Rácsséták bijektív leszámlálása. Doktori értekezés

Átírás

1 Rácssétá bijetív leszámlálása Dotori érteezés Nagy Gábor Témavezető: Dr. Hajnal Péter Matematia- és Számítástudományo Dotori Isola Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatiai Kar Bolyai Intézet Szeged 204

2 Tartalomjegyzé. Bevezetés 3.. A bijetív ombinatoria 3.2. A dolgozat felépítése és tartalma 4 2. Páros indexű Catalan-számo onvolúciója Shapiro onvolúciós formulája A ombinatorius bizonyítás A bijetív bizonyítás Alalmazáso További problémá Diszrét véletlen sétá egy onvexitási tulajdonsága Bevezetés A diszrét onvexitási lemma elemi bizonyítása Magasabbról indított véletlen sétá Analóg eredménye magasabb dimenzióban 55 Összefoglalás 58 Summary 6 Köszönetnyilvánítás 64 Jelölése, fogalma 65 Irodalomjegyzé 66 2

3 . FEJEZET Bevezetés.. A bijetív ombinatoria Ebben a dolgozatban a lasszius értelemben vett ombinatoria, az összeszámlálási ombinatoria területéhez tartozó problémáat vizsgálun. A teintett problémá megoldásához tehát véges halmazo elemszámána pontos meghatározására, illetve esetünben ezen számosságo összehasonlítására lesz szüség. (Elsősorban ombinatorius azonosságoal és egyenlőtlenségeel foglalozun majd.) A legelemibb munamódszert választju; ét halmaz elemszámána egyenlőségét mindig bijeció megadásával igazolju. Az összeszámlálási ombinatoria ezzel a módszerrel dolgozó alága a bijetív ombinatoria, mely a ombinatorius alapmennyiségehez (például a binomiális együtthatóhoz, vagy a Catalan-számohoz) egy-egy reprezentáló halmazt társít, és az alapmennyiségere izárólag ezen halmazo elemszámaént teint, így a onrét számértéeen végzett algebrai manipuláció helyett csais e halmazo segítségével érvel. (Például ha egy összeszámlálási problémára az ( n ) binomiális együttható a válasz, aor ahelyett, hogy egy önnyen felírható alaból iindulva algebrai átalaításoal iszámolju, hogy a n! válasz!(n )!, célun bijeciót megadni a megszámolandó objetumo halmaza és az {,..., n} halmaz elemű részhalmazaina halmaza özött.) A eresett bijecióval szemben hallgatólagos elvárás, hogy egyszerűen legyen definiálva (azaz az eleme épét meg lehessen apni egy hatéony determinisztius algoritmussal), és a leépezés bijeció volta önnyen ellenőrizhető legyen. Bár étségtelen, hogy esztétiai szemponto is szerepet játszana, természetesen ez a célitűzés nem öncélű: Egyrészt nehezen vitatható, hogy ez a legletisztultabb, legszemléletesebb módja a ombinatorius érvelésne, míg az algebrai manipuláció a többi, mélyebb techniával együtt bizonyos szempontból inább elfedi a lényeget, aor is, amior esetleg ezt az utat érezzü egyszerűbbne mechaniussága miatt. Másrészt, a modernebb módszere mellett továbbra is van létjogosultsága az elemi megözelítésne, hiszen soszor gyorsabban célt érhetün elemi eszözö felhasználásával (esetleg más módszereet iegészítve), mint nélülü. Erre, és az ellenezőjére is látun majd példát a ésőbbi fejezeteben. Megfigyelhető tendencia ugyanaor, hogy a nehezebb összeszámlálási problémára általában előbb születne nem ombinatorius bizonyításo, mint bijetíve. Ez abból is faad, hogy a modernebb módszere jellemzően univerzálisabba, míg egy alalmas bijeció (bijetív bizonyítás) megonstruálására nincs bevált recept, pusztán orábban látott trüö, hasonló problémá, esetleg más módszereel iszámolt ténye jelenthetne segítséget. (Létezne ugyan olyan eljáráso, melyeel bizonyos nem bijetív módszere bijetivizálható, de így általában ombinatorius indolásént nehezen elfogad- 3

4 . Bevezetés ható, bonyolult bijecióat apun. A partíciós azonosságo vizsgálatában lényeges előrelépés történt ebből a szempontból, melyre a övetező beezdésben még visszatérün.) Az összeszámlálási ombinatoria egy átfogó összefoglalójaént a bijetív és egyéb módszere teintetében is Stanley étötetes Enumerative Combinatorics önyvét ajánlju [3, 32]. A bijetív ombinatoria fontos megoldatlan problémáit so esetben a más módszereel igazolt eredménye szolgáltatjá; talán a leghíresebb eze özül a ét Rogers Ramanujan-azonosság [24, 22], melye Schur és MacMahon észrevétele szerint evivalens alaban megfogalmazható egyszerűne látszó és tetszetős, egész számo partícióira vonatozó ombinatorius összefüggéseént is, azonban szép bijetív bizonyítást máig nem sierült találni ráju. (Garsia és Milne [9] bijetív bizonyítása meglehetősen összetett, de az általu idolgozott involúciós elv [8] és anna továbbfejlesztése segítségével partíciós azonosságo egész sorát lehet bijetíven bizonyítani, számítógépes segédlettel. Ez az elv jelentős változást hozott a partíció vizsgálatában, de elfogadottsága nem egységes. A témáról Wilf [34] és Pa [20] munáiban olvashatun bővebben, pro és ontra véleményeel együtt.).2. A dolgozat felépítése és tartalma Az érteezésben ét ülönböző témaört vizsgálun a bijetív ombinatoria eretein belül, melye apcsolódási pontja a rácssétá megjelenése és felhasználása. (Informálisan, egy d-dimenziós rácsséta a Z d diszrét tér pontjain sétál, egy pontból mindig anna valamelyi szomszédjára, azaz valamelyi hozzá legözelebb eső pontra lépve.) A 2. fejezet a [6] és [2] publiációat dolgozza fel. Ebben a részben a Stanley által is népszerűsített [29, 30] n C 2 C 2n 2 = 4 n C n =0 onvolúciós azonossággal foglalozun, ahol C n az n-edi Catalan-számot jelöli. (A Catalan-számo a ombinatoria alapvető mennyiségei, melyeről bőséges ismeretanyagot tartalmaz Stanley [32] önyve és Koshy [3] monográfiája.) A fenti tetszetős formula Shapiro 2002-es eredménye [3; 23. o.], melyet nem nehéz formális hatványsoroal igazolni, Shapiro is így érvelt. Megjegyezzü, hogy omputeralgebrai rendszereel is dolgozhatun: A hipergeometrius azonosságo számítógépes ellenőrzésére is használható Zeilberger-algoritmus tömör, matematiailag orret bizonyítást talál. (Az algoritmus részletes leírása megtalálható a [2] önyvben.) Bár ezeel a módszereel egy-egy ompat indoláshoz jutun, az azonosság ombinatorius jelentése rejtve marad. Teintve, hogy egy ombinatorius alapmennyiségeet tartalmazó, nagyon egyszerű formuláról van szó, természetesen fogalmazódi meg a ombinatorius bizonyítás igénye. (Kombinatorius bizonyítás alatt azt értjü, hogy felmutatun egy olyan összeszámlálási problémát, amelyet a bal és jobb oldal egyaránt megválaszol, így a ét oldal szüségéppen egyenlő.) 4

5 . Bevezetés Rövid történeti átteintés után a 2. fejezetben ismertetün egy egyszerű ombinatorius, majd pedig egy arra épülő teljesen bijetív bizonyítást, ezzel megoldju a Stanley által itűzött feladatot [29; 94. probléma]. Bizonyításain speciális uta ettős leszámlálásán alapulna. Ezután átteintjü módszerün néhány övetezményét, melye özül a legfontosabb a özépső binomiális együttható alternáló onvolúciós formulájána [28] új elemi bizonyítása. A témaör lezárásaént bemutatju a Shapiro-azonosság bizonyításában szereplő összeszámlálási probléma általánosítását, és sejtésént fogalmazzu meg az általun helyesne gondolt választ. A [8] és [7] publiációon alapuló 3. fejezetben áttérün egy mási területre; itt diszrét véletlen sétáal foglalozun, mely témaörhöz Spitzer lasszius [27] önyvét ajánlju elméleti iegészítésént. Az ismertetett problémát az előzőeel ellentétben ombinatorius megfontoláso nélül nehezebb ezelni, mint elemi ombinatoriai eszözö igénybevételével. A probléma Toti Vilmostól származi, ai harmonius mértéeel apcsolatos utatásai során fogalmazta meg 202-ben a övetező lemmát (és bizonyította elsőént, Fourier-analitius eszözöel): Ha p jelöli anna a valószínűségét, hogy a négyzetrács (0, ) pontjából induló szimmetrius véletlen séta a (, 0) pontban lép először az x-tengelyre ( Z), aor a (p ) =0 sorozat onvex. Erre az állításra egy elemi, számolásmentes bizonyítást adun, melyben a lényegi részt, bizonyos sétahalmazo elemszámára vonatozó egyenlőtlenséget, a halmazo özötti injetív leépezés megadásával igazolju. (Emellett más megoldási módszereet is vázolun.) Ezután megvizsgálju, hogy mit állíthatun abban az esetben, ha távolabbi ezdőpontból indítju a véletlen sétát, majd rávilágítun módszerün orlátaira is. Végül eredményein magasabb dimenziós analogonjait tárgyalju. Az érteezés végén részletesebben is összefoglalju a szamai fejezete tartalmát, magyarul és angolul egyaránt. A önnyebb olvashatóság érdeében töreedtün arra, hogy minél evesebb jelölést vezessün be. A több helyen is használt saját jelöléseinet, illetve a nem egységes szairodalom alapján többféleéppen is érthető jelöléseet a 65. oldalon gyűjtöttü össze. Ugyanitt megismételtü a dolgozatban szereplő ülönböző út- és sétatípuso definícióit egy helyen. A dolgozat fő tételeit és lemmáit teljes részletességgel bizonyítju, további irodalom igénybevételére nincs szüség megértésühöz. (Néhány fontos hivatozott eredményt bizonyítással együtt ismertetün.) Abban az esetben, ha egy orábban már részletezett gondolat megismétlésére lenne szüség, aor csa vázolju, hogy hasonlóan járhatun el, mint orábban. A fő témánhoz szorosan nem apcsolódó állításonál nem leszün mindig ilyen alaposa, egyes része igazolása az olvasóra marad (eze rutinszerűen elvégezhető). A iegészítő része idolgozottsága türözi a szerző matematiai ízlését is. 5

6 2. FEJEZET Páros indexű Catalan-számo onvolúciója 2.. Shapiro onvolúciós formulája A Catalan-számo fontos szerepet töltene be az összeszámlálási ombinatoriában, hiszen számos probléma megoldása során természetes módon megjelenne: Sloane és Plouffe [26] szerint valószínűleg a leggyarabban előforduló ombinatorius mennyisége a binomiális együttható után. Szépségüön túl ezért is indoolt minél mélyebb megértésü, melyet so matematius tűzött i célul. A vonatozó utatáso intenzitását mutatja, hogy Stanley, a bijetív ombinatoria egyi nemzetözileg elismert vezetője, több mint 200 evivalens Catalan-szám definíciót gyűjtött össze alapművé vált Enumerative Combinatorics önyvében [32, 30]. A övetező alfejezetben eze özül az egyi legstandardabb ombinatorius értelmezést választju majd bizonyításain iindulópontjána, most azonban csa a számszerűsített definíciót özöljü: Definíció. Az n+( 2n n ) számot az n-edi Catalan-számna nevezzü és Cn -nel jelöljü. Közismert, hogy a Catalan-számora teljesül a övetező onvolúciós azonosság (amely a C 0 = ezdőértéel együtt reurzív definícióént is felfogható): n C C n = C n+. (2.) =0 Ez egy egyszerű állítás, amely a bevezető ombinatoria urzuso tananyagához tartozi, ombinatorius bizonyítással együtt. L. Shapiro 2002-ben észrevette, hogy a páros indexű Catalan-számo analóg onvolúciója is elegáns zárt alara hozható: 2.. Tétel. (Shapiro [30; 6.C8]) n C 2 C 2n 2 = 4 n C n. (2.2) =0 Shapiro formuláját nem nehéz igazolni a Catalan-számo generátorfüggvényéne segítségével [3; 23. o.], azonban első ránézésre meglepő módon a formula ombinatorius jelentését jóval nehezebb megfejteni, ez a feladat egy évtizedig megoldatlan maradt. Shapiro nem is publiálta az azonosságot és a [3]-beli egyszerű levezetést; a formula aor apott nagyobb publicitást, amior ombinatorius módon megoldatlan problémaént beerült Stanley Bijective Proof Problems on-line 6

7 2. Páros indexű Catalan-számo onvolúciója feladatgyűjteményébe [29; 94. probléma], és a már említett Enumerative Combinatorics önyv Catalan addendum nevet viselő eletronius iegészítésébe [30; 6.C8]. Az első lényeges előrelépés 20-ben történt: Andrews eor publiálta az azonosság egy q-analóg változatát, háromféle bizonyítással []. A legmélyebb módszer egy általánosabb azonosságot bizonyít q-hipergeometrius összegzési tétele segítségével, a másodi gondolatmenet is generátorfüggvényere támaszodi, a harmadi megoldás pedig ombinatorius, amely a szerző megjegyzése szerint nem nehéz (csa fárasztó) módon bijetív bizonyítássá transzformálható. 202-ben sierült elemi ombinatoriai eszözöel igazolnom Shapiro formuláját [6], továbbá a bizonyítás egyetlen nem bijetív lépését is bijetívvé tettü Hajnal Péterrel 203-ban [2]. A bizonyításo speciális uta összeszámlálásán alapulna. Eze e fejezet fő eredményei, melyeet a 2.2. és 2.3. alfejezeteben részletesen ismertete. Ezután néhány alalmazást mutato be a 2.4. alfejezetben, végül megfogalmazo egy sejtést a 2.5. alfejezetben, amely a bijetív bizonyítás idolgozása után természetes módon vetődött fel. Mielőtt rátérnén a bizonyításora, megjegyezzü, hogy a (2.) és (2.2) összefüggése ismeretében önnyen iszámolható a páratlan indexű Catalan-számo onvolúciója: n 2n n C 2+ C 2n 2 = C i C 2n i C 2 C 2n 2 = C 2n+ 4 n C n, =0 i=0 amely tovább nem egyszerűsíthető algebrailag, tehát nem várható a fenti érvelésnél egyszerűbb zárt alara hozás. Ez azt sugallja, hogy Shapiro azonosságána bizonyításához az indexe párosságát fel ell használni A ombinatorius bizonyítás Bizonyos uta ettős leszámlálásával fogju igazolni Shapiro formuláját. Ehhez bevezetjü a páros-metsző uta fogalmát, amiből a páros indexű Catalan-számo olyan nemstandard ombinatorius értelmezését apju, amely özvetlenül elvezet egy alalmas összeszámlálási problémához. A nem hivatozott eredménye a [6] ciemben erülte publiálásra. Formuláinban többször megjelenne majd ( ) 2n n alaú binomiális együttható a Catalan-számo mellett, így a önnyebb átteinthetőség érdeében a B n := ( ) 2n n jelöléssel élün, és azt mondju, hogy B n az n-edi özépső binomiális együttható. Először definiálju az alfejezet alapfogalmait: Definíció. Egy út felfelé ( ) és lefelé ( ) lépése véges sorozata. Egy út hosszán a lépései számát értjü. A 0 hosszú utat ε-nal jelöljü. Megjegyzés. Az utaat 2-dimenzióban szemléltetjü a 2.. ábrán látható módon a standard oordináta-rendszerben. Tehát a definícióban szereplő megfelelője egy (, ) lépés, a megfelelője pedig egy (, ) lépés. Használni fogju a szemléletes jelentésből eredő fogalmaat (például x-tengelymetszet, végpont stb.). A szemléltetéshez az út ezdőpontját tetszőlegesen megválaszthatju; amennyiben másént nem jelezzü, az uta az origóból indulna. 7 =0

8 2. Páros indexű Catalan-számo onvolúciója y x 2.. ábra: Példa egy útra A (2-dimenziós) út helyett élhetnén az -dimenziós séta szóhasználattal is, ahol az x-tengely megfelelője a diszrét idő, az y-tengelyé pedig az atuális pozíció lenne. Így talán oherensebbé válna a dolgozat nyelvezete, mégis inább a szairodalomban elterjedt elnevezéseet választottam. Egy n hosszú (absztrat) út felfogható úgy is, mint egy n elemű alaphalmaz egy részhalmazána araterisztius vetora, csa 0 és számo helyett a és szimbólumoal ódolva. Tehát az utaal voltaéppen csupán szoatlan módon vizualizálju a véges halmazoat. És mint látni fogju, ez a szemléltetés soszor hasznosna bizonyul mind problémamegoldás, mind leírás szempontjából. (Például a 2.4. alfejezetben ismertetett, özépső binomiális együtthatóra vonatozó (2.5) onvolúciós formula esetén is uta segítségével érvel a legelemibb ombinatorius bizonyítás, ami meglepőbb, mint Catalan-számoat tartalmazó formulá esetén.) Az uta (illetve lépése) összefűzésére intuitív jelölést használun: Például ha L és R egy út, aor a L R út a övetező lépéssorozatot jelenti: felfelé lépés, L lépései, lefelé lépés, R lépései (természetesen ebben a sorrendben, valamint az L-beli, illetve R-beli lépése sorrendjéne megtartásával). Az alábbiaban néhány speciális útosztályt definiálun: Definíció. Egy út iegyensúlyozott, ha az x-tengelyen végződi, azaz ha ugyanannyi felfelé lépést tartalmaz, mint lefelé lépést; nemnegatív, ha soha nem megy az x-tengely alá; seholsem-zéró, ha soha sem lép rá az x-tengelyre (a ezdőpontot leszámítva); Dyc-út, ha nemnegatív és iegyensúlyozott ábra: Egy Dyc-út Ha egy P iegyensúlyozott út hossza 2, aor azt is mondju, hogy P félhossza. (Minden iegyensúlyozott út páros so lépésből áll, hiszen a felfelé és lefelé lépése száma megegyezi.) Az imént definiált speciális uta száma ismert tetszőleges rögzített hosszra: 8

9 2. Páros indexű Catalan-számo onvolúciója 2.2. Állítás. a) A 2n hosszú (n félhosszú) iegyensúlyozott uta száma B n. b) A 2n hosszú nemnegatív uta száma B n. c) A 2n hosszú seholsem-zéró uta száma B n. Bizonyítás. a) Triviális, hiszen az n felfelé és n lefelé lépés sorrendjét tetszőlegesen megválaszthatju. b-c) Follór állításo, több bizonyításu is olvasható például [6]-ban. Bijeció megadásával igazolható, hogy a 2n hosszú nemnegatív uta száma megegyezi a 2n hosszú iegyensúlyozott uta számával. Az pedig önnyen látható (szintén bijetíven), hogy a b)-beli és c)-beli uta száma megegyezi. A övetező állítás a BSc ombinatoria tananyag része, melyet a Catalanszámo ombinatorius definíciójána teintün: 2.3. Állítás. A 2n hosszú (n félhosszú) Dyc-uta száma C n. A bevezető alfejezetben említettü, hogy Stanley több mint 200 mási interpretációt gyűjtött össze. Shapiro azonosságán gondolodva azonban előbb-utóbb úgy érezzü, hogy egyi sem segít özvetlenül (néhány sorban) megtalálni a bijetív bizonyítást. A megoldáshoz elvezető interpretáció abban ülönbözi ezetől, hogy csa páros indexű Catalan-számora vonatozi, azaz megragadja az indexe párosságát. Nézzü tehát a ulcsdefiníciót és a főlemmát: Definíció. Egy út páros-metsző, ha az x-tengelyt csa 4-gyel osztható (abszcisszájú) pontoban metszi. 0 x 2.3. ábra: Egy páros-metsző út Megjegyzés. Metszéspont alatt nemcsa átmetszést értün, hanem anna teintün minden x-tengelyre lépést. Egy (origóból induló) út x-tengelymetszetei természetesen csa páros számo lehetne, hiszen minden lépés után megváltozi az atuális magasság paritása. Páros-metsző uta esetén tehát minden másodi lehetséges x-tengelymetszet tiltott (lásd 2.3. ábra). Innen ered a issé mesterélt páros-metsző elnevezés is: csa a párosadi metszésponto megengedette a szóba jöhetőe özül. A övetező lemmában adju meg a páros indexű Catalan-számo ígért ombinatorius leírását. A lemma története alandos: 98-ben American Mathematical Monthly problémaént [25] tűzté i. (Megfogalmazása csa annyiban tér el lemmánétól, hogy 45 -al elforgatott szemléletben dolgozi.) 983-ban özölte 9

10 2. Páros indexű Catalan-számo onvolúciója egy hibás, majd 985-ben egy ombinatorius, de nem bijetív megoldást [3]. Eor a szeresztő újra itűzté a feladatot, bijetív bizonyítást érve, és 987-ben megjelent Nichols et al. bijetív bizonyítása [9]. Ezután a lemma elfelejtődött, legalábbis erre utal, hogy Shapiro formuláját soáig nem sierült ombinatoriusan igazolni. (Ugyanis ahogy a legtöbb ilyen problémánál, itt is a megfelelő összeszámlálási feladat megtalálása a nagyobb nehézség, nem a megoldása.) Érdeesség, hogy a lemmát Monthly-feladatént szintén Shapiro tűzte i, és Stanley Enumerative Combinatorics önyvében is szerepel [32; 230. o., 6.22], csa nem a Catalan-számo evivalens definícióit tartalmazó hosszú listában, amely talán a legolvasottabb összefoglaló a témában, hanem ülön feladatént. A 202-es [6] ciem írásaor ezeről az előzményeről nem volt tudomásom, és sajnos hivatozás nélül fogalmaztam meg és bizonyítottam a lemmát (amely bizonyítás egyébént megegyezi Nicholsé megoldásával), és így is jelent meg; ez a 204-ben megjelent [2] ciünben tisztázásra erült Lemma. (Nichols et al. [9]) A 4n hosszú (2n félhosszú) iegyensúlyozott párosmetsző uta száma C 2n. Bizonyítás. n = 0 esetén nyilvánvalóan teljesül az állítás, rögzítsün tehát egy tetszőleges n számot. Jelölje a 4n hosszú Dyc-uta halmazát D, a lemmabeli uta halmazát pedig E. Mivel D = C 2n a Catalan-számo standard interpretációja (2.3. Állítás) szerint, ezért elegendő egy bijeciót megadnun D és E özött. Teintsün egy tetszőleges D-beli D Dyc-utat. D épéne definiálásához először eressü meg az első olyan lefelé lépést D-ben, amellyel az út visszatér az x-tengelyhez. Ha ezt a lépést a ezdőlépéssel együtt eltávolítju D-ből, aor D ét Dyc-útra esi szét: Jelölje L a bal oldalit, R pedig a jobb oldalit. (Például L azért Dyc-út, mert egyrészt nyilván iegyensúlyozott, másrészt az eltávolított lefelé lépés volt az első olyan lépés D-ben, mely az magasság alá lép, így a nemnegativitás is teljesül.) Mivel D félhossza páros (2n), és egy lépéspárt eltávolítottun D-ből, ezért L és R özül az egyi félhossza páros, a másié páratlan (mert ezen félhosszo összege páratlan, 2n ).. eset: Ha R a páratlan félhosszú Dyc-út, aor D épe legyen φ(d) := R φ(l), ahol φ(l)-t úgy apju, hogy a fenti eljárást reurzív módon megismételjü az L páros félhosszú Dyc-útra (mint új D -re) mindaddig, amíg a 0 hosszú úthoz nem jutun, amelyre φ(ε) := ε. (A fenti L R-felbontást minden páros, de nem nulla félhosszú Dyc-útra el tudju végezni.) 2. eset: Ha L a páratlan félhosszú Dyc-út, aor D épe legyen φ(d) := L φ(r), ahol L az L út x-tengelyre vonatozó tüörépe (azaz L-t a felfelé és lefelé lépése felcserélésével nyerjü L-ből), és φ(r)-et úgy apju, hogy a fenti eljárást reurzív módon megismételjü a páros félhosszú R-re. Tehát az imént tulajdonéppen egy, a páros félhosszú Dyc-uta halmazán értelmezett φ függvényt definiáltun reurzív módon. (A definíció értelmes, mert az. és 2. esetben is páros félhosszú az a Dyc-út, amelyre újból iértéeljü φ-t.) A ψ := φ D függvény lesz a eresett bijeció. ψ definíciója és a bijetivitás ellenőrzése legönnyebben a 2.4. ábra alapján övethető (a felső D út épe az alsó E út): 0

11 2. Páros indexű Catalan-számo onvolúciója A ódolás I. fázisában a zöld hullámos lépéspárral osztju fel D-t L -re és R -re (a fenti L és R jelöléshez hozzávettü a fázis sorszámát indexént, de L -et nem jelöltü az ábrán), melye özül a zöld hagyományos vonallal rajzolt R Dyc-út a páratlan félhosszú, így az. eset alapján végezzü el a ódolást, mellyel a épént adódó E út zöld lépéseit apju meg, és övetezi a II. fázis. A II. fázisban a D-ből megmaradó (nem zöld) útban a piros hullámos lépéspár adja az L 2 R 2 -felbontást, melye özül az L 2 a páratlan félhosszú, így most a 2. eset alapján ódolun. Végül a III. fázisban ismét egy. esetbeli ódolás övetezi a D-ből megmaradt útra, é színeel jelölve, és ezzel átdaraboltu az egész D utat az E úttá (L 3 = ε), az algoritmus leáll. D R 3 L 2 R D 0 4n x I. fázis II. fázis III. fázis E E 0 4n x 2.4. ábra: A lemmát bizonyító bijeció Hátravan még anna végiggondolása, hogy ψ valóban D E bijeció. Könnyű látni, hogy tetszőleges D D esetén ψ(d) E teljesül: ψ hossztartása világos (azaz 4n hosszú utat apun a ódolás végén), minden fázisban az L R-felosztást adó lépéspárt és a páratlan félhosszú utat másolju át ψ(d)-be, aár az. eset, aár a 2. eset szerint ódolun. (Formálisan: φ hossztartása az argumentum félhossza szerinti inducióval egyszerűen igazolható. Hasonlóan bizonyítható a ψ bijetivitásához szüséges összes többi tulajdonság, mi azonban inducióra való hivatozás helyett inább a szemléletesebb megfogalmazásoat választju.) ψ(d) felépítéseor minden fázisban egy iegyensúlyozott utat ragasztun a már felépített részhez, ezért egy iegyensúlyozott utat apun végeredményül is. Mivel minden fázisban olyan (hagyományos vagy türözött) Dyc-utat ragasztun, amely a ezdő- és végpontot leszámítva nem metszi az x-tengelyt, ezért minden fázisban ét szomszédos x-tengelymetszet özötti részt építün fel ψ(d)-ben. Az algoritmus minden

12 2. Páros indexű Catalan-számo onvolúciója fázisban páratlan félhosszú Dyc-utat választ, tehát bármely ét zérushely özött a hozzáadott ( hullámos ) lépéspárral együtt páros félhosszú, azaz 4-gyel osztható hosszúságú Dyc-út áll (esetleg türözve). Ez pedig pontosan azt jelenti, hogy ψ(d) páros-metsző út is, azaz ψ(d) E. Belátju, hogy tetszőleges E E útna egyetlen inverz épe van. Az x- tengelymetszete felosztjá a E-t (esetleg türözött) Dyc-utara, melye első és utolsó lépését eltávolítva páratlan félhosszú Dyc-utaat apun, amelye a fázisona felelne meg. Abból, hogy egy ilyen Dyc-út türözött vagy sem, italálhatju, hogy a feltételezett ősépbeli megfelelője bal oldali vagy jobb oldali út volt-e az adott fázisban (azaz az. vagy 2. eset szerint ódoltun-e), és enne segítségével balról jobbra haladva egyértelműen felépíthetjü az inverz épet. Például a 2.4. ábrán látható E út esetén tudju, hogy az első x-tengelymetszetig tartó rész felel meg az. fázisna, amelyben. esetbeli onverzió történt (mivel nem volt türözés), ebből ψ definíciója alapján világos, hogy ezt a ezdőszeletet aor és csa aor aphatju meg, ha a feltételezett ősép vonatozó része megegyezi az ábra felső felén látható D Dyc-út zöld színű részével, és a ét zöld hullámos lépés özött nincs x-tengelyre vivő lépés benne. (Itt felhasználju azt is, hogy a zöld hagyományos vonallal rajzolt út félhossza páratlan, másülönben a ódoló algoritmus a mási részutat választaná a fázisban.) Ezután a é lépése ősét tudju egyértelműen meghatározni, és így tovább balról jobbra (fázisról fázisra) haladva megtalálhatju az inverz épet, unicitási érveléssel együtt. Ezzel beláttu ψ bijetivitását, így bizonyításun teljes. Megjegyzés. Informálisan fogalmazva, a D-beli és az E-beli utaat is páratlan félhosszú Dyc-utaból építhetjü fel, és bijeción a D-beli uta felépítéséne balra/jobbra döntéseit onvertálja át az E-beli uta felépítéséne felfelé/lefelé döntéseivé. A lemmabeli uta számát X n -nel, a C 2n Catalan-számot Y n -nel jelölve önnyen látható, hogy az (X n ) n=0 és (Y n) n=0 sorozat is ielégíti a övetező reurziót (és emiatt megegyezne): Z 0 = ; n Z n = 2 C 2 Z n, ha n. (2.3) = Ugyanis a lemmabeli utaat első nem-origó x-tengelymetszetü szerint osztályozva azonnal megapju, hogy (X n ) n=0 valóban ielégíti a reurziót, az (Y n) n=0 sorozatra vonatozóan pedig (2.3) csa a standard (2.) Catalan-reurzió átfogalmazása. Ez egy reurzív bizonyítás, melyre azonban jóval egyszerűbb rátalálni, hiszen (2.3) természetes módon adódi, amior megpróbálju összeszámolni a lemmabeli utaat. (A lemma történeti átteintésében említett első ombinatorius bizonyítás is így érvel [3].) Valójában ψ ódolásun ezt a reurzív gondolatmenetet bijetivizálja. A fenti lemmából azonnal övetezi a páros indexű Catalan-számo onvolúciójána egy ombinatorius interpretációja: 2

13 2. Páros indexű Catalan-számo onvolúciója 2.5. Követezmény. a) n =0 C 2C 2n 2 az origóból a (4n +, ) pontba menő páros-metsző utaat számolja meg. b) n =0 C 2B 2n 2 a 4n hosszú páros-metsző utaat számolja meg. Bizonyítás. a) Csoportosítsu a szóban forgó utaat az utolsó x-tengelymetszetü szerint. (Ez értelmes, hiszen az origó mindig x-tengelymetszet.) C 2 C 2n 2 azon lemmabeli utaat számolja meg, melye utolsó x-tengelymetszete 4, hiszen C 2 lehetőség van páros-metsző módon eljutni az origóból a (4, 0) pontba a 2.4. Lemma alapján, majd ezután felfelé lépésne ell öveteznie (hiszen az x-tengelyre innentől nem léphetün rá, és a végpont az x-tengely fölött van), végül a (4 +, ) pontból C 2n 2 -féleéppen juthatun el a (4n +, ) pontba x-tengelyre lépés nélül a 2.3. Állítás szerint (hiszen ez a szaasz nyilvánvalóan egy 4n 4 hosszú Dycút további megötés nélül). A formula valóban a lemmabeli utaat számolja meg, mivel a páros-metsző tulajdonság miatt az utolsó x-tengelymetszet mindig 4 alaú valamely {0,..., n} számra n x C 2 lehetséges páros-metsző út 2.5. ábra: Az a) állítás bizonyítása C 2n 2 lehetséges Dyc-út b) Analóg módon adódi az állítás. C 2 B 2n 2 azon lemmabeli utaat számolja meg, amelye utolsó x-tengelymetszete 4, ugyanis ezen uta (0, 0) (4, 0) szaasza ismét C 2 -féleéppen valósulhat meg (2.4. Lemma), majd a (4, 0) ponttól B 2n 2 -féleéppen folytatódhatna seholsem-zéró módon (2.2. Állítás) n x C 2 lehetséges páros-metsző út B 2n 2 lehetséges seholsem-zéró út 2.6. ábra: A b) állítás bizonyítása A 2.5. Követezményben szereplő ét onvolúció özött szoros apcsolat van: 3

14 2. Páros indexű Catalan-számo onvolúciója 2.6. Lemma. n n C 2 B 2n 2 = (n + ) C 2 C 2n 2. =0 =0 Bizonyítás. Felhasználva a B j = (j + )C j összefüggést, n n C 2 B 2n 2 = C 2 (2n 2 + )C 2n 2 =0 =0 ( = n ) n C 2 (2n 2 + )C 2n 2 + C 2n 2 (2 + )C 2 2 =0 =0 = n n (2n + 2)C 2 C 2n 2 = (n + ) C 2 C 2n 2. 2 =0 =0 Megjegyzés. B j -t és C j -t alalmas összeszámlálási problémára adott válaszént értelmezve (2.2. és 2.3. Állítás) a fenti számolás átonvertálható bijetív bizonyítássá, ha felhasználju a B j = (j + )C j tény egy bijetív pl. [6]-ban olvasható bizonyítását. Erre azonban nincs szüség, ugyanis Shapiro azonosságána bijetív bizonyításaor nem fogju használni ezt a lemmát a 2.3. alfejezetben; ombinatorius bizonyításunban pedig a fő nem bijetív gondolat a 2.7. Lemma lesz, így a fenti számolás iüszöbölése sem segítene. Shapiro (2.2) onvolúciós formuláját (n + )-gyel szorozva, a 2.6. Lemma és az (n + )C n = B n összefüggés alapján a n C 2 B 2n 2 = 4 n B n (2.4) =0 evivalens alaot apju. A Shapiro-formula igazolásához elegendő a 2.5. Követezmény a) pontjában szereplő utaat másépp megszámolni, 4 n C n választ eredményező módon. Hasonlóan, a (2.4) evivalens alahoz pedig a b) pontban szereplő uta számáról ell belátni, hogy 4 n B n. Tulajdonéppen a 2.7. ábrán szemléltetett özépisolás módszerrel számolju össze a érdéses utaat: Ha az ábrán látható módon minden szóba jöhető rácspontra fel aarju jegyezni, hogy hányféleéppen lehet oda páros-metsző módon eljutni az origóból, aor az ábra balról jobbra haladva itölthető, ugyanis minden pont címéje a bal oldali szomszédo címéine összege (a szomszédságot a berajzolt vonala szemlélteti), hiszen először ezen szomszédo valamelyiébe ell eljutni, és utána egy egyértelműen meghatározott lépés övetezi a vizsgált pontba. (Ez az egyszerű gondolat elvezet egy hatéony algoritmushoz, mellyel gyorsan i lehet számolni számítógép segítségével ezeet az értéeet nagyobb oordinátájú rácspontora is. De erre nem lesz szüségün.) Eddigi eredményein a övetezőéppen 4

15 2. Páros indexű Catalan-számo onvolúciója foglalható össze: Tudju, hogy a (4n, 0) pont címéje C 2n a 2.4. Lemma szerint; a (4n +, ±) pont címéje L n := n =0 C 2C 2n 2, a 4n-edi oszlopban lévő címé összege pedig S n := n =0 C 2B 2n 2 a 2.5. Követezmény szerint. Azt ell megmutatnun, hogy L n = 4 n C n, vagy ami ezzel evivalens, hogy S n = 4 n B n. A fő észrevétel az, hogy S n+ iszámolható S n és L n segítségével, azaz a 2.6. Lemma L n = n+ S n összefüggését figyelembe véve S n segítségével, amiből egy reurzív iszámítási módot apun a eresett S n, illetve L n értéere x 2.7. ábra: A páros-metsző uta száma A részleteet a övetező lemma tárgyalja (címé helyett tömörebb nyelvezetet használva), amely egyúttal Shapiro azonosságára adott ombinatorius bizonyításun befejező lépése (vö Követezmény): 2.7. Lemma. a) Az origóból a (4n +, ) pontba menő páros-metsző uta száma 4 n C n. b) A 4n hosszú páros-metsző uta száma 4 n B n. Bizonyítás. A 2.5. Követezmény szerint az a)-beli uta száma n =0 C 2C 2n 2, a b)-beli uta száma pedig n =0 C 2B 2n 2. A 2.6. Lemma alapján tehát a b)-beli uta száma (n + )-szerese az a)-beli uta számána, így a ét állítás evivalens, hiszen ez az összefüggés a bizonyítandó értéere is fennáll. A b) állítást látju be. Jelölje a 4n hosszú páros-metsző uta halmazát P n, és legyen S n := P n. A bizonyítandó S n = 4 n B n állítást n szerinti inducióval igazolju. Ez nyilvánvalóan teljesül n = 0 esetén. Tegyü fel, hogy n-re igaz, hogy S n = 4 n B n. Minden P n+ -beli utat egyértelműen megaphatun valamely P n -beli útból 4 alalmas befejező lépés hozzávételével. Egy utat 6-féleéppen lehet meghosszabbítani 4 lépéssel, így a P n -beli uta mindegyiét meghosszabbítva összesen 5

16 2. Páros indexű Catalan-számo onvolúciója 6S n ülönböző utat apun. Eze özül pontosan azo nincsene P n+ -ben, melye rálépne a (4n + 2, 0) pontra. (Hiszen ezen uta első 4n lépése P n -beli utat alot, így ott soha nem övetezhet be tiltott x-tengelyre lépés.) A (4n + 2, 0) pontra a (4n+, ) és (4n +, ) ponto valamelyiéről lehet lehet rálépni. Tehát a rossz meghosszabbításo pontosan azo az uta, amelye először páros-metsző módon eljutna a (4n+, ) pontba, majd egy (tiltott) lefelé lépés és ét tetszőleges lépés övetezi; továbbá ezen uta x-tengelyre vonatozó tüörépei utóbbia adjá meg azoat a rossz utaat, amelye a (4n +, ) pontból lépne a tiltott (4n + 2, 0) pontra. 0 4n x 2.8. ábra: Egy rossz meghosszabbítás Az első beezdésben végiggondoltu, hogy az origóból a (4n +, ) pontba menő páros-metsző uta száma n+ S n, tehát a rossz meghosszabbításo száma 8 n+ S n. (A 8-as szorzó a ét tetszőleges záró lépésből és a türözött uta miatti duplázódásból jön.) Eddigi észrevételeinet összegezve, az S n = 4 n B n induciós feltevés felhasználásával S n+ = 6S n 8 n + S n = 6 4 n B n 8 n + 4n B n = 4 n+ B n+ adódi, amit bizonyítani ellett. (Az utolsó egyenlőség egyszerű számolással ellenőrizhető a B n = ( 2n n ) számszerűsített definícióból.) 2.3. A bijetív bizonyítás A övetezőben a (2.2) Shapiro-azonosság bijetív bizonyítását ismertetjü. Érvelésün övetezményeént a Catalan-számo egy új interpretációját is megapju, melyet az alfejezet végén ülön állításban is megfogalmazun. Ezeet az eredményeet témavezetőmmel, Hajnal Péterrel özös ciben publiáltam [2]. Az előző alfejezet ombinatorius gondolatmenetét tesszü teljesen bijetívvé. A Catalan-számo Dyc-utas ombinatorius definíciójából (2.3. Állítás) iindulva bijetív módon igazoltu a 2.5.a Követezményt (a lényegi rész a 2.4. Lemma bizonyítása volt), tehát már csa a 2.7.a Lemma bijetív bizonyítása maradt hátra. Ez több lépésből fog állni, és előrebocsátju, hogy mindig bijeció megadásával fogun érvelni, de ezt nem hangsúlyozzu a továbbiaban. Az elegendő a övetezőt bizonyítani céloat lemmaént fogalmazzu meg, melye bizonyítása a hosszú gondolatmenet végén, a 2.0. Lemma igazolásával zárul majd le. Természetesen továbbra is használju az előző alfejezetben bevezetett fogalmaat és jelöléseet, 6

17 2. Páros indexű Catalan-számo onvolúciója ezenfelül élün az A B út rövidítéssel is az A pontból B pontba menő út leírására. Rögzítsü n-et. Azt ell igazolnun bijetíven, hogy az origóból a (4n +, ) pontba menő páros-metsző uta száma 4 n C n. Célunat techniai ooból átfogalmazzu. Ha elteintün az első lépéstől, azt is mondhatju, hogy azt ell belátni, hogy az (, ) (4n +, ) páros-metsző és az (, ) (4n +, ) páros-metsző uta száma összesen 4 n C n. Az (, ) (4n+, ) páros-metsző uta száma szimmetriai ooból nyilvánvalóan megegyezi az (, ) (4n +, ) páros-metsző uta számával. (Az x-tengelyre való türözés bijeciót létesít a ét úthalmaz özött.) Tehát a övetező alaban is megfogalmazhatju a bizonyítandót (a ét lehetséges végpont tömör jelölésével): 2.8. Lemma. Az (, ) (4n +, ±) páros-metsző uta száma 4 n C n. A lemmabeli uta halmazát E jelöli a továbbiaban; a 2.9. ábra bal oldalán E egy útja látható (n = 4 esetén). Csa minden negyedi lépés tudja megsérteni a páros-metsző tulajdonságot: az első, ötödi, ilencedi stb. lépése azo, amelyeel az x-tengely egy tiltott pontjára léphetün az (, ) pontból indulva. Ez motiválja a lépése övetező felosztását és tömörítési eljárásunat: Egy tetszőleges, (, ) ezdőpontú, 4n hosszú P útra o e o 2 e 2... o n e n alaban teintün, ahol o i egy hagyományos felfelé vagy lefelé lépés, e i pedig egy három lépésből álló út, azaz o i {, } és e i {, } 3. Minden e i lépéshármast egyetlen e i szimbólummal (általánosított lépéssel) ódolun: a, és lépéssorozatoat rendre a, 2 és 3 általánosított lépéseel; a, és lépéssorozatoat a, 2 és 3 általánosított lépéseel; továbbá a és lépéssorozatoat rendre az (, 3) és (, 3) általánosított lépéseel helyettesítjü; így a P := o e o 2 e 2... o n e n általánosított úthoz jutun. Az,..., 3 lépéseet (3-címézett) rövid lépésene, az (, 3) és (, 3) lépéseet pedig hosszú lépésene nevezzü. Azoat az általánosított utaat, amelyeben minden párosadi lépés vagy hosszú lépés, vagy 3-címézett rövid lépés (és minden páratlanadi lépés címézetlen rövid lépés), tömörített utana nevezzü. Eljárásun tehát a P úthoz egy P tömörített utat rendel, sőt, bijeciót létesít a 4n hosszú uta halmaza és a 2n hosszú tömörített uta halmaza özött, mivel az e i e i átalaításoat definiáló szabály invertálható. (Értelemszerűen az általánosított uta hossza alatt is a lépése számát értjü.) P 2 P * E E 3 * ábra: Tömörítés 7

18 2. Páros indexű Catalan-számo onvolúciója A fenti tömörítési eljárást a 2.9. ábra illusztrálja (egy E-beli útra). Természetesen az ábra jobb oldalán látható módon szemléltetjü (és értelmezzü) az eredményül apott P általánosított utat. (P -ot a (0, ) pontból indítva rajzolju le, tehát P iindulópontjához épest egységgel eltolju balra.) Informálisan, a P tömörített útban megtartju P veszélyes lépéseit, azaz a bordó színnel jelölt, (4t + )-edi lépéseet (t N 0 ); a veszélyes lépése 3 lépésből álló (é színnel jelölt) bloora osztjá P -t, ezeet tömören írju le P -ban: összenyomju őet lépéssé (a bloo ezdő magasságáról egyetlen lépéssel a végpontbeli magasságra lépün), a címé pedig azt az információt tároljá, hogy egy rövid lépés a három szóba jöhető blo özül melyiből jött létre. Tehát tulajdonéppen P csupán P egy másfajta lerajzolása. Az E-beli utaat jellemezhetjü tömörített alajual is. Egy 4n hosszú P út pontosan aor E-beli, ha P -ra teljesülne a övetező: (i) A (0, ) pontból indulva a (2n, ) vagy (2n, ) pontban végződi; (ii) minden párosadi lépése vagy hosszú lépés, vagy 3-címézett rövid lépés (és minden páratlanadi lépése címézetlen rövid lépés); (iii) soha nem lép az x-tengelyre (de átugorhatja ). A (ii) feltételben csa elismételtü a tömörített út definíciójául szolgáló alaptulajdonságoat. Eljárásun egy 4n hosszú útból 2n hosszú tömörített utat észít, és P végpontjána magassága megegyezi P végpontjána magasságával, ebből apju az (i) feltételt. A (iii) feltétel pedig a páros-metsző tulajdonság megfogalmazása a P tömörített útra: P pontosan aor páros-metsző, ha a (4t + )-edi ( bordó ) lépése nem lépne rá az x-tengelyre, azaz ha P -ban a páratlanadi ( bordó ) lépése nem lépne rá az x-tengelyre (a párosadi lépése paritási oo miatt soha nem léphetne rá). Az (i)-(iii) feltételene eleget tevő uta halmazát E 3 jelöli a továbbiaban. A fentie alapján tömörítési eljárásun bijeciót létesít E és E 3 özött, így elegendő az E 3 = 4 n C n egyenlőséget bizonyítani a 2.8. Lemma igazolásához: 2.9. Lemma. Az (i)-(iii) feltételene eleget tevő (általánosított) uta száma 4 n C n. A bijetív bizonyításhoz szüséges 4 n C n elemű halmazt címézett Dyc-uta segítségével definiálju. Azt mondju, hogy egy Dyc-út 4-címézett, ha minden párosadi lépése meg van címézve a {0,, 2, 3} halmazból (a páratlanadi lépése pedig címézetlene). Jelölje a 2n hosszú 4-címézett Dyc-uta halmazát D 4. Mivel egy 2n hosszú Dyc-út n darab páros pozícióban álló lépését 4 n -féleéppen címézhetjü meg 4 címével, ezért D 4 = 4 n C n, tehát elegendő megadnun egy bijeciót E 3 és D 4 özött a 2.9. Lemma bizonyításához. (Egy lépés pozíciója alatt azt értjü, hogy a lépés hányadi az utat meghatározó lépéssorozatban.) E 3 útjai már tartalmazna címézett rövid lépéseet bizonyos páros pozícióban. Bijeción egy E 3 -beli T tömörített úthoz oly módon fog egy D T 2n hosszú 4-címézett Dycutat rendelni, hogy D T alaja (a címé eltávolítása után apott Dyc-út) és a 0 címéi együtt ódoljá T alaját, továbbá D T -2-3 címéi T címéit ódoljá (az -2-3 címéet balról jobbra elolvasva ugyanazt a sorozatot apju D T -ben, mint 8

19 2. Páros indexű Catalan-számo onvolúciója T -ben), lásd 2.0. ábra. (A 4-címézett Dyc-utaat a hagyományos lerajzoláshoz épest egységgel eltolju felfelé. Látni fogju, hogy ódolásunhoz ez a lerajzolás lesz természetes.) 2 2 0? E* 3 D ábra: A eresett alaú bijeció illusztrációja Persze ahhoz, hogy így tudju tárolni T címéit D T -ben, szüséges, hogy a T alaját ódoló (részlegesen címézett) Dyc-útban a címézetlen (0 címét nem apott) párosadi lépése száma megegyezzen a T -beli címé számával (azaz T páros pozícióban álló rövid lépései számával), más szóval a T alaját ódoló Dycútra ugyanannyi 0 címét szeretnén iosztani, mint ahány hosszú lépés van T -ben. A fentie precíz megfogalmazásához jelölje E az E 3 -beli uta alajaina halmazát, azaz azon (0, ) (2n, ±) (címézetlen) uta halmazát, amelye soha nem lépne rá az x-tengelyre, továbbá a hagyományos (, ±) rövid lépéseen túl tartalmazhatna (, ±3) hosszú lépéseet is, izárólag páros pozícióban. D 2 pedig legyen azon 2n hosszú Dyc-uta halmaza, amelyeben minden párosadi lépés vagy jelölt (0 címéjű) vagy jelöletlen (címézetlen). A D 2 -beli utaat jelölt Dycutana nevezzü. (Ábráinon a jelölt lépése piros színűe.) A fentieet összegezve, a 2.9. Lemma övetezi az alábbi célitűzésből: 2.0. Lemma. Létezi olyan φ: E D 2 bijeció, hogy minden E E útra a φ(e) jelölt Dyc-útban ugyanannyi jelölt lépés van, mint ahány hosszú lépés szerepel E- ben. A lemmabeli bijeció segítéségével valóban azonnal megadható egy eresett ψ: E 3 D 4 bijeció. Tetszőleges Q E 3 útra a Q-ból a címéi elhagyásával apott (E -beli) utat Q -szal jelölve, a ψ(q) ép legyen az az út, amelyet φ(q )-ból apun oly módon, hogy a jelölt lépéseit 0 címével látju el, majd a (páros pozícióban álló) jelöletlen lépéseire átmásolju Q címéit, balról jobbra haladva. (A címemásolás a φ-re vonatozó feltétel miatt lehetséges.) Egyszerűen meggondolható, hogy az így definiált ψ függvény valóban E 3 D 4 bijeció lesz. Megjegyezzü, hogy a 2.0. Lemma állítása tovább nem erősíthető a ézenfevő módon: φ-től nem övetelhetjü meg, hogy a φ(e)-beli jelölt lépése pozíciói megegyezzene az E-beli hosszú lépése pozícióival. Például önnyen ellenőrizhető, hogy n = 2 esetén D 2 -ben ét olyan jelölt Dyc-út van, amelyben a másodi lépés az egyetlen jelölt lépés; míg E -ban csa egy olyan út van, amelyben a másodi lépés az egyetlen hosszú lépés. Ez is mutatja a ódolás nehézségét; ha egy hosszú lépést rövid lépésre cserélün, az út hátralévő része függőlegesen eltolódi, amit nehéz 9

20 2. Páros indexű Catalan-számo onvolúciója ontrollálni. Az általun megadott bijeció sem lesz ézenfevő, sőt, egyes elemei aár intuícióellenesne is mondható. Ha az olvasó szeretné jobban megismerni a megtaláláshoz vezető utat, aor azt javasolju, hogy próbálja meg először csa az (illetve 2) hosszú lépést tartalmazó E -beli utaat ódolni (illetve 2) jelölt lépést tartalmazó D 2 -beli utaal (bijetíven); vagy utólag, az általun bemutatott általános eljárás megismerése után térjen vissza ezehez a speciális esetehez, és nézze meg, hogy φ ódolásun megszorítása milyen megoldást ad a részproblémára. Ezen egyszerűbb esete ezelése viszonylag természetes, melyeből általánosítással született a lemmát bizonyító bijeció. Most rátérün a 2.0. Lemma bizonyítására. Teintsün egy tetszőleges E utat E -ból. Mivel minden lépés során az atuális magasság paritása megváltozi (aár hosszú, aár rövid lépést teszün meg), ezért a páros pozícióban álló lépése pontosan azo, amelye ezdő magassága páros paritású. Tehát E hosszú lépéseine ezdő magassága páros. Először az x-tengelyt átugró (hosszú) lépéseet alaítju át, melye a paritásfeltétel miatt csa 2 magasságról magasságra, illetve 2 magasságról magasságra ugró hosszú lépése lehetne. Világos, hogy eze a lépéstípuso felváltva öveti egymást, és E-t olyan részutara osztjá fel, amelye mindig szigorúan az x-tengely alatt vagy fölött haladna, és végpontju egységgel távolabb van az x-tengelytől, mint a ezdőpontju (leszámítva az utolsó esetleg üres részutat, ahol megegyezi a ezdő és befejező magasság). Tehát ha minden másodi ilyen a 2.. ábrán háromszögeel jelölt részutat türözün az x-tengelyre, és az összes x-tengelyugró lépést lecseréljü egy 2 magasságról magasságra lépő jelölt lépésre, aor egy végig szigorúan az x-tengely fölött haladó (0, ) (2n, ) utat apun, amelyben a páros pozícióban állhatna hosszú lépése, illetve a 2 magasságról magasságra vivő lépése özött lehetne (páros pozícióban álló) jelölt lépése is. 2.. ábra: A tengelyt átugró lépése átalaítása Ez a ódolás első fázisa, a apott utat jelölje E +. Annyi jelölt lépést hoztun létre (megengedett pozícióban), mint ahány hosszú lépést megszüntettün, tehát eddig figyelembe vettü a φ-re vonatozó övetelményt. Az első fázis invertálható: Minden fenti tulajdonságú E + útra egyetlen olyan E E út létezi, amelyet az első fázis E + -szá alaít át, ugyanis E + jelölt lépései megadjá az x-tengelyt átugró lépéseet, és így a öztes részutaat is, amelyeből egyértelműen italálható az E -beli inverz ép. Mielőtt rátérnén a másodi, lényegi fázisra, ismertetjü E + lépéseine egy csoportosítását, amelyre ódolásun során szüségün lesz. Ezt először a Dycuta lépéseine csoportosításával motiválju. (Előrebocsátju, hogy ha E + Dyc- 20

21 2. Páros indexű Catalan-számo onvolúciója út, aor a másodi fázis nem végez további átalaításoat E + -on.) Egy 2n hosszú Dyc-út lépéseine egy természetes párbaállítása a övetező: Egy s felfelé lépés párja legyen a lépés után övetező első olyan lefelé lépés, amely visszatér s iinduló szintjére, lásd 2.2. ábra. Egyszerűen ellenőrizhető, hogy ez jó definíció, mellyel n lépéspárba sorolju a lépéseet. (Ha a Dyc-útra értelmes zárójelsorozatént teintün a özismert módon, a felfelé lépéseet nyitó zárójelere, a lefelé lépéseet csuó zárójelere cserélve, aor a apott zárójelezésben az összetartozó nyitó és csuó zárójele adjá meg a lépése párbaállítását.) A standard Catalan-reurzió Dyc-utaal történő szoásos bizonyítása is ehhez a párbaállításhoz vezet ábra: A Dyc-uta lépéseine párbaállítása A lépéspárora bontást úgy is megfogalmazhatju, hogy ét lépés aor alot egy párt, ha az úthoz tartozó (a 2.2. ábra bal oldalán szemléltetett) grafionon a ét lépés megfelelő belső pontjai összeöthető egy vízszintes (x-tengellyel párhuzamos) szaasszal úgy, hogy a szaasz végig az útna megfelelő töröttvonal alatt haladjon, a végpontjait leszámítva. (Egy lépés belső pontján a lépésne megfelelő grafionszaasz egy olyan pontját értjü, amelyne magassága nem egész. Tehát hosszú lépése esetén ét szoásos értelemben vett belső pontot nem teintün anna a továbbiaban.) Az egy párba tartozást bizonyító szaaszo összessége minden ialault lépéspárra egy trapézt határoz meg (amely esetleg háromszöggé fajulhat), és így a lépéspáro az út grafionja és az y = egyenes által özrezárt tartományt trapézora daraboljá az ábra jobb oldalán látható módon. (A trapézo határvonalaival nem foglalozun.) A ésőbbieben is így fogju szemléltetni az egy osztályba sorolt lépéseet, sőt, a definíciónál és bizonyításonál is erre a vizualizációra támaszodun, a megértést megönnyítendő. Most áttérün az általános esetre. Teintsün egy tetszőleges E + utat, amelyet az első fázis után megaphattun. A fenti speciális eset analógiájára ét E + -beli lépés álljon relációban ( tartozzon egy osztályba ), ha van olyan vízszintes szaasz, amely a ét lépés egy-egy belső pontját öti össze, és végig az út grafionja alatt halad. (Ha a ét lépés egybeesi, aor relációban állna definíció szerint. Különböző lépése esetén mindig egy felfelé és egy lefelé lépés áll relációban az út grafionjána folytonossága miatt.) Ez a bináris reláció nem evivalenciareláció, csa szimmetrius és reflexív; a reláció tranzitív lezártjána evivalencia-osztályait E + építőelemeine nevezzü. (Tehát az s és t lépése pontosan aor tartozna egy építőelemhez, ha van olyan l,..., l m lépéssorozat E + -ban, hogy l = s és l m = t, továbbá a sorozatban egymás mellett álló lépése relációban állna.) Ha a ülönböző s és t lépése relációban állna, azt úgy is mondju, hogy az s lépés egy párja t. (Egy hosszú lépésne több párja lehet, sőt, a paritásfeltétel miatt valójában mindig 2

22 2. Páros indexű Catalan-számo onvolúciója több párja is van.) Az építőelem szóhasználatot az motiválta, hogy az egy építőelemhez tartozó bizonyító szaaszo a fentiehez hasonlóan ismét egy felosztását adjá az E + út grafionja alatti tartományna, ezért a 2.3. ábrán látható módon is szemléltethetjü az építőelemeet. (Világos, hogy az egész magasságú pontotól elteintve, az E + grafionja alatti tartomány tetszőleges A pontján egyetlen bizonyító szaasz halad át, a vizsgált ponton átmenő egyenesből az E + grafionja által imetszett, A-t tartalmazó szaasz. Az E + út folytonos grafionja nyilván metszi a szóban forgó egyenest a vizsgált A pont előtt és után is, hiszen E + ét végpontja az egyenes alatt helyezedi el, míg az A abszcisszájána megfelelő időpontban E + az egyenes fölött halad.) Ez a szemlélet nagyban segíti a megértést a továbbiaban, a ialault soszögere az építőelemehez társított soszögeént hivatozun ábra: Építőelemere bontás Összefoglalju az építőeleme néhány önnyen ellenőrizhető tulajdonságát. Minden lépésne van párja, vagyis minden építőelem legalább ét lépésből áll: Egy s lépés tetszőleges belső pontjából a megfelelő irányba (felfelé lépés esetén jobbra, lefelé lépés esetén balra) indított vízszintes nyílt félegyenes első E + -szal vett metszéspontját tartalmazó ŝ lépés az s párja. (A metszéspont létezi, ugyanis E + megfelelő végpontja alacsonyabban feszi, mint a vizsgált belső pont.) A továbbiaban többször fogun még ezzel a módszerrel párt eresni, ezért a örülményes leírás megismétlése helyett a továbbiaban úgy fogalmazun, hogy s egy adott belső pontjából ŝ-ot látju (mindig vízszintesen, az E + út alatti rész felé nézün, és ŝ mindig létezi). Nyilvánvaló, hogy egy lépés párjai pontosan a lépés h + 0,5 alaú (h Z) belső pontjaiból látható E + -beli lépése. Így egy rövid lépésne pontosan, egy hosszú lépésne pedig 2 vagy 3 párja van; utóbbi esetben azért nem lehet pontosan, mert nem fordulhat elő, hogy egy hosszú s felfelé lépés összes pontjából ugyanazt a hosszú ŝ lefelé lépést látju, ugyanis ŝ ezdőpontja nem lehet 3 egységgel magasabban, mint s ezdőpontja, lévén a ezdőponto magasságána paritása megegyezi (páros) E definíciója alapján. Emiatt a ét lépésből álló építőeleme mindét lépése rövid; ezeet az építőelemeet trapézona nevezzü (a 2.3. ábrán fehér színnel jelöltü őet). Most a nem trapéz építőelemeet vizsgálju meg. Teintsün egy tetszőleges ilyen E építőelemet, és abban a legalacsonyabban fevő hosszú lépést, amelyet s -gyel jelölün. (Két lépés magasságána összehasonlításánál a lépéseet reprezentáló szaaszo legalacsonyabb pontjait vesszü figyelembe.) Tegyü fel, hogy ez a lépés felfelé lépés, és a iinduló magassága h. Ha s párjai özött van hosszú (lefelé) lépés, aor ez csa a h + 4 magasságról indulhat (a h + 22

23 2. Páros indexű Catalan-számo onvolúciója magasságra); ugyanis a hosszú lépésere vonatozó paritásfeltétel miatt csa a h+2 iinduló szint jöhet szóba alternatívaént, de mivel s a legalacsonyabb hosszú lépés az építőelemben, így ez a ezdőszint nem fordulhat elő. Ez persze azt is jelenti, hogy s párjai özött legfeljebb egy hosszú lépés lehet csa; ha van ilyen, aor jelöljü s 2 -vel. Megjegyezzü, hogy s 2 biztosan látható s özépső harmadából, ugyanis ha más lépést látnán innen, aor E + grafionjána folytonossága miatt a felső harmadból sem s 2 -t látnán; az alsó harmad pedig s 2 záró szintje alatt helyezedi el. Az előzőehez hasonlóan s 2 párjai özött s -en túl legfeljebb egy (h+2 magasságról induló) hosszú felfelé lépés lehet, amelyet, ha létezi, s 3 -mal jelölün. Mivel az s lépés ezdőszintje alacsonyabb, mint s 2 záró szintje, E + grafionjána folytonossága miatt az s 2 -ből látható lépése s után állna E + -ban (vagy megegyezne s -gyel), így az s 3 lépés s és s 2 özött áll E + -ban. Az építőelem hosszú lépéseine eresését folytatju s 3 párjai özött, és így tovább, a 2.4. ábrán nyilaal szemléltetett toronyszerű elrendezésben apju meg az s, s 2, s 3... hosszú lépéseet, amelye E + -beli sorrendje tehát s, s 3,..., s 4, s 2. (Azért a hosszú lépéseet vizsgálju, mert eze felelőse az építőelem függőleges növeedéséért.) Korábbi megjegyzésünhöz hasonlóan s i+ az s i hosszú lépés özépső harmadából látható lépés, amennyiben az hosszú és ülönbözi s i -től. Az újabb és újabb hosszú lépése megtalálása természetesen egyszer véget ér, például az s m lépésne nincs új s m+ hosszú lépés párja. Ez azt jelenti, hogy az s m lépésne megfelelő szaasz özépső harmadából vagy egy rövid lépést látun, vagy s m -et, nem egy új hosszú lépés alsó harmadát. Az első esetben azt mondju, hogy a vizsgált építőelem rövid zárólépésű torony, a másodi esetben pedig azt, hogy hosszú zárólépésű torony, ld. rendre a 2.4. ábra bal és jobb oldalát. Természetesen s, a legalacsonyabb hosszú lépés E-ben, lehet lefelé lépés is, ebben az esetben analóg módon járun el; a folyamat és a apott típuso szemléltetéséhez az ábra tornyait türözni ell egy függőleges tengelyre (és s a jobb szélső lépés lesz) ábra: Torony építőeleme A 2.4. ábrán a vizsgált építőelem szóban forgó lépéseit (a hosszú lépéseet és az esetleges rövid zárólépést) é színnel jelöltü. Figyeljü meg, hogy eze a lépése mind páros pozícióban állna (a rövid záró lépés is). Az építőelem többi, zölddel jelölt lépése rövid lépés lesz a már végiggondolta miatt (az s i lépése további párjai mind rövide), így valóban csa az ábrán látható alaúa (illetve a tüörépei) lehetne a nem trapéz építőeleme (itt ismét felhasználva E + grafionjána folytonosságát is). Továbbá a zölddel jelölt lépése páratlan pozícióban állna. Az építőelem a zöld és é lépése összessége, a társított soszöget pedig sárga színnel 23