Hogyan látható a relativisztikus távolságrövidülés?

Átírás

1 DR. VERMES MIKLÓS Hogyan átható a reatiisztikus táoságröidüés? Több mint fészázada ismeretes a Lorentz-transzformáió, a speiáis reatiitáseméet aapető áítása. Azóta hitees ismeretté át, hogy egy táoság (méterrúd), ameynek hossza saját koordinátarendszerében mére r, egy hozzá képest sebességű, egyenes onaú egyenetes mozgást égző koordinátarendszerbő mére r 1 hosszúságúnak adódik. Itt a fény terjedési sebessége, a koordinátarendszerek kösönös mozgási sebessége, 1 κ = a táoság sökkenésének 1 mértéke. Tehát a természet oyan, hogy mozgásban eő r táoság áó rendszerbő izsgáa röidebbnek, κ r -nak adódik. A mozgás irányára merőeges táoságok átozatanok maradnak. E tény aapján a reatiitáseméet népszerűsítői fantáziájukat működtete küönfée pédákon szokták eírni, hogy a nagyon gyorsan mozgó kerékpáros a kerek irágágyat eipszis formájúnak, a gömb aakú abdát eapított forgási eipszoidnak, az űrhajós az áósiagot ugyansak eapított forgási eipszoidnak, korongnak átja és így toább. 1. ábra Így oasható ez szinte mindenütt, G. Gamow Reatiisztikus árosában (a Mr. Tompkins in the Wonderand ímű könyben), aamint így szerepenek ezek a pédák a Gondoat kiadásában 1958-ban megjeent A reatiitáseméet ímű ismeretterjesztő köny 40. odaán is. Azonban néha megesik, hogy ényegében régóta tisztázott dogokat érdemes apró részeteiben is utánagondoni. Most is ez történt. James Terre két ikkében (Phys. Re és Bu. Am. Phys. So. Ser. II , aamint R. Penrose, Pro. Cambridge Phi. So ) bebizonyította, hogy a étezhető egnagyobb sebességek esetében is az űrhajós a gömb aakú abdát, Napot agy áósiagot pontosan gömb aakúnak átja. Nem azért, mert nem igaz a Lorentzbeapuás, hanem mert a átás, a fény éges terjedési sebessége foytán néha más jeenséget mutat, mint amiyen a reáis jeen. Iyesmire pédát taáhatunk a régi, nemreatiisztikus fizikában is: egy óra feé gyorsan közeedő megfigyeő gyorsabban, a táoodó megfigyeő assabban átja járni az órát a Dopperjeenség köetkeztében, mert a fénynek terjedéséhez időre an szüksége. (A nemreatiisztikus fizikában ennek eenére a mozgásban eő rendszerek időtartamai egyezőek.) Hogy miként észei a megfigyeő a beaput eipszoid formájú égitestet mégis gömb aakúnak, arró szónak ezek a sorok. A reatiitáseméet mozgó táoság mérésére pontos mérési eőírást áapít meg. Ada an egy onat (1. ábra). Induás eőtt, áó heyzetben nins probéma a onat hosszának mérését ietőeg: meg ke nézni, hogy a onat eeje és ége a sínek meé fektetett skáa mey pontjainá ának és a onat hossza r = PQ. Ha a onatban fektetünk égig egy skáát, ez a mérés is r hosszúságot ad. Ezután onatunk kifut az áomásró, a sínháózat küönböző ágain égighaada egyszer

2 sak isszatér az áomásra és áandó sebességge átrobog rajta. Feadat: a mozgó onat hosszának mérése az áomásró. Eégzésére a reatiitáseméet a köetkező utasítást adja. A sín meé éges-égig megfigyeők ának. Ugyanabban a pianatban, mondjuk 1 óra 00 perkor fe ke tartania a kezét annak a két megfigyeőnek, akik meett a onat eeje, ietőeg ége haadt e ugyanebben a pianatban. Azután szép kényemesen megmérik a sínek meett fekő skáán e két pont táoságát. Tény, a természet tuajdonsága, hogy e mérés eredménye így eégeze, most κ r. Tehát úgy keett a mozgó táoságot az áó koordinátarendszerbő mérni, hogy az ugyanazon pianatban fedésben eő pontok táoságát áapítottuk meg. Az áó iágot és a mozgó iágot úgy ke eképzeni, mint egy-egy átátszó, átjárható teret, ameyek egymásba annak duga és egymáshoz képest mozognak. A mérés a két rendszer pianatnyiag ugyanazon a heyen fedésben eő pontjainak fehasznáásáa megy égbe. Ugyanez a heyzet, ha az áomás hosszát ke emérni a mozgó onatró. Most köetkezik az űrhajós esete, aki nagy sebességge szágud e egy gömb aakú siag meett. Tudjuk, hogy a siag rádiusza r. Az űrhajós sebességge mozgó rendszerébő észee a mozgás irányába eső siagrádiusz κ r, a mozgás irányára merőeges aamennyi rádiusz r. Mit jeent az, hogy észee? Azt, amit az eőbb eírtunk: a térben enyomatot ke enni azokró a pontokró, aho a siag feszíne egyidejűeg an jeen. A műeet eredménye, hogy az áó gömb a mozgó rendszer számára apított forgási eipszoid. Azonban az űrhajós nem tapogatja, hanem nézi és fényképezi a siagot. Ekkor pedig érdekes dogok jönnek közbe annak foytán, hogy a pianatnyiag szemébe jutó fénysugarak a mozgó tárgy küönböző pontjairó küönböző időkben indutak e. A. ábrán egy AB-e jezett, hosszúságú, áandóan iágító fényforrás (fényső) átható, amey áandó sebességge haad feürő efeé. A megfigyeő az x-tengey irányában heyezkedik e, aaho messze. A döntő körümény: a szem ideghártyáján kirajzoódó kép, a fényképezőemezre etítődő kép azon fénysugarak fehasznáásáa keetkezik, ameyek egyszerre érkeznek meg. A fényképezőgép zárja egy igen röid pianatra nyíik ki, ekkor bejutnak mindazon fénysugarak, ameyek akkor épp ott annak, az eőbb agy később érkezők kinn rekednek. Mozgó tárgyró a szem is sak azon sugarak fehasznáásáa tud képet akotni, ameyek egyszerre érkeznek az ideghártyára. Ha ehagynók ezt a kikötést, a szem nem tudná, hogy a tárgy egyik, iete másik égérő áandóan érkező sugarakat hogyan párosítsa össze képpé. Ha hosszú ideig nyita tartott fényképezőgéppe észenénk a foyamatosan iágító, mozgó fénysöet, akkor egyik égén sem határot onaat kapnánk emezünkön. Az észeésnek ez a módja nyiánaóan tejesen értemeten.. ábra Az x-tengeyen messze jobbra eheyezkedő megfigyeőhöz az A-bó és B- bő egyszerre induó fénysugarak nem érkeznek egyszerre, mert A pont darabba messzebb an az észeőtő, mint B pont. Ezen darab befutásához még ke idő. A fényső baodai égérő az a fénysugár érkezik a B-bő induóa egyidejűeg a

3 megfigyeőhöz, amey indut. Ekkor a fényső még időe korábban = darabbá hátrább ot A 1 B 1 -ben. Amíg a fényső A 1 B 1 heyzetébő ejut az AB heyzetbe, a baodai égétő a jobbodai égéig foyamatosan mindig más-más pontbó indu ki az a fénysugár, amey egyidejűeg fut be a megfigyeőhöz és akotja a pianatfeétet a emezen. Az egyszerre érkező fénysugarak úgy mutatják, mintha a tárgy heyzete A 1 B ona. (Rajzunk = 0,8 esetre onatkozik.) A megfigyeő fényképezőemezén egy onaat kap, hoott azt árta, hogy a fénykép, a átány egyeten pont esz, hiszen megfigyeése az x-tengey irányábó, a fényső egyenes meghosszabbításábó történt. Tudomásu ke ennünk, a fényképezőgép, a szem egyeten B pont heyett A 1 B heyzetű fénysöet át. Egyébként a feéte készítése pianatában a fényső már ényegesen etáoodott AB heyzetétő aahoá A B -be. Megértjük: az aberráió jeenségérő an szó, ameyet a siagászok régóta jó ismernek. A tejesség kedéért megizsgáhatjuk, mit észene megfigyeőnk, ha a fénysöet az AB heyzetben egyeten pianatra iantanánk fe. 3. ábra Ekkor, miután a fényső már egy ideje A B -be táozott, sorra érkeznének a emez (ideghártya) ugyanazon pontjára a fényső egyes pontjaibó induó pianatnyi fényjeek. Tehát ugyanabban az egy pontban ideig tartó áandó iágítást észenénk. Most köetkezik a mozgó, iágító gömb, a siag megfigyeése. Újabb érdekességekke fogunk taákozni. r sugarú gömbünk feürő efeé haad sebességge, (3. ábra; itt és a 4. ábrán = 0,8, κ = 5/3). A Lorentz-transzformáió szerint a gömb a mi áó koordinátarendszerünkbő etapogata (a onatpédában rögzített táoságmérések eredménye aapján) egy apított forgási eipszoid, meynek a mozgás irányába eső fé kistengeye OC = OD = κ r, a mozgás irányára merőeges méretei pedig átozatanok, így AO = OB = r. A rajzunk síkjában fekő eipszis-metszet függénye r x y = (1) κ Amikor a siag az ábra szerinti heyzetben an, akkor a megfigyeő aaho messze jobbra, az x-tengey meghosszabbításában heyezkedjen e, és ott észejen. A siag, a forgási eipszoid foyamatosan iágít. Az észeés történjen ismét átássa, agyis úgy, hogy egyeten pianatra nyitjuk ki a fényképezőgép zárját, iete szemünket, az észeőhöz egyszerre érkező sugarakbó akota képet. Az egész iágító siag mey részérő érkezik fény a megfigyeőhöz? A gyanútan oasó azt gondoná, hogy a C-B-D féeipszoidró. Téed. Nyiánaó, hogy B pontró akadáytaanu jut e a fénysugár a megfigyeőhöz, de C-bő nem! Ugyanis a fénysugár eindu a megfigyeő feé, az x- tengeye párhuzamosan, de a siag is mozog efeé és eágja a C-bő induó fénysugár útját, így C-t nem átjuk. De akkor ho an a CB íen az az E ehatároó pont, amey megmutatja, mey rész átható a megfigyeő számára és mey rész nem? Heyettesítsük az eipszist E szomszédságában, kis darabon egy egyenesse. A határesetet az jeemzi, hogy ezen egyenes hajásszögének tg-e éppen. Ekkor, mie az eipszis sebességge mozog efeé, a fény sebességge megy

4 jobbra, a fény az érintő mentén toábbjut és eérkezik a megfigyeőhöz. Az érintő szögének tangensét (1) differeniáhányadosa adja: dy x =. dx κ r x Ennek ke E pontban -e egyenőnek ennie: x =. κ r x Egyenetünk megodása és (1) fehasznáása adja a neezetes E pont koordinátáit: x0 = r, () r y0 =. κ Tehát a CB íbő a megfigyeő nem átja, etakartnak tapasztaja CE részt és sak EB részt átja. Azonkíü átja BD negyedrészt tejesen, sőt még a DA részbő is egy darabot. Az ehatároást az E-e eentétesen fekő F pont adja meg. Az FD ídarabon az eipszis eszaad az útbó és engedi, hogy a feszínrő kiinduó sugarak az x-tengeye párhuzamosan ejussanak a megfigyeőhöz. Végeredményben megfigyehető a siag feüetének E-B-D- F része. Érdekes, hogy az eipszoid menetirányban fekő odaán sak kis részt átunk, hátodaán iszont a feezőonaná hátrább is átjuk a feszín egy részét. 4. ábra Hátra an a égső összegezés; mit észe megfigyeőnk, ha egy pianatra kinyitja fényképezőgépe zárját? A képet most is az egyszerre érkező fénysugarak akotják. Ezek közü a egszésőbbek azok, ameyek az eipszis F és E pontjaibó indunak e. Azonban F táoabb an a megfigyeőtő, mint E, ezért F-bő eőbb ke a fénysugárnak eindunia, hogy az E- bő kiinduóa egyszerre érkezzen a megfigyeőhöz, (4. ábra). Az F és E pontok táosága a fénysugár irányában x 0 és ez () aapján x 0 = r. Ekkora táoságot a fénysugár r idő aatt fut be, agyis a fény akkor indut e F-bő, amikor az eipszoid még r = r darabba hátrább ot és F heye akkor még F 1 ot. A fényképen a siag képének a mozgás irányába eső átmérőjét az E-bő és F 1 -bő kiinduó sugarak határozzák meg. Ezek táosága pedig d = FF 1 + y 0. Itt FF 1 = r, az eipszis útja, y0 pedig ()-bő ismeretes. Tehát a átszóagos átmérő d = r r +. Ezt kifejtjük, κ jeentését κ fehasznáa: d = r r 1 = r. + A mozgásra merőeges irányban átható átmérő átozatanu r marad. Tehát megan megepő eredményünk: a siag pontosan gömbnek átszik, mintha nem is mozogna. Az érdekes eredmény étrejöttében három körümény dogozik össze: a reatiisztikus táoságröidüés, az aberráió és az a körümény, hogy az egyidejűeg beérkező sugarak adják a képet. Amennyit a Lorentz-transzformáió röidít, annyit nyújt meg az a körümény, hogy a táoabb fekő odaró korábban ke einduni a fénysugárnak. J. Terre feismerése szerint áandó sebességge mozgó gömb a szokásos nézési és fényképezési ejárás esetében átozatanu gömbként tűnik fe, a reatiisztikus táoságröidüés eenére, iete heyesen ennek köetkeztében.

5 5. ábra Számításunk arra az esetre onatkozott, amikor a megfigyeő a páyára merőeges egyenes mentén heyezkedett e. Kissé hosszadamasabb számítás azt az eredményt adja, hogy a páyához képest bármiyen ferde iránybó nézzük is a közeedő siagot, azt mindig ugyanakkora átmérőjű gömbnek átjuk. De a gömb feüeti aakzatai már erősen etorzutan átszanak az eredetihez képest. Az 5. ábra a rajza a gömb tényeges, egyik odaára ferajzot dékör-rendszerét mutatja nagy táoságbó szemée. Ezt átja az x-tengeyen nagy táoságban eheyezkedő megfigyeő, ha a gömb á. Ugyanezt a meridiánrendszert ismerik a gömbön éők, mint sajátjukat. A dékörök számozása oyan, hogy egyenesen feénk néz a 0 -os meridián, bara és jobbra pedig a 90 -os (nyugati) és +90 -os (keeti) födrajzi hosszúságig terjed átásunk. A meridiánok a perspektía, a etítés miatt átszanak eipsziseknek. A b kép azt a átányt tünteti fe, ameyet az x-tengey meghosszabbításában eő megfigyeő észe, ha a gömb sebességge mozog. Amint arró eőbb szó ot, most is gömböt átunk, de a siag 37 és os meridiánjai áta határot részét. A átány a-hoz képest torzított, a mértaniag szemben áó 0 -os meridián egészen odat an, a +90 -os nagyon jobbra és így toább. 6. ábránk fetünteti, mit átunk a siagbó, ha áandó sebességge rohan e meettünk. A szaggatott onaú nyiak a táoi megfigyeő feé mutató irányt jezik, a gömb mozgási sebességéhez iszonyíta. A onakázott féeipszis a átható rész. Amikor az áósiag még nagyon messze an, a feénk forduó asó részét átjuk. Ha a megfigyeő feé mutató átósugár szöge 30 -os, akkor menetirányban nem átható az egész feénk forduó féeipszis, iszont a hátsó odaon túátunk a feszín egy darabjára. A 6. ábra baodai körei azt tüntetik fe, hogy a siagra rajzot meridiánháózat számozása szerint mit át a megfigyeő. A 30 -ra eheyezett megfigyeő a gömbön a nyugati hosszúság 10 -átó a keeti hosszúság 78 -áig fekő árosokat átja, hoott egyszerű szerkesztés szerint 150 -tó +30 -ig terjedt ona a átható fégömb. Érdekes a 37 -ra eheyezkedő megfigyeő esete, (37 = ar os = ar os 0,8). Ekkor pontosan a gömb mozgási irányra merőeges fee átható, (amint azt 90 -ra eheyezkedő megfigyeő esetében ártuk ona a primití eképzeés szerint). Még jobban férebien a átható fégömb 60 -os megfigyeési irány esetében. Amikor meettünk rohan e a siag (a megfigyeés szöge 90 ), akkor azt átjuk, amirő eőbb részetesen ot szó, (5. ábra b rajza). A siag táozásakor mindez fordíta megy égbe, de az egész mozgás foyamán a siag r átmérőjű gömbnek átszik. Pontosan ugyanez a átány magátó értetődően, ha a siag á és az űrhajós mozog sebességge. A nézés, a megfigyeés más módszerei is ehetségesek. Ha radarra dogozunk, beátható, az eredmény ugyanaz. J. Terre bebizonyította, hogy stereoszkópos nézés, geometriai táoságmérésse kombinát megfigyeések ugyanezt az ismertetett eredményt szogátatják. Kissé módosu a átány, ha a megfigyeő nins nagyon messze a gömbtő, hanem éges közeségben heyezkedik e. De gyorsuó mozgás esetében a fénykép nagyon etér a gömb

6 aaktó. Erre onatkozóan érdekes pédákat számohatunk égig. 6. ábra Érdekesség kedéért izsgájuk meg, mi ona, ha a természetben nem ona meg a táoságröidüés, hanem a Gaiei-transzformáió ona érényben. Ekkor a mozgás irányába eső átmérőt 1+ arányban megnyútnak átnánk, az űrhajós a siagot a mozgás irányában megnyút forgási eipszoidnak átná. 5. ábránk rajza mutatja, miyen ona ebben a nem étező esetben a átány = 0,8 esetében. A forgási eipszoid sebesség irányában megnyút átmérője 1,8-szor ona nagyobb a tényeges átmérőné. A meridiánháózat 5 -tó +18 -ig ona átható, ugyansak torzíta. Mi történne áandóan nyita tartott fényképezőgép esetében, ha a siag sak egy pianatra ianna fe? Eőször a B-bő érkező fénysugár hagyna nyomot (3. ábra), azután két odat érkeznének fényjeek a BE és BE' részekrő, égü még az E'D, majd DF írő. Eőhíás után a mozgás irányába eső átmérő hossza a reatiisztikus esetben r y0 = r +, a kasszikus esetben κ κ κ 1 r + y0 = r 1+ ona, ( = 0,8 1+ esetében a számértékek 0,96r és 1,78r). Az emondottakbó több irányban onhatunk e tanuságokat. Látható, mennyire ényeges a fogamakat meghatározó definíiók, a mérési ejárások pontos rögzítése. Hiszen ettő függ, a siagot apított eipszoid, gömb stb. aakúnak észejük-e. Féő, időe e dogozat tartama a népszerűsítésben úgy bukkan majd fe, hogy: nem igaz a reatiitáseméet, nem igaz a Lorentztranszformáió, nem észehető a reatiisztikus táoságsökkenés. A aóság az, hogy a speiáis reatiitáseméet fetétenü, átozatanu igaz. A Lorentz-transzformáiós táoságsökkenés észeésére egyrészt megan a hiataos, eredeti ejárás, a izsgát test egyidejű etapogatása. Másrészt az űrhajós éppen azáta figyeheti majd meg a táoságzsugorodást, hogy a gömb aakú siagot mozgása közben is gömbnek átja, nem pedig megnyút, görögdinnye formájúnak. Az emondottak fő tanusága tehát az, hogy a jeenrő beszéünk, de mindig a mútat átjuk, méghozzá nagyon küönböző időpontbei mútakbó összerakott mozaikot. És ez a mozaik nem fetétenü azonos a jeen pianat tényeges reaitásáa. Megjeent a Fizikai Szeme XI. éfoyam 3. számában.