Rekurzív sorozatok. Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest, Csikó Csaba. Témavezető: Dr. Mezei István. matematika szakos hallgató ELTE TTK

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Rekurzív sorozatok. Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest, Csikó Csaba. Témavezető: Dr. Mezei István. matematika szakos hallgató ELTE TTK"

Átírás

1 Rekurzív sorozatok Csikó Csaba matematika szakos hallgató ELTE TTK Témavezető: Dr. Mezei István egyetemi docens ELTE TTK Alkalmazott Analízis éss Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest, 2015.

2

3 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés A szakdolgozat felépítése Köszönetnyilvánítás Elméleti bevezető Végtelen számsorozat definíciója; megadási módja Műveletek sorozatokkal Monoton sorozat, korlátos sorozat Nullasorozat; a határérték definíciója Határértékre vonatkozó tételek Rekurzív sorozatok Feladatok A Newton-féle gyökvonás Függvény, mint rekurzív sorozat Rekurzív sorozat a kombinatorikában Fibonacci sorozat Ismertető Fibonacci- sorozat és az aranymetszés Fibonacci négyzetek Prímszámok a Fibonacci sorozatban Előfordulása a természetben Catalan számok 45 iii

4 TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK iv

5 1. fejezet Bevezetés 1.1. A szakdolgozat felépítése A rekurzív sorozatok felhasználása nagyon sok új és eddig kiaknázatlan lehetőséget rejt magában. Nemcsak a gazdasági életben foglal el jelentős szerepet, hanem az élet bármely területén is egyre erőteljesebben jelenik meg. A rekurzív sorozatok alkalmazását az eddig használt területeken túl, át kell alakítani a mai kor támasztotta elvárásoknak, igényeknek, kihasználva a technika adta újabbnál újabb lehetőségeket. A XXI. században a technikai eszközök fejlődése rohamléptekkel halad előre, melyeket szerintem feltétlenül hasznosítani kell a matematika különböző területein is. Egy program segítségével kiválóan szemléltethető például Hanoi tornyai rekurzív feladat. Meggyőződésem, hogy nem feltétlenül szükséges ragaszkodni a papír alapú oktatáshoz. Merni kell alkalmazni, használni az új technológiákat, eszközöket. Szakdolgozatom célja, hogy bemutassam, milyen lehetőségek tárultak fel előttem a képzés során, melyeket hasznosítani lehet a rekurzív sorozatok használatánál. 1

6 1.2. Köszönetnyilvánítás 1. Bevezetés Szakdolgozatomban megmutatom,hogyan alkalmazhatók a rekurzív sorozatok. Az analízis, az algebra, számelmélet, véges matematika területeket érintem. Elméleti bevezetővel kezdem a dolgozatom, amely tételeket, definíciókat tartalmaz. A következő részben a teljes indukcióra helyezem a hangsúlyt bizonyítási módszerként. Különböző rekurzív sorozatok konvergenciáját vizsgálom. A Newtonféle gyökvonást kiemelhetném, de számtalan példát tudnék sorolni arra, mire használhatók még a rekurzív sorozatok. A 4. fejezetben a Fibonacci sorozat jelenik meg. Megtudhatjuk milyen kapcsolata van az aranymetszéssel, hogyan viselkednek tagjai között a prímek és kitekintve láthatjuk a természetben való előfordulását. 5. fejezetben a Catalan számok segítenek megoldani például azt a kérdést, hogy egy n tényezős szorzat hányféleképpen zárójelezhető Köszönetnyilvánítás Mielőtt elkezdeném a téma kifejtését, szeretném megköszönni Mezei István tanár úrnak a kitartó és odaadó munkásságát, ezzel segítve szakdolgozatom elkészítését. Bármilyen kérdésemre szívesen válaszolt, türelme határtalannak bizonyult. Nagyon köszönöm barátaimnak a sok biztatást és segítséget. 2

7 2. fejezet Elméleti bevezető 2.1. Végtelen számsorozat definíciója; megadási módja Ha minden pozitív egész számhoz egy valós számot rendelünk hozzá, akkor ezzel egy végtelen számsorozatot adunk meg. Rövidebben, a függvényfogalom felhasználásával ezt úgy is kifejezhetjük, hogy végtelen számsorozat a pozitív egész számokon értelmezett (valós értékű) függvény. Továbbiakban sorozat vagy számsorozat mindig végtelen számsorozatot jelent. Jelölés: a n jelenti azt a sorozatot, amelynek n-edik eleme ( az n-hez rendelt valós szám) a n. 3

8 2.1. Végtelen számsorozat definíciója; megadási módja 2. Elméleti bevezető Fontosabb megadási módok a következők: Képlettel: Ekkor közvetlenül adjuk meg az n és az a n kapcsolatát Példa. : 1. a n = 1 n Ekkor a sorozat első néhány eleme: 1, 1 2, 1 3,... sin π,ha n páros n 2. a n = 0,ha n páratlan Ekkor a sorozat néhány eleme: 0, 1, 0, 2 2,... Rekurzív formulával: Ekkor az előírás azt adja meg, hogy az n-edik elemet hogyan kapjuk meg a megelőzőkből. Szükséges ekkor a képzési szabályon kívül az első az első elem vagy az első néhány elem megadása is Példa. : 1. a 1 = 1 ; a n+1 = an n+1 Ekkor a sorozat néhány eleme: 1, 1 2, 1 2 3, , Tekintsük azt a sorozatot, amely úgy kezdődik: 0, 1, és mindegyik utána következő elem az előző kettő számtani közepe. Formulával: a 1 = 0, a 2 = 1 a n+1 = 1 2 (a n 1 + a n ). 4

9 2. Elméleti bevezető 2.2. Műveletek sorozatokkal A sorozat első néhány eleme: 0; 1; 0, 5; 0, 75. Az eddigi adatokból nehéz megállapítani, hogy például a mekkora a 100. tag nagysága. Azt tudjuk, hogy 0, 5 és 0, 75 között van Megjegyzés. A megadási módokat tekintve látjuk, hogy a rekurzív formulával megadott sorozat n-edik elemének meghatározásához az összes előző elem ismerete szükséges. Ez hátrányos a képlettel való megadással szemben. Ezért természetesen felvetődik a kérdés: Egy rekurzív formulával adott (a n ) sorozatnak hogyan lehet megadni a képletét? Erre a kérdésre is keressük a választ Műveletek sorozatokkal A sorozatok között természetes módon értelmezzék az algebrai műveleteket. Az a n és b n sorozat összege az a sorozat, amelynek n-edik eleme a n +b n ; szorzata az a sorozat, melynek n-edik eleme a n b n, és hányadosa az, amelynek n-edik eleme a n bn feltéve, hogy az osztás minden n-re elvégezhető, azaz b n 0, n = 1, 2, Monoton sorozat, korlátos sorozat Egy sorozat növekvő, ha a n+1 a n. Ha a jel helyett a szigorúbb > kikötés is érvényes, akkor a sorozat szigorúan növekvő. A csökkenő és a szigorúan csökkenő sorozat meghatározása ehhez hasonló módon történik. A növekvő és csökkenő számsorozatot közös néven monoton sorozatnak, a szigorúan növekvő és a szigorúan csökkenő sorozatot pedig szigorúan monoton sorozatnak nevezzük. 5

10 2.3. Monoton sorozat, korlátos sorozat 2. Elméleti bevezető Példa. Monoton sorozatokra: 1. növekvők: a, sin nπ b, log a n (a > 1) c, a 1 = 1; a n+1 = (n + 1)a n 2. Csökkenők: a, sin nπ b, log a n (0 < a < 1) c, a 1 = 1 a n+1 = an n Megjegyzés. : 1. A csupa nullából álló sinnπ sorozat definíciónk értelmében tekinthető növekedőnek és csökkenőnek is. 2. Mindkét példában a, b, és c, szigorúan monoton sorozatnak tekinthető Definíció. Egy számsorozat felső korlátja K, ha a n K, n = 1, 2, Definíció. A számsorozat felső korlátjai közül a legkisebb a számsorozat felső határa. Más szóval, H akkor felső határ, ha H egy felső korlát és bármely ε > 0 számhoz létezik olyan n, hogy a n > H ε Definíció. Egy számsorozat felülről korlátos, ha van felső korlátja. Hasonlóan értelmezzük az alsó korlát, az alsó határ és az alulról korlátos fogalmát Definíció. Ha egy sorozat alulról is és felülről is korlátos, akkor azt korlátos sorozatnak nevezzük. 6

11 2. Elméleti bevezető 2.4. Nullasorozat; a határérték definíciója Megjegyzés. Nyilvánvaló, hogy egy (a n ) sorozat pontosan akkor korlátos, ha van olyan K > 0, hogy a n K, n = 1, 2, Példa. : 1. A 0, 1 2, 2 3,..., 1 1 n felső korlátai például 102 ; 1, 05; 2; 1. A felső határa Az 1 2, 0, 1 2 ; 0,... n n+1 ; 0, n n+1 ; 0... A számsorozat alsó határa 1, felső határa A 0; 1; 0; 1;... számsorozat esetén minden negatív szám alsó korlát és minden egynél nagyobb szám felső korlát. A sorozat alsó határa 0, felső határa Az 1; 2;...; n;... sorozat alulról korlátos, de felülről nem korlátos. Az 1; 1; 2; 2;...; n; n;... sorozat nem korlátos Nullasorozat; a határérték definíciója Definíció. Az a n sorozat nullasorozat, ha minden ε > 0 számhoz van olyan N = N(ε), hogy n > N(ε) a n < ε Definíció. Az a n sorozat nullsorozat, ha a 0 bármely ε -környezete véges sok elem kivételével az egész számsorozatot tartalmazza Megjegyzés. Ekvivalens a két definíció akkor, ha pontosan ugyanazok a számsorozatok elégítik ki mindkét definíciót. Nyilvánvaló, hogy az 1. és 2. definícióekvivalens. 7

12 2.4. Nullasorozat; a határérték definíciója 2. Elméleti bevezető Példa. : Nullasorozatra 1. Geometriai sorozat, amelynek hányadosa: q < a n = 1 n ; 1; 1; 1;...; 1 ; 1 ; n n 4. Egy sorozat, amelynek első száz eleme tetszőleges és a n = 0, ha n > ; 0; 0;... Tehát a nullasorozat egy olyan sorozat, amelynek elemei tetszőlegesen közel kerülnek a 0-hoz, ha n elég nagy. A nullasorozat közvetlen általánosítása az a sorozat, amelynek elemei tetszőleges közel kerülnek egy tetszőleges A számhoz elég nagy n esetén. Ezek a konvergens sorozatok Definíció. Az a n sorozat konvergens és határértéke az A szám, ha minden ε > 0-hoz van N = N(ε), hogy n > N(ε) a n A < ε Definíció. Az a n sorozat konvergens és határértéke A, ha az A bármely ε- környezete véges sok elem kivételével a számsorozat minden elemét tartalmazza. Nyilvánvaló, hogy a következő két állítás ekvivalens: Állítás. : 1. Az a n sorozat konvergens és határértéke A. 2. Az (a n A) sorozat nullasorozat. A határérték jelölése: lim n a n = A; lim a n = A; a n A. 8

13 2. Elméleti bevezető 2.5. Határértékre vonatkozó tételek Megjegyzés. Ezek mindegyike azt jelenti, hogy az (a n ) sorozat konvergens és határértéke A. Az N = N(ε) szám neve: az ε-hoz tartozó küszöbindex Határértékre vonatkozó tételek Tétel. Egy számsorozatnak legfeljebb egy határértéke lehet Tétel. a n konvergens, a n korlátos Tétel. Ha a n A, akkor A ni A Tétel. Ha a n A és b n B, akkor a, a n ± b n A ± B b, ca n ca c, a n b n AB d, a n bn A B Tudjuk, hogy ha a n konvergens, akkor korlátos. Igaz-e a tétel megfordítása? Nyilvánvalóan nem. Például a 0; 1; 0; 1;... sorozat korlátos, de nem konvergens Tétel. A Bolzano- Weierstrass-tétel: Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. Következménye: ha egy monoton növekedő a n sorozat felülről korlátos vagy egy monoton csökkenő a n sorozat alulról korlátos, akkor konvergens is. 9

14 2.5. Határértékre vonatkozó tételek 2. Elméleti bevezető Tétel. A Cauchy-konvergenciatétel: A konvergens (a n ) sorozatoknak olyan tulajdonságuk is van, hogy elég nagy n-re az a n elemek egymáshoz is közel kerülnek. Ennek pontos matematikai megfogalmazása a következő: Minden ε > 0 számhoz van olyan N = N(ε), hogy n, m > N(ε) a n a m < ε. Ezzel a tulajdonsággal rendelkező sorozatokat önmagukban konvergens vagy Cauchysorozatoknak nevezzük Definíció. Végtelenhez divergáló sorozatok: Azt mondjuk, hogy a n, ha minden K > 0 számhoz van N = N(K), hogy n > N(K) a n > K. Hasonlóan értelmezzük azt, hogy a n Tétel. : 1. Ha a n, b n, akkor a n + b n. 2. Ha a n, b n c > 0, akkor a n b n. 3. Az a n, b n feltételekből semmit sem tudunk következtetni a lim(a n b n ) és a lim an b n határértékekre. 10

15 3. fejezet Rekurzív sorozatok 3.1. Feladatok Feladat. Mutassuk meg, hogy az x 1 = 2 x n+1 := 2 + x n rekurzív definícióval megadott sorozat konvergens Megoldás. Írjuk fel a sorozat első néhány tagját: 2, 2 + 2, , ,... Ezeket vizsgálva az a sejtésünk alakul ki, hogy a sorozat monoton nő. Igazoljuk ezt teljes indukcióval: x 1 < x 2, mert x 2 1 = 2 < = x 2 2 Tegyük fel, hogy x n < x n+1 fenáll. Ekkor az egyenlőtlenséggel való számolás szabályai szerint x n + 2 < x n+1 + 2, x n+1 = x n + 2 < x n = x n+2 11

16 3.1. Feladatok 3. Rekurzív sorozatok is igaz és éppen ezt kellett megmutatni. Igazoljuk még, hogy a sorozat felülről korlátos. x 1 < 2 nyilván igaz. Tegyük fel, hogy x n < 2. Ekkor x n+1 = 2 + x n < = 4 = 2 Tehát a 2 felső korlátja a sorozatnak. Most már csak a határértéket kell kiszámítani. Ehhez írjuk fel a definiáló egyenletet: a x+1 = 2 + x n Az egyenlőség mindkét oldalának vegyük a határértékét. Ha x n x, akkor nyilván x n+1 x így azt kapjuk, hogy az x határérték az x = 2 + x egyenlet gyöke. Ennek a másodfokú egyenlet gyökei az x 1 = 2 és x 2 = 1 értékeket adja. A negatív gyök nyilván nem felel meg a feltételeinknek, tehát a sorozat határértéke A Newton-féle gyökvonás Elgondolkodtató, hogy számítógép és számológép nélkül milyen jól boldogultak elődeink és milyen maradandó alkotásokat hagytak hátra. Kitünően számoltak fejben, papíron és logarléccel. A bonyolultabb feladatok közé tartozik a gyökvonás. 12

17 3. Rekurzív sorozatok 3.1. Feladatok Nézzük tehát a gyökvonás algoritmusát: Tekintsük a következő nem lineáris rekurzív sorozatot Feladat. x 1 = a (a > 1) x n+1 := 1 2 (x n + a x n ) Vizsgáljuk meg, hogy konvergens-e ez a sorozat! Megoldás. Nézzük meg, hogyan néznek ki az egyes tagok: x 2 = 1 2 (x 1 + a x 1 ) x 3 = 1 2 (x 2 + a x 2 ). x n+1 = 1 2 (x n + a x n ) Állítás. (x n ) konvergens és lim(x n ) = a.. Bizonyítás. Megmutatjuk, hogy a sorozat szigorúan monoton csökkenő és alulról korlátos,így konvergens Állítás. (x n ) szigorúan monoton csökkenő Minden n N-re: x n+1 x n = 1 2 (xn+ a xn ) x n = 1(1 + a ) = 1 + a. 2 x 2 n 2 2n 2 13

18 3.1. Feladatok 3. Rekurzív sorozatok Elég belátnunk, hogy a 2n a x2 n. x n = 1 2 (x n 1 + a x n 1 ) Ezt négyzetre emelve és a számtani-mértani közép közti egyenlőtlenséget kihasználva kapjuk:. x 2 n = ( xn 1 + a ) 2 ( x n 1 x n 1 2 a x n 1 ) 2 = a Mivel x n+1 x n 1 x n+1 x n, így x n szigorúan monoton csökkenő Állítás. (x n ) alulról korlátos. Többet is lehet látni: (x n ) sorozatnak van pozitív alsó korlátja. Az (x n ) sorozat szigorúan monoton csökkenő és alulról korlátos, ebből következik, hogy (x n ) konvergens. lim(x n ) =: α > 0 α =? x n+1 := 1 ) (x 2 n + axn Mivel x n α, így x n+1 is α-hoz tart, felírhatjuk az alábbi egyenletet. α = 1 2 ( α + a ) α Az egyenlet mindkét oldalát szorozva kapjuk: 2α = α + a α 14

19 3. Rekurzív sorozatok 3.1. Feladatok Majd, α-t kivonva: α = a α α-val megszorozva az egyenletet azt kapjuk, hogy: α 2 = a Tehát a sorozat határértéke olyan pozitív szám, amelynek négyzete az a. Ezt a számot nevezzük az a négyzetgyökének, tehát α = a és α = lim(x n ) = a Feladat. Most általánosítsuk az előző feladatot, azaz nézzük meg hogyan jutunk a magasabb gyökökig! a > 1 k N(k>2) k a =? Tekintsük az alábbi sorozatot: x 1 = a Minden n N-re x n+1 = 1 k ( (k 1)x n + a ) x k 1 n Rajz: Érintő egyenlete: y = x k 1 a + m(x x 1 ) 15

20 3.1. Feladatok 3. Rekurzív sorozatok f(x) = x k a Derivált függvénye: azaz f (x 1 ) = kx k 1 1 = m y = x k 1 a + kx k 1 1 (x x 1 ) Hol metszi az x tengelyt? 0 = x k 1 a + kx k 1 1 (x x 1 ) Az egyenlet mindkét oldalát x k 1 1 -nel osztva: a x k 1 1 Ezt rendezve kapjuk az alábbiakat: = x 1 + k(x x 1 ) = (1 k)x 1 + kx (k 1)x 1 + a x k 1 1 = kx Amiből x-et kifejezve kapjuk, hogy x = 1 ( (k 1)x 1 + a ) k x1 k 1. Ezt az x-et tekintjük x 2 -nek Megjegyzés. most megmutatjuk, hogy a sorozat monoton csökkenő és alulról korlátos. Minden n-re x n+1 x n = ( 1 k (k 1)x n + a x n x k 1 n ) ) = 1 k ( (k 1) + a ) = 1 1 ( 1 a ) x k n k x k n 16

21 3. Rekurzív sorozatok 3.1. Feladatok Elég megmutatnunk, hogy 1 a 0 x k x k n a n ( Nézzük tehát az x n sorozatunkat: x n = 1 (k 1)x k n 1 + a x k 1 n 1 Emeljük k-adik kitevőre mindkét oldalt, majd a számtani-mértani közép közti egyenlőtlenségből adódik: ) ) x k n = korlátos) ( xn 1 +x n 1...+x n 1 + ) a k x n 1 k 1 a x k n 1 x n 1... x k 1 n 1 = a Ebből látszik, hogy az (x n ) sorozatnak van pozitív alsó korlátja. (x n ) alulról Mivel (x n ) monoton csökkenő és alulról korlátos, ezért konvergens. Keressük meg a határértékét: lim(x n ) = α > 0 ( 1 (k 1)x n + a ) k x k 1 n Mivel x n α, így x n+1 α, ezért felírhatjuk az alábbi egyenletet. α = 1 k ( (k 1)α + a α k 1 ) Az egyenlet mindkét oldalát k-val szorozzuk: kα = (k 1)α + a α k 1 Majd ebből α-t kifejezzük: α = a α k 1 α k = a, amiből α = k a. 17

22 3.1. Feladatok 3. Rekurzív sorozatok Függvény, mint rekurzív sorozat Feladat. Tekintsük az alábbi függvényt és alábbi rekurzív sorozatot: a R f(x) = 1 19 (x3 + 30) x 1 = a x 2 := f(x 1 ) = 1 19 (x ). x n+1 := f(x n ) = 1 19 (x3 n + 30). 18

23 3. Rekurzív sorozatok 3.1. Feladatok 1.a = 2 x 1 = 2 x 2 = 1 19 ( ) = 2. x n+1 = a = 3 x 1 = 3 x 2 = 1 19 ( ) = 3. x n+1 = 3 3. a = 5 x 1 = 5 x 2 = 1 19 (( 5)3 + 30) = 5. x n+1 = < a < 2 pl. a = 0 x 1 = 0 19

24 3.1. Feladatok 3. Rekurzív sorozatok x 2 = 1 19 ( ) = x 3 = ( ) = Állítás. (x n ) szigorúan monoton növekvő Bizonyítás. Teljes indukcióval 1, x 1 < x 2 x 1 = a < x 2 = 1 19 (a3 + 30) Az egyenlet mindkét oldalát 19-cel szorozva kapjuk ezt a harmadfokú egyenletet: 19a < a Rendezzük egy oldalra, majd adjuk meg szorzat alakban: 0 < a 3 19a + 30 = (a + 5)(a 2)(a 3). Tehát ilyen a esetén ami a megadott intervallumban van az első tényező pozitív, a másik két tényező negatív értékű lesz. 2, Tegyük fel x n < x n+1 3, Igazoljuk, hogy x n+1 < x n+2 Feltettük, hogy x n < x n+1 20

25 3. Rekurzív sorozatok 3.1. Feladatok Emeljük harmadik hatványkitevőre mindkét oldalt: x 3 n < x 3 n+1 Adjunk 30-at mindkét oldalhoz: x 3 n + 30 < x 3 n Majd osszuk el 19-cel: x n+1 = 1 19 x3 n + 30 < 1 19 x = x n+2 Tehát szigorúan monoton növekedő, ha 5 < a < Állítás. 2 < a < 3, akkor (x n ) szigorúan monoton csökkenő Bizonyítás. Teljes indukcióval 1, x 1 > x 2 a > 1 19 (a3 + 30) 0 > a 3 19a + 30 = (a + 5)(a 2)(a 3) Ha a a megadott intervallum eleme, akkor az első két tényező pozitív, a harmadik negatív értéket vesz fel. 2, Tegyük fel, x n > x n+1 3, Igazolnunk kell,hogy x n+1 > x n+2 Induljunk ki a feltevésünkből, vagyis x n > x n+1 21

26 3.1. Feladatok 3. Rekurzív sorozatok Emeljük harmadik hatványkitevőre mindkét oldalt: x 3 n > x 3 n+1 Adjunk hozzá 30-at: Osszuk el 19-cel: x 3 n + 30 > x 3 n x3 n + 30 > 1 19 x3 n Tehát valóban, szigorúan csökkenő: x n+1 > x n+2 6. Ha a < 5 akkor (x n ) szigorúan monoton csökkenő 7. Ha a > 3 akkor (x n ) szigorúan monoton növekvő. Összefoglalva: monotonitás Megjegyzés. Ha valamelyik a-ról indítom a sorozatot konvergens, akkor mi lehet a határértéke? x n+1 = 1 19 (x3 n + 30) Mivel (x n ) α-hoz, így x n+1 α-hoz. Tehát számítsuk ki α értékét: α = 1 19 (α3 + 30) Az egyenlet mindkét oldalát szorozzuk 19-cel: 19α = α Rendezzük 0-ra és alakítsuk szorzattá: 0 = α 3 19α + 30 = (α + 5)(α 2)(α 3) Ebből a gyökök láthatók: α 1 = 5 vagy α 2 = 2 vagy α 3 = 3 22

27 3. Rekurzív sorozatok 3.1. Feladatok 8. Ha a < 5 akkor tudjuk, hogy (x n ) szigorúan monoton csökkenő, ezért a lim(x n ) nem lehet -5, ebből következik, hogy (x n ). Ha a > 3, akkor tudjuk, hogy (x n ) szigorúan monoton növekvő, ezért lim(x n ). Ha 5 < a < 2, akkor (x n ) szigorúan monoton növekvő Állítás. x n < 2 Bizonyítás. Teljes indukcióval 1, x 1 < 2 2, Tegyük fel, hogy x n < 2 3, Igazolnunk kell, hogy x n+1 < 2, mert x n < 2 Emeljük mindkét oldalt harmadik hatványkitevőre. x 3 n < 8 Adjunk mindkét oldalhoz 30-at: x 3 n + 30 < 38 Osszuk le mindkét oldalt 19-cel: x n+1 = 1 19 (x3 n + 30) < 2 23

28 3.1. Feladatok 3. Rekurzív sorozatok Tehát (x n ) szigorúan monoton növekvő és korlátos( x n < 2), ebből következik hogy (x n ) konvergens, amiből csak lim(x n ) = 2. Ha 2 < a < 3, akkor tudjuk, hogy (x n ) szigorúan monoton csökkenő Állítás. (x n ) > 2 Bizonyítás. Teljes indukcióval 1, x 1 > 2 2, Tegyük fel, hogy x n > 2 3, Igazolnunk kell, hogy Tudjuk, hogy x n+1 > 2 x n > 2 Vegyük mindkét oldal harmadik hatványkitevőjét: x 3 n > 8 Adjunk hozzá az egyenlet mindkét oldalához 30-at: x 3 n + 30 > 38 Majd osszuk 19-cel: x n+1 = 1 19 ((x n) ) > 2 Mivel (x n ) szigorúan monoton csökkenő ás alulról korlátos ( (x n ) > 2), ezért (x n ) konvergens, amiből csak lim(x n ) = 2. Teljes összefoglalás: 24

29 3. Rekurzív sorozatok 3.2. Rekurzív sorozat a kombinatorikában Ha a kezdőérték: a < 5, lim(x n ) = a = 5, akkor (x n ) = 5 (x n ), így lim(x n ) = 5 5 < a < 2 kezdőérték, akkor lim(x n ) = 2 a = 2, akkor (x n ) = 2, így lim(x n ) = 2 2 < a < 3 kezdőérték, akkor lim(x n ) = 2 a = 3, akkor (x n )=3, így lim(x n ) = 3 a > 3, akkor (x n ) szigorúan monoton növekvő, így lim(x n ) = Rekurzív sorozat a kombinatorikában Feladat. Van n forintunk. Minden nap pontosan egyet vásárolunk az alábbi termékekből: perec ( 1 forint), cukorka (2 forint), fagyi (2 forint). Határozzuk meg M n -et, ahányféleképpen elkölthetjük pénzünket Megoldás. Az első nap háromféleképpen választhatunk: perecet veszünk, ekkor a maradék n 1 forintot M n 1 -féleképpen költhetjük el vagy cukorkát veszünk 2 forintért, és a maradékot M n 2 - féleképp költhetjük el és ha fagyit, akkor a maradékot szintén M n 2 -féleképpen költhetjük el. Így a következő rekurziót kapjuk: M n = M n 1 + 2M n 2 Kezdőérték: M 0 = M 1 = 1; M 2 = 3 A többi a képletből adódik: M 3 = 5, M 4 = 11,... Teljesül ezekre az alábbi formula: M n = 2M n 1 + ( 1) n, és sejtjük, hogy ez minden n-re igaz lesz. Valóban az M n = M n 1 + 2M n 2 rekurzióból könnyen belátható indukcióval: 25

30 3.2. Rekurzív sorozat a kombinatorikában 3. Rekurzív sorozatok Ha M n 1 = 2M n 2 + ( 1) n 1 és 2M n 2 = M n 1 + ( 1) n, akkor M n = M n 1 + 2M n 2 = M n 1 + (M n 1 + ( 1) n ) = 2M n 1 + ( 1) n Innen azt kapjuk, hogy M n = 2M n 1 + ( 1) n = 2(2M n 2 + ( 1) n 1 ) + ( 1) n 4M n 2 + 2( 1) n 1 + ( 1) n = 8M n 3 + 4( 1) n 2 + 2( 1) n 1 + ( 1) n =... = 2 n 2 n n ( 1) n = 2n+1 ( 1) n 2 ( 1)) = 1 3 (2n+1 + ( 1) n ) 26

31 4. fejezet Fibonacci sorozat 4.1. Ismertető A pizzai Leonardo a XII. és XIII. század fordulóján élt matematikus egyike volt azoknak, akik a hinduktól származó, de az akkori világban arab közvetítéssel elterjedő tízes alapú, helyi értékes rendszerre épülő számírási módot Európában meghonosították. Leonardo Pisano, ismertebb nevén Fibonacci kora matematikai ismereteit Liber Abaci címen ismert munkájában foglalta össze. E híres munkájában található a következő probléma, amit Fibonacci nyulaiként is gyakran emlegetnek: Hány pár nyúlra szaporodik egy év alatt a kezdeti pár, ha tudjuk, a nyulak két hónap alatt válnak ivaréretté, és ezután minden pár minden hónapban egy új párnak ad életet és mindegyikük életben marad? A feladat megoldásában a nyúl-párok számának időbeli alakulását kell követni. Az első hónapban egy nyúl-párunk van, és ugyanannyi lesz a másodikban is; a párok száma csak a harmadik hónapban változik egyről kettőre. A követ- 27

32 4.1. Ismertető 4. Fibonacci sorozat kező hónapban a szülők újabb párnak adnak életet, így a párok száma háromra nő. Az ötödik hónapban azonban már az új pár is szaporulatképes, így az új párok száma kettővel nő, és az összes párok száma ötre gyarapodik. A következő hónapban már mindkét ifjabb generáció hoz létre utódokat, és a párok száma hárommal növekedve nyolcra változik. Az egyes hónapokhoz tartozó nyúl-párok számát leíró 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,? számsor Fibonacci-sorozat néven vonult be a matematika történetébe. A sorozat előállításának alapja az a tulajdonság, mely szerint a harmadik elemtől kezdve bármely elem az előző kettő összege. A sorozat első két elemét azonban meg kell adni; ezek értéke a Fibonacci-sorozat esetén 1. Tekintsük az alábbi rekurzív sorozatot: a 0 = K, a 1 = L a n+2 = a n+1 + a n Keressük a n = q n alakban. Ekkor az alábbi egyenletet kapjuk: q n+2 = q n+1 + q n Az egyenlet mindkét oldalát q n -nel osztjuk: Az egyenletet átrendezve adódik: q 2 = q + 1 q 2 q 1 = 0 Ennek megoldásai pedig: q 1,2 = 1± 1+4 = 1± Az egyenlet két gyöke q 1 = 1+ 5 és q 2 2 =

33 4. Fibonacci sorozat 4.1. Ismertető Megjegyzés. q n 1 és q n 2 is eleget tesz a rekurziónak lineáris kombinációjuk is: c 1 (q 1 ) n + c 2 (q 2 ) n Ennek megfelelően c c 2 1 = K c 1 q c 2 q 1 2 = L ahol c 1, c 2 ismert. Tekintsük az alábbiakat: 1 1 x x 2 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x a n x n Állítás. a n n-edik Fibonacci szám. Bizonyítás. 1 = (1 x x 2 )(a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x a n x n +...) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x a n x n a 0 x a 1 x 2 a 2 x a 0 x 2 a 1 x = a 0 +(a 1 a 0 )x+(a 2 a 1 a 0 )x 2 +(a 3 a 2 a 1 )x (a n a n 1 a n 2 )x n a 0 = 1 a 1 a 0 = 0 a 2 a 1 a 0 = 0... a n a n 1 a n 2 = 0, Ezekből adódik: a 1 = a 0 = 1 a 2 = a 1 + a 0 a n = a n 1 + a n = = A 1 x x 2 ( 1)(x 1+ 5 )(x ) B = 1 Ax+Bx A 5 B (x 1+ 5 )(x 1 5 )

34 4.1. Ismertető 4. Fibonacci sorozat (A + B) = 0 Tehát B = A értéket helyettesítve: A( ) B( ) = 1 2 B( ) = 1 2 B 5 = 1 B-t kifejezve kapjuk: B = 1 5 A = 1 5 Tehát ( 1 1 x x = x x ) Ismert: 1 + t + t 2 + t t n +... = 1 ahol t < 1 1 t Ennek segítségével láthatjuk be, hogy megegyezik a két hatványsor, így együtthatóik is páronként: a n = 1 ] [ ( ) n ( ) n A sorozatok ilyen előállítási módját, mely az újabb elemek képzését az előzőekre vezeti vissza, rekurzív eljárásnak nevezik. 30

35 4. Fibonacci sorozat 4.2. Fibonacci- sorozat és az aranymetszés 4.2. Fibonacci- sorozat és az aranymetszés A Fibonacci-sorozat szoros kapcsolatban van az aranymetszéssel. a x = 1 + x a egyenlet az aranymetszésnek megfelelően felosztott szakasz. (ahol a jelöli a szakasz teljes hosszát, x a hosszabbik metszetet). Az aranymetszésnél a rövidebb és a hosszabbik metszet, valamint a felosztandó szakasz olyan mértani sorozatot alkotnak, melynek hányadosa a x = φ Ezt az egyenletet pedig kapcsolatba hozhatjuk a Fibonacci-sorozattal. Jelöljük a továbbiakban a -et q-val! x A fenti egyenlőség mindkét oldalát a 1 q k -nal szorozva, ahol a 1 tetszőleges, zérustól különböző szám, az a 1 q k+1 = a 1 q k + a k 1 1 egyenlőséget kapjuk, ami éppen azt jelenti, hogy a fenti q = φ hányadossal képzett mértani sorozatokra igaz, hogy a harmadik elemtől kezdve bármely elem egyenlő az előző kettő összegével. Ez utóbbi tulajdonsága megvan a Fibonacci-sorozatnak is. Ugyanis a sorozat (n + 1)-edik eleme (a harmadik elemtől) a következő módon állítható elő: a n+1 = a n + a n 1 Mindkét oldalt a n -nel egyszerűsítve, az 31

36 4.2. Fibonacci- sorozat és az aranymetszés 4. Fibonacci sorozat a n+1 a n = 1 + a n 1 a n egyenlethez jutunk. A kapott összefüggés formailag hasonló az aranymetszésnél kapott egyenlethez, és (a harmadik elemtől) alkalmas a sorozat előállítására: A kapott összefüggés akkor egyezne meg az aranymetszési egyenlettel, ha a Fibonacci-sorozat egymást követő elemeinek hányadosa ugyanaz az érték lenne, vagyis az elemek geometriai sorozatot alkotnának. A Fibonacci-sorozat elemei azonban nem alkotnak mértani sorozatot, az egymást követő elemek hányadosa f n+1 f n nem állandó, ami különösen jól látszik alacsony sorszámok esetén. Az elemek számának növelésével azonban ez a hányados egy állandó számhoz, a φ-hez közelít. f n+1 lim n f n = φ A közelítés kétoldali: két egymást követő elem hányadosa nagyobb, illetve kisebb, mint a közrefogott aranyszám. 32

37 4. Fibonacci sorozat 4.2. Fibonacci- sorozat és az aranymetszés Írjuk fel a Fibonacci-sorozat elemeit és vizsgáljuk a két egymást követő tag hányadosának alakulását! Ez a kétoldali közelítés más módon is világossá tehető. Ismeretes a mértani sorozatnak azon tulajdonsága, miszerint a második tagtól kezdve bármely elem az előtte lévő és őt követő elem mértani középarányosa. Ez másképpen fogalmazva azt jelenti, hogy a középső elem négyzete a vele közvetlenül szomszédos elemek szorzatával egyenlő. A Fibonacci-sorozat elemeire vonatkozóan ez a tulajdonság azzal a módosítással érvényesül, hogy a sorozat bármely elemének a négyzete (a másodiktól kezdve) a szomszédos elemek szorzatánál egyel kisebb vagy egyel nagyobb. Az elemek négyzetei és a szomszédos tagok szorzatai a következő táblázatról leolvashatók: 33

38 4.3. Fibonacci négyzetek 4. Fibonacci sorozat 4.3. Fibonacci négyzetek Azokat a négyzeteket, amelyek oldalainak mérőszámai a Fibonacci-sorozat elemei, Fibonacci-négyzeteknek nevezik. Az első n négyzet egymáshoz illesztésével olyan téglalapokat kapunk, melynek oldalhosszai megegyeznek az n-edik és az (n + 1) -edik négyzet oldalának hosszával. Ha f n jelenti magát az n-edik négyzet oldalának hosszát, akkor ezek között a következő összefüggés áll fenn: S n = f n f n+1 34

39 4. Fibonacci sorozat 4.4. Prímszámok a Fibonacci sorozatban Az összefüggés helyessége a négyzetek illesztésével a következő módon látható be: vegyünk két egységnyi oldalhosszúságú négyzetet (F 1, F 2 ) és ezek fölött helyezzük el a 2 egységnyi oldalhosszúságú F 3 négyzetet. Az így kapott alakzathoz illesszünk (jobbról) olyan négyzetet, melynek oldalhossza megegyezik az előző két négyzet oldalának összegével F 4. Az így kapott téglalap fölé illesszük az F 5, majd ezekhez ismét jobbról az F 6 négyzetet, és így tovább. Az első két négyzet olyan téglalapot határoz meg, melyben az oldalak hosszúsága 1 és 2, vagyis amennyi az előző két négyzet oldalainak hossza. Az első három négyzet területösszege S 3, olyan téglalapot határoz meg, melynek oldalai 2 és 3, és ezek éppen az F 3 és F 4 négyzetek oldalhosszaival egyeznek meg. Az összefüggés helyessége, mely a Fibonacci-sorozat tulajdonságából következik, az ábráról is leolvasható Prímszámok a Fibonacci sorozatban Megjegyzés. : (1) u n+k = u n 1 + u n u k+1 (2) u 2n = (u n+1 + u n 1 )(u n+1 u n 1 ) (3) u 2n+1 = u 2 n+1 + u 2 n (4) )u 2n 1 = u 2 n 1 + u 2 n Tétel. Ha u n a Fibonacci sorozat n-edik eleme, akkor u kn osztható u n -nel (k = 1, 2,...) Bizonyítás. 35

40 4.4. Prímszámok a Fibonacci sorozatban 4. Fibonacci sorozat A tétel k = 1 esetén triviális, k = 2 esetén érvényes a (2) összefüggés, azaz a tétel igaz. Tegyük fel, hogy k-ig minden természetes számra igaz a tétel, azaz u kn = c u n c természetes számok halmazának eleme. Vizsgáljuk a k + 1 esetet: u (k+1) n = u kn+n = u kn 1 u n +u kn u n+1 = u kn 1 u n +c u n u n+1 = u n (u kn 1 +c u n+1 ) Példa: u 11 = 89, u 22 = , u 33 = Megjegyzés. Az 1. tétel általánosításaként adódik a Fibonacci sorozat összetett elemeire vonatkozó szükséges és elégséges egzisztencia tétel Tétel. Legyen az n index prímfelbontása n = p 1 p 2... p k. u q akkor és csak akkor osztója u n -nek, ha q p 1, p 2,.., p n Bizonyítás. A bizonyítás szükségessége és elegségessége egyaránt az 1. tételből következik. Következmény: vel. A 2. tétel jelöléseit használva kapjuk, hogy u n osztható lkkt(u p1, u p2,..., u pk )- 36

41 4. Fibonacci sorozat 4.4. Prímszámok a Fibonacci sorozatban Tétel. Ha u n prímszám, akkor n is prímszám. Bizonyítás. Ha u n prímszám, akkor csak két osztója van u 1 = 1 és u n, ekkor a 2. tétel miatt n összes osztója 1 és n, azaz n prímszám. Megj: A 3. tétel megfordítása csak az alábbi megszorítással érvényes: Tétel. Ha n prímszám, akkor u n vagy prím vagy nincs olyan prímtényezője, amelyik Fibonacci szám. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy n prímszám és u n = k u i (i < n), ekkor a 2. tétel értelmében n i-nek a többszöröse, ami ellentmondás. Tehát u n prímtényezői között nincs Fibonacci szám, kivéve, ha prímszám és az egyetlen prímtényezője önmaga Tétel. Ha n = 6k ± 1(k = 1, 2,...) alakú, akkor u n is az, azaz n = 6k ± 1 esetén u n ±1(mod6) Bizonyítás. Teljes indukcióval: k = 1 esetén u 5 = 5, u 7 = 13 tehát a tétel állítása teljesül. Tegyük fel, hogy k-ra teljesül. Vizsgáljuk k + 1-re a 6(k + 1) + 1 esetet: u 6(k+1)+1 = u 6k+1+6. Az (1)-es miatt u 6k u 6 +u 6k+1 u 7 = (u 6k+1 u 6 1 )u 6 + u 6k+1 u 7 = u 6k+1 (u 6 + u 7 ) u 6k 1 u 6 = u 6k+1 u 8 u 6k 1 u 6 = 21u 6k+1 8u 6k 1 Az indukciós feltevés szerint u 6k±1 ±1(mod6), tehát (mod 6) maradékát az alábbi táblázat foglalja össze: 21 u 6k+1 8 u 6k 1 mod

42 4.4. Prímszámok a Fibonacci sorozatban 4. Fibonacci sorozat Most vizsgáljuk meg a 6(k + 1) 1 esetet: u 6(k+1) 1 = u 6k+1+4 (1)miattu 6k u 4 +u 6k+1 u 5 = (u 6k+1 u 6k 1 )u 4 +u 6k+1 u 5 = u 6k+1 (u 4 + u 5 ) u 6k 1 u 4 = u 6k+1 u 6 u 6k 1 u 4 = 8u 6k+1 3u 6k 1 Az indukciós feltevés szerint u 6k ± 1 = ±1mod6, tehát a (9) levezetés eredményeként kapott kifejezés( mod 6) maradékát az alábbi táblázat foglalja össze: 8 u 6k+1 3 u 6k 1 (mod6) Ha az 5. tételt összevetjük a prímszámokra vonatkozó 1. tétellel, mely szerint minden prímszám 6k 1 vagy 6k + 1 alakú, akkor az alábbi tételhez jutunk: Tétel. Ha n prímszám,akkor u n 6k ± 1 alakú Tétel. Ha n prímszám és u n nem prím, valamint r az u n prímtényezőinek száma, akkor u n = n i=1 (6k i ± 1) Megj: Figyelembe véve a 4. tételt adódik, hogy 6 ki ± 1 prímtényezők egyike sem Fibonacci szám. Pédák: n = 19, u 19 = 4181 = ( )(19 6 1) = n = 31, u 31 = = (93 6 1)( ) = Nyitott probléma: Van-e végtelen sok prímszám eleme a Fibonacci sorozatnak? A 3. és 4. tétel a Fibonacci sorozat prímszám tagjait vizsgálta. most definiáljuk a Fibonacci ikerprímeket az alábbiak szerint: Definíció: Legyenek p és p + 2 ikerprímek. Ha az u p, u p+2 Fibonacci számok is prímek, akkor ezeket Fibonacci ikerprímeknek nevezzük. 38

43 4. Fibonacci sorozat 4.4. Prímszámok a Fibonacci sorozatban Az 1. tétel szerint p és p + 2 akkor és csak akkor lehetnek ikerprímek, ha p = 6k 1 alakú, ekkor természetesen p + 2 = 6k + 1 alakú prímszám. Következésképpen a Fibonacci ikerprímek u 6k 1, u 6k+1 alakúak, azaz (11) alapján fennáll a következő összefüggés: u 6k 1 u 6k+1 = u 2 6k + ( 1)6k, amiből u 6k 1 u 6k+1 = u 2 6k + 1 Ha tovább vizsgáljuk az u 6k Fibonacci számot, akkor a (2) összefüggés alapján kapjuk, hogy u 6k = u 2 3k+1 u2 3k 1 = (u 3k+1 u 3k 1 )(u 3k+1 + u 3k 1 ) Másrészt a 2. tétel szerint osztható minden olyan Fibonacci számmal, melynek indexe osztója 6k-nak, azaz u 6k = A u 6 u k = 2 3 A u k ( ahol A természetes szám) Ebből következik a Fibonacci ikerprímekre vonatkozó alábbi tétel: Tétel: Tétel. u 6k 1 valamint u 6k+1 Fibonacci ikerprímek, ha u 2 6k + 1-nek pontosan két prímtényezője van. Megj: -Az eddig ismert Fibonacci ikerprímek a k = 1 (u 5 = 5, u 7 = 13), k = 2(u 11 = 89, u 13 = 233) értékekhez tartoznak. Kivételnek tekinthető az első Fibonacci ikerpram-pár az u 3 = 2, u 5 = 5, mivel ebben szerepel az egyetlen páros prímszám. Nyitott problémák: -Van-e a felsorolt hármon kívül Fibonacci ikerprím-pár? -Van-e végtelen sok Fibonacci ikerprím-pár? 39

44 4.5. Előfordulása a természetben 4. Fibonacci sorozat 4.5. Előfordulása a természetben A virágszirmok száma gyakran Fibonacci-szám: például a liliomnak, a nősziromnak és a hármassziromnak három; a haranglábnak, a boglárkának, a larkspurnak és a vadrózsának öt; a szarkalábnak, a vérpipacsnak és a pillangóvirágnak nyolc; a jakabnapi aggófűnek, a hamvaskának és a körömvirágnak 13; az őszirózsának, a borzas kúpvirágnak és a cikóriának 21; a fodroslevelű margitvirágnak, az útilapunak és egyes százszorszépeknek 34; más százszorszép-fajoknak pedig 55 vagy 89 szirma van. Fibonacci-spirálba rendeződnek például a fenyőtoboz és az ananász pikkelyei, a napraforgó magjai, a málna szemei, a karfiol rózsái és egyes kaktuszok tüskéi. A nautiluszok háza is hasonlít a Fibonacci-spirálhoz, de nem egy negyed, hanem egy teljes kör alatt nő meg a sugár φ,-szeresére. Nautilusz A növények szárán az egymást követő levelek elfordulása (a phyllotaxis) többnyire (egyes becslések szerint 90% -ban) F n F n+2 teljeskör (például szilfa és hárs esetén 1/2, bükknél, mogyorónál és szedernél 1/3, tölgynél, almánál, cseresznyénél és meggynél 2/5, nyárnál, rózsánál és baracknál 3/8, fűznél és mandulánál 5/13). Ezek az arányok éppen a φ 2 lánctörtbe fejtésekor kapott közelítő törtek (φ, az aranymetszés). Przemyslaw Prusinkiewicz szerint ezen jelenségek egy része megmagyarázható szabad csoportok bizonyos algebrai megkötéseinek kifejeződéseként, konkrétabban bizonyos Lindenmeyer nyelvtanokként. A fraktálgeometriában a Fuchscsoportok és a Klein-csoportok tanulmányozása közben találkozhatunk Fibonacciszámokkal. Egy méh n-generációs őseinek a száma az n-edik Fibonacci-szám. 40

45 4. Fibonacci sorozat 4.5. Előfordulása a természetben 41

46 4.5. Előfordulása a természetben 4. Fibonacci sorozat 42

47 4. Fibonacci sorozat 4.5. Előfordulása a természetben 43

48 4.5. Előfordulása a természetben 4. Fibonacci sorozat 44

49 5. fejezet Catalan számok A Catalan számokkal, vagy más néven a Catalan-sorozattal először Leonard Euler egyik munkájában találkozhatunk. Euler ebben azt vizsgálta, hogy hányféleképpen lehet háromszögekre bontani egy sokszöget. Mint a tudományos életben már sok esetben előfordult, ezt a sorozatot mégsem róla, hanem Eug?ne Charles Catalan belga matematikusról nevezték el. Catalan ismerte fel először ugyanis, hogy ezek a számok több problémára is közös megoldást adnak. Richard P. Stanley Enumerative Combinatorics című, 1999-ben megjelent munkájában 66 különböző definíciót adott a Catalan-számokra. Stanley nem ismeretlen magyar matematikus körökben, hiszen 1975-ben Pólya György díjat kapott, és nála volt doktorandusz három magyar matematikus is (Hetyei Gábor, Bóna Miklós és Mészáros Karola). Az udvarias sofőr esete Nézzünk egy példát. A járművek egy nagyon szűk, egysávos úton haladhatnak, ahol nem tudnak előzni. Az úthoz csatlakozik egy mellékút, ahová kiállhat az az autós, aki szeretné elengedni sietős társait. Ha még van olyan sofőr, aki sze- 45

50 5. Catalan számok retne kiállni, akkor ezen szúk mellékúton ő is megteheti, természetesen aki először kiállt, az egyre hátrébb kerül ebben a sorban. 46

51 5. Catalan számok A kérdés, hogy hány különböző sorrendben érkezhet meg az n db autó a szűk útszakasz végéhez? Az autókat a, b, c-vel jelöltük az úton balról jobbra. A megérkező autósokat jobbról balra követjük figyelemmel! 47

52 5. Catalan számok Feladat. Háromszögekre bontás Hányféleképpen lehet az n + 2 szöget átlókkal háromszögre bontani? (Egy konvex sokszög egymást nem metsző átlókkal történő háromszögekre bontása.) Az első néhány Catalan-számot felírhatjuk a következőképpen: n = 1, 2,... esetén 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, Feladat. Hányféleképpen bonthatunk fel egy konvex n-szöget egymást nem metsző átlókkal háromszögekre? Megoldás. Jelölje T n az ilyen háromszögelések számát. T 3 = 1, T 4 = 2, T 5 = 5, így érezzük, hogy a Catalan számok jönnek be, tehát természetes a T 2 = 1 definíció. Számozzuk meg az óra járása szerint a sokszög csúcsait. A rekurzió felírásához tekintsük az 1-2 oldalt tartalmazó háromszög harmadik csúcsát, legyen 48

53 5. Catalan számok ez i. Ez a háromszög két kisebb háromszögre vágja az eredetit, amelyeket egymástól függetlenül bonthatunk háromszögekre. A két sokszög egyike egy i 1 szög ( ezért is hasznos a T 2 = 1 definíció, hisz i = 3-ra ezt kapjuk.), a másik egy n i + 2-szög. Így a T n = n i=3 T i 1T n i+2 rekurziót kapjuk. Ha i 1 helyett j-t írunk, akkor az összegzés j = 2-től megy j=n 1-ig. Így a rekurzió: T n = C n Feladat. Hányféleképpen zárójelezhető egy n tényezős szorzat? Megoldás. A zárójelezés azt jelenti, hogy ezután olyan kéttényezős szorzatot kapunk, amelynek minden zárójelében két tényező szerepel ( változó vagy már zárójelezett kifejezés). Például n=4 esetén a lehetséges zárójelezések: ((x 1 x 2 )x 3 )x 4, (x 1 x 2 )(x 3 x 4 ), (x 1 (x 2 x 3 ))x 4, x 1 ((x 2 x 3 )x 4 ), x 1 (x 2 (x 3 x 4 )) Jelölje Z n a zárójelezések számát, és legyen Z 1 = 1. Ha az utolsónak elvégzett szorzás előtti tényező i 1 db változót tartalmaz, akkor ezt a részt Z i -féleképpen, ugyanezen szorzás másik tényezőjét Z n i -féleképpen zárójelezhetjük. Így a Z n = Z 1 + Z n Z i Z n i + Z n 1 Z 1 rekurziót kapjuk, amelynek a C n 1 sorozat a megoldása. A kombinatorikában a Catalan számok egy természetes számokból álló sorozatot alkotnak, amely több, legtöbbször rekurziót tartalmazó probléma megoldásakor lép fel. Az n-edik Catalan-szám a következőképpen számítható ki, ahol n 0 C n = 1 ( ) 2n n + 1 n 49

54 50 5. Catalan számok

55 Irodalomjegyzék [1] Máté László: Rekurzív sorozatok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1980 [2] Lovász László-Pelikán József-Vesztergombi Katalin: Diszkrét matematika,typotex kiadó, 2006 [3] Urbán János:Hátárérték-számítás, Műszaki Könyvkiadó 2009 [4] Kovács Ádám Dr. Vámos Attila: Aranyháromszög, Műszaki Könyvkiadó 2007 [5] Lovász László: Kombinatorikai problémák és feladatok, Typo- TeX kiadó 2008 [6] Denkinger Géza Gyurkó Lajos: Analízis, Nemzeti Tankönyvkiadó 2001 [7] Kósa András Mezei István S.Gyarmati Erzsébet: Analízis példatár, Műszaki kiadó, 1985 [8] 51

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. 1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Hatványozás. A hatványozás azonosságai

Hatványozás. A hatványozás azonosságai Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26

Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet   nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26 Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet www.math.u-szeged.hu/ nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26 Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26 Miért van szükség közelítő

Részletesebben

Elemi matematika szakkör

Elemi matematika szakkör Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

ARANYMETSZÉS. - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka június 11.

ARANYMETSZÉS. - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka június 11. ARANYMETSZÉS - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka 2014. június 11. Zenta TARTALMI ÁTTEKINTÉS Az aranymetszés fogalma eredete és előfordulása

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Matematika 8. osztály

Matematika 8. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály I. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Algebra................................

Részletesebben

HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:

HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet: Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom

Részletesebben

Haladók III. kategória 2. (dönt ) forduló

Haladók III. kategória 2. (dönt ) forduló Haladók III. kategória 2. (dönt ) forduló 1. Tetsz leges n pozitív egész számra jelölje f (n) az olyan 2n-jegy számok számát, amelyek megegyeznek az utolsó n számjegyükb l alkotott szám négyzetével. Határozzuk

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 17.

FELVÉTELI VIZSGA, július 17. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 2017. július 17. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL I. TÉTEL (30 pont) 1) (10 pont) Igazoljuk, hogy tetszőleges m R esetén

Részletesebben

Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb

Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb 2004_02/4 Tegyél * jelet a táblázat megfelelő rovataiba! Biztosan Lehet hogy, de nem biztos Lehetetlen a) b) c) Négy egymást követő természetes

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny 007. április 16. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak 9. osztályosoknak 1. feladat a) Vegyük észre, hogy 7 + 5 felírható 1 + 3 + 6 + alakban, így

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Tartalom. Algebrai és transzcendens számok

Tartalom. Algebrai és transzcendens számok Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

illetve a n 3 illetve a 2n 5

illetve a n 3 illetve a 2n 5 BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE 1. Határozzuk meg azokat az a természetes számokat ((a, b) számpárokat), amely(ek)re teljesülnek az alábbi feltételek: a. [a, 16] = 48 b. (a, 0) = 1 c. (a, 60) = 15 d. (a, b)

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 0/03-as tanév. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató. Egy kör kerületére felírjuk -től 3-ig az egészeket

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18 Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök

Részletesebben

Számelmélet Megoldások

Számelmélet Megoldások Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)

A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták) A 205/206. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták Javítási-értékelési útmutató. feladat Az {,2,...,n} halmaz

Részletesebben

4,5 1,5 cm. Ezek alapján 8 és 1,5 cm lesz.

4,5 1,5 cm. Ezek alapján 8 és 1,5 cm lesz. 1. Tekintse az oldalsó ábrát! a. Mekkora lesz a 4. sor téglalap mérete? b. Számítsa ki az ábrán látható három téglalap területösszegét! c. Mekkora lesz a 018. sorban a téglalap oldalai? d. Hány téglalapot

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat

Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat 1. feladat. Fogalmazza meg a következő ítélet kontrapozícióját: Ha a sorozat csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. 2. feladat. Vezessük be

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Oktatási Hivatal 04/0 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MTEMTIK I KTEGÓRI (SZKKÖZÉPISKOL) Javítási-értékelési útmutató Határozza meg a tízes számrendszerbeli x = abba és y =

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Fonyó Lajos: A végtelen leszállás módszerének alkalmazása. A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein

Fonyó Lajos: A végtelen leszállás módszerének alkalmazása. A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein A végtelen leszállás (infinite descent) egy indirekt bizonyítási módszer, ami azon alapul, hogy a természetes számok minden

Részletesebben

SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány

SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12.

XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12. XXIV NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, 05 április 8- XII évfolyam A szabályos hatoldalú csonka gúla alapélei és ( a b ) A csonka gúla oldalfelülete megegyezik az alaplapok területének összegével

Részletesebben

Minden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra.

Minden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra. 1. Számelmélet Definíció: Az a egész szám osztója a egész számnak, ha létezik olyan c egész szám, melyre = ac. Ezt a következőképpen jelöljük: a Tulajdonságok: Minden egész szám osztója önmagának, azaz

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla

Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben