VASBETONSZERKEZETEK I.

Átírás

1 Dr. habil JANKÓ LÁSZLÓ VASBETONSZERKEZETEK I. (magasépítés) BUDAPEST 2009

2 ELŐSZÓ Egyetemünkön eléggé régen jelent meg utoljára vasbeton szilárdságtannal, vasbeton szerkezetek tervezésével, méretezésével foglalkozó tankönyv. Azóta a mesterség, a mérnöki ismeretanyag és a tudomány ezen a szakterületen is annyit fejlődött, hogy időszerűvé vált egy az új ismeretek legfontosabb részét is tartalmazó könyv megírása. A könyv címében a tömörség érdekében csak a vasbeton jelző szerepel, holott vasbeton és feszített vasbeton szerkezetekkel foglalkozunk, ha a feszített vasbeton szerkezetekkel kisebb mértékben is (6. FEJEZET). Ugyanezen okból a továbbiakban is csak a vasbeton jelzőt használjuk az olyan leíró jellegű szövegekben mint a mostani. A vasbetonszerkezetek szerepének, fejlődésének a kezdetektől napjainkig történő rövid bemutatása után az volt a célunk, hogy segítséget nyújtsunk a hallgatóknak ahhoz, hogy célszerű, gazdaságos, műszakilag helyes, biztonságos és nem utolsósorban szép vasbetonszerkezeteket alkothassanak. Alapvető célunk volt az is, hogy a téma különböző nézőpontjait kiegyensúlyozottan mutassuk be. Nevezetesen: túlságosan a (terjedelmes) számításokra koncentrálva nem lehet kifogástalan szerkezeteket létrehozni, de az ellenkező véglet sem helyes: nem elegendő elsősorban csak a tapasztalatokra és a szerkezeti ismeretekre támaszkodni. A két különböző szemlélet közötti megfelelő arány megtalálása sokszor nem is olyan egyszerű dolog. Jelen könyv megírásakor az volt a vezérfonalunk, hogy a tervezési, koncepcionális részeknek adjunk elsőbbséget. A számítási eljárások algoritmusainál nem törekszünk bonyolult levezetésekre, hanem a lehető legegyszerűbb eljárásokat mutatjuk be. Törekedtünk az eredmények minél áttekinthetőbb szemléltetésére is (ábrák, diagramok). Ezzel összhangban a tankönyv szerves részeként külön Vasalási segédlet (ábragyűjtemény) is készült. A gyakorlati élet követelményeinek megfelelően számos hagyományos és modern szerkezeti részletet is közlünk. E/2

3 Feltételezzük, hogy a kapcsolódó más szaktárgyak a mechanika, a szilárdságtan, a tartók statikája, az építőanyagok, a méretezéselmélet stb. egyetemi tudnivalói ismeretesek az olvasó előtt. Törekvésünk volt az is, hogy minél általánosabb jellegű tervezési, szerkesztési elveket foglaljunk össze. Ez a tankönyv nem valamilyen szabvány megzenésítése. Tettük ezt azért is, hogy a közölt ismeretek az építési mesterség és technika, továbbá a tudomány rohamos fejlődése mellett minél később avuljanak el. Emellett betartottuk az érvényben lévő Magyar Szabványokat (MSZ). Ezeket l. tételesen az Irodalom-ban. Teljességre mi sem lehettünk képesek, de reménykedünk abban, hogy könyvünk eleget fog tenni a hallgatók jogos igényeinek. Az a véleményünk, hogy ez a tananyag nem túl nagy mennyiségű. A terjedelmi korlátok miatt bizonyos nem lényegtelen témákra nem is térhettünk ki. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy az ebben a könyvben olvashatókat tovább bővítik a szintén általunk tanított alábbi tankönyvek is: Irodalom, [5] + [6] [9]. Budapest, február és szeptember Dr. habil Jankó László E/3

4 TARTALOM ELŐSZÓ, TARTALOM, IRODALOM ELŐSZÓ E/1 TARTALOM T/1 IRODALOM I/1 1. FEJEZET: A VASBETONRÓL ÁLTALÁBAN 1/ DEFINÍCIÓ 1/ RÖVID TÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉS 1/ A VASBETON ELŐNYEI ÉS HÁTRÁNYAI 1/ A VASBETON ÉPÍTŐANYAGAI. ANYAGMODELLEK 1/ A BETON ÉS AZ ACÉLBETÉT EGYÜTTDOLGOZÁSA. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTOK 1/ VASALTSÁGI SZINTEK (normálisan vasalt, gyengén vasalt, alulvasalt, túlvasalt) 1/11 T/1

5 2. FEJEZET: MÉRETEZÉSI/ELLENŐRZÉSI ÉS TERVEZÉSI ELVEK 2/ VALÓSZÍNŰSÉGELMÉLETI ALAPISMERETEK 2/ MÉRETEZÉSI/ELLENŐRZÉSI ELVEK. A BIZTONSÁG ÉS A KOCKÁZAT SZINTJE 2/ TERVEZÉSI ELVEK 2/ A tervezés célja. Általános elvek 2/ Statikai és szilárdságtani szempontok 2/9 3. FEJEZET: A VASBETON GERENDA 3/ HAJLÍTÁS 3/ I. feszültségi állapot 3/ II. feszültségi állapot 3/2 SZÉLSŐ SZÁLFESZÜLTSÉGEK REPEDÉSKORLÁTOZÁS ALAKVÁLTOZÁSOK KORLÁTOZÁSA III. feszültségi állapot 3/6 ELLENŐRZÉS MÉRETEZÉS 3.2. NYÍRÁS 3/ I. feszültségi állapot 3/ II. feszültségi állapot 3/ III. feszültségi állapot 3/11 T/2

6 3.3. CSAVARÁS 3/ I. feszültségi állapot 3/ II. feszültségi állapot 3/ III. feszültségi állapot 3/ NYÍRÁS ÉS CSAVARÁS 3/ I. feszültségi állapot 3/ II. feszültségi állapot 3/ III. feszültségi állapot 3/16 4. FEJEZET: A VASBETON OSZLOP 4/ Stabilitás 4/ I. feszültségi állapot 4/ II. feszültségi állapot 4/ III. feszültségi állapot 4/6 5. FEJEZET: VEGYES VASBETON FELADATOK 5/ A VASBETON RÖVID KONZOL 5/ ÁTSZÚRÓDÁS 5/ ERŐBEVEZETÉS. PECSÉTNYOMÁS 5/ VASBETON CSUKLÓK 5/ VASBETONSZERKEZETEK TERVEZETT HÉZAGAI 5/8 T/3

7 6. FEJEZET: FESZÍTÉS 6/ ALAPELVEK. GYÁRTÁS 6/ ELŐFESZÍTÉS 6/ UTÓFESZÍTÉS 6/5 7. FEJEZET: ELŐREGYÁRTÁS 7/1 8. FEJEZET: VASBETON LEMEZEK ÉS FALAK 8/ VASBETON LEMEZEK 8/ VASBETON FALAK 8/7 9. FEJEZET: VASBETON ALAPTESTEK. TÁMFALAK 9/ VASBETON ALAPTESTEK 9/ TÁMFALAK 9/3 T/4

8 VASALÁSI SEGÉDLET (ábragyűjtemény) Freund Péter: SEGÉDLETEK T/5

9 IRODALOM I. SZABVÁNYOK I.1.) MSZ: [M1] MSZ Építmények teherhordó szerkezetei erőtani tervezésének általános előírásai [M2] MSZ 15021/1-86 és a évi módosítás Építmények teherhordó szerkezeteinek erőtani tervezése. Magasépítési szerkezetek terhei [M3] MSZ 15021/2-86 Építmények teherhordó szerkezeteinek erőtani tervezése. Magasépítési szerkezetek merevségi követelményei [M4] MSZ 15022/1-86 és a évi módosítás Építmények teherhordó szerkezeteinek erőtani tervezése. Vasbetonszerkezetek I/1

10 I.2.) ALAPOZÁS. FÖLDNYOMÁS: [A1] MSZ 15022/1-87: Építmények alapozásának erőtani tervezése Általános méretezési előírások [A2] MSZ 15022/2-87: Építmények alapozásának erőtani tervezése Földnyomások meghatározása [A3] MSZ : Síkalapok határteherbírásának és süllyedésének meghatározása [A4] MSZ 15005/1-89: Alapozások tervezése A cölöpalapozás tervezési előírásai I/2

11 II. SZAKIRODALOM [1] Bölcskei, E.- Statikusok könyve. -Dulácska, E.: Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1974 [2] Massányi, T.- Statikusok könyve. -Dulácska, E.: Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1989 [3] Bölcskei, E.- Vasbetonszerkezetek. Feszített tartók. -Tassi, G.: Tankönyvkiadó, Budapest, 1970 [4] Franz, G.: Konstruktionslehre des Stahlbetons. Springer-Verlag, Berlin, 1983 [5] Freund, P.: Segédletek Szent István Egyetem, YMMFK, Budapest, 2008 [6] Jankó, L.: Hídépítés. Hídszerkezetek számítása. Tankönyvkiadó, Budapest, 1980 [7] Jankó, L.: Vasbeton hídszerkezetek. Műegyetemi Kiadó, 1998 [8] Jankó, L.: Vasbeton hídszerkezetek. Budapest, 2008 [9] Jankó, L.: Vasbeton szilárdságtan az EUROCODE 2 szerint. Budapest, 2008 [10] Klatsmányi, T.: Vasbetonszerkezetek építése. Tankönyvkiadó, Budapest, 1975 [11] Kollár, L.: A stabilitásvesztés és a kritikuson túli viselkedés. A mérnöki stabilitáselmélet különleges problémái (Kollár L. szerk.) Akadémiai Kiadó, Budapest, 1991 [12] Kollár, L.: Vasbetonszerkezetek I. (Vb. szilárdságtan az EC2 szerint) Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2002 [13] Korányi, I.: Stabilitási kérdések a mérnöki gyakorlatban. Kihajlás a síkban. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1965 I/3

12 [14] Leonhardt, F.: Vorlesungen über Massivbau. Teil.3. Grundlagen zum Bewehren im Stahlbetonbau. Springer-Verlag, Berlin New York, 1977 [15] Leonhardt, F.: Vorlesungen über Massivbau. Teil.4. Nachweis der Gebrauchsfähigkeit. Springer-Verlag, Berlin New York, 1978 [16] Leonhardt, F.: Vorlesungen über Massivbau. Teil.5. Spannbeton. Springer-Verlag, Berlin New York, 1980 [17] Leonhardt, F.: Vorlesungen über Massivbau. Teil.6. Grundlagen des Massivbrückenbaues. Springer-Verlag, Berlin New York, 1979 [18] Lipták, L.: Betonszerkezetek kúszása és a harántkontrakció. Kandidátusi értekezés, Budapest, 1966 [19] Palotás, L.- A beton. -Balázs, Gy.: Mérnöki kézikönyv.1.kötet., (Palotás L. szerk.) Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981 [20] Pflüger, A.: Stabilitätsprobleme der Elastostatik. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1975 [21] Pucher, A.: Einflussfelder elastischer Platten. Springer-Verlag, Wien, 1964 [22] Varga, L.: Alapozások tervezése és építése. Mérnöki kézikönyv. 2.kötet (Palotás L. szerk.) Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1984 I/4

13 Megjegyzések: 1.) Nyomásra hasonló a diagram (de vb.-nél ε s ε bh = 2,5 ). 2.) Ha a σ sf folyási határ elmosódik, akkor ún. egyezményes folyási határt definiálunk: σ s,0.2 az a feszültség, amelyhez ε maradó = 0,2% maradó nyúlás tartozik leterhelés után. 3.) Feszítőacéloknál: σ s,0.1, amelyhez ε maradó = 0,1% (leterhelve) ábra A beton és a betonacél valóságos alakhelyes σ(ε) diagramja

14

15

16

17 ábra A beton tartós alakváltozásai

18 Megjegyzés: a jól tapadó acélbetét bordás felületi kialakítását l. az V ábrán ábra A beton és az acélbetét együttdolgozása

19 ábra Feszültségi állapotok. A repedezettség növekedése a teher növekedésével (tiszta hajlítás, tiszta nyírás)

20 ábra Hajlítási törés. Nyírási törés

21 Az x tengely helyzetének változása az M hajlítónyomaték függvényében: ábra A vasbeton keresztmetszet viselkedése a tönkremenetel pillanatában, különböző vasaltsági szinteken ( 1a, 1b, 2, 3 )

22 A vasalt keresztmetszet határteherbírása nem lehet kisebb, mint a vasalatlan betonkeresztmetszet határteherbírása (M Hb, N Hb ). A gyengén vasaltság miatti teheherbírás-csökkentő tényező: m = 0,67 + 0,33(μ/μ min ) 1. A gyengén vasalt keresztmetszet határteherbírása: Y Hgyv = my Hvb. Minimális acélbetét százalékok (a teljes betonkeresztmetszetre): HAJLÍTÁS NYÍRÁS NYOMÁS húzott : μ min = 0,3% μ mint = 0,1% húzott : μ min = 0,3% nyomott: μ min ' = 0,1% (csak gerendában) nyomott: μ min ' = 0,3% (μ+μ') min = 0,6% (húzott is) ábra A gyengén vasalt keresztmetszetek határteherbírása

23 Kísérletet végeztünk N = 100 db beton próbahenger eltörésével. Egy-egy x i törési értéket valószínűségi változónak nevezünk. A kísérletben az x i = 19 Nmm -2 nagyságú törési szilárdság k i = 27-szer fordult elő. A k i szám az x i törési szilárdság (valószínűségi változó) gyakorisága. A k i /N arányt relatív gyakoriság-nak nevezzük. Annak a valószínűsége (VAL), hogy valamely x törési szilárdság (valószínűségi változó) értéke kisebb vagy egyenlő, mint egy megadott x i érték, a következő: VAL[ x x i ] = F(x) = f(x)dx. Az integrálást az x o x i tartományban kell elvégezni. Az F(x) érték az f(x) függvénynek az x i -től balra lévő területével egyenlő (sraffozva) ábra Gyakorisági függvény/sűrűségfüggvény. Eloszlásfüggvény

24 A statikus mérnöki gyakorlat foglalkozik új szerkezetek tervezésével (méretezés, ellenőrzés), meglévő szerkezetek szakértésével megerősítésével, átalakításával. ALAPKÉRDÉS: képes-e a szerkezet törés nélkül, továbbá túlzottan nagy alakváltozások nélkül viselni a terheit? Ezen kérdés megválaszolása során 3 alapegyenlet-típust használunk: egyensúlyi egyenleteket, geometriai (összeférhetőségi) egyenleteket, anyagegyenleteket [ σ(ε) egyenleteket; ábra ]. Teherbírási MÉRETEZÉSI és ELLENŐRZÉSI ELJÁRÁSOK egyetlen biztonsági tényezős eljárás ( γ e >1) σ e megengedett feszültségekkel σ e = σ törő /γ e törési biztonságon alapuló 1. eljárás E e = γ e E E: teher vagy igénybevétel osztott biztonsági tényezős eljárás ( γ teher >1, γ anyag >1 ) törési biztonságon alapuló 2. eljárás σ H = σ törő /γ anyag E M = γ teher E E: teher vagy igénybevétel félvalószínűségi eljárás. Ezt használjuk! ábra! biztonsági tényező nélküli eljárás teljes valószínűségi eljárás (valószínűségszámítás, matematikai statisztika stb.) 2.2.I. táblázat A szokásos méretezési/ellenőrzési eljárások vázlata

25 E h = E a = E v : az E h használati teher a teher E a alapértékével egyenlő használati határállapotokhoz (repedéskorlátozás, lehajlások) E v :várható érték, átlagérték (mérések, statisztika) E a = E v : alapérték E M = γ M E a : a teher szélsőértéke γ M = γ teher : a teher biztonsági tényezője ( γ M = 1,2 1,4 ) törési határállapothoz Megjegyzés: a külső igénybevételekre ( M M, T M, N M stb.) ugyanez érvényes ábra Az osztott biztonsági tényezős ( félvalószínűségi ) méretezési eljárás szerinti tervezési terhek ( E h, E M )

26 s: a szórás, ami azt fejezi ki, hogy milyen mértékben ingadozik a mért betonszilárdság, mint minőségi jellemző a σ bv várható érték/átlagérték körül. az R bk minősítési érték (pl. C20-nál: 20): 5% a valószínűsége, hogy ennél kisebb betonszilárdság előfordul. σ bv : várható érték, átlagérték (mérések, statisztika) σ ba = R bk : alapérték σ bh = (α R R bk )/γ b γ b = γ anyag : a beton biztonsági tényezője törési határállapothoz V.ö ábra: α R = 0,75 0,95 (a hajlító-nyomási szilárdság és a hengerszilárdság aránya), γ b = 1, ábra Az osztott biztonsági tényezős ( félvalószínűségi ) méretezési eljárás szerinti tervezési beton határfeszültség ( σ bh )

27 Vizsgáljuk pl. a tiszta hajlítást. Megfelel, ha M H M M. A tönkremenetel bekövetkezési valószínűsége (a kockázat): használati határállapotban: , tehát minden 100., szerkezet erősen berepedhet, nagy lehajlásokat végezhet. teherbírási határállapotban: (5%*1 = 5*10-5 ), tehát minden , szerkezet súlyosan károsodhat, összeomolhat ábra Az osztott biztonsági tényezős (félvalószínűségi) méretezési eljárással elvégzett méretezés/ellenőrzés szemléltetése

28 Az ideális ( i ) keresztmetszeti terület: A ii = bh t + (n 1)A s ' + (n 1)A s. Statikai nyomaték a felső (nyomott) szélső szálra: S iit = bh t2 /2 + (n 1)A s 'a' + (n 1)A s h. A semleges tengely x ii helyzete: x ii = S iit /A ii. A tehetetlenségi nyomaték az x ii tengelyre: I ii = bh t3 /12 + bh t (h t /2 x ii ) 2 + (n 1)A s '[x ii a'] 2 + (n 1)A s [h x ii ] 2. A fentiekben: n = E s /E b = E s /[E bo /(1 + φ)], ahol φ a kúszási tényező: ábra és az (1.4.2.) képlet (φ 2,1 1,5) a). ábra Keresztmetszeti jellemzők I. feszültségi állapotban. Derékszögű négyszög alakú keresztmetszet

29 Az ideális ( i ) keresztmetszeti terület: A ii = bh t + (b f b)v + (n 1)A s. Statikai nyomaték a felső (nyomott) szélső szálra: S iit = bh t2 /2 + (b f b)v 2 /2+ (n 1)A s h. A semleges tengely x ii helyzete: x ii = S iit /A ii v. A tehetetlenségi nyomaték az x ii tengelyre: I ii = bh t3 /12 + bh t (h t /2 x ii ) 2 + (b f b)v 3 /12 + (b f b)v(x ii v/2) 2 + A fentiekben: + (n 1)A s [h x ii ] 2. n = E s /E b = E s /[E bo /(1 + φ)], ahol φ a kúszási tényező: ábra és az (1.4.2.) képlet (φ 2,1 1,5). T-alakú keresztmetszetbe nyomott acélbetéteket nem teszünk! Csak szerelő acélbetéteket b). ábra Keresztmetszeti jellemzők I. feszültségi állapotban. T alakú keresztmetszet

30 Statikai nyomaték az x iii semleges tengelyre: S xiii = bx iii2 /2 + (n 1)A s '(x iii a') n t A s (h x iii ) = 0, S xiii = x iii 2 + Bx iii + C = 0. B = [n t A s + (n 1)A s ']2/b A semleges tengely x iii helyzete: C = [n t A s h + (n 1)A s 'a']2/b. x iii = [ B + ]/2. Az ideális ( i ) keresztmetszeti terület: A iii = bx iii + (n 1)A s ' + n t A s. A tehetetlenségi nyomaték az x iii tengelyre: I iii = bx iii3 /3 +(n 1)A s '[x iii a'] 2 + n t A s [h x iii ] 2. A fentiekben: n = E s /E b = E s /[E bo /(1 + φ)], n t = n/ψ. ahol φ a kúszási tényező: ábra és az (1.4.2.) képlet (φ 2,1 1,5), és 0,5 ψ = 1 (α/3)(σ hh /σ bi,a ) 1, σ bi,a : a). és 1b). ábra, α = 2 bordás acélbetétnél, α = 1 sima acélbetétnél a). ábra Keresztmetszeti jellemzők II. feszültségi állapotban. Derékszögű négyszög alakú keresztmetszet

31 Statikai nyomaték az x iii semleges tengelyre: S xiii = bx iii2 /2 + (b f b)v(x iii v/2) n t A s (h x iii ) = 0, S xiii = x iii 2 + Bx iii + C = 0. C < 0. A semleges tengely x iii helyzete: Az ideális ( i ) keresztmetszeti terület: x iii = [ B + ]/2 v. A iii = bx iii + (b f b)v + n t A s. A tehetetlenségi nyomaték az x iii tengelyre: I iii = bx iii3 /3 + (b f b)v 3 /12 + (b f b)v(x iii v/2) 2 + n t A s [h x iii ] 2. A fentiekben: n = E s /E b = E s /[E bo /(1 + φ)], n t = n/ψ. ahol φ a kúszási tényező: ábra és az (1.4.2.) képlet (φ 2,1 1,5), és 0,5 ψ = 1 (α/3)(σ hh /σ bi,a ) 1, σ bi,a : a). és 1b). ábra, α = 2 bordás acélbetétnél, α = 1 sima acélbetétnél b). ábra Keresztmetszeti jellemzők II. feszültségi állapotban. T alakú keresztmetszet

32 Az ε sm mennyiség a húzott betonacél átlagos nyúlása a repedések között; a berepedt, húzott betonzóna merevítő hatását is figyelembe véve ( ψ). I: repedésmentes állapot (I. fesz. állapot) II: berepedt állapot (II. fesz. állapot) σ sii : a húzott szélső acélbetétekben fellépő feszültség (II. feszültségi állapot) [a terhek alapértékéből]. 1 ψ = 1 (α/3)(σ hh /σ bi,a ) 0,5 α = 2 periodikus/bordás acélbetétnél, α = 1 sima acélbetétnél. σ bi,a a szélső, húzott betonszálban az I. feszültségi állapot alapján számítható fiktív húzófeszültség [a terhek alapértékéből] a). és 1b). ábra. ψ = 1 gyakran ismétlődő terhelésnél a). ábra A berepedt, húzott betonzóna merevítő hatása ( tension stiffening )

33 s r,max = Dσ sii /(2ασ bi,a ) A r = (σ sii ) 2 D/(E s ασ bi,a ) s r,max = 0,5A r E s /σ sii ε sm ε sii ψ = σ sii /E s ψ a). ábra a M = s r,max ε sm Az a M mértékadó repedéstágasság: a M = 0,5A r ψ a H b). ábra A repedéstágasság meghatározása. Ellenőrzés

34 Az a M repedéstágasság csökkenthető: a húzott betonzóna minél kisebbre választásával (a b szélesség csökkentésével), a h t gerendamagasság növelésével, kis átmérőjű (D), sűrű vasalás alkalmazásával! az α tapadási tényező növelésével, a σ hh beton húzó határfeszültség növelésével (v.ö. ψ), a betonacél mennyiségének (A s ) a növelésével ábra A repedéstágasság csökkentésének lehetőségei

35 E b = E bo /(1 + φ), I ii, I iii ahol φ a kúszási tényező: ábra, és az (1.4.2.) képlet (φ 2,1 1,5), I ii : a). és 1b). ábra (I. feszültségi állapot), I iii : a). és 1b). ábra (II. feszültségi állapot). Az f M mértékadó lehajlás (közelítés): f I = (5/384) ql 4 /(E b I ii ) f II = (5/384) ql 4 /(E b I iii ) f M = f I (1 ψ ) + f II ψ f H. ψ: a). ábra. Gyakran ψ = 1 is elfogadható ábra Példa lehajlásszámításra. Ellenőrzés

36 tgα = ε bh /(1,25ξ o h) = [ε bh +ε sf ]/h tgβ = ε bh /(1,25ξ o 'h') = [ε bh ε sf ]/h' ξ o = x o /h = ε bh /(1,25[ε bh +ε sf ]) < 1 ξ o ' = x o '/h' = ε bh /(1,25[ε bh ε sf ]) >1 σ s = ε s E s [ Nmm -2 ] E s = 2,06*10 5 [ Nmm -2 ] ε sf = σ sh /E s σ s = 412/ξ húzás σ s '= 412/ξ' nyomás ábra Törési határállapot (III. fesz. állapot). Az x semleges tengely határhelyzetei. Az acélfeszültségek redukciója

37 ELLENŐRZÉS 1. eset: Feltételezzük, hogy mind a nyomott, mind a húzott acélbetétek megfolynak N = N b + N s = H N b = bxσ bh x = ξh =? (M1) N s = A s 'σ sh H = A s σ sh z b = h x/2 M H = N b z b + N s h s M M (M2) Ha az (M1) egyenletből x = ξh < x o ' adódik, akkor N s = A s 'σ s ', és a nyomott acélbetétek feszültségének a redukcióját is el kell végezni: ábra: σ s '. Ez 2. fokú egyenletre vezet. Azt megoldva x = ξh-ra, az M H határnyomaték értékét értelemszerűen az (M2) képlet szolgáltatja. Tekintettel kell lenni arra is, hogy N s N b legyen, azaz N = N b + N s 2N b legyen. 2. eset: A húzott acélbetétek nem folynak meg Ha az (M1) egyenletből az adódik, hogy x = ξh > x o = ξ o h, akkor a H húzóerő képlete az (M1)-ben így módosul: H = A s σ s. Itt σ s helyébe a ábra szerinti σ s összefüggést kell behelyettesíteni. Íly módon 2. fokú egyenlet adódik. Azt megoldva x = ξh-ra, az M H határnyomaték értékét értelemszerűen az (M2) képlet szolgáltatja. Tekintettel kell lenni arra is, hogy N s N b legyen, azaz N = N b + N s 2N b legyen ábra Törési határállapot (III. fesz. állapot). Derékszögű négyszög keresztmetszet M H HATÁRNYOMATÉKA.

38 FOLYAMATÁBRA (vázlatos) x* = (A s σ sh A s 'σ sh )/(bσ bh ) (I) ábra Törési határállapot (III. fesz. állapot). FOLYAMATÁBRA derékszögű négyszög keresztmetszet M H határnyomatékának meghatározásához

39 Figyelem! Ebben a könyvben az M H határnyomatékokat csak a beton szélső szála ε bh = 2,5 mértékű összemorzsolódásának a feltételezésével határozzuk meg: 1 eset. Amennyiben azonban a szélső acélbetétek ε s = σ s /E s nagyságú nyúlása meghaladja az ábra szerinti ε sh = határnyúlást, akkor elvileg a feladatot meg kellene ismételni az ε s = ε sh feltétel alapján: 2 eset. Ez az acélbetétek ε s nyúlásának a korlátozása. Vagy több húzott acélbetét alkalmazásával csökkenteni lehetne az ε s nyúlást. Megjegyezzük, hogy az szerint a húzott acélbetétek folyásával (σ s = σ sh ) 1 kapott M H határnyomaték nagysága, a H = A s σ sh = N = const. feltétel miatt, a 2 megoldás esetén általában nem változik (vagy csak csekély mértékben kisebb, ti. a belső erőkar kissé csökkenhet) ábra Törési határállapot (III. fesz. állapot). A húzott acélbetétek nyúlásának korlátozásáról

40 ELLENŐRZÉS 1.) A nyomott betonkeresztmetszet teljes kihasználtságához tartozó M ot nyomaték (x = x o ) Mindenekelőtt felhívjuk a figyelmet arra, hogy a T-alakú keresztmetszetbe nem teszünk nyomott vasalást, mert az gazdaságtalan! As' = 0! A nyomott zónában csak szerelő acélbetéteket alkalmazunk. M ot = M o + ΔM o M o = bx o σ bh (h x o /2) = bh 2 σ bh ξ o (1 ξ o /2) ΔM o = M l = (b f b)vσ bh (h v/2) (MT1) (MT2) (MT3) A fenti összefüggéseket a bordába metsző x o esetére írtuk fel: x = x o v. Amennyiben x o < v, azaz az x o a fejlemezen belül marad, akkor a fentiekben b = b f helyettesítendő (derékszögű négyszög). M ot nagyságú nyomatéki ellenállást képes gyakorolni a betonkeresztmetszet a H = H o húzóerő támadáspontjára, ha a húzott vasalás éppen megfolyik (σ s = σ sh ) /I. ábra Törési határállapot (III. fesz. állapot). T-alakú keresztmetszet M H HATÁRNYOMATÉKA I.

41 2.) Jók-e a betonméretek? Mivel nyomott vasalást nem alkalmazunk (A s ' = 0), a keresztmetszet által felvehető nyomaték felső korlátja az M ot érték. Meg kell tehát vizsgálni az alábbi egyenlőtlenség teljesülését: M M < M ot? (MT4) ahol M M a (külső) mértékadó nyomaték. Ha M ot M M, akkor a keresztmetszet betonméretei jók, illetve a beton minősége megfelelő. Ekkor a keresztmetszet M H határnyomatéka nagyobb lehet, mint az M M mértékadó nyomaték. 3.) T-alakú-e a ténylegesen működő keresztmetszet? A kérdés megválaszolása előtt meg kell határozni azt az M lö nyomatékot, ami a b f széles fejlemez teljes kihasználtságához tartozik: M lö = b f vσ bh (h v/2). (MT5) Meg kell tehát vizsgálni az alábbi egyenlőtlenség teljesülését: M M M lö? (MT6) Nézzük most először azt az esetet, amikor M M M lö. Tehát ekkor nem T- alakú a ténylegesen működő keresztmetszet. Az x feszültségi semleges tengely a fejlemezbe metsz, a fejlemez dolgozó része b f x méretű derékszögű négyszög /II. ábra Törési határállapot (III. fesz. állapot). keresztmetszet M H HATÁRNYOMATÉKA T-alakú II.

42 4.) A semleges tengely x helyzetének a meghatározása Megfolyás (ξ ξ o ) esetén az A s mértékű vasalásban fellépő H húzóerő nagysága: H = A s σ sh = N = b f xσ bh. Ebből a feszültségi semleges tengely x helyzete: x = ξh = A s σ sh /(b f σ bh ) ξ o h. (MT7a) Ha ξ ξ o, akkor a feltételezettnek megfelelően valóban megfolyik a (húzott) vasalás (σ s = σ sh ). Ha viszont ξ > ξ o, akkor a ábra segítségével kell elvégezni a számítást, a σ s = 412/ξ 515 < σ sh redukciós képlet felhasználásával. Ekkor H = A s σ s = A s [412/ξ 515] = N = ξb f hσ bh. Ez azonos a /V. ábra 2. fokú egyenletével, b f = b-nél. Az acélbetétek súlyponti nyúlása: ε s = [ε bh /1,25x][h 1,25x] ε sh kell legyen. (MT8) 5.) Az M H HATÁRNYOMATÉK értéke. ELLENŐRZÉS Az N = N b = b f xσ bh beton nyomóerő karja z = z b = h x/2. A határnyomaték: M H = Nz M M kell legyen. (MT9a) /III. ábra Törési határállapot (III. fesz. állapot). keresztmetszet M H HATÁRNYOMATÉKA T-alakú III.

43 A /II. ábra 3.) pontjában lévő elágazás esetében a másik válasz az, hogy ténylegesen T-alakú a keresztmetszet. Innen folytatjuk a számítást: 3.) T-alakú-e a ténylegesen működő keresztmetszet? A kérdés megválaszolása előtt meg kell határozni azt az M lö nyomatékot, ami a b f széles fejlemez teljes kihasználtságához tartozik: M lö = b f vσ bh (h v/2). (MT5) Meg kell tehát vizsgálni az alábbi egyenlőtlenség teljesülését: M M M lö? (MT6) Nézzük most azt az esetet, amikor M M > M lö. Tehát ekkor valóban T-alakú a ténylegesen működő keresztmetszet. Az x feszültségi semleges tengely a bordába metsz: x > v. 4.) A semleges tengely x helyzetének a meghatározása Megfolyás esetén az A s mértékű vasalásban fellépő H húzóerő nagysága: H = A s σ sh = N. A fejlemez által felvehető nyomóerő: N bl = (b f b)vσ bh. A feszültségi semleges tengely x helyzetét a bordára jutó N bb = H N bl = bxσ bh nyomóerőből tudjuk meghatározni: x = ξh = [A s σ sh (b f b)vσ bh ]/(bσ bh ) ξ o h. (MT7b) /IV. ábra Törési határállapot (III. fesz. állapot). keresztmetszet M H HATÁRNYOMATÉKA T-alakú IV.

44 Legyen most ξ > ξ o, azaz a feltételezettel ellentétben nem folyik meg a húzott vasalás (σ s < σ sh ). Ezért most az N = N bl + N bb = H H N bl N bb = 0 vetületi egyenletet úgy írjuk fel, hogy σ s < σ sh ( ábra): A s (412/ξ 515) (b f b)vσ bh ξbhσ bh = 0. A fenti ξ-ben 2. fokú egyenlet megoldásával megkapjuk a ξ = x/h paramétert, amellyel a redukciós képlet felhasználásával a σ s = 412/ξ 515 acél húzófeszültség is megvan. A H acél húzóerő: H =A s σ s. Az N eredő beton nyomóerő (egyezik a H-val): N = N bl + N bb = H. Az acélbetétek súlyponti nyúlása: ε s = [ε bh /1,25x][h 1,25x] ε sh kell legyen. (MT8) 5.) Az M H HATÁRNYOMATÉK értéke. ELLENŐRZÉS Az N bl = (b f b)vσ bh fejlemez beton nyomóerő karja: z bl = h v/2. Az N bb = bxσ bh borda beton nyomóerő karja: z bb = h x/2. A határnyomaték: M H = N bl z bl + N bb z bb = Nz M M kell legyen. (MT9b) /V. ábra Törési határállapot (III. fesz. állapot). T-alakú keresztmetszet M H HATÁRNYOMATÉKA V.

45 KÖTÖTT MÉRETEZÉS ( A s ' > 0) A kötött méretezés azt jelenti, hogy a keresztmetszet betonméretei adottak, az M M (külső) mértékadó nyomaték felvételéhez szükséges vasalást keressük. 1.) A nyomott betonkeresztmetszet teljes kihasználtságához tartozó M o nyomaték (x = x o ) M o = bx o σ bh (h x o /2) = bh 2 σ bh ξ o (1 ξ o /2) (KM1) M o nagyságú nyomatéki ellenállást képes gyakorolni a betonkeresztmetszet a H = H so húzóerő támadáspontjára, ha a húzott vasalás éppen megfolyik (σ s = σ sh ). Az Mo nyomaték felvételéhez szükséges H so húzóerő nagysága: H so = N bo =bx o σ bh = bhσ bh ξ o. (KM2) Ebből a szükséges húzott acélbetét mennyiség: A so = H so /σ sh. (KM3) /I. ábra Törési határállapot (III. fesz. állapot). Derékszögű négyszög keresztmetszet KÖTÖTT MÉRETEZÉSE I.

46 2.) Kell-e nyomott vasalás? Ha M M > M o, akkor kell nyomott vasalás ( A s ' > 0). Ez esetben a ΔM = M M M o (KM4) nagyságú nyomatékot acélbetétekből álló, N s = ΔN s = ΔH s = ΔM/h s nagyságú erőpárral kell felvenni. Az ehhez szükséges acélbetét mennyiség: ΔA s = ΔA s ' = (ΔM/h s )/σ sh. (KM5) Ehhez x = x o tartozik. A fentiek alapján az összesített húzott és nyomott acélbetét mennyiség: A s,szüks = A so + ΔA s A s,alk, (KM6) A s ',szüks = ΔA s A s ',alk. Itt A s,szüks és A s ',szüks az elméleti úton meghatározott szükséges acélbetét mennyiségek. Ennél egy kicsivel több acélbetétet kell alkalmaznunk, mert a ténylegesen beépíthető acélbetéteknek meghatározott átmérőik vannak ( Ø12 mm, Ø14 mm stb.). A ténylegesen alkalmazott acélbetét mennyiségek: A s,alk és A s ',alk. 3.) ELLENŐRZÉS Az A s,alk és A s ',alk acélbetét mennyiségekhez tartozó teherbírás megfelelőségét mindig le kell ellenőrizni! Az ellenőrzést a ábrán láthatók szerint kell elvégezni /II. ábra Törési határállapot (III. fesz. állapot). Derékszögű négyszög keresztmetszet KÖTÖTT MÉRETEZÉSE II.

47 KÖTÖTT MÉRETEZÉS ( A s ' = 0 esetén) A kötött méretezés azt jelenti, hogy a keresztmetszet betonméretei adottak, az M M (külső) mértékadó nyomaték felvételéhez szükséges vasalást keressük. 1.) A nyomott betonkeresztmetszet teljes kihasználtságához tartozó M o nyomaték (x = x o ) L. a /I. ábrán. 2.) Kell-e nyomott vasalás? Ha M M M o, akkor nem kell nyomott vasalás (A s ' = 0). Ez esetben az alábbi egyszerű nyomatéki egyenlőséget írhatjuk fel: M M = bxσ bh (h x/2) = bh 2 σ bh ξ(1 ξ/2). (KM7) Ebből egy szokásos ξ 2 + Bξ + C = 0 alakú 2. fokú egyenlet adódik. Itt B < 0 és C > 0. Ennek megoldása: ξ = x/h = [ ]/2 ξ o. (KM8) /III. ábra Törési határállapot (III. fesz. állapot). Derékszögű négyszög keresztmetszet KÖTÖTT MÉRETEZÉSE III.

48 Ezek után már ismeretes a semleges tengely x = ξh nagysága is. Ennek felhasználásával az N b nyomóerő értéke is adott, továbbá az N b nyomóerő egyenlő a H húzóerővel: N b = bxσ bh = H. A fentiek alapján a szükséges húzott acélbetét mennyiség egyszerűen adódik: A s,szüks = H/σ sh = A s,alk. (KM9) Itt A s,szüks az elméleti úton meghatározott szükséges húzott acélbetét mennyiség. Ennél egy kicsivel több acélbetétet kell alkalmaznunk, mert a ténylegesen beépíthető acélbetéteknek meghatározott átmérőik vannak (Ø12 mm, Ø14 mm stb.). A ténylegesen alkalmazott acélbetét mennyiség: A s,alk. 3.) ELLENŐRZÉS Az A s,alk acélbetét mennyiséghez tartozó teherbírás megfelelőségét mindig le kell ellenőrizni! Az ellenőrzést a ábrán láthatók szerint kell elvégezni /IV. ábra Törési határállapot (III. fesz. állapot). Derékszögű négyszög keresztmetszet KÖTÖTT MÉRETEZÉSE IV.

49 KÖTÖTT MÉRETEZÉS ( A s ' = 0) A kötött méretezés azt jelenti, hogy a keresztmetszet betonméretei adottak, az M M (külső) mértékadó nyomaték felvételéhez szükséges vasalást keressük. 1.) A nyomott betonkeresztmetszet teljes kihasználtságához tartozó M ot nyomaték (x = x o ) Mindenekelőtt felhívjuk a figyelmet arra, hogy a T-alakú keresztmetszetbe nem teszünk nyomott vasalást, mert az gazdaságtalan! A s ' = 0! A nyomott zónában csak szerelő acélbetéteket alkalmazunk. M ot = M o + ΔM o M o = bx o σ bh (h x o /2) = bh 2 σ bh ξ o (1 ξ o /2) ΔM o = M l = (b f b)vσ bh (h v/2) (KMT1) (KMT2) (KMT3) A fenti összefüggéseket a bordába metsző x o esetére írtuk fel: x = x o v. Amennyiben x o < v, azaz az x o a fejlemezen belül marad, akkor a fentiekben b = b f helyettesítendő (derékszögű négyszög). M ot nagyságú nyomatéki ellenállást képes gyakorolni a betonkeresztmetszet a H = H o húzóerő támadáspontjára, ha a húzott vasalás éppen megfolyik (σ s = σ sh ) /I. ábra Törési határállapot (III. fesz. állapot). T-alakú keresztmetszet KÖTÖTT MÉRETEZÉSE I.

50 2.) Jók-e a betonméretek? Mivel nyomott vasalást nem alkalmazunk (A s ' = 0), a keresztmetszet által felvehető nyomaték felső korlátja az M ot érték. Meg kell tehát vizsgálni az alábbi egyenlőtlenség teljesülését: M M < M ot? (KMT4) ahol M M a (külső) mértékadó nyomaték. Ha M ot M M, akkor a keresztmetszet betonméretei jók, illetve a beton minősége megfelelő. Ekkor a keresztmetszet M H határnyomatéka nagyobb lehet, mint az M M mértékadó nyomaték, azaz a keresztmetszet bevasalható. 3.) T-alakú-e a ténylegesen működő keresztmetszet? A kérdés megválaszolása előtt meg kell határozni azt az M lö nyomatékot, ami a b f széles fejlemez teljes kihasználtságához tartozik: M lö = b f vσ bh (h v/2). (KMT5) Meg kell tehát vizsgálni az alábbi egyenlőtlenség teljesülését: M M M lö? (KMT6) Nézzük most először azt az esetet, amikor M M M lö. Tehát ekkor nem T- alakú a ténylegesen működő keresztmetszet. Az x feszültségi semleges tengely a fejlemezbe metsz, a fejlemez dolgozó része b f x méretű derékszögű négyszög /II. ábra Törési határállapot (III. fesz. állapot). keresztmetszet KÖTÖTT MÉRETEZÉSE T-alakú II.

51 4.) A semleges tengely x helyzetének a meghatározása M M = b f xσ bh (h x/2) = b f h 2 σ bh ξ(1 ξ/2). (KMT7a) Ebből egy szokásos ξ 2 + Bξ + C = 0 alakú 2. fokú egyenlet adódik. Itt B < 0 és C > 0. Ennek megoldása: ξ = x/h = [ ]/2 ξ o. (KMT8a) Mivel a 2.) pont szerint M ot M M, a vasalás megfolyik (ξ ξ o ). Ekkor az A s mértékű vasalásban fellépő H húzóerő nagysága: H = A s σ sh = N = b f xσ bh. Egyébként ha ξ > ξ o adódnék, akkor a betonméretek növelendők. Az előbbiek szerint azonban ez nem fordulhat elő (M ot M M ) /III. ábra Törési határállapot (III. fesz. állapot). keresztmetszet KÖTÖTT MÉRETEZÉSE T-alakú III.

52 Ezek után már ismeretes a semleges tengely x = ξh nagysága is. Ennek felhasználásával az N b nyomóerő értéke is adott, továbbá az N = N b nyomóerő egyenlő a H húzóerővel: N = N b = b f xσ bh = H. A fentiek alapján a szükséges húzott acélbetét mennyiség egyszerűen adódik: A s,szüks = H/σ sh = A s,alk. (KMT9) Itt A s,szüks az elméleti úton meghatározott szükséges húzott acélbetét mennyiség. Ennél egy kicsivel több acélbetétet kell alkalmaznunk, mert a ténylegesen beépíthető acélbetéteknek meghatározott átmérőik vannak (Ø12 mm, Ø14 mm stb.). A ténylegesen alkalmazott acélbetét mennyiség: A s,alk. 5.) ELLENŐRZÉS Az A s,alk acélbetét mennyiséghez tartozó teherbírás megfelelőségét mindig le kell ellenőrizni! Az ellenőrzést a ábrán láthatók szerint kell elvégezni /IV. ábra Törési határállapot (III. fesz. állapot). keresztmetszet KÖTÖTT MÉRETEZÉSE T-alakú IV.

53 A /II. ábra 3.) pontjában lévő elágazás esetében a másik válasz az, hogy ténylegesen T-alakú a keresztmetszet. Innen folytatjuk a számítást: 3.) T-alakú-e a ténylegesen működő keresztmetszet? A kérdés megválaszolása előtt meg kell határozni azt az M lö nyomatékot, ami a b f széles fejlemez teljes kihasználtságához tartozik: M lö = b f vσ bh (h v/2). (KMT5) Meg kell tehát vizsgálni az alábbi egyenlőtlenség teljesülését: M M M lö? (KMT6) Nézzük most azt az esetet, amikor M M > M lö. Tehát ekkor valóban T-alakú a ténylegesen működő keresztmetszet. Az x feszültségi semleges tengely a bordába metsz: x > v. 4.) A semleges tengely x helyzetének a meghatározása A bordára jutó nyomaték: ΔM b = M M M l. Itt M l = (b f b)vσ bh (h v/2). Ennek ismeretében az alábbi egyszerű nyomatéki egyenlőséget írhatjuk fel: ΔM b = bxσ bh (h x/2) = bh 2 σ bh ξ(1 ξ/2). (KMT7b) /V. ábra Törési határállapot (III. fesz. állapot). T-alakú keresztmetszet KÖTÖTT MÉRETEZÉSE V.

54 Ebből egy szokásos ξ 2 + Bξ + C = 0 alakú 2. fokú egyenlet adódik. Itt B < 0 és C > 0. Ennek megoldása: ξ = x/h = [ ]/2 ξ o. (KMT8b) Az x = ξh-hoz tartozó, a bordában fellépő beton nyomóerő: N bb = bxσ bh. A ΔM o = M l = (b f b)vσ bh (h v/2) nyomatéknak megfelelő beton nyomóerő értéke: N bl = (b f b)vσ bh. Az eredő N b beton nyomóerő egyezik az acél húzóerővel: N = N b = N bb + N bl = H. Mivel ξ ξ o (M ot M M ), akkor σ s = σ sh, és így ez a végeredmény. A fentiek alapján a szükséges húzott acélbetét mennyiség egyszerűen adódik: A s,szüks = H/σ sh = A s,alk. (KMT9) Itt A s,szüks az elméleti úton meghatározott szükséges acélbetét mennyiség. Ennél egy kicsivel több acélbetétet kell alkalmaznunk, mert a ténylegesen beépíthető acélbetéteknek meghatározott átmérőik vannak (Ø12 mm, Ø14 mm stb.). A ténylegesen alkalmazott acélbetét mennyiség: A s,alk. 5.) ELLENŐRZÉS Az A s,alk acélbetét mennyiséghez tartozó teherbírás megfelelőségét mindig le kell ellenőrizni! Az ellenőrzést a ábrán láthatók szerint kell elvégezni /VI. ábra Törési határállapot (III. fesz. állapot). keresztmetszet KÖTÖTT MÉRETEZÉSE T-alakú VI.

55 SZABAD MÉRETEZÉS ( A s ' = 0) 1.) Alapösszefüggések Szabad méretezés esetén olyan betonméreteket keresünk, hogy a nyomott betonzónát teljes mértékben kihasználjuk ( x = x o ) és nyomott acélbetéteket ne alkalmazzunk: A s ' = 0. A megfelelő alapegyenlet azt fejezi ki, hogy az N b beton nyomóerőnek a H acél húzóerő támadáspontjára vonatkozó nyomatéka mint ellenállás azonos az M M külső mértékadó nyomatékkal: M M = N b z b. (SZM1) Itt z b = h x o /2 a belső erők karja. x o = ξ o h, N b = bx o σ bh = bhξ o σ bh, z b = h x o /2 = h(1 ξ o /2), M M = N b z b = bh 2 ξ o (1 ξ o /2)σ bh. (SZM2) /I. ábra Törési határállapot (III. fesz. állapot). Derékszögű négyszög alakú keresztmetszet SZABAD MÉRETEZÉSE I.

56 2.) A h dolgozó magasság nagysága Az (SZM2) összefüggés alapján felírhatjuk, hogy h =. (SZM3) Ebből a h értéke egyszerű gyökvonással adódik. A gerenda teljes h t magassága: h t = h+a. Ismeretes a semleges tengely x o = ξ o h nagysága is. Ennek felhasználásával az N b nyomóerő értéke is adott, továbbá az N = N b nyomóerő egyenlő a H húzóerővel: N = N b = bx o σ bh = H. A fentiek alapján a szükséges húzott acélbetét mennyiség egyszerűen adódik: A s,szüks = H/σ sh = A s,alk. (SZM4) Itt A s,szüks az elméleti úton meghatározott szükséges acélbetét mennyiség. Ennél egy kicsivel több acélbetétet kell alkalmaznunk, mert a ténylegesen beépíthető acélbetéteknek meghatározott átmérőik vannak (Ø12 mm, Ø14 mm stb.). A ténylegesen alkalmazott acélbetét mennyiség: A s,alk. 3.) ELLENŐRZÉS Az A s,alk acélbetét mennyiséghez tartozó teherbírás megfelelőségét mindig le kell ellenőrizni! Az ellenőrzést a ábrán láthatók szerint kell elvégezni. Megjegyzés: szabad méretezésnél elvileg a gerenda b szélességét is kereshetjük. A megoldás értelemszerűen a fentiek szerint történhet /II. ábra Törési határállapot (III. fesz. állapot). Derékszögű négyszög alakú keresztmetszet SZABAD MÉRETEZÉSE II.

57 SZABAD MÉRETEZÉS ( A s ' = 0) 1.) Alapösszefüggések Szabad méretezés esetén olyan betonméreteket keresünk, hogy a nyomott betonzónát teljes mértékben kihasználjuk ( x = x o ) és nyomott acélbetéteket ne alkalmazzunk: A s ' = 0. A megfelelő alapegyenlet azt fejezi ki, hogy az N b beton nyomóerőnek a H acél húzóerő támadáspontjára vonatkozó nyomatéka mint ellenállás azonos az M M külső mértékadó nyomatékkal: M M = N b z b. (SZTM1) Itt z b a belső erők karja. Most csak az x o v esettel foglalkozunk /I. ábra Törési határállapot (III. fesz. állapot). T-alakú keresztmetszet SZABAD MÉRETEZÉSE I.

58 A nyomatéki egyenletben figyelembe kell vennünk, hogy az N b = N bo + N bl nyomóerő 2 részből áll: N bo = bx o σ bh, N bl = (b f b)vσ bh, M M = M ot = N bo (h x o /2) + N bl (h v/2), M M = bx o σ bh (h x o /2) + (b f b)vσ bh (h v/2), M M = h 2 bξ o (1 ξ o /2)σ bh + h(b f b)vσ bh (b f b)(v 2 /2)σ bh. (SZTM2) 2.) A h dolgozó magasság nagysága Az (SZTM2) egyenletből az alábbi általános alakú 2. fokú egyenlet vezethető le: h 2 + Bh + C = 0. Itt B > 0 és C < 0. Ennek megoldása: h = [ ]/2. (SZTM3) Ehhez x = x o tartozik. Ebből a 2. fokú egyenletből h értékét kiszámítva a gerenda teljes h t magassága: h t = h + a. Ismeretes a semleges tengely x o = ξ o h nagysága is. Ennek felhasználásával az N = N b = N bo + N bl = bx o σ bh + (b f b)vσ bh nyomóerő értéke is adott, továbbá az N nyomóerő egyenlő a H húzóerővel: N = H /II. ábra Törési határállapot (III. fesz. állapot). keresztmetszet SZABAD MÉRETEZÉSE T-alakú II.

59 A fentiek alapján a szükséges húzott acélbetét mennyiség egyszerűen adódik: A s,szüks = H/σ sh = A s,alk. (SZTM4) Itt A s,szüks az elméleti úton meghatározott szükséges acélbetét mennyiség. Ennél egy kicsivel több acélbetétet kell alkalmaznunk, mert a ténylegesen beépíthető acélbetéteknek meghatározott átmérőik vannak (Ø12 mm, Ø14 mm stb.). A ténylegesen alkalmazott acélbetét mennyiség: A s,alk. 3.) ELLENŐRZÉS Az A s,alk acélbetét mennyiséghez tartozó teherbírás megfelelőségét mindig le kell ellenőrizni! Az ellenőrzést a ábrán láthatók szerint kell elvégezni. Megjegyzés: szabad méretezésnél elvileg a gerenda b szélességét, vagy a fejlemez b f szélességét is kereshetjük. A megoldás értelemszerűen a fentiek szerint történhet /III. ábra Törési határállapot (III. fesz. állapot). keresztmetszet SZABAD MÉRETEZÉSE T-alakú III.

60 σ = σ x = (M/I x )y. τ = τ xy = T(S x ')/(I x b) ábra Nyírófeszültségek (τ ) rugalmas gerendában

61 Síkbeli feszültségi állapot. Esetünkben: σ y =0. σ o = (σ x +σ y )/2 σ x /2 σ oo = (σ x σ y )/2 σ x /2 tan2α = τ xy /σ oo 2τ xy /σ x Főfeszültségek: σ 1,2 = σ o ± {σ oo 2 + τxy 2 } 0.5 σ 1,2 = σ x /2 ± {σ x 2 /4+τxy 2 } 0.5. húzótrajektóriák (a σ 1 főfeszültségek görbéje): nyomótrajektóriák (a σ 2 főfeszültségek görbéje) : ábra Nyírófeszültségek (τ ) rugalmas állapotokban [I. és II. feszültségi állapot]. Főfeszültségek (σ 1, σ 2 )

62 A berepedt vasbeton keresztmetszetben az x iii semleges tengely alatt elméletileg állandó a τ nyírófeszültség (S x '= const.). Ennek megfelelően a húzótrajektóriák ferde egyenesek ábra Nyírófeszültségek (τ ) és normálfeszültségek (σ ) rugalmas állapotokban [I. és II. feszültségi állapot], egyszerű esetekben

63 t ny : a nyírásra vasalandó tartószakasz hossza T Hs = ΣT Hsi = 0,85hΣ(A si /t i )σ shi (sinα i + cosα i ) (T1) T Hb = (1 T Hs /T Hf )T Ha 0 (T2) T Ha T H = T Hb + T Hs T Hf (T3) T H T M (T4) T Ha, T Hf, T Hb, T Hs : b). ábra a). ábra A nyírási teherbírás meghatározása törési határállapotban [III. feszültségi állapot]

64 T Hb,T Hs : a). ábra b). ábra A nyírási teherbírás meghatározása törési határállapotban [III. feszültségi állapot]

65 ábra Rugalmasságtani csavarási alapfogalmak. Csavarási megtámasztási fajták

66 Nyitott keresztmetszetek 1 2 de Saint Venant (S index) Zárt keresztmetszetek Bredt (B index) A fajlagos elcsavarodás: Az eredő τ t csavarófeszültség: φ' = υ = M t /(GI t ). τ t = τ ts + τ tb. A maximális csavarófeszültség: Az eredő I t csavarási tehetet- lenségi nyomaték: τ t = M t /W t. I t = I ts + I tb ábra Rugalmasságtani, tiszta csavarási keresztmetszeti jellemzők

67 Az I. feszültségi állapotban a csavart gerenda repedésmentes. A húzásokat is, és a nyomásokat is túlnyomórészt a beton veszi fel. Mint pl. tiszta hajlításnál ( a). és 1b). ábra). Összehasonlításul l. a hajlítási trajektóriákat a ábrán. A terhelést fokozatosan növelve, az első repedések a nagyobbik oldal közepén lépnek fel. Ha a gerendában van kellő mértékű csavarási vasalás, akkor kialakulhat csavarásra is a II. feszültségi állapot. A gerenda a húzótrajektóriáknak megfelelően össszerepedezik. A csavarási vasalás jellegzetessége, hogy hálót alkot. A hálóvasalás alkalmas a felső ábrán vázolt ferde húzó főfeszültségek felvételére ábra Tiszta csavarási (T = 0) viselkedés rugalmas állapotokban [I.-II. feszültségi állapot]. Csavarási főfeszültségi trajektóriák. Csavarási törési határállapot [III. feszültségi állapot].

68 M thk = 2A t (A sk σ shk )/t k M thl = 2A t (A sl σ shl )/K t ( Mt1) M th = (M thk, M thl )kisebb ( Mt2) M tha M th M thf ( Mt3) M th M tm ( Mt4) M tha, M thf : b). ábra a). ábra A tiszta csavarási (T M = 0) teherbírás meghatározása törési határállapotban [III. feszültségi állapot]

69 M tha = n a [N M /(bh)]w t n a = 0,1 ha N M <0 (nyomás) n a = 0 ha N M >0 (húzás) M thf = 0,25W t σ bh + n f [N M /(bh)]w t n f = 0,15 ha N M <0 (nyomás) n f = 0 ha N M >0 (húzás) b). ábra A tiszta csavarási (T M = 0) teherbírás meghatározása törési határállapotban [III. feszültségi állapot]

70 ábra Csavart (M tm ), nyírt (T M ) és hajlított (M M ) gerenda törésképei határállapotban [III. feszültségi állapot]

71 a tényleges teherbírási vonal szabványok T M /T Ha +M tm /M tha 1 (M t T1) (T M /T Hf ) 2 + (M tm /M thf ) 2 1 (M t T2) T M /T H +M tm /M th 1 (M t T3) T Ha,T Hf,T H : a). és 1b). ábra M tha, M thf, M th : a). és 1b). ábra ábra Egyidejűen csavart (M tm ) és nyírt (T M ) gerenda ellenőrzése törési határállapotban [III. feszültségi állapot].

72

73 ábra Egyensúlyi utak különböző anyagmodellekkel

74 ábra A síkbeli rúdkihajlás alapesetei. Az l o helyettesítő kihajlási hosszak υ tényezői

75 A karcsúság/kihajlás miatti φ csökkentő tényező: NEV = 1,2 + 0,11Θ + 0,132Θ 2 φ = 1/NEV Ha Θ > 2.5, akkor pontosabb eljárásra van szükség. N bho = h tx h ty σ bh, N sho = ΣA s σ sh N bho. Az N H határerő N Ho összesített alapértéke: N Ho = N bho + N sho. Az N H határerő; ellenőrzés: N H = φn Ho N M ábra Központos nyomás derékszögű négyszög keresztmetszet esetén. A központos nyomás karcsúság/kihajlás miatti φ csökkentő tényezője

76 Az N H határerő N Ho összesített alapértéke: N Ho = N bho + N sho. Az N H határerő; ellenőrzés: N H = φn Ho N M a). ábra Központos nyomás kör alakú keresztmetszetek esetén. A központos nyomás karcsúság/kihajlás miatti φ csökkentő tényezője

77 Ha Θ 1 (zömök): Ha Θ 1 (zömök): r csk = (5ω csk + 25)A csk /(sd b ) 1 r acs = (ω acs + 25)v/D b 1 Ha Θ > 1 (karcsú): Ha Θ > 1 (karcsú): r csk = (5ω csk + 25)10A csk /(sl o ) 1 r acs = (ω acs + 25)10v/l o b). ábra Központos nyomás kör alakú keresztmetszetek esetén. A beton határfeszültségének a megnövelése (σ bh *)

78 Az elsőrendű elmélet szerinti, a szokásos statikai számításból kiadódó alapkülpontosság: e o = M om /N M. A véletlen jellegű geometriai eltérésekből származó Δe o kezdeti külpontosságnövekmény (inhomogén keresztmetszet + kezdeti görbeség): Θ = l o /[10h], Δe o = ( Θ/30)h. Az e k kezdeti külpontosság a fentiek alapján: e k = e o + Δe o. Az e M mértékadó külpontosság az e k kezdeti külpontosság és a Δe t törési külpontosságnövekmény összege: e M = e k + Δe t = e o + Δe o + Δe t. A Δe t képletét a b). ábrán mutatjuk be a). ábra Külpontos nyomás. Az e M mértékadó külpontosság meghatározása

79 A Δe t törési külpontosságnövekmény (Θ = l o /[10h]): Δe t = (0,04Θ 2 )h = 0,04(l o /[10h]) 2 h. Szemléltetés A ρ görbület (r t a görbületi sugár): d 2 y/dx 2 = Δe t (π/l o ) 2 = ρ = 1/r t x = l o /2 ε bh = 2,5 σ sh /E s = ε sf 1,5 ρ = 1/r t = (ε sf + ε bh )/h = Δe t (π/l o ) 2 h Δe t 0,04(l o /[10h]) 2 h b). ábra Külpontos nyomás. A Δe t törési külpontosságnövekmény szemléltetése

80 A szilárdsági/teherbírási középpont a(z) ΣN sho acél nyomóerő és az N bho beton nyomóerő N 1 =N Ho = N bho +ΣN sho eredőjének a helye. Ekkor az összes acélbetétet megfolytnak vesszük nyomásra (σ sh ). Az N bho erő a teljes betonkeresztmetszet határnyomóereje(σ bh ). N M = N b + N s H, (N1) N M (e H + c o ) = N b z b + N s h s e H, (N2) M H = N M e H M M = N M e M. (N3) Először feltételezzük, hogy a nyomott acélbetétek megfolynak: N b = bxσ bh, z b = h x/2, N s = A s 'σ sh N b, H = A s σ s. A húzott acélbetétek meg nem folyását (σ s < σ sh ) a ábrán megismert módon lehet figyelembe venni: σ s = 412/ξ húzás; ξ = x/h. Ha a nyomott acélbetétek nem folynak meg ( σ s ' < σ sh ), akkor: σ s ' = 412/ξ' nyomás; ξ' = x/h' ábra Külpontos nyomás. Az e H határkülpontosság meghatározása (az N M adott)

81 A szilárdsági/teherbírási középpont a(z) ΣN sho acél nyomóerő és az N bho beton nyomóerő N 1 =N Ho = N bho +ΣN sho eredőjének a helye. Ekkor az összes acélbetétet megfolytnak vesszük nyomásra (σ sh ). Az N bho erő a teljes betonkeresztmetszet határnyomóereje(σ bh ). N H = N b + N s H, (N4) N H (e M + c o ) = N b z b + N s h s N H, (N5) N H N M. (N6) Először feltételezzük, hogy a nyomott acélbetétek megfolynak: N b = bxσ bh, z b = h x/2, N s = A s 'σ sh N b, H = A s σ s. A húzott acélbetétek meg nem folyását (σ s < σ sh ) a ábrán megismert módon lehet figyelembe venni: σ s = 412/ξ húzás; ξ = x/h. Ha a nyomott acélbetétek nem folynak meg ( σ s ' < σ sh ), akkor: σ s ' = 412/ξ' nyomás; ξ' = x/h' ábra Külpontos nyomás. Az N H határerő meghatározása (az e M adott)

82 A ábrán bemutatott módon, a folyamatosan változó e M mértékadó külpontosságokhoz előállítható a keresztmetszet N H határerőit és M H = N H e M határnyomatékait ábrázoló pontok mértani helye, a teherbírási vonal. Ez az igénybevételpár a C pontban működik. Az 1 2 görberész a kiskülpontos nyomást, a 2 3 görberész a nagykülpontos nyomást, a 3 4 görbe (egyenes) a külpontos húzást ábrázolja. N 1 = bh t σ bh + (A s +A s ')σ sh 2bh t σ bh N 2 = bhξ o σ bh + (A s ' A s )σ sh, de: A s 'σ sh bhξ o σ bh M 2 = bh 2 ξ o (1 ξ o /2)σ bh + A s 'h s σ sh N 2 c o M 3 = bh 2 ξ(1 ξ/2)σ bh + A s 'h s σ sh,de: A s 'σ sh bhξσ bh x = ξh = (A s A s ')σ sh /(bσ bh ) [Figyelem! Ez a legegyszerűbb eset.] N 4 = (A s +A s ')σ sh ábra Külpontos nyomás. Teherbírási vonal (derékszögű négyszög keresztmetszetekhez)

83 ábra Teherbírási vonalak (derékszögű négyszög keresztmetszetekhez, szimmetrikus vasalásnál)

84 ábra Ellenőrzés két tengelyre külpontos (e xo, e yo ) N M mértékadó normálerőre. Ferde külpontos nyomás és húzás

85 1. A VASBETONRÓL ÁLTALÁBAN 1.1. DEFINÍCIÓ A vasbeton betonból és a betonba ágyazott acélbetétekből álló olyan építőanyag, amelyben az említett két alkotóelem együttdolgozik. Ez az építőanyag nem homogén (homogén = egynemű, egyféle, egyforma tulajdonságokkal rendelkező; gör.), mint pl. az acél, hanem heterogén ( heterogén = másfajta, másnemű, különböző részekből álló, külön-, más-, gör.), vagy más szóval inhomogén anyag. L. még az 1.4. pontot. Már az egyik alkotóeleme a beton, önmagában sem homogén, hiszen pl. a beton nyomószilárdsága lényegesen nagyobb, mint a húzószilárdsága. Ebből következően betonból nem készíthetők (vagy csak igen előnytelen módon készíthetők) húzott vagy hajlított szerkezeti elemek. Viszont, ha a betonba acélbetéteket helyezünk, akkor a kapott új anyag, a vasbeton, húzófeszültségek felvételére is alkalmas lesz. A vasbetonban a nyomófeszültségeket a beton hordja, míg a húzófeszültségeket az acélbetétek veszik fel. A két anyag együttdolgozása azért is lehetséges, mert a beton és az acél hőtágulási együtthatója csaknem megegyezik egymással. A tökéletes együttdolgozást az acélbetétek felületének rovátkolása, érdesítése bordák kialakításával biztosítja V ábra). A beton és az acél tulajdonságainak a kihasználásával új, kedvező teherviselő tulajdonságú/képességű építőanyaghoz jutottunk. A vasbeton tulajdonképpen mesterségesen előállított kő. A vasbeton anyagairól részletesebben az 1.4. pontban írunk. 1/1

86 1.2. RÖVID TÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉS A mechanika, a statika és a szilárdságtan fejlődésére meghatározó hatású néhány természettudós a kései reneszánszon és az újkoron át a legújabb korig: Leon Battista Alberti ( ), Leonardo da Vinci ( ), Galileo Galilei ( ), Robert Hooke ( ), Isaac Newton ( ), Johann Bernoulli ( ), Leonhard Euler ( ), Charles Coulomb ( ), Louis Navier ( ), Barré de Saint-Venant ( ), Benoit P. Clapeyron ( ), George Airy ( ), Enrico Betti ( ), Carl Culmann ( ), Gustav Kirchhoff ( ), James Maxwell ( ), Heinrich Gerber ( ), Otto Mohr ( ), Carlo Castigliano ( ), Heinrich Müller- Breslau ( ). A 20. századi mechanikai és statikai ismereteinek rohamos bővülése mások mellett az alábbiaknak köszönhető (a külföldiek közül): H. Cross, H. Duddeck, Ph. Frank, K. Girkmann, F. Grashof, A. Kleinlogel, J. Melan, G. Mehrtens, R. von Mises, A. Pflüger, A. Pucher, J. Rayleigh, S.P. Timoshenko, J.M.T. Thompson, O.C. Zienkiewicz stb. A vasbeton építés és a vasbeton tudomány úttörői a 19. században és a 20. század elején: F. Coignet, A. Considère, W. Döhring, F. Hennebique, T. Hyatt, Kazinczy Gábor, M. Koenen, J. Monier, R. Saliger, Zielinszki Szilárd, F. Wayss stb. A modern vasbeton tudomány kiemelkedő művelői közül néhány: P.W. Abeles, Z.P. Bazant, H. Bechert, K.-W. Bieger, Bölcskei Elemér, Czakó Adolf, F. Czerny, Csonka Pál., F. Dischinger, H. Duddeck, J. Eibl, U. Finsterwalder, E. Freyssinet, G. Franz, K. Girkmann, Y. Guyon, A.A. Gvozgyev, Gyengő Tibor, E. Hampe, W. Herberg, E. Hoyer, K. Kordina, F. Leonhardt, G. Magnel, Ch. Massonnet, C. Menn, Menyhárd István, Mihailich Győző, Mistéth Endre, E. Mörsch, V.I. Murasov, A.H. Nilson, Paulay Tamás, Palotás László, A. Pflüger, A. Pucher, G.S. Ramaswamy, K. Ritter, H. Rüsch, R. Saliger, J. Schlaich, C. Schleicher, K. Stiglat, E. Torroja, H. Trost stb. 1/2

87 A vasbeton feltalálása J. Monier párizsi kertész nevéhez fűződik. Monier 1849-ben cementhabarcsból virágcserepeket készített, mégpedig úgy, hogy a cementhabarcsba vékony vasbetéteket is tett. A vasbeton építőipari felhasználására F. Coignet francia mérnök tett először javaslatot (1867). Wayss és Bauschinger 1887-ben Bécsben kísérleti eredményeket tett közzé. Ezek a kísérletek megfelelő választ adtak arra az alapvető kérdésre, hogy mik a beton és az acélbetét jó együttdolgozásának a feltételei, továbbá, hogy rozsdásodik-e az acélbetét a betonban. A szilárdsági ellenőrző és méretező számítások az első időkben ezeken a kísérleteken alapultak. A vasbeton kísérleti és elméleti tudományos vizsgálata a 20. század elején nagy lendülettel indult meg. Kiemelkedett az első évtizedekben A. Considère, E. Freyssinet, E. Mörsch, K. Ritter, R. Saliger stb. munkássága. A vasbetonépítés magyarországi úttörője a 20. század első felében Kazinczy Gábor, Zielinszki Szilárd és Mihailich Győző volt. A feszítés területén az első jelentős eredményeket az 1920-as években F. Hoyer, E. Freyssinet, G. Magnel érte el. Az (elő)feszítés alapgondolata az, hogy a vasbetéteket előzetesen megfeszítik, két végükön rögzítik, majd a feszítőerőt a megszilárdult betonra ráengedik. Ezáltal a betonban nyomófeszültség létrehozásával ki lehet küszöbölni azt, hogy a betonban húzófeszültségek ébredjenek. A feszítőerő a beton megfelelő mértékű húzószilárdságát pótolja. L. ezt részletesebben a 8. fejezetben. A modern vasbeton tudomány eredményeit a tankönyv következő fejezeteiben ismertetjük meg az olvasóval (a nagy neveket l. előbb, bekeretezve). Tankönyvünk és oktatási keretünk terjedelmi korlátai miatt a vasbetonépítés történetét tovább nem részletezzük. 1/3

88 1.3. A VASBETON ELŐNYEI ÉS HÁTRÁNYAI A vasbeton szinte nélkülözhetetlen, igen elterjedt építőanyag. A vasbeton felhasználási lehetőségei széleskörűek: nagytömegű építmények, vastag szerkezetek ( nagy alaptestek, völgyzáró gátak stb.); vékony szerkezetek ( lemezek, falak, héjak stb.); a fenti két eset közötti átmeneti szerkezetek (gerendák, oszlopok, keretek, ívek stb.). A vasbeton előnyei: Gyors munkával, tetszőleges és szép alakba önthetőség. Tűzállóság (az állékonyság biztosítandó tűz esetére is). Nagy merevség (az acélszerkezetekéhez és a faszerkezetekéhez képest). A vasbeton szerkezet robusztus (= erős, markos, erőteljes; lat.): földrengésnek, robbanásnak jobban ellenáll, mint az egyéb szerkezetek. Viszonylag kis építési költségek. De mérlegelni kell azt is, hogy mekkora legyen az építmény élettartama. A fenntartás költsége ugyanis bizonyos esetekben magas lehet (pl. hídon drága korrózióvédelmi bevonatok). Az előző ponthoz: a beton összetevői (homokos-kavics, cement stb.) könnyen hozzáférhetőek, és a kevert beton szállítása sem okoz ma már különösebb nehézséget. A vasbeton hátrányai: Repedésérzékenység. Bár az acélbetétek törési határállapotban stb. jelentős húzófeszültségeket képesek felvenni, a beton berepedését nem képesek meggátolni. A repedések sűrűségét, tágasságát viszont az acélbetétek kedvezően befolyásolhatják. Korrózióvédelmi (beszivárgó vizek, füstgázok stb.) szempontból a repedéskorlátozás igen nagy jelentőségű. 1/4

89 Viszonylag alacsony nyomószilárdság. Ezért a nagyon magas szerkezetek (tornyok, magasházak stb.), a nagy fesztávolságú hidak, csarnokok általában acélból gazdaságosabbak. Ennek az az oka, hogy a szokásos/hagyományos vasbetonok nyomószilárdsága az acél nyomószilárdságának az 1/10-1/20-a mértékű csupán, míg a vasbeton térfogatsúlya csak az 1/3-a az acélénak. Zsaluzni kell, állványozni kell a helyszínen készített (monolit) vasbeton szerkezetet. Ez munkaigényes, időigényes és anyagigényes tevékenység. Előregyártással ez a hátrány nagymértékben csökkenthető. A vasbeton utólagos átalakítása nehézkes. A vasbeton kúszik (lassú alakváltozás+ernyedés), zsugorodik ( pont). A fenntartás költsége bizonyos esetekben magas lehet (pl. hídon drága korrózióvédelmi bevonatok). 1/5

90 1.4. A VASBETON ÉPÍTŐANYAGAI. ANYAGMODELLEK A vasbeton építőanyagai. Anyagmodellek Ebben a pontban helyhiány miatt a betonra, a betonacélra és a feszítőacélra vonatkozó legszükségesebb ismereteket foglaljuk csak össze. A további részletek iránt érdeklődőknek ajánljuk a tankönyv elején lévő Irodalomból a Freund [5], a Jankó [6 9], és a Palotás-Balázs [19] (tan)könyveket és az [M4] szabványt. A beton hidraulikus kötőanyagból (cement), vízből és adalékanyagból (homok, homokos-kavics és kavics) álló keverék, mely készítésekor lágy és alakítható, majd a kötési folyamat során fokozatosan megszilárdul (mesterséges kő). A beton alkotórészei: a kötőanyag a cement, a víz egyrészt lehetővé teszi a cement kötését, másrészt a bedolgozáshoz szükséges folyósságot adja. az adalékanyag a homok és a kavics meghatározott arányú keveréke. az adalékszerek (betonkiegészítők) kémiai és fizikai úton megjavítják a beton egyes tulajdonságait: képlékenyítő, légpórusképző, szilárdulásgyorsító (kötés- gyorsító), kötéskésleltető, tömítő stb. szerek. 1/6

91 A friss beton tulajdonságai röviden: a betonösszetétel, a vízcementtényező (v/c), a konzisztencia (a bedolgozhatóság mértéke): FN = földnedves, KK = kissé képlékeny, K = képlékeny, F = folyós, a légtartalom, a telítettség, a szivattyúzhatóság. A megszilárdult beton tulajdonságai röviden: a szilárdság, amit a következők határoznak meg: a cementminőség, a cement kötési ideje, a v/c vízcementtényező, az adalékanyag minősége és szemszerkezete, a keverés módja/időtartama, a szállítás módja, a bedolgozás módja, az utókezelés [nedvesen tartás], a hőmérséklet, az esetleges fagy, a beton kora, a tömörség, a σ ε diagramok, a rugalmassági és az alakváltozási tényező ( ábra), többtengelyű feszültségi állapot van-e, a szívósság, a fáradás, a vízzáróság, a fagyállóság, a kopásállóság, a kúszás, a zsugorodás. A beton megnevezésének a következőket kell tartalmaznia: a beton jelét ( C ), a beton nyomószilárdsági számjelét (hengerszilárdság/ kockaszilárdság: pl. 25/30), az adalékanyag legnagyobb szemcsenagyságát ( d max = 25 mm), a konzisztencia fokozatát (pl. KK), a vízzárósági fokozat jelét (pl. vz2), a fagyállósági fokozat jelét (pl. f150), a kopásállósági fokozatot (pl. K10), a légpórusosságot (%-ban), és az esetleg alkalmazott adalékszerek megnevezését. A jelölésnek a következőket mindenképpen meg kell adnia: C25/30 25 KK. 1/7

92 A beton és a betonacél valóságos alakhelyes σ(ε ) diagramja az ábrán látható. A valóságos σ(ε ) diagrammokkal igen fáradságos lenne a mérnöki munka. Ezért ezen diagramok helyett egyszerűbbeket használunk: az ábrán a beton, a betonacél és a feszítőacél különböző szabványok szerinti anyagmodelljeit szemléltettük. A határfeszültségek, a kúszási és a zsugorodási tényezők, a kezdeti rugalmassági tényezők és egyéb anyagjellemzők tényleges értékeit l. a tankönyv elején, az Irodalomban megnevezett Freund [5] tankönyvben és az [M4] szabványban A kúszás és a zsugorodás A beton legfontosabb tulajdonságai közül kiemeljük az időben elhúzódó alakváltozásokat: a kúszást és a zsugorodást. L. az ábrán. A kúszás a lassú alakváltozás és az ernyedés együttessége. A lassú alakváltozás a beton tömörödésével kapcsolatos tartós alakváltozás, melyet az jellemez, hogy tartós terhelő erők hatására a beton alakváltozása időben fokozatosan növekszik, majd egy bizonyos végértéket ér el. Tartós terhelő mozgás hatására a beton nyomófeszültségei csökkennek, ugyanakkor a betonacél húzófeszültségei megnövekszenek. Ezt a jelenséget ernyedésnek nevezzük. Ez a két jelenség szorosan összefügg és a vasbetonban egyszerre jelentkezik. A beton jellegzetes tulajdonsága, hogy száradáskor zsugorodik, nedvesség hatására duzzad. Az ε zs zsugorodási tényező t = t időpontbeli végértéke: ε zs. A φ kúszási tényező azt fejezi ki, hogy a beton ε bo kezdeti (t = t o = 0 időpontbeli) fajlagos rugalmas alakváltozása (összenyomódása) a kúszás hatására idővel ε b = ε bo + ε bk mértékűre megnövekszik, ahol ε bk = ε bk (t) = φ(t)ε bo a fajlagos kúszási alakváltozás. A φ = φ(t) kúszási tényező 1/8

93 t = t időpontbeli végértéke: φ. A φ tényező függ a megterhelés t o = τ időpontjától is. Ezért az ábrán a t idő kúszás esetén a megterhelés t o = τ időpontjától értendő, míg zsugorodás esetén a betonozástól. Az ábrán t o = τ = 0. A vázolt kúszási folyamatot az ún. lineáris kúszási törvény írja le, amely szerint az ε bk = ε bk (t) = φ(t)ε bo fajlagos kúszási alakváltozás lineárisan/egyenesen arányos a φ(t) kúszási tényezővel. Az ε b teljes fajlagos beton alakváltozás az ε bo kezdeti fajlagos rugalmas alakváltozás és az ε bk fajlagos kúszási alakváltozás összege (az ε zs zsugorodás nélkül): ε b = ε b (t) = ε bo + ε bk (t) = ε bo + φ(t)ε bo = ε bo (1+φ(t) ), (1.4.0) vagy rövidebb írásmóddal: ε b = ε bo (1+φ). (1.4.1) Az ε zs zsugorodással együtt a teljes fajlagos beton alakváltozás: ε b = ε bo + ε bk + ε zs = ε bo (1+φ) + ε zs. Az ábrán az ε zs zsugorodás és a φ kúszás f(t) időbeli lefutási függvényét azonosnak tekintettük: ε zs = ε zs (t) = ε zs f(t) és φ = φ(t) = φ f(t). A vasbeton szerkezet kúszás/lassú alakváltozás előidézte megnövekedett alakváltozásait, elmozdulásait (lehajlás stb.) a Fritz-féle látszólagos rugalmassági tényezővel, az E b ún. alakváltozási tényezővel vehetjük figyelembe. Ennek nagysága a t = t időpontban: a) tartós terhelő erők (önsúly stb.) esetén: b) tartós terhelő mozgás (zsugorodás) esetén: E b = E bo /(1 + φ ). (1.4.2) E bzs = E bo /(1+0,52φ ). (1.4.3) Itt E bo a beton kezdeti (t = t o = 0 időpontbeli) rugalmassági tényezője. 1/9

94 1.5. A BETON ÉS AZ ACÉLBETÉT EGYÜTTDOLGOZÁSA. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTOK Tekintsük az ábrát, ahol a ábrán azt szemléltetjük, hogy az acélbetétek a τ tapadófeszültségek révén kapnak húzóerőt. Az acélbetétek lehorgonyzását az V ábrán tárgyaltuk. Érdemes megfigyelni a b ábrán vázolt különleges erőjátékot: ívhatás. Megjegyezzük, hogy a modern vasbeton szilárdságtanban létezik egy olyan irányzat, amelyik a vasbeton szerkezetet nyomott betonrudakból és húzott betonacél rudakból álló speciális rúdszerkezetként modellezi (Jörg Schlaich és a strut-and-tie modell). Ezzel a továbbiakban nem foglalkozunk. A további fejtegetések előtt ismét tekintsük át az ábrát, ahol a vasbeton anyagainak anyagmodelljeit láthatjuk. Az ábrán egy hajlított-nyírt tartó példáján azt mutatjuk be, hogy a terhelés növekedésével a vasbeton keresztmetszetek 3, egymástól eltérő módon viselkedő feszültségi állapotba kerülnek: Kis terhelésnél a keresztmetszet repedésmentes. Úgy hajlításra, mind nyírásra. Ez az ún. I. feszültségi állapot. Ez mindaddig tart, amíg a beton eléggé alacsony, σ hh nagyságú húzószilárdsága, azaz húzó határfeszültsége ki nem merül. A növekvő terhelés egy bizonyos értékénél a keresztmetszet bereped. Egy bizonyos tehernél hajlításra, és egy másik tehernél nyírásra. Ekkor kezdődik az ún. II. feszültségi állapot. Ez mindaddig tart, amíg a beton 1,2σ bh nagyságú nyomó határfeszültségét és/vagy az acélbetétek σ sh nagyságú húzó határfeszültségét el nem érjük (elvileg az acélbetétek elérhetik nyomásra is a σ sh nagyságú nyomó határfeszültséget). A teher további növelésével a keresztmetszet berepedése fokozódik. Egy idő után az acélbetétek megfolynak ( ábra és ábra: σ s = σ sh ). A nyomott betonzóna fokozatosan képlékenyedik, végül a szélső nyomott betonszál az összemorzsolódás határára kerül, azaz összenyomódása eléri az ε bh mértékű határértéket. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a most leírt teherhordó viselkedés az ún. normálisan vasalt vasbeton keresztmetszetekre igaz: ábra. 1/10

95 Az ábrán a hajlítási törés és a nyírási törés jellegzetes repedésalakjait mutatjuk be. Megállapítható, hogy törekedni kell jó tapadási tulajdonságú (V ábra) acélbetétek alkalmazására. A későbbiekben a repedéskorlátozás tárgyalásánál ( TISZTA HAJLÍTÁS: 3.1. pont) rámutatunk arra is, hogy a repedések tágassága kisebb, ha kis átmérőjű, sűrű vasalást alkalmazunk. Az I.,a II. és a III. feszültségi állapot jellegzetességeit részletesen tárgyaljuk a 3., és a 4. fejezetben VASALTSÁGI SZINTEK (normálisan vasalt, gyengén vasalt, alulvasalt, túlvasalt) Az ábrán a vasbeton keresztmetszetnek a tönkremenetel pillanatában mutatott viselkedését szemléltetjük. Látható, hogy ez a viselkedés a vasaltság mértékétől függ. Ha csak viszonylag csekély vasalást alkalmazunk, akkor a vasalt szerkezet nem tekinthető vasbetonnak: 1a: alulvasalt tartó. Ennél az acélbetétek a repedések megjelenésekor (M r ) azonnal elszakadnak(ε s > ε sh ). A II. feszültségi állapot sem alakul ki. 1b: gyengén vasalt tartó. Ez esetben az acélbetétek a repedések megjelenése után még működnek, meg is folynak (σ s = σ sh ), de az ε bh elérése előtt elszakadnak (ε s > ε sh ). A II. feszültségi állapot kialakul ugyan, de a III. nem. Az 1a esetet, azaz az alulvasaltságot, mindenképpen el kell kerülnünk, hiszen az előrejelzés nélküli, katasztrófa jellegű törést, hirtelen összeomlást jelent. Az 1b esetben, az ún. gyengén vasalt szerkezeteknél nem erről van szó. Vannak olyan nagyméretű vasbeton szerkezeti elemek, amelyek viszonylag kis igénybevételeket kapnak. Pazarlás lenne ezekben annyi vasalást elhelyezni, mint egy normálisan vasalt szerkezetben. Ilyen pl. az alapozási szerkezetek jó része. 1/11

96 A gyengén vasalt szerkezet határigénybevételét az ábrán látható módon kell meghatározni. Először kiszámítjuk a szokásos vasbeton szilárdságtan szerinti határigénybevételt: M Hvb vagy N Hvb. Ezután a m 1 mértékű, a gyengén vasaltság miatti teherbírás-csökkentő tényezővel redukáljuk a vasbeton teherbírást: pl. M Hgyv = mm Hvb. A szokásos normális vasbeton viselkedés akkor áll elő, ha a vasalás eléri, ill. meghaladja az ábrán szemléltetett minimális értéket: 2: normálisan vasalt tartó. Ekkor az acélbetétek megfolynak (σ s = σ sh ). A beton szélső szálában létrejön az ε bh határ összenyomódás. Kialakul a III. feszültségi állapot (σ s = σ sh, σ b = σ bh ). Ez esetben a terhelés növekedésével a törési határállapot fokozatosan, jól látható repedésekkel előrejelezve következik be. Az ilyen tartó általában kellően szívós (viszonylag nagy képlékeny alakváltozások után következik be a tényleges törés). Az esetek túlnyomó többségében ezt a vasalási helyzetet kell előállítani. Előfordulhat az is, hogy túlságosan nagy a húzott vasalás: 3 túlvasalt tartó (ridegen törik): Erre az jellemző, hogy az acélbetétek nem folynak meg (σ s < σ sh ), de a beton szélső szálában létrejön az ε bh határ összenyomódás. Ezt is kerülni kell. Egyrészt, mert gazdaságtalan. Másrészt azért is, mert a törés érdemi repedéses előrejelzés nélkül, ridegen következik be. Az ábrán jól látható, hogy az x semleges tengely nagysága az M hajlítónyomaték növekedésének a függvényében egyre csökken. 1/12

97 2. MÉRETEZÉSI/ELLENŐRZÉSI ÉS TERVEZÉSI ELVEK 2.1. VALÓSZÍNŰSÉGELMÉLETI ALAPISMERETEK Tankönyvünk keretei nem teszik lehetővé, hogy elmélyedjünk a valószínűségelméletben. Viszont a 2.2. pontbeli fejtegetésekhez néhány valószínűségelméleti alapfogalomra szükségünk van. Nézzünk egy egyszerű példát a ábrán. Kísérletet végeztünk N = 100 db beton próbahenger eltörésével. Egy-egy x i törési értéket valószínűségi változónak nevezünk. A kísérletben az x i = 19 Nmm -2 nagyságú törési szilárdság k i = 27-szer fordult elő. A k i szám az x i törési szilárdság (valószínűségi változó) gyakorisága. A k i /N arányt relatív gyakoriságnak nevezzük. A (relatív) gyakoriságok diagramjának megfelelő f(x) függvényt (relatív) gyakorisági függvénynek vagy sűrűségfüggvénynek nevezzük. Annak a valószínűsége (VAL), hogy valamely x törési szilárdság (valószínűségi változó) értéke kisebb vagy egyenlő, mint egy megadott x i érték, a következő: VAL[ x x i ] = F(x) = f(x)dx. Az integrálást az x o x i tartományban kell elvégezni. Az F(x) érték az f(x) függvénynek az x i -től balra lévő területével egyenlő. A F(x) függvényt eloszlásfüggvénynek nevezzük. A továbbiakban egy bizonyos mért anyagjellemző, a beton nyomószilárdság, továbbá az igénybevételek (határigénybevételek, mértékadó igénybevételek) gyakorisági függvényeit fogjuk elemezni ( ábra). 2/1

98 2.2. MÉRETEZÉSI/ELLENŐRZÉSI ELVEK. A BIZTONSÁG ÉS A KOCKÁZAT SZINTJE Tegyen az olvasó először egy rövid kitérőt a A) pontra, amelyben az egy tartószerkezettől elvárható használati és teherbírási követelményeket, és így egyben a szerkezet (főbb) tönkremeneteli fajtáit foglaltuk össze. A Mechanika, és a Tartók statikája tárgyakban azt tanulták meg a hallgatók, hogy mekkora igénybevételek (M, T, N stb.) lépnek fel egy adott tartószerkezetben, mégpedig megadott terhekből. Ezek egyértelműen meghatározott feladatok. Ezután a szilárdságtani méretezések/ellenőrzések során megadott határfeszültségek (anyagellenállások) segítségével méretezik, illetve ellenőrzik a tartókat. Ezekben a számításokban látszólag szó sem lehet valamilyen véletlenszerűségről. Tudomásul kell venni azonban azt, hogy az építményre ható terheket és így az igénybevételeket is továbbá a szerkezet teherbírását is általában előre meg nem határozható, véletlenszerű tényezők befolyásolják. A gazdaságosság szempontjait is figyelembe véve meg kell elégednünk azzal, hogy az igénybevételeknek a tartó élettartamán belül valószínűen várható legnagyobb értékére (M M, T M, N M stb.) kell megfeleljen a tartó teherbírásának valószínűen várható legkisebb értéke (M H, T H, N H stb.). L. a ábrát. Hasonlóan kell eljárni a használati esetekben is: repedések korlátozása, lehajlások korlátozása, rezgések korlátozása stb. esetén is, de más valószínűségekkel. L. itt később. Ilyen megközelítésben a biztonság a terv alapján, az abban előírt minőségi kívánalmak (szabványok) szerinti anyagokból és technológiával elkészítendő tartószerkezet használati (repedezettségi, alakváltozási) és teherbírási stb. tartósságának a várható valószínűsége. Egy bizonyos élettartamon belül. Tudomásul vesszük azt, hogy teljesen biztos építmény nincs. Kompromisszumot kell kötnünk az előállítási+fenntartási költségek és a használat alatti (repedezettségi, alakváltozási stb.), továbbá a teherbírási tartósság között. A 2.2.I. táblázatban összefoglaltuk a szokásos teherbírási méretezési /ellenőrzési eljárások vázlatát. Rámutattunk arra, hogy a továbbiakban a hazai gyakorlatnak megfelelően az osztott biztonsági tényezős eljárást fogjuk alkalmazni. Az osztott biztonsági tényező azt jelenti, hogy a bizonytalanságokat külön a terhek/igénybevételek oldalán (mértékadó 2/2

99 terhek/igénybevételek) és külön az anyagok ellenállásának az oldalán (határfeszültségek, határigénybevételek) vesszük figyelembe. A ábrán láthatók a mértékadó terhek/igénybevételek meghatározásának az alapelvei. Látható, hogy itt némi valószínűségszámításra is szükség van. Ezért is van a módszer nevében a félvalószínűségi jelző. A γ M = 1,2 1,4 nagyságú biztonsági tényezőt úgy állapították meg valószínűségszámítással hogy annak a valószínűsége, hogy az építmény élettartama során az E M mértékadó tehernél nagyobb teher is éri a szerkezetet, 5% legyen. Ez a mértékadó tehernek, mint szélsőértéknek az ún. túllépési valószínűsége. A mértékadó teherre/igénybevételre a teherbírási (törési) határállapotok ellenőrzésekor van szükség ( ábra). A gyakorisági függvény (sűrűségfüggvény) ún. várható értéke az az E v teher/igénybevétel, amely a mérésekkel, statisztikai kiértékelésekkel kapott terhek/igénybevételek átlagértéke. Ezt a várható értéket tekintjük a teher/igénybevétel alapértékének. Ennek a tartós (!) részére a használati (rugalmas) határállapotok vizsgálatánál van szükség: repedéskorlátozás, alakváltozások korlátozása stb. Ezek a hasznos terhek az Irodalom szerinti [M2] szabványban és az [5] segédletben találhatóak (a tartós rész általában 50%). A ábrán láthatók egy anyagellenállás, nevezetesen példaként a beton határfeszültsége meghatározásának az alapelvei. Látható, hogy itt is szükség van egy kis valószínűségszámításra. Ez az eljárás ui., amint már említettük ún. félvalószínűségi módszer. A γ b = 1,3 nagyságú biztonsági tényezőt úgy állapították meg valószínűségszámítással hogy annak a valószínűsége, hogy az építmény élettartama során a σ bh beton nyomó határfeszültségnél kisebb törési szilárdság is előfordulhat, 1 (ezrelék!) legyen. Ez a beton nyomó határfeszültségének, mint szélsőértéknek az ún. alulmaradási (túllépési) valószínűsége. A különböző betonok és betonacélok szilárdsági stb. jellemzői az Irodalom szerinti [M4] szabványban és az [5] segédletben találhatóak. A gyakorisági függvény (sűrűségfüggvény) ún. várható értéke az a σ v betonszilárdság, amely a mérésekkel, statisztikai kiértékelésekkel kapott betonszilárdságok átlagértéke. De nem ezt a várható értéket tekintjük a betonszilárdság alapértékének, hanem az R bk minősítési értéket (ennek 5% az alulmaradási valószínűsége). Az α R tényezőt az ábrán definiáltuk. Tekintsük a ábrát, ahol az M H M M alapvető ellenőrzési összefüggést szemléltetjük. Az M M és az M H érték a ábra és a ábra alapján meghatározható. Az igénybevételek f M, továbbá a teherbírások f H gyakorisági görbéjének (sűrűségfüggvény) a felrajzolása alapján megmondhatjuk azt is, hogy mennyi a tönkremenetel bekövetkezési valószínűsége, tehát, hogy mennyi a kockázat. Látható, hogy teherbírásra minden szerkezet mehet tönkre. Viszont a használati állapotokbeli 2/3

100 károsodások (repedések, lehajlások stb.) bekövetkezési valószínűsége jóval nagyobb: minden szerkezet károsodhat. A kockázat szintjét a műszaki követelmények és a gazdaságossági megfontolások kompromisszumaként állapították meg. Lényeges az építménytől elvárt megfelelőségi időtartam, élettartam is. Magyarországon a magasépítésben ez általában 50 év, míg egy hídszerkezet esetében 100 év TERVEZÉSI ELVEK A TERVEZÉS CÉLJA. ÁLTALÁNOS ELVEK A) ÁLTALÁBAN A szerkezettervezés legfontosabb céljai az alábbiak (ez az általános fontossági sorrend is): a) A funkció (feladat) ellátása. b) A műszaki követelmények teljesítése. c) Gazdaságos szerkezetek tervezése. d) Az esztétikai igények kielégítése. Mindenekelőtt arra hívjuk fel a figyelmet, hogy a felsorolt célokat a korszerűség messzemenő szem előtt tartásával kell elérni (korszerű anyagok, szerkezetek, építéstechnológiák stb. alkalmazása). Az a) pontba, a funkció ellátásához tartozik az építmény egészének rendeltetésszerű, üzemszerű használhatósága, megfelelése (szinház, egyetem, raktár, áruház stb.). A b) műszaki követelmények elsősorban a statikával (az igénybevételek és az alakváltozások meghatározása), a szilárdságtannal (a repedések korlátozása, az alakváltozások/lehajlások és a süllyedések korlátozása, a rezgések korlátozása, fáradási megfelelőség, teherbírási ellenőrzés ), 2/4

101 a stabilitással (kihajlás, horpadás stb.), a helyzeti állékonysággal (elcsúszás, felborulás, felúszás stb.) kapcsolatos b1) statikai/erőtani és szilárdságtani követelményeket jelentik. L. a pontot. A b) pontba természetesen a fentieken kívül beletartoznak a b2) műszaki használhatósági követelmények is: a vízszigetelés, a vízelvezetés, az elektromos berendezések, a fűtés stb. használhatósága. Rámutatunk arra, hogy az a) és a b) pontbeli tervezési alapcélokhoz tartozó ismeretek elvileg könnyen megtanulhatók és a szükséges ismeretek legfontosabb részeit a szakhatóságok szabályzatok, szabványok, műszaki előírások formájában pontosan rögzítik is. A c) követelmény, azaz a gazdaságosság követelménye és a d) követelmény, azaz az esztétikai követelmény az előző kettővel szemben nem szabványosítható, nem automatizálható. Ezek a tervezés kreatív (alkotó) és intuitív (ösztönös megérzésen, felismerésen alapuló) részei. A szerkezettervezés nem csupán tudatos, logikai művelet, hanem részben intuitív tevékenység is, ezért minden esetre alkalmazható receptet nem lehet adni, csak általános szerkezettervezési irányelveket. A szerkezettervezés részben tudomány, részben intuíció. A vázolt a) d) szempontok sokszor ellentétesek egymással, így a jó megoldás korrekt kompromisszum eredményeképpen jön létre. Hasonló a helyzet a társtervezőkkel (épületgépész, közmű tervező, építész stb.) való együttműködéssel is. Alapvetően fontos, hogy a társtervezők a tervezés kezdeti fázisától kezdve együttműködjenek. Az építészeti tervezést a szerkezettervezéstől általában nem lehet élesen elválasztani. A tervezés ezen két tevékenység együttessége. A két tevékenység esetenként különböző mértékben átfedi egymást. Mások az arányok a két terület között a magasépítésben és a hidászatban (mélyépítésben). Egy lakóházhoz elsősorban építészre, egy hídhoz elsősorban statikusra van szükség. 2/5

102 2.3.1.B) A STATIKAI SZÁMÍTÁSOKRÓL A szerkezetek erőjátéka megismerésének tudományterületén is robbanásszerű változást hozott az utóbbi évtizedekben az elektronikus számítógépek elterjedése. Kifejezetten számítógépi numerikus módszer a végeselem módszer (mozaikmódszer). A műszaki feladatok megoldási menetének legfontosabb lépése a modellfelvétel. A végeselem módszer technikájának elsajátításával ma már olyan hatások vizsgálatára is alkalmas lehet a modell, melyek a hagyományos analitikus eszközökkel kezelhetetlenek. Ennek következtében ma egy sajátos állapot alakult ki a statikai számítások terén, ugyanis egyrészt léteznek a sokszor alkalmazott és a mérnöki tudás adott szintjén jól bevált hagyományos/klasszikus analitikus módszerek, pontos vagy közelítő számításokra alkalmas formában, másrészt elterjedtek a modern numerikus eljárások, mint pl. a végeselem módszer. Mind a kétféle vizsgálati módszernek (analitikus, numerikus) van létjogosultsága, csak tudnunk kell azt, hogy melyiket milyen célra alkalmazzuk. Az analitikus módszereket ma többnyire elsősorban közelítő számításokhoz használjuk. A pontos számításokat általában numerikus algoritmusokat alkalmazó számítógépi programok segítségével végezzük. Kétféle statikai számítást kell készíteni: a közelítő számítást az engedélyezési tervhez; a részletes/pontos számítást a kiviteli tervhez. A statikai számítás áttekinthető és ellenőrizhető kell legyen. Ma már a számítógépi számítással nyert eredményeket tekintjük pontosnak, de ez természetesen csak akkor igaz, ha meggyőződtünk arról, hogy 1) a program alapjául szolgáló statikai modell/váz és a numerikus algoritmus helyes és kellően pontos; 2) a programban nincs programozási hiba; 3) a felhasználó/tervező nem követett el adatbeviteli vagy modellfelvételi hibát. A gépi számítást is mindig ellenőriznünk kell, mégpedig elsősorban az adatbevitelt és az eredmények nagyságrendjét és előjelét. 2/6

103 A gépi számításokhoz a szerkezet statikai modelljét/vázát és a közelítő méreteit a tervezőnek kell felvennie. Ezek a pontos gépi számítás kiinduló/input adatai. A közelítő méretek felvételéhez jó hasznát lehet venni a tapasztalatoknak, az ún. ökölszabályoknak. Pl. a fesztávolság és a tartómagasság aránya esetében; a hagyományos/klasszikus analitikus módszerekkel előállított tervezési diagramoknak, képleteknek (l. a különböző mérnöki kézikönyvekben, a Beton Kalenderekben stb.). Sajnálatos módon többen a mások vagy saját maguk készítette program segítségével elvégzett gépi számítás eredményeiben kontroll nélkül (nagyságrend, előjel stb.) vakon megbíznak. Különösen olyankor baj ez, ha a program a repülőgép eltűnt fekete dobozához hasonló abban az értelemben, hogy nem tudni pontosan mi van benne ( elmélet? algoritmus? pontosság? ). Olyan gépi számítási output lap rendszer fogadható csak el, amely mellett legalább vázlatos programleírás szerepel, továbbá rövid, de önálló kézi közelítő számítás is szükséges. A következő tervezői és szakértői elvek hasznosak lehetnek a tervezői gyakorlatban. A pontosnak/egzaktnak tekinthető számítások mellett nagy szükség van egyszerű, szemléletes, áttekinthető közelítő eljárások alkalmazására, illetve kidolgozására, mégpedig olyanokra, melyek a jelenség domináns részét a mérnöki gyakorlat számára kellő pontossággal le tudják írni. Az egyik fő nehézség ezeknél abban rejlik, hogy megfelelő megbízhatósággal meg tudjuk-e mondani (becsülni) a közelítés mértékét, az eljárás korlátait. Egyébként esetenként fennáll a durva pontatlanság, esetleg sarlatánság veszélye is. Az ezt elkerülni képes mérnökök az igazán nagyok. Nem az a jó eljárás, amelyik a lehetséges hatások egy részét a matematika legmagasabb szintjén veszi figyelembe, a többit meg elhanyagolja, hanem az, amelyik (majdnem) minden lehetséges hatást ha különböző pontossági szinten is be tud vonni a számításba, továbbá meg tudja adni az eljárás alkalmazási korlátait. Ez a szemléletmód egységet alkothat a számítógép segítségével végzett, (többnyire) pontos/egzakt matematikai apparátust használó tevékenység nézőpontjával. 2/7

104 A gyakorlati élet apostolai gyakran alábecsülik a statikai vizsgálatok jelentőségét. Olyan vulgáris vélemény is létezik, hogy a szerkezetek úgysem úgy fognak viselkedni, ahogy mi tervezők elképzeljük, pl. azért mert a szerkezetek nem tanultak statikát. Itt persze csak arról van szó, hogy egyrészt a kutatás, a megismerés egy folyamat, másrészt abból, hogy valakik valamit nem ismernek, nem következik az, hogy mások sem. Talán nem félreérthető a következő kijelentés: a számítógép egy rendkívül buta, de végtelenül szorgalmas állat, mely nélkülözhetetlen, mert elvégzi helyettünk a számítás kézi módszerekkel kezelhetetlen részeit. Viszont a számítógép nem helyettesíthet sem statikai ismereteket, sem intuíciót. Ugyanakkor eddig nem ismert mértékben kiterjeszti a hozzáértő statikus tervező lehetőségeit, hogy jó és gazdaságos szerkezeteket tervezhessen, illetve, hogy az energiáinak döntő részét az érdemi szerkezettervezésre fordíthassa. A piacgazdaságban sok-sok mérnöki iroda van (szemben a volt szocialista mamutvállalatokkal). Irodavezető stb. csak az lehet, aki a szerkezettervezést ismeri, akinek kellő rálátása van a komplex tervezési feladatra és nem veszik el a részletekben. Ezzel a tankönyvvel az volt a célunk, hogy segítséget nyújtsunk a hallgatóknak ahhoz, hogy célszerű, gazdaságos, műszakilag helyes, biztonságos és nem utolsósorban szép vasbetonszerkezeteket alkossanak. Alapvető célunk volt az is, hogy a vasbetonszerkezetek tervezésének különböző nézőpontjait kiegyensúlyozottan mutassuk be. Nevezetesen: túlságosan a (terjedelmes) számításokra koncentrálva nem lehet kifogástalan szerkezeteket létrehozni, de az ellenkező véglet sem helyes: nem elegendő elsősorban csak a tapasztalatokra és a szerkezeti ismeretekre támaszkodni. A két különböző szemlélet közötti megfelelő arány megtalálása sokszor nem is olyan egyszerű dolog. Nagyon fontos az arányok szerepe: ti., hogy milyen mélységig merüljünk el a számításokban; hol az a határ, ahonnan a tervekre, a konstrukcióra, a szerkezetekre kell koncentrálni. Már csak azért is, mert szorít a határidő 2/8

105 Végül felhívjuk a figyelmet arra, hogy a tervező mérnöknek megfelelő rajzi tudása, rajzi képessége, és a szerkezeti csomópontokra vonatkozó jó ismeretei kell legyenek. A hallgatók mérnöki szemlélete fejlesztése érdekében a magyarázó ábrák mellett szerkezeti rajzokat is bemutatunk (VASALÁSI SEGÉDLET). Elsődleges, hogy áttekinthető, jó szerkezeteket tervezzünk. Egy-egy jó szerkezeti megoldás kivitelezési és funkcionális szempontból is nagyjelentőségű STATIKAI ÉS SZILÁRDSÁGTANI SZEMPONTOK A) SZABÁLYZATI KÖVETELMÉNYEK A szerkezettervezés legfontosabb 4 célja közül a b) műszaki követelményeknek ( pont) 2 fő csoportja van: b1) a statikai/erőtani és szilárdságtani követelmények, melyeket most ismertetünk; b2) a műszaki használhatósági követelmények ( a vízszigetelés, a vízelvezetés, az elektromos berendezések, a fűtés stb. használhatósága). A b1) statikai/erőtani és szilárdságtani követelményeknek az alábbi alcsoportjait különböztetjük meg: 2/9

106 1.) HASZNÁLATI, illetve üzemi követelmények: 1.1) repedéstágasságra, 1.2) alakváltozásokra (lehajlásokra, rezgésekre, süllyedésekre stb.). 2.) TEHERBÍRÁSI követelmények, azaz: 2.1) megfelelés törési határállapotban (hajlítás, nyírás, csavarás, külpontos nyomás stb.), 2.2) megfelelés fáradásra. Feszített vasbeton szerkezeteknél (6. fejezet) a használati teherből származó szélső szálfeszültségek megfelelőségét is célszerű kimutatni (mint a hidászatban). Megjegyezzük, hogy az esetleges dinamikai vizsgálatokra csak igen röviden céloztunk ( rezgések elhangolása stb.). 3.) STABILITÁSI megfelelőség: 3.1) kihajlásra (oszlop), 3.2) horpadásra (fal, lemez), 3.3) kifordulásra (beemelt gerenda). 4.) HELYZETI ÁLLÉKONYSÁGI megfelelőség: 4.1) kibillenésre/felborulásra (támfal), 4.2) elcsúszásra (támfal), 4.3) felúszásra, stb. A terhelő erők és a terhelő mozgások (kúszás, zsugorodás, hőmérsékletváltozás, süllyedés stb.) okozta igénybevételek, valamint alakváltozások (lehajlások) meghatározására általában a homogén, izotróp, repedésmentes, lineárisan rugalmas anyagú tartókra vonatkozó módszereket szabad alkalmazni. A tartó alakváltozásainak az erőjátékra való visszahatásából származó ún. másodrendű hatások (igénybevétel-növekmények, alakváltozás-növekmények) általában elhanyagolhatóak. Ez azt jelenti, hogy az ún. elsőrendű elmélet keretében, kis elmozdulások feltételezésével dolgozhatunk, kivéve, ha a 2/10

107 másodrendű hatások a tartó erőjátékát számottevően befolyásolják. Pl. egyes nem kellően merevített oszloprendszerek stabilitása, külpontos/központos nyomás, lapos ívek stb. L. a 4. fejezetet (oszlop) B) HASZNÁLATI (rugalmas) HATÁRÁLLAPOTOK a) Repedéskorlátozás Repedéskorlátozási vizsgálatra a betonacélok korrózióvédelme és a szerkezet megfelelő esztétikai megjelenése miatt van szükség. Ezt a vizsgálatot a tartós terhekre kell elvégezni. L. a b) pontban. b) Az alakváltozások (lehajlások) korlátozása Az alakváltozásokat/lehajlásokat egyrészt használhatósági okok miatt, másrészt vizuális/pszichológiai okok miatt korlátozzuk. Ezt a vizsgálatot a tartós terhekre kell elvégezni. L. a c) pontban. 2/11

108 2.3.2.C) TEHERBÍRÁSI (törési) HATÁRÁLLAPOTOK Most csak felsoroljuk a legfontosabb teherbírási (törési) határállapotokat. A későbbiekben, a 3., 4. pontban részletesen megtárgyaljuk a szükséges számításokat. 1.) Tiszta hajlítás 2.) Tiszta nyírás 3.) Tiszta csavarás 4.) Egyidejű nyírás és csavarás 5.) Külpontos/központos nyomás és húzás 6.) Fáradási vizsgálat A magasépítési vasbeton szerkezeteket fáradás szempontjából általában nem kell megvizsgálni, kivéve, ha azt az illetékes főhatóság vagy a megrendelő külön előírja. 2/12

109 3. A VASBETON GERENDA 3.1. HAJLÍTÁS A Mechanika c. tárgyból ismeretes, hogy ennél az igénybevételnél a keresztmetszetet terhelő M hajlítónyomatékból csak σ normálfeszültségek ébrednek. Emlékeztetünk arra, hogy a hajlítás mindig nyírással jár együtt (3.2.: NYÍRÁS) I. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT A további összefüggéseket kéttámaszú tartó mezőközepére írjuk fel. A mezőközépi keresztmetszetet M M h nagyságú pozitív nyomaték terheli (húzás alul). M h a használati (üzemi) nyomaték, amelyet a terhek biztonsági tényező nélküli (γ = 1), ún. alapértékéből képezünk. Repedéskorlátozáshoz és az alakváltozások (lehajlások) korlátozásához a hasznos tehernek csak a tartós részét kell figyelembe venni. Ez általában a teljes hasznos teher 50%-a. Az x ii, I ii keresztmetszeti jellemzőket a a). és 1b). ábra alapján lehet meghatározni a) A szélső szálfeszültségek ellenőrzése (I. fesz. áll.) Megfelelés esetén ki kell elégüljenek az alábbi egyenlőtlenségek. Feszültség a felső (f), nyomott szélső betonszálban (b: beton, nyomó; H: határ): M σ bi,f = x ii 1,2σ bh. (3.1.1.) I ii Az alsó (a), húzott szélső betonszálban (b: beton, h: húzó, H: határ) ébredő feszültség: σ bi,a = M (ht x ii ) σ hh. (3.1.2.) I ii 3/1

110 A repesztőnyomaték ( r ): M r = I ii σhh. (3.1.3.) (h t x ii ) A (3.1.2.) kritériumnak általában akkor van jelentősége, ha repedésmentességet kell teljesíteni (pl. víztartályok esetében). Megjegyezzük, hogy ez általában csak feszítés révén sikerül (6. fejezet: FESZÍTÉS) II. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT (repedéskorlátozás,lehajlások korlátozása) A további összefüggéseket kéttámaszú tartó mezőközepére írjuk fel. A mezőközépi keresztmetszetet M = M h nagyságú pozitív nyomaték terheli (húzás alul). M h a használati (üzemi) nyomaték, amelyet a terhek biztonsági tényező nélküli (γ = 1), ún. alapértékéből képezünk. Repedéskorlátozáshoz és az alakváltozások (lehajlások) korlátozásához a hasznos tehernek csak a tartós részét kell figyelembe venni. Ez általában a teljes hasznos teher 50%-a. Az x iii, I iii keresztmetszeti jellemzőket és az n merevségi paramétert a a). és 1b). ábra alapján lehet meghatározni a) A szélső szálfeszültségek ellenőrzése (II. fesz. áll.) Megfelelés esetén ki kell elégüljenek az alábbi egyenlőtlenségek. Feszültség a felső (f), nyomott szélső betonszálban (b: beton, nyomó; H: határ): σ bii,f = M xiii 1,2σ bh. (3.1.4.) I iii 3/2

111 Feszültség az alsó (a), húzott szélső (i = 1) acélbetétek tengelyében (s: acél; H: határ): M σ sii = n (h t x iii a 1 ) σ sh. (3.1.5.) I iii b) REPEDÉSKORLÁTOZÁS Repedéskorlátozási vizsgálatra a betonacélok korrózióvédelme, vízzárás biztosítása és a szerkezet megfelelő esztétikai megjelenése miatt van szükség. A hajlított (M h ) szerkezeti elem repedéstágasságának szabványos összefüggéseit a a). és 2b). ábrán szemléltettük. Az algoritmus tömören az alábbi: (σ sii ) 2 D A r =. (3.1.6.) E s ασ bi,a σ bi,a /σ hh 1, (3.1.7.) 1 ψ = 1 (α/3)(σ hh /σ bi,a ) 0.5, (3.1.8.) a M = 0.5A r ψ a H. (3.1.9.) Az a M mértékadó(m) repedéstágasság a szélső húzott betonacélok súlyvonalában értendő. A fentiekben σ sii a működő M h használati (üzemi) nyomaték előidézte acélfeszültség a berepedt keresztmetszetben, a szélső acélbetétekben (a II. fesz. állapot szerint számítva). L. a a). és 1b). ábrát is; D a betonacélok átmérője (több átmérő esetén helyettesítő átmérő); E s = 2.06*10 5 Nmm -2 a betonacél rugalmassági tényezője ( ábra); α a tapadási tényező, melynek nagysága sima betonacél esetén α =1.0, és bordás/periodikus betonacél esetén α = 2; σ hh a beton húzó határfeszültsége; σ bi,a a beton húzott szélső szálában fellépő fiktív húzófeszültség, tekintet nélkül a σ hh túllépésére (az I. fesz. állapot szerint számítva; σ bi,a σ hh ). L. a a). és 1b). ábrát is; a H a határ repedéstágasság. L. a következőkben. 3/3

112 A 0.5 ψ 1 tényező azt fejezi ki, hogy a betonacélt körbevevő berepedt húzott betonzóna akadályozza a betonacél ε s nyúlását, és így a bebetonozott betonacél rugalmassági tényezője megemelkedik a minden kényszer nélkül szabadon nyúló csupasz betonacél E s rugalmassági tényezőjéhez képest: E st = E s /ψ E s. Ez a merevítő hatás tulajdonképpen nyúláscsökkentő hatás. Általános esetben ψ 0.5, míg gyakran ismétlődő teher esetén ψ = 1,0. Az ábrán ε sm az egymástól maximálisan s r,max távolságra lévő repedések közötti átlagos acélbetét nyúlás. A repedéstágasság a Hooke-törvény analógiájára kapható: a M = s r,max ε sm. A (3.1.9.) képlet átalakítása és elemzése révén hasznos következtetéseket vonhatunk le. Megállapítható, hogy az a M repedéstágasság csökkenthető ( ábra) a húzott betonzóna minél kisebbre választásával (a szélesség csökkentésével), a h t gerendamagasság növelésével, kis átmérőjű (D), sűrű vasalás alkalmazásával! az α tapadási tényező növelésével, a σ hh beton húzó határfeszültség növelésével (v.ö. ψ), a betonacél mennyiségének (A s ) a növelésével. Az a H határ repedéstágasság értékei: a H = 0,1 mm: korrózióvédelem olyan > 65% rel. páratartalmú nedves zárt közegben/térben, ahol páralecsapódásra kell számítani (pl. fürdők stb.); agresszív gázokkal/folyadékokkal/ anyagokkal érintkező szerkezetek esetében [ha a repedésmentesség nincs előírva]; talajjal és/vagy időszakosan vízzel érintkező szerkezeteknél; vízzárás biztosítása nyomott öv nélküli keresztmetszetekben (húzott); 3/4

113 a H = 0,2 mm: korrózióvédelem olyan > 65% rel. páratartalmú nedves zárt közegben/térben, ahol páralecsapódásra nem kell számítani (pl. klimatizált üzemek), továbbá nedves szabad közegben/térben; állandóan vízzel érintkező szerkezeteknél (pl. víz alatti oszlopok); vízzárás biztosítása általános esetben; a H = 0,3 mm: kedvezőtlen esztétikai-pszichikai hatás elkerülése burkolatlan szerkezeteknél; a H = 0,4 mm: korrózióvédelem átlagos relatív páratartalmú ( 65%) közegben (pl. irodák, lakások) c) AZ ALAKVÁLTOZÁSOK (lehajlások) KORLÁTOZÁSA Az alakváltozásokat egyrészt használhatósági okok miatt, másrészt vizuális/pszichológiai okok miatt korlátozzuk. Ebben az esetben is mint a repedéskorlátozásnál a használati (üzemi) terhet a terhek biztonsági tényező nélküli (γ = 1), ún. alapértékéből képezünk. Repedéskorlátozáshoz és az alakváltozások (lehajlások) korlátozásához a hasznos tehernek csak a tartós részét kell figyelembe venni. Ez általában a teljes hasznos teher 50%-a. Ki kell mutatni, hogy a keletkező f = f M mértékadó lehajlás nem nagyobb az f H határértéknél ( ábra): f M f H. ( ) Kéttámaszú tartónál f H = L/200 vagy f H = L/150, ahol L [m] kéttámaszú tartó l t = l támaszköze. Folytatólagos tartók, keretek stb. esetében L a nyomatéki zéruspontok közötti l o távolság. Kétirányban teherhordó lemezeknél L a kisebb támaszköz. Konzolnál f H = L/100 vagy L/75, ahol L [m] a konzol (tényleges) hossza. A fentiekben a kisebb szám a nevezőben (150 illetve 75) mérsékeltebb igényszint esetén alkalmazható. 3/5

114 Az α = α M mértékadó elfordulásokat is korlátozni kell: α M α H. ( ) Itt a határ elfordulás: 2,25%. α H = 1,5%, vagy mérsékeltebb igényszint esetén Rámutatunk arra, hogy a keresztmetszetek berepedését a fenti számítás során figyelembe kell venni. Az x iii, I iii keresztmetszeti jellemzőket a a). és 1b). ábra alapján lehet meghatározni. A fentiek szerinti tartós terhekből származó alakváltozások mértékét nagymértékben befolyásolja a kúszás: ábra. A vasbeton szerkezeteket túlemelve kell megépíteni III. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT Ebben a pontban röviden összefoglaljuk a hajlítási M H határnyomatékok meghatározásának egyszerű elméletét, kiemelve az ELLENŐRZÉS fontosságát: M H M M, ahol M M a (külső) mértékadó hajlítónyomaték. Továbbá megmutatjuk a hajlítási MÉRETEZÉSI módszereket is. Elsősorban ábrák segítségével szemléltetjük a vizsgálatokat, a szöveges rész minimális. Tekintsük a ábrán a (tiszta) hajlításnál előforduló három jellegzetes σ-ε tartományt: Az 1 esetben a nyomott acélbetétek nem folynak meg. Ebben a tartományban a húzott betonacélok nyúlása egyre inkább megközelítheti az ε sh acél határnyúlást ( ábra). Kialakulhat az ábrán tárgyalt alulvasalt, illetve gyengén vasalt állapot. A 2 jelű ábrán mind a húzott, mind a nyomott betonacélok megfolynak: ez a normálisan vasalt keresztmetszet. Ilyen keresztmetszet tervezésére kell törekednünk. 3/6

115 A 3 jelű ábrán a húzott betonacélok nem folynak meg. Ekkor túlvasalt keresztmetszetről beszélünk: ábra. Ezt kerülnünk kell, mert ez gazdaságtalan. A ábrán az ellenőrzést az (M1) vetületi egyenlettel kell kezdeni az x semleges tengely meghatározása céljából. Először célszerű mind a húzott, mind a nyomott betonacélokat megfolytnak tekinteni. Ebből adódóan a σ s és a σ s ' acélfeszültség helyébe a megfelelő határfeszültséget írjuk be: 2 tartomány; σ s = σ sh és σ s ' = σ sh ' = σ sh. Ha az így kiadódó x érték ellentmondásban van a σ s re és a σ s ' re a ábrán feltüntetett redukciós képletek valamelyikével, azaz vagy a húzott, vagy a nyomott vasalás nem folyik meg, akkor az (M1) képletbe értelemszerűen a σ s re vagy a σ s ' -re vonatkozó redukciós képletek valamelyikét kell behelyettesíteni. Így ξ = x/h-ra 2. fokú egyenletet kapunk. Az M H határnyomatékot az (M2) nyomatéki összefüggés szolgáltatja: ELLENŐRZÉS. Megfelelés esetén M H M M, ahol M M a (külső) mértékadó nyomaték. A ábrán egy vázlatos folyamatábrát adunk meg a derékszögű négyszög keresztmetszet M H határnyomatéka meghatározására. Itt részletesen elemezzük a húzott és a nyomott acélbetétek meg nem folyási eseteit, továbbá megmutatjuk azt is, hogy a nyomott acélbetétek N s teherbírása nem lehet nagyobb, mint a nyomott betonzóna egyidejű N b teherbírása: N s N b. A ábrán rámutatunk arra, hogy ebben a könyvben az M H határnyomatékokat csak a beton szélső szála ε bh = 2,5 mértékű összemorzsolódásának a feltételezésével határozzuk meg: 1 eset. Amennyiben azonban a szélső acélbetétek ε s = σ s /E s nagyságú nyúlása meghaladja az ábra szerinti ε sh = határnyúlást, akkor elvileg a feladatot meg kellene ismételni az ε s = ε sh feltétel alapján: 2 eset. Ez az acélbetétek ε s nyúlásának a korlátozása. Vagy több húzott acélbetét alkalmazásával csökkenteni lehetne az ε s nyúlást. Megjegyezzük, hogy az 1 szerint a húzott acélbetétek folyásával (σ s = σ sh ) kapott M H határnyomaték nagysága, a H = A s σ sh = N = const. feltétel miatt, a 2 megoldás esetén általában nem változik (vagy csak csekély mértékben kisebb, ti. a belső erőkar kissé csökkenhet). 3/7

116 Az ellenőrzési és a méretezési tudnivalókat 24 ábrán részletesen elemezzük: 1a.) Általános alapismeretek és a derékszögű négyszög keresztmetszet M H HATÁRNYOMATÉKa. ELLENŐRZÉS (4 db): ábra. 1b.) T-alakú keresztmetszet M H HATÁRNYOMATÉKa. ELLENŐRZÉS (5 db): /I.-V. ábra. 2a.) Derékszögű négyszög keresztmetszet KÖTÖTT méretezése (4 db): /I.-IV. ábra. 2b.) T-alakú keresztmetszet KÖTÖTT méretezése (6 db): /I.-VI. ábra. 3a.) Derékszögű négyszög keresztmetszet SZABAD méretezése (2 db): /I.-II. ábra. 3b.) T-alakú keresztmetszet SZABAD méretezése (3 db): /I.-III. ábra. 3/8

117 3.2. NYÍRÁS I. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT II. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT Tekintsük a ábrát, amelyen a nyírási jelenség lényegét szemléltetjük. A homogén (egynemű), izotróp (melynek fizikai tulajdonságai egy pontban a tér minden irányában azonosak), lineárisan rugalmas anyagú gerendát gondolatban bontsuk fel az ábrán látható módon két részre, majd terheljük meg. Ekkor a két egymásra helyezett gerenda külön-külön viseli a rá eső terhet. Ennek megfelelően az alsó félgerenda felső szélső szála összenyomódik, míg a felső félgerenda alsó szélső szála megnyúlik. Ezen deformációk eredményeképpen lép fel az ábrán feltüntetett Δ eltolódáskülönbség. Ha azt akarjuk, hogy a két fél gerenda együttdolgozzon, akkor a két félgerenda kapcsolati felülete mentén vízszintes irányú (x) τ = τ yx csúsztatófeszültségeket kell működtetni. Általában τ nyírófeszültségekről beszélünk, de ebben az esetben jobban kifejezi a fizikai lényeget a csúsztatófeszültség szó. A τ = τ yx csúsztatófeszültségek működésének eredményeképpen a Δ eltolódás-különbség eltűnik, és a két félgerenda h t magasságú egységet fog alkotni. Rámutatunk arra, hogy egy dxdy méretű elemi hasáb nyomatéki egyensúlyi feltételéből az következik, hogy a τ yx vízszintes (x) nyírófeszültségnek mindig van τ xy = τ yx nagyságú függőleges (y) párja! Ez a Maxwell-féle reciprocitási tétel speciális alakja. A nyírófeszültségek meghatározására bemutatott Grashof-féle képlet világosan mutatja, hogy a τ = τ xy = τ yx nyírófeszültségek a (külső) T nyíróerőtől függenek, amiből következik, hogy egyensúlyi okból a τ = τ xy = τ yx nyírófeszültségeknek a keresztmetszet menti összege (integrálja) a külső T nyíróerővel kell megegyezzen. Az ábrán feltüntettük a homogén, izotróp anyagú gerendákra a Mechanika c. tárgyból már megismert alapképleteket a σ normálfeszültségek és a τ = τ xy nyírófeszültségek meghatározására. A σ normálfeszültségek az M hajlítónyomatékból, míg a τ xy nyírófeszültségek a T nyíróerőből származnak. Tudjuk azt is, hogy az M nyomaték és a T nyíróerő között szoros 3/9

118 kapcsolat van. Az M hajlítónyomatékkal mindig együtt jár bizonyos nagyságú T nyíróerő is. Nevezetesen dm/dx = T, azaz a nyomatéki függvénynek az x helykoordináta szerinti első deriváltja a nyíróerő (az előjelet szemléletből állapítsák meg!). Megmutattuk azt is, hogy derékszögű négyszög keresztmetszet esetén a nyírófeszültségek a gerenda magassága mentén parabolikusan oszlanak meg. Mivel a vasbeton nem homogén és nem izotróp (l. még az 1.1. pontot), a fentiek a vasbetonra csak korlátozott mértékben tekinthetők pontosaknak. Nevezetesen: az I. és a II. feszültségi állapotban fellépő feszültségeket jó közelítéssel a ábrán látható összefüggésekkel lehet számítani. A σ normálfeszültségek meghatározását a és a pontban részletesen megtárgyaltuk. A rugalmas állapotokban (I. és II. feszültségi állapotok) ébredő σ x, σ y (σ y =0 általában) normálfeszültségeket és τ = τ xy = τ yx nyírófeszültségeket, továbbá az előző feszültségekből származtatható σ 1 húzó és a σ 2 nyomó főfeszültségeket, valamint ezek α hajlásszögét a tartótengelyhez szemlélteti a ábra. Ha a gerenda minden pontjában meghatározzuk a σ 1, σ 2, α mennyiségeket, akkor két egymásra merőleges görbesereget kapunk: ezek a főfeszültségi trajektóriák. Ezeket felrajzolva jobban megismerhetjük a gerenda rugalmas erőjátékát (ívszerű viselkedés is lehetséges; ábra). Felhívjuk a figyelmet a ábrára, ahol néhány a gyakorlatban sűrűn előforduló keresztmetszethez megrajzoltuk az alakhelyes τ = τ xy = τ yx diagramokat; repedésmentes állapothoz. Érdemes megfigyelni, hogy a berepedt keresztmetszetben a kísérletek szerint, hogyan módosulnak a τ nyírófeszültségek. Tekintsük a a). és 1b). ábrát. A T Ha alsó korlát segítségével mindenekelőtt azt kell eldönteni, hogy bereped-e a keresztmetszet, azaz szükség van-e nyírási vasalásra: T M T Ha? vagy T M > T Ha? Ha T M T Ha, akkor nincs szükség nyírási vasalásra. Elegendő csak szerkezeti kengyelezést alkalmazni. 3/10

119 III. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT Ha az előző kérdésre az a válasz, hogy T M >T Ha, akkor szükség van nyírási vasalásra. Ezután a T Hf felső korlát segítségével igazolni kell a betonméretek és a beton szilárdságának az alkalmasságát: T M T Hf? vagy T M >T Hf? Ha T M T Hf, akkor a keresztmetszet nyírásra bevasalható. Ez esetben a (T1) (T3) összefüggésekkel meg kell határozni a betonkeresztmetszet (T Hb ) és a nyírási vasalás (T Hs ) együttessége által felvehető T H határnyíróerő értékét. A fentiek alapján a T H határnyíróerő nagysága a T Ha alsó korlát és a T Hf felső korlát közé kell essen. Végül a megfelelést a (T4) feltétel teljesítése jelenti. 3/11

120 3.3. CSAVARÁS Mindenekelőtt a ábrán bemutatjuk a rugalmasságtani csavarási alapfogalmak közül a legfontosabbakat. Kétféle csavarási megtámasztási fajta látható az ábrán: az a) villás megtámasztás és a b) merev befogás. Az utóbbi megfelel annak, amit a Mechanika c. tárgyban az egyszerű (tiszta) hajlításnál már megismertek a hallgatók. A villás megtámasztásnak az a jellegzetessége, hogy a külső csavarónyomatékot fel tudja úgy venni, hogy nem gátolja a befogási keresztmetszet pontjainak tartótengelyirányú (x) w öblösödését (tartótengely irányú torzulását). Ezért a b) esettel ellentétben, az a) esetnél nem keletkeznek a befogásnál σ x σ ω járulékos feszültségek. A gyakorlatban szükség van a ábrán látható néhány fontosabb repedésmentes keresztmetszet rugalmasságtan szerinti tiszta csavarási keresztmetszeti jellemzőire. A nyitott keresztmetszetek de Saint-Venant-féle (S index) I t = I ts csavarási tehetetlenségi nyomatékát és W t = W ts csavarási keresztmetszeti tényezőjét tömör, vastagfalú szelvényekre adtuk meg: W ts,h és W ts,b. Téglalap keresztmetszetnél a hosszabb oldal (h) közepén keletkezik a legnagyobb τ t = τ th = τ ts csavarási nyírófeszültség. I-keresztmetszetben (i=1,2,3) a legvastagabb elemben keletkezik a legnagyobb τ ti = τ ts csavarási nyírófeszültség. A zárt keresztmetszetek Bredt-féle (B index) I t = I tb csavarási tehetetlenségi nyomatékát és W t = W tb csavarási keresztmetszeti tényezőjét szekrényes keresztmetszetekre adtuk meg. Ezeknél a legvékonyabb elemben (i=1,2,3,4) keletkezik a legnagyobb τ t = τ tb csavarási nyírófeszültség. A zárt keresztmetszetek teljes csavarási tehetetlenségi nyomatéka: I t = I ts + I tb, és hasonlóképpen az eredő csavarási nyírófeszültség: τ t = τ ts + τ tb. 3/12

121 Vékonyfalú zárt keresztmetszetek esetében az I ts, W ts, τ ts mennyiségek elhanyagolhatóan kicsinyek az I tb, W tb, τ tb mennyiségekhez képest. Az ábrán kiemeltük, hogy a t = τ tbi v i nagyságú ún. nyírófolyam a zárt keresztmetszet középvonala mentén állandó (i=1,2,3,4). Ezen alapszik az a számítási eljárás, amelyik a a). ábrán látható. A csavarás alábbi két fajtáját különböztetjük meg: 1) Tiszta csavarás (de Saint-Venant-féle csavarás; ábra) Tiszta csavarásra van igénybe véve az állandó keresztmetszetű, azaz állandó GI t csavarómerevségű gerenda/rúd, ha a két végén egyforma M t nagyságú erőpár csavarja, azaz az M t csavarónyomaték a rúdtengely mentén állandó. Tiszta csavarásnál a keresztmetszetek pontjainak tartótengelyirányú (x) w eltolódását/öblösödését, valamint a keresztmetszeti idom/kontur keresztirányú torzulását nem akadályozzuk meg. Tiszta csavarásból a rúd keresztmetszeteiben csak τ t csavarási nyírófeszültségek ébrednek és ezek a tartótengely mentén minden keresztmetszetben ugyanakkorák: ábra. A keresztmetszet pontjainak tartótengely irányú (x) w öblösödése is minden keresztmetszetben azonos nagyságú. 2) Gátolt csavarás (hajlító csavarás) Ha a keresztmetszet pontjainak tartótengelyirányú (x) w öblösödését valami gátolja, akkor gátolt csavarásról beszélünk. Ekkor a T csavarási/nyírási középponton ( ábra) átmenő csavarási tengely a rúd egyetlen olyan alkotója, mely egyenesen marad, a többi alkotó pedig elgörbül és a hosszát is megváltoztatja. A gyakorlatban általában gátolt csavarással van dolgunk. 3/13

122 Ha a szekrény keresztmetszetű vasbeton tartót vékony kereszttartó tárcsákkal, diafragmákkal megfelelően merevítjük, akkor a keresztmetszet keresztirányú torzulása elhanyagolhatóan kicsi lesz. Ennek megfelelően a gátlás helyénél kialakuló viszonylag jelentős nagyságú σ x σ ω (és τ ω ) öblösödési feszültségek a gátlás helyétől távolodva rohamosan csökkennek, majd elhanyagolhatóan kicsik lesznek. Innentől kezdve (majdnem) tiszta csavarás működik. Megjegyezzük, hogy a diafragmák megnehezítik a kivitelezést, ezért e tekintetben kompromisszumra van szükség (a támaszoknál mindenképpen kell diafragma). A tömör rúd csavarásakor a fellépő σ ω (és τ ω ) öblösödési feszültségek hatása elhanyagolhatóan kicsi. A gátolt csavaráskor fellépő σ ω (és τ ω ) öblösödési feszültségek a nyitott keresztmetszetű ( ábra), vékonyfalúnak tekintett vasbeton tartók erőjátékát jobban befolyásolják, mint a zárt keresztmetszetű tartók erőjátékát. A gyakorlati esetek többségében azonban a nyitott keresztmetszeteknél is megelégedhetünk ezen hatás közelítő figyelembevételével vagy esetenként az elhanyagolásával I. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT Repedésmentes keresztmetszet esetén, jó közelítéssel, a fenti általános rugalmasságtani megfontolásokat tekinthetjük érvényesnek II. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT A terhelést tovább növelve a keresztmetszet bereped. Viszonylag kis repedéseknél, jó közelítéssel, szintén a fenti általános rugalmasságtani megfontolásokat tekinthetjük érvényesnek. 3/14

123 III. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT A berepedt vasbeton keresztmetszet törési határállapotbeli M th csavarási határnyomatéka a a). és 1b). ábra segítségével határozható meg. A keresztmetszet csavarási teherbírásának M tha alsó korlátja és M thf felső korlátja ugyanazt a szerepet tölti be, mint amit már a tiszta nyírásnál részleteztünk: bereped-e csavarásra a keresztmetszet, azaz kell-e csavarási vasalás (M tha ), illetve a betonméretek jók-e és a betonminőség megfelelőe (M thf )? A W t csavarási keresztmetszeti tényezők a ábrán láthatók. A csavarási vasalást egymásra merőleges irányú kengyelek és hosszvasak képezik ( ábra). Az (Mt1) és az (Mt2) összefüggés szerint meg kell határozni a kengyelek M thk csavarási határnyomatékát és a hosszirányú acélbetétek M thl csavarási határnyomatékát, és e kettő közül a kisebb az M th csavarási határnyomaték. Végül a megfelelést az (Mt4) feltétel teljesítése jelenti. 3/15

124 3.4. NYÍRÁS ÉS CSAVARÁS I. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT Ennek a kis gyakorlati jelentőségű témának az elemzésével nem foglalkozunk. Megelégszünk azzal, hogy a ábrán, az (M t1 T1) összefüggéssel kimutatjuk, hogy egyidejű nyírás és csavarás esetén nem reped be a keresztmetszet II. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT Ha az előző pont szerint bereped a keresztmetszet, akkor a terhelést egy darabig növelve a keresztmetszet, jó közelítéssel, rugalmasnak tekinthető. A keletkező feszültségek meghatározásával nem foglalkozunk, mert a gyakorlatban a pont szerint méretezünk, ellenőrzünk egyidejű nyírás és csavarás esetén III. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT Felhívjuk a figyelmet a ábrára, ahol a csavarási-nyírási-hajlítási összetett igénybevételeknél kialakuló törésképeket szemléltetjük. A T M mértékadó nyíróerő és az M tm mértékadó csavarónyomaték egyidejű működésekor a ábra szerint kell eljárni. Először meg kell határozni a 3.2. és a 3.3. pontban leírtak szerint a tiszta nyírási és a tiszta csavarási határigénybevételeket: T Ha, T Hf, T H valamint M tha, M thf, M th. Ezeknél a számításoknál a W t csavarási keresztmetszeti tényező a nyírás és a csavarás okozta nyírófeszültségek legkedvezőtlenebb összegzésének a helyére vonatkozik (a W t a ábrán található). 3/16

125 A 3.2. és a 3.3. ponttal analóg módon az (M t T1) összefüggéssel lehet eldönteni azt, hogy kell-e nyírási+csavarási vasalás. Ha igen, akkor az (M t T2) egyenlőtlenség segítségével a betonméretek és a betonminőség megfelelőségéről győződhetünk meg. Végül a megfelelést az (M t T3) feltétel teljesítése jelenti. FIGYELEM! A csavarási (M tm ) hossz-acélbetétek a hajlítási (M M ) hossz-acélbetét szükségleten (tele kör) felüliek. Ugyanakkor a csavarásnál figyelembe vett kengyeleket a nyírásnál (T M ) is be lehet számítani. A nyírás minél nagyobb részét ferde acélbetétekkel kell felvenni (hogy a csavarásra minél több kengyel maradjon). 3/17

126 4. A VASBETON OSZLOP 4.0. STABILITÁS A terhelő erők és a terhelő mozgások okozta igénybevételek, valamint alakváltozások (lehajlások) meghatározására általában a homogén, izotróp, repedésmentes, lineárisan rugalmas anyagú tartókra vonatkozó módszereket szabad alkalmazni. A statikai vizsgálatoknál általában az ún. elsőrendű elmélet keretében, kis elmozdulások feltételezésével dolgozhatunk. Ekkor érvényes a megmerevítés elve, azaz a deformálatlan, változatlan tartóalakra írjuk fel az egyensúlyi és az összeférhetőségi/geometriai egyenleteket, amelyek ezen elmélet keretében lineárisak. A linearitás miatt érvényes az egymásrahalmozás/szuperpozíció elve is. Ez az az elmélet, amelyet a hallgatóknak a Mechanika és a Tartók statikája c. tárgy keretében oktattak. Ezzel a módszerrel határozzák meg a hallgatók a különböző tartószerkezetek igénybevételeit (pl. Cross-módszer, erőmódszer stb.). Ilyen módon azonban csak az igen kis alakváltozások tartományában kaphatunk jó eredményeket. Stabilitási vizsgálatokat az elsőrendű elmélettel nem végezhetünk. Stabilitási kérdéseknél (köv. oldal), főleg a nagyobb alakváltozások tartományában, a tartó alakváltozásainak az erőjátékra való visszahatásából származó ún. másodrendű hatások (igénybevétel-növekmények, alakváltozás-növekmények) nem hanyagolhatóak el. Ekkor az alakváltozásokkal módosított megváltozott tartóalakra írjuk fel az egyensúlyi és az összeférhetőségi/geometriai egyenleteket. Az elmélet attól másodrendű, hogy az egyensúlyi egyenletek tartalmazzák az alakváltozásokat is, ezért a végeredményként kapott összefüggések nemlineárisak lesznek. A (4.1.2.) egyenletnél kitérünk a számunkra érdekes ún. lineáris kritikus teher definiálására. 4/1

127 Ha a másodrendű hatások jelentősek, akkor stabilitásvizsgálatot kell végezni. Az egyensúly alábbi alapvető típusait különböztetjük meg ( ábra ): a) Stabilisnak (stabilnak, biztosnak) nevezzük az egyensúlyi helyzetet, ha abból kismértékű zavarással (elmozdulással) kimozdítva a szerkezet visszatér az eredeti állapotába, mert az eredeti helyzetben a legkisebb a rendszer potenciális energiája. A tervezőmérnökök számára nyilvánvalóan a stabil egyensúlyi helyzet a legfontosabb, hiszen csak stabil egyensúlyi állapotban tudjuk a szerkezeteket használni. b) Labilisnak (bizonytalannak) nevezzük az egyensúlyi helyzetet, ha abból kismértékű zavarással (elmozdulással) kimozdítva a szerkezet nem tér vissza az eredeti állapotába, mert az eredeti helyzetben a legnagyobb a rendszer potenciális energiája. c) Kritikusnak nevezzük az egyensúlyi helyzetet, ha abból kismértékű zavarással (elmozdulással) kimozdítva az eredeti egyensúlyi helyzet szomszédságában ismét nyugalmi helyzet áll elő, azaz változatlan P kr kritikus tehernagyság mellett is- létezik egy második egyensúlyi helyzet is (kihajlott/kigörbült alakban). Az egyensúlyi helyzet kis környezetében a rendszer potenciális energiája állandó. A c) eset tulajdonképpen az a) eset és a b) eset közötti átmeneti állapotot jellemzi. A régebbi szakirodalom -nem eléggé szabatos módon- a kritikus egyensúlyi helyzetet indifferens (közömbös) egyensúlyi helyzetnek nevezte. A kritikus egyensúlyi helyzetben az egyensúly elágazik. Ez azt jelenti, hogy a kritikus pontban egyensúly lehetséges az eredeti egyenes alakon kívül egy szomszédos, kihajlott/kigörbült alakban is. Érdemes tanulmányozni a ábrát, ahol jellegzetes egyensúlyi utakat mutatunk be. A megfelelő teher (P) elmozdulás (y) diagramot 4/2

128 nevezzük egyensúlyi útnak. Rámutatunk arra, hogy az ábrán vázolt eredményekhez lineárisan rugalmas (a Hooke-féle anyagtörvényt követő) anyagmodelleket használtak, továbbá feltételezték azt is, hogy az anyag végtelen szilárdságú és végtelen nyúlóképességű. Miután a vasbeton anyaga nem ilyen (illetve csak igen kis elmozdulások esetén közelíthető a viselkedése így), a vasbeton berepedését és a képlékeny tulajdonságait legalább utólag figyelembe kell venni: ábra. A bonyolult, alapos és sok tudást igénylő eljárás alkalmazása nem a gyakorló mérnökök dolga, ezért a központos és a külpontos nyomás vizsgálatánál jóval egyszerűbb közelítő eljárásokat fogunk alkalmazni. Ezekhez csupán az l o = (4.1.1.) helyettesítő kihajlási hosszra lesz szükség. Lényeges tulajdonsága a stabilitási jelenségeknek, hogy a P kr kritikus erő a rúd merevségi jellemzőitől (EI), a rúdhossztól (l), és a megtámasztási viszonyoktól függ. A megtámasztási viszonyokat a ábra szerinti és a ábra szerinti c y eltolódási rugók és c αi, c αk elfordulási rugók merevítő hatása helyettesíti. A kihajló rudat megtámasztó c y eltolódási rugók és c αi, c αk elfordulási rugók rugóállandóit a rudat megtámasztó gerendák, oszlopok, egyéb szerkezetek adataiból lehet meghatározni. A c y [knm -1 ] eltolódási rugóállandó az u = Δy = 1 [m] egységnyi vízszintes eltolódást előidéző H vízszintes erőt jelenti. A c αi [knm], illetve a c αk [knm] elfordulási rugóállandó az α i = 1 [1] egységnyi elfordulást előidéző M ik hajlítónyomatékot, illetve az α k = 1 [1] egységnyi elfordulást előidéző M ki hajlítónyomatékot jelenti. A rugóállandók meghatározását jelen könyv keretében nincs módunk tárgyalni. 4/3

129 A ábrán a síkbeli rúdkihajlás alapesetei láthatók. Ezeknél a c y illetve c αi,c αk rugók nagysága vagy 0 vagy. Ezek teljesen lágy (konzolvég) vagy teljesen merev vízszintes megtámasztást; illetve teljesen lágy (csukló) vagy teljesen merev hajlítási megtámasztást (befogás) jelentenek. A különböző ν tényezőkkel az l hosszúságú rúd l o helyettesítő kihajlási hosszát lehet meghatározni: l o = νl. (4.1.1.) Az l o helyettesítő kihajlási hossz segítségével a kihajlást előidéző P kr = P kr,l kritikus erő így számítható: P kr = P kr,l = π 2 2 EI/l o. (4.1.2.) Itt az EI mennyiség a rúd hajlítási merevsége a kihajlás síkjában. A fenti összefüggést a stabilitáselmélet első nagy tudósa, Ludwig Euler írta fel. Ő határozott meg először ún. elágazási kritikus terheket a ábrán látható rudakhoz. L. előbb: az egyensúly elágazik, azaz két egyensúlyi alak/helyzet tartozhat ugyanahhoz a P kr = P kr,l teherhez: egy egyenes alak (1 jelű; y=0) és egy kihajlott/kigörbült alak. Az l index arra utal, hogy a fenti elágazási kritikus terhek képleteit ún. lineáris elmélettel vezették le. Ez is másodrendű elmélet, hiszen ezzel is figyelembe vesszük az egyensúlyi egyenletekben az alakváltozások hatását. Viszont ez az elmélet csak a kis elmozdulások tartományában érvényes. Vannak másféle kritikus terhek és másféle elméletek, melyek a nagy elmozdulások tartományában is érvényesek. Ilyen elméletekkel határozták meg a ábrán látható 2 jelű ún. másodlagos/posztkritikus egyensúlyi utakat, görbéket. Posztkritikus: a kihajlás utáni (a P kr,l utáni). Az l o ismeretében a P kr = P kr,l kritikus erő a (4.1.2.) összefüggéssel számítható. Ez a megoldás az önállóan kihajló síkbeli rúd valamennyi kihajlási esetét magában foglalja. Látni fogjuk, hogy a vasbeton szilárdságtan keretében nincs szükség a P kr kritikus erő tényleges 4/4

130 nagyságára, hanem csak az l o helyettesítő kihajlási hosszra ( l. a ábrákat). Ebben a pontban csak különálló, egyedi síkbeli rudak kihajlásával foglalkozunk, azon belül is csupán néhány gyakorlati feladat megoldásának az ismertetésével. Egyéb stabilitási jelenségek, mint a horpadás, kifordulás stb. vasbeton szerkezeteknél igen ritkán fordulnak elő, ezért ezekkel nem foglalkozunk. Ugyanakkor felhívjuk a figyelmet az előregyártott gerendák beemelése közbeni kifordulás stabilitási vizsgálatának a fontosságára I. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT Ezzel a vasbetonépítési mérnöki gyakorlatban kis jelentőségű témával nincs helyünk foglalkozni. Utalunk azonban arra, hogy az l o helyettesítő kihajlási hossz ismeretében az acélszerkezeteknél/faszerkezeteknél már megtanult módon végezhetjük el a szilárdsági ellenőrzéseket (szélső szálfeszültségek). A megfelelő keresztmetszeti jellemzőket a a). és 1b) ábráról vehetjük. A Southwell-féle ψ külpontosságnövelő tényező a ábrán látható. Ebből vezették le az acélszerkezetek és a faszerkezetek ellenőrzéséhez a hallgatók által is már megismert ψ külpontosságnövelő tényezőket II. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT Értelemszerűen, mint a 4.1. pont ( a). és 1b) ábra ) 4/5

131 4.3. III. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT A következőkben -vasbeton szerkezetekről lévén szó- figyelembe vesszük a keresztmetszetek berepedését és az anyag képlékeny tulajdonságait is. 1.) Központos nyomás esetén a és 2a)., 2b). ábrák szerint kell eljárni. 2.) Külpontos nyomás (és húzás) A a). és 3b). ábrán a Δe o véletlen jellegű geometriai és a Δe t törési külpontosságnövekmény szabványos képletét adjuk meg. Az e k kezdeti külpontosság az elsőrendű elmélet szerinti szokásos statikai számításból kiadódó e o alapkülpontosságból, továbbá a Δe o véletlen jellegű geometriai külpontosságnövekményből így adható meg: Θ = l o /[10h], (4.3.1.) Δe o = ( Θ/30)h, (4.3.2.) e k = e o + Δe o, (4.3.3.) ahol h a keresztmetszet dolgozó magassága, és az l o = (4.1.1.). A Δe o külpontosságnövekmény első tagja a keresztmetszet véletlen jellegű geometriai és szilárdsági eltéréseiből (Δe o = 0.06h), a második tagja a rúd véletlen jellegű kezdeti görbeségéből (Δe o = [Θ/30]h) származik. Az e M mértékadó külpontosság az e k kezdeti külpontosság és a Δe t törési külpontosságnövekmény összege: e M = e k + Δe t. (4.3.4.) Itt Δe t = (0.04Θ 2 )h. (4.3.5.) 4/6

132 A ábrákon, a szilárdsági vizsgálatoknál megmutatjuk, hogy a vasbeton keresztmetszetek szilárdságtani ellenőrzésénél/méretezésénél hogyan használhatjuk az e M = (4.3.4.) összefüggést. Az említett ábrákon röviden összefoglaltuk a külpontos nyomási N H határerő és az e H határkülpontosság meghatározásának legfontosabb részeit. A ábra szerint megnézhetjük, hogy egy adott N M mértékadó erő mekkora e H határkülpontossággal működhet. Vagy a ábra alapján arra a kérdésre is választ adhatunk, hogy egy adott e M mértékadó külpontossághoz (4.3. 3a). 3b). ábra) mekkora N H határerőt tud elviselni a keresztmetszet. Számításainknál a C szilárdsági/teherbírási középpont a vonatkoztatási középpont. Lehetne a geometriai súlypontot is alapul venni, de úgy látjuk, hogy a C pont alapján kissé egyszerűbb a számítás. A C szilárdsági/teherbírási középpont nyomó igénybevételnél a teljes betonkeresztmetszetben és a betonacélokban fellépő nyomó határerők eredőjének a helye. A ábra szerint, az N M mértékadó erőhöz tartozó e H határkülpontosság keresésekor, ha mind a húzott, mind a nyomott acélbetétek megfolynak, akkor egyszerű a számítás. Viszont az acélbetétek meg nem folyása esetén ξ = x/h ban 2. fokú egyenlet adódik. Ehhez a H acél húzóerő vagy az N s acél nyomóerő képletét az ábrán látható redukciós képletekkel (σ s, σ s ') kell felírni. A kiskülpontos nyomás ( ábra; 1-2 görberész) kezdeténél az erőtől távolabbi vasalás sem húzott, hanem nyomott (ekkor a H is nyomóerő). Az x semleges tengely helyzetének ismeretében az (N2) egyenletből adódik az N M hez tartozó e H határkülpontosság. Ennek felhasználásával, az (N3) egyenlet segítségével végezzük el az ellenőrzést. 4/7

133 jelöltük. Az N H határerő meghatározásának alapegyenleteit (N4) (N6) tal Az x semleges tengely helyzetének ismeretében az (N4) vetületi egyenlet szolgáltatja az e M mértékadó külpontossághoz tartozó N H határerőt. Azonban az (N4) vetületi egyenlet segítségével az x semleges tengely helyét közvetlenül nem kaphatjuk meg, hiszen az egyenlet tartalmazza az ismeretlen N H határerőt is. Ha nem folynak meg az acélbetétek, akkor az (N4) vetületi és az (N5) nyomatéki egyenlet összevonásával a ξ = x/h ban 3. fokú (vagy 2. fokú) egyenletet kapunk. A ξ= x/h paraméter ismeretében az (N6) egyenlet segítségével végezzük el az ellenőrzést. A fenti módon a folyamatosan változó e M mértékadó külpontosságokhoz előállítható a keresztmetszet N H határerőit és M H = N H e M határnyomatékait ábrázoló pontok mértani helye, a teherbírási vonal: ábra, ábra. Az 1 2 görberész a kiskülpontos nyomást, a 2 3 görberész a nagykülpontos nyomást, a 3 4 görbe (egyenes) a külpontos húzást ábrázolja. A ábrán azt is bemutatjuk, hogy miként kell teherbírási vonallal (pl ábra) az adott e M =M M /N M = cotanβ mértékadó külpontossághoz tartozó N H határerőt, illetve az adott N M mértékadó erőhöz tartozó e H határkülpontosságot és az M H = N M e H határnyomatékot meghatározni. 4/8

134 3.) Ferde külpontos nyomás (és húzás) A két tengelyre külpontos (e xo,e yo ) N M mértékadó nyomó normálerő esetén a ábra szerint kell eljárni: vagy az a1) ábra és az a2) ábra szerinti 2 vizsgálatot kell elvégezni, vagy a b) ábra szerinti 1 vizsgálat hajtandó végre. A vizsgálatokat, azaz az ellenőrzéseket a c) ábrán vázolt (FN1) összefüggés kielégítése jelenti. Először az előzőek ismeretében meg kell határozni az adott N M (külső) normálerőhöz tartozó M xh = N M e xh és az M yh = N M e yh határnyomatékot (x és y irányban külön-külön). Ezek ismeretében az (FN1) összefüggés kielégítése szemléletesen azt jelenti, hogy a keresztmetszet megfelel, ha az N M, M xm = N M e xm, M ym = N M e ym (külső) mértékadó igénybevételösszetevőkkel meghatározott pont nem esik kívül az N M, M xh, M yh határigénybevételi (ellenállások) pontok alkotta, pontozással jelölt háromszögön. Két tengelyre külpontos húzás esetén értelemszerűen a fentiek szerint kell eljárni. Ez esetben az e Mx és az e My mértékadó külpontosság képletében nem szerepel a törési külpontosságnövekmény képlete: Δe tx = Δe ty = 0, (4.3.5.). 4/9

135 Dr. habil JANKÓ LÁSZLÓ VASBETONSZERKEZETEK II. (magasépítés) BUDAPEST 2009

136 Rövid konzol: ha a o h. Ha a o 0.5h, akkor h = 2a o. TÍPUSOK 1. Oszlopról kinyúló konzol 2. Süllyesztett felfekvésű tartó (darupályatartó) (hídgerenda) A két típus erőjátéka közötti különbség: az 1. típusú konzol nyomással közvetíti a függőleges erőt a konzolt tartó szerkezetre (az oszlopra), míg a 2. típusú húzással (a gerendára), ezért ennél felfüggesztő vasalás szükséges a). ábra A vasbeton rövid konzol szilárdsági ellenőrzése I.

137 Rövid konzol: ha a o h. Ha a o 0.5h, akkor h = 2a o. TÍPUSOK 1. Oszlopról kinyúló konzol 2. Süllyesztett felfekvésű tartó (darupályatartó) (hídgerenda) H hh z + H fh z f + H M z H γt M a o (R1) γ=1,2 z H = z+δz z; z 0,8h z f 0 (közelítés) z 0,8h 1 H hh = A sh σ sh H fh = A sf σ sh V H = A sv σ sh V H + H fh sinα f γt M (R2) felhasadás: H k = ΣA sk σ sh H k ηh hh, η 1/3 (R3) sarok lerepedés: H hh ζγt M, ζ 0,5 (R4) b). ábra: T Ha = 0,50bhσ hh + n a H M 0,6bhσ hh n a = 0,2 0,1 (R5) T Hf = 0,25bhσ bh n f H M n f = 0,0 0,15 (R6) A két típus erőjátéka közötti különbség: az 1. típusú konzol nyomással közvetíti a függőleges erőt a konzolt tartó szerkezetre (az oszlopra), míg a 2. típusú húzással (a gerendára), ezért ennél felfüggesztő vasalás szükséges b). ábra A vasbeton rövid konzol szilárdsági ellenőrzése II.

138 a Híd fejgerenda rövid konzola előregyártott hídgerenda A vb. fejgerenda csavart nyírt kengyele a rövid konzol felfüggesztésében is részt vehet. Ez utóbbi többlet kengyelmennyiséget igényel. b Oszlopról kinyúló konzol (darupályatartó) c Süllyesztett felfekvésű tartó (hídgerenda) ábra Vasbeton rövid konzolok vasalási vázlata

139 síklemez födém (sík) alaplemez az átszúródási jelenség szemléltetése: Számításainkat az MSZ szerint végezzük ábra Gyakori lemezes szerkezettípusok, melyekben felléphet átszúródás. Az átszúródási jelenség szemléltetése

140 Az átszúródás szempontjából mértékadó erő: R Má = γβr M. Itt γ = 1,2 a biztonságnövelő tényező (a közelítések miatt), β: a külpontosságok hatását közelítően figyelembe vevő tényező. R M a mértékadó oszloperő (γ g = 1.2 és γ p = biztonsági tényezőkkel!). Ezt az erőt az átszúródási vonalkeresztmetszet súlypontjában működőnek, azaz központosnak tekinthetjük ábra Jellegzetes átszúródási vonalkeresztmetszetek [oszlop vagy fal melletti első (i = 1)]

141 V.ö a)-b). ábra. t Hs,i = 0,85h(A ski /[k i t ki ])σ sh t Hb,i = (1 t Hs,i /t Hf )t Ha 0 t Ha t Hi = t Hc,i + t Hs,i + t Hb,i t Hf t Hi t Mi (Á4) (Á1) (Á2) (Á3) t Hc,1 = 0,50a s ' (Á7) A ski : a vizsgált i. átszúródási vonalkeresztmetszet mentén alkalmazott 1 db kengyelszár keresztmetszeti területe. t ki : a kengyelek tehergyűjtő távolsága sugárirányban. k i : a kengyelek kiosztási távolsága a kerület mentén. a s ' = A s '/t': az i = 1. átszúródási vonalkeresztmetszet U 1 kerülete menti, kellően lehorgonyzott nyomott acélbetétek (A s ': 1 db kerm. ter., t': kiosztás) fajlagos keresztmetszeti területe. Az ennek megfelelő t Hc,1 csaphatási teherbírást csak az i = 1. átszúródási vonalkeresztmetszet mentén vesszük figyelembe. U i : a vizsgált i jelű átszúródási vonalkeresztmetszet hossza ábra A fajlagos t H [knm -1 ] átszúródási határnyíróerő ábra meghatározása kengyelezés esetén. Ellenőrzés átszúródásra

142 a hagyományos átszúródási vasalások A gerendaszerű vasalást a lemez alsó és felső hajlítási vasalása közé teszik. Ez a megoldás viszonylag vastagabb lemezek esetén kedvező. Nagyobb munkával a lemezvasaláshoz is rögzíthetők a kengyelek (mint régen). b korszerű átszúródási vasalás (HDB-N típusú; Dübelleiste=csapléc) léc (szereléshez) Egy-egy vasalási elem a hajlítási vasalás beszerelése után felülről behelyezhető ábra Járatos átszúródási vasalások

143 a erőbevezetés b pecsétnyomás Megjegyzések: 1.) Rövid konzol sarok lerepedés: a).-1b). ábra. 2.) Oszlop: VASALÁSI SEGÉDLET, V ábra. 3.) A pecsétnyomásnak kitett szerkezeti rész erős térbeli vasalást kell kapjon. 4.) Zsugorodásból és hőmérsékletváltozásból ΔH = 0,1N M többlet húzóerőt ajánlatos figyelembe venni ábra Erőbevezetés. Pecsétnyomás

144 a utófeszített tartók A pontos analitikus megoldást F. Leonhardt, J. Rowe és mások munkáiban lehet megtalálni. Közelítésül az ábra szerinti eredmények is használhatóak. A feszítőkábeleket a σ 1 húzó főfeszültségek felvételére spirálkengyelezéssel kell körbevenni. Ezen kívül a tartóvéget függőleges (x) kengyelezéssel is ellátjuk. A szokásos nyírási vasalás az előbbieken felüli. b előfeszített tartók A pontos analitikus megoldást G. Magnel adta meg. Közelítésül az ábra szerinti eredmények is használhatóak. A tartóvéget a σ x és a τ xz feszültségekből származó σ 1 húzó főfeszültségek felvételére erős függőleges (x) kengyelezéssel kell ellátni. A feszítőkábeleket körbevevő, az alsó öv konturvasalását adó kengyelezés is spirál kialakítású legyen. A szokásos nyírási vasalás az előbbieken felüli. Megjegyzés: a feszített tartókat a 6. fejezetben tárgyaljuk részletesebben ábra Erőbevezetés feszített tartóknál

145 a lemez/gerenda b keretláb. A csuklón annyi acélbetétet kell átvezetni, hogy azok egymagukban a beton nélkül felvehessék mind a V M függőleges, mind a H M vízszintes csuklóerőt. Megjegyzések: 1.) L. még a Vasbeton hídszerkezetek c. tankönyvem 6. és 7. fejezetét (Keretek. Ívek). 2.) L. ott a korszerű sarukról, csuklókról a 2.3. pontot ábra Hagyományos vasbeton csuklók

146 1 Tágulási hézagok A Δt 8 10 = 18 o C vagy Δt = + 30 o C nagyságú hőmérsékletváltozás (építési hőm.: +10 o C) és az ε zs 4*10-4 mértékű zsugorodás kedvezőtlen hatásainak korlátozása céljából a szerkezetben 1 tágulási hézagokat kell kiképezni ( ábra). Amennyiben a Δt és az ε zs hatásait statikai számítással nem ellenőrzik, továbbá ha együttesen teljesülnek az alábbi feltételek: nincs repedésmentességi követelmény, az építmény nincs kitéve különleges hőhatásnak (pl. technológiai hőhatás), a szerkezet egyes elemeire ható hőmérsékletváltozások hatása között nem várható jelentős különbség (csúszóalátétek, ingaoszlopok stb.), akkor a tágulási hézagok legnagyobb t 1 távolsága az 5.5.I. táblázat szerinti legyen. 2 Osztóhézagok 3 Süllyedési hézagok Az épület védett szerkezeteivel összeépített, de az időjárásnak, hőhatásnak (Δt) közvetlenül kitett elemeken (pl. erkélylemezen, attikafalon, párkányon) az 1 tágulási hézagokon kívül 2 osztóhézagokat is ki kell képezni. L. az ábrát! A Δt és az ε zs hatásainak a számítási ellenőrzése elhagyható, ha a 2 osztóhézagok távolsága: t 2 4m( ábra). A hosszváltozás irányára merőleges keresztmetszetben legalább A s = 0,002A b mennyiségű acélbetét szükséges. Az alapozási szerkezeteken is átvezetett 3 süllyedési hézagokat kell kiképezni a terhek vagy a szerkezet kialakítása szempontjából jelentős mértékben eltérő épületrészek csatlakozásánál, vagy/és változó talajviszonyoknál ha a szerkezetet nem ellenőrzik az ott várható Δs nagyságú sülylyedéskülönbségekből származó igénybevételekre, alakváltozásokra. L. az ábrát! 5.5. I. táblázat Az 1 tágulási hézagok ajánlott legnagyobb t 1 távolsága [m] Az épület jellege a hőhatások szempontjából. Fűtésnek megfelelően külsőleg hőszigetelt épület. Hőhatásnak kitett épület. Vázas szerkezet Nem vázas szerkezet közvetlenül ábra Vasbetonszerkezetek tervezett hézagai

147 1 Tágulási hézagok 2 Osztóhézagok 3 Süllyedési hézagok A Δt hőmérsékletváltozások az épület élettartama alatt kiküszöbölhetetlenül, periodikusan ismétlődnek. Az ε zs zsugorodás zöme néhány hónap alatt lejátszódik (a kivitelezési idő alatt is). Az 1 helyeinek a megválasztásánál a szerkezet kialakításából kell kiindulni. a) az 1 nélkül: munkahézag várható repedés munkahézag b) az 1 gyel együtt: munkahézag 1 Párkányok, attikák, A Δs nagyságú erkélylemezek megszakítása süllyedéskülönbségeknek a zsugorodási és megfelelő függőleges hőmérsékleti repedések irányú elmozdulások várható meg- lehetővé tételére az 1 től jelenési helyén kiképzett eltérően a 3 süllyedési 2 osztóhézagok- hézagokat az alapozáson kal: is át kell vezetni. erkélylemez a) várható Szerkezeti megoldások: repedések Az 1 nél lévő I.) oszlopkettőzés, az alaptest átvágásával. b) 2 osztóhézagok t m Az 1 nél lévő II.) hézag az áthidalóban/födémben szerkezeti megoldás. Gyakran célszerűbb ezt alkalmazni. Ilyen módon ui. el lehet kerülni a peremeken, az oszlopok alatt kialakuló túl nagy összenyomódásokat. 1 munkahézag Szerk. kialakítások: I.) Oszlopkettőzés erősítő vasalás a koszorúban Példa: 3 süllyedési hézag II.) Hézag az áthidalóban/födémben műanyag hézagszalag (esetenként szalag nélkül is) ábra Vasbetonszerkezetek tervezett hézagai

148 A keretsarok kívül húzott. A sarokvasalást az oszlopból/falból ki kell nyújtani. oszlop/fal a keretsarok és keretláb-alapozás födémgerenda/födémlemez munkahézag tüske a szimmetrikus kialakítás biztonságosabb munkahézag íííí vízzáró vb. fal b vízmedence alaplemez és fal talaj víz műanyag hézagszalag munkahézag tüske szimmetrikus! vízzáró vb. alaplemez Vízzáró: annyi víz átszivároghat, amennyi el tud párologni a túloldalon. Példák műanyag hézagszalagokra: : falközépre fal szélre : (a nyomott övhöz) Alaplemez munkahézagot l. még az ábrán az 1 -nél! ábra Példák vasbetonszerkezetek munkahézagaira

149 a feszítési alapelvek t = t o = 0 φ = 0 ε zs = 0 n = E f /E b 1. A feszítőpászmák megfeszítése σ fo = P fo /A f P fo P fo A f : a feszítőpászmák keresztmetszeti területe σ b = 0 a beton feszültségmentes P fo P fo 2. A feszítőerő ráengedése a megszilárdult betonra e: külpontosság P fo P fo σ b = P fo (1/A i + e 2 /I i ) = (P fo /A i )(1 + e 2 A i /I i ) Δσ f = nσ b σ f = σ fo Δσ f = σ fo nσ b = P fo /A f [1 n(a f /A i )(1+ e 2 A i /I i )] A i, I i : az ideális betonkereszmetszet területe és tehetetlenségi nyomatéka. e = e f = e ig + Δe f b hosszúpados előfeszítés A hosszú feszítőpadon elhelyezik a gerendák zsaluzó sablonjait, majd beszerelik a lágyvasalást (betonacélok). Az egyes gerendák véglapjait rendezőelemek közbeiktatásával alakítják ki (a pászmák geometriai helyzetének rendezésére és az egyes gerendák véglapjainak kiképzésére). A feszítőpad egyik végén rögzítik, lehorgonyozzák a pászmákat. A feszítés a feszítőpad másik végénél történik, utána ott is rögzítik a pászmákat. A beton megszilárdulásáig a feszítőerőt a feszítőpad két végén lévő bakok hordják (vagy esetenként az acélzsaluzat). A pászmák megfeszítése után a tartókat bebetonozzák, majd a beton megszilárdulása után a bakoknál az ideiglenes rögzítéseket feloldják és a tartók közötti pászmákat elvágják. A feszítőpászmák tapadással horgonyzódnak le a tartóvégen. A pászmák párhuzamosak a tartótengellyel ábra ELŐFESZÍTÉS. Feszítési alapelvek

150 a feszítési alapelvek Az utófeszített szerkezetek feszítőelemei (kábel, rúd) csak a tartó végein és/vagy bizonyos közbenső helyeken vannak a betonhoz rögzítve: , 5., 6. ábra, lehorgonyzások. feszítés feszítőkábelek feszítés lehorgonyzás kábelüregek lehorgonyzás A feszítőelemek általában a megszilárdult betonelem/gerenda csatornáiban, üregeiben helyezkednek el. A feszítés a megszilárdulás után történik. Ezeket véglehorgonyzásos szerkezeteknek hívjuk. Három csoportjuk van: 1) a csúszókábeles/belsőkábeles tartók, melyeknél habarccsal nem kitöltött, azaz nem kiinjektált kábelüregekben helyezkednek el a kábelek; 2) a szabadkábeles/külsőkábeles tartók, melyeknek az jellegzetességük, hogy a feszítőkábelek a keresztmetszet betonrészein kívül, szabadon vannak. A 2) gyakori alkalmazási területe a megerősítés: pl ábra 3) utólag tapadóbetétessé tett szerkezetek, melyeknél az utófeszített tartó kezdetben csúszókábeles, majd a kábelüregeket habarccsal utólag kitöltve, azaz kiinjektálva tapadóbetétessé válik. b többtámaszú tartó feszítőkábeleinek elvi elrendezése mező támasz K p : a pályalemez kábelei K f : a fenéklemez kábelei K b : a borda kábelei Az övlemezek K p, K f kábeleinek átfedése: K b h t K p h t K f M g 0 (3-4)h t ábra UTÓFESZÍTÉS. Feszítési alapelvek

151 Határállapotok: TEHERBÍRÁSI határállapotok: M: hajlítás, T: nyírás, M t : csavarás, T+M t : egyidejűség, N+M: külpontos nyomás, stb. HASZNÁLATI határállapotok: 1. Repedéskorlátozás 2. Alakváltozási (lehajlási) ellenőrzés 3. Fáradási ellenőrzés VB. HIDAK Alapérték (a): a szabályzati névleges teher. Az A jelű tehernél R a = R ha = 800 kn és p a = p ha = 4kNm -2 + a g állandó teher. Itt h: használati. Teherbírási ellenőrzés a terhek szélsőértékére, azaz a mértékadó (M) teherre. A γ g = 1.1, γ p = 1.3 biztonsági tényezőkkel, és p ha +β h R ha esetén a μ 1.4 dinamikus tényezővel is szorzott alapértékek(a). Csökk.:β h 0,9. Itt q M =g M +p M +R M (jelképesen). 1. Repedéskorlátozás üzemi(ü) teherre: (q ü = g+p ü +R ü jelképesen): vasbeton híd: a M a H (= mm) feszített vb. híd: MAGASÉPÍTÉS Alapérték (a): a szabályzati névleges teher (állandó: g és esetleges: p a ). Teherbírási ellenőrzés a terhek szélsőértékére, azaz a mértékadó (M) teherre. A γ g = , és γ p = biztonsági tényezőkkel, és p a esetén a μ 1.3 dinamikus tényezővel is szorzott alapértékek(a). Itt q M = g M + p M. 1. Repedéskorlátozás a terhek tartós alapértékére: (q = g+p a,tartós ): vasbeton tartó: a M a H (= mm) feszített vb. tartó: a M a H (= mm) Húzásmentesség, azaz a keresztmetszet minden szála nyomott kell legyen: σ b 0. Előregyártott elemekből összefeszített (szabadon szerelt) hídtartó esetén az illesztett keresztmetszetekben a mértékadó teherre kell a húzásmentességi feltételnek teljesülnie. 2. Alakváltozási (lehajlási) ellenőrzés a hasznos 2. Alakváltozási (lehajlási) ellenőrzés a terhek használati (h) teher alapértékére tartós (a). Itt q = p ha +β h R ha alapértékére. ( jelképesen). μ=1. Itt q = g+p a ábra Alapvető vasbeton szilárdságtani ellenőrzések

152 A1 hagyományos (eredeti) lehorgonyzás A2 korszerű lehorgonyzás B feszítés ábra UTÓFESZÍTÉS. Freyssinet rendszerű lehorgonyzások. A hagyományos Freyssinet féle utófeszítés vázlata

153 a lehorgonyzó elemek a mm b = mm c = mm a mm b = mm c = mm b feszítőrúd toldás ellenmenetes toldóanya Ø15 Ø32 periodikus Ø12 2 Ø36 sima feszítőrúd burkolócső ábra UTÓFESZÍTÉS. Dywidag rendszerű lehorgonyzás és toldás

154 a lehorgonyzás b feszítőkábel szalagok c feszítőkábel kötegek ábra UTÓFESZÍTÉS. VT CMM rendszerű lehorgonyzás és feszítőkábelek

155 A feszültségveszteségek összefoglalása (L. részletesebben a tankönyv 6. FESZÍTÉS c. fejezetében. A képletek sorszáma megegyező.): Hőmérsékleti veszteség Δσ f,t = (Δtα t ) * E f = 77,2 Nmm -2. (6.2.4) Veszteség a feszítőacél relaxációjából Δσ f,rel, 40,0 Nmm -2. (6.2.5) Veszteség beton zsugorodásból Δσ f,zs, = ε zs E f = 78,0 Nmm -2. (6.2.6a) Veszteség beton kúszásból Ezt a hatást az ideális keresztmetszettel ( ábra: A ig, I ig stb.) való számítás magában foglalja (φ: kúszás), ezért külön nem kell foglalkozni vele. (6.2.6b) Sokszor ismétlődő teher okozta veszteség Ez a hatás általában nem jelentős, ezért most elhanyagoljuk. (6.2.7) Összesített veszteségek a t = t időpontban, azaz a végállapotban: Δσ f = (6.2.4) + (6.2.5) + (6.2.6a) + (6.2.7) = 195,2 Nmm -2. (6.2.11) A σ f hatásos feszítési feszültség és a P f hatásos feszítőerő: σ f = σ ff + Δσ f = ,2 = 904,8 Nmm -2, (6.2.12) P f = P f = σ f A f. (6.2.13) Itt A f a feszítőacélok összesített keresztmetszeti területe. A leggyakrabban alkalmazott előregyártott, előfeszített hídtartóknál (EHGTM, Ubx, FCI, ITG) a fenti Δσ f összesített feszültségveszteség elegendően pontos. A t = t időpontbeli rugalmas feszültségek kimutatásához repedéskorlátozás az ideális keresztmetszeti jellemzőkkel ( ábra) tudjuk figyelembe venni a kúszás hatását. A fenti feszültségveszteséget összegezve a kúszás hatásával is [ 80,0 Nmm -2 ] 195,2 80,0 = 275,2 Nmm -2 értéket kapunk. Ez a σ ff = 1100 Nmm -2 szokásos névleges feszítési feszültségnek kb. a 25%-a. A fentiek alapján, ha a feszítési (kezdeti) P ff = σ ff A f feszítőerőnek a kb. 75%-át vesszük a végállapotban P f hatásos feszítőerőnek, akkor a veszteségeket jó közelítéssel figyelembe vettük. A kúszást is. Ezen a módon az M H határnyomatékot kellő pontossággal meg tudjuk határozni ábra ELŐFESZÍTÉS. Feszültségveszteségek. A P f hatásos feszítőerő

156 JELÖLÉSEK: a: alsó szélső szál, A: keresztmetszeti terület, A b : beton keresztmetszeti terület (A bg és A bl ), A f : a feszítőacélok keresztmetszeti területe, A s : a betonacélok keresztmetszeti területe; b: beton, e ig : a P f erő külpontossága az x = x ig tengelytől; E bo (E bg,o és E bl, o ): a beton kezdeti rugalmassági tényezője ( 27,4 37,8 knmm -2 ) ; E f = 195 knmm -2 a feszítőpászmák rugalmassági tényezője, E s = 200 knmm -2 a betonacélok rugalmassági tényezője; f: feszítőacélok/feszítőerő, G: gerenda, i: ideális keresztmetszet, I (I ig és I iö ): tehetetlenségi nyomaték, l: lemez; n b = E bl, o /E bg,o, n f = E f /E b = E f (1+φ)/E bg,o, n s = E s /E b = E s (1+φ)/E bg,o, ö: együttdolgozó tartó (gerenda+vb. lemez), P f = P f = (6.2.13): a hatásos feszítőerő; s: betonacélok, S (S ig és S iö ): súlypont; x (x ig és x iö ): a súlyponti (semleges) tengely helye, y (y ig és y iö ): a beton alsó szélsőszál távolsága a súlyponti x (x ig és x iö ) tengelytől; φ: kúszási tényező: φ 2,8; φ 2 1,4; φ o = 0. Előfeszített (f) gerendatartó (G): A ig = A bg +(n f 1)A f + (n s 1)A s, I ig = I bg + c bg 2 AbG + k f 2 (nf 1)A f + + k s 2 (ns 1)A s. A P f feszítőerő hatásához φ 2,8. M(1): nyomaték az önsúly 1. részéből (a gerenda önsúlya), ehhez φ 2,8; M(2): nyomaték az önsúly 2. részéből (a vb. lemez önsúlya), ehhez φ 2 1,4. Együttdolgozó (ö: öszvér) tartó: A iö = A ig + n b A bl, I iö = I ig + c ig 2 AiG + n b (I bl + c l 2 Abl ). M(3): nyomaték az önsúly 3. részéből (burkolat, szegély stb.); ehhez φ 3 1,4; M(p ü ): nyomaték a hasznos üzemi teherből; ehhez φ o = ábra Repedésmentes (I. fesz. áll.), előfeszített (f)/tapadóbetétes vasbeton keresztmetszet ideális (i) keresztmetszeti jellemzői ( t = t időpont)

157 Kéttámaszú, előfeszített (f) gerendatartó (G): σ bg,a = P f /A ig [P f e ig /I ig ]y ig + + [M(1)/I ig ]y ig + [M(2)/I ig ]y ig M(1): nyomaték az önsúly 1. részéből (a gerenda önsúlya), M(2): nyomaték az önsúly 2. részéből (a vb. lemez önsúlya). i: ideális; repedésmentes (I. fesz. állapot). A t = t időpontban: P f = P f = (6.2.13). Kéttámaszú, együttdolgozó (ö: öszvér) tartó: σ bg,a = + [M(3)/I iö ]y iö + [M(p ü )/I iö ]y iö M(3): nyomaték az önsúly 3. részéből (burkolat, szegély stb.), M(p ü ): nyomaték a hasznos üzemi (ü) teherből. kéttámaszú tartó (alul húzott) P f P f M(1) M(2) M(3) M(p ü ) Repedéskorlátozás üzemi teherből: σ bg,a = σ bg,a + σ bg,a 0 kell legyen ábra REPEDÉSKORLÁTOZÁS. Kéttámaszú, előfeszített/ /tapadóbetétes vasbeton hídtartó üzemi (ü) rugalmas betonfeszültségei (b) az alsó (a) szélső szálban

158 ábra Előfeszített/tapadóbetétes vasbeton tartó M H törési határnyomatékának Mörsch-féle meghatározása

159 a előfeszített/tapadóbetétes tartó M g σ b A f, E f P fo σ b (g) σ b (fo) σ f (fo) = σ fo + nσ b (fo) > 0 Leonhardt javaslata: n = E f /E b ε zs < 0 Δσ f,φzs, = σ fo A/B < 0 A = nφ [σ b (g) + σ b (fo) ] + ε zs E f B = nσ b (fo)(1 + φ /2) σ f (fo) b utófeszített/csúszóbetétes tartó M g ε br A f, E f P fo ε zs < 0 ε br (g) ε br (fo) ε bo = ε br (g) + ε br (fo) < 0 Δσ f,φzs, = (φ ε bo + ε zs )E f < ábra Kúszási és zsugorodási feszültségveszteségek közelítő meghatározása

160 a irányváltozási szögek α 2 t: tervezett v: véletlenszerű α 1 α 3 x α t = α 1 + α 2 + α 3 α v = ηx α = α t + α v feszítés b egyoldali feszítés e f P fso e f = e ig + Δe f α t Δσ f,s = ΔP fs /A f ΔP fs ΔP fs = P fso (1 e µα ) P fso e µα feszítés l v P fso c kétoldali feszítés és visszaengedés µ: súrlódási tényező ideiglenesen 10%-kal túlfeszítjük majd visszaengedjük feszítés µ = 0,05 0,40; η = 0,005 0,0333 rad/m ábra UTÓFESZÍTÉS. A Δσ f,s súrlódási veszteségek változása

161 a 11 = M 1 2 /(EI)dx a 1f = M 1 M f / (EI)dx X 1o = a 1f /a 11 > 0 ha l 1 = l 2 = l és f 1 = f 2 = f X 1o = P fo (f + e f1 ) M T1 = P fo f ábra UTÓFESZÍTÉS. Kényszerigénybevételek feszítésből

162 EHGE tartó EHGTM tartó Ubx tartó UH tartó FT tartó ITG tartó 7.1. ábra Hazai előregyártott hídgerendák

163

164 w = w(x,y): függőleges eltolódás (lehajlás) D x,d y,d 1,D 2 : hajlítási merevségek m x = D x w'' D 1 w.., m y = D y w.. D 2 w'', m xy = D xy w'., (L1 a-e) m yx = D yx w'., 2H = D xy + D yx + D 1 + D 2. csavarási merevségek 1 az ortotróp lemezek differenciálegyenlete: D x w''''+2hw''.. +D y w... = p(x,y). (L2) 2 az izotróp lemezek differenciálegyenlete: w''''+2w''.. +w... = p(x,y)/d. Ekkor D x = D y = D = Eh t 3 /(12[1 ν 2 ]), (L3) D 1 = D 2 = νd, ν = 0.2, D xy = D yx = Gh 3 /6 = (1 ν)d, (L4 a-e) G = E/(2[1+ν]), 2H = 2D. ( )/ x = ( )' ( )/ y = ( ) ábra Lemezelem feszültségei és igénybevételei. Lemez alapegyenletek

165 b m = 0,15l o b m 6v bordák közötti lemez esetén (horpadás), b m 4v szélső bordán kívüli lemeznél (horpadás). 1 Kéttámaszú tartó l o = l 2 Többtámaszú tartó l o : a nyomatéki zéruspontok távolsága szélső nyílás közbenső nyílás l o (0,80 0,85)l l o (0,60 0,70)l Megjegyzés: vasbeton többtámaszú tartók esetén a támaszoknál b m = ábra A bordával együttdolgozó b m lemezszélesség. A gerendák nyomatéki zéruspontjainak l o távolsága

166 1 Gerenda l o /h 20(25) l o : a nyomatéki zéruspontok távolsága ábra 2a Kétirányban teherviselő lemez l/h 30 2b Kétirányban teherviselő többtámaszú lemez l/h 40 b = 1,0 m ábra Gazdaságos lemezvastagságok

167 Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger, S.: Lemezek és héjak elmélete. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1966 Csavarómerev lemez (GI t >0). Lehorgonyzott lemezsarkok. p [knm -2 ] y D = Eh 3 t /(12([1 υ 2 ]), v = h t : a lemezvastagság, υ = 0.3, de vb.-nél υ=0,2. m xm m ym l y x l x m x = α x pl x 2 m y = α y pl x 2 f = βpl x4 /D lehajlás α x α y 0,100 0,090 0,080 0,070 0,060 0,050 0,040 0,030 0,020 0,010 0,000 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 l y /l x 0, ,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,010 0,01013 β ábra Egyenletesen megoszló erőkkel (p) terhelt, 4 oldalon szabadon felfekvő (csuklós) négyszöglemez legnagyobb hajlítónyomatékai. Lehajlások (lemezközépen)

168 Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger, S.: Lemezek és héjak elmélete. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1966 Csavarómerev lemez (GI t >0). p [knm -2 ] y D = Eh 3 t /(12([1 υ 2 ]), v = h t : a lemezvastagság, υ = 0.3, de vb.-nél υ=0,2. m x + m y + m x l y x m y l x m x + = α x + pl x 2 m y + = α y + pl x 2 m x = α x pl x 2 m y = α y pl x 2 f = βpl x4 /D lehajlás ábra Egyenletesen megoszló erőkkel (p) terhelt, 4 oldalon befogott négyszöglemez legnagyobb hajlítónyomatékai. Lehajlások (lemezközépen)

169 m x = P(κ x + υκ y ) m y = P(κ y + υκ x ) a). ábra Egyenletesen megoszló erőkkel (p) parciálisan terhelt, 4 oldalon szabadon felfekvő (csuklós) négyszöglemez legnagyobb hajlítónyomatékai

170 m x = P(κ x + υκ y ) m y = P(κ y + υκ x ) b). ábra Egyenletesen megoszló erőkkel (p) parciálisan terhelt, 4 oldalon szabadon felfekvő (csuklós) négyszöglemez legnagyobb hajlítónyomatékai

171 m x = P(κ x + υκ y ) m y = P(κ y + υκ x ) c). ábra Egyenletesen megoszló erőkkel (p) parciálisan terhelt, 4 oldalon szabadon felfekvő (csuklós) négyszöglemez legnagyobb hajlítónyomatékai

172 ábra Koncentrált erővel terhelt, kétoldalt szabadon felfekvő (csuklós) lemez b m és b r együttdolgozó szélességei

173 ábra Végtelenül széles konzollemez η(m x ) nyomatéki hatásfelülete és m x nyomatékai a befogásnál

174 ábra Végtelenül széles konzollemez η(q x ) nyíróerő hatásfelülete és q x nyíróerői a befogásnál

175 Megjegyzés: a nyomatékokat általában a nyomaték síkjára merőleges irányú kettősnyillal szoktuk ábrázolni. L. a ábrán.: Jelen esetben nem így ábrázoltuk a nyomatékokat, hanem a hajlítás síkjába eső egyszeres nyíllal: ábra Egyenletesen megoszló g totális teherrel (önsúly) terhelt ferde lemez főnyomatékai (m 1, m 2 )

176 Megjegyzések: 1.) Az a) ábrán és a b1), b2) ábrán látható lemez csavarómerev (GI t > 0). 2.) Ha figyelembe vesszük a lemez nyírási alakváltozásait is, akkor a sarkoknál számított R koncentrált reakcióerő átmegy nagy intenzitású megoszló erővé. 3.) Ha a sarkokat nem lehet lehorgonyozni (ritka eset), akkor a hajlítónyomatékokat (4. és 6. ábra) kb. 25%-kal meg kell növelni. 4.) Befogott peremeknél az m xy csavarónyomatékok eltűnnek és így az R koncentrált reakcióerők is ábra Egyenletesen megoszló p totális teherrel terhelt, 4 oldalán szabadon felfekvő (csuklós) lemez m 1, m 2 főnyomatékai és m x, m y hajlítónyomatékai. Megoszló q és koncentrált R reakcióerők. Lehorgonyzott és nem lehorgonyzott (felemelkedő) sarkok

177 l y /l x m 1 = m 2 = m xy R = 2m xy 1 0,0325pl x 2 2 0,0460pl x 2 0,0650pl x 2 0,0920pl x 2 alsó oldal a ferde vasalás (elméleti) felső oldal a sarok lehorgonyzása (leterhelés is jó) b derékszögű háló vasalás (a kivitel szempontjából kedvező) alsó oldal a vasalás azonos az alsó oldalival felső oldal a sarok lehorgonyzása mint az a -nál Megjegyzések: 1.) A VASALÁSI SEGÉDLET V és 15. ábráján találhatók a lemezvasalás kialakítására vonatkozó általános ajánlásaink. 2.) Ezen az ábrán csak a sarokvasalásokkal foglalkozunk. 3.) Elmélet: ábra ábra 4 oldalán szabadon felfekvő (csuklós) lemez sarokvasalásai

178 Lehajlás (f) és hajlítónyomatékok lemezközépen (1 jelű pont) D = Eh t 3 /(12([1 υ 2 ]), v = h t : a lemezvastagság, υ=0,2. l y /l x f = βgl y4 /D β m x1 = α x gl y 2 α x m y1 = α y gl y 2 1,0 0, ,0331 0,0331 1,2 0, ,0210 0,0363 1,4 0, ,0149 0,0384 2,0 0, ,0092 0,0411 0, ,0083 0,0417 α y Hajlítónyomatékok az u oszlopszélesség függvényében, l x = l y = l esetén u = v m x0 = α0 gl 2 m x1 = α 1 gl 2 m x2 = α2 gl 2 + m y2 = αy2 gl 2 α 1 α 2 α y2 α 0 u/l = 0,0 0,0331 0,0185 0,0512 u/l = 0,1 0,196 0,0329 0,0182 0,0508 u/l = 0,2 0,131 0,0321 0,0178 0,0489 Pl. u/l = 0,10; l y = l x = l ábra Végtelen kiterjedésű síklemez födém (fejnélküli gombafödém) egy közbenső lemezének hajlítónyomatékai g egyenletesen megoszló totális teherből

179 a a végtelenül merevnek tekintett c széles szakasz értelmezése c h to /2 a1 rejtett acél gombafej c v = h t h to 2c a2 síklemez c 45 o v = h t h to 2c c c m t2 m t1 m m l t: támasz m: mező a támasznyomatékok ρ növelő tényezője ρ = 3 16[c/l] = b 0,125 c/l ábra Segédmennyiségek síklemez födém (fejnélküli gombafödém) hajlítónyomatékainak szabványos közelítő eljárással történő meghatározásához

180 A b = 1,0 m széles x irányú lemezsáv mint többtámaszú tartó/gerenda maximális nyomatéki ábrája (részlet) A síklemez födém x irányú nyomatéki ábrája: m x MEGJEGYZÉSEK: 1.) Feltételek: 0,80 l x /l y 1,25 és 0,80 l x,i /l x,i+1 1,25, 2.) *Az oszlopsáv fél szélessége (2*0,1l y ) mentén a vasalás a 2. ábra szerinti 3 ρ 1 tényezővel növelendő (ha c x /l x < 0,125)! 3.) A számítás az y irányban ugyanígy megy ábra Síklemez födém (fejnélküli gombafödém) hajlítónyomatékainak meghatározása szabványos közelítő eljárással (MSZ DIN/Leonhardt).

181 g totális teher (állandó teher) p parciális teher I. (esetleges teher) p parciális teher II. (esetleges teher) a.) ábra Segédlet többtámaszú gerenda maximális igénybevételi ábráinak a meghatározásához. 4-támaszú tartó, l = const.

182 p parciális teher III. (esetleges teher) p parciális teher IV. (esetleges teher) b.) ábra Segédlet többtámaszú gerenda maximális igénybevételi ábráinak a meghatározásához. 4-támaszú tartó, l = const.

183 g totális teher (állandó teher) p parciális teher I. (esetleges teher) minden 2. mezőben p parciális teher II. (esetleges teher) támasztól jobbra-balra; egy mező üresen marad ábra Segédlet végtelenül sok támaszú gerenda maximális igénybevételi ábráinak a meghatározásához ( i ). l = const.

184 ábra Négyszögkeresztmetszetű alaptest alatti talaj feszültségeinek számítása

185 ábra Az elcsúszás elleni védekezés szerkezeti megoldásai

186 ábra A végén F o koncentrált erővel, illetve M o nyomatékkal terhelt, végtelenül hosszú, rugalmasan ágyazott gerenda elmozdulásai és igénybevételei

187 ábra Középen F o koncentrált erővel, illetve M o nyomatékkal terhelt, végtelenül hosszú, rugalmasan ágyazott gerenda elmozdulásai és igénybevételei

188 A A METSZET L. még a VASALÁSI SEGÉDLET V.1. 2., 16., 19. ábráját. A merőleges irányban: 2y, 3y, 4y és jelű vasak vannak ábra Négyszög alaprajzú síkalap (pontalap) vasalási vázlata

189 A A METSZET L. még a VASALÁSI SEGÉDLET V.1. 2., 13. ábráját ábra Talpgerenda (sávalap) vasalási vázlata

190 ábra Kehelyalap ellenőrzése

191 a fal tetejének vízszintes elmozdulása: u +u u forgáspont λ i : földnyomási szorzók vízszintes térszín és sima hátlap esetén; i = a, p, o, φ: a talaj (háttöltés) belső súrlódási szöge (30-35 o ), E i : a hátlapra jutó eredő földnyomási erő [knm -1 ]; i = a, p, o. aktív földnyomás passzív földnyomás nyugalmi földnyomás Coulomb-Rankine Coulomb-Rankine Jáky λ a = tg 2 (45 o φ/2) λ p = tg 2 (45 o +φ/2) λ o = 1 sinφ 0,5 +u u u = 0 lazulás összenyomódás nyugalom A teljes E p passzív földnyomás fellépéséhez sokkal nagyobb -u elmozdulás szükséges, mint az aktív földnyomás fellépéséhez. Ezért csak a 0,5E p értéket javasoljuk figyelembe venni ábra Földnyomások

192 ábra Helyzeti állékonysági vizsgálatok

193 ábra Modellek szögtámfal helyzeti állékonysági (kibillenés, elcsúszás), talajtörési és vasbeton szilárdsági vizsgálataihoz

194 támfal beton: C35/45-16/KK, f50, vz ábra Hídhoz csatlakozó vasbeton szögtámfal

195 Elcsúszási veszély esetén: ábra: alapsík ferdítés fog kialakítása: ábra Szögtámfalak vasalási vázlata