Matematika. Matematika MÁSODIK KÖTET MÁSODIK KÖTET. Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

Átírás

1 Matematika MÁSODIK KÖTET Matematika MÁSODIK KÖTET Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

2 A tankönv megfelel az /0. (XII..) EMMI rendelet:. sz. melléklet: Kerettanterv a gimnáziumok 9. évfolama számára..0 Matematika 6. sz. melléklet: Kerettanterv a szakközépiskolák 9. évfolama számára 6..0 Matematika megnevezésű kerettantervek előírásainak. Tananagfejlesztő: Barcza István, Basa István, Tamásné Kollár Magdolna, Bálint Zsuzsanna, Kelemenné Kiss Ilona, Gertán Attila, Hankó Lászlóné Alkotószerkesztő: Tamásné Kollár Magdolna Vezetőszerkesztő: Tóthné Szalonta Anna Tudomános szakmai lektor: Pálfalvi Józsefné, Rózsaheginé dr. Vásárheli Éva Pedagógiai lektor: Bánk Judit Olvasószerkesztő: Darcsiné Molnár Edina, Mikes Vivien Fedél: Orosz Adél, Korda Ágnes Látván- és tipográfiai terv: Gados László, Orosz Adél Illusztráció: Létai Márton Szakábra: Szalóki Dezső Fotók: PIXABAY; FLICKR; WIKIPEDIA; RF; Kováts Borbála, Létai Márton, Orosz Adél A tankönv szerkesztői köszönetet mondanak a korábban készült tankönvek szerzőinek. Az ő általuk megteremtett módszertani kultúra ösztönzést és példát adott e tankönv/munkafüzet készítőinek is. Ugancsak köszönetet mondunk azoknak az íróknak, költőknek, képzőművészeknek, akiknek alkotásai tankönveinket gazdagítják. Köszönjük azoknak a tanároknak és diákoknak a munkáját, akik hasznos észrevételeikkel és javaslataikkal hozzájárultak e tankönv/munkafüzet végső változatának kialakításához. ISBN Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Felelős kiadó: dr. Kaposi József, főigazgató Raktári szám: FI-00090/ Műszaki szerkesztő: Orosz Adél Grafikai szerkesztő: Kováts Borbála, Orosz Adél Nomdai előkészítés: Gados László Terjedelem:,7 (A/ ív), tömeg: 0 gramm A könvben felhasználásra került a Matematika 9. Közel a mindennapokhoz című mű, Konsept-H Könvkiadó, Nemzeti Tankönvkiadó Zrt., 0, Szerzők: dr. Koráni Erzsébet, dr. Marosvári Péter és Dömel András. Alkotószerkesztő: Körnei László. Felelős szerkesztő: Bognár Edit. Lektor: Somfai Zsuzsa.. kiadás, 06 Az újgenerációs tankönv az Új Szécheni Terv Társadalmi Megújulás operatív Program..-B/ számú, A nemzeti alaptantervhez illeszkedő tankönv, taneszköz és nemzeti Köznevelési Portál fejlesztése című projektje keretében készült. A projekt az Európai unió támogatásával, az Európai szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg. A tankönvvé nilvánítási eljárásban közreműködő szakértők: Kóna István, Királ Ildikó Engedélszám: TKV/86-7/06 ( ) Nomtatta és kötötte: Felelős vezető: A nomdai megrendelés törzsszáma: Európai Szociális Alap

3 A TANKÖNYV TÉMAKÖREI. Adatok és függvének HOGYAN KEZELJÜNK SOK-SOK ADATOT? Menni szám!? Van értelme?... Tanuld meg, hogan igazodj ki eg adatsokaságban! ÁBRÁZOLJUNK FOLYAMATOKAT! Szigorú és monoton? Olvass az ábrákról! Értelmezd a grafikonokat! ALAPFÜGGYVÉNYEK MEGISMERÉSE Mitől függ? és hogan? SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA FÜGGVÉNNYEL Szövegből grafikon ábrázoljuk! Na látod, hog látod!. Egenletek és egenletrendszerek NEVEZETES AZONOSSÁGOK Nevezetességek az algebrában. Hát, ezt be kell vágni OLDJUNK MEG EGYENLETEKET, EGYENLŐTLENSÉGEKET, EGYENLETRENDSZEREKET! Csak mérlegelni kell tudni SZÖVEGES FELADATOK Hán éves a kapitán? utoléri-e Tom Jerrt?...menni idő alatt telik meg a medence? Egbevágóság és síkidomok SZIMMETRIÁK, TÜKRÖZÉSEK, ELTOLÁSOK Tükör. Billiárdasztal. Fénterjedés. Tudod, hog mi ezekben a közös? a témakör végén már tudni fogod! HÁROMSZÖGEK NEVEZETES PONTJAI ÉS VONALAI Vonalakból pontok, pontokból körök, körökből Nem árt ügelni a háromszögek vonalaira sem. DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG A KÖRBEN (THÁLÉSZ TÉTELE) már a görögök is tudták A TANKÖNYV TÉMAKÖREI

4 0 TÁBLÁZATOK BEVEZETŐ A matematika egik fontos feladata, hog nag menniségű összegűjtött adatból általános következtetéseket vonjon le, ezek segítségével tájékozódjon a jelenben, illetve megpróbálja jövőbeni esemének lefolását megjósolni. Az adatok összegűjtésével, rendszerezésével és elemzésével foglalkozik a statisztika. KIDOLGOZOTT FELADAT. Eg rendőrségi traffipa (sebességmérő radar) az autópálán tíz perc alatt a következő sebességeket mérte (az adatok km -ban értendők): h 0, 0, 8, 8, 0,, 0, 7, 7,, 0, 0,, 0,, 7,, 8, 0, 7, 0,, 8,, 0, 0, 7, 8, 6, 0,,, 0, 0,, 7, 0, 8,, 8, 7,, 0, 0, 8, 0,, 0,, 8, 8, 0, 0,, 0, 0, 0, 0, 0, 7. Mennire jellemző az elhaladó autósokra a 0 km sebességhatár megszegése? h Megoldás Az adatok íg ömlesztve szinte áttekinthetetlenek. Foglaljuk őket olan táblázatba, amel megmutatja, hog bizonos sebességgel hán autós közlekedett! A táblázat alapján können megállapíthatjuk, hog autó lépte túl a sebességhatárt. Sebesség (km/h) Összesen: Autók száma (gakoriság) Más szavakkal: a mérések között a 0 km -t meghaladó sebességek gakorisága volt. h Önmagában ez a szám nem sokat árul el arról, hog az autósok általában betartják-e a szabált, mert nem mindeg, hog pl. 60 megmért sebesség között volt szabáltalan, vag mondjuk megmért sebesség között találtak -et. Szemléletesebbé tehetjük a szabálsértések számát úg, ha megadjuk, hog a vizsgált esetek mekkora részében voltak szabáltalanok az autóvezetők. A a 60-nak a 60 része, azaz kb. 8%-a. Ez az arán a 0 km -t átlépők számának relatív gakorisága a 60 mért sebesség h között. A sebességhatárt jelentősen, azaz 0%-ot meghaladó mértékben túllépők gakorisága, relatív gakorisága pedig 60 0,07 (,7%) volt. ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

5 ELMÉLET Ha eg kísérletet, megfigelést n-szer végeztünk el, és k-szor kaptunk meg eg eredmént, akkor azt mondjuk, hog ennek az eredménnek a gakorisága k, a relatív gakorisága pedig k n. Itt az n pozitív, a k nemnegatív egész szám és k n. A relatív gakoriság jobban jellemzi az esemént, mint a gakoriság, mert azt mutatja meg, hog az esetek hánadrészében kaptuk meg a vizsgált eredmént. Az olan táblázatot, amel az eges adatok előfordulásának aránát mutatja, relatív gakorisági táblázatnak nevezzük. A relatív gakoriságot a könnebb érthetőség kedvéért sokszor százalékban adják meg. KIDOLGOZOTT FELADAT. Eg cipőbolt eladói eg délután statisztikát készítettek a náluk vásárolt cipők méretéről. A táblázatban azt is feltüntették, hog a vevők milen aránban vásárolták az eges méreteket. A táblázat alapján válaszoljunk a következő kérdésekre! a) Milen méretű cipőből vettek a legtöbbet (melik volt a leggakoribb eladott méret)? b) Az összes eladott pár cipő hánadrésze volt 0-es (mekkora volt az eladott cipők között a 0-es méretűek relatív gakorisága)? c) Az eladások között mekkora volt a -es vag annál kisebb méretű lábbeli eladásának gakorisága? Megoldás a) A táblázat alapján -asból. b) 60 párból 6, azaz az eladott cipők 6 része volt 0-es. 60 Megjegzés: Mivel 6 60 = = 0,, válaszunkat íg is 0 megfogalmazhatjuk: az eladott cipők 0, része (0%-a) volt 0-es. Cipőméret Vásárlók száma Relatív gakoriság (gakoriság) Arán % 8 /60 9 / / /60 /60 8 /60 9 9/60 8 8/60 Összesen: 60 60/60 00 c) = 0. A relatív gakoriság kiszámítását táblázatkezelő programra is bíz hatjuk. FELADAT. Eg osztál tanulói eg 0 pontos röpdolgozatra a következő pontszámokat kapták:, 6, 0,,,, 7,, 6, 0, 9,, 6,, 0, 6, 0, 9, 6,,, 7,, 7,,, 6, 9, 0,. Rendezd az adatokat gakorisági táblázatba! 0. lecke TÁBLÁZATOK

6 . Megkérdeztek, harminc év alatti fiatalt, hog 008-ban Gakorisága Relatív gakorisága hán alkalommal voltak színházban. A válaszok a következők Legfeljebb 0-szor voltak:,, 0,, 7,, 6,, 0,, 0,, 6, 8,,, 0,,,, 6, 9, Legfeljebb -szer,, 0. Legfeljebb -szer a) Rendezd a válaszokat gakorisági táblázatba, és add meg Legfeljebb -szor az eges válaszok relatív gakoriságát is! A füzetedben Legfeljebb -szer dolgozz! Legfeljebb -ször b) Az adatok feldolgozásakor megvizsgálták, menni a megkérdezettek között azoknak a relatív gakorisága, akik Legfeljebb 6-szor Legfeljebb 7-szer legfeljebb egszer, legfeljebb kétszer,, legfeljebb 0- Legfeljebb 8-szor szer voltak színházban. Töltsd ki a táblázatot te is! A füzetedben dolgozz! Legfeljebb 9-szer Legfeljebb 0-szer HÁZI FELADAT.. Hónap Eg autókereskedő hónapról hónapra feljegezte az eladott autók számát: Eladott autók száma Január Február Március Április Május Június Július Augusztus Szeptember Október November December a) Összesen hán autót adott el a kereskedő az év során? b) Hán autót adott el az első negedévben? c) Egészítsd ki a táblázatot eg harmadik sorral, amel azt mutatja, hog az adott hónap végéig összesen hán autót adott el a kereskedő az év során összesen! Melik hónapban lépte át az addig eladott autók száma a 00-at? d) Melik hónap folamán érte el az éves eladás 0%-át? Eg főút mentén percen keresztül forgalomszámlálást végeztek. Az eredmének ners formában itt láthatók: Személautó: Teherautó: Autóbusz: Motorbicikli: Egéb jármű:.. a) Hán jármű haladt el az eges fajtákból? b) Az elhaladó járművek hánadrésze volt teherautó, és mekkora volt az autóbuszok relatív gakorisága? c) Készítsd el az adatok gakorisági és relatív gakorisági táblázatát! 00 készüléket ellenőriznek úg, hog véletlensze rűen kiválasztanak közülük harmincat, és megszámolják, hog hán hibás van közöttük. Ezt a vizsgálatot tízszer végzik el. A táblázat a vizsgálatsorozat eredménét mutatja. Töltsd ki a táblázatot a füzetedben! Hibás készülékek száma Gakorisága a mintában (db) 0 vag több 0 Relatív gakorisága Teri mama szerencseszámai a, a 7 és a. A hatoslottón a évek 6 húzási eredménét összesítve Bence azt látta, hog ezeket a számokat rendre 9, 6, illetve 6 alkalommal húzták ki (a hatoslottón az első pozitív egész szám közül húznak ki 6-ot). a) Számítsd ki Teri mama szerencseszámainak relatív gakoriságát a 6 húzás alapján! 6 ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

7 b) Uganezt a 6 húzást vizsgálva látható, hog a leggakrabban kihúzott szám a (69 alkalommal húzták ki), a legritkábban kihúzott pedig a 9 volt (-szer húzták ki). Mekkora a és a 9 relatív gakorisága a vizsgált húzások során? c) Menni lenne az eges lottószámok gakorisága, illetve relatív gakorisága a 6 húzás során, ha mindegiket ugananniszor (vag legalábbis majdnem ugananniszor) húzták volna ki? Ennek alapján valóban szerencseszámoknak ne vezhetőek-e Teri mama kedvenc számai?. A következő táblázat azt mutatja, hogan sikerült a legutóbbi matematika felmérő dolgozat eg gimnázium három kilencedikes osztálában: A dolgozatjegek Osztál gakorisága relatív gakorisága 9. A B C 0,08 0, 0, 0,08 Mi kerül a táblázat üres heleire? (A füzetedben dolgozz!) RÁADÁS A legjobb autó Eg autósújság az új autók értékeléséhez eg pontrendszert használ, és az Év autója címet annak az autónak adja, amelik a legtöbb pontot éri el. Öt új autót értékelnek, amelek pontszámait a mellékelt táblázatban láthatjuk. Autó Biztonsági felszereltség (B) Üzemanagfel hasz nálás (Ü) Külső megjelenés (K) Belső felszereltség (F) Ca M Sp N KK A pontszámok jelentése a következő: pont = kitűnő; pont = jó; pont = közepes. a) Eg autó összpontszámának kiszámításához az újság az alábbi szabált használja, ami tulajdonképpen az eges pontszámok súlozott összesítése: összpontszám = ( B) + Ü + K + F. Számítsd ki a Ca autó összpontszámát, és írd a választ a füzetedbe! b) A Ca autó gártója úg gondolja, hog az összpontszám kiszámításának szabála nem igazságos. Írj eg olan számítási szabált, amel alapján a Ca autó lenne a gőztes! Az általad megadott szabálban szerepelnie kell mind a nég változónak. Úg add meg a szabált, hog az alábbi egenlet nég pontozott vonalára pozitív számokat írsz! A füzetedben dolgozz! Összpontszám =... B +... Ü +... K +... F. 0. lecke TÁBLÁZATOK 7

8 DIAGRAMOK KIDOLGOZOTT FELADAT Eg érmét 0-szor feldobva a következő sorozatot kaptuk: F, F, F, I, I, F, I, I, I, I, I, I, F, I, I, F, I, F, F, I. (Az F azt jelenti, hog fejet dobtunk, az I pedig azt, hog írást.) a) Menni a fejek és az írások relatív gakorisága? b) Ábrázoljuk a relatív gakoriságokat oszlopdiagramon és kördiagramon! c) Minden eges dobás után adjuk meg a fejek gakoriságát az addigi dobások közül, és számítsuk ki a fejek relatív gakoriságát is! Az eredméneket foglaljuk táblázatba, majd ábrázoljuk vonaldiagramon a relatív gakoriság változását! Megoldás a) A 0 dobásból álló sorozatban a fejek gakorisága 8, az írásoké pedig. A fejek relatív gakorisága 8 =0,, az írásoké pedig 0 0 =0,6. b) A kördiagram elkészítéséhez a 60 -ot 0, : 0,6 arán ban fel kell osztani. 0, : 0,6 = : 6, ezért a 60 -ot + 6 = 0 egenlő részre kell felosztani ( rész = 6 ), majd ezt az értéket -gel, illetve 6-tal szorozni (, 6 ). c) Dobások száma Fejek gakorisága Fejek relatív gakorisága 0,7 0,60 6 0,67 7 0,7 8 0,0 9 0, 0 0,0 0,6 0, 0,8 0,6 0, 6 6 0, , 8 7 0, , 0 8 0,0 relatív gakoriság 0,7 0,6 0, 0, 0, 0, 0, fej 0% írás 60% fejek relatív gakorisága,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 fej írás dobások száma Az ábrázolás megoldható a Graph program segítségével is. 8 ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

9 FELADAT.... Ábrázold vonaldiagramon az írások relatív gakoriságának változását az előző példában! Eg iskola menzáján 70-en ebédelnek. Ezen a héten 0-en választották az A menüt és 0-an a B menüt. Számold ki a kétféle menü választásának relatív gakoriságát százalékban, és ábrázold a kapott értékeket oszlopdiagramon és kördiagramon is! Eg iskola menzáján 70-en ebédelnek. Ezen a héten 90-en választották az A menüt, -en a B menüt és -en a C menüt. Számold ki a háromféle menü választásának relatív gakoriságát százalékban, és ábrázold a kapott értékeket oszlopdiagramon és kördiagramon is! Foglaljuk táblázatba az oszlopdiagramon megjelenített adatokat! Egészítsük ki a táblázatot az érettségizők számának az előző évhez viszonított változását szemléltető mezőkkel! érettségizettek száma év. Eg iskolában öt 7 fős diákcsoport uganazt a témazáró dolgozatot írta matematikából. A diagramok az eges csoportok eredménét mutatják. a) Készíts táblázatot az eges csoportok érdemjegeinek eloszlásáról (gakoriságáról)! b) Egészítsd ki a táblázatot az eges csoportok átlagosztálzatával! c) Készíts gakorisági táblázatot a 8 tanuló osztálzatairól, és számítsd ki a témazáró dolgozatból elért átlagos osztálzatot! csoport csoport 0 0. csoport. csoport csoport lecke DIAGRAMOK 9

10 HÁZI FELADAT. Eg osztál tanulói körében a testvérek száma a táblázat szerinti gakorisággal fordul elő. a) Add meg a testvérek számának relatív gakoriságát százalékban! (A füzetedben dolgozz!) b) Készíts oszlopdiagramot a relatív gakoriságokról! Testvérek száma 0 Gakoriság 7 Relatív gakoriság... Eg iskola menzáján 0-en ebédelnek, és háromféle A menüt választók száma Relatív gakorisága menü közül választhatnak. A táblázat az eges menüket választók relatív gakoriságát mutatja. a) Számold ki, hánan választották az eges menüket! (A füzetedben dolgozz!) A menü B menü C menü 0, 0, 0, b) Ábrázold kördiagramon az eges menüket választók gakoriságát! A kördiagram eg 00 lakosú település lakosságának megoszlását mutatja. a) Add meg a férfiak, a nők és a germekek százalékos eloszlását és létszámát! b) Készíts sávdiagramot (lásd a 6. lecke bevezető feladatát az első kötet 8. oldalon) a lakosság eloszlásáról! férfi germek nő 8 A következő táblázat azt mutatja, hogan sikerült a legutóbbi matematika felmérő dolgozat eg gimnázium nég kilencedikes osztálában: jele Az osztál létszáma A hiánzók száma A dolgozatjegek gakorisága relatív gakorisága A B 0 0,08 0, 0, 0,08 C 0 0 D 8 a) Mi kerül a táblázat üres heleire? A füzetedben dolgozz! b) Ábrázold közös grafikonon más-más színnel a nég osztál jegeinek relatív gakoriságát! c) Készíts táblázatot arról, hánan kaptak az eges osztálokban legalább egest, legalább kettest, legalább hármast, legalább négest, legalább ötöst! Számítsd ki a relatív gakoriságokat is! Készíts grafikont! RÁADÁS A diagramok fő célja, hog segítségükkel können értelmezhető, áttekinthető formába rendezzük az adatokat. Szemléletes, jó diagramot készíteni azonban sokszor nem is olan egszerű feladat.. Az adatok ábrázolásának egik legnagobb problémája a kiugró (a többi adathoz képest túl nag vag túl kicsi) értékek kezelése. Legenek például az adataink:,,, 000,. Ha ezeket az adatokat oszlopdiagramon ábrázoljuk, akkor az 000-es adat oszlopához képest a többi olan kicsi, hog nemhog a köztük lévő különbségeket, de még magukat az oszlopokat sem látjuk ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

11 Ha akkora diagramot rajzolnánk, ameliken már jól látható a kis adatok közti eltérés, akkor meg az 000-es oszlop lógna ki az ábrából. Ennek a problémának eg lehetséges bár nem túl elegáns megoldása, hog megtörjük a 000 diagramot: Ezen a diagramon jól megférnek egmással az adatok, csakhog a figelmetlen szemlélőnek können úg tűnhet, hog a negedik oszlop csak kb. egség magas. Ezért különösen fontos, hog a grafikon (és a függőleges tengel) megtörése nilvánvaló és feltűnő legen. 0. Problémát okoz a másik véglet is, amikor az adatok közötti különbségek túl kicsik. Az ilen diagramokon minden oszlop egformának tűnik, pont a léneg a különbségek nem láthatók. Év Munkanélküliek száma Ezen a problémán sokan úg próbálnak segíteni, hog kivágják a diagram tetejét, azaz itt a függőleges tengel beosztása nem nulláról indul. Ez a megoldás viszont azért veszéles, mert az eredmén können megtévesztheti a felületes olvasót Városunkban a munkanélküliek száma nem változott jelentősen az elmúlt években Városunkban a munkanélküliség az elmúlt években drasztikusan növekedett Ügelnünk kell arra is, hog eg túlzsúfolt grafikonról semmit nem lehet érdemben leolvasni. Nem szabad tehát rengeteg adatot belezsúfolni egetlen ábrába! Az ilen diagramok értelmezhetetlenek. Ha túl sok adatunk van, meg kell próbálnunk csoportokba (ún. osztálokba) sorolni őket. Ma már a legegszerűbb számítógépes adatkezelő programok is lehetőséget adnak látvános térbeli diagramok készítésére. A térbeli perspektíva azonban furcsa optikai csalódásokhoz vezethet! A két alábbi, henger alakú grafikon uganaz a kördiagram, de különböző szögekből nézve! Az értelmezés mégis teljesen külön böző. Piaci részesedésünk alig töredéke a vezető cégek részesedésének Piaci részesedésünk körülbelül a többi cégével azonos aránú. lecke DIAGRAMOK

12 SZÁMSOKASÁGOK STATISZTIKAI JELLEMZŐI BEVEZETŐ Eg munkahelen 0-an dolgoznak és -féle fizetést kapnak. Az igazgató 00 ezer forintot, főmunkatárs 0 ezret, tisztviselő 00 ezret, 6 adminisztrátor 0 ezret, takarító 80 ezret keres havonta. Mit olvashatunk ki ezekből az adatokból? Megoldás A fizetések jegzéke 0 adatot tartalmaz. Ezek az adatok (ezer forintokban kifejezve) a következők: 00, 0, 0, 0, 0, 0, 00, 00, 00, 00, 00, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 80, 80, 80. Most fogó sorrendben írtuk fel a számokat. Legtöbbször a 0 fordul elő, ez a számsokaság módusza. A felsorolásban középen, a 9. és a 0. helen 00 áll, ezeknek az átlaga szintén 00, ami a számsokaság mediánja. A fizetéseket gakorisági grafikonon (diagramon) is ábrázolhatjuk. A legmagasabb oszlop a 0-hoz tartozik, a legalacsonabb a 00-hoz. gakoriság ezer Ft 0 00 A számsokaság terjedelme a legnagobb és a legkisebb szám különbsége: = 0. A terjedelem a grafikon vízszintes tengelén olvasható le. Számítsuk ki a fizetések átlagát! Az átlagot úg kapjuk meg, hog a 0 szám összegét elosztjuk 0-szal. A 0 szám összege 0, a 0 szám átlaga ezért: 0 : 0 = 7,. A 0 dolgozó fizetésének átlaga 7 00 forint. -en ennél többet keresnek, 9-en ennél kevesebbet. Az átlagtól kevéssel tér el az tisztviselő fizetése, de az igazgató és a takarítók fizetése nagon messze van az átlagtól. Azt is mondhatjuk, hog nag a fizetések szóródása. ELMÉLET Eg véges számsokaság legfőbb statisztikai jellemzői: Átlag Módusz Medián Terjedelem Leírása a sokaság elemeinek az összegét elosztjuk az elemek számával a legtöbbször előforduló elem a nagság szerinti felsorolásban középen álló szám, vag a középen álló két szám átlaga a legnagobb és a legkisebb szám különbsége KIDOLGOZOTT FELADAT Eg számsokaságot gakorisági táblázattal adunk meg. Számok 6 0 Gakoriság a) Mik a számsokaság statisztikai jellemzői? b) Készítsünk gakorisági diagramot! ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

13 Megoldás a) A gakoriságok összege 6, tehát ez a számsokaság 6 számból áll. Ha ezt a 6 számot növekvő sorrendbe írjuk, akkor a. szám lesz középen, ez a számsokaság mediánja. Melik szám most a medián? Az,,,,,,,,,,,,, 6, 6, 6 számok vannak a medián előtt ( szám). Mivel hétszer fordul elő a 6, ezért a középső szám is 6 lesz, vagis ez a medián. A számsokaság módusza, mert a fordul elő a legtöbbször, a számsokaság terjedelme: =. Az átlag kiszámítása: a 6 szám összege: = 69. A 6 szám átlaga: 69 : 6 9,. b) A diagramot íg készítjük: a vízszintes tengelen a számokat jelöljük, a függőlegesen a gakoriságokat. gakoriságok számok A megoldáshoz használhatunk táblázatkezelő programot is (diagram megjelenítése, átlag kiszámítása). ELMÉLET Az átlag meghatározásához a számok súlozott számtani középét számítottuk ki. A számokat megszoroztuk a gakoriságukkal, ezeknek a szorzatoknak az összegét elosztottuk a gakoriságok össze gével. FELADAT.. Add meg a következő számsokaságok főbb statisztikai jellemzőit! a),,, 9,,,,, 9,,, 9, 9,, 8, 9,,, 9, b) 0, 0, 0, 90, 0, 0, 0, 0, 90, 0, 0, 90, 90, 0, 80, 90, 0, 0, 90, 0 c) 0, 0, 0, 900, 0, 0,, 600, 900, 0, 0, 0, 0, 900, 0 Eg általános iskolában 8 osztál van. Az osztállétszámokat a táblázat mutatja:. Tizeneg tanuló olan tesztdolgozatot írt, amelben 00 pontot lehetett elérni. A tanulók elért pontszámai: 00; 00; 00; 6; 6; 60; ; ; 6; ; 0. a) Add meg az elért pontszámok főbb statisztikai jellemzőit! b) A csoportban az a vélemén van többségben, hog nehéz volt a teszt. Tudsz-e érvelni a többség véleméne mellett a statisztikai mutatókra támaszkodva? Osztál Létszám Röviden elemezd, hogan változik az év során a levegő virágportartalma (menniség, tartam, időpont, egüttes előfordulás stb.)! a) Menni az átlagos osztállétszám A) az alsó tagozatban; B) a felső tagozatban; C) az iskolában? b) Menni a nolc osztállétszám mediánja és terjedelme? A levegő virágportartalma ( év átlaga) fák füvek üröm parlagfű II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. hónapok. lecke SZÁMSOKASÁGOK STATISZTIKAI JELLEMZŐI

14 HÁZI FELADAT. Eg szabáltalan dobókockát egmás után 0- szor feldobtunk, a dobott számokat pedig sorban feljegeztük:. A kördiagram a 007/008-ban óvodai nevelésben, illetve iskolai oktatásban részesülők eloszlását szemlélteti.. Pontszám 6 Gakoriság 8 0 a) Menni a dobott pontok átlaga? b) Menni a 0 számból álló számsokaság mó dusza, mediánja, terjedelme? c) Egészítsd ki a táblázatot a pontszámok relatív gakoriságával! d) Készítsd el a pontszámok relatív gakorisági diag ramját a táblázat alapján! e) Melik pontszám lehet a kockán a hármassal szemben? Miért? 000 januárjában az egik meteorológiai megfigelőhelen a táblázat szerinti napi középhőmérsékleteket mérték. felsőoktatás középiskola 6 86 szakiskola óvoda általános iskola a) Készíts táblázatot az eges nevelési-oktatási fajtákban részesülők eloszlásáról! Az aránokat százalékban add meg! b) Egészítsd ki a táblázatot az eges nevelési-oktatási fajtákban részesülők számával, ha az összlétszám, millió fő! Napi Nap középhőmérséklet Napi Nap középhőmérséklet Napi Nap középhőmérséklet a) Melik napon volt a leghidegebb, illetve a legmelegebb a napi középhőmérsékletek alapján ítélve? b) Add meg a napi középhőmérsékletek mó duszát, terjedelmét és átlagát! c) Milen módon mérnéd a napi középhőmérsékletet? ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

15 RÁADÁS Eport Az alábbi diagramok Zedország eportjáról szolgálnak adatokkal. Zedországban zed a pénznem. Zedország teljes évi eportja millió zedben kifejezve, Zedország eportjának megoszlása 000-ben ,6 7,9, 7, 0, év pamutszövet 6% gapjú % dohán 7% gümölcslé 9% rizs % egéb % tea % hús % a) Menni volt Zedország eportjának összértéke (millió zedben) 998-ban? b) Milen értékben eportált gümölcslevet Zedország 000-ben? A),8 millió zed. B), millió zed. C), millió zed. D), millió zed. E),8 millió zed.. lecke SZÁMSOKASÁGOK STATISZTIKAI JELLEMZŐI

16 OSZTÁLYBA SOROLÁS, ÁTLAGOK ÁTLAGA BEVEZETŐ A táblázatban ezresekre kerekítve megadták eg város lakóinak életkor és nem szerinti megoszlását. A város legidősebb embere 9 éves. Életkor Nők (ezer fő) Férfiak (ezer fő) a) Hán nő és hán férfi él ebben a városban? b) Készítsünk az adatok alapján oszlopdiagramot! c) Számítsuk ki a város lakosai életkorának átlagát! A táblázat életkoruk szerint nolc osztálba sorolta a város lakosait. Az első osztál határai a 0 és a 9, a második osztál határai a 0 és a 9, végül a nolcadik osztál határai a 70 és a város legidősebb lakosának életkora, azaz 9. (A hivatalos felmérésekben az ilen típusú osztálba sorolás úg történik, hog például 9 éves az, akinek a felmérés évében van a tizedik születésnapja, éves az, akinek a felmérés évében van a 6. születésnapja és íg tovább.) Megoldás a) A nők száma = 8 ezer, a férfiaké = 7 ezer. b) A diagram vízszintes tengelén az osztálokat, függőleges tengelén az adott osztálba tartozó lakosok számát tün tetjük fel. ezer fő 0 nők férfiak életkor (év) c) Az átlag kiszámításánál gakran használt (közelítő) módszer az, hog az eges emberek valódi életkora helett osztálközepekkel számolunk. Az osztálközép az adott osztál két határának a számtani közepe. Az átlag kiszámításához tehát ezt a gakorisági táblázatot használjuk: Életkor,,,,,, 6, 8, Lakosok száma (ezer fő) Az életkorok súlozott számtani közepe:, +, 9 +, +, 0 +, +, 9 + 6, 7 + 8, A város lakosai életkorának átlaga tehát körülbelül év. = 607 0,8 (év). 6 ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

17 Megjegzések. Feladatunkban eg város lakosságát osztálokba sorolták. Vegük észre: minden lakos benne van az egik osztálban, de egik lakos sincs benne két különböző osztálban!. Az osztálba sorolt adatok átlagának kiszámítása természetesen nem feltétlenül adja uganazt, mintha minden eges ember életkorát megkérdeztük volna, majd a ezer szám összegét elosztottuk volna ezerrel. A statisztika olkor megelégszik a kevésbé pontos értékekkel is, főleg ha a pontos értékek meghatározása túlságosan időigénes (például azért, mert a ezer számot be kell gépelni a számítógépbe), vag túl sokba kerül, és nem térül meg a pontossággal nert többletinformáció. FELADAT. Eg gűjtő rendezte a béleggűjteménét, és közben feljegezte, milen értékű bélegei vannak. Az alábbi táblázatot készítette el. Érték (Ft) Darab Az 000 Ft értékű bélegeket a második, az 00 Ft értékűeket a harmadik, a 00 Ft értékűeket a negedik osztálba sorolta. a) Hán bélegből áll a gűjtemén? b) Készíts oszlopdiagramot a bélegek értékéről! c) Mennit ér a béleggűjtemén a gűjtő szerint, ha az általa létrehozott osztálok osztálközepével számol? (Az osztálközép most is az osztál két határának számtani közepe.) d) Kiszámította a bélegek értékének átlagát. Van-e olan béleg a gűjteménében, amelnek pontosan enni az értéke? KIDOLGOZOTT FELADAT Bencének az egik házi feladatában ki kellett számítania az, 7,,, számok átlagát. Bence jó fejszámoló, ezért íg gorsította meg a megoldást: Az és a 7 átlaga 6 (mert + 7 =6), a,, számok átlaga pedig (mert + + =). Tehát az, 7,,, számok átlaga, (mert a 6 és a átlaga 6 + =,). Az iskolában meglepődve tapasztalta, hog másoknak nem uganez jött ki. Jó-e Bence gors módszere? Megoldás Bence gors munkája sajnos hibás volt. Ki kellett volna számolnia az tört ér tékét, ami =,. + 7 Ehelett Bence ezt számolta ki: :. Ezt közös nevezőre hozás után íg írhatjuk: = = 9 =,, és ez nem egenlő az törttel. Bence az öt szám átlaga helett az öt számból képzett két csoport átlagának átlagát számította ki, íg hibás eredmént kapott. Az átlagok átlaga tehát ebben az esetben nem egenlő az eredeti átlaggal.. lecke OSZTÁLYBA SOROLÁS, ÁTLAGOK ÁTLAGA 7

18 FELADAT. Bence arra gondolt, biztosan csak azért kapott hibás eredmént, mert rosszul csoportosította a számokat. Ezért megvizsgált más csoportosításokat is. Mindegik esetben kiszámította a csoportok átlagának átlagát, abban reménkedve, hog valamelik éppen, lesz. Talált-e ilet? a) Egik csoport:, ; másik csoport: 7,,. b) Egik csoport:, ; másik csoport: 7,,. c) Egik csoport:, 7, ; másik csoport:,. d) Egik csoport:, 7; másik csoport:, ; harmadik csoport:. e) Vizsgálj meg más csoportosításokat is! Bence nem adta fel a próbálkozást, és keresett olan példát, amelben az ő gors módszere heles eredménre vezetett. Talált is ilet: az, 7,,,, 9 számok esetén például a hat szám átlaga =; 6 az, 7, számok átlaga ; a,, 9 számok átlaga 6. E két átlag átlaga pedig: + 6 := 0 :=0:=. Keress más csoportosításokat is az, 7,,,, 9 számokhoz, amelek esetén működik Bence gors módszere, és olanokat is, amelekben továbbra is rossz eredménre vezet! Mit tapasztalsz?. Eg utánpótlás focicsapatban minden gerek új edzőcipőt kap. A méretek: Méret Gakoriság a) Van-e értelme osztálokba sorolni a cipőket, és az osztálköze pek szerint vásárolni? b) Menni a cipőméretek átlaga? c) Jó-e valamire, ha tudjuk a cipőméretek átlagát? HÁZI FELADAT. A minőségellenőr gártósorról lekerült, kész izzók élettartamát vizsgálta. Mérési eredméneit táblázatban rögzítette. A véletlenszerűen kiválasztott és megvizsgált izzók osztálba sorolásakor az első osztálba azok kerültek, ameleknek az élettartama elérte a 90 órát, de az 000 órát már nem. A második osztálba azok az izzók kerültek, ameleknek az élettartama elérte az 000 órát, de az 00 órát már nem és íg tovább. ma elérte volna az 00 órát. a) Hán izzót vizsgált meg a minőségellenőr? b) Készíts gakorisági diagramot a táblázathoz! c) Egészítsd ki a táblázatot a relatív gakoriságokkal! A vizsgált izzók hán százaléka felelt meg a legalább 000 órás üzemidő követelménnek? d) Számítsd ki az izzók élettartamának átlagát az osztálközepek segítségével! Élettartam Gakoriság A megvizsgált izzók mindegike legalább 90 órát világított, és nem volt olan, amelnek az élettarta-. Eg kisvállalatnál hatan dolgoznak. A havi bruttó bérek ezer forintban kifejezve: 0, 0, 60, 6, 80, 00. a) Add meg a bruttó bérek terjedelmét, móduszát, mediánját és átlagát! 8 ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

19 .. b) Csoportosítsd a béreket (legalább, legfeljebb csoportba) úg, hog a csoportok átlagának átlaga egenlő legen a bérek átlagával! Legalább két különböző csoportosítást adj meg! c) Csoportosítsd a béreket (legalább, legfeljebb csoportba) úg, hog a csoportok átlagának átlaga ne legen egenlő a bérek átlagával! Legalább két különböző csoportosítást adj meg! Figeld meg a következő gondolatmenetet! Alig van olan matematikadolgozat, amel esetén az osztálátlag nem. A legtöbbször uganis van közöttük ötös, néges, hármas, kettes és eges is. Az ötös osztálzatok átlaga nilván, a néges osztálzatok átlaga nilván, a hármasoké, a ketteseké, az egeseké pedig. Ennek az öt számnak az átlaga adja az osztálátlagot, ami tehát = =. Helesnek találod-e az átlagszámítás ilen módját? Válaszod indokold! Eg osztál tanulójának testmagassága cm-ben mérve a következő:, 6, 8, 8, 6, 6, 6, 6, 6, 66, 66, 68, 68, 68, 70, 70, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 76, 8. a) Menni a adat módusza és mediánja? b) Végezd el a adat osztálba sorolását! Legalább, legfeljebb 6 osztált alkoss! c) Számold ki az osztálközepek segítségével a testmagasságok átlagát, majd számítsd ki a szám átlagát is! Hasonlítsd össze a két számot! A házi feladat elkészítéséhez, ellenőrzéséhez táblázatkezelő programot is használhatsz. RÁADÁS Keress példát olan tíz elemből álló adatsokaságra, amelet ki lehet egészíteni eg újabb elemmel az alábbi módon: a) a módusz nem változik, de az átlag igen; c) a medián nem változik, de az átlag igen; b) az átlag nem változik, de a módusz igen; d) az átlag nem változik, de a medián igen?. lecke OSZTÁLYBA SOROLÁS, ÁTLAGOK ÁTLAGA 9

20 VÁLTOZÁSOK ÁBRÁZOLÁSA BEVEZETŐ A minket körülvevő világ állandóan mozgásban van, folamatosan változik. Változik az időjárás, a hőmérséklet a nap folamán, de éves periódusokban is. Változik a boltok kínálata, az árak, változnak az ismerőseink és mi magunk is. Természetesen lehetetlen mindezt egüttesen leírni, de bizonos kiszemelt menniségek változását können nomon követhetjük. Sokszor megkönníti a dolgunkat, ha grafikonon ábrázoljuk a folamatot. FELADAT. A tachográf (menetíró) olan készülék, amel mozgó járművek elsősorban buszok, teherautók sebességadatait jegzi későbbi ellenőrzés céljából. páig. Ott olan hirtelen állt meg, hog elestem. A következő megállónál le is szálltam. Az autóbusz-társaság bekérte a vezetőtől a busz tachográfját, amel a kérdéses időtartamról a következő grafikont rögzítette: Eg helközi autóbuszjárat egik utasa zúzódásos sérüléssel jelentkezett a városi kórházban. Állítása szerint a busz hirtelen fékezett, ő pedig elesett. A közlekedési vállalatnál jegzőkönvet vettek fel a panaszról, ebben az utas a következőképpen mesélte el a történteket: A kövespusztai megálló után eg darabig még úg 70-nel mehettünk az országúton, aztán a város szélén a busz 0-re lassított. - perc után a piros lámpánál a vezető fékezett, aztán megállt. A lámpa elég hamar zöldre váltott, mehettünk tovább az alsóvárosi megállóig, ami kb. negedóráni út a kövespusztaitól számítva. Itt nem volt senki, íg a vezető lassítás nélkül, 0- nel ment tovább, egészen a következő jelzőlám- sebesség (km/h) idő (perc) a) Azonosítsd a grafikonon az út szakaszait a panaszos utas beszámolója alapján! b) A beszámoló melik részei igazak, és hol állított valótlant az utas? c) Mi történt valójában azon a szakaszon, amellel kapcsolatban nem mondott igazat az utas? d) Tudjuk, hog a busz a kövespusztai megállótól indulva általában 7-8 perc alatt éri el a városhatárt. Ezt figelembe véve megszegte-e valahol a busz vezetője a sebességhatárokat? (Az autó- 0 ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

21 . forint/liter bu szok számára megengedett maimális sebesség városban 0 km h, városon kívül 70 km h.) A grafikon a 9-ös benzin árváltozásait mutatja eg benzinkútnál a 008-as év során jan. febr. márc. Benzinár alakulása 008-ban ápr. máj. jún. júl. aug. szept. okt. nov. dec. a) Röviden írd le, mi történt a benzinárakkal az év folamán! Térj ki arra, hog melik időszakban milen iránú és mértékű a változás, mennit változott a benzin ára az eges időszakokban, illetve összesen! b) Foglald táblázatba a benzinárakat! A növekedést pozitív, a csökkenést negatív számokkal jelöld! A grafikon és a táblázat alapján válaszolj a következő kérdésekre! A) Mennit csökkent a benzin ára a) január és december között; b) július és december között? B) Menni volt január és július között a) a legnagobb; b) a legkisebb; c) az átlagos havi növekedés? C) Menni volt július és december között a) a legnagobb; b) a legkisebb; c) az átlagos havi csökkenés? D) Megállapítható-e a grafikon alapján, hog mennibe került eg liter benzin május 7-én, illetve november 0-án? ELMÉLET A grafikonok készítéséhez a derékszögű koordináta-rendszert használjuk. Ismételjük át, mit tanultunk erről! Derékszögű koordináta-rendszert kapunk, ha két számegenest úg helezünk merőlegesen egmásra, hog a 0 jelzésű pontjuk közös legen. Ezt a közös pontot origónak nevezzük. Rajzunkon a vízszintes számegenes az első tengel ( tengel), a függőleges a második tengel ( tengel). II. síkneged 0 III. síkneged ordinátatengel I. síkneged abszcisszatengel IV. síkneged A két tengel a síkot nég negedre vágja. Ezek számozását az ábra mu tatja. Ha eg síkban koordináta-rendszert veszünk fel, akkor e sík minden pontját eg rendezett számpárral (olan számpárral, amelben fontos a számok sorrendje is) jellemezzük. B () A Például: az ábránkon lévő A pontot a (; ) rendezett számpárral, a B pontot a ( ; ) rendezett számpárral. A rendezett számpárok tagjait a pontok koordinátáinak nevezzük. 0 () Az első koordinátát abszcisszának, a második koordinátát ordinátának, ebből adódóan az első tengelt abszcisszatengelnek, a másodikat pedig ordinátatengelnek is nevezzük.. lecke VÁLTOZÁSOK ÁBRÁZOLÁSA

22 FELADAT. A grafikon eg versenautó sebességének változását mutatja, amikor az eg kilométeres vízszintes pála második körét futja. a) Megközelítőleg mekkora a távolság a startvonal és a pála leghosszabb egenes szakaszának kezdőpontja között? A) 0, km C), km B), km D),6 km b) A pála mel pontján mérték a legalacsonabb sebességet a második körben? A) a startvonalnál C) kb., km-nél B) kb. 0,8 km-nél D) a pála felénél c) Mit lehet mondani az autó sebességéről a,6 km és a,8 km közötti szakaszon? A) Az autó sebessége állandó. C) Az autó sebessége csökken. B) Az autó sebessége növekszik. sebesség (km/h) D) Az autó sebességét nem lehet meghatározni a grafikon alapján. d) Az alábbi ábrán öt különböző pála rajza látható. A korábban szereplő sebességgrafikon alapján állapítsd meg, melik pálán haladt a versenautó! ,,, 0 0, 0, 0,6 0,8,0,,,6,8,0,,,6,8,0 startvonal pálán megtett távolság (km) Start Start Start Start A B C Start D E HÁZI FELADAT. A két grafikon eg cég várható kiadásait és bevételeit szemlélteti a legártott termékek számának függvénében. (A vízszintes tengelen 00 darab, a függőleges tengelen ezer forint egségek vannak.) a) Mivel magarázható, hog kisszámú termék esetén a kiadások felülmúlják a bevételeket? b) Mi az a termékszám, aminél a cég nullszaldós, azaz a bevételek pont fedezik a kiadásokat? c) Készíts olan grafikont, amel a cég által termelt profitot szemlélteti a legártott termékek számának függvénében! (Vesz teség esetén a profit negatív érték!) ezer Ft 6 bevétel 8 0 kiadás 00 darab ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

23 . Eg üzletház parkolójában az első két óráért nem kell parkolási díjat fizetni, utána viszont minden megkezdett óráért 00 forintot számolnak fel., A maimális díj csak 00 forint lehet. a) Készítsd el a táblázatot a füzetedbe, és töltsd ki! Parkolási idő (óra),,8, 6 Parkolási díj (Ft) 0 b) Melik grafikon mutatja helesen a parkolásért fizetendő öszszeget? 00 Ft 00 Ft óra óra c) Miért heltelen a másik grafikon? Milen körülmének között lenne az a heles?. A grafikon az acél világpiaci árának alakulását mutatja. Melik igaz, melik hamis az alábbi állítások közül? Válaszodat indokold! a) 00-ben az acél ára év végén alacsonabb volt, mint év elején. b) Az acél ára 00-ben folamatosan csökkent. c) 00-ben folamatosan nőtt az acél ára. d) 00-ban volt a legalacsonabb az acél ára a vizsgált nég évben. e) Az acél tonnánkénti ára mindvégig 00 USA-dollár fölött volt a vizsgált években. f) A 00-es év nagobbik részében az acél tonnánkénti ára 00 USA-dollár fölött volt. USA-dollár tonnánként Az ábrán eg üzletközpont parkolójában fizetendő díjak láthatók. a) Menni a parkolásért fizetendő összeg, ha a parkolási idő A) perc; B), óra; C) óra 0 perc; D) 8 és fél óra? b) Jelenítsd meg grafikonon a parkolásért fizetendő összeget a parkolási idő függvénében! c) Lehet-e a (megszakítás nélküli) parkolásért fizetendő öszszeg 000 forint? d) Menni ideig parkolt (megszakítás nélkül) a jármű, ha a parkolásáért 0 forintot kellett fizetni? P Parkolási idő 0. óra. óra. óra. óra. óra minden további óra Parkolási díj Ingenes 00 Ft 00 Ft 0 Ft 00 Ft 00 Ft. lecke VÁLTOZÁSOK ÁBRÁZOLÁSA

24 Ráadás GRAFIKONOK A MINDENNAPOKBAN CSOPORTMUNKA.. Eg felmérésben véletlenszerűen kiválasztott 0 és 70 év közötti férfi és nő alvással töltött óráinak számát vizsgálták az életkoruk függvénében. Az eredméneket átlagolták, és íg a következő grafikont kapták: a) Az alábbi állítások közül melik mennire pontosan írja le a grafikonon látható jelenséget? alvással töltött idő naponta (óra) A nők többet alszanak, mint a férfiak. 0, 0 A nők kb. 60 éves korukig több órát töltenek naponta alvással, mint a hasonló korú férfiak. 9, 9 A fiatal férfiak általában kevesebbet alszanak, fériak mint a hasonló korú nők. Az idősebb férfiak kevesebbet alszanak, mint a fiatalok. b) Magarázd meg, hogan jelentkezik a grafikonon az a tén, hog 0 és 60 éves koruk 8, 8 7, nők életkor (év) között a férfiak nagjából ugananni időt töltenek naponta alvással! c) Mivel tudnád alátámasztani a következő állítás igazságát? A nők alvással töltött óráinak száma 0 éves korukban jóval erőteljesebben csökken, mint 0 éves korban. Magarországon a személi jövedelemadó 00 mértéke 0 előtt az éves jövedelem nagságától függően ún. többkulcsos rendszerben Ft 8% Ft 000 Ft és a Ft-on felüli rész 6%-a változott. Ez azt jelenti, hog magasabb jövedelmek esetén az adóalap egre nagobb és Ft-tól Ft és a Ft-on felüli rész 8%-a nagobb százalékát kellett adóként megfizetni. 00 Az adókulcsok szerkezetét 00-ben módosították jelentősen, ekkor tértek át a korábbi há Ft 8% Ft-tól Ft és a Ft-on felüli rész 8%-a rom jövedelmi sávról kettőre. a) 00 elején Aran apuka íg beszélgetett eg barátjával: Aran apuka: Én jól jártam ezzel a váltással. Évente forintot keresek, eddig 6%-ot adóztam, most majd csak 8-at fogok, a 8% ennél a fizetésnél Ft megtakarítás. A barátja: Én bezzeg jól megjártam! 00-ben et kerestem eg évben, 00-ben et, ezzel pont átkerültem a 8%-os sávba. Mire levonják az adót, kevesebb marad, mintha nem is emeltek volna. Valójában egiküknek sincs igaza. Számítsd ki, kinek menni adót kellett fizetnie 00-ben, és mennit 00-ben! b) Ábrázold grafikonon az eges években a fizetendő adó menniségét az éves jövedelem függvénében! Hogan olvasható le a grafikonról, hog kik jártak jól a változással? c) Magarázd meg a grafikon alapján, miért nem lehetséges az, hog valakinek 00-ben több adót kelljen fizetnie, mint 00-ben, miközben a jövedelme változatlan maradt! d) Mekkora az az éves adóalap, amelnél a változás a legnagobb különbséget okozta? ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

25 . A grafikon eg bizonos árufajta egségára és az áru iránti kereslet közötti kapcsolatot szemlélteti. egségár 0 menniség (kereslet) Melik kijelentés igaz, és melik hamis? Indokold a válaszaidat! a) Ha nő a termék ára, akkor csökken az áru iránti kereslet. b) Nagobb kereslethez alacsonabb ár tartozik. c) A grafikonon ábrázolt esetben az áru ára és a kereslet egenesen arános. d) A grafikonon ábrázolt esetben az áru ára és a kereslet fordítottan arános. e) Ha az áru ára növekszik a piacon, akkor a fogasztók kevesebbet vesznek ebből a termékből. HÁZI FELADAT. A grafikon eg bizonos árufajta egségára és az áru piaci kínálata közötti kapcsolatot szemlélteti. egségár. Eg alapanagot gártó cég a gártás során felmerülő költségeket a gártott menniség függvénében vizsgálja. Az eredmént grafikonon ábrázolják. 7 millió forint 6 összköltség 0 menniség (kínálat) Melik kijelentés igaz, és melik hamis? Indokold a válaszaidat! a) Ha nő a termék ára, akkor nő az áru piacon felkínált mennisége. b) Alacsonabb árhoz nagobb kínálat tartozik. c) A grafikonon ábrázolt esetben az áru ára és a kínálat egenesen arános. d) A grafikonon ábrázolt esetben az áru ára és a kínálat fordítottan arános. e) Ha az áruért a fogasztók magasabb árat is hajlandóak fizetni, akkor a piacon nő a kínálat az adott áruból. 0 előállítási költség 6 egéb költség menniség (ezer kg) a) Hogan változik az előállítási költség az előállított menniség növekedésével? b) Hogan változik az egéb költség az előállított menniség növekedésével? c) Mekkora előállított menniség esetén a legalacsonabb az összköltség, és menni ez? Menni ebben az esetben az előállítási költség, és menni az egéb költség? d) Mekkora gártott menniség esetén lesz millió forint az összköltség? Miből tevődik ez össze? Ráadás GRAFIKONOK A MINDENNAPOKBAN

26 A FÜGGVÉNY FOGALMA BEVEZETŐ Rajzoljunk be a koordináta-rendszer síkjába 0 olan pontot, amelnek a) a második koordinátája -mal nagobb az elsőnél; b) a második koordinátája az első koordináta abszolút értéke. Válasszuk első koordinátának a,,,,, 0,,,, számokat! Töltsük ki a táblázatokat! a) Első koordináta () 0 Második koordináta () Az alsó sorban lévő számok mind -mal nagobbak a felettük lévő számnál. A megrajzolt 0 pont eg egenesre esik. Ha a pontok első koordinátáját -szel, a második koordinátáját -nal jelöljük, akkor itt minden pontnál: = +. Azt is szoktuk mondani, hog a táblázat felső számaihoz az alattuk lévő számokat rendeljük hozzá. Ennek a jelölése: +. 0 b) Első koordináta () 0 Második koordináta () 0 6 A felső sorban lévő számok alá az abszolút értéküket írtuk. Az ábrán a 0 pont nem esik eg egenesre. Ha a pontok első koordinátáját -szel, a második koordinátáját -nal jelöljük, akkor itt minden pontnál =. Azt is szoktuk mondani, hog a táblázat felső számaihoz az alattuk lévő számokat rendeljük hozzá. Ennek a jelölése:. 0 ELMÉLET Definíció: Adott két nem üres halmaz, A és B. Ha A halmaz minden eleméhez hozzárendeljük a B halmaz pontosan eg elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénnek nevezzük. Az A halmaz a függvén értelmezési tartomána, a B halmaz a függvén képhalmaza. A B halmaz azon elemeinek halmazát, meleket hozzárendeltük valamel értelmezési tartománbeli elemhez, a függvén értékkészletének nevezzük. értelmezési tartomán képhalmaz értékkészlet 6 ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

27 A függvéneket gakran eg-eg betűvel jelöljük. Eg f -fel jelölt függvén értelmezési tartománának a jele: D f, értékkészletének a jele: R f. Ha eg f -fel jelölt függvén esetében D f, akkor az -hez hozzárendelt elemet a függvén helhez tartozó helettesítési értékének nevezzük, és íg jelöljük: f (). A függvén meghatározásakor meg kell adni az értelmezési tartománát, képhalmazát, és valamilen formában a hozzárendelést is. Sokszor ezt úg tesszük, hog megadjuk a hozzárendelés szabálát. Például: Amikor minden egész számhoz az abszolút értékét rendeljük, ezt íg írhatjuk: f : Z " R; 7 vag f : Z " R; f^h= KIDOLGOZOTT FELADAT. A halmazábra eg osztálzenekar összetételét mutatja. a) Mit olvashatunk le az ábráról? b) Hogan változna a hozzárendelés, ha Kati zongorázni is tudna? c) Hogan változna a hozzárendelés, ha Béla nem játszana az egüttesben? Megoldás Andi a) Az ábrán eg függvént adtunk meg. Jelöljük f -fel! Most D f = {Kati, Lajos, Béla, Andi}, R f = {zongora, gitár, dob}. A nilak azt mutatják, hog Andi zongorázik, Kati és Béla gitározik, Lajos pedig dobol. A kapcsolatokat táblázattal is szemléltethetjük: Kati Lajos Béla Andi gitár dob gitár zongora Kati Lajos Béla gitár dob zongora Helettesítési értékekkel leírva: f (Kati) = gitár; f (Lajos) = dob; f (Béla) = gitár; f (Andi) = zongora. Itt a függvént megadhatjuk szavakkal, halmazábrával, a helettesítési értékekkel vag táblázattal is. Grafikont természetesen nem készíthetünk, mert nem számokról van szó. b) Ebben az esetben nem beszélhetünk függvénről, mert Katihoz két értéket (gitár, zongora) rendelünk. A függvén minden esetben egértelmű hozzárendelés, azaz eg értelmezési tartománbeli elemhez egetlen képhalmazbeli elem tartozhat. c) Azért érdekes ez az eset, mert ekkor minden hangszerről el tudjuk dönteni, hog ki játszik rajta. Visszafelé is egértelmű a kapcsolat, azaz függvén lenne az a hozzárendelés is, ha a hangszerhez rendeljük hozzá, hog ki játszik rajta.. Eg függvén minden a) egész számhoz; b) valós számhoz a nála -mal kisebb szám abszolút értékét rendeli hozzá. Mi az értelmezési tartománuk és értékkészletük? Add meg a hozzárendelési szabálukat! Ábrázold a függvéneket koordináta-rendszerben! Megoldás a) D f = Z; R f = N; 7 - b) D g = R; R g = R + 0 (íg jelöljük a nemnegatív valós számokat); 7 -. lecke A FÜGGVÉNY FOGALMA 7

28 Az első f függvén helettesítési értéke például a helen f^h = - =. A második függvén helettesítési értéke például a -, helen g^-, h = -, - =,. Az f függvén pontjait a piros pontok, a g függvén pontjait a zöld grafikon adja. 0 ELMÉLET Megállapodás Ha eg függvén értelmezési tartomána a valós számok halmaza (R), azt nem kötelező kiírni. Ha tehát eg függvén megadásakor csak a hozzárendelési szabált látjuk, akkor ennek a függvénnek az értelmezési tartomána R. FELADAT. Táblázatba foglaljuk, mennibe kerül kg, kg, kg, kg, kg, 6 kg, 7 kg, 8 kg, 9 kg, 0 kg savanú káposzta: b). Tömeg (kg) Ár (forint) 90 Tömeg (kg) Ár (forint) a) Készítsd el a táblázatot a füzetedben, és töltsd ki! b) Ezzel a táblázattal megadtunk eg függvént. Mi ennek az értelmezési tartomána, mi az értékkészlete? c) Készíts a táblázat alapján grafikont! Mit olvashatsz le a grafikonokról? a) 0. c) 0 0 Foltasd az előző feladatot! a) Melik függvénnek mi az értelmezési tartomána? b) Melik függvénnek mi az értékkészlete? c) Melik függvénnek lehet képhalmaza a pozitív számok halmaza? d) Melik függvénnek lehet képhalmaza az egész számok halmaza? e) Készíts táblázatot és halmazábrát a b) grafikon alapján! 8 ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

29 HÁZI FELADAT. Add meg táblázattal is mindkét függvént!. A g-vel jelölt függvén értelmezési tartomána a D g = {; ; 0; ; 6} halmaz, hozzárendelési sza- bála:. a) Töltsd ki a táblázatot a füzetedben! 0 Értelmezési tartomán 0 6 Értékkészlet Megfelelő pont a koordinátarendszerben b) Rajzold meg a függvén grafikonját! c) Add meg az R g halmazt!.. 0 Az f -fel jelölt függvén grafikonja pontból áll. A pontok: ( ; ), (; ), (0; ), (; 0), ( ; ). a) Rajzold meg a függvén grafikonját! b) Add meg a D f és az R f halmazt! c) Menni f (), és menni f ()? d) Melik helhez tartozik az, és melikhez a helettesítési érték? Foglald táblázatba, hán különböző módon lehet sorba állítani tanulót, ha {; ; ; ; ; 6}! Mi az értékkészlete a táblázattal megadott függvénnek?. 6. András és Bence kedvenc szabadidős elfoglaltsága a zenehallgatás, Réka a számítógépes játékokkal szeret legjobban játszani, Nóra könveket olvas, Erzsi pedig úszni szeret. Ábrázold halmazábrával azt a függvént, amel mindenkihez a kedvenc szabadidős elfoglaltságát rendeli hozzá! Add meg a függvént táblázattal is! Kerékpárral állandó sebességgel tekersz. a) Töltsd ki a táblázatot arról, mekkora időre van szükséged az eges távolságok megtételéhez! A füzetedben dolgozz! Távolság (m) Idő (s) 70 b) Ezzel a táblázattal megadtunk eg függvént. Mi ennek az értelmezési tartomána, mi az értékkészlete? c) Készíts a táblázat alapján grafikont! RÁADÁS Az A halmaznak 8 eleme van, a B halmaznak 6. Hán különböző függvén készíthető, amelnek a) értelmezési tartomána A, képhalmaza B; b) értelmezési tartomána B, képhalmaza A?. lecke A FÜGGVÉNY FOGALMA 9

30 6 KÉSZÍTSÜNK GRAFIKONT! KIDOLGOZOTT FELADAT Eg hosszú és unalmas autóbuszos utazás során Gula azt számolgatta, hog milen gorsan mehet a busz. Egszerre figelve az órája másodpercmutatóját és az út mentén feltűnő kilométertáblákat felírogatta az összetartozó értékpárokat, és ebből próbálta megállapítani a busz sebességét. Néhán kilométertáblánál elbambult, íg csak a következő adatokat jegezte fel. A táblázatból azt vette észre, hog érdemes másodpercről percekre kerekíteni, ezzel nem veszít semmit az amúg is kétséges pontosságból. Az íg nert eredméneket Km-tábla Megtett út (km) Idő (mp) eg grafikonon ábrázolta. A pontok eg egenesre esnek, ebből arra következtetett, hog a busz egenletes tempóban (állandó sebességgel) haladt, az eltelt idő és a megtett út egenes arános. a) Mi az összefüggés az eltelt idő és a megtett kilométerek száma között? b) Hogan változik meg a grafikon, ha Gula nem a megtett utat, hanem a kilométertáblán lévő számot ábrázolja az eltelt percek függvénében? Add meg most is az összefüggést a kilométertáblán lévő számok és az eltelt idő között! c) Bár pontosan nem tudta leolvasni, Gula elgondolkozott azon, hol metszheti ez az egenes az tengelt. Megoldás a) A táblázat első két sora alapján hamar megkapta, hog a busz km-t 0 másodperc, azaz perc alatt tett meg, tehát percenként nagjából eg kilométert haladt. (Azt is megállapította, hog a táblázat másik két sorát vizsgálva uganerre az eredménre jut.) Kilométerek száma = percek száma. Ha az eltelt percek számát -szel jelöljük, a megtett kilométerek számát pedig -nal, akkor =. A busz sebessége pedig 60 km, hiszen eg óra, azaz h 0 60 perc alatt 60 km-t tesz meg. idő (perc) b) Gula sehog sem tudott átlátható grafikont készíteni, de azt észrevette, hog az előző egenest 8 egséggel feljebb kellett tolni, azaz 8-nél metszi az tengelt. Ha az eltelt percek számát továbbra is -szel jelöljük, -nal a pedig kilométertáblán szereplő számokat, akkor: = + 8. hel (km) megtett út (km) idő (perc) c) Hamar rájött, hog ez a pont a 0 kilométertáblának felelne meg, ha továbbra is azt feltételezzük, hog a busz eg egenes mentén, állandó sebességgel haladt. Azaz 8 perccel korábbi időponthoz tartozik. Ezt fejezi ki a negatív előjel: = -8. Azt a helet, ahol eg egenes vag más grafikon az tengelt metszi, zérushelnek nevezzük, mert itt lesz éppen 0 a függvénérték. Ennek az egenesnek a -8 a zérushele. 0 ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

31 ELMÉLET Definíció: Eg f függvén értelmezési tartománának azon elemeit, amelekhez a függvén a 0-t rendeli (azaz f() = 0) az f függvén zérusheleinek nevezzük. FELADAT.. Az, hog eg fazék víz menni idő alatt forr fel a tűzhelen, alapvetően a víz menniségétől függ. Megmértük, hog különböző nagságú fazekakat megtöltve meddig tart felforralni a bennük lévő vizet az otthoni gáztűzhelen. Az adatokat a táblázat mutatja. a) Készítsünk grafikont a táblázat alapján! b) Körülbelül menni vizet lehet felforralni ezen a tűzhelen perc alatt? c) Írjunk fel összefüggést a víz mennisége és a felforraláshoz szükséges idő között! d) Körülbelül menni ideig tartana ezen a tűzhelen felforralni, liter vizet? e) Maimum menni vizet szabad a fazékba tölteni, ha perc alatt fel kell forralnunk? Eg tai utasa időnként a taiórára pillantva a következő számokat látta a kijelzőn: a) Ábrázoljuk az összetartozó értékeket grafikonon! b) Hol metszi a grafikon az tengelt? Mit fejez ki ez az érték? c) Mi a kapott függvén zérushele? Vízmenniség (liter) km Idő (perc) 0, 0, 9 9,8 0 Viteldíj (Ft) HÁZI FELADAT. Eg grafikon pontjait táblázattal adtuk meg. Rajzold meg derékszögű koordináta-rendszerben a pontokat, és keress kapcsolatot/összefüggést a grafikon pont jainak első () és második () koordinátái között! a) = d) = b) = e) = c) = f) = + Pont neve A B C D Első () koordinátája 0 Második () koordinátája 0 6. Válaszd ki, a felsoroltak közül melik képlettel jellemezhetjük a grafikon pontjait! Ha segít, foglald táblázatba a pontok koordinátáit! Vigázz, több megoldás van! lecke KÉSZÍTSÜNK GRAFIKONT!

32 . Az. feladatban szereplő díjszabáshoz olan grafikonvázlatot készítettünk, amelik azt mutatja meg, hog eg bizonos összegből hán km-t utazhatunk taival. Válaszd ki a megfelelő grafikont! Miért nem felel meg a többi vázlat? távolság (km) távolság (km) távolság (km) távolság (km) összeg (Ft) összeg (Ft) összeg (Ft) összeg (Ft). Keress kapcsolatot/összefüggést a grafikon pontjainak első () és második () koordinátái között! a) b) c) RÁADÁS A természettudománokban gakran nevezik a grafikont görbének, még akkor is, ha az egenes. Most mutatunk néhán példát, amikor a grafikon valóban eg görbe vonal.. Nedves, csúszós úton különösen fontos a gépkocsik sebességének mérséklése, hiszen ilenkor a gumikerekek kevésbé tapadnak az aszfalton. A táblázat azt mutatja, hog ilen körülmének között, különböző sebességek mellett körülbelül milen hosszú lesz a fékút állóra fékezett blokkolt kerekekkel. Milen összefüggés áll fenn a sebesség Sebesség (km/h) Fékút (m) és a fékút között? Ábrázoljuk az adatokat grafikonon! (Figelem! Ez csak a fékezés utolsó szakasza! A biztonságos megálláshoz ennél hosszabb út kell, hiszen a kocsi azalatt is halad, amíg észleljük az akadált és benomjuk a fékpedált! Ezt a hosszabb utat nevezzük féktávolságnak.) ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

33 Megoldás A grafikonon jól látható, hog ez az összefüggés nem lineá ris, azonban még íg sem különösebben nehéz kitalálni: Fékút = Sebesség, vag Fékút = Sebesség, 0 00 ahol a fékutat méterben, a sebességet pedig km/h-ban mérjük. fékút (m) Ha a sebességet v-vel, a fékutat s-sel jelöljük, akkor s = v vag s = v sebesség (km/h).. Eg nemzetközi tele fon hí vá sokra speciali zá ló dott vállalkozás rek lám já ban az USA-ból Magarországra irá nu ló hívásdíjakra a kö vetkező táblázatot ta lál tuk: a) Ábrázold az adatokat grafikonon! b) Írd fel azt a képletet, amel megadja a fizetendő összeg nagságát a beszélgetési idő függvénében! c) Mennibe kerülne eg hétperces beszélgetés? d) Menni ideig lehetne három dollárért beszélgetni? Keress kapcsolatot/összefüggést a grafikon pontjainak első () és második () koordinátái között! a) b) Beszélgetési idő (perc) Díj ($),70,00 9,0,90, Bence írható DVD-lemezt szeretne venni, erre van 00 Ft-ja. A közeli üzletben ötféle lemezt lehet kapni, ezek egségára 00 Ft, 00 Ft, 00 Ft, 600 Ft és 800 Ft. Melik grafikon szemlélteti Bence lehetséges választásait, ha csak az egik fajtából vásárol, és mind a 00 forintját elkölti? a) b) darabszám egségár darabszám egségár 6. lecke KÉSZÍTSÜNK GRAFIKONT!

34 7 AZ EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A FORDÍTOTT ARÁNYOSSÁG FÜGGVÉNYE KIDOLGOZOTT FELADAT. Magarországon a gépkocsik üzemanag-fogasztását legtöbbször liter/00 km-ben adják meg. Az eges autók fogasztása íg können összehasonlítható. Az üzemben tartás költségének kiszámításánál ez fontos ténező. Tapasztalataink alapján kijelenthetjük, hog állandó fogasztást feltételezve kétszer akkora hosszúságú úton kétszer anni üzemanag fog, háromszor akkora hosszúságú úton háromszor anni stb. Ez azt jelenti, hog az elhasznált üzemanag-menniség és a megtett út egenesen arános, hánadosuk állandó. Ez a hánados az aránossági ténező. Vizsgáljuk táblázattal, képlettel és grafikonnal eg 6 liter/00 km jellemzőjű gépkocsi üzemanag-fogasztását! 0 fogasztás (liter) Megoldás Táblázattal: Megtett út (00 km) () 0, Üzemanag-fogasztás (liter) () 6 8 Képlettel: = 6, ahol jelöli a megtett út hosszát 00 km-ekben mérve, pedig az -hez tartozó, literben mért üzemanag-menniséget. Az = 6 egenlet átírható =6 alakba is. Itt olan egenes aránosságról van szó, amelnek aránossági ténezője A grafikont olan pontok alkotják, ameleknek második koordinátája a pont első koordinátájának éppen a 6-szorosa. Az ilen tulajdonságú pontok eg origón átmenő egenesre illeszkednek. Mivel a megtett út csak nemnegatív szám lehet, ezért a grafikon eg origó kezdőpontú félegenes. Ez a félegenes az 6 ( 0) függvén grafikonja. 0 távolság (00 km) ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

35 FELADAT.. A kék félegenes azt szemlélteti, hán cm az cm oldalú szabálos háromszög kerülete, a rózsaszínű félegenes pedig azt, hog hán cm az cm oldalú négzet kerülete. Olvasd le a grafikonról, a) mekkora az, ha az cm-es oldalú négzet és háromszög kerületének a különbsége cm; b) mennivel nagobb a háromszög oldala, mint a négzeté, ha mindkettőnek cm a kerülete; c) mit jelent az, hog a (0,;,) pont rajta van a kék félegenesen; d) mit jelent az, hog a (0,; ) pont rajta van a rózsaszínű félegenesen! Mindkét félegenes eg-eg függvén grafikonja. Mindkét függvén eg egenes aránosság. Mi ennek a két függvénnek az értelmezési tartomána és az értékkészlete?,,,, 0, 0 0,, ELMÉLET Ha eg függvén értelmezési tartomána valós számokból áll, és a hozzárendelési szabála a alakba írható (a adott valós szám, de a 0), akkor ezt a függvént egenes aránosságnak nevezzük. Ha az egenes aránosság értelmezési tartomána az R halmaz, akkor értékkészlete is az R halmaz, grafikonja pedig eg az origón átmenő egenes. Az egenes egenlete: = a. Ha a > 0, akkor f szigorúan monoton növekedő, a grafikonját alkotó pontok eg emelkedő egenesen helezkednek el. (Az egenes aránosság értelmezési tartomána a valós számok halmazának részhalmaza, ezért a grafikonja nem feltétlenül eg teljes egenes. Ezt szemlélteti a két ábra.) Ha a < 0, akkor f szigorúan monoton fogó, a grafikonját alkotó pontok eg sülledő egenesen helezkednek el. Definíció: Eg f függvén szigorúan monoton növekedő az értelmezési tartománának eg intervallumán, ha az intervallum bármel két elemére teljesül, hog a nagobb elemhez nagobb függvénérték tartozik: esetén f( ) f( ). Definíció: Eg f függvén szigorúan monoton fogó (csökkenő) az értelmezési tartománának eg intervallumán, ha az intervallum bármel két elemére teljesül, hog a nagobb elemhez kisebb függvénérték tartozik: esetén f( ) f( ). Ha függvénértékek között az egenlőség is fennállhat, akkor monoton növekedő, illetve monoton csökkenő függvénekről beszélünk. 7. lecke AZ EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A FORDÍTOTT ARÁNYOSSÁG FÜGGVÉNYE

36 KIDOLGOZOTT FELADAT. Az Egesült Államokban máshog számítják ki, mennire takarékos eg autó. Ott az gallon ( USA gallon = kb.,8 liter) üzemanaggal megtehető mérföldek számát adják meg ( mérföld = kb.,6 km). Az alábbi táblázat néhán tipikus értékre vonatkoztatva megmutatja, hog minek felel meg liter/00 km-ben mérve a mérföld/gallonban megadott fogasztásérték: Fogasztás mérföld gallon -ban () 0 (SUV terepjárók) 8 (nagobb amerikai városi kocsik),7 9, (kisebb európai városi kocsik) liter Fogasztás -ben (),7,8, km Grafikonon ábrázolva: A táblázatból (különösen az első és az utolsó előtti oszlopból) arra következtethetünk, hog itt az összetartozó értékpárok szorzata állandó, mindig 7. A két menniség között tehát fordított aránosság van, az aránossági ténező 7. A grafikont olan pontok alkotják, amelnek első () és második () koordinátája között az = 7 összefüggés áll fenn. A grafikon egenlete írható íg is: = liter/00 km mérföld/gallon ELMÉLET Ha eg függvén értelmezési tartomána 0-tól különböző valós számokból áll, és a hozzárendelési szabála a alakba írható (a valós szám, de a 0), akkor ezt a függvént fordított aránosságnak nevezzük. Ha a fordított aránosság értelmezési tartomána R \ {0}, akkor az értékkészlete is az R \ {0} halmaz, grafikonja pedig eg hiperbola. A hiperbola egenlete: = a. Például (az összetartozó értékek szorzata ) (az összetartozó értékek szorzata ) FELADAT. Ábrázold az a) ; b) 6 ; c) fordított aránosságokat, ha az értelmezési tartomán mindegik esetben R \ {0}! 6 ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

37 Ellenőrizd a Graph program segítségével, hog jók-e a grafikonjaid! HÁZI FELADAT. Menni az ábrázolt egenes aránosságok aránossági ténezője? Fizikaórán Bence eg elzárt levegőbuborék térfogatának (V) és a buborékban lévő levegő nomásának (p) kapcsolatát vizsgálta. Azt tapasztalta, hog az összetartozó térfogat- és nomásértékek szorzata nagon jó közelítéssel minden esetben lett (a mértékegségeket Bence nem jegezte fel). a) Van-e egenes vag fordított aránosság az elzárt levegő nomása és térfogata között? b) Melik grafikont mellékelhette Bence a kísérletről írt jegzőkönvéhez? V V V V 0 0 p p p 0 0 p. Ábrázold közös koordináta-rendszerben azokat az egenes aránosságokat, ameleknek értelmezési tartomána a [0; ] zárt intervallum, hozzárendelési szabáluk pedig,, és! RÁADÁS Eg álló helzetből induló test sebessége másodpercen át egenes aránosság szerint nő s m sebességig, majd fordított aránosság szerint csökkenni kezd. Ábrázold grafikonon a sebességet az idő függvénében! Fogalmazd meg, mit olvashatsz le a test mozgásáról a grafikon alapján! Jellemezd a grafikont a monotonitás szempontjából! Melik pillanatokra igaz, hog a test sebessége, s m? 7. lecke AZ EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A FORDÍTOTT ARÁNYOSSÁG FÜGGVÉNYE 7

38 8 EGYENESEK MEREDEKSÉGE KIDOLGOZOTT FELADAT. Eg robogó üzemanag-fogasztása liter/00 km, eg nagobb motorkerékpáré pedig liter/00 km. Ábrázoljuk a két jármű által felhasznált üzemanag menniségét a megtett út függvénében! (A távolságot 00 km-es egségekben, az elfogasztott üzemanag menniségét literben fejezzük ki!) Megoldás (liter) (00 km) 0 A fogasztást az és az ( 0) egenes aránosságok írják le, grafikonjuk egenlete tehát =, illetve =. Mindkét egenes aránosság grafikonja félegenes. Azt mondjuk, hog az = egenletű egenes meredeksége, az = egenes meredeksége pedig. A nag motorkerékpár grafikonjának egenese meredekebben emelkedik, mint a robogóé. FELADAT. Három izzó energiafogasztását vizsgálták. Az egik izzó másodpercenként 0, joule energiát fogaszt, a második joule energiát, a harmadik, joule energiát, és feltételezhető, hog az energiafogasztásuk egenesen arános az idővel. a) Ábrázold közös koordináta-rendszerben az izzók energiafogasztását az idő függvénében! b) Írd fel a grafikonok egenletét! c) Mekkora a grafikonok egenesének meredeksége? 8 ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

39 KIDOLGOZOTT FELADAT. A két ábrán egenes aránosságokat ábrázoltunk. A bal oldali ábrán látható piros (a) egenes meredeksége, a kék (b) egenesé pedig. Adjuk meg a jobb oldali ábra c, d, e egeneseinek meredekségét! b e d Megoldás Mit mutat eg egenes meredeksége? Azt, hog ha az egenes valamelik pontjából egséget megünk az első tengellel párhuzamosan, pozitív iránba, akkor mennit kell mennünk a második tengellel párhuzamosan, hog újra az egenes eg pontjához jussunk. 0 a 6 A jobb oldali ábrán a kék (d) egenes meredeksége, a zöld egenes (e) meredeksége. 0 c A piros (c) egenesnél a (; ) pont is és az origó is rajta van a piros egenesen, tehát egség jobbra haladáshoz egség emelkedés tartozik. Ez úg lehetséges, hog valójában egség jobbra haladáshoz egség emelkedés tartozik. Tehát a piros egenes meredeksége. Ha eg egenes eg függvén grafikonja, akkor meredeksége m, ha a változó () értékét -gel növelve a függvénérték m-mel változik. FELADAT. a) Add meg az ábrán látható három egenes meredekségét! b) A három egenes mindegike eg-eg függvén képe. Melik függvén hozzárendelési szabálát találod meg az alábbiak között? b a c ; ; ; ; c) Told el a három egenest az tengel mentén egséggel, pozitív iránba! Melik függvének grafikonja a három új egenes? 0 8. lecke EGYENESEK MEREDEKSÉGE 9

40 ELMÉLET Két egenes meredekségét összehasonlítva können látható, hog az egenesek párhuzamosak-e vag sem. Ha két egenes párhuzamos, akkor a két egenes meredeksége egenlő. Az előbbi állítás megfordítása is igaz. Ha két egenes meredeksége egenlő, akkor a két egenes párhuzamos meredekségű egenesek meredekségű egenesek A meredekség jelentését vizsgálhatod GeoGebra programmal is. FELADAT. Állapítsd meg az ábrázolt egenesek meredekségét! a) Vannak-e az egenesek között párhuzamosak? b) Melik egenes meredeksége a negatív? c) Melik egenes meredeksége a legkisebb? f c 7 6 b d a e. a) Eg egenes áthalad a (; ) ponton és az (; ) ponton is. Rajzold meg ezt az egenest, és számold ki a meredekségét! 0 b) Eg egenes áthalad a (; ) ponton, a meredeksége pedig. Rajzold meg ezt az egenest, és állapítsd meg, hog áthalad-e a ( 7; ) ponton! 0 ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

41 HÁZI FELADAT.. a) Ábrázold a következő egenes aránosságokat: (R " R): 7- ; 7- ; 7-! b) Írd fel a grafikonok egenletét! c) Add meg az egenesek meredekségét! Két kisebb edénben víz van. A vizet mindkét edénben addig hűtjük, amíg el nem éri a 0 C hőmérsékletet. Az ábra a hőmérséklet változását mutatja az idő függvénében ( C). edén. edén (perc). a c egenes az S(; 6) ponton, a d egenes pedig a T(; 0) ponton. a) Rajzold meg az egeneseket eg koordinátarendszerben! b) Mekkora az egenesek meredeksége? Táviránítású játékautókat teszteltek. A kocsikat egenes pálán futtatták és azt mérték, mekkora utat tesznek meg akkor, amikor már elérték a végsebességüket. A mérés mindegik esetben 0 másodpercig tartott (m). autó. autó. autó. a) Mekkora volt az eges edénekben a víz hőmérséklete a hűtés kezdetekor? b) Menni a grafikonok egenesének meredeksége? c) Hán fokot hűl az első, illetve a második edénben lévő víz percenként? d) Hán perc alatt hűl C-ot az első, illetve a második edénben lévő víz? e) Melik edénben gorsabb a hűlési folamat? A P(; ) pont rajta van az a, b, c, d egenesek mindegikén. A P ponton kívül az a egenes át meg a Q(0; ) ponton, a b egenes az R(; ) ponton, 0. autó (sec) a) Írd fel mindegik grafikon egenletét! b) Menni a grafikonok egenesének meredeksége? c) Mekkora az eges autók végsebessége m s -ban, illetve km h -ban kifejezve ( m s =,6 km h )? RÁADÁS.. Eg egenesnek ismerjük két pontját: P(; -) és Q(-; -0). Menni az egenes meredeksége? Készíts számítógépes programot, amel két pont koordinátáiból kiszámolja a rajtuk átmenő egenes meredekségét! Figelj arra, hog két pontra nem biztos, hog illeszthető olan egenes, amel eg függvénnek a képe. Ebben az esetben a program azt válaszolja, hog nincs ilen függvén! 8. lecke EGYENESEK MEREDEKSÉGE

42 9 LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK FELADAT. Ábránkon a piros és a kék félegenes azt mutatja, hog hán tallért kell fizetnünk a megtett út hoszszától függően a Kisgáz, illetve a 7 7 fuvarozócég taijába ülve. 0 (tallér) 7 7 Kisgáz 6 7 (km) a) Melik céggel érdemes taizni? (Úg képzeljük, hog sehol sem kell megállnunk, csak a célállomáson.) b) Az alapdíjon felül mekkora a megtett kilométerenként fizetendő díj az egik, illetve a másik cég esetében? c) Mekkora a grafikonok meredeksége? d) Összesen hán tallért kell fizetnünk az egik, illetve a másik cégnél, ha km-t taizunk? Add meg képlettel! e) Számítsd ki a képleteddel, hog mennit mutat a taióra a két cégnél,8 km,,8 km, 6,8 km megtétele után! f) Olvasd le a grafikonról, hog hán km-t taizhatunk tallérért az egik, illetve a másik cégnél! ELMÉLET Definíció: Eg függvént elsőfokú függvénnek nevezünk, ha értelmezési tartomána a valós számok halmaza, és hozzárendelési szabála a + b alakú, ahol a és b adott szám, a 0. Az a + b hozzárendelési szabálú elsőfokú függvén grafikonja olan egenes, amel mindkét koordinátatengelt metszi. Ennek az egenesnek a meredeksége a, az ordinátatengelt pedig a b jelű pontban metszi. Ha a koordináta-rendszer tengeleit az és az betűvel jelöljük, akkor ennek a grafikonnak az egenlete: = a + b. Például Az 0, elsőfokú függvén grafikonja eg olan egenes, amelnek meredeksége 0,, az ordinátatengelt pedig a jelű pontban metszi. Az egenes egenlete: = 0,. 0, 0 Az olan függvéneket, amelek grafikonja eg egenes vag annak eg részhalmaza, lineáris függvéneknek nevezzük. Az a és a b szerepét vizsgálhatod a GeoGebra programmal is. ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

43 FELADAT.. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő elsőfokú függvé neket!, + ; az + és az + Az ábrákon megadott három egenes eg-eg elsőfokú függvén grafikonja. Mi a függvének hozzárendelési szabála? 0 KIDOLGOZOTT FELADAT. Van-e olan elsőfokú függvén, amel a -höz -et, a -hez pedig -öt rendel? Megoldás A függvén grafikonjából két pontot ismerünk: P(; ) és Q(; ). Ez a két pont eg egenest határoz meg. Az a + b hozzárendelési szabálú elsőfokú függvén grafikonja egenes. Az egenes meredeksége a, és az ordinátatengelt b-nél metszi. A grafikonról leolvashatjuk, hog az egenes meredeksége, és az tengelt a - pontban metszi. Az egenlete ezért: = -. A két ismert pontból számolással is megkaphatjuk az egenletet: második koordináták különbsége Meredeksége = = - =. első koordináták különbsége - Miután a meredekséget már kiszámoltuk, akkor az = + b egenletből csak a b-t nem ismerjük. Az adott pontok bármelikének koordinátái azonban behelettesíthetőek az egenletbe. P(; ) pont esetén = és =. Ezeket behelettesítve: = + b. Ebből b = -. A keresett elsőfokú függvén tehát: R " R; 7 -. (Ellenőrzés: = és =.) 7 6 Q P 0 FELADAT. Eg elsőfokú függvén grafikonjának két pontja: A(; ) és B(; ). Add meg a függvén hozzárendelési szabálát! KIDOLGOZOTT FELADAT. A hőmérsékletet a legtöbb országban íg pl. Kanadában is Celsius-fokban ( C) mérik. Az Egesült Államokban és még néhán más országban azonban az úgnevezett Fahrenheit-fokot ( F) használják. Íg aztán a kanadai időjárásjelentésben egészen más számok hangzanak el, mint az egesült államokbeliben, még akkor is, ha a határ két oldalán, egmástól alig néhán km-re fekvő városokról van szó, ahol nilvánvalóan uganolan az idő. 9. lecke LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

44 Például: Kanada ( C) USA ( F) a) Adjuk meg képlettel, milen összefüggés áll fenn a Celsius- és a Fahrenheit-skála között! b) Menni a jég olvadáspontja Fahrenheit-fokban? c) A Fahrenheit-skála egik alappontja eredetileg a 96 F volt. Mi szolgálhatott alapul ehhez az értékhez? Menni Celsius-fokban a 96 F? Megoldás a) Ábrázoljuk az adatokat koordináta-rendszerben: A pontok eg egenesen vannak. Ha tehát eg kanadai hőmérőn C a hőmérséklet, és uganitt, uganekkor eg egesült államokbeli hőmérő F-et mutat, akkor = a + b. Az a meredekséget megállapíthatjuk pl. az első két pont alapján: a = 8 0 = 9, a b tengelmetszet pedig a táblázat alapján pontosan. Íg a keresett képlet: = 9 +, vag beszédes formában: F =9 C b) A jég olvadáspontja: = ( F). c) Az F = 9 C + egenlet átrendezhető a C = (F ) alakba is, íg a két 9 hőmérsékleti skála szerinti bármelik értéket át tudjuk váltani a másikba. A 96 F értéke C-ban: (96 ) 6, ami körülbelül az emberi test hőmérséklete Példánkban a kétféle hőmérsékleti skála kapcsolatát eg olan képlet írja le, amelhez a koordináta-rendszerben eg egenes tartozik. Az egenes latin neve linea. Ennek nomán a kétféle hőmérsékleti skála közötti kapcsolatot lineárisnak nevezzük. FELADAT. a) Fahrenheit fok az a hőmérséklet, amelnél a könvnomó papír tüzet fog és elég. Ha vonalazott papírt tesznek eléd másra írj. (Juan Ramun Jiminez) Az idézet Ra Bradbur Fahrenheit című regénének bevezetője. Hán C-on fog tüzet a könvnomó papír? b) Ha a kanadai időjárás-jelentésben az hangzik el, hog a határ menti településeken 0 C-kal ( C-kal, C-kal) csökken a hőmérséklet, akkor az USA-ban élők hán F-os csökkenésre számíthatnak? HÁZI FELADAT. Add meg eg olan lineáris függvén hozzárendelési szabálát, a) amel a 0-hoz,-et, az -hez,-et rendel; b) amel a 0-hoz 0-et, az -hez 8,-et rendel; c) amel a 0-hoz -t, és az -höz is -t rendel!. Eg elsőfokú függvén grafikonja átmeg a P és a Q ponton. Add meg a függvén hozzárendelési szabálát, ha a) P( ; ) és Q(0; ); b) P( ; ) és Q(; )! ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

45 . Töltsd ki a füzetedben a táblázat üres mezőit, ha f () = és g() = + ( R)! f () Megfelelő pont a grafikonon g() Megfelelő pont a grafikonon 6 ( 6) = ( 6; ) 8 0 (0; ). Van-e olan hőmérséklet, amel F-ben és C-ban mérve is ugananni? RÁADÁS Halmazábrával íg szemléltethetjük a lineáris függvének fajtáit: konstans függvének Lineáris függvének elsőfokú függvének Emeljük ki azokat a lineáris függvéneket, amelek értelmezési tartomána a valós számok halmaza. Ezek grafikonja eg egenes. Táblázatunk megmutatja, mit érdemes megjegeznünk ezekről a speciális esetekről: egenes aránosságok a és b változása a = 0 a 0 és b = 0 a 0 és b 0 A hozzárendelési szabál b a a + b elsőfokú függvén és egenes elsőfokú függvén, nem egenes Milen függvén? konstans függvén aránosság is aránosság A grafikon eg egenes, amel merőleges az tengelre átmeg az origón, de nem az és nem az tengel metszi az és az tengelt is Igaz az is, hog eg koordináta-rendszer minden egenese, amel nem merőleges az tengelre, eg elsőfokú vag eg konstans függvéna grafikonja. Az tengel egenese és a vele párhuzamos egenesek nem függvéngrafikonok. Miért? Mert nem igaz rájuk, hog mindegik pontnak más szám az első koordinátája lecke LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

46 0 ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY BEVEZETŐ Péter eg egenes országúton állandó, km sebességgel biciklizik. Eg óra után h keresztülhalad eg vonalon, amelet eg kerékpáros versen startvonalaként festettek az útburkolatra. Ábrázoljuk grafikonon Péter távolságát a startvonaltól az idő függvénében! Megoldás Péter az első eg órában közeledett a startvonalhoz. Mivel eg óra alatt km-t tekert, km távolról indult, s ez a távolság egenletesen csökkent: fél óra után már csak 7, km volt. óra elteltével a vonaltól mért távolsága 0 km. Ezután megint egenletesen nőtt a távolság. Az indulástól számítva, óra múlva 7, km, óra múlva km, óra múlva 0 km. Foglaljuk táblázatba az adatokat: 0 0 távolság (km) idő (óra) 0 0,, távolság(km) 7, 0 7, 0 Ábrázoljuk grafikonon az adatokat, majd a teljes utazást! 0 0 idő (óra) ELMÉLET Definíció: Eg valós szám abszolút értéke nemnegatív számok esetén maga a szám, negatív számok esetén a szám ellentettje. Jele:, ha $ 0 = ) -, ha 0 KIDOLGOZOTT FELADAT Ábrázoljuk a következő függvéneket: a) f : R " R; 7 ; b) g : R " R; 7 +! Megoldás a) Ábrázoljuk először az 7 függvént a valós számok halmazán! 0 6 ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

47 Az, hog a függvénérték az abszolút értékét vesszük, azt jelenti, hog amikor a függvénérték pozitív vag 0, akkor az értéke nem változik. Ez a grafikonon azt jelenti, hog azon a részen, amikor az 7 függvén grafikonja az tengel fölött van vag éppen metszi azt, akkor 7 grafikonja megegezik vele. b) Uganíg gondoljuk végig g függvén esetében is!. Ábrázoljuk az R " R; 7 + függvént! 0 0 Amikor pedig a függvénérték negatív, akkor az ellentettjét kell vennünk, azaz uganekkora értéket, pozitívban. Ez a grafikonon azt jelenti, hog azon a részen, amikor az 7 függvén grafikonja az tengel alatt van, akkor tükröznünk kell az tengelre.. Amikor a függvénértékek nem negatívak, akkor értékük nem változik. 0. Amikor a függvénértékek negatívak, akkor értékük uganekkora lesz, pozitívban. Tükrözzük a grafikon megfelelő részét az tengelre! 0 0 Az f : R " R; 7 grafikonja tehát: 0. g : R " R; 7 + grafikonja: 0 0. lecke ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 7

48 FELADAT. Ábrázold a következő függvéneket! a) R " R; 7 és R " R; 7 b) R " R; 7 0, + és R " R; 7 0, + ELMÉLET Definíció: Azt a függvént, amel minden valós számhoz az abszolút értékét rendeli, abszolútérték-függvénnek nevezzük. f : R " R; 7 ; Az abszolútérték-függvén értelmezési tartomána a valós számok halmaza, értékkészlete pedig a nem negatív számok halmaza. Ha # 0; akkor a függvén szigorúan monoton csökkenő, ha $ 0; akkor a függvén szigorúan monoton növekvő. Az abszolútérték-függvén = 0 esetén veszi fel az értékkészlet legkisebb elemét, ezt úg mondjuk, hog = 0-ban az abszolútérték-függvénnek minimuma van. 0 Definíció: Eg f függvénnek minimuma van az értelmezési tartomán eg 0 helén, ha a függvén az ott felvett f( 0 ) függvénértéknél sehol sem vesz fel kisebb értéket. Ekkor 0 eg minimumhel, f( 0 ) pedig a függvén minimuma. Definíció: Eg f függvénnek maimuma van az értelmezési tartomán eg 0 helén, ha a függvén az ott felvett f( 0 ) függvénértéknél sehol sem vesz fel nagobb értéket. Ekkor 0 eg maimumhel, f( 0 ) pedig a függvén maimuma. A minimumot és a maimumot szélsőértékeknek is nevezzük. FELADAT. Olvasd le az abszolútérték-függvén grafikonjáról! a) Melik számok abszolút értéke,? b) Melik szám abszolút értéke egenlő a nála -mal nagobb szám abszolút értékével?. Határozd meg, melik függvén grafikonja látható az ábrán! a) b) c).. Ábrázold a függvéneket, majd olvasd le a gra fikonról, hol veszi a függvén a minimumát? a) f : R " R; f ^ h=, + b) g : R " R; g ^ h= - 6 c) h : R " R; h^h= - + a) Ábrázold közös koordináta-rendszerben az alábbi függvéneket! f : R " R; f ^ h= - g : R " R; g ^ h= + 8 b) Olvasd le a metszéspontok koordinátáit! c) Mit fejeznek ki a metszéspontok koordinátái? 0 A hozzárendelések szabálát kétféleképpen is fel lehet írni. Vajon hogan? 8 ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

49 HÁZI FELADAT.. Ábrázold a következő függvéneket! R " R; 7-0, + és R " R; 7-0, + Ábrázold a függvéneket, majd olvasd le a grafikonról, hol veszi a függvén a minimumát? a) f : R " R; f ^ h= + 8 b) g : R " R; g ^ h= --. Határozd meg, melik függvén grafikonja látható az ábrán! a) b) c) 0 RÁADÁS.. Ha ismerjük eg f() függvén grafikonját, akkor hogan készíthetjük el egszerűen az f() - függvén grafikonját? a) Ábrázold közös koordinátarendszerben: R " R; 7 és R " R; 7 -! b) Ábrázold közös koordinátarendszerben: R " R; 7 és R " R; 7 -! Ábrázold a következő függvént! a) R " R; 7 - b) R " R; Határozd meg, melik függvén grafikonja látható az ábrán! 0 0. lecke ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 9

50 FÜGGVÉNYEK JELLEMZÉSE KIDOLGOZOTT FELADAT Az ábrán eg f függvén grafikonját látod. Olvasd le a grafikonról a függvén értelmezési tartománát, növekedési viszonait, szélsőértékeit, zérushelét és értékkészletét! 0 Megoldás A függvén értelmezési tartomána az tengelről olvasható le. Mindazok a számok beletartoznak, amelekhez a függvén rendelt valamit, azaz amelekhez tartozik függvénérték. Ez most eg nílt intervallum: a --hez már nem rendelt értéket a függvén, de a -hez még igen. D f = ]-; ]. A függvén a ]-; ] intervallumon szigorúan monoton csökkenő, majd az [; ] intervallumon szigorúan monoton növekvő. A grafikonról az is látszik, hog van a függvénnek legkisebb és legnagobb értéke. Ezek a függvén szélsőértékei. Minimuma 0; minimumhele ; maimuma 6; maimumhele. A függvén a 0 értéket az = helen veszi fel, ezért zérushele csak eg van: az. Az tengelen olvasható le a függvén értékkészlete. Minden 0 és 6 közötti valós számot felvesz valahol a függvén. A függvén értékkészlete: R f = [0; 6] Érdekessége, hog van azonban olan szám az értékkészletben, amelet több helen is felvesz a függvén. Például f() = -hoz kétféle elem is tartozik az értelmezési tartománból: = -0, és =,. ELMÉLET Definíció: Eg függvén kölcsönösen egértelmű, ha az értelmezési tartomán különböző elemeihez a képhalmaz különböző elemeit rendeli. Az ilen függvén azért is különleges, mert a megfordítása is függvén: az a hozzárendelés, amel az értékkészlet minden eleméhez az ősét rendeli, azt az elemet, amelhez eredetileg hozzárendeltük. Ha eg függvén értelmezési tartomána és értékkészlete számhalmaz, akkor van grafikonja. Akárhol állítunk merőlegest a koordináta-rendszer -tengelére (az abszcissza tengelre), annak legfeljebb eg közös pontja van ezzel a grafikonnal. Ha eg függvén olan, hog a grafikonjának az -tengelre (az ordinátatengelre) állított merőlegesekkel is legfeljebb eg közös pontja van, akkor ez a függvén kölcsönösen egértelmű leképezés. 0 0 kölcsönösen egértelmű leképezés nem kölcsönösen egértelmű leképezés 0 ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

51 FELADAT. Olvasd le a függvének értelmezési tartománát, növekedési viszonait, szélsőértékeit! Melik ezek közül kölcsönösen egértelmű függvén? a) b) c) d) Az f függvén kölcsönösen egértelmű leképezés, értelmezési tartomána pedig a {0; 0; 0; 0; 0} halmaz. Melik halmaz lehet az f értékkészlete az alábbiak közül? a) {0; ; ; ; 9} b) {m} c) { ; ; 0; ; } d) {A; B; C; D} Biztos-e, lehetséges-e, lehetetlen-e, hog az f függvén kölcsönösen egértelmű leképezés, ha a) D f is és R f is elemű halmaz; c) D f is és R f is végtelen halmaz? b) D f 0 elemű és R f 7 elemű halmaz; Adj meg eg-eg olan függvént, amelnek a hozzárendelési szabála, és a függvén a) kölcsönösen egértelmű leképezés; b) nem kölcsönösen egértelmű leképezés!. Jellemezd a függvének növekedési viszonait grafikonjuk alapján! Emlékezz: Ha eg függvén nagobb elemhez nagobb vag egenlő értéket rendel, akkor monoton növekvő; nagobb értéket rendel, akkor szigorúan monoton növekvő; kisebb vag egenlő értéket rendel, akkor monoton csökkenő; kisebb értéket rendel, akkor szigorúan monoton csökkenő az adott intervallumon lecke FÜGGVÉNYEK JELLEMZÉSE

52 6. Döntsd el, melik állítás igaz, ha az f függvén értelmezési tartomána és értékkészlete is számhalmaz! a) Ha az f szigorúan monoton függvén, akkor kölcsönösen egértelmű leképezés. b) Ha az f kölcsönösen egértelmű leképezés, akkor f szigorúan monoton függvén. ELMÉLET A valós számokon értelmezett függvének vizsgálatakor eddig ilen kérdésekre kerestük a választ: Mi a függvén értelmezési tartomána, képhalmaza és hozzárendelési szabála? Mi jellemzi a függvén növekedési viszonait? Vannak-e szélsőértékei? Mel heleken? Vannak-e zérushelei, melek ezek? Kölcsönösen egértelmű-e a függvén? Mi az értékkészlete? Ezt nevezzük függvénvizsgálatnak. Sok olan függvén van azonban, amelek esetén még nem tudjuk a pontos választ minden kérdésre. Vag azért, mert még kevés az ismeretünk, vag azért mert a felsőbb matematika eszközeivel sem lehet pontos választ adni. HÁZI FELADAT. Grafikonja alapján állapítsd meg, melik függvén monoton, és melik nem az! A monoton függvének szigorúan monotonok-e? a) b) Add meg f értékkészletét, és állapítsd meg, igazak-e az alábbi kijelentések! a) f monoton függvén. b) f szigorúan monoton növő függvén. c) f kölcsönösen egértelmű leképezés.. c) d) Az f függvén értelmezési tartomána az {; ; ; } halmaz, hozzárendelési szabála pedig:... Bence eg cm-es rajzlapból a legnagobb térfogatú felül nitott dobozt szeretné elkészíteni. Ha a rajzlap sarkainál cm-es négzeteket vágna le, akkor a doboz térfogata cm lenne. Hajni azt mondta, hog ez biztosan nem a legnagobb térfogatú, mert ő tudna ennél cm -rel nagobb térfoga tút is készíteni. a) Igaza van-e Hajninak? Miért? b) Igaz-e, hog nem lehet cm -nél nagobb térfogatú dobozt készíteni? Hán olan függvén van, amelnek értelmezési tartomána az {; ; } halmaz, értékkészlete pedig az {; ; 9} halmaz? Add meg mindegiket eg-eg táblázattal! Közülük melik kölcsönösen egértelmű leképezés? ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

53 EMELT SZINT ELMÉLET A függvént úg is definiálhatjuk, hog olan rendezett párok nem üres halmaza, amelek első tagja mind különböző. Ha eg függvén kölcsönösen egértelmű leképezés, akkor ebben a rendezett párok második komponense is mind külön böző. Ebben az esetben akkor is függvént kapunk, ha mindegik rendezett párban felcseréljük az első és a második komponenst. Ez a függvén az eredetinek az inverze. Például a {(0,; 0,); (,;,); (; ); (,; 6,); (; 9)} függvén kölcsönösen egértelmű leképezés, mert a rendezett párok első tagja is csupa különböző szám, és a második tagja is csupa különböző szám. Ennek a függvénnek az inverze: {(0,; 0,) (,;,); (; ); (6,;,); (9; )} Definíció: Ha az f : 7 f^h kölcsönösen egértelmű függvén értelmezési tartomána A, értékkészlete pedig B halmaz, akkor azt a függvént, melnek értelmezési tartomána B, értékkészlete pedig A halmaz, és B halmaz minden eleméhez azt az A-beli elemet rendeli, melre f ^ h =, az f függvén inverzének nevezzük. Az inverz függvén jelölése: f -. FELADAT. Adjunk meg eg olan kölcsönösen egértelmű leképezést, amelnek az értelmezési tartomána a természetes számok halmaza, és értékkészlete az egész számok halmaza! Megoldás Írjuk fel növekvő sorrendben a természetes számokat, alájuk pedig a 0-t és utána felváltva a pozitív és a negatív egész számokat, növekedő abszolút értékek szerint: Ha mindegik természetes számhoz hozzárendeljük azt az egész számot, amel a táblázatban alatta van, akkor megkapjuk feladatunknak eg lehetséges megoldását. A hozzárendelési szabált képlettel is felírhatjuk:, ha páros pozitív egész szám, 0, ha =0, +, ha páratlan pozitív egész szám. Feladatunknak más megoldásait is előállíthatjuk. Cseréljük fel például a táblázat alsó sorában a -at és a ( )-et! Ekkor eg másik függvént kapunk, de ez is megfelel a feladatunk követelméneinek. Azzal azonban ne próbálkozzunk, hog a táblázat alsó so rában először felsoroljuk az összes természetes számot és utánuk a negatív egész számokat!... Adj meg olan kölcsönösen egértelmű leképezést, amelnek az értelmezési tartomána a pozitív egész számok halmaza, és értékkészlete a) a negatív egész számok halmaza; b) a természetes számok halmaza; c) az -nél nagobb egész számok halmaza! Igaz-e, hog ha eg függvén szigorúan monoton növekvő, akkor a) van inverze; b) az inverze is szigorúan monoton növekedő? Ábrázold közös koordináta-rendszerben az f függvént és az inverzét, ha D f = {0; ; ; ; ; } és az f hozzárendelési szabála:! Mi az inverz függvén hozzárendelési szabála?. lecke FÜGGVÉNYEK JELLEMZÉSE

54 MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK BEVEZETŐ Szökőkutak kedvelt látváneleme a medence széléről vag közepéről ferdén fellőtt vízsugár. A vízcseppek pálája, ez az érdekes görbe eg parabola. Foglalkozzunk olan függvénekkel, ameleknek grafikonja eg ilen görbe! KIDOLGOZOTT FELADAT. Hog változik a négzet területe, ha az oldalak hosszúságát egre növeljük? Megoldás Ha eg négzet oldala cm-es, akkor a területe cm. Itt az tetszőleges pozitív szám lehet. Tehát a változást az a függvén írja le, amelnek az értelmezési tartomána a pozitív számok halmaza (R + ), hozzárendelési szabála pedig. Jelöljük ezt a függvént f -fel! Adjunk az -nek néhán értéket, készítsünk ehhez a függvénhez táblázatot! Oldalhosszúság ( cm) 0,,,, Terület ( cm ) 0,, 6, 9,. Rajzoljuk meg annak a függvénnek a grafikonját, amel minden számhoz a négzetét rendeli hozzá! Jelöljük ezt a függvént g-vel! Megoldás Azt a függvént kell ábrázolnunk, amelnek az értelmezési tartomána a valós számok halmaza (R), hozzárendelési szabála pedig. Ez eg másodfokú függvén. Az előző és a mostani függvén hozzárendelési sza bála uganaz, értelmezési tartománuk azonban különböző. Az előző feladatban már láttuk, milen ennek a grafikonnak a pozitív számokhoz tartozó része. Készítsünk most olan táblázatot, amelben a 0 és néhán negatív szám szerepel! 0 0,,,, g() = 0 0,, 6, 9, A táblázat alapján megrajzoljuk a grafikon pontját. A pontokat összekötjük. Tengelesen szimmetrikus görbét, eg parabolát kaptunk f g ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

55 ELMÉLET A parabola szimmetriatengelén lévő pontját tengelpontnak nevezzük. Az előző feladat esetében a szimmetriatengel az ordinátatengel, a tengelpont pedig az origó.. Hogan változik a függvén grafikonja, ha az helett az + hozzárendelési szabált alkalmazzuk? Ekkor minden függvénérték -mal nagobb lesz, mint az első esetben. Grafikonon ez azt jelenti, hog a parabolát az tengel mentén felfelé kell tolni egséggel. + ; + ; ; = + ; = + ; = ; = 0. Hogan változik a függvén grafikonja, ha az helett az ( + ) hozzárendelési szabált alkalmazzuk? Ekkor nem az = 0 helen veszi fel a függvén a 0-t, hanem a -vel kisebb számnál, az = - helen. Grafikonon ez azt jelenti, hog a parabolát az tengel mentén balra kell tolni egséggel. ( + ) ; ; ( ) ; ( ) = ( + ) ; = ; = ( ) ; = ( ) 0 Az itt ábrázolt függvének mind másodfokúak. A függvének ábrázolásához a GeoGebra vag a Graph programot is használhatod. FELADAT. Ábrázold és jellemezd a következő függvéneket! a) f : R " R 7 - b) g : R " R 7 ( + ) értelmezési tartomán értékkészlet zérushelek minimum minimumhel növekedési viszonok f g. lecke MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK

56 . Az ábra alapján töltsd ki a táblázatot a füzetedben a másodfokú függvének hozzárendelési szabálával! 6 m h Függvén neve f g h k m Hozzárendelési szabála f k. Ábrázold és jellemezd a következő függvéneket! a) Hogan változik a függvén grafikonja, ha minden számhoz a függvénérték ellentettjét, ( )-szeresét rendeljük? f : R " R 7 - b) Hogan változik a függvén grafikonja, ha minden számhoz a függvénérték kétszeresét rendeljük? g : R " R 7 c) Hogan változik a függvén grafikonja, ha minden számhoz a függvénérték felét rendeljük? g : R " R 7 0 g g h f. a) Melik függvén hozzárendelési szabála az az alábbi ábrán? b) Add meg a másik két másodfokú függvén hozzárendelési szabálát is! 0 HÁZI FELADAT. Az ábra alapján töltsd ki a táblázatot a füzetedben! Függvén neve Hozzárendelési szabála 6 m h f g h k m f k 0 g 6 ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

57 . Ábrázold és jellemezd a következő függvéneket! a) f : R " R 7 f g. b) g : R " R 7 - értelmezési tartomán értékkészlet zérushelek minimum/ maimum Az ábra alapján töltsd ki a táblázatot a füzetedben! minimumhel/ maimumhel növekedési viszonok k h 0 m Függvén neve f g h k m Hozzárendelési szabála 6 7 g f EMELT SZINT.. Ábrázold közös koordináta-rendszerben! Olvasd le a grafikonok metszéspontjait! Mit jelentenek a metszéspontok koordinátái? a) f : R " R; f() = és g : R " R; g() = b) h : R " R; h() = - és k : R " R; k() = + Eg R " R függvénről tudjuk, hog a hozzárendelési szabála " - p, ahol p eg valós számot jelöl. Tudjuk a függvénről azt is, hog grafikonja átmeg a Q(,,) ponton. a) Melik számot jelöli a p? b) Oldd meg a feladatot számítógépes programmal, például a GeoGebra programmal!. Eg kapu alakja lefelé fordított parabola ív. A kaput eg koordináta-rendszerben ábrázoltuk. A kapu magassága 8 m, szélessége az aljánál 8 m. Add meg azt a függvént, amelnek grafikonja a kapu ívét adja!. a) Ábrázold és jellemezd a függvént:, ha $ 0; f : R " R; f ^ h = *, ha 0! b) Ábrázold és jellemezd a függvént: g : R " R; ^ - h, g ^ h = ) - +, ha ha $ ;! 0 8 m 8 m. lecke MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 7

58 SZÉLSŐÉRTÉKEK KIDOLGOZOTT FELADAT. Három függvénnek, az f-nek, a g-nek és a h-nak uganaz a hozzárendelési szabála, de más-más halmaz az értelmezési tartomána: D f = [ ; ], D g = [ ; 0], D h = ] ; ]; f () = g() = h() =. Van-e a függvének értékkészletének legnagobb, illetve legkisebb eleme? Ha van, akkor melik szám az? Megoldás Nagobb számnak nagobb a köbe is, ezért az hozzárendelési szabálú függvének mind szigorúan monoton növekvők f g h Legnagobb érték Legkisebb érték 8 8 nincs 0 f g h Legen D f = D g = D h = [ ; [ és f () =, g() =, h() = 0,. a) Rajzoljuk meg a függvének grafikonját, adjuk meg f, g és h legnagobb és legkisebb értékét (ha van)! Megoldás f 6 g h f g h Legnagobb érték nincs nincs nincs Legkisebb érték, 8 ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

59 b) Rajzoljuk meg az f, g és a h függvén abszolút értékének grafikonját, és keressük meg az f, g, h függvének legnagobb és legkisebb értékét! Megoldás Itt a függvének hozzárendelési szabála:,, 0,. Az új grafikonokat úg kapjuk meg, hog az eredeti grafikonok tengel alatti részét tükrözzük az tengelre, a többi részt pedig a helén hagjuk f g h Legnagobb érték nincs, Legkisebb érték 0 0 nincs Az intervallumon értelmezett függvének ábrázolásához is használható a Graph program. ELMÉLET Eg függvén abszolút értéke azt jelenti, hog az értelmezési tartomán mindegik eleméhez az eredeti helettesítési érték abszolút értékét rendeljük hozzá. FELADAT. Legen D f = [ ; ], D g = [ ; ], D h = ] ; [; f () = g() = h() =. Van-e a függvének értékkészletének legnagobb, illetve legkisebb eleme? Ha van, akkor melik szám az?. Legen D f = D g = D h = [ ; [ és f () = +, g() = +, h() = +. a) Rajzoljuk meg a függvének grafikonját, adjuk meg f, g és h legnagobb és legkisebb értékét, ha van! b) Rajzoljuk meg az f, g és a h függvén abszolút értékének grafikonját, és keressük meg az f, g, h függvének legnagobb és legkisebb értékét, ha van!. lecke SZÉLSŐÉRTÉKEK 9

60 . a) Olvasd le a grafikonokról a függvének legnagobb és legkisebb értékét, ha ezek léteznek! f g h b) Vázold a f, g és h függvének grafikonját, és állapítsd meg e három függvén legnagobb és legkisebb értékét! (A f jelölés azt a függvént adja meg, amel az f értelmezési tartománának mindegik eleméhez az eredeti helettesítési érték ellentettjét rendeli hozzá.) c) Menni az f, g, h függvének legnagobb és legkisebb értéke?. Grafikonjával adtuk meg az f függvént. a) Írd fel az f hozzárendelési szabálát! b) Válaszd ki az f, a f, a f és a f függvén grafikonját a megadottak közül! 0 f 0 a 0 b 0 c d e 0 0 c) Írd fel legalább két ábrázolt függvén hozzárendelési szabálát! HÁZI FELADAT. Legen az f függvén értelmezési tartomána az [; ] zárt intervallum, és f () =. a) Számold ki az f (), f (,8) és f () függvénértékeket! 60 ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

61 b) Ábrázold az f függvént! Állapítsd meg a legnagobb és a legkisebb függvénértéket! c) Rajzold le a g függvén grafikonját, ha D g = [6; 0] és g() =!. Olvasd le a grafikonról a függvének maimumát és minimumát, ha léteznek! 0 0 r r 0 r r r r. a) Rajzold meg az függvén grafikonját, ha az értelmezési tartomána a ] ; ] intervallum! Mekkora a legnagobb és a legkisebb függvénérték? b) Tükrözd a függvén grafikonját az abszcisszatengelre! Melik függvén grafikonját kaptad meg íg? Menni ennek a függvénnek a legnagobb és a legkisebb értéke? RÁADÁS... Az f függvénnek az = - helen minimuma van. Milen valós szám állhat p helén? f : R " R; f ^ h= - p- - A g függvénnek az = - helen minimuma van. Milen valós szám állhat p helén? a) g : R " R; g ^ h = - p b) g : R " R; g ^ h = - p- c) g : R " R; g ^ h= - p- Hánféle lehetőség van? Ábrázoltuk eg f függvén grafikonját. Tekintsük a függvén leszűkítését eg [a; b] intervallumra! Ez azt a függvént jelenti, amel az [a; b] intervallumon van értelmezve, és az intervallum elemeihez uganazt rendeli, mint az eredeti f függvén. h : [a; b] " R; f 7 ^ h 0 Add meg a és b értékét úg, hog egész számok legenek, és a h függvénnek a) maimumhele és minimumhele legen; e) maimumhele és minimumhele legen! b) maimumhele és minimumhele legen; f) Melik kérdések azok, amelekre csak véges számú megoldás van? c) maimumhele és minimumhele legen; g) Határozd meg a függvének hozzárendelési szabálát! d) maimumhele és minimumhele legen;. lecke SZÉLSŐÉRTÉKEK 6

62 NÉGYZETGYÖKFÜGGVÉNY KIDOLGOZOTT FELADAT Ábrázoljuk azt a függvént, amel az m ( 0) területű négzethez hozzárendeli a négzet méterben mért oldalhosszát! Megoldás Az m területű négzet oldala méter hosszúságú, tehát az Néhán esetben táblázatba foglaljuk az összetartozó számokat: ( 0) függvént kell ábrázolnunk. 0 0,, 9 0 0,, Pont a grafikonon (0; 0) (0,; 0,) (; ) (,;,) (; ) (9; ) A grafikon: Szemléletünk és a grafikon is azt mutatja, hog ez a függvén szigorúan monoton növekvő (két négzet közül a nagobb területűnek nagobb az oldala). ELMÉLET Definíció: A nemnegatív valós számok halmazán értelmezett hozzárendelési szabállal megadott függvént négzetgökfüggvénnek nevezzük. Jelöléssel: R + 0 " R;. A négzetgökfüggvén szigorúan monoton növekvő, értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza. A legkisebb függvénérték a 0, legnagobb függvénérték nincs. A négzetgökfüggvén grafikonja eg olan parabolának a fele, amelnek a tengelpontja az origó, tengele pedig az abszcisszatengel. FELADAT. a) A megadott pontok közül melek vannak rajta a négzetgökfüggvén grafikonján? A(; 6), B(; ), C(00; 0), D(0; 0), E( 6; 8), F(,;,), G(,8; 7,) b) Melik nemnegatív számhoz rendel a négzetgökfüggvén 0-t,,8-et,,-et, illetve -t? c) Melik számot rendeli a négzetgökfüggvén a 0-hoz, a,8-hez, az,-hez, illetve a -höz? 6 ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

63 ... Ábrázold és jellemezd a következő függvéneket! a) f : R + 0 " R; f ^ h= + b) g : R + 0 " R; g ^ h= - A négzetgökfüggvént az tengel mentén lefelé toltuk a koordináta-rendszerben. Olan függvénhez jutottunk, amelnek zérushele 9. Menni a függvén minimuma? Ábrázold és jellemezd a következő függvéneket! a) f : R + 0 " R; f ^ h= b) g : R + 0 " R; g ^ h= -. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a két függvént! Keresd meg a grafikonok metszéspontját, olvasd le a koordinátáit! f : R + 0 " R; f ^ h = + és g : R + 0 " R; g ^ h= - a) Behelettesítéssel ellenőrizd, hog a leolvasott koordinátákkal megadott pont rajta van-e mindkét grafikonon! b) Mondj olan egenletet, amelnek megoldása a metszéspont első koordinátája! Mit mutat meg a második koordináta? HÁZI FELADAT. Grafikonon ábrázoltunk két függvént! Melek ezek? f. Ábrázold a függvén grafikonját, majd olvasd le a választ! f : R + 0 " R; f ^ h= Melik az a szám, amel a) négzetgökének kétszerese 6; b) négzetgökének kétszerese egenlő magával a számmal! 0 g. Ábrázold és jellemezd a következő függvént! f : R + 0 " R; f ^ h= RÁADÁS.... Ábrázold és jellemezd a következő függvéneket! R " R; 7 és R " R; 7 Ábrázold és jellemezd a következő függvént! f : R + 0 " R; f ^ h= - - A következő függvén esetén b olan valós számot jelöl, hog a függvén grafikonja nem szakad két részre, hanem eg foltonos vonal. Menni b értéke? ^ +, h, ha # 0 h : R " R; h^h = ) - + b, ha 0 Ábrázold és jellemezd a következő függvéneket! a) f : R " R; f ^ h = b) g : R " R; g ^ h= + +. lecke NÉGYZETGYÖKFÜGGVÉNY 6

64 A MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNY SZÉLSŐÉRTÉKE KIDOLGOZOTT FELADAT Állapítsuk meg az f függvén zérusheleit, rajzoljuk meg a grafikonját, és határozzuk meg az értékkészletét, ha f értelmezési tartomána a valós számok halmaza, és f () = ( + ) ( )! Megoldás f () = ( + ) ( ) = 0, ha + = 0 vag = 0. + = 0, ha = ; = 0, ha =. A zérushelek tehát a és a. A grafikon megrajzolásához készítsünk táblázatot! zérushel 0 zérushel f () 0 0 Pont a grafikonon ( ; ) ( ; 0) (0; ) (; ) (; ) (; 0) (; ) A grafikon: A függvén értékkészlete a ( )-nél nem kisebb valós számok halmaza (jelölése: [ ; + [). A parabola szimmetriatengele éppen a két zérushelet jelző pont között középen metszi az tengelt. f 0 ELMÉLET A másodfokú függvének grafikonja parabola. Ha a parabola felfelé nitott, akkor a függvénnek minimuma van, ha lefelé nitott, akkor maimuma. A parabola szélsőértékének megfelelő pont rajta van a parabola szimmetriatengelén. Ezért ha ismerjük, hog a szimmetriatengel hol metszi az tengelt, akkor ez lesz a szélsőérték hele, s a függvén ezen a helen felvett értéke pedig a szélsőérték. Ha a parabolának van két különböző zérushele: és, akkor a másodfokú függvén szélsőértékének hele: +. A szélsőértéket megkapjuk, ha ezt behelettesítjük a hozzárendelés képletébe. minimumhel minimum FELADAT. Határozd meg a valós számok halmazán értelmezett f, g és h függvén zérusheleit és értékkészletét, ha f () = 9, g() = 6, és h() = +! 6 ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

65 .. Állapítsd meg a g függvén zérusheleit, rajzold meg a grafikonját, ha értelmezési tartomána a valós számok halmaza, és g() = ( )! Add meg a g értékkészletét is! A Földön 9,8 m s a gravitációs gorsulás nagsága, de az IM nevű bolgón csak m. Kiszámították, hog ha ezen s a bolgón 6 m sebességgel függőlegesen fellövünk eg lövedéket, és az másodperc múlva méter magasan lesz, s akkor = 6. a) Töltsd ki a táblázatot a füzetedben! 0,, 6 b) A táblázat alapján grafikont készítettünk a lövedék helzetéről a [0; 6] intervallumban. Válaszd ki az alábbiak közül a megfelelőt! A) B) C) c) Menni idő alatt érkezik vissza a kilövés helére a lövedék? d) Milen magasra emelkedik a lövedék? e) A kilövéstől számítva mikor lesz méter magasságban a lövedék? Az f másodfokú függvén értelmezési tartomána a valós számok halmaza. f () = (6 ). a) Add meg a függvén zérusheleit! b) Rajzold meg az f grafikonját! c) Add meg az f értékkészletét! d) Oldd meg az f grafikonjának felhasználásával az (6 ) = 8 egenletet! Határozd meg a következő függvének szélsőértékhelét és szélsőértékét! Melik függvénnek van minimuma, meliknek maimuma? a) R " R; 7 ( - ) ( + ) b) R " R; 7 ( - ) ( - 0) HÁZI FELADAT.. Állapítsd meg a g függvén zérusheleit, rajzold meg a grafikonját, ha értelmezési tartomána a valós számok halmaza, és g() = ( + )! Add meg a g értékkészletét is! Add meg a következő függvének zérusheleit! a) Négzetgökfüggvén b) e) 9 c) + f) ( +,8) (,8) d).. Határozd meg a következő függvén minimumhelét és minimumát! R " R; 7 ( - ) ( + 8) Ábrázold a következő függvéneket koordinátarendszerben, majd olvasd le az értékkészletüket és a zérusheleiket (ha vannak): a) D f = {0; ;, 9} b) D g = R \ {0} g() = c) D f = ], ] f()=. lecke A MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNY SZÉLSŐÉRTÉKE 6

66 6 GYAKORLATI FELADATOK KIDOLGOZOTT FELADAT Eg díszdoboz alsó részének elkészítéséhez eg cm hosszú, 0 cm széles kartonlapból válút készítünk úg, hog a két szélét derékszögben felhajtjuk. Milen széles részt hajtsunk fel, hog a válú keresztmetszetének a területe a lehető legnagobb legen? cm 0 cm 0 cm cm cm cm 0 cm cm cm cm 0 cm Megoldás A keresztmetszet olan téglalap, amelnek az oldalai cm és (0 ) cm hosszúak, ezért a területe (0 ) cm. Az eg -nél kisebb pozitív szám lehet. Ábrázoljuk az R, (0 ) függvént, vizsgáljuk meg, hol veszi fel a legnagobb értékét a ]0; [ intervallumon! Ez eg másodfokú függvén (hiszen a hozzárendelési szabála 0 alakban is megadható, és ez másodfokú kifejezés). A grafikonja lefelé nitott parabola. Hol metszi a parabola az tengelt? (0 ) = 0, ha = 0, illetve ha 0 = 0, vagis ha =. Azt látjuk, hog a függvénünk zérushelei 0 és, a parabola tengele pedig ezek között középen,,-nél metszi az tengelt. Éppen ez a szám a tengelpont első koordinátája. Itt a legnagobb a függvén értéke, vagis a válú keresztmetszetének a területe. Tehát a 0 cm-es oldalból kétfelől eg-eg, cm-es darabot kell felhajtanunk, hog a legnagobb keresztmetszetű válú keletkezzen. Mekkora ekkor a keresztmetszet területe? Ha =,, akkor 0 = 0 =, a téglalap területe pedig, =, (cm ) , 0,,,,, 66 ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

67 FELADAT... Ravaszdi úr alkalmi munkást keres eg munka elvégzésére. Azt mondja Okos Tóninak, hog ha óra alatt sikerül elvégeznie a munkát, akkor (6 ) tallér órabért fizet neki (ha óra alatt sem végez, akkor fizetség nélkül kell távoznia). a) Menni órabér és mekkora fizetség járna akkor, ha Tóni 0, óra alatt elvégezné a munkát? És ha óra alatt végezné csak el? Okos Tóni eg kis ideig gondolkodott, majd rájött, hogan lehet a lehető legnagobb összeget felvenni a munka elvégzéséért. b) Menni idő alatt végzett Tóni, ha valóban a legnagobb összeget vette fel? c) Mekkora összeget kapott ekkor? Szilveszter este eg. emeleti erkélről (kb. m magasból) kilövünk eg tűzijátékot. A fizikai törvének szerint, ha a kilövéstől számítva másodperc telt el, és ekkor a rakéta az erkél szintjétől számítva méter magasságban van, akkor = ( ). a) A kilövéstől számítva menni idő alatt esik vissza a rakéta az erkél szintjére? b) Mekkora magasságig emelkedik a rakéta az erkél szintjéhez viszonítva? c) A kilövéstől számítva menni idő múlva esik le a rakéta a földre? A Spedor nevű fuvarozócég a következő képlettel számítja ki a szállítási díjat eg teherautó igénbevétele esetén: f () =, + 8. A képletben jelöli a szállítás során megtett utat km-ben ( 0), f () pedig az érte fizetendő összeget tallérban. a) Hán tallérba kerül a szállítás km távolságra [azaz menni az f ()]? b) Menni a kiállási díj (amit a megrendelőnek akkor is meg kell fizetnie, ha végül nem veszi igénbe a szolgáltatást)? c) Hán km-t számlázott a Spedor, ha tallért kellett fizetnünk? d) Ábrázold az f :, + 8, 0 függvént! e) A Padlógáz nevű konkurens szállítócég íg adja meg az ajánlatát: eg teherautó igénbevétele esetén, ha km a megtett út, akkor az érte fizetendő összeg tallér. Mekkora távolságok esetén kedvezőbb a Padlógáz ajánlata?.. A(0; 7), B(7; 0), és a P pont az AB szakasz pontja A P B a) Írd fel azt a hozzárendelési szabált, amellel a zöld grafikon pontjait jellemezhetjük! b) Ha P első koordinátája, akkor a második koordinátája az a) pontban talált szabállal felírható. Írd fel ekkor a rózsaszín téglalap területét! c) Melek a P koordinátái, ha a színezett téglalap területe a lehető legnagobb? Mekkora ez a terület? A grafikon eg bankszámlán lévő összeg alakulását mutatja az idő függvénében P (ezer Ft) 0 t (hét) a) Mekkora a hetenkénti növekedés az utolsó szakaszban? b) Mi az itt szereplő függvén értelmezési tartomána, értékkészlete és hozzárendelési szabála? c) Lineáris-e a bankszámlán lévő összeg és a számlára helezés óta eltelt idő kapcsolata? 6. lecke GYAKORLATI FELADATOK 67

68 HÁZI FELADAT. Eg vidámparkban különösen kedvelt a sárkánrepülő. Két cimbora közül az egik menetért és a belépőért fizetett összesen 600 forintot, a másik 8 menetért és a belépőért összesen 80 forintot. a) Menni eg menet ára, és menni a belépődíj? b) Add meg a menetszám összköltség összefüggést! c) Mennit kellene fizetnünk 8 menetért? d) Hán menetre lenne elég 000 forint? e) Igaz-e, hog a menetszám és az összköltség kapcsolata lineáris?. Ha eg méter hosszúságú vékon fonálra eg kisméretű (de elég súlos ) fémdarabot kötünk, és ezt az ingát lengésbe hozzuk, akkor eg teljes lengés ideje nagon jó közelítéssel másodperc lesz.. Eg tartálban a töltőanag mennisége az időnek lineáris függvéne. Ha a gártási folamat kezdetétől eltelt idő óra, akkor a töltőanag mennisége kilogramm. A kettő közötti kapcsolat: = 00,. Jelenítsd meg koordináta-rendszerben a kapcso latot! a) Hán kilogramm töltőanag fog óránként? b) Menni idő alatt ürül ki a tartál? c) A gártási folamat indulása után menni idővel lesz a tartálban levő töltőanag mennisége 0 kilogramm? (Eg teljes lengés történik például akkor, ha az inga a szélső helzetéből uganebbe a szélső helzetbe tér vissza.) a) Készítsd el az ( 0) függvén grafikonját! b) Mekkora annak az ingának a hossza, amelnél eg teljes lengés másodpercig (0, másodpercig, másodpercig, másodpercig) tart? c) Mekkora az 0 cm hosszú inga lengésideje? d) Bence azt mondja, hog most már ő is tudja, hogan lehet eg vékon fonál hosszát stopperórával megmérni. Te is tudod?. Viliék eg téglalap alakú baromfiudvart akarnak elkeríteni m hosszú drótkerítéssel. A baromfiudvar egik oldala a hátsó kőkerítéshez támaszkodik. Mekkorák legenek a téglalap oldalai, hog a baromfiudvar a lehető legnagobb legen? 68 ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

69 RÁADÁS Postai díjszabás Zedországban a postai díjak a küldemének tömegétől függnek a mellékelt táblázat szerint: Tömeg (egész grammra kerekítve) Díj 0 g-ig 0,6 zed g 0 g 0,69 zed g 00 g,0 zed 0 g 00 g,7 zed 0 g 0 g, zed g 00 g, zed 0 g 000 g,0 zed 00 g 000 g,7 zed 00 g 000 g,0 zed a) Az alábbi grafikonok közül melik mutatja legjobban a postai díjszabást Zedországban? (A vízszintes tengelen a tömeg grammokban, a függőleges tengelen a díj zedben van ábrázolva.) A) C) B) D) b) Gurka két levelet akar küldeni (Zedországból) eg barátjának. A levelek tömege 0 g, illetve 80 g. A zedországi postai díjszabás alapján döntsd el, melik esetben kell kevesebbet fizetnie Gurkának: ha eg borítékban adja postára a két levelet, vag ha külön-külön adja postára őket! Támaszd alá számolással az állításodat! c) Illeszkednek-e az A) jelű grafikon pontjai az =0, egenletű görbére (a vízszintes tengelt -szel, a függőlegeset -nal jelölve)? 6. lecke GYAKORLATI FELADATOK 69

70 7 ABSZOLÚT ÉRTÉKES EGYENLETEK I. KIDOLGOZOTT FELADAT. Lajos kerékpárversenző. Napi edzése részeként a -ös kilométertáblánál álló házától állandó ( 0 km h ) sebességgel elkarikázik a megeszékhelig, ahol a kilométertáblák számozása kezdődik. Innen rögtön visszafordulva uganakkora sebességgel hazahajt. A mellékelt grafikon megmutatja, hog Lajos az edzése melik pillanatában mekkora távolságra volt a megeszékheltől. Az időpontokat az tengelről, a távolságokat az tengelről olvashatjuk le. A grafikon egenlete: = 0. Megjegzés: grafikus úton megoldottuk az 0 = egenletet ,,, ,,, a) Mikor hajt el Lajos a -ös kilométertábla mellett? b) Lajossal eg időben a barátja, Tibor is elindul eg kempingbiciklivel. Ő az -ös kilométertáblától indulva a megeszékhellel ellentétes iránban, 0 km sebességgel halad. Mikor és hol találkozik h Tibor Lajossal? Megoldás a) A második grafikonról leolvasható, hog Lajos odafelé 0 0 = órakor (vagis a 0. percben), visszafelé pedig, + 0 = 7 órakor (vagis a. óra 0. percében) halad el a -ös tábla mellett. b) Az alsó koordináta-rendszerben ábrázoltuk azt a függvént is, amel a kempingkerékpár helzetét írja le. Ennek a hozzárendelési szabála: 0 +. A két grafikon két helen metszi egmást, tehát kétszer fognak találkozni. Először indulásuk után órával (ekkor Lajos a városközpont felé halad), a -ös táblánál, aztán pedig indulásuk után, órával, a 0-as táblánál (ekkor Lajos már hazafelé kerékpározik). Megjegzés: grafikus úton megoldottuk az 0 = 0 + egenletet ,,, 70 ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

71 . Melik számot jelölheti az, ha + = 8? Megoldás Első (algebrai) módszer Két olan szám van, amelnek az abszolút értéke 8: a 8 és a 8. Ezért + = 8 vag + = 8. Az első egenletből = 6, vagis =, a második egenletből = 0, vagis = 0 =. Tehát az két különböző számot jelenthet: a -t vag a -ot. Második (grafikus) módszer Rajzoljuk meg az + függvén grafikonját, és olvassuk le, melik számhoz rendeli ez a függvén a 8 értéket! Először az + elsőfokú függvént ábrázoljuk: Ezután a grafikonnak az tengel alatti részét az tengelre tükrözzük. Íg kapjuk az + függvén grafikonját. Ez a kék, V betűhöz hasonlító ponthalmaz. Uganitt megrajzoltuk az 8 függvén grafikonját, a piros egenest. A két grafikon metszéspontjainak első koordinátái adják meg az + = 8 egenlet gökeit Az ábráról természetesen csak közelítőleg olvashatjuk le a és a számot. Behelettesítéssel ellenőrizhetjük, megkaptuk-e az egenlet gökeit. Ha =, akkor + = 6 + = 8, tehát a göke az adott egenletnek. Ha =, akkor + = 0 + = 8, tehát a is göke az adott egenletnek. A grafikon jól mutatja, hog az más számot nem jelölhet. Egenlet megoldásához használhatók a függvénábrázoló programok is. FELADAT.. Oldd meg a következő abszolút értékes egenleteket ( R)! a) + = b) + =, c) + = 0 d) + =,8 Írj fel eg-eg olan egenletet, amelnek a megoldása leolvasható a megadott grafikonról! Behelettesítéssel ellenőrizd, hog a leolvasott számok valóban megoldások! a) b) c) lecke ABSZOLÚT ÉRTÉKES EGYENLETEK I. 7

72 KIDOLGOZOTT FELADAT. Oldjuk meg grafikus úton az + = 0, és az + = 0, + egenletet ( R)! Megoldás Az előző feladat megoldása során már megrajzoltuk az + függvén grafikonját. Most berajzoljuk uganabba a koordináta-rendszerbe az 0, és az 0, + elsőfokú függvén grafikonját is. Az első egenesnek nincs közös pontja az + függvén grafikonjával. Ez azt jelenti, hog az + = 0, egenletnek nincs göke. A második egenesnek közös pontja van az + függvén grafikonjával. Ez azt jelenti, hog az + = 0, + egenletnek göke van, e közös pontoknak az első koordinátája: és,. Az ábráról csak közelítőleg olvashatjuk le a metszéspontok első koordinátáit. Hog pontosan ezek a gökök, azt behelettesítéssel ellenőrizhetjük: Ha =, akkor + = 6 + = és 0, + = + =, vagis a göke az egenletnek; ha =,, akkor + =,6 + =,6 és 0, + = 0,6 + =,6, vagis az, is göke az egenletnek. A grafikonról leolvashatjuk, hog egenletünknek több göke nem lehet , 0, FELADAT... Oldd meg a következő abszolút értékes egenleteket ( R)! a) 6 = b) 6 = c) 6 = + 6 d) 6 = Oldd meg grafikusan a következő egenleteket (! R)! Behelettesítéssel ellenőrizd a megoldásokat! a), - = - + b) 9 - = 8, - Oldd meg grafikusan az alábbi egenleteket ( R)! a) = b) = c) = ( ) d) = + 6 HÁZI FELADAT. Írj fel eg-eg olan egenletet, amelnek a megoldása leolvasható a megadott grafikonokról! Behelettesítéssel ellenőrizd, hog a leolvasott számok valóban megoldások-e! a) b) c) ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

73 . Oldd meg a következő egenleteket ( R)! a),7 =, c) 70, + = 0,8 b),7 =,7 d) + 9 = 0. Megoldásaidat függvénábrázoló programmal is ellenőrizheted. Oldd meg grafikusan az alábbi egenleteket ( R)! a) = + c) = b) = d) = + RÁADÁS Vizsgáljuk meg, hog az a értékének más-más megválasztása esetén hán göke van a + = + a egenletnek! Adjunk az a-nak több értéket! Ábrázoljuk az + a elsőfokú függvéneket az + függvénnel közös koordináta-rendszerben! Látjuk, hog ha a =, akkor az egenesnek közös pontja van az + függvén grafikonjával, vagis az + = + egenletnek eg göke van, a ; ha a >, vagis ha a piros egenest feljebb toljuk, akkor az új egenesnek közös pontja van az + függvén grafikonjával, vagis az + = + a egenletnek két göke van; ha a <, vagis ha a piros egenest lejjebb toljuk, akkor az új egenesnek nincs közös pontja az + függvén grafikonjával, vagis az + = + a egenletnek nincs göke. FELADAT.. A p paraméter eg valós szám. Menni p értéke, ha a + p =, -, egenletnek a) nincs megoldása; b) pontosan eg megoldása van; c) két megoldása van? Ábrázold a következő függvén grafikonját!, ha 0 # a) f : [0; ] " R; f ^ h = ) f ^ - h, ha $ b) g : [0; ] " R; g() =, ha 0 # ; és g( + ) = g() + ; ha 0 # # 7. lecke ABSZOLÚT ÉRTÉKES EGYENLETEK I. 7

74 8 GYAKORLÁS; TUDÁSPRÓBA FELADAT.. Eg napilapban találtuk ezt a grafikont: Közvetlen családtagjain kívül hán olan ismerőse van, akitől szükség esetén komolabb segítséget kérhet? (000 válasz alapján, százalékban kifejezve) eg sincs dec dec eg kettő három nég öt hat vag több,8, átlag a) Mit állapíthatsz meg ezekből az adatokból? b) Készíts másféle grafikont ehhez a problémához! Eg dobókockával 0-szer dobtunk, és a következő eredméneket kaptuk: 6,,,,,,,,,,,,, 6,,,,,,, 6,,, 6,,,,,,, 6,,, 6,, 6,,,,,,,, 6,,,,,,. a) Készíts gakorisági táblázatot! b) Ábrázold a gakoriságokat oszlop- és körgrafikonon! c) Melik szám a módusz, és melik a medián? (Válaszodat indokold meg!) d) Menni a módusz dobásának a relatív gakorisága? e) Menni a dobott pontok átlaga? Eg elsőfokú függvén grafikonja olan egenes, amel áthalad a (0; ) ponton, és a meredeksége. Az alább felsoroltak közül melik a függvén hozzárendelési szabála? a) + c) b) d) Add meg azt a függvént, amelnek grafikonja az az egenes, amel áthalad a P(-;-) és Q(; ) pontokon! Ábrázold a következő függvéneket! Add meg az értékkészletüket, a zérusheleiket, a legnagobb és a legkisebb függ vén értéküket, ha ezek léteznek! Jellemezd a növekedési viszonaikat! a) [0; ], + b) ] ; [, 8 c) [ ; + [, Közülük melik elsőfokú függvén, melik egenes aránosság? Az f függvén értelmezési tartomána a [ ; 6[ intervallum, hozzárendelési szabála:. Rajzold meg az f grafikonját, sorold fel néhán tulajdonságát (legnagobb függvénérték, legkisebb függvénérték, értékkészlet, zérushel, növekedő, csökkenő, monoton)! 7. Olvasd le a grafikonjukkal megadott függvének értelmezési tartománát, legnagobb és legkisebb értékét (ha van!), értékkészletét, zérusheleit! ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

75 TUDÁSPRÓBA. A grafikon eg osztál matematikadolgozatának eredméneit szemlélteti. Menni lett a jegek átlaga? Értékkészletének eleme a 0. Ha zérushele, akkor is zérushele.. darabszám a) A megadott egenesek közül melik egen lete az = +? b) Melik lehet egenes aránosság grafikonja? 8 A 7 6 B C érdemjeg 6 8 D. Eg kisebb foló vízállását órán keresztül folamatosan mérték, majd grafikonon ábrázolták.,,,,, 0, (méter) 0 0 (óra) a) Ezen a folón a harmadfokú árvízvédelmi készültséget akkor rendelik el, ha a vízállás eléri a, métert. Mikor rendelték el, illetve mikor szüntették meg a harmadfokú készültséget? b) Óránként hán méterrel nőtt a vízszint, amikor a növekedés sebessége a legnagobb volt? c) Óránként hán méterrel változott a vízszint, amikor a változás (növekedés vag csökkenés) a leggorsabb volt?.. c) Add meg a többi grafikon egenletét is! Eg f lineáris függvénről tudjuk, hog értelmezési tartomána a valós számok halmaza, f(-) =, és f() = -. a) Ábrázold a függvén grafikonját! b) Add meg a függvén hozzárendelési szabálát! c) Ábrázold és jellemezd az f függvént! Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvéneket! f : R " R; f() = - és g : R " R; g() = ( - ) Melik függvénre igazak a kövezkező állítások: f-re, g-re, mindkettőre vag egikre sem? A negatív számok halmazán szigorúan monoton csökkenő. A pozitív számok halmazán monoton nővekvő. Az = - helen minimuma van. Az =, helen az értéke,. 6. Eg újszülött koala kb. cm hosszú. Az ezt követő év alatt havonta átlagosan, cm-t növekedve fejlődik ki teljesen. a) Add meg azt a függvént, amel a koala hosszát a születése óta eltelt hónapok számának függvénében írja le! b) Milen hosszú eg éves koala? c) Menni idősen lesz 0 cm hosszú? 8. lecke GYAKORLÁS; TUDÁSPRÓBA 7

76 TÉMAZÁRÓ FELADATGYŰJTEMÉNY. Eg felmérés során 000 véletlenszerűen kiválasztott embert kérdeztek meg arról, hog milen közlekedési eszközzel jár reggelente munkába. A válaszok számát a táblázat mutatja: Galog 7. Ábrázold a következő függvének grafikonját! a) {-; -0,; 0,; ; } " R; 7 + b) [-; ] " R; 7 + c) ]-; ] " R; 7 + d) R + " R; 7 +. Kerékpár, motorkerékpár 7 Autó Tömegközlekedés 7 a) Számítsd ki az adatok relatív gakoriságát! b) Ábrázold a megoszlást kördiagramon! Eg pontos matematika dolgozatban a következő pontszámok születtek: Pontszám Gakoriság a) Ábrázold oszlopdiagramon az adatokat! b) Készíts táblázatot a relatív gakoriságokról! c) Számítsd ki a pontszámok átlagát az osztálközepek segítségével! Add meg az elsőfokú függvént, ha a) grafikonjának meredeksége és az tengelt --nél metszi; b) grafikonjának meredeksége - és az tengelt -nél metszi! Add meg az elsőfokú függvént, ha a) grafikonjának meredeksége - és egik pontja P(; ); b) grafikonjának meredeksége, és egik pontja P(,; )! Add meg az elsőfokú függvént, ha a) grafikonjának két pontja P(; ) és Q(7; ); b) grafikonjának két pontja P(-8; -) és Q(6; )! Ha eg nolcoldalú dobó-oktaéderrel dobunk, az eredmén eg és 8 közötti egész szám. Eg dobássorozat:,,, 6,,, 7, 8, 7,,,,,, 8. Határozd meg a dobások átlagát, móduszát, mediánját! szám módusza, átlaga. Hozzávettünk még eg számot, íg az átlag -re növekedett. Melik számot tettük a számsokasághoz? Mit mondhatunk az új számsokaság móduszáról? Adott két halmaz: Hán különböző függvén van, amelnek a) értelmezési tartomána A és képhalmaza B; b) értelmezési tartomána B és képhalmaza A; c) értelmezési tartomána A és értékkészlete B; d) értelmezési tartomána B és értékkészlete A? Ábrázold a következő függvének grafikonját! a) f : {-; -0,; 0,; ; } " R; f() = b) g : {-; -0,; 0,; ; } " R; g() =.... Add meg az elsőfokú függvént, ha a) grafikonjának két pontja P(0; ) és Q(7; ); b) grafikonjának két pontja P(-; -9) és Q(6; 9)! Menni Fahrenheit-fokban mérve a) a glicerin fagáspontja (8 C); b) az etanol forráspontja (78, C)? Eg f elsőfokú függvénről tudjuk, hog f(-) = 0 és f() = 8. Add meg a függvén hozzárendelési szabálát! Eg biciklis állandó, s m sebességgel halad. Indulása után másodperccel eg másik kerékpáros is elindul uganazon az úton, uganarról a kezdőpontról, uganabban az iránban. A második biciklis sebessége 6 m. s Ábrázold közös koordináta-rendszerben, hog mekkora utat tesznek meg az idő függvénében (az első 76 ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK

77 biciklis indulásától számítva)! Olvasd le a grafikonról, hog mikor, és milen távol éri utol a második kerékpáros az elsőt! Eg időben két gertát gújtunk meg. Az első gerta 6 cm magas, és óra alatt égne le teljesen. A második gerta cm magas, és 6 óra alatt égne le teljesen. Ábrázold közös koordináta-rendszerben, hog milen magasak a gerták az idő függvénében (a meggújtásuk pillanatától számítva)! Mikor lesznek egforma magasak? Milen magasak ekkor? Ábrázold a függvének grafikonját! a) R " R; 7 - és R " R; 7 - b) R " R; 7 - és R " R; 7 - c) R " R; 7 - és R " R; 7 - Ábrázold a következő függvének grafikonját, és jellemezd a függvéneket! a) R " R; 7 - b) R " R; 7 -, Ábrázold a következő függvének grafikonját, és jellemezd a függvéneket! Határozd meg szélső értékeieket, növekedési viszonaikat, értékkészletüket, zérushelüket! a) {-; } " R; 7 6- b) [-; ] " R; 7 6- c) ]-; ] " R; 7 6- Ábrázold a következő függvének grafikonját, és jellemezd a függvéneket! Határozd meg szélső ér tékeieket, növekedési viszonaikat, értékkész letüket, zérushelüket! a) {-; } " R; 7 + b) [-; ] " R; 7 + c) ]-; ] " R; 7 + Ábrázold és jellemezd a következő függvéneket! a) R " R; 7 ; R " R; 7 +, ; R " R; 7-9 b) R " R; 7 ; R " R; 7 ^+ h ; R " R; 7 ^-, h Ábrázold és jellemezd a következő függvéneket! a) R " R; 7 - b) R " R; 7 +, c) R " R; 7 ^- 0, h Ábrázold és jellemezd a következő függvéneket! R + 0 " R; 7 ; R + 0 " R; 7 + ; R + 0 " R; 7 -, Hol van zérushele és szélsőértéke a következő függvéneknek? Határozd meg a szélsőértékeiket! a) R " R; 7 ^- h$ ^- 6h b) R " R; 7 ^- h$ ^+ h c) R " R; 7 ^- h$ ^+ h Eg termék gártása során a gártósor legfeljebb 00 terméket készít naponta. db termék gártásakor a nereség Hán termék előállításakor keletkezik a legnagobb nereség? A valós számok mel legbővebb részhalmazán teljesül, hog f() g(), ha f() = ; - ; + és g() = -( - ) +? A grafikon eg challenge da napi kirándulás mozgásgrafikonja. Vizsgáld meg a grafikont, és válaszolj a következő kérdésekre! távolság (km) idő (h) a) Milen messzire jutottak a kirándulók a kiindulási helüktől? b) Hazaérkezésig összesen hán kilométert galogoltak? c) Mikor (mel időpontok között) haladtak a leggorsabban? d) Hán km volt a sebességük eges esetekben? h e) Hánszor tartottak pihenőt? f) Összesen menni ideig pihentek? g) Hán órakor indultak hazafelé? h) Hán órakor érkeztek haza? TÉMAZÁRÓ FELADATGYŰJTEMÉNY 77

78 9 A BETŰK SZEREPE A SZÁMOLÁSBAN BEVEZETŐ Eg sokszög átlóinak száma 7. Határozzuk meg, hog hán oldalú a sokszög! Megoldás Jelöljük n betűvel a sokszög oldalainak számát! Korábban láttuk, hog az n oldalú sokszög összes átlóinak száma nn ^ - h. Keressük tehát azt az n $ egész számot, amelre teljesül, nn ^ - h hog = 7! Ezt átalakítva: n$ ^n- h =. Mivel n most csak eg -nál nagobb egész számot jelölhet, az összes osztóját felírva az egenlet können megoldható. 9 6 = alapján az egenlet megoldása: n = 9. Tehát a keresett sokszög kilencoldalú. Fontos megjegezni, hog ha nem vesszük figelembe, mi volt a kérdés, és az n$ ^n- h = egenlet megoldását az egész számok halmazán keressük, akkor a -6 is megoldása az egenletnek. Jövőre azt is látni fogjuk, hog több megoldás nincsen (a valós számok halmazán). ELMÉLET Mikor használunk számok helett betűket a matematikában? Betűk használatával röviden írhatunk fel általános összefüggéseket. Például: ^a+ bh $ c = a$ c+ b$ c, minden a, b, c valós szám esetén. A gakran használt számításokat képlettel adhatjuk meg. Például: az A Ft kezdeti tőke p%-os kamat mellett n év alatt p n A $ c + m forintra nő. 00 Feladatok megoldása során az ismeretlen számot jelölhetjük eg betűvel, mint azt a Bevezetőben tettük. Geometriai számításokat és összefüggéseket is sokszor betűkkel írunk le. Nagon figelj oda, hog az adott esetben melik betűvel mit jelölünk. Például az ábra szerinti háromszög oldalaira íg írható fel a Pitagorasz-tétel: d + m = k. d m A r irracionális számot azért jelöljük eg betűvel, mert íg pontosan beszélhetünk róla, k mint a kör kerületének és átmérőjének a hánadosáról, de számjegekkel csak közelítő értékét írhatnánk fel. A valós számok halmazán vag annak eg részhalmazán értelmezett függvén megadásakor a hozzárendelési szabált megadhatjuk eg betűvel jelölt kifejezéssel: f ^ h = ^- h (! R). A képletekben szereplő betűket nevezhetjük változóknak vag ismeretleneknek. (Később majd találkozunk még paraméternek nevezett betűkkel.) A betűs kifejezések használatakor minden esetben fontos megadni, hog az általunk használt betűk melik számhalmaz elemeit helettesítik. Ezt a kifejezés alaphalmazának nevezzük. Bevezető példánkban a kifejezés alaphalmaza a -nál nagobb egész számok halmaza volt. Az alaphalmaznak azt a részhalmazát, amelekkel a jelölt műveletek elvégezhetők, a kifejezés értelmezési tartománának nevezzük. Például ha a - kifejezés alaphalmaza a valós számok halmaza, a kifejezés értelmezési tartomána R \ {-}. + Ha a betűs kifejezésben a változók helére az értelmezési tartománból konkrét számokat helettesítünk, akkor a műveletek elvégzése után eg számot, a kifejezés helettesítési értékét kapjuk. Például Ft-ot elhelezve a bankban évi 0 6%-os kamatra, 0 év után $ c + = 0 $, m Ft-ot vehetünk fel. 78 EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

79 FELADAT. Válaszodat fejezd ki a szövegben szereplő betűk (változók) segítségével! a) A bodzaszörp üveggel egütt b Ft-ba kerül, az üveg betétdíja ü Ft. Mennit fizetünk, ha üveg bodzaszörpöt vásárolunk úg, hog darab üveget viszünk vissza? b) Riska tehén liter tejet ad naponta. A tej. a) Mekkora a nag téglalap és a nég kisebb téglalap területe, ha =? 6 6 részéből túrót csinálnak, a többit eladják. liter tejből kg túró lesz. liter tej ára a forint, a túró kilója b forint. Hán liter tejet adnak el naponta, és ebből menni bevételük származik? Hán kg túrót csinál a gazda, és ezért hán forintot kap? Hán forint bevételt hoz a gazdának Riska tehén naponta? Válaszolj a kérdésekre, ha tudod, hog Riska naponta liter tejet ad! c) Fejezd ki k segítségével a k kerületű szabálos háromszög területét! 6. Melik egenlőség igaz minden esetben, ha a betűk bármel számot jelölhetik? a) a a = a d) a + = (a + ) b) a b = (ab) e) a = ( a) ( ) = ( a ) c) a.. 6. b) Melik egenlőség tartozik a rajzhoz? A) ( + 6) + ( + ) = B) ( + 6) + = C) ( + 6) ( + ) = D) + 6 ( + ) = 7 + Bizonítsd be, hog ha három szomszédos egész számot összeadunk, akkor eredménül mindig a középső szám háromszorosát kapjuk! Add meg algebrai kifejezéseket használva azokat a pozitív egész számokat, amelek a) -tel osztva maradékot adnak; b) két nullára végződnek; c) -ra végződnek. Eg kétjegű számhoz hozzáadtuk számjegeinek összegét, és íg 8-et kaptunk. Mi lehetett az eredeti kétjegű szám? HÁZI FELADAT. Fejezd ki segítségével a következő menniségeket! a) Az számnál -tel nagobb szám köbének a négzete. b) Eg kocka összes élének egüttes hossza cm. Mekkora a felszíne? c) Eg kutástalálkozón az állatok és emberek száma 00 volt. Hán lábuk volt a résztvevőknek összesen, ha kuta volt? d) Marci heti zsebpénze Ft. Hétfőn elköltötte zsebpénzének a neged részét, kedden pedig a maradék részét. Menni pénze maradt a hét hátralévő napjaira?.. Bizonítsd be a következő állításokat algebrai kifejezések segítségével! a) Ha két szám összegéhez hozzáadjuk a különbségüket, akkor a kisebbítendő kétszeresét kapjuk. b) Ha két szám összegéből kivonjuk a különbségüket, a kivonandó kétszeresét kapjuk. Melik az a -mal osztható háromjegű szám, amelnek középső számjege 0, az első számjege pedig az utolsónál -gel kisebb? 9. lecke A BETŰK SZEREPE A SZÁMOLÁSBAN 79

80 60 SZÁMOLÁS AZ ALGEBRÁBAN KIDOLGOZOTT FELADAT. Hozzuk egszerűbb alakra a következő kifejezést: a b $ $ $ $ a$ b $ $ a! 8 Megoldás Alkalmazzuk a felcserélhetőség és a csoportosíthatóság tulajdonságát, majd a hatvánozás azonosságait! a b a b a a a a b b $ $ $ $ $ $ $ = a b 8 ` $ $ $ $ $ $ $ = 8 j ^ h ^ h ELMÉLET Az algebrai kifejezésekben a betűk számokat jelölnek. A számok között megismert műveleti szabálokat alkalmazhatjuk rájuk. Uganaz a betű uganazt a számot jelöli. A példában szereplő kifejezést egtagú kifejezésnek nevezzük. Egtagú algebrai kifejezések azok, amelekben csak szorzás szerepel. (A hatvánozás is szorzás, a számmal való osztás pedig törtszámmal való szorzásként is felírható.) Ezeket célszerű olan alakra hozni, amelben egetlen szám szerepel mégpedig a kifejezés első ténezőjeként, a betűk ábécérendben követik egmást, és eg betű csak egszer fordul elő. Az ilen alakú kifejezést nevezzük rendezett egtagú kifejezésnek. Az ilen alakú kifejezésben a számténezőt egütthatónak nevezzük. Például: az ab kifejezés egütthatója, az a b vag az kifejezések egütthatója. FELADAT. Írd fel az alábbi kifejezések rendezett alakját, és állapítsd meg az egütthatójukat! a) $ $ $ c) $ ^-h$ b) $ $ d) ^-h$ $ ^-h$ $ -. Írd fel az alábbi kifejezések rendezett alakját! Melik két-két kifejezés az, amelik összeadva egtagú kifejezésként is felírható? Végezd el ezt a két összeadást! $ $ $ $ $ ; ; 7 $ ^- h $ $ ; $ $ $ $ KIDOLGOZOTT FELADAT. Végezzük el a kivonást: ^ h- ^+ 6-8h! Megoldás ^ h- ^+ 6-8h= = = + ^6 + h + ^-- 8h+ ^- 8+ h= EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

81 . Végezzük el a kijelölt műveleteket, bontsuk fel a zárójeleket! a) $ ^ - + h b) ^ + h^ + - h Megoldás Alkalmazzuk a széttagolási (disztributív) tulajdonságot, a zárójel felbontási szabálait, továbbá az azonos alapú hatvánok szorzásáról tanultakat! Figeld meg! Azokat a tagokat tudjuk összevonva (azaz összeadva vag kivonva) eg tagként felírni, amelek legfeljebb az egütthatójukban különböznek. a) $ ^ - + h = $ + $ ^- h + $ = b) ^ + h^ + - h= ^ + h + ^ + h+ ^ + h^- h = = FELADAT... Végezd el a kijelölt műveleteket, az eredménekben vond össze és rendezd a tagokat! a) a - a + b) c) ^- + 8h+ ^ h d) a- b-^a- bh -^a- bh Végezd el a kijelölt műveleteket, az eredménekben vond össze és rendezd a tagokat! a) ^- h $ c m b) ^a - ab+ b h+ ab c) ^ + h + 6 ^ - - h Végezd el a kijelölt műveleteket, az eredménekben vond össze és rendezd a tagokat! a) p^p - h+ p^- p h c) ^a- h^- a - ah d) ^ - h^ + h Végezd el a kijelölt műveleteket és a lehetséges öszszevonásokat, majd számítsd ki a kifejezések helettesítési értékét is (a megadott értékek mellett)! a) ^- + h+ 6^- h- ^- h; = b) 6 c - m - c + m ; = -, = A következő kifejezések közül melek azok, amelek a bennük lévő betűk bármel értékénél pozitívok? a + b ; a - b ; -a b ; (a - b) ; a + ; -a ; a - b) ^- 7 + h^- h HÁZI FELADAT.. Írd fel az alábbi kifejezések rendezett alakját, és állapítsd meg az egütthatójukat! $ $ ; a $ b $ a $ b Végezd el a kijelölt műveleteket és a lehetséges öszszevonásokat! a) ( + ) ( + ) + ( + ) ( ) b) ( + ) ( ) + ( ) ( ) c) ( a a + a ) (7 + a a a ).. Végezd el a kijelölt műveleteket és a lehetséges öszszevonásokat! a) ( + ) b) (a + a + ) (a ) c) (b + b + b + ) (b + ) d) (a - 7)(-a + ) Végezd el a kijelölt műveleteket és a lehetséges öszszevonásokat, majd utána számítsd ki a kifejezés helettesítési értékét, ha = és = -! ^- h$ ^+ h$ ^- h 60. lecke SZÁMOLÁS AZ ALGEBRÁBAN 8

82 6 NEVEZETES SZORZATOK I. BEVEZETŐ Végezzük el a kijelölt műveleteket, és figeld meg, hog milen tagok jelennek meg az eredménben a szorzás (vag négzetre emelés) és összevonás után! a) ^a+ h^a+ h b) c + + mc m c) ^ + h^ + h Megoldás a) ^a+ h^a+ h= ^a+ h$ a+ ^a+ h$ = a$ a+ $ a+ a$ + $ = a + 6a+ 6a+ 9 = a + a+ 9 b) c + mc + m= $ + $ + $ + $ = + $ $ c m c m+ c) ^ + h^ + h= $ + $ + $ + $ = + + ELMÉLET. Ha a és b két tetszőleges valós szám, akkor (a + b) = (a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b = a + ba + ab + b = a + ab + ab + b = a + ab + b, vagis (a + b) = a + ab + b Két szám összegének négzete megegezik az első tag négzetének, a két szám kétszeres szorzatának és a második tag négzetének az összegével. Ha (a + b) kifejezést eg (a + b) oldalhosszúságú négzet területének tekintjük, akkor a fenti azonosságot jól szemlélteti a következő ábra: a a a b ab a A nag négzet területe megegezik az ábra szerinti feldarabolással keletkezett négzetek és téglalapok területének összegével. b ab b b a b. Írjuk fel két szám különbségének a négzetét! (a - b) = (a - b) (a - b) = (a - b) a - (a - b) b = a a - b a - (a b - b b) = = aa - ba - ab + bb = a - ab + b Tetszőleges a és b valós számok esetén: (a - b) = a - ab + b 8 EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

83 FELADAT.... Végezd el a következő műveleteket! a) ^a + 0h c) ^ - h b) ^ + 7h d) ^c- dh Végezd el a következő műveleteket! a) c + 7 m c) c a- b m b) c + m d) c m c m Végezd el a következő műveleteket! a) ^- + h c) ^- - h b) - ^ + h d) 6 - ^ + h@ Végezd el a következő műveleteket! a) ^ - h c) ^a + b h b) ^a+ b h d) 7 c - 9 m Hán négzetméterrel kisebb az - méter oldalú, négzet alakú telek területe, mint az + méter oldalú, négzet alakú telek területe? a) Fejezd ki a különbséget segítségével! b) Menni ez a különbség, ha =? Írd fel a következő háromtagú kifejezéseket kéttagú kifejezések négzeteként! a) a 6-0a+ 00 c) b) d) Egészítsd ki a következő kifejezéseket úg, hog eg kéttagú kifejezés négzetével legenek egenlők! 6 a) + + f c) 9 - f + 6 b) a + f + 9b d) + + f. Végezd el a következő műveleteket! k a) ^a - ab h c) ^ + h b) n+ n c + 6 m d) ^a - a h HÁZI FELADAT.. Végezd el a következő műveleteket! a) ^ - h c) ^7 + h b) c a+ b m d) ^a + ab h Egészítsd ki a következő kifejezéseket úg, hog eg kéttagú kifejezés négzetével legenek egenlők! 0 a) a - a+ f c) f b) 6 - f + d) b + + f. Hozd egszerűbb alakra a következő kifejezéseket, és számítsd ki a helettesítési értéküket, ha = és a = - 0! a) ^ - h - ^ + h b) a c + - a- m c m RÁADÁS Eg derékszögű háromszög oldalainak hossza három egmást követő páros szám. Számítsd ki a háromszög oldalhosszúságait! 6. lecke NEVEZETES SZORZATOK I. 8

84 6 NEVEZETES SZORZATOK II. BEVEZETŐ Végezzük el a következő szorzásokat! a) ^- h^+ h b) ^ + h^ - h c) c - + mc m Megoldás a) ^- h^+ h= $ + $ - $ - $ = = - b) ^ + h^ - h= $ + $ ^- h + $ - $ = - c) c - mc + $ $ $ m= = - 9 Mindegik feladatban a két számnak az összegét és a különbségét kellett összeszorozni. Figeld meg, milen tagokból áll az átalakítások után kapott kifejezés! ELMÉLET Ha a és b két tetszőleges valós szám, akkor ^a+ bh^a- bh= ^a+ bha- ^a+ bhb = a$ a+ b$ a- ^a$ b+ b$ bh= a$ a+ b$ a- a$ b- b$ b = a - b Tehát: (a + b)(a - b) = a - b Két szám összegének és különbségének szorzata egenlő a kisebbítendő négzetének és a kivonandó négzetének különbségével. FELADAT... Végezd el a következő műveleteket! a) ^t+ h^t- h c) ^b- ah^b+ ah b) ^- h^+ h d) ^ + h^ - h Végezd el a következő műveleteket! a) ^t- h^+ th c) ^a- h^+ ah b) ^t+ h^- th d) ^+ h^- h Végezd el a következő műveleteket! a) ^ + h^ - h. b) 7 c mc m c) ^ab + ab h^ab - ab h k k d) ^ - h^ + h Az eddig megismert nevezetes azonosságok segítségével számológép használata nélkül számítsd ki a következő műveletek eredménét! a) $ 9 c) b) 98 $ 0 d) EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

85 KIDOLGOZOTT FELADAT. Mennivel nagobb az + + z oldalhosszúságú négzet területe, mint az,, z oldalhosszúságú négzetek területeinek összege? z Megoldás Az + + z oldalhosszúságú négzet területe: ^+ + zh = 6 ^+ h+ z@ = ^+ h + ^+ hz+ z = = z + z + z = + + z + + z + z Ha ebből kivonjuk a három négzet területét, a különbség: + z + z z z z z z z. Kocka alakú tartál élhossza méter. Mennivel nő meg a térfogata, ha a kocka éleinek hosszát méterrel megnöveljük? Mekkora ez a különbség, ha =? Megoldás Ha a kocka élhosszúsága méter, akkor térfogata, ha pedig + méter, akkor térfogata ( + ) m. ^+ h = ^+ h $ ^+ h= ^ + + h^+ h = + $ + + $ = Ennek a különbségnek az értéke = esetén: + 6$ + $ + 8 =. Tehát ha eg m élhosszúságú kocka éleit méterrel megnöveljük, a térfogata m -rel lesz nagobb.. Végezd el a kijelölt műveleteket! a) ^a+ bh^a - ab+ b h b) ^a- bh^a + ab+ b h Megoldás a) ^a+ bh^a - ab+ b h = a - a b+ ab + ba - ab + b = a + b b) ^a- bh^a + ab+ b h = a + a b+ ab - ba - ab - b = a - b HÁZI FELADAT.. Végezd el a kijelölt műveleteket! a) ^7- h^7+ h b) a b a c + b mc - m c) ^ - h^ + h n n n n d) ^ + h^ - h Két egmást követő egész szám négzetének különbsége. Melik ez a két szám? Hán megoldása van a feladatnak?.. Legen k és l két pozitív egész szám, és k l. Igazold, hog a kl, k - l és k + l számok pitagoraszi számhármast alkotnak! Végezd el a kijelölt műveleteket! a) c + ^0, - 0, m h b) ^c + c- h^c + c+ h c) ^ - h - ^ 0 + h^ 0 - h+ ^ + h 6. lecke NEVEZETES SZORZATOK II. 8

86 EMELT SZINT ELMÉLET. Polinomok Egváltozós polinomoknak nevezzük például a következő kifejezéseket: - ; ; Az változó valamel polinomjának a jelölésére gakran a P(), Q(), szimbólumokat szoktuk használni. Például P^h = az változó polinomja. P() az egnemű tagok összevonásával egszerűbb alakra hozható: P^h = Eg egváltozós, n-edfokú polinomnak a változó csökkenő hatvánai szerint rendezett általános alakja: n n - n - a + a + a + f + a + a + a+ a, n n - n - 0 ahol n! N; minden egüttható (a i ; i =,,, n) valós szám és a n! 0. 0 i Ha figelembe vesszük, hog az elsőfokú és a konstans tagot írhatjuk a + a 0 alakban is, a polinom a i alakú tagok összegeként írható fel. (A konstans tag a nulladfokú tag egütthatója.) A fenti P^h = polinom harmadfokú polinom, amelben a =, a = -6 és a 0 = -7. Ebben a polinomban nem szerepel másodfokú tag, ami azt jelenti, hog a = 0. A többváltozós polinomban több változó is szerepel. Kétváltozós polinomok például: a + ab + b ; Az olan algebrai kifejezéseket, melekben változóknak (betűk) és állandóknak (számok) az összege, különbsége, szorzata, hánadosa, hatvána szerepel véges sokszor, és az osztóban nem fordul elő változó, polinomoknak (többtagú egész algebrai kifejezés) nevezzük.. További nevezetes azonosságok A kidolgozott feladatban szereplő feladatok megoldása során észrevehettük, hog az eddig felírt nevezetes azonosságokon kívül további szorzatok polinom alakja is milen egszerű. A. kidolgozott feladatban eg háromtagú kifejezés négzetét kellett kiszámolni, amit polinom alakba írva eg können megjegezhető kifejezést kaptunk. Ez alapján: (a + b + c) = a + b + c + ab + ac + bc A. kidolgozott feladatban eg kéttagú kifejezés harmadik hatvánát kellett felírni. Írjuk ezt fel általánosan! ^a+ bh = ^a+ bh ^a+ bh= ^a + ab+ b h^a+ bh = a + a b+ a b+ ab + b a+ b = = a + a b+ ab + b Tehát: (a + b) = a + a b + ab + a A fentihez hasonló módon számolhatjuk ki két szám különbségének a köbét is: (a - b) = a - a b + ab - b. A. kidolgozott feladatban láttuk, hog a + b = (a + b)(a - ab + b ) a - b = (a - b)(a + ab + b ) A. kidolgozott feladat eredménei is általánosíthatók: Ha a és b valós számok, és az n pozitív egész szám, akkor a n - b n = (a - b)(a n - + a n - b + a n - b - + ab n - + b n - ) = a n - b n Ha a és b valós számok, és az n páros pozitív egész szám, akkor a n - b n = (a + b)a n - - a n - b + a n - b - + ab n - - b n - ) = a n - b n Ha a és b valós számok, és az n páratlan pozitív egész szám, akkor a n + b n = (a + b)a n - - a n - b + a n - b - - ab n - + b n - ) = a n + b n 86 EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

87 . A Pascal-háromszög A háromszög minden sora -gel kezdődik, és -gel végződik. Ebben a háromszög elrendezésben a. sortól kezdve a sorok bármel belső száma a felette lévő sorban balról és jobbról álló két számnak az összege. a) Ezen számok megegeznek az (a + b) n felbontásában szereplő egütthatókkal, az úgnevezett binomiális egütthatókkal: (a + b) 0 = (ezt hívjuk nulladik sornak) (a + b) = a + b (ezt hívjuk első sornak) (a + b) = a + a b + b (ezt hívjuk második sornak) (a + b) = a + a b + a b + b (a + b) = a + a b + 6a b + a b + b Feladat: Foltasd a hatvánozást! Írd fel a következő két sorban szereplő tagokat! Hogan lehetne ezzel a módszerrel felírni két tag tizenhetedik hatvánát, századik hatvánát, ötszázadik hatvánát? Elvi akadála nincs, hog tovább számoljuk a Pascal-háromszög újabb sorait a meglévők alapján, de pl. a századik hatván felírásához kellene ismernünk az összes addigi sort. Létezik más módszer is a binomiális egütthatók felírására, ezt majd a kombinatorika témakörében fogjuk megtanulni. b) A Pascal-háromszög megfelelő soraiban lévő számok alkalmasak arra is, hog az adott sorból kiolvassuk véges elemű halmaz részhalmazainak számát. Például a hatodik sorban szereplő számok: rendre megmutatják azt, hog eg 6 elemű halmaznak hán nulla, eg, kettő, három, nég, öt, hat elemű részhalmaza van. A sorban szereplő számok összege alapján pedig meghatározhatjuk, hog eg 6 elemű halmaznak összesen 6 részhalmaza van. Feladat: Olvasd ki a háromszögből, hog hán három elemű részhalmaza van eg hét elemű halmaznak; és hán öt elemű részhalmaza van eg nolc elemű halmaznak! FELADAT. Végezd el a következő műveleteket! a) ^- h + ^+ h^- h b) ^a+ bh -^a- bh^a+ bh c) ^a+ h^a-h^a -h d) ^a- b+ ch^a- b- ch. Eg kocka alakú tartál élhossza méter. a) Hán köbméter víz fér el a tartálban?.. Számítsd ki a következő kifejezések helettesítési értékét, ha a =, = és =! a) ^+ ah - ^- ah^a+ h+ ^- ah b) ^- h - ^+ h^- h- ^+ h Végezd el a következő műveleteket! a) ^a + h b) ^+ h^ - + h c) c - m d) ^+ a+ a h^+ ah b) Rövid idő múlva még eg kocka alakú tartált készítenek, amelnek élei + méteresek. Hán köbméterrel több víz fér el ebben a tartálban, mint az méter élhosszúságúban? c) Add meg a különbséget az fogó hatvánai szerint rendezett polinom alakjában! d) Menni ez a különbség, ha =?. Végezd el a következő műveleteket! a) ^+ + zh b) ^- + zh 6. lecke NEVEZETES SZORZATOK II. 87

88 6 SZORZATTÁ ALAKÍTÁS I. BEVEZETŐ. Melik az a valós szám, amelnek a harmadik hatvána akkora, mint a kilencszerese? Megoldás Figeld meg a következő gondolatmenetet! Ha -szel jelölöm ezt a számot, akkor teljesül rá, hog = 9 (). Ezt átalakítva az $ = 9 $ egenletből adódik, hog = 9 (). Két olan valós szám is van, amelnek a négzete 9, ez pedig a és a -. Az egenletet felírva azt is észrevehetjük, hog a 0 is megoldása a feladatnak. Hová tűnt a 0 az egenlet megoldása során? Az () egenletből úg kaptuk a () egenletet, hog -szel osztottunk. Ezt viszont csak akkor tehetjük meg, ha feltételezzük, hog! 0. Ezzel viszont már eleve kizártuk a megoldások halmazából a 0-t. Ilenkor mindenképpen meg kell vizsgálni, hog a 0 lehet-e göke az egenletnek. Vag van más lehetőség is a megoldásra? Hogan kellene az = 9 egenletet úg átalakítani, hog a gököket maradéktalanul megkapjuk? Ha az () egenletet - 9 = 0 alakra hozzuk, az egenlet bal oldalán álló kifejezést szorzat alakba tudjuk írni: ^ - 9h = 0. Az - 9 = - kifejezést az ismert nevezetes szorzat alapján átalakítva az egenlet ^+ h^- h alakba írható. Az egenlet bal oldalán eg szorzat áll. Ennek az értéke akkor és csak akkor 0, ha a ténezők közül valamelik 0. Ez három lehetőséget jelent: = 0 vag + = 0, ami azt jelenti, hog = - ; vag - = 0, ami azt jelenti, hog =.. Határozzuk meg az f függvén zérusheleit, ha a függvén értelmezési tartomána a valós számok halmaza, hozzárendelési szabála pedig 7- +! Megoldás Azt kell megvizsgálni, hog az f függvén melik valós számhoz rendeli a 0 értéket, vagis a - + kifejezés helettesítési értéke milen esetén lesz egenlő 0-val. Tehát a - + = 0 egenlet megoldásait keressük. A bal oldalon álló kifejezést szorzattá alakítva kapjuk, hog - ^- h = 0. A szorzat értéke csak úg lehet 0, ha az = 0 vag az - = 0, amiből kapjuk, hog = 0 vag =. Tehát az f függvénnek két zérushele van: a 0 és az. A fenti példáinkban láthattuk, hog bizonos feladatok megoldása során hasznos lehet az algebrai kifejezések szorzattá alakítása. Bevezető példáink olan feladatok voltak, amelek magasabb fokú egenlet felírásához vezettek. Ezek megoldása során, ha mérlegelvvel dolgozunk, nagon körültekintőnek kell lennünk ahhoz, hog az egenlet valamenni gökét felírjuk. A szorzattá alakítással azonban az egenletek valamenni gökét megkaptuk. KIDOLGOZOTT FELADAT Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! a) + b) Megoldás a) Ha eg összeg tagjainak van közös szorzóténezője, akkor azt az ab + ac = a(b + c) azonosság alapján szorzat alakba tudjuk írni: a szorzat egik ténezője a közös ténező lesz. Ezt a módszert kiemelésnek nevezzük, ami tehát akkor alkalmazható, ha eg összeg minden tagjának van közös ténezője. A + mindkét tagjának az közös ténezője, ezért az -et kiemelhetjük : + = ^ + h. 88 EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

89 Közös ténezőjük az is, ezért ha ezt emeljük ki: + = ^ + h. Természetesen is kiemelhető: + = ^ + h. Íg a tagokban szereplő összes közös ténezőt kiemeltük, a kifejezést már nem tudjuk több ténező szorzatára bontani. b) Ebben a kifejezésben nincs olan szorzóténező, amel minden tagban előfordul. Most a tagok üges csoportosításával, több lépésben történő kiemeléssel juthatunk eredménre = ^ + h + ^+ h= ^+ h+ ^+ h= ^+ h^+ h Természetesen a tagok más csoportosításával is szorzattá alakíthatunk: = ^ + h + ^ + h = ^ + h+ ^ + h= ^ + h^ + h. FELADAT... Alakítsd szorzattá az alábbi kifejezéseket! a) 8 + b) 8 + c) 8+ d) z+ 8 Állapítsd meg az alábbi függvének zérusheleit! (Értelmezési tartománuk a valós számok halmaza.) a) 7- + c) 7 - b) 7- + d) 7 - Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) - b) a - a - a c) d) Csoportosítással alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) b) c) a + b + a + b d) 0a - + a- a Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) ^- h- ^- h Vedd észre, hog: - ^ - h= - 6+ = - 6= ^- h! b) c) ab - a + 8- b Oldd meg a következő egenleteket a valós számok halmazán! a) ^-h^7 - h = 0 b) + 6 = 8-9 c) = 0 HÁZI FELADAT... Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) 6-9 c) 6-7 b) 6-7 d) 6z z - Határozd meg az alábbi függvének zérusheleit! (Értelmezési tartománuk a valós számok halmaza.) a) b) 7- + Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) 0 -. b) c) a + b + a + b d) n n e) + + Oldd meg a következő egenleteket a valós számok halmazán! a) = 9 b) = 0 6. lecke SZORZATTÁ ALAKÍTÁS I. 89

90 6 SZORZATTÁ ALAKÍTÁS II. BEVEZETŐ. Döntsük el számológép használata nélkül, hog 6 - osztható-e 7-tel! Megoldás A 6 - két szám négzetének a különbsége, íg a nevezetes szorzat alapján felírható két szám összegének és különbségének a szorzataként: 6 - = ^ 8 h - = ^ 8 + h^ 8 - h. Ennek a szorzatnak a második ténezője szintén eg nevezetes szorzat: 8 - = ^ + h^ - h, tehát azt kaptuk, hog 6 - = ^ 8 + h^ + h^ - h. Ebből már látszik, hog osztható 7-tel, hiszen + = 7.. Határozzuk meg az f : R " R, függvén zérusheleit! Megoldás A függvén hozzárendelési szabálát megadó kifejezést szorzattá alakítjuk. Első lépésben kiemeljük a -at, majd ezután észrevehetjük, hog a másik ténező eg különbségnek a négzeteként írható fel = ^ h = ^- h Azt a valós számot keressük, amelre ^ - h = 0. Ez az egenlőség akkor teljesül, ha - = 0 vagis =. Tehát a függvén zérushele a. Már az előző leckében is láttuk, hog a szorzattá alakítás megkönnítheti eg feladat megoldását. A bevezető feladataiban felírt kifejezésekben eg-eg nevezetes azonosságot ismerhettünk fel, ennek segítségével történt a szorzattá alakítás. Lehet, hog a kifejezésben csak kiemelés után vesszük észre a nevezetes szorzatot, és az is lehet, hog a szorzattá alakításnál kialakuló ténezőket még további ténezőkre tudjuk bontani. FELADAT.. Nevezetes szorzatok segítségével alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) - 9 c) a - 6b b) - a d) - 9 Nevezetes szorzatok segítségével alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) - + b) c) 9a - ab+ b d) a + a b+ b.. Kiemeléssel és nevezetes szorzatok segítségével alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) 0 - c) ab - 0ab + a b) 6-7 d) Különböző módszerek alkalmazásával bontsd ténezőkre a következő kifejezéseket! 6 a) a + 8a b+ 7a b b) c) a - b 6 d) a - a + a + a 90 EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

91 KIDOLGOZOTT FELADAT Két pozitív egész szám négzetének különbsége. Mi lehet ez a két szám? Megoldás Jelöljük a két számot a-val és b-vel, és tegük fel, hog a b. Ekkor felírhatjuk, hog a - b =. Az ismert nevezetes szorzat alapján ^a+ bh^a- bh = (). Mivel a és b pozitív egész számok, a + b és a - b is pozitív egészek, tehát a -öt két pozitív egész szám szorzataként kell felírni: = () vag = () Az () és () egenletekből kapjuk, hog a+ b = és a- b =, amiből a = és b = adódik. Az () és () egenletekből kapjuk, hog a+ b = és a- b =, amiből a = 8 és b = 7 adódik. Ellenőrizzünk behelettesítéssel! - = 6 - = ; és 8-7 = 6-9 =. FELADAT. Két természetes szám négzetének különbsége. Határozd meg az összes ilen természetes számot! 6. Határozd meg az összes olan n pozitív egész számot, amelre a) n - n+ prímszám; b) n - prímszám! HÁZI FELADAT. Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) a - 9 c) r + 80r+ 6 b) b - d) 9c - c d + d 9 6. Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) - 8 c) b) d) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) 7c + cd+ 7d c) b) ab- ab d) EMELT SZINT FELADATOK... Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a) c) + 7 e) a 7 - a g) b) d) - a f) a + a+ - b h) Bizonítsd be, hog 8 - osztható -gel és -gel! Bizonítsd be, hog - osztható -tel és 7-tel! 6. lecke SZORZATTÁ ALAKÍTÁS II. 9

92 6 EGYENLETEK BEVEZETŐ Eg park közepére négzet alakú virágágat terveztek. A költségek túl magasak voltak, ezért az eredeti tervben szereplő helett eg annál m-rel rövidebb oldalú négzet mellett döntöttek. A virágos terület íg az eredetileg tervezetthez képest 8 m -rel csökkent. Hán méter lett végül a virágág oldala? Megoldás A virágág oldala méter, területe m lett. Az ere detileg tervezett ágás oldala + m, területe ( + ) m volt. A szöveg szerint: ( + ) = 8. Egismeretlenes egenletet kaptunk. Feladatunk olan pozitív számot találni az helébe, amel megfelel a szöveg felté teleinek, vagis meg kell adnunk a felírt egenlet pozitív megoldásait (gökeit). A bal oldalon elvégezzük a négzetre emelést és az összevonást: + + = 8 + = 8 Mérlegelvvel haladhatunk tovább (az egenlet mindkét oldalából elveszünk -et, majd mindkét oldalt elosztjuk -gel): = = 8, A virágág tehát végül eg 8, m oldalú négzet lett. Ellenőrzés Eredetileg eg 8, + = 0, m oldalú, 0, m területű virágág szerepelt a tervben. A 8, m oldalú virágág területe (7, m ) ennél valóban 8 m -rel kisebb. ELMÉLET Már az általános iskolában is és az idei tanévben is sok egenletet oldottunk meg. Ezek legtöbbször egismeretlenes egenletek voltak. Azokat a számokat kerestük, ameleket az egenletben szereplő betű helébe írva fennáll az egenlőség. Az egenletek megoldása során eddig legtöbbször a mérlegelvet használtuk. Ez azt jelenti, hog az egenlet gökeinek a halmaza nem változik meg, ha az egenlőségjel két oldalán álló kifejezést (számot) uganannival növeljük vag csökkentjük, uganazzal a pozitív vag negatív számmal megszorozzuk, uganazzal a pozitív vag negatív számmal elosztjuk. A mérlegelv segítségével sok egenletből kaphatunk olan egszerűbb, másik egenletet, amelnek a gökei uganazok, mint az eredeti egenlet gökei. Az egenlet rendezése során ügelj az előjelekre, például ha zárójel vag törtvonal előtt a kivonás jele vag eg negatív szorzóténező áll! 9 EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

93 FELADAT.... Melik számot írhatjuk az helébe, ha 7 =,7? 6 0 Az egenlet megoldása során alkalmazd a mérlegelvet! Oldd meg az egenleteket mérlegelvvel! a) - = b) - = c) - - = Oldd meg az egenleteket! Figelj az előjelekre! a) 6 6 b) Eg üzletben az akciós DVD-kből vettünk kettőt azonos árban, és még eg harmadikat, amel nem volt akciós. Ez utóbbi 990 Ft-ba került. Összesen 780 Ft-ot fizettünk. Menni az akciós DVD-k eredeti ára, ha a kedvezmén mértéke a) 0%; b) 00 Ft? Bence az a) feladathoz az ( 0,8) = 780, a b) feladathoz pedig az. 6. ( 00) = 780 egenletet állította fel. Szerinte az akciós DVD-k eredeti ára darabonként az a) esetben 00 Ft, a b) esetben 0 Ft volt. Vajon hogan gondolkozott Bence? Ellenőrizd Bence megoldását! Rendezd át az egenleteket mérlegelv segítségével úg, hog az egenlőségjel egik oldalán 0 álljon, majd alakítsd szorzattá! Mel számok teszik igazzá az egenleteket? a) - = 6 - b) = 0-7 c) - + = 7- + Eg használtautó-kereskedő eg hónap alatt 0 autót adott el. Hog kicsit fellendítse a forgalmat, elhatározta, hog a következő hónapban lemond a haszon eg részéről: minden eges autót Fttal olcsóbban ad. A következő hónapban 0 autót adott el, és íg Ft-tal több lett a bevétele, mint az előző hónapban. Menniért adott eredetileg átlagosan - autót? HÁZI FELADAT.. Oldd meg az egenleteket a mérlegelv alkalmazásával! a) ( + ) ( ) = b) (7 ) = 00 + c) = Oldd meg az alábbi egenleteket a mérlegelv alkalmazásával! a) 7 = b) ( ) ( ) = 0 c) + = 0. A három könvespolc közül a legalsón kétszer anni könv van, mint a legfelsőn, és 0%-kal több, mint a középsőn. A három polcon összesen 70 könv van. Hán könv van az eges polcokon? 6. lecke EGYENLETEK 9

94 66 ALAPHALMAZ, ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY, MEGOLDÁSHALMAZ BEVEZETŐ Amikor egismeretlenes egenleteket oldunk meg, akkor olan számokat keresünk, ameleket az egenletben szereplő betű helébe írva fennáll az egenlőség. 9 Ha például a = egenletbe az helébe -t írunk, akkor azt kapjuk, hog 9 =; =, ami nem igaz. De ha az helébe ( )-at írunk, akkor azt kapjuk, hog 6 9 = ; =, ami igaz. 9 Akármelik valós számot írjuk is be a = egenletbe az helébe, kapunk eg állítást, ami vag igaz, vag nem igaz. Ezt úg is kifejezhetjük, hog ennek az egenletnek az értelmezési tartomána az R halmaz. Számításunk azt mutatja, hog egenletünknek a a göke (a beírása igaz állítást eredménezett), a viszont nem göke (a beírása hamis állításra vezetett). 9 Ha a = egenlettel van dolgunk, ott is kipróbálhatjuk, mit kapunk, ha az helébe valamilen számot írunk. Itt azonban nem választhatjuk bármelik valós számot, mert ha például az -öt választanánk, akkor 0-val kellene osztanunk, ami lehetetlen. Azt mondjuk, hog ennek az egenletnek az értelmezési tartomána az R \ {} halmaz. Ennek a halmaznak már bármelik elemét behelettesíthetjük az egenletbe. Mit tapasztalunk, ha -t vag ( )-at írunk az helébe? 9 = ; = ; = nem igaz, ( ) 9 = ; ( ) 8 = ; 7 = nem igaz. 8 9 A = egenletnek sem a, sem a nem göke. KIDOLGOZOTT FELADAT. 9 Melik számot írhatjuk a = egenletbe az helébe, hog igaz állítást kapjunk? Megoldás Használjuk a mérlegelvet! Először szorozzuk meg az egenlet mindkét oldalát ( )-szel! 9 = ( ) 9 = + / = / 6 = Behelettesítéssel ellenőrizhetjük, hog ha az eredeti egenletbe az helére 6-ot írunk, akkor igaz állítás keletkezik: = ; = ; = igaz. A mérlegelvvel dolgoztunk, ezért a 6-on kívül más szám nem jöhet szóba. 9 Tehát a = egenletnek eg göke van, a 6. Az egenlet megoldáshalmaza: {6}. FELADAT. Határozd meg a kifejezések értelmezési tartománát! a) b) Milen valós számot írhatunk az egenletbe, hog igaz állítást kapjunk? - + = EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

95 ELMÉLET Eg egismeretlenes egenlet értelmezési tartomána az összes olan valós számnak a halmaza, ameleken az egenletben szereplő valamenni kifejezésnek értelme van. Egenletek megoldásakor sokszor az a feladat, hog az értelmezési tartomán összes eleme közül keressük meg azokat, ameleknek a behelettesítésekor az egenletből igaz állítást kapunk. Ezek a számok az egenlet gökei (megoldásai). Az egenlet gökei alkotják az egenlet megoldáshalmazát. Gakran előfordul, hog az egenlet mellé eg alaphalmazt is adunk, és ennek az elemei között keressük a gököket. Ebben az esetben csak az értelmezési tartomán és az alaphalmaz közös részéből (metszetéből) kerülhetnek ki az egenlet gökei. alaphalmaz értelmezési tartomán Szöveges feladatok esetében az alaphalmazt a tartalom szabja meg. csak itt lehetnek az egenlet gökei Az egenlet megoldásának megkezdése előtt célszerű megvizsgálni az egenlet értelmezési tartománát. Ezzel a megoldás menete lerövidíthető, és a megoldások ellenőrzése is egszerűbbé válhat. KIDOLGOZOTT FELADAT. Oldjuk meg az = 9 egenletet az alábbi alaphalmazokon: a) pozitív számok halmaza; b) nemnegatív számok halmaza; c) egész számok halmaza! Megoldás A 6. leckében megkerestük az összes olan valós számot, amelnek a harmadik hatvána egenlő a 9-szeresével. Ezek: a, a 0 és a. Közülük a pozitív szám, a többi nem, ezért az a) feladatban egelemű a megoldáshalmaz: {}. A b) alaphalmazban a három szám közül kettő van benne, a 0 és a, tehát a b) feladatban a megoldáshalmaz: {0; }. A, a 0 és a is egész szám, íg mindhárom benne van a c) feladat alaphalmazában, ezért itt a megoldáshalmaz: { ; 0; }.. Oldjuk meg az egenletet a valós szá- mok halmazán! = Megoldás Ennek az egenletnek a szövegben megadott alaphalmaza R, értelmezési tartomána az R \ {} halmaz. Ezért a megoldáshalmaz csak R \ {} valamel részhalmaza lehet. Használjuk a mérlegelvet! Először szorozzuk meg az egenlet mindkét oldalát ( )- mal: =. Mindkét oldalból kivonunk -et: = 0, vag másképp: ( ) = 0. Ez akkor és csak akkor áll fenn, ha = 0 vag =. A nem göke az eredeti egenletnek, hiszen nincs benne az értelmezési tartománban. Helettesítsük be a 0-t! 0 0 = 0 0, vagis 0 = 0. Ez igaz, tehát a 0 göke az egenletnek. Más göke nem lehet, ezért az egenlet megoldáshalmaza: {0}. = 66. lecke ALAPHALMAZ, ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY, MEGOLDÁSHALMAZ 9

96 FELADAT. Bence és osztáltársa, Dönci meg akarja oldani az + 0 = + egenletet. Azon vitatkoznak, hog melikük megoldása a heles. a) Bence megoldása: + 0 = + ( + ) = ( + ) 0 = ( + ) ( + ) 0 = ( + ) ( ) + = 0 vag = 0 = vag = Tehát az egenlet megoldáshalmaza: { ; }. b) Dönci megoldása: + 0 = + ( + ) = ( + ) / : ( + ) = Tehát az egenlet megoldáshalmaza: {}. Melik megoldást tartod jónak, meliket hibásnak, és miért?. b) Dönci megoldása: = 0 0 =0 0 =0 ( ) =0 =0 Hamis kijelentést kaptunk, tehát az egenletnek nincs megoldása. Melik megoldást tartod jónak, meliket hibásnak, és miért? Oldd meg az egenletet a valós számok halmazán! = Bence és Dönci az = 0 egenlet megoldása során is más eredménre jutott. a) Bence megoldása: / ( ) = 0 =0 = 6. Oldd meg az egenletet a valós számok halmazán! = $ ^ - h Tehát az egenlet megoldáshalmaza: {}. HÁZI FELADAT. Oldd meg a következő egenleteket a valós számok halmazán! a) + + = 7 ( + ) 7, b) 6= + + ( + ) c) + =6 + 7 d) =0.. Állapítsd meg az alábbi kifejezések értelmezési tartománát! a) b) c) d) :(+ ) Oldd meg az egenletet a valós számok halmazán! = $ ^ - h EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

97 RÁADÁS Az április tavaszi hónap. A november tavaszi hónap. ez eg igaz állítás ez eg hamis állítás Írjuk be valamelik hónap nevét a következő nitott mondatba, a kipontozott részbe: A tavaszi hónap. Ha a márciust, az áprilist vag a májust írjuk be, akkor igaz állítást kapunk, a többi hónap beírása esetében pedig hamisat. Most a vizsgált nitott mondathoz a {január; február; március; április; május; június; július; augusztus; szeptember; október; november; december} halmazt választottuk alaphalmaznak. A nitott mondat igazsághalmaza a {március; április; május} halmaz. A logikában azokat a kijelentő mondatokat, amelekről egértelműen eldönthető, hog a tartalmuk igaz vag hamis, állításoknak, más szóval: kijelentéseknek nevezzük. Az állítások közé soroljuk azokat a kijelentő mondatokat is, ameleknek a tartalmát a tapasztalatok alapján igaznak, illetve hamisnak fogadunk el. Az igaz, illetve hamis szó az állítás logikai értéke. Például A Föld nagobb, mint a Nap. hamis állítás = 6. igaz állítás Ma vasárnap van. igaz vag hamis állítás aszerint, hog melik napon hangzik el Tilos a dohánzás! nem állítás, mert nem kijelentő mondat A legszebb virág a rózsa. nem állítás, mert nem dönthető el egértelműen, hog a tartalma igaz-e (az emberek más-más virágot gondolnak a legszebbnek) A logika fogalomkörébe beilleszthetők az egenletek és az egenlőtlenségek is. Ha például az {; ; ; ; ; 6; 7; 8, 9} alaphalmazon keressük a < ; = ; > nitott mondatok igazsághalmazát, akkor azt is mondhatjuk, hog az {; ; ; ; ; 6; 7; 8; 9} alaphalmazon meg akarjuk oldani a < egenlőtlenséget, a = egenletet és a > egenlőtlenséget. A < nitott mondat igazsághalmaza (és egúttal a < egenlőtlenség megoldáshalmaza): {; ; }. A = nitott mondat igazsághalmaza (és egúttal a = egenlet megoldáshalmaza): {}. A > nitott mondat igazsághalmaza (és egúttal a > egenlőtlenség megoldáshalmaza): {; 6; 7; 8; 9}. 66. lecke ALAPHALMAZ, ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY, MEGOLDÁSHALMAZ 97

98 67 PROBLÉMAMEGOLDÁS EGYENLETEKKEL KIDOLGOZOTT FELADAT Hajni füvet nír, de sajnos csak eg régi, kis teljesítménű fűnírójuk van. Bence segít neki: Ez a kert körülbelül 600 m. Ha egedül csinálod nem végzel sötétedésig sem. Segítek neked. Kölcsönkérjük a szomszéd szuper fűníróját is, íg egütt megleszünk, óra alatt, hiszen a szuper fűníróval óra alatt én egedül is le tudnám nírni az összes füvet. Menni időbe telne a fűnírás Hajninak egedül? Megoldás Első módszer (egenlettel) Foglaljuk táblázatba, mit tudunk Hajni és Bence fűnírásáról! Hajni Bence Egedül a 600 m -t enni óra alatt nírná le óra óra óra alatt enni m -t nír le = 00 Második módszer (okoskodással), óra alatt enni m -t nír le, 600, 00 = 0 Bence egedül óra alatt nírja le a kertet. Hajni és Bence egütt, óra alatt nírja le az egész kertet, azaz 600 m -t. Írjuk fel mindezt egenlettel, a táblázat utolsó sorának felhasználásával! óra alatt a felét nírja le., / 0, /, /: 0 6 Tehát Hajni egedül 6 óra alatt nírná le a füvet. Ellenőrzés Ha Hajni egedül 6 óra alatt nír le 600 m füvet, akkor, óra alatt éppen a kert egnegedét nírja le, azaz 0 m -t. Bence, aki óra alatt végez 00 m -rel,, óra alatt ennek a másfélszereséről, 0 m -ről vágja le a füvet. Ketten egütt = 600 m -nit vágnak le, azaz éppen végeznek a fűnírással a teljes kertben., óra alatt a -ét nírja le. Hajni ezt az kertet nírta le, óra alatt. Hajninak a teljes kerthez egedül -szer enni időre van szüksége, azaz 6 órára. 98 EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

99 FELADAT. Eg kezdő gépírót eg hosszú szöveg legépelésével bíznak meg. Segítségül hívja egik gakorlott kollégáját, aki egedül óra alatt tudná legépelni ezt a szöveget. Ketten egütt dolgozva óra perc alatt elkészülnek a munkával. Menni ideig tartott volna a hosszú szöveg legépelése a kezdő gépírónak egedül? Oldd meg a feladatot egenlettel és okoskodással is!. Eg ékszergárban 00% arantartalmú ( karátos) és % arantartalmú (6 karátos) törtaran összeolvasztásával kg 7% arantartalmú (8 kará tos) aranat kaptak. Hán kilogramm színaranra nra volt szükség? Oldd meg a feladatot egenlettel és okoskodással is!. Pali a matematikaosztálzatainak átlagát számolgatja. Az osztálzatok összege 66. Érdekes, hog ha az utolsó három osztálzatomat eg hármast és két négest elhagnám, akkor ugananni lenne a jegeim átlaga, mint most. Hán osztálzata lehet Palinak? Oldd meg okoskodással és egenlettel is!. Eg futballcsapat eg idénben mérkőzést játszott. Kettővel kevesebb meccset vesztettek, mint amennit nertek, és feleanni döntetlent játszottak, mint ahán meccset vesztettek. Hán nert, hán vesztett és hán döntetlen meccsük volt? HÁZI FELADAT. Eg nag építkezésen dolgozó cölöpverő gép óra alatt verné le az összes cölöpöt, eg másik gép viszont egedül dolgozva óra alatt végezne ezzel a munkával. Menni idő alatt készülnek el, ha a két cölöpverő egütt dolgozik?. Bence óra alatt 0 m -t ás fel, Hajni óra alatt 6 m -t. a) Két óra alatt hán m -t ásnak fel ketten egütt dolgozva? b) Hán óra alatt ásnak fel 0 m -t egedül? c) Hán óra alatt ásnak fel 0 m -t egütt?. Eg liter (000 gramm) %-os és eg liter %-os sóoldatunk van. (A százalékos aránon most tömegszázalékot értsünk!) a) Hán gramm só van az egik, illetve a másik oldatban? b) Összeöntjük a két sóoldatot. Hán százalékos oldatot kapunk?. A boltban csak 00%-os és %-os gümölcstartalmú narancslét lehet kapni. A 00%-os nagon tömén, a %-os meg túl vízízű, a kettő között lenne az igazi. Melikből mennit keverjünk össze eg kancsóban, hog liter %-os gümölcstartalmú narancslevet kapjunk? 67. lecke PROBLÉMAMEGOLDÁS EGYENLETEKKEL 99

100 68 EGYENLETEK MEGOLDÁSA CSOPORTMUNKA. Eg papírbolt ügetlen eladója hasra esett két doboz húsvéti képeslappal, azok szétszóródtak és reméntelenül összekeveredtek.. Eg parkolóórába összesen húsz- és ötvenforintos érmét dobtunk be, hog kifizessük a 0 forintos parkolási díjat. Melik érméből hán darabot dobtunk be?. Testnevelésórán éppen a diákok rövidtávfutás-idejét mérik. Minden körben ketten futnak a pálán, azonban a sípszónál az egikük kissé beragadt, amivel értékes másodpercet vesztett. Hog behozza a lemaradását, m sebességgel futotta végig a távot, s míg a másik diák csak, m -mal. Íg egszerre értek a s célvonalhoz.. A dobozokban összesen 00 képeslap volt, de azt nem tudták, hog melikből menni. A drágább fajta 80 Ft, az olcsóbb 0 Ft lenne, de a boltvezető úg határozott, hog nem vacakolnak a szétválogatással, eladják az egészet = 6 forintos átlagáron. Az összes képeslap eladása után kiderült, hog íg 00 forinttal több bevételük lett, mint amennit eredetileg vártak. a) Az olcsóbb vag a drágább képeslapból volt több? b) Melik fajtából hán képeslap keveredett össze? c) Eredetileg menni volt az 00 képeslap darabonkénti átlagára? Eg befektető forintot fektetett részvénekbe és kötvénekbe. Eg év alatt a részvének 9%-os nereséget hoztak, a kötvének 7%-ot. Mennit fektetett részvénbe, illetve kötvénbe, ha év végére öszszesen 000 forint nereségre tett szert?. a) Melik gerek hán másodperc alatt futja le a távot? b) Milen hosszú a futópála? Reggelenként Albert kénelmes, km -s tempóval h sétál iskolába menet. Lemérte, hog ha reggel neged nolckor indul otthonról, akkor éppen idejében érkezik az iskolába. Ma azonban elaludt, ezért fél nolc- 00 EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

101 kor indult útnak. Íg most 7 km -s tempót kell végig h tartania, hog a szokásos időpontban érkezzen meg. a) Általában menni idő alatt teszi meg Albert az iskolába vezető utat? b) Mekkora utat tesz meg Albert otthontól az iskoláig? 6. A hagomános, 00 wattos izzó ára 90 Ft, az azonos fénerejű 0 wattos energiatakarékos izzó viszont már 00 Ft-ba kerül. kilowattóra elektromos energia ára 0 Ft. (A 00 wattos izzó 0 óra üzemelés alatt éppen kilowattóra elektromos energiát használ el.) a) Hán üzemóra után lehet azt mondani, hog gazdaságosabb a 0 wattos izzó működtetése? Napi órás üzemidőt feltételezve, hán nap alatt térül meg a drágább izzó vásárlása? b) A hagomános izzó élettartama kb. 000 óra, az energiatakarékosé pedig kb óra. Hán forint a megtakarítás eg energiatakarékos izzó élettartama alatt? c) Mutassátok be grafikus úton is az energiatakarékos izzó előnét! HÁZI FELADAT. Eg vállalkozó két édességboltot üzemeltet. A két bolt nitvatartási rendje azonos. A városközpontban álló üzlet naponta átlagosan %-kal több bevételt hoz, mint a piactér melletti. Májusban karbantartási munkák miatt három napra be kellett zárni a városközpontban álló boltot; emiatt aztán mindkét boltban uganakkora lett a havi összbevétel. Hán napot tartottak nitva az eges boltok májusban?. A diákok sífutóversenén Anti egenletes sebességgel síel. Öt perccel Anti indulása után indul Zsombor, aki percenként 90 méterrel többet tesz meg, íg 0 perc múlva utoléri Antit.. Balázs, Máté és az édesapjuk egütt 78 évesek. a) Mekkora volt Zsombor sebessége? b) Mennit síelt Anti, amíg Zsombor utolérte?. Eg ellipszis alakú, 00 méter hosszúságú versenpálán üldözéses kerékpárversen folik. Tóbiás és Döme a pála két ellentétes pontjáról indul uganabba az iránba. A sebességük állandó: Tóbiásé 8 m, Döméé 9, m. Menni idő múlva éri utol az s s egik a másikat? 6 év múlva az életkoruk arána : : 7 lesz. Hán éves a két fiú? 68. lecke EGYENLETEK MEGOLDÁSA 0

102 RÁADÁS. A villamosmegálló tájékoztatója szerint a következő villamos perc múlva érkezik. A 0 perces villamosút helett Karcsiék inkább galog indultak el, és eg óra alatt tették meg a km-es távot. a) Hán villamos haladt el mellettük és előzte meg őket, ha a villamosok a menetrend szerint perces időközönként követik egmást? b) Hán szemből jövő villamossal találkozhattak, ha a másik végállomásról mindig akkor indul eg-eg villamos, amikor beérkezik eg ellenkező iránú? Megoldás A villamosok számára vonatkozó egenletet nehéz felírni, viszont grafikonok segítségével meglepően egszerű a megoldás., = 60,, 0, A vízszintes tengelen a percekben mért időt, a függőlegesen a km-ben mért megtett utat látjuk. A piros vonal Karcsiék mozgásgrafikonja. A metszéspontok azt jelzik, hog villamos hagta el Karcsiékat, és szemből jövő villamost számolhattak meg. 0 EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

103 .. Eg agár kerget eg nulat. A távolságuk 0 méter. A núl sebessége 0 km, az agár percenként 0 métert tesz meg. Utoléri-e az agár a nulat? Ha igen, h menni idő alatt? Válasszuk meg a p-vel jelölt számot úg, hog a ( + ) = p + egenlet göke pozitív szám legen! Megoldás Próbálgatással können találhatunk ilen számokat, például ha p =, akkor =, ha p = 0, akkor = 7. A p összes megfelelő értékét is megkaphatjuk a mérlegelv segítségével: ( + ) = p = p + / = p = (p ). A jobb oldali szorzat -vel egenlő, tehát pozitív. Az ténezőnek (az egenlet gökének) pozitívnak kell lennie. Ez úg lehetséges, hog a másik ténező is pozitív: p > 0, vagis p >. Tehát akkor pozitív az egenlet göke, ha a p-t a -nál nagobb számnak választjuk: =, ha p >. p Okoskodásunkból az is következik (ami nem tartozik hozzá feladatunk megoldásához), hog ha p <, akkor az egenlet göke negatív szám; ha p =, akkor az egenletnek egáltalán nincs göke, mert a = 0 azt jelentené, hog = 0. ELMÉLET A most vizsgált egenletben két betű szerepelt. A p-t úg tekintettük, mintha eg adott szám lenne, az -et pedig a p értékének megfelelően határoztuk meg. Az ilen típusú egenletet paraméteres egenletnek nevezzük. Példánkban a p volt a paraméter. Eg egenletben több paraméter is lehet.. Eg apa A éves, a lána B éves. Hán év múlva lesz az apa -szor anni idős, mint a lána? (Legen A 0 és B > 0.) vagis az apa 0 év múlva ( évesen) lesz -szor anni idős, mint a lána, aki akkor éves lesz. A szöveg eg a jövőben megvalósuló eseménről szól, ezért csak pozitív megoldást fogadhatunk el. Ennek feltétele az, Megoldás Mondjuk, hog év múlva. Ekkor az apa életkora A +, hog az A > B igaz legen, vagis az apa jelenlegi életkora több mint háromszorosa legen a lána életkorának. a leáné B + év lesz. Azt tudjuk, hog az apa életkora -szor akkora, mint a leáné, tehát A + = (B + ). Ebben az egenletben az ismeretlen, A és B pedig paraméter. Oldjuk meg az egenletet a mérlegelv segítségével! A + = B + / B A B = / : = A B Ha például az apa éves és a lána éves, akkor = =0, 68. lecke EGYENLETEK MEGOLDÁSA 0

104 69 GRAFIKUS MEGOLDÁSOK KIDOLGOZOTT FELADAT. Sári a piacon madáreledelt vett. Ennek 0%-a fénmag. Ezt az aránt szeretné Sári 0%-ra növelni. Menni fénmagot tegen a piacon vásárolt 0 dkg magkeverékhez? Megoldás Legen a szükséges fénmag tömege dkg. Ha ezt Sári a piacon vásárolt madáreledelhez önti, akkor a keverék tömege (0 + ) dkg lesz, ennek a fele 0, (0 + ) dkg fénmag. A megvásárolt 0 dkg madáreledelben 0 0, = = dkg fénmag volt, ehhez jött még dkg. Ezért összesen ( + ) dkg fénmag lesz a keverékben. Tehát 0, (0 + ) = + ; 0 + 0, = +. Oldjuk meg ezt az egenletet! Első (algebrai) módszer 0 + 0, = + / 0, 8 = 0, / 6 = Tehát 6 dkg fénmagot kell Sárinak a piacon vásárolt keverékhez öntenie. Ellenőrzés Ha Sári a 0 dkg magkeverékhez 6 dkg fénmagot önt, akkor 6 dkg magkeveréket kap. Ebben összesen + 6 = 8 dkg fénmag van, és ez valóban 0%-a az 6 dkg-nak. Második (grafikus) módszer Rajzoljuk meg közös koordináta-rendszerben az 0 + 0, és az + függvén grafikonját! 0 0 = = 0 0, Ez a két grafikon a (6; 8) pontban metszi egmást. A metszéspont első koordinátája a 0 + 0, = + egenlet göke: = 6. Uganazt az eredmént kaptuk, amit az első módszerrel.. Melek azok a számok, amelek esetében a) = + ; b) < +? Megoldás Rajzoljuk meg közös koordináta-rendszerben az és az + függvén grafikonját! 6 = = a) Az ábráról leolvashatjuk, hog a két grafikon két pontban metszi egmást. Ennek a két pontnak az első koordinátája az adott egenlet két göke. A jobb oldali metszéspont első koordinátája 6, a bal oldalié pedig. Behelettesítéssel ellenőrizhetjük, hog 0 6 = 6 + és = ( ) + is igaz, tehát az adott egenletnek két göke van: a és a 6. Az egenlet megoldáshalmaza: { ; 6}. 0 EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

105 b) Rajzunkról azt is leolvashatjuk, hog ha < < 6, akkor az függvén értéke kisebb, mint az + függvéné, ezért itt < +. Azt is látjuk, hog ha ] ; 6[, akkor nem igaz, hog Ezért az < + egenlőtlenség megoldáshalmaza a ] ; 6[ intervallum. A felírt egenlőtlenségnek tehát végtelen sok megoldása van. < +. FELADAT. Oldd meg grafikus módszerrel a következő egenleteket, illetve egenlőtlenségeket! a) = + b) < + c) = d) Az egenlőtlenség megoldásához a függvénábrázoló programok is használhatók. KIDOLGOZOTT FELADAT. Melek azok a számok, amelek esetében = 6 és = + is igaz? Az =6 = kétismeretlenes egenletrendszer megol- + Megoldás Eg kétismeretlenes egenletrendszert kell megoldanunk. Olan számokat kell találnunk, ameleket az és az helett az egenletekbe írva mindkét esetben igaz kijelentést kapunk. A feladatot ismét grafikus úton oldjuk meg. Rajzoljuk meg az = 6 és az = + egenletű egeneseket (amelek az 6, illetve az + elsőfokú függvének grafikonjai)! dása a (; ) rendezett számpár = (; ) = 6 A két egenes metszéspontja a (; ) pont. Ha az egenletekben helébe -t, az helébe pedig -et helettesítünk, akkor mindkét egenletből eg-eg igaz kijelentést kapunk ( = 6 igaz, és = + =+ is igaz). Az egenletrendszer megoldásához a függ vénábrázoló programok is használhatók. 69. lecke GRAFIKUS MEGOLDÁSOK 0

106 . Eg sokszáz éves, híres feladat nomán: Eg udvaron túkok és nulak vannak, összesen Megjegzés Eredménünket íg is megfogalmazhatjuk: 7 fejük és 0 lábuk van. Hán túk és hán núl van + =7 közöttük? Az kétismeretlenes egenletrendszer meg- + =0 oldása a (; ) ren dezett számpár. Első megoldás (egenletekkel) Mondjuk, hog núl és túk van közöttük. Összesen 7 fejük van, ami azt jelenti, hog + = 7. Az núlnak lába, az túknak lába van. Összesen 0 lábuk van, ami azt jelenti, hog + = 0, vagis + = 0. Az ábrán azt a két egenest látjuk, ameleknek az egenlete: + = 7, vag másképp = 7 (ez az 7 függvén grafikonja); illetve + = 0, vag másképp = 0 (ez az 0 függvén grafikonja). Második megoldás (okoskodással) Rajzoljunk le 7 testet, mindegikhez tegünk két lábat! Ekkor felhasználtunk lábat, maradt még 0 = 6. A 6 lábat kettesével odarajzoljuk a testhez, = 0 6 (; ) = 7 ez a (néglábú) rajz szemlélteti a nulakat, az a test pedig, ameliknél csak két láb maradt, szemlélteti a túkokat. 0 Ez a két egenes a (; ) pontban metszi egmást. Ez azt jelenti, hog ha = és =, akkor mindkét egenletből igaz állítást kapunk. Másképp: az udvaron núl és túk van. 06 EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

107 FELADAT. Oldd meg az egenletrendszereket grafikus módszerrel! = + a) = + b) c) = = + =0 + =6.. Oldd meg az egenleteket grafikus úton! Ellenőrizd az eredméneket behelettesítéssel! a) - = - b) 7 + = + c) - = - Oldd meg az alábbi feladatot okoskodással! Eg udvaron túkok és nulak vannak, összesen fejük és 66 lábuk van. Hán túk és hán núl van közöttük? HÁZI FELADAT. Oldd meg grafikus módszerrel! a) + = b) +. Oldd meg az egenletrendszereket grafikus módszerrel!. Oldd meg grafikusan az egenleteket, egenlőtlenségeket! a) = b) c) ( + ) = + d) ( + ) +. a) b) = =0, = + = c) d) + =6 = + + =0 = A vásárban csikóért malacot és tallért kell fizetni, két csikóért viszont malacot és tallért. Hán tallérba kerül csikó, és mennibe malac? 69. lecke GRAFIKUS MEGOLDÁSOK 07

108 70 EGYENLŐTLENSÉGEK BEVEZETŐ Hán évesek lehetnek az ötös ikrek, ha tudjuk, hog év múlva sem éri el az életkoruk összege a 00-at? Megoldás Ha most évesek, akkor év múlva + évesek lesznek, az életkoruk összege pedig -ször enni lesz. A feladat szerint ( + ) < 00. Eg egenlőtlenséget kaptunk, amelet a mérlegelvvel oldunk meg: ( + ) < 00 / : + < 0 / < 8 Eredménünk azt mutatja, hog az ikrek még nem érték el a 8 évet. Ellenőrzés Ha most 8 évesek lennének, akkor év múlva az életkoruk összege 0 = 00 lenne. Ha pedig már most 8 évesnél idősebbek lennének, akkor ez az összeg 00-nál nagobb szám lenne. ELMÉLET Az egenlőtlenségek megoldására is használhatjuk a mérlegelvet. Ez azt jelenti, hog az egenlőtlenség megoldásainak a halmaza nem változik meg, ha a <, >,, jel két oldalán álló kifejezést (számot) uganannival növeljük vag csökkentjük, uganazzal a pozitív számmal megszorozzuk vag elosztjuk, uganazzal a negatív számmal megszorozzuk vag elosztjuk, és ezzel egszerre a <, >,, illetve jelet az ellenkezőjére változtatjuk. Tehát a negatív számokkal való szorzás és osztás esetében különösen figelnünk kell. Nilvánvaló, hog ilenkor meg kell fordítanunk a jelet, mert például < 8, de > 8; <, de > ; 9 < 6, de 9 > 6; vagis a ( )-gel való szorzás megfordítja a nagságviszonokat. Uganez a helzet az osztással is. FELADAT. Oldd meg az egenlőtlenségeket a mérlegelv alkalmazásával! a) 8 < ( 7 8 ) b) ( + ) 8 + c) EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

109 KIDOLGOZOTT FELADAT. A grafikon alapján döntsük el, melik természetes számokra igaz, hog + 6! = = 6 0 Megoldás Olan pontokat kell keresnünk az = + egenletű egenesen, ameleknek első koordinátája természetes szám, és amelekhez legalább akkora második koordináta tartozik, mint az = 6 egenes megfelelő pontjaihoz. Nég ilen pont van: (0; ), (; ), (; ) és (; ). Tehát az N alaphalmazon az + 6 egenlőtlenség megoldáshalmaza: {0; ; ; }. Megjegzés Az + 6 egenlőtlenséget algebrai úton is megoldhatjuk. A mérlegelvet használjuk: + 6 / 7 / : ( ),. Az utolsó lépésnél a jelet -re változtattuk. Azt kaptuk, hog az természetes számnak,-nél kisebbnek kell lennie. Nég ilen természetes szám van: a 0, az, a és a.. Van-e olan, legfeljebb cm kerületű háromszög, amelnek oldalai (cm-ben mérve), + és + 8 hosszúak? Megoldás A kívánt tulajdonságú háromszög létezéséhez három feltételnek kell teljesülnie: > 0 és + ( + ) + ( + 8) (a kerület miatt) és + 8 < + ( + ) (a háromszög-egenlőtlenség miatt). Meg kell oldanunk a következő egismeretlenes egenlőtlenség-rendszert: > 0 és + és + 8 < +. A második egenlőtlenséget mérlegelvvel megoldva:. A harmadik egenlőtlenséget mérlegelvvel megoldva: <. Olan pozitív szám azonban nincs, amelnél egszerre beteljesülne az, hog -nál nem nagobb, -nél viszont nagobb. Nincs tehát a szövegnek megfelelő háromszög. FELADAT. A grafikonok segítségével oldd meg az egenlőtlenségeket a természetes számok halmazán, majd a valós számok halmazán is! a) 0 b) + c) >, 0, d) lecke EGYENLŐTLENSÉGEK 09

110 .. Hán olan, legfeljebb cm kerületű háromszög létezik, amelnek oldalai (cm-ben mérve), + és + hosszúak? Hán olan van ezek között, amelekre N? cm + cm + cm Oldd meg az egenlőtlenségeket grafikus úton! a) - # - b) Szociális segél igénlésekor a jogosultság egik feltétele az eg főre jutó jövedelem. A család létszámát íg határozzák meg: igénlő,, igénlő házastársa 0,9, gerekenként 0,8. (Tehát eg fős család létszáma :, + 0,9 + 0,8 =,9.) A család akkor részesülhet szociális segélben, ha a család összjövedelmének és a család fentebb leírt módon kiszámított létszámának hánadosa nem haladja meg a 6 00 tallért. Az egik igénlőnek és házastársának két germeke volt, és csak a harmadik germekük megszületése után váltak jogosulttá a szociális segélre. Menni lehetett a család összjövedelme eredetileg, ha a bevételeik a harmadik germek megszületése után még a. germek után járó 000 tallér családi pótlékkal megnőtt? HÁZI FELADAT. Juditnak biológiából öt osztálzata van, ezek átlaga,8. Hán ötöst kell szereznie, hog az átlaga,- nél nagobb legen? Oldd meg módszeres próbálkozással és egenlőtlenséggel is!. Oldd meg az egenlőtlenségeket a grafikonok segítségével a valós számok halmazán! a) 0 c) > 0, 0 0 b) < 6 + d) + 6. Oldd meg az egenlőtlenség-rendszereket! a) < 0 és 8 0 b) 7 és + 0 c) + 9 < és < EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

111 EMELT SZINT FELADAT. Hán göke van a (c 9) = c + 7 egenletnek a c paraméter különböző értékei esetén? Megoldás Alakítsuk szorzattá a c 9 és a c + 7 kifejezéseket! c 9 = (c + ) (c ) és c + 7 = (c + ) (c c + 9), ezért az adott egenlet íg is felírható: (c + ) (c ) = (c + ) (c c + 9). A mérlegelvet szeretnénk használni, osztanánk az egütthatójával. Ezt azonban csak akkor tehetjük meg, ha az nem egenlő 0-val. Ebben az esetben = (c + )(c c + 9) = c c + 9. (c + )(c ) c Ha például c =, akkor az egenlet göke + 9 = 9 =9,. Ha azonban (c + ) (c ) = 0, akkor ez az osztás nem végezhető el. Ezt az esetet külön meg kell vizsgálnunk. (c + ) (c ) = 0, ha c + = 0, vag c = 0, más esetekben (c + ) (c ) 0. Ha c + = 0, akkor c =, az egenlet: 0 = 0, megoldáshalmaza: R. Ha c = 0, akkor c =, az egenlet: 0 =, megoldáshalmaza: Ø. Tehát az adott egenletnek nincs göke, ha c =, eg göke van (a c c + 9 ), ha c valós szám, de nem a és nem a, c végtelen sok göke van, ha c =.... Oldd meg a következő paraméteres egenleteket (a p paraméter)! a) p p = p b) p + = p + 0 p + c) p p = 0 p + ( + ) d) (p + ) (p ) = p 6 Hogan kell megválasztanunk a. feladat részei ben a p paraméter értékét, ha azt akarjuk, hog adott egenletnek eg göke legen, mégpedig eg -nál nagobb szám? A p paraméter megválasztásától függően hán gökük van a következő egenleteknek? (A megoldáshoz rajzold meg az + függvén grafikonját!) a) + = p b) + = p c) + = p + 0 d) + = p lecke EGYENLŐTLENSÉGEK

112 7 KISEBB, NAGYOBB, EGYENLŐ FELADAT. Eg kisebb cég fennállásának 0. évfordulójára ünnepséget szervez. A cégvezetés úg dönt, hog az ünnepi vacsorán eg-eg vidám ajándéktárggal meglepi a alkalmazottat. Az ajándékokat Ft-os keretből szeretnék megoldani. Kétféle ajándéktárg merült fel: eg 800 Ft-os naklánc és eg 00 Ft-os határidőnapló. Annak a alkalmazottnak, akik a forgalmazással foglalkoznak, mindenképpen naplót szeretnének adni. Hán nakláncot és hán határidőnaplót vehetnek a Ft-ból? s k = s = k s = k a) Figeld meg az egenletet és az egenlőtlenségeket! Mit jelenthetnek a betűk? Mit jelentenek az egenlőtlenségek? Mit jelentenek a koordináta-rendszerben bejelölt részek? k + s = ; k ; 0 s 8;, k +,8 s 0. b) Gondold végig a feladatot úg is, hog csak eg ismeretlent vezetünk be! Ha k db határidőnaplót veszünk, akkor - k db nakláncra lesz szükség. Írd fel, hog ezek mennibe kerülnek összesen! c) A teljes költség nem lehet több 0 ezer forintnál. Menni lehet ekkor a k? d) Hánféle megoldás jöhet szóba, ha az összes feltételt figelembe veszed? EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

113 KIDOLGOZOTT FELADAT. Az állatkertbe 90 Ft a családi jeg (két felnőtt és két gerek részére). Minden további gerek után 890 Ft-ot kell fizetni. Mekkora létszámú gerekcsoportot vigen két óvónő az állatkertbe, hog (az óvónőket is beleértve) az eg főre jutó jegár 000 Ft-nál kevesebb legen? Meg kell tehát oldanunk az < 000 egenlőtlenséget a természetes számok halmazán. + Az + ebben az esetben pozitív, ezért nem fordul meg a relációs jel, ha megszorozzuk vele az egenlőtlenség mindkét oldalát < 000 / ( + ) < / < / < 90 / : ( 0) >,7 Tekintve, hog a gerekek száma természetes szám, a megoldás, tehát összesen legalább + = gerekkel kell menniük. Megoldás Két óvónő és két gerek bemehet a családi jeggel. Jelöljük a további gerekek számát -szel. Ekkor a teljes fizetendő összeg + fő után Ft Az eg főre jutó rész:. Ennek kell 000 Ft-nál + kevesebbnek lennie. Ellenőrzés A 6 belépőért fizetett összeg: = 970 Ft. Ez kevesebb forintnál, íg az eg főre jutó jegár valóban kevesebb 000 Ft-nál. Megjegzés Ekkora csoportnak már érdemes csoportos belépőt rendelni. Ezt ugan korábban kell elintézni, viszont jóval olcsóbb. 7. lecke KISEBB, NAGYOBB, EGYENLŐ

114 . Oldjuk meg az ( + ) ( ) > 0 egenlőtlenséget a valós számok halmazán! Eg kétténezős szorzat pontosan akkor pozitív, ha mindkét ténező pozitív vag negatív. Vizsgáljuk ezért mindkét ténező előjelét. Első megoldás Ábrázoljuk az + és elsőfokú függvéneket! = 6 = 0 6 A ( )-nél kisebb számok esetén az első függvén negatív, a második pozitív értékeket vesz fel, tehát ezek a számok nem megoldásai az egenlőtlenségnek. A ( )-nél nagobb és -nél kisebb számok esetén mindkét függvén pozitív értékeket vesz fel, ezért ezek a számok mind megoldásai az egenlőtlenségnek. A -nél nagobb számok esetén az első függvén pozitív, a második negatív értékeket vesz fel, tehát ezek a számok sem megoldásai az egenlőtlenségnek. A és szintén nem megoldás, hiszen ezek bármelikének behelettesítésekor az eredeti egenlőtlenségből a 0 > 0 hamis kijelentést kapjuk. Összefoglalva: az ( + ) ( ) > 0 egenlőtlenségnek minden és közötti szám göke, és más göke nincs. Ezért az egenlőtlenség megoldáshalmaza a ] ; [ nílt intervallum. Második megoldás ( + > 0 és > 0) vag ( + < 0 és < 0), ( > és > ) vag ( < és < ). Az első zárójeles egenlőtlenségrendszer megoldáshalmaza a ] ; [ nílt intervallum, a másodiké pedig az üres halmaz [nincs uganis olan ( )-nél kisebb szám, amel -nél nagobb lenne]. Tehát az ( + ) ( ) > 0 egenlőtlenség megoldáshalmaza a ] ; [ nílt intervallum. FELADAT.. Eg alapítváni iskola bevétele az iskola tanulóinak létszámától is függ. Ha az iskolának 00-nál több tanulója van, akkor a heli önkormánzattól tallért és a 00-on felüli létszám után tanulónként még 800 tallér hozzájárulást kapnak. A támogatás feltétele az, hog a teljes juttatás eg tanulóra jutó összege nagobb legen 0 tallérnál, de ne haladja meg a 600 tallért. Mekkora létszám esetén kaphatja meg az iskola az önkormánzati támogatást? Hán megoldása van a feladatnak? Oldd meg a valós számok halmazán az + a) > 0; + b) 0;.. c) + 0 egenlőtlenséget! Megoldásaidat a függvénábrázoló programok segítségével is ellenőrizheted. Oldd meg az egenlőtlenségeket a valós számok halmazán! a) ^- h$ ^- h# 0 b) Oldd meg az egenlőtlenséget a valós számok halmazán! ^+ h$ ^+ h$ ^+ h 0 EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

115 HÁZI FELADAT. Hán olan P(; ) pont van a koordináta-rendszer síkjában, amelnek mindkét koordinátája egész szám, továbbá: 0 és 6 0 és +? 9. Tibornak a < 0 egenlőtlenséget kellett megoldania. Úg gondolta, alkalmazza a mérlegelvet. Mindkét oldalt megszorozta -szel: < 0. Ez hamis kijelentés, tehát az egenlőtlenségnek nincs megoldása gondolta Tibor. Jól gondolkodott-e Tibor? Válaszod indokold! Oldd meg a következő egenlőtlenségeket a valós számok halmazán! + a) + < 0 b) 0 c) Megoldásaidat a függvénábrázoló programok segítségével is ellenőrizheted.. Eg játékban három dobókockával dobunk. A dobott pontok összegét jelöljük p-vel. A játékban nerünk, ha a (9 p) p szorzat értéke negatív, egébként veszítünk. Hánféle pontösszeg esetén nerhetünk? 7. lecke KISEBB, NAGYOBB, EGYENLŐ

116 7 ALGEBRAI MÓDSZEREK EGYENLET- RENDSZEREK MEGOLDÁSÁRA KIDOLGOZOTT FELADAT. Oldjuk meg az + 7 =9 7 = egenletrendszert! Megoldás Az első egenletben 7, a másodikban 7 szerepel. Összeadjuk a két egenlet bal oldalán álló kifejezéseket és a jobb oldalon álló számokat. Ezek az összegek egenlők: ( + 7 ) + ( 7 ) = 9 + ( ). A zárójelek felbontása és az összevonás után azt kapjuk, hog 7 = 7, vagis =. Ezt beírjuk valamelik egenletbe, például az elsőbe: + 7 = 9 7 = = Tehát az + 7 =9 egenletrendszer megoldása az 7 = (; ) rendezett számpár. Ellenőrzés Ha = és =, akkor + 7 = + = 9 és 7 = =. Az egenletrendszer megoldása azért volt ilen egszerű, mert a két egenletben az egik ismeretlen egütthatójának uganaz volt az abszolút értéke. E megoldási módszer neve: az egenlő egütthatók módszere.. Oldjuk meg a + = + =9 egenletrendszert! Megoldás Első (behelettesítő) módszer Az első egenletből a másik segítségével kifejezzük valamelik ismeretlent: + = = = ( ) : =,, Most a második egenletbe az helére beírjuk az,, kifejezést: + (,, ) = 9. Íg egismeretlenes egenletet kapunk, amelből kiszámítjuk az -et: + 6,, = 9, = 7, = Ha =, akkor =,, =,, =. Ellenőrzés + = 9 + =, + = 6 + = 9, tehát eredménünk mindkét egenletnek megfelel. Eszerint az adott egenletrendszer megoldása a (; ) rendezett számpár. Második (összehasonlító) módszer Mindkét egenletből kifejezzük valamelik ismeretlent, például az -t: Az első egenletből: =,, ; a másodikból: =. Ha az egenlő az (,, )-szel is és a -szel is, akkor ezek egmással is egenlők:,, =, amiből azt kapjuk, hog =. Ha =, akkor =,, =. Harmadik módszer (az egenlő egütthatók módszere) Alakítsuk át az adott + = + =9 egenletrendszert úg, hog a megoldása ne változzon meg, de az egik ismeretlen egütthatói egenlők vag egmás ellentettjei legenek! + = + =9 / ( ) / 6 = =7 6 EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

117 Ha eg (; ) rendezett számpár megoldása mindkét egenletnek, akkor a bal, illetve a jobb oldalak összeadásával kapott új egenletnek is megoldása lesz = + 7 Ebből az = egenletet kapjuk, tehát =. Például az első egenletbe visszahelettesítve: + =, vagis =. Eredménül most is uganazt kaptuk, mint a másik két módszerrel.. Oldjuk meg az egenletrendszert! Megoldás A feladat elején leolvashatjuk, hog 0, és 0, hiszen 0 nem állhat a nevezőben. Ha az egenletek két oldalán álló számokat megszorozzuk -szel és -nal, akkor már nem lesz tört egik egenletben sem, de elég bonolult egenletekhez jutunk. Tehát ez a kiindulás nem segít a megoldásban. Ehelett gondoljunk az egenletekre úg, mintha nem és lenne az ismeretlen, hanem és. Vezessünk be új ismeretleneket: jelöljük ( -et a-val és ( -t b-vel! ) Ezzel a helettesítéssel a következő egenleteket kapjuk: a + b = * a b = Ezt oldjuk meg az eddig tanult módszerek közül valamelikkel, például az egenlő egütthatók módszerével. Ha összeadjuk a két egenlet bal, illetve jobb oldalán álló számokat, azt kapjuk, hog: a = 6, és ebből a =. Ezt az első egenletbe behelettesítve: b =. De az eredeti feladat nem a-t és b-t kérdezte, hanem -et és -t. a =, ebből = a = b =, ebből = b = Az egenletrendszer megoldása tehát az ( ; ) számpár. Végezd el az ellenőrzést: helettesítsd be az eredmént az eredeti egenletekbe! Ezt a feladatot az új ismeretlenek bevezetésének módszerével oldottuk meg. ) FELADAT... Oldd meg algebrai módszerrel az egenletrendszereket! 7 = + = a) c) 7 + = 8 =8 b) + 9 =0 7 =7 d) + 7 = 7 =0 Melik egenletrendszernek hán megoldása van? 0,6 =8 0,6 = a) b) 0 =0 0 =0 Oldd meg az egenletrendszereket!. Az iskolai rendezvénre készülve a főszervező diák a székeket számolgatja: Ez most 0 szék soronként. Ha átheleznénk a színpadot, akkor sorral kevesebb lenne ugan, de soronként 0 szék is elférne, és akkor 0-nel többen tudnának leülni. Hán szék van most a teremben? a) ^ + h- ^ + h=-6 ) ^- h+ ^- h= -6 b) ^- h + = + ) ^- h + = lecke ALGEBRAI MÓDSZEREK EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSÁRA 7

118 HÁZI FELADAT. Oldd meg az egenletrendszereket algebrai módszerrel! 9 = a) 9 =9 c) ( ) ( )= 8 ( )+ ( )= b) = + d) 6 = = + =. Eg nemzetközi epresszbusz a kedvező forgalmi viszonok miatt 8 km/h-val nagobb átlagsebességgel tudott haladni, mint amit a menetrend előír, íg 8 perccel a kiírt időpont előtt érkezett meg. Eg másik alkalommal a csúszós utak miatt az előírt átlagsebességnél km/h-val lassabban tudott csak haladni, íg óra 6 percet késett. Menni az előírt átlagsebesség? Mekkora utat kell megtennie a busznak a két végállomás között?. Eg kórház egik új szárnában összesen 6 kórterem kialakítását tervezik. A kórtermek kétágasak vag négágasak lehetnek. a) Az egik terv szerint összesen ágat heleznének el. Hán szoba lehetne kétágas? b) Eg másik terv legalább 0 kétágas szoba kialakítását javasolja. Hán ágat tudnának elhelezni? c) Az építési engedélben az szerepel, hog legfeljebb 8 kétágas szoba alakítható ki. Hán ágat tudnak elhelezni? EMELT SZINT FELADAT. Eg háromszög oldalainak hossza (mm-ben mérve) a, b és c. Tudjuk, hog a + b = 7, a + c = és b + c =. Mekkorák a háromszög oldalai? Most eg a b és a c ismeretlenekre vonatkozó egszerű egen letrendszert kaptunk: b + c = b + c = a mm c mm b mm Három ismeretlenünk és három egenletünk van. Ezek eg háromismeretlenes egenletrendszert alkotnak. A két egenlet bal oldalának összege c, a jobb oldaluk öszszege 8, tehát c = 8, amiből c = 9. Most már können megkapjuk az a és a b értékét is: b = c = 9 = a = 7 b = 7 = Tehát a vizsgált háromszög oldalainak hossza: mm, mm és 9 mm. Első megoldás Arra törekszünk, hog az egik ismeretlent kiküszöböljük, és kétismeretlenes egenletrendszerhez jussunk. Az első egenletből kifejezzük az a-t, és a kapott kifejezést behelettesítjük a második egenletbe az a helébe: a = 7 b, (7 b) + c =, b + c =. Ellenőrzés Két-két oldal összege 7,, illetve mm, és ilen háromszög valóban létezik. 8 EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

119 Második megoldás a + b =7 Összeadjuk az a + c = egenletrendszer bal oldalán lévő kifejezéseket és a jobb oldalukon lévő számokat. b + c = Azt kapjuk, hog a + b + c = 9, vagis a + b + c = 6. Ha a háromszög kerülete 6 mm, és ismerjük két oldalának az összegét, akkor a harmadik oldal nagságát azonnal megmondhatjuk: a + (b + c) = a + = 6, tehát a =, b + (a + c) = b + = 6, tehát b =, c + (a + b) = c + 7 = 6, tehát c = 9. Természetesen uganazt az eredmént kaptuk, mint az első megoldás esetében.. Oldjuk meg a egenletrendszert! + z = + z = háromismeretlenes + + z = Megoldás Először kiküszöböljük az egik ismeretlent, például a z-t. Az első egenletből: z = +. A kapott kifejezést behelettesítjük a második és a harmadik egenletbe a z helébe. Íg két olan egenletet kapunk, amelben csak az és az szerepel: + ( + ) = ; + = ; + + ( + ) = ; + =. Most tehát az + = egenletrendszert kell meg- = oldanunk. Azonnal leolvashatjuk, hog = 0 és =. Most már a z-t is können kiszámíthatjuk: z = + = + 0 =. Ellenőrzés A kapott értékeket mindhárom egenletbe behelettesítjük: + z = = ; + z = 0 = ; + + z = + 0 =. A behelettesítéssel csupa igaz állítást kaptunk, vagis a feladatot jól oldottuk meg. Tehát az adott egenletrendszernek eg megoldása van, az (; 0, ) rendezett számhármas. ELMÉLET Három- vag többismeretlenes egenletrendszer esetében általában anni egenletre van szükségünk, ahán ismeretlen szerepel az egenletrendszerben. Gakran használt algebrai módszer az, hog az ismeretlenek számát addig csökkentjük, amíg csak eg marad. A kapott egismeretlenes egenletet megoldjuk, majd rendre a többi ismeretlent is meghatározzuk. FELADAT.. Oldd meg az egenletrendszert a valós számok halmazán! Z- + z = ] [ + - z = - ] - 6+ z = \ Írj fel egenletrendszert a szöveg alapján, majd oldd meg a feladatot! Pisti és Feri eg ellipszis alakú futópálán tart edzést. Állandó sebességgel futnak. Megfigelték, hog amikor egmással szemben futnak, és a startvonaltól indulnak, akkor először perc múlva találkoznak újra. Ha egiránba indulnának, akkor 9 perc múlva találkoznának össze először. Ha Feri, aki a gorsabb, 0%-kal csökkentené a sebességét, Pisti pedig 0%-kal gorsabban futna, akkor egmással szemben futva, perc elteltével még nem találkoznának, ehhez még 0 m hiánozna. Milen hosszú a pála? Hán méter futnak a fiúk perc alatt? 7. lecke ALGEBRAI MÓDSZEREK EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSÁRA 9

120 7 EGYENLETRENDSZEREK FELADAT. Eg sok száz éves feladat: Eg öszvér és eg szamár nag csomagokkal bandukol az úton. Ha átadnál nekem 00 kg terhet, akkor éppen kétszer annit cipelnék, mint te mondja a szamár. Az öszvér íg felel: Ha pedig te adnál át nekem 00 kg-ot, akkor az én csomagom háromszor akkora lenne, mint a tiéd. Mekkora terhet visz a szamár, és mekkorát az öszvér? a) Mondjuk, hog a szamár kg, az öszvér kg terhet visz a hátán. Ha az öszvér átadna 00 kgot a szamárnak, akkor a szamár ( + 00) kg, az öszvér ( - 00) kg terhet vinne. Írj fel eg egenletet ezekkel a kifejezésekkel arról, amit a szamár mond! b) Írj fel hasonló módon eg egenletet arról is, amit az öszvér állít! c) Oldd meg a két egenletből álló, két ismeretlenes egenletrendszert! d) Fogalmazd meg a feladat válaszát! e) Ellenőrizd az eredménedet a szöveg alapján! ELMÉLET Ha eg problémát (feladatot) egenlettel vag egenletrendszerrel oldunk meg, mindig a tartalomra ügelve végezzük az ellenőrzést! FELADAT. Általában két különbözőféle babkonzervet szoktunk vásárolni. Rendszerint fél évre elegendő menniséget veszünk. Az egik konzerv darabja 60 forint, a másiké 00 forint. A félévi menniségért 6600 Ft-ot szoktunk fizetni. Most akciósan vettük, a drágábbat %-kal, az olcsóbbat 0%-kal kevesebbért, íg összesen 00 Ft-ot takarítottunk meg. Melik fajtából mennit szoktunk venni?. kg krumpli és kg narancs 70 Ft-ba kerül, kg krumpli és kg narancs pedig 790 Ft-ba. Hán forintba kerül a krumpli, illetve a narancs kilója?. Ha az egik könvespolcról 0 könvet áttennénk a másikra, akkor ezen -szer anni könv lenne, mint amenni az elsőn maradt. Ha azonban a második polcról tennénk át 0 könvet az elsőre, akkor az elsőn anni könv lenne, mint amenni a másodikon volt eredetileg. Hán könv van a két polcon? 0 EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

121 . 6. Eg diáknak könnű, egmásba helezhető műanag székeket kell átvinnie a szomszédos terembe eg iskolai rendezvén nézői számára. Ha minden fordulóban eggel több széket vinne, akkor -vel kevesebbszer kellene fordulnia. Ha viszont -gel kevesebb széket vinne mint most, akkor -gel több fordulóban tudná csak elvinni a székeket. Hán széket kell átvinnie, és ez hán fordulóban sikerül? Az automata mosógépek teljesítméne mosás közben nem állandó. Eg bizonos mosógép esetében a víz melegítésekor 000 W, egéb műveleteknél (mosás, szivattúzás, centrifugázás) pedig átlagosan 00 W az elektromos hálózatból fedezett teljesítmén. Menni ideig melegített vizet ez a mosógép, ha az egórás mosóprogramjának lefutása során összesen 800 Wh elektromos energiát használt fel? HÁZI FELADAT... Péternek a kávé-nagkereskedésben mindennap uganaz volt az egik feladata: a 000 Ft-os és 000 Ft-os kilónkénti árú kávéfajtákból 7, kg 600 Ft-os kilónkénti árú kávékeveréket kellett készítenie. Hán kilót vegen az egik, illetve a másik fajtából? Két négzet területe között 7 m különbség van. Az egik négzet kerülete 6 m-rel nagobb a másik négzet kerületénél. Hán méter a négzetek oldala? Két szám összege 60, különbsége. Melik ez a két szám?. Eg kis bolt vezetője szeretné fellendíteni a forgalmát, ezért árukészletének eg részét akciósan adná el. Ha az eddig literenként 0 Ft-ért árult tartós tejet 0%, a literenként 0 Ft-ért árult tejfölt pedig 7 Ft-os kedvezménnel árulná, akkor a teljes készlet kiárusítása esetén 970 Ft-tal lenne kevesebb e két cikkből a bevétele. Ha a tejet literenként 70 Ft-os kedvezménnel, a tejfölt pedig 0% kedvezménnel árulná, akkor 0 60 Ft-jába kerülne az akció. Menni tejet és menni tejfölt akar akciósan értékesíteni a boltvezető? RÁADÁS FELADAT Eg baráti társaság autós kiránduláson vett részt. Odafelé és visszafelé uganazon az úton mentek. Útközben emelkedők, lejtők és vízszintes útszakaszok is előfordultak. Gula óvatos vezető: az emelkedőkön átlagosan 60 km, a lejtős utakon óra 0 km km sebességgel haladt. 0 km-ni vízszintes szakasz is volt, ezen Gula 80 sebességgel vezetett. Odafelé óra óra óra perc, visszafelé óra alatt tették meg az utat. Hán km-re volt az úti céljuk? 7. lecke EGYENLETRENDSZEREK

122 7 RÉGI IDŐK MATEKJA FELADAT... Eg lántól megkérdezték, hán éves. Íg felelt: Anni vagok, amenni, Anám kétszer enni, Apám anámnál öttel több, Összesen 00 évesek vagunk. Hán éves volt ez a lán? Eg apának öt fia volt:,, 8, és évesek. Megkérdezte tőle a barátja, hog hán éves. Íg felelt: Éppen anni idős vagok, mint az öt fiam egüttvéve. De most te mondd meg nekem azt, hán év múlva leszek feleanni idős, mint a fiaim összesen! Oldd meg te is ezt a feladatot! Démokritosz, görög bölcs körülbelül 00 évvel ezelőtt élt. Vajon hán évesen halt meg? Mi derül ki ebből a versikéből? Hog meddig élt Démokritosz harmadát mint férfiú, megtudod, ha kutatod. ki sokat gondol, mélre lát. Életének ötödrészén És mikor hollófürtjeit germekmódra mulatott, aggkor hava födte be, negedrészét életének tizenhárom évet élt még, friss ifjúként élte át, és úg szállt a sírba le. (Megjegzés: A versike téved, Démokritosz még a 90. születésnapját is megérte.).. 6. A hagomán szerint Ljubusa cseh fejedelemnő ahhoz a kérőjéhez ment férjhez, aki a leggorsabban tudta megfejteni a következő rejtvént: Hán szilva volt abban a kosárban, amelből az első kérőjének adta a szilva felét és még -et, a második kérőjének a maradék felét és még -et, a harmadik kérőjének az újabb maradék felét és még -at, ha íg a kosárban már egetlen szem sem maradt? Eg réges-régi feladat: Eg ember felfogadott eg munkást, ígért neki eg évre aranat és eg kaftánt. A munkás 7 hónap után elment, és a bérét kérte. Megkapta a kaftánt és még aranat. A gazda jól számolt, igazságosan adta ki a bért. Vajon hán aranat ér a kaftán? Két bokron összesen veréb ült. Az egik bokorról átrepült a másikra, onnan más tájékra szállt 7 veréb. Íg a másodikon kétszer anni veréb lett, mint az elsőn. Hán veréb volt eredetileg az egik bokron, és hán a másikon? EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

123 7. Hán éves János, és hán éves Mihál, ha tudjuk, hog amikor Mihál anni idős lesz, mint János most, akkor egütt évesek lesznek; most pedig János háromszor anni idős, mint Mihál volt akkor, amikor János anni idős volt, mint Mihál most? 8. Mátás vitéz lovat és nerget vásárolt magának és a szolgájának. Az egik neregért ezüstöt, a másikért 0 ezüstöt fizetett. Ráró a drágább nereggel háromszor anniba került, mint Pejkó az olcsó nereggel. Pejkó és a drágább nereg ára egütt azonban csak feleanni volt, mint Ráróé az olcsóbb nereggel. Menniért vette Mátás vitéz Rárót? HÁZI FELADAT. Eg régiségkereskedő eg festmént és eg értékes sakk-készletet vásárolt 70 ezüstért. A sakk-készletet %-kal drágábban adta el, mint amenniért vette, a festmént pedig másfélszeres áron. Íg ezen a két üzleten egütt 0%-ot nert. Menniért vette a sakkot?.. Két ember valamilen árut akart vásárolni. Íg szólt egik a másikhoz: Add nekem a pénzed részét, abból meg az én pénzemből kifizetem az egész árut. Add ide te mondta a másik a te pénzed felét, és akkor én fizetem ki az árut. Az áru 0 ezüstbe került. Menni pénzük volt? Két hordóban összesen 80 liter bor van. Ha az első hordóból átöntünk a másodikba annit, amenni a másodikban eredetileg volt, azután a másodikból az elsőbe visszaöntünk annit, amenni az elsőben maradt, akkor a két hordóban ugananni bor lesz. Melik hordóban hán liter bor volt eredetileg?. Eg csapat halász vízre szállt. Eltervezték, hog ha naponta 6 tonna halat fognak, akkor még a várható vihar előtt kifogják a megrendelt menniséget. Jó volt a fogás, naponta tonnával többet fogtak ki a tervezettnél. Íg nappal lerövidítették a halászat tervezett időszakát, és még 6 tonnával többet is fogtak, mint amennit eredetileg akartak. Menni halat fogtak? 7. lecke RÉGI IDŐK MATEKJA

124 7 ABSZOLÚT ÉRTÉKES EGYENLETEK II. KIDOLGOZOTT FELADAT. Melik valós számok esetén teljesül, hog - = 7? Megoldás Két olan valós szám van, amelnek abszolút értéke 7. Ezek: 7 és -7. Ha - = 7, akkor = 0 és =. Ha - = -7, akkor = - és = -. Az egenletnek tehát két megoldása van: és -. Ellenőrizve: ; - ; = ;7; = 7; illetve ; (-) - ; = ;-7; = 7.. Melik valós számok esetén teljesül, hog - 8 = - 7? Megoldás. Grafikus megoldás: Ábrázold közös koordináta-rendszerben az egenlet jobb és bal oldalán álló kifejezést! Olvasd le a grafikonok metszéspontjainak első koordinátáját! Mindenképpen ellenőrizd a megoldást behelettesítéssel!. Algebrai megoldás: Eg kifejezés abszolút értéke egenlő magával a kifejezéssel, ha az pozitív vag 0, és egenlő az ellentettjével, ha a kifejezés negatív. Ez alapján bontsuk a megoldást két esetre!. eset: - 8 $ 0 Ez akkor teljesül, ha $ 8, azaz: ha $. eset: Ez akkor teljesül, ha 8, azaz: ha 0 0 Vagis az első esetben csak -nél nagobb vag egenlő számok között keressük a megoldást. Ekkor - 8 = - 8, hiszen - 8 nem negatív. Ezért az egenlet ilen alakra írható: - 8 = - 7 Ezt mérlegelvvel megoldva: = -. Össze kell vetni, hog ez a megoldás eleme-e annak az intervallumnak, amelben ebben az esetben a megoldást kerestük. - nem nagobb vag egenlő, mint, ezért ennek az esetnek a - NEM megoldása. A második esetben tehát csak -nél kisebb számok között keressük a megoldást. Ekkor - 8 = - + 8, hiszen - 8 negatív. Ezért az egenlet ilen alakra írható: = - 7 Mérlegelvvel megoldva: =, azaz =. Össze kell vetni, hog ez a megoldás eleme-e annak az intervallumnak, amelben ebben az esetben a megoldást kerestük. kisebb, mint, ezért = megoldása az egenletnek. 0 0 Behelettesítéssel ellenőrizve: $ - 8 = - = és $ - =. EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

125 FELADAT..... Oldd meg az egenleteket a valós számok halmazán! a) 8 - = 6 b), =, - Oldd meg az egenleteket a valós számok halmazán! a) = b) ^- h -^- h = 7 c) ^- h$ ^+ h+ ^- h = 0 Oldd meg az egenleteket a valós számok halmazán! a) + = + b) - = 8-6 Oldd meg az egenleteket a valós számok halmazán! a) 7-7 = 7-7 b) - = - 9 A lépéseket követve, algebrai úton oldd meg az egenletet! = 8 a) Melik intervallumon lesz + pozitív vag 0, és meliken negatív? Melik intervallumon lesz + pozitív vag 0, és meliken negatív? b) Bontsd esetre a feladatot! A számegenesen megjelöltünk intervallumot. Mit jelöl a és b? c) Oldd meg az egenletet mindhárom esetben! Figelj arra, hog amikor az abszolútérték-jelen belül szereplő kifejezés negatív, akkor annak abszolút értéke az ellentettje. d) Mindhárom eredmént vesd össze azzal az intervallummal, amelben épp akkor a megoldást kerestük! Melik esetben van benne az intervallumban a megoldás, melik esetben nincs? e) A megoldásokat ellenőrizd behelettesítéssel! Eg bogár 9 m állandó sebességgel repül. Amikor elkezdjük figelni, 8 m-re van eg lámpától, s és egenesen a lámpa felé tart. De nem száll le a lámpára, hanem közvetlenül mellette, iránváltoztatás nélkül uganolan sebességgel repül tovább, és távolodik a lámpától. A megfigelés pillanatától mérve melik időpontokban volt pontosan m-re a lámpától? Melik valós számra teljesül, hog a számegenesen a -től mért távolsága kétszer akkora, mint amennivel a szám maga nagobb -nál? a b 0 0 és 0 0 és 0 0 és 0 HÁZI FELADAT.. Oldd meg az egenleteket a valós számok halmazán! a) - 0 = b), = 766, - Oldd meg az egenleteket a valós számok halmazán! a) = b) ^-h - ^+ h = 8.. Oldd meg az egenleteket a valós számok halmazán! a) 7+ = - b) - 9 = - 7 Eg valós számról tudjuk, hog a számegenesen a,-től mért távolsága,76. Melik ez a szám? 7. lecke ABSZOLÚT ÉRTÉKES EGYENLETEK II.

126 76 GYAKORLÁS CSOPORTMUNKA..... Add meg a kifejezés értelmezési tartománát! a) g - 7g - 6 c + b) : + c) g 6g c + c c + 0 c + Oldd meg az egenleteket a valós számok halmazán! a) ^- h + ^+ h = $ ^+ h - b) d) d 9 d d + d + d 6d + 9 ^+ h$ ^- h ^+ h$ ^- h ^- h - = $ + 9 Eg biobolt tulajdonosa 00 Ft kilónkénti árú kesudiót és 00 Ft egségárú aszalt gümölcsöt kevert össze, kg majd az íg kapott keveréket kis csomagokban árulta. Összesen 0 kilót adott el %-os haszonnal, íg 000 Ft bevételre tett szert. Menni kesudiót és menni aszalt gümölcsöt használt fel? A villanszámla 00-ben három részből tevődött össze eg olan háztartásban, ahol a vízmelegítésre és fűtésre éjszakai áramot is használtak: alapdíj: ez a mindenkori fogasztástól független készenléti díj, havonta 0 Ft; nappali fogasztás díja: kwh fogasztás esetén 9,80 Ft; éjszakai fogasztás díja: kwh fogasztás esetén 0,0 Ft. Ezeket az összegeket még %-os áfa terhelte. a) Számítsd ki, hog mennit fizettek a hó végén, ha kwh nappali és 6 kwh éjszakai áramot (elektromos energiát) használtak! b) Hogan függött a fizetendő összeg a két típusú fogasztástól? (Jelölje pl. a nappali, illetve az éjszakai áramfogasztást kwh-ban.) c) Menni volt a fogasztásuk abban a hónapban, amelben 0 Ft-ot fizettek, és az éjszakai energiafelhasználás a nappali felhasználásnak a 60%-a volt? Benő nem nagon szeret olvasni, de most muszáj legűrnie a 66 oldalas kötelező olvasmánt. Minden nap olvasott valamennit, hol pontosan 8 oldalt, hol meg pontosan -et. a) Legalább, illetve legfeljebb hán nap alatt olvashatja el Benő a könvet? b) Ha nap alatt akar a kötelező olvasmán végére jutni, akkor hán alkalommal kell 8 oldalt olvasnia? c) Benő minden nap végén ábrázolta, hog hán oldalt kell még a kötelező olvasmánból elolvasnia. Melik grafikon lehet az igazi? oldal nap oldal nap oldal nap EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

127 HÁZI FELADAT.. Oldd meg az egenleteket! Hán elemű a megoldáshalmazuk? a) ( ) ( + 8) = 0 b) = 0 Eg moziban a felnőtt belépőjeg 80 Ft, a gerekjeg 980 Ft. Eg filmre jeget adtak el, öszszesen 9 00 forintért. Melik fajta jegből hán darabot adtak el?. Eg mosogatógépen háromféle program van. Az I. program eg mosogatáshoz 0%-kal kevesebb elektromos energiát, viszont 0%-kal több vizet használ fel, mint a II. program. A II. program %- kal több elektromos energiát és 0%-kal kevesebb vizet használ, mint a III. program.. Oldd meg az egenletrendszereket! a) 7 + = = 0 b) c) = 6 + =6, = =6 Az I. programmal alkalmanként 0 petákba, a II. programmal alkalmanként 00 petákba kerül a mosogatás. Mennibe kerül eg-eg mosogatás a III. programmal? RÁADÁS. Eg 000 méter kerületű, ellipszis alakú lovaspála két szemközti pontjáról indul két lovas, Mari és Pali. A sebességük állandó. Ha egmással szembe lovagolnak, akkor p másodperc múlva találkoznak, ha uganabba az iránba indulnak, akkor Mari p másodperc múlva utoléri Palit. Mekkora a sebességük?. Oldjuk meg az a) b) + a + a =a = a paraméteres egenletrendszert! p p =0p paraméteres egenletrendszert! + =p c) p + p =p paraméteres egenletrendszert! p p = p.. Oldjuk meg a + =7 + = egenletrendszert! Melik valós számot jelölheti az és az betű, ha ( + ) = ( + ) és ( ) = ( )? 76. lecke GYAKORLÁS 7

128 77 GYAKORLÁS; TUDÁSPRÓBA FELADAT.. Oldd meg a következő egenletet az egész számok halmazán! ( + ) + ( + ) ( ) ( ) = 60. Oldd meg az egenletrendszereket! 7 a) b), 6.. Eg foló sebessége km/óra. Folásiránban ( lefelé ) evezve óránként 0 km-t teszünk meg. Milen messzire evezzünk, hog az oda-vissza út összesen óra hosszat tartson? Eg tört számlálója 6-tal kisebb, mint a nevezője. Ha a számlálójához hozzáadunk 9-et, a nevezőjéhez pedig -et, éppen a reciprokával egenlő törtet kapunk. Melik ez a tört?. Két hordóban összesen 60 liter benzin volt. Mindkettőből kivettek 0 liternit, íg az első hordóban maradt benzin negedrésze ugananni lett, mint a második hordóban maradt benzin harmadrésze. Menni benzin volt eredetileg az első hordóban? 6. Eg építtető gazda eg bizonos munka elvégzésére felfogadott eg kőművest a következő feltételekkel: Minden nap, amikor dolgozik, ezüstöt fizet a kőművesnek, de ha nem dolgozik, akkor arra a napra a kőműves tartozik fizetni 7 ezüsttel. Hán napot dolgozott, és hán napot pihent a kőműves, ha 8 nap alatt készült el a munkával, de eg ezüstöt sem keresett, igaz, nem is vesztett rajta? TUDÁSPRÓBA I... Eg tört számlálója 6-tal kisebb, mint a nevezője. A tört értéke. Mekkora a számláló? Oldd meg az egenletet a valós számok halmazán! = 0 = c 0 m. Két különböző teljesítménű traktor óra alatt a búzaföld hatodrészét szántotta fel. Ha az első traktor egedül dolgozott volna órát, azután pedig a második 0 órát, akkor a búzaföld ötödét szántották volna fel. Menni idő alatt tudja felszántani az egész búzaföldet egedül az első traktor?. Oldd meg a negatív egész számok halmazán a következő egenletet! ( + ) + ( + ) ( ) ( ) = forintot csupa 0 és 00 forintos érmével fizetünk ki. Az érmék száma összesen 00. Hán 0 forintost használtunk fel? 6. Színezd ki eg koordináta-rendszer síkjában azokat a P(; ) pontokat, amelekre igaz, hog ( ) ( + ) > 0! 8 EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

129 TUDÁSPRÓBA II Eg negatív tört számlálója 6-tal kisebb, mint a nevezője. A tört nem írható fel egész szám alakjában. Mi lehet a nevezője? Oldd meg az egenletet a valós számok halmazán! = ` j - ` 6 j Oldd meg az egenletrendszert!,7 8, =79 9, +, =7 Eg teremben csak néglábú és háromlábú asztalok állnak, és ezeknek összesen lábuk van. a) Lehet-e asztal a teremben? b) Lehet-e 0 asztal a teremben? c) Menni a legkevesebb, és menni a legtöbb asztal, ami a teremben lehet? Oldd meg az egenlőtlenségeket a valós számok halmazán! 7 a) ( ) ( + ) < 0 b) Egészségügi okok miatt nem tanácsos, hog sportolás közben a pulzusszám túl magas legen. Régebben azt javasolták, hog a maimális pulzusszám ne haladja meg a következő képlet szerinti értéket: megengedett maimális pulzusszám = 0 életkor. Az újabb kutatások alapján kissé módosították a képletet: megengedett maimális pulzusszám = 08 (0,7 életkor). a) Tamás éves. Mekkora a megengedett maimális pulzusszáma a régebbi és az új képlet szerint? b) Hán éves korban lesz a javasolt maimális pulzusszám kisebb 70-nél az újabb képlet szerint? Ez az életkor magasabb vag alacsonabb, mint amenni a régi képlet szerint adódik? c) Van-e olan életkor, amelhez a régi és az új képlet szerint is uganakkora a megengedett maimális pulzusszám? Ha igen, akkor mekkora ez a pulzusszám, ha nem, akkor miért nem? RÁADÁS Két borkereskedő érkezik a határhoz. Az egiknek 6, a másiknak 0 hordó bora van. A határon átvitt bor után vámot kell fizetni, de nincs elegendő készpénzük a kifizetéséhez. Ezért az első kereskedő odaad hordó bort és még 0 ezüstöt, a másik odaad hordó bort, és visszakap 0 ezüstöt. Íg már bevihetik árujukat az országba. Mennit ér eg hordó bor, és menni vámot kell utána fizetni? 77. lecke GYAKORLÁS 9

130 TÉMAZÁRÓ FELADATGYŰJTEMÉNY..... Írd fel az alábbi kifejezések rendezett alakját és állapítsd meg az egütthatójukat! a) $ : ^- h$ b) $ $ : $ $ Hán változósak, hán tagúak, hánadfokúak az alábbi algebrai kifejezések? Add meg a változókat, a tagok fokszámát és a tagok egütthatóinak értékét! a ;,7 ; -,c d ; 7 z ; 8-0, ; a b - ab + 0,b - 7 Határozd meg az alábbi kifejezések helettesítési értékét, ha = és = -! a) ^ - h; b) c) - + ; + d) - + Határozd meg az alábbi kifejezések helettesítési értékét a = és b = - esetén! a) a+ b + b ; - b) ab ^ + h - ab; 0 c) ^a - bh $ ^-ah; d) ab b b a Végezd el a kijelölt műveleteket, az eredménekben vond össze és rendezd a tagokat! a) + ^- - h-^ - 7h; b) ab - a b + 7ab - a b + ab - ab ; c) ; d) c) $ $ ^-h $ - 7 c m; d) ^ - + h $ - c m Végezd el a kijelölt műveleteket, az eredménekben vond össze és rendezd a tagokat! a) ^6 - + h- ^ + - h b) ^n- h-^- nh+ ^n+ h c) ^8- h- ^- h+ ^- 7h d) $ ^, - 0, + 06, h- $ ^0, +, - h Végezd el a kijelölt műveleteket, az eredménekben vond össze és rendezd a tagokat! a) ^- h^+ h; b) a b a ^ + h`- - b j; c) a b ab ab c - a b m` - j; d) a a `- + b + a - a^b- a j h Végezd el a következő műveleteket! a) ( - 0) ; c) (c + 7) ; b) (a + ) ; d) ( + ) Végezd el a következő műveleteket! a) ^ - bh ; b) ^ - h ; c) ^c+ dh ; d) ^e- fh Végezd el a következő műveleteket! a) ^- h ; b) ^f+ hh ; c) ^8p- qh ; d) c + 6 m 6. Végezd el a kijelölt műveleteket, az eredménekben vond össze és rendezd a tagokat! a) b- zl$ b zl; b) k+ 7 k $ - ; 7. Végezd el a következő műveleteket! a) a c c - m ; b) ^ + h ; c) ^b - h 0 EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

131 Végezd el a következő műveleteket! a) ^+ h^- h; b) ^a+ h^a- h; c) ^- dh^+ dh; d) ^6e+ fh^6e- fh Végezd el a következő műveleteket! a) ^+ h^- h; b) ^a - h^a + h; c) ^z+ h^z- h; d) c + mc - m; 7 7 e) a b a b c - 0 mc + 0 m; f) a c a c c - mc + m b a b d Írd fel a következő háromtagú kifejezéseket kéttagú kifejezések négzeteként! ; Végezd el a műveleteket! a) ^a+ bh - ab; b) ^- h - - ; c) ^a - b h + ^a+ bh ; d) ^c+ dh+ 6^d- ch Végezd el a műveleteket! a) ^- h + ^- h; b) ^b- ch- ^b+ ch ; c) ^d+ h - ^d- h; d) -^- h ; e) ^- bh^+ bh-^- bh Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! a) c+ d; b) - ; c) 6a - ; d) Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! a) abc - abd + bcd ; b) a + a; c) ; d) 9b 8b Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! a) - ; b) - ; c) c - ; d) 9 - a ; e) 00 - ; f) ^h - ^ch ; Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! a) a - 6b ; b) 00d - 8c ; c) ; d) a - a+ Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! a) b + 0b+ ; b) ; c) - 6; 9 d) ab-9 Szorzattá alakítás segítségével egszerűsítsd a törteket, végezd el a műveleteket! a) a + 0 ; 0a + 0 b) a+ b ; a+ b c) 6d - ; d - d) + - Szorzattá alakítás segítségével egszerűsítsd a törteket, végezd el a műveleteket! - 9 a) ; - 6 b) b - c ; b+ c c) 6a - 9b ; a- b d) $ ; e) : b ; b - 00 b + 0 f) : Végezd el a következő műveleteket! a) ^ - h ; c) ^+ h^ - + 9h; b) a b c + m ; d) ^+ h^ h TÉMAZÁRÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

132 Határozd meg az alábbi függvének zérushelét számolással! (! R) a) f ^ h = - + ; b) f ^ h = - + ; c) f ^ h = + ; d) f ^ h = - 9; e) f ^ h = ^+ h ; f) f ^ h = ^- h Határozd meg az alábbi függvének zérushelét számolással! (! R) a) f ^ h = - ; b) f ^ h = + ; c) f ^ h = - ; d) f ^ h = - 7-6; e) f ^ h = ; f) f ^ h= - + Határozd meg az alábbi függvének zérushelét számolással! (! R) a) f ^ h = ^+ h - ; b) f ^ h = ^- h + ; c) f ^ h = ^+ 6h ; d) f ^ h = -^- 7h + Oldd meg a következő egenleteket a racionális számok halmazán! a) = 0; b) c - = 0 m ; c) - = 9; d) - + =- ; e) + = - ; f) - = - Oldd meg a következő egenleteket a racionális számok halmazán! a) ^- 7h+ ^8+ h = 6; b) 8-^- h= 6- ^+ 9h; c) ^6+ h- ^- h= ^- h- ^+ h; d) ^0, + 8, h- ^, + h- ^-- 08, h= 8, Oldd meg a következő egenleteket a racionális számok halmazán! a) c + m- c = m c m ; 6 b) ^ + h- ^- h = - 7; c) - ^- h- 6 - ^- h+ 8@ =-; d) 7 c - m+ c = m c 0 m 9 Oldd meg a következő egenleteket a racionális számok halmazán! a) c + m+ c = m c m ; 6 b) = ; c) = + ; d) = Oldd meg a következő egenleteket szorzattá alakítással! a) 8-6 = 0; b) + 0 = 0; c) 7^+ h- ^+ h = 0; d) ^- h^+ h+ ^- h^-h- -^- h^- 6h = 0; e) ^ - 6h- ^6- h- ^+ h^- 6h= 0 Mel valós számokra teljesülnek az alábbi egenlőtlenségek? a) + ; 9 b) - - $ - - ; ^ + h- c) - - # - ; 6 ^ - h 7 ^ + h d) ; e) ^ - 0 h$ - ^6 -h A szorzóténezők előjelének vizsgálatával oldd meg az egenlőtlenségeket! Ábrázold a megoldáshalmazt számegenes mentén! a) ^+ h^- h 0; b) ^6+ h^- h 0; c) ^0 - h^ - h $ 0; d) ^7+ h^- 6h^- h# 0 Oldd meg a következő törtes egenlőtlenségeket! a) ; d) 8 - # 0 + ; b) ; e) - # ; 6 c) - 0 $ ; f) - 0 $ EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK

133 7. 8. Határozd meg az alábbi függvének értelmezési tartománát! a) f ^ h = - - ; b) f ^ h = - ; + 6 c) f ^ h = 6- ; - 7 d) f ^ h = Határozd meg az alábbi függvének értelmezési tartománát! a) f ^ h = + ; b) f ^ h = - -; c) f ^ h = ; d) f ^ h = ;. 6. Eg kalózkapitán minden zsákmánolt aran felét megtartotta magának, a maradékot pedig a legénség között az alábbiak szerint osztotta szét: az első kapott 000 aranat és a maradék egtizedét, a második kapott 000 aranat és a maradék tizedét, a harmadik kapott 000 aranat és a maradék tizedét, és íg tovább. Íg minden kalóz ugananni pénzt kapott. Hán kalóz között osztotta szét az aranakat a kapitán és hán aranat zsákmánoltak összesen? Eg pásztor legelteti a náját amelben tehenek, juhok és kecskék voltak. A náj felét a tehenek teszik ki, a juhok a náj harmadát és kecskével van kevesebb mint juh. Hán állatot legeltet a pásztor mindegikből külön-külön? e) f ^ h = ; f) f ^ h= Oldd meg az egenletrendszereket a valós számok halmazán! 6+ = 8 a) - = -0 b) 9a- 7b = 9 a+ b =- Oldd meg az egenletrendszereket a valós számok halmazán! a- + b+ = a+ b _ + a) b a+ b - b = a+ b ` + a 6 b a ^+ h + ^- h = ^- h + ^+ h b) - = ^+ h Gondoltam eg számot, hozzáadtam 8-at, majd az összeget elosztottam -mal, íg a gondolt szám értékétől néggel kisebbet kaptam eredménül. Melik számra gondoltam? Ha eg teremben a tanulókat négesével ültetjük, akkor 8 tanulónak nem jut hel. Ezért ötösével ültetjük őket, íg pad üres marad. Hán tanuló, és hán pad van? Eg kuta 80 m távolságban meglát eg nulat, és elkezdi üldözni. A két állat egszerre kezd futni a kutát és a nulat összekötő egenes mentén. A núl 0-et, a kuta 9-et ugrik másodpercenként. Menni idő alatt éri utol a kuta a nulat, ha a kutaugrás m hosszú, a núlugrás pedig csak 80 cm. Eg téglalap egik oldalát 0%-kal megnöveltük. Hán százalékkal kell csökkenteni a szomszédos oldalt, hog a terület ne változzon? Hán százalékával változik eközben a téglalap kerülete? 0 liter 0%-os és liter 0%-os oldatot keverünk össze. Menni lesz a keverék koncentrációja?. Eg kétjegű szám számjegeinek összege. Ha a számjegeket felcseréljük, akkor az eredeti számnál 6-mal nagobb számot kapunk. Melik ez a szám?. Eg vasútállomásról elindul eg személvonat 60 km h sebességgel, majd perc múlva eg gorsvonat.. Eg apa kétszer anni idős, mint a fia. Tíz évvel ezelőtt háromszor anni idős volt, mint a fia. Hán éves lesz öt év múlva az apa és fia? 0 db színházjeg és mozijeg összesen Ft-ba került. Eg színházjeg ára 00 Ft, eg mozijeg ára 00 Ft. Hán színház- és hán mozijeget vásároltak?. 0 km sebességgel uganabba az iránba. Mikor h éri utol a gorsvonat a személvonatot? Eg medence az egik csapon át, óra, a másik csapon át 0 perc alatt töltődik fel. Menni idő alatt telik meg, ha mindkettőt megnitjuk? TÉMAZÁRÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

134 78 EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK A SÍKON BEVEZETŐ A képen eg úgnevezett kaleidoszkópminta látható. Az ilen mintákban a kép eg részlete ismétlődik a végtelenségig. Milen módon tudnánk a pirossal kiemelt részletet átvinni a kép eg másik részére, hog az ott is pontosan illeszkedjen? A különböző színű háromszögek mind uganazt a képrészletet ábrázolják. Eltolás: A kék háromszöget úg kaptuk, hog a pirosat egszerűen odébb toltuk. Elforgatás: A lila háromszöget úg kaptuk, hog a pirosat az egik csúcsa körül elforgattuk. Tükrözés: a narancssárga háromszöget a pirosnak a szaggatott vonallal jelzett tengelre való tükrözésével kaptuk. ELMÉLET Definíció: A geometriai transzformációk olan függvének, ameleknek értelmezési tartomána is és értékkészlete is ponthalmaz. A transzformáció során eg ponthoz hozzárendelt pontot az eredeti pont képének nevezzük. Definíció: Ha eg transzformáció távolságtartó, vagis bármel két pont távolsága uganakkora, mint a képeik távolsága, akkor ezt egbevágósági transzformációnak nevezzük. Egbevágósági transzformációk esetében az egenes képe eg egenes, a kör képe eg vele egenlő sugarú kör, a szög képe eg vele egenlő szög. Definíció: Ha két ponthalmazhoz van olan egbevágósági transzformáció, amel az egiket a másikba viszi át, akkor ezeket a ponthalmazokat egbevágóknak mondjuk. A sík egbevágóságai között fontosak: pont körüli forgatás, középpontos tükrözés, eltolás, tengeles tükrözés. A geometriai transzformációk tulajdonságai vizsgálhatók a GeoGebra programmal is. EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

135 . Pont körüli forgatás Definíció: Adott a síkon eg O pont, és adott eg a iránított szög. A sík minden P pontjához rendeljük hozzá a Pl pontot úg, hog O képe önmaga (azaz Ol = O), ha P! O, akkor Pl a síknak az a pontja, melre OP = OPl, és POPl szög a. A forgatás iránát pozitívnak mondjuk, ha az ellentétes az óramutató járásával, negatívnak mondjuk, ha az megegezik az óramutató járásával. Ha a forgatás szöge mellé nem írunk előjelet, akkor azt pozitívnak gondoljuk. k C k B C e P A 80 e P O B O= O A Ha a forgatás szöge heges- vag derékszög, akkor minden egenes akkora szöget alkot az elforgatottjával, amekkora a forgatás szöge. Az ábrán látható szerkesztés azt mutatja, mi történik eg körrel és eg sok szöggel a sík O pont körüli 80 -os elforgatásakor.. Középpontos tükrözés Definíció: Adott a síkon eg K pont. A sík minden P pontjához rendeljük hozzá a Pl pontot úg, hog: K képe önmaga (azaz Kl = K), ha P! K, akkor a Pl a PK egenesének azon P-től különböző pontja, melre PlK = PK. P e B A C k K = K 80 K= K A e C B P k Ha eg egenes átmeg a K ponton, akkor egbeesik a képével. Ha eg egenes nem meg át a K ponton, akkor a képe párhuzamos vele. A síkon a középpontos tükrözés a pont körüli forgatás eg különleges esete: 80 -os forgatás K pont körül. Az ábrán látható szerkesztés azt mutatja, mi történik eg körrel és eg sokszöggel a sík K pontra való tükrözésénél. 78. lecke EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK A SÍKON

136 FELADAT. Hajtsd végre a négzetrács felhasználásával a transzformációkat az ötszögön és a körön a füzetedben! a) Tükrözés a K pontra.. Szerkessz olan derékszögű háromszöget, amelnek befogói 6 cm és cm hosszúak! Forgasd el a háromszöget a) a derékszögű csúcsa körül; b) az átfogójának felezőpontja körül 90 -kal!. Tükrözz eg háromszöget mindhárom oldalának a felezőpontjára! Mit alkot egütt a háromszög és a három képe? K. Forgasd az ABC háromszöglemezt az O pont körül! (A füzetedben dolgozz!) Ha elég nag a forgatás szöge, akkor forgatás közben a háromszöglemeznek több pontja is áthaladhat a megadott P ponton. b) Forgatás a K pont körül +90 -kal. P O C A K B a) Szerkeszd meg a háromszög eg olan elforgatottját, amelnek a határvonalára illeszkedik a P pont! Hán megoldása van a feladatnak? b) Szerkeszd meg az ABC háromszöglemezen az összes olan pontot, amelnek az O pont körüli elforgatottja lehet a P pont is! HÁZI FELADAT. Forgasd el a háromszöget a kör középpontja körül, negatív iránban, -kal! a) b) c) 6 EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

137 . Tükrözd a szabálos sokszöget a körülírt körének c) középpontjára! a) b).. Szerkessz olan háromszöget, amelnek oldalhoszszúságai 6 mm, 8 mm és 60 mm, tükrözd a) a legkisebb oldal felezőpontjára; b) a legnagobb oldal felezőpontjára! A háromszög és a tükörképe egütt eg négszöget alkot. Sorold fel ennek a négszögnek a tulajdonságait! Vegél fel két különböző pontot: A-t és B-t! Szerkeszd meg azt az O pontot, amelre A-t tükrözve B-t kapjuk! A GeoGebra programmal ellenőrizheted a szerkesztéseid helességét is. RÁADÁS.. Vegél fel eg konve szöget, és a szögtartománban eg P pontot! Szerkeszd meg azt az egenest, amelnek a szögtartománba eső részét a P pont felezi! Vegél fel két párhuzamos egenest, és közöttük eg P pontot. Szerkeszd meg azt a szabálos háromszöget, amelnek egik csúcsa P, másik két csúcsa pedig az egik, illetve a másik egenesre illeszkedik! 78. lecke EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK A SÍKON 7

138 79 VEKTOROK ÉS AZ ELTOLÁS BEVEZETŐ A repülőgépek kötelékben repülnek. Az eseménről másodpercenként felvételt készítenek a földről. Mindegik repülőhöz odarajzoltuk azt az elmozdulásvektort, amel a következő felvételhez tartozik. Látható, hog két pilóta kicsit hibázott. Melik kettő, és milen hibát követett el? Megoldás A képen látható két alsó gép pilótája hibázott. A legalsó gép nem tartotta az iránt, a felette repülő gép tartotta az iránt, de kicsit nagobb volt a sebessége, mint a többinek. ELMÉLET A vektort alapfogalomnak tekintjük, nem adunk rá meghatározást, legfeljebb azt mondhatjuk rá (körülírásként), hog ez eg iránított szakasz. A vektort az állása, az irána és az abszolút értéke (hossza) jellemzi. A vektor állása azt jelenti, hog melik egenesekkel párhuzamos. Eg álláson belül kétféle irán lehetséges, ezt mutatja a níl. A vektor hosszúságát a vektor abszolút értékének nevezzük. Ábránkon az a, a b, a d és az e egállású, a c nem egállású velük. d b Az a és az e egiránú, a b és a d egiránú, az a és az e a b-vel is és a d-vel ellentétes c a iránú. e Az a, a d és az e abszolút értéke egenlő; a b és a c abszolút értéke egenlő. Ezek miatt az a és az e egenlő vektorok, az a és a d ellentett vektorok, a d és az e ellentett vektorok, a többi vektor között ilen kapcsolat nincs. Két vektort egenlőnek mondunk, ha uganaz az állásuk is, iránuk is, abszolút értékük is. Két vektor egmás ellentettje, ha uganaz az állásuk és az abszolút értékük, az iránuk pedig ellentétes. Eg v-vel jelölt vektor ellentettjének a jele: v. A v vektor ellentettje a v. Tehát az ábra szerinti vektorok esetén például: d = a és a = d. 8 EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

139 FELADAT. Keress az ábrán egenlő és ellentett vektorokat! Mel vektorokra igaz, hog egenlő hosszúak, de nem egállásúak egmással? D d c v C w b E e a A u B. Vegél fel eg P pontot és eg v vektort! Keresd meg azt a Q pontot, amelre a) P-ből Q-ba mutató vektor v; b) P-ből Q-ba mutató vektor -v; c) Q-ból P-be mutató vektor v; d) P-ből Q-ba mutató vektor hossza megegezik v hosszával, de nem egállású v-vel! ELMÉLET. Eltolás Definíció: Adott a síkon eg v vektor. A sík minden P pontjához rendeljük hozzá a Pl pontot úg, hog a PPl vektor megegezik v vektorral. v P k A e e P v v R R u C u B u u A g = g Ha eg egenes egállású az eltolás vektorával, akkor a képe önmaga, minden más esetben az egenes és a képe párhuzamos egmással. k C Az ábrán látható szerkesztés azt mutatja, mi történik eg körrel és eg sokszöggel, ha a síkjukban eg adott u vektorral eltoljuk őket. B Egenlő vektorok uganazt az eltolást hozzák létre. Ha eg ponthalmazt eltolunk eg vektorral, utána pedig a képét az ellentett vektorral toljuk el, visszajutunk az eredeti ponthalmazhoz. 79. lecke VEKTOROK ÉS AZ ELTOLÁS 9

140 FELADAT. Told el a téglalapot az u, majd a kapott alakzatot a v vektorral! D C v A u B.. Melik vektorral kell eltolni a téglalapot, hog A csúcsának a képe a téglalap eg másik csúcsa legen? Told el a háromszöget úg, hog az eltolás után egik csúcsa az egenesre essen! a) Hán megoldása van a feladatnak? b) Melik esetben lesz az eltolás vektorának hoszsza a legkisebb? B A C HÁZI FELADAT. d Keresd meg az egenlő vektorokat és az ellentett vektorokat! a) b) h e a g f b q w z s r v t u p. Tolj el a síkjában eg cm átmérőjű körvonalat eg cm hosszú vektorral! Melik állítás igaz, és melik hamis? a) Az eredeti és az eltolt kör közös pontjainak száma függ az eltolás iránától is. b) Az eredeti és az eltolt kör közös pontjainak száma csak 0 lehet. c) Az eredeti és az eltolt kör közös pontjainak száma csak lehet. d) Az eredeti és az eltolt kör közös pontjainak száma lehet is. 0 EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

141 . Told el a négzetet az u vektorral! Milen alakzat lett az eredeti és az eltolt alakzat közös része? A közös rész területe hán százaléka az D eredeti négzet területének? A u C. Vegél fel eg kört és benne eg AB húrt! Told el úg a kört, hog a) az A pont képe B pont legen! b) a B pont képe az A pont legen! Mindkét esetben add meg az eltolás vektorát! B RÁADÁS.... Eg négzetes oszlop alapélei cm, oldalélei 8 cm hosszúak. Az oszlop minden lapjának lapközéppontját összekötjük a vele szomszédos lapok középpontjával. a) Hán szakasz keletkezett? b) Ezek a szakaszok hánféle különböző vektort határoznak meg? (azt tekintjük a szakasz által meghatározott vektornak, amel párhuzamos és uganolan hosszú, mint a szakasz.) c) Milen hosszúak ezek a vektorok? Az előző feladatban szereplő négzetes oszlopban az oldalfelező pontokat kötjük össze a következő módon: két oldalfelező pontot összekötünk, ha az oldalaknak van közös csúcsa. a) Hán szakasz keletkezett? b) Hánféle különböző vektort határoznak meg ezek a szakaszok? c) Mekkora ezeknek a vektoroknak a hossza? Az órai. feladatban szereplő háromszöget told el úg, hog az eltolás után egik csúcsa az egenesre essen, és pontosan eg közös pontja legen az eredeti háromszöggel! Eg 0 0-es négzethálós táblázatban -től 00-ig felsoroljuk a számokat úg, hog a legfelső sorban, bal oldalt kezdjük, az alatta lévő sorban újból balról kezdve foltatjuk, és íg tovább. Tartozik a táblázathoz eg L alakú lapocska, amel a táblázat három celláját tudja eltakarni, ha rátesszük a táblázatra. A lapocskát nem szabad elforgatni, megmarad L állásban. Rátesszük valahová a táblázatra, és összeadjuk a lapocska körül lévő számot a) Hogan változik meg a lapocska körül lévő számok összege, ha a lapocskát a táblázatban jobbra mozgatjuk? b) Hogan változik meg a lapocska körül lévő számok összege, ha a lapocskát felfelé mozgatjuk? c) Hová kell elhelezni a lapocskát, hog a körülötte lévő szám összeg 867 legen? d) Készíts eg egszerű számítógépes programot, amel kiszámolja a szám összegét az összes helzetben, esetleg nagobb (pl as táblázat) esetén is! e) Hogan változik a megoldás, ha a táblázatban folamatosan írjuk a számokat: az első sorban balról jobbra, a következőben jobbról balra, utána megint balról jobbra, és íg tovább? 79. lecke VEKTOROK ÉS AZ ELTOLÁS

142 80 TENGELYES TÜKRÖZÉS BEVEZETŐ Szép lehet eg tengelesen szimmetrikus díszítő minta. Szép az emberi arc is, a maga szimmetriájával. Közismert tén azonban, hog az ember arca sosem tökéletesen szimmetrikus. A digitális technika korában érdekes kísérlet azzal eljátszani, hogan néznénk ki tökéletesen szimmetrikusan. Számítógépes képszerkesztő program segítségével eg fénkép megfelezhető és tükrözhető. Ha van kedved, próbáld ki! ELMÉLET. Egenesre vonatkozó (tengeles) tükrözés Definíció: Adott a síkon eg t egenes. A sík minden P pontjához rendeljük hozzá a Pl pontot úg, hog: ha P a t egenes eg pontja, akkor a képe önmaga, ha P nincs rajta a t egenesen, akkor a képe az a Pl pont a síkban, amelre PlP szakasznak felezőmerőlegese a t egenes. e P P a b P t = t Q = Q t = t M t = t Q = Q M e P P a b P A tengel képe önmaga. Ha a sík eg egenese merőleges a tengelre, akkor egbeesik a képével, ha pedig párhuzamos a tengellel, akkor a képe is párhuzamos vele. Ha eg egenes metszi a tengelt, de nem merőleges rá, akkor a képét a tengelen metszi. Az egenes és a képe uganakkora szöget alkot a tengellel. Az alsó ábrán látható szerkesztés azt mutatja, hog mi történik eg körrel és eg sokszöggel, ha a síkjuknak eg t egenesére tükrözzük őket. A tengeles tükrözéshez úg is eljuthatunk, hog a síkból kilépve a tengel körül elforgatjuk a síkot 80 -kal. P C k t = t P C k EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

143 FELADAT. Tükrözd a háromszöget a megadott oldalfelező merőlegesére, illetve a megadott szögfelező egenesére! Színezd ki az eredeti és a tükrözött háromszöglemez metszetét! Milen síkidomot kaptál az egik, illetve a másik esetben?. Tükrözd a háromszöget az e egenesre, majd a kapott tükörképet az e-vel párhuzamos f egenesre! Milen egetlen egbevágósági transzformációval kapható meg az eredeti háromszögből a második tükrözés után kapott háromszög? e f. Vegél fel eg kört és benne eg AB húrt! Tükrözd a kört AB egenesére! Hogan kell felvenni az AB húrt, hog a tükörkép uganaz a kör legen, mint az eredeti? Mit mondhatunk ekkor a kör eg tetszőleges P pontjáról és a tükörképéről?. Vegél fel két egenest, amelek 0 -os szöget zárnak be egmással! Az egenesek legenek e és f, metszéspontjuk legen K. Vegél fel eg P pontot, amel egik egenesre sem illeszkedik! a) Tükrözd a KP szakaszt e-re, majd a kapott KlPl szakaszt tükrözd tovább f-re! b) Hogan lehetne egetlen transzformációval megkapni KP-ből a második tükörképet? c) Végezd el a feladatot úg is, hog először f-re tükrözöl, majd a tükörképet e-re! d) Általánosítsd a feladatot! HÁZI FELADAT. Tükrözd a paralelogrammát az átló egenesére! A füzetedben dolgozz!. Vegél fel eg cm oldalú négzetet! a) Tükrözd az egik oldalegenesére! b) A kapott képet tükrözd a négzet eg másik oldalegenesére! c) Hán közös pontja lehet a második tükörképnek és az eredeti négzetnek?. Vegél fel két egenlő sugarú kört! Szerkeszd meg azt az egenest, amelre tükrözve az egik kör képe a másik kör!. Vegél fel eg derékszögű háromszöget, amelnek egik befogója mm, másik befogója 8 mm. Tükrözd az átfogójára! Milen alakzatot határoz meg egütt a kép és az eredeti háromszög? Mekkora ennek a területe? 80. lecke TENGELYES TÜKRÖZÉS

144 EMELT SZINT TÉRBELI TRANSZFORMÁCIÓK ELMÉLET Az egenes körüli forgatás Megadunk eg egenest, a forgástengelt (t), eg teljesszögnél kisebb szöget (α) és eg forgatási iránt. Az ábra mutatja, hogan mozdul el eg P pont a t körül: P-ből a t-re merőleges egenest (a) és síkot (S) állítunk. Az a és a t metszéspontja A. A forgatás során a P az S síkban, az A középpontú, AP sugarú körön mozdul el, a megadott irán szerint úg, hog a PAPʹ szög az α-val legen egenlő. Ez a transzformáció is egbevágósági transzformáció. P P α t A a S FELADAT. Eg szabálos oldalú gúlát elforgatunk a magasságának egenese körül -kal. a) Melik csúcs hová fordul el? b) Milen test az eredeti és az elforgatott gúla közös része? ELMÉLET Középpontos tükrözés a térben Megadunk eg pontot (K). A tér minden eges pontjához (P) hozzárendeljük a tér eg pontját (Pʹ) úg, hog a pont és a képe által meghatározott szakasz felezőpontja a K legen. P K P FELADAT. Eg gúla alaplapja négzet, mindegik oldallapja szabálos háromszög. Tükrözd ezt a gúlát az alaplap középpontjára! a) Hán lapja, hán éle és hán csúcsa van annak a testnek, amelet a gúla és a képe egüttesen alkot? b) Milen másféle transzformációval kaphatnánk meg a gúlának uganezt a képét? EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

145 ELMÉLET A síkra való tükrözés P Megadunk eg síkot (S). A tér minden eges pontjához (P) hozzárendeljük a tér eg pontját (Pʹ) úg, hog a pont és a képe által meghatározott szakasz merőleges legen S-re, és e szakasz felezőpontja S-re illeszkedjen. S (Akkor mondjuk, hog eg ponthalmaz illeszkedik eg másik ponthalmazra, ha az egik részhalmaza a másiknak.) P FELADAT. Eg asztalra tett kockát tükrözünk a) a fedőlapjának a síkjára; b) az egik oldallapjának a síkjára; c) az egik átlós síkjára. Milen testet alkot az eredeti kocka és a tükörkép egütt? ELMÉLET Eltolás a térben v P v Megadunk eg vektort. A tér minden eges pontját elmozdítjuk az adott vektorral. P e e FELADAT. Eg kocka mindegik lapjára ragasztunk eg vele egbevágó kockát úg, hog ezek pontosan fedik az eredeti kocka lapjait. a) Hán lapja, hán éle és hán csúcsa van a 7 kockából álló testnek? b) Melik kockát milen transzformációval állíthatjuk elő az eredeti kockából kiindulva? 80. lecke TENGELYES TÜKRÖZÉS

146 Ráadás EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK A GYAKORLATBAN CSOPORTMUNKA Fedezzétek fel, melik egbevágósági transzformáció ismerhető fel a következő példákban! Az ábrákat vedd fel a füzetedben!. Két kistelepülés (A és B) közelében egenes országút fekszik. a) A két település között összekötő utat építenek. Milen hosszú ez az út, ha a lehető legrövidebbre tervezik? (A négzetháló km-beosztású.) Az országút mentén megállót építenek a távolsági busz számára. Hol legen a megálló, hog b) a B településhez a legközelebb legen? Mekkora ez a távolság? Mekkora távolságra van a megálló az A településtől ebben az esetben? c) az A-ból B-be vezető, a megállót is érintő út hossza a legrövidebb legen? Mekkora ennek a legrövidebb útnak a hossza? I. eset II. eset A országút B országút A B. Eg foló két partján van két falu: A és B. Hová építsék a hidat, hog a) A-hoz a legközelebb legen; b) A-ból a legrövidebb úton lehessen B-be jutni? c) A hídépítés magas költségei miatt csak a folópartra merőleges hidat építenek. Hová építsék a hidat, hog a legrövidebb úton lehessen A-ból B-be jutni? (Gondold végig azt az esetet, amikor a települések a folóparthoz képest uganíg helezkednek el, de sokkal keskenebb a foló. Majd kezdd el fokozatosan növelni a foló szélességét!) B A. A piros biliárdgolóval kell eltalálni a feketét úg, hog a piros goló más golóhoz nem érhet hozzá, de a biliárdasztalnak a rajzon látható két fala is használható. Hán megoldása van ennek a problémának? 6 EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

147 . A gőzmozdonok kerekét csuklós szerkezettel hozzák forgásba. Ennek leegszerűsített változata látható az ábrán. A C pont a mozdonkerékhez van rögzítve, a C pont pedig a dugattúrúd végéhez. A merev hajtórúd a C és C pontok körül is elfordulhat (csuklós szerkezet). A mozdontesthez rögzített hengerben a dugattú csak vízszintesen mozoghat. a) Milen mozgást végez a dugattú, ha hatására a C pont 60 -ot fordul az O körül? b) Szerkeszd meg a dugattú két szélső helzetét a hengerben! Mekkora a két szélső helzet távolsága? (Segít az O, C, C és D pontok megszerkesztése!) c) Szerkeszd meg a dugattú helzetét abban az esetben, amelben az OC merőleges az OC - re! Igaz-e, hog a dugattú ekkor éppen félúton van a két szélső helzete között? O C hajtórúd C dugattú D dugattúhenger. Eg gémeskút működésének három mozzanatát mutatják az ábrák. mozdonkerék m m, m, m, m m, m m V m, m m, m, m V, m, m, m, m V, m Az ágas a kút szélétől m-re van a földbe állítva, ezen a gém (vízszintes) forgástengele, m magasan van a földtől. A gémnek a kút fölé belógó része a forgástengeltől mérve m hosszú, a kút m-nél mélebb, szélessége, m. a) Milen magasan van a talajszint felett V az első helzetben? b) Milen mélen van V a talajszint alatt a harmadik helzetben? c) Szerkeszd meg a második ábrán azt a pálát, amelen a V mozog, amíg az első helzetből a harmadik helzetbe jut! Szerkeszd meg ezt a feladatot eg számítógépes szerkesztő programmal, pl. a GeoGebra programmal! Ráadás EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK A GYAKORLATBAN 7

148 8 GYAKORLÁS FELADAT Vedd fel az ábrákat a füzetedben!. Az ABCD húrtrapéz AC átlójának felezőpontja F. D C F.. Foltasd az előző feladatot! Végezd el a megadott transzformációkat a deltoid képével! Melik esetben milen kapcsolatban van egmással az eredeti del toid és a képének a képe? Melik esetben jutunk vissza a kiindulási deltoidhoz? Adott a kör két átmérője a végpontjaival... A Ezt a trapézt a) tükrözd az AC átló egenesére; b) tükrözd az F pontra; c) forgasd el F körül ( 0 )-kal; d) told el az FA vektorral! Mindegik esetben vizsgáld meg, milen kapcsolatban van egmással az AC átló és a képe, valamint a BD átló és a képe! Foltasd az előző feladatot! Végezd el a megadott transzformációkat a trapéz képével! Melik esetben milen kapcsolatban van egmással az eredeti trapéz és a képének a képe? Melik esetben jutunk vissza a kiindulási trapézhoz? Az ABCD deltoid AC C átlójának felezőpontja F. Ezt a deltoidot a) tükrözd az BD átló egenesére; D B b) tükrözd az F pontra; F c) forgasd el F körül ( 0 )-kal; d) told el az FC vektorral! A Mindegik esetben vizsgáld meg, milen kapcsolatban van egmással az AC átló és a képe, valamint a BD átló és a képe! B 6. C D O Ezt a kört és a nég átmérővégpontot a) tükrözd a BD átmérő egenesére; b) tükrözd az O pontra; c) forgasd el O körül ( 90 -kal); d) told el az OA vektorral! Mindegik esetben vizsgáld meg, milen kapcsolatban van egmással az AC átmérő és a képe, valamint a BD átmérő és a képe! Foltasd az előző feladatot! Végezd el a megadott transzformá ciókat a kör képével! Melik esetben milen kapcsolatban van egmással az eredeti kör és a képének a képe? Melik esetben jutunk vissza a kiindulási körhöz? Melik esetben jutunk vissza a kiindulási körhöz úg, hog a kör pontjai is az eredeti helükre kerülnek? B A 8 EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

149 ELMÉLET A feladatok alapján tekintsük át az eges transzformációk néhán tulajdonságát! Melik transzformáció esetén melik pont képe egezik meg az eredeti ponttal? Ilen pontok tengeles tükrözés esetében a tengel pontjai; középpontos tükrözés esetében csak maga a középpont; pont körüli forgatás esetében csak maga a középpont, kivéve, ha a forgatás szöge a 60 -os szög többszöröse, mert akkor minden pont ilen; eltolás esetében nincs ilen pont, hacsak nem 0 hosszúságú vektorral történik az eltolás. Ezeket a pontokat a transzformáció fipontjainak nevezzük. Melik transzformáció esetén melik egenes képe egezik meg az eredeti egenessel? Ilen egenesek tengeles tükrözés esetében a tengel és a rá merőleges egenesek; középpontos tükrözés esetében a középponton átmenő egenesek; pont körüli forgatás esetében, ha a forgatás szöge a 80 -os szög többszöröse, akkor a középponton átmenő egenesek; más szög esetében nincs ilen egenes; eltolás esetében az eltolás vektorával egállású egenesek. Ezeket az egeneseket a transzformáció fiegeneseinek nevezzük. Van ezek között olan egenes, amel pontonként is fi (ilen a tengeles tükrözés tengele) és van olan, ameliknek a pontjai nem fipontok, az egész egenes képe mégis önmaga. HÁZI FELADAT. Melik egenesre kell tükröznünk az ábrán látható alakzatot, hog a) a zöld egenes képe a piros egenes legen; b) a piros egenes képe a zöld egenes legen; c) a piros egenes képe önmaga legen; d) a csillag önmagának a tengeles tükörképe legen?.. Melik pont körül és mekkora szöggel forgathatjuk el az ábrán látható csillagot, ha azt akarjuk, hog a) a képe önmaga legen; b) minden pontjának a képe önmaga legen? Eg cm oldalú négzetet először mm-rel balra, majd mm-rel felfelé toltunk el. a) Szerkeszd meg az eredeti négzetet és az eltolt képét! b) Rajzold be azt az egetlen eltolásvektort, amivel a két lépés helettesíthető! c) Milen hosszú ez a vektor? Mérd meg, majd igazold az eredmént számítással is!. Melik pontra kell tükröznünk az ábrán látható alakzatot, hog a) a zöld egenes képe a piros egenes legen; b) a piros egenes képe a zöld egenes legen; c) a zöld egenes képe önmaga legen; d) a csillag önmagának a középpontos tükörképe legen?. Válaszolj a kérdésekre! a) Melik transzformáció esetén igaz, hog minden pont képének a képe az eredeti pont? b) Melik transzformáció esetén igaz, hog minden egenes képének a képe az eredeti egenes? 8. lecke GYAKORLÁS 9

150 Ráadás SZIMMETRIÁK FELADAT.. A fotón eg hópihe nagított képe látható. Sorolj fel olan geometriai transzformációkat, amelekkel a hópiheforma képe éppen önmaga lesz! Eges betűk, mint például az O vag az A tengeles tükrözéssel önmagukba vihetők át. a) Keress minél több ilen betűt! b) Próbálj belőlük olan szavakat összerakni, amelek jobbról balra olvasva is pontosan uganazok, mint balról jobbra olvasva!.. Többszörösen összehajtott papírlapokból érdekes csipketerítő-mintákat lehet kivágni. A képen látható mintát úg készítették, hog eg négzet alakú lapot háromszor egmás után félbehajtottak, majd bevagdosták. Sorolj fel olan geometriai transzformációkat, amelekkel a minta önmagába átvihető! Az alábbi ábrákba rajzolj be három olan más-más iránú vektort, amellel az eltolás a mintákat önmagukba viszi át! A füzetedben dolgozz!. Milen szimmetriákat találsz az alábbi virágokon? Eg szabálos hatszöghöz hat olan egenes található, amelre tükrözve önmagába meg át. Ezek a hatszög szimmetriatengelei. A hat szimmetriatengel eg ponton meg át. Ha erre a pontra tükrözzük a hatszöget, ismét uganez a hatszög lesz a képe. Ezért azt mondjuk, hog ez a pont a szabálos hatszög szimmetria-középpontja. 0 EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

151 ELMÉLET Ha eg síkbeli ponthalmazhoz van olan egenes, illetve pont, amelre tükrözve a tükörkép fedi az eredeti alakzatot, akkor ezt a ponthalmazt tengelesen szimmetrikus, illetve középpontosan szimmetrikus ponthalmaznak mondjuk. A szóban forgó egenes a ponthalmaz szimmetriatengele, a pont pedig a szimmetria-középpontja. 60 Ha eg szabálos hatszöget elforgatunk a középpontja körül 60 -kal, 0 -kal vag a 60 más, egész számú többszörösével, akkor a képe az eredeti hatszög lesz. Ezt úg szoktuk kifejezni, hog a szabálos hatszög forgásszimmetrikus. Ha eg síkbeli ponthalmazhoz van olan pont, amel körül eg bizonos (a teljesszögnél kisebb) szöggel elforgatva a ponthalmaz önmagába meg át, akkor ezt forgásszimmetrikus ponthalmaznak nevezzük. FELADAT 6. Válaszd ki az ezen az oldalon található ábrák közül azokat, amelek a) tengelesen szimmetrikusak; b) középpontosan szimmetrikusak; c) forgásszimmetrikusak! 8. Add meg az összes olan 0 és 60 közötti szöget, amellel a virágot, illetve a mozaikmintát elforgatva a kép önmagába meg át! 9. Melik ábrának van szimmetria-középpontja? 7. Melik ábrának hán szimmetriatengele van, a) ha a színeket is figelembe veszed; b) ha a színeket nem veszed figelembe? Ráadás SZIMMETRIÁK

152 HÁZI FELADAT. Van-e olan sokszög, amelnek az e és az f egenes is szimmetriatengele? Ha van, akkor rajzolj eget a füzetedbe! a) b) c) f f e e f e... Szerkessz eg cm sugarú körbe eg szabálos háromszöget és eg szabálos hatszöget úg, hog legen közös szimmetriatengelük! a) Hán lénegesen különböző eset van? (Két esetet lénegesen különbözőnek nevezünk, ha nem vihetők át egmásba egbevágósági transzformációval.) b) Igaz-e, hog mindkét szabálos sokszög forgásszimmetrikus? Indokold a válaszodat! Szerkessz olan szabálos nolcszöget, amelnek a körülírt köre cm sugarú! Szerkessz eg, cm oldalú szabálos nolcszöget! Rajzold meg az összes szimmetriatengelét, és jelöld meg a szimmetria-középpontját! EMELT SZINT ELMÉLET Középpontos szimmetria Ha eg testhez van olan pont, amelre tükrözve a tükörkép fedi az eredeti alakzatot, akkor ezt a testet középpontosan szimmetrikus testnek mondjuk. A szóban forgó pont a test szim metria-középpontja. Például a téglatest középpontosan szimmetrikus, szimmetria-középpontja a testátlók metszéspontja. EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

153 Síkszimmetria Ha eg testhez van olan sík, amelre tükrözve önmagába meg át, akkor ezt a testet síkszimmetrikus testnek mondjuk. A szóban forgó sík a test szimmetriasíkja. FELADAT. Keress a képeken szimmetriasíkokat! Testek forgásszimmetriája t Minden szabálos hasábnál és gúlánál létezik olan egenes, amel körül eg bizonos konve szöggel elforgatva a test önmagába meg át. Például a szabálos hatoldalú hasábnál és gúlánál ilen konve szög a 60 -os és a 0 -os. t Ha a szabálos hasáb, illetve gúla alaplapja n-oldalú sokszög (ahol az n valamel a -nél nagobb egész szám), akkor a megfelelő szögek a 60 fokos szög egész számú n többszörösei.. Keress a képeken forgásszimmetriát! Ráadás SZIMMETRIÁK

154 8 ÁLTALÁNOS ÉS SZIMMETRIKUS HÁROMSZÖGEK BEVEZETŐ Idézzük fel, mit is kell tudnunk a háromszögek oldalairól és szögeiről! c b Akármilen háromszöget vizsgálunk is, igaz, hog bármel két oldal hosszúságának az összege nagobb, mint a harmadik oldal; bármel két oldal hosszúságának a különbsége kisebb, mint a harmadik oldal; mindegik külső szög egenlő a két nem mellette fekvő belső szög összegével; a + b > c; a + c > b; b + c > a a belső szögek összege 80 ; α + β + γ = 80 a b < c; a c < b; b c < a αʹ = β + γ; βʹ = α + γ; γʹ = α + β a külső szögek összege 60. αʹ + βʹ + γʹ = 60 Ha eg háromszögnek van két egenlő hosszúságú oldala, akkor ezeket a háromszög szárainak nevezzük, és azt mondjuk, hog a háromszög egenlő szárú. a ELMÉLET A tengelesen szimmetrikus háromszögnek olan tulajdonságai is vannak, amelekkel más háromszögek nem rendelkeznek. Ezek közül a legfontosabbak: a szimmetriatengel a háromszög egik oldalának (a háromszög alapjának) felező merőleges egenese, egben a háromszög egik magasságvonala és egik szögfelezője is; a szimmetrikusan elhelezkedő két oldal (a két szár) egenlő hosszú; a szimmetrikusan elhelezkedő két szög (a háromszög alapján fekvő két szög) egenlő nagságú. Az is igaz, hog ha eg háromszögnek van két egenlő hosszúságú oldala, akkor az tengelesen szimmetrikus. a b b a A három szimmetriatengellel rendelkező háromszög mindegik oldala egenlő, vagis ez egenlő oldalú háromszög. A szimmetria miatt az egenlő oldalú háromszög mindegik szöge is egenlő, 60 -os. Az egenlő oldalú háromszöget szabálos háromszögnek nevezzük. A szabálos háromszög forgásszimmetrikus. a a a a a a a a a Olan háromszög nincs, amelnek csak két szimmetriatengele van. EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

155 KIDOLGOZOTT FELADAT A gümölcsszedéshez két létrát kaptunk kölcsön, ezek azonban nem egforma hosszúak. Oda lehet-e támasztani a létrákat a fához két oldalról úg, hog uganolan magasra érjenek? Megoldás A feladat természetesen könnedén megoldható, mindössze anni szükséges, hog a hosszabb létrát (a > b) kisebb szögben támaszszuk a fához, mint a rövidebb létrát (α > β). ELMÉLET A következő két tétel a nem szabálos háromszögekről szól: Ha a háromszögben két oldal nem egenlő, akkor a nagobb oldallal szemközti szög nagobb, mint amelik a kisebb oldallal van szemben. a b És megfordítva: Ha a háromszögben két szög nem egenlő, akkor a nagobb szöggel szemközti oldal nagobb, mint amelik a kisebb szöggel van szemben. Tehát ha a > b, akkor α > β, és ha α > β, akkor a > b. FELADAT. Az ABC egenlő szárú derékszögű háromszögben AD = AC és BE = BC. a) Mekkorák a rajzon látható hegesszögek? b) Igazold, hog a CDE háromszög egenlő szárú! c) Hán egenlő szárú háromszög van ezen az ábrán? B D E.. a a a a a Eg egenlő oldalú háromszög oldalai 8 mm-esek. Mekkorák a magasságai? Megjegzés Gorsabban számolhatunk, ha tudjuk, hog a szabálos háromszög magassága mindig a háromszög oldalának -szerese, az egenlő szárú derékszögű háromszög átfogója pedig mindig a befogó -szerese. (A. leckénél megtalálhatók a levezetések.) Eg lejtő hajlásszöge 0, magassága m. Milen hosszú a lejtő? C A lejtő hossza a a a lejtő magassága m 0 lejtő hajlásszöge 8. lecke ÁLTALÁNOS ÉS SZIMMETRIKUS HÁROMSZÖGEK

156 . Eg derékszögű háromszög egik szögfelezője 6 -os szöget alkot a szemközti oldallal. Mekkorák lehetnek ennek a háromszögnek a szögei? 6 6 HÁZI FELADAT.. Miért nincs középpontosan szimmetrikus háromszög? a) Mekkora a szabálos háromszög oldala, ha a magassága 7, cm hosszú? b) Mekkora az egenlő szárú derékszögű háromszög befogója, ha az átfogója, cm hosszú?. Az ABCD négzetben AM = AB, és az MK szakasz merőleges az AC átlóra. a) Mekkorák a rajzon látható hegesszögek? D M C. Eg egenlő szárú háromszög egik alapszöge kal kisebb, mint az egik külső szöge. Mekkorák lehetnek ennek a háromszögnek a szögei? a K. Szerkessz olan egenlő szárú háromszöget, amelnek az alapja cm hosszú, és a) az alapjához tartozó magassága cm hosszú; b) a szárához tartozó magassága cm hosszú; c) az egik szöge 90 -os; d) az egik szöge 60 -os! A a B b) Igazold, hog a BK, KM és az MC szakasz egenlő hosszú! RÁADÁS. Az egik földrész területe Az ábrán az Antarktisz térképe látható. a) Mekkora a távolság a Menzies-heg és a Déli-sark között? (A becsléshez használd a térkép méretaránát!) b) Becsüld meg az Antarktisz területét a térképen feltüntetett méretarán segítségével! Írd le a számításaidat és azt, hogan végezted el a becslést! 6 EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

157 . Háromszögek A nég háromszög közül melik az az eg, amelikre igazak a következő állítások? a) A PQR háromszög derékszögű, és a derékszög az R csúcsnál van. b) Az RQ oldal rövidebb, mint a PR oldal. c) M jelöli a PQ oldal felezőpontját, N pedig a QR oldal felezőpontját. d) S a háromszög eg belső pontja. e) Az MN szakasz hosszabb, mint az MS szakasz. P Q N M M S R S Q P N R P R M S N S Q N R Q M P 8. lecke ÁLTALÁNOS ÉS SZIMMETRIKUS HÁROMSZÖGEK 7

158 8 SZIMMETRIKUS NÉGYSZÖGEK BEVEZETŐ Vannak-e szimmetrikusak az alábbi képeken felismerhető négszögek között? Ha igen, milen szimmetriákat találsz? ELMÉLET A négszögeket aszerint csoportosítjuk, hog van-e az egenesszögnél nagobb szögük: konve négszög (minden szöge kisebb eg egenesszögnél) Minden négszögre igaz: a belső szögek összege 60. konkáv négszög (van olan szöge, amelik nagobb eg egenesszögnél) Tengelesen szimmetrikus négszögek húrtrapéz két oldala párhuzamos, ezek az alapok; a másik kettő egenlő, ezek a szárak; az eg alapon fekvő szögek egenlők; az eg száron fekvő szögek összege 80 ; a szemközti szögek összege 80 ; az átlók egenlők, a szimmetriatengelen metszik egmást; van olan kör, amelik mindegik csúcsán átmeg. deltoid két-két szomszédos oldala egenlő; két szemközti szöge egenlő; az átlói merőlegesek egmásra; a szimmetriatengelen lévő átló felezi a másik átlót és a deltoid két szögét. 8 EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

159 Középpontosan szimmetrikus négszög: paralelogramma. két-két szemközti oldala egenlő; két-két szemközti szöge egenlő; a szomszédos szögek összege 80 ; átlói felezik egmást. A szimmetrikus négszögek csoportosítása húrtrapézok paralelogrammák deltoidok FELADAT. A szimmetrikus négszögeket szemléltető ábra alapján döntsd el, melek igazak az alábbi kijelentések közül! A: Minden rombusz deltoid. B: Minden téglalap rombusz. C: Van olan téglalap, amelik rombusz. D: Minden négzet paralelogramma. E: Minden tengelesen szimmetrikus trapéz paralelogramma. F: Ha eg négszög középpontosan is és tengelesen is szimmetrikus, akkor az téglalap. G: Ha eg tengelesen szimmetrikus trapéz középpontosan is szimmetrikus, akkor az téglalap. H: Minden négzet deltoid.. I: Van olan téglalap, amel paralelogramma. J: Van olan deltoid, amel paralelogramma. Eg háromszög oldalai 6 mm, 77 mm és 8 mm hosszúak. a) Igazold, hog a háromszög derékszögű! b) Tükrözd a háromszöget az átfogó felezőpontjára. Milen síkidomot alkot egütt a két háromszög? Mekkora a területe? c) Tükrözd a háromszöget az átfogó egenesére! Milen síkidomot alkot egütt a két háromszög? Mekkora a területe? Milen hosszúak az átlói? 8. lecke SZIMMETRIKUS NÉGYSZÖGEK 9

160 .. Hánféle olan négszög van, amelnek két egmás melletti oldala mm, a másik kettő pedig mm hosszú? Eg cm sugarú kör két párhuzamos húrjának hossza 6 cm, illetve 8 cm. Sorban összekötjük a két húr nég végpontját. Milen négszöget kapunk? A húrok kétféleképpen helezkedhetnek el a körben, ezért kétféle négszög keletkezhet. Készítsd el az ábrákat a füzetedben!. b) Mekkora távolságra van a két párhuzamos húr a kör középpontjától? c) Mekkora a két párhuzamos húr távolsága? d) Mekkorák a négszög ismeretlen oldalai? A paralelogramma BD átlója merőleges az AD oldalra. A paralelogramma A-nál levő szöge 60. Az AB oldal hossza, cm. D C cm 6 cm 6 cm cm 8 cm A 60 B 8 cm a) Milen hosszú a BD átló? b) Milen hosszú a paralelogramma többi oldala? c) Mekkora a paralelogramma területe? d) Milen hosszú a paralelogramma két magassága? a) Van-e a két négszögnek szimmetriatengele? Ha van, akkor melik egenes? RÁADÁS. Eg biliárdasztalon az egik átlóval párhuzamosan elindítok eg biliárdgolót. Hová fog érkezni a biliárd goló, miután mind a nég oldalon visszaverődött? Válaszodat indokold! (Az asztal téglalap alakú, a visszaverődések tökéletesen rugalmasak, a goló nem az asztal közepéről és nem a legszéléről indul.). Vegél fel különböző pontot, legenek ezek O, K és L! Szerkeszd meg azt a négzetet, amelnek O a középpontja, a másik két pont, K és L pedig eg-eg szomszédos oldalegenesre esik! Hán megoldás van? Van-e olan helzet, amikor nincs megoldás? 60 EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

161 HÁZI FELADAT. a) Szerkessz húrtrapézt a füzetedben, ha a körülírt körének sugara, cm, hosszabbik alapja, cm, rövidebb alapja pedig cm hosszú! Hán különböző (azaz nem egbevágó) trapéz szerkeszthető?. Eg konve deltoidnak egetlen derékszöge és egetlen 60 -os szöge van. a) Mekkora a deltoid másik két szöge? b) Mekkora lehet a deltoid kerülete és területe, ha két oldala 8, cm hosszú?, cm, cm 60 b) Szerkessz konve deltoidot a füzetedben, amelnek átlói cm, illetve 6 cm hosszúak, egik szöge 0 -os, a másik három szöge ettől különböző! Hán különböző (azaz nem egbevágó) deltoid szerkeszthető? Mekkora ezeknek a területe?. Eg húrtrapéz hosszabbik alapja és átlói is 6 cm hosszúak. Az átlók merőlegesek egmásra. a) Szerkeszd meg a trapézt! b) Mekkorák a trapéz szögei, mekkora a kerülete és a területe? cm 6 cm 6 cm 6 cm. Eg rombusz rövidebb átlója 7, cm, hosszabb átlója 9,6 cm hosszú. Számítsd ki a rombusz kerületét és területét! 7, cm 9,6 cm 8. lecke SZIMMETRIKUS NÉGYSZÖGEK 6

162 8 GYAKORLÁS FELADAT. Az ABCDE szabálos ötszöget az ábra szerint két részre vágjuk. Az F pont a B pontnak az AC egenesre vonatkozó tükörképe. B. Eg szabálos hatszöget az ábra szerint nég háromszögre bontottunk. Meliknek a) mekkorák az oldalai; b) mekkorák a szögei; c) mekkora a területe? C A mm mm F D E. a) Sorold fel az ABCF négszög és az AFCDE ötszög tulajdonságait! b) Hán szimmetriatengele van az eredeti ötszögnek és hán a két részének? Eg szabálos ötszögnek megrajzoljuk két átlóját az ábra szerint. a) Hán egenlő szárú háromszög keletkezett? b) Mekkorák a hegesszögek? c) Milen tulajdonságai vannak a rajzon keletkezett négszögnek? 6. A rajzon látható szabálos nolcszög alakú ablak üvegét eg olan négzet alakú üvegtáblából vágták ki, amelnek oldalai 70 cm-esek. 70 cm.. Rakj össze öt egforma négzetből többféle tengelesen szimmetrikus sokszöget! Meliknek a) hán szimmetriatengele van; b) mekkora a kerülete; c) mekkora a területe; d) van szimmetria-középpontja? Rakj össze többféleképpen az öt négzetből olan tengelesen szimmetrikus ponthalmazt, amel nem sokszög! Meliknek hán szimmetriatengele van? 7. a) Mekkorák a nolcszög szögei? b) Legfeljebb mekkorák lehetnek a nolcszög oldalai? A hotel teraszán Bence talált néhán jópofa, szabálos hatszög alakú bárszéket. a) Mekkorák a méretei annak a téglalap alakú falemeznek, amelből az ábra szerint kivágták a szék ülőlapját, ha ennek minden éle cm hosszú? b) Hán százalék hulladék keletkezett íg? 6 EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

163 HÁZI FELADAT. Eg négzet alakú papírlapot kétszer összehajtottunk, majd az ábrán feketére színezett részeket kivágtuk belőle. Papírlap. hajtás után. hajtás után b) Az ábra szerint három részre bontottuk a paralelogrammát. Mekkorák a keletkezett háromszögek szögei és oldalai? 8 cm 60 8 cm 8 cm c) Mekkora a paralelogramma területe? Melik alakzathoz jutunk az alábbiak közül? A) C). Bence szobájában olan a parketta, hog három egforma parkettadarabot az ábra szerint heleztek el, majd az íg kapott nagobb paralelogramma ismétlődik. 8 cm 60 6 cm.... B) D) a) Megrajzoltuk az ábra szerinti paralelogramma átlóját. Mekkora az α és a β? Milen hosszú a megrajzolt átló? 8 cm 60 6 cm. Bence azon gondolkodik, hog milen eg be vágó sági transzformációval vihetők át egmásba a pa ralelogrammák. Adj meg olan egbevágósági transzformációt (vag azok sorozatát), amelik a) az. jelűt a. jelűbe; b) az. jelűt a. jelűbe; c) a. jelűt a. jelűbe viszi át! A cm oldalú szabálos hatszög alakú ülőkelapot eg négzetből vágják ki az ábra szerint. a) Mekkora a négzet oldala és területe? b) Mekkora a hatszög területe? c) Hán százalék hulladék keletkezik? cm RÁADÁS Az ABC egenlő szárú háromszög csúcsszöge, szárai 0 cm hosszúak. A B csúcsból húzzuk be azt az egenest, amel -os szöget zár be AB oldallal. a) Mekkora részekre bontja ez az egenes az AC oldalt? b) Mekkora a keletkezett háromszögek területe, és íg az ABC háromszög területe? c) Mekkora annak a szabálos nolcszögnek a területe, amel a 0 cm sugarú körbe írható? d) Mekkora annak a szabálos nolcszögnek a területe, amelnek oldala a cm? A B C 8. lecke GYAKORLÁS 6

164 8 A HÁROMSZÖG NEVEZETES VONALAI ÉS PONTJAI I. BEVEZETŐ A fotókon megjelenő zavaró árnékok kiküszöbölésére a fénképészetben három fénforrással egszerre világítják meg a lefénképezni kívánt tárgat. Ennek az eljárásnak nagon fontos eleme, hog a tárgnak a három fénforrás mindegikétől egforma távolságra kell lennie. Pontosan hová helezzük a tárgat, ha adott a három fénforrás hele? Megoldás Tudjuk, hog eg síkban a sík két pontjától egenlő távolságra lévő pontok a két pont között húzott szakasz felezőmerőlegesén találhatók. Mivel a tárgnak bármel két lámpától egforma messze kell lennie, ezért rajta lesz minden olan szakasz felezőmerőlegesén, amelet két-két lámpa közé húztunk, azaz az ilen felezőmerőlegesek metszéspontjában kell lennie. ELMÉLET Definíció: A háromszög oldalának felezőmerőleges egenesét a háromszög oldalfelező merőlegesének nevezzük. Tétel: A háromszög három oldalfelező merőlegese eg pontban metszi egmást. Ez a pont egenlő távol van a háromszög csúcsaitól, ezért ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja. A háromszög köré írható kör középpontja hegesszögű háromszög esetében a háromszög belsejében, derékszögű háromszög esetében az átfogó felezőpontjában, tompaszögű háromszög esetében a háromszögön kívüli síkrészben van. 6 EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

165 KIDOLGOZOTT FELADAT Ez a fotó a párizsi Notre-Dame egik ún. rózsaablakáról készült. Hogan kell megszerkeszteni az ablak körének középpontját és sugarát, hog az illeszkedjen a háromszögbe, azaz a háromszög oldalai éppen érintsék a kört? Megoldás Tudjuk, hog eg konve szögtartománban a szög két szárától egenlő távolságra levő pontok a szögfelező félegenesen találhatók. Mivel a kör középpontjának bármel két oldaltól egforma messze kell lennie, ezért két szögfelezőn is rajta kell lennie, vagis két szögfelező metszéspontjában van. ELMÉLET Definíció: A háromszög belső szögének szögfelező egenesét a háromszög szögfelezőjének nevezzük. (Sokszor íg nevezzük az egenesnek a háromszög belsejébe eső szakaszát is.) Tétel: A háromszög három szögfelezője eg pontban metszi egmást. Ez a pont egenlő távol van a háromszög oldalegeneseitől, ezért ez a pont a háromszögbe írható kör középpontja. Definíció: A háromszög csúcsán átmenő és a szemközti oldal egenesére merőleges egenest a háromszög magasságvonalának nevezzük. Magasságnak nevezzük a magasságvonalnak a csúcs és az oldalegenes közé eső szakaszát, illetve ennek a szakasznak a hosszát. Tétel: A háromszög három magasságvonala eg pontban metszi egmást. Ezt a pontot a háromszög magasságpontjának nevezzük. A háromszög magasságpontja hegesszögű háromszög esetében a háromszög belsejében, derékszögű háromszög esetében a derékszögű csúcsban, tompaszögű háromszög esetében a háromszögön kívüli síkrészben van. 8. lecke A HÁROMSZÖG NEVEZETES VONALAI ÉS PONTJAI I. 6

166 FELADAT. Szerkeszd meg eg cm oldalú szabálos háromszög beírt és körülírt körét! a) α = 0 ; e) α = 0 ; b) α = ; f) α = ; c) α = 60 ; g) α = 0? d) α = 90 ;. Eg háromszög körülírt körének sugara cm, egik oldalának hossza 7, cm, magassága, cm. Szerkeszd meg a háromszöget!. a) Számítsd ki e körök sugarát! b) Milen kapcsolat van e körök sugarai között? Van-e olan hel Mezőhegesen, amelik egenlő távolságra van Újtelep, illetve a 8-es és a 6-os major központjától?. Eg díszítőelem nég egenlő sugarú kör érintkezését mintázza. Eg kör sugara cm. a) Számítsd ki két-két kör középpontjának távolságát! b) Mekkora területű a lukas rész, amelet a nég kör íve fog közre? 8-es major Árpádtelep Újtelep Komlósfecskéspuszta -es major Csatókamrás Kamaráspuszta Mezőheges Belsőperegpuszta 6-os major. Eg háromszög két oldalának a hossza mm, illetve 8 mm, az általuk bezárt szög α. Mekkora a mm-es oldalhoz tartozó magasság, ha HÁZI FELADAT.. Szerkeszd meg eg hegesszögű háromszög körülírt körét, beírt körét és magasságpontját a füzetedben! Szerkessz eg olan derékszögű háromszöget, amel nek a körülírt köre, cm sugarú! Szerkeszd meg ennek a háromszögnek a beírt körét! A GeoGebra programmal ellenőrizheted a gondolatmeneted és a szerkesztéseid helességét is... A Szerkessz egenlő szárú háromszöget, ha körülírt körének sugara, cm, szára pedig 6 cm! Eg derékszögű háromszög egik szöge 6 -os. A beírható kör középpontját összekötjük a háromszög csúcsaival. Íg három háromszöget kapunk. Határozd meg a háromszögek szögeit! K C B 66 EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

167 EMELT SZINT Bizonítsuk be a tételeket:. Tétel: A háromszög oldalfelező merőlegesei eg pontban metszik egmást. Bizonítás Felhasználjuk, hog a sík két pontjától egenlő távol lévő pontok halmaza a két pont által meghatározott szakasz felezőmerőlegese. (Ez az állítás a tengeles tükrözés tulajdonságaiból levezethető.) Az AB és a BC oldalak felezőmerőlegeseinek metszéspontja legen K. K rajta van az AB oldal felezőmerőlegesén, azért egenlő távol van A-tól és B-től: KA = KB. K rajta van a BC oldal felezőmerőlegesén, azért egenlő távol van B-től és C-től: KB = KC. KA = KB és KB = KC KA = KC. K egenlő távol van tehát A-tól és C-től, ezért K rajta van az AC felezőmerőlegesén is. Vagis AC felezőmerőlegese is átmeg a K ponton.. Tétel: A háromszög szögfelezői eg pontban metszik egmást. Bizonítás Felhasználjuk, hog eg konve szögtartománban a szög két szárától egenlő távol lévő pontok halmaza a szögfelező félegenes. (Ez az állítás a tengeles tükrözés tulajdonságaiból levezethető.) A CABB és az ABCB szögfelezőinek metszéspontja legen K. K rajta van a CABB szögfelezőjén, ezért egenlő távol van AB és AC szögszáraktól. K rajta van az ABCB szögfelezőjén, ezért egenlő távol van AB és BC szögszáraktól. Ezekből következik, hog K egenlő távol van AC és BC szögszáraktól is, ezért K rajta van a BCAB szögfelezőjén is. Vagis BCAB szögfelezője is átmeg a K ponton.. Tétel: A háromszög három magasságvonala eg pontban metszi egmást. Bizonítás Felhasználjuk, hog ha eg négszög szemközti oldalai párhuzamosak, akkor a négszög paralelogramma, íg a szemközti oldalai egenlők. Húzzunk párhuzamost a szemközti oldallal az ABC háromszög minden csúcsán át! Jelöljük a kapott háromszöget az ábra szerint AlBlCl-vel. ClBCA négszög paralelogramma, hisz szemközti oldalai párhuzamosak. Ezért ACl = BC. ABCBl négszög paralelogramma, hisz szemközti oldalai párhuzamosak. Ezért ABl = BC. Azt kaptuk, hog az A pont felezőpontja a ClBl oldalnak, ezért az ABC háromszögben az A-ból húzott magasságvonal egben oldalfelező merőleges az AlBlCl háromszögben. Hasonlóképpen belátható, hog az ABC háromszög másik két magasságvonala is egben az AlBlCl háromszög oldalfelező merőlegesei. A háromszög oldalfelező merőlegesei eg pontban metszik egmást, ezért a három magasságvonal is eg pontban metszi egmást. B A C C B A 8. lecke A HÁROMSZÖG NEVEZETES VONALAI ÉS PONTJAI I. 67

168 86 A HÁROMSZÖG NEVEZETES VONALAI ÉS PONTJAI II. BEVEZETŐ Vágj ki kartonpapírból eg tetszőleges háromszöget! Próbáld meg kiegensúlozni a vonalzód élén (sőt: akár a kinújtott tenered élén!) úg, hog az alátámasztás átmenjen az egik csúcson! Hogan kell igazítani a háromszöget? Most próbáld meg kiegensúlozni a háromszöget az ujjad hegén! Hol legen az alátámasztás? ELMÉLET Definíció: A háromszög csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakaszt a háromszög súlvonalának nevezzük. Tétel: A háromszög három súlvonala eg pontban metszi egmást. Definíció: A súlvonalak metszéspontja a háromszög súlpontja. Tétel: A súlpont harmadolja, vagis : aránban két részre osztja a súlvonalat úg, hog a háromszög csúcsától van távolabb, az oldalfelező ponthoz közelebb. A Definíció: A háromszög két oldalfelező pontját összekötő szakasz a háromszög középvonala. Tétel: A háromszögben a középvonal párhuzamos a háromszög harmadik (általa össze nem kötött) oldalával, és fele olan hosszú. B B c c a a F c F c b c F a c F a S a A a A c a b b Fb Fb b b C C B a s a S m a M C A háromszög nevezetes pontjainak, vonalainak szokásos jelölései: Az A csúcsnál levő szög a, az A csúccsal szemközti oldal az a, A-hoz tartozó súlvonal s a, az A-hoz tartozó magasság pedig m a. A háromszög magasságpontja M, súlpontja S. A GeoGebra programmal szemléltethető az állítások érvénessége minden háromszög esetére. KIDOLGOZOTT FELADAT. Mekkora területű részekre osztja a 00 cm területű háromszöget eg súlvonala; A Megoldás A két részháromszög egik oldala egforma hosszúságú ( az ábrán a ), és egenlő az ehhez m az oldalukhoz tartozó magasságuk is (m). A súlvonal tehát felezi a háromszög területét, két 0 cm területű részre osztja a háromszöget. B a F a a C 68 EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

169 . Mekkora területű részekre osztja a 00 cm területű háromszöget a három középvonala? Megoldás A nég keletkező háromszög oldalai: a, b és c. Tehát egbevágók, s íg nég egen- lő területű részre vágják szét az eredeti háromszöget. Az eges részek területe cm. B c a b c a A c a b b C FELADAT.... Van-e olan háromszög, a) amelnek egik súlvonala merőleges a felezett oldalra; b) amelnek egik súlvonala egben szögfelező is; c) amelnek súlpontja egbeesik a körülírt kör középpontjával; d) amelnek súlpontja illeszkedik a háromszög egik középvonalára? Eg szabálos háromszög súlpontja az egik csúcstól,8 cm távolságra van. a) Mekkora a háromszög magassága? b) Mekkora a beírható és a köré írható kör sugara? c) Mekkora a háromszög oldala? Eg derékszögű háromszög átfogója 6 cm, egik befogója pedig 6 cm hosszú. a) Számítsd ki a középvonalainak hosszát! b) Mekkora területű részekre osztja a háromszöget a három középvonala? Eg derékszögű háromszög átfogója 6 cm, egik befogója pedig 6 cm hosszú. a) Milen hosszúak a befogókhoz tartozó súlvonalak? b) Tükrözd a háromszöget az átfogó felezőpontjára! Milen síkidomot kaptál? Határozd meg. 6. ennek segítségével, hog milen hosszú az átfogóhoz tartozó súlvonal! Mekkora az ABC háromszög területe? Az ABCD paralelogramma belső szögfelezői eg négszöget határoznak meg. A D E B c cm a c a) Mekkorák a négszög szögei? b) Igazold, hog E és F pontok illeszkednek a paralelogramma középvonalára (szemközti oldalak felezőpontjait összekötő szakaszra)! c) Milen hosszú az EF szakasz, ha a paralelogramma oldalai a és b? a F c B C A a C HÁZI FELADAT. Mekkorák a,8 cm oldalú szabálos háromszög középvonalai és súlvonalai? b) Milen kapcsolatot látsz az OS és az SM szakaszok hossza között?. Eg háromszög oldalainak hossza cm, 7 cm, 7 cm. a) Szerkeszd meg a köré írt kör O középpontját, az M magasságpontot és az S súlpontot! 7 cm cm 7cm. Eg egenlő szárú háromszög alapja cm, szára 9 cm hosszú. Számítsd ki a háromszög középvonalainak és súlvonalainak hosszát! 86. lecke A HÁROMSZÖG NEVEZETES VONALAI ÉS PONTJAI II. 69

170 . Az ábra szerinti derékszögű háromszögben a derékszögű csúcsot összekötöttük az átfogó felezőpontjával, és összekötöttük a két befogó felezőpontját is. a) Mekkora ez a két szakasz? b) Mekkora a színezett háromszög területe, és mekkora a keletkezett két négszög területe? cm cm cm cm cm cm cm cm RÁADÁS. Négszögek középvonalai Eg négszög két szemközti oldalának felezőpontját összekötő szakasz a négszög középvonala. C a F b S F a A paralelogramma középvonala párhuzamos és egenlő a megfelelő oldalával. A trapéz szárainak felezőpontját összekötő középvonal az alapok összegének fele. b a b a A P a a Q. Az ábra érdekes kapcsolatot szemléltet: Eg háromszögbe berajzoltuk a középvonalait, aztán az íg kapott háromszögbe ismét, és ezt foltatjuk a végtelenségig. B. Bizonítsuk be, hog a háromszög súlvonalai eg pontban metszik egmást! Megjegzés: Érdekes, hog könnebb bebizonítani azt, hog a súlvonalak milen aránban metszik egmást, majd ebből következtetni a közös metszéspontra. Bizonítás Legenek F a és F b az ABC háromszögben oldalfelező pontjai, a két súlvonal metszéspontja S, az AS és BS szakaszok felezőpontjai pedig P és Q. Az F a F b szakasz az ABC háromszögben középvonal, ezért párhuzamos az a oldallal, és feleakkora hosszúságú. A PQ szakasz az ABS háromszögben középvonal, ezért párhuzamos az a oldallal, és feleakkora hosszúságú. A PQF a F b négszög paralelogramma, hiszen van két párhuzamos és egenlő hosszú oldala. A paralelogramma átlói felezik egmást, ezért F a S = SP. Uganakkor P felezőpont az SA oldalon, ezért SP = PA. Ezzel beláttuk, hog az S pont és ezzel s b súlvonal is az s a súlvonalat : aránban osztja. Uganíg belátható, hog s c is : aránban osztja az s a súlvonalat, ezért az is áthalad az S osztóponton. A három súlvonal tehát eg pontban metszi egmást. Feladat: Milen pontot zárnak közre az egre kisebb és kisebb háromszögek? Miért?. Minden háromszögre igaz: A körülírt kör O középpontja, az M magasságpont és az S súlpont eg egenesbe esik. Euler-egenes O S Ezt az egenest a háromszög Euler-egenesének nevezzük. A súlpont a másik két pont között van, kétszer akkora távolságra M-től, mint O-tól. M 70 EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

171 (L. Euler 707-től 78-ig élt, svájci születésű tudós volt. Nevét íg ejtjük: ajler.) Megjegzés: Szabálos háromszög esetében a három nevezetes pont egbeesik, ezért a tétel állítása ebben az esetben is igaz, ámde semmitmondó. Szerkesztése. Minden háromszögre igaz: A három oldalfelező pont meghatároz eg kört. Ezen rajta van a magasságvonalak és az oldalegenesek három metszéspontja; a magasságpont és a csúcsok közötti szakaszok felezőpontja. Ezt a kört a háromszög Feuerbach-körének, másképp: a kilenc pont körének nevezzük. A Feuerbach-kör középpontja az Euler-egenesen van, középen, a körülírt kör középpontja és a magasságpont között. A kör sugara feleakkora, mint a háromszög köré írt kör sugara. (K. W. Feuerbach 800-tól 8-ig élt, német gimnáziumi tanár volt. Nevét íg ejtjük: fajerbah.) Euler-egenes O S O F M Szerkesztése 6. Városnézéseink során können felfedezhetünk olan díszítőmotívumokat, amelek egmással érintkező körökből, körívekből épülnek fel. Ezek közül kettőnek a szerkesztése olan egszerű, hog matematikai ismeretek nélkül is können adhatták tovább a mesteremberek tanítvánaiknak. Tanulmánozd az ábrákat, és fejtsd meg a mesteremberek titkát! Hajtsd végre a szerkesztéseket! Ha a jó mesterember a bűvös Pitagorasz-tételt is ismerte, akkor können kiszámíthatta, hog a bal oldali ábra legkisebb körének sugara pontosan harmada a legnagobb kör sugarának, a jobb oldali ábra kis köreinek sugara pedig pontosan háromnolcada a nag körök sugarának. Lásd be, hog jól okoskodtak! A. és. feladat állításának általános érvénességét a GeoGebra programban is szemléltetni lehet. 86. lecke A HÁROMSZÖG NEVEZETES VONALAI ÉS PONTJAI II. 7

172 87 THALÉSZ TÉTELE ELMÉLET Thalész tétele C Ha eg kör átmérőjének két végpontját összekötjük a körvonal eg harmadik pontjával, derékszögű háromszöget kapunk. A harmadik pont lesz a derékszögű csúcs. Másképp: Ha a C pont rajta van az AB átmérőjű körön, de nem esik egbe sem A-val, sem B-vel, akkor a C-ből az AB szakasz derékszögben látszik. A B Thalész tételének megfordítása A derékszögű háromszög köré írt kör középpontja az átfogó felezőpontjában van. B Másképp: Ha a C pontból az AB szakasz derékszögben látszik, akkor C rajta van az AB átmérőjű körön. C A KIDOLGOZOTT FELADAT. Hogan állapítható meg eg kör középpontja, ha csak eg derékszögű vonalzónk van? Megoldás Illesszük a derékszögű csúcsot a kör eg tetszőleges pontjához, húzzuk meg a két egmásra merőleges húrt, és kössük össze a másik végpontjaikat! Thalész tételének megfordítása értelmében az íg kapott derékszögű háromszög átfogója éppen a kör egik átmérője lesz. Ismételjük meg az előző eljárást eg másik ponttal! A kör középpontja a két átmérő metszéspontja lesz. ELMÉLET Milen kapcsolatban van egmással eg tétel és a tétel megfordítása? Minden tétel két részből áll: a feltételből és az állításból. Ha a feltételt és az állítást felcseréljük, megkapjuk a tétel megfordítását. Némelik tételnek a megfordítása is igaz, más tételeké viszont nem feltétlenül. 7 EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

173 Például a Thalész-tételnél: Feltétel Állítás Következik-e a feltételből az állítás? a háromszög egik oldala a köré írt a háromszög derékszögű igen kör átmérője a háromszög derékszögű a háromszög egik oldala a köré írt kör átmérője igen Vizsgáljunk meg eg másik tételt ehhez hasonlóan: Ha eg négszög négzet, akkor a szögei derékszögek. Feltétel Állítás Következik-e a feltételből az állítás? a négszög négzet a négszög szögei derékszögek igen a négszög szögei derékszögek a négszög négzet nem Ennek a tételnek a megfordítása nem igaz, mert van olan négszög, amel nem négzet, de a szögei derékszögek. Ilen minden téglalap, ameleknek nem egenlők az oldalai. KIDOLGOZOTT FELADAT. Szerkesszünk a k körhöz érintőket a külső P pontból! k E Megoldás Az érintő merőleges az érintési pontban húzott sugárra. Ezért olan pontot keresünk a k körön, melből az OP szakasz derékszögben látszik. Szerkeszszük meg először az OP átmérőjű kört! A két kör az E és G pontokban metszi egmást. Thalész tétele miatt a PEO háromszög derékszögű az E pontnál. Ezért a PE egenes érinti a k kört. Hasonlóan látható, hog a PG egenes is érinti a k kört. O G F P HÁZI FELADAT FELADAT AT. Szerkessz két olan derékszögű háromszöget, amelnek az átfogója a KL szakasz, és a harmadik csúcsa a k körön van! A füzetedben dolgozz! K. A háromszög egik oldala mint átmérő fölé kört szerkesztettünk. Magarázd meg, hog a megszerkesztett M pont miért a háromszög magasságpontja! M L k M. Helezd el úg a KL szakaszt, hog az előző feladatnak csak eg megoldása legen! A GeoGebra programban a P pont mozgatásával szemléltethető a szerkesztés helessége. 87. lecke THALÉSZ TÉTELE 7

174 .. Rajzolj eg, cm sugarú kört! a) Szerkessz eg olan pontot a körön kívül, amelből cm hosszú érintőszakasz húzható a körhöz! b) Szerkeszd meg az összes olan pontot, amelből a körhöz cm hosszú érintőszakasz húzható! Adott eg kör és belsejében két pont: P és Q. Szerkessz a körbe derékszögű háromszöget (ez azt jelenti, hog a csúcsai illeszkedjenek a körvonalra), amelnek egik befogója áthalad a P ponton, másik befogója pedig a Q ponton! P Q HÁZI FELADAT. Szerkessz olan derékszögű háromszöget, amelnek két csúcsa az A és a B A pont, a harmadik csúcsa pedig az e egenesen van! A füzetedben dolgozz! Hán megoldása van a feladatnak? e B. b) Milen szögben látszik az AB szakasz a körön kívüli pontokból, például a P-ből? c) Milen szögben látszik az AB szakasz a körön belüli pontokból, például a Q-ból? Eg derékszögű háromszög átfogója 7,6 cm, átfogóhoz tartozó magassága cm. Szerkeszd meg a háromszöget!. e Kösd össze gondolatban az e egenes mindegik pontját A-val és B-vel! Vedd fel az ábrát a füzetedben! Q P. Az ABC derékszögű háromszög egik szöge -os, az AB átfogó cm hosszú. C A a) Melik pontokból látszik az AB szakasz derékszögben? B A T F B a) Mekkora a CF súlvonal? b) Mekkora a δ szög? c) Mekkora az ε és a φ szög? d) Mekkora a CT magasság? RÁADÁS Thalész (Kr. e. 6? 8?) matematikus és filozófus, a hét görög bölcs egike volt, sokan a görög filozófia atjaként emlegetik. A kis-ázsiai Milétoszban született, föníciai nemesi családban. A tudománok mellett politikával és kereskedelemmel is foglalkozott. Thalész érdekesen magarázott eges természeti jelenségeket; a földrengéseket például úg, hog a Föld vízen úszik, és a földrengéseket a víz hullámzása okozza. 7 EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

175 Ő volt az első olan matematikával is foglalkozó tudós, akinek a neve is fennmaradt. Komol geometriai ismeretekkel rendelkezett, használta a térben elhelezkedő egenesek, síkok, testek fogalmát, távolságokkal és szögekkel dolgozott. Megmutatta, hog a csúcsszögek egenlők, hog az egenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei megegeznek, és hog ha két háromszög eg-eg oldala és az azokon fekvő szögek páronként egenlők, akkor a két háromszög egbevágó. Bebizonította, hog a háromszög belső szögeinek összege akkora, mint két derékszög egütt. Foglalkozott a hasonló háromszögekkel is, és kutatásai eredménét gakorlati célokra is felhasználta. Például a hasonló háromszögek segítségével határozta meg a piramisok magasságát, sőt ilen módszerrel megmérte hajók távolságát a tengeren. Leghíresebb megállapítása a derékszögű háromszög és a köré írt kör kapcsolatát kimondó tétel, amel máig az ő nevét viseli. Magát az összefüggést az egiptomi és babiloni papok valószínűleg már Thalész előtt is ismerték, erről azonban nem maradt fenn bizoníték. A tétel első bizonítását neki tulajdonítják. EMELT SZINT. Bizonítsuk be Thalész tételét! C Bizonítás Tudjuk, hog az ABC háromszög AB oldala a háromszög köré írt kör átmérője. Ha a C-t összekötjük a kör K középpontjával, akkor az ABC háromszöget két egenlő A szárú háromszögre bontottuk (a szárak a kör sugarával egenlők). Az egenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei egenlők, ezért ACK <) = α és BCK <) = β. Írjuk fel, hog a háromszög szögeinek összege 80! α + α + β + β = 80 ; α + α = 80 ; α + β = 90. Eredménünk éppen azt jelenti, hog az ABC háromszögnek a C csúcsnál derékszöge van. K B. Bizonítsuk be Thalész tételének a megfordítását! Bizonítás Most azt tudjuk, hog az ABC háromszög derékszögű, és C a derékszögű csúcs. A két hegesszög összege: α + β = 90. Osszuk két részre a C csúcsnál fekvő derékszöget az ábra szerint! Az AKC háromszög két szöge egenlő, ezért ez eg egenlő szárú háromszög, amelben KA = KC. A BKC háromszög két szöge egenlő, ezért ez eg egenlő szárú háromszög, amelben KC = KB. Tehát KA = KC = KB, vagis a K pont az átfogó felezőpontja, és ez egenlő távolságra van a háromszög mindhárom csúcsától. K tehát a derékszögű háromszög körülírt körének középpontja. A A C C K B B 87. lecke THALÉSZ TÉTELE 7

176 88 A THALÉSZ-TÉTEL ALKALMAZÁSAI KIDOLGOZOTT FELADAT. Rajzoljuk meg azt a kört, amelnek átmérője az ABC egenlő szárú háromszög AC szára! Igazoljuk, hog ez a kör a háromszög AB alapját annak a felezőpontjában metszi! C Megoldás Az ábrán P a kör és az AB alap metszéspontja. Thalész tételéből következik, hog az APC szög derékszög. A C-ből AB-re húzott merőleges viszont nem más, mint az ABC háromszög szimmetriatengele, tehát P az alap felezőpontja. A O P B. Az ABC szabálos háromszög oldalai mm-esek, az AB oldal felezőpontja D. Mekkora részekre osztja az AC oldalt a CD átmérőjű kör? C Megoldás Jelöljük a kör és az AC oldal metszéspontját E-vel! Thalész tételéből következik, hog a CED szög (és íg az AED szög is) derékszög. Az AED derékszögű háromszög egik szöge 60 -os, ezért az AE befogó az AD átfogó fele. Az AD szakasz pedig az AB oldal fele, vagis mm hosszúságú. Tehát AE = AD = = (mm), A E D B az AC oldal másik része pedig AC AE = = (mm). Érdekes: az AC oldal egik része -szor akkora, mint a másik. FELADAT. Eg kör sugara, cm, s a középpontjától, cm távol van eg P pont. Milen hosszúak a P pontból a körhöz húzható érintőszakaszok?. Mekkora a körbe írt négszög kerülete és területe? (K a kör középpontja.). Eg szabálos nolcszög egik csú csából meg húzunk két átlót az ábra szerint. Sorold fel a keletkezett négszögek tulajdonságait! 7,8 cm K 0, cm cm 76 EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

177 . Az ABC háromszög egenlő szárú, derékszögű. Az AB szakasz 00 cm hosszú. A kör átmeg a C-n, és a felezőpontjában érinti az AB átfogót. a) A kör területének hán százaléka van az ábrán az ABC háromszögön kívül? Az egenlő szárú trapéz átlói merőlegesek a szárakra. Szárának hossza 6, cm, átlójának hossza 0,8 cm. a) Mekkora átmérőjű körlemezből lehet kivágni ezt a trapézt? C b) Mekkora az ABD háromszög területe és magasságai? c) Határozd meg a rövidebbik alap hosszát! d) Menni hulladék keletkezik, ha ebből a körlemezből kivágjuk a trapézt?. A B D C b) Az ABC háromszög területének hán százalékát fedi le a körlap az ábrán? 6, cm 0,8 cm C A B A B HÁZI FELADAT. Eg téglalap oldalai,9 cm és 8 cm hosszúak. Mekkora a köré írható kör sugara?. Hán különböző derékszögű háromszöget határoznak meg eg szabálos hatszög csúcsai?. Eg 0 cm sugarú körbe olan deltoidot írunk, amelnek két cm-es oldala van. a) A deltoid két szögét mérés nélkül meg tudjuk határozni. Melek ezek? b) Mekkora a másik oldalpár? c) Mekkora a deltoid területe?. Eg egség oldalú szabálos háromszög mindhárom oldalára megrajzoltuk a Thalész-kört. a) Mekkora e körlemezek metszetének területe? b) Hán százaléka ez a háromszög területének? cm cm 0 cm 88. lecke A THALÉSZ-TÉTEL ALKALMAZÁSAI 77

178 89 SOKSZÖGEK ÉS KÖRÖK BEVEZETŐ Minden háromszögnek van körülírt és beírt köre. A szimmetrikus négszögekre a következők igazak: A húrtrapézoknak van körülírt körük (a nevüket is erről a tulajdonságukról kapták), de nem mindegiknek van beírt köre. Most vizsgáljuk meg, hog mi a helzet a négszögekkel és más sokszögekkel! Können látható, hog ez a tulajdonság, amellel minden háromszög rendelkezik, nincs meg minden sokszög esetében. Vannak olan sokszögek, ameleknek sem beírt, sem körülírt körük nincs. van beírt köre és körülírt köre körülírt köre van, beírt köre nincs A paralelogrammáknak általában sem beírt, sem körülírt körük nincsen, a tengelesen szimmetrikus paralelogrammák azonban ebből a szempontból kivételt képeznek. Minden téglalapnak van körülírt köre, minden konve deltoidnak (íg a rombusznak is) van beírt köre. Vannak olan sokszögek, ameleknek csak beírt vag csak körülírt körük van. csak beírt köre van csak körülírt köre van A téglapok közül csak a négzeteknek van beírt körük, a deltoidok közül csak a derékszögű deltoidoknak (köztük a négzeteknek) van körülírt körük. És olanok is, amelek mindkét fajta körrel rendelkeznek. 78 EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

179 ELMÉLET Definíció: Amelik négszögnek van beírt köre, azt érintőnégszögnek, ameliknek van körülírt köre, azt húrnégszögnek nevezzük. Érintősokszögnek, illetve húrsokszögnek nevezzük azokat a sokszögeket, ameleknek van beírt, illetve körülírt körük. A szabálos sokszögek azért is különlegesek, mert mindegik húrsokszög is és érintősokszög is. A körülírt és a beírt körük koncentrikus (uganaz a pont a középpontjuk). KIDOLGOZOTT FELADAT Az ábra eg érintőnégszög három oldalának hosszúságát mutatja. Mekkora a negedik oldala? u 8 mm z z Megoldás Tudjuk, hog eg külső pontból a körhöz húzott érintőszakaszok egenlők. Az egenlő szakaszokat azonos betűkkel jelöltük. Az ismeretlen oldal hossza: +. A rajzról leolvashatjuk, hog két-két szemközti oldal hosszának összege + + z + u. Ez egrészt egenlő + 9 = 70 milliméterrel, másrészt 8 + ( + ) milliméterrel. Tehát az ismeretlen oldal hossza + = 70 8 = milliméter. mm u 9 mm ELMÉLET Tétel: Az érintőnégszög két-két szemközti oldalának összege egenlő. Vajon igaz-e a tétel megfordítása? A deltoidra mindig igaz, hog kétkét szemközti oldalának összege egenlő. Van azonban olan deltoid, amelnek nincs beírható köre. Keress ilet! Teljesül azonban a következő tétel: Tétel: Ha eg konve négszög két-két szemközti oldalának összege egenlő, akkor a négszög eg érintőnégszög. 89. lecke SOKSZÖGEK ÉS KÖRÖK 79

180 FELADAT. a) Milen négszög az a paralelogramma, amelnek van körülírt köre? b) Milen négszög az a deltoid, amelnek van körülírt köre? c) Milen négszög az a paralelogramma, amelnek van beírt köre? d) Milen négszög az a téglalap, amelnek van beírt köre? e) Milen négszög az a deltoid, amelnek van beírt köre? f) Milen négszög az a rombusz, amelnek van körülírt köre?.. Eg szabálos hatszög oldala cm hosszú. a) Számítsd ki a hatszög területét, továbbá a beírt és a köré írt kör területét is! b) Hán százaléka a hatszög területének a két kör területének különbsége? Eg húrtrapéz alapjainak a hosszúsága mm és mm. A trapéznak mind a nég oldala érinti a zöld kört. mm. Az e egenes a piros és a kék körnek is érintője. Vonalzód odaillesztésével ke ress még ilen tulajdonságú egeneseket! Hán közös érintője van a két körnek? a) e mm a) Mekkorák a trapéz csúcsaiból a körhöz húzott érintőszakaszok? b) Mekkorák a trapéz szárai? c) Mekkora a trapéz magassága? d) Mekkora a zöld kör sugara? b) e. Eg szabálos hatszög területe 7,6 cm. Menni hulladék keletkezik, ha a) a köré írható körből kivágjuk a hatszöget; b) a hatszögből kivágjuk a beírható kört? HÁZI FELADAT.. Mekkora a cm kerületű szabálos a) háromszög; b) négszög; c) hatszög; köré írt kör sugara? Eg négzet beírt körének sugara cm. Mekkora a körülírt körének sugara?. Eg deltoid két szemközti szöge derékszög. Hoszszabb átlója 6 cm, rövidebb átlója cm hosszú. a) Mekkora a deltoid köré írható kör sugara? b) Szerkeszd meg a deltoidot és a köré írt kört is! c) Szerkeszd meg a deltoid beírt körének középpontját és a beírt kört is!. Eg 8 cm oldalú rombusz egik szöge 60 -os. a) Mekkora a rombusz területe? b) Mekkora a rombusz beírt körének sugara? 80 EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

181 RÁADÁS Tétel: Minden érintősokszög területe kiszámítható úg, hog a sokszög kerületének a felét megszorozzuk a beírt kör sugarával: t = rs. Bizonítás Ha a kör középpontját összekötjük a sokszög csúcsaival, akkor a sokszög olan háromszögekre r bomlik, amelek egik oldala a sokszögnek is oldala, és az ezekhez tartozó magasság éppen r. Eg ilen háromszög területe: a $ r azaz az oldalhosszúság r a -szerese. az összes háromszög területének összege pedig az oldalhosszúságok összegének (vagis a sokszög kerületének) r -szerese. Ha a sokszög területét t-vel és a kerületét s-sel jelöljük, akkor t =s r = rs. Ezzel a képlettel háromszögekre vonatkozóan már a. lecke Emelt szint részében is találkozhattunk. KIDOLGOZOTT FELADAT Hán olan kör van a háromszög síkjában, amel a háromszög mindhárom oldalegenesét érinti? Megoldás Első olvasásra nem nag a különbség a háromszög mindhárom oldalát érintő beírható körhöz képest. Itt azonban nem az oldalakról, hanem az oldalegenesekről szól a feladat. Két metsző egenestől egenlő távolságra lévő pontok halmaza a két szögfelező egenes. A három oldalegenes esetén a külső szögfelezőket is figelembe kell venni. Íg nem csak eg metszéspont létezik, hanem további három. Ezek olan köröket határoznak meg, amelek kívülről érintik a háromszög egik oldalát, és érintik a másik két oldal meghosszabbítását. Ezeket a köröket a háromszög hozzáírt köreinek nevezzük. Ezeket szemlélteti az ábra. B A C FELADAT.. Mekkora annak a derékszögű háromszögbe írt körnek a sugara, amelnek az átfogója mm, és az egik befogója cm? Mekkora a 0 cm-es oldalú szabálos nolcszög a) beírt körének a sugara; b) területe? cm r mm. Eg szabálos 0 szög oldalai 8 cm hosszúak, a köré írt kör sugara cm. Mekkora a) a beírt körének a sugara; b) a területe? 89. lecke SOKSZÖGEK ÉS KÖRÖK 8

182 90 GYAKORLÁS BEVEZETŐ Elevenítsük fel, hog: az n-oldalú konve sokszög belső szögeinek összege : (n - ) 80 ; a konve sokszög külső szögeinek összege: 60 ; az n-oldalú konve sokszög átlóinak száma: n $ ^ n - h. FELADAT. Az ábrán eg sokszöget állítottunk össze két négzetből és két háromszögből. a) Mekkorák a deltoid átlói? b) Mekkora a rézlemez területe? c) Legalább hán százalék a hulladék, ha kör alakú lemezből vágják ki a deltoidot? d) Legalább hán százalék a hulladék, ha téglalap alakú lemezből vágják ki a deltoidot? A cm oldalú szabálos hatszög az ábra szerint helezkedik el eg négzetben. a) Hán oldalú ez a sokszög, és hán átlója van? b) Van-e szimmetriatengele, szimmetria-középpontja? c) Menni a belső szögeinek összege? Menni a külső szögeinek összege? d) Mekkorák az oldalai, a szögei, és mekkora a leghosszabb átlója? cm e) Mekkora a kerülete és a területe?. Eg rézlemez konve deltoid alakú. Az oldalainak a hosszúsága cm és 8 cm. A két rövidebb oldal merőleges egmásra. 8cm cm a) Milen szimmetriákkal rendelkezik a két sokszögből álló alakzat? b) Számítsd ki a négzet (berajzolt) átlójának hosszát, majd a négzet oldalának hosszát is! c) Hán százaléka a hatszög területe a négzet területének? 90 8cm cm. Eg rombusz beírható köre,8 cm sugarú, hoszszabbik átlója 8, cm. Szerkeszd meg a rombuszt! 8 EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

183 . Az ABCD deltoid oldalai cm és 6 cm, a két cmes oldal között pedig 60 -os szög van. A deltoidot az átlóival nég háromszögre bontottam. A háromszögek Az ABCD trapéz átlóinak felezőpontjai E és F. Milen hosszú az EF szakasz, ha a trapéz két alapja a és b? köré írható körök középpontjai eg nég- szöget határoznak meg. Mekkora ennek a négszögnek a területe és a kerülete? D b C 6. E F A a B HÁZI FELADAT... Eg derékszögű háromszög egik befogója 6 mm, átfogója 6 mm. Milen messze van a súlpontja a háromszög csúcsaitól? Szerkessz olan húrtrapézt, amelnek a 6 cm-es alapján fekvő szögei 60 -osak, és a szárai cm hoszszúak! Mekkora a rövidebb alapja? Hán szabálos háromszögre bontható ez a trapéz? Eg derékszögű háromszög befogóinak hossza mm és 6 mm. A háromszög eg belső pontját összekötjük a háromszög csúcsaival, és a kapott szakaszokat megfelezzük. Mekkora a felezőpontok által meghatározott háromszög kerülete és területe?. a) Szerkeszd meg ezt a négszöget! b) Sorold fel a tulajdonságait! c) Mekkora az ismeretlen oldal? d) Mekkora a négszög területe? e) Mekkorák a négszög átlói? Az ABC háromszöget úg kaptuk, hog eg cm átmérőjű körben felvettük az egik átmérőt, illetve az átmérő egik végpontjából a kör egik cm hosszú húrját, majd a húrt meghosszabbítottuk a körvonalon túl cm-rel. A. Az ABCD négszög két oldala párhuzamos, a másik kettő egenlő, de nem párhuzamos. D C B cm E cm C mm mm mm a) Mekkora az ABC háromszög kerülete? b) Mekkora az ABC háromszög területe? A 9 mm B 90. lecke GYAKORLÁS 8

184 Ráadás ÉRDEKES FELADATOK FELADAT. Eg szökőkút medencéje négzet alakú talapzaton áll. A talapzat köré az ábra szerint szabálos nolcszög alakban szeretnének díszburkolatot építeni. A talapzat oldalai méter hosszúak. Mekkora a díszkővel borítandó vízszintes felület?. Az asztalos összecsukható étkezőasztalt készít. Az asztal kinitva a külső téglalapot formázza, felére összecsukva és elfordítva pedig a belső téglalapot. A kinitott asztal hosszabbik oldala 80 cm, rövidebbik oldala 0 cm. a) Hán fokos szöggel kell elforgatni a kettéhajtott asztallapot? b) Hova kell szerelni a csapszeget, amel körül a félbehajtás után elforgatjuk az asztallapot? 8 EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

185 . A Malajzia fővárosában, Kuala Lumpurban felépült Petronas ikertornokat a modern építészet egik csodájaként tartják számon. A tornok alaprajzához az egmásba kapcsolódó négzetekhez és körökhöz az ország uralkodó vallása, az iszlám építészeti stílusa adott ihletet. Szerkeszd meg a bemutatott alaprajzot eg cm oldalú négzetből kiindulva! Forgasd el a négzetet a középpontja körül -kal! Kösd össze a két négzet csúcsait, íg eg szabálos nolcszöget kapsz! Szerkessz olan köröket, ameleknek középpontja a két négzet eg-eg oldalának a metszéspontja és érintik a nolcszög oldalait! HÁZI FELADAT A házi feladatok a Petronas tornokkal kapcsolatosak. A kérdések arra az alaprajzra vonatkoznak, amelet a tanóra. feladatában leírt módon, cm oldalú négzetből kiindulva kaphatsz.. Mekkora a belső szabálos nolcszög két szemközti csúcsa közötti távolság? (Figeld meg a zöld háromszöget!). Mekkorák a külső szabálos nolcszög oldalai? (Figeld meg a narancssárga háromszögek oldalait!).. Mekkora a körök sugara? Mekkora a kicsinített alaprajz területe?. Mekkora a külső szabálos nolcszög két szemközti oldala közötti távolság? cm Ráadás ÉRDEKES FELADATOK 8

186 9 GYAKORLÁS, TUDÁSPRÓBA FELADAT. Eg szabálos nolcszög egik csúcsából meghúzzuk az összes átlót. AB oldalegenesen. Igazold a háromszögek egbevágóságának egik alapesetével, hog APD háromszög egbevágó CBE háromszöggel! D P C. a) Hán háromszög keletkezik? b) Hán tengelesen szimmetrikus háromszög van közöttük? c) Melik háromszögnek mekkorák a szögei? d) Vannak-e merőlegesek a megrajzolt átlók között? Eg egenlő szárú háromszög szárai 6 cm, alapja cm hosszú. Milen messze van a súlpontja a csúcsoktól?. A Az A településről a B településre szeretnénk eljutni úg, hog közben km-t úszunk a folóban. Melik a legrövidebb út? B B E. A fénsugár úg verődik vissza a tükörről, hog a beérkező és a visszaverődő fénsugár uganakkora szöget zár be a tükörrel. Milen iránban indítsuk A pontból a fénsugarat, hog B ponton keresztül verődjön vissza? A B 6. A km A szabálos háromszögek oldala 9 cm. a) Mekkora a színezett körlapok sugara? b) Mekkorra részét színeztük be a háromszögeknek? c) Van-e tengeles, középpontos vag forgásszimmetriája az ábráknak?. Az ABCD szimmetrikus trapéz rövidebbik alapján kijelöltem P pontot az ábra szerint. P-ből párhuzamost húztam BD átlóval, ez kijelölte E pontot az 86 EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

187 TUDÁSPRÓBA I.. Eg háromszög oldalainak hoszsza mm, mm és mm. Ezt a háromszöget tükrözzük mindhárom oldalegenesére! A háromszög és a három tükörképe egütt eg sokszöget alkot. a) Hán oldalú ez a sokszög? b) Hán szimmetriatengele van? c) Mekkora a területe? mm mm mm AAlC háromszög súlpontja legen S. Mekkora az AAlS háromszög területe és kerülete? t S C.. Eg rombusz egik tompaszögű csúcsából meghúztuk a magasságot, ez felezi a szemközti oldalt. Mekkorák a rombusz szögei? Tükrözzük az ábra szerint hosszabbik befogójának egenesére azt a derékszögű háromszöget, amelnek egik befogója mm, átfogója 9 mm. A keletkező. A B A Eg 0 mm átmérőjű körbe deltoidot írunk, amelnek hosszabbik oldalai 8 mm hosszúak. a) Milen hosszú a rövidebb oldala? b) Mekkora a területe? c) Mekkorák az átlói? TUDÁSPRÓBA II... Eg háromszög oldalainak hoszsza mm, mm és mm. Ezt a háromszöget tükrözzük mindhárom oldalfelező pontjára. A három szög és a három tükörképe egütt eg sokszöget alkot. a) Hán oldalú ez a sokszög? b) Hán szimmetriatengele van? c) Mekkora a területe? Az ABC derékszögű háromszög egik befogója mm, átfogója 9 mm. A hosszabbik befogóval párhuzamos középvonallal két részre vágjuk. Mekkora a keletkező trapéz kerülete és területe? C mm mm mm.. Az ABCD paralelogramma A csúcsához tartozó magassága felezi a CD oldalt. BC oldal hossza,7 cm. Milen hosszú az AC átló? Eg húrtrapéz egik alapjának a hosszúsága cm, a szárai 9 cm-esek, a körülírt körének átmérője is cm. a) Mekkorák az átlói? b) Mekkora a magassága? c) Mekkora a másik alapja? 9 cm 9cm A B cm 9. lecke GYAKORLÁS, TUDÁSPRÓBA 87

188 TÉMAZÁRÓ FELADATGYŰJTEMÉNY.. Eg derékszögű háromszög befogóinak hossza, cm és, cm. a) Tükrözd a hosszabbik befogó felezőpontjára! b) Tükrözd az átfogóra! c) Milen síkidomot határoz meg egütt az eredeti és a tükörkép a két esetben? Eg, cm oldalú szabálos háromszöget forgass el 60 -kal az egik csúcsa körül. Milen síkidomot határoz meg az eredeti és kép egütt? Milen hosszúak az átlói? Eg téglalap átlója az egik oldal kétszerese. Mekkorák a szögei? Ki lehet-e vágni eg 80 7 cm-es farostlemezből eg 0 cm-es oldalhosszúságú szabálos hatszöget? Az ABC háromszög A csúcsából induló magasságvonal és súlvonal az A csúcsnál lévő szöget három egenlő részre osztja. Hán fokosak a háromszög szögei?... Vegél fel a füzetedben két metsző egenest, e-t és f-et, és az egeneseken kívül eg P pontot! Forgasd el P körül az e egenest úg, hog a képe a) f-fel párhuzamos legen; b) f-re merőleges legen! Eg, cm oldalú négzet egik csúcsa A, középpontja O. Told el a négzetet az OA vektorral! Mekkora területű a két négzet közös része? Eg paralelogramma egik szöge -os, oldalai 8 cm és cm hosszúak. Told el a paralelogrammát eg cm hosszú, a paralelogramma egik oldalával párhuzamos vektorral! Mekkora az eredeti és az eltolt paralelogramma által lefedett terület, ha a) a vektor a rövidebb oldallal párhuzamos; b) a vektor a hosszabb oldallal párhuzamos?.. Eg deltoidban két szemközti szög és 6. Mekkora szöget zárnak be az átlók az oldalakkal? Hat szabálos háromszög oldalai mm-esek. Állíts össze belőlük eg olan sokszöget, amel a) középpontosan is és tengelesen is szimmetrikus; b) középpontosan szimmetrikus, de tengelesen nem; c) tengelesen szimmetrikus, de középpontosan nem; d) sem tengelesen, sem középpontosan nem szimmetrikus! mm 6. Vegél fel a füzetedben két metsző egenest és eg olan szakaszt, amel egik egenessel sem párhuzamos! Told el a szakaszt úg, hog végpontjai az egenesekre essenek! Hán megoldás van?. Mekkora oldalhosszúságú négzet alakú alumíniumlemezből lehet kivágni olan szabálos nolcszög alakú stoptáblát, amelnek minden oldala 0 cm hosszú? Vegél fel a füzetedben eg, cm sugarú kört és eg cm hosszú szakaszt! Szerkeszd meg a körben azt a cm hosszú húrt, amel párhuzamos a szakaszoddal! Hán megoldás van? Eg egenlő szárú háromszög alapja 6 cm, és két szöge 0 -os. a) Mekkora az alaphoz tartozó magassága? b) Mekkora a szárhoz tartozó magassága?. 6. Szerkessz derékszögű háromszöget, ha adott a köré írható kör sugara és az egik hegesszöge! Eg háromszög szögei 68 és 76. Megrajzoljuk a beírható körét, s azt a három pontot, ahol az oldalak érintik a beírható kört. A három érintési pont alkot eg háromszöget. Mekkorák ennek a háromszögnek a szögei? 88 EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK

189 Szerkessz háromszöget, ha adott a köré írható kör sugara, egik oldala és az oldalon lévő egik szög! Szerkessz háromszöget, ha adott a köré írható kör sugara, egik oldala és az oldalhoz tartozó súlvonala! Szerkessz egenlő szárú háromszöget, ha adott a köré írható kör sugara és az alapja! Az ABCD négszöget átlóival nég háromszögre bontottuk. Milen négszöget határoznak meg a háromszögek köré írható köreinek középpontjai? 0... Eg, cm sugarú körhöz eg külső pontból meghúztuk a két érintőt. Az érintők 0 -os szöget zárnak be egmással. Milen messze van P a kör középpontjától? Eg háromszög oldalai cm, 0 cm és cm. Mekkora a köré írható kör sugara? Eg deltoid két szemközti szöge derékszög. Két oldalának hossza,6 cm és, cm. Mekkora sugarú kör írható a deltoid köré? Eg háromszöget a középvonalaival nég háromszögre bontunk. Ezek kerületeinek összege cm. Mekkora az eredeti háromszög kerülete? Eg derékszögű háromszög egik befogója 7 cm. Milen távol van az átfogó felezőpontja a másik befogótól? Eg derékszögű háromszög befogói mm és 8 mm. Milen messze van a súlpontja a derékszögű csúcstól? Eg derékszögű háromszög egik befogója 9 mm, átfogója 89 mm. A súlpontját összekötjük a csúcsaival, íg három darab háromszögre bontjuk. Menni a keletkező háromszögek kerülete? Adott a háromszög két csúcsa: A és B, és súlpontja: S. Szerkeszd meg a háromszöget! Eg rombusz oldalai 6 mm hosszúak. A rombusz eg belső pontját összekötjük a rombusz csúcsaival, és a szakaszokat megfelezzük. Milen síkidomot határoznak meg a felezőpontok? Mekkora a felezőpontok által meghatározott négszög kerülete? Eg derékszögű háromszög befogói 0 mm és mm. Milen messze van a befogók felezőpontjától a derékszögű csúcsból húzott magasság talppontja? Hán derékszöge lehet eg olan deltoidnak, amelnek van körülírt köre? Rajzolj eg cm sugarú kört! Szerkessz ebbe a körbe eg olan négszöget, amelnek pontosan két derékszöge van, és ezek egmással szemköztiek! Eg ABC háromszögben az A-ból, illetve a B-ből húzott magasságok talppontjai legenek T a és T b! Határozzuk meg az AB oldal ismeretében, hog milen távol vannak ezek a talppontok az AB oldal felezőpontjától? Indokold a válaszodat! Eg derékszögű háromszögről tudjuk, hog az átfogója négszerese a hozzá tartozó magasságnak. a) Készíts ábrát a háromszögről és a hozzá tartozó Thálész-körről! b) Mekkorák a háromszög szögei? Az ABCD négszög oldalfelező pontjai eg nég szöget határoznak meg. a) Mit állíthatunk a négszög szemközti oldalairól? b) Milen négszöget kaptunk? Az ABCD négszög középvonalai egenlő hosszúak. a) Mit állíthatunk ekkor az oldalfelező pontok által meghatározott négszögről? b) Mekkora szöget zárnak be az ABCD négszög átlói? Eg létrát függ őlegesen a falhoz támasztunk. A létra lecsúszik a talajra: miközben az alja folamatosan a ta lajon marad, teteje végig a falhoz ér. Milen vonalon mozog a létra közepéhez rögzített kisméretű kampó? Nég egforma rudat csuklókkal egmáshoz kapcsolunk, majd az utolsó szabad végét az első szabad végével illesztjük össze. Íg eg olan keretet kapunk, amel mindig rombusz alakú, de csuklókkal mozgatható. Egik rúdját a talajon tartjuk. Milen pálán mozog a rombusz átlóinak metszéspontja, miközben a keretet mozgatjuk? TÉMAZÁRÓ FELADATGYŰJTEMÉNY 89

190 Ráadás JÁTÉKOK I. Rejtvének. Néhán oszlopban az összes karikát színezd pirosra úg, hog minden sorban pontosan eg karika legen piros!. Kösd össze az azonos betűket, de csakis a négzetek középpontján át vízszintesen és függőlegesen haladó, egmást nem metsző vonalakkal! A C D B A B C D.. Számkeresztrejtvén Vízszintes: a) Eg prímszám négzete. e) A függőleges j) és a függőleges k) legnagobb közös osztójának a fele. f) Eg négzetszám köbe. h) A vízszintes a) négzetgöke. j) Szimmetrikus négzetszám (jegei fordított sorrendben is uganazt a számot alkotják). m) A függőleges i)-nél -gel nagobb szám. n) A vízszintes h) ötszöröse. o) A vízszintes m)-nél -gel nagobb szám négzete. Függőleges: a) 8-cal kisebb a legkisebb olan természetes számnál, amel -vel osztva -et, -mal osztva -t, -gel osztva -at, -tel osztva -et, 6-tal osztva -öt ad maradékul. b) Számjegeinek összege 9. c) Prímszám. d) A függőleges k) egik prímténezője. g) A vízszintes m) és a vízszintes o) szorzatának négtizede. i) A függőleges d) kétszerese. j) A függőleges k) fordítottja. k) A vízszintes j) négzetgöke. l) A vízszites m) legnagobb prímténezőjének többszöröse. a e j m b h i o c f k n g d l 90 Ráadás JÁTÉKOK

191 II. Fejtörők... Gondolj eg számra, adj hozzá -t, szorozd meg 6-tal, adj hozzá 9-et, oszd el -mal, vegél el belőle 7-et, oszd el -vel! Íg megkapod azt a számot, amelre gondoltál. Miért? Gondolj eg számra, adj hozzá -öt, szorozd meg -vel, vegél el belőle 0-at, adj hozzá 9-et, szorozd meg -mal, vond ki a gondolt szám 6-szorosából! Íg -at kapsz. Miért? Három szoba közül az egikben kincs van, a másik kettőben pedig eg-eg tigris. A szobák ajtaján szereplő három felirat közül legfeljebb eg igaz. Melik szobában van a kincs, ha a feliratok a következők: A) B) C) Határozd meg azt a legnagobb számot, amelben a harmadik számjegtől kezdve minden számjeg az előző két számjeg összege! A cm oldalú négzetnek 6 cm a területe és 6 cm a kerülete. Van-e még eg olan téglalap, amelnek anni négzetcentiméter a területe, ahán centiméter a kerülete? A téglalap oldalainak hossza csak egész centiméter lehet. Eg szabálos sakktábla bal alsó sarkából elindul eg bábu. Balázs és apa lépteti vag vízszintesen jobbra valahán mezőt, vag függőlegesen felfelé valahán mezőt. Az ner, aki a jobb felső sarokba lép. Először Balázs lépett, és akkor apa azt mondta, hog Balázs máris vesztett. Honnan tudta apa, hog ha ő jól játszik, akkor Balázs nem nerhet? Csongor előkészített 6 gufaszálat. Balázzsal ezekből felváltva vesznek ki, vag darabot. Az ner, aki az utolsót veszi el. Balázs azt állította, hog ő biztosan ner, ha Csongor kezdi a játékot. Ezt Csongor csak azután hitte el, hog Balázstól -ször kikapott. Mi lehet Balázs trükkje? Csongor eg gufát kidobott, maradt darab. Kíváncsi volt, íg is megveri-e az öccse. Balázs váltig állította, hog igen, de akkor neki kell kezdenie a játékot. Csongor beleegezett. Balázs az első húzásnál gufát vett el. Ezután pedig mindig újra Balázs gőzött. Miért? Ráadás JÁTÉKOK 9

192 A FELADATOK VÉGEREDMÉNYEI 0. lecke:. Növekvő pontszámhoz tartozó gakoriságok: ; ; ; ; ; ; ; ; ;.. a) gakoriságok: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;. b) gakoriságok: ; ; 7; 0; ; 8; ; ; ;,. Relatív gakoriságok: 0,6; 0,; 0,8; 0,0; 0,6; 0,7; 0,8; 0,88; 0,9; 0,96;,00.. lecke:. relatív gakoriságok: 0,00; 0,00; 0,00, 0,; 0,0; 0,; 0,; 0,0; 0,6; 0,60; 0,6; 0,67; 0,6; 0,6; 0,67; 0,6; 0,6; 0,6; 0,8; 0, ,6 és 0. 0, ,; = 0, és. 0, lecke:. a),6; 9;,; 0. b) 6,; 90; ; 00. c) ; 0; 0; a) ; 6 és 0. b) medián: 9; terjedelem: 0.. a) 7; 00; 60; 00. b) 8 tanuló írt 6%-nál rosszabbat.. lecke:. a). c) Ft. d) átlag. 8 Ft; nincs ilen.. a). b) 9. c). d),7; egik esetben sem 6 egezik meg a,-es átlaggal.. lecke:. a) 0. perc Kövespuszta;. perc város széle (piros lámpa);. perc Alsóváros, 6. perc várakozás; 0,. perc piros lámpa (állítólagos baleset);. perc leszállás. b) Alsóvárosnál megállt; 6. perc között várakozott, hasonló tempóban lassított, mint az előző piros lámpánál. c) várakozott a busz eg percen keresztül. d). perc között átlépte a 70 km megengedett sebességet.. a) Januártól júliusig növekedett, júliustól decem- h berig csökkent. A növekedés mértéke összességében kisebb, mint a csökkenésé. Januárhoz képest decemberben olcsóbb lett. b) A) a) 60; b) -9. B) a) ; b). c) átlagos: 8.,67. C) a) 0; b) ; c) átlagos:. D) pontosan 6 nem állapítható meg.. 0 Ft ;. 0 Ft.. a) A. liter liter b) C. c) B. d) B. Ráadás lecke:. a) 8; 6;,6; 77,6 (ezer Ft). d), millió Ft vag ennél több.. a) igaz. b) igaz. c) hamis. d) igaz. e) igaz.. lecke:. a) 0; 60; 0; 60; 780; 90; 00; 70; 00. b) D = {; ; ; ; ; 6; 7; 8; 9; 0} = {! Z # # 0}; R = {0! Z; # # 0}. a) D a = [ ; ], D b = {-; -; ; }, D c = [ ; ]. b) R a = [-; ]; R b = {0; }; R c = {}. c) c. d) b és c. 6. lecke:. a) lineáris függvén. b) kb. 0, litert. c) időtartam = 0, menniség. d) perc. e), liter.. b) Ha a pontokra egenest illesztünk, akkor 00 forintnál. Ez jelenti az alapdíjat. c) Zérushele nincs, negatív valósak esetén nem értelmezhető a feladat a szövege miatt. 7. lecke:. a) 0, cm. b) cm-rel. c) teljesíti az = kapcsolatot, azaz, = 0,. d) teljesíti az = kapcsolatot, azaz = 0,.. Mindegik a nemnegatív számok halmaza. 8. lecke:. b) f () = 0, ; f () = ; f () =,. c) 0,; ;,.. a) m a = -0,; m b = -; m c = -. b) f a () = -0,; f b () = -; f c () = -. c) f a () = -0, + f b () = - + ; f c () = a) f párhuzamos c-vel; a párhuzamos e-vel. b) d, c és f egenesek. c) c és f egenes. a). b) igen. 9. lecke:. a) 0 # esetén Kisgázzal, = esetén mindeg, esetén 7 7 -tel. b) tallér illetve tallér. c), illetve. d) Kisgáz = + ; 7 7 = +. e),8,8 6,8 km után a Kisgáz-nál,;, és, tallért; a 7 7 -nél,7;, és,7 tallért. f) 6 km, illetve 8 km.. f kék = - ; f zöld = - - ; f piros = - -. = +.. a).,7 C. b) rendre 8 F; 9 F;,8 F. 0. lecke:. a) -, és,. b) -,.. minimumhelek: - 8 ; és.. b) = - és =. c) helére (-)-at helettesítve a függvénértékek egenlők, mindkét függvén értéke.. a) f a ^ h = $ + vag f a ^ h = - $ -. b) f b ^ h = - $ + vag f b ^ h = $ - ; c) f^h = - + vag f^h = - +. c $ c $. lecke:. a) és c) lehet.. a) biztos. b) lehetetlen. c) lehetséges.. a) f : R + " R +, f ^ h =. b) pl: g : [-; ] " R, 6. a) igaz. b) nem igaz.. lecke:. a) f : R; [-; [; - és ; -; 0; 0 esetén szig. mon. csökkenő; 0 # esetén szig. mon. növekvő. g : R; [0; [; -; 0; -; # - esetén szig. mon. csökkenő, # - esetén szig. mon. növekvő.. ( + ) ; - ; - ; ( - ) ; +.. a függvéngörbék az f() = 9 A FELADATOK VÉGEREDMÉNYEI

193 függvénhez képest a) tengelre vonatkozó tükörképe; b) núlik az tengel mentén; c) zsugorodik az tengel mentén.. a) g() függvén. b) h() = ; f ^ h =.. lecke:. f : legkisebb -7; legnagobb. g : legkisebb -; legnagobb 8. f : legkisebb nincs; legnagobb nincs.. a) legkisebb nincs, legnagobb ;, illetve,. b) legnagobb ; nincs, illetve,. Legkisebb 0; 0, illetve nincs.. a) legnagobb ; nincs, illetve. Legkisebb -; -; -. b) legnagobb ; ;. Legkisebb -; nincs, illetve -. c) legnagobb ; nincs, illetve. Legkisebb 0; 0; 0.. a) f : [-; ] " R; f ^ h = lecke:. a) B; D; G. b) rendre: 0; 7,8; 6,0;. c) rendre: 0; 8,. 67, ;,. 6, ;., a) = ; =. c) pl. + = - Az = helen egenlőek a függvén értékek. lecke:. zérushelek - és ; -, és,, illetve nincs. Értékkészletek: [-9; [; [-6,; [; [; [.. zérushelek 0 és ; értékkészlet ; 9 E- E.. a) 0; ; 8; 8,7; 9; 8,7; ; 0 b) C. c) 6 másodperc. d) 9 méter. e) másodperc, illetve másodperc múlva.. a) 0 és 6. c) ]-; 9]. d) = ; =.. a) Minimum:, helen -9,. b) Maimum:, helen 6,. 6. lecke:. a) 0, óra alatt, tallér; óra alatt tallér. b), óra. c), tallér.. a) másodperc. b) méter. c) másodperc.. a) 8 tallér. b) 8 tallér. c) 8 kilométer. e) 6 kilométernél kisebb távon.. a) 0 7, = b) T() = (7 - ). c) =,; =,; T =,.. a) forint. b) D = [0; ]; R = [0; 0]; c) Nem, csak szakaszonként lineáris. 7. lecke:. a) és -. b) 0, és -,. c) -. d) nincs megoldás.. a) - 7 = vag =. b) + =. c) - = -.. a), és,. b) és 6. c) 0 és. d).. a) és 0. b) és -.. a) - és. b) - és. c) és. d) - és. 8. lecke:. c) ;. d) 0,. e),.. c.. = lecke:. a) b - ü. b) bevétel a tejből $ $ a ; túróból $ b; összesen $ $ a+ $ b. c) k. 6. igaz: b; c.. a) nag téglalap: 60; kisebbek 6; ; 8;. b) C.. a) n + ; ahol n természetes szám. b) 00n, ahol n természetes szám. c) 00n +, ahol n természetes szám lecke:. a) ; egüttható:. b) ; egüttható:. c) - ; egüttható: -. d) - ; egüttható: -.. ; ; - ;. Összevonás után - és ^7a + h ^- - h. a). b). c) d) -a + b.. a) -9. b) a - ab + b. c) a) -p. b) c) -a + a a + a 0. d) a) ; helettesítési értéke:,. b) ; helettesítési értéke: a lecke:. a) a + 0a b) c) d) c - 0cd + d.. a) b) c) a ab - + b. d) a) b) c) d) a) b) a + ab + b 6. c) 6a + 0a b + b 0. d) a) 9a 6 - a b + a b 6. b) c) k + k + +. d) a n + - a n + + a n. 6. a) 8. b) a) (a - 0 ). b) ( + ). c) ( ). d) c - m. 8. a) 9. b) 0ab. c) 6. d) 0,. 6. lecke:. a) t - 9. b) -. c) b - a d) -.. a) t - 9. b) 9 - t. c) a -. d) a) - 9. b) - 9. c) a b - 9a b. d) k -.. a) 99. b) c) 68. d) lecke:. a) 8( + ). b) 8( + ). c) 8( + ). d) 8 (z + ).. a). b) 0 és. c) 0 és. d) 0; - és.. a) ( - ). b) a(a - a - ). c) 7( - + ). d) ( - + ).. a) ( - )( + ). b) ( - )( + ). c) ( + )(a + b). d) (a - )(a + 7).. a) ( - )( + ). b) ( - )( - ). c) (b - )(a - ). 6. a) 0; és 7. b) 0 és. c) ^- h és. 6. lecke:. a) ( + 7)( - 7). b) ( + a)( - a). c) (a + 6b)(a - 6b). d) c + mc - m.. a) ( - ). b) (0 + ). c) (a - b). d) (a + b).. a) ( + )( - ). b) 7( + )( - ). c) a(b - ). d) -( - ).. a) a (a + b). b) ( + )( - - ). c) (a + b )(a + b)(a - b). d) a (a + )(a - a + ).. és 0; és. 6. a) Nincs ilen. b). A FELADATOK VÉGEREDMÉNYEI 9

194 6. lecke:. 0,8.. a),. b),. c) -,.. a) -. b) -0,.. a) 00 Ft. b) 0 Ft.. a) 0 és. b) 6. c) Ft. 66. lecke:. a)! R;! -; 0; 0,. b)! R;! -; -; ; ; a) jó. b) hibás.. a) hibás. b) jó következtetésre jutott, de az -! 0 feltételt meg kell tenni nincs megoldás. 67. lecke:. óra.. osztálzata.. 0,7 kg.. nert: ; döntetlen: 6; vesztes:. 68. lecke:. a) olcsóbb fajtából. b) 60; 60. c) 6 Ft Ft; Ft.. 7 db; 6 db.. a) 8 s; 0 s. b) 90 m.. a) perc. b) 7 km. 6. a) 00 óra; 7 nap. b) Ft. 69. lecke:. a) =. b). c) = ; =. d) - # #.. a) = ; =. b) = ; = -. c) = -; =.. a) = -; =. b) = 0. c) = -; =.. 9 núl; túk. 70. lecke:. a) -. b) minden valós szám. c) # 0,7.. a) #,. b) #. c). d) #.. # ; valós számok esetén végtelen sok; természetes számok esetén három.. a) - # #. b) - # # 9.. legalább 00 Ft, legfeljebb 0 Ft. 7. lecke:. a) k = határidőnaplók száma; s = nakláncok száma. b),k +,8( - k) Ft. c) k # 7,7. d) -féle.. 0 lehetőség van, a létszám lehet ; ; ; ; 9; 0.. a) -. b) # - vag. c) - vag #.. a) # 0,7 vag, #. b) vag lecke:. a) (-; -). b) (; ). c) (0,7; -0,). d) (0,; -,).. a) nincs megoldás. b) végtelen sok.. a) (6; -). b) nincs megoldás lecke:. a) + 00 = ( - 00). b) + 00 = ( - 00). c) (0; 60).. 0,.. 0; Ft, 90 Ft.. ; neged óra. 7. lecke: ,8. 6. és. 7. és ezüstért. 7. lecke:. a) ; 8. b),0;,.. a) 8; b),;,7. c) 0,; 0,7.. a) 0. b) nincs megoldás.. a) $. b) nincs megoldás.. d) -;. 6., s;,67 s lecke:. a)! R,! 0. b) g! R, g! 0; 7 6. c) c! R, c! 0; -.. a) -,. b).., kg;, kg.. a) Ft. b) (0 + 9,8 + 0,),. c) 6 kw; 0 kw.. a) 0; 9. b) 7. c) harmadik. 77. lecke:... -; c m.. 90 l.. km ; lecke:. Háromszöget (mel hasonló az eredetihez).. Az adatoktól függően legfeljebb 6 megoldás lehet. 79. lecke:. Egenlőek d és e, u és v; ellentettek a és w, b és c; egenlő hosszúak de nem egállásúak például a és v.. a) végtelen. b) Amikor az eltolás vektora merőleges az egenesre, hossza megegezik a B pont és az egenes távolságával. 80. lecke:. Egenlőszárú háromszöget; deltoidot.. AB a kör átmérője. Ekkor PlP eg AB-re merőleges húr.. Eltolással.. b) 60 -os forgatással. RÁADÁS LECKE:. I. eset. a),9 km. b) B-től, km, A-tól km. c),9 km. II. eset a),8 km. b) B-től, km, A-tól km. c),7 km.. a) A-ból merőlegest bocsájtunk a folóra. b) AB egenesén. c) A-t toljuk el a foló szélességével, a folóra merőlegesen B felé. AlB kimetszi a foló szélét jelentő egenesből a híd helét.. Három megoldás van.. a) 0,7 m. b),7 m. 8. lecke:. Visszajutunk a) és b) esetben.. Visszajutunk a) és b) esetben. 6. Visszajutunk a kiindulási körhöz a), b) és c) esetben, a) és b) esetben pontonként is. RÁADÁS LECKE:. Forgatás, középpontos és tengeles tükrözés.. b) pl. TAT.. Középpontos, tengeles, forgásszimmetria.. forgatás, tükrözés. 6. Tengelesen szimmetrikus. és. Középpontosan szimmetrikus. és. Forgásszimmetrikus. és. 7. a) Részletenként iránban, illetve iránban lehet tengele. b) Második esetben a tengelek uganúg iránban, de több helen lehetnek. 8., 90,, 80,, 70,. 7,, 6, lecke:. a), ; ; 67,. c)..,6 mm.. 0 m.. 0 és 0 ; 0 és lecke:. Hamis: B, E és F.. b) Téglalap. 77 mm. c) Deltoid. 77 mm.. Végtelen. Lehet sokféle konve vag konkáv deltoid is.. Szimmetrikus trapéz. a) Igen. b) cm; cm. c) 7 cm; cm. d) 7,07 cm;, cm.. a),0 cm. b),6 cm;, cm;,6 cm. c),7 cm. d), cm;,0 cm. 8. lecke:. b) ; és.. a). b) 6 és 7. c) rombusz.. a) ; és,6 (mm); ;,6 és 8 (mm). b) 0, 0 és 0 ; 0, 60 és 90. c) 9, mm ; 98,8 mm. 6. a). b) 9 cm. 7. a) 0 cm; 6,0 cm. b) %. 9 A FELADATOK VÉGEREDMÉNYEI

195 8. lecke:. a), cm;, cm. b) fele.. a) 9 mm. b),7 mm. c),6 mm. d) 8 mm. e),6 mm. f),7 mm. g) 9 mm.. a) 0 cm; 86,6 cm. b) -szer 0, cm. 86. lecke:. a) igen. b) igen. c) igen. d) nem.. a), cm. b), cm;,8 cm. c),8 cm.. a), cm; 8 cm; 6, cm. b) cm.. a), cm; 8, cm. b), cm.. 6 cm. 6. a) 90. c) a b lecke:.,9 cm.., cm; 70,6 cm.. a) 8,%. b) 6,%.. a), cm. b),0 cm ;, cm; 6, cm és 0,8 cm. c) 6, cm. d) 7,0 cm. 89. lecke:. a) téglalap. b) van két derékszöge. c) rombusz. d) négzet. e) konve. f) négzet.. a). b).. a),60 cm ;,6 cm ;, cm. b) 0,%.. a) mm; 7 mm. b) 9 mm. c) 6 mm. d) 8 mm.. a),68 cm. b),6 cm. 90. lecke:. a) 6; 9. b) Szimmetriatengele van. c) 70 ; 60. d) 0 cm; cm; 8,66 cm; 0 ; 0 ; 90 ; 9, cm. e) 7, cm;, cm.. a), cm és 7, cm. b) 98, cm. c) 9%. d) 0%.. a) tengeles, középpontos. b) cm; 9 cm. c) 69,%-a.. 9, cm ^a- bh ;, cm. 6.. RÁADÁS LECKE:.,9 m.. a) 90 -kal. b) Egmásnak megfelelő csúcsokat összekötő szakaszok felezőmerőlegeseinek metszéspontjába. 9. lecke:. a) 6. b). c), ;, ; és, ;, ; és, ; 67, ; 90. d) Igen.., cm;, cm és,87 cm.. Két oldalról és a közbezárt szögről belátható, hog egenlőek.. A-t toljuk el km-rel a foló mentén, s ekkor keressük meg a folót érintő legrövidebb utat. 6. a),6 cm; 0,866 cm; 0,89 cm. b) 60,%; 80,%; 8,9%. c) Tengeles és forgásszimmetriája van. A FELADATOK VÉGEREDMÉNYEI 9

196 SZÁMÍTÓGÉPES MEGOLDÁSOK, SEGÉDPROGRAMOK HASZNÁLATA A programok telepítése előtt gőződjünk meg a használati jogosultságról!. Ábrázoljuk a GeoGebra program segítségével (ingenes matematikai program, letölthető a oldalról) a valós számok halmazán értelmezett a + b lineáris függvént! Vizsgáljuk, hogan változnak a függvén tulajdonságai az a, illetve a b értékének változtatásával! Segítség Hozzunk létre eg-eg csúszkát a, illetve b névvel, állítsuk a lehetséges értékeiket a vizsgálni kívánt eseteknek megfelelően. Definiáljuk az f függvént az f () = a + b képlettel (vag az = a + b képlettel eg egenest, amelik az f függvén grafikonja). Ekkor a program a csúszkán beállított aktuális értékeknek megfelelően megrajzol eg egenest. Változtassuk a csúszkák értékét és figeljük, hogan változik a függvén grafikonja (az egenes meredeksége, illetve az tengelen lévő metszéspontja).. Ábrázoljuk a GeoGebra program segítségével a valós számok halmazán értelmezett a( + u) másodfokú függvéneket! Vizsgáljuk, hogan változnak a függvén tulajdonságai az a, u, illetve a v értékének változtatásával! Segítség Hozzunk létre eg-eg csúszkát a, u illetve v névvel, állítsuk a lehetséges értékeiket a vizsgálni kívánt eseteknek megfelelően. Definiáljuk az f függvént az f () = a( + u) + v képlettel (vag az = a( + u) + v képlettel eg parabolát, amelik az f függvén grafikonja). Ekkor a program a csúszkán beállított aktuális értékeknek megfelelően rajzol eg parabolát, ha az a csúszka értéke nem 0. Ha a =, u = v = 0, akkor éppen az origó tengelpontú, felfelé nitott normál-parabolát kapjuk. Változtassuk a csúszkák értékét és figeljük, hogan változik a függvén grafikonja (a parabola tengele, tengelpontja, a parabola állása és a normál-parabolához képesti kövérsége ).. Vizsgáljuk a függvén zérushelét, szélsőértékét (és monotonitását) a Graph program segítségével! (Ingenes matematikai szoftver, letölthető a oldalról.) A program többek között magar nelvű menüvel is futtatható, a kívánt nelvi körnezet a Szerkesztés Beállítások (angol nelvű körnezetben az Edit Options) menüpontban választható ki. Segítség A programban a Függvén Függvén beszúrása menüpontban adjuk meg a függvén hozzárendelési szabálát és a függvén értelmezési tartománát, ügelve a szintaisra (például tizedes pontot kell használnunk, a négzetgök függvén neve sqrt(), az abszolútérték-függvén neve abs(), a hatvánkitevőt az AltGr+ billentűkombináció lenomását követően lehet beírni, pl. íg: ^)! Állítsuk be a grafikon színét, vonalvastagságát! Jelöljük meg a vizsgálni kívánt függvént és indítsuk el a Számítások menüpontban a Számítás-t. Ekkor megjelenik eg segédtáblázat (jellemzően a képernő bal alsó részén). A segédtáblázatban az Illesztés legördülő menüjében kiválaszthatjuk, hog milen vizsgálatot szeretnénk. Például a zérushel kereséséhez az tengelhez sort kell választani. Ezután a kiválasztott függvén grafikonján egérrel kattintva a zérushel közelében, a program azonnal kiírja a segédtáblázatban a zérushelet (és a zérushelhez tartozó helettesítési értéket, továbbá az adott helen az első és második derivált értékét is, ha ezek léteznek). 96 SZÁMÍTÓGÉPES MEGOLDÁSOK, SEGÉDPROGRAMOK HASZNÁLATA

197 . Egenlet, egenletrendszer és egenlőtlenség (grafikus) megoldására akár a Graph, akár a GeoGebra program is használható. Segítség Egismeretlenes egenlet, egenlőtlenség megoldása: Ábrázoljuk a kiválasztott program segítségével az egenlet bal, illetve jobb oldalán álló kifejezéssel definiált függvéneket (a megfelelő értelmezési tartománon). Ha az egenlet egik oldalán a 0 áll, akkor olvassuk le az ábrázolt függvén zérushelét; ha nem, akkor az ábrázolt két függvén metszéspontjának (metszéspontjainak) első koordinátája adja az egenlet megoldását. Az egenlet megoldásának ismeretében az egenlőtlenség megoldása értelemszerűen adódik. Kétismeretlenes lineáris egenletrendszer megoldása: Rendezzük -ra mindkét egenletet. Ábrázoljuk a program segítségével a két egenest. A két egenes közös pontjának két koordinátája adja meg az egenletrendszer megoldását (párhuzamos egenesek esetén nincs megoldás).. A geometriai transzformációk tulajdonságainak vizsgálata történhet GeoGebra program segítségével is. Segítség Adjuk meg a transzformáció jellemző adatát (a tükrözés / forgatás középpontját, vag a tükrözés tengelét, vag az eltolás vektorát) és a transzformálni kívánt pontot (vag akár eg egész síkidomot, esetleg eg külső forrásból importált képet). A menüsor alatt található ikonok közül gördítsük le a transzformációs ikont, válasszuk ki a kívánt transzformációt, kattintsunk rá. Ekkor az ikon ábrája a kívánt transzformációnak megfelelően megváltozhat (alaphelzetben a tengeles tükrözés ikonja látható). Egérrel jelöljük ki a transzformálni kívánt objektumot, kattintsunk a transzformáció ikonjára, majd a transzformációt definiáló objektumra (pontra, egenesre vag vektorra). Ekkor a program a kiválasztott objektumon végrehajtja a kívánt transzformációt. (Forgatásnál előbb még kéri a forgatás iránát és szögét is.) Változtassuk folamatosan a transzformációt definiáló objektumot, és figeljük meg, hogan változik meg az eredeti és a transzformált objektum kölcsönös helzete. Maradjon változatlanul a transzformációt definiáló objektum, és változtassuk folamatosan a transzformálni kívánt objektumot. Figeljük meg, hogan változik a képalakzat. 6. Pontdiagram (vonaldiagram) készíthető Graph programmal is. Segítség Válasszuk a Függvén Pontsor beszúrása menüpontot. A felugró ablak táblázatának jelű oszlopába gépeljük be az tengelen ábrázolni kívánt értékeket, az jelű oszlopába pedig a hozzájuk tartozó értékeket. Válasszuk ki a vizuális megjelenés paramétereit. Ha kívánjuk, akkor vonaldiagramként is megjeleníthetjük a táblázat adatait, ehhez az Interpoláción belül válasszuk a Lineáris opciót, és adjuk meg a pontokat összekötő vonal stílusát is (foltonos vonal, szaggatott stb.) SZÁMÍTÓGÉPES MEGOLDÁSOK, SEGÉDPROGRAMOK HASZNÁLATA 97

198 PISA-FELADATOK A PISA eg nemzetközi program rövidítése: Programme for International Student Assessment, azaz a nemzetközi tanulói teljesítménmérés programja. A kilencvenes évek végén hívta életre a legfejlettebb államokat tömörítő Gazdasági Egüttműködési és Fejlesztési Szervezet (OECD), amelnek Magarország 996 óta tagja. PISA-felmérést először 000-ben végeztek. A felmérés célja elsősorban a mindennapi életben használható tudás vizsgálata, emiatt is fontos az ország gazdasági megítélésének szempontjából. A mérést háromévenként ismétlik a matematika, a szövegértés és a természettudomán területén. 0-ben 6 ország 00 ezer éves tanulója írta meg. Az alábbi feladatok 00-as feladatsorban szerepelte k. (Kiegészítettük néhán kérdéssel, ezt *-gal jelöltük.). Csevegés az interneten Mark (Sdne-ből, Ausztráliából) és Hans (Berlinből, Németországból) gakran kapcsolatba lépnek egmással internetes csevegővonalon. Ahhoz, hog csevegni tudjanak, eg időben kell fenn lenniük az interneten. Mark ahhoz, hog megfelelő időpontot találjon a csevegésre, megnézett eg időzónákat mutató ábrát, és a következőket találta: Greenwich 0.00 Berlin.00 (éjjel) Sdne 0.00 (délelőtt). kérdés: Amikor Sdne-ben délután 7.00 óra van, hán óra van Berlinben?. kérdés: Mark és Hans nem tud csevegni saját heli idejük szerint délelőtt 9.00 és délután.0 között, mivel iskolába kell menniük. Saját heli idejük szerint este.00-től reggel 7.00-ig sem tudnak csevegni, mert alszanak. Mi lenne a megfelelő időpont Marknak Sdne-ben és Hansnak Berlinben a csevegésre?. Színes cukorkák Robinak édesanja megengedi, hog vegen eg cukorkát eg zacskóból. Robi nem látja a cukorkákat. A következő grafikon a zacskóba n lévő különböző színű cukorkák számát ábrázolja kérdés: Mekkora a valószínűsége annak, hog Robi eg piros cukorkát fog kivenni? A 0% B 0% Piros Narancssárga Sárga Zöld Kék Rózsaszín Lila Barna C % D 0% *. kérdés: Mekkora a valószínűsége annak, hog Robi piros vag narancssárga, vag rózsaszín cukorkát vesz ki a dobozból? A 0% B 0% C % D 0% 98 PISA-FELADATOK

199 . Tavaszi vásár A tavaszi vásáron az egik bódéban a játékot eg szerencsekerék megforgatásával kell kezdeni. Ha a szerencsekerék páros számon áll meg, a játékos kihúzhat eg üveggolót eg zacskóból. A szerencsekerék és a zacskóban lévő üveggolók az alábbi képen láthatók. Neremént akkor kap valaki, ha fekete üveggolót húz. Zsuzsi egszer játszik *. kérdés: Mekkora a valószínűsége, hog a szerencsekerék páros számon áll meg? A) Lehetetlen. B) Nem nagon valószínű. C) 0% a valószínűsége. D) Nagon valószínű. E) Biztos. *. kérdés: Ha a szerencsekereket nem kellene megforgatni húzás előtt, akkor mekkora valószínűséggel nerne Zsuzsi? A) Lehetetlen. B) Nem nagon valószínű. C) 0% a valószínűsége. D) Nagon valószínű. E) Biztos.. kérdés: Ha Zsuzsi megforgatja a szerencsekereket, akkor mekkora a valószínűsége annak, hog nerni fog? A) Lehetetlen. B) Nem nagon valószínű. C) 0% a valószínűsége. D) Nagon valószínű. E) Biztos.. Lépcsőminta. kérdés: Ákos lépcsőmintát készít négzetek felhasználásával. A következő lépé seket hajtja végre. Amint látható, eg négzetet használt az. lépésben, három négzetet a. lépésben, és hat négzetet a. lépésben.. lépés. lépés. lépés Hán négzetet kell felhasználnia a negedik lépésben? *. kérdés: Ákos kockákból is szeretne lépcsőmintát készíteni. Most a következő módon építkezik.. minta. minta. minta Hán kocka szükséges a. mintához? PISA-FELADATOK 99

200 TARTALOM A tankönv témakörei ADATOK ÉS FÜGGVÉNYEK 0 Táblázatok Diagramok Számsokaságok statisztikai jellemzői Osztálba sorolás, átlagok átlaga Változások ábrázolása R Grafikonok a mindennapokban A függvének fogalma Készítsünk grafikont! Az egenes aránosság és a fordított aránosság függvéne Egenesek meredeksége Lineáris függvének Abszolútérték-függvén Függvének jellemzése Másodfokú függvének Szélsőértékek Négzetgökfüggvén A másodfokú függvén szélsőértéke Gakorlati feladatok Abszolút értékes egenletek I Gakorlás; tudáspróba Témazáró feladatgűjtemén EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK 9 A betűk szerepe a számolásban Számolás az algebrában Nevezetes szorzatok I Nevezetes szorzatok II Szorzattá alakítás I Szorzattá alakítás II Egenletek Alaphalmaz, értelmezési tartomán, megoldáshalmaz Problémamegoldás egenletekkel Egenletek megoldása Grafikus megoldások Egenlőtlenségek Kisebb, nagobb, egenlő Algebrai módszerek egenletrendszerek megoldására Egenletrendszerek Régi idők matekja Abszolút értékes egenletek II Gakorlás Gakorlás, tudáspróba Témazáró feladatgűjtemén EGYBEVÁGÓSÁG ÉS SÍKIDOMOK 78 Egbevágósági transzformációk a síkon Vektorok és az eltolás Tengeles tükrözés R Egbevágósági transzformációk a gakorlatban Gakorlás R Szimmetriák Általános és szimmetrikus háromszögek Szimmetrikus négszögek Gakorlás Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai I Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai II Thalész tétele A Thalész-tétel alkalmazásai Sokszögek és körök Gakorlás R Érdekes feladatok Gakorlás, tudáspróba Témazáró feladatgűjtemén R Játékok A feladatok végeredménei Számítógépes megoldások, segédprogramok használata PISA feladatok TARTALOM

201 Jó tanácsok a tanuláshoz Legalább egszer próbáld ki, megéri! Póla Görg: A gondolkodás iskolája Olvasd el figelmesen a tartalomjegzéket! Milen logikai rendezőelvet fedezel fel benne? Keress a tankönvben minél több segítséget ahhoz, hog eg-eg témakör vag lecke tartalmát gorsan átlásd! (Például névmutató, kisleikon, kronológia.) Nézd át figelmesen a tankönv leckéit, hog megértsd belső szerkezetüket! keresd meg a szó jelentésé nek magarázatát a tankönvben vag eg leikonban! keresd a választ! - Olvasás közben készíts magadnak jegzetet! Készíts kérdéskártákat azokról az információkról és kérdésekről, amiket a legfontosabbnak tartasz meg jegezni a leckéből! Próbálj emlékezetből eg összefüggésvázlatot készíteni, és annak segítségével elmagarázni valakinek azt, amiről tanultál! Mik voltak a legérdekesebb dolgok? Mi az, amit kedvem lenne ebből másnak is megmutatni, elmondani és elma garázni? Mikor és hogan tudnám a tanultakat hasznosítani? Mennire vannak összhangban azzal, amit eddig tudtam?

202 Raktári szám: FI-00090/ ISBN GOOGOL A googol a 0 00 szám neve, ami az -es számjegből és az azt követő száz darab 0-ból áll. A szám nevét eg kilencéves fiú, Milton Sirotta Edward Kasner amerikai matematikus unokaöccse adta 98-ban. Kasner arra használta a számot, hog bemutassa a különbséget a végtelen és eg elképzelhetetlenül nag szám között, lévén a googol nagobb, mint az ismert univerzum részecskéinek száma. A googolple eg még nagobb szám, amelben az első -es számjeg után googol darab nulla áll. A teljes tankönv az Okosportálon is megtekinthető. okosportál.hu Kattanj a tudásra!