DIPLOMAMUNKA FELADAT

Átírás

1 Általános- és Felsőgeodézia Tanszék DIPLOMMUNK FELDT Geopotenciális modell számítása GRCE mikrohullámú távolságmérés alapján Konzulensek: Dr. Földváry Lóránt MT-ME tudományos munkatárs, ME Általános- és Felsőgeodézia Tanszék Dr. Papp Gábor műszaki tudomány kandidátusa, MT Geodéziai és Geofizikai Kutatóintézet Paizs Zoltán 006.

2

3

4 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, dr. Földváry Lórántnak azon sok segítségéért, amelyet nekem szentelt, és fáradhatatlan türelmét, és megértését azon sok kérdés megválaszolására, amelyet feltettem. Szeretnék köszönetet mondani dr. Papp Gábornak a tanácsaiért, amelyekkel segítette dolgozatom elkészítését, illetve hogy a személyes konzultáció lehetőségét is biztosította.

5 evezetés GRCE egy gravitációs tér meghatározására irányuló NS/GFZ projekt, amely 00 tavaszától várhatóan 5 éven keresztül szolgáltatja a gravitációs mező időbeli és térbeli változásairól információt. dolgozat keretében energia integrál segítségével 4 hónap hosszúságú GRCE észlelésekből geopotenciális modellt számoltunk. feldolgozáshoz a GRCE műholdak ún. b szintű (Level b) adatait használtuk. számítások során mindvégig kinematikus pályákat használtunk fel, illetőleg a két műhold közötti mikrohullámú távolságmérés eredményeit. megoldás a két műhold között felírható energia-megmaradás törvényén alapszik. pályaadatokból a két műhold között potenciálváltozást határoztuk meg, és ez alapján egyenlítettük ki a földi potenciál gömbfüggvénysorának együtthatóit, végezetül a kapott eredményekből geoidmodellt állítottunk elő. Összehasonlításképp korábbi hivatalos modellekkel vetettük össze az együtthatókat, és a geoidmodelleket.

6 Tartalomjegyzék lapok Mesterséges holdak mozgása GRCE műholdak Perturbációk... 6 közvetítőegyenlet levezetése Energia-integrál Konzervatív erők....3 Föld forgása....4 Low-Low Satellite to Satellite Tracking egyenletei Low-low SST bázisvonalon alapuló megoldás közvetítőegyenlete Low-low SST mikrohullámú távolságmérésen alapuló megoldás közvetítőegyenlete Mérések feldolgozása datok Pályatípusok Kinematikus pálya Dinamikus pálya Féldinamikus pálya (reduce dynamic orbit) Programok Sebességszámítás datbeolvasás és feldolgozás Energia-integrál kiszámítása GRCE-EGM potenciálkülönbség meghatározása a drift levonásához hosszú hullámhosszú tag (drift) meghatározása és levonása kiegyenlítés és a kapott eredmények elemzése Eredmények összehasonlítása mikrohullámú távolságmérésen alapuló módszer összehasonlítása az első hivatalos GRCE modellel bázisvonalon alapuló megoldás és a mikrohullámú távolságmérésen alapuló megoldás összehasonlítása az első hivatalos GRCE modellel Összegzés... 48

7 4 Mellékletek Rövidítések Irodalomjegyzék Feldolgozott adatok formátuma műholdak pillanatnyi helyzete

8 lapok. Mesterséges holdak mozgása bolygók mozgásának törvényszerűségeit már Kepler felismerte és tapasztalati úton felállított törvényeivel leírta. Newton az általános tömegvonzás törvényének meghatározása után, ennek alapján megadta a Kepler-törvények fizikai magyarázatát is, mely szerint bármely égitest (Föld) közelében mozgó égitestek (mesterséges holdak) mozgását az égitest nehézségi erőtere szabja meg. Tehát ha megfigyeljük a mesterséges holdak mozgását, akkor lehetőségünk nyílik arra, hogy ezzel meghatározzuk, esetünkben a Föld nehézségi erőterét a GRCE és GRCE műholdak mérései alapján. mesterséges holdak mozgásának vizsgálata azonban sok szempontból eltér egy szabályos Kepler-féle mozgásától. Ennek oka elsősorban az, hogy a mesterséges holdak pályaszámításához sokféle perturbáló erőhatást kell figyelembe venni. Míg számos esetben az égitestek tömegpontoknak tekinthetők, addig a mesterséges holdak mozgása során ezek viszonylagos felszíni közelsége miatt az égitestek nem gömbszimmetrikus tömegeloszlásból származó hatásokat is figyelembe kell venni. Emellett a mesterséges holdaknál a gravitációs perturbációk mellett jelentős hatással bírnak a nem-gravitációs effektusokat is. Mint minden földi mesterséges holdnál a fő gravitációs perturbációk magától a Földtől származnak, melynek legnagyobb tagja a Föld egyenlítői lapultsága. nemgravitációs perturbációk közül, pedig a légköri fékezésből származó perturbáció a leginkább számottevő az alacsony magasságban keringő műholdak esetén. Emellett a sugárnyomás perturbációkat sem szabad elhanyagolni esetünkben. műholdak mozgását perturbáló erők befolyásolják, melynek fő tagja természetesen a Föld, mint tömegpont által kifejtett tömegvonzási potenciál. Csak ezt az erőt figyelembe véve a mozgásegyenlet a következőképpen alakul: km r = r r r Föld valóságos gravitációs erőtere nem centrális erőtér. Ennek eltérését a potenciál gömbfüggvény-sorával írhatjuk le, melynek eredményeként a mozgásegyenlet a következőképpen fog alakulni: km r r = + grad R(J n, C lm, S r r lm, r) 4

9 földi nehézségi erőtér leírása hagyományos geocentrikus, Földhöz kötött koordinátarendszerben történik. Ebben a rendszerben a Föld forgása keltette centrifugális erő is állandóan jelen van: km r r = + grad R(J n, C lm, Slm, r) + a c r r további kisebb erőhatásokkal az.3-as pontban foglalkozunk. z egyenlet megoldása során most már olyan Kepler-féle pályaelemeket kapunk, amelyek a Föld valódi nehézségi erőterét írják le az idő függvényében. Föld valóságos nehézségi erőterében mozgó műholdak (tömegpontoknak tekinthetők a Föld méreteihez képest) pályája bonyolult térgörbe lesz, melyek elemi szakaszai időben változó méretű, alakú és helyzetű Kepler-féle ellipszis pályák elemi darabjainak tekinthetők. 5

10 . GRCE műholdak Napjainkban a gravitációs tér mérésénél egyre inkább előtérbe került az űrgravimetria. Elsőként a német GFZ CHMP műholdját állították pályára 000-ben, majd ezt követően 00-ben a NS és a GFZ közös vállalkozásával a GRCE projekt keretében két műholdat lőttek fel. Illetőleg az ES gradiometriai műholdja (GOCE) várhatóan 006-ban indul útjára. GRCE projekt két műholdat takar, melyek Föld körüli pályán mintegy 485 km magasságban a Föld felszíne felett, közel poláris pályán (melynek névleges hajlása 89 ), egymást 0 ± 50 km távolságban követve keringenek. GRCE műhold pár rendelkezik GPS vevőkkel, melyek segítségével folyamatosan mérik a pozíciójukat. Ez egy magas-alacsony műholdkövetésnek (high-low SST) felel meg. műholdak pályaadataiból lehetőség nyílik arra, hogy egy bázisvonalat állítsunk fel. pozíció meghatározásának a pontossága itt ±3 cm alatt van, tehát a két GRCE műhold közötti távolság-meghatározás pontossága ±5 cm alatt van. Természetesen a műholdok folyamatosan mérik a közöttük lévő távolságot két frekvencián (K 4GHz és Ka 3 GHz-es frekvenciákon). Ez egy alacsony-alacsony műholdkövetésnek (lowlow SST) felel meg. két. ábra: GRCE műholdak frekvencián meghatározott távolság nagyságrendekkel pontosabb a GPS műholdak által meghatározott távolságnál (mm-es megbízhatóság) a megfelelő korrekciók figyelembe vételével. Célunk, hogy ezen pontosabb mérési eredményeket használjuk fel a számításainkhoz..3 Perturbációk Földet első közelítésben tekinthetjük pontszerűnek, melynek tömege M, így egy gömbszimmetrikus erőteret képez (R = méter). potenciál értékének kiszámítása a következő képlettel lehetséges: 6

11 GM g =, melyből látható, hogy ez a tömegközépponttól való távolság négyzetével r fordítottan arányos, ahol a G a gravitációs állandó. (M=5,974*0 4 kg, G=6,67*0 - Nm GM=3,986*0 4 Nm ) kg kg Föld gömbszimmetrikus erőterétől való eltérés több tényező függvényeként írható le: I. Föld tömegeloszlása nem gömbszimmetrikus, melyet szférikus gömbfüggvénysorban fejezhetünk ki. l l GM R U ( r, ϕ, λ) = ( Clm cosmλ + Slm sin mλ) Plm( sinψ ) () R l = 0 r m= 0 hol r, ϕ és λ geocentrikus polárkoordináták. z l a szférikus harmonikus rendje, az m a fokszámát jelenti a függvénynek. II. többi égitest perturbáló hatása, mint a Hold, a Nap (Luniszoláris perturbáció) és a többi bolygó. III. Föld lapultságának indirekt hatása, melyből kifolyólag ez perturbációt okoz a Hold mozgásában, és emiatt eltolódik a Föld-Hold rendszer tömegközéppontja. IV. z általános relativitáselméletből adódó korrekció, amely a Földtől, mint tömegponttól származó gyorsulással arányos, ahol az arányossági tényező a Föld Schwarzschild-sugarának és a hold r távolságának hányadosa. V. Légköri fékeződésből származó perturbációk. Ezen perturbációkat okozó erők két erő komponensre és egy nyomatékra bonthatók: a) Közegellenállási erő (f D ), mely a haladási iránnyal ellentétes irányban hat. VI. f D = ρ V r C D hol: ρ a levegő sűrűsége, a holdnak a mozgás irányára merőleges keresztmetszete és C D a dimenziótlan. ábra: Légköri fékeződés hatásai közegellenállási együttható. b) erodinamikai felhajtóerő (f L ) c) Forgatónyomaték (M) sugárnyomásból származó perturbációk két részre oszthatók: ) Direkt sugárnyomás: Nap elektromágneses sugárzása a mesterséges holdra nyomóerőt fejt ki. sugárzás részben elnyelődik, részben visszatükröződik, és 7

12 VII. részben szóródik. Föld árnyékában azonban nincs napsugárzás, azaz itt másként kell figyelembe venni ezt a hatást. Egy árnyékfüggvény bevezetése célravezető, azonban nem teljes értékű figyelembe vétel. ) Indirekt effektusok: a) Földről visszaverődött sugárzás sugárnyomása. Ez a Nap sugárzásának a Földről tükrözésszerűen visszaverődött, illetve diffúzan szórt része, valamint a Föld termikus sugárzása. b) mesterséges hold anizotrop termikus emissziója. zaz a hold hőmérséklet-eloszlása nem egyenletes, aszimmetria lép fel a hold megvilágított és az éjszakai oldala között. c) mesterséges hold rádiósugárzása. kibocsátott sugárzás, mintegy hátralöki a holdat. Árapály perturbációk. Hold és a Nap által a Földön okozott árapály olyan jelenségeket idéz elő, melyek nem hagyhatók figyelmen kívül a mesterséges holdak pályaszámításaiban. ) z árapály erők periodikus pulzációra késztetik a Földet (kinematikai effektus). ) z árapály erők a geopotenciál időbeli változását okozzák, ami visszahat a mesterséges holdak mozgására is (dinamikai effektus). 3) z árapály erők befolyásolják a Föld tengely körüli forgását, ez a pályszámításban használt koordináta rendszerekre van hatással (referencia rendszer effektus). 8

13 közvetítőegyenlet levezetése Általános értelemben a munka, illetve az energia (T) a helynek () közvetett, a sebességnek ( ) közvetlen függvénye: T = T (, ) Mint tudjuk a munka az azt kialakító erőrendszer (Q) hely szerinti integrálja: T = Qd Ebből az erőt (Q) deriválással nyerjük. Mivel T = T (, ), így a teljes differenciál mind, mind szerinti parciális tagokat tartalmaz. munka teljes differenciálját a Lagrange-egyenlet adja meg: d T T = Q, () dt ahol a potenciál negatív előjele fizikai konvenciókon alapszik (ellentétben a geodéziában használatos előjellel) [vö. ].. Energia-integrál kéttest-probléma feladata két tömegpont mozgásának vizsgálata, melynek során rájuk csak a Newton-féle kölcsönös gravitációs vonzóerő hat. két test mozgása háromféle egyenlettel írható le: impulzusmomentum-integrál energia-integrál Laplace-integrál z energia-integrál segítségével egy egységnyi tömegű pont energia megmaradása a tömegpont kinetikus energiájával és a potenciális energiájának összegeként írható le: r µ = h r ontsuk fel az energiát (H) egy helyfüggő (V) és egy sebességfüggő (T) komponensre, amivel a Hamiltoni egyenlethez jutunk: H = T V () geodéziai gyakorlatban a sebességfüggő komponenshez (T) képest a helyfüggő komponenst (V) negatív előjelűnek definiáljuk a klasszikus fizikai értelmezéssel szemben [vö. ]. sebesség függő komponenst kinetikus energiának, a helyfüggőt pedig potenciális energiának (potenciálnak) nevezzük. 9

14 helyzeti energia (V) az erőtérben nem állandó, mivel a külső (F) és belső ( ) fajlagos erők hatására folyamatosan változik. V d = F = F (3a) dt kinetikus energia definíció szerint T =, ennek sebesség szerinti deriváltja: T = (3b) z összenergia H = H (,, t) alakú, így a teljes differenciálját a következőképp kapjuk: dh H d H d H = + + dt dt dt t () egyenlet alapján: dh V T d V = + dt dt t fent levezetett összefüggéseket (3a és 3b) felhasználva kapjuk, hogy: H d d V = + F + t dt dt t d ami a tagok kiesése után: dt H V = F t t Ezt idő szerint kiintegrálva kapjuk: V H = + t hol E 0 az integrálási konstans. Könnyen beláthatjuk, hogy: F dt dt E 0 (4) = d F dt F dt = Fd dt mi az F külső erőknek az úton végzett munkáját jelenti. Ezzel a potenciálra rendezett a () egyenlet az alábbi alakot ölti: V V dt E0 (5) t = T H = Fd + 0

15 hol: a kinetikus energia F dt nem konzervatív (azaz külső erők) erők hatása V dt t E 0 időben változó tagok hatása energia állandó hely függvényében V = V ( C lm, S lm, r, ϕ, λ) tehát megállapíthatóak a C lm, S lm normalizált gömbfüggvény együtthatók.. Konzervatív erők Föld nehézségi erőterében keringő műholdra nemcsak a nehézségi gyorsulás hat, hanem emellett több kisebb erőhatást is figyelembe kell venni az energiaszintjének pontos meghatározásához. Vgravity = Vgravitation + Vω + Vlunar tide + Vsolar tide + Vplanetary tides + Vsolid earth tide + hol: + V + V + V + V + V V gravity ocean tide V gravitation atmospheric tide ocean loading atmospheric loading nehézségi erő potenciálja other mass redistirbutions tömegvonzási potenciál z időben változó tagok hatása pedig a következő perturbáló erőktől függ: V ω V lunar tide V solar tide V planetary tides V solid earth tide V ocean tide V atmospheric tide V ocean loading V atmospheric loading V other mass redistributions forgó Föld hatása Hold árapálya Nap árapálya bolygók hatása merev Föld hatása óceánok hatása atmoszféra hatása óceánok mozgása atmoszféra mozgása dinamikus hatás statikus hatás (6) egyéb tömegvonzási tagok Ezen perturbáló erők hatását a nehézségi erőtérben különböző modellekkel tudjuk figyelembe venni.

16 Megjegyzés: Föld gravitációs erőtere is változik az időben, azonban a mérések időtartamára (4 hónap) állandónak tekintjük..3 Föld forgása V (4)-es egyenlet időben változó tagjai közül ( dt ) a Föld forgása a t legnagyobb. Mivel az IERS pontos becslést szolgáltat számunkra Föld szögsebességének időbeli változásairól, ezért ez a tag jól szétválasztható a többi hatástól, és ezt külön modellezzük. Első közelítésben tekintsük csak a Föld forgásának hatását, és hanyagoljuk el a precessziót, nutációt és a pólusmozgást, hiszen ezen tagok nagysága on nagyságrendű csak, míg a Föld forgási szögsebessége: ω e = 7, rad/s földrajzi hosszúság tehát egyenletesen változik, λ = ωt, ezért: dλ = ω dt V = V ( r, ϕ, λ) potenciálfüggvény [vö. ] teljes differenciálja: V V dr V dϕ V dλ = + + t r dt ϕ dt λ dt forgás következtében: V dr 0 és r dt 3. ábra: Pályaelemek kapcsolata V dϕ 0 ϕ dt Mely a behelyettesítés után a teljes differenciáljába a potenciálfüggvénynek a következő alakra egyszerűsödik: V V dλ V V = = ω = ω (7) t λ dt λ α forgási potenciál levezetése során a következő koordinátarendszerbeli tengely megnevezéseket alkalmazzuk a térbeli derékszögű koordinátarendszerbeli első két koordinátájának (Egyenlítő síkjában lévő koordináták) jelölésére az azonos szimbólumok elkerülése érdekében:

17 3 y = = hely derékszögű vízszintes koordinátái: ) sin( ) cos( ) cos( ) cos( α ϕ α ϕ = = r r Ezek rektaszcenzió szerinti parciális deriváltjai: ) cos( ) cos( ) sin( ) cos( r r = = = = α ϕ α α ϕ α Tehát a rektaszcenzió szerinti parciális derivált operátora: d d d d + = + = α α α potenciálfüggvény idő szerinti változása [lásd (6)]: + = = V V V t V ω α ω a fentiek alapján: = V V t V ω (8) V potenciálfüggvényt [vö. (6)] bontsuk fel egy földi és egy egyéb potenciálra: V V V n gravitatio δ + = V V V n gravitatio δ + = képletbe behelyettesítve a (3) azonosságot kapjuk: F V V n gravitatio = + δ (8) alapján az idő szerinti változása a potenciálfüggvénynek: = V F V F t V δ δ ω Mivel a földi tömegvonzás hatása jóval nagyobb, mint a külső erők erőhatásai, illetve az egyéb fékező erők hatása i i i V F + >> δ ezért az előbbi képletet tovább egyszerűsíthetjük: ( ) t V ω (9)

18 mely a Föld egyenletes forgásából származó potenciál. Kiintegrálva idő szerint: dv = ω( )dt ω Lássuk be, hogy d ( ) dt ( ) = d és ( ) dt = +, ezért: V ω = ω (0) fenti egyenletben (0) a koordináták, illetve a sebességvektor komponensei inerciális koordinátarendszerben vannak értelmezve. gyakorlatban a Földhöz rögzített koordinátákat szokták felhasználni a forgási potenciál meghatározása során, így a valódi égi-egyenlítői (inerciális) koordinátarendszerből (CIS, jelölve: i) konvencionális Földhöz kötött koordinátarendszerbe (CTS, jelölve: r) térünk át, ahol egy pont koordinátái a következő transzformációval állíthatók elő: y = W '( t) R'( t) N'( t) P'( t) y () z r z i W '( t) = R ( y ) R ( ) pólusmozgás P y P R' ( t) = R ( GST) Földforgás z N' ( t) = R ( ε ε ) R ( ψ ) R ( ε ) nutáció z P' ( t) = R ( z ) R ( Θ ) R ( ς ) precesszió z y ()-as egyenlet 4 forgatási mátriát összevonva: z C r i = W '( t) R'( t) N'( t) P'( t) hol: C r i z inerciális (i) koordinátarendszerből Földhöz kötött (r) koordinátarendszerbe transzformálja a koordinátákat. ()-es egyenlet a következő, egyszerűbb alakban írható fel: r = C r i i 4

19 pozíció idő szerinti második deriváltja megadja a vizsgált objektumra ható erők által kifejtett gyorsulás összetevőit. Ebből csak a forgási tagot figyelembe véve, illetve az egyenletet rendezve a következő összefüggésre juthatunk * : ( ) r V ω = ω () (z összefüggés levezetését lásd [0]-ben.) Összegzésül felírjuk egy test belső energiájának helyfüggő komponensére származtatott közvetítőegyenletet: V V perturbáló ( ω ) + dt E0 (3) t = F dt (mely megfelel a CHMP műholddal végzett mérések közvetítőegyenletének.) * továbbiakban a forgási potenciál számítása mindig Földhöz kötött koordinátarendszerbeli koordinátákkal történik. 5

20 6.4 Low-Low Satellite to Satellite Tracking egyenletei.4. Low-low SST bázisvonalon alapuló megoldás közvetítőegyenlete kinetikus energiák különbsége a két műhold között: T T T = = melyet átrendezve kapjuk: ( )( ) [ ] T + = (4) Ezen a ponton két folytatási lehetőség van, attól függően, hogy melyik műholdat tekintjük elsődlegesnek:. = + + = + ekkor: ( ) T eset + = =.. + = + + = + ekkor: ( ) T eset + = + =. potenciálkülönbség kiszámításánál figyelembe kell venni a forgási potenciálok különbségét is, amelyet a (8) képlet analógiája alapján a következőképpen írhatunk fel: ( ) ( ) z y z y z y z y V = = ω ω ω ω ω ω ω ω ω (5) Ebből két a két műholdra vonatkozó közvetítőegyenlet: ( ) + = dt F F V t T ( ) ( ) E 0 ω ω (6) (Ez megfelel a GRCE bázisvonalon alapuló megoldás közvetítőegyenletének.)

21 Megjegyzések: V perturbáló dt tag mindkét műholdra nézve közel azonos, így elhanyagolható. t GRCE közvetítőegyenlete annyiban szolgáltathat pontosabb eredményt a potenciálra (a gömbfüggvény együtthatókra), mint a CHMP, amennyivel + T pontosabb -nél..4. Low-low SST mikrohullámú távolságmérésen alapuló megoldás közvetítőegyenlete műhold-műholdkövetés gyakorlatilag két műhold kölcsönös távolságmérése egymásra. továbbiakban a műholdak közötti pontos mikrohullámú távolságmérés alkalmazásának módját vezetjük le. Ehhez először értelmeznünk kell a távolságváltozás mérések fizikai tartalmát. Két műhold közötti távolság a következőképpen írható fel: 4. ábra: Műholdgeometria ρ = T = e = + y + z forgási potenciál kiszámításánál is lehetőségünk nyílik a KR mérési eredmények felhasználására. (5) képletet kifejtve a következő azonosságot figyelembe véve: ( a b)( a b) = a b ( a b ) a következő alakban is felírhatjuk a forgásból származó potenciált: V ω = ω = = = ( ω ) ( ) [ ω r ( ωr ) ( ) ] ω r + ωr [ ω ( r r ) ( ωr ) ( ) ] + ωr [ ω ( r r )( r + r ) ( ωr ) ( ) ] + ωr cosinus-tétel szerint: ( r r ) r = r + r r r cos, 7

22 = r + r = ( r r ) ( r + r ) r r ( r r ) Innen r + r -t kifejezve a következő összefüggéshez jutunk: r + r = r + r r + ( r r ) Ezt figyelembe véve, valamint azt, hogy a két műhold távolsága helyettesíthető a két műhold közötti mikrohullámú távolságméréssel ( r következő képlettel számíthatjuk ki: [ ω ( r ) ( ) ( ) ( ) ] r ρ + rr + r r ωr ωr = ρ ) a forgási potenciált a Vω = + (7) Megjegyzés: fenti (7) képletben sajnálatos módon sok geometriai úton meghatározott tag maradt, ezért ezzel a módszerrel számított forgási potenciál jobb megbízhatósága nem bizonyítható. műholdak mozgásának (pozíciójának) megváltozását a továbbiakban a műholdak koordinátarendszerében vizsgáljuk. Ennek fő irányai: at: along track (pályamenti) ct: cross track (keresztirányú) X: a pozitív irány a keringés iránya Y: a pozitív irányt úgy választjuk, hogy jobbsodrású rendszert kapjunk ( e = e e ) r: radial (sugárirányú) Z: a pozitív irány a Föld tömegközéppontja felé mutat ct r at továbbiakban a műholdak közötti távolságmérés ( ρ ) értékeit is szeretnénk felhasználni, arra az esetre, hogyha ezekből a bias értékét korrekten el tudjuk távolítani. Ezek alapján a két műhold közötti távolság: = ρ, e melynek teljes differenciálja: = ρ e + ρe z alábbi levezetéseknél a következő vektorszorzatok tulajdonságokat használjuk fel: 5. ábra: Műhold koordinátarendszere bias - mikrohullámú távolságmérés ismeretlen eltolás értéke (ami az észlelési eljárás következménye) 8

23 T e e = e e = 0 T e e = 0 e e = ect 6. ábra szerinti értelmezésben az egymástól konstans távolságra haladó műholdak esetén (ui. v v ) az e és e egységvektorok merőlegesek egymásra: 6. ábra: Műholdak közötti vektorok értelmezése Ezt a differenciált négyzetre emelve a következő egyenlethez jutunk: = e e (8) ρ e e + ρρe e + ρ Ezek után lássuk be: ρ (( ) e )= (9) (( ρe ρe + ρe ρe ) e ) ρ ρ ( ρ ct e ) = = e = ρ ( ρ e ) = e (8) egyenletbe behelyettesítve a (9) egyenletet: (( ) ) e e + ρ ρ ρ (( ) e ) ρ (30) = + ρρρ hol: ( ) = ρ ρect (( ) e ) e ρ ρρ = = ρ ρ = ρ ρ = ρ ρ (( ) e ) e ( ρρ e ct e ) e ( ρ e ρ ) e = ρ ( e e ) = 0 (30) azonosság a következő alakra egyszerűsödik: (( ) e ) ρ (3) = + ρ 9

24 (7)-es és a (3)-es összefüggést alkalmazva (6)-ra, a közvetítő egyenlet így alakul: V = ρ t + ρ T ( ) + ( F ) dt ( ω ) ( ω ) E F 0 (3) (Ez megfelel a GRCE mikrohullámú távolság- és távolságváltozás mérésen alapuló megoldás közvetítőegyenletének.) Megjegyzések: V perturbáló dt tag mindkét műholdra nézve közel azonos, így elhanyagolható. t GRCE közvetítőegyenlete annyiban szolgáltat pontosabb eredményt a potenciálra (a gömbfüggvény együtthatókra), mint a CHMP, amennyivel T ρ + ρ ( ) + pontosabb -nél. 0

25 3 Mérések feldolgozása 3. datok GRCE műholdak, valamint a műholdakra vonatkozó mérési adatokat a Müncheni Műszaki Egyetemen (TUM) a Csillagászati és Fizikai Geodéziai Intézetétől (IPG) kaptuk. rendelkezésünkre bocsátott négyhónapnyi ( ), 5 másodpercenként rögzített mérési eredményekből 0 másodperces felbontásban meghatározott pályakoordináták napi felbontású fájljait SCII formátumban tölthettük le. 3. Pályatípusok 3.. Kinematikus pálya nyers GPS mérési adatokból pályakoordináták számítása. Tulajdonságok: Pusztán geometriai adatokból meghatározott pálya, mely független mérésnek tekinthető a nehézségi erőtér meghatározása során. Valóságos adatokat szolgáltat, így minden pontban mérési hibával terhelt. 7. ábra: Kinematikus pálya 3.. Dinamikus pálya GPS mérésekből csak egy pont koordinátáit, illetve sebességét használjuk fel kezdeti értékként, majd egy geopotenciális modell (C lm, S lm ) felhasználásával kiintegráljuk a pályát. Tulajdonságok: Pusztán a priori fizikai ismereteken nyugvó pálya Kezdeti érték hibáival terhelt, melyek kiintegrálódnak, azaz halmozódnak.

26 Modellhibákkal is terhelt. 8. ábra: Dinamikus pálya 3..3 Féldinamikus pálya (reduce dynamic orbit) kinematikus és a dinamikus pálya ötvözése, amikor a kezdeti érték feltétel mellett kényszerfeltételeket is alkalmazunk. izonyos feltételek mellett, pedig mindig új kezdeti érték feltételt határoz meg. Tulajdonságok: Szakaszosan dinamikus, tehát sima pálya. Ötvözi a dinamikus és a kinematikus pályák előnyeit; közel valós pálya és sima (mérési hibáktól mentes). 9. ábra: Féldinamikus pálya

27 3.3 Programok végső eredmények elérése érdekében a programozás lépéseit részekre bontottuk az áttekinthetőség és a könnyebb kezelés érdekében. ) Sebességszámítás ) datbeolvasás és feldolgozás 3) Energia-integrál kiszámítása 4) GRCE-EGM potenciálkülönbség meghatározása a drift levonásához 5) hosszú hullámhosszú tag meghatározása és levonása 6) Kiegyenlítés és a kapott eredmények elemzése 3.3. Sebességszámítás kinematikus pályák sajátossága, hogy pusztán pozíció adatokat szolgáltatnak, ezért a kinetikus energiában szereplő sebesség más úton számolandó. Ezt 7-rendű Newton- Gregory interpolációs eljárással analitikusan határoztuk meg egy mára gyakorlatban bevált program használatával datbeolvasás és feldolgozás program feladata a dinamikus pozíció és sebesség, valamint a kinematikus pozíció adatok beolvasása, illetve ezek feldolgozása. Ennek a kezdeti feltételei azon két időpont, melyek között szeretnénk elvégezni a fent említett műveleteket ( ). program alapján a kezdeti évet és az évben a nap számát (-365), illetőleg az utolsó évet és az évben a nap számát (-365), valamint a lépésközt kellett ehhez megadnunk. KR adatok beolvasását követően a kinematikus pozíció adatokat szűrésnek vetettük alá, mert a KR adatok felbontása, 5 s, eltér a pályaadatok felbontásától, 0 s (down sampling). Mivel nem minden adatát használtuk fel a beolvasott állományoknak az általunk elvégzendő számításokhoz, így egy-egy fájl beolvasása után ezeket is töröltük, segítve ezzel a számítógép memóriájának jobb kihasználását. z adatok beolvasását követő műveletek: tényleges adatfeldolgozás első lépéseként a GPS időrendszeréből (gpstime) létrehoztunk az általunk vizsgált időintervallumra egy folytonos 3

28 idősort (tk), mely 5 másodperces felbontású, és 0 másodperccel indul ( : 00: 00). két műhold között mért távolságok és távolságváltozások javítása a futási idő korrekcióval és az antenna fáziscentrum külpontosság korrekciójával. zon helyek megkeresése az adatsorban, ahol az adatok minőségét jelző inde fázisugrást mutatott, illetőleg azon helyeké, ahol az adatszolgáltatók rossz adatminőséget jeleztek (tehát quality flag = ). Ezeket a mérési eredményeket töröltük a memóriából. KR adatok folyamatos, 5 másodperces felbontású tk időskálához való igazítása. Újabb adatellenőrzés, amely a KR adatokban található adathiányos helyek indeeinek felkeresését végzi. (Figyelemmel kellett arra lenni, hogy az indesor az egész adatsort lefedje!) KR adatok szakaszokra bontása a hirtelen bias ugrás helyeken, mely a fázisugrások helyeit és a KR adatokban lévő üres helyeket veszi figyelembe. (Több száz kilométeres bias is volt!) 0. ábra: ias értelmezése 0 másodperces felbontású geometriai pálya beolvasása, mely a GPS műholdak által mért adatok feldolgozott pályaadatait tartalmazza a GRCE és GRCE műholdakra. dinamikus pályaadatokból szintén definiálunk egy folytonos időskálát (t), mely 0 másodperces felbontású. Megkeressük ebben az idősorban azokat a helyeket, ahol nincs adat (NaN), mely esetünkben egy összefüggő 8640 db-ból álló adatsor volt, ami azt jelenti, hogy egy teljes nap hiányzik a dinamikus pályaadatokból. dinamikus idősort (t) ezután két részre bontottuk ennél az adatszakadásnál (t és t), valamint a KR adatsorból meghatározott 4

29 kinematikus idősort (tk) is ezen határok mentén bontottuk két részre. (t 0 s-os, tk 5 s-os felbontású!) Egy vizsgálatot végzünk ezután, melynek a feladata, hogy ellenőrizze a két GRCE műhold idővektorának egyezőségét. Ez a feltétel a mi esetünkben teljesült. Megkeressük azokat a koordinátákat a GRCE és GRCE műholdakra vonatkozólag a dinamikus pályaadatokból, amelyekre számszerű értéket kaptunk. két részre osztott adatsornál alkalmazunk egy interpolációs eljárást, mely a kinematikus pályaadatokat felhasználva ugyanazon időpontokra (t-ről tk-re valamint t-ről tk-re) interpolál spline függvény segítségével dinamikus távolságot (r0) a műholdak között. (Egy adott időpont csak egyszer fordulhatott elő, és ehhez csak egy távolság tartozhat!) két műhold közötti interpolált és eredeti féldinamikus távolságok összehasonlítása. Esetünkben a két függvény karakterisztikáját nézve jól megegyeztek, tehát az interpoláció hibái elhanyagolhatóak.. ábra: Interpolált és féldinamikus távolságok összehasonlítása datszűrés, mely az adathiányos helyek felkeresését végzi a dinamikus pályaadatokban (lásd. ábra). Ezeken a helyeken tördeljük az adatsorokat a bias becsléséhez. 5

30 biasok becslése az egyes szakaszokra számtani közepet használva értékének meghatározására. (bővebben lásd 3... biasok becslése) bias értékek megjelenítése (lásd bias értékek nagysága) szükséges adatok elmentése (távolságok, bias, pozíciók, sebességek, indeek) biasok becslése bias meghatározás lényege, hogy a GRCE és GRCE műholdak között dinamikus pályaadatokból számítható távolság, illetve a KR mérések eredményei hasonló szinusz-görbéket írnak le, azon különbséggel, hogy a dinamikus pályából számított távolság folyamatosan megbízható eredményeket szolgáltat, viszont csak ±5 cm pontosan. KR mérésekben az egész rész meghatározása nagy bizonytalanságokat rejt magában, mivel előfordul negatív távolság is, viszont a pontossága egy-egy szakaszon mm-es nagyságrendű, tehát nagyságrendekkel pontosabb, mint a dinamikus pályaadatokból számítható.. ábra: ias becslése Tehát van két közel szinuszos jellegű függvényünk; az egyik számított (GPS high-low SST mérésekből geopotenciál modell segítségével számított), a másik közvetlen mérési eredményekből származik. (Megjegyzés: dinamikus pályát is mérési eredményekből számítottuk, amelyet az eddigi ismereteink alapján, geopotenciál modell alapján megerősítünk.) feladatunk, hogy meghatározzuk mennyi az eltolás a két függvény között egyegy szakaszon, és a mérési eredményt idetolva, ezek után ezt használjuk fel a további számításokhoz, mely tartalmazza a mérési zajokat, azaz a számunkra értékes információt. feladat megoldását nehezíti, hogy az eltolás értéke nem állandó az időtartam során, hanem ismeretlen helyeken (időpontokban), ismeretlen mértékben változhat. Első lépésként meghatároztuk azokat a helyeket, ahol az eltolás értéke látványosan akár vizuálisan is észlelhető. bias meghatározási feladatot ezeken a helyeken 6

31 értelemszerűen külön választottuk, ezzel a folytonos távolságméréseket egymástól független szakaszokká bontva. négy hónap adatai összesen 88 darab független szakaszt jelentettek. probléma a kis mértékű bias változásoknál volt, ugyanis ezeket a helyeket nem lehetett észrevenni, és a bias értékében bekövetkezett ugrás hibaként bent marad a további számításokban. legjobb módszer megállapítása érdekében többféle interpolációs eljárással próbálkoztunk. 8 pontra illesztett 7-ed fokú polinom volt az első kísérletünk, mely a két függvény azonos időbeli pontjaira egy polinomot illeszt, és ebből határoz meg egy közbenső pontra egy eltolás értéket. Ez a módszer a pontbeli bias (eltolás) meghatározásához csak a környező mérések értékeit veszi figyelembe, függetlenül a teljes idősor hosszától és karakterisztikájától. Ezzel az adatból ki nem szűrhető apró bias ugrások hibahatását szerettük volna kisebb, lokális területre korlátozni. Esetünkben ez azonban nem vált be, a lokális meghatározási eljárás miatt ugyanis a becsült bias értékek az eredeti függvénnyel megegyező fázisban 50 méteres szinusz hullámú zajt generáltak. Ezt a megoldást elvetettük. következőkben magasabb fokszámú polinommal próbáltuk meghatározni az eltolódás mértékét, melytől a szinuszos jellegű függvény amplitúdójának csökkenését vártuk. 6 pontra illesztett 5-öd fokú polinommal a tesztterületre 300 méter nagyságú szinuszos hibát kaptunk. feltételezésünket megfordítva ezek után 3 pontra illesztett -od fokú polinommal próbálkoztunk, melynek eredményeként 50 méteres szinuszos hullám maradt meg mérési zajként, végül pontra illesztett polinom (egyenes) esetén is 5 centiméter amplitúdójú szinuszos jellegű függvényt kaptunk, melynek alkalmazását nem fogadhattuk el. nagyon pontos KR mérési eredményeket csak abban az esetben tudjuk felhasználni, ha a bias meghatározása is hasonló a mérési eredmények pontosságához, azaz mm pontosságot kellett elérnünk. Ezek után látva azt, hogy a függvények között az alacsonyabb fokú függvények adnak jobb megoldást döntöttünk az egyszerű számtani közép képzése mellett, mely az adott szakaszokra vonatkozik, és nem csak a függvény néhány kiválasztott pontjára. Ezzel a megoldással a becsült biasról biztosan tudjuk, hogy a kisebb ugrásait nem veszi észre, értékei torzítottak. Pontosságának mértéke így megbecsülhetetlen, viszont mesterségesen szinuszos hibát nem vittünk bele a számításba. megoldás pontosságáról visszacsatolás nincs, konklúziót csak a gömbharmonikus együtthatók szintjén adhatunk. zon a szinten 7

32 viszont már egyéb hibahatásokkal együtt érzékelhetjük csak a bias meghatározás hibáját, ezért egy biastól független eljárás használatát is szükségesnek tartjuk. Végeredményként tehát megkaptuk a KR mérések nyújtotta nagyobb pontosságú távolságokat melyekben már nincsenek ugrások, és a továbbiakban ezen mérési eredményeket használhatjuk fel a számításokhoz bias értékek nagysága 3. ábrán kék vonallal látható a KR mérések eredményeinek feldolgozásával kapott biasmentes távolság. Fekete vonallal a KR mérések eredményei, és piros vonallal a bias. 4. ábrán a már eltolt szignál látható kinagyítva, mely karakterisztikáját tekintve pedig szinuszos jellegű. Jól megfigyelhető, hogy a két műhold közötti távolság 0 km körül változik. 3. ábra: KR mérések feldolgozása 4. ábra: távloságmérés szignálja Energia-integrál kiszámítása további számításokhoz szükséges volt meghatároznunk a potenciálzavart, a tömegvonzási potenciált, a normál potenciált, a centrifugális potenciált és a kinetikus energiát. program lépései: Dinamikus pályaadatok beolvasása (0 másodperces felbontású). Mivel a gyorsulásmérő adatait nem dolgoztuk még fel, ezért ezeket az adatokat 0-val tesszük egyenlővé. z adatbeolvasás és feldolgozás során elmentett fájl beolvasása. 8

33 KR adatok igazítása a 0 másodperces időfelosztáshoz (down sampling). Valamint a megfelelő távolságok és sebességek kiszámítása súlyozással. ai + ai + ai+ 4 szakaszok elején, illetve végén természetesen nem lehetséges ez a megoldás, így ott a becslést az arra az időpontra vonatkozó adat kétszeres súlyával, és a szakasz elején az ezt követő 5 másodperces adat egyszeres súlyával, illetve a szakasz végén az ezt megelőző 5 másodperces adat egyszeres súlyával számítjuk. a i + a i+ a i + ai illetve 3 3 kinematikus sebesség, pozíció és egy ezek megbízhatóságát minősítő bináris vektor (quality flag) számítása. rossz minőségű adatok helyének (vö. quality flag), illetve az adatsorokban található NaN értékek indeeinek a felkeresése. Ábra nyomtatása annak érdekében, hogy ellenőrizzük a GRCE pálya adatok és a KR mérések időpontjainak egyezőségét. Egy teljes napi KR adat hiányzott, ezért itt meg kellett szakítani az adott szakaszt (08. nap hiányzott 003. július 7.). Energia-integrál segítségével szakaszokra bontva a potenciálzavar, a tömegvonzási potenciál, a normál potenciál, a centrifugális energia és a kinetikus energia kiszámítása és mentése munka jellegű mennyiségek nagyságrendjei dolgozat keretén belül a két GRCE műhold közötti energiakülönbségeket használtuk fel a számításainkhoz, azonban érdemes áttekinteni csak egy műholdra ható erők nagyságát is. jelek nagyságrendjének értékét a legjobban a szórásukkal adhatjuk vissza. Potenciál típusa szórás (m /s ) normál potenciál (U) 6,3*0 4 kinetikus energia (ekin) 8,74*0 4 9

34 5. ábra: Referencia potenciál U 6. ábra: Kinetikus energia ekin z energiák számítások során sok hiba adódott, melyek kiszűrésének egyik módja ismételten a vizuális megjelenítése volt. leginkább a kinetikus energia kiszámítása során adódtak nehézségek, így már a bázisvonalon alapuló megoldás kinetikus energiájával összehasonlítva hasonló szignált kellett kapnunk. 7. ábra: Kinetikus energia jelstruktúrája Célunk azonban nem egy műhold mérései alapján meghatároznia a különböző erőhatásokat, hanem a két műhold energiáinak különbségét felhasználva határozni meg a gömbfüggvénysor együtthatóit, valamint ezek alapján egy geoidot. közel azonos magasságban, az egymást követő műholdakra a következő potenciálkülönbségeket számítottuk ki: 30

35 Potenciál típusa szórás (m /s ) potenciálzavar (T),7*0 normál potenciál (U) 7,4*0 3 potenciál (V) 7,4*0 3 kinetikus energia (ekin) 8,0*0 3 centrifugális potenciál (zpot),78* ábra: Potenciálzavarok különbsége T=T -T 9. ábra: Referencia potenciálok különbsége U=U -U 0. ábra: Potenciálok különbsége V=V -V. ábra: Kinetikus energiák különbsége ekin=ekin -ekin. ábra: Centrifugális potenciálok különbsége (zpot -zpot ) 3

36 Ezen energiakülönbségek nagyságrendje természetesen kisebb, mint a ténylegesen meghatározott energiák - műholdra vonatkoztatva, hiszen a műholdak közel azonos pályán követik egymást Nem konzervatív erők nagysága z egy műholdra ható egyéb erőhatásokat is célszerű megvizsgálni, hiszen ezek is befolyásolják a műhold pályáját. Potenciál típusa szórás (m /s ) a Föld forgásának változásából származó {Euler} 3,86*0 - potenciál (EE) a Nap és a Hold által okozott direkt árapály (V tide ),5*0 merev Föld árapálya (azaz a Föld nem merev volta) (V ise ) 3,0*0 - az óceánok tömegéből származó potenciál (V io ),6*0 - indirekt pólusmozgás hatásából származó potenciál (V ip ),09*0 - bolygók tömegvonzásából származó potenciál (V p ),4* ábra: Euler potenciál EE 4. ábra: Nap és a Hold által okozott direkt árapály V tide 5. ábra: Merev Föld árapálya V ise 3 6. ábra: Óceán árapálya V io

37 7. ábra: Indirekt pólusmozgásból származó potenciál V ip 8. ábra: olygók tömegvonzásából származó potenciál V p két műhold energiakülönbségeit a nem konzervatív erőkre is kiszámíthatjuk. Így szemléletesebbé válik például az egyes erőhatások hatása a geoid alakjára (az energia és a gyorsulás hányadosa az általunk keresett geoid geocentrikus távolságában, avagy egy referencia geoidhoz viszonyított változását mutatja meg). Potenciál típusa szórás (m /s ) a Föld forgásának változásából származó {Euler},97*0-6 potenciál (EE) a Nap és a Hold által okozott direkt árapály (V tide ),05*0 - merev Föld árapálya (azaz a Föld nem merev volta) (V ise ) 3,0*0 - az óceánok tömegéből származó potenciál (V io ),7*0 - indirekt pólusmozgás hatásából származó potenciál (V ip ),3*0-3 bolygók tömegvonzásából származó potenciál (V p ) 8,86* ábra: Euler potenciálok különbsége EE = EE - EE 30. ábra: Nap és a Hold által okozott direkt árapály V tide = V tide - V tide 33

38 3. ábra: Merev Föld árapályok különbsége V ise = V ise - V ise 3. ábra: Óceán árapályok különbsége V io =V io - V io 33. ábra: Indirekt pólusmozgásból származó potenciál V ip = V ip - V ip 34. ábra: olygók tömegvonzásából származó potenciál V p = V p - V p GRCE-EGM potenciálkülönbség meghatározása a drift levonásához program feladata a GRCE műholdak mérési eredményeiből, és az EGM96-os modellből számolt pályamenti potenciálértékek különbségének meghatározása a drift levonásához. program lépései: z EGM96 geopotenciál modell betöltése. Egy rácsháló definiálása a gömbön, amely értékeket 0,5 -ként vettünk fel φ r szélesség és λ r hosszúság irányokban egyaránt. 34

39 35. ábra: Rácsháló definiálása a gömbön z előzőekben kiszámított adatok beolvasása után a derékszögű koordinátákat átszámítottuk gömbi koordinátákká, figyelembe véve azt, hogy nem radiánban, hanem tizedfokban kívánjuk felhasználni. (Ezt minden egyes szakaszra külön elvégeztük.) Ezután az egész időtartamra (4 hónap) beolvastuk a GRCE műhold geocentrikus távolságait egyetlen vektorba, középértéket képeztünk ebből (r), majd kiszámítottuk a GRCE műhold átlagos magasságát az általunk meghatározott méter sugarú gömb felett (hm). Ezzel együtt meghatároztuk a szakaszokra különkülön, minden egyes felvett időpontra az 36. ábra: Műhold pályája, avagy a geocentrikus távolságok átlagtól való eltérését a geocentrikus távolságnak (dh). Ugyanezen műveleteket elvégeztük a GRCE műholdak mérési eredményire is. Végül a mindkét műhold adatait felhasználva számítottunk egy közepes geocentrikus távolságot ( r ), és határoztuk meg az eltéréseket minden egyes távolságra. következő lépésben gömbharmonikus szintézissel meghatároztuk az EGM96 modellből a potenciálértékeket a raszter ϕ r, λ r, r koordinátájú helyeire a gömbfüggvény együtthatók segítségével (-360 fokig). Ezután az 35

40 r sugarú gömb felszínén interpolációval határoztunk meg az adott ϕ, λ helyre potenciál értéket (még a gömb felszínén), végül magassági értelemben a Taylor-sor segítségével a gömb felszínéről a megfelelő magasságba korrigáltunk. V ( r ϕ, λ) = V ( r, ϕ, λ) ( r, ϕ, λ) ( ) V ( r, ϕ, λ) ( ) V, + r r + r r r r Ezt a műveletet minden egyes szakaszra, mind a két műholdra külön-külön elvégeztük, és mentettük ezen számított potenciálértékeket. Végezetül ábrán szemlélhetjük meg a számított potenciálkülönbség értékeket. Minden esetben a vízszintes tengelyen a földrajzi hosszúság szerepel 44 pontra felosztva, a földrajzi hosszúság pedig a függőleges tengelyen, mely 7 részre van felbontva. 37. ábra: EGM potenciál a két műhold átlagos magasságában 36

41 38. ábra: EGM potenciál GRCE műhold átlagos magasságában 39. ábra: EGM potenciál GRCE műhold átlagos magasságában 40. ábra: EGM potenciál GRCE átlagos magasságával korrigálva 4. ábra: EGM potenciál GRCE átlagos magasságával korrigálva hosszú hullámhosszú tag (drift) meghatározása és levonása Ebben a lépésben számítottuk ki a drift értékét, majd vontuk le a potenciálzavar értékéből. Végezetül egy idősorba illesztettük az összes változót. 4. ábra: Drift értelmezése 37

42 számítás lépései: fájlok neveinek definiálását itt is meg kellett oldani, hogy a MTL ezek után be tudja olvasni a szakaszonként elmentett adatsorokat. Itt is szükséges volt, hogy az elmentett derékszögű koordinátákat átváltsuk gömbi koordinátákká, így ez lett a következő lépés. z adatok szelektálása. mennyiben a driftben adatsorában szakadás lenne, akkor ezzel a lépéssel egyrészt két részre bonthatjuk az adatsort, és külön vizsgáljuk a driftjüket, amely már intervallumonként folytonos. Ezek után ezekre a szakaszokra meghatározzuk a lineáris driftet. Esetünkben a hosszú hullámú tag mindösszesen néhány m /s körül váltakozott, amelyben alig észrevehető törések maradtak csak (ezeket nem lehetett tovább szűrni, mert olyan kicsik voltak néhány tized m /s ). 43. ábra: Drift nagyságrendje GRCE illetve GRCE műholdakra meghatározott potenciál értékekből számítottunk potenciálkülönbséget. Valamint a rájuk ható perturbáló erők különbségét is képeztük, melynek nagysága szintén elhanyagolható lett volna (néhány tized m /s ), hiszen a két műholdra közel azonosak ezek a hatások. 38

43 44. ábra: Potenciálkülönbség (potenciálzavarok különbségének) javítása a drift levonásával Ez az ábra jól szemlélteti azt, hogy a két műhold potenciálkülönbsége mellett (néhány 0 m /s ) a perturbáló erők szinte elhanyagolható mértékűek. Végül a különböző változókat egy-egy vektorba gyűjtjük és egy fájlba elmentjük ezeket. származtatott potenciálkülönbség értéket a két műhold pályájának a magasságában, pont a fél úton értelmezünk (lásd 45. ábra). 45. ábra: Eredmények értelmezése kiegyenlítés és a kapott eredmények elemzése Ezek alapján mindkét műholdra adott időpontokra geocentrikus helyvektorokat határoztunk meg illetőleg a műholdak közötti távolságot (s), melyek több tényező függvényei: simuló pályaelemek, nehézségi erőtér véges számú gömbfüggvény együtthatója, álláspont helyvektora. 39

44 (, i, a, e, T ; J, C, S ; t r) s = s Ω 0 ω 0, l lm lm, hosszabb időn keresztül végzett távolságmérés és pozíció meghatározások eredményeként felállítható javítási egyenlet kiegyenlítését többféle úton végezhetjük el. hagyományos, legkisebb négyzetek módszere szerinti kiegyenlítés mellett döntöttünk a bázisvonalon alapuló megoldás kiegyenlítéséhez, mivel eljárást egyszerű programozni. Hátránya, hogy a gömbfüggvény együtthatókat csak 35 napos időtartamból ( , a nap kihagyása mellett) fokig és rendig határozhattuk meg. (Ez az adat mennyiség és fokszám felelt meg egy PC kapacitásának.) potenciálkülönbség a következőképpen írható fel: V = GM R l= R r l+ l ( Clm cosmλ + Slm sin mλ ) Plm ( sinψ ) m= 0 l+ l GM R ( Clm cosmλ Slm sin mλ ) Plm( sinψ ) R + l= r m= 0 legkisebb négyzetek módszere szerinti kiegyenlítés közvetítő egyenletekkel történő megoldását (II. kiegyenlítési csoport) felhasználva határoztuk meg a C lm, S lm gömbfüggvény együtthatókat. l + v = ahol a javításokat minimalizáltuk: v T v = min Esetünkben az egyenlet tagjai: V C V S l GM R R r = l GM R R r + l+ GM R cos( mλ ) Plm R lm = r + + l = [ V ] lm sin( mλ ) P lm ( sinψ ) cos( mλ ) P ( sinψ ) l GM R ( ) ( ) sinψ sin( mλ ) P sinψ C lm = S lm biastól független eljárás kiegyenlítése az ún. PCGM módszerrel történt l=70 fokig és m=70 rendig. módszer lényege, hogy a normál mátri invertálását iteratív eljárással helyettesítjük. (Ezzel az invertálás nagy memóriaigényét és a feldolgozó program összeomlását elkerülhetjük.) Tehát a legkisebb négyzetek módszere szerinti kiegyenlítés szokásos képlete = ) helyett a következő iteratív megoldást alkalmazzuk: n f ( N, ) ( N n R r =. lm lm 40

45 kiegyenlítő program elkészítése nem képezi ezen dolgozat témáját, azt konzulensem bocsátja rendelkezésemre. kiegyenlítéssel kapott együtthatókat a továbbiakban az alábbi elrendezés szerint mutatjuk. C C C C.. Cn S C C C... 3 S S C C 3... S S S C Sn.... Snn C nn 3.4 Eredmények összehasonlítása 3.4. mikrohullámú távolságmérésen alapuló módszer összehasonlítása az első hivatalos GRCE modellel z eredményeket azaz az általunk számított együtthatókat, és a geoidmodelleket az első hivatalosan szolgáltatott pusztán GRCE mérési adatokon alapuló geopotenciál modellel (EIGEN-GRCE0S) hasonlítottuk össze. mellékelt ábrákon az együtthatók logaritmikus beosztású skálán láthatók. z ábrák jobb oldalán a színskála mutatja az együtthatók nagyságrendjét. GRCE műholdak méréseiből kapott gömbfüggvény együtthatók 70 fokig és rendig láthatóak a bal oldali ábrán (lásd 46. ábra) mellette, pedig összehasonlításként az első hivatalos GRCE modell (lásd 47. ábra). Mint látható, mintegy 30. fokig illetve rendig jó egyezőséget mutatnak, amelyet az előzetes vizsgálataink is alátámasztottak. 46. ábra: GRCE KR gömbfüggvény együtthatók nagyságrendjei (l=70) 47. ábra: EIGEN-GRCE0S gömbfüggvény együtthatók nagyságrendjei (l=70) 4

46 z együtthatók eltéréseit jobban szemlélhetjük a köztük lévő különbség mátri segítségével, amelyet szintén logaritmikus beosztású ábrán, színekkel jelöltünk (lásd 48. ábra). Felhívnánk a figyelmet a lenti és a fenti ábrák eltérő színskála használatára. 48. ábra: GRCE KR és EIEGEN-GRCE0S gömbfüggvény együtthatók különbségeinek nagyságrendje (l=70) z eltérések a fok illetve rendszám növekedésével egyre jelentősebbé válnak. Ezek után hasonlítsuk össze csak a 30 fokig illetve rendig a gömbfüggvény együtthatókat. 49. ábrán a GRCE mikrohullámú távolságmérésen alapuló megoldás együtthatói láthatók, az 50. ábrán, pedig az EIGEN-GRCE0S modell együtthatói. 49. ábra: GRCE KR gömbfüggvény együtthatók nagyságrendjei (l=30) 50. ábra: EIGEN-GRCE0S gömbfüggvény együtthatók nagyságrendjei (l=30) Már ezekből az ábrákból is kitűnik, hogy nagyobb a hasonlóság az alacsonyabb együtthatók szintjén. De itt is vizsgáljuk meg a tényleges eltéréseket (5. ábra). 6-os, 7-es fokszám környékén a nagyobb eltérések feltehetőleg az ún. rezonanciajelenségével vannak kapcsolatban. Ismert, hogy a GRCE műholdak keringési ideje (90 perc körül) mellett, ezeken a frekvenciákon ez a jelenség előfordulhat. 4

47 5. ábra: GRCE KR és EIGEN-GRCE0S gömbfüggvény együtthatók különbségeinek nagyságrendjei (l=30) gömbfüggvény együtthatók felhasználásával (l=30-ig) előállított geoid modellünk (lásd 5. ábra) nagy hasonlóságot mutat az EIGEN-GRCE0S modellel (lásd 53. ábra). 5. ábra: GRCE KR geoid (l=30) 53. ábra: EIGEN-GRCE0S geoid (l=30) két modell különbsége, avagy a differenciál geoid (lásd 54. ábra) azonban a fokszám emelkedésével egyre nagyobb lesz, így 30 fokig illetve rendig figyelembe véve az együtthatókat a gömbharmonikus szintézissel előállított geoidok különbsége szinte méteres nagyságrendű. ( gömbfüggvény együtthatók minél nagyobb mértékű különbsége is ezt támasztja alá, azaz minél nagyobb a fokszám-rendszám, annál nagyobb az eltérés a modellhez képest.) Feltehetőleg a műholdpályákkal mutat korrelációt az eltérés. 43

48 54. ábra: GRCE KR EIGEN-GRCE0S differenciál geoid (l=30) 3.4. bázisvonalon alapuló megoldás és a mikrohullámú távolságmérésen alapuló megoldás összehasonlítása az első hivatalos GRCE modellel Korábbi számításaink során csak a GPS műholdak adatainak felhasználásával számítottuk ki a gömbfüggvény együtthatókat, amelyet a 005-ös TDK konferenciára beadott dolgozatom tartalmaz. bázisvonalon alapuló megoldásnál az együtthatókat csak fokig, illetve rendig egyenlítettük ki, ezért ezen szintig érdemes vizsgálni a modellhez képesti eltéréseket, illetve a mikrohullámú távolság felhasználásával elért eredményeket. Először tekintsük át ebben az esetben is a gömbfüggvény együtthatók nagyságrendjeit logaritmikus beosztású skálán. 55. ábra: GRCE bázisvonalon alapuló megoldás gömbfüggvény együtthatói nagyságrendjei (l=) 56. ábra: GRCE KR gömbfüggvény együtthatók nagyságrendjei (l=) 44

49 57. ábra: EIGEN-GRCE0S gömbfüggvény együtthatók nagyságrendjei (l=) z eltéréseket az előzőeknek megfelelően logaritmikus beosztású skálán elemezhetjük. z 58. ábrán a bázisvonalon alapuló megoldás gömbfüggvény együtthatóinak különbsége látható az EIGEN-GRCE0S modellhez képest, valamint az 59. ábrán a mikrohullámú távolságmérés eredményeit hasonlítottuk össze ugyanezen modellel. (z eredmények mindkét esetben hasonló nagyságrendűek.) 58. ábra: GRCE bázisvonalon alapuló megoldás és EIGEN-GRCE0S gömbfüggvény együtthatók különbségeinek nagyságrendjei (l=) 59. ábra: GRCE KR és EIGEN- GRCE0S gömbfüggvény együtthatók különbségeinek nagyságrendjei (l=) két feldolgozási eljárás (mikrohullámú távolságmérésen alapuló eljárás, illetve a bázisvonalon alapuló eljárás) gömbfüggvény együtthatóit szintén érdemes összehasonlítani (lásd 60. ábra). z eltérés az általunk számított két módszer gömbfüggvény együtthatói között és az első hivatalos modell (EIGEN-GRCE0S) között nem számottevő. 45

50 60. ábra: GRCE bázisvonalon alapuló megoldás és GRCE KR gömbfüggvény együtthatók különbségeinek nagyságrendjei (l=) gömbfüggvény együtthatók felhasználásával (l=-ig) gömbharmonikus szintézissel szintén előállítottunk geoid modelleket. bázisvonalon alapuló megoldás esetén a 6. ábrán, illetve a mikrohullámú távolságmérés eredményeinek felhasználásával kapott geoidképet a 6. ábrán tekinthetjük meg. Mindkét modell nagy hasonlóságot mutat az EIGEN-GRCE0S modellhez (lásd 63. ábra). 6. ábra: GRCE bázisvonalon alapuló megoldásból számított geoid (l=) 6. ábra: GRCE KR geoid (l=) 63. ábra: EIGEN-GRCE0S geoid (l=) 46

51 kapott geoidmodellek pontossága itt is a hivatalos modellhez képesti eltérések szemléltetik a leginkább. Míg a bázisvonalon alapuló megoldás esetén (lásd 64. ábra) mintegy ±30 cm között változik (σ = 7,4 cm) a számított geoid a referenciamodellünkhöz képest, addig a mikrohullámú távolságmérés eredményeit is figyelembe véve ez mindösszesen ±0 cm (σ = 4,37 cm). 64. ábra: GRCE bázisvonalon alapuló megoldás EIGEN-GRCE0S differenciál geoid (l=) 65. ábra: GRCE KR EIGEN- GRCE0S differenciál geoid (l=) két eljárás közötti összehasonlítás a geoidmodell terén szintén jó visszaigazolást ad az eredmények fejlődéséről, avagy a gömbfüggvény együtthatók minél pontosabb meghatározásáról (lásd 66. ábra). z általunk számított két geoidmodell eltérése ±5 cm között változik (σ = 5,90 cm). 66. ábra: GRCE bázisvonalon alapuló megoldás GRCE KR differenciál geoid (l=) 47

52 3.5 Összegzés kinematikus pályaadatok feldolgozásával meghatároztuk a két műholdra ható konzervatív és nem konzervatív erők keltette potenciálkülönbségeket tagonként energiaintegrál alapján. Míg a bázisvonalon alapuló eljárás esetén csak fokig és rendig 35 nap mérési eredményeit felhasználva egyenlítettük ki a gömbfüggvény együtthatókat, addig ezen dolgozat keretében mind a 4 hónap adatát 70 fokig és rendig meghatároztuk a gömbfüggvény együtthatókat, valamint geopotenciális modellt (geoidmodellt) is előállítottunk. számításaink során folyamatosan jobb eredményeket értünk el, illetve a mikrohullámú távolságmérés eredményei szintén a pontosság növekedését hozták magukkal. kapott eredmények pontossága habár még elmarad az eddigi modellek pontosságától a mikrohullámú távolságmérések eredményeinek felhasználása után is de modellünk így is nagy hasonlóságot mutat az eddigi modellekkel (lásd 67. ábra), feldolgozási eljárásunk, kapott eredményeink, pedig egyre inkább megbízhatóbbak, és nagyobb pontosságot érnek el. gömbfüggvény együtthatók becsült fokonkénti hibáinak számítását az alábbi ref képlet segítségével végeztük el: ( ) ref σ = C C + ( S S ) l lm lm 67. ábrán a következő modelleket szemléltetjük: EIGEN-GRCE0S (mint referencia modell): 39 nap GRCE mérési adatokból számított modell ( ) EGM96: 996-os földfelszíni és altimetriás mérési adatokból számított modell ( ) EIGEN-: 003-as 6 hónap mérési eredményeinek feldolgozása a CHMP projektnek (40 40) OSU9: GEM-T-es modell, földfelszíni gravimetriai mérések és altiméteres mérések adatainak felhasználásával készült 99-es modell ( ) GRCEmw: Általunk készített modell, mely 4 hónap mérési eredményei alapján számítottunk, felhasználva a mikrohullámú távolságmérés adatait a GRCE műholdaknak (70 70) GRCEbl: Általunk készített modell, melyben 35 nap mérési eredményeit dogoztuk fel a GRCE műholdaknak ( ) lm lm 48

53 67. ábra: Gömbfüggvény együtthatók becsült fokonkénti hibái az EIGEN-GRCE0S modellhez képest 49

54 4 Mellékletek 4. Rövidítések CHMP ES GFZ GOCE GRCE IPG IERS KR MTL NS PCGM SLR SST TUM CHllenging Mini-satellite Payload European Space gency GeoForschungZentrum Gravity field and steady-state Ocean Circulation Eplorer Gravity Recovery nd Climate Eperiment Institut für stronomische und Physikalische Geodäsie International Earth Rotation Service K and Ranging MTri Loratory National eronautics and Space dministration Preconditioned Conjugate Gradient Multiple djustment Satellite Laser Ranging Satellite to Satellite Tracking Technische University München 50

55 4. Irodalomjegyzék [] Dr. iró Péter: Felsőgeodézia (Sc) (Elektronikus jegyzet) udapest, p. [] Case, Kelley Kruizinga, Gerhard L. H. Wu, Sien-Chong: GRCE Level Data Product User Handbook Jet Propulsion Laboratory, California Institute of Technology JPL D-07, 004. Január. [3] Detrekői Ákos: Kiegyenlítő számítások Tankönyvkiadó Vállalat, 99. [4] Érdi álint: Mesterséges holdak mozgása Nemzeti Tankönyvkiadó, 993. [5] Földváry Lóránt: 000-es évek első évtizede: a gravimetriai műholdak korszaka Magyar Geofizika 45.évf. 4. sz. -7. o [6] Földváry Lóránt Fukuda, Yoichi: On the effects of the atmospheric correction of the GRCE measurements for studies of oceanography Periodica Polytechnika ser. Civ. Eng. Vol. 46, No., pp [7] Jekeli, Christopher: The Determination of gravitational potential differences from Satellite-to-Satellite Tracking Celestial Mechanics and Dynamical stronomy 75: 85-0, 999. [8] Mayr, Theresa: Schwerefeldanalyse der Satellitenmission GRCE unter Verwendung des Energieintegrals Diplomarbeit, TUM, 005. [9] Proposal for a German Priority Research Program: Mass Transport and Mass Distribution in the Earth System Contribution of the New Generation of Satellite Gravity and ltimetry Missions to Geosciences GOCE-Projectbüro Deutschland, Technische Universität München GeoForschungZentrum Potsdam, 005. Január [0] Shin-Chan Han: Efficient Global Gravity Determination from Satellite-to-Satellite Tracking (SST) Geodetic and GeoInformation Science Ohio State University, Report No. 467,

56 [] Sneeuw, Nico: semi-analytical approach to gravity field analysis from satellite observations Deutsche Geodätische Kommission bei der ayerischen kademie der Wissenschaften, Dissertationen, Heft Nr. 57 München,

57 4.3 Feldolgozott adatok formátuma KZ_038.KIN (pályaadatok fáljai) GRCE zero-difference kinematic orbit, day JUL-04 4: LOCL GEODETIC DTUM: IGS00 EPOCH: :00:00 RMS= STTION NME WEEK SECONDS X (M) Y (M) Z (M) F GRCE--POD K GRCE--POD K GRCE--POD K GRCE--POD K GRCE--POD K GRCE--POD K GRCE--POD K GRCE--POD K GRCE--POD K GRCE--POD K GRCE--POD K GRCE--POD K GRCE--POD K GRCE--POD K GRCE--POD K GRCE--POD K GRCE--POD K GRCE--POD K GRCE--POD K GRCE--POD K GRCE--POD K GRCE--POD K GRCE--POD K GRCE--POD K GRCE--POD K KR_ _X_00.asc (KR mérések fáljai) PRODUCER GENCY : NS PRODUCER INSTITUTION : JPL FILE TYPE ipkrf : 7 FILE FORMT 0=INRY =SCII : NUMER OF HEDER RECORDS : 47 SOFTWRE VERSION KR_compress.c.69 05/9/03 SOFTWRE LINK TIME :5:5 glk j REFERENCE DOCUMENTTION : GRCE Level Software Handbook STELLITE NME : GRCE + SENSOR NME : IPU + TIME EPOCH (GPS TIME) : :00:00 TIME FIRST OS(SEC PST EPOCH): ( :00:00.00) TIME LST OS(SEC PST EPOCH) : ( :59:55.00) NUMER OF DT RECORDS : 74 53

58 PRODUCT CRETE STRT TIME(UTC): :43:50 by l0tol PRODUCT CRETE END TIME(UTC) : :44:00 by l0tol FILESIZE (YTES) : FILENME : KR_ _X_00.asc PROCESS LEVEL ( OR ) : INPUT FILE NME : KR 0<-KR_ dat INPUT FILE TIME TG (UTC) : KR 0< :55:5 by l0tol INPUT FILE NME : KR 0<-KR_ dat INPUT FILE TIME TG (UTC) : KR 0< :57:37 by l0tol INPUT FILE NME : KR <-KR_ dat INPUT FILE TIME TG (UTC) : KR < :43:30 by l0tol INPUT FILE SOFTWRE VERSION : KR <-@(#) KR_debreak.c.46 05/9/0 INPUT FILE LINKTIME TG : KR <-@(#) :5:5 glk j INPUT FILE NME : KR <-KR_ dat INPUT FILE TIME TG (UTC) : KR < :43:37 by l0tol INPUT FILE SOFTWRE VERSION : KR <-@(#) KR_debreak.c.46 05/9/0 INPUT FILE LINKTIME TG : KR <-@(#) :5:5 glk j INPUT FILE NME : KR <-KR_ dat.ord INPUT FILE TIME TG (UTC) : KR < :43:43 by l0tol INPUT FILE SOFTWRE VERSION : KR <-@(#) KR_order.c.4 05/9/03 INPUT FILE LINKTIME TG : KR <-@(#) :5:5 glk j INPUT FILE NME : KR <-KR_ dat.ord INPUT FILE TIME TG (UTC) : KR < :43:50 by l0tol INPUT FILE SOFTWRE VERSION : KR <-@(#) KR_order.c.4 05/9/03 INPUT FILE LINKTIME TG : KR <-@(#) :5:5 glk j INPUT FILE NME : PCI_<-PCI_ dat INPUT FILE TIME TG (UTC) : PCI_< :33:34 by l0tol INPUT FILE NME : PCI_<-PCI_ dat INPUT FILE TIME TG (UTC) : PCI_< :4:00 by l0tol INPUT FILE NME : USO_<-USO_ dat INPUT FILE TIME TG (UTC) : USO_< :35:47 by l0tol INPUT FILE NME : USO_<-USO_ dat INPUT FILE TIME TG (UTC) : USO_< :40:34 by l0tol END OF HEDER e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e

59 4.4 műholdak pillanatnyi helyzete honlapján 5 perces frissítéssel nyomon követhetők a műholdak. pályára állítástól (00. március 7. óra) pedig folyamatosan számolja, mennyi ideje keringenek a műholdak október -én órakor 34 napja és 0 órája keringtek! 68. ábra: GRCE műholdak pályája 69. ábra: műholdak helyzetének nyomon követése interneten 55