1. Bevezetés A logika a görög,,logosz szóból származik, melynek jelentése gondolkodás, beszéd, szó. A logika az emberi gondolkodás vizsgálatával foglalkozik, célja pedig a gondolkodás során használt helyes következtetési módszerek ismérveinek feltárása, illetve új helyes következtetési eljárások kidolgozása. 2. Kijelentéslogika 2.1. Kijelentések Tekintsük a következő mondatokat: 1. A 10 páros szám. 2. A Trónok harca a legjobb TV sorozat. 3. Magyarország legmagasabb hegycsúcsa az Istállós-kő. 4. Holnap szép idő lesz. Az 1. és a 3. mondatról egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy igazak, vagy hamisak: az 1. mondat igaz, míg a 3. mondat hamis (a Kékes a legmagasabb hegycsúcs). A 2. és 4. mondatnál viszont nem dönthető el egyértelműen, hogy igazak, vagy hamisak (például lehet, hogy valaki jobban szereti a Barátok köztet a Trónok harcánál, míg a szép idő nem mindenkinek jelenti ugyanazt). A klasszikus logikában kijelentésnek vagy állításnak nevezünk egy nyelvtanilag kijelentő mondatot, melynek tartalmáról eldönthető, hogy igaz vagy hamis. Feltesszük, hogy minden állítás vagy igaz, vagy hamis, továbbá azt is, hogy egy állítás nem lehet egyszerre igaz is és hamis is. Ha egy A állítás igaz, akkor azt mondjuk, hogy A logikai értéke igaz, ha A hamis, akkor pedig azt mondjuk, hogy A logikai értéke hamis. Az A állítás logikai értékét A -val jelöljük. Az igaz, illetve hamis logikai értékeket i-vel és h-val jelöljük. (Az igaz, illetve hamis logikai értékeket szokás ezen kívül 1-gyel, illetve 0-val jelölni.) Példa Legyen A az az állítás, hogy a 10 páros szám, B pedig az az állítás, hogy a 9 osztható 4-gyel. Ekkor A =i és B =h. 2.2. Logikai műveletek Az egyszerű kijelentésekből logikai műveletek segítségével öszetett kijelentések állíthatól elő. A következőkben a legfontosabb logikai műveleteket tekintjük át. 1. A tagadás vagy más néven negáció egy egyváltozós logikai művelet, mely egy A állításhoz a A-val jelölt tagadását rendeli hozzá. Az A állítás tagadásának, azaz A-nak a logikai értéke igaz, ha A logikai értéke hamis, és A logikai értéke hamis, ha A logikai értéke igaz. Ugyanezt értéktáblazatos formában megadva: 1
A A i h h h Példa Az A=,,Az x 2 4 = 0 egyenletnek gyöke a 3 állítás tagadása a,,nem igaz, hogy az x 2 4 = 0 egyenletnek gyöke a 3 állítás, vagy másképp megfogalmazva,,az x 2 4 = 0 egyenletnek nem gyöke a 3 állítás. Természetesen A =h és A =i. Könnyen látható, hogy tetszőleges A állítás esetén A logikai értéke megegyezik A logikai értékével, azaz A = A. 2. A konjunkció (logikai és) egy kétváltozós logikai művelet, melyet jelöl. Az A B (ejtsd A és B) kijelentés logikai értéke pontosan akkor igaz, ha az A, illetve B állítások mindegyike igaz. Értéktáblázattal: A B A B i i i i h h h i h h h h Példa Legyen A =,,A 10 páros szám, és B =,,a 10 osztható öttel. Ekkor az A és B állítás így fogalmazható meg:,,a 10 páros szám és osztható öttel. Mivel mind A, mind B logikai értéke igaz, ezért A logikai értéke igaz. 3. A diszjunkció (logikai vagy) egy kétváltozós logikai művelet, melyet jelöl. Az A B (ejtsd A vagy B) kijelentés logikai értéke pontosan akkor igaz, ha az A és a B állítások közül legalább az egyik igaz. Értéktáblázattal: A B A B i i i i h i h i i h h h Példa Legyen A =,,A 10 osztható hattal, és B =,,a 10 kétjegyű szám. Ekkor az A vagy B állítás így fogalmazható meg:,,a 10 osztható hattal vagy a 10 kétjegyű szám. Mivel A logikai értéke igaz, B logikai értéke hamis, ezért A logikai értéke igaz. 3. Legyen most A =,,Délelőtt esik az eső, és B =,,délután elmegyek uszodába kijelentés. Vizsgáljuk meg a ha A, akkor B, azaz a,,ha délelőtt esik az eső, akkor délután elmegyek uszodába kijelentést. Világos, hogy ha délelőtt esik az eső és délután elmegyek uszodába, a kijelentés igaz, míg ha délelőtt esik az eső és délután nem megyek el uszodába, akkor a kijelentés hamis. Mi a helyzet azonban akkor, ha délelőtt nem esik az eső. Vegyük észre, hogy erről az esetről a kijelentésünk semmit nem mond, hiszen csak arról állít valamit, hogy mit csinálok délután, ha délelőtt esik az eső. Vagyis ha délelőtt nem esik az eső, akkor bármit csinálok is délután (uszodába megyek, nem megyek uszodába) a kijelentésünk igaz marad! 2
Az implikáció egy kétváltozós logikai művelet, melyet jelöl. Az A B kijelentést,,ha A, akkor B módon fogamazzuk meg. Az A B kijelentés logikai értéke hamis, ha A logikai értéke igaz, B logikai értéke hamis, minden más esetben A B logikai értéke igaz. A B A B i i i i h h h i i h h i Példa Legyen A =,,A 100 osztható 10, és B =,,a 100 osztható öttel. Ekkor a ha A, akkor B állítás így fogalmazható meg:,,ha a 100 osztható 10-zel, akkor a 100 osztható öttel. Mivel A és B logikai értéke is igaz, ezért az A B állítás is igaz. Legyen most Legyen A =,,A 100 osztható 3-mal, és B =,,a 100 osztható 7-tel. Ekkor a ha A, akkor B állítás így fogalmazható meg:,,ha a 100 osztható 3-mal, akkor a 100 osztható öttel. Mivel A igaz, míg B hamis, ezért az A B állítás logikai értéke igaz! Megjegyzések: Vegyük észre, hogy ha A logikai értéke hamis, akkor az A B állítás igaz, függetlnül attól, hogy mi a B logikai értéke! Hasonlóan, ha B logikai értéke igaz, akkor a A B állítás igaz, függetlenül attól, hogy A igaz, vagy hamis! Ha egy,,ha A, akkor B kijelentés igaz, akkor azt mondjuk, hogy A elégséges feltétele B-nek, illetve B szükséges feltétele A-nak. 4. Az ekvivalencia egy kétváltozós logikai művelet, melyet jelöl. Az A B (ejtsd A akkor és csak akkor, ha B) kijelentés logikai értéke pontosan akkor igaz, ha az A és a B logikai értéke megegyezik. Értéktáblázattal: A B A B i i i i h h h i h h h i Vegyük észre, hogy az A B kijelntés a (A B) (B A) kijelentés rövidítése. Példa Legyen e és f 2 egyenes a síkban, melyek metszik egymást, és legyen A =,,e és f párhuzamosak, B =,,e és f metszik egymást. Ekkor az A B állítás hamis, mert A hamis, míg B igaz. Megjegyzés. Ha egy A B állítás igaz, akkor azt mondjuk, hogy A szükséges és elégséges feltétele B-nek. 2.3. Logikai műveletek tulajdonságai Ahogy már korábban jeleztük, egy A kijelentés esetén A -val jelöljük a kijelentés logikai értékét. 3
Tétel: Tetszőleges A, B és C állítások esetén igaz: 1. A A =h 2. A A =i 3. A A = A, A A = A 4. A B = B A, A B = B A 5. (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C) 6. A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) 7. (A B) = A B, (A B) = A B. A Tétel 1. pontja azt mondja ki, hogy egy állítás nem lehet egyszerre igaz és hamis is; ezt az ellentmondásmentesség elvének nevezzük. A 2. szerint ha egy A kijelnetés nem igaz, akkor A hamis. Ezt nevezzük a logikában a harmadik kizárása elvnek. A 4. pont szerint mind a vagy, mind az és műveletnél felcserélhető a 2 kijelentés sorrendje (azaz mindkét művelet kommutatív). Az 5. pont azt mondja ki, hogy mindkét művelet asszociatív. A 6. pont szerint a diszjunkció disztributív a konjunkcióra nézve, míg a konjunkció disztributív a diszjunkcióra nézve. A 7. pontbeli azonosságok azt fogalmazzák meg, hogyan lehet az A vagy B, illetve A és B állítások tagadását A és B segítségével kifejezni. Ezt a két azonosságot De-Morgan azonosságoknak nevezzük. A felsorolt azonosságokat értéktáblázat segítségével egyszerűen bizonyíthatjuk. Itt most csak 6. pont első azonosságát bizonyítjuk be, a többi azonosság hasonlóan látható be. Azt szeretnénk tehát belátni, hogy Készítsük el az értéktáblázatot. A (B C) = (A B) (A C). A B C B C A (B C) A B A C (A B) (A C) i i i i i i i i i i h h i i i i i h i h i i i i i h h h i i i i h i i i i i i i h i h h h i h h h h i h h h i h h h h h h h h h 4
Látható, hogy a táblázat 5. és 8. oszlopa megegyezik, ami pontosan azt jelenti, hogy bármi is a logikai értéke az A, B, illetve C állításoknak, az A (B C) és az (A B) (A C) állítások logikai értéke megegyezik, és éppen ezt szerettük volna belátni. Az??. táblázatban megadjuk az összes kétváltozós logikai műveletet. 1. táblázat. Kétváltozós logikai műveletek A B f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f 12 f 13 f 14 f 15 f 16 i i i i i i h i i i h h h i h h h h i h i i i h i i h h i i h h i h h h h i i i h i i h i h i h i h h i h h h h i h i i i h h i h i i h h h i h Az f 1 logikai művelet az,,azonosan igaz művelet. Azf 2 művelet a diszjunkció, azaz f 2 (A, B) = A B. Az f 3 művelet a B A-nek felel meg. Az f 4 művelet az A B-nek felel meg. f 5 a (A B)-nek felel meg. Ezt műveletet Sheffer-műveletnek nevezzük. Az f 6 művelet az (A, B) kijelentés párhoz az A kijelentést rendeli hozzá. Az f 7 művelet az (A, B) kijelentés párhoz a B kijelentést rendeli hozzá. Az f 8 művelet az ekvivalencia, azaz A B-nek felel meg. Az f 9 művelet a kizáró vagy (angolul XOR) művelet, melyet -szal jelölünk. Az A B kijelentés pontosan akkor igaz, ha A és B közül pontosan az egyik igaz. Az f 10 művelet az (A, B) kijelentéspárhoz B-t rendeli hozzá. Az f 11 művelet az (A, B) kijelentéspárhoz A-t rendeli hozzá. f 12 a logikai és művelet. Az f 13 művelet a (A B)-nek felel meg. Az f 14 művelet a (B A)-nak felel meg. Az f 15 művelet a sem-sem művelet, melyet Webb-műveletnek is nevezünk, és -val jelölünk. A művelet eredményeként kapott A B állítás (melyet sem A, sem B-nek mondunk) akkor igaz, ha mind A, mind B hamis, minden más esetben az A B állítás hamis. f 16 az,,azonosan hamis művelet. 3. Logikai formulák Tekintsük a következő két kijelentést. (a) Ha a 100 oszható 10-zel, akkor a 100 osztható 5-tel és 2-vel is. (b) Ha 8 óra előtt elindulunk, akkor elmegyünk a múzeumba és a cirkuszba is. A két kijelentés tartalmilag teljesen eltérő, viszont a logikai szerkezetük megegegyezik. Az (a) kijelentés esetén legyen: p: a 100 osztható 10-zel; q: a 100 osztható 5-tel; r: a 100 5
osztható 2-vel. Ekkor az (a) kijelentés logikai felépítése: p (q r). Hasonlóan a (b) kijelentés esetén legyen: s: 8 óra előtt indulunk t: elmegyünk a múzeumba; u: elmegyünk a cirkuszba. Ekkor (b) kijelentéslogikai felépítése s (t u). A kijelentéslogikában a kijelentések logikai szerkezetének vizsgálatához a következő jelekből álló, véges hosszú jelsorozatok használjuk: (a) a felbonthatatlan kijelentések jelei: p, q, r, illetve ezeknek sorszámozott alakjai: p 1, q 1, r 1. Ezeket a jeleket kijelentésváltozóknak nevezzük. (b) kijelentéslogikai műveleti jelei:,,,, (c) A műveletek sorrendjét meghatározó zárójelpárok. Kijelentéslogikai formulának nevezünk egy kijelentésváltozókből, műveleti jelekből és zárójelpárokból álló véges hosszú hosszú sorozatot, mely előállítható a következő két szabály véges sokszori alkalmazásával: 1. Minden kijelentésváltozó formula. 2. Ha F és G két formula, akkor (F ), (F ) (G), (F ) (G), (F ) (G), (F ) (G) is formulák. A formuláknál a zárójelelhagyásokkal kapcsolatban megállapodunk abban, hogy kijelentésváltozót nem teszünk zárójelbe, továbbá ha egy formulát többször is tagadunk, akkor csak az első alkalomnál használunk zárójelet. Példa. A (p q) ( p q) jelsorozat egy formula, hiszen előállítható a fenti két lépés véges sokszori alkalmazásávál. Az 1. alapján ugyanis p, illetve q is egy-egy formula, és ekkor 2. alapján (p q) is egy formula. 2. alapján p is egy formula, és ezért szinten 2. alapján p q is egy formula. Így tehát p q és p q is egy-egy formula, ezért 2. alapján (p q) ( p q) szintén formula. 3.1. Formulák interpretációja Az előző fejezetben definiált formulák jelentés nélküli jelsorozatok. Egy ilyen jelsorozatnak, azaz egy formulának akkor lesz jelentése, ha a benne szereplő kijelentésváltozók jelentését rögzítjük (interpretáljuk). Egy formula nyelvi interpretációján azt értjük, hogy a formulában szereplő kijelentésváltozókat kijelentésekkel helyettesítjük oly módon, hogy az azonos kijelentésváltozók helyébe mindig ugyanazt a kijelentést helyettesítjük. Például a (p q) r formulának nyelvi interpretációja a,,ha esik az eső vagy edzőmeccs lesz, akkor nem lesz edzés, és a,,ha a 24 osztható 5-tel vagy a 24 osztható 6-tal, akkor a 24 nem prímszám kijelentés is. A matematikai logika szempontjából azonban minket nem a nyelvi interpretáció során kapott kijelentés tartalma, hanem annak logikai értéke érdekel; ezt pedig egyértelműen meghatározzák a kijelentésváltozók helyére írt állítások logikai értékei. 6
A kijelentéslogikai formula egy interpretációján a benne szereplő kijelentésváltozók logikai értékének megadását értjük. Például a (p q) r formula egy lehetséges interpretációja: p = h, q = i, r = h, és ennél az interpretációnál a formula logika értéke hamis lesz. Megjegyzés. Egy formulában minden kijelentésváltozónak kétféle logikai értéke lehet (i,h), ezért egy n kijelentésváltozót tartalmazó formula esetén a lehetséges interpretációk száma 2 n. Egy formula összes lehetséges interpretációja értéktáblázat segítségével adható meg. A következő táblázatban pédául a (p q) r formula interpretációit adjuk meg. p q r (p q) r i i i i i i h h i h i i i h h i h i i i h i h h h h i i h h h h Ha egy F formula valamely interpretációja esetén F logikai értéke igaz, akkor azt mondjuk, hogy az adott interpretáció igazzá teszi az F formulát. Az F formula kielégíthető, ha van olyan interpretációja, amelyik igazzá teszi. Ha az F formulát minden interpretációja igazzá teszi, akkor F -et tautológiának vagy azonosan igaz formulának nevezzük. Ha egy F formulát semmelyik interpretációja nem tesz igazzá, akkor F -et kontradikciónak vagy azonosan hamis formulának nevezzük. Példa. Mutassuk meg, hogy a (p q) q formula tautológia! A bizonyításhoz használjuk az értéktáblázatot! p q p q q (p q) q i i i h i i h h i i h i i h i h h i i i A táblázat utolsó oszlopából látható, hogy bármi is a p, illetve a q logikai értéke, a (p q) q formula logikai értéke mindig igaz, vagyis ez a formula egy tautológia. Azt mondjuk, hogy az F és G formulák ekvivalensek, ha logikai értékük bármely interpretációnál megegyezik. Ha F és G ekvivalens formulák, akkor ezt a következő módon jelöljük: F G. Példa. Döntse el, hogy ekvivalens-e a megadott két formula! a, p (q r) és (p q) r 7
b, p (q r) és (p q) r Megoldás: Használjuk mindkét esetben az értéktáblázatot! a, p q r q r p (q r) (p q) (p q) r i i i i i i i i i h h h i h i h i i i h i i h h i i h i h i i i i h i h i h h i h i h h i i i h i h h h i i h i A táblázat 5. és 7. oszlopából látható, hogy a p (q r) és (p q) r formulák logikai értéke bármely interpretáció esetén megeygezik, ezért a 2 formula ekvivalens. b, p q r q r p (q r) p q (p q) r i i i i i i i i i h h i i i i h i h i h i i h h h i h h h i i i i h i h i h h h h h h h i h h h i h h h h h h h A táblázat 5. sorát megnézve látható, hogy p = i, q = h, r = h interpretáció esetén a p (q r) formula logikai értéke igaz, míg a (p q) r formula logikai értéke hamis, ezért a 2 formula nem ekvivalens. 3.2. Diszjunktív normálformulák Különböző vizsgálatok során sok esetben hasznos, ha egy bonyolult formuláról áttérünk egy vele ekvivalens, egyszerűbb formulára. Most bevezetjük a formuláknak egy speciális típusát, és megmutatjuk, hogy minden formulához létezik vele ekvivalens, ilyen speciális típusú formula. Egy F formulát diszjunktív normálformulának nevezünk, ha olyan konjunkciók diszjunkciója, melyben minden konjunkcióban a változók mindegyike legfeljebb egyszer - negálatlanul, vagy negáltan- fordul elő. Ha egy F diszjunktív normálformulában minden konjunkcióban minden változó pontosan egyszer forduló elő, akkor F -t teljes diszjunktív normálformulának nevezzük. 8
Példa. Az alábbi két formula mindegyike diszjunktív normálformula: F 1 = (p q r) ( p r) F 2 = (p q) (r s) ( p r) Az F 1, illetve F 2 formulák egyike sem teljes diszjunktív normálformula, hiszen például F 1 -ben a második konjunkcióban (( p r)) nem szerepel a q változó, míg F 2 esetében egyik konjunkcióban sem szerepl mind a 4 változó. Egy háromváltozós, teljes diszjunktív normálformulára példa az alábbi F 3 formula: Tétel: F 1 = (p q r) ( p q r) (p q r) ( p q r). 1. Minden formulához létezik vele ekvivalens diszjunktív normálformula. 2. Minden formulához létezik vele ekvivalens, ugyanazon a változóhalmazon értelmezett teljes diszjunktív normálformula, és ez teljes diszjunktív normálformula a diszjunkciók sorrendjétől, illetve a változóknak a konjunkción belüli sorrendjétől eltekintve egyértelműen meghatározott. Megjegyzés. Egy adott formulához többféle, vele ekvivalens diszjunktív normálformula is létezik, viszont a tétel 2. része alapján minden formulához pontosan egy, vele ekvivalens normálformula létezik. Egy példán keresztül bemutatjuk, hogy ha adott egy formula, akkor hogyan lehet a vele ekvivalens teljes diszjunktív normálformulát felírni. Példa. Írjuk fel a (p q) r formulával ekvivalens teljes diszjunktív normálformulát! Készítsük el először a (p q) r formula értéktáblázatát! p q r (p q) r i i i i i i h h i h i h i h h i h i i h h i h i h h i h h h h i Mivel 2 formula akkor ekvivalens, ha bármely interpretáció esetén megegyezik a logikai értékük, ezért olyan teljes diszjunktív normálformulát keresünk, amelyik pontosan azokban az esetekben (interpretációknál) igaz, amikor a (p q) r formula igaz. A táblázatból látható (vastag betűvel vannak kiemelve), hogy a (p q) r formula négy esetben lesz igaz, így olyan teljes diszjunktív normálformulát kell megadnunk, amelyik pontosan ennél a 4 esetnél lesz igaz. Mivel egy teljes diszjunktív normálformula konjunkcióknak a diszjunkciója, ezért egy ilyen formula akkor lesz igaz, ha valamelyik konjunkciós tagja igaz. A táblázat alapján a keresett formulának igaznak kell lennie a p = i, q = i, r = i esetben, ezért a keresett formulának kell hogy legyen olyan konjunkciója, amely pontosan 9
p = i, q = i, r = i esetén igaz. Ez a tag viszont csak a p q r lehet. Hasonlóan, a táblázat 5. sora alapján a keresett formulának kell, hogyan legyen olyan konjunkciója, mely pontosan akkor igaz, ha p = i, q = h, r = h. Ez a tag csakis a p q r lehet. A 7. sor alapján a keresett formulának kell hogy legyen olyan konjunkciója, amely pontosan p = h, q = i, r = h esetén igaz. Ez a tag viszont csak a p q r lehet. Végezetül a táblázat 9. sora alapján a keresett formulának kell hogy legyen olyan konjunkciója, amely pontosan p = h, q = h, r = h esetén igaz. Ez a tag csak a p q r lehet. Így tehát a (p q) r formulával ekvivalens teljes diszjunktív normálformula alakban írható fel. (p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r) 3.3. A kijelentéslogika következményfogalma A matematikai bizonyítások formalizálásához tisztáznunk kell, hogy mit értünk következményfogalmon, és mely következtetési szabályokat fogadjuk el,,helyesnek. Ehhez a kijelentéslogikában a következő módon járunk el. A következményfogalmat először a formulákra definiáljuk; az állításokra vonatkozó következményfogalmat pedig az állításoknak megfelelő formulákból származtatjuk. Legyenek F 1, F 2,..., F n és G formulák, melyek összességében a p 1, p 2,..., p k kijelentésváltozók fordulnak elő. Azt mondjuk, hogy a G formula logikai következménye az F 1, F 2,..., F n formuláknak, ha a p 1, p 2,..., p k kijelentésváltozók minden olyan interpretációja esetén, amikor az F 1, F 2,..., F n formulák mindegyikének igaz a logikai értéke, a G formula logikai értéke is igaz. Ha az F 1, F 2,..., F n formuláknak logikai következménye a G formula, akkor azt alábbi módon jelöljük: F 1, F 2,... F n = G. A fenti jelsorozatot következtetési szabálynak nevezzük. Az F 1, F 2,..., F n formulák a következtetési szabály premisszái, a G formula pedig a konklúzió. A következőkben felsorolunk néhány helyes következtetési szabályt. 1. Leválasztási szabály (modus ponens): p q, p = q 2. Elvevő szabály (modus tollens): p q, q = p 3. Indirekt bizonyítás: p q, q = p 10
4. Láncszabály (hipotetikus szillogizmus): p q, q r = p r 5. Diszjunktív szillogizmus: p q, q = p Példa. Bizonyítsuk be, hogy a p q, q r = p r láncszabály egy helyes következtetési forma! 1. megoldás: A definíció szerint azt kell belátnunk, hogy minden olyan esetben, amikor a p q és q r premisszák mindegyike igaz, a p r konklúzió is igaz lesz. Készítsünk ennek igazolásához értéktáblázatot: p q r p q q r p r i i i i i i i i h i h h i h i h i i i h h h i h h i i i i i h i h i h i h h i i i i h h h i i i A táblázatból látható, hogy 4 olyan eset van, amikor mindkét premissza igaz (a vastag betűs sorok), és ezen esetek mindegyikében a konklúzió is igaz, ez pedig éppen azt jelenti, hogy a p q, q r = p r egy helyes következtetési forma. Fontos megjegyezni, hogy minket csak az érdekelt, hogy amikor a premisszák mindegyike igaz, akkor igaz-e a konklúzió is. Ezért az értéktáblázat kitöltése közben, ha az egyik esetnél valamelyik premissza hamis, akkor ennek a sornak a többi értékét már nem is kellene kitöltenünk. Tehát például a táblázat 4. sorában a p q premissza értéke hamis, ezért a q r és p r formulák logikai értékének kiszámítására már nincs is szükség, hiszen ezek nem befolyásolják azt, hogy a következtetési szabály helyes-e vagy sem! 2. megoldás: Megmutatjuk, hogy nem létezik olyan eset, amikor a premisszák mindegyike hamis, a konklúzió pedig igaz. Tegyük fel ezzel ellentétesen, hogy van olyan eset, amikor p q = i, q r = i és p r = h. Határozzuk meg, hogy mi lehet p, q, illetve r logikai értéke! Mivel most feltettük, hogy p r = h, ezért p = i és r = h. Ha q = h lenne, akkor p q = h lenne, ami viszont nem lehet, hiszen feltettük, hogy p q = i. Ha viszont q = i lenne, akkor q r = h lenne, ami viszont szintén nem lehet, hiszen feltettük, hogy q r = i. Tehát azt kaptuk, hogy nem tudjuk úgy megadni p, q és r logikai értékét, hogy a két premissza igaz, a konklúzió pedig hamis legyen, ez pedig éppen azt jelenti, hogy a p q, q r = p r egy helyes következtetési szabály. Legyenek most A 1, A 2,... A n és B állítások. Definiálni szeretnénk, hogy mit értünk azon, hogy az A 1, A 2,... A n állításoknak a B állítás a logikai következménye. 11
Legyenek az F 1, F 2,... F n az A 1, A 2,... A n állításoknak,,megfelelő formulák, míg G legyen a B állításnak,,megfelelő formula. Ez azt jelenti, hogy ha az F 1, F 2,... F n és G formulákban a p 1, p 2,... p k kijelentésváltozók fordulnak elő, akkor ezen kijelentésváltozóknak létezik olyan nyelvi interpretációja, melynél mindn 1 i n esetén az F i formula nyelvi interpretációja az A i állítás lesz, míg a G formula nyelvi interpretációja a B állítás lesz. Ha az F 1, F 2,... F n = G egy helyes következtetési forma, akkor azt mondjuk, hogy az A 1, A 2,... A n állítosknak a B állítás logikai következménye. Példa. Egy bűncselekménynek három gyanúsítottja (Péter, Pál, Gábor) van. A következőket tudjuk: A 1 : Ha Péter bűnös, akkor Pál ártatlan. A 2 : Ha Pál ártatlan, akkor Gábor is az. A 3 : Pál és Gábor közül legalább az egyikük bűnös. Mutassuk meg, hogy a fenti három állításból következik, hogy Péter ártatlan, azaz az A 1, A 2, A 3 állításoknak logikai következménye a B =,,Péter ártatlan állítás! Megoldás: Legyen p =,,Péter bűnös, q =,,Pál bűnös, r =,,Gábor bűnös. Ekkor A 1 -nek a p q formula felel meg. A 2 -nek a q r formula felel meg. A 3 -nak a q r formula felel meg. B-nek a p formula felel meg. Ahhoz, hogy belássuk, hogy az A 1, A 2, A 3 állítás, azt kell megmutatnunk, hogy állításoknak logikai következménye a B p q, q r, q r = p egy helyes következtetési szabály. Ehhez, ahogy azt már korábban láttuk, használhatjuk például az értéktáblázatot. p q r p r q r q r p i i i h i i h i i h h i i h i h i i h i h i h h i h h h h i i i i i i h i h i i i i h h i i h i i h h h i i h i 12
Látható, hogy 2 olyan eset van (a táblázat 6. és 7. sorában), amikor mindhárom premissza igaz, és mindkét esetben a konklúzió is igaz. Ez pedig pontosan azt jelenti, hogy a p q, q r, q r = p egy helyes következtetési szabály, ezért az A 1, A 2, A 3 állításokból következik, hogy Péter ártatlan. 13