Egyenletek, egyenlőtlenségek XV. Trigonometrikus (nem alap) egyenletek Amennyien az egyenlet nem alapegyenlet, akkor arra törekszünk, hogy a szögfüggvények közötti összefüggések alkalmazásával egyféle szögfüggvényt hozzunk létre az egyenleten: () Négyzetes összefüggés: sin x + cos x = sin x = cos x (vagy fordítva) () Törtes összefüggés: tg x = sin x ctg x = sin x (3) Reciprok összefüggés: tg x = ctg x ctg x = tg x (4) Addíciós tételek: sin x = sin x cos x = cos x sin x Egyenletek megoldásának továi módszerei: Új ismeretlen evezetésével egyszerű alakra hozzuk az egyenletet. Az a sin x + sin x + c cos x = 0 alakú egyenletet (a,, c R) eloszthatjuk cos x szel, vagy sin x szel, mert sin x és egyszerre nem lehet 0, vagyis nem vesztünk el megoldást. Ekkor a következő egyenlet adódik: a tg x + tg x + c = 0, vagy a ctg x + ctg x + c = 0. Az a sin x ± = c alakú egyenletet (a,, c R) eloszthatjuk a + tel. a a Mivel ( a + ) + ( a + ) =, így [ ; ] és [ ; ], vagyis létezik a + a + a olyan α szög, melyre = cos α, illetve = sin α (vagy fordítva). Ekkor a a + a + megfelelő addíciós tétel alkalmazásával a következő egyenlet adódik: sin(x ± α) = vagy cos(x ± α) = c a +. c a +, Az egyenleten szereplő kifejezések értelmezési tartományát, illetve értékkészletét vizsgálva szűkíthetjük a megoldások körét: sin x [ ; ] és [ ; ]; egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0.
Gyakorló feladatok K: középszintű feladat E: emelt szintű feladat. (K) Oldd meg a következő egyenletet: 3 sin x sin x = 0!. (K) Oldd meg a következő egyenletet: tg x ctg x + 3 = 0! 3. (K) Oldd meg a következő egyenletet: cos x sin x + 3 sin x =! 4. (E) Oldd meg a következő egyenletet: 3 sin x + 3 sin x 6 cos x = 0! 5. (E) Oldd meg a következő egyenletet: 3 sin x + sin x =! 6. (E) Oldd meg a következő egyenletet: sin x + cos x =! 7. (E) Oldd meg a következő egyenletet: sin x + 3 =! 8. (E) Oldd meg a következő egyenletet: 3 sin x + 5 = 3! 9. (E) Oldd meg a következő egyenletet: 3 sin x 3 = 6! 0. (E) Oldd meg a következő egyenletet: sin x + =!. (E) Oldd meg a következő egyenletet: + sin x = sin x +!. (E) Oldd meg a következő egyenletet: 4 sin x cos x =! 3. (E) Oldd meg a következő egyenletet: sin 4 x + cos 4 x = cos 4x! 4. (E) Oldd meg a következő egyenletet: sin 4 x cos 4 x =!
5. (E) Oldd meg a következő egyenletet: 4 sin x = 3 tg x 3 ctg x! 6. (E) Oldd meg a következő egyenletet: sin x tg x = 3! 7. (E) Oldd meg a következő egyenletet: tg x + ctg x =! 8. (E) Oldd meg a következő egyenletet: = ctg x! 9. (E) Oldd meg a következő egyenletet: sin x = tg x! 0. (E) Oldd meg a következő egyenletet: cos x sin x =!. (E) Oldd meg a következő egyenletet: 3cos x sin x cos x 3sin x = 0!. (E) Oldd meg a következő egyenletet: tg x sin x =! 3. (E) Oldd meg a következő egyenletet: + cos x = 0! 4. (E) Oldd meg a következő egyenletet: + =! 5. (E) Oldd meg a következő egyenletet: tg 3x = sin 6x! 6. (E) Oldd meg a következő egyenletet: cos (x π 4 ) cos (3x + π 4 ) =! 7. (E) Oldd meg a következő egyenletet: sin 5x cos 5x =! 8. (E) Oldd meg a következő egyenletet: (sin x + 3 ) sin 3x =! 9. (E) Oldd meg a következő egyenletet: sin x + 5 = 8! 30. (E) Oldd meg a következő egyenletet: x + = 0! 3
3. (E) Oldd meg a következő egyenletet: + 3 sin x = x 4x + 6! x 4y 3. (E) Oldd meg a következő egyenletet: sin = 5 x + 5 x! 33. (E) Oldd meg a következő egyenletet: lg sin x = 0 lg lg cos x! 34. (E) Oldd meg a következő egyenletet: sinx =! 35. (E) Oldd meg a következő egyenletet: log sin x + log sin x =! 36. (E) Oldd meg a következő egyenletet: 8 = 3 sin x +! 37. (E) Oldd meg a következő egyenletet: sin x + sin 7x = sin 3x + sin 5x! 38. (E) Oldd meg a következő egyenletet: cos x + cos x + cos 3x =! 39. (E) Oldd meg a következő egyenletet: 8 sinx + 8 cosx = 30! 40. (E) Oldd meg a következő egyenletet: 3 (log sin x) + log ( cos x) =! 4
Felhasznált irodalom () Hajdu Sándor; 004.; Matematika.; Műszaki Könyvkiadó; Budapest () Urán János; 003.; Sokszínű matematika ; Mozaik Kiadó; Szeged (3) Árahám Gáor; 00.; Matematika emelt szint; Maxim Könyvkiadó; Szeged (4) Urán János; 0.; Sokszínű matematika feladatgyűjtemény ; Mozaik Kiadó; Szeged (5) Czapáry Endre; 006.; Matematika gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény III.; Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest (6) Czapáry Endre; 009.; Geometriai feladatok gyűjteménye II.; Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest (7) Korányi Erzséet; 998.; Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikáól; Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest (8) Vancsó Ödön; 005.; Egységes Érettségi Feladatgyűjtemény Matematika I.; Konsept H Könyvkiadó; Piliscsaa (9) Ruff János; 0.; Érettségi feladatgyűjtemény matematikáól. évfolyam; Maxim Kiadó; Szeged (0) Fröhlich Lajos; 006.; Alapösszefüggések matematikáól emelt szint; Maxim Kiadó; Szeged () https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/list.html () Saját anyagok 5