A befogott tartóvég erőtani vizsgáatához III. rész Az I. részben a befogott gerendavéget merevnek, a tehereoszást ineáris függvény szerintinek vettük. A II. részben a befogott gerendavéget rugamasan deformáhatónak, a tehereoszást pedig a gerendavég besüyedéséve arányosnak vettük. Ekkor a tehereoszás trigonometrikus és eponenciáis függvények kombinációjaként át eő. E III. részben egy oyan modet veszünk szemügyre, amey bizonyos érteemben az eőző kettő között heyezkedik e; ez esz a rugamasan ágyazott merev tartó esete. Az ez aapján megodott feadatot nevezzük harmadik feadatnak. A harmadik feadat A befogott rúdvég erőtani visekedésének vizsgáata küönösen fontos a cööpök méretezése során. Az aábbiakat az [ 1 ] szakirodaom nyomán vezetjük eő. Ennek a feadatnak, i. az akamazott modenek a jeemző vonásai az aábbiak: ~ a rövid cööpöt merevnek gondojuk: EI ; ~ a k ágyazási együttható a méység ineáris függvénye. Tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Jeöések: ~ p( ): a taajreakció megoszó erőrendszerének intenzitása, méységben; ~ k: a taaj ágyazási együtthatója; ~ D: a cööp átmérője; ~ K: cööpágyazási együttható; ~ : a cööp beásási méysége; ~ y : a cööp kezdeti tengeyére merőeges emozduása a taaj szintjében; ~ Θ: a merev cööp eforduási szöge; ~ t : az eforduási pont méysége;
~ P, M : a cööpre a taajszintben működtetett / redukát erő és forgatónyomaték; ~ M( ): a cööp hajítónyomatéka az koordinátájú keresztmetszetében; ~ Q( ): a cööp nyíróereje az koordinátájú keresztmetszetében; ~ y( ): a cööp pontjainak emozduása, méységben. Ezek után a feadat és megodása az aábbi. Adott:, D, k, P, M. Keresett: y, Θ, y( ), p( ), M( ), Q( ), M ma, ma. Az 1. ábra szerint az emozduás, tekintette a szögeforduás kicsiny votára: y() y tg y. ( 1 ) A rugamas ágyazási mode és az ábra szerint: p K * y; ( ) most érvényesítjük azt, hogy az ágyazási tényező a méység ineáris függvénye: K K*, ( ) aho: K k D. ( ) Most ( 1 ), ( ), ( ) - ma: K K y K p K * y y, tehát: K y K p(). ( 5 ) Az ( 5 ) egyenet szerint a befogott rúdszakasz megoszó terheése másodfokú paraboa szerinti. Mieőtt továbbmennénk, írjuk fe az igénybevétei függvények kifejezéseit, a jeen esetre akamazva d.:. ábra!. ábra A. ábrán a p( ) intenzitású megoszó erőrendszert pozitív eőjee vettük. A tényeges eőjeét az ( 5 ) képet tartamazza.
Az igénybevétei függvényeket az aábbiak szerint áíthatjuk eő d.. ábra! A nyíróerő kifejezése: Q() Q p( )d ; ( 6 ) most kiszámítjuk a ( 6 ) - bei integrát; ( 5 ) - te is: K y K K y K p( )d d ( 6 / 1 ) K y K ; ezze: K y K Q() Q. ( 7 ) A hajítónyomaték kifejezése: M() M Q p( ) ( )d ; ( 8 ) most kiszámítjuk a ( 8 ) - bei integrát; ( 5 ), ( 6 / 1 ) - gye is: p( ) ( )d p( )d p( )d K K y K K y d K y K K y K ( 8 / 1 ) K y K y K K K y K ; 6 1 ezze: K y K 6 1 M() M Q. ( 9 ) Most akamazzuk azt a két fetétet, hogy a cööp végén a nyíróerő és a hajítónyomaték egyaránt zérus!
1.) Q( ) ; ( 1 ) most ( 7 ) és ( 1 ) - ze: K y K Q. ( 11 ).) M( ) ; ( 1 ) most ( 9 ) és ( 1 ) - ve: K y K M Q. ( 1 ) 6 1 Megodva a ( 11 ) és ( 1 ) egyenetekbő áó egyenetrendszert, kapjuk, hogy: K y M Q, 1 M K Q. ( 1 ) ( 15 ) A tengeyvona egyenete ( 1 ) szerint, ( 1 ) és ( 15 ) - te is: 1 M y() y M Q Q ; K K ( 16 ) az eforduási pontban: y t, innen: y t. ( 17 ) Most ( 1 ), ( 15 ) és ( 17 ) - te: M Q y M Q K M Q t, 1 M M Q M Q Q K tehát: M Q t. ( 18 ) M Q A ( 18 ) képetbő kiovasható, hogy t. ( 18 / 1 ) A taajreakció függvénye az ( 5 ), ( 1 ), ( 15 ) képetekke:
5 K y K 1 M p() M Q Q 6 M Q M Q, tehát: 6 p() M Q M Q. ( 19 ) A nyíróerő - függvény a ( 7 ), ( 1 ), ( 15 ) képetekke: K y K Q() Q 1 M Q M Q Q M M Q Q Q, tehát: M M Q() Q Q Q. ( ) A hajítónyomaték - függvény a ( 9 ), ( 1 ), ( 15 ) képetekke: K y K M() M Q 6 1 1 M M Q M Q Q 6 1 M Q M Q M Q, tehát: M() M Q M Q M Q. ( 1 ) Könnyen eeenőrizhető, hogy ( 1 ) és ( 1 ) tejesü, vagyis hogy jó számotunk. A maimáis hajítónyomaték heye ott van, aho a nyíróerő nua, azaz ( ) szerint megodandó a
6 M M Q Q Q ( ) harmadfokú egyenet. Ha ennek szóba jöhető gyöke ma, akkor a egnagyobb hajítónyomaték értéke ( 1 ) szerint: ma ma M ma M Q ma M Q M Q. ( ) Ezze a feadatot átaában megodottuk. Most nézzünk egy számpédát! Számpéda - v. ö.: [ 1 ]! Adott: =, m, Q = P = kn, M = knm. Keresett: M ma. Megodás: ( ) szerint, az adatokka: 7 15. ( a ) 6 y A nyíróerő - függvény képe A hajítónyomaték - függvény képe 5 1-9 -8-7 -6-5 - - - -1 1 5 6 7 8 9-1 - - - -5-6. ábra
7 Az ( a ) egyenet gyökei a Graph programma: 1 = -.6785 ( m ), =.6176 ( m ), = ( m ). Ezek közü csak jöhet számításba, mive a koordináta - rendszer fevétee miatt a gyök csak pozítív ehet, és mert a m - es koordináta a rúd végét jeenti, aho a hajítónyomaték a fetéte szerint zérus. Ezek szerint: ma =.6176 ( m ). ( b ) A hajítónyomaték függvénye ( 1 ) - gye és az adatokka: M() 5 1,75. ( c ) A egnagyobb hajítónyomaték nagysága, a Graph programma: M ma = 5.57998 knm. ( d ) Az eredmények grafikus megjeenítése átható a. ábrán. Ne feedjük, hogy a két függvény ordinátái más - más mértékegységge bírnak. A megoszó terheés függvénye: p() 1 7. ( e ) Grafikonját a. ábrán szeméhetjük. Ezt nem rajzotuk egy ábrába az eőzőekke, mert ezze a másik két függvény ábrája nagyon összezsugorodott vona. Megjegyzések: M1. Az eőző részben szó vot róa, hogy a szakirodaomban ného az ágyazat reakciójának megoszását átaános harmadfokú poinomma veszik fe. Esetünkben arra gondohatnánk, hogy az aszimmetrikus / féodaas terheés miatt csak az eső - és a harmadfokú tag ehetne jeen, a másodfokú nem. E feadat azonban tanusítja, hogy van oyan mode, meyben a másodfokú tag ép fe. Ráadásu ezt már megehetősen régóta hasznáják, tehát vannak tapasztaatok, pédáu aapozási feadatok modeezésére [ ]. M. A jeen, harmadik feadatban akamazott erőtani számítási mode ényeges mozzanata vot az a tény, hogy az ágyazási együttható a méység ineáris függvénye. A szerkezetek mechanikájának szakirodamában eőfordunak oyan munkák is, aho a rugamas ágyazású tartóra ezt a védhető munkahipotézist akamazzák. Iyen p. [ ], aho támfaak számítására akamazzák ezt a modet, meynek aapegyenete, ha a tartó hajítási merevsége a hossz mentén áandó, az aábbi: a b y""() y() q(). EI
8 5 1 19 18 17 16 15 1 1 1 11 1 9 8 7 6 5 1 A megoszó terheés függvény képe ----1--19-18-17-16-15-1-1-1-11-1 -9-8 -7-6 -5 - - - -1-1 1 5 6 7 8 9 1 11 1 1 1 15 16 17 18 19 1 - - - -5-6 -7-8 -9-1 -11 y Irodaom:. ábra [ 1 ] Szerk.: Rózsa Lászó: Az aapozás kézikönyve Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1971. [ ] Széchy Károy: Aapozás II. kötet: Aapozások tervezése és építése Közekedési Kiadó, Budapest, 195. [ ] Ju. A. Tevejev ~ A. F. Kobahidze: Szbornüje zseezobetonnüje konsztrukcii szpecianogo naznacsenyija Szabcsota Szakartveo, Tbiiszi, 1981. Sződiget, 9. október 9. Összeáította: Gagóczi Gyua mérnöktanár