Markó Zoltán GIMNÁZIUMI MATEMATIKA

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Markó Zoltán GIMNÁZIUMI MATEMATIKA"

Átírás

1 Markó Zoltán GIMNÁZIUMI MATEMATIKA

2 Írta: Markó Zoltán

3 TARTALOM Tartalom... 5 Fontosabb matematikai jelek, jelölések A görög ábécé beti Eltagok (prefixumok) GONDOLKODÁSI MVELETEK Halmazok Alapfogalmak, halmaz megadása Mveletek halmazokkal Unióképzés Metszetképzés Különbségképzés Szimmetrikus differencia Komplementerhalmaz Két halmaz Descartes-féle szorzata Halmazok számossága Ekvivalencia Véges és végtelen halmazok Kontinuum-számosságú halmazok Logikai szita formula kett és három halmazra Logika Fogalmak, jelölések Logikai mveletek és értéktáblázatok Negáció Konjukció Diszjunkció Antivalencia Implikáció Ekvivalencia Mveleti azonosságok Matematikai bizonyítások Direkt bizonyítás Indirekt bizonyítás Skatulyaelv Teljes indukció Kvantorok Univerzális kvantor Egzisztenciális kvantor Kvantorok tagadása Kombinatorika A kombinatorikában használatos fogalmak Faktoriálisok Binomiális együtthatók Binomiális tétel Pascal-háromszög Permutáció Ismétlés nélküli permutáció Ismétléses permutáció Ciklikus permutáció

4 Variáció Ismétlés nélküli variáció Ismétléses variáció Kombináció Ismétlés nélküli kombináció Ismétléses kombináció Gráfok A gráfelméletben használatos fogalmak Hurok, többszörös él, fokszám Út, vonal, séta, kör Izomorf gráfok Euler-vonal Hamilton-út, Hamilton kör Dirac tétele Fagráfok ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET Számhalmazok Természetes számok Alapmveletek a természetes számok körében Összeadás Kivonás Szorzás Osztás Egész számok Alapmveletek az egész számok körében Összeadás, kivonás Szorzás Osztás Racionális számok Alapmveletek a racionális számok körében Összeadás Kivonás Szorzás Osztás Irracionális számok Alapmveletek az irracionális számok körében Összeadás Kivonás Szorzás Osztás Valós számok Alapmveletek a valós számok körében, mveleti tulajdonságok Kommutativitás Asszociativitás Disztributivitás Szám reciproka Ellentett Abszolút érték Normálalak A számhalmazok kapcsolata

5 Számelmélet Oszthatóság a természetes számok körében Prímszámok, összetett számok A számelmélet alaptétele Oszthatósági szabályok Legnagyobb közös osztó Relatív prímek Legkisebb közös többszörös Maradékos osztás Osztók száma, osztók összege Oszthatóság az egész számok körében Oszthatósági szabályok Hatványozás A hatványozás azonosságai Azonos alapú hatványok Azonos kitevj hatványok A hatványfogalom kiterjesztése Gyökvonás A négyzetgyök fogalma A négyzetgyökvonás azonosságai Az n-edik gyök fogalma A gyökvonás azonosságai Azonos alapú gyökök Azonos kitevj gyökök Logaritmus A logaritmus definíciója A logaritmus azonosságai Azonos alapú logaritmusok Kapcsolat különböz alapú logaritmusok között Polinomok, algebrai törtek Algebrai kifejezések Egytagú, többtagú kifejezések Fokszám Polinom Az x változó n-ed fokú polinomja Algebrai tört Racionális kifejezések Egész és tört kifejezések Értelmezési tartomány, alaphalmaz, értékkészlet Nevezetes azonosságok Szorzattá alakítás Mveletek algebrai törtekkel Parciális törtekre bontás Számrendszerek Arányosság Egyenes arányosság Fordított arányosság Százalékszámítás Egyenletek Alapfogalmak

6 Ekvivalens átalakítások Megoldási módszerek Algebrai módszer Grafikus módszer Értelmezési tartomány vizsgálata Értékkészlet-becslés Egyismeretlenes egyenletek Lineáris egyenletek Paraméteres lineáris egyenletek Másodfokú egyenletek Megoldóképlet Gyöktényezs alak Viète-formulák Paraméteres másodfokú egyenletek Magasabb fokú egyenletek Másodfokúra visszavezethet egyenletek Egyéb módszerrel megoldató egyenletek Gyökös egyenletek Abszolútértékes egyenletek Exponenciális egyenletek Logaritmikus egyenletek Trigonometrikus egyenletek Trigonometrikus egyenletek megoldásánál használt összefüggések Egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszer Paraméteres lineáris egyenletrendszerek Másodfokú egyenletrendszer Exponenciális egyenletrendszerek Logaritmikus egyenletrendszerek Trigonometrikus egyenletrendszerek Szöveges feladatok Egyenltlenségek Egyenltlenség megoldása Egyenltlenségek átalakítása Elsfokú egyenltlenségek Másodfokú egyenltlenségek Gyökös egyenltlenségek Abszolútértékes egyenltlenségek Exponenciális és logaritmikus egyenltlenségek Trigonometrikus egyenltlenségek Törtes egyenltlenségek Egyenltlenség-rendszerek Közepek Számtani közép Súlyozott számtani közép Mértani közép Négyzetes közép k-adik hatványközép Harmonikus közép A közepek között fennálló nevezetes egyenltlenségek

7 FÜGGVÉNYTAN, ANALÍZIS Függvények elemi vizsgálata Függvények megadása Függvények jellemzése Lineáris függvények Elsfokú függvények Nulladfokú függvények Másodfokú függvények Magasabb fokú függvények Racionális törtfüggvények Gyökös függvények Exponenciális függvények Logaritmusfüggvények Abszolútértékes függvények Egészrész-, törtrész-függvény Eljelfüggvény Trigonometrikus függvények Szinuszfüggvény Koszinuszfüggvény Tangensfüggvény Kotangensfüggvény Trigonometrikus inverzfüggvények Konstansszoros, összeg-, szorzat- és hatványfüggvények Összetett függvények Függvénytranszformációk A függvényérték transzformációi A változó transzformációi Számsorozatok Sorozatok megadása, jelölések Számtani sorozatok Az n-edik elem Az els n elem összege Mértani sorozatok Az n-edik elem Az els n elem összege Kamat, járadék, törlesztés A Fibonacci-sorozat Az n-edik elem Az els n elem összege n 3 sorozatok els n elemének összege Az { 2 } n és az { } Sorozatok jellemzése Korlátosság, monotonitás Konvergens sorozatok Sorozatok határértéke Mveletek konvergens sorozatokkal Rendr-elv n 1 Az 1+ sorozat n 9

8 A { q n } sorozat Mértani sorok Egyéb sorok Differenciálszámítás Függvény határértéke sin x Az f : R \{ 0} f ( x) = függvény határértéke a 0 helyen x Függvények határértékére vonatkozó tételek Függvény folytonossága Görbe érintje A parabola érintje Differenciahányados, differenciálhányados Az x f ( x) differenciálható függvény görbéjének érintje a ( ; ) P x y pontban Elemi függvények derivált függvényei Az f ( x) = x 2 ; x R függvény deriváltja Az f ( x) = x 3 ; x R függvény deriváltja = ; R \ 0 függvény deriváltja x f x = x x > függvény deriváltja Az f ( x ) x ( ) Az ( ) ; 0 Hatványfüggvény deriváltja Az f ( x) = sin x; x R és az f ( x) = cos x; x R függvények deriváltja Deriválási szabályok Konstansfüggvény deriváltja Konstansszoros függvény deriváltja Összegfüggvény deriváltja Szorzatfüggvény deriváltja Hányadosfüggvény deriváltja Összetett függvények deriváltja x f x = e x R és az exponenciális függvény deriváltja Az ( ) ; Az f ( x) = ln x; x > 0 és a logaritmusfüggvény deriváltja A függvény és a derivált függvény kapcsolata Integrálszámítás Egymásba skatulyázott zárt intervallumok A Cantor-féle axióma Határozott integrál A parabolikus háromszög területe A határozott integrál fogalma, tulajdonságai A határozott integrál tulajdonságai Határozatlan integrál Az integrál, mint a fels határ függvénye Primitív függvény A határozatlan integrál tulajdonságai Parciális integrálás f ( x) Az alakú függvények integrálása f x ( ) 10

9 Az f ( x) f ( x) n alakú függvények integrálása Newton-Leibniz-formula Területszámítás a határozott integrállal GEOMETRIA Elemi síkgeometria Alapfogalmak Térelemek kölcsönös helyzete Pont-pont Pont-egyenes Pont-sík Egyenes-egyenes Egyenes-sík Sík-sík Szögek Szögek fajtái Nevezetes szögek, szögpárok Hajlásszög, térelemek szöge Két egyenes hajlásszöge Egyenes-sík hajlásszöge Két sík hajlásszöge Forgásszög Illeszkedési axiómák Távolság Pont-pont Pont-egyenes Egyenes-egyenes Pont-sík Egyenes-sík Sík-sík Ponthalmazok távolsága Nevezetes ponthalmazok a síkon Kör, körlap, nyílt körlap Szakaszfelez merleges Szögfelez egyenes Parabola Ellipszis Hiperbola Alakzatok Háromszögek Háromszögek csoportosítása Háromszög egyenltlenség A háromszögek bels és küls szögei Összefüggés a háromszög oldalai és szögei között A háromszög nevezetes pontjai és körei Oldalfelez merleges, körülírt kör Szögfelez, beírt kör, hozzáírt kör Súlyvonal, súlypont Magasságvonal, magasságpont Középvonalak

10 Euler-egyenes Feuerbach-kör Pitagorasz tétele Szögfelez tétel Kerület Terület Terület kifejezése egy oldal és a hozzá tartozó magasság segítségével Trigonometrikus területképlet Terület kifejezése a beírt és hozzáírt kör sugara segítségével Terület kifejezése a körülírt kör sugara segítségével Héron képlete Négyszögek A négyszögek csoportosítása A négyszögek bels és küls szögei Négyszögek középvonalai Általános négyszög területe Húrnégyszögek Húrnégyszögek tétele Ptolemaiosz-tétele Kerület Terület Érintnégyszögek Érintnégyszögek tétele Kerület Terület Trapézok Szimmetrikus trapéz Kerület Terület Paralelogrammák Kerület Terület Deltoidok Kerület Terület Rombuszok Kerület Terület Téglalapok Kerület Terület Négyzetek Kerület Terület Kör Két kör kölcsönös helyzete Thalész tétele Kerületi és középponti szögek tétele Látószög, látókörív Apolloniosz tétele

11 Húrdarabok szorzatára vonatkozó tétel Kerület, terület Körcikk Kerület Terület Körszelet Kerület Terület Ellipszis Kerület Terület Sokszögek Konvex sokszögekre vonatkozó összefüggések Kerület Terület Szabályos n-szög Bels szögek Kerület Terület Geometriai transzformációk a síkon Alapfogalmak Egybevágósági transzformációk Egybevágóság Háromszögek egybevágóságának alapesetei Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Pont körüli forgatás Eltolás Szimmetria Tengelyes szimmetria Középpontos szimmetria Forgásszimmetria Hasonlósági transzformációk Hasonlóság Háromszögek hasonlóságának alapesetei Párhuzamos szelk tétele Befogótétel, magasságtétel Befogótétel Magasságtétel Körérint és szel közötti összefüggés Merleges vetítés a síkon Elemi térgeometria Alapfogalmak Nevezetes ponthalmazok a térben Gömb, gömbtest, nyílt gömbtest Szakaszfelez sík Három ponttól egyenl távolságra lév pontok halmaza Testek A testek csoportosítása Euler-féle poliédertétel

12 Téglatest Felszín Térfogat Hasáb Felszín Térfogat Paralelepipedon Felszín Térfogat Forgáshenger (körhenger) Felszín Térfogat Gúla Felszín Térfogat Csonkagúla Felszín Térfogat Forgáskúp (körkúp) Felszín Térfogat Csonka forgáskúp (csonka körkúp) Felszín Térfogat Gömb Felszín Térfogat Gömbsüveg, gömbszelet Felszín Térfogat Gömbcikk Felszín Térfogat Gömböv, gömbréteg Felszín Térfogat Ellipszoid Térfogat Forgástestek térfogata Szabályos testek Tetraéder Felszín Térfogat Hexaéder (kocka) Felszín Térfogat Oktaéder Felszín Térfogat Dodekaéder

13 Felszín Térfogat Ikozaéder Felszín Térfogat Geometriai transzformációk a térben Egybevágósági transzformációk Középpontos tükrözés Síkra való tükrözés Egyenesre való tükrözés Egyenes körüli forgatás Eltolás Merleges vetítés a térben Vektorok Jelölések, fogalmak Vektormveletek Vektorok összeadása Vektorok különbsége Vektor szorzása skalárral Két vektor skaláris szorzata Vektor felbontása összetevkre Trigonometria Szögfüggvények fogalma, nevezetes azonosságai Szögfüggvények derékszög háromszögben Tetszleges forgásszög szögfüggvényei Összefüggések egy szög különböz szögfüggvényei között Összefüggések két szög szögfüggvényei között Addíciós tételek Két szögfüggvény összegének szorzattá alakítása Többszörös szögek szögfüggvénye Félszögek szögfüggvénye Háromszögekre vonatkozó trigonometrikus tételek Szinusztétel, általános szinusztétel Általános szinusztétel Koszinusztétel Tangenstétel Koordinátageometria Koordinátarendszerek A számegyenes A Descartes-féle derékszög koordinátarendszer Térbeli koordinátarendszerek Vektorkoordináták Helyvektor, szabadvektor, bázisvektor Vektor hossza Vektor 90 -os elforgatottjának koordinátái Vektorok összegének koordinátái Vektorok különbségének koordinátái Vektorok skalárszorosának koordinátái Koordinátáival adott vektorok skaláris szorzatának kiszámítása Pontok, szakaszok, egyenesek

14 Két pont távolsága Osztópont koordinátái Háromszög súlypontja Egyenes irányvektora, normálvektora, irányszöge és iránytangense Egyenes egyenlete Adott ponton átmen adott normálvektorú egyenes egyenlete Adott ponton átmen adott irányvektorú egyenes egyenlete Adott ponton átmen, adott iránytangens egyenes egyenlete Két adott ponton átmen egyenes egyenlete Egyenesek párhuzamosságának és merlegességének feltételei Egyenesek metszéspontja Pont és egyenes távolsága Egyenesek hajlásszöge Egyenesek távolsága Kör egyenlete A kör egyenlete és a másodfokú kétismeretlenes egyenlet Kör és egyenes közös pontjai Körhöz adott pontjában húzott érint egyenlete Két kör metszéspontjai Körhöz küls pontból húzott érint egyenlete Parabola egyenlete A parabola egyenlete és a másodfokú függvény Ellipszis egyenlete Hiperbola egyenlete Hiperbola aszimptotája A hiperbola és a fordított arányosság függvénye Kúpszeletek Tartományok STATISZTIKA, VALÓSZÍNSÉG Statisztika Alapfogalmak Mintavétel Adatok ábrázolása Grafikonok típusai Oszlopdiagram Hisztogram Sávdiagram Vonaldiagram Kördiagram Statiszikai jellemzk Helyzetmértékek Módusz Medián Átlag Szóródási mértékek Terjedelem Átlagos abszolút eltérés egy a számtól Átlagos négyzetes eltérés egy a számtól Empirikus szórás Grafikus manipulációk

15 Osztályba sorolás Valószínségszámítás Események, mveletek eseményekkel Események Mveletek eseményekkel, eseményalgebra Események szorzata Esemény összege Események különbsége Esemény ellentettje Gyakoriság, relatív gyakoriság Valószínség A valószínség klasszikus modellje Geometriai valószínség Feltételes valószínség Valószínségi változó és eloszlás Valószínségi változó Valószínségi eloszlás Várható érték, szórás Nevezetes diszkrét valószínség-eloszlások Egyenletes eloszlás Binomiális eloszlás, visszatevéses mintatétel Hipergeometriai eloszlás, visszatevés nélküli mintatétel Geometriai eloszlás A nagy számok (Bernoulli-féle gyenge) törvénye

16 FONTOSABB MATEMATIKAI JELEK, JELÖLÉSEK Szim- Jelentése, neve Olvasása Példa bólum N Természetes számok halmaza + N Pozitív egész számok halmaza Z Egész számok halmaza Q Racionális számok halmaza * Q Irracionális számok halmaza R Valós számok halmaza C Komplex számok halmaza Üres halmaz ;{ } { ; ; ; } Halmaz elemeinek felsorolása { 1;2;3;4 } + Pozitív szám eljele Összeadás plusz plusz, meg Negatív szám eljele Szám ellentettjének a jele Kivonás mínusz mínusz mínusz, -ból 7 (2) 25 6 ± Összeadás vagy kivonás plusz-mínusz a ± b Abszolútérték abszolútérték x Halmaz elemeinek a száma halmaz számossága Vektor hossza H 3, 24 [ ] Egészrész szám egészrésze [ ] { } Törtrész szám törtrésze { 3, 24 } sgn Eljel szignum sgn x ( ; ) Legnagyobb közös osztó és legnagyobb ( 5;10) = 5 közös osztója ; pont ( a; b ) Pont koordinátája ; Legkisebb közös többszörös [ ] és legkisebb közös többszöröse [ 4;7 ] Zárt intervallum [ 2; + 4] ; Nyílt intervallum ] 5; + 12[ ] [ [ ; [ Balról zárt, jobbról nyílt [ 6;9 [ intervallum ] ; ] Balról nyílt, jobbról zárt intervallum ] 2;68 ], Tizedesvessz 7,89 Felsorolás folytatása és így tovább 0, 1, 2, 3, % Százalék százalék 14 % Ezrelék ezrelék 234 Univerzális kvantor minden n Egzisztenciális kvantor van olyan n Végtelen végtelen Elemének lenni eleme -nak a H Részhalmazkapcsolat részhalmaza A H Valódi részhalmazkapcsolat valódi részhalmaza A B Egyesítés unió A B 18

17 Közös rész metszet A B \ Különbség mínusz A \ B Direkt (Descartes-féle) szorzat Vektoriális szorzat kereszt kereszt A B a b,, Halmaz komplementere komplementere A Szorzás -szor 3 4; 3 4; 3 4 :,, / Osztás per, -ban 4 : 3; 4 3; 4 / 3 Oszthatóság osztója a b k a k-adik hatvány a -dikon 3 2 n n-edik gyökvonás n-edik gyök n a log Tízes alapú logaritmus log100 = 2 lg n nalapú logaritmus lg n n 1 ln Természetes (e alapú) logaritmus e ln a = 1 = Egyenlség egyenl a = b Egyenlség tagadása nem egyenl a b := Definiáló egyenlség legyen egyenl a : = b < Kisebb kisebb mint 3 < 4 Kisebb vagy egyenl legfeljebb x 8 > Nagyobb nagyobb mint 4 > 3 Nagyobb vagy egyenl legalább x 4 Közelítleg egyenl körülbelül, kerekítve x 4,33 f : x Hozzárendelés f: xhez hozzárendelünk f : x 2( x 3) f ( x ) Függvényérték f-x egyenl ( ) ( ) 2 f x = 2 x Szög ARD Egybevágóság egybevágó ABC DEF Hasonlóság hasonló ABC DEF Párhuzamosság párhuzamos e f Merlegesség merleges e g Negáció (tagadás) nem P Konjukció és P Q Diszjunkció vagy P Q Antivalencia, kizáró vagy vagy vagy P Q Implikáció Ha akkor -bl P Q következik Ekvivalencia ekvivalens, akkor és csak P Q akkor K Kerület T Terület A Felszín V Térfogat AB Szakasz, távolság AB szakasz AB AB ; a Irányított szakasz, vektor AB vektor, a vektor AB; a 0 Nullvektor abcd Szám Háromszög ABC 19

18 ,, Szögmértékek fok, perc, másodperc 34 34' 23"! Faktoriális faktoriális 4! = n Binomiális együttható n alatt a k k x Átlag x felülvonás σ Szórás szigma p Valószínség P ( A ) Az A esemény valószínsége Összegzés szumma n a Szorzás produktum lim Határérték limesz lim a n i= 1 n i= 1 x Integrál integrál f ( ) i a i x dx 20

19 A GÖRÖG ÁBÉCÉ BETI Alfa Béta Gamma Delta Epszilon Zéta Éta Théta! " # Ióta Kappa Lambda M N Kszi Omikron Pí $ % & ' ( ) * +, -. / Ró Szigma Tau Üpszilon Fi Khi Pszi Omega EL4TAGOK (PREFIXUMOK) Eltag Jele Neve Értéke yotta- Y Kvadrillió = 10 zetta- Z Ezertrillió = 10 exa- E Trillió = 10 peta- P Ezerbillió = 10 tera- T Billió = 10 giga- G Milliárd = 10 mega- M Millió = 10 kilo- k Ezer = 10 hekto- h Száz = 10 deka- d Tíz 1 10 = 10 Egy 0 1 = 10 deci- d Tized 1 0,1 = 10 centi- c Század 2 0,01 = 10 milli- m Ezred 3 0,001 = 10 mikro- Milliomod 6 0, = 10 nano- n Ezermilliomod 9 0, = 10 pico- p Billiomod 12 0, = 10 femto- f Ezerbilliomod 15 0, = 10 atto- a Trilliomod 18 0, = 10 zepto- z Ezertrilliomod 21 0, = 10 yocto- yo Kvadrilliomod 24 0, = 10 21

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév IV. Háromszögek, négyszögek, sokszögek Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzete Néhány alapvető geometriai fogalom A háromszögekről.

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.C ÉS 13.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.C ÉS 13.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség kezdete: 2013.09. 01. Oldal/összes: 1/6 Fájlnév:ME-III.1.1. Tanmenetborító SZK-DC- 2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból

Javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból 9.osztály Halmazok: - ismerje és használja a halmazok megadásának különböző módjait, a halmaz elemének fogalmát - halmazműveletek : ismerje és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő

Részletesebben

MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 11. OSZTÁLY

MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 11. OSZTÁLY MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 11. OSZTÁLY Heti 3 óra Évi 111 óra Készítette: Ellenőrizte: Literáti Márta matematika tanár.. igazgató Másodfokú egyenletek. Ismétlés 1. óra: Másodfokú egyenletek,

Részletesebben

Matematika házivizsga 11. évfolyamon részletes követelmények

Matematika házivizsga 11. évfolyamon részletes követelmények Matematika házivizsga on részletes követelmények A vizsga időpontja: 016. április 11. típusa: írásbeli időtartama:180 perc (45 perc + 135 perc) Tankönyv: Sokszínű matematika 11. és a hozzá tartozó feladatgyűjtemény

Részletesebben

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.

Részletesebben

Halmazok és függvények

Halmazok és függvények Halmazok és függvények Óraszám: 2+2 Kreditszám: 6 Meghirdető tanszék: Analízis Debrecen, 2005. A tárgy neve: Halmazok és függvények (előadás) A tárgy oktatója: Dr. Gilányi Attila Óraszám/hét: 2 Kreditszám:

Részletesebben

NT-17112 Az érthető matematika 9. Tanmenetjavaslat

NT-17112 Az érthető matematika 9. Tanmenetjavaslat NT-17112 Az érthető matematika 9. Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Juhász István

Részletesebben

NT-17102/1 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102/1 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102/1 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat A Dr. Fried Katalin Dr. Gerőcs László Számadó László Matematika 9. tankönyvben (Heuréka-sorozat) a középszintű érettségihez találjuk meg a tananyagot,

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9.Ny osztály Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Algebra és számelmélet Alapműveletek az egész és törtszámok körében Műveleti sorrend,

Részletesebben

1. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok

1. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok 1. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok 1.1. Halmazok Ismerje és használja a halmazok megadásának különböző módjait, a halmaz elemének fogalmát. Definiálja és alkalmazza gyakorlati

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA

A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK

FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK A FÜGGVÉNYFOGALOM ELŐKÉSZÍTÉSE 1-6. OSZTÁLY Adott szabály követése Szabályfelismerés és szabálykövetés Szabályfelismerés és szabály megadása szöveggel, képlettel EGYENES ÉS FORDÍTOTT

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGIVIZSGA-KÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGIVIZSGA-KÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGIVIZSGA-KÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Tanmenetjavaslat az NT-00880 raktári számú Matematika 8. tankönyvhöz

Tanmenetjavaslat az NT-00880 raktári számú Matematika 8. tankönyvhöz Tanmenetjavaslat az NT-00880 raktári számú Matematika 8. tankönyvhöz Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet, Budapest A tanmenetjavaslat 111 órára lebontva dolgozza fel a tananyagot. Amennyiben ennél több

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 15 XV DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS 1 DERIVÁLT, deriválás Az f függvény deriváltján az (1) határértéket értjük (feltéve, hogy az létezik és véges) Az függvény deriváltjának jelölései:,,,,,

Részletesebben

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás 12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat

Részletesebben

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka

Részletesebben

Ha a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk.

Ha a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk. Síkidomok Ha a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk. A határoló vonalak által bezárt síkrész a síkidom területe. A síkidomok határoló vonalak szerint lehetnek szabályos

Részletesebben

Trigonometria és koordináta geometria

Trigonometria és koordináta geometria Tantárgy neve Trigonometria és koordináta geometria Tantárgy kódja MTB1001 Meghirdetés féléve I. Kreditpont 4k Összóraszám (elm+gyak) 30+30 Számonkérés módja Gyakorlati jegy (2 zárthelyi dolgozat) Előfeltétel

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria 005-05 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

A döntő feladatai. valós számok!

A döntő feladatai. valós számok! OKTV 006/007. A döntő feladatai. Legyenek az x ( a + d ) x + ad bc 0 egyenlet gyökei az x és x valós számok! Bizonyítsa be, hogy ekkor az y ( a + d + abc + bcd ) y + ( ad bc) 0 egyenlet gyökei az y x és

Részletesebben

Általános érettségi tantárgyi vizsgakatalógus. Matematika

Általános érettségi tantárgyi vizsgakatalógus. Matematika Általános érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika SPLOŠNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 2009. évi tavaszi vizsgaidőszaktól érvényes az új megjelenéséig. A katalógus érvényességéről az adott

Részletesebben

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I. DEFINÍCIÓ: (Helyvektor) A derékszögű koordináta - rendszerben a pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor. TÉTEL: Ha i az (1; 0) és j a (0; 1) pont helyvektora, akkor

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria IV.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria IV. Geometria IV. 1. Szerkessz egy adott körhöz egy adott külső ponton átmenő érintőket! Jelöljük az adott kört k val, a kör középpontját O val, az adott külső pontot pedig P vel. A szerkesztéshez azt használjuk

Részletesebben

HELYI TANTERV / MATEMATIKA 9-13. ÉVFOLYAM / ANGOL NYELVI ELŐKÉSZÍTŐ

HELYI TANTERV / MATEMATIKA 9-13. ÉVFOLYAM / ANGOL NYELVI ELŐKÉSZÍTŐ MATEMATIKA Iskolánkban a 2004 szeptemberétől indítandó nyelvi előkészítő évfolyamokon a képességfejlesztésre szánt időkeretből évi 74 (azaz heti 2) órát matematikaoktatásra szánunk. Kedvező lehetőségnek

Részletesebben

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség Vektoralgebra Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség Feladatok: 1) A koordinátarendszerben úgy helyezzük el az egységkockát, hogy az origó az egyik csúcsba essék,

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. október 3. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. október 3. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem / 40 Fogalmak A függvények értelmezése Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Elektronikus tananyag MATEMATIKA 10. osztály II. félév

Elektronikus tananyag MATEMATIKA 10. osztály II. félév Elektronikus tananyag MATEMATIKA 0. osztály II. félév A hasonlósági transzformáció és alkalmazásai. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok A párhuzamos szelők tétele TÉTEL: Ha egy szög szárait párhuzamos

Részletesebben

A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából

A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei a 9. szakközépiskolai osztályban fizikából 2 Minimum követelmények 2 A továbbhaladás feltételei a 10. szakközépiskolai osztályban

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 24. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 24. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1/8 A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetu vel jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk

Részletesebben

A MEDGYESSY FERENC GIMNÁZIUM ÉS MŰVÉSZETI SZAKKÖZÉPISKOLA. Matematika I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY II.

A MEDGYESSY FERENC GIMNÁZIUM ÉS MŰVÉSZETI SZAKKÖZÉPISKOLA. Matematika I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY II. A MEDGYESSY FERENC GIMNÁZIUM ÉS MŰVÉSZETI SZAKKÖZÉPISKOLA Matematika I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY II. A VIZSGA LEÍRÁSA OM azonosító: 031202 MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGIVIZSGA-KÖVETELMÉNY

Részletesebben

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra) MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,

Részletesebben

3. KÖRGEOMETRIA. 3.1. Körrel kapcsolatos alapismeretek

3. KÖRGEOMETRIA. 3.1. Körrel kapcsolatos alapismeretek 3. KÖRGEOMETRIA Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 89 109. és 121. oldal. Pelle Béla: Geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 86 97. és 117 121. oldal. Kovács Zoltán: Geometria,

Részletesebben

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február Helyi tanterv Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február 1 A TANTERV SZERKEZETE Bevezető Célok és feladatok Fejlesztési célok és kompetenciák Helyes

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. 1. Gyakorlat

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. 1. Gyakorlat GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. 1. Gyakorlat Bemutatkozás Chmelik Gábor óraadó BGF-KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály chmelik.gabor@kkk.bgf.hu http://www.cs.elte.hu/ chmelik Fogadóóra: e-mailben egyeztetett

Részletesebben

Térgeometria feladatok. 2. Egy négyzetes oszlop magassága háromszor akkora, mint az alapéle, felszíne 504 cm 2. Mekkora a testátlója és a térfogata?

Térgeometria feladatok. 2. Egy négyzetes oszlop magassága háromszor akkora, mint az alapéle, felszíne 504 cm 2. Mekkora a testátlója és a térfogata? Térgeometria feladatok Téglatest 1. Egy téglatest éleinek aránya 2 : 3 : 5, felszíne 992 cm 2. Mekkora a testátlója és a 2. Egy négyzetes oszlop magassága háromszor akkora, mint az alapéle, felszíne 504

Részletesebben

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről

Részletesebben

A skatulya-elv alkalmazásai

A skatulya-elv alkalmazásai 1 A skatulya-elv alkalmazásai Számelmélet 1. Az első 4n darab pozitív egész számot beosztjuk n számú halmazba. Igazoljuk, hogy mindig lesz három olyan szám, amelyek ugyanabban a halmazban vannak és valamely

Részletesebben

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra A Kiadó javaslata alapján összeállította: Látta:...... Harmath Lajos munkaközösség vezető tanár Jóváhagyta:... igazgató

Részletesebben

Analízis előadások. Vajda István. 2013. február 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem

Analízis előadások. Vajda István. 2013. február 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem Analízis előadások Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 013. február 10. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február 10. 1 / 3 Az elemi függvények csoportosítása

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 10 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő. x 3x 2 <

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő. x 3x 2 < Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 011/01 Matematika I. kategória (SZKKÖZÉPISKOL) Döntő 1. Határozza meg az összes olyan egész számot, amely eleget tesz az egyenlőtlenségnek! log

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria II. Geometria II. Síkidomok, testek: A sík feldarabolásával síkidomokat, a tér feldarabolásával testeket kapunk. Törött vonal: A csatlakozó szakaszok törött vonalat alkotnak. DEFNÍCIÓ: (Sokszögvonal) A záródó

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten RACIONÁLIS TÖRTFÜGGVÉNYEK INTEGRÁLJA Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék III 1. Aritmetika 1 1.1. Elemi számolási szabályok............................... 1 1.1.1. Számok..................................... 1 1.1.1.1. Természetes, egész és racionális számok.............. 1

Részletesebben

MATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények

MATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények MATEMATIKA 9 10. évfolyam 1066 MATEMATIKA 9 10. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata, hogy megalapozza a tanulók korszerű, alkalmazásra képes matematikai műveltségét,

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

Témakörök az osztályozó vizsgához. Matematika

Témakörök az osztályozó vizsgához. Matematika Témakörök az osztályozó vizsgához Idegenforgalmi és Informatikus osztályok (9.A/9.B) 1. A halmazok, számhalmazok, ponthalmazok 2. Függvények 3. A számelmélet elemei. Hatványozás. 0 és negatív kitevőjű

Részletesebben

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam Készült az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet alapján. Érvényesség kezdete: 2013.09.01. Utoljára indítható:.. Dunaújváros,

Részletesebben

Meghirdetés féléve 1 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2

Meghirdetés féléve 1 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Tantárgy neve Algebrai alapismeretek Tantárgy kódja MTB1003 Meghirdetés féléve 1 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja Gyakorlati jegy Előfeltétel (tantárgyi kód) Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

MATEMATIKA. Általános érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Splošna matura

MATEMATIKA. Általános érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Splošna matura Ljubljana 2015 MATEMATIKA Általános érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Splošna matura A tantárgyi vizsgakatalógus a 2017. évi tavaszi vizsgaidőszaktól érvényes az új megjelenéséig. A katalógus érvényességéről

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Sz ekelyhidi L aszl o Val osz ın us egsz am ıt as es matematikai statisztika *************** Budapest, 1998

Sz ekelyhidi L aszl o Val osz ın us egsz am ıt as es matematikai statisztika *************** Budapest, 1998 Székelyhidi László Valószínűségszámítás és matematikai statisztika *************** Budapest, 1998 Előszó Ez a jegyzet a valószínűségszámításnak és a matematikai statisztikának azokat a fejezeteit tárgyalja,

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. I. évfolyam TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Gazdasági matematika I. 2011/2012 I. félév Tantárgy megnevezése Tantárgyi útmutató Gazdasági Matematika I. (Analízis) Tantárgy kódja: Tantárgy jellege/típusa: Módszertani

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT 9-12. évfolyam

MATEMATIKA EMELT 9-12. évfolyam MATEMATIKA EMELT 9-12. évfolyam Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.

Részletesebben

Azonosító jel: Matematika emelt szint

Azonosító jel: Matematika emelt szint I. 1. Hatjegyű pozitív egész számokat képezünk úgy, hogy a képzett számban szereplő számjegy annyiszor fordul elő, amekkora a számjegy. Hány ilyen hatjegyű szám képezhető? 11 pont írásbeli vizsga 1012

Részletesebben

Matematika 11-12. (12-13.)- emelt szintű (F)

Matematika 11-12. (12-13.)- emelt szintű (F) Matematika 11-12. (12-13.)- emelt szintű (F) Ez a tanterv az Országos Közoktatási Intézet tantervi adatbankjában az OKI96PÁLMAT1-12 változat alatt szereplő minősített tanterv 9-12. osztályokra lebontott

Részletesebben

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam BEVEZETŐ Ez a helyi tanterv a kerettanterv Emelet matematika A változata alapján készült. Az emelt oktatás során olyan tanulóknak kívánunk magasabb szintű ismerteket nyújtani, akik matematikából átlag

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni

Részletesebben

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve Matematika Készítette: a gimnázium reál szakmai munkaközössége 2015. Tartalom Emelt szintű matematika képzés... 3 Matematika alapóraszámú képzés... 47 Matematika

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2011/2012-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2011/2012-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 011/01-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az ábrán látható ABC derékszögű háromszög

Részletesebben

Tanmenetjavaslat 5. osztály

Tanmenetjavaslat 5. osztály Tanmenetjavaslat 5. osztály 1. A természetes számok A tanmenetjavaslatokban dőlt betűvel szedtük a tananyag legjellemzőbb részét (amelyet a naplóba írunk). Kisebb betűvel jelezzük a folyamatos ismétléssel

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) Térgeometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) Térgeometria III. Térgeometria III. 1. Szabályos háromoldalú gúla alapéle 1 cm, oldaléle 1 cm. Milyen magas a gúla? Tekintsük a következő ábrát: Az alaplap szabályos ABC, így a D csúcs merőleges vetülete a háromszög S súlypontja.

Részletesebben

2004. december 1. Irodalom

2004. december 1. Irodalom LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK I. 2004. december 1. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 2005. november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 2005. november. I. rész Szászné Simon Judit, 005. november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 005. november. feladat I. rész Oldjuk meg a valós számok halmazán a x 5x

Részletesebben

MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 9. OSZTÁLY

MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 9. OSZTÁLY MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 9. OSZTÁLY Heti 4 óra Évi 148 óra Készítette: Ellenőrizte: Literáti Márta matematika tanár.. igazgató 1 / 5 I. Az általános iskolai ismeretek ismétlése 1. óra: Műveletek

Részletesebben

Év végi összefoglalás

Év végi összefoglalás . évfolyam I. témakör: Hatvány, gyök, aritmus Tört kitevőjű hatványok eponenciális függvények eponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek aritmus fogalma aritmus függvények aritmus azonosságai

Részletesebben

Kombinatorika. 9. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Kombinatorika p. 1/

Kombinatorika. 9. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Kombinatorika p. 1/ Kombinatorika 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kombinatorika p. 1/ Permutáció Definíció. Adott n különböző elem. Az elemek egy meghatározott sorrendjét az adott

Részletesebben

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Rel aci ok Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Rel aci ok Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev Algebra és számelmélet 3 előadás Relációk Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Relációk reláció lat. 1. kapcsolat, viszony; összefüggés vmivel 2. viszonylat, vonatkozás reláció lat. 3. mat halmazok elemei

Részletesebben

Számelmélet I. 1. A tantárgy általános célja és specifikus célkitűzései

Számelmélet I. 1. A tantárgy általános célja és specifikus célkitűzései Számelmélet I. Tantárgy neve Számelmélet I. Tantárgy kódja MTB 1011 Meghirdetés féléve 3. félév Kreditpont 3 Összóraszám (elm+gyak) 2+0 Számonkérés módja Kollokvium Előfeltétel (tantárgyi kód) MTB 1003

Részletesebben

7. előadás. Vektorok alkalmazásai

7. előadás. Vektorok alkalmazásai 7. előadás Vektorok alkalmazásai Terület Tétel: Ha egy tetraéder lapjaira merőlegesen olyan kifelé mutató vektorokat állítunk, melyek hossza arányos az adott lap területével, akkor az így kapott 4 vektor

Részletesebben

Kidolgozott. Dudás Katalin Mária

Kidolgozott. Dudás Katalin Mária Dudás Katalin Mária Kidolgozott matematikatételek mérnökök számára Ez a könyv műfaját tekintve az összefoglaló kézikönyv és az egyetemi jegyzet közé helyezhető. Tömören összegyűjti a mérnöki tanulmányok

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 3 gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012 február 27 Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat) Tartalom Egyenletrendszerek Cramer-szabály 1 Egyenletrendszerek

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Térgeometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Térgeometria V. Térgeometria V. 1. Egy 4, 6 dm átmérőjű, 5 dm magasságú, 7, dm sűrűségű hengerből a lehető legnagyobb szabályos nyolcoldalú oszlopot kell készíteni. Mekkora lesz a tömege? Az oszlop magassága a henger

Részletesebben

A parabola és az egyenes, a parabola és kör kölcsönös helyzete

A parabola és az egyenes, a parabola és kör kölcsönös helyzete 66 A paraola 00 egyen a keresett kör középpontja Az pont koordinátái: ( y) Ekkor felírhatjuk a következô egyenletet: ( - ) + ( y- ) = mert a kör sugara > 0 Innen rendezéssel: ( y- ) = 6 - A mértani hely

Részletesebben

Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz

Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz MATEMATIKA 6. Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz Témák 1. Játékos feladatok Egyszerű, matematikailag is értelmezhető hétköznapi szituációk megfogalmazása szóban és írásban.

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik

Részletesebben

Matematika POKLICNA MATURA

Matematika POKLICNA MATURA Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11.E OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11.E OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 5 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz I. évfolyam BA TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz TÁVOKTATÁS 2014/2015-ös tanév I. félév A KURZUS ALAPADATAI Tárgy megnevezése: Gazdasági matematika I. (Analízis) Tanszék: Módszertani

Részletesebben

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematika Intézet

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematika Intézet Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematika Intézet Példatár a Bevezető matematika tárgyhoz Amit tudni kell a BSC képzés előtt Összeállította: Kádasné dr. V. Nagy Éva egyetemi docens Szerkesztette:

Részletesebben

Téma Óraszám Tanári bemutató Tanulói tevékenység Módszertan Óratípus Eszközök

Téma Óraszám Tanári bemutató Tanulói tevékenység Módszertan Óratípus Eszközök Tartalom Általános megjegyzések a programok használatához és a munkakörnyezethez... 1 9. évfolyam... 3 10. évfolyam... 6 11. évfolyam... 8 Emelt szinten... 9 12. évfolyam... 9 Emelt szinten... 10 Általános

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT ) dottak a 0; ; ; ; ; ; 5; 7; 7; 8 számjegyek. Hány darab tízjegyű, 5-tel osztható szám készíthető az adott számjegyekből

Részletesebben