Demonstrációs célú szimulációk egyszer populációdinamikai folyamatok modellezésére

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Demonstrációs célú szimulációk egyszer populációdinamikai folyamatok modellezésére Szakdolgozat Sáfár Rebeka Matematika B.Sc., elemz szakirány Témavezet : Izsák János, egyetemi tanár Alkalmazott Analízis Tanszék Budapest 2011

2 Tartalomjegyzék 1. Biológiai bevezetés 2 2. A Hardy-Weinberg törvény - szakirodalmi feldolgozás Panmiktikus szaporodás Az egyensúly feltételei Hardy-Weinberg egyensúly három allél esetén Hardy-Weinberg egyensúly k számú allél esetén Egy, az el z ekt l eltér szaporodási modell Leírás, feltételek Eredmények Ivari kromoszómához kötött lókuszok A szomatikus genotípusok el fordulási valószín ségeinek sorozatai az r 0, s 0 és p 0 értékek függvényében A p n értékek változása Az r n értékek változása Az s n értékek változása Összefoglalás 34 1

3 1. fejezet Biológiai bevezetés Az alapvet genetikai összefüggéseket és törvényeket a legegyszer bb párosodási sémán keresztül mutatom be, ezért felteszem, hogy az alábbi populációdinamikai sémát nem befolyásolják küls tényez k, például minden hím és n i egyed utódainak száma a szül k genotípusától független és azonos (nincs szelekció), minden hím és n i egyed egymással való párosodásának azonos a valószín sége, nincs mutáció és nincs a populációba való be- és kivándorlás sem. Ez az úgynevezett panmiktikus szaporodás. Ilyen ideális populációk a természetben nincsenek. A populáció egyedeit egyetlen szomatikus sejttel reprezentáljuk, ez megtehet, mert egy szervezet szomatikus sejtjei azonos genotípusúak. A szomatikus sejt genetikai anyaga egymáshoz tartozó apai, illetve anyai eredet DNS láncokból áll, rajtuk a lókuszhoz tartozó génváltozatok, az úgynevezett allélok valamelyikével. A számfelez osztódás (meiozis) során a szomatikus sejtekb l két utódsejt (ivarsejt) keletkezik. Így a lehetséges esetek, ha az adott lókuszhoz az A és az a allél tartozik: AA A, A Aa A, a aa a, a 2

4 (Az els oszlopban a szül szomatikus genotípusa, a másodikban az ivarsejtek genotípusa látható.) Egy hím és egy n i ivarsejt egyesülésével egy utód (szomatikus) sejt, úgynevezett zigóta keletkezik, esetünkben az alábbi lehetséges módokon: a + a aa A + a Aa A + A AA, ahol a második oszlop mutatja a zigóta (és utód egyed)szomatikus genotípusát. A zigótákból hosszú fejl dés után alakul ki maga az egyed. Tekintsük az egyedeket reprezentáló sejtek halmazában egy nem ivari kromoszómához kötött lókuszhoz tartozó allélok halmazát. Feltesszük, hogy két allél típus létezik (a és A) és minden szomatikus sejtb l két ivarsejt keletkezik. Legyen ekkor az A allélok relatív gyakorisága a reprezentáns szomatikus sejtek összes A-a lókuszainak körében p. Ekkor az a allél relatív gyakorisága ugyanitt q = 1 p. A reprezentáns ivarsejtek száma így kétszer annyi lesz, mint a reprezentáns testi sejteké. Az A allél relatív gyakorisága az ivarsejtek körében szintén p lesz. Összegezve tehát, egy párosodási sémában résztvev hím ivarsejt p valószín séggel A, q = 1 p valószín séggel a genotípusú. Ugyanezek a valószín ségek vonatkoznak a petesejtre is a kezdeti feltételek miatt. Így az utódgenereció szomatikus sejtjeinek genotípus el fordulási valószín ségei könnyen áttekinthet k, a Punnett-tábla segítségével: 1.1. ábra. Punett-tábla 3

5 Tehát elemi valószín ségszámítási meggondolások alapján az utódgenerációban a szomatikus genotípusok el fordulási valószín ségei: P [(A, A)] = p 2, P [(A, a)] = 2pq, P [(a, a)] = q 2 (1.1) Az utódgeneráció lehetséges szomatikus genotípusainak el fordulási valószín ségei tehát levezethet k a reprezentáns hím, illetve n i ivarsejtek körében való el fordulási valószín ségekb l. Észrevehetjük, hogy a fenti három valószín séget el állíthajuk (p + q) 2 kifejtésével. Ezt általánosítva egy tételhez jutunk, aminek kimondása el tt bevezetek néhány fogalmat. Legyenek egy populáció reprezentáns szomatikus sejtjeinek genotípusai G 1,..., G g, ezekb l a sejtekb l származó ivarsejtek genotípusai pedig a 1,..., a s (könnyen belátható a g = s(s+1) 2 összefüggés). Ekkor a P (a 1 )(a 1 ) P (a s )(a s ) eseménypolinomot ivarsejt genotípus valószín ségeloszlási polinomnak nevezzük. Hasonlóan, a P (G 1 )(G 1 ) P (G g )(G g ) eseménypolinomot szomatikus genotípus valószín ségeloszlási polinomnak nevezzük. (Figyelembe vesszük, hogy a diszjunkt [a 1 ],..., [a s ] események teljes eseményrendszert alkotnak.) 1.1. Tétel. Az utódgenerációban a szomatikus genotípus valószín ségeloszlási polinom együtthatói el állnak az el z generációbeli hím (és n i) ivarsejt genotípus valószín ségeloszlási polinom négyzetének polinom-együtthatóiként Bizonyítás. Egy (a i, a j ) genotípusú zigóta (utódsejt) i = 1,..., s, j = 1,..., s a következ képpen jöhet létre: a i genotípusú hím és a j genotípusú n i ivarsejt egyesül a j genotípusú hím és a i genotípusú n i ivarsejt egyesül Az (a i, a j ) genotípusú zigóta létrejötte mint esemény a fenti két diszjunkt esemény összege. Az (a i genotípusú hímivarsejt) és (a j genotípusú n i ivarsejt) szereplése pedig két független esemény (innent l (a i hím) és (a j n i)). Ennek megfelel en a zigóta (a i, a j ) genotípusának keletkezési valószín sége: 4

6 P ((a i, a j ) zigóta) = P (a i hím)p (a j n i) + P (a j hím)p (a i n i), i = 1,..., s, j = 1,..., s. A kezdeti feltételek miatt P (a k hím) = P (a k n i), k = 1,..., s, ezért az utóbbi valószín ségekre bevezethetjük a közös P (a k ) jelölést. Ekkor a fenti összefüggés: P ((a i, a j ) zigóta) = 2P (a i )P (a j ) alakba írható, ahol i = 1,..., s és j = 1,..., s. Figyelembe véve, hogy az utódgeneráció egyedinek szomatikus genotípusa megegyezik azon zigóták genotípusával, melyek az egyedek kifejl désére vezettek, ezért annak szomatikus genotípus valószín ségeloszlási polinomja: P 2 (a 1 )(a 1, a 1 ) + 2P (a 1 )P (a 2 )(a 1, a 2 ) + 2P (a 1 )(a 3 )(a 1, a 3 ) P (a 1 )(a s )(a 1, a s ) + P 2 (a 2 )(a 2, a 2 ) P (a s 1 )P (a s )(a s 1, a s ) + P 2 (a s )(a s, a s ). Észrevehetjük, hogy ez az összeg egyenl (P (a 1 )(a 1 ) P (a s )(a s )) 2 -nel, amennyiben az ivarsejtekre vonatkozó (a i )(a j ) eseményszorzatokat a szomatikus sejtekre vonatkozó (a i, a j ) eseményekkel azonosítjuk. 5

7 2. fejezet A Hardy-Weinberg törvény - szakirodalmi feldolgozás 2.1. Panmiktikus szaporodás Az 1.1 összefüggés szerint a három szomatikus genotípus el fordulási valószín sége az utódgenerációban a fent leírt panmiktikus szaporodást követ en mindig olyan, hogy alkalmas p-re a megfelel arányok rendre P (A, A) = p 2, P (A, a) = 2pq és P (a, a) = q 2, ahol q = 1 p. A következ kben ezen utódgeneráció utódgenerációjának szomatikus genotípus valószín ségeloszlását vizsgálom. Azt állítjuk,hogy ez is p 2 : 2pq : q 2 lesz. Tekintsük az els utódgeneráció ivarsejtjeinek genotípus eloszlását. A teljes valószín ség tétele szerint P (A) = P (A A, A)P (A, A) + P (A A, a)p (A, a) + P (A a, a)p (a, a) = 1 P (A, A) + 0, 5 P (A, a) = p 2 + 0, 5 2pq = p(p + q) = p. (2.1) Az állítást ezzel be is láttuk, hiszen p már ugyanezen generációban q-t és így az utódgeneráció utódgenerációjának szomatikus genotípus eloszlását is egyértelm vé 6

8 teszi. De közvetlen számolással is belátható (szintén csak az utódgenerációra vonatkozóan) P (a) = P (a A, A)P (A, A) + P (a A, a)p (A, a) + P (a a, a)p (a, a) = 0, 5 P (A, a) + 1 P (a, a) = 0, 5 2pq + q 2 = q(p + q) = q. (2.2) Ezt, tehát már az els szabad párosodással létrejött generáció egyensúlyi voltát mondja ki a következ tétel, melyet már 1908-ban leírtak Tétel (Hardy-Weinberg). Pánmiktikus körülmények között a második, harmadik,... utódgeneráció szomatikus genotípus vektora nem változik Az egyensúly feltételei A következ kben azt vizsgáljuk, hogy milyen feltételek mellett lesz egyensúly egy nem feltétlenül panmiktikus (szabad) szaporodással létrejött populáció és az utódgenerációja között. A nem ivari kromoszómán lév lókuszhoz itt is két allél, a és A tartozik Állítás. Annak, hogy egy populáció és az utódgenerációja között egyensúly legyen, szükséges és elégséges feltétele, hogy fennálljanak a következ összefüggések: ( ) 2 P ((a, a)) = 1 (P ((A, A))) 1 2 (2.3) ( ( )) P ((A, a)) = 2 P ((A, A)) P ((A, A)) 1 2. (2.4) 2.1. Bizonyítás. P (A, A) + P (A, a) + P (a, a) = 1 miatt elegend csak az egyik, például a P (A, A) : P (a, a) aránnyal foglalkozni. Ahogy az el z ekben láthattuk, az ivarsejtek genotípus valószín ségei: P (A) = P (A A, A)P (A, A) + P (A A, a)p (A, a) = P (A, A) + 0, 5P (A, a). 7

9 Az 1.1 összefüggés szerint az utódnemzedék (A, A) genotípusa ekkor (P (A, A) + 0, 5P (A, a)) 2. Egyensúly esetén ennek meg kell egyeznie a szül i nemzedék (A, A) genotípusának el fordulási valószín ségével, P (A, A)-val (P (A, A) + 0, 5P (A, a)) 2 = P (A, A). Innen Ezért P (A, a) = 2(P (A, A)) 1 2 (1 (P (A, A)) 1 2 ). P (a, a) = 1 (P (A, A) + P (A, a)) = 1 P (A, A) 2(P (A, A)) 1 2 (1 (P (A, A)) 1 2 ), ami elemi meggondolások miatt átírható a következ alakba P (a, a) = (1 (P (A, A)) 1 2 ) 2. (2.5) Az egyensúly teljesülésének szükséges és elégséges feltétele tehát az 2.5 összefüggés teljesülése 2.3. Hardy-Weinberg egyensúly három allél esetén Ebben a fejezetben azt vizsgálom, hogy három allél esetén mi a feltétele az egyensúlynak. Tartozzon így a szintén nem ivari kromoszómán lév lókuszhoz három allél, a 1, a 2 és a Állítás. Adott generációbeli egyensúlynak elégséges feltétele, hogy a szomatikus genotípus vektor a következ alakú legyen: (r 2 (a 1, a 1 ), p 2 (a 2, a 2 ), q 2 (a 3, a 3 ), 2pr(a 1, a 2 ), 2qr(a 1, a 3 ), 2pq(a 2, a 3 )), (2.6) ahol r, p és q az a 1, a 2 és a 3 allélok el fordulási valószín ségei az adott generációban. Fennáll a p + q + r = 1 egyenl ség és r 2 = P (a 1, a 1 ) 8

10 2.1. Megjegyzés. Ha az a 3 allél el fordulási valószín sége 0, akkor a kétallélos esetet kapjuk a 2.6 vektor (r 2 (a 1, a 1 ), p 2 (a 2, a 2 ), 2pr(a 1, a 2 )) alakú lesz, ami r = P (A, A) 1 2, p = 1 r = 1 P (A, A) 1 2 megfeleltetéssel visszavezet a kétallélos esetre, melyre az összefüggést beláttuk. Tehát tényleg az el z pontban tárgyalt összefüggés általánosításáról van szó. Továbbá az összefüggés értelmében az egyik feltétel az, hogy az (a i, a i ) (úgynevezett homozigóta) genotípus el fordulási valószín ségek négyzetgyökeinek összege 1 legyen Bizonyítás. Az a 1 allélra vonatkozó ivarsejt genotípus valószín ségeloszlási vektor, mely mindig el áll a következ képpen: P (a 1 ) = P (a 1 a 1, a 1 )P (a 1, a 1 ) + P (a 1 a 1, a 2 )P (a 1, 1 2 ) + P (a 1 a 1, a 3 )P (a 1, a 3 ) + 0, esetünkben így írható: P (a 1 ) = 1 r 2 + 0, 5 2pr + 0, 5 2qr = r 2 + pr + qr = r(r + p + q) = r. Hasonlóan, P (a 2 ) = p 2 + pr + pq = p(p + r + q) = p és P (a 3 ) = q 2 + qr + qp = q Ezek szerint az utódgeneráció szomatikus genotípus valószín ségeloszlási vektora, mint az ivarsejt genotípus valószín ségeloszlási vektor négyzete: (r(a 1 )+p(a 2 )+q(a 3 )) 2 = r 2 (a 1, a 1 )+p 2 (a 2, a 2 )+2pq(a 1, a 2 )+2rq(a 1, a 3 )+2pq(a 2, a 3 ), ami megegyezik a szül generáció szomatikus genotípus valószín ségi vektorával, ezzel pedig beláttuk az el bbi állítást 2.4. Hardy-Weinberg egyensúly k számú allél esetén Ebben a fejezetben általánosítom az el z feltételeket és k számú allélra vizsgálom az egyensúly feltételét. Az allélok a 1, a 2,..., a k, P (a i ) az a i allél valószín sége a 9

11 populáció reprezentáns ivarsejtjeinek körében, i = 1,... k és így P (a 1 ) +... P (a k ) = Állítás. Az egyensúly elégséges feltétele, hogy a szül generációban a szomatikus genotípus valószín ségeloszlási polinomja a következ alakú legyen: (r 2 1(a 1, a 1 ),..., r 2 k(a k, a k ),..., 2r 1 r 2 (a 1, a 2 ),..., 2r 1, r k (a 1, a k ),..., r k 1 r k (a k 1, a k )), ahol r 2 i = P (a i, a i ) 2.3. Bizonyítás. Az ivarsejt genotípusok valószín ségei: P (a 1 ) = P (a 1 a 1, a 1 )P (a 1, a 1 ) + P (a 1 a 1, a 2 )P (a 1, a 2 ) P (a 1 a 1, a k )P (a 1, a k ) + 0 = k k 1 r , 5 2r 1 r , 5 2r 1 r n = r1 2 + r 1 r i = r 1 (r 1 + r i ) = r 1. i=2 i=2 Hasonlóan látható be a többi ivarsejtgenotípusra is, így P (a i ) = r i, ahol i = 2,..., k. Így az utódgeneráció szoamtikus genotípus valószín ségeloszlás vektora: (r 1 (a 1 ) r k (a k )) 2. Négyzetre emeléssel visszajutunk a szül generáció szomatikus genotípus valószín ségeloszlási vektorához. Ezzel az állítást bizonyítottuk. 10

12 3. fejezet Egy, az el z ekt l eltér szaporodási modell 3.1. Leírás, feltételek A következ modellben egy olyan (nem ideális) ivarsejtpopulációt vizsgálok, melyben összesen 40 darab, 8-8 a és A genotípusú hím és n i ivarsejt van. A hím ivarsejtek közül véletlenül és azonos valószín séggel kiválasztunk egyet. Ha ez az ivarsejt A genotípusú, akkor p = 0, 2 valószín séggel elpusztul, viszont q = 0, 8 valószín séggel tovább él és megtermékenyít egy n i ivarsejtet. Ha a hím ivarsejt a genotípusú, akkor p = 0, 3 valószín séggel pusztul el és q = 0, 7 valószín séggel megtermékenyít egy n i ivarsejtet. Abban az esetben, ha a kiválasztott ivarsejt elpusztul, úgy újra választunk véletlen módon a megmaradt 19 ivarsejtb l, mindaddig, amíg egy, a megtermékenyítésben részt vev hím ivarsejt nem adódik, majd ezt feljegyezzük. A kiválasztott hím ivarsejthez ugyanilyen módon és ugyanilyen túlélési valószín ségekkel választunk egy n i ivarsejtet. (Így háromféle genotípusú utódsejt jöhet létre: AA, Aa és aa.) Ezt a kiválasztást értelemszer en addig folytatjuk, amíg el nem fogynak a hím vagy a n i ivarsejtek. Feltesszük, hogy a megmaradó hím és 11

13 n i ivarsejtekb l biztosan keletkezik egy zigóta. A modell egyszer és realisztikus, azonban az utódnemzedékbeli szomatikus genotípus eloszlás megadása elméleti síkon meglehet sen nehézkes lenne A szimulációhoz el ször véletlen sorrendbe rendeztem a 20 hím ivarsejtet, majd ebben a sorrendben vettem egyesével ket, generáltam hozzájuk egy-egy véletlen számot, ami eldöntötte, hogy az ivarsejt elpusztul vagy részt vesz-e a megtermékenyítésben. Ugyanígy a n i ivarsejteknél is. Az így kialakult hím-n i ivarsejtpárok genotípusát jegyeztem fel. Majd az egész metódust megismételtem 40-szer, melynek során ehhez hasonló sorozatokat kaptam: aa, Aa, aa, Aa, AA, aa, aa, aa, aa, AA, Aa, AA, AA, aa, aa, ahol az els tag mindig a hímivarsejt, a második a n i genotípusa. Ahogy láthatjuk, itt 15 zigóta keletkezett, míg, ha az egyes ivarsejtek biztosan résztvennének a megtermékenyítésben, akkor minden ilyen sorozatban 20 zigóta keletkezne. A továbbiakban aa és Aa között nem teszek különbséget. A lenti táblázat összefoglalja, hogy a különböz sorozatokban hány AA, Aa és aa genotípusú utódsejt keletkezett Eredmények A következ táblázat összefoglalja az el z szimulált modell eredményeit Aa aa AA

14 Aa aa AA Aa aa AA Aa aa AA táblázat. Eredmények részletesen Az els sorokban a sorozatok sorszáma, a második az egyes sorozatokban keletkezett Aa, a harmadik az aa, a negyedik az AA genotípusú utódsejtek száma, az utolsó sorokban pedig a sorozatban keletkezett összes utódsejtek, zigóták száma látható. Összesítve azt kapjuk, hogy az 557 keletkezett zigótából, 253 Aa (45, 42 %), 98 aa (17, 60 %) és 206 AA genotípusú (36, 98 %). A kapott arányok tehát 0, 3698 : 0, 4542 : 0, 1760 (AA : Aa : aa). Visszatérve a Punett-táblára, kiszámíthatjuk, hogy mik lennének az elméleti arányok a panmiktikus modellben. A kiinduláskor az A és a genotípusok aránya 0, 6 : 0, 4 így az utódgenerációban az AA : Aa : aa arány 0, 36 : 0, 48 : 0, 16 lesz. Tehát észrevehetjük, hogy ez a szaporodási modell nem 13

15 térhet el sokban a panmiktikustól. Valószín, hogy a két modell azonos eredményre vezet. Erre a megállapításra tehát egyszer, középiskolások által is használható szimulációs program segítségével jutottunk. El fordulhat, hogy az egyes genotípusok uralkodóvá válnak az adott populációban. Ezért fejl désük során a populációk bizonyos mértékig önszabályozóvá váltak azért, hogy fenntartsák a genotípusok közötti megfelel arányokat. A különböz genotípusú zigóták vizsgálata során észrevehetünk egy szabályt, miszerint ha egy bizonyos genotípusú zigóták túl nagy számban vannak jelen a populációban, úgy kisebb eséllyel válnak ivarérett egyeddé. Ezt nevezzük denzitás- vagy s r ségfüggésnek. Ha a populáció egyedszáma n, az adott genotípusú (itt legyen például az AA genotípusú) zigóták száma pedig k, akkor az AA genotípusú zigótákból p = 1 k n valószín séggel fejl dik ki ivarérett egyed. Ezt mutatja a következ ábra is, 3.1. ábra. Denzitásfüggés (kapcsolat adott genotípusú zigóták populációbeli aránya és azok ivarérett egyeddé fejl désének valószín sége között) 14

16 ahol az x tengely mutatja az AA genotípusú zigóták arányát a populációban lév összes egyedhez viszonyítva (az egyszer ség kedvéért feltesszük, hogy a populációban 100 zigóta van, az AA genotípusú zigóták száma így 0 és 100 között változhat), az y tengely pedig annak a valószín ségét, hogy a zigótából ivarérett egyed fejl dik ki az adott arány mellett. Az ábra jól mutatja, hogy ha az AA genotípusú zigóták aránya nullához közeli, úgy majdnem biztosan ivarérett egyeddé fejl dnek, viszont ahogy n a számuk és közelít a teljes populáció egyedszámához, úgy csökken kifejl désüknek valószín sége is. Vegyük például az ötödik sorozatot. Itt összesen 18 zigóta keletkezett, ebb l 7 AA genotípusú, tehát itt az AA genotípus aránya 0, 3889 ( 7 ). Így a s r ségfüggési modell szerint egy AA genotípusú zigótából p = 0, valószín séggel fejl dik ki ivarérett egyed, ami azt jelenti, hogy a hét AA genotípusú zigótából várhatóan csak négy ivarérett AA genotípusú egyed fejl dik ki. Ezt minden sorozat minden genotípusára kiszámolva azt kapjuk, hogy várhatóan összesen csak 270 zigótából fejl dik ki ivarérett egyed, továbbá felírhatunk egy új AA : Aa : aa arányt, ami most 0, 393 : 0 : 414 : 0, 193 lesz (emlékeztet ül: a panmiktikus modellnél ez 0, 36 : 0, 48 : 0, 16 volt). 15

17 4. fejezet Ivari kromoszómához kötött lókuszok Az eddigiekben a nem ivari kromoszómákat vizsgáltuk, most azonban rátérünk az ivari kromoszómákon lév lókusz alélljaira, melyeket szintén A és a jelöl. Az ivari kromoszómapárban az egyik ivar két egyforma kromoszómával vesz részt (XX) míg a másikban a két kromoszóma egymástól eltér (XY). Az emberben és a legtöbb váltivarú állatban, és kétlaki növényben többnyire a hímivarú egyedekre jellemz k az eltér alakú és többnyire különböz méret X és Y ivari kromoszómák, míg a n ivarúakban az XX kromoszómapár található. Ahogy ezel tt, most is felírható a hím és a n i szomatikus genotípus valószín ségi vektor. Jelen esetben a n i szomatikus genotípus valószín ségi vektor (r AA, 2s Aa, t aa ) alakú, ahol r AA + 2s Aa + t aa = 1. A továbbiakban ezt csak (r, 2s, t)-vel, a szül generációt pedig (r 0, 2s 0, t 0 )-val jelöljük. A hím szomatikus genotípus valószín ségi vektor (itt egyetlen X kromoszóma van a szomatikus sejtben) (p A, q a ) alakú, itt is fenáll a p A + q a = 1 egyenl ség, a továbbiakban ezt is csak (p, q)-val, a szül generációt (p 0, q 0 )-val jelöljük. 16

18 Így a n i ivarsejt el fordulásának valószín ségei a következ képpen írhatók le (A n n i A-t jelöl): P (A n ) = P (A n AA n )P (AA n ) + P (A n Aa n )P (Aa n ) + 0 = r + 0, 5 2s = r + s P (a n ) = P (a n Aa n )P (Aa n ) + P (a n aa n )P (aa n ) + 0 = 0, 5 2s + t = s + t (4.1) Vagyis a valószín ségi vektor, a n i ivarsejtre nézve így írható: ((r + s) A, (s + t) a ) = ((r + s), (s + t)) A hím ivarsejt el fordulására vonatkozó valószín ségek (A h hím A-t jelöl): P (A h ) = P (A h A h )P (A h ) = P (A h ) = p P (a h ) = P (a h a h )P (a h ) = P (a h ) = q. (4.2) Így a hím ivarsejtre felírt valószín ségi vektor (p A, q a ) = (p, q) alakú, ugyanúgy mint a szomatikus sejtek esetén. A n i utódgenerációban a szomatikus genotípus valószín ségek: P (AA n ) = P (A h )P (A n ) = p(r + s) P (Aa n ) = P (A n )P (a h ) + P (a n )(A h ) = (r + s)q + (s + t)p P (a, a n ) = P (a h )P (a n ) = q(s + t). Értelemszer en, AA szomatikus genotípusú utódsejt hím A és n i A egyesülésével keletkezik, ugyanilyen megfontolások alapján aa-ra hasonlóan, míg Aa kétféleképpen keletkezhet hím A, n i a és hím a, n i A egyesülésével, ezért itt ezek a valószín ségek összeadódnak. A fentieket összefoglalva felírhatjuk az utódgenerácóra vonatkozó n i szomatikus genotípus valószín ségi vektort: (p(r + s) AA, (p(s + t) + q(r + s)) Aa, q(s + t) aa ), 17

19 ami a generációt is jelz írásmóddal (r 1, 2s 1, t 1 )-nek felel meg. Ugyanígy felírhatók a szomatikus genotípus valószín ségek a hím utódpopulációban is, itt azonban fontos megjegyezni, hogy mivel ivari kromoszómán lév lókuszról van szó, a hímek ehhez tartozó A vagy a allélja csakis a n i szomatikus sejtb l származhat. A valószín ségek tehát: P (A h ) = P (A h AA n )P (AA n ) + P (A h Aa n )P (Aa n ) + 0 = 1 r + 0, 5 2s = r + s és P (a h ) = P (a h Aa n )P (Aa n ) + P (a h aa n )P (aa n ) = 0, 5 2s + t. Az eddigieket összefoglalva az els utódgeneráció hím és n i szomatikus genoípus valószín ségi vektorának komponensei a következ képpen írhatók: r 1 = p 0 (r 0 + s 0 ), 2s 1 = p 0 (s 0 + t 0 ) + q 0 (r 0 + s 0 ), t 1 = q 0 (s 0 + t 0 ) p 1 = r 0 + s 0, q 1 = s 0 + t 0. (4.3) Most, hogy ismerjük az els utódgeneráció szomatikus genotípus valószín ségi vektorának tagjait és látjuk, hogy ezen értékek csak a szül generáció hasonló értékeit l függenek, kiszámíthatjuk a második, harmadik és így az összes ezt követ generációra is a valószín ségeket. Mindez tehát általánosan az n és n + 1-edik generáció viszonylatában (n = 0, 1, 2,...): r n+1 = p n (r n + s n ), (4.4) 2s n+1 = p n (s n + t n ) + q n (r n + s n ), (4.5) t n+1 = q n (s n + t n ) (4.6) p n+1 = r n + s n, (4.7) q n+1 = s n + t n. (4.8) 18

20 A következ fejezetben ezen értékek változását vesszük sorra a szül generáció szomatikus genotípus valószín ségi vektorának függvényében, több példán keresztül. Felírhatók még további összefüggések is, melyeket az eddigiekb l kaphatunk meg. Így a 4.4 és a 4.7 összefüggések alapján: 4.5, 4.7 és 4.8 összefüggésekb l r n+1 = p n p n+1, (4.9) 2s n+1 = p n q n+1 + q n p n+1, (4.10) 4.6 és 4.8 összefüggésekb l pedig t n+1 = q n q n+1 (4.11) A szomatikus genotípus valószín ségi vektor tart egy határeloszláshoz a következ k szerint. A 4.4 és 4.5 összefüggésekb l megkapjuk a 2r n+1 + 2s n+1 = 2p n (r n + s n ) + p n (s n + t n ) + q n (r n + s n ) = = 2p n (r n + s n ) + p n (1 r n s n ) + (1 p n )(r n + s n ) (4.12) egyenl séget, mely azért áll fenn, mert a megfelel valószín ségek összegére 2s n + r n + t n = 1. A 4.12 formula átalakítható a következ vé: 2r n+1 + 2s n+1 = p n + r n + s n, (4.13) ami a 4.7 számú összefüggés miatt 2p n+2 = p n + p n+1 alakba is átírható. Továbbá, mivel feljebb láthattuk, itt a baloldalon 2r n+1 +2s n+1 = 2p n+2, a jobboldalon pedig r n + s n = p n+1 áll, ezért a 4.13 összefüggés 2p n+2 = p n + p n+1 19

21 alakra hozható, melyet átrendezve a 2p n+2 p n+1 = p n összefüggéshez jutunk. Innen 2p n+2 2p n+1 = p n p n+1 p n+2 p n+1 = 1 2 (p n+1 p n ). (4.14) Így egy rekurziós formulát kaptunk a p értékek különbségeire. A továbbiakban ennek alapján foglalkozunk az A genotípusú hím szomatikus és egyben ivarsejtek p n el fordulási valószín ségek konvergenciájával (a hímek körében). Ehhez bevezetjük a p n+1 p n = p n = n n = 0, 1, 2,... jelölést, amivel a 4.14 formula átírható n+1 = 1 2 n alakra és hasonlóan n =. 1 2 n 1, 2 = 1 2 1, 1 = 1 2 0, ( 0 = p 1 p 0 ) Innen ami végül a n+1 = 1 ( 1 ) 2 2 n 1 = 1 ( 1 ( 1 )) n 2 =, ( n+1 = 1 n+1 ( 0 = 2) 1 n+1 (p 1 p 0 ) (4.15) 2) 20

22 alakra hozható. Tekintsük most a p n = p 0 + (p 1 p 0 ) + (p 2 p 1 ) + + (p n p n 1 ) azonosságot. A különbségeket 4.15 alapján átírva a ( p n = p ) ( ) ( 1 ) 0 = ( = p (1 + 1 ) ( ( ) 1 ) ) n 1 2 összefüggéshez jutunk, ahol az egyenl ség jobboldalán lév, 0 utáni zárójelben egy mértani sorozat eleminek összege áll (q = 1 ), így ez felírható a következ alakban: 2 ( ( ) n ( ) ( ) ) n n ( ) = = Ezt visszahelyettesítve a ( ( ) n ) p n = p formulát kapjuk. Így ( ( ) n ) lim p 2 n(= p ) = p lim x x 3 = p = = p (p 1 p 0 ) = 1 3 (p 0 + 2p 1 ), (4.16) és értelemszer en q = 1 p. Ekkor r n+1 = p n p n+1 gyelembevételével A 4.11 formula alapján: lim r n+1 = r = lim p n p n+1 = p 2 = 1 n n 9 (p 0 + 2p 2 1). t n+1 = q n q n+1 = (1 p n )(1 p n+1 ). 21

23 Ekkor lim t n+1(= t ) = (1 p ) 2 = q 2 = (1 1 n 3 (p 0 + 2p 1 )) 2, végül s = p q = 1 3 (p 0 + 2p 1 )(1 1 3 (p 0 + 2p 1 )). Összefoglalva a határeseti genotípus valószín ségi vektorok: (p 2 AA, 2p q Aa, q 2 aa) (4.17) (p A, q a ). (4.18) Így láthatjuk, hogy r, s, t, p és q csupán p 0 -tól és p 1 -t l, p 1 = r 0 + s 0 miatt végtére is p 0 -tól és r 0 + s 0 -tól függ. Ahogy azt az el bbiekben láttuk, r 0 + s 0 az A allél el fordulási valószín sége a szül generáció n i ivarsejtjeinek körében, p 0 pedig ugyanezen allél el fordulási valószín sége a hím ivarsejtek körében (szintén a szül generációban). 22

24 5. fejezet A szomatikus genotípusok el fordulási valószín ségeinek sorozatai az r 0, s 0 és p 0 értékek függvényében A következ kben az els 10 generáció szomatikus genotípus valószín ségi vektorának komponenseit vizsgáljuk. Megnézzük mi történik akkor, ha a p 0, r 0 és s 0 valószín ségek közül kett t rögzítünk és csak a harmadikat változtatjuk. A grakonok pontokból állnak, csak a jobb áttekinthet ség céljából kötöttem ket össze egy egyenessel A p n értékek változása Ebben a részben a p n értéket vizsgáljuk p 0 függvényében különböz r 0 és s 0 értékek mellett Az 5.1. ábra azt mutatja meg, hogyan változik p n, ha r 0 = 0, 5, s 0 = 0, 1 és t 0 = 0, 3 állandósága mellett p 0 0, 1-t l 0, 9-ig változik (persze így q 0 is változik, mivel p 0 + q 0 = 1). Így ezen az ábrán összesen kilenc grakont láthatunk. 23

25 5.1. ábra. A p n értékek alakulása p 0 függvényében, r 0 = 0, 5, s 0 = 0, 1 A legalsó (kék) vonal mutatja azt az esetet, ahol p 0 = 0, 1, a felette lév nél p 0 = 0, 2, míg a legfels nél p 0 = 0, 9. Láthatjuk, hogy alulról a hatodik grakon konstans (ez a p 0 = 0, 6-os esetet mutatja) és az egyes grakonok annál simábbak és annál hamarabb "beállnak", minél közelebb vannak ehhez a grakonhoz, tehát a 0, 6 közeli p 0 értékek esetén. Az 5.2. ábra szintén a p n értékeket mutatja, de most r 0 = 0, 3 s 0 = 0, 2 és t 0 = 0, 3 esetén. Az el z ábrához hasonlóan itt is kilenc grakont láthatunk, mivel p 0 itt is a 0, 1, 0, 2,..., 0, 9 értékeket veszi fel. 24

26 5.2. ábra. A p n értékek alakulása p 0 függvényében, r 0 = 0, 3, s 0 = 0, 2 Láthatjuk, hogy itt p 0 = 0, 5-nél kapunk konstans egyenest, és az ehhez közeli grakonok a simábbak. Most megnézünk egy harmadik esetet is, itt is a p n értékeket láthatjuk, itt azonban r 0 = 0, 1 és s 0 = 0, 3 feltételek esetén. Ezen kiindulási r 0 és s 0 valószín ségek mellett, a p 0 = 0, 4-es esetben kapunk konstans grakont p n -re. 25

27 5.3. ábra. A p n értékek alakulása p 0 függvényében, r 0 = 0, 1, s 0 = 0, 3 A három ábrát együtt vizsgálva, a konstans grakon helyét leszámítva nem látunk köztük nagy eltéréseket Az r n értékek változása Az el z részhez hasonlóan most is a három valószín ség közül kett t hagyunk xen és csak egyet változtatunk, itt r 0 -t. El ször három olyan grakonegyüttest láthatunk, melyeknél s 0 = 0, 1 és a p 0 értékeket rendre a 0, 25-ra, 0, 5-re és 0, 75-ra állítottuk (így q 0 rendre 0, 75, 0, 5 és 0, 25 lesz). Mivel s 0 -t xen hagyjuk, ezért t 0 r 0 - val együtt változik. Láthatjuk, hogy az x = 0 pontban, tehát a szül generációban r 0 0, 1-t l 0, 7-ig vesz fel értékeket. Az 5.4. ábránál meggyelhetjük, hogy minél kisebb r 0, a grakonok annál simábbak. 26

28 (Emlékeztet ül: itt p 0 = 0, 25.) 5.4. ábra. A r n értékek alakulása r 0 függvényében, p 0 = 0, 25, s 0 = 0, 1 Az 5.5. ábra esetében, ahol p 0 = 0, 5, észrevehetjük, hogy alulról a negyedik grakon (r 0 = 0, 4) x = 1-t l konstans és alatta simább grakonokat találhatunk. Az 5.6. ábránál, amelynél p 0 = 0, 75, azt tapasztaljuk, hogy az els esett l eltér en, itt a nagyobb r 0 értékek esetén kapunk simább grakonokat. 27

29 5.5. ábra. A r n értékek alakulása r 0 függvényében, p 0 = 0, 5, s 0 = 0, ábra. Az r n értékek alakulása r 0 függvényében, p 0 = 0, 75, s 0 = 0, 1 28

30 Továbbá, az ábrák grakonjait együtt tekintve azt láthatjuk, hogy minél nagyobb p 0 mellett vizsgáljuk r n -t, az annál simább lesz. A következ kben három olyan ábrát láthatunk, amelyeknél szintén r 0 változik, s 0 = 0, 3 és p 0 rendre a 0, 25, 0, 5 és 0, 75 értékeket veszi fel. Itt az 5.7. ábrán láthatjuk a legsimább grakonokat, tehát p 0 = 0, 5 esetén, s t itt az r 0 = 0, 2-es esetben az x = 1-t l r n konstans. Az 5.8. ábrán, p 0 = 0, 25 esetén a grakonok annál simábbak, minél kisebb r 0. Az 5.9. ábrán lév grakonok, itt p 0 = 0, 75, pedig nagyjából egyformák ábra. Az r n értékek alakulása r 0 függvényében, p 0 = 0, 25, s 0 = 0, 3 29

31 5.8. ábra. Az r n értékek alakulása r 0 függvényében, p 0 = 0, 5, s 0 = 0, ábra. Az r n értékek alakulása r 0 függvényében, p 0 = 0, 75, s 0 = 0, 3 30

32 5.3. Az s n értékek változása A következ kben megnézzük a harmadik esetet is, amikor s 0 -át változtatjuk x p 0 és r 0 mellett. Itt is három ábra látható, melyeknél r 0 végig 0, 1 lesz és p 0 értéke sorban 0, 25, 0, 5 és 0, 75 lesz. Az ábra egy olyan esetet mutat, ahol p 0 = 0, 25 és r 0 = 0, 1 és s 0 különböz értékeket vesz fel 0, 1-t l 0, 4-ig. Láthatjuk, hogy s n képe akkor a legsimább mikor s 0 = 0, 2, ez alulról a második grakon. Az ábránál észrevehetjük, hogy a grakonok annál simábbak, minél nagyobb s 0 értéke, s t az s 0 = 0, 4-es esetnél az els lépés után s n már konstans. Az ábránál, ahol p 0 = 0, 75, az s 0 = 0, 3-es grakon a legsimább és az ett l legtávolabb lév, ahol s 0 = 0, 1 áll be a legkés bb ábra. Az s n értékek alakulása s 0 függvényében, p 0 = 0, 25, r 0 = 0, 1 31

33 5.11. ábra. Az s n értékek alakulása s 0 függvényében, p 0 = 0, 5, r 0 = 0, ábra. Az s n értékek alakulása s 0 függvényében, p 0 = 0, 75, r 0 = 0, 1 32

34 A három ábrát együtt vizsgálva azt fedezhetjük fel, hogy a grakonok annál közelebb vannak egymáshoz, minél nagyobb p 0 értéke. A végs pontok között, ahová konvergálnak, tehát egyre kisebb a különbség. Ha az r 0 -nak nagyobb értékeket adunk, akkor értelemszer en egyre kevesebb lehet ségünk van s 0 értékének megadásakor, mivel, ahogy a korábbiakban láthattuk r 0 + 2s 0 + t 0 = 1, ezért csak ezt az egy esetet mutattam be ebben a részben. 33

35 6. fejezet Összefoglalás Dolgozatom els fejezetében olyan alapvet biológiai és populációdinamika fogalmakat vezettem be, melyek elengedhetetlenek a további fejezetek értelmezéséhez. A második fejezetben a Hardy-Weinberg egyensúlyról és annak feltételeir l írtam kett, három és végül k számú allél esetén. A harmadik fejezetben bemutattam egy egyszer, szimulált szaporodási modellt, majd elemeztem a kapott eredményeket. A fejezet végén egy új fogalmat is bevezettem, a populációk denzitás függését, majd ennek tükrében újra értékeltem a szimuláció által kapott eredményeket. A dolgozatom eddigi fejezeteiben a nem ivari kromoszómákhoz kötött lókuszokhoz tartozó allélokról írtam, innent l, a negyedik fejezett l, rátértem az ivari kromoszómákhoz kötött lókuszokra. A negyedik fejezetben különböz egyszer összefüggéseket mutattam be a szül és utódgeneráció hím és n i szomatikus genotípus valószín ségi vektorának komponensei között. Ezeket az összefüggéseket felhasználva az ötödik fejezetben megvizsgáltam, hogyan változnak ezek a komponensek az els 10 generációban. 34

36 Köszönetnyilvánítás Köszönettel tartozom a témavezet mnek, Izsák Jánosnak a dolgozatom elkészítésében nyújtott segítségéért és végtelen türelméért. Köszönöm továbbá Oláh Tibornak és Krasnyánszki Lászlónak a programozásban nyújtott segítségét. 35

37 Nyilatkozat A szakdolgozat szerz jeként fegyelmi felel sségem tudatában kijelentem, hogy a dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a megfelel idézés nélkül nem használtam fel. 36

38 Irodalomjegyzék [1] Ács Tamás, Csaba György, Kiszely György, Szabó Gábor: Biologia Medicina, A populációgenetika alapjai [2] Günter Vogel, Harmut Angermann: Biológia Springer Hungarica, Mikroevolúció, Populációk [3] Izsák János, Juhász-Nagy Pál, Varga Zoltán: Bevezetés a biomatematikába Tankönyvkiadó, Valószín ségszámítás, Példák 37