ Ö Þ ÐØ Ð ÒÓ Ð ÔÖ ÞÓ Ø Þ ÐÒ ØÙ º Þ ÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø Ð ÐÐ Ø Þ Ð ÔÖ Þ Ð ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø Ð ÐÐ Ø Ú Ð Ò Ð Ñ ÓÒ Ø ÖØ Ò ÞÞ Ð Ð Ò Ð Ó Ý Þ Ö ÞÓ Ò Ñ Ö Ò Ð ÞÒ Ý Ñ Ú Ðº À Ý Ö ÞÓ Ø Ø ÖÐ Ò ÓÖ Þ F Ñ Ø Ý ÞÞ Ð S¹ L¹ Ù Ý Ò Ý ÞÓ ÓÖ ÒØ T ¹ Þ ÐØ Ð ØØ Ì¹ Ö ÒØ Þ Þ Ñ Ò Ñ Ð Ð 0 1 ÓÖÓÞ Ø Ö Ðº Þ ÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø Ð Ô ÓÐ Ø ÓÒÐ Ò Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø Ðº Þ Ö ÑÓ ÙÐÓ Þ Ö Ò Ð Ì¹ Ö ÒØ Þ Þ Ñ Ò Ñ Ò ÔÙÐ Ð Ý Þ Ð Ù Ý Ò Ý Ð Ð ÐÐ ÖÒ ÓÒØ ÖÓ Øº Þ Ý ØÐ Ò Ð Ò Þ Ó Ý ØØ Û Ð ÐÙ Ò Ñ n¹ Ñ Ý Ò Ñ Ñ n Ö ÑÓ ÙÐ Ñ Ø Ð Ò Ñ ÓÐ ÓÞØÙÒ º ÞÙØ Ò Ñ Ö Ö ÞÓ Ú Ø Þ ØÒ Ò Þ Ø Ô Ý ÐÑ Ò Ú Ð Ð Ø ÝÒ º º¾º º ɹ ÓÖÓÞ Ø É¹ ÕÙ Ò µ ½ º Ò º Ý ÞÓ Ø Ö ÞÓ Ò Ø Ð ÖÓÓѵ Ò Ú Þ Ò Þ Ð ÔÖ Þ Ó Ð Ö Ò ÐÝ Þ Ðº Ý Ò Ñ¹ Ö ÞÓ Ó Ð Ö¹ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ì¹ Ö ÒØ Þ Þ Ö Ø ÞÓ Ð Ð Ð Ò Ò Ú ÞÞ º ¾

Ý Ò Ñ¹ Ö ÞÓ Ð Ð Ð Ø ¹ Ð Ú ÖØ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð µ ¹ Ó ÓÐ ÐÖ Ð ÐÙÐÖ Ðµ Ö ÒØ ÞÓ Ø ÞÓ ÞÓ ÐØ ÞÓ Ò Ò Ú ÞÞ º Þ Þ Ð Ð Ð Ø Ð Þ Ð Øµ ÞÓ Ö Ú Ø Þ Ò ÑÓÒ Ù º Ý ÑÓÞ Ð ÔÖ Þ ÓÞ Ø ÖØÓÞ É¹ ÓÖÓÞ ØÓØ Ú Ø Þ ÔÔ ÐÐ ØÙÒ Ð º Ä ÖÙÒ ÒÒÝ Ê¹Ø ÒÝ ÞÓ Ö ÒØ Ô ÓÐ Ð Ð Ø Ñ ÒÒÝ ¹Ø Ñ ÒÒÝ ÞÓ Ö ÒØ Ô ÓРРРغ ÞÙØ Ò Ñ Ò Ò Ð Ô Ò Ú Þ Ò Ý ÞÓ Ø Ð Ö Ù Ñ Øº À Þ Ð Ð Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÖ Ñ Ø ÒÒÝ Ú Ø Ñ ÒÒÝ Þ ÞÓ ÐØ Þ Ñ º Î ÖØ Ð Ð Ø Ò Ù Ý Ò ÒÒÝ Ê¹Ø ÝÞ Ò Ðº Þ Ð Ö Ø Ð Ð ÞÓ Ú Ð Þ Ñ Ò Ò Ð Ô Ò Þ ÔÔ ØÙ Ð ÞÓ Ö Ú Ø Þ Ú Ð ÓÐÝØ Ø Ù º º Ö Ò Ý Ð ÔÖ Þ ÓÞÞ Ø ÖØÓÞ É¹ ÓÖÓÞ Ø Ð Ø Ø º º º Ö º ɹ ÓÖÓÞ Ø É¹ ÓÖÓÞ Ø ÓÞ Ø ÖØÓÞ Êɹ ÓÖÓÞ Ø É¹ ÓÖÓÞ Øµ Þ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝ Ø É¹ Ð Þ Þ Êµ Ø ÖÐ Ú Ð ÒÝ Ö Ò º Þ Êɹ ÓÖÓÞ Ø Ò ÐÐ ØÚ É¹ ÓÖÓÞ Ø Ò Þ Ê¹ ÐÐ ØÚ ¹ ÒÝ Ø ÑÓ ÙÐ Ñ Þ Ö Þ Ö ÐÖ Ú Ð Ö Ð Ú Ð ÔÓØØ Ø ÓÖÓÞ ØÓØ É¹ ÓÖÓÞ Ø ÓÞ Ø ÖØÓØ Þ Ö ÐÖ Ò Þ ÖÒ Ô Ö ÒØ Ý Ø Ñµ Ò Ú ÞÞ º ½ º Ò º Ý ÞÓ Ñ Ø Þ Ê Ö Ø Ö Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ ÓÖÓÞ Ø Ý n ÞÓ Ð ÐÐ Ð ÔÖ Þ ÓÞ Ø ÖØÓÞ É¹ ÓÖÓÞ Ø Ú Ø Þ Ø Ð ÐÒ µ Å Ò Ò ÓÐÝ Ò Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝ Ø ÞÓ Ñ Þ ØØ ÐÝ Þ Ð Ð Ð Ý Ú Ý Ê Ö Ø ÖØ Ø ÖØ ÐÑ Þº µ ÓÖÓÞ Ø ÓÞ Ø ÖØÓÞ Þ Ö ÐÖ Ò Þ Ö ÖÚ ÒÝ Þ Ö Ð Þ º ɹ ÓÖÓÞ Ø ÖÓ ÞÓ Ù Ý Ò ÞÓÒ Þ ÐÚ Ò Ð ÔÙк À Ö ÞÓ ¹ Ò Ð Ð ÖÓ Ò Ð ÐÝ Þ ÞÓ Ø Ò Ú ÞÞ ÒÒ Ñ Ð Ð Ò Þ Ð Ð Ð Ø Ð Ð Ö ÓØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ì¹ Ö ÒØ Þ Ð Ð Þ ¾

ÞÓ ÐØ ÞÓ ØØ Ð ÐÖ Þ Ê Ñ ÐÝ ØØ Ä¹ Ø ÞÒ ÐÙÒ µ Ú Ý Ð ¹ Ð ÐÝ Þ ØÒ Ðº Ö Ú Ø Þ ÞÓ Ú ÖØ Ð Ð Ð Ð Ø Ò Þ ÞÓ ÐØ ÞÓ Þ Ð Ð Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ð Ø Ò Ð ÐÖ Ð Ú Ð Þº À Þ Ý ÔÓØØ É³¹ ÓÖÓÞ ØÓØ Ñ ÓÖ Ø Ù ÑÓ ÙÐ Ñ ÓÖÖ Ò ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø S ÓÖÓÞ Ø Ò Ð Ð Ñ º Ý ÑÓ ÙÐ Ñ Ø Ñ Ð Þ Ú Ý Ä ÓÖÓÞ Ø Ó Þ ÑÓ ÙÐ ÐØ Ð ØØ Ì¹ Ö ÒØ Þ Þ Ñ Øò Ð Ô Þ ÓÖ ÒØ Ø ÑÓÒ Ñ Ú ÖØ Ð ¼µ ÓÖ ÒØ Ò Þ Ä ÓÖ ¹ ÞÓÒØ Ð ½µ ÓÖ ÒØ Ò Ð Ð Ñ º ɹ ÓÖÓÞ ØÒ ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø ÓÞ ÓÒÐ Ò Ð Ø Þ ÐØ Ð ÒÓ Ø º ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø ÓÞ Ú Ð ÓÒÐ Ñ ØØ É¹ ÓÖÓÞ ØØ Ð Ø Ö ÞØ Ú Ð Ú Ò Ò Ñ Ó Ð Ð ÓÞÙÒ º º º ýðø Ð ÒÓ ØÖÙ Ø Ö Ö ÔÖ Þ ÒØ º º½º ǹ ǹÌÖ µ ½ º Ò º Þ Ç¹ Ý Ð ÐØ Ý ÖÔÓÒØØ Ð Ö Ò Ð Þ Ö Ò Þ ØØ Ö ¹ ÒÝ ØÓØØ ÓÐ Ö Ò Þ ØØ Ð ØØ Ö Ò Þ ØØ Ë¹ Ö Ø ÖØ Ò º ¹ Ö ÓÞ Ð Ð Ò Ý ÔÖ Ö Ò Ø Ô Ð ÙÐ Ó Ý Ñ Ò Ð ÐÓÐ Ð Ö Þ Ø Ö Ù Ð Þ Öº Þ Ç¹ Ð Ó Ø Ò Ö ÐØ Ð ÒÓ Ø Òغ Ý Ç¹ Ò Ñ Ò Ò Ò Ö ÒÝ Ý Ö Ð Ø Ý Ö ÓÖÖ Ò ØØ Ð ÒÝ º Ð Ý Ö Ó Ý Ö ÐÝ ØØ ØØ Ð Ñ Ó ÖÑ Ø º Ý Ö Ø Ð Ò ÞØ Ø Ò Ñ º Ý n+1 ǹ Ø Ý 2n Ó Þ 0 1 ÓÖÓÞ ØØ Ð T µ Ú Ð Ñ ÒØ Ý ÖØ Ð Ð Ò¹ Þ Ó Ñ Ò n Ó Þ ÓÖÓÞ Ø Ú Ð Πµ ÙÐÙÒ Ú Ø Þ ÔÔº Ë ¹ Ö ÓÖ Ò Ð Ö Ð Ô ÓÖ T ¹ Þ ÓÞÞ ÖÙÒ Ý 0¹Ø Π¹ Þ Ô ÒÒ Ò Ñ Ø Ñ ÐÝ Ð ÔØ Ò º À ØÖ Ð Ô ÓÖ T ¹ Þ ÓÞ¹ Þ ÖÙÒ Ý 1¹ غ ǹ ÓÐ Ö º º Ö Ò Ð Ø Ø Ý Ô Ð º ½½º ýðð Ø º ÓØØ n+1 ǹ ÓÞ Ø ÖØÓÞ (T,Π) Ô Ö Ø ÖÓÐ ÓÞ 2n+n logn ØÖ Ú Ò Þ º ÞÓÒÝ Ø º ÑÓ ÙÐÓ Ñ Ð Ý Ò Þ Þ ÑÓ º ÓÖ Ý Ñ Ø ÖÓÐ ÓÞ Ð Ð¹ logn ØÖ Ý T Ø ÖÓÐ ÓÞ Ð Ð ¼ º º Ö

n logn ØÖ Ú Ò Þ º Π 2n Ó Þ 0 1 ÓÖÓÞ Ø Ý 2n Ø Ò Ø ÖÓÐ ¹ Ø º ½¾º ýðð Ø º ÓØØ Ý ÖÔÓÒØ Ø Ò Ð Ò Þ n+1 ǹ Þ Ñ O(n!2 2n /n 1.5 )º ÞÓÒÝ Ø º Ð Ò Þ Π¹ Þ Ñ n!º T ÓÐÝ Ò 0 1 ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝÒ Ñ ÐÝ ÔÖ Ü Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ø 1¹ Ø Ñ ÒØ 0¹Ø Þ Ò Þ ÞØ Ð ÒØ Ò Ó Ý Ë¹ Ö ÓÖ Ò Ú Ò ÓÐÝ Ò Ô ÐÐ Ò Ø Ñ Ø Þ Ö Ð ÔØ Ò Ú Þ Ñ ÒØ Ð Ö º ÌÓÚ 0¹ Þ 1¹ Þ Ñ Ñ Ý Þ Ñ ÖØ Ö Ø Ý Ö Ò ÞÞ ÓÖ Ñ ÓÖ Ñ Ö Ò Ñ ØÙ ÙÒ Ö ØÐ Ò ÔÓÒØ Ð ÔÒ º Ý Þ ½º Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ð Ò Þ Ç¹ Þ Ñ O(n!2 2n /n 1.5 )º ǹ Ú Ð Ä ¹ ÓÑÔ Ø Ô ÓÐ Ó Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð ØÙÒ º Ý ÓØØ Ô ÓÐ ¹ ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ç¹ Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ô ØÙÒ Ñ º Ô ÓÐ Ð ÓÐ Ð Ò ÐÚ Þ Ò Ý ÔÓÒØÓØ Þ Ð Þ Ý ÖÔÓÒØ Ñ ÐÝ Þ Ð ÓÐ Ð Ð Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð Ú Ð Ñ ÒØ Ñ Ò Ò ÑÓ ÙÐÒ Ñ Ð Ð Ý ÔÓÒØ Òº Ä Ý Ò a b Ø Òº a¹ Ð b¹ ÓÖ Ú Þ Ø Ð Þ a ÑÓ¹ ÙÐ Ó ÓÐ Ð Ò ÐÐ ØÚ a Ý ÖÔÓÒØ ÓÖ Þ Ð ÓÐ Ð Ð Ò µ b ÑÓ ÙÐ Ð ÓÐ Ð Ò x¹ ÓÓÖ Ò Ø Ñ Ý Þ º À Ý ÔÓÒØ Ð Ø ÔÓÒØ Ú Þ Ø Ð ÓÖ Þ Þ Ð Ò Ð ÐÓÐ Ð Ð Ð ÑÓ Ùй ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ý ØÓÚ º ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ç¹ Ð Ô ÓÐ Ø Ý Ô Ø Ù º º Ö º ÀÓÖ ÞÓÒØ Ð Ç¹ Ñ Ó Ý Ý ÖÔÓÒØ Ð Ò ÙÐÚ Ë¹ Ö Ð Ö Ù Øº Å Ò Ò a ÑÓ ÙÐÖ ÐÐ ÓÒ Ψ(a) ÐÑ Þ ÞÓ Ð ÑÓ ÙÐÓ Ð Ñ ÐÝ a Ð ØØ Ú ÒÒ T ¹ Ò Þ x¹ø Ò ÐÝÖ Ú ØØ Ú Ø Ð Ø Ø a¹ú к À Þ a Þ Ð b ÓÖ Þ a ÑÓ ÙÐ x y ÓÓÖ Ò Ø Ú Ø Þ Ð Þ x a = x b +w b y a = max i Ψ(a) y i +h i ½

º Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ç¹ Ô ÓÐ Ð Ø Ø ÑÙØ Ø º Î ÖØ ¹ Рǹ Ð ÓÒÐ Ò Þ Ø Ø Ð Ô ÓÐ Ø ÑÓ ÙÐÓ ÓÞ Ø ÖØÓÞ x y ÓÓÖ Ò Ø Ñ Þ Ð Ú Ð Ñ ÒØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ú Ö Ð ÓÒØ Ö Þ Ö Ô Ò Ð Ö Ð Ú Ðº Ð ÓÖ Ø Ñ ÀÓÖ ÞÓÒØ ÐÇÌÖ ÌÓÈÐ Ñ ÒØ ÑÓ ÙÐ (T,Π)µ Ò ÖØ Ø ÓÒÁÒ Ü 0 Ú ÖØ ÐÇÌÖ Ò Û ØÖ Û Ø n+1 ÒÓ ÒÓ ÓÖ i = 0 ØÓ Ò Ó ÑÓ ÙÐ Π º ÑÓ ÙÐ Π ºÈ Ö Òغ +ÑÓ ÙÐ Π ºÈ Ö ÒØºÏ Ø Û Ö Å Ü ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÒØÓÙÖºÍÔ Ø ÑÓ ÙÐ Π Ò ÖØ Ø ÓÒÁÒ¹ Ü ÑÓ ÙÐ Π º ÑÓ ÙÐ Π ºÏ Ø µ ÑÓ ÙÐ Π º Û Ö Å Üº + Û Ö Ñ ÜºÀ Ø ÖÓÑ Û Ö Å ÜºÄ Ð ØÓ ÑÓ ÙÐ Π ºÄ Ð Ò Ú ÖØ ÐÇÌÖ Ò ÖØ Ø ÓÒÁÒ Ü Ò Ü Ó ÑÓ ÙÐ Π ºÈ Ö ÒØ Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÒØÓÙÖ Ò ÓÖ Ö ØÙÖÒ Ú ÖØ ÐÇÌÖ Æ Ñ Ñ Ò Ò Ç¹ Ø ÓÐ (T,Π) Ô Ö Ø ÖÓÞ Ñ Ä ¹ ÓÑÔ Ø Ô ÓРغ Ì ¹ ÒØ Ô Ð ÙÐ Ú Ø Þ ÓÖ ÞÓÒØ ¹ Рǹ Ø (T,Π) = (abcd,00100111)º ¹ Þ Þ Ö Ò Ð Ø Ø Ô ÓÐ Ø ÖØÓÞ º Þ ¹ ÓÑÔ Ø Ò Ñ Ä ¹ ÓÑÔ Øº ýðø ¹ Ð ÒÓ Ò Ý ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ç¹ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ô ÓÐ Ñ Ò ¹ ÓÑÔ Ø Ý Ú ÖØ Ð Ç¹ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ô ÓÐ Ñ Ò Ä¹ ÓÑÔ Øº Þ Ç¹ ÐØ Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ Ô ÓÐ Ø º Ð ÓÖ ØÑÙ Ð ØÖ Ò Þ ÓÖÑ Ð¹ Ø Ù Ä ¹ ÓÑÔ ØØ º Ð ÓÖ Ø Ñ ÇÌÖ ÌÓÄ ÓÑÔ ØÈÐ Ñ ÒØ ÑÓ ÙÐ Ì Πµ Ò ØÖÙ Û Ð Ò Ó (T v,π v ) ÀÓÖ ÞÓÒØ ÐÇÌÖ ÌÓÈÐ Ñ ÒØ ÑÓ ÙÐ T Πµ (T h,π h ) Î ÖØ ÐÇÌÖ ÌÓÈÐ Ñ ÒØ ÑÓ ÙÐ T v Π v µ (T h,π h ) (T,Π) Ø Ò Ò Ð Ò Ò Û Ð ¾

Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ð Ô Ø º½¼º Ö Ò Ð Ø Ø Ô Ð Þ ÑÐ ÐØ Ø º Ä Ø Ø Ó Ý Ñ Ò Ò Ð Ô Ú Ý ÐÖ Ú Ý Ð Ð ØÓÐ Ð ÑÓÞ Ø Ø ÑÓ ÙÐÓ Ø Þ Ñ Ú ÒÒ ÐÝ Ò º º½¼º Ö º º¾º ¹ ¹ÌÖ µ ¹ Ý Ò Ö ÓÐ Ñ ÐÝ Ö ÓÖÖ Ò Þ Ç¹ ÓÞ ¹ ÓÒÐ Ò Ð ÒÝ º ÁØØ Ñ Ò Ð ÓÐ Ð Ö Þ Ø Ö Ù Ð Òغ Ý ÓØØ n ÑÓ ÙÐ Ð ÐÐ Ä ¹ ÓÑÔ Ø Ô ÓÐ ÓÞ ÓÞÞ Ø ÖØÓÞ n ÓÖ ÞÓÒØ Ð ¹ Ø Ú Ø Þ ÔÔ ÓÒ ØÖÙ Ð Ù Ñ º Ð Ð ÖÓ Ò Ð Ú ÑÓ ÙÐ Ð Ð Ñ Ý ÖÒ º ÞÙØ Ò Þ Ð ÑÐ Ø ØØ Ë¹ ÓÖÖ Ò Ò Ñ Ø ÖÓÞÞÙ Ð Ó Ý Ö Øº Ý a Ò b Ð Ý Ö b ÑÓ ÙÐ a¹ò Ð ÓÐ Ð ÞÓÑ Þ Ñ Ò Ñ ÖØÙÒ Ø ÐÝ Ò Ú Ò ÓÖ Þ Þ Ð Ð Ð º Ý a Ò b Ó Ý Ö b ÑÓ ÙÐ Þ a Ð ØØ ÐÝ Þ Ð Þ x¹ ÓÓÖ Ò Ø Ù Ñ Ý Þ Þ a ÑÓ ÙÐÒ Ú Ò Ð ÞÓÑ Þ ÓÖ ÒÒ Ð ÓÐ Ð Ò y¹ ÓÓÖ Ò Ø Ò ÝÓ Ñ ÒØ b y¹ ÓÓÖ Ò Ø º À Ø ÐÝ Ò Ú Ò ÓÖ Þ Þ Ð Ð Ð º ÓÒ ØÖÙ Ð Ò Ñ Ò Ò Ä ¹ ÓÑÔ Ø Ô ÓÐ ÓÞ ÔÓÒØÓ¹ Ò Ý ¹ Ø ÖØÓÞ º º½½º Ö Ò Ý Ä ¹ ÓÑÔ Ø Ô ÓÐ ÓÞÞ º½½º Ö º ÀÓÖ ÞÓÒØ Ð ¹

Ø ÖØÓÞ ¹ Ð Ø Ø º ¹ Ð Ô ÓÐ Ø Ý Ô Ù Ó Ý Ë¹ ÓÖÖ Ò Ò Ñ Ð Ð Ò ¹ ÐÝ ÞÞ Ð ÑÓ ÙÐÓ Øº Ý Ö ÓÓÖ Ò Ø (0,0) Ð Þ ÞÙØ Ò Ñ Ò Ò b Ö µ b Þ a Ð Ý Ö ÓÖ x b = x a +w a ³µ b Þ a Ó Ý Ö ÓÖ x b = x a µ y b = max i Ψ(b) y i + h i ÓÐ Ψ(b) ÞÓ Ð ÑÓ ÙÐÓ Ð ÐÐ Ñ ÐÝ Ë¹ ÓÖÖ Ò Òb Ð ØØ ÐÝ Þ Ò Ð Þx¹Ø Ò ÐÝÖ Ú ØØ Ú Ø Ð Ø Ø º Ô ÓÐ Ø º Ð ÓÖ ØÑÙ ÐÐ Ø Ð º Ð ÓÖ Ø Ñ ÀÓÖ ÞÓÒØ Ð ÌÖ ÌÓÈÐ Ñ ÒØ ÖÓÓص ÁÒ Ø Ð Þ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÒØÓÙÖ Û Ø ÖÓÓغÅÓ ÙÐ Ë ÑÔØÝ Ø ËºÈÙ ÖÓÓص Û Ð Ëº ÓÙÒØ > ¼ Ó ÒÓ ËºÈ µ ÒÓ Ð Ø Ð Ò ÒÓ ºÄ Ø Ð ÒÓØ Ú Ø Ø Ò Ò ÖØ Ø ÓÒÁÒ Ü Ò Ü Ó ÒÓ ºÅÓ ÙÐ Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÒØÓÙÖ ÒÓ ºÄ Ø Ð ºÅÓ ÙÐ º ÒÓ ºÅÓ ÙÐ º + ÒÓ ºÅÓ ÙÐ ºÏ Ø Û Ö Å Ü ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÒØÓÙÖºÍÔ Ø ÒÓ ºÐ Ø Ð ºÅÓ ÙÐ Ò ÖØ Ø ÓÒÁÒ Ü ÒÓ ºÐ Ø Ð ºÅÓ ÙÐ º + ÒÓ¹ ºÐ Ø Ð ºÅÓ ÙÐ ºÏ Ø ÒÓ ºÄ Ø Ð ºÅÓ ÙÐ º Û Ö Å Üº + Û Ö Å ÜºÀ Ø ËºÈÙ ÒÓ ºÄ Ø Ð µ Ð ÒÓ Ö Ø Ð Ò ÒÓ ºÊ Ø Ð ÒÓØ Ú Ø Ø Ò Ò ÖØ Ø ÓÒÁÒ Ü Ò Ü Ó ÒÓ ºÅÓ ÙÐ Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÒØÓÙÖ ÒÓ ºÊ Ø Ð ºÅÓ ÙÐ º ÒÓ ºÅÓ ÙÐ Û Ö Å Ü ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÒØÓÙÖºÍÔ Ø ÒÓ ºÊ Ø Ð ºÅÓ ÙÐ Ò ÖØ Ø ÓÒÁÒ Ü ÒÓ ºÊ Ø Ð ºÅÓ ÙÐ º + ÒÓ¹ ºÊ Ø Ð ºÅÓ ÙÐ ºÏ Ø ÒÓ ºÊ Ø Ð ºÅÓ ÙÐ º Û Ö Å Üº + Û Ö Å ÜºÀ Ø ËºÈÙ ÒÓ ºÊ Ø Ð µ Ð ßÒÓ Ð ÓÖ ÐÖ Ý Ú Ø Ð ËºÈÓÔ µ Ò Ò Û Ð Þ Ç¹ ÓÞ ÓÒÐ Ò Ý ¹ ÓÞ Ñ Ø ÖØÓÞ ÐØ ØÐ Ò Ð Ä ¹ ÓÑÔ Ø Ô ÓÐ º Ì ÒØ Ô Ð ÙÐ º½½º Ö Ñ Ó Ø Ú Ð Ð Ø Þ º½¾º

Ö Ò Ð Ø Ø Ø Øº º½¾º Ö º Æ Ñ Ä ¹ ÓÑÔ Ø Ô ÓÐ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð ¹ Ý ¹ Ø Ò Þ Ú Ò Ô ÓÐ ÓÑÔ ØØ Ø Ø Ð Ö Ñ ÐÝ ÑÓ Ø Ø ÓÒÝÓÐÙÐØ Ñ ÒØ Þ Ç¹ Ø Òº Þ Ý¹ ÓÓÖ Ò Ø Þ Ñ Ø Ö ¹ Ò Ð ÓÒØ Ö ØÖÙ Ø Ö Ø ÞÒ Ð Ù º ÁØØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ð Þ Ð Ô ÓÐ Ð ÐÐ Ø ÓÖ Ò Ú ÖØ Ð ¹ Ý Ö Ñ Ý Þ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ¹ Ý Ö Ú Ð Ý Ý ÖØ Ð Ð Ò Þ a ÑÓ ÙÐ ÐÐ ÞØ ÓÖ Ú Ø Þ Ø ÐÐ ØÒ ÒÒ µ a Ð Ý Ö Ñ Ü Ñ Ð y¹ ÓÓÖ Ò Ø Ø Ñ Ø ÖÓÞ ÑÓ ÙÐ Ö ÑÓ ÙÐ µ a Ð Ý Ö Ñ Ü Ñ Ð y¹ ÓÓÖ Ò Ø Ø Ñ Ø ÖÓÞ ÑÓ ÙÐ Ò Ñ¹ Ö b ÑÓ ÙÐ µ a Ó Ý Ö Ñ Ü Ñ Ð y¹ ÓÓÖ Ò Ø Ø Ñ Ø ÖÓÞ ÑÓ ÙÐ Ò Ñ¹ Ö b ÑÓ ÙÐ Þ µ Ø Ò ÐÐ ÞØ Ò a ÑÓ ÙÐ Ú ÖØ Ð ¹ Ý Ö Ò Ó Ý Ö Ð Þ ÐÐ ØÚ Þ ÔÓÞ Ñ Ö Ó Ð ÐØ ÓÖ Ó ÓÒ ÑÓ ÙÐØ ÐÐ Ð Ð ÞØ ØÒ Ñ Ò Ñ Ó Ð ÐØ ÔÓÞ Ø Ø Ð ÐÙÒ º Þ µ Þ µ Ø Ò Þ a ÑÓ ÙÐ b ÑÓ ÙÐ Ð Ý Ö Ð Þ ÐÐ ØÚ Þ ÔÓÞ Ñ Ö Ó Ð ÐØ ÓÖ b ÑÓ ÙÐ Ð Ý Ö Ò Ó Ý Ö ÒÒ Ó Ð ÐØ ¹ Ø Ò Þ Ð ÑÐ Ø ØØ ÞØ Ø Ø ÐÐ Ú Ö Ø Ò º À Ò ÙÐ Ú ÖØ Ð ÓÖ Ú ÖØ Ð ÓÒØ ÖØ ÞÒ ÐÙÒ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ø Þ x y ÓÓÖ Ò Ø Þ Ö Ô Ò Ð Ö Ð Ú Ð ÐÐ Ø Ù Ð º º º º ÅÓ ÙÐ ÓÖÓÞ Ø¹Ô Ö Ë ÕÙ Ò È Öµ (Γ +,Γ ) ÑÓ ÙÐ ÓÖÓÞ Ø¹Ô Ö ØØ ÑÓ ÙÐÓ Ñ Ò Ô ÖÑÙØ Ð ÐÐ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝ ÑÓ ÙÐÓ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ú ÖØ Ð ÓÖÖ Ò Ò Ò ÓÖÑ ¹ Ø ÓÖ ÓÞÞ º ½ º ýðð Ø º Ý n ÑÓ ÙÐ Ð ÐÐ Ô ÓÐ Ø ÓÐ ÑÓ ÙÐ ÓÖÓÞ Ø¹Ô Ö Ø ÖÓÐ ¹ ÓÞ Ð Ð 2n logn ØÖ Ú Ò Þ º

½ º ýðð Ø º Ý n ÑÓ ÙÐ Ð ÐÐ Ô ÓÐ Ø Ð Ö Ð Ò Þ ÑÓ ÙÐ ÓÖÓÞ Ø¹Ô ÖÓ Þ Ñ (n!) 2 º Ì ÒØ Ò Ý Ô ÓÐ Ø Ý ÓÞÞ Ø ÖØÓÞ Ð ÔÖ ÞÓغ Î Ð ÞÙ Þ Ð ÔÖ Þ Ý Ò Ñ Ö ÞÓ Ø ÞÓ Þ ÔÔÓÒØ Ð Ò ÙÐÚ Þ Ø Ò Ð Ò Ý Ø Ö ØØÚÓÒ Ð Øº Þ Ð Ø Ö ØØÚÓÒ Ð Ð ÓÒ Ð Ð Ñ Ò Ñ Ø ¹ Þ ÞÓ Ð Ñ ÐÖ ÞÓ Ð Ñ ÒØ Ò Ñ Ò Ñ Ø Þ Ý Ñ Ö Ð Ð ÒÒ Ò Ñ Ø Ð Ð Ý ØÓÚ Ñ Ð Ò Ñ Ö Þ Þ Ð Ð Ö ÓÞº Ø Ø Ö ØØÚÓÒ Ð ÓÒÐ Ñ ÓÒ Þ Ð Ö ÒÝ Ð ¹ Ó Ö Ó Ö ¹ Ð ÐÖ ¹Ð º ½½ Þ Ð Ñ Ó Ø Ö ØØÚÓÒ Ð Ý ØØ Ò Ð ÓØ ÞÓ Ò Ø Ú ÐÝÞ Ø¹ ÚÓÒ Ð Ø Ò Ø Ú ÐÓÙ µ ÖÑ Ò Ý Ø Ö ØØÚÓÒ Ð Ô ÔÓÞ ¹ Ø Ú ÐÝÞ ØÚÓÒ Ð Ø ÔÓ Ø Ú ÐÓÙ µº Ã Þ Ø Ð Þ Ð ÔÖ Þ Þ Ò Ñ Ö ÞÓ ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÔÓÞ Ø Ú Ò Ø Ú ÐÝÞ ØÚÓÒ Ð Ø º½ º Ö Ò Ð Ø Ø Ñ ÓÒº º½ º Ö º ÈÓÞ Ø Ú Ò Ø Ú ÐÝÞ ØÚÓÒ Ð º Ì Ø Ðº ½½ Ë Ñ ÐÝ Ø Ò Ø Ú ÐÝÞ ØÚÓÒ Ð Ò Ñ Ñ Ø Þ ÝÑ Øº Ë Ñ ¹ ÐÝ Ø ÔÓÞ Ø Ú ÐÝÞ ØÚÓÒ Ð Ò Ñ Ñ Ø Þ ÝÑ Øº Þ Ð Þ Ø Ø Ð Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ó Ý ÔÓÞ Ø Ú Ò Ø Ú ÐÝÞ ØÚÓÒ Ð ÓÖ Ö Ò Þ Ø º ÐÝÞ ØÚÓÒ Ð Ø ÓÞÞ Ù Ø ÖØÓÞ ÑÓ Ùл ÞÓ Ñ Ú Ð Ð ÐÚ ÔÓÞ Ø Ú ÐÝÞ ØÚÓÒ Ð Ð Ð ÖÓ Ø Ð Ó Ð ÖÓ¹ Ú ØØ ÓÖÖ Ò Γ + µ Ò Ø Ú ÐÝÞ ØÚÓÒ Ð Ð Ð ÖÓ Ø Ð Ó Ð ÖÓ Ú ØØ ÓÖÖ Ò Γ µ ÐØ Ð Ð ÓØÓØØ Γ + Γ µ Ô Ö Ô ÓÐ ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÑÓ ÙÐ ÓÖÓÞ Ø¹Ô Öº Å Ò Ò ÑÓ ÙÐ ÓÞ Ò Ð ÙÒ Ò Ý ÐÑ ÞØ Ú Ø Þ ÔÔ ½½ M aa (i) = {j j Þ i ÙØ Ò Ú Ò Γ + ¹ Ò Γ ¹ Ò } M bb (i) = {j j Þ i Ð ØØ Ú Ò Γ + ¹ Ò Γ ¹ Ò }

M ab (i) = {j j Þ i ÙØ Ò Ú Ò Γ + ¹ Ò Þ i Ð ØØ Ú Ò Γ ¹ Ò} M ba (i) = {j j Þ i Ð ØØ Ú Ò Γ + ¹ Ò Þ i ÙØ Ò Ú Ò Γ ¹ Ò} Þ ÐÑ ÞÓ º½ Ö Ò Ð Ø Ø Ñ ÓÒ Ú Ø Þ Ø ÖØ ÐÓÑÑ Ð Ö¹ Ò M aa (i) ÐÑ Þ Ð Ñ Þ i ÑÓ ÙÐØ Ð ÐÖ ÐÝ Þ Ò Ð M bb (i) ÐÑ Þ Ð Ñ Þ i ÑÓ ÙÐØ Ð Ó Ö ÐÝ Þ Ò Ð M ab (i) ÐÑ Þ Ð Ñ Þ i ÑÓ ÙÐØ Ð Ð Ð ÐÝ Þ Ò Ð M ba (i) ÐÑ Þ Ð Ñ Þ i ÑÓ ÙÐØ Ð Ð Ð ÐÝ Þ Ò Ð º½ º Ö º ÐÝÞ ØÚÓÒ Ð ÓÑ ØÖ Ð ÒØ Ã Þ Ø Ð G h G v Ö Ó Ø Ú Ø Þ ÔÔ Òº Å Ò Ø Ö Ò Ñ Ò Ò ÑÓ ÙÐÒ Ñ Ð Ð Ý Ú Ð Ñ ÒØ Ñ Ò Ø Ö ÓÞ ÓÞÞ Ú Þ Ò Ý ÓÖÖ ¹ Ý ÒÝ Ð ÔÓÒØÓغG h ¹ Ò Ñ Ò ÒiÑÓ ÙÐÒ Ñ Ð Ð ÔÓÒØ Ú Þ Ø Ð Þ Þ ÓÐÝ Ò ÑÓ ÙÐÒ Ñ Ð Ð ÔÓÒØ Ð Ñ ÐÝ Ð Ñ M aa (i) Ò º G v ¹ Ò Ñ Ò Ò i ÑÓ ÙÐÒ Ñ Ð Ð ÔÓÒØ Ú Þ Ø Ð Þ Þ ÓÐÝ Ò ÑÓ ÙÐÒ Ñ Ð Ð ÔÓÒØ Ð Ñ ÐÝ Ð Ñ M ab (i)¹ò º ÓÖÖ Ð Ñ Ò Ò ÔÓÒØ ÒÝ Ð Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ð Ú Þ Ø Ðº Þ Ý ÔÓØØ G h G v Ö Ô ÓÐ ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÐÐ ØÚ Ú ÖØ Ð ÒÝ Þ Ö Ö ØÖ ÒÞ Ø Ú Ð Þ ÖØ º Ý G h ¹ Ò Ð Ó Þ ÙØ Ô ÓÐ ÑÓ ÙÐ Ò x¹ ÓÓÖ Ò Ø Ø G v ¹ Ò Þ y¹ ÓÓÖ Ò Ø Ø º ÒÝ Ð Ú Þ Ø Ð Ó Þ ÙØ Þ Þ Ð Ò Ñ Ò Ð ÐÒ Ñ º Ð Ó Þ ÙØ Ð ÓÖ ØÑÙ O(n 2 ) Ò Ý Ö Ò ò Ý Ô ÓÐ Ð ÐÐ Ø ÑÓ ÙÐ ÓÖÓÞ Ø¹Ô Ö Ð ÒÒÝ Ø Ú Þ ÒÝ º

º º º ÌÖ ÒÞ Ø Ú Ð Þ ÖØ Ö Ó ÌÖ Ò Ø Ú ÐÓ ÙÖ Ö ¹ Ô µ ½ º Ò º Ý D = (V,E) Ö ÒÝ ØÓØØ Ö ØÖ ÒÞ Ø Ú Ð Þ ÖØ Ò ÞØ D = (V,E) Ö ÒÝ ØÓØØ Ö ÓØ ÖØ Ñ ÐÝ Ò Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò a b Þ ØØ Ú Þ Ø Ð Ñ ÐÝ Þ ØØ Ú Þ Ø Ö ÒÝ ØÓØØ Ø D¹ Òº Ý Ô ÓÐ a ÑÓ ÙÐ Ö ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ú ÖØ Ð µ Ö Ð Ò Ú Ò b ÑÓ ÙÐÐ Ð Þ a ÑÓ ÙÐ b¹ø Ð ÐÖ Ð µ ÐÝ Þ Ð Þ y¹ø Ò ÐÝÖ x¹ø Ò ÐÝÖ µ Ú ØØ Ú Ø Ð Ø Ø º ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Þ a ÑÓ ÙÐ ÓÒ Ð Ö Ð Ò Ú Ò b ÑÓ ÙÐÐ Ð Þ a ÑÓ ÙÐ b¹ø Ð ÐÖ ÐÝ Þ Ð Ú Ð Ø Ð Þ y¹ø Ò ÐÝÖ Ò Ñ Ø º ÓÒ Ð Ö Ð Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò Ó Ù Ø ÒØ Ò Ú Ú ÓÖ Ð Ø Þ Ú ÖØ Ð Ö Ð Ý ÓÖÓÞ Ø ÓÒ Ð Ö Ð Ò ÐÐ ÑÓ ÙÐÓ Þ Øغ ÓÖ ÓÒ Ð Ö Ð Ø Ú ÖØ Ð Ò Ø ÒØ º ½¾ Þ Ð Ô Ò ÓÒ ØÖÙ Ð Ù Ñ Ô ÓÐ ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÓÖ ÞÓÒØ Ð C h µ Ú ÖØ Ð C v µ ØÖ ÒÞ Ø Ú Ð Þ ÖØ Ö Óغ Å Ò Ø Ö Ò Ñ Ò Ò ÑÓ ÙÐÒ Ñ Ð Ð Ý Ý a Ð b ÓÖ Ú Þ Ø Ð C h ¹ Ò C v ¹ Òµ Þ a ÑÓ ÙÐ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ú ÖØ Ð µ Ö Ð Ò ÐÐ b¹ñó ÙÐРк ØÖ ÒÞ ØÚ Ð Þ ÖØ Ö Ó Ð Ô ÓÐ Ø Ð Ó Þ ¹ Ø Ð ÓÖ ØÑÙ Ð Ô¹ Ø Ù Ñ Þ x¹ ÓÓÖ Ò Ø Ø C h ¹ Ð Þ y¹ ÓÓÖ Ò Ø Ø C v ¹ Ð Ð ¹ Ó Þ ÙØ Ö Ñ ÒÝ Þ º Ý Ô ÓÐ Ð ÐÐ Ø O(n 2 ) Ø Ú Þ Òݹ º ØÖ ÒÞ Ø Ú Ð Þ ÖØ Ö Ó ÑÓ ÙÐ ÓÖÓÞ Ø¹Ô Ö Ð ÒÝ ØÙÐ ÓÒ Ø Óѹ Ò Ð Ì ¹Ë Ö ÔÖ Þ ÒØ º ½

Ì ÖÓÐ ÓÞ Þ ¹ Ê ÔÖ Þ ÒØ Þ Ñ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ Ã Ð Ò Þ Ñ Þ ÓÐ ÙØ Ø Ô٠ȹ È ÓÐ Ñ Ò ØØ ËÌ»È ¹»2n 1+n logn+2 O(n!2 3n /n 1.5 ) O(n) Þ ØÚ Ø Ò Ñ ÆÈ 2n 1 logn+2 O(n!2 3n /n 1.5 ) O(n) Þ ØÚ Ø Ò Ñ È 2n 1+n logn+3 O(n!2 2n 3 n 1 /n 1.5 ) Æ» ÐØ Ð ÒÓ Ò Ñ Ä 3(n 1)+n logn O(n!2 3n /n 1.5 ) O(n) ÑÓÞ Ò Ñ Ä Æ» O(C n λn n!33 λn 4 / λn 1.5 ) O( λn ) ÐØ Ð ÒÓ Ò Ñ ÉË Æ» O(n!2 3n /n 1.5 ) O(n) ÑÓÞ Ò Ñ ÉË Æ» O(2 6n (2n)!/n!) O(n) ÐØ Ð ÒÓ Æ» Ì Ë Æ» O(n!2 3n /n 1.5 ) O(n) ÑÓÞ Ò Ñ ÇÌ 2n+n logn O(n!2 2n /n 1.5 ) O(n) Ä ¹ ÓÑÔ Ø Ò Ñ Ì Æ» O(n!2 2n /n 1.5 ) O(n) Ä ¹ ÓÑÔ Ø Ò Ñ ËÈ 2n logn (n!) 2 O(n 2 ) ÐØ Ð ÒÓ Ò Ë Æ» O(n!C(n 2,n)) O(n 2 ) ÐØ Ð ÒÓ Ò Ì Æ» (n!) 2 O(n 2 ) ÐØ Ð ÒÓ Ò Ì ¹Ë Æ» (n!) 2 O(nlogn) ÐØ Ð ÒÓ Ò º½º Ø Ð Þ Øº Ê ÔÖ Þ ÒØ Þ ÓÒÐ Ø Ø Ð Þ Ø Þ ØÓ Ý Ö Þ ½ ¹ Ð Þ ÖÑ Þ µ

º Þ Ø Ð ÓÖ ØÑÙ Ó º½º ÅÓ Ð ÓÖ ØÑÙ ÑÓ Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ Ò Ò Ð Ô Ò Ý Ñ Ö Ñ Ð Ú Ô ÓÐ ÓÞ ÓÞ¹ Þ Ý ÑÓ ÙÐØ Ú Ø Þ ÔÔº Ã Þ Ø Ò Þ Ö Ô ÓÐ Ð Ò ÙÐÙÒ ÐÐ ÞØ Þ Ð ÑÓ ÙÐØ Ð Ø Ð ÓÔØ Ñ Ð Òº Þ Ñ Ò Ò Ø Ò (0,0) ÓÓÖ Ò Ø Ò Ú Ð ÐÐ ÞØ Ø Ð ÒØ º ÞÙØ Ò Ñ Ò Ò Ð Ô Ò Þ ÓØØ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÐØ Ð ÞØÓ ØÓØØ ÐÐ ÞØ ÔÓÒØÓ Ñ Ò Ý Ò Ð¹ Ð ÞØ Ú Ø Þ ÑÓ ÙÐØ Ð Ø Þ Ð Ð Ó Ø Ñ Ø ÖØ Ù º ÖÖ Þ Ñ ØÙÒ Ó Ý Ñ ¹Ñ ÓÖÖ Ò Ò ÐÐ ÞØÚ ÑÓ ÙÐÓ Ø Ð Ò ¹ Þ Ñ ÓÐ Ó Ø ÔÙÒ º Ò Ð ØÒ Ó Ù Ó Ý Þ Ø Òݹ Ð Ý Ú Ò Ó Ý Ø ÞØ Ö Ñ ÒÝ Ð Ô Ò Ñ ÐÝ ÐÐ ÞØ ÓÖÖ Ò Ú Þ ØØ ÐØ Ð Ò ÓÔØ Ñ Ð Ñ ÓÐ Ó ÓÞº ÑÓ Ð ÓÖ ØÑÙ Ô Þ ¹ Ó Ó º Ð ÓÖ ØÑÙ º Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ø Ö Ð Ø Þ Ö ÒØ Ñ Ò Ñ Ð Þ Ð ÐÝ ØØ Ú Ð ÞØ ØÙÒ Ö Ð Ø Þ Ö ÒØ Ñ Ò Ñ Ð Þ Ð Ø º Þ Ð Ø Ò Þ Ö Ñ ÒÝ Ð ÓÐÝ Ò Ø Ð Ð Ô Ð Þ Ñ ÐÝÒ Þ Ý ÓÐ Ð Ú Ð Ó Þ Ñ ÒØ Ñ Ñ Ö Ð Ø Þ Ö ÒØ Ñ Ò Ñ Ð Þ Ð Ø Ò Þ Ð Ò ÝÞ Ø º Ä Ø Ø Ó Ý Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÞÒ Ð Ø Ø Ò Ý Ò ÓÐÝ ÓÐ Ó Ý Þ ÓØØ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÐÐ ÞØ ÔÓÒØ Ø Ñ ÒÒÝ Ö Ð ØÙ Ù Ñ Ø ÖÓÞÒ ÐÐ ØÚ ÐÐ ÞØ ÔÓÒØÓ Þ Ñ ÓÐÝ ÓÐ ÙØ Øº Ú Ø Þ Ò ÞÞ Ð Ó Ð Ð ÓÞÙÒ º ÆÓÖÑ ÐØ Ð Ò Ý Ð Þ Ý Ö ÒÓÖÑ ÐØ Ð Ò Ý Ð Þ Ý Ð ÔÔ Ò ØÙ ÙÒ ÐÐ ÞØ Ò Ý ÑÓ ÙÐ Ñ Øº À Þ Ð Ð Ý Ð Ñ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ ÓÖ Ý ÑÓ ÙÐ Ñ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ ÐÐ ÞØ Ö Ú Ò Þ º ÑÓ ÙÐ Ñ Ø ¹ Þ ÖÑ ÐÝ ÔÓÒØ Þ Ö Ø Ù º À Þ 2k 1 Ð Ñò ÓÖ k ÑÓ ÙÐ Ñ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þµ ÓÖ Þ 2k ÐÐ ÞØ ÔÓÒØÓØ Ð Òغ ¼

Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ý ÑÓ ÙÐ ÑÓ ÙÐ ÇÖ Öµ ÁÒÔÙØ ÑÓ ÙÐ ¼ººÒ¹½ ¹ ÖÖ Ý Ó ÑÓ ÙÐ Û Ø Û Ø Ò Ø ÑÓ ÙÐ ÇÖ Ö ¼ººÒ¹½ ¹ ÖÖ Ý Ó Ð Ð Ó ÑÓ ÙÐ ÇÙØÔÙØ ÔÐ Ñ ÒØ Ó Ò ÑÓ ÙÐ ÓÖ ÐÐ ÑÓ ÙÐ ÇÖ Ö Ó Ñ Ò Ö ÓÖ ÐÐ Ò ÖØ Ø ÓÒÈÓ ÒØ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒºÁÒ ÖØ Ò ÖØ Ø ÓÒÈÓ ÒØ ÑÓ ÙÐ µ ÔÐ Ñ ÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒºÌÓÈÐ Ñ ÒØ ÔÐ Ñ Òغ Ö < Ñ Ò Ö Ø Ò Ñ Ò Ö ÔÐ Ñ Òغ Ö Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒºÊ ÑÓÚ Ò ÖØ Ø ÓÒÈÓ ÒØ ÑÓ ÙÐ µ Ò ÓÖ Ò ÓÖ Ö ØÙÖÒ ÔÐ Ñ ÒØ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ ÐÐ ÞØ Ò Ð Ð ÐÐ ÐÐ Ò Ö ÞÒ Ó Ý Ñ Ñ Ö ¹ ÐÐÓØ ØÙ¹ Ð ÓÒ º Ñ Ñ Ö Ø ÐØ Ú Ø ÑÓ ÙÐ Ñ Þ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÐÐ ØÚ Ú ÖØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖØ ÐÐ ÞØ Ø Ò Ý ÑÓ ÙÐ Ñ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ ¹ Þ Þ ÓÔ Ö ØÓÖØ Ð Ð Ò Þ ÓÔ Ö ØÓÖغ Ã Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Þ Ò Ñ Ð Ø ÓÔ Ö ØÓÖØ ÐÐ ÞØ Ò Þ Ò ÓÖ Ö ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ö Ú ÖØ Ð ÓÔ Ö ¹ ØÓÖØ ÐÐ ÞØ Ò Ò Þ Þ Ý ÞÓÑ Þ Ú Ð Ñ Ý ÞÒ Ý ÔÓØØ Þ Ñ Ö Ò Ñ Ð ÒÒ ÒÓÖÑ Ðغ ǹ Ý k ÑÓ ÙÐØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ø k+1 ǹ Ò Ð ÔÓÒع ØÙ ÙÒ Ý Þ Öò Ò Ý ÑÓ ÙÐÒ Ñ Ð Ð ÓØ ÐÐ ÞØ Ò º Þ ÑòÚ Ð Ø Ñ Ð Ð ÒÒ Ó Ý 2k Ó Þ T ¹ Ð Ø 2k + 1 ÐÝ Ú Ð Ñ ÐÝ Ö Þ ÖÙÒ Ý 01¹ Ø Þ ÒÒ Ñ Ð Ð ÐÝÖ Π¹ Þ Ö¹ Ù Ú Ø Þ ÑÓ ÙÐ Ñ Øº Å Ú Ð T ¹ Ò Þ ÖØ 01¹ Ø Ñ Ð Þ 0¹ Þ Ñ Þ ÖØ ÑÓ ÙÐ Ð ØØ Ö Ò Ó Þ Ñ Ø ÐÞ Þ ÑÓ ÙÐØ Π¹ Ò ÔÓÒØÓ Ò ÒÒÝ ÑÓ ÙÐÒ ÐÐ Ñ Ð ÞÒ ÒÝ 0 ÚÓÐØ Þ ÖØ 01 Ð ØØ T ¹ Òº Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÖ Ò ÐÐ ÞØ ÔÓÒØÓ Þ Ñ n 1 2k +1 k=0 ½

Ý k + 1 ÑÓ ÙÐ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ç¹ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ô ÓÐ O(k + 1) Ð ØØ ÓÒ ØÖÙ Ð Ø Ñ Ý Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÙØ O ) (2k +1)(k +1) = O(n 3 ) ( n 1 k=0 ¹ ¹ Ø Ò Þ Ç¹ Ø Ð ÐØ Ö Ò Ð ÔÓÞ ØÙ ÙÒ Ý ÓØ Þ ÖÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ñ Ú Ð Ø Þ Þ Ò Ö ØÖÙ Ø Ö Ñ Øغ Þ Ö ÔÓÞ Þ º½º Ö Ò Ð Ø Ø º º½º Ö º ÐÐ ÞØ ÔÓÒØÓ Ç¹ ÐÐ ØÚ ¹ Ø Ò ÅÓ ÙÐ ÓÖÓÞ Ø¹Ô Ö Ý k ÑÓ ÙÐ Ð ÐÐ ÑÓ ÙÐ ÓÖÓÞ Ø¹Ô Ö Ñ Ò Ø Ø k + 1 ÐÝÖ Ð¹ Ð ÞØ Ø Þ ÑÓ ÙÐغ Þ Ð ÐÐ ÞØ Þ Ö Ô ÓÐ Þ ÙØÓÐ Þ n 1 ÑÓ ÙÐ Ð ÐÐ Ô ÓÐ Ø ÖØ Ò Ý Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÖ Ò ÐÐ ÞØ ÔÓÒØÓ Þ Ñ n 1 (k +1) 2 k=0 Å Ú Ð Ý k + 1 ÑÓ ÙÐ ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÑÓ ÙÐ ÓÖÓÞ Ø¹Ô Ö ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ô ÓÐ O((k+1) 2 ) Ð ØØ ÓÒ ØÖÙ Ð Ø Ñ Ý Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÙØ O ( n 1 ) (k +1) 4 = O(n 5 ) k=0 ¾

º¾º ÄÓ Ð Ö ÖÓ ÓÒ Ð ÓÖ ØÑÙ Þ ÐÝ Ò Ø ÔÙ Ð ÓÖ ØÑÙ Ó Ñ Ò Ö Ø Ö Ý ÔÓÒØ Ð Ò ÙÐÒ ¹ Ø Ò Ò ÝnÔÓÒØ Ô ÓÐ Ø Ð Ö Ö ÔÖ Þ ÒØ Ý ÖÚ ÒÝ Ð ¹ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Þ ÞØ Ñ Þ Ö ÒØ ØÐ ÔÒ Ý ÞÓÑ Þ Ó ÔÓÒØÖ º Þ ÖØ Ñ Ò¹ Ò Ð ØØ Ò ÐÒÙÒ ÐÐ Ó Ý Ð Ò Þ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ò Ñ Ø ÖØ Ò ÞÓÑ Þ Ó Ð Øغ ÆÓÖÑ ÐØ Ð Ò Ý Ð Þ ½ º Ò º ÇÔ Ö ØÓÖÓ Ý ÓÖÓÞ Ø Ø Ð ÒÒ Òµ Ò Ú ÞÞ Ò¹ Ò Ñ Ò Ò ÞÓÑ Þ Ó Ð Ñ Ð Ò Þ º Î Ð Ó Ó Ý Ý Ð Ò + + +... Ú Ý + + +... РРغ Ý Ð Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ð ØØ ÞØ Ð ÒÓØ ÖØ Ñ ÐÝ Ø Þ Ö Ø Ð Ò Ð Þ + ÓÔ Ö ØÓÖ ¹Ö ÓÔ Ö ØÓÖ +¹Ö Ö Ð Ú Ð ÒÝ Ö Ò º Ò Ð ÙÒ ÖÓÑ ÑòÚ Ð Ø Øº Žº ψ¹ Ò Ø ÑÓ ÙÐ Ñ Ø Ñ Ö Ð Ò º žº ψ¹ Ò Ý Ð ÒÓØ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ÐÙÒ º Å º ψ¹ Ò Ý ÓÔ Ö ØÓÖØ ÑÓ ÙÐ Ñ Ø Ñ Ö Ð Ò º Þ Å½ ž ÑòÚ Ð Ø ÐÚ Þ ÞØÓ Ò ÒÓÖÑ ÐØ Ð Ò Ý Ð Þ Ø Ö ¹ Ñ ÒÝ Þ Ñ Å ÐÚ Þ ÓÖ Ò Ð ÓÖ ÙÐ Ø Ó Ý ÔÓØØ ÓÖÓÞ Ø Ú Ý Ñ Ý Þ ÞÓÑ Þ Ó ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ú Ý Ò Ñ ÐÐÓØ ÓÖÓÞ Øº Ã Ø nñó ÙÐ ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÒÓÖÑ ÐØ Ð Ò Ý Ð Þ Ø ÞÓÑ Þ Ó Ò Ø ÒØ Ò Þ ÖÚ ÒÝ Å½ ž Ú Ý Å ÑòÚ Ð Ø Ú Ð Ñ ÐÝ Ú Ð ÝÑ Ú Ø º Ð Ø Ø Þ Ó Ý Þ Ò ÑòÚ Ð Ø Ð ÐÑ Þ Ú Ð ÖÑ ÐÝ n ÑÓ ÙÐ ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÒÓÖÑ ÐØ Ð Ò Ý Ð Þ Ð ÖÑ ÐÝ Ñ Ð Ð Ø ÙØÒ º ýðø Ð ÒÓ ØÓØØ Ð Ò Ý Ð Þ Þ ÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ Ð Ò Ý Ð Þ ÞÓÑ Þ Ø ÒÓÖÑ ÐØ Ð Ò Ý Ð Þ ÞÓÑ Þ Ú Ð Ø Ð Ò Ñ Ý Þ Ñ ÓÒ ÓÞÞÙ Ð ØÖ º Þ Å½ ž Å ÑòÚ ¹ Ð Ø Ñ Ý Þ Þ Ð Ò ÐØ Ð ÒÒÝ Ð Ò Ú Ò ÙÔ Ò Ó Ý ØØ Ð ÒÓ ÖÓÑ Ð ÓÔ Ö ØÓÖØ Ø ÖØ ÐÑ Þ ØÒ Þ ÖØ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ñò¹ Ú Ð Ø Ø Ð Ð ÐÐ Ò ÐÒÙÒ º ýðø Ð ÒÓ ØÓØØ Ð Ò Ý Ð Þ Ø Ò Ý Ð Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò ÞØ Ð ÒÓØ ÖØ Ñ ÐÝ Ò Ñ Ò Ò ÓÔ Ö ØÓÖØ Ð Ö Ð Ò Ý Ú Ð Ò Ñ Ñ Ý Þ Ö º Ë ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø Ë ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø Ø Ò ÞÓÑ Þ Ó ÑòÚ Ð Ø

Žº Ã Ø Ð Ñ Ö Ë¹ Ò Þ Þ Ø ÑÓ ÙÐ Ñ Ö º žº Ĺ Ò Ý 0 Ð Ñ 1¹Ö Ö Ð Ú Ý ÓÖ ØÚ Þ Þ Ý ÑÓ ÙÐ ÓÖ ÒØ ¹ Ò Ö º Å º Ý 1 Ð Ñ Þ Ö Ì¹ Ú Ý Ý 1 Ð Ñ ÐØ ÚÓÐ Ø Ì¹ Ð Þ Þ Ì¹ Ö ÒØ Þ Þ Ñ Ò Ñ Ú ÐØÓÞØ Ø º Þ Å ÑòÚ Ð Ø Ø Ò Þ Ö ÓÖ ÑòÚ Ð Ø ÖÚ ÒÝ Ø ÒÓÖÑ ÐØ Ð Ò¹ Ý Ð Þ ÑòÚ Ð Ø ÖÚ ÒÝ ¹ ÐÐ Ò ÖÞ Ø Ð ÐØ Ö Ò O(n) Ò ØÙ Ù Ú Ö Ø Ò Ù Ý Ò Þ ÖÚ ÒÝ ÓÖ Ò Ñ ÙÔ Ò Ñ Ð Þ Ø Ó Ø Ð Ò Ñ ÖÚ ÒÝ Ò Ñ Ö Ø ÓÐÝ ÓÐ º ǹ ǹ Ø Ò ÞÓÑ Þ Ó Ø Ý Ô Ù Ó Ý Ý ÓØ Ø ÖÐ Ò Ñ ÑÓ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ð Ñ Ö Ø Ø ØØ ÐÐ ÞØ ÔÓÒØÓ Ý Ò ÐÐ ÞØ º ¹ ¹ Ø Ò Ø ÞÓÑ Þ Ó ÑòÚ Ð Ø Ø Ò ÐÙÒ Å½º Ã Ø Ö º žº Ý Ø ÖÐ Ñ ÐÐ ÞØ ÑÓ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ð Ñ ÖØ Ø ØØ Ñ ÓÒº ÁØØ Ø ÖÐ Ø Ò Ø ÖÐ Ò a Ý Ö Þ Ñ Þ Ö ÒØ ÖÓÑ Ð Ð Øº µ Þ a Ð Ú Ðº ÓÖ Þ a ÓØ Ý Þ Öò Ò Ø Ö Ð µ Þ a Ò Ý Ý Ö Ú Òº ÓÖ Þ a ÓØ Ø Ö Ð Ý Ö ¹ Ø Þ a Þ Ð Þ Ô ÓÐ Ù Ð ÐÐ ØÚ Ó Ý Ö ÒØ ÒÒ Ñ Ð Ð Ò Ó Ý Þ a Ð Ú Ý Ó Ý Ö ÚÓÐغ µ Þ a Ò Ø Ý Ö Ú Òº ÓÖ Ú Ð ÞØ Ù Þ Ý Ý Ö Ø Þ a Ñ Ø Ú Ð Ñ ÒØ ÒÒ Ý Ö Ò Ñ Ø Ð Ö Ð Þ Ý Ð ÐÐØ µ¹ µ ÐÝÞ ØÒ Ñ Ð Ð Ò Ø Ö Ð Þ a Óغ ÅÓ ÙÐ ÓÖÓÞ Ø¹Ô Ö ÅÓ ÙÐ ÓÖÓÞ Ø¹Ô Ö Ø Ò ÞÓÑ Þ Ó ÑòÚ Ð Ø Å½º Ã Ø ÑÓ ÙÐ Ñ Ö Γ + ¹ Ò Ú Ý Γ ¹ Òº žº Ã Ø ÑÓ ÙÐ Ñ Ö Γ + ¹ Ò Γ ¹ Ò º

º¾º½º ÄÓ Ð Ö ÐÓ Ð Ö Ö Ø Ö Ý ÔÓÒØ Ð Ò ÙÐÚ Ú Ò Þ ÔÓÒØ ÞÓÑ Þ Ø Ø Ð Ð ÞØ Ó Ø ØÐ Ô Ö º Þ ØÐ Ô Ø ÖØ Ò Ø ÞÓÒ¹ Ò Ð Ó Ý Ó ÞÓÑ Þ ÓØ Ø Ð ÐØ Ú Ý Þ Þ ÞÓÑ Þ ØÒ Þ ÙØ Ò Ð Ó ÞÓÑ Þ ÓØ Ú Ð ÞØÚ º À Ö Ø Ö ÔÓÒØ Ò Ò Ý Þ Ñ ÞÓѹ Þ Ù Ú Ò ÓÖ Þ Þ ÞÓÑ Þ ÐÝ ØØ Ú Þ Ð Ø Ù ÞÓÑ Þ Ó Ò Ý ÐÑ Þ Øº Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ð ÐÐ Ý ÓÐÝ Ò ÔÓÒØÖ Ð Ô Ñ ÐÝÒ Ñ Ö Ò Ñ Ð Ø Þ Ó ÞÓÑ Þ º ½¼º Ð ÓÖ ØÑÙ Ý Þ Þ ÞÓÑ Þ ÓØ Ñ Ú Þ Ð Þ Þ Ð Ð ¹ Ó Ö ØÐ Ô ÐÓ Ð Ö Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ ÐÝ Ø Ö Ø Ö Ý Ú Ð ØÐ Ò ÔÓÒØ Ð Ò ØÙÒ º Ð ÓÖ Ø Ñ ½¼ ÄÓ ÐË Ö ÑÓ ÙÐ µ ÁÒÔÙØ ÑÓ ÙÐ ¼ººÒ¹½ ¹ ÖÖ Ý Ó ÑÓ ÙÐ Û Ø Û Ø Ò Ø ÇÙØÔÙØ ÔÐ Ñ ÒØ Ó Ò ÑÓ ÙÐ Ù Ö Ò ÓÑ Ù Ó Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÖ Ò ÑÓ ÙÐ Ü Ø ØØ Ö ØÖÙ ÔÐ Ñ ÒØ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒºÌÓÈÐ Ñ ÒØ ÑÓ ÙÐ Ù µ Û Ð Ü Ø ØØ Ö Ó Ü Ø ØØ Ö Ð ÓÖ ÐÐ Ò Ù ºÒ ÓÖ Ó ÔÐ ÌÓÈÐ Ñ ÒØ ÑÓ ÙÐ µ Ôк Ö ÔÐ Ñ Òغ Ö Ø Ò ÔÐ Ñ ÒØ ÔÐ Ò ÜØÁ Ù Ü Ø ØØ Ö ØÖÙ Ò Ò ÓÖ Ù Ò ÜØÁ Ù Ò Û Ð Ö ØÙÖÒ ÔÐ Ñ ÒØ º¾º¾º Ì Ù Ö Ø Ù Ö ÐÓ Ð Ö Þ ÓÒÐ Ò Ö Ø Ö Ý Ú Ð ØÐ Ò ÔÓÒØ Ð Ò Ùк Í Ý Ò Ý ØÐ Ô Ø Þ Þ Ú Ý Ò ÒÝ Ú Ð ØÐ Ò Þ Öò Ò Ú Ð ÞØÓØØ ÞÓÑ Þ Þ Ð Ð Ó ÞÓÑ Þ Ö Ú Ý Þ Þ Þ Ð Þ Ð Ó Ö º Ð Ò Ó Ý Ø ÖÓÐ Ý Ø Ù Ð Ø Ø Ñ ÐÝ Ñ Ö Ñ Ø ØØ Ð Ô ¹ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Þ Ö Ò Ñ Ð Ô Ø Ú Þ º Î Ð Ñ ÒØ Ò Ñ Ø Ð Ð

Ð ÓÖ Ø Ñ ½½ Ì ÙË Ö ÑÓ ÙÐ µ ÁÒÔÙØ ÑÓ ÙÐ ¼ººÒ¹½ ¹ ÖÖ Ý Ó ÑÓ ÙÐ Û Ø Û Ø Ò Ø ÇÙØÔÙØ ÔÐ Ñ ÒØ Ó Ò ÑÓ ÙÐ Ù Ö Ò ÓÑ Ù Ó ØÙ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÖ Ò ÑÓ ÙÐ k n Ø ÙÄ Ø ÑÔØÝ Ð Ø Û Ð i > 0 Ó ÛÓÖ Ö ÔÐ Ñ ÒØ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒºÌÓÈÐ Ñ ÒØ ÑÓ ÙÐ Ù µ ÓÖ ÐÐ Ò Ù ºÒ ÓÖ Ó ÔÐ ÌÓÈÐ Ñ ÒØ ÑÓ ÙÐ µ Ôк Ö ÔÐ Ñ Òغ Ö Ò Ôк Ö ÒÓØ Ø Ù Ø Ò ÔÐ Ñ ÒØ ÔÐ Ò ÜØÁ Ù Ø Ù Ö Ôк Ö ½ Ö Ð Ôк Ö ÛÓÖ Ö Ø Ò Ò ÜØÁ Ù ÛÓÖ Ö Ôк Ö Ø Ù Ö Ôк Ö Ò Ò Ò ÓÖ ¹½ Ù Ò ÜØÁ Ù Ø Ù Ö ØÓ Ø ÙÄ Ø Ò Û Ð Ö ØÙÖÒ ÔÐ Ñ ÒØ

Ó ÞÓÑ Þ ÓØ ÓÖ Ð Ø ÖÓ Þ ÞÓÑ Þ Ó Þ Ð Ð Ú ÖÓ ÞÖ Ð Ô Øº À Ú Ð Ñ ÐÝ Ø Ù Ð Ô Ñ Ö Ö Ò Ø ÖØ ÒØ ÞØ Ð Ø Ð Ø Ö ÐÒ Ð Øº Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ó Ð Ð ÐÐ ÐØ Ø ÐØ ØÙÒ Þ Þ Ð Þ Ý Ð Ý Þ Öò Þ Ø Ö Þ Ñ Ò ÓÖÐ ØÓÞ º Ø Ò Ò Ø Ù Ð Ø Ñ Ö Ñ Ø Ð ÐØ Ø Ö Ð Ø Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ ÐÝ Ò Ø Ö ¹ Ð Øò ÞÓÑ Þ Ö Ò Ñ Ð Ø ØÐ ÔÒ º Ø Ù Ð Ø Ð Ó Ø ÖÐ Ò ÞÓѹ Þ Ó Þ Ð Ñ Ò Þ Ð Ð Ó Ö Ð Ô Ò Ø Ú Ò ÐÝ Ò Ô Ò Ò ÓÖ Ð Ø Ö Ð ØòÖ ÖÓ Þ Þ Ðº Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ð ÐÐ Ñ Ö k¹ ÞÓÖ ÑÓ ÙÐÓ Þ Ñ Ò Ñ Ð Ð ÖÓ Þ Ð Ô Ø Ø Øغ ÆÓÖÑ ÐØ Ð Ò¹ Ý Ð Þ Ø Ò k¹ø 5¹Ò ÖÓ ÞÓ Ð Ø Ø Ò 10¹Ò ǹ ¹ ÑÓ ÙÐ ÓÖÓÞ Ø¹Ô Ö Ø Ò 1¹Ò Ú Ð ÞØÓØØ Ñº º¾º º ËÞ ÑÙÐ ÐØ òø Þ ÑÙÐ ÐØ Ð òø ÐØ Ð ÒÓ Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÞ Ö Ø Ö ÞÓÑ Þ ¹ Ó ØÖÙ Ø Ö Ñ Ø ÖÓÞ Ò Ú Ð Ú Ø Þ ØÓ Ö Ú Ò Þ T 0 Þ Ø Ñ Ö Ð Ø T frozen Ð ÐÐ Ñ Ö Ð Ø E(x) Ö Ò Þ Ö Ò Ö Ø Ø Ò Ò Ö Ø Ö ÓØØ ÔÓÒØ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ñ ÓРص Þ Ñ Ø Ú ÒÝ f(x) Ñ Ö Ð Ø òð Ø Ñ Ø ÖÓÞ Ú ÒÝ k Þ Ý Ñ Ö Ð Ø Ò ÐÚ Þ Ò Ø Ö Þ Ñ b ÓÐØÞÑ ÒÒ ÓÒ Ø Ò Ñ ÐÝÒ Þ ÖØ Ø Ý Ú Ð ÞØ Ù Ñ Ó Ý Þ Ø Ñ Ö Ð Ø Ò ÖÓ Þ Ñ ÓÐ Ó Ð Ó Ò Ú Ð Þ Òò¹ Þ Ð ½ Ð Ý Ò Þ ÐØ Ò ÒÓ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø ½¾º Ô Þ Ù Ó Ö Ð º Ð ÐÐ ÐØ Ø Ð Þ Ø¹ Ø ÓÖÐ ØØ Ð Ú Ý Ô Ð ÙÐ ÞÞ Ð Ó Ý Ø Ð ÐØÙÒ ¹ ÓÐÝ Ò Ñ ÓÐ Ø Ñ Þ ÓÔØ Ñ Ð Ø Ð Þ Þ Ð Ò Ø Ö Ðº ÓÖ ÐÙ Ú Ð ÒÝ ÞÓѹ Þ Ó Þ Ñ Ø Ð Ø Ö Ø Ú Þ Ù Ý Ò ÞÓÒ Ñ Ö Ð Ø Ò ÞÙØ Ò Ñ Ö Ð Ø ÒØ Ú Ø Þ º Ä Ø Ø Ó Ý Ý Ú Ð ØÐ Ò Ð Ú Ð ÞØÓØØ ÞÓÑ Þ ÓØ Ð Ó ÙÒ Ó Ú Ý ÞÓÒÝÓ Ú Ð Þ Òò Ð Ð Ó Ù ÖÓ Þ º Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ ÝÞ Ð Ó Ñ Ø Ð ÐØ Ö Ñ ÒÝØ ÞÞ Ð Ø Ö Ú Þ º Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ Ú Ð Ø ÓÖ Ú Ø Þ ÖØ Ø Ú Ð ÞØÓØØ Ñ T 0 40000 T frozen 0.1 ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø ÒÓÖÑ ÐØ Ð Ò Ý Ð Þ Ç¹ ¹ Ø Ò 500 ÑÓ ÙÐ ÓÖÓÞ Ø¹Ô Ö Ø Ò

Ð ÓÖ Ø Ñ ½¾ Ë ÑÙÐ Ø ÒÒ Ð Ò Ò Ö Ð P Ò Ø Ð ÔÓ ÒØ Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ô P best P T T 0 Û Ð T > T frozen Ó ÓÖ i = 0 ØÓ k Ó Q Ö Ò ÓÑ Ò ÓÖ Ó P E E(Q) E(P) E 0 ÓÖ e E bt P Q Ò E(P) < E(P best ) Ø Ò P best P Ò Ò ÓÖ T f(t) Ò Û Ð Ö ØÙÖÒ P best > random(0..1) Ø Ò E(x) A act A next +P act P next ÓÐ A act P act Þ ØÙ Ð ÐØ Ð Ð ÖØ Ô ÓÐ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Þ Ø Ö Ð Ø ÐÐ ØÚ Ö Ð Ø A next P next Þ ÔÔ ÖØ ÐØ Ö Ò ÓÑ ÞÓÑ Þ Ñ Ð Ð ÖØ f(x) 0.99 x Ð Ò Ö òø µ k 1000 ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø ÒÓÖÑ ÐØ Ð Ò Ý Ð Þ Ç¹ ¹ Ø Ò 500 ÑÓ ÙÐ ÓÖÓÞ Ø¹Ô Ö Ø Ò b 99% Ó Ð Ó Ú Ð Þ Òò Ø ÐÚ ÖÚ b = 40000 ln0.99 ÓÐ Ò ÙÐ 2¹ Þ Ö ÑÓ ÙÐÓ Þ Ñ Ö Ö Ò ÓÑ ÞÓÑ Þ Þ Ð Ò Ð Ò ÝÓ Ò Ö Ò Ñ Ð Ð Ò Ö Ò Ú ØÐ º

º Þ Ø Å Ú Ð Ø Ö Ñ ÒÝ Þ Ñ ÖØ Ø ØØ Ð ÓÖ ØÑÙ Ó Ñ Ò Ý Ú Ð Ñ ÒØ Ö ÔÖ Þ ÒØ Þ Ð ÒÓÖÑ ÐØ Ð Ò Ý Ð Þ ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø Þ Ç¹ ¹ ÑÓ Ùй ÓÖÓÞ Ø Ô Ö Ð ØØ Ñ Ú Ð ØÚ º ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø ÓÞ Ò Ñ Ö ÐØ ÒÒÝ Ò Þ Ð Ø ÐÐ ÞØ ÔÓÒØÓ Ø Ø Ð ÐÒ Þ ÖØ Þ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÓÞ Ò Ñ Ú Ð ÞØ Ø ÑÓ Ð ÓÖ ØÑÙ º Þ Ð Ò ÞÓØØ ÐÐÙ ÞØÖ Ð Ö Þ ÐØ ÔÖÓ Ö Ñ ÒÝ ÐÚ Ò ºÆ Ì Ö ØÖ Ò Þ Ö Ø Ú Ð Ö ÓØغ Ð ÞØ Ö Ø ÞØ Ð Ö ÞÒ ÐØ Ô Ý ÁÒØ Ð ÓÖ ¹ ¼Å¹ Ñ ÐÝ Ñ Ñ Ö Ú Ð Ö Ò Ð Þ º Ì ÞØ Ð Þ Þ ÑÓ ÙÐ Ñ Ò Ò Ø ÞÞ Ð Ó ÞØ Ø ÑÓ ÙÐ Þ ÑÖ Þ Þ Ð Ø ¹ Ð ÓÖ ØÑÙ ¹Ö ÔÖ Þ ÒØ ¹ Ý ÓÔ Ð Ø Ø ÖÓÑ ÞÓÖ Ø ÖÚ ÞØ Ñ Ø ÞØ ÐÒ Ú Ð ØÐ Ò Ò Ö ÐØ ÑÓ ÙÐÓ Ö Ý ÒÐ Ø ÐÓ ÞÐ ÓÐ Ð Ó Þ Ðµ Þ ØÚ Ò ÑÓ ÙÐ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ø ÞØ Þ ÙØ Ò ÐÓ Ð Ö Ö Ø Ù Ö Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø ÞØ Ð Ø ÝØ Ñ Ú Ð ØØ Ö ÒÝÓ Ú Ý Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ð ØÐ Ñ Ò ØØ µ Ñ Øغ À ÓÒÐ Ó Ó Ñ ØØ Ò Ò Ò Ø ÞØ Ö Ñ ÒÝ ¼ ÑÓ ÙÐØ Ð Þ ÑÙÐ ÐØ òø Ø Ò Ç¹ Ö ¹ Ö ÑÓ ÙÐ ÓÖÓÞ Ø¹Ô ÖÖ º º½º Þ ÓÒÐ Ø ÅÓ Ð ÓÖ ØÑÙ ÅÓ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ò Ú Ð ÞØ Ø ÐÐ ÞØ ÓÖÖ Ò Ú Ð ØÐ Ò Ú Ð Ñ ÒØ Ø Ö Ð Ø Ö Ð Ø ØÐ Þ Ð Ú Ð Ñ ÒØ Ñ Þ Ö ÒØ Ò Ñ Ò ÓÖÖ Ò Ð ØØ º Å Ò Ò Ø Ò Ú Ð Þ Ø Ø Ö Ð Ø ÐÐ ØÚ Ö Ð Ø Þ Ö ÒØ Ñ Ò Ñ Ð Þ Ð º Ð Ò Þ ÐÐ ÞØ ÓÖÖ Ò Ò ÐÐ ØÚ Ñ Ò ¹ Ñ Ð Þ Ð Ò Ñ Ð Ð Þ¹Ð ØØ Þ Þ Ð Ó º½º Ö Ò Ð Ø Ø º ÒÒ Ð Þ Þ ÓÒÐ Ø Ò Ð Ò Ñ Ð ØØ Ý Ð Ñ Ú Ú ÑÓ ÙÐÓ Þ Ñ Ö ÒÒ Ò Ú Ð Ú Ð ÞÒ ÐØ ¹ Ö Þ ÓÔØ Ñ Ð Ñ ÓÐ Ó Ø Ò ¹

Ò Ú Þ º À Ð Ò Þ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ø ÒØ Ò Ñ Ñ Ð Ô Ó Ý º½º Ö º ÑÓ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ö Ð Ø ÞÒ Ð Ø ÒÓÖÑ ÐØ Ð Ò Ý Ð Þ Ð ÖÓ Þ Ö Ñ ÒÝÖ ÙØÙÒ Þ Ò Þ Þ Ø¹ Ú Ø ØÖÙ Ø Ö Ø ØÙ Þ ÐÒ Ñ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ø Ú Ý Ð Ð Ä ¹ ÓÑÔ Ø Øº Ö Ö ÐÐ ÞØ ÓÖÖ Ò Þ Ö ÒØ Ð Ò º Ì ÒØ ÒÒ ÒØ Ð ¼± Ö Ð ØØ Ö ÒÝÓ Ø Ò º Ö ÓÒ Ð Ô¹ Ò Ú Ð ØÐ Ò ÐÐ ÞØ ÐÚ Ø Ø º Ø Ð Ø Þ ØØ Þ ØÐ Ó ØÓ Ð Ô Ò Ò Ñ Ð Ø Þ Þ ÑÓØØ Ú Ð Ò ÞÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÓÐ Ð Ó Þ Ø Ý Ö ÒØ Ý Ð Ñ Ú Ú ÐÐ ÞØ ÓÖÖ Ò Ø Ö Ð Ø Ö Ð Ø ØÐ µ Ñ ¹ Ð Ð º ÙØ Ö Ø Ø ÒØÚ Þ Ð Þ Þ Ø Ò Ñ ÖØ Ø ØØ Ò Ý Ö Ò Ð Ô Ò Ú ÖØ Ö Ñ ÒÝ Ø Ô Ù º ÇØØ Ú Ò Ò Ñ Ð ØØ Ø Ö Ý ÐÚ ÑÓ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ý Ö Ò ÒÓÖÑ ÐØ Ð Ò Ý Ð Þ Ø Ò Þ Ñ Ø Ø Ó Ý Ñ Ú Ð ÒÓÖÑ ÐØ Ð Ò Ý Ð Þ Ð Ô ÓÐ Ð ÐÐ Ø O(n) Ø Ú Þ ÒÝ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ý Ö Ò O(n 4 )º ÙØ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Þع Ö Ñ ÒÝ Ø º¾º Ö Ö ÓÒ Þ ÑÐ ÐØ Ø º º¾º Ö º ÅÓ Ð ÓÖ ØÑÙ ÙØ ¼

ÄÓ Ð Ö Å Ú Ð Þ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÐÓ Ð ÓÔØ ÑÙÑÓ Ø Ø Ð Ð Ñ ÓÒÒ Ò Ò Ñ Ú Þ Ð ØÓÚ Ò Ñ Ñ Ð Ô Ó Ý Ò Ñ ÔÙÒ ÞÒ Ð Ø Ú Ð Ñ Ð¹ Ò Ö Ñ ÒÝ Øº Ð ØØ ØÓ º º Ö Ö Ñ Ò Ð Ø¹ Ø º Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ú Ð ÞØ Ø ÓÔ Þ ÔÓÒØÓ Þ Ñ º Ø º º Ö º ÐÓ Ð Ö Ø Ö Ð Ø ÞÒ Ð Ø ÔÓÒØ Ð Ò ØÓØØ ÐÓ Ð Ö ÒÒÝ Ò Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ø Ø Ý Ñ Ú Ð ¹ Ø Ò Ø Þ ÔÓÒØ Ø Ò Þ Ñ ÓÐ Þ Ö Ô Ðº Ø ÞØ Ð Ö ÞÒ ÐØ Ô ÔÖÓ ÞÓÖ Ø Ñ Ó Ñ Ò Ø Ñ Ú ÖØÙ Ð Ò ØØ Ú Ò Ó ÞØÚ Ý Ô Ý Þ ÖÖ Ò Ý Þ Ð Ø ØÙ ÙØØ ØÒ º Ý Ò Ý ÔÓÒØ Ð Ò ØÓØØ ÐÓ Ð ÙØ Ú Ð Þ Ñ ÒØ Ý Þ ÐÓÒ ÙØØ ØÒ Ò ÝÑ ÙØ Ò Ò Ý Ö Ø Ò Ñ ÒÒ ÙØ Ò Ò Ý º Å Ú Ð Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ð ÐÐ ÐÓ Ð ÓÔØ ÑÙÑ Ñ Ø Ð Ð ÓÞ Ò Ñ Ô Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ø Ö ¹ Þ Ñ ÓÞ Ø ØØ ÙØ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÓÐ Ò Ò Ú Ð ØØ Ð Ó Ý Ñ ÐÝ Ò Ó Þ ÞÓÑ Þ Ó Ð ÐÐ ÙØ Ú Þ ØÒ Ò ÙÐ ÔÓÒØ Ðº ÙØ º º Ö Ò Ð Ø Ø º Å Ý Ð Ø Ó Ý Ô Ð ÙÐ Þ O(n) ÓÐ ò ¹ Ö Ð ÐÑ ÞÓØØ ÐÓ Ð Ö Ó Þ ÙØ Ñ ÒØ Þ O(n 2 )¹ ÑÓ ÙÐ ÓÖÓÞ Ø¹Ô ÖÖ Ð ÐÑ ÞÓØغ Ì Ù Ö Ø Ù ÙØ Ö Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ø Ø Ö ÐÓ Ð Ö Ò Ð ÐÑÓÒ ÓØØ ÖÚ ÒÝ º ÓÒ ØÖÙ Ð Ò Ò Ñ Ñ Ð Ô Ó Ý Ø Ù Ö Ñ Ú Ø ÐÓ Ð Ö Ð ÔÓØØ Ð ØØ ØÓ Ø Ñ ÒÒ Ð Ú Ð Ð º ÔÓØØ Ö Ñ ÒÝ Ø º º º º Ö Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ º ËÞ ÑÙÐ ÐØ òø Þ ÑÙÐ ÐØ òø Þ Þ ØØ Ò Ð Ý Ö Ò Ú ÓÐØ Ñ ÓÐ ÚÓÐغ Å ÐÐ ÑÐ Ø Ò Ó Ý Þ Ñ Ò Ý Ò Ò ÐÝ ÞÚ ÚÓÐØ ÑÓ Ù¹ ½

º º Ö º ÄÓ Ð Ö ÙØ º º Ö º Ø Ù Ö Ø Ö Ð Ø ÞÒ Ð Ø º º Ö º Ì Ù Ö ÙØ ¾

ÐÓ ÓÖ Ø Ñ ÒØ ÞÓÑ Þ Ó ÑòÚ Ð Ø ËÔÖ Ø Ô Ø Ò ÞÓÒ Ò Ò Ñ Ð Ø Ô Ø Ð ÓÖ ØÒ Ý ÓÖ Ø Ø Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ó ÓÖ Ò Ò Ñ Ò Ø Ñ Ñ º Þ Ð Þ Þ Ø Ò Ñ ÖØ Ø ØØ Ú Ð ÞØ Ó Ð º º ¹ Ö Ò Ð Ø Ø Ö Ñ ÒÝ Ø º Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ù Ý Ò Ò Ñ Ø Ð ÝÓÖ Ð Ö Ñ ÒÝ Ø º º º Ö º ËÞ ÑÙÐ ÐØ òø ØÓ º¾º Æ ÒÝ Ô ÓÐ ÅÓ Ø Ð ÙÒ Ò ÒÝ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ð ÔÓØØ ÓÒ Ö Ø Ô ÓÐ Ø ÓÞÞ Ù Ø ÖØÓÞ ØÓ Øº Ð ÒØ º º º º Ö Ò ÑÓ Ð ÓÖ ØÑÙ ÐØ Ð ½¼¼ ÑÓ ÙÐÖ ÓØØ ÖÓÑ Ö Ñ ÒÝ Ð Ø Ø Ñ ÐÝ Ò Ð Ñ Ý Ð Ø Ö Ð Ø Ø Ö Ð Ø Þ Ö ÒØ Ñ Ò Ñ Ð Þ Ð ÞØ Ð Ò º º½¼º Ö Ò Ø Þ ÑÙÐ ÐØ òø Ð ÔÓØØ Ô ÓÐ Ð Ø Ø Þ Ð Þ Ð Ñ Ý Þ ½¼¼ ÑÓ ÙÐÖ º Î Ð Ö ÔÔ Ú Ø ÞÞ Ò Ý º½½º Ö Ò Ð Ø Ø ¼¼ ÑÓ ÙÐ Ð ÐÐ Ô ÓÐ Ñ ÐÝ Ø ÑÓ Ð ÓÖ ØÑÙ ÓØØ Ö Ñ ÒÝ Ð Ç¹ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Òº

µ ¹ ½ º ± µ ÅÓ ÙÐ ÓÖÓÞ Ø¹Ô Ö ½½ ½ º ± º º Ö º ÅÓ Ð ÓÖ ØÑÙ Ö Ð Ø Þ Ö ÒØ Ñ Ò Ñ Ð Þ Ð º º Ö º ÅÓ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ö Ð Ø Þ Ö ÒØ Ñ Ò Ñ Ð Þ Ð ¹ ½ ½ º ± ÒÝ Ø ØØ Ôµ µ ÆÓÖÑ ÐØ Ð Ò Ý Ð Þ ½ ¼º ± µ Ë ÖÓ ÞÓ ¹Ð Ø ½ º¼ ± º½¼º Ö º ËÞ ÑÙÐ ÐØ òø

º½½º Ö º ÅÓ Ð ÓÖ ØÑÙ Ö Ð Ø Þ Ö ÒØ Ñ Ò Ñ Ð Þ Ð Ç¹ ½¼¾ ±