Konformációváltozások kinetikájának modellezése elsőrendű reakcióhálózatokkal TÓBIÁS ROLAND JÓZSEF DR. TASI GYULA
|
|
- Zsolt Katona
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Konformációváltozások kinetikájának modellezése elsőrendű reakcióhálózatokkal Doktori (PhD) értekezés tézisei TÓBIÁS ROLAND JÓZSEF okleveles vegyész Témavezető: DR. TASI GYULA egyetemi docens Kémiai Doktori Iskola Alkalmazott és Környezeti Kémiai Tanszék Természettudományi és Informatikai Kar Szegedi Tudományegyetem Szeged 2017
2 2
3 1. Bevezetés A molekuláris konformáció a modern kémia és a szerkezeti biológia egyik központi fogalmává nőtte ki magát. A bioaktív molekulák konformációs sajátságai, amelyek a bennük lévő atomok változatos kötési állapotainak köszönhetőek, kulcsfontosságú szerephez jutottak az élet kialakulásában és fenntartásában. A molekulákra jellemző stabil térszerkezetek (konformerek) létrejöttének hátterében az inter- és intramolekuláris kölcsönhatások húzódnak meg. Ahhoz azonban, hogy egy molekula konformációs terét és konformációs preferenciáit megismerjük, illetve az azokban domináló kölcsönhatásokat leírhassuk, kísérleti és elméleti módszerekre egyaránt szükségünk van. Míg a termodinamikailag kedvezményezett térszerkezetek kísérleti felderítésére diffrakciós és spektroszkópiai technikákat hívhatunk segítségül, addig a stacionárius magkonfigurációk elméleti leírásához kvantumkémiai és klasszikus fizikai eljárásokat vehetünk igénybe. A kvantumkémiai stratégiák közel kísérleti pontosságú szerkezeteket eredményezhetnek, szemben a klasszikus fizikai módszerekkel, amelyek csupán félkvantitatív szerkezeti becsléseket képesek nyújtani. A bioaktív molekulák konformációs állapotainak felderítésén túl azok egymásba alakulásainak (interkonverzióinak) megismerésére is nagy hangsúlyt fektetnek a kémiai és biokémiai szerkezetkutatásban. Ez a fajta tudományos érdeklődés a fehérjék és nukleinsavak feltekeredésének (folding) problémájában csúcsosodik ki, amelyre a jelenség komplexitása miatt részletes kinetikai modell ez idáig nem született. A kisebb molekulák konformációs egyensúlyaihoz hasonlóan a biomolekulák feltekeredését is egy ún. interkonverziós reakcióhálózat szabályozza, amely A1 A2 formájú reakciók (interkonverziók) sokaságából áll, ahol A 1 és A 2 a molekula két konformerét jelöli. Az interkonverziós reakcióhálózatok olyan elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszereket indukálnak, amelyek megoldásai a konformerpopulációk időbeli eloszlását adják. Mivel ezek a koncentrációprofilok numerikus szempontból relatíve könnyen kezelhetők, ezért az interkonverziós hálózatokban akár több ezer szpécieszt is figyelembe vehetünk, ami lehetővé teheti egy mélyreható kinetikai feltekeredés-modell sikeres felállítását a jövőben. Jelen doktori munka témája az elsőrendű reakcióhálózatok egyszerű algebrai jellemzése, illetve az n-bután és az n-pentán interkonverziós sebességi együtthatóinak lehető legpontosabb becslése. Míg az előbbi irányvonal a formálkinetika területéhez kíván egy újfajta szemléletet hozzáadni, addig az utóbbi törekvés a kis méretű szerves molekulák rugalmasságának és diszperziós viselkedésének alaposabb megértésére szolgál, ami nagyobb rendszerek alkilláncainak vizsgálatában közvetlen haszonnal járhat. 3
4 2. Elméleti háttér 2.1. Reakcióhálózatok A D, G, A, k négyest tömeghatás kinetika feltételezése mellett kémiai reakcióhálózatnak (chemical reaction network, CRN) nevezzük, ha (i) D = { d ij } és = { g ij } rendszer bal- és jobboldali sztöchiometriai mátrixa, valamint (ii) A = { A j } és = { } G a reakció- k az anyagfajták és a sebességi együtthatók vektora. Amennyiben kizárólag elsőrendű reakciók játszódnak le a rendszerben, azaz a D mátrix minden sorában pontosan egy darab 1-es van, a további elemek pedig zérók, úgy D, G, A, k egy elsőrendű kémiai reakcióhálózat (firstorder chemical reaction network, FCRN). A D, G, A, k elsőrendű reakcióhálózat szpécieszeinek = ( t) c c koncentrációvektorára a c& = Fc (1) differenciálegyenlet-rendszert írhatjuk fel, ahol c& a c vektor idő szerinti deriváltja, illetve ( k ) F = S T diag D (2) az elsőrendű hálózat együttható mátrixa az S = G D mátrixszal. Fontos megemlíteni, hogy (1)-et csak a ( ) 0 i c t = 0 = c kezdeti feltétel birtokában oldhatjuk meg. Ha a D, G, A, k elsőrendű reakcióhálózatban bármely reakció megfordítottja is elsőrendű folyamat, akkor azokat izomerizációs reakcióknak nevezzük, D, G, A, k vonatkozásában pedig izomerizációs reakcióhálózatról (izomerization reaction network, IRN) beszélünk. k i 2.2. Sebességi együtthatók becslése elméleti kémiai módszerekkel A molekulák interkonverziós átalakulásait az ún. konformációs potenciálisenergia-felületen (conformational potential energy surface, CPES) értelmezzük. A CPES minimumainak és elsőfajú nyeregpontjainak birtokában az S 12 átmeneti állapoton keresztül lezajló R = S1 S 2 interkonverziós reakció k ( T ) R sebességi együtthatóját az átmenetiállapot-elmélet és az ideális gáz közelítés keretein belül az Eyring Polányi-egyenlettel becsülhetjük: ahol ( T ) kbt GR kr ( T ) = exp, (3) h NAkBT N A, k B és h az Avogadró-, a Boltzmann- és a Planck-állandó, az R folyamat T hőmérsékletre vonatkozó G ( T ) R aktiválási szabadentalpiája pedig az S 12 átmeneti állapot és az S 1 reaktáns szerkezetéhez tartozó teljes szabadentalpia különbségeként definiálható. A G ( T ) R aktiválási szabadentalpiát az ún. fókuszpont analízis (focal-point analysis, FPA) megközelítés keretein belül kvantumkémiai módszerekkel számítjuk, amelyhez a 4
5 ( ) = ( 0) + ( ) GR T GR δ GR T, (4) egyenletetet használjuk fel, ahol G R ( 0) a 0 K-es aktiválási szabadentalpia, δ GR ( T ) pedig az aktiválási szabadentalpia termikus korrekciója. A G R ( 0) paramétert a kifejezéssel közelítjük, amelyben ( 0) = + ZPE,h, + ZPE,a, GR ER E R δ E R, (5) EZPE, h, R és δ EZPE, a, R a zéruspont rezgési energia (zero-point /vibrational/ energy, ZPE) harmonikus és anharmonikus járuléka az R reakcióra nézve, E R pedig a teljes aktiválási elektronenergia. A E R mennyiségre a jelen doktori munka során alábbi (végtelen bázisra extrapolált) dekompozíciót alkalmazhatjuk: ahol ER = EHF, R + δ EMP2 fc, + δ ECCSD fc, + δ E + δ ECV, R ( ) ( ) CCSD( T)( fc ), (i) E HF, R az aktiválási HF (Hartree Fock) energia, R R R, (6) (ii) δ EMP2 ( f c), R az MP2 (másodrendű Møller Plesset) perturbációs energiajárulék, (iii) δ ECCS D( f c), R a CCSD (coupled-cluster singles, doubles) energiajárulék, δ E (iv) CCSD( T)( f c), aktiválási energiajárulék, R a CCSD(T) (coupled-cluster singles, doubles, and perturbative triples) (v) fc a befagyasztott mag (frozen core) közelítés használatát jelöli, (vi) δ E CV, R az atomtörzs-atomtörzs és atomtörzs-vegyérték kölcsönhatásokat (core-core and core-valance correction, CV) veszi figyelembe, valamint (vii) az egyes tagok számítását a konformerek és az átmeneti állapotok ún. referencia szerkezetein végezzük el. A néhány nehézatomból álló molekulák esetén a referencia geometriákat leggyakrabban CCSD(T) módszerrel szokták előállítani. Ez az elméleti szint viszont nagyobb rendszerekre irreálisan hosszú futásidőhöz vezetne, így azt az olcsóbb sűrűségfunkcionál technikákkal helyettesítjük, amelyek megfelelő paraméterezés mellett akár a CCSD(T)-hez közeli eredményeket is nyújthatnak hagyományos szerkezetű molekulákra. 3. Alkalmazott módszerek A dolgozatban az egyszerű algebrai eszközökön és az FPA megközelítésen túl a programfejlesztési munkához a Fortran 90 programnyelvet, a kvantumkémiai számításokhoz pedig a Molpro és a Gaussian 09 Rev. E.01 programrendszereket vettük igénybe. A Molpro szoftvert az általunk felállított FPA modellben szereplő CCSD(T) energiák számítására használtuk fel, minden további elektronszerkezet számítást a Gaussian programmal végeztünk el. Az elektronkorrelációs számításokhoz megkötéses HF pályákat alkalmaztunk. 5
6 4. Eredmények tézisszerű összefoglalása 4.1. A cɺ = Fc egyenletrendszer megoldásának Luther Rost-féle reprezentációja [1] A jelen doktori munka első részében a c& = Fc egyenlet egy egyszerű és elegáns megoldásmódjával (Luther Rost-féle reprezentáció, LRR) foglalkoztunk, amelyet korábban hasonló problémák megoldására vezettek be. Az LRR procedúrát Leverrier azon algoritmusával egészítettük ki, amely lehetőséget nyújt arra, hogy az F mátrix karakterisztikus polinomjának együtthatóit előállítsuk. Rámutattunk arra, hogy a két eljárás kombinációja mind az oktatásban, mind a kutatásban a kinetikai differenciálegyenletek megoldásának egy kényelmesen használható eszközét jelentheti. Miként az Kyurkiev és Markov egy későbbi cikkéből világossá vált, az általunk szorgalmazott eljárás, amely megkerüli az együttható mátrix Jordan-láncainak kissé körülményes alkalmazását, szimbolikus-numerikus számításokra is hasznosnak bizonyult. Ezt a módszerpárost néhány jellegzetes reakciókinetikai modellen keresztül is tanulmányozhattuk, amelyek közül kettő, a négy- és az ötszögreakció olyan elsőrendű differenciálegyenlet-rendszereket indukáltak, amelyek megoldásai idáig nem voltak lejegyezve az irodalomban. A kidolgozott példákra alapozva azt is előrevetítettük, hogy a K-szögreakciók kinetikai problémáira a Ruffini Abel-tétel következényeképp általános egzakt megoldást kizárólag K 5 mellett adhatunk Új eredmények az elsőrendű reakcióhálózatok kvalitatív elméletében [2] A c& = Fc egyenlet megoldására irányuló konstruktív vizsgálatokat követően figyelmünket az FCRN-ek eddig nem tárgyalt szerkezeti jellemzőire összpontosíttuk. Miután a CRN-ek felbonthatóságát értelmeztük, bebizonyítottuk, hogy nemnegatív bal- és jobboldali sztöchiometriai együtthatók esetén egy elsőrendű reakcióhálózat akkor és csak akkor bontható fel, ha annak F mátrixa blokkdiagonalizálható. Igazoltuk azt is, hogy olyan szubkonzervatív elsőrendű hálózatokban, amelyek nemnegatív egész értékű jobboldali sztöchiometriai együtthatókkal írhatók fel, minden reakciólépésre fennállnak az alábbi, ún. tömeginkompatibilitási relációk: (i) a reaktáns moláris tömege egyetlen termék moláris tömegénél sem kisebb, (ii) amennyiben egy termék moláris tömege azonos a reaktánséval, akkor annak jobboldali sztöchiometriai együtthatója 1, illetve (iii) ha valamely termék moláris tömege megegyezik a reaktánséval, úgy más termék nem képződik. Ezek a relációk azt is magukkal vonják, hogy ha egy FCRN-ben nem csak 6
7 izomerizációs reakciók fordulnak elő, akkor a kérdéses rendszer F mátrixa egy alkalmas permutációs mátrix szerinti transzformációval blokktrianguláris alakra hozható. Harmadszor, megmutattuk, hogy bármely konzervatív FCRN-hez létezik egy lineárisan konjugált, pusztán izomerizációs reakciókból álló hálózat, az ún. jelölőhálózat, amely az eredeti hálózat időbeli viselkedését teljes egészében magán viseli ( kijelöli ). Ez a jelölőhálózat azt is lehetővé teszi, hogy az IRN-ekre kimondott állításokat tetszőleges konzervatív elsőrendű reakcióhálózatokra átültethessük. Negyedszer, a sajátértékek szukcesszív leválasztásának elvére hagyatkozva egy olyan eljárást dolgoztunk ki, amellyel az F mátrix Frobenius-alakjában lévő diagonális blokkok sajátérték-problémájának algebrai megoldhatóságáról meggyőződhetünk. Az utóbbi kapcsán a diagonális blokkok sajátértékeinek egzakt előállíthatóságára egy elégséges feltételt is kimondtunk: ha egy ilyen blokk legfeljebb négy nemzérus sajátértékkel bír, akkor azok a polinomiális egyenletek jól ismert megoldóképleteivel állíthatók elő Fortran nyelvű programok elsőrendű reakcióhálózatok kinetikai szimulációjára A kutatómunka következő fázisában két Fortran nyelvű programot (fcrn_lrr és fcrn) hoztunk létre, amelyek működését konkrét példákon tanulmányoztuk. Voltaképpen mindkét kód az FCRN-ek szpécieszeinek koncentrációit számítja az egyes mintavételi időpontokban, viszont a felhasznált módszerek és a működési feltételek tekintetében lényeges különbségek fedezhetők fel a két program között. Ami az alkalmazott módszereket illeti, az fcrn_lrr szoftver alappillérét az LRR protokoll és a Leverrier algoritmus együttese, valamint az algebrai egyenletek gyökképletei képzik, szemben az fcrn kóddal, amely az F mátrix sajátértékeit a legkorszerűbb numerikus stratégiákkal (Biloti Matioli Yuan eljárás, Bini Gemignani Tisseur módszer) lokalizálja, a koncentrációkat pedig az együttható mátrix spektrálfelbontásából fejezi ki. A működési körülményekkel kapcsolatosan érdemes megemlítenünk, hogy amíg az fcrn_lrr program olyan FCRN-ek szimulációjára készült, amelyekben az F mátrix minden sajátértéke egzaktul megadható, a Krylov- és Vandermonde-mátrixok pedig stabilan számíthatók, addig az fcrn szoftvert, amely teszteléseink alatt 300 komponensig kellően robosztusnak minősült, pusztán diagonalizálható F mátrixok esetén használhatjuk, ami a szokványos kinetikai problémákra általában teljesül. Bár nem kizárt, hogy a Krylov- és a Vandermondemátrixok számítása skálázással stabilizálható, e kérdés tisztázása további vizsgálódásokra tart igényt. 7
8 4.4. Az n-bután és n-pentán interkonverziós kinetikája [3] Végül az n-bután és az n-pentán interkonverziós paramétereire (aktiválási energiák, aktiválási szabadentalpiák 0 és 298 K-en, illetve sebességi együtthatók 298 K-en) készítettünk becsléseket az FPA megközelítés alapján. E projekt keretein belül az n-alkánok interkonverziós kinetikájának kvantumkémiai modellezésére egy olyan FPA protokollt (FPA na ) építettünk fel, amely az említett kinetikai mennyiségeket a lehető legkisebb futásidejű elektronszerkezet-számító technikák segítségével az elérhető legkisebb bizonytalansággal közelíti. Az FPA na módszerrel nyert legjobb becsléseket a 4.4. táblázatban összegeztük, ahol t és g ± az n-bután egyedi konformereit szimbolizálja, a tt, tg ±, g ± g ± és g ± x szpécieszek pedig az n-pentán egyedi konformereit jelölik. R R R ( ) R ( ) R ( ) E / cal mol G 0 / cal mol G 298 K / cal mol k 298 K / s t g ± 3331(30) 3347(95) 3901(158) 103(7) 10 7 g ± t 2738(50) 2652(90) 3216(148) 33(2) 10 8 g g 4840(47) 4916(91) 5499(151) 69(4) 10 6 ± ± tt tg ± 3124(28) 3115(96) 3327(146) 27(2) 10 8 tg ± tt 2524(42) 2412(91) 3047(153) 44(3) 10 8 tg g g g g 2930(36) 2932(106) 3716(190) 14(1) 10 8 ± ± ± tg 2597(38) 2404(77) 2551(112) 101(5) 10 8 ± ± ± g g g x 6162(55) 6110(143) 6186(179) 22(2) 10 6 ± ± ± g x g g ± ± ± tg g x 4258(33) 4236(77) 4723(143) 26(1) 10 7 g x 2784(30) 2809(110) 3635(200) 16(1) 10 8 ± ± tg ± ± tg g x 544(9) 404(17) 1004(86) 137(5) 10 9 tg 423(6) 212(38) 682(118) 24(1) ± ± g x ± ± 4763(56) 4829(101) 5497(170) 69(5) táblázat: FPA na becslések az egyedi n-bután és n-pentán konformerek gázfázisú interkonverziós paramétereire. A becsült értékek bizonytalanságait zárójelben tüntettük fel. Az FPA na eljárás során (i) DSD-PBEP86-D2/cc-pVTZ szintű referencia geometriákat állítunk elő, (ii) az így kapott szerkezeteken single-point energiákat számítunk az MP2(fc)/ cc-pv5z, CCSD(T)(fc)/cc-pVXZ, MP2(full)/cc-pCVXZ és az MP2(fc)/cc-pCVXZ ( X = 2,3,4 ) módszerekkel, (iii) harmonikus rezgési analízist végzünk a DSD-PBEP86-D2/ccpVXZ ( X = 2,3 ) funkcionálokkal, majd (iv) HDCPT2 perturbációszámítást hajtunk végre MP2(fc)/6-31G* szintű kvartikus erőterek előállításával. Tekintve, hogy a kérdéses FPA modell az n-bután és az n-pentán interkonverziós paramétereire nagy pontosságú becsléseket adott, joggal várhatjuk, hogy az FPA na protokoll hosszabb szénláncú n-alkánok konformációs sajátságainak termokémiai és kinetikai modellezésében is jól fog teljesíteni. 8
9 5. Az értekezés alapjául szolgáló közlemények [1] Simple algebraic solutions to the kinetic problems of triangle, quadrangle, and pentangle reactions R. Tóbiás and G. Tasi, Journal of Mathematical Chemistry, 2016, 54, 85. IF 2016 = Független hivatkozások száma: 4 [2] First-order chemical reaction networks I: theoretical considerations R. Tóbiás, L. L. Stacho, and G. Tasi, Journal of Mathematical Chemistry, 2016, 54, IF 2016 = Független hivatkozások száma: 1 [3] Definitive thermochemistry and kinetics of the interconversions among conformers of n-butane and n-pentane R. Tóbiás, A. G. Császár, L. Gyevi-Nagy, and G. Tasi, Journal of Computational Chemistry, 2017 (in press). IF 2016 = Független hivatkozások száma: 0 9
10 6. Az értekezés témájához nem kapcsolódó közlemények [1] Vector algebra and molecular symmetry: a tribute to Professor Josiah Willard Gibbs G. Tasi, L. Gyevi-Nagy, R. Tóbiás, and T. S. Tasi, Journal of Mathematical Chemistry, 2013, 51, IF 2013 = Független hivatkozások száma: 0 [2] Cycle bases to the rescue R. Tóbiás, T. Furtenbacher, and A. G. Császár, Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 2017, 203, 557. IF 2016 = Független hivatkozások száma: 0 [3] Critical evaluation of measured rotational-vibrational transitions of four sulfur isotopologues of S 16 O 2 R. Tóbiás, T. Furtenbacher, A. G. Császár, O. V. Naumenko, J. Tennyson, P. Kumar, and B. Poirier, Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 2018 (under revision). 10
11 7. Konferencia részvételek [1] Egzotikus izomerizációs reakciók megoldás egy általános reakciótípusra? R. Tóbiás and G. Tasi, XXXV. Kémiai Előadói Napok, KEN Szeged, 2012 (szóbeli előadás) [2] Experimental rotation-vibration transitions and energy levels for sulfur dioxide T. Furtenbacher, R. Tóbiás, A. G. Császár, B. Poirier, J. Tennyson, V.-M. Hornemann, O. V. Naumenko, I. A. Vasilenko, A. Z. Fazliev The 25 th Colloquium on High-Resolution Molecular Spectroscopy, HRMS 2017 Helsinki, Finnland, 2017 (poszter) Összes referált közlemény: 5 ebből az értekezéshez kapcsolódik: 3 Összesített impakt faktor: ebből az értekezéshez kapcsolódik: Összes független hivatkozás: 5 ebből az értekezéshez kapcsolódik: 5 11
Referenciaértékek származtatása a kísérleti és számításos kémiában. Barna Dóra
Doktori (Ph.D.) értekezés tézisei Referenciaértékek származtatása a kísérleti és számításos kémiában Barna Dóra Témavezető: Dr. Tasi Gyula egyetemi docens Kémia Doktori Iskola Szegedi Tudományegyetem Alkalmazott
Fizikai kémia 2 Reakciókinetika házi feladatok 2016 ősz
Fizikai kémia 2 Reakciókinetika házi feladatok 2016 ősz A házi feladatok beadhatóak vagy papír alapon (ez a preferált), vagy e-mail formájában is az rkinhazi@gmail.com címre. E-mail esetén ügyeljetek a
Molekulaszimmetria vektoralgebrai meghatározása és alkalmazása a modellezésben
Molekulaszimmetria vektoralgebrai meghatározása és alkalmazása a modellezésben Doktori (Ph.D.) értekezés tézisei Gyevi-Nagy László okleveles vegyész Témavezető: Dr. Tasi Gyula egyetemi docens Kémia Doktori
Kémiai reakciók sebessége
Kémiai reakciók sebessége reakciósebesség (v) = koncentrációváltozás változáshoz szükséges idő A változás nem egyenletes!!!!!!!!!!!!!!!!!! v= ± dc dt a A + b B cc + dd. Melyik reagens koncentrációváltozását
Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
Reakciókinetika. Általános Kémia, kinetika Dia: 1 /53
Reakciókinetika 9-1 A reakciók sebessége 9-2 A reakciósebesség mérése 9-3 A koncentráció hatása: a sebességtörvény 9-4 Nulladrendű reakció 9-5 Elsőrendű reakció 9-6 Másodrendű reakció 9-7 A reakciókinetika
Kinetika. Általános Kémia, kinetika Dia: 1 /53
Kinetika 15-1 A reakciók sebessége 15-2 Reakciósebesség mérése 15-3 A koncentráció hatása: a sebességtörvény 15-4 Nulladrendű reakció 15-5 Elsőrendű reakció 15-6 Másodrendű reakció 15-7 A reakció kinetika
Reakciókinetika. aktiválási energia. felszabaduló energia. kiindulási állapot. energia nyereség. végállapot
Reakiókinetika aktiválási energia kiindulási állapot energia nyereség felszabaduló energia végállapot Reakiókinetika kinetika: mozgástan reakiókinetika (kémiai kinetika): - reakiók időbeli leírása - reakiómehanizmusok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával
Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával * Pannon Egyetem, M szaki Informatikai Kar, Számítástudomány
Atomok és molekulák elektronszerkezete
Atomok és molekulák elektronszerkezete Szabad atomok és molekulák Schrödinger egyenlete Tekintsünk egy kvantummechanikai rendszert amely N n magból és N e elektronból áll. Koordinátáikat jelölje rendre
Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
Tartalom. Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás
Tartalom Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás 2018 1 Állapottér reprezentációk tulajdonságai Általánosan egy lineáris, SISO dinamikus rendszer
Bevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
Kémiai átalakulások. A kémiai reakciók körülményei. A rendszer energiaviszonyai
Kémiai átalakulások 9. hét A kémiai reakció: kötések felbomlása, új kötések kialakulása - az atomok vegyértékelektronszerkezetében történik változás egyirányú (irreverzibilis) vagy megfordítható (reverzibilis)
Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását
Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális
6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
8. Egyszerû tesztek sûrûség funkcionál módszerek minõsítésére
8. Egyszerû tesztek sûrûség funkcionál módszerek minõsítésére XX. Csonka, G. I., Nguyen, N. A., Kolossváry, I., Simple tests for density functionals, J. Comput. Chem. 18 (1997) 1534. XXII. Csonka, G. I.,
Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
Reakciókinetika és katalízis
Reakciókinetika és katalízis 2. előadás: 1/18 Kinetika: Kísérletekkel megállapított sebességi egyenlet(ek). A kémiai reakció makroszkópikus, fenomenológikus jellemzése. 1 Mechanizmus: Az elemi lépések
Kémiai kötések. Kémiai kötések kj / mol 0,8 40 kj / mol
Kémiai kötések A természetben az anyagokat felépítő atomok nem önmagukban, hanem gyakran egymáshoz kapcsolódva léteznek. Ezeket a kötéseket összefoglaló néven kémiai kötéseknek nevezzük. Kémiai kötések
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
1 Lebegőpontos számábrázolás
Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás... 2 2 Vektornormák... 4 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik... 5 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás... 6 5 A kondíciószám és tulajdonságai... 7 6 Perturbációs
MÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUMERIKUS MÓDSZEREK
MÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUmERIKUS módszerek 9 FÜGGVÉNYKÖZELÍTÉSEK IX. SPLINE INTERPOLÁCIÓ 1. SPLINE FÜGGVÉNYEK A Lagrange interpolációnál említettük, hogy az ún. globális interpoláció helyett gyakran célszerű
BÍRÁLAT. Kállay Mihály Automatizált módszerek a kvantumkémiában című MTA doktori értekezéséről.
BÍRÁLAT Kállay Mihály Automatizált módszerek a kvantumkémiában című MTA doktori értekezéséről. Kállay Mihály Automatizált módszerek a kvantumkémiában című az MTA doktora cím elnyerésére benyújtott 132
Tartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)
Tartalom 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) 2015 1 Állapotgyenletek megoldása Tekintsük az ẋ(t) = ax(t), x(0) = 1 differenciálegyenletet. Ismert, hogy a megoldás
15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
REAKCIÓKINETIKA ÉS KATALÍZIS
REAKCIÓKINETIKA ÉS KATALÍZIS ANYAGMÉRNÖK MESTERKÉPZÉS VEGYIPARI TECHNOLÓGIAI SZAKIRÁNY MISKOLCI EGYETEM MŰSZAKI ANYAGTUDOMÁNYI KAR KÉMIAI INTÉZET PETROLKÉMIAI KIHELYEZETT (TVK) INTÉZETI TANSZÉK Miskolc,
Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
dinamikai tulajdonságai
Szilárdtest rácsok statikus és dinamikai tulajdonságai Szilárdtestek osztályozása kötéstípusok szerint Kötések eredete: elektronszerkezet k t ionok (atomtörzsek) tö Coulomb- elektronok kölcsönhatás lokalizáltak
Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
A kémiatanári zárószigorlat tételsora
1. A. tétel A kémiatanári zárószigorlat tételsora Kémiai alapfogalmak: Atom- és molekulatömeg, anyagmennyiség, elemek és vegyületek elnevezése, jelölése. Kémiai egyenlet, sztöchiometria. A víz jelentősége
Reakciókinetika és katalízis
Reakciókinetika és katalízis k 4. előadás: 1/14 Különbségek a gázfázisú és az oldatreakciók között: 1 Reaktáns molekulák által betöltött térfogat az oldatreakciónál jóval nagyobb. Nincs akadálytalan mozgás.
1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában
1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix
Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
Matematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
4. Fejezet Csonka Gábor István MTA Doktori Értekezés
4. A -()- molekula ab iníció egyensúlyi geometriája és egy disszociációs csatornája. A CT2 módszer. A DFT módszerek teljesítõképessége kéntartalmú molekulák esetében III. IV. Csonka, G. I., Loos, M., Kucsman,
Differenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
Félmerev és flexibilis molekulák rezgési-forgási állapotainak kvantumkémiai számítása és jellemzése
Doktori értekezés tézisei Fábri Csaba Félmerev és flexibilis molekulák rezgési-forgási állapotainak kvantumkémiai számítása és jellemzése Témavezető Prof. Dr. Császár Attila Molekulaszerkezet és Dinamika
Kolloidkémia 1. előadás Első- és másodrendű kémiai kötések és szerepük a kolloid rendszerek kialakulásában. Szőri Milán: Kolloidkémia
Kolloidkémia 1. előadás Első- és másodrendű kémiai kötések és szerepük a kolloid rendszerek kialakulásában 1 Órarend 2 Kurzussal kapcsolatos emlékeztető Kurzus: Az előadás látogatása ajánlott Gyakorlat
A kémiai kötés eredete; viriál tétel 1
A kémiai kötés ereete; viriál tétel 1 Probléma felvetés Ha egy molekula atommagjai közötti távolság csökken, akkor a közöttük fellép elektrosztatikus taszításhoz tartozó energia n. Ugyanez igaz az elektronokra
Molekuláris dinamika I. 10. előadás
Molekuláris dinamika I. 10. előadás Miről is szól a MD? nagy részecskeszámú rendszerek ismerjük a törvényeket mikroszkópikus szinten minden részecske mozgását szimuláljuk? Hogyan tudjuk megérteni a folyadékok,
5. Laboratóriumi gyakorlat
5. Laboratóriumi gyakorlat HETEROGÉN KÉMIAI REAKCIÓ SEBESSÉGÉNEK VIZSGÁLATA A CO 2 -nak vízben történő oldódása és az azt követő egyensúlyra vezető kémiai reakció az alábbi reakcióegyenlettel írható le:
Az SZTE KDI képzési terve
Az SZTE KDI képzési terve Doktori képzési/kutatási programok: 1. Analitikai kémia 2. Bioorganikus kémia 3. Elméleti kémia 4. Fizikai Kémia 5. Katalízis, kolloidika, felület- és anyagtudomány 6. Komplex
Ejtési teszt modellezése a tervezés fázisában
Antal Dániel, doktorandusz, Miskolci Egyetem Robert Bosch Mechatronikai Tanszék Szabó Tamás, egyetemi docens, Ph.D., Miskolci Egyetem Robert Bosch Mechatronikai Tanszék Szilágyi Attila, egyetemi adjunktus,
Numerikus módszerek beugró kérdések
1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:
Lineáris algebra (10A103)
Lineáris algebra (10A103) Kátai-Urbán Kamilla (1. előadás) Mátrixok 2019. február 6. 1 / 35 Bevezetés Előadás Tudnivalók (I.) Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Az előadáson készített
Mátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
Polinomok, Lagrange interpoláció
Közelítő és szimbolikus számítások 8. gyakorlat Polinomok, Lagrange interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Polinomok
Kutatási beszámoló 2006
Kutatási beszámoló 2006 Bevezetés Az energetikai ipar, közlekedés és a gazdaság más területei túlnyomórészt szerves anyagok, általában szénhidrogének elégetésével fedezik energia-szükségleteiket. Ezért
Az anyagi rendszer fogalma, csoportosítása
Az anyagi rendszer fogalma, csoportosítása A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 2011 1 1 A rendszer fogalma A körülöttünk levő anyagi világot atomok, ionok, molekulák építik
ALKÍMIA MA Az anyagról mai szemmel, a régiek megszállottságával.
ALKÍMIA MA Az anyagról mai szemmel, a régiek megszállottságával www.chem.elte.hu/pr Kvíz az előző előadáshoz 1. Mely mennyiségek között teremt kapcsolatot a bizonytalansági reláció? A) a koordináta értéke
Kémiai átalakulások. A kémiai reakciók körülményei. A rendszer energiaviszonyai
Kémiai átalakulások 9. hét A kémiai reakció: kötések felbomlása, új kötések kialakulása - az atomok vegyértékelektronszerkezetében történik változás egyirányú (irreverzibilis) vagy megfordítható (reverzibilis)
Reakciókinetika. Fizikai kémia előadások biológusoknak 8. Turányi Tamás ELTE Kémiai Intézet. A reakciókinetika tárgya
Reakciókinetika Fizikai kémia előadások biológusoknak 8. Turányi Tamás ELTE Kémiai Intézet A reakciókinetika tárgya Hogyan változnak a koncentrációk egy reaktív elegyben és miért? Milyen részlépésekből
Határfelületi jelenségek. Fogorvosi anyagtan fizikai alapjai 3. Általános anyagszerkezeti ismeretek. N m J 2
Határelületi jelenségek 1. Felületi eszültség Fogorvosi anyagtan izikai alapjai 3. Általános anyagszerkezeti ismeretek Határelületi jelenségek Kiemelt témák: elületi eszültség adhézió nedvesítés ázis ázisdiagramm
Bevezetés az állapottér-elméletbe Dinamikus rendszerek állapottér reprezentációi
Tartalom Bevezetés az állapottér-elméletbe Irányítható alak Megfigyelhetőségi alak Diagonális alak Állapottér transzformáció 2018 1 A szabályozáselmélet klasszikus, BODE, NICHOLS, NYQUIST nevéhez kötődő,
2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések
. REZGÉSEK.1. Harmonikus rezgések: Harmonikus erő: F = D x D m ẍ= D x (ezt a mechanikai rendszert lineáris harmonikus oszcillátornak nevezik) (Oszcillátor körfrekvenciája) ẍ x= Másodrendű konstansegyütthatós
Termokémia. Hess, Germain Henri (1802-1850) A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 2011
Termokémia Hess, Germain Henri (1802-1850) A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 2011 A reakcióhő fogalma A reakcióhő tehát a kémiai változásokat kísérő energiaváltozást jelenti.
Adatbázis alapú molekulaspektroszkópia
Doktori értekezés tézisei FURTENBACHER TIBOR Adatbázis alapú molekulaspektroszkópia Témavezető: Prof. Dr. Császár Attila Molekulaspektroszkópiai Laboratórium, Kémiai Intézet, Eötvös Loránd Tudományegyetem
Lineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
Alapvető bimolekuláris kémiai reakciók dinamikája
Alapvető bimolekuláris kémiai reakciók dinamikája Czakó Gábor Emory University (008 011) és ELTE (011. december ) Szedres, 01. október 13. A Polanyi szabályok Haladó mozgás (ütközési energia) vs. rezgő
Erőterek. Erőterek. Erőterek. Erőterek. Erőterek. Erőterek. Probléma: fehérjéknél nagy dimenziók értelmetlen QM eredmények.
fehérjéknél nagy dimenziók értelmetlen QM eredmények Megoldás: egyszerűsítés dimenzió-csökkentés Közelítések Born-Oppenheimer közelítés (Ψ mol = Ψ el Ψ mag ; E tot =E el +E mag ) az energia párkölcsönhatások
Gazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
Kvalitatív elemzésen alapuló reakciómechanizmus meghatározás
Kvalitatív elemzésen alapuló reakciómechanizmus meghatározás Varga Tamás Pannon Egyetem, Folyamatmérnöki Intézeti Tanszék IX. Alkalmazott Informatika Konferencia ~ AIK 2011 ~ Kaposvár, Február 25. Tartalom
Gauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 213. október 8. Javítva: 213.1.13. Határozzuk
A 27/2012. (VIII. 27.) NGM rendelet (29/2016. (VIII. 26.) NGM rendelet által módosított) szakmai és vizsgakövetelménye alapján.
A 27/2012. (VIII. 27.) NGM rendelet (29/2016. (VIII. 26.) NGM rendelet által módosított) szakmai és vizsgakövetelménye alapján. Szakképesítés azonosítószáma és megnevezése 54 524 03 Vegyész technikus Tájékoztató
Matematikai geodéziai számítások 10.
Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László
Kémiai reakciók mechanizmusa számítógépes szimulációval
Kémiai reakciók mechanizmusa számítógépes szimulációval Stirling András stirling@chemres.hu Elméleti Kémiai Osztály Budapest Stirling A. (MTA Kémiai Kutatóközpont) Reakciómechanizmus szimulációból 2007.
Markov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások
Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások 1. Feladat. (6p) Jelöljön. egy tetszőleges vektornormát, ill. a hozzá tartozó indukált mátrixnormát! Igazoljuk, hogy ha A
Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,
Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus
A KLT (Kanade Lucas Tomasi) Feature Tracker Működése (jellegzetes pontok választása és követése)
A KL (Kanade Lucas omasi) Feature racker Működése (jellegzetes pontok választása és követése) Készítette: Hajder Levente 008.11.18. 1. Feladat A rendelkezésre álló videó egy adott képkockájából minél több
Univerzalitási osztályok nemegyensúlyi rendszerekben, Ódor Géza
Univerzalitási osztályok nemegyensúlyi rendszerekben, Ódor Géza odor@mfa.kfki.hu 1. Bevezetõ, dinamikus skálázás, kritikus exponensek, térelmélet formalizmus, renormalizáció, topológius fázis diagrammok,
1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
Az egydimenziós harmonikus oszcillátor
Az egydimenziós harmonikus oszcillátor tárgyalása az általános formalizmus keretében November 7, 006 Példaképpen itt megmutatjuk, hogyan lehet a kvantumos egydimenziós harmonikus oszcillátort tárgyalni
Kutatási terület. Szervetlen és szerves molekulák szerkezetének ab initio tanulmányozása
Kutatási terület zervetlen és szerves molekulák szerkezetének ab initio tanulmányozása Cél: a molekulák disszociatív ionizációja során keletkező semleges és ionizált fragmentumok energetikai paramétereinek
Reakció kinetika és katalízis
Reakció kinetika és katalízis 1. előadás: Alapelvek, a kinetikai eredmények analízise Felezési idők 1/22 2/22 : A koncentráció ( ) időbeli változása, jele: mol M v, mértékegysége: dm 3. s s Legyen 5H 2
1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1
1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1 Kérdések. 1. Mit mond ki a termodinamika nulladik főtétele? Azt mondja ki, hogy mindenegyes termodinamikai kölcsönhatáshoz tartozik a TDR-nek egyegy
Határfelületi jelenségek. Fogorvosi anyagtan fizikai alapjai 3. Általános anyagszerkezeti ismeretek E A J 2. N m
Határelületi jelenségek 1. Felületi eültség Fogorvosi anyagtan izikai alapjai 3. Általános anyagerkezeti ismeretek Határelületi jelenségek Kiemelt témák: elületi eültség adhézió nedvesítés ázis ázisdiagramm
Fizikai kémia 2. Előzmények. A Lewis-féle kötéselmélet A VB- és az MO-elmélet, a H 2+ molekulaion
06.07.5. Fizikai kémia. 4. A VB- és az -elmélet, a H + molekulaion Dr. Berkesi ttó ZTE Fizikai Kémiai és Anyagtudományi Tanszéke 05 Előzmények Az atomok szerkezetének kvantummehanikai leírása 90-30-as
Molekuláris dinamika. 10. előadás
Molekuláris dinamika 10. előadás Mirőlis szól a MD? nagy részecskeszámú rendszerek ismerjük a törvényeket mikroszkópikus szinten? Hogyan tudjuk megérteni a folyadékok, gázok, szilárdtestek makroszkópikus
A SZTE KDI képzési terve
A SZTE KDI képzési terve (2016. szeptember 1 előtt indult képzésre) Doktori képzési/kutatási programok: 1. Analitikai kémia 2. Bioorganikus kémia 3. Elméleti kémia 4. Fizikai Kémia 5. Katalízis, kolloidika,
Általános kémia vizsgakérdések
Általános kémia vizsgakérdések 1. Mutassa be egy atom felépítését! 2. Mivel magyarázza egy atom semlegességét? 3. Adja meg a rendszám és a tömegszám fogalmát! 4. Mit nevezünk elemnek és vegyületnek? 5.
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (b) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2013. november 9. 1 A legkisebb hatás elve (1) A legkisebb hatás elve (Hamilton-elv): S: a hatás L: Lagrange-függvény 2 A
MOLEKULÁRIS TULAJDONSÁGOK
7 MOLKULÁIS TULAJDONSÁGOK Az elektronszerkezet számítások fókuszában többnyire az energiának és a hullámfüggvénynek egy adott geometriában történ kiszámítása áll Bár a gyakorlati kémiában a relatív energiák
Numerikus matematika vizsga
1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos
Mátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22
Mátrixfüggvények Wettl Ferenc 2016. április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények 2016. április 28. 1 / 22 Tartalom 1 Diagonalizálható mátrixok függvényei 2 Mátrixfüggvény a Jordan-alakból 3 Mátrixfüggvény
Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak
(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak osztályozása) March 21, 2019 Markov-láncok A Markov-láncok anaĺızise főként a folyamat lehetséges realizációi valószínűségeinek kiszámolásával foglalkozik. Ezekben
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása a Rayleigh Ritz-féle módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2013. szeptember 23. Javítva: 2013.10.09.
Bevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Differencia- és differenciálegy.-rsz. H607 2017-04-05
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t