Hővezetés a Fourier-egyenleten túl: elméletek és kísérletek

Átírás

1 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR ENERGETIKAI GÉPEK ÉS RENDSZEREK TANSZÉK MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA WIGNER FIZIKAI KUTATÓKÖZPONT RÉSZECSKE- ÉS MAGFIZIKAI INTÉZET ELMÉLETI FIZIKAI OSZTÁLY Hővezetés a Fourier-egyenleten túl: elméletek és kísérletek PhD értekezés Kovács Róbert Témavezető Ván Péter, PhD Budapest, 2017

2 1. Összefoglalás és célkitűzések A technológiai fejlődés napjainkban megköveteli a fizika klasszikus törvényeinek érvényességi körén túlmutató jelenségek hasznosítását. Így például alacsony hőmérsékleten (< 10 K) vagy nanométeres léptéken lezajló jelenségeket kell modelleznünk. Ahhoz, hogy leírhatóak legyenek az itt előforduló, a klasszikustól eltérő transzport jelenségek, szükségessé válik a konstitutív egyenletek kiterjesztése. Ez az említett fizikai körülmények alatti anyagi viselkedés megértését jelenti. Ebben a munkában a belső változókkal és a Nyíri-szorzókkal általánosított nemegyensúlyi termodinamikai elméletet használtuk a klasszikus lokális egyensúlytól való eltérés leírására. A termodinamika második főtétele fizikai alapelvként az egyetlen kényszerként szolgál a konstitutív és fejlődési egyenletek levezetésében. A vizsgálatainkban szilárd testek és ritka gázok hővezetési jelenségeinek leírásával foglalkozunk. A klasszikus Navier-Stokes-Fourier rendszer is könnyen levezethető a nemegyensúlyi termodinamika keretein belül a lokális egyensúlyi hipotézis segítségével. Itt a termikus disszipációt vektori, a mechanikait másodrendű tenzori változók írják le. A vonatkozó konstitutív egyenletek izotróp anyagokban közvetlenül nem csatoltak, csak a mérlegegyenleteken keresztül. A klasszikus irreverzibilis termodinamika a Curie-elven keresztül tiltja a különböző tenzori rendű mennyiségek konstitutív egyenleteken belüli csatolását. Azonban a lokális egyensúlyon túl a belső változók és Nyíri-szorzók alkalmazása feloldja ezt a korlátozást. Ez egy kulcsfontosságú pontja a hővezetés lokális egyensúlyon kívüli leírásának. Az egyik ilyen klasszikustól eltérő jelenség a hő disszipatív hullámterjedési formája, az úgynevezett második hang. A jelenséget elméleti szempontok alapján már 1940 körül megjósolták és először Peshkov mérte meg 1944-ben. A hőterjedésnek van egy következő hullámformája, az úgynevezett ballisztikus terjedés. Ez egy, a közegre jellemző hangsebességgel terjedő termomechanikai hullám. Ezt a terjedési formát kísérletileg először Jackson és társai találták meg NaF kristályokat felhasználva 1968-ban. Ezt még a 70-es évek végéig több kísérlet is követte. A mérések nagy száma ellenére azonban nincsen egy olyan általánosan elfogadott elmélet, ami egyesítené a hővezetés klasszikus - diffúzív - és ettől eltérő terjedési formáit. A célunk egy egyesítő kontinuum elmélet levezetése a nemegyensúlyi termodinamikai keretein belül. A belső változók és a Nyíri-szorzók alkalmazása lehetővé teszi számunkra, hogy a második főtétellel kompatibilis módon hozzunk létre kapcsolatot a termikus és mechanikai mezők, illetve különböző tenzori rendű mennyiségek között a konstitutív egyenletekben. Ennek az ötletnek az alapját az s entrópiasűrűség és a J i entrópiaáram következő általánosítai 2

3 adják: s(e, q i, Q ij ) = s eq (e) m 1 2 qi q i m 2 2 Qij Q ij, (1) J i = b ij q j + B ijk Q jk, (2) ahol s eq a klasszikus lokális egyensúlyhoz tartozó tag, q i a hőáram, Q ij egy belső változó, a b ij és B ijk a Nyíri-szorzók. Ez a fajta általánosítás vezet az úgynevezett ballisztikus-konduktív modellhez 1+1 dimenzióban: τ q t q + q + λ x T + κ x Q = 0, τ Q t Q + Q + κ x q = 0, (3) ahol T a hőmérséklet, λ a hővezetési tényező, τ q, τ Q a termikus relaxációs idők, κ a disszipációs együttható és a bekeretezett tagok alkotják a klasszikus Fourier-egyenletet. A belső energia mérlegegyenletét felhasználva és a q, Q változókat kiküszöbölve megkapjuk a hőmérsékletre rendezett formáját: τ q τ Q ttt T + (τ q + τ Q ) tt T + t T = α xx T + (κ 2 + τ Q ) txx T, (4) ahol a bekeretezett tagok szintén a Fourier-egyenletet emelik ki. Ez a Ph.D. értekezés két részre bontva tárgyalja a kísérleteket. Az első rész Jackson és társai alacsony hőmérsékletű kísérleteivel foglalkozik és a hő hullámtermészetét vizsgálja. A másik rész a BME Energetikai Gépek és Rendszerek Tanszéken a kutatócsoportunk által végzett, úgynevezett szobahőmérsékletű EGR-kísérleteket mutatja be. Itt a cél az anyagi inhomogenitások hővezetésre gyakorolt hatásának a kimutatása volt. A felállított nemegyensúlyi termodinamikai elmélet megjósolja a nem-fourier viselkedést szobahőmérsékleten is, ezen a nyomon elindulva sikerült közönséges körülmények között is kimutatni a nem klasszikus viselkedést, például fémhabokban és több különböző kőzettípusnál. Az értekezés célja az eredményeink összehasonlítása más vonatkozó elméletekkel és az elméleti predikció kísérleti felfedezésének a bemutatása. 2. Módszerek A célok eléréséhez egyaránt felhasználtunk gyakorlati és elméleti módszereket. Elméleti szempontból nézve, a ballisztikus-konduktív modellhez vezető általánosítást már bemutattuk. A levezetett általánosított egyenlet megoldásához egy egyedileg kidolgozott numerikus módszert használtunk fel, mely az eltolt mezőkön alapul. A gyakorlati szempontokat is szem előtt tartva, hőimpulzus kísérletek segítségével sikerült kimutatni a megjósolt jelenséget. 3

4 2.1. Hőimpulzus kísérletek A hőimpulzus kísérletek szolgáltatják az értekezés gyakorlati alapját. Ez a mérési módszer az anyagok hőfokvezetési tényezőjének a meghatározására szolgáló alapvető eljárás a mérnöki gyakorlatban. A klasszikustól eltérő esetekben a Fourier-törvény nem használható, azonban ugyanaz a mérési módszer használható a kiterjesztett elméletben megjelenő új paraméterek meghatározására. Az új paraméterek a termikus relaxációs idő és a disszipációs paraméter. A mérési berendezés sematikus felépítését az 1. ábra mutatja. 1. ábra. Az EGR-kísérlet sematikus felépítése, [1] alapján. Ugyanez az elrendezés érvényes az alacsony hőmérsékletű kísérletekre is, így ugyanazzal a módszerrel értékelhetőek ki ezek a különböző kísérletek. A mérés kiértékeléséhez a hőmérsékletskála dimenziótlanítására és a lehűlést jellemző hőátadási paraméterek bevezetésére is szükség volt Numerikus módszer Ahhoz, hogy megoldjuk a ballisztikus-konduktív modell parciális differenciálegyenleteit, szükséges kezdeti- és peremfeltételeket definiálni. Ezzel együtt észben kell tartani, hogy nem-fourier hővezetés esetében a klasszikus definíciók és megközelítések a peremfeltételeket illetően nem érvényesek. A problémával kapcsolatban két követelményt vettünk figyelembe. Az első elvárásunk az, hogy csak a hőimpulzus kísérlet által definiált fizikai peremfeltételeket kelljen definiálni. Ez a peremfeltétel a hőáramhoz kapcsolódik, azonban itt a hőáram nem arányos a hőmérséklet gradiensével. A második követelmény pedig, hogy 4

5 elkerüljük a fizikailag nem elfogadható eredményeket és a peremfeltételek egymáshoz képest inkompatibilis meghatározását. Ennek a megoldása az eltolt mezőkön alapuló diszkretizáció bevezetése, amelynek a koncepcióját a 2. ábra mutatja. 2. ábra. Diszkretizációs módszer. A 2. ábrán azt láthatjuk, hogy a különböző mezők fél térlépéssel el vannak tolva egymáshoz képest. Ez a módszer lehetővé teszi, hogy csak a rendszer fizikailag szükséges peremfeltételeit definiáljuk. A kidolgozott numerikus séma explicit, ezért elengedhetetlen volt a hozzá tartozó stabilitási feltételek meghatározása. A megoldási módszer, mint keretrendszer teljességéhez pedig a séma gyenge konzisztenciáját is bizonyítottuk. A Lax-Richtmyer tételt kihasználva a numerikus stabilitás és a konzisztencia együtt képes garantálni a séma konvergenciáját is. 3. Tézisek és eredmények Az elméleti háttér egy erős alapot szolgáltat a nem-fourier hővezetés modellezésére függetlenül az anyagi inhomogenitás jellegétől vagy az anyag állapotától. A Nyíri-szorzók és a belső változók bevezetése egy olyan kontinuum modellhez vezet, amely képes egyesíteni a nem-fourier hővezetés ismert aspektusait. Az 1. tézis ezt az eredményt fogalmazza meg. 1. Tézis Egy vektori és egy másodrendű tenzori belső változót alkalmaztam a Nyíri-szorzókkal általánosított entrópiaárammal együtt a nemegyensúlyi termodinamikai elméletben a hővezetés ballisztikuskonduktív egyenletének levezetéséhez. Ezt az elméletet összehasonlítottam a kinetikus elméleti alapú Racionális Kiterjesztett Ter- 5

6 modinamika szilárd testek és ritka gázok hővezetésére vonatkozó elméleteivel 1+1 dimenzióban. Megadtam a két elmélet ekvivalenciájához szükséges feltételeket. Vonatkozó publikációk: [2, 3] A levezetett ballisztikus-konduktív modell megoldását numerikusan állítottam elő egy explicit véges differencia séma segítségével. Az 1. és a 2. Tézispontok fektetik le az alapot a nem-fourier hővezetés megértéséhez. Továbbá, ezek elengedhetetlenek a kísérletek kiértékeléséhez. 2/A. Tézis Kidolgoztam egy eltolt mezőkön alapuló explicit véges differencia sémát az 1. Tézisben megfogalmazott ballisztikus-konduktív modell megoldásához. 2/B. Tézis Levezettem a kidolgozott numerikus séma stabilitási feltételeit a Neumann és Jury módszerek segítségével. Bebizonyítottam a séma gyenge konzisztenciáját. Ezek együtt biztosítják a séma konvergenciáját. Vonatkozó publikációk: [2, 3] A ballisztikus-konduktív modellt először Jackson és társai NaF kísérletein teszteltük [4 6]. A cél a hővezetés egyes hullámterjedési formáinak, azaz a második hangnak és a ballisztikus terjedésnek a modellezése volt (3. ábra). A numerikus modellezés megmutatta, hogy az elméletünk versenyképes a Racionális Kiterjesztett Termodinamika vonatkozó elméletével. Továbbá kimutattuk a termikus relaxációs idő hőmérsékletfüggését. 3. Tézis A ballisztikus-konduktív modellt alkalmaztam a NaF kristályokban Jackson és munkatársai [4 6] által megfigyelt ballisztikus hővezetés modellezésére. Kiszámoltam az anyagi paramétereket a termikus relaxációs idők hőmérsékletfüggésével együtt. Vonatkozó publikációk: [3, 7] A nemegyensúlyi termodinamikai elmélet nem feltételez fononokat, ezért nem zárja ki, hogy a sokkal közönségesebb és a mérnöki gyakorlatban gyakrabban előforduló körülmények között is létrejöjjön nem-fourier hővezetés (4. ábra). Szobahőmérsékleten az anyagi inhomogenitások megléte vezet el idáig. Az elméletünk jóslatát kísérletileg bizonyítottuk. Az egyszerűsí- 6

7 3. ábra. A szimulációk összesített eredményei az eredeti mérésekkel összevetve. tett ballisztikus-konduktív egyenletet (τ Q = 0), azaz a Guyer-Krumhanslegyenletet használtuk az EGR-kísérletek kiértékeléséhez. Itt megjelenik a Fourier-egyenlet hierarchiájának a szerepe, mely segítségünkre volt a Fouriertörvénytől eltérő viselkedés parametrikus jellemzésében. A szobahőmérsékletű kísérletekben használt anyagok között előfordult szerves és szervetlen minta is. 4. Tézis Felismertem a Guyer-Krumhansl-egyenlet hierarchikus szerkezetét. A BME Energetikai Gépek és Rendszerek Tanszéken végzett EGRkísérletek és Tang et al. [8] kísérletei alapján bevezettem a Fouriertörvénytől való eltérés parametrikus jellemzését a Fourier-egyenlet hierarchiáját kihasználva. Vonatkozó publikációk: [1, 3, 9 11] 7

8 4. ábra. Szobahőmérsékleten, fémhab mintán végzett hőimpulzus kísérlet eredménye a Fourier-egyenlet illesztésével összehasonlítva. Hivatkozások [1] S. Both, B. Czél, T. Fülöp, Gy. Gróf, Á. Gyenis, R. Kovács, P. Ván, and J. Verhás. Deviation from the Fourier law in room-temperature heat pulse experiments. Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics, 41(1):41 48, Független idéző: 6 [2] R. Kovács and P. Ván. Generalized heat conduction in heat pulse experiments. International Journal of Heat and Mass Transfer, 83: , Független idéző: 16, IF: 2.8 [3] Kovács R. Hővezetés egyenleteinek elmélete, numerikus vizsgálata és kísérleti ellenőrzése. In Fülöp T., editor, Termodinamikai módszertan - kontinuumfizikai alkalmazások; Mérnökgeológia-Kőzetmechanika Kiskönyvtár, volume 19, pages , [4] H. E. Jackson, C. T. Walker, and T. F. McNelly. Second sound in NaF. Physical Review Letters, 25(1):26 28, [5] H. E. Jackson and C. T. Walker. Thermal conductivity, second sound and phonon-phonon interactions in NaF. Physical Review B, 3(4): , [6] T. F. McNelly. Second Sound and Anharmonic Processes in Isotopically Pure Alkali-Halides Ph.D. Thesis, Cornell University. 8

9 [7] R. Kovács and P. Ván. Models of Ballistic Propagation of Heat at Low Temperatures. International Journal of Thermophysics, 37(9):95, IF: 0.9 [8] D. Tang, N. Araki, and N. Yamagishi. Transient temperature responses in biological materials under pulsed IR irradiation. Heat and Mass Transfer, 43(6): , [9] Lovas Á., Kovács R., and Kovács L. Nem-Fourier hővezetés a kőzetmechanikában. Szerkesztők: Vásárhelyi B. Török Á., Görög P., Mérnökgeológia- Kőzetmechanika 2016, pp. 372, [10] T. Fülöp, R. Kovács, and P. Ván. Thermodynamic hierarchies of evolution equations. Proceedings of the Estonian Academy of Sciences, 64(3): , IF: 0.3 [11] Kovács Róbert. Általánosított hővezetési egyenletek vizsgálata. Szerkesztők: Vásárhelyi Balázs Török Ákos, Görög Péter, Mérnökgeológia- Kőzetmechanika 2013, pp ,