Sztochasztikus modellezés. Raisz Péter, Fegyverneki Sándor

Átírás

1 Sztochasztikus modellezés Raisz Péter, Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem,2011

2 Tartalomjegyzék 1. Valószínűség-számítási alapok Eseménytér, műveletek eseményekkel A valószínűség fogalma Klasszikus valószínűségi mező Geometriai valószínűségi mező Feltételes valószínűség, függetlenség A relatív gyakoriság Valószínűségi változó Várható érték, transzformáció Medián, kvantilis Néhány diszkrét eloszlás és jellemzői Néhány folytonos eloszlás és jellemzői Generátor-, karakterisztikus függvény A kétdimenziós véletlen vektor Néhány többdimenziós folytonos eloszlás és jellemzői Az n-dimenziós véletlen vektor Valószínűségi változók összege Egyenlőtlenségek Nagy számok gyenge törvényei Polinomiális eloszlás Transzformáció n-dimenzióban Centrális határeloszlás-tétel Vegyes valószínűség-számítási feladatok

3 2. Matematikai statisztikai alapok Minta, mintavétel A statisztikai minta jellemzői Rendezett minták Minimumok és maximumok eloszlása Rendezett mintaelemek eloszlása Becsléselmélet Pontbecslés Maximum likelihood becslés A momentumok módszere Intervallumbecslések Hipotézisvizsgálat A likelihood hányados próba Néhány általánosított likelihood hányados próba A Pearson-féle χ 2 statisztika és alkalmazásai Rendezett mintás próbák Az előjelpróba A Wilcoxon próba A Kolmogorov-Szmirnov kétmintás próba A Kolmogorov-próba Az ω 2 -próba Minta példák Vegyes matematikai statisztikai feladatok Többdimenziós normális eloszlás Többváltozós normális eloszlás fogalma Többváltozós elemzések Elemi tulajdonságok Jellemzők A paraméterek becslése Hipotézis vizsgálat, konfidencia intervallum Normalitás vizsgálat

4 Perem normalitás vizsgálat Egydimenziós vizsgálaton alapuló módszerek Együttes normalitás vizsgálat Példák Kétváltozós normális eloszlás T 2 próba Konfidencia intervallum meghatározása Feltételes várható érték, folyamatok Bevezetés Feltételes várható érték A feltételes várható érték tulajdonságai Martingál Sztochasztikus folyamatok Stacionárius folyamatok Markov-láncok, folyamatok Markov-láncok Állapotok osztályozása Sorbanálláselmélet Poisson folyamat Születési-halálozási folyamatok A sorbanállási elmélet elemei M/M/1 sorbanállási-kiszolgálási rendszer A várakozási idők paradoxona Az M/M/1/K rendszer Készletgazdálkodási modellek, véletlen ütemezés Bevezetés Determinisztikus készletgazdálkodási modellek Az optimális tételnagyság modellje Sztochasztikus készletgazdálkodási modellek

5 Megbízhatósági típusú sztochasztikus készletmodell Véletlen ütemezésű rész-szállítmányok esete A szimuláció alapjai Monte Carlo módszerek Pszeudovéletlen számok Inverzfüggvény módszer Az elfogadás-elvetés módszere Normális eloszlás generálása A Brown-mozgás A közelítő integrálás hibája Alkalmazások Geometriai Brown-mozgás Cox-regresszió Irodalomjegyzék 208 4

6 1. fejezet Valószínűség-számítási alapok 1.1. Eseménytér, műveletek eseményekkel 1.1. Definíció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeinek összességét eseménytérnek (mintatér) nevezzük. Jele: Ω. Az Ω elemeit elemi eseményeknek nevezzük Definíció. Az Ω részhalmazainak egy F rendszerét σ-algebrának nevezzük, ha (1) Ω F, (2) A F, akkor A F, (3) A, B F, akkor A B F, (4) A 1, A 2, F, akkor A 1 A 2 F. Az F elemeit pedig eseményeknek nevezzük Megjegyzés. Ha csak (1), (2), (3) teljesül, akkor az F halmazrendszert algebrának nevezzük. Ha A, B F, akkor A B F Definíció. Az Ω halmazt szokás biztos eseménynek, az halmazt pedig lehetetlen eseménynek nevezni. Továbbá, az A esemény bekövetkezik, ha a kísérlet eredménye eleme az A halmaznak Megjegyzés. Az A B esemény bekövetkezik, ha legalább az egyik közülük bekövetkezik, míg az A B esemény akkor következik be, ha mind a kettő bekövetkezik. 5

7 1.2. A valószínűség fogalma 1.6. Definíció. A P : F R nemnegatív leképezést valószínűségnek nevezzük, ha (1) P (Ω) = 1, (2) A B =, akkor P (A B) = P (A) + P (B), (3) A 1, A 2,... egymást kölcsönösen kizáró események (azaz A i A j =, ha i < j és i, j = 1, 2,... ), akkor ( ) P A i = P (A i ). (1.1) i= Megjegyzés. Az (1)-(3) tulajdonságokat szokás a valószínűség axiómáinak nevezni. i= Következmény. (1) P (A) = 1 P (A). (2) P ( ) = 0. (3) P (B\A) = P (B) P (A B). (4) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). (5) Ha A B, akkor P (A) P (B). (6) Ha B n+1 B n és i=1 B n =, akkor lim n P (B n ) = Megjegyzés. Az (5) következményt szokás a valószínűség monotonitásának is nevezni. Ennek fontos következménye, hogy ha A F, akkor 0 P (A) 1, mert A Ω. Hasonlóan a (6) következmény a valószínűség folytonossága Definíció. Az (Ω, F, P ) hármast valószínűségi mezőnek nevezzük TÉTEL. (Poincaré) Az A 1, A 2,..., A n eseményekre ( n ) ( n k ) P A i = ( 1) k 1 A ij, (1.2) i=1 k=1 i 1 <i 2 < <i k P ahol az összegzést az összes lehetséges {i 1, i 2,..., i k } {1, 2,..., n} esetre tekintjük Megjegyzés. A formula a (4) következmény általánosítása. Teljes indukcióval könnyen bizonyítható. 6 j=1

8 1.3. Klasszikus valószínűségi mező Definíció. Ha az elemi események száma véges és valószínűségük megegyezik, akkor a valószínűségi mezőt klasszikusnak nevezzük Megjegyzés. A definíció nagyon rövidnek tűnik, ha arra gondolunk, hogy egy speciális helyzetben megadja a teljes matematikai modellt (a valószínűségi mezőt). Felmerül a kérdés, hogy a modell minden része szerepel-e benne. A válasz igen. Ha az elemi eseményeknek van valószínűsége, azt úgy kell értelmezni, hogy az alaphalmaz minden egy elemű részhalmaza esemény. Ekkor viszont F = 2 Ω, azaz F a hatványhalmaz. Legyen Ω = n és jelölje az elemi eseményeket ω i (i = 1, 2,..., n). Ekkor ( n ) n 1 = P (Ω) = P {ω i } = P ({ω i }) = np ({ω i }). i=1 Tehát P ({ω i }) = 1 (i = 1, 2,..., n). n Legyen A Ω tetszőleges, ekkor felírható i=1 A = {ω i1, ω i2,..., ω ik } alakban. Ekkor ( k ) P (A) = P {ω ij } = j=1 k j=1 P ({ω ij }) = kp ({ω i }) = A Ω. Ezzel minden részhalmaznak meghatároztuk a valószínűségét. Tehát az ún. klasszikus képlet: valószínűség = kedvező esetek száma. (1.3) összes esetek száma VISSZATEVÉSES MINTAVÉTEL: Adott N darab különböző objektum, amelyek közül s darab rendelkezik egy bizonyos tulajdonsággal, például selejt. Visszatevéssel kiveszünk n darabot. Legyen a kivett selejtek száma ξ. 7

9 Mennyi a valószínűsége, hogy ξ = k, ahol 0 k n. ( ) n s k (N s) n k k p k = P (ξ = k) =. (1.4) N n Legyen p = s N, akkor P (ξ = k) = ( ) n p k (1 p) n k. (1.5) k Tehát csak a selejtaránytól függ a valószínűség. VISSZATEVÉS NÉLKÜLI MINTAVÉTEL: Adott N darab különböző objektum, amelyek közül s darab rendelkezik egy bizonyos tulajdonsággal, például selejt. Visszatevés nélkül kiveszünk n darabot. Legyen a kivett selejtek száma ξ. Mennyi a valószínűsége, hogy ξ = k, ahol 0 k min{n, s}. ( )( ) s N s ( ) k n k N p k = P (ξ = k) =. (1.6) n Megjegyzés. Az n elemű sokaságból számú visszatevéses és n k n(n 1)... (n k + 1) = n! (n k)! visszatevés nélküli k elemű minta vehető. A p k valószínűségek definíciójából következik, hogy p 0 + p p n = 1, amelyből n k=1 ( ) n s k (N s) n k = N n, k illetve (s )( ) N s + 0 n ( s 1 )( ) N s + + n 1 8 ( s n )( ) N s = 0 ( ) N. n

10 1.4. Geometriai valószínűségi mező A geometriai valószínűségi mező bevezetése, a valószínűség definíciója a klaszszikus valószínűségi mező analógiájára történik. Bevezetése, alkalmazása során kiderül, hogy a szükséges elméleti alapokat majd csak a valószínűségi változóknál illetve a véletlen vektoroknál definiáljuk. A következő definíciót fogadjuk el a szemlélet alapján a klasszikus valószínűségi mező mintájára Definíció. Legyen Ω R n, amelynek létezik és véges a nagysága (jelölje m(ω)). Továbbá legyen Ω minden eleme (pontja) azonos "esélyű" és A Ω, amelynek szintén létezik az m(a) nagysága. A P (A) = m(a) m(ω) (1.7) mennyiséget az A valószínűségének nevezzük Megjegyzés. P (A) = m(kedvező esetek). (1.8) m(összes eset) Megjegyzés. Egy halmaz nagyságán a hosszát, területét, térfogatát(mértékét) értjük. Legyen Ω = [0, 1] és m pedig a hosszúság, ekkor minden Q [0, 1] pontra csak az m({q}) = 0 lehetséges. Ebből rögtön következik, hogy minden legfeljebb megszámlálhatóan végtelen halmaz nagysága (hossza) Megjegyzés. Létezik halmaz, amelynek nincs Lebesgue-mértéke. Nem mérhető halmaz konstrukciója: Legyen Ω = [0, 1] és m pedig a hosszúság. Az a, b Ω relációban van, ha a b Q, azaz racionális. Ez a reláció reflexív, szimmetrikus, tranzitív. Tehát ekvivalenciareláció, amely osztályozást hoz létre. Definiáljuk az E halmazt oly módon, hogy minden osztályból kiveszünk egy elemet. Ez lehetséges a halmazelmélet kiválasztási axiómája szerint. Legyen Ω Q = {r 1, r 2,... }, E n := {x + r n [x + r n ] x E}, 9

11 ekkor az E n halmazok páronént diszjunktak és akkor E n is és nagyságuk megegyezik. Továbbá m(e n ) = 1, n=1 E n = Ω. Ha E mérhető, ami lehetetlen, mert a sor tagjai mind egyenlőek. Ez azt jelenti, hogy E nem mérhető Megjegyzés. Létezik kontinuum számosságú halmaz, amelynek 0 a Lebesgue-mértéke. A Cantor-féle triadikus ( halmaz: Legyen E 1 a középső része a [0, 1] intervallumnak, azaz E 1 = 1 3, 2 ). Tehát x [0, 1]\E 1 akkor és csak akkor, ha 3 hármas számrendszerben az első jegy (a 0 után) a 0 vagy( a 2. Legyen E 2 a 1 középső részek uniója a [0, 1]\E 1 halmazból, azaz E 1 = 9, 2 ) ( 7 9 9, 8 ). 9 Tehát x [0, 1]\(E 1 E 2 ) akkor és csak akkor, ha hármas számrendszerben az első két jegy (a 0 után) a 0 vagy a 2. Folytassuk a konstrukciót: legyen E n a középső részek uniója a [0, 1]\(E 1 E 2 E n 1 ) halmazból. Cantor-féle triadikus halmaznak nevezzük a C = [0, 1]\ halmazt. Tehát x C akkor és csak akkor, ha hármas számrendszerben a számjegyei csupán a 0 vagy a 2. A C halmaz nemmegszámlálható. A konstrukció alapján ( ) ( ) n ( ) ( ) n m(e n ) =, m(c) = 1 = Feltételes valószínűség, függetlenség Definíció. Az A esemény B feltétel melletti feltételes valószínűségének nevezzük a P (A B) P (A B) = (1.9) P (B) 10 n=1 E n n=1 n=1

12 mennyiséget, ha P (B) > Megjegyzés. A P ( B) : F R leképezés tényleg valószínűség, azaz teljesíti a valószínűség axiómáit, ha rögzítjük a B eseményt TÉTEL. (szorzási szabály) Ha P (A) > 0, P (B) > 0, akkor P (A B) = P (A)P (B A) = P (B)P (A B). (1.10) TÉTEL. (szorzási szabály általánosítása) Ha az A 1, A 2,..., A n n 1 eseményrendszerre P ( A i ) > 0, akkor i=1 n P ( A i ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ). (1.11) i= Definíció. Az A 1, A 2,... eseményrendszert teljes eseményrendszernek nevezzük, ha A i A j =, ha i < j és i, j = 1, 2,..., és A i = Ω TÉTEL. (teljes valószínűség) Ha A 1, A 2,... teljes eseményrendszer és P (A i ) > 0, ha i = 1, 2,..., akkor tetszőleges B esemény esetén i=1 P (B) = P (B A i )P (A i ). (1.12) i=1 Bizonyítás. P (B) =P (B Ω) = P (B = P (B A i ) = i=1 A i ) = P ( (B A i )) = (1.13) i=1 i=1 P (A i )P (B A i ). (1.14) i=1 Felhasználva a teljes eseményrendszer tulajdonságait, a valószínűség 3. axiómáját és a szorzási szabályt Megjegyzés. A és A teljes eseményrendszert alkot. A B, A B, A B,és A B teljes eseményrendszert alkot. 11

13 1.28. TÉTEL. (Bayes) Ha A 1, A 2,... teljes eseményrendszer és P (A i ) > 0, ha i = 1, 2,..., akkor tetszőleges pozitív valószínűségű B esemény esetén Bizonyítás. P (A k B) = P (B A k)p (A k ). (1.15) P (B A i )P (A i ) i=1 P (A k B) = P (A k B) P (B) = P (B A k)p (A k ) P (B A i )P (A i ) i=1 (1.16) Felhasználva a teljes valószínűség tételét és a szorzási szabályt Megjegyzés. A Bayes-tételhez kapcsolódóan bevezethetjük a következő elnevezéseket: P (A i ) az ún. a-priori valószínűség és P (A i A) az ún. a-posteriori valószínűség Definíció. Az A és B eseményt sztochasztikusan függetlennek nevezzük, ha P (A B) = P (A)P (B). (1.17) Megjegyzés. Ha az A és B események függetlenek, akkor A és B, A és B és A és B is függetlenek. Ha 0 < P (A) < 1, akkor A és A nem függetlenek TÉTEL. Ha A B =, és P (A)P (B) > 0, akkor az A és a B esemény nem lehetnek függetlenek. Bizonyítás. Tehát nem lehetnek egyenlőek. P (A B) = 0, P (A)P (B) > Definíció. Az A 1, A 2,..., A n eseményeket páronként sztochasztikusan függetlennek nevezzük, ha P (A i A j ) = P (A i )P (A j ) (1 i < j n). (1.18) 12

14 1.34. Definíció. Az A 1, A 2,..., A n eseményeket teljesen sztochasztikusan függetlennek nevezzük, ha P (A i1 A ik ) = P (A i1 ) P (A ik ), (1.19) ahol 1 i 1 < < i k n, 2 k n Megjegyzés. Ha megvizsgáljuk a feltételrendszert, akkor látható, hogy a teljes függetlenség feltételeinek a száma ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n = 2 n = 2 n 1 n, 2 3 n 0 1 amely nagyon gyorsan nő. Már n = 3 esetén megadható példa, amely azt mutatja, hog egyik feltétel sem elhagyható Definíció. Az {A 1, A 2,..., A n,... } és {B 1, B 2,..., B m,... } eseményrendszereket sztochasztikusan függetlennek nevezzük, ha i, j esetén P (A i B j ) = P (A i )P (B j ) (1 i n, 1 j m). (1.20) Megjegyzés. Ha az A és B események függetlenek, akkor A és B, A és B és A és B is függetlenek, azaz az {A, A} és {B, B} eseményrendszerek is függetlenek. Két σ algebra független, ha mint eseményrendszerek függetlenek TÉTEL. Ha A 1, A 1,..., A n független események és P (A i ) < 1, (i = 1, 2,..., n), (1.21) akkor n P ( A i ) < 1. (1.22) i= A relatív gyakoriság Definíció. Bernoulli kísérletsorozatnak nevezzük azt, ha adott A F és egymástól függetlenül, azonos körülmények között elvégezzük ugyanazt a kísérletet, s "csak" azt figyeljük, hogy az A esemény bekövetkezett-e vagy sem. 13

15 1.40. Megjegyzés. A visszatevéses mintavétel egy ilyen kísérletsorozatot valósít meg Definíció. Adott egy valószínűségi mező. Vizsgáljuk az A esemény bekövetkezését. Végezzünk el egy Bernoulli-kísérletsorozatot, amelynek a hossza n. Jelölje az A esemény bekövetkezéseinek a számát k A. Ezt az A esemény gyakoriságának nevezzük. Míg az r A = k A n mennyiséget pedig relatív gyakoriságnak nevezzük. (1.23) Megjegyzés. Mivel 0 k A n, ezért 0 r A 1. k Ω = n, tehát r Ω = 1. Ha A B =, akkor k A B = k A + k B, ezért r A B = r A + r B. Jól látható, hogy a relatív gyakoriság tulajdonságai megegyeznek a valószínűségével és mégsem igazán jó mérőszám, hiszen minden újabb kísérlettel változhat Valószínűségi változó Definíció. A X : Ω R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha {X < x} = {ω ω Ω, X(ω) < x} F x R. (1.24) Definíció. Legyen σ(x) = {A F A = X 1 (B), B B(R)}. (1.25) Ezt a halmazt a valószínűségi változó által generált σ algebrának nevezzük Definíció. Az F (x) = P (X < x) (1.26) formulával meghatározott valós függvényt az X valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük. 14

16 1.46. TÉTEL. Az F valós függvény akkor és csak akkor lehet eloszlásfüggvény, ha 1. lim F (x) = 0, x 2. lim F (x) = 1, x 3. F (a) F (b), ha (a < b), azaz monoton növekvő, 4. lim x x 0 0 F (x) = F (x 0), x 0 R, azaz balról folytonos Megjegyzés. Az F teljesíti az előző tételben szereplő tulajdonságokat. Ha ezenkívül szigorúan nő és folytonos, akkor létezik F 1. Legyen Ω = [0, 1], F = a nyílt intervallumok által generált σ algebra és P pedig egy halmaz hossza. Legyen minden ω Ω esetén ami folytonos és szigorúan monoton növekvő. X(ω) = F 1 (ω), (1.27) P (X < x) = m({ω F 1 (ω) < x}) = m({ω ω < F (x)}) = F (x) TÉTEL. Legyen F az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye és a, b R, ekkor 1. P (a X < b) = F (b) F (a), 2. P (X = a) = F (a + 0) F (a) Definíció. Az X valószínűségi változót diszkrétnek nevezzük, ha a lehetséges értékek X(Ω) halmazának számossága legfeljebb megszámlálhatóan végtelen Megjegyzés. Diszkrét valószínűségi változó esetén a lehetséges értékek felírhatók egy sorozatként Definíció. Legyen az X valószínűségi változó lehetséges értékeinek sorozata x 1, x 2,.... A p i = P (X = x i ), (i = 1, 2,... ) (1.28) valószínűségek sorozatát eloszlásnak nevezzük. 15

17 1.52. TÉTEL. Ha p 1, p 2,... eloszlás, akkor p i 0 (i = 1, 2,... ) és p i = 1. (1.29) Definíció. Ha létezik f nemnegatív valós függvény, melyre i=1 F (x) = x f(t)dt, x R, (1.30) akkor f az F eloszlásfüggvényhez tartozó sűrűségfüggvény Megjegyzés. A sűrűségfüggvény nem egyértelmű. A sűrűségfüggvény létezése azt jelenti, hogy az F eloszlásfüggvény abszolút folytonos TÉTEL. Az f valós függvény akkor és csak akkor lehet sűrűségfüggvény, ha nemnegatív és + f(t)dt = 1. (1.31) Definíció. A valószínűségi változót folytonosnak nevezzük, ha létezik a sűrűségfüggvénye TÉTEL. Legyen az X folytonos valószínűségi változó f sűrűségfüggvénnyel és a, b R, ekkor P (X = a) = 0 (1.32) és P (a X < b) = b f(x)dx. (1.33) Megjegyzés. Tetszőleges eloszlásfüggvény előállítható a p 1 F 1 + p 2 F 2 + p 3 F 3 (1.34) alakban, ahol p 1 +p 2 +p 3 = 1, p 1 0, p 2 0, p 3 0, F 1 diszkrét, F 2 abszolút folytonos és F 3 folytonos és szinguláris eloszlásfüggvény a Lebesgue-mértékre nézve. 16

18 A P és a P valószínűségek szingulárisak egymásra, ha A F úgy, hogy P (A) = 0 és P (A) = 0. Általában egy diszkrét és egy abszolút folytonos szinguláris egymásra nézve. Folytonos és szinguláris eloszlásfüggvény a Lebesgue-mértékre nézve az ún. Cantor-függvény: A Cantor-féle triadikus halmaz elkészítésekor (l megjegyzés) az n-edik lépésben éppen 2 n 1 intervallumot vettünk ki a [0, 1] intervallumból. Jelölje ezeket sorban A 1, A 2,..., A 2 n 1. Ekkor legyen 0, ha x = 0, k F n (x) = 2, ha x A k, k = 1, 2,..., 2 n 1, n 1, ha x = 1. Az F (x) = lim n F n (x), x R függvényt Cantor-függvénynek nevezzük. F monoton növekvő, F = 0 majdnem mindenütt és nem abszolút folytonos Várható érték, transzformáció Definíció. 1. Ha az X diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékeinek a száma véges, azaz a lehetséges értékek akkor a x 1, x 2,..., x n és p i = P (X = x i ) (i = 1, 2,..., n), n x i p i (1.35) i=1 mennyiséget várható értéknek nevezzük. 2. Ha az X diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékeinek számossága megszámlálhatóan végtelen, azaz a lehetséges értékek x 1, x 2,..., és p i = P (X = x i ) (i = 1, 2,... ), akkor a x i p i (1.36) i=1 17

19 mennyiséget várható értéknek nevezzük, ha x i p i < Ha X folytonos valószínűségi változó f sűrűségfüggvénnyel, akkor a + mennyiséget várható értéknek nevezzük, ha + i=1 xf(x)dx (1.37) x f(x)dx < +. (1.38) Az X valószínűségi változó várható értékének a jelölése: E(X) TÉTEL. 1. E(aX + b) = ae(x) + b, a, b R. 2. Ha m X M, akkor m E(X) M Definíció. Legyen X valószínűségi változó és g valós függvény. Ha az Y = g(x) függvény valószínűségi változó, akkor az X transzformáltjának nevezzük Megjegyzés. A transzformált eloszlásfüggvénye F Y (y) = P ({ω g(x(ω)) < y}) TÉTEL. Ha g differenciálható és g (x) 0, akkor X folytonos valószínűségi változó esetén Y = g(x) folytonos valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye f X (g 1 (y)) d f Y (y) = dy g 1 (y), ha a < y < b, (1.39) 0, egyébként, ahol a = min( lim g(x), lim g(x)), x x + b = max( lim g(x), lim g(x)). (1.40) x x + 18

20 1.64. TÉTEL. Ha Y = g(x) az X valószínűségi változó transzformáltja és létezik E(Y ), akkor g(x i )P (X = x i ), ha X diszkrét, E(Y ) = i=1 (1.41) + g(x)f X (x)dx, ha X és Y folytonos Definíció. Az E((X E(X)) 2 ) (1.42) mennyiséget az X valószínűségi változó szórásnégyzetének nevezzük. Jele: D 2 (X) Definíció. A E((X E(X)) 2 ) mennyiséget az X valószínűségi változó szórásának nevezzük. Jele: D(X) Definíció. Az E(X k ) mennyiséget az X valószínűségi változó k-adik momentumának nevezzük Definíció. Az E((X E(X)) k ) mennyiséget az X valószínűségi változó k-adik centrális momentumának nevezzük Definíció. Az X E(X) D(X) transzformáltat az X valószínűségi változó standardizáltjának nevezzük Definíció. Az ( (X ) ) 3 E(X) E D(X) mennyiséget az X valószínűségi változó ferdeségének nevezzük Definíció. Az ( (X ) ) 4 E(X) E 3 D(X) mennyiséget az X valószínűségi változó lapultságának nevezzük. 19

21 1.72. TÉTEL. 1. D(aX + b) = a D(X), a, b R. 2. D 2 (X) = E(X 2 ) E 2 (X). 3. D 2 (X) = E((X a) 2 ) + (a E(X)) min a R E((X a)2 ) = D 2 (X), és ekkor a = E(X) Megjegyzés. Az utóbbi két állítás hasonló (sőt formailag azonos) a tehetetlenségi nyomatékra vonatkozó közismert Steiner-tétellel, amely azt mondja ki, hogy egy egyenesen lévő tömegeloszlás tehetetlenségi nyomatéka valamely az egyenesre merőleges forgástengelyre vonatkozólag egyenlő a súlyponton áthaladó tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéknak és a tengely súlyponttól mért távolsága négyzetösszegével, ha az össztömeg egységnyi; következésképpen a tehetetlenségi nyomaték akkor minimális, ha a forgástengely a súlyponton megy át Medián, kvantilis Definíció. Az m valós számot az X valószínűségi változó mediánjának nevezzük, ha azaz P (X < m) = P (X m) = 1 2, (1.43) F X (m) = 1 2. (1.44) Megjegyzés. A medián általában nem egyértelmű. Viszont ha létezik a sűrűségfüggvény, illetve létezik az eloszlásfüggvény deriváltja, akkor min E( X a ) (1.45) a R pontosan az a = m esetén adódik. Ez a tulajdonság hasonlít a várható érték és szórásnégyzet kapcsolatához. Az E( X m ) értéket a mediántól való várható eltérésnek nevezzük. 20

22 Bizonyítás. I = + x m f(x)dx = (1.46) m = (x m)f(x)dx + + m (x m)f(x)dx. (1.47) Alkalmazzuk a következő Leibniz formulát: d dy q(y) p(y) f(x, y)dx = q(y) p(y) akkor azt kapjuk, hogy y f(x, y)dx+f(q(y), y)q (y) f(p(y), y)p (y), (1.48) di dm = m f(x)dx Tehát akkor kapunk minimumot, ha ez nulla, azaz m f(x)dx. (1.49) F (m) = m f(x)dx = 1 2. (1.50) Ez pedig éppen az eloszlás mediánjával egyezik meg Definíció. Az x p valós számot az X valószínűségi változó p-kvantilisének nevezzük, ha F X (x p ) = p. (1.51) Megjegyzés. Tehát például a medián az 1 2 -kvantilis Néhány diszkrét eloszlás és jellemzői 1. BINOMIÁLIS ELOSZLÁS 21

23 Legyen n N, A F, és végezzünk el egy n hosszúságú Bernoulli-kísérletsorozatot. Továbbá, legyen X az A esemény bekövetkezéseinek a száma. Ekkor X eloszlása ( ) n P (X = k) = p k q n k, k (k = 0, 1,..., n), (1.52) ahol P (A) = p és q = 1 p, és az X valószínűségi változót binomiális eloszlásúnak nevezzük. Jelölés: X B(n, p) TÉTEL. E(X) = np, D 2 (X) = npq Megjegyzés. A visszatevéses mintavétel binomiális eloszláshoz vezet. Továbbá a gyakoriság is binomiális eloszlású. 2. POISSON-ELOSZLÁS Legyen λ > 0 rögzített konstans és λ = np n, ekkor ( n lim )p kn(1 p n ) n k λ λk = e, ahol k = 0, 1,.... (1.53) n,λ=np n k k! A X valószínűségi változót Poisson-eloszlásúnak nevezzük λ > 0 paraméterrel, ha eloszlása P (X = k) = e Jelölés: X P oisson(λ). λ λk TÉTEL. E(X) = λ, D 2 (X) = λ. 3. GEOMETRIAI ELOSZLÁS, ahol k = 0, 1,.... (1.54) k! A binomiális eloszlás bevezetésekor használt jelölések mellett az X valószínűségi változó jelentse az A esemény első bekövetkezéséhez szükséges kísérletek számát. az X eloszlása P (X = k) = pq k 1, ahol k = 1, 2,.... (1.55) TÉTEL. E(X) = 1 p, D2 (X) = q p 2. 22

24 1.82. Megjegyzés. Az Y = X 1 valószínűségi változót is szokás geometriai eloszlásúnak nevezni. Az Y eloszlása P (Y = k) = pq k, ahol k = 0, 1, 2, TÉTEL. E(Y ) = q p, D2 (Y ) = q p Megjegyzés. Viszont és Tehát P (Y = k + m Y m) = P ({Y = k + m} {Y m}). P (Y m) {Y = k + m} {Y m} = {Y = k + m} P (Y m) = pq m ( 1 + q + q ) = pqm 1 q = qm. P (Y = k + m Y m) = pqm+k q m = pqk = P (Y = k). (1.56) Ezzel beláttuk a geometriai eloszlás emlékezet nélküli tulajdonságát Néhány folytonos eloszlás és jellemzői 1. EGYENLETES ELOSZLÁS Legyen a, b R és a < b. Az X egyenletes eloszlású az (a, b) intervallumon, ha a sűrűségfüggvénye 1, ha a < x < b, f(x) = b a (1.57) 0, egyébként. Jelölés: X U(a, b). Az eloszlásfüggvény 0, ha x a, x a F (x) =, ha a < x b, b a 1, ha x > b. (1.58) 23

25 1.85. TÉTEL. E(X) = a + b 2, D2 (X) = (b a) Megjegyzés. Az egyenletes eloszlás adja a geometriai valószínűségi mező elméleti alapját TÉTEL. Ha F szigorúan monoton növő eloszlásfüggvény és X F eloszlású, akkor Y = F (X) egyenletes eloszlású a [0, 1] intervallumon. Fordítva, ha X U(0, 1), akkor Y = F 1 (X) éppen F eloszlású. 2. EXPONENCIÁLIS ELOSZLÁS Az X exponenciális eloszlású λ > 0 paraméterrel, ha a sűrűségfüggvénye { λe λx, ha x 0, f(x) = (1.59) 0, egyébként. Jelölés: X Exp(λ). Az eloszlásfüggvény { 0, ha x 0, F (x) = 1 e λx, ha x > 0. (1.60) TÉTEL. E(X) = 1 λ, D2 (X) = 1 λ Megjegyzés. Örökifjú tulajdonság: ahol a > 0, b > 0. P (X a + b X a) = P (X b), (1.61) 3. NORMÁLIS ELOSZLÁS Legyen m R, σ > 0. Az Y normális eloszlású, ha a sűrűségfüggvénye f(x) = 1 ) ( σ 2π exp (x m)2, x R. (1.62) 2σ 2 Jelölés: Y N(m, σ 2 ). Ha m = 0 és σ = 1, akkor a valószínűségi változót standard normális eloszlásúnak nevezzük. Jelölje a sűrűségfüggvényét ϕ és az eloszlásfüggvényét Φ. Ha X standard normális eloszlású, akkor az Y = σx + m (1.63) 24

26 valószínűségi változó F eloszlásfüggvényére jellemző, hogy ( ) x m F (x) = Φ. (1.64) σ TÉTEL. E(X) = m, D 2 (X) = σ Megjegyzés. A ϕ függvény írja le a Gauss-görbét (haranggörbét) Megjegyzés. Φ(0) = 0.5 és Φ( x) = 1 Φ(x). Ezzel meghatározható táblázatból az eloszlásfüggvény értéke, hiszen általában a Φ függvény értékeit csak a [0, 4) intervallumon szokás megadni. Néhány standard normális eloszlás érték x p Φ(x p ) = p P (m x p σ < Y < m + x p σ) Megjegyzés. A normális eloszláshoz kapcsolódik a hibafüggvény erf(x) = 2 π x 0 e u2 du erfc(x) =1 erf(x), (1.65) azaz Φ(x) = 1 2 [ ( )] x 1 + erf. (1.66) 2 erf(x) = 2 π n=0 ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)n! = 2 π ( x x3 3 + x5 10 x x ). (1.67)

27 erfc(x) = e x2 x π = e x2 x π [ 1 + n=1 ( 1) n 2n! n!(2x) 2n ( 1 1 2x x x x 8 ] ). (1.68) 1.1. ábra. Az eloszlásfüggvény közelítésére egy 10 7 pontosságú polinomiális közelítést alkalmazhatunk. A közelítő polinom: p(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x c 8 x 8. (1.69) 26

28 A közelítő polinom együtthatói intervallum [0, 1.5] (1.5, 3] (3, 6] c c c c c c c c c Az eloszlásfüggvény inverzének a közelítésére egy pontosságú racionális törtfüggvény közelítést alkalmazhatunk. Standard normális eloszlás inverze (Pascal részlet) function Invphi(var x:extended):extended; var szi,ni,ui:extended; begin ui:=x; if (ui<0) or (ui>1) then Halt; if ui>=0.5 then ui:=1-ui; if ui<(2*1e-15) then ui:=2*1e-15; ui:=sqrt(-2*ln(ui))-sqrt(ln(4)); if 0.01<ui then begin szi:= e-3; szi:=szi*ui e-2; szi:=szi*ui e-1; szi:=szi*ui e0; szi:=szi*ui e1; szi:=szi*ui e1; szi:=szi*ui e1; szi:=szi*ui e1;szi:=szi*ui+0.0; ni:= e-3; ni:=ni*ui e-2; ni:=ni*ui e-1; ni:=ni*ui e0; ni:=ni*ui e1 ; ni:=ni*ui e1 ; ni:=ni*ui e1 ; ni:=ni*ui+1;end 27

29 else begin szi:= e-4; szi:=szi*ui e-3; szi:=szi*ui e-1; szi:=szi*ui e0; szi:=szi*ui e0; szi:=szi*ui e1; szi:=szi*ui e1; szi:=szi*ui e1; szi:=szi*ui e-6; ni:= e-4; ni:=ni*ui e-3; ni:=ni*ui e-1; ni:=ni*ui e0; ni:=ni*ui e0; ni:=ni*ui e1; ni:=ni*ui e1; ni:=ni*ui+1.0;end; if x<0.5 then szi:=-szi; Invphi:=szi/ni; end; TÉTEL. (Moivre-Laplace) Legyen az X valószínűségi változó binomiális eloszlású n és p paraméterrel és 0 a < b n egész, akkor b ( ) n P (a X b) = p k q n k (1.70) k k=a b np + 1 a np 1 Φ 2 Φ 2. (1.71) npq npq Szemléltetésül tekintsük az 1.1 és az 1.2 ábrát. 4. CAUCHY ELOSZLÁS Legyen c R, s > 0. Az Y Cauchy eloszlású, ha a sűrűségfüggvénye f(x) = 1 [ ( ) 2 ], x R. (1.72) x c πs 1 + s 28

30 1.2. ábra Megjegyzés. Nem létezik a várható érték és ebből adódóan nem létezik az E(X α ) momentum, ha α 1. Az eloszlásfüggvény F (x) = ( ) x c π arctan. (1.73) s Megjegyzés. Szokás a c = 0, s = 1 esetet (standard) Cauchy-eloszlásnak nevezni. 5. WEIBULL ELOSZLÁS A Weibull-eloszlás paramétereire többféle elterjedt jelölésrendszer van. Az eltérő jelölések használatát egyértelműen magyarázza, hogy a Weibull-eloszlás 29

31 1.3. ábra. igen széles körben, a legkülönfélébb tudományterületeken alkalmazták, valamint a paramétereknek sokféle meghatározási módja is ismeretes és az egyes megoldásoknál a változók átírása jelentős egyszerűsítéseket eredményez. Mi a következőkben az { 1 exp( x c ), ha x 0, F c (x) = (1.74) 0, ha x < 0, jelölést alkalmazzuk a standard Weibull-eloszlás jelölésére. Ebből a lineáris transzformáltak eloszlása F c ( x a ). (1.75) b Tehát ez az eloszláscsalád háromparaméteres, amelyből a c az ún. alakparaméter (típusparaméter). Viszont lényeges, hogy aszimmetrikus eloszlás. 30

32 1.4. ábra Megjegyzés. Az eloszlás c = 1 esetén az exponenciális eloszlást, c = 2 a Rayleigh eloszlás adja, míg c = 3.57 közelében az eloszlás közel szimmetrikussá válik és jól közelíti a normális eloszlást. Megfelelő paraméter választással az is elérhető, hogy a Weibull-eloszlás jól közelítse a lognormális és Γ-eloszlásokat. Tekintsük az 1.3, 1.4, 1.5, 1.6 ábrákat Generátor-, karakterisztikus függvény Definíció. Legyen X egy nemnegatív egész értékű valószínűségi változó és legyen p j = P (X = j), (j = 0, 1, 2,... ). A G X (z) = p j z j = E(z X ) (1.76) j=0 31

33 1.5. ábra. függvényt az X generátorfüggvényének nevezzük TÉTEL. Legyen X és Y nemnegatív egész értékű valószínűségi változó, ekkor (a) G X (z) konvergens, ha z 1. (b) X és Y eloszlása akkor és csak akkor egyezik meg, ha G X (z) = G Y (z). (c) p n = 1 d n G X (z) n! dz n, n = 0, 1, z=0 (d) E(X) = G X (1) és D2 (X) = G X (1) + G X (1) (G X (1)) Definíció. Legyen X valószínűségi változó a ϕ X (t) = E(e itx ), t R (1.77) függvényt az X karakterisztikus függvényének nevezzük. 32

34 1.6. ábra TÉTEL. Legyen X és Y valószínűségi változó, ekkor (a) F X = F Y akkor és csak akkor, ha ϕ X = ϕ Y. (b) ϕ X (t) ϕ X (0) = 1, t R. (c) ϕ (k) X = ik E(X k ), ha E(X k ) létezik TÉTEL. Ha a ϕ karakterisztikus függvény abszolút integrálható, akkor az X valószínűségi változónak létezik a sűrűségfüggvénye, és f X (x) = 1 2π e iux ϕ X (u)du. (1.78) 33

35 1.13. A kétdimenziós véletlen vektor Definíció. A (X, Y ) : Ω R 2 leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha {X < x, Y < y} = {ω ω Ω, X(ω) < x, Y (ω) < y} F x, y R. (1.79) Definíció. Az F (x, y) = P (X < x, Y < y) formulával meghatározott valós értékű függvényt a (X, Y ) véletlen vektor együttes eloszlásfüggvényének nevezzük. Az F X (x) = lim F (x, y), F Y (y) = lim F (x, y) (1.80) y + x + függvényeket peremeloszlásfüggvénynek nevezzük TÉTEL. Az F függvény akkor és csak akkor lehet együttes eloszlásfüggvény, ha 1. lim F (x, y) = 0, lim x F (x, y) = 0, y 2. x lim F (x, y) = 1, y 3. F mindkét változójában balról folytonos, 4. F (b, d) F (b, c) F (a, d) + F (a, c) 0, a < b, c < d esetén, azaz teljesül az ún. "téglalap" tulajdonság Megjegyzés. A téglalap tulajdonságból következik, hogy mindkét változójában monoton növekvő Definíció. A (X, Y ) véletlen vektort diszkrétnek nevezzük, ha a lehetséges értékek számossága legfeljebb megszámlálhatóan végtelen Definíció. Legyen az X, illetve Y valószínűségi változó lehetséges értekeinek sorozata x 1, x 2,..., illetve y 1, y 2,.... A P (X = x i, Y = y j ) = p ij (i, j = 1, 2,... ) valószínűségek sorozatát együttes eloszlásnak nevezzük. A q i = p ij, (i = 1, 2,... ), (1.81) j=1 34

36 r j = p ij, (j = 1, 2,... ) (1.82) i=1 valószínűség sorozatokat peremeloszlásnak nevezzük. Minden r j > 0 esetén az X feltételes eloszlása adott Y = y j mellett Az P (X = x i Y = y j ) = p ij r j. (1.83) E(X Y = y j ) = i=1 mennyiséget feltételes várható értéknek nevezzük. Az x i p ij r j (1.84) E(X Y = y j ) = m 2 (y j ) (1.85) függvényt az X-nek az Y -ra vonatkozó regressziós függvényének nevezzük TÉTEL. Ha p ij (i, j = 1, 2,... ) együttes eloszlás, akkor p ij 0 (i, j = 1, 2,... ) és p ij = 1. (1.86) Definíció. Ha létezik f nemnegatív valós értékű függvény, melyre F (x, y) = x y i=1 j=1 f(u, v)dvdu, x, y R, (1.87) akkor f az F eloszlásfüggvényhez tartozó együttes sűrűségfüggvény. Az f X (x) = + f(x, y)dy, f Y (y) = függvényeket peremsűrűségfüggvénynek nevezzük. + f(x, y)dx (1.88) TÉTEL. Az f függvény akkor és csak akkor lehet együttes sűrűségfüggvény, ha nemnegatív és + + f(x, y)dydx = 1. (1.89) 35

37 Definíció. Az (X, Y ) véletlen vektort folytonosnak nevezzük, ha létezik az együttes sűrűségfüggvénye Definíció. Az X és Y ) valószínűségi változót függetlennek nevezzük, ha F (x, y) = F X (x)f Y (y), x, y R. (1.90) Megjegyzés. A függetlenség megfelelői diszkrét illetve folytonos esetben: p ij = q i r j, (i, j = 1, 2,... ), (1.91) f(x, y) = f X (x)f Y (y) x, y R. (1.92) Definíció. Legyen (X, Y ) véletlen vektor. Az F (x y) az feltételes eloszlásfüggvénye az X-nek Y = y esetén, ha F (x y) = P (X < x Y = y) = lim P (X < x y Y < y + h). (1.93) h Megjegyzés. Ha léteznek a feltételes valószínűségek Definíció. Ha létezik f X Y nemnegatív valós értékű függvény, melyre F (x y) = x f X Y (u y)du, x, y R, (1.94) akkor f X Y az X-nek az Y -ra vonatkozó feltételes sűrűségfüggvénye Megjegyzés. f X Y (x y) = f(x, y) f Y (y). (1.95) Definíció. A feltételes sűrűségfüggvény segítségével meghatározott feltételes várható értéket regressziós függvénynek nevezzük, azaz az + xf X Y (x y)dx = m 2 (y) (1.96) 36

38 függvényt az X-nek az Y -ra vonatkozó regressziós függvényének nevezzük, illetve az + yf Y X (y x)dy = m 1 (x) (1.97) függvényt az Y -nak az X-re vonatkozó regressziós függvényének nevezzük Megjegyzés. A min g E((X g(y )) 2 ) értékét, akkor kapjuk, ha g megegyezik a regressziós függvénnyel TÉTEL. Ha (X, Y ) véletlen vektor és g : R 2 R olyan függvény, hogy g(x, Y ) valószínűségi változó, akkor g(x i, y j )p ij, ha (X,Y) diszkrét, i,j E(g(X, Y )) = + + (1.98) g(x, y)f(x, y)dydx, ha (X,Y) folytonos Definíció. A cov(x, Y ) = E((X E(X))(Y E(Y ))) (1.99) mennyiséget kovarianciának nevezzük. Az r(x, Y ) = cov(x, Y ) D(X)D(Y ) (1.100) mennyiséget pedig korrelációs együtthatónak nevezzük Megjegyzés. A korrelációs együttható az összefüggést próbálja meg mérni. Ha X és Y független, akkor r(x, Y ) = 0, fordítva nem igaz. Pl. ha X N(0, 1), Y = X 2, akkor r(x, Y ) = Definíció. Legyen g valós függvény. Az I(X, Y ) = 1 D2 (Y g(x)) D 2 (Y ) (1.101) mennyiséget korrelációs indexnek nevezzük. 37

39 TÉTEL. 1. E(X + Y )) = E(X) + E(Y ). 2. D 2 (X + Y )) = D 2 (X) + D 2 (Y ) + 2cov(X, Y ). 3. E(E(X Y = y)) = E(X). 4. cov(x, Y ) D(X)D(Y ), azaz r(x, Y ) I(X, Y ) Néhány többdimenziós folytonos eloszlás és jellemzői 1. EGYENLETES ELOSZLÁS Az (X, Y ) véletlen vektor egyenletes eloszlású az A R 2 tartományon, ha 1, ha (x, y) A, f(x, y) = A (1.102) 0, egyébként. 2. NORMÁLIS ELOSZLÁS Az (X, Y ) véletlen vektor normális eloszlású, ha f(x, y) = 1 exp[ Q], (1.103) 2πσ 1 σ 2 1 ρ 2 Q = [ 1 ( x m 1 ) 2 2ρ( x m 1 )( y m 2 ) + ( y m ] 2 ) 2, (1.104) 2(1 ρ 2 ) σ 1 σ 1 σ 2 σ 2 ahol σ 1 > 0, σ 2 > 0, 1 < ρ < 1. Q = [ 1 x m 2σ 12 (1 ρ 2 1 ρ σ ] 2 1 (y m 2 ) + (y m 2) 2. (1.105) ) σ 2 2σ

40 f Y (y) = + = + f(x, y)dx = 1 2πσ2 exp 1 exp 1 [ 2πσ1 1 ρ 2 2σ 12 (1 ρ 2 ) 1 exp [ (y m 2) 2 2πσ2 2σ 2 2 [ (y m 2) 2 2σ 2 2 ] ( x m 1 ρ σ ) ] 2 1 (y m 2 ) dx = σ 2 ], (1.106) mert az integrál értéke 1, hiszen egy olyan valószínűségi változó sűrűségfüggvénye, amely eloszlása ( N m 1 + ρ σ ) 1 (y m 2 ), σ 2 1 (1 ρ 2 ). (1.107) σ Megjegyzés. Rögtön látható, hogy a két perem eloszlása N(m 1, σ 1 2 ) és N(m 2, σ 2 2 ), valamint m 1 (x) =m 2 + ρ σ 2 σ 1 (x m 1 ), m 2 (y) =m 1 + ρ σ 1 σ 2 (y m 2 ). (1.108) Tehát a regressziós függvények egyenesek Megjegyzés. Hasonló integrálással adódik, hogy éppen ρ a korrelációs együttható Az n-dimenziós véletlen vektor A véletlen vektor és a hozzákapcsolódó fogalmak definícióját csak kétdimenziós esetben adtuk meg, de nagyon egyszerűen kiterjeszthetőek véges sok valószínűségi változó esetére. Például, az X 1, X 2,..., X n valószínűségi változókat függetlennek nevezzük, ha F (x 1, x 2,..., x n ) = F X1 (x 1 )F X2 (x 2 ) F Xn (x n ) x 1, x 2,..., x n R. (1.109) 39

41 TÉTEL. Az F (x 1, x 2,..., x n ) függvény akkor és csak akkor együttes eloszlásfüggvény, ha minden változójában balról folytonos, és lim F (x 1, x 2,..., x n ) = 0, (i = 1, 2,..., n), (1.110) x i lim F (x 1, x 2,..., x n ) = 1, (1.111) x i + (i=1,2,...,n) K=e 1 +e 2 + +e n ( 1) K F (e 1 a 1 + (1 e 1 )b 1,..., e n a n + (1 e n )b n ) 0 (1.112) a i b i (i = 1, 2,..., n) és az összegzést K esetében vesszük, ahol az e 1, e 2,..., e n értéke 0 és 1 lehet TÉTEL. Legyenek X 1, X 2,..., X n független valószínűségi változók, melyeknek rendre F X1, F X2,..., F Xn az eloszlásfüggvénye. Ekkor (a) az Y (ω) = max{x 1 (ω),..., X n (ω)} ( ω Ω) valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F Y (y) = F X1 (y)f X2 (y) F Xn (y). (1.113) (b) az Y (ω) = min{x 1 (ω),..., X n (ω)} ( ω Ω) valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F Y (z) = 1 (1 F X1 (z))(1 F X2 (z)) (1 F Xn (z)). (1.114) Valószínűségi változók összege TÉTEL. (konvolúció) Legyen (X, Y ) véletlen vektor és Z = X + Y, ekkor teljesülnek a következő állítások: (a) Ha X és Y független diszkrét valószínűségi változók, amelyek mindegyikének lehetséges értékei 0, 1, 2,..., akkor Z értékei k = i+j (i, j = 0, 1, 2, 3,... ) és P (Z = k) = i+j=k P (X = i)p (Y = j) = k P (X = i)p (Y = k i). (1.115) i=0 40

42 (b) Ha X és Y független valószínűségi változók, akkor + P (Z < z) = f X (x)f Y (z x)dx = z f Z (x)dx, (1.116) ahol Z sűrűségfüggvénye + f Z (z) = f X (x)f Y (z x)dx = + f X (z y)f Y (y)dy. (1.117) TÉTEL. Ha X és Y független nemnegatív egész értékű valószínűségi változó, akkor G X+Y (z) = G X (z)g Y (z), (1.118) ahol G a generátorfüggvényt jelöli TÉTEL. Ha X és Y független valószínűségi változó, ekkor ϕ X+Y (t) = ϕ X (t)ϕ Y (t), t R, (1.119) ahol ϕ a karakterisztikus függvényt jelöli. 1. χ 2 n ELOSZLÁS Definíció. Legyen X 1, X 2,..., X n N(0, 1), amelyek teljesen függetlenek, akkor X = X X X 2 n (1.120) valószínűségi változót n szabadságfokú χ 2 n-eloszlásúnak nevezzük. X χ 2 n TÉTEL. E(X) = n, D 2 (X) = 2n. Jelölés: Megjegyzés. Ha n = 2, akkor X exponenciális eloszlású, azaz X Exp(0.5). 2. Γ-ELOSZLÁS Legyen α > 0, λ > 0. Az X Γ-eloszlású, ha a sűrűségfüggvénye 1 f(x) = Γ(α) λα x α 1 e λx, ha x > 0, 0, ha x 0. Jelölés: X Γ(λ, α). (1.121) 41

43 1.7. ábra TÉTEL. E(X) = α λ, D2 (X) = α λ Megjegyzés. Ha α = 1, akkor éppen az exponenciális eloszlást kapjuk Megjegyzés. Független exponenciális eloszlású valószínűségi változók összege Γ-eloszlás Megjegyzés. Ha az X χ 2 n-eloszlású valószínűségi változó akkor α = n 2, λ = 1 paraméterű Γ-eloszlású, azaz 2 X Γ( 1 2, n ). (1.122) Egyenlőtlenségek TÉTEL. (Markov-egyenlőtlenség) Legyen az Y nemnegatív valószínűségi változó, melynek létezik a várható értéke, ekkor c > 0 esetén P (Y c) E(Y ). (1.123) c 42

44 1.8. ábra. Bizonyítás. Folytonos eset: E(Y ) = xf(x)dx xf(x)dx cf(x)dx = cp (Y c). (1.124) 0 c c Diszkrét eset: E(Y ) = x i P (Y = x i ) x i P (Y = x i ) x i c i=1 cp (Y = x i ) c P (Y = x i ) = cp (Y c). (1.125) x i c x i c 43

45 1.9. ábra Megjegyzés. P (Y c) 1 E(Y ). (1.126) c TÉTEL. (Csebisev-egyenlőtlenség) Ha az X valószínűségi változónak létezik a szórásnégyzete, akkor ε > 0 esetén P ( X E(X) ε) D2 (X) ε 2. (1.127) Bizonyítás. Legyen Y = (X E(X)) 2, ekkor Y 0, E(Y ) = D 2 (X). Alkalmazzuk Y -ra a Markov-egyenlőtlenséget, ha c = ε Megjegyzés. P ( X E(X) ε) 1 D2 (X) ε 2. (1.128) 44

46 TÉTEL. (Jensen) Ha f konvex függvény és X olyan valószínűségi változó, amelyre létezik E(f(X)) és f(e(x)), akkor E(f(X)) f(e(x)). (1.129) Bizonyítás. Legyen L a támasztóegyenes az f függvényhez az pontban, akkor (E(X), f(e(x))) E(f(X)) E(L(X)) = L(E(X)) = f(e(x)). (1.130) Megjegyzés. E(X 2 ) E 2 (X) Megjegyzés. Ha k 1, akkor E( X k ) E k ( X ). (1.131) TÉTEL. (Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz) Ha létezik E(X 2 ) és E(Y 2 ), és E(X) = E(Y ) = 0, akkor Bizonyítás. Legyen t R tetszőleges, ekkor E(XY ) E(X 2 )E(Y 2 ). (1.132) 0 E((tX + Y ) 2 ) = t 2 E(X 2 ) + 2E(XY ) + E(Y 2 ). (1.133) Ez utóbbi a t változónak egy másodfokú kifejezése, amely sohasem negatív. Tehát, mint másodfokú egyenletnek nincs két különböző valós gyöke. Tehát a diszkrimináns nem pozitív, azaz D = 4E 2 (XY ) 4E(X 2 )E(Y 2 ) 0. (1.134) Átrendezve kapjuk az állítást Megjegyzés. A bizonyításból rögtön adódik, hogy egyenlőség akkor és csak akkor, ha 1-valószínűséggel teljesül, hogy tx + Y = 0. 45

47 Megjegyzés. Ha létezik E(X), E(Y ), E(X 2 ) és E(Y 2 ), akkor E(X E(X)) = 0, D 2 (X) = E((X E(X)) 2 ), E(Y E(Y )) = 0, D 2 (Y ) = E((Y E(Y )) 2 ), cov(x, Y ) = E((X E(X))(Y E(Y ))). (1.135) Tehát cov(x, Y ) D(X)D(Y ), (1.136) azaz r(x, Y ) 1. (1.137) Egyenlőség akkor és csak akkor, ha Y = ax + b (a, b R) 1-valószínűséggel Nagy számok gyenge törvényei TÉTEL. (nagy számok gyenge törvénye) Legyen X 1, X 2,... független, azonos eloszlású valószínűségi változók sorozata. Létezik a szórásnégyzet. Ekkor tetszőleges ε > 0 esetén Bizonyítás. lim P n + ( X X n E(X 1 ) ε n ) = 0. (1.138) ( ) X1 + + X n E = E(X 1 ), n (1.139) ( ) D 2 X1 + + X n = D2 (X 1 ). n n (1.140) Ekkor alkalmazzuk a Csebisev-egyenlőtlenséget ( P X ) X n E(X 1 ) ε D2 (X 1 ) 0, (1.141) n nε 2 ha n Megjegyzés. Legyen A esemény, P (A) = p, és S n az A esemény gyakorisága az első n kísérletből egy Bernoulli kísérletsorozatnál. Ekkor tetszőleges ε > 0 esetén ( lim P S ) n n + n p ε = 0. (1.142) 46

48 S n B(n, p), így P ( S ) n n P (A) ε Polinomiális eloszlás p(1 p) nε 2 1 4nε 2. (1.143) Egy urnában n különböző fajtájú golyó van. Legyenek ezek a típusok a 1, a 2,..., a n. (1.144) Az a i típus kihúzása jelentse az A i eseményt és tudjuk, hogy P (A i ) = p i, (1 i n). (1.145) Húzzunk az urnából visszatevéssel K-szor. Ekkor Ω = {ω ω = (a i1,..., a ik }, azaz Ω = n K. (1.146) Legyen k i az A i esemény bekövetkezéseinek a száma egy adott ω Ω elemi esemény (mintarealizáció) esetén. Míg X i jelentse az A i esemény bekövetkezéseinek a számát. Ekkor P (ω) = p k 1 1 p k 2 2 p kn n. K! P (X 1 = k 1,..., X n = k n ) = k 1! k n! pk 1 1 p k 2 2 p kn n. (1.147) Ez utóbbi a (X 1..., X n ) együttes eloszlása és polinomiális (multinomiális) eloszlásnak nevezzük Megjegyzés. A polinomiális eloszlás egydimenziós peremeloszlásai binomiális eloszlások Megjegyzés. Az eloszlás P (X 1 =k 1,..., X n = k n ) = ( )( )( ) =p k 1 1 p k 2 K K k1 K k1 k 2 p kn 2 n felírható ilyen alakban is. k 1 47 k 2 k 3 ( kn k n ) (1.148)

49 1.20. Transzformáció n-dimenzióban Definíció. Az együttes eloszlásfüggvénye az (Y 1,..., Y n ) véletlen vektornak, amely az (X 1,..., X n ) véletlen vektorból áll elő úgy, hogy a következő Y k = g k (X 1,..., X n ) k = 1, 2,..., n (1.149) F Y1,...,Y n (y 1,..., y n ) = P ({ω g k (X 1 (ω),..., X n (ω)) < y k, k = 1, 2,..., n}). (1.150) Most tekintsük azt az esetet, amikor g k (k = 1, 2,..., n) függvényeknek folytonos az első parciális deriváltjuk minden (x 1,..., x n ) pontban úgy, hogy g 1 g 1 g 1... x 1 x 2 x n g 2 g 2 g 2... J(x 1,..., x n ) = x 1 x 2 x n. 0. (1.151)..... g n g n g n... x 1 x 2 x n Ha a (X 1,..., X n ) véletlen vektornak létezik az f X1,...,X n együttes sűrűségfüggvénye és a y k = g k (x 1, x 2,..., x n ), k = 1, 2,..., n, (1.152) egyenletrendszernek minden (x 1,..., x n ) pontban pontosan egy megoldása van, akkor a (Y 1,..., Y n ) véletlen vektornak az együttes sűrűségfüggvénye f Y1,...,Y n (y 1, y 2,..., y n ) = f X1,...,X n (x 1, x 2,..., x n ) J(x 1, x 2,..., x n ) 1. (1.153) 1. STUDENT ELOSZLÁS Definíció. Legyen X 0, X 1, X 2,..., X n N(0, 1), amelyek teljesen függetlenek, akkor X = X 0 X X Xn 2 (1.154) n valószínűségi változót n szabadságfokú Student-eloszlásúnak nevezzük. Jelölés: X t n. 48

50 TÉTEL. E(X α ) csak akkor létezik, ha α < n. A sűrűségfüggvénye ( ) n + 1 Γ ) n f n (x) = ( n ) (1 + x2 2. (1.155) πnγ n Megjegyzés. Szokás t-eloszlásnak is nevezni Megjegyzés. Ha n = 1, akkor éppen a Cauchy-eloszlást kapjuk Megjegyzés. Ha n, akkor a standard normális eloszlást kapjuk. 2. F n,m ELOSZLÁS Definíció. Legyen X χ 2 n, Y χ 2 m és teljesen függetlenek, ekkor ζ = mx ny (1.156) valószínűségi változót n, m szabadságfokú F n,m -eloszlásúnak nevezzük. Jelölés: ζ F n,m Centrális határeloszlás-tétel TÉTEL. (centrális határeloszlás-tétel) Legyen X 1, X 2,... független, azonos eloszlású valószínűségi változók sorozata és létezik az E(X i ) = n µ és D 2 (X i ) = σ 2 > 0. Ha S n = X k, akkor ( lim P Sn nµ n + σ n k=1 ahol Φ a standard normális eloszlásfüggvény. ) < x = Φ(x), x R, (1.157) Megjegyzés. Speciális esete a Moivre-Laplace tétel. 49

51 1.22. Vegyes valószínűség-számítási feladatok 1. A gépjárművezetői vizsgán a vizsga időtartama (percben mérve) { 0, ha x < 0 f(x) = 0.18e 0.18x, egyébként sűrűségfüggvényű valószínűségi változó. Az előttünk lévő már 34 perce vezet. Mi a valószínűsége, hogy 7 percen belül nem fejezi be a vizsgát? 2. Az A esemény bekövetkezésének a valószínűsége Mennyi a valószínűsége, hogy tíz kísérletből legalább háromszor bekövetkezik? 3. Egy henger milliméterben mért átmérője a X valószínűségi változó, hossza milliméterben mérve az Y valószínűségi változó. A (X, Y ) kétdimenziós valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f (x, y) = x 2 + Ay 2, a 0 < x < 1, 0 < y < 2.40 tartományon és 0 egyébként. Számítsa ki az alábbi valószínűséget: P (X > 0.5, Y > 2.16). 4. Egy gép élettartama X exponenciális eloszlású valószínűségi változó 10 év átlagos élettartammal. Adja meg azt a legnagyobb K számot, amelyre még igaz, hogy egy gép legalább 0.89 valószínűséggel működőképes lesz K évig. 5. Ketten megbeszélik, hogy délután 5 óra és délután 5 óra 49 perc között találkoznak. Mekkora valószínűséggel találkoznak, ha egymástól függetlenül érkeznek és mindketten 6 perc várakozás után elmennek, ha a másik addig nem érkezett meg? 6. Tudjuk, hogy P (A) = 0.49, P (A B) = 0.55 és P (B A) = Mennyi a valószínűsége, hogy az A és B legalább egyike bekövetkezik? 7. Az A és B játékos felváltva dob kosárra (A kezd). Az A játékos 0.51, míg B 0.37 valószínűséggel talál a kosárba. A játék maximum 4 dobásig tart, de azonnal befejeződik, ha valamelyik játékos beletalált a kosárba. Számítsa ki a játékbeli dobások számának várható értékét! 8. Legyen P (A) = 0.38, P (A B) = 0.38 és P (B A) = Határozza meg P (A B) értékét! 50

52 9. Legyen E (X) = 4.8, D (X) = 0.44 Adjon alsó becslést a valószínűségre. P (3.172 < X < 6.428) 10. Egy munkadarab hossza közelítőleg normális eloszlású valószínűségi változó, melynek várható értéke 83 és szórása 1.3. Mennyi a valószínűsége, hogy a munkadarab hossza kisebb, mint 84.76? 11. Egy terméket három üzemben készítenek. A három üzemben a selejtszázalék rendre 0.08, 0.23 és 0.39, míg a három üzemben az összterméknek rendre 25, 56 és 19 százalékát állítják elő. Az össztermékből kivesznek egy darabot, és az hibás. Mi a valószínűsége, hogy az első üzemben gyártották? 12. Hányféleképpen osztható szét 7 ezer forint jutalom 4 dolgozó között, ha mindegyik dolgozó ezerrel osztható összegű jutalmat kaphat, de a 0 Ft jutalom is megengedett. 13. Az X valószínűségi változó sűrűségfüggvénye egy megfelelő B konstanssal { B (2x + 1), ha 2.4 < x < 4.0, f(x) = 0, egyébként. Számítsa ki az X várható értékét! 14. Egy csomagológép 1 kilogrammos zacskókat tölt. A zacskóba töltött cukor mennyisége normális eloszlású valószínűségi változó 1 kg várható értékkel és kg szórással. A zacskó súlyra nézve első osztályú, ha a súlya 0.95 kg és 1.05 kg közé esik. Mi a valószínűsége, hogy két véletlenül kiválasztott zacskó közül legfeljebb az egyik első osztályú? 15. Legyen (X, Y ) sűrűségfüggvénye { x A( + y), ha 0 < x < 4.0, 0 < y < 1, f(x, y) = 4.0 0, egyébként. Határozza meg E(X) értékét! 51