Id sorok és többdimenziós statisztika gyakorlat Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2018/2019 szi félév

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Id sorok és többdimenziós statisztika gyakorlat Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2018/2019 szi félév"

Átírás

1 Id sorok és többdimenziós statisztika gyakorlat Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 018/019 szi félév Játékszabályok A gyakorlatokról maximum -szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet x pontot lehet szerezni a félév során: 0 pont: B jel beadandó feladatok ( pont 10) 0 pont: számítógépes/szimulációs beadandó feladatok (15 pont ) 40 pont: ZH: XII.10., É -1.6 x pont: SZ jel szorgalmi feladatok A ZH-n minimálisan teljesíteni kell 0 %-ot. Ha a ZH sikertelen, nem írod meg, vagy javítani szeretnél, akkor vizsgaid szak els hetén lesz lehet ség a pótzh megírására vagy a javításra. A jobbik eredményt veszem gyelembe, azaz nem lehet rontani. Két sikertelen vagy meg nem írt ZH esetén gyakuvt kell írnod, a beadandókért kapott pontok megmaradnak. GyakUV írása esetén legfeljebb -est lehet szerezni, bármennyi is az összpontszám. A ZH-kon használható: számológép és egy legfeljebb A4-es méret lapra KÉZZEL írott "puska". B jel beadandók: Mindegyik maximálisan pontot ér, a legjobb 10-et veszem gyelembe. Több feladatot is kihirdetek, amik közül ízlés szerint válogathattok. A beadandók célja, hogy folyamatosan tanuljatok, gyakoroljatok, ezért x határid ig lehet ket benyújtani. Számítógépes/szimulációs beadandók: kett t hirdetek ki x határid vel, mindegyikkel maximálisan 15 pontot lehet szerezni. A beadandóknál nem tilos, s t, bizonyos fokig még kívánatos is a közös munka/konzultáció hallgatótársaiddal az viszont elvárás, hogy a gondolataidat önállóan írd le! Amennyiben nyilvánvaló másolás gyanúja merül fel, az érintettek 0 pontban részesülnek. elégtelen (1) 0 4,99 elégséges () 5 49,99 Osztályozás: közepes () 50 64,99 jó (4) 65 79,99 jeles (5) 80 Infók a gyakvezet r l Név Varga László, óraadó Munkahely Morgan Stanley, Risk Management Tanszék Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék (ELTE TTK) vargal4@cs.elte.hu Honlap vargal4.elte.hu 1.) Számítsd ki az b a g(x) dh(x) Riemann-Stieltjes integrált, amennyiben a b g(x) h(x) a.) 0 10 x I(x = 4) + I(x 7) I(x ) 4 ha x 0 0 ha x 1 b.) 4x ha 0 < x < 1 ha 1 < x < 1 1 ha x 1 0 ha x 1 x ha x < c.) 0 x x ha x d.) e π [x] egészrész fv. x} törtrész fv. e.) 1 x x} a ha x 0 x.) Legyen F (x) = ha 0 < x 1 bx + c ha 1 < x 1 ha < x a.) Határozd meg az ismeretlen valós a, b és c valós paraméterek lehetséges értékeit, ha a fenti F (x) függvény az X valószín ségi változó eloszlásfüggvénye! b.) Határozd meg X várható értékét és szórását! c.) Milyen eloszlású X, ha X abszolút folytonos? a.) 1 + a e x ha x 0 Legyen F (x) = b 1 + b e x ha x > 0 a.) Határozd meg az ismeretlen valós a 1, a, b 1 és b paraméterek lehetséges értékeit, ha a fenti F (x) függvény az X valószín ségi változó eloszlásfüggvénye! b.) Határozd meg az ismeretlen paramétereket, ha X abszolút folytonos és EX = 0! 4.) Tekintsük a következ egyszer csapadékmodellt: p annak az esélye, hogy Nagykutyavásárházán szeptember 18-án nem esik csapadék. Amennyiben van csapadék, akkor a csapadék eloszlása (feltételesen) exponenciális eloszlásúnak tekinthet λ paraméterrel. Az el z 0 évben meggyelt csapadékmennyiségek mm-ben: 0, 5, 0, 0,, 0, 0,, 1, 1, 0, 0, 0, 0,, 1, 1, 0, 0, 0. a.) Határozd meg a paraméterek ML-becslését! b.) Becsüljük meg a csapadékmennyiség eloszlásfüggvényét, valamint annak a valószín ségét, hogy legalább 5 mm csapadék lesz idén szeptember 18-án! c.) Becsüljük meg a modellb l a csapadék várható értékét és szórását! 5.) Marcsi reggel 8-ra metróval utazik a suliba otthonról. Tapasztalata szerint átlagosan minden harmadik reggel azonnal be tud szállni egy szerelvénybe várakozás nélkül. Ha várakoznia kell, akkor átlagosan 1 perc alatt fut be az állomásra a következ metró. Modellezzük az X várakozási id t! a.) Becsüld meg annak a valószín ségét, hogy legalább 1,5 percet kell várakoznia! b.) Becsüld meg a várakozási id szórását! 6.) Egy biztosítót megkeres egy magánkórház, mert biztosítást szeretne kötni a 1

2 benne m köd mágneses rezonancia (MR) készülék meghibásodása esetére. Egy ilyen röntgen több száz millió forintba kerül és hiba esetén a javítás várhatóan 15 millió forintot tenne ki. A biztosító és a kórház olyan szerz dést kötnek, amely szerint a biztosító a teljes kárt kizeti, amennyiben az nem haladja meg a 0 millió forintot, azonban 0 millió forintnál magasabb kár esetén csak 0 millió forintot térít meg. A szerz dés csak az els meghibásodásig érvényes, szakért k szerint az els meghibásodás normál használati intenzitás esetén a. és a 4. év között várható. a.) Határozd meg a magánkórháznak kizetend kártérítési összeg eloszlásfüggvényét és várható értékét, amennyiben a kár nagysága exponenciális eloszlást követ! b.) A magánkórház havonta szeretne zetni egy x biztosítási díjat. A biztosító számára várhatóan mi lenne az a biztosítási havidíj, ami felett megérné ilyen szerz désbe belemenni? Az egyszer ség kedvéért tekintsünk el attól, hogy a pénz az id múlásával veszít az értékéb l, azaz tekintsük a kamatlábat 0-nak. B1.) [IX.4] Számítsd ki az 5 g(x) dh(x) Riemann-Stieltjes integrált, amennyiben 5 x ha x < 1 x ha x 1 g(x) = x ha 1 x < és h(x) = x ha 1 < x 4. x ha x x ha x > 4 B.) [IX.4] Egy gyalogosoknak jelz közlekedési lámpa egész nap piros és zöld között váltakozik, percig piros, fél percig pedig zöld. Tegyük fel, hogy véletlen id pontban érkezünk meg a lámpához, jelölje X a várakozási id t. a.) Számítsd ki annak a valószín ségét, hogy legalább 1 percet kell várakozni! b.) Határozd meg X eloszlásfüggvényét, várható értékét és szórását! (1+= p) SZ1.) Legyen F (x) eloszlásfüggvény és a R pozitív szám. Számítsuk ki a következ integrált: [F (x + a) F (x)] dx (1p) 4X ha 0 X 1 SZ.) Legyen f X (x) = xi(0 < x < 1), Y = g(x) = ha 1 < X. 4 X ha 4 < X Határozd meg Y eloszlásfüggvényét és várható értékét! (p) SZ.) Határozd meg a 4. feladatban leírt modell paramétereinek momentum becslését a csapadék elméleti várható értéke és szórása alapján! (p) 7.) A sarki zöldségesben a nektarin kilóját a min ségét l függ en változó áron árulják 400 és 600 forint között. Tegyük fel, hogy az ár egyenletes eloszlást követ. Összesen 1000 forintot szánok nektarinra, jelölje Y azt a valószín ségi változót, hogy hány kiló nektarint tudok vásárolni az 1000 forintomból. Add meg Y s r ségfüggvényét! Várhatóan hány kiló nektarint fogok tudni venni? 8.) Legyenek X, Y E(0; 1) függetlenek. Határozd meg a következ transzformáltak s r ségfüggvényét: a.) X + Y ; b.) X Y ; c.) XY. 9.) Legyenek X 1, X N(0, 1) függetlenek. Milyen ismert eloszlást követ az X 1 +X valószín ségi változó? 10.) Szandi minden nap villamossal és busszal közlekedik, hogy eljusson az egyetemre. Az alábbi ábra tartalmazza a közlekedési id ket: gyalog villamossal gyalog busszal Ott- Villamos- Busz- gyalog Egyehon 5 p megálló 10 p p megálló 8 p 5 p tem Tapasztalatai alapján átlagosan percet vár a villamos megállójában és 4 percet a busz megállójában. Szandi ma reggel kés bb ébredt fel, ezért csak 7:4-kor indult el otthonról, az els órája 8:15-kor kezd dik. Becsüljük különböz, értelmes valószín ségi modellek segítségével annak a valószín ségét, hogy el fog késni! 11.) Box-Müller transzformáció. Legyenek X 1, X E(0, 1) függetlenek. Legyenek Y 1 = log X 1 cos(πx ), Y = log X 1 sin(πx ). Mutassuk meg, hogy Y 1, Y N(0, 1) függetlenek! 1.) Legyenek X χ p, Y χ q függetlenek! Mutassuk meg, hogy U = X + Y és X X+Y V = függetlenek, és határozzuk meg az eloszlásukat! 1.) Mely c valós paraméter esetén lesz kétdimenziós s r ségfüggvény c ha 0 < x < 1 és 0 < y < x f X,Y (x, y) =? Adjuk meg a perems r ségfüggvényeket és a kovarianciamátrixot! P ( X > 1, Y < 1) =? 0 egyébként 14.) ( Legyen ) X és Y független standard normális eloszlású. Határozzuk meg X + Y együttes s r ségfüggvényét és kovarianciamátrixát! X + Y 15.) Legyen X = (X 1, X, X ) T s r ségfüggvénye a következ : ( f X (x 1, x, x ) = a exp 1 ( x 1 1) ( + x+1) ( + (x ) )}, ahol a R. a.) a =? b.) Σ(X) =? c.) f X1,X =? d.) P (X 1 < 0, X < 1) =? B.) [ X.1.] Juliska néni a városi piacon értékesíti almáját. Mind az értékesítési mennyiség, mint az ár véletlennek tekinthet (lehet vele alkudozni). Az egy nap alatt eladott mennyiség (kg) Pareto-eloszlású 5 4 és 10 paraméterekkel, míg az eladott almák ára (Ft/kg) egyenletes eloszlású 180 és 0 paraméterekkel. Tegyük fel, hogy a mennyiség és az ár függetlenek egymástól. Költségei naponta 4000 forintot tesznek ki (benzinköltség). a.) Várhatóan mennyi protra fog szert tenni egy nap alatt? b.) Határozd meg annak a valószín ségét, hogy Juliska néni napi protja meghaladja az 5000 forintot! (1+= p) B4.) [ X.8.] Legyen az (X, Y ) T pont egyenletes eloszlású a ( 1, 0), (0, 0), (0, 1) pontok által meghatározott háromszögben. Mi lesz az (X, Y ) T kétdimenziós eloszlás kovarianciamátrixa? B5.) [ X.8.] Legyen X = (X 1, X, X ) T s r ségfüggvénye a következ :

3 } f X (x 1, x, x ) = a exp x 1 x 8 x + x 1, ahol a R alkalmas szám. a.) a =? b.) P (X 1 < 0, X >, X < 1) =? c.) Σ(X) =? (1+1+1= p) SZ4.) Legyenek X, Y N(0, 1) eloszlású, egymástól független valószín ségi változók. Határozd meg U = X Y s r ségfüggvényét és várható értékét! Milyen nevezetes eloszlást követ U? (p) SZ5.) Legyenek X 1,..., X n Exp(1) függetlenek. Legyen Y i = n Xi i = 1,..., n 1 esetén és Y n = n X i. Számítsuk ki Y = X i i=1 (Y 1,..., Y n ) együttes s r ségfüggvényét. Függetlenek a koordináták? (p) SZ6.) Mely c-re lesz kétdimenziós s r ségfüggvény az alábbi? Adjuk meg a perems r ségfüggvényeket és a kovarianciamátrixot! c maxx, y} ha (x, y) (0, 1) f X,Y (x, y) = (p) 0 különben 16.) Határozd meg X eloszlását az X + Y = l feltétel mellett, valamint számítsd ki az E(X X + Y = l) feltételes várható értéket, amennyiben a.) X Bin(n, p) és Y Bin(m, p) függetlenek; b.) X Poi(λ) és Y Poi(µ) függetlenek; c.) X Geo(p) és Y Geo(p) függetlenek. 17.) Legyen (X, Y ) valószín ségi vektorváltozó egyenletes eloszlású az (x, y) R : x + y 1} egységkörlapon. Számítsuk ki az E(X Y ) feltételes várható értéket és a D (X Y ) feltételes szórásnégyzetet! x 18.) Legyen X és Y együttes s r ségfüggvénye f X,Y (x, y) = e y y y I(x > 0, y > 0). a.) Határozd meg Y peremeloszlását! b.) Milyen eloszlású X az Y = y feltétel mellett? E(X Y ) =? 19.) Legyen c alkalmas valós szám, X és Y együttes s r ségfüggvénye f X,Y (x, y) = (cx + 1) I(x > 0, y > 0, x + y < 1). a.) c =? b.) P (X < Y ) =? c.) E(Y X) =? 0.) Legyen (X, Y ) kétdimenziós normális eloszlású. Határozzuk meg az X Y feltételes eloszlást! 1.) Tegyük fel, hogy a magyar férak magassága és testsúlya kétdimenziós normális eloszlású. A férak átlagmagassága 178 cm, 9 cm szórással; átlagos testsúlyuk pedig 85 kg, 10 kg szórással. A magasság és a testtömeg közötti korreláció 0,7. a.) Feltéve, hogy egy fér 80 kg, mi a valószín sége, hogy magasabb 180 cm-nél? b.) Átlagosan mekkora súlyú egy 190 cm magas fér? c.) Átlagosan milyen magas egy 94,44 kg-os fér?.) Egy egységnyi hosszúságú pálcát el bb találomra ketté törünk, majd a hosszabbik darabot újra találomra ketté törjük. Mi a valószín sége, hogy az így kapott pálcából háromszög rakható össze? B6.) [X.15.] Legyen (X, Y ) valószín ségi vektorváltozó együttes s r ségfüggvénye i=1 e y ha 0 x y f X,Y (x, y) =. 0 különben Számítsd ki az E(Y X) feltételes várható értéket és a D(Y X) feltételes szórást! c ha 0 < x < és + x < y < x SZ7.) Legyen f X,Y (x, y) = 0 különben Határozd meg a c értékét, majd az E(X Y ) feltételes várható értékeket! (1p) SZ8.) Legyenek X i Geo(p), i = 1,..., n függetlenek, továbbá Y = I(X 1 = 1), Z = n X i. Határozd meg az E(Y Z) feltételes várható értéket! (p) i=1 SZ9.) Tegyük fel, hogy egy gyorsúszó alvásideje normális eloszlásúnak tekinthet 8 óra várható értékkel és 1 óra szórással. Tegyük fel továbbá, hogy amennyiben x órát alszik, akkor a 100 méter gyorsúszáson elért ideje ugyancsak normális eloszlású 58 x mp várható értékkel és 1 mp szórással. Számold ki annak a valószín ségét, hogy a gyorsúszó megdönti a 100 méter gyorsúszás 46,91 mp-es világcsúcsát! (p).) Legyen X t véletlen bolyongás drift-tel: X t = δ + X t 1 + ε t (t = 1,,...), ahol δ valós paraméter, P (X 0 = 0) = 1 és ε t W N(0, σ ). a.) Fejezzük ki X t -t a fehér zaj folyamat segítségével! b.) Határozzuk meg X t várható érték, autokovariancia és autokorreláció függvényét! Gyengén stacionárius a folyamat? c.) Szimuláljunk egy ilyen folyamatot normális innovációk, δ = 1, 0, 1, valamint σ = 1, 5, 10 esetén, majd ábrázoljuk X t -t, a trendet és az autokorreláció függvényét! d.) Van-e olyan ϕ(x t, X t 1,...) transzformáció, amivel származtatott folyamat már stacionárius? 4.) Legyen (X t ) t R = U sin(παt) + V cos(παt), ahol α valós paraméter, U és V egymástól független, 0 várható érték és τ szórású val. változók. a.) Határozzuk meg X t várható érték, autokovariancia és autokorreláció függvényét! Gyengén stacionárius a folyamat? b.) Legyen Y t = X t + ε t, ahol ε t fehér zaj. Szimuláljunk egy fehér zajt Dε t = 1,, 4, 8 esetén, készítsük el hozzá Y t -t, ha τ = és α = 1, majd ábrázoljuk X t és Y t id sorokat! Értelmezzük a látottakat! B7.) [ XI.1.] Legyen X t = 1 ε t ε t ε t (t Z), ahol ε t fehér zaj. Határozzuk meg X t várható érték, autokovariancia és autokorreláció függvényét! Gyengén stacionárius a folyamat? SZ10.) Legyen (X t ) t R stacionárius Gauss-folyamat (azaz minden k Z + -ra és t 1,..., t k R-re (X t1,..., X tk ) együttesen normális eloszlású) és Y t = e Xt. a.) Határozd meg az X t folyamat momentumgeneráló függvényét, azaz M Xt (s) = E(e sxt )-t! b.) Mutasd meg, hogy az Y t folyamat gyengén stacionárius! (1+1= p) SZ11.) Legyen X t = sin(πut) (t = 1,,...), ahol U E(0; 1). Mutassuk meg,

4 hogy X t folyamat gyengén stacionárius, de er sen nem stacionárius! (p) Útmutatás az( er s stacionaritás vizsgálatához: számoljuk ki a következ két valószín séget: P X 1 <, X < ) ( és P X <, X < )! 5.) Legyen (X t ) t R Poisson-folyamat λ intenzitással. Mutasd meg a Poissonfolyamat alábbi tulajdonságait: a.) az autokovariancia függvénye Cov(X t, X s ) = λ min(t, s); b.) ha t > s, akkor X s X t Bin ( X t, s t ) ; c.) ha t < s, akkor X s X t X t +Poi(λ(s t)). 6.) Tegyük fel, hogy a t zoltóság telefonközpontjába a hívások Poisson-folyamat szerint érkeznek, óránként átlagosan 4 hívás. a.) Mennyi a valószín sége, hogy az els órában kett nél kevesebb hívás érkezik? b.) Mennyi annak az együttes bekövetkezési valószín sége, hogy 6 és 7 óra között, 6 és 9 óra között 1, valamint 6 és 11 óra között 0 hívás érkezik? c.) Mennyi annak az együttes bekövetkezési valószín sége, hogy 6 és 8 óra között, valamint 7 és 10 óra között 4 hívás érkezik? d.) Átlagosan mennyi id telik el két hívás között? e.) Átlagosan/várhatóan mennyi hívás érkezik be 10 és 1 óra között? Mennyire változékony ez az átlagos érték? f.) Feltéve, hogy az els órában hat hívás érkezett, mennyi a valószín sége, hogy a második órában legalább két hívás jön? g.) Várhatóan mikor érkezik a 15. hívás? h.) Feltéve, hogy a t = 1 id pont el tt nem érkezett be hívás, milyen eséllyel érkezik be az 1. hívás t = után? i.) Feltéve, hogy a. hívás t = id pontban érkezett be, milyen eséllyel érkezik be a 4. hívás t = 4 után? j.) Feltéve, hogy a t = id pontig 10 hívás érkezett be, mi a valószín sége, hogy t = 1-ig 4 hívás érkezett be? k.) Feltéve, hogy a t = id pontig 10 hívás érkezett be, mennyi a t = 1-ig beérkez hívások várható értéke és szórása? l.) Feltéve, hogy a t = id pontig 10 hívás érkezett be, mi a valószín sége, hogy t = 5-ig 15 hívás érkezik be? m.) Feltéve, hogy a t = id pontig 10 hívás érkezett be, mennyi a t = 5-ig beérkez hívások várható értéke és szórása? 7.) Egy banki ügyintéz höz a pénzt felvenni szándékozók λ = 8 f /óra intenzitású Poisson-folyamat szerint érkeznek. A pénzt bezetni szándékozók ett l függetlenül, µ = f /óra intenzitású Poisson-folyamat szerint érkeznek. a.) Mennyi az esélye, hogy fél óra alatt legfeljebb ketten érkeznek a banki ügyintéz höz? b.) Feltéve, hogy 1 óra alatt 8 ügyfél érkezik, mennyi az esélye, hogy ebb l hárman szeretnének pénzt bezetni? c.) Mi a valószín sége, hogy nyitást követ en el bb érkezik 5 ügyfél pénzfelvételi célból, miel tt egy pénzbezet ügyfél betérne? d.) Mi a valószín sége, hogy nyitást követ en el bb érkezik 5 ügyfél pénzfelvételi célból, miel tt pénzbezet ügyfél betérne? 8.) Vivien és Cica éjjel a Hollywood Boulevard egyik utcasarkán álldogálnak "ügyfelekre" várva (á la Pretty Woman cím lm, nyitójelenet). A lányok megállapodtak abban, hogy ezen a napon az 1. "ügyfél" Viviené lesz. Tegyük fel, hogy ilyenkor 5 perc alatt átlagosan 10 autó halad el a lányok mellett, az elhaladó autósok 1 10 eséllyel ajánlanak helyet maguk mellett az autóban egy hölgynek. Mi az esélye, hogy Cicának aznap több, mint 15 percet kell várnia egy "ügyfélre"? B8.) [XI.19.] Egy biztosítóhoz a károkat Poisson-folyamat szerint jelentik be 0,5 kár/hét intenzitással. a.) Mi az esélye, hogy a 6. káresetet héttel az 5. káreset után jelentik be? b.) Mi az esélye, hogy a. káreset a. hét után következik be? c.) Ha az els héten káreset következett be, akkor milyen eséllyel következik be 4 káreset az els 5 héten? (1+1+1= p) B9.) [XI.19.] Egy biztosítóhoz a károkat Poisson-folyamat szerint jelentik be 0,5 kár/hét intenzitással. a.) Mi annak az együttes valószín sége, hogy az els három héten, a 4-7. hetekben pedig összesen kárt jelentettek be? b.) Határozd meg a 1. bejelentett kár id pontjának várható értékét és szórását! c.) Ha az els 5 héten 4 káreset következett be, akkor milyen eséllyel következik be káreset az els héten? (1+1+1= p) B10.) [XI.19.] Egy teaüzletbe óránként átlagosan 10 vev tér be, egy vásárló 1 eséllyel n vagy fér. Tekintsük a vev k számát Poisson-folyamatnak. Tegyük fel, hogy délel tt 8 és 9 között 10 n i vásárló ment be. Ezzel a feltétellel, számold ki a következ események valószín ségét: 8 és 9 között a.) pontosan 10 fér is betért a boltba; b.) legalább 0 vev ment be a boltba. (1+=p) B11.) [XI.19.] Egy tejivóba betér vendégek vagy tejet, vagy teát isznak. A tejet kér k száma Poisson-folyamatot követ vendég/perc intenzitással, míg a teát kér k száma az el z folyamattól független Poisson-folyamat 1 vendég/perc intenzitással. Határozd meg annak a valószín ségét, hogy nyitás után el bb érkezik be a. teát kér vendég, mint a. tejet kér vendég! SZ1.) Legyen X t Poisson-folyamat, τ i az i-edik esemény bekövetkezési id pontja. Mutasd meg, hogy τ 1 X t = 1 E(0; t), azaz ha tudjuk, hogy a t id pontig pontosan 1 esemény következett be, akkor ennek az eseménynek a bekövetkezési id pontja egyenletes eloszlású a (0; t) intervallumon. (1p) SZ1.) Négy bolha oda-vissza ugrál Vili a vizsla és Leó a labrador között. Az ugrások id pontjait független, λ = ugrás/perc intenzitású Poisson-folyamatok adják meg. Kezdetben az összes bolha Vilin tanyázik. Adjuk meg 5 perc múlva a Vilin lév bolhák számának eloszlását! (p) 4

5 SZ14.) Tegyük fel, hogy a t zoltóság telefonközpontjába a hívások Poisson-folyamat szerint érkeznek, óránként átlagosan 4 hívás. Feltéve, hogy az els órában 11 hívás érkezett, várhatóan mikor érkezett ezek közül az utolsó (tehát a 11.)? (p) 9.) A 0 id pontban 000 Ft-om van. Az 1,,... id pontokban 1000 Ft érték fogadásokat kötök. A fogadást p valószín séggel megnyerem, 1 p valószín séggel pedig elveszítem. Célom az, hogy a t kémet 4000 Ft-ra növeljem, amint ez teljesül, befejezem a játékot. A játéknak akkor is vége van, ha t kém 0 Ft-ra esik. Legyen X t a t-edik fogadás után a t kém nagysága. a.) Mutasd meg, hogy X t Markov-lánc, határozd meg az állapotteret és az átmenetvalószín ségi mátrixot! Ábrázold a Markov-lánc gráfját és osztályozd az állapotokat! b.) Mi az esélye, hogy 4000 Ft-tal / 0 Ft-tal fejezem be a játékot, ha p = 0, 6? c.) Várhatóan hány lépésben fejez dik be a játék, ha p = 0, 6? d.) Nézzük meg, konvergál-e az átmenetmátrix n-edik hatványa n esetén! 0.) Modellezzük egy egyetem matematika BSc szakos hallgatóit Markov-lánccal! Az els évesek 10%-a évet ismétel, 10% hagyja ott végleg a matek alapszakot, a többiek a következ évt l másodévesek lesznek. A másodév a legnehezebb, a másodévesek 0%-a ismétel évet és 15%-uk adja fel végleg a szakját. A harmadévesek 10%-a ismétel évet, és 5%-uk dönt az alapszak elhagyása mellett, a többiek elvégzik a szakot. a.) Határozd meg a Markov-lánc állapotterét és az átmenetvalószín ségi mátrixot! Ábrázold a Markov-lánc gráfját és osztályozd az állapotokat! b.) Milyen valószín séggel lesz egy els éves hallgatóból pontosan év múlva harmadéves? c.) Milyen valószín séggel lesz egy els éves hallgatóból pontosan év múlva harmadéves? d.) Milyen valószín séggel hagyja el egy els éves hallgató végzettség nélkül a matematika alapszakot? e.) Mi az esélye annak, hogy egy másodéves hallgató elvégzi a szakot? f.) Várhatóan hány évig lesz egy másodéves hallgató másodéves? g.) Várhatóan hány év alatt fejezi be egy els éves egyetemista a szakját? h.) A visszajelzések szerint a munkaer piac évente 50 matematika alapszakos hallgatót képes felszívni. Ha a hallgatóknak várhatóan a 40%-a tovább szeretne tanulni valamilyen mesterszakra, akkor az egyetemnek hány gólyát érdemes felvennie a szakra? i.) Tegyük fel, hogy "sok" éven keresztül, minden évben 60 hallgatót vesznek fel matematika alapszakra és más egyetemekr l nem jönnek át másod-, illetve harmadévesek erre a szakra. "Sok-sok" év múlva várhatóan hány hallgató fog tanulni az egyes évfolyamokon? Ha egy hallgató képzése egy félévre 00 ezer Ft, akkor a szak összesen mennyi pénzébe kerül 1 félév során az államnak? 1.) Tegyük fel, hogy a kóla iparágban kétféle termék van: Coke és Poke. Ha egy személy legutóbb Coke-ot vett, akkor 90% eséllyel legközelebb is Coke-ot vesz. Amennyiben legutóbb Poke-ot ivott, akkor 80% valószín séggel a következ vásárlás során is Poke-ot fog venni. Tegyük fel, hogy kezdetben a Coke gyártója a piac 60%- át uralja. a.) Ábrázold a Markov-lánc gráfját, írd fel az átmenetvalószín ség mátrixot és osztályozd az állapotokat! b.) Ha egy vásárló Poke-ot iszik, akkor mennyi a valószín sége, hogy a mostantól számított. vásárláskor Coke-ot fog inni? c.) Ha egy vev Coke-ot iszik, akkor mennyi a valószín sége, hogy a mostantól számított. vásárláskor is Coke-ot fog inni? d.) Számítsuk ki a két márka piaci részesedését (a fogyasztók hány %-a fogyasztja az egyiket és a másikat) a. id pont után! e.) Vizsgáljuk meg szimulációval az n lépéses átmenetvalószín ség mátrixot és a két márka piaci részesedését n esetén! f.) Számítsd ki a stacionárius valószín ségeket! g.) Tegyük fel, hogy egy fél literes kóla ára 00 Ft, el állítási költsége pedig 00 Ft. Felmérésekb l kiderítették, hogy kólát rendszeresen 10 ezer ember fogyaszt, k hetente átlagosan 1-et isznak meg. Számoljunk 5 héttel egy évben. Számítsd ki, hogy a Coke és a Poke gyártója (hosszú távon) mekkora protra tesznek szert 1 év alatt! h.) Ha Peti ezen a héten Coke-ot fogyaszt, akkor várhatóan hány hét múlva fogyasztja el a következ Coke-ot?.) Egy országban a családok három csoportba oszthatók: városban, városok vonzáskörzetében vagy vidéken él k. Egy évben a városlakó családok 15%-a átköltözik a vonzáskörzetbe és 5%-a vidékre költözik; ugyanakkor a vonzáskörzetben él k 6%- a városba és 4%-a vidékre költözik; végül a vidéki lakosság 4%-a a városokba és 6%-a a városok vonzáskörzetébe települ át. Jelenleg a családok 40%-a városokban, 5%-a pedig a városok vonzáskörzetében él. a.) Ha egy család városban lakik, akkor mi a valószín sége, hogy év múlva is városban fog lakni? b.) Két év múlva a családok hány %-a fog városban élni? c.) Ha ez a modell hosszú távon jól írja le a lakosok költözési viselkedését, akkor hogyan fog alakulni az ország lakóhely szerinti megoszlása?.) A Google által használt PageRank algoritmus a keres ben talált oldalakat sorrendbe állítja, egyszer sített változata a következ képpen írható le. Tekintsünk egy Markov-láncot, melynek gráfját jelölje G = (V, E), ennek csúcshalmaza az adott adatbázisban található oldalak, továbbá (u, v) E ha az u oldalról 1 mutat link a v oldalra, az élre pedig az d ki (u) számot írjuk, ahol d ki(u) az u csúcsból más csúcsokba mutató élek száma (ki-fokszám). Amennyiben egy oldal semelyik másik oldalra se mutat, akkor egyenletes eloszlás szerint véletlenszer en választunk egy oldalt és oda ugrunk, azaz az összes többi csúcshoz berajzolunk élet, és az azo- 5

6 1 nos V 1 számokat írunk rájuk. A Markov-lánc stacionárius eloszlása adja meg az oldalak rangszámait, minél nagyobb a szám, annál "fontosabb" az adott oldal. Tekintsünk egy olyan esetet, amikor összesen az (a, b, c, d) négy oldal van egy adatbázisban a következ linkekkel: a b, b c, d c, b d. a.) Írjuk fel a PageRank által meghatározott bolyongás állapotmátrixát és osztályozzuk az állapotokat! b.) Határozzuk meg a stacionárius eloszlást, majd adjuk meg az oldalak sorrendjét! B1.) [XI.6.] Egy urna a kiinduló helyzetben két festetlen golyót tartalmaz. Véletlenszer en kiválasztunk egy golyót és feldobunk egy pénzérmét. Ha a választott golyó festetlen és fejet dobunk, akkor a kiválasztott festetlen golyót pirosra festjük; ha a választott golyó festetlen és írást dobunk, akkor a kiválasztott festetlen golyót feketére festjük. Ha a golyó már korábban meg lett festve, akkor átfestjük a másik színre. Jelöljük az urna állapotát az alábbi számhármassal: (i, j, k), ahol i az urnában lév festetlen, j a piros, k pedig a fekete golyók száma. Legyen X t az urna állapota a t-edik lépés után. Mutasd meg, hogy X t Markov-lánc és határozd meg az átmenetvalószín ségi mátrixot! B1.) [XI.6.] Tekintsük a 1. feladat történetét. Egy reklámügynökség megkeresi a Coke tulajdonosát egy olyan ajánlattal, hogy a márkát rendkívül men vé fogják tenni vagány TV-reklámokkal, ezáltal annak a valószín sége, hogy egy fogyasztó a következ héten a másik márkát fogyasztja, 10%-ról 5%-ra fog lecsökkenni. A reklámkampányra 50 millió Ft-os ajánlatot adnak. Számításokkal alátámasztva adj tanácsot, a Coke tulajdonosának érdemes-e belekezdeni a reklámkampányba! B14.) [XII..] Egy vállalat telefonon értékesíti termékét. Tekintsünk egy potenciális vev t, akit még nem hívott fel a cég képvisel je az 1. hívás után 60% az esélye, hogy az illet lanyha érdekl dést fog tanúsítani a termék iránt, 0% eséllyel komolyan fog érdekl dni és 10% eséllyel a vállalat törölni fogja a potenciális vev k köréb l. Az a vev, aki korábban lanyha érdekl dést mutatott, a következ hívás során 0% eséllyel továbbra is alacsony érdekl dést fog mutatni, 0% valószín séggel komoly érdekl d lesz, 0% eséllyel megveszi a terméket és 0% eséllyel törölni kell a listából. A korábban komolyan érdekl d potenciális ügyfél a következ hívás során 10% eséllyel alacsony érdekl dést fog mutatni, 40% valószín séggel továbbra is komoly érdekl d marad, míg 50% eséllyel megvásárolja a terméket. a.) Mi az esélye, hogy egy potenciális vev megveszi a terméket? b.) A vállalat átlagosan hányszor fog felhívni egy potenciális vev t? SZ15.) Tekintsük a szimmetrikus bolyongást az n 5 hosszú körön. Tegyük fel, hogy az éleken oda-vissza lehet közlekedni. Add meg az átmenetmátrixot és osztályozd az állapotokat! Határozd meg a stacionárius eloszlást! (1p) SZ16.) Legyen X k, k 0} homogén Markov-lánc S = 0, 1, } állapottérrel, X 0 = 1, az átmenetvalószín ség mátrix Mutasd meg, hogy az Y k = I(X k 1) folyamat nem Markov-lánc! (p) SZ17.) Egy gépjárm -biztosítással foglalkozó vállalat ügyfeleinek az alapján határozza meg a biztosítási díjat, hogy volt-e balesetük az el z két évben. Ha egy ügyfélnek az elmúlt két évben nem volt balesete, akkor a biztosítási díj évi 100 ezer Ft. Ha a partnernek az elmúlt két év mindegyikében volt balesete, akkor évi 00 ezer Ft-ot zet. Amennyiben az ügyfélnek az elmúlt két év egyikében volt balesete, akkor a biztosítási díj 150 ezer Ft. Ha a partnernek balesete volt az elmúlt évben, akkor 10% a valószín sége, hogy az aktuális évben is balesete lesz. Ha az ügyfélnek nem volt balesete az elmúlt évben, akkor csak % eséllyel lesz balesete az aktuális évben. Tegyük fel, hogy a fenti számok hosszú távon stabilnak tekinthet k. A biztosítónak mennyi az összes ügyfélre vonatkozó átlagos biztosítási díja? (p) SZ18.) Tekintsük a 0. feladat történetét. Milyen valószín séggel lesz egy els éves hallgatóból harmadéves? (1p) SZ19.) Legyenek X n és Y n független Markov láncok a 0; 1; } állapottéren. Mindkét lánc átmenetmátrixa Tegyük fel, hogy X 0 = 0 és Y 0 =, valamint legyen T = infn 0 : X n = Y n }. Határozd meg T várható értékét! (p) 4.) Olvassuk be a kerdoiv.txt fájlt, ami egy 017-es hallgató kérd íves felmérés adatait tartalmazza. A következ kre válaszoltak: nem, testmagasság (cm), súly (kg), cip méret, hányast szerzett valszámból a 017-es vizsgán, hány percet utazik az egyetemre, szorgalmi id szakban átlagosan hány órát tanul egy héten. a.) Nézzük meg pontdiagrammal néhány adatpár közti összefüggést (pl. magasság és súly, nem és cip méret, stb.)! b.) A továbbiakban célunk a testmagasság modellezése/magyarázása a többi változó segítségével. Tekintsük az alábbi regressziós modelleket: I.) Testmagasság = Testsúly + Hiba, ami a Testmagasság = a 0 + a 1 Testsúly + Hiba modell rövidített változata II.) Testsúly = Testmagasság + Hiba III.) Testmagasság = Testsúly + Lábméret + Hiba IV.) Testmagasság = Nem + Hiba Vizsgáljuk meg a korrelációs mátrixot! Keressük meg a legjobban illeszked modellt! c.) Adjunk el rejelzést a legjobbnak t n modell(ek) alapján egy olyan ú hallgató testmagasságára, aki 70 kg-os, 45-ös a cip mérete, 5-öse volt valszámból, 5 percet utazik az egyetemre és heti 1 órát tanul! d.) Szignikáns hatással van a hallgatók neme a testmagasságukra? e.) Szignikáns hatással van a hallgatók tavalyi vizsgajegye a testmagasságukra? 5.) Egy ügyvédi vállalkozásnak két irodája van: egy Budapesten és egy Miskolcon. 018-ban Budapesten 4-en dolgoztak, a bruttó zetésük 500 e Ft, 600 e Ft, 550 e 6

7 Ft, 510 e Ft volt. A miskolci telephely dolgozói bruttó 450 e, 50 e, 400 e Ft-ot vittek haza. a.) A telephely hány %-ban magyarázza a zetések változékonyságát? b.) A telephely szignikáns hatással van a zetésekre? c.) Hogyan változik az el z két kérdésre adott válasz, ha Gy rben is van egy telephely, az ott dolgozók zetése pedig 450 e Ft és 550 e Ft? 6.) A távolsági autóbusz-közlekedés néhány jellemz adata egy év során: Járat Szállított utasok Utazási távolság száma (M f ) átlaga szórása Menetrend szerinti Szerz déses 0 15 Külön Összesen/együtt a.) Számítsd ki a táblázat kipontozott celláit! b.) A járat fajtája szignikáns hatással van az utazási távolságra? 7.) A következ táblázat a félévben tanár szakos BSc-s hallgatóknak tartott 4 valszám gyakorlat év végi, 100-ra skálázott végs pontszámait tartalmazza: Gyakvezér Pontszámok Cs. V W. G B. Á V. L Vizsgáljuk meg, az év végi pontszám függ-e attól, hogy a hallgató melyik csoportba jár! Hány %-ban magyarázza a pontszámok változékonyságát az, hogy a hallgatók melyik csoportba járnak? B15.) [XII.10.] Egy söröz vezet je egy héten át feljegyezte a söröz forgalmát: Nap Vendégek száma (f ) Átlagfogyasztás (korsó/f ) Hétf 8,9 Kedd,1 Szerda 5,6 Csütörtök 6 Péntek 48, Szombat 46,4 Vasárnap 4,1 Az egyes emberek fogyasztása átlagosan 1%-kal tér el az átlagos fogyasztástól ( ez tekinthet a relatív szórásnak). Szignikáns hatással van az átlagfogyasztásra az, hogy a hét melyik napjáról van szó? 7

2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben

2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben 1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy

Részletesebben

Id sorelemzés gyakorlat Biztosítási és pénzügyi matematika mesterszak Alkalmazott matematikus mesterszak 2017/2018 tavaszi félév

Id sorelemzés gyakorlat Biztosítási és pénzügyi matematika mesterszak Alkalmazott matematikus mesterszak 2017/2018 tavaszi félév Id sorelemzés gyakorlat Biztosítási és pénzügyi matematika mesterszak Alkalmazott matematikus mesterszak 017/018 tavaszi félév Játékszabályok A gyakorlatokról maximum 3-szor lehet hiányozni. Aki többször

Részletesebben

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t

Részletesebben

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,

Részletesebben

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb

Részletesebben

( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket!

( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket! 1. Név:......................... Egy szabályos pénzérmét feldobunk, ha az els½o FEJ az i-edik dobásra jön, akkor a játékos nyereménye ( 1) i i forint. Vizsgálja szimulációval a játékot, különböz½o induló

Részletesebben

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és Feladatok 2 zh-ra 205 április 3 Eseményalgebra Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 4 és P (A B) = 0, 5 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 2 Feladat

Részletesebben

0,9268. Valószín ségszámítás és matematikai statisztika NGB_MA001_3, NGB_MA002_3 zárthelyi dolgozat

0,9268. Valószín ségszámítás és matematikai statisztika NGB_MA001_3, NGB_MA002_3 zárthelyi dolgozat A 1. A feln ttkorú munkaképes lakosság 24%-a beszél legalább egy idegen nyelvet, 76%-a nem beszél idegen nyelven. Az idegen nyelvet beszél k 2,5%-a, az idegen nyelvet nem beszél k 10%-a munkanélküli. Véletlenszer

Részletesebben

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel. . Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +

Részletesebben

1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt

1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt 1. Név:......................... Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt a gyártmányt készítik. Egy gyártmány összeszerelési ideje normális eloszlású valószín½uségi változó

Részletesebben

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma: Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos

Részletesebben

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2?

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2? HIPERGEO. BINOM. POISSON 4.1. Egy üzletben 100-an vásárolnak, közülük 80-an rendelkeznek bankkártyával. A pénztárnál 10-en állnak sorba, mi a valószínűsége, hogy 7-nek lesz bankkártyája? 4.2. Egy üzletben

Részletesebben

Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz

Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek

Részletesebben

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel

Részletesebben

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus. Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza

Részletesebben

Biostatisztika. Sz cs Gábor. 2018/19 tavaszi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Biostatisztika. Sz cs Gábor. 2018/19 tavaszi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Biostatisztika Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet 2018/19 tavaszi félév Bevezetés Tudnivalók, követelmények Tudnivalók, követelmények Félév tematikája: Értékelés: Valószín ségszámítás

Részletesebben

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,

Részletesebben

NEVEZETES FOLYTONOS ELOSZLÁSOK

NEVEZETES FOLYTONOS ELOSZLÁSOK Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1 NEVEZETES FOLYTONOS ELOSZLÁSOK EXPONENCIÁLIS ELOSZLÁS 1. A ξ valószínűségi változó eponenciális eloszlású 80 várható értékkel. (a) B Adja meg és ábrázolja a valószínűségi változó

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x =

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x = . Az { a n } számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! a = 26 2. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B = {;2;3;4;5;6}, A \ B = {;4} és A B = {2;5}. Sorolja fel

Részletesebben

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető!

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető! BGF KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály Budapest, 2012.. Név:... Neptun kód:... Érdemjegy:..... STATISZTIKA II. VIZSGADOLGOZAT Feladatok 1. 2. 3. 4. 5. 6. Összesen Szerezhető pontszám 21 20 7 22

Részletesebben

vásárlót átlag 2 perc alatt intéz el (blokkolás, kártyaleolvasás), de ez az

vásárlót átlag 2 perc alatt intéz el (blokkolás, kártyaleolvasás), de ez az 1. Név:......................... Egy ABC-ben délután (5-t½ol 9 óráig) a vásárlók száma óránként 200 várható érték½u Poisson eloszlású valószín½uségi változó. A pénztáros egy vásárlót átlag 2 perc alatt

Részletesebben

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév Matematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 013/14. tavaszi félév 1. Folytonos eloszlások Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény Egy valószínűségi változó, illetve egy eloszlás eloszlásfüggvényének egy

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége

Részletesebben

Házi feladatok. Valószín ségszámítás és statisztika programtervez informatikusoknak, 2015 sz

Házi feladatok. Valószín ségszámítás és statisztika programtervez informatikusoknak, 2015 sz Házi feladatok Valószín ségszámítás és statisztika programtervez informatikusoknak, 2015 sz A házi feladatok tartalmaznak könnyebb és nehezebb példákat is ugyanannyi pontért. A feladatokhoz készítettem

Részletesebben

Matematikai statisztika szorgalmi feladatok

Matematikai statisztika szorgalmi feladatok Matematikai statisztika szorgalmi feladatok 1. Feltételes várható érték és konvolúció 1. Legyen X és Y független és azonos eloszlású valószín ségi változó véges második momentummal. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

(Independence, dependence, random variables)

(Independence, dependence, random variables) Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet

Részletesebben

2. A ξ valószín ségi változó s r ségfüggvénye a következ : c f(x) =

2. A ξ valószín ségi változó s r ségfüggvénye a következ : c f(x) = 1 Egy dobozban hat fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd annyi piros golyót teszünk a dobozba, amennyit dobtunk Ezután véletlenszer en húzunk egy golyót a dobozból (a) Mi a valószín sége,

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 13. hétre

Feladatok és megoldások a 13. hétre Feladatok és megoldások a. hétre Építőkari Matematika A. Az alábbi függvények melyike lehet eloszlásfüggvény? + e x, ha x >, (a F(x =, ha x, (b F(x = x + e x, ha x, (c F(x =, ha x, x (d F(x = (4 x, ha

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató 2015/2016. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

3. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk egymás után. Legyen A az az esemény, hogy

3. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk egymás után. Legyen A az az esemény, hogy Valószínűségszámítás. zárthelyi dolgozat 009. október 5.. Egy osztályba 3-an járnak. Minden fizikaórán a a többi órától függetlenül a tanár kisorsol egy felelőt, véletlenszerűen, egyenletesen, azaz mindig

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (0. 0. 0.-0.) Várható érték, szórás, módusz. A k 0, (k,,, 4) diszkrét eloszlásnak (itt P(X k)) mennyi a (a) várható értéke, (b) módusza, (c) második momentuma, (d) szórása?

Részletesebben

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 9. Előadás Binomiális eloszlás Egyenletes eloszlás Háromszög eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell 2/62 Matematikai statisztika

Részletesebben

Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 12. Regresszió- és korrelációanaĺızis Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision

Részletesebben

Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny

Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny Szűk elméleti összefoglaló Valószínűségi változó: egy függvény, ami az eseményteret a valós számok halmazára tudja vetíteni. A val.

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára 1. Egy üzem alkalmazottainak megoszlása az elért teljesítmény %-a szerint a következı: Norma teljesítmény % Dolgozók száma 60-80 30 81-90 70 91-100 90

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Normál eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Normál eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Normál eloszlás A normál eloszlás Folytonos változók esetén az eloszlás meghatározása nehezebb, mint diszkrét változók esetén. A változó értékei nem sorolhatóak

Részletesebben

Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ

Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.

Részletesebben

Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév

Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév A pirossal írt anyagrészeket nem fogom közvetlenül számon kérni a vizsgán, azok háttérismeretként,

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés Játékszabályok 0 + x pontot lehet szerezni a félév során: 50 pont:. ZH a félév közepén 50 pont:. ZH a félév végén

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@math.elte.hu fogadóóra: szerda 10-11 és 13-14, D 3-415 2018/2019. tavaszi félév Bevezetés A valószín ségszámítás

Részletesebben

1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos?

1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos? Valószínűségszámítás, földtudomány alapszak, 2015/2016. őszi félév 1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos? 2. Két tizenhárom fős vízilabdacsapat mérkőzik

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2008 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT : 2008. június 5 (reggel) A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) MEGENGEDETT ESZKÖZÖK: Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus számológép

Részletesebben

Régebbi Matek M1 zh-k. sztochasztikus folyamatokkal kapcsolatos feladatai.

Régebbi Matek M1 zh-k. sztochasztikus folyamatokkal kapcsolatos feladatai. Régebbi Matek M1 zh-k Folyamfeladatokkal, többszörös összef ggőséggel, párosításokkal, Nagy szḿok törvényével, Centrális Határeloszlás tétellel, sztochasztikus folyamatokkal kapcsolatos feladatai. Gráfok

Részletesebben

Valószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC

Valószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC Valószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC Játékszabályok Az órákon részt kell venni, maximum 3-szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 100 + x pontot lehet szerezni a félév

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2 pont

törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2 pont 1. Egyszerűsítse az 3 2 a + a a + 1 törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2. Milyen számjegy állhat az X helyén, ha a négyjegyű 361 X szám 6-tal osztható? X = 3. Minden szekrény barna. Válassza ki az

Részletesebben

Gazdasági matematika II. Tantárgyi útmutató

Gazdasági matematika II. Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok távoktatás tagozat Gazdasági matematika II. Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév II. félév 1/6 A KURZUS ALAPADATAI Tárgy

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika Gyakorlat (Kétmintás próbák)

Valószín ségszámítás és statisztika Gyakorlat (Kétmintás próbák) Gyakorlat (Kétmintás próbák) 2018. december 4. Kétmintás u-próba 1 Adott két független minta 0.0012 szórású normális eloszlásból. Az egyik, 9 elem minta realizációjának átlaga 0.1672, a másik 16 elem é

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat programtervez informatikus szak

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat programtervez informatikus szak Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat programtervez informatikus szak Játékszabályok Az órákon részt kell venni, maximum 3-szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 00 +

Részletesebben

Nevezetes diszkre t eloszlá sok

Nevezetes diszkre t eloszlá sok Nevezetes diszkre t eloszlá sok Szűk elméleti összefoglaló Binomiális eloszlás: Jelölés: X~B(n, p) vagy X B(n, p) Tipikus használata: Egy kétféle kimenetelű (valami beteljesül vagy sem) kísérletet elvégzünk

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

13. Egy január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon él k kor és nem szerinti megoszlása (ezer f re) kerekítve az alábbi volt:

13. Egy január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon él k kor és nem szerinti megoszlása (ezer f re) kerekítve az alábbi volt: A 13. Egy 2000. január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon él k kor és nem szerinti megoszlása (ezer f re) kerekítve az alábbi volt: korcsoport (év) férfiak száma (ezer f ) n k száma

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés SZDT-03 p. 1/22 Számítógépes döntéstámogatás Statisztikai elemzés Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás SZDT-03 p. 2/22 Rendelkezésre

Részletesebben

Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák

Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák Az alábbi próbák akkor használhatók, ha a meggyelések függetlenek, és feltételezhetjük, hogy normális eloszlásúak a meggyelések függetlenek, véges szórású

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 9. Együttes eloszlás, kovarianca, nevezetes eloszlások Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés, definíciók Együttes eloszlás Függetlenség

Részletesebben

Statisztika I. 12. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 12. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 1. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Regresszió analízis A korrelációs együttható megmutatja a kapcsolat irányát és szorosságát. A kapcsolat vizsgálata során a gyakorlatban ennél messzebb

Részletesebben

Véletlen bolyongás. 2. rész. Márkus László jegyzete alapján Tóth Tamás december 10.

Véletlen bolyongás. 2. rész. Márkus László jegyzete alapján Tóth Tamás december 10. 2. rész 2012. december 10. Határeloszlás tételek a bolyongás funkcionáljaira 1 A bolygó pont helyzete: EX i = 0, D 2 X i = EX 2 = 1 miatt i ES n = 0, D 2 S n = n, és a centrális határeloszlás tétel (CHT)

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

Valószín ségszámítás. Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes 2018/2019.

Valószín ségszámítás. Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes 2018/2019. Valószín ségszámítás Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2018/2019. szi félév A valószín ségszámítás kurzus céljai a statisztika megalapozása: a véletlen

Részletesebben

i p i p 0 p 1 p 2... i p i

i p i p 0 p 1 p 2... i p i . vizsga, 06--9, Feladatok és megoldások. (a) Adja meg az diszkrét eloszlás várható értékének a definícióját! i 0... p i p 0 p p... i p i (b) Tegyük fel, hogy a rigófészkekben található tojások X száma

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok 1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4 a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást A kezdi és felváltva dobnak egymás után.

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10 Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

10. Exponenciális rendszerek

10. Exponenciális rendszerek 1 Exponenciális rendszerek 1 Egy boltba exponenciális időközökkel átlagosan percenként érkeznek a vevők két eladó, ndrás és éla, átlagosan 1 illetve 6 vevőt tud óránként kiszolgálni mennyiben egy vevő

Részletesebben

Diszkrét idejű felújítási paradoxon

Diszkrét idejű felújítási paradoxon Magda Gábor Szaller Dávid Tóvári Endre 2009. 11. 18. X 1, X 2,... független és X-szel azonos eloszlású, pozitív egész értékeket felvevő valószínűségi változó (felújítási idők) P(X M) = 1 valamilyen M N

Részletesebben

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA ÁVF GM szak 2010 ősz KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése 2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07 ÁVF Oktató: Lipécz György 1 A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés

Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés Elek Péter 1. Valószínűségi változók és eloszlások 1.1. Egyváltozós eset Ismétlés: valószínűség fogalma Valószínűségekre vonatkozó axiómák

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,

Részletesebben

Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok)

Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok) Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok)./ Egy televízió készülék meghibásodásainak átlagos száma óra alatt. A meghibásodások száma a vizsgált időtartam hosszától függ. Határozzuk

Részletesebben

Gazdasági matematika II. tanmenet

Gazdasági matematika II. tanmenet Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):

Részletesebben

Statisztikai tájékoztató Budapest, 2010/2

Statisztikai tájékoztató Budapest, 2010/2 Központi Statisztikai Hivatal Internetes kiadvány www.ksh.hu 2010. szeptember Statisztikai tájékoztató Budapest, 2010/2 Tartalom Összefoglaló...2 Gazdasági szervezetek...2 Beruházás...3 Ipar...4 Építőipar...5

Részletesebben

Leíró és matematikai statisztika gyakorlat Matematikai elemz szakirány 2016/2017 tavaszi félév

Leíró és matematikai statisztika gyakorlat Matematikai elemz szakirány 2016/2017 tavaszi félév Leíró és matematikai statisztika gyakorlat Matematikai elemz szakirány 06/07 tavaszi félév Játékszabályok A gyakorlatokról maximum 3-szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 00

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel. a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli

Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel. a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Mutassuk meg, hogy tetszőleges A és B eseményekre PA B PA+PB. Mutassuk

Részletesebben

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét

Részletesebben

Markov-láncok stacionárius eloszlása

Markov-láncok stacionárius eloszlása Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius

Részletesebben

2. Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja 18. Adja meg a sorozat ötödik tagját!

2. Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja 18. Adja meg a sorozat ötödik tagját! 1. Egy 27 fős osztályban mindenki tesz érettségi vizsgát angolból vagy németből. 23 diák vizsgázik angolból, 12 diák pedig németből. Hány olyan diák van az osztályban, aki angolból és németből is tesz

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Villamosmérnök A4 11. hét Kétdimenziós normális eloszlás, cht - Megoldások

Villamosmérnök A4 11. hét Kétdimenziós normális eloszlás, cht - Megoldások Villamosmérnök A 11. hét Kétdimenziós normális eloszlás, cht - Megoldások Kétdimenziós normális összefoglalás Egy kétdimenziós X, Y valószínűségi változó kovariancia mátrixa: VarX CovX, Y CovX, Y VarY

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. EMELT SZINT 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x x 4 log 9 10 sin x x 6 I. (11 pont) sin 1 lg1 0 log 9 9 x x 4 Így az 10 10 egyenletet kell megoldani,

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

Valószín ségszámítás 1 gyakorlat Alkalmazott matematikus szakirány

Valószín ségszámítás 1 gyakorlat Alkalmazott matematikus szakirány Valószín ségszámítás gyakorlat Alkalmazott matematikus szakirány Játékszabályok Max 3 gyakorlatról lehet hiányozni aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 00 + x pontot lehet szerezni a félév során:

Részletesebben

4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O

4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O 1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.

Részletesebben