KVANTITATÍV MÓDSZEREK

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet KVANTITATÍV MÓDSZEREK Példatár a Vezetés és Szervezés, Pénzügy és Műszaki menedzser mesterszakok számára Megoldások Dr. Kövesi János Erdei János Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter 0

Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítási alapok... Műveletek eseményekkel, klasszikus valószínűség meghatározás... Feltételes valószínűség... 4 Teljes valószínűség tétele... 6 Bayes-tétel... 0 Fa diagram... Események függetlensége... 4 II. Valószínűségi változó. Elméleti eloszlások... 8 Binomiális eloszlás... 8 Poisson-eloszlás... Exponenciális eloszlás... 4 Normális eloszlás... 7 III. Leíró statisztika... IV. Első- és másodfajú hiba... 40 V. Becslés... 4 VI. Hipotézisvizsgálatok... 5 Nemparaméteres próbák... 5 Paraméteres próbák... 59 Paraméteres és nemparaméteres feladatok... 7 VII. Kétváltozós korreláció- és regresszióelemzés... 76 VIII. Döntéselmélet... 8 Döntés bizonytalan körülmények között... 8 IX. Rang-módszerek alkalmazása... 9 X. Felhasznált irodalmak... 04

I. Valószínűségszámítási alapok Műveletek eseményekkel, klasszikus valószínűség meghatározás. Határozza meg az alábbi események valószínűségét! Egy szabályos kockát egyszer feldobva páratlan számot kapunk: Számunkra kedvező eset, az,, és 5-ös dobás. A lehetséges kimenetek száma hat, s ezek mindegyike azonos valószínűségű. A klasszikus valószínűség-számítást alkalmazva: /6, azaz / a keresett valószínűség. Egy szabályos érmét kétszer feldobva legalább az egyik dobás fej: A kísérlet lehetséges kimenetelei: ii, fi, if és ff. Mindegyik eset azonos valószínűséggel következik be. Számunkra kedvező eset,, így a keresett valószínűség: /4. Egy jól megkevert, 5 lapos francia kártya csomagból vagy egy ászt, vagy a káró 0-est, vagy a pikk -est húzzuk ki: A csomagból egyenlő valószínűséggel húzzuk ki a lapokat. A számunkra kedvező esetek száma 6 (4 ász, a káró 0 és a pikk ), így a keresett valószínűség: 6/5, azaz /6. Két szabályos kockával egyszerre dobva a kapott számok összege 7: Az összes lehetséges kimenetel 6. A számunkra kedvező esetek száma: 6 (+6, +5, +4, 4+, 5+, 6+). Annak valószínűsége tehát, hogy a dobott számok összege 7: 6/6 /6. Pókernél öt lapot kiosztva póker-t (4 azonos kártya) vagy flush-t (5 azonos színű kártya) kapunk kézbe osztáskor. A klasszikus valószínűség-meghatározás módszerével a kedvező és az összes lehetséges esetek hányadosa adja a kérdéses valószínűségeket. Az összes lehetőség, ahogy egy 5 5 lapos francia kártya csomagból 5 lapot kiválaszthatunk (5 alatt az 5), azaz 5.598.960 a kombinációk száma. Pókernél a kedvező esetek száma: különböző figura van, az egyik fajtából egyszerre mind a négyet meg kell kapnunk. Ez lehetőség. A maradék lapok közül (48 lap) bármelyiket kaphatjuk. Így a kedvező esetek száma: 48 64 kombinációban kaphatunk kézbe pókert. A póker valószínűsége: 64/598960 0,0004. Flush-nél a kedvező esetek száma: a kombinációk száma, ahogy egyszínű lapból 5 5 lapot kaphatunk (ez 87). Azonban bármelyik színből kaphatunk öt azonos színű lapot, így a kedvező esetek száma 4 87 548. A flush valószínűsége: 548/598960 0,0098. (Beleértve minden azonos színű lapkombinációt, azaz a pókerben külön megkülönböztetett royal flush-t is.). Egy kísérlet során feldobunk egy érmét és egy kockát. Ha az A esemény az, hogy az érme feldobásának eredménye fej lesz, B esemény pedig az, hogy a kockán levő szám vagy 6 lesz, fogalmazza meg a következő események jelentését: a) A : az érem feldobásának eredménye írás b) B : a kockán lévő szám,, 4 vagy 5

c) A + B: vagy fejet dobunk az érmével, vagy -ast vagy 6-ost a kockán, bármelyik bekövetkezhet, az A+B esemény teljesül d) A B : egyszerre teljesül, hogy az érmével fejet dobunk, a kockával pedig -ast vagy az érmével fejet dobunk és a kockával 6-ost e) AB) : annak a valószínűsége, hogy az eredmény egyszerre lesz fej és a kockán pedig,, 4 vagy 5. f) P ( A + B) : annak a valószínűsége, hogy az érmével írást dobunk vagy a kockával,, 4 vagy 5-öt. Feltételes valószínűség. Egy szállítmány 96%-a megfelel az előírásoknak, s ezek 75%-a első osztályú. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy találomra kiválasztott darab első osztályú? A{a termék első osztályú} B{a termék megfelelő} AB)A B) B)0,75 0,960,7, vagyis 7%.. Ha nagyon sok kétgyermekes család közül véletlenszerűen választunk egyet, és megtudjuk, hogy legalább az egyik gyermek leány, mekkora a valószínűsége annak, hogy van fiú is a családban? Egy kétgyermekes családban négy egyenlő valószínűségű eset fordulhat elő a gyermekek nemét illetően, mivel mind az első, mind a második gyermek egyenlő valószínűséggel lehet leány vagy fiú: Leány-leány Leány-fiú Fiú-leány Fiú-fiú A esemény: az egyik gyermek leány B esemény: van fiú a családban Feladat, hogy az A teljesülése mellett vizsgáljuk a B esemény valószínűségét. A B) B A) A) Az (A B) esemény a fenti 4 lehetőségből kétszer áll fenn, így A B)/4/0,5 Az A esemény, vagyis hogy legalább leány van a családban, a négy esetből háromszor teljesül: A)/4 4

A B) / 4 4 P ( B A) A) / 4 6 Tehát / a valószínűsége annak, hogy van fiú a kétgyermekes családban, ha tudjuk, hogy legalább az egyik gyermek leány.. Egy telefonfülke előtt állunk és várjuk, hogy az előttünk beszélő befejezze a beszélgetést. Az illető beszélgetési időtartama (τ) véletlen esemény, melyre érvényes a következő: τ < t) e a) Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a beszélgetés percnél tovább tart! b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a beszélgetés további percnél tovább tart, feltéve, hogy percnél tovább tartott? c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a beszélgetés t+ percnél tovább tart, feltéve, hogy t percnél tovább tartott? P τ e e a) ( ) e P τ 6 τ 6 b) ( ) e e t+ c) ( ) P τ t + τ t e t e e 4. Egy kockát kétszer feldobnak. Mennyi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 7 lesz? Elvégzik az első dobást. Eredményül páros szám adódott (ezt közölték velünk). Mekkora a valószínűsége ezek után annak, hogy a két dobás összege 7 lesz? Melyik valószínűség a nagyobb? Elsőre dobhatunk 6-féle értéket (-6 között), és ugyanez igaz a második dobásra is. Így az összes dobáslehetőség száma: 6 (n). Ebből a kedvező esetek száma, vagyis hogy a dobott számok összege 7 lesz: -6; -5; -4; 4-; 5-; 6-; azaz összesen 6 ilyen eset van (k). Így az k 6 első kérdésre a válasz: n 6 6 Az első dobás alapján kapott információ (páros lett az első dobás) a következő számpárok jönnek számításba: -i; 4-i; 6-i; ahol i a második feldobás eredményét mutatja, vagyis: i,,, 4, 5, 6. Így az összes lehetőség (n) száma: 8. Az összes lehetőségen belül a kedvező esetek száma, vagyis, hogy a két dobás összege 7 lesz: -5; 4-; 6-, vagyis összesen (k). k Így a második kérdésre a válasz: n 8 6 Látható, hogy az a közlés, hogy az első dobás eredménye páros szám lett, nem befolyásolta annak a valószínűségét, hogy a dobott számok összege 7 lesz. t 5

5. Egy lapos kártyacsomagból 4 lapot húzunk egymás után, visszatevés nélkül. Mennyi a valószínűsége, hogy az első kettő király, a harmadik felső, a negyedik pedig ász? Legyen A az az esemény, hogy az első húzás eredménye király; A legyen az az esemény, hogy a második is király; A az, hogy a harmadik húzás eredménye felső, végül pedig, A 4 legyen az az esemény, hogy a negyedik húzás eredménye ász. Visszatevés nélküli esetben: A A A A ) A ) A A ) A ( A A ) A ( A A A ) 4 4 0 4 4 9, 0 4 6. Valamilyen vegyszerrel szúnyogirtást végeztek. Azt tapasztalták, hogy az első permetezésnél a szúnyogok 80%-a elpusztult, az életben maradottakban azonban annyi ellenállóképesség fejlődött ki, hogy a második permetezés során már csak a szúnyogok 40%-a pusztult el. A harmadik irtás során a szúnyogok 0%-a pusztult már csak el. Mennyi a valószínűsége, hogy egy szúnyog három irtószer-alkalmazást túléli? Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy szúnyog még két irtószer-alkalmazást túlél, feltéve, hogy az elsőt túlélte? Legyen A i az az esemény, hogy a szúnyog az i-edik irtást túléli. Így a következő valószínűségeket ismerjük: P ( A ) 0, P ( A A) 0, 6 P A ( A A ) 0, 8 ( Az első kérdésre a válasz, vagyis, hogy mennyi a valószínűsége annak, hogy egy szúnyog három irtószer alkalmazását túléli, a fenti három valószínűség szorzataként adódik: 0, 0,6 0,8 0,096 A A A ) 0,096 P (( A A ) A ) 0,48 A ) 0, Teljes valószínűség tétele. Három urnában fehér és fekete golyók vannak elhelyezve. Az elsőben fehér és fekete; a másodikban fehér és 4 fekete; a harmadikban 4 fehér és 5 fekete golyó van. A kísérlet abban áll, hogy véletlenszerűen kiválasztunk egy urnát: legyen /, / és /6 rendre az első, a második és a harmadik urna kiválasztásának a valószínűsége. Ezután a kiválasztott urnából véletlenszerűen kihúzunk egy golyót úgy, hogy mindegyik golyó kihúzásának a valószínűsége egyenlő legyen. Mennyi annak a valószínűsége, hogy fehér golyót húzunk? Legyen B, B, B annak a valószínűsége, hogy az első, a második és a harmadik urnát választjuk ki. A legyen az az esemény, hogy fehér golyót húzunk ki. 4 6

B ) / B B ) / 6 A B ) /5 A B ) / ) / 7 A B ) 4/9 A) 5 + 7 + 4 9 0,47 6 Tehát 4,7% a valószínűsége annak, hogy fehér golyót húzunk.. Két urnában golyók vannak. Az egyikben 5 fehér és 4 piros, a másikban 5 piros és 7 fehér. Az egyik urnából kiveszünk két golyót. Feltételezve, hogy a két urna közül egyenlő valószínűséggel választunk, mennyi a valószínűsége annak, hogy mindkét golyó fehér színű lesz? Ugyanilyen feltételek mellett, mennyi a valószínűsége annak, hogy a kihúzott két golyó közül legalább az egyik fehér lesz? Legyen B az az esemény, hogy az első urnából húzunk, B pedig, hogy a másodikból. Az A esemény pedig jelentse azt, hogy mindkét golyó fehér. Feltétel: P ( B ) B) 5 4 7 6 P ( A B ) 0,77, ugyanígy P ( A B ) 0, 8 9 8 A teljes valószínűség tételét felhasználva: P ( A) 0,77 + 0,8 0, 975 Tehát 9,75% a valószínűsége annak, hogy mindkét kihúzott golyó fehér lesz. A második kérdés megválaszolásához C jelentse azt az eseményt, hogy a két golyó közül legalább egy fehér. A feltételes valószínűségek megállapításához az ellentétes eseményekből indulunk ki, vagyis megnézzük, hogy mi a valószínűsége az egyik, illetve a másik urna esetében, hogy egyik kiválasztott golyó sem lesz fehér (vagyis mindkettő piros lesz), és az eredményt kivonjuk egyből. 4 5 5 4 8 P ( C B ), ugyanígy P ( C B ) 9 8 6 A teljes valószínűség tételét felhasználva a keresett valószínűség: 5 8 P ( C) + 0,84 6 84,% a valószínűsége annak, hogy a kihúzott golyók közül legalább az egyik fehér lesz.. Azonos fajta autórádió előlapokból két tételünk van. Az első tétel 6, a második darabból áll. Mindkét tételben egy-egy hibás darab van. Az első tételből egy 7

véletlenszerűen kiválasztott darabot átteszünk a másodikba. Ezután a második tételből választunk egyet találomra, és ezt megvizsgáljuk. Mi a valószínűsége annak, hogy ez a darab selejtes? Jelentse A esemény azt, hogy a második tételből selejtest húzunk. Jelentse B azt, hogy az első tételből jót, B pedig azt, hogy hibásat tettünk át a másodikba. Ezeknek a valószínűségei: 5 P ( B ) ; B ) 6 6 Ha B következett be, akkor a második tételben darabból csak egy selejtes van, és az A esemény feltételes valószínűsége: P ( A/ B ) ; ha viszont B következett be, akkor két selejtes darab van a második tételben, így ebben az esetben a feltételes valószínűség: P ( A B ). Alkalmazzuk a teljes valószínűség tételét: 5 P ( A) A B ) B ) + A B ) B ) + 6 6 0,04 Vagyis,4% a valószínűsége annak, hogy a második tételből selejtest húzunk. 4. Mikrohullámú sütők forgótányérjának kísérleti gyártását végzik egy gyárban. Három tétel mikrohullámú sütő készül el. Az első két tétel a teljes mennyiség egy-egy negyedét, a harmadik tétel pedig a felét adja. A minőségellenőrzés során kiderül, hogy az előírt működési óraszámot az első tétel %-a, a másodiknak %-a, a harmadiknak 8%-a éri el. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy találomra kiszemelt mikrohullámú sütő az előírt ideig működik? A az az esemény, hogy a mikrohullámú sütő forgótányérja az előírt ideig üzemel. B, B és B jelentse azt, hogy a kiválasztott darab az első, a második vagy a harmadik tételből való. A B i események valószínűségei rendre: P B ) ; B ) ; B ) 4 4 ( Felírjuk az A eseménynek a B i feltételek melletti valószínűségét, vagyis azt, hogy az egyes tételekből választott forgótányérok milyen valószínűséggel működnek a megfelelő ideig: P ( A B ) /00; A B ) /00; A B ) 8/00 A teljes valószínűség tételét alkalmazva: 8

P ( A) i A B ) i B i ) 4 00 + 4 00 + 8 00 00 + 400 + 4 00 Vagyis,5% a valószínűsége annak, hogy hibátlan darabot választunk. 0,5,5% 5. Egy műhelyben három műszakban termelnek azonos fajta árut. Egy napon az összes termelt áruból az első műszakban 40%, a másodikban és a harmadikban 0-0% készült. Az első műszakban készült áruk 5%-a, a másodikban gyártottak 7%-a, a harmadikban termeltek 0%-a hibás. A három műszakban elkészült teljes mennyiségből a minőségellenőr találomra kiválaszt egy darabot, és megvizsgál. Mennyi a valószínűsége, hogy ez hibátlan? Legyen A az az esemény, hogy a találomra kiválasztott darab hibátlan. B, B, és B pedig jelentse azt, hogy a kiválasztott darab az első, a második, illetve a harmadik műszakban került legyártásra. Ezen események valószínűsége: P ( B ) 0,4 P ( B ) 0, P ( B ) 0, Felírjuk az A eseménynek a B i események melletti feltételes valószínűségeit: P ( A B ) 0,05 0,95 P ( A B ) 0,07 0, 9 P ( A B ) 0, 0, 9 Végül alkalmazzuk a teljes valószínűség tételét: P ( A) 0,4 0,95 + 0, 0,9 + 0, 0,9 0,99 9,9% a valószínűsége annak, hogy kiválasztott darab hibátlan lesz. 6. Egy egyetemi évfolyamon végzett felmérésből tudjuk, hogy a női hallgatók 60%-a, a férfi hallgatók 40%-a dohányzik. Valaki így okoskodik: Ha egy személyt véletlenszerűen kiválasztunk, az a személy vagy nő, vagy férfi. A két esemény egymást kizárja. Annak a valószínűsége tehát, hogy a kiválasztott személy dohányzik, egyenlő a 0,6 és 0,4 valószínűségek összegével, tehát -gyel. Hol a hiba? A hiba ott van, hogy az adott 0,6 és 0,4 valószínűségek csak feltételes valószínűségek, mégpedig, ha A azt jelenti, hogy a kiválasztott személy dohányzik, B azt, hogy az illető nő, B pedig, hogy férfi, akkor: P ( A B ) 0,6 és P ( A B ) 0, 4, és az A valószínűségét a teljes valószínűség tétele mellett a P A) A B ) B ) + A B ) ) képlet adja meg. A feladatmegoldó a B és B ( B valószínűségekről feledkezett meg. 7. Egy irodában munkatárs dolgozik párhuzamosan azonos típusú ügyiratok intézésén. Az első naponta 0 aktával végez, a második napi 5, a harmadik napi 5 aktával. Az egyes munkatársaknál naponta átlagosan 0,; 0,9; 0,5 db hibásan kezelt ügyirat található. Az összesített napi mennyiségből találomra kiveszünk egy aktát. Mekkora a valószínűsége, hogy az akta hibás? A {az akta hibás} B az. munkatárs intézte B a. munkatárs intézte B a. munkatárs intézte 9

B ) 0/50 0, B ) 5/50 0, B ) 5/50 0,5 A B ) 0,/0 0,0 A B ) 0,9/5 0,06 A B ) 0,5/5 0,0 A) 0, 0,0 + 0, 0,06 + 0,5 0,0 0,04 8. Három műszak azonos terméket gyárt. Egy adott napon az összes termékből az I. műszakban 40%, a II. és III. műszakban 0-0% készült. A selejtarányok az egyes műszakokban: I. műszak 5%, II. műszak 7%, III. műszak 0%. A napi termelésből a MEO egy darabot kiválaszt. Mekkora a valószínűsége, hogy az hibátlan? P ( B ) 0,4 P ( B ) 0, P ( B ) 0, P ( A B ) 0,95 P ( A B ) 0, 9 P ( A B ) 0, 90 P ( A) 0,4 0,95 + 0, 0,9 + 0, 090 0,99, vagyis 9,9% a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott darab hibátlan. Bayes-tétel. 0 azonos alakú doboz közül az első 9-ben 4-4 golyó van, mégpedig fehér és kék. A tizedik dobozban 5 fehér és kék golyó van. Az egyik találomra kiválasztott dobozból véletlenszerűen kiveszünk egy golyót. Mi a valószínűsége annak, hogy ez a tizedik dobozból való, ha a kivett golyó fehér? Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy fehéret húztunk. B j -vel jelöljük azt, hogy a j-edik dobozból választottunk. Ezeknek a valószínűsége azonos: B j )/0. Az A esemény B j feltétel melletti feltételes valószínűségére a következő áll fenn: A/B j )/, ha j,, 9 A/B 0 )5/6 P ( B A) A B0 ) B0 ) 0 A B ) B ) j 5 6 (9 0 0 + 5 ) 6 5 6 9 5 + 6 0 j j Tehát 5,65% a valószínűsége annak, hogy egy fehér golyót éppen a 0. dobozból húzunk. Másik megoldás: Az A ismét az az esemény, hogy fehéret húzunk. B jelentse azt, hogy a kilenc egyforma közül húzunk (bármelyikből), B pedig jelentse azt, hogy a 0.-ből húzunk. Így B )9/0; B )/0. A/ B )/, A/ B )5/6. Innentől a megoldás menete ugyanaz.. Egy forgácsoló üzemben elkészült munkadarabok 96%-a felel meg a súlyszabványnak. A minőségellenőrzés során az elkészült munkadarabok egy részét megvizsgálták, a súly szempontjából szabványos darabok 98%-a bizonyult alakra jónak, a nem szabványos 5 0

súlyú darabokból pedig 5%-ot nyilvánítanak alakra jónak. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy darab, amely a minőségellenőrzésen alakra jónak bizonyult, megfelel a súlyszabványnak? A az az esemény, hogy a munkadarab alakra jónak bizonyul. Legyen B az az esemény, hogy a vizsgált darab súlya szabványos, a B pedig, hogy a darab súlya nem szabványos. A feladatban adott valószínűségek: B ) 0,96 B A B ) 0,98 A B ) 0,04 ) 0,05 A B esemény valószínűségét keressük az A esemény teljesülése esetén. Ezt a feltételes valószínűséget a Bayes-tétellel számoljuk ki: A B ) B ) 0,98 096 P ( B A) 0,998 A B ) B ) + A B ) B ) 0,98 0,96 + 0,05 0,04 Tehát 99,8% a valószínűsége annak, hogy a minőségellenőrzésen alakra jónak bizonyult darab súlya megfelel a szabványnak.. Egy biológiai kísérlet során 00 egyedet három 0, 0 ill. 50 egyedből álló csoportokra osztanak. Az első csoport egyedeit gyenge, a másodikét közepes, a harmadikét erős hatóanyaggal oltják be. A csoportokat ezután külön tárolják. Az oltás hatására az első csoportból, a másodikból 0, a harmadikból pedig 9 megy keresztül valamilyen változáson. Ezután a csoportok elkülönítését megszüntetik. Ha az összes egyedből egyet találomra kiválasztunk és ennek vizsgálata azt mutatja, hogy nem ment keresztül változáson, akkor mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott egyed a második csoportból való? A az az esemény, hogy a kiválasztott egyed nem megy keresztül változáson. A B j azt jelenti, hogy a kiválasztott egyed a j-edik csoportból való. 0 0 50 B ) ; B ) ; B ) 00 00 00 7 A B ) ; A B ) ; A B ) 0 50 0 A B ) B ) B ) 00 A 7 0 0 A B ) ( ) + + j P B j 0 00 00 50 j 50 00 0 48 5 4,67% Tehát 4,67% annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott egyed a második csoportból való.

4. Tudjuk, hogy egy gyakorlaton résztvevő 8 lövész négy csoportba sorolható úgy, hogy közülük öten 0,8, heten 0,7, négyen 0,6, és ketten 0,5 valószínűséggel találnak a céltáblára. Véletlenül meglátunk közülük egy lövészt, aki egy lövést ad le, de ez nem talál a céltáblára. Melyik csoporthoz tartozik a legnagyobb valószínűséggel a lövész, és mennyi ez a valószínűség? A legyen az az esemény, hogy a lövész nem talál a céltáblára. A B i esemény legyen az, hogy a lövész az i-edik csoportba tartozik: 5 7 4 P ( B ) P ( B ) P ( B ) P ( B 4 ) 8 8 8 8 Az A esemény B i események melletti feltételes valószínűsége: P ( A B ) 0, P ( A B ) 0, P ( A B ) 0, 4 P ( A B4 ) 0, 5 A B i események A feltétel melletti feltételes valószínűségét Bayes tételével számoljuk ki. A Bi ) Bi ) P ( Bi / A) 4 A B ) B ) j j j E fenti valószínűségek (i,,, 4) közül a legnagyobbat keressük. 5 0 A B ) B ) 0, 8 80 7 A B ) B ) 0, 8 80 4 6 A B ) B ) 0,4 8 80 0 A B4 ) B4 ) 0,5 8 80 Azt kaptuk, hogy a másodiknak a legnagyobb a számlálója. Így a B eseménynek az A feltétel melletti feltételes valószínűsége: A B ) B ) 80 P ( B A) 4 0 6 0 57 A B ) ( ) + + + j P B j 80 80 80 80 j Tehát a találomra kiválasztott lövész a legnagyobb valószínűséggel a második csoportból való, és ez a valószínűség: 7/9. 5. Egy üzemből kikerülő áru 75% valószínűséggel I. osztályú. A készterméket megvizsgálják. Annak valószínűsége, hogy a vizsgálat során az I. osztályú terméket nem I. osztályúnak minősítik %. Annak a valószínűsége, hogy egy nem I. osztályú terméket I. osztályúnak minősítenek 5%. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy olyan termék, amelyik egy vizsgálat során I. osztályú minősítést kapott, valóban I. osztályú? 7 9

A{a termék I.o. minősítést kap} B {a termék I.o.} B)0,75 A B)0,98 B {a termék nem I.o.} B)0,5 A B)0,05 0,98 0,75 P ( B A) 0,98, vagyis 98,% a valószínűsége. 0,98 0,75 + 0,05 0,5 6. Egy folyóban bekövetkező halpusztulásért ipari üzem lehet felelős. Tapasztalatok szerint a mérgező anyag kibocsátásának valószínűsége az egyes üzemeknél: 0%, 50% és 0%. A mérések szerint az egyes üzemek szennyvízkibocsátása esetén a halpusztulás valószínűsége: 60%, 5% és 5%. Mennyi a halpusztulás valószínűsége? Mekkora bírságot rójon ki a 500 000 Ft-os halkárért a bíróság az egyes cégekre, ha nem ismert a szennyezés kibocsátója? B i {az i-edik üzemet terheli a felelősség} (A B i ){halpusztulás következett be, feltéve, hogy B i volt a szennyező} B )0, B )0,5 B )0, A B )0,6 A B )0,5 A B )0,5 A)0, 0,6+0,5 0,5+0, 0,50,7 B A)0,44 B A)0,8 B A)0,8 A 500 000 Ft-os halkáron ezekben az arányokban osztoznak: az első üzem,mft-ot, a másik kettő pedig 700-700 ezer Ft-ot fizet. Fa diagram. Egy multinacionális vállalat nagyszámú végzős hallgatót vesz fel minden évben, s az első évben különböző tréning ill. oktatási programokat szervez számukra. Az új belépők 0%-a egy általános menedzsment programon, 0%-a MBA programon és a többiek vállalati belső tréningeken vesznek részt. Az elmúlt tíz év adatait feldolgozva azt találták, hogy az MBA-re járók 60%-a, az általános menedzsment programon résztvevők 0%-a, míg a belső tréningeken résztvevőknek csak 5%-a került menedzseri pozícióba. a) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy egy véletlenül kiválasztott belépő a következő tíz évben menedzseri beosztást kap! b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy egy már tíz éve a vállalatnál dolgozó menedzser MBA képzésre járt az első évben!

6 menedzser 0 fő ált. men. program 4 beosztott 00 belépő 0 fő MBA program 60 fő belső tréning 6 menedzser 4 beosztott menedzser 57 beosztott a.) 00-ból 5 fő kap összesen menedzseri beosztást, 5% a valószínűsége. b.) A 5 menedzserből 6-an jártak MBA képzésre, 6/5 40% a valószínűsége, hogy MBA-re járt. Események függetlensége. Ketten lőnek céltáblára. A találat valószínűsége az első személy esetében 0,7; a második esetében 0,6. A találatok egymástól függetlenek. Ha mindketten egy-egy lövést adnak le, mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább egy találat van a céltáblán. Legyen A az az esemény, hogy az első személy talál, és B jelentse azt, hogy a második találatot ér el. Az (A+B) esemény azt jelenti, hogy legalább egy találat van a céltáblán. Ennek a valószínűségére vagyunk kíváncsiak és felhasználjuk azt is, hogy az A és B események függetlenek: A + B) A) + B) A B) A) + B) A) B) 0,7 + 0,6 0,7 0,6, 0,4 0,88 Tehát 0,88 a valószínűsége annak, hogy a céltáblán legalább egy találat van.. Két, egymástól függetlenül dolgozó szerszámgépen azonos fajta alkatrészeket gyártanak. Az első gépen 0,8, a második gépen 0,7 valószínűséggel kapunk első osztályú alkatrészeket, az ugyanazon a gépen gyártott alkatrészek is függetlenek egymástól. Az első gép gyártmányaiból, a második gép gyártmányaiból pedig alkatrészt választunk találomra és megvizsgáljuk őket. Mennyi a valószínűsége annak, hogy mind az 5 első osztályú? Legyen A a szóban forgó esemény. A függetlenség alapján P ( A) 0,8 0,7 0,5 Tehát 5,% a valószínűsége annak, hogy a vizsgált alkatrészek mind első osztályúak. 4

. Két dobozban golyók vannak, amelyek csak színeikben különböznek. Az első dobozban 5 fehér, fekete és 8 piros, a másodikban 0 fehér, 8 fekete és 6 piros golyó van. Mindkét dobozból találomra kiveszünk egyet. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a két kiválasztott golyó azonos színű? Legyen A az az esemény, hogy a két kiválasztott golyó azonos színű. A két húzás egymástól független. Háromféle, egymást kizáró esemény összegeként adódik az A, mégpedig úgy, hogy vagy mindkét dobozból fehéret, vagy mindkét dobozból feketét, vagy mindkét dobozból pirosat húzunk. Így az A esemény valószínűsége: 5 0 8 8 6 P ( A) + + 0, 4 4 4 4 4 4 Tehát % annak a valószínűsége, hogy a két dobozból azonos színű golyót húzunk. 4. Három szabályos kockát dobunk fel egyszerre. Mennyi a valószínűsége annak, hogy mindhárom kockán a felülre kerülő pontérték legalább öt? Jelöljük a vizsgált eseményt A-val. Egy kocka esetén az 5-ös és a 6-os dobás valószínűsége külön-külön /6. Ezek a lehetőségek egymást kizárják, így annak a valószínűsége, hogy egy kockával 5-öst vagy 6-ost dobunk a két esemény összegének a valószínűsége: /. A három kockán kapott pontértékek egymástól függetlenek. Annak valószínűsége, hogy az A esemény következik be, azaz a kockák mindegyikén az 5-ös vagy 6-os pontértékek valamelyike kerül felülre, a független események szorzatára vonatkozó összefüggés alapján: P ( A), így /7 annak a valószínűsége, hogy legalább öt a felül látható pontérték 7 az egyes kockákon. 5. Frici és Gizi a következő feltételek mellett játszanak önálló játszmákat. Frici kezdi a játékot, és 0, valószínűséggel nyerhet az első játszmában. Ha nem nyeri meg az első játszmát, akkor Gizi következik és ebben a második játszmában 0,5 valószínűséggel győzhet. Ha győz, akkor a játéknak vége. Ha azonban Gizi veszít, akkor ismét Frici következik, és 0, valószínűséggel nyerheti meg a harmadik játszmát. Ha Frici a harmadik játszmában veszít, a játék döntetlenül ér véget. Melyik játékosnak van nagyobb esélye a győzelemre a játékban? Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy Frici nyeri a játékot, és B-vel azt az eseményt, hogy Gizi a győztes. Az egyes játszmák eredményeit független kísérletek eredményeinek tekintjük, így együttes bekövetkezésük valószínűsége az egyes események valószínűségének a szorzata. Ezek alapján A valószínűsége: P ( A) 0, + 0,7 0,5 0, 0, + 0,07 0,7 5

A B esemény úgy jön létre, hogy Frici az első játszmában veszít, Gizi pedig a másodikban győz. Ezek az események is függetlenek, és B valószínűségét így valószínűségeik szorzata adja: P ( B) 0,7 0,5 0,5 Az A esemény valószínűsége nagyobb, mint a B-é, így a két játékos közül Frici esélye nagyobb a győzelemre. 6. Két kockával dobunk. Jelentse A azt az eseményt, hogy az első kockával párost dobunk, B azt az eseményt, hogy a második kockával páratlant dobunk és C azt az eseményt, hogy mindkettővel párost, vagy mindkettővel páratlant dobunk. A, B és C események teljesen függetlenek-e? Három (vagy több) esemény függetlenségéhez a páronkénti függetlenségen túl a teljes függetlenségnek, azaz a A B C) A) B) C) összefüggésnek is teljesülnie kell. A {első kockán páros szám az eredmény} A) /6 / B {második kockán páratlan az eredmény} B) /6 / C {mindkettőn párost vagy mindkettőn páratlant dobunk} C) 8/6 / A B {az elsőn páros és a másodikon páratlan az eredmény} AB) 9/6 /4 A C {elsőn páros és a másodikon is páros} AC) 9/6 /4 B C {másodikon páratlan és az elsőn is páratlan} BC) 9/6 /4 A B C {első páros, a második páratlan és mindkettő páros vagy páratlan} { } ABC) 0 AB) A) B) / / /4 AC) A) C) / / /4 BC) B) C) / / /4 Tehát a páronkénti függetlenség teljesül, de a teljes függetlenség nem, ABC) 0 A) B) C) /8, így a három esemény nem független egymástól. 7. Az éves bérek vizsgálata során, egy felmérés eredményeként az alábbi adatokat kaptuk. Éves bér < 6000 6000-0000 > 0000 Összesen Férfi 0 50 80 60 Nő 50 50 40 40 Összesen 80 00 0 00 a) Tegyük fel, hogy a nem és az éves bér függetlenek egymástól. Határozza meg, s fa diagramon ábrázolja az egyes események valószínűségeit! 00 esetet feltételezve számolja ki az esetek várható számát! b) Határozza meg a valószínűségeket a függetlenség feltételezése nélkül, a tapasztalati adatoknak megfelelően! c) Vizsgálja meg a függetlenséget a függetlenség definícióját felhasználva! 6

a.) A {férfi}, A {nő} B { 6000-nál kisebb a fizetés} B { 6000 és 0000 között van a fizetés} B { 0000 felett van a fizetés} A ) 60/00, A ) 40/00 B ) 80/00, B ) 00/00, B ) 0/00 4,67 fő < 6000, B A ) 0,4 60 férfi 5, fő 6000-0000, B A ) 0,778 00 dolgozó 64,0 fő > 0000, B A ) 0, 7, fő < 6000, B A ) 0,44 40 nő 46,67 fő 6000-0000, B A ) 0,556 56,0 fő > 0000, B A ) 0,867 b.) B A ) 0/00 0, B A ) 50/00 0,667 B A ) 80/00 0,667 B A ) 50/00 0,667 B A ) 50/00 0,667 B A ) 40/00 0, Látható, hogy a valószínűségek, illetve a számolt és a tényleges létszámok jelentősen eltérnek egymástól, ami azt valószínűsíti, hogy az a.) pontban feltett hipotézisünk (a függetlenség) nem igaz. c.) A és B függetlensége: A B ) 0/00 0, A ) B ) 60/00 80/00 /5 A és B függetlensége: A B ) 5/0 0,667 A ) B ) 7/5 4/5 8/5 és így tovább Az előző feladathoz hasonlóan a teljes függetlenséghez az összes párt és az együttes bekövetkezéseket is vizsgálni kellene, de mint látható már az A, B illetve az A, B események sem függetlenek egymástól. 7

II. Valószínűségi változó. Elméleti eloszlások Binomiális eloszlás. Valaki találomra kitölt egy totószelvényt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az első hét mérkőzéshez az,, x lehetőségek közül legalább 5 helyre egyest választ? Legyen A az az esemény, hogy a szelvényt kitöltő egy mérkőzéshez -est ír. A) p / így A) q p / / A ξ valószínűségi változó jelentse az n7 db mérkőzéshez beírt egyesek számát. p k ξ n k) k n k k 7 k k 7 k ( p) ( q) ( k 0,,...,7 ) Az az esemény, hogy az első hét mérkőzéshez legalább öt helyre -es kerül három, egymást kizáró esemény összegeként fogható fel: vagy öt, vagy hat, vagy hét helyre ír egyest a fogadó. Ezek a valószínűségek a binomiális eloszlás táblázatának segítségével (n7; p0, és 0,5 értékeit átlagolva (vagy egyszerűen a 0,5-höz tartozó értéket alapul véve); k5,6,7) a következők: p 5 + p6 + p7 0,058 + 0,006 + 0,0004 0,04 Tehát kb. 4,% a valószínűsége annak, hogy legalább öt helyre -es kerül.. Mennyi a valószínűsége annak, hogy ha egy családban 0 gyerek születik, akkor közülük éppen öt fiú lesz? Annak az eseménynek a valószínűsége, hogy fiú születik legyen az A esemény. p ( A ) p / A leány születésének valószínűsége: p ( A) p q / A ξ valószínűségi változó jelentse az n0 gyermek közül a fiúk számát. Annak az eseménynek a valószínűsége, hogy a ξ5: p 5 0,46 4,6% (binomiális eloszlás táblázata: n0, p0,5, k5) 8

. Egy üzemben elektromos biztosítékokat gyártanak. A tapasztalat szerint átlagban ezek 5%-a hibás. Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy 0 darab véletlenszerűen kiválasztott biztosíték között a) nincs selejtes, b) legalább egy selejtes van, c) nincs -nél több selejtes! p0,5 Annak a valószínűsége, hogy 0 kiválasztott darab között nem lesz selejtes: 0,969 (táblázatban: p0,5; n0; k0) Annak a valószínűsége, hogy 0 kiválasztott darab között legalább egy selejtes van (vagyis vagy annál több): ezt úgy is értelmezhetjük, mint azt a valószínűséget, amely a 0 darab közötti 0 selejt ellentett eseménye: -0,9690,80 Annak a valószínűsége, hogy nincs -nél több selejtes, vagyis 0 vagy selejtes van a 0 között: 0,969+0,4740,544 (táblázat alapján p0,5; n0; k0,) 4. Fej vagy írás játékkal kapcsolatos két eseményt tekintünk. Az egyik esemény: négy dobásból fej, a másik: nyolc dobásból 5 fej. Állapítsuk meg, hogy melyik esemény valószínűsége nagyobb szabályos pénzdarab használata esetén! Legyen A az az esemény, hogy négy dobásból a fej, és B pedig, hogy nyolc dobásból 5 a fej. Egy dobás esetén a fej dobásának valószínűsége: p/ A)0,5 (táblázatból: p0,5; n4; k) B)0,88 Tehát nagyobb az esélye annak, hogy négy dobásból háromszor dobunk fejet, mint annak, hogy nyolc dobásból ötször. 5. Egy biztosító társaság egyetemistáknak kínál gépkocsi biztosításokat, s a korábbi évek tapasztalatai szerint a biztosítottak %-a okozott balesetet. Feltételezve, hogy nem változtak meg a körülmények, mekkora a valószínűsége, hogy az adott biztosítónál szerződött 00 egyetemista közül legfeljebb 5 okoz balesetet ebben az évben? A feladat binomiális eloszlás közelítése Poisson-eloszlással, mivel p elég kicsi, és n elég nagy. p0,0 n00 Így a Poisson-eloszlás paramétere: λ n p 00 0,0 9 Most már csak a Poisson táblázatból kell a megfelelő értékeket kikeresni: a legfeljebb 5 egyetemista okoz baleset, az azt jelenti, hogy vagy 0, vagy, vagy, vagy, vagy 4 vagy 5: p 0 +p +p +p +p 4 +p 5 0+0,00+0,005+0,05+0,0+0,060 0,4, vagyis,4% a valószínűsége annak, hogy a szerződött 00 egyetemista közül legfeljebb 5 okoz balesetet. 9

6. Tegyük fel, hogy korábbi évek tapasztalatai alapján egy ügynök általában minden 5. érdeklődőnek tud eladni egy adott terméket. Egy átlagos héten 0 érdeklődővel beszél. Mennyi a heti eladás várható értéke? Mekkora a heti eladás szórása? Az ügynök külön prémiumot kap, ha egy héten 8-nál több terméket ad el. Mekkora ennek a valószínűsége? p0, M ( ξ ) n p 0 0, 4 D( ξ ) n p ( p) 0 0, 0,8,788 A harmadik kérdés megválaszolásához a binomiális táblázatra van szükségünk: n0, p0,; a k>8 valószínűségeket kell összeadnunk: p 9 +p 0 +p +p 0,0074+0,00+0,0005+0,0000,00 (mivel az összes többi valószínűség a táblázatban 0). 7. Az UEFA szigorú előírásai alapján állít elő a Minőségi Bőr Kft. labdarugó labdákat 500 darabos tételekben. Az átadás-átvételi eljárás során két előírás szerint járhatunk el: a) két 0 darabos mintában egyetlen hibás darab sem lehet, b) három 0 darabos mintában mintánként legfeljebb darab selejtes lehet. c) Melyik eljárást választaná az UEFA és melyiket a Minőségi Bőr Kft. helyében, ha a selejtarány várhatóan 5 %? a) ξ 0) p0 0, 5987 0,5987 0,584 UEFA b) P ( ξ 0) p 0 0, 585, P ( ξ ) p 0, 774 p 0 +p 0,759 0,759 0,4 Kft. 8. Mekkora véletlen visszatevéses mintát kell vennünk % selejtet tartalmazó terméktételből, ahhoz, hogy a mintába 95% valószínűséggel legalább egy selejtes termék is kerüljön? ξ a selejtes termékek száma ξ ) 0,95 Vizsgáljuk az ellentett esemény valószínűségét: ξ<)<0,05. Ez egyféleképpen teljesülhet, ha ξ0, aminek a valószínűségét a binomiális eloszlás valószínűség-eloszlás függvényével n 0 n tudjuk kiszámítani: p 0 0,0 0,99 < 0, 05. Ebből n-t kifejezve n>98,07, azaz n99. 0 9. Egy hagyományos repülőgépet négy egymástól független motor hajt. Hosszútávú vizsgálatok azt mutatják, hogy egy motor repülés közbeni meghibásodásának valószínűsége 5%. A repülőgép még be tudja fejezni az utat, ha motor működik. Mekkora a valószínűsége egy adott repülőúton, hogy a) nem történik motor hiba? b) legfeljebb motor hiba történik? c) motorhiba miatt lezuhan a gép? 0

a) n4, k0, p0,05 p 0 0,845 b) vagy 0 vagy motorhiba történik: p 0 +p 0,845+0,750,986 c) ez azt jelenti, hogy legalább meghibásodás történik, vagyis vagy, vagy, vagy 4 meghibásodás áll elő: p +p +p 4 0,05+0,0005+00,04 Poisson-eloszlás. Kalácssütéskor kg tésztába 0 szem mazsolát tesznek. Mennyi a valószínűsége, hogy egy 5 dkg-os szeletben kettőnél több mazsolaszem lesz? (Feltételezzük, hogy a mazsolák száma Poisson-eloszlást követ.) Egy 5 dkg-os tésztába átlagosan 0/0, azaz,5 mazsolaszem (λ) jut. Annak a valószínűségét, hogy a mazsolaszemek száma -nél nagyobb úgy fogjuk kiszámítani, hogy kikeressük a Poisson-eloszlás táblázatából, hogy mennyi a valószínűsége annak, hogy (k) 0, és mazsola van benne, majd e valószínűségek összegét kivonjuk egyből: P- (0,+0,4+0,5)0,9 Tehát 9,% a valószínűsége annak, hogy az 5 dkg-os szeletben kettőnél több mazsola van.. Egy nyomdai korrektúrában 400 oldalon átlagosan 400 sajtóhiba van. A tapasztalat szerint egy anyagrészben lévő hibák számának eloszlása csak az anyagrész hosszától függ. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy találomra kiemelt oldalon legalább három sajtóhiba van? A ξ valószínűségi változó az egy oldalon lévő sajtóhibák számát veszi fel. A ξ valószínűségi 400 változó Poisson-eloszlású, paramétere az egy oldalra eső hibák várható értéke: λ 400 Annak az eseménynek a valószínűségét, hogy egy oldalon legalább három sajtóhiba van, az ellentett események valószínűségei közötti összefüggéssel számítjuk ki. Háromnál kevesebb sajtóhiba egy kiszemelt oldalon úgy következhet be, hogy a ξ valószínűségi változó 0, és értéket veszi fel. Ezek az esetek kizárják egymást, így összegük valószínűsége: p 0 +p +p. Ezek a valószínűségek a Poisson-eloszlás táblázatból kikereshetők (λ, k0,, ) ξ )-(p 0 +p +p )-(0,67+0,67+0,8)0,08. Egy augusztusi éjszakán átlagosan 0 percenként észlelhető csillaghullás. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy negyedóra alatt két csillaghullást látunk? (Feltételezzük, hogy a csillaghullások száma Poisson-eloszlást követ.) Ha 0 percenként átlagosan csillaghullás érzékelhető, akkor 5 percenként,5 lesz az átlagos csillaghullás, vagyis λ,5. Annak valószínűsége, hogy ezalatt az idő alatt két csillaghullást látunk: P0,5 (táblázatból: λ,5; k)

4. Egy elektronikus műszer 000 alkatrészből áll. Egy alkatrész a többitől függetlenül 0,00 valószínűséggel romlik el egy év alatt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább két alkatrész romlik el egy év alatt? Tulajdonképpen binomiális eloszlással kellene számolnunk. Mivel azonban az alkatrészek száma (n000) elég nagy (n>0), a p0,00 valószínűség pedig nagyon kicsi, így bevezetjük a λ n p 000 0,00 paramétert, és a binomiális eloszlás tagjait a megfelelő Poissoneloszlásból kapott tagokkal közelítjük. A legalább két alkatrész elromlási eseményének ellentettje, hogy kettőnél kevesebb alkatrész romlik el, vagyis hogy vagy 0, vagy alkatrész romlik el. Ezek az esetek egymást kizárják, és összegük valószínűségét ezek valószínűségének összege adja: p + p 0,67 + 0,67 0,74 (Poisson-eloszlás táblázatból, λ, k0,) 0 Így a legalább két alkatrész meghibásodásának valószínűsége: ( p 0 + p ) 0,74 0,66 Tehát kb. 6,6% a valószínűsége annak, hogy a műszer alkatrészei közül legalább kettő elromlik egy év alatt. 5. Egy telefonközponthoz 600 előfizető tartozik. Tegyük fel, hogy 0,005 a valószínűsége annak, hogy valamelyik előfizető egy meghatározott órában kapcsolást kér. Mennyi a valószínűsége annak, hogy abban az órában épp 4 előfizető kér vonalat? Itt is binomiális eloszlással kellene számolnunk, de n600 elég nagy és p0,005 pedig elég kicsi ahhoz, hogy a binomiális eloszlást a Poisson-eloszlással közelítsük. λ n p 600 0,005 p 4 0,68 (Poisson-eloszlás táblázatból: λ, k4) Tehát 6,8% a valószínűsége annak, hogy az adott órában éppen 4 előfizető kér kapcsolást. 6. Egy orsózógépen 00 munkaóra alatt átlagosan szakadás következik be. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy ilyen időtartam alatt a szakadások száma túllépi az átlagot? (A szakadások Poisson-eloszlás szerint következnek be.) A vizsgált időtartam alatt bekövetkező szakadások száma legyen a ξ valószínűségi változó értéke. Ez Poisson-eloszlású, paramétere a vizsgált időtartam alatti szakadások átlagos száma, vagyis. λ M ( ξ )

Itt is fordítva gondolkodunk. A kérdés az, hogy mi a valószínűsége, hogy -nál több szakadás következik be. Ennek ellentettjét könnyebb számolni, vagyis annak a valószínűségét keressük, hogy vagy annál kevesebb szakadás következik be. A Poisson-eloszlás táblázatának segítségével már csak ki kell keresni az értékeket (λ; k0,,, ) p 0 + p + p + p 0,049 + 0,49 + 0,4 + 0,4 0,646 Így annak a valószínűsége, hogy -nál több szakadás következik be: p ( ξ ) p( ξ < ) 0,646 0,54 Vagyis 5,4% a valószínűsége annak, hogy a szakadások száma 00 óra alatt meghaladja a - at. 7. Egy készülék meghibásodásainak átlagos száma 0000 működési óra alatt 0. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a készülék 00 működési óra alatt nem romlik el! 0 0000 működési óra alatt 0 meghibásodás M ( ξ ) λ 00 0, 0000 k0-nál és λ0,-nél a táblázatból P ( ξ 0) 0,887 8. Egy készülék szavatossági ideje egy év. A készülék 000 darab azonos, különlegesen megbízható elemet tartalmaz, amelyek a szavatossági idő alatt egymástól függetlenül 0,0005 valószínűséggel romlanak el. A szavatosság alapján a gyártó vállalat az egy éven belül bekövetkezett meghibásodások javítására esetenként a teljes ár /4 részét fizeti vissza. Ha a javítások száma az év során eléri az ötöt, akkor a gyártó vállalat a már kifizetett négy javítási költségen felül a teljes árat is visszafizeti. Számítsuk ki, hogy előreláthatólag az eredeti vételár hány százaléka marad a gyártó vállalatnál! Mivel n elég nagy és p elég kicsi, így a binomiális eloszlást közelítjük a Poisson eloszlással. λ n p 000 0,0005 Táblázatból kikeressük a megfelelő p k értékeket: p k Lehetséges bevétel p 0 0,679 + p 0,679 +/4 p 0,89 +/ p 0,06 +/4 p 4 0,05 0 p 5 0,00 - M ( ξ ) 0,679 + 0,679 + 0,89 + 0,06 + 0 0,00 0,748 4 4 Tehát a vállalat a szavatosságra kb. 5%-ot fordít.

9. 00 méter hosszú szövetanyagon átlagosan 5 hibát találtunk, s a mérések a szövethibák számát Poisson eloszlásúnak mutatták. 00 méter hosszú szövetet 4 méter hosszú terítékekre osztanak. Minden 4 méteres darabból egy-egy öltöny készül. A hibátlan öltönyt darabonként 40000 forintért árusítják, a szövethibásat 0000 forintért. Várhatóan hány hibátlan van a 00 méteres szövetvégből készült öltönyök között? Mennyi az öltönyök eladásából származó árbevétel? Várhatóan hány hibátlan van a 00 méteres szövetvégből készült öltönyök között? (mennyi a valószínűsége, hogy 4 méter szövetben nem találunk szövethibát?) Jelölje a ξ valószínűségi változó a hibák számát a 4 méter szövetben. Először határozzuk meg eloszlás λ paraméterét. M ( ξ ) 5/(00 / 4) 0, λ k0 0 0, 0, 0, P ( ξ 0 ) e e 8,87% 0! A 00 méteres szövetvégből összesen 75 darab öltönyt lehet készíteni. A 75 darabból várhatóan 6 darab hibátlan öltöny készül. (75 0,887) A hibátlan öltönyt darabonként 40000 forintért árusítják, a szövethibásat 0000 forintért. Mennyi az öltönyök eladásából származó árbevétel? Az árbevétel várhatóan: (6 40.000)+(4 0.000).860.000 Ft Exponenciális eloszlás. Bizonyos típusú izzólámpák tönkremeneteléig eltelt égési időtartam hosszát tekintsük valószínűségi változónak. Megállapították, hogy ez a valószínűségi változó exponenciális eloszlást követ, és szórása 000 óra. Határozzuk meg a valószínűségi változó várható értékét! Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy egy kiválasztott izzólámpa 000 órán belül nem megy tönkre! Mivel a ξ valószínűségi változó várható értéke és szórása megegyezik (mivel exponenciális eloszlást követ), így: D( ξ ) M ( ξ ) 000óra λ λ 000 óra Az az esemény, hogy egy izzólámpa 000 órán belül nem megy tönkre, azt jelenti, hogy a ξ 000. Ennek valószínűsége: 4

ξ 000) ξ < 000) F(000) ( e 000 000 ) e 0,05 Tehát kb. 5% a valószínűsége annak, hogy egy izzólámpa legalább 000 órán át hibátlanul világít.. Egy intézet külföldről rendel könyveket. Az ehhez szükséges devizára várni kell, a tapasztalatok alapján ½ évet. A várakozási idő exponenciális eloszlású. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az intézet egy negyedéven belül megkapja a könyveket? Exponenciális esetben M(ξ)/λ/, így λ. 4 ξ < ) e e 0,947 4 Így közel 9% az esélye annak, hogy az intézet egy negyedéven belül megkapja a könyveket.. Egy szövőgép automatikusan megáll, ha legalább egy fonalszakadás történik. Legyen ξ a gép megindulásától az első fonalszakadásig eltelt idő. A ξ-re tett megfigyelések szerint az exponenciális eloszlású, várható értéke,5 óra. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy munkanap alatt, amely 8 órából áll, a gép egyszer sem áll fonalszakadás miatt? Exponenciális esetben M(ξ)/λ,5, így λ0,4 0,4 8, ξ 8) ξ < 8) + e e 0,0408 4,08% a valószínűsége annak, hogy az adott munkanapon nem lesz fonalszakadás. 4. Egy szövőgép 400 szállal dolgozik. Az egyes szálak élettartama, tehát amíg el nem szakad, exponenciális eloszlású, minden szálra ugyanazzal a λ/50 paraméterértékkel, és feltehető, hogy a szakadások egymástól függetlenek. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a gép fonalszakadás miatt a megindulástól számított órán belül megáll? A ξ i az i-edik szál élettartama. A gép akkor áll le, ha van olyan szál, amely órán belül elszakad, azaz, ha ξ, ξ,, ξ 400 valószínűségi változók legkisebbike kisebb -nál. Jelöljük η- vel a ξ, ξ,, ξ 400 valószínűségi változók legkisebbikét: η min( ξ, ξ,..., ξ400) A feladatunk a η<) valószínűség meghatározása. Ez a valószínűség így is felírható (felhasználva a szakadások egymástól való függetlenségét): η < ) η ) min( ξ, ξ,..., ξ ) ) ξ, ξ,..., ξ ) ξ ) ξ )... ξ ξ ) ξ < ) e i i 50 50 400 e ) 50 400 400 η < ) ( e ) 0,980 0,999 A keresett esemény tehát majdnem biztosan (99,99% valószínűséggel) bekövetkezik. 400 400 5

5. Egy üzletbe átlagosan 0 vevő érkezik óránként. Mennyi annak a valószínűsége, hogy két egymás után érkező vevő ideje között eltelt idő percnél több. Mennyi a valószínűsége, hogy ez az időtartam percnél kevesebb? Mekkora a valószínűsége annak, hogy ez az időtartam és perc közé esik? Az óránként beérkező vevők számát Poisson-eloszlásúnak tekintjük. Mivel vevő beérkezése között eltelt idő átlagosan perc, az exponenciális eloszlás paramétere: λ/. A kérdéses valószínűségek:. ξ ) ξ < ) + e e 0, 68. ξ < ) e 0, 7769. ξ ) e + e e e 0, 84 6. Egy automatizált gépsor hibamentes működésének valószínűsége 0 működési órára 0,9. Tegyük fel, hogy a működési idő exponenciális eloszlású. Számítsa ki a λ meghibásodási rátát és a működési idő várható értékét, valamint annak a valószínűségét, hogy a gépsor a 50. és a 00. óra között meghibásodik. A meghibásodási ráta, vagyis az eloszlás paramétere: ξ > 0) 0,9 F(0) 0,9 F(0) 0, e λ 0 4 λ 0 ln0,9 λ 8,78 0 M ( ξ ) 9 4 8,78 0 óra a működési idő várható értéke. λ 50 ξ < 00) F(00) F(50) e 4 8,78 0 00 + e 0, e 4 8,78 0 50 λ 0 0,9 4 8,78 0 50 4 8,78 0 00 0,0765 Így,765% annak a valószínűsége, hogy a gépsor a 50. és a 00. óra között meghibásodik. e e 7. Egy radioaktív anyag (sugárforrás) bomlási viszonyait vizsgáljuk. Legyen a valószínűségi változó egy tetszőleges atom bomlásáig eltelt idő és annak valószínűsége, hogy az anyag egy tetszőleges atomja x éven belül elbomlik: ξ x ) e x /, ha x 0 Határozza meg a valószínűségi változó várható értékét, szórását, valamint a bomlás felezési idejét! Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy tetszőleges atom túléli a évet! Az eloszlás paraméterét, λ-t, a fenti egyenletből kikövetkeztethetjük: / M ( ξ ) M ( ξ ) D( ξ ) λ / x / x / x A bomlás felezési ideje: e 0,5 e 0,5 ln0,5 x, 86 év 6

ξ > ) ξ < ) + e tetszőleges atom túléli a évet. / 8. Számítsa ki az F(x/λ) eloszlásfüggvény értéket! 0,, vagyis,% a valószínűsége annak, hogy egy F( x) e λ x e λ λ e 0,6, vagyis 6,%. Normális eloszlás. Egy vállalatnál az alkalmazottak heti bére normális eloszlású $00 várható értékkel és $0 szórással. Mekkora a valószínűsége, hogy egy találomra kiválasztott dolgozó a) 95 és 5 dollár között keres? b),5 dollárnál többet keres? c) 80 dollárnál kevesebbet keres? d) Mekkora heti fizetést kap a legjobban kereső 0%-ba tartozó dolgozók közül, a legkevesebbet kereső? a) 95 és 5 dollár között keres: 5 00 95 00 95 ξ < 5) F(5) F(95) Φ( ) Φ( ) Φ(,5) Φ( 0,5) Φ(,5) 0 0 + Φ(0,5) 0,99975 + 0,6946 0,69 Tehát 69,% annak a valószínűsége, hogy valaki 95 és 5 dollár között keres. b),5 dollárnál többet keres:,5 00 ξ >,5) F(,5) Φ( ) Φ(,5) 0,8945 0,0565 0 Vagyis 0,56% a valószínűsége annak, hogy,5 dollárnál valaki többet keres. c) 80 dollárnál kevesebbet keres: 80 00 ξ < 80) F(80) Φ( ) Φ( ) 0,9775 0,075 0 Vagyis,75% a valószínűsége annak, hogy valaki 80 dollárnál kevesebbet keres. d) Mekkora heti fizetést kapnak a legjobban kereső 0%-ba tartozó dolgozók közül a legkevesebbet keresők? 00 ξ > x) 0, F( x) 0, F( x) 0, 8 Φ( x ) 0, 8 z0,84 0 00 0,84 x x08,4 dollár felett keres a legjobban fizetett 0%. 0 7

. Egy vizsgálat szerint a felnőtt korú férfiak testmagassága N(74cm; 7cm) eloszlást követ. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott férfi testmagassága: a) nagyobb, mint 90 cm, b) 70 és 85 cm közé esik, c) mekkora a testmagasság szórása, ha tudjuk, hogy a férfiak 5%-ának a testmagassága 68 cm alatt van? a) nagyobb, mint 90 cm, 90 74 ξ 90) ξ < 90) F(90) Φ( ) Φ(,8) 0,988696 7 0,004,%. 70 és 85 cm közé esik, 85 74 70 74 70 ξ < 85) F(85) F(70) Φ( ) Φ( ) Φ(,57) Φ( 0,57) 7 7 Φ(,57) + Φ(0,57) 0,9479 + 0,7566 0,6574 65,74% 4. mekkora a testmagasság szórása, ha tudjuk, hogy a férfiak 5%-ának a testmagassága 68 cm alatt van? ξ < 68) 0,05 F(68) 0,05 68 74 Φ( ) 0,05 Φ( z) 0,05 Φ( z) 0,95 z,64 σ 68 74,64 σ,66 σ. Egy termék élettartama N(év; év) eloszlású. a) Teljesíti-e az élettartam azt az elvárást, hogy a évnél korábban meghibásodó termékek aránya legfeljebb % legyen? b) Ha nem, akkor hogyan kell megváltoztatni a várható értéket, ill. a szórást, hogy teljesítsék az előírást? c) Termékfejlesztés eredményeképpen egy új termék élettartama N(6év; 0,9év) eloszlással jellemezhető. Mekkora garanciális időt adjon a cég ahhoz, hogy a termékek legfeljebb 5%-a menjen tönkre a garancia alatt? a) Teljesíti-e az élettartam azt az elvárást, hogy a évnél korábban meghibásodó termékek aránya legfeljebb % legyen? 8

ξ < ) F() Φ( ) Φ( ) Φ() 0,9775 0,075,8% Nem teljesíti az elvárást, hiszen a évnél korábban meghibásodó termékek aránya,8%. b) Ha nem, akkor hogyan kell megváltoztatni a várható értéket, ill. a szórást, hogy teljesítsék az előírást? (A várható értéknek nyilván nagyobbnak, a szórásnak pedig kisebbnek kell majd lennie.) Várható érték változtatása: µ ξ < ) F() 0,0 Φ( ) 0,0 Φ( z) 0,0 Φ( z) 0,99 z,4 µ,4 µ,4év Szórás változtatása: Φ( ) 0,0 σ,4 σ 0,85 σ c) Termékfejlesztés eredményeképpen egy új termék élettartama N(6év; 0,9év) eloszlással jellemezhető. Mekkora garanciális időt adjon a cég ahhoz, hogy a termékek legfeljebb 5%-a menjen tönkre a garancia alatt? x 6 ξ < x) F( x) 0,05 Φ( ) 0,05 0,9 x 6 Φ( z) 0,05 Φ( z) 0,95 z,64,64 x 4,5év 0,9 4,5 év garanciát kellene adnia a cégnek. 4. A munkapadról kikerülő termék hossza normális eloszlású valószínűségi változó µ0cm és σ0,cm paraméterekkel. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy termék hossza 9,7 és 0, közé esik? Milyen pontosságot biztosíthatunk 0,95 valószínűséggel a munkadarabok hosszára? 0, 0 9,7 0 9,7 ξ < 0,) Φ( ) Φ( ) Φ(,5) Φ(,5) 0,99 + 0,99 0, 0, 0,8664 Tegyük fel, hogy a munkadarabnak µ0cm-es mérettől való eltérése x cm. Így a feltétel szerint: 9

0 + x 0 0 x 0 x x 0 x ξ < 0 + x) Φ( ) Φ( ) Φ( ) Φ( ) 0, 0, 0, 0, x x x Φ( ) + Φ( ) Φ( ) 0,95 0, 0, 0, x Φ( ) 0,975 0, x,96 x 0,9 0, Tehát 95%-os valószínűséggel állíthatjuk, hogy a hosszeltérés 4 mm-nél nem lesz nagyobb. 5. Valamely szolgáltató vállalathoz naponta beérkező megrendelések ξ száma a tapasztalatok szerint közelítőleg normális eloszlásúnak tekinthető σ0 szórással. Mekkora a megrendelések várható száma, ha tudjuk, hogy P ( ξ < 0) 0,? 0 µ ξ < 0) Φ( ) 0, 0 µ 0 Φ( ) 0,9 0 µ 0,9 µ,9 0 A naponta beérkező megrendelések átlagos száma. 6. Bizonyos típusú rádiócsöveket, amelyeknek az élettartama normális eloszlású, µ60 és σ0 óra paraméterekkel, négyesével dobozokba csomagolnak. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy ilyen dobozban lévő 4 cső mindegyike 80 óránál tovább fog működni? Mennyi annak a valószínűsége, hogy a 4 cső közül kettőt kivéve, az egyik 80 óránál tovább fog működni a másik meg nem? Annak a valószínűsége, hogy egy cső működési ideje 80 óránál nagyobb lesz: 80 60 P ( ξ 80) ξ < 80) Φ( ) Φ() 0,8445 0,58655 0 A két kérdésre adandó felelethez figyelembe kell venni, hogy a 4 cső között azok száma, amelyeknek a működési ideje 80 óránál nagyobb, binomiális eloszlású, ahol p0,58655. Így a keresett valószínűségek a binomiális eloszlás táblázat segítségével könnyen meghatározhatók: Annak a valószínűsége, hogy a 4 cső mindegyike működik: 0,0005 (táblázatban p0,5; n4; k4). Annak valószínűsége, hogy a 4 csőből -őt kivéve az egyik tovább működik, a másik meg nem: 0,55 (táblázatban p0,5; n; k) 0

7. A Jólfizetünk Rt. új üzeménél megvizsgálták a dolgozók fizetését, s azt találták, hogy a fizetés N(5000Ft, 0000Ft) eloszlású. Legnagyobb versenytársuk közelben működő üzeménél azt tapasztalták, hogy 5 000 Ft-nál a dolgozók legfeljebb %-a kap kevesebbet. Teljesíti-e az új üzem ezt az elvárást? Ha nem, mekkora legyen a szórás ill. a várható érték hogy teljesítsék? A bérfejlesztés után megismételve a vizsgálatot a fizetések eloszlása N(40000Ft, 8000Ft). Legfeljebb mennyit keres a cégnél a legrosszabbul kereső 5%? 5000 5000 ξ < 5000) F(5000) Φ( ) Φ( ) 0,9775 0,075 0000 Az új üzem nem teljesíti az elvárást, ugyanis a 5 000 Ft alatt keresők aránya meghaladja az %-ot, hiszen azok aránya,75%. Várható érték változtatása: 5000 µ új ξ < 5000) F(5000) Φ( ) 0,0 z-,4 0000 µ új 8400Ft 5000 µ,4 új 0000 Szórás változtatása: 5000 5000 ξ < 5000) F(5000) Φ( ) 0,0 σ z-,4 5000 5000,4 σ új 8547Ft σ új új Legfeljebb mennyit keres a cégnél a legrosszabbul kereső 5%? 40000 ξ < x) 0,05 F( x) 0, 05 Φ( x x 40000 ) 0, 05 z-,65,65 8000 8000 x6800ft, vagyis a legrosszabbul kereső 5% között 6800Ft-ot keres a legjobban fizetett alkalmazott. 8. Export konyak töltésénél az 50 ml alatti palackok aránya legfeljebb % lehet. Megvizsgáltak egy n0000 db-os tételt: x 5,4 ml, σ6 ml. Határozzuk meg az optimális töltési szintet. Mekkora az adott tételnél a töltési veszteség értéke, ha á000 Ft/palack? 50 µ ξ < 50) 0,0 F(50) Φ( ) z-,88 µ5,8 az optimális töltési szint. 6 A töltési veszteség mértéke: ( 5,4 5,8) 0000 400 400 46, 64 palacknyi 5,8 túltöltés, aminek a következménye 46640Ft töltési veszteség.

9. A bélszínrolót négyesével csomagolják tasakokba. A rolók súlya N(50gr., 5gr.) eloszlást követ. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a tasak valamennyi rolója 55 grammnál nehezebb? Első lépésben azt számoljuk ki, hogy mi a valószínűsége annak, hogy egyetlen darab bélszínroló súlya nagyobb, mint 55 gramm. 55 50 ξ > 55) F(55) Φ( ) Φ() 0,8445 0,58655, vagyis 5,86%. 5 Annak a valószínűsége, hogy a csomagban mind a 4 rolónak a súlya nagyobb, mint 55 gramm, ennek a negyedik hatványa lesz: 0,58655 4 0,00066, vagyis mindösszesen 0,066% a valószínűsége. III. Leíró statisztika. A táblázat a Budapesti Értéktőzsde hivatalos indexének (BUX) száz napi záró értékéből számított hozamadatait tartalmazza. Készítse el az alábbi adatbázis részletes leíró statisztikai elemzését! Napi hozamok 0,0896 0,006 0,009-0,074 0,08 0,045 0,00805 0,00754 0,00-0,00 0,0846 0,0086-0,0004-0,0076 0,00 0,00476 0,006-0,0005 0,095-0,0078 0,059 0,00 0,008-0,0567 0,0865-0,086-0,000 0,046 0,08 0,0079-0,0877 0,00845 0,00448 0,0060 0,088 0,00567 0,008 0,00 0,09 0,0004 0,00 0,0508-0,00 0,09-0,08-0,004-0,00676 0,006 0,047-0,0065-0,0759 0,0565 0,0769 0,0964-0,0967 0,00654 0,007-0,0 0,05-0,0055-0,055 0,084 0,049 0,058-0,0858 0,009-0,0007-0,0045-0,009 0,0006 0,069 0,059-0,007-0,0004 0,0758 0,0008 0,0048 0,044 0,0044 0,00709 0,006 0,0758-0,06 0,00-0,0004 0,0048 0,057 0,004 0,080-0,007 0,0048 0,058-0,0609 0,00087 0,08 0,04 0,049-0,009-0,054 0,0054 Rangsor (oszloponként) -0,0567-0,08-0,004-0,0004 0,00 0,0054 0,00754 0,069 0,0896 0,084-0,0858-0,055-0,009-0,0005 0,0048 0,00567 0,00805 0,00 0,09 0,0865-0,0076-0,06-0,0065 0,0006 0,007 0,0060 0,008 0,08 0,045 0,0964-0,0967-0,0-0,00 0,0008 0,009 0,006 0,00845 0,059 0,047 0,058-0,0877-0,0055-0,00 0,00087 0,004 0,006 0,00 0,04 0,05 0,095-0,086-0,000-0,0007 0,0004 0,0048 0,006 0,00 0,046 0,0758 0,0565-0,0759-0,009-0,007 0,00 0,0044 0,006 0,009 0,049 0,0758 0,049-0,074-0,0078-0,0045 0,00 0,00448 0,00654 0,08 0,0508 0,0769 0,059-0,0609-0,007-0,0004 0,008 0,00476 0,00709 0,09 0,057 0,080 0,058-0,054-0,00676-0,0004 0,0086 0,0048 0,0079 0,044 0,088 0,08 0,0846

. Osztályok számának meghatározása (egy lehetséges módszer) k0 > N 7 8 h Y Y 0,08460 ( 0,05670) max min 0 h 0 0,008 0, 00 k0 7. Gyakorisági táblázat. Kvartilisek meghatározása oszályközhosszúság f i g i f i ' g i ' -0,0567-0,065,00% 0,0-0,065-0,06 6 6,00% 8 0,08-0,06 0,009 6 6,00% 44 0,44 0,009 0,04 8 8,00% 8 0,8 0,04 0,044 5 5,00% 97 0,97 0,044 0,0645,00% 99 0,99 0,0645 0,0847,00% 00 00 Az adatok egyenkénti ismeretéből kiindulva: s/ 4 ( 00 + ) 5,5 4 Q 0,00 + 0,5( 0,0007 ( 0,00) ) 0, 00075 Tehát ennél az értéknél az adatok ¼ része kisebb, ¾ része pedig nagyobb. s/ 4 ( 00 + ) 75,75 4 Q 0,04 + 0,75( 0,046 0,04) 0, 0455 Ennél az értéknél az adatok ¾ része kisebb, ¼ része pedig nagyobb. 4. Medián A medián nem más, mint a középső kvartilis: s ˆ / 00 + 50,5 Me 0,0048 + 0,5 0,0054 0,0048 A medián a két középső érték átlaga: Me (0,0048 + 0,0054) 0,00505 ( ) ( ) 0, 00505

A medián becsülhető a gyakorisági táblázat alapján: N ' fme Me ˆ Y ' N me,0 + hme f me fme ˆ 50 44 M e 0,009 + 0,00 0,00709 8 5. Módusz A 4. osztály a modális osztály, mert ebben a legnagyobb a tapasztalati gyakoriság: d ˆ a Ymo, 0 + hmo d a fmo fmo d da + d f f mo f mo+ f Mo ˆ 8 6 M o 0,009 + 0,00 0,00556 ( 8 6) + ( 8 5) 6. Számtani átlag Az egyenként ismert adatokból számítva: ( 0,0567) + ( 0,0858) +... + 0,0846 + 0,98497 0,6654 x 0,006654 00 00 A gyakorisági táblázatban szereplő információk alapján történő becslés: ( 0,0466) + ( 0,064) 6 +... + 0,0544 + 0,0746 0,756 x 0,00756 00 00 Osztályok Osztályközhossz. osztályközép fi osztályközép*fi diosztályközép-xátl.becs. di fidi. -0,0567-0,065-0,0466-0,09-0,0466 0,0076 0,0044. -0,065-0,06-0,064 6-0,584-0,064 0,000697 0,004876. -0,06 0,009-0,006 6-0, -0,006 0,000084 0,00884 4. 0,009 0,04 0,04 8 0,5 0,04 0,00096 0,007448 5. 0,04 0,044 0,04 5 0,5 0,04 0,00696 0,075446 6. 0,044 0,0645 0,0544 0,088 0,0544 0,009594 0,005987 7. 0,0645 0,0847 0,0746 0,0746 0,0746 0,005565 0,0055656 Összesen: 00 0,756 0,04685 A táblázat utolsó három oszlopa a tapasztalati szórás becsléséhez szolgáltat majd információt! 7. Terjedelem R Y Y 0,0846 ( 0,0567) max min 8. Interkvartilis terjedelemmutató R Q Q 0,0455 ( 0,00075) 0,4 0,5 9. Tapasztalati szórások Adatok egyenkénti ismeretéből kiindulva: 0,0765 4

s 00 j ( x j 99 x) 00 j ( x j 99 x) 00 j ( x j 0,006654) 99 0,055 99 0,088 Becslés gyakorisági táblázat alapján: s r i f i ( x x) r i i f i 7 i i r i f d f i. Grafikus ábrázolás, hisztogram i 0,04685 00 0,054 Gyakorisági hisztogram 40 5 6 8 Tapasztalati gyakoriság 0 5 0 5 0 5 0 5 6... 4. 5. 6. 7. Osztály sorszáma Kumulált relatív gyakorisági hisztogram, Kumulált relatív gyakoriság 0,8 0,6 0,4 0, 0 0,97 0,99 0,8 0,44 0,08 0,0... 4. 5. 6. 7. Osztály sorszáma 5