GAZDASÁGI MATEMATIKA II. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS

Átírás

1 Heller Faras Gazdasági és Turisztiai Szolgáltatáso Főisolája Levelező tagozat GAZDASÁGI MATEMATIKA II. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Gyaorló feladato Összeállította: Kis Márta és Zombori Natasa

2 Kedves Hallgató! A éldatárban megjelölt feladatoon ívül az alábbi gyaorló feladato segíti a gazdasági matematia II. vizsgára a felészülést. A feladato témaörönénti csoortosítása lehetővé teszi, hogy folyamatosan, a tanult anyagot övetően oldjá meg a éldáat. Az összeállításnál a saját éldáinon ívül felhasználtu a övetező éldatára feladatait is: Feladatgyűjtemény a gazdasági matematiához I. BGF KVIF, Budaest,. (Szerző: Czétényi-Felber-Rejtő-Zimányi) Feladatgyűjtemény a gazdasági matematiához II. BGF KVIF, Budaest,. (Szerző: Czétényi-Ligeti-Lőrincz) Valószínűségszámítás Példatár, Tatabánya,. (Szerző: Nagyné Csóti Beáta) Oerációutatás Példatár, Budaest,. (Szerző: Brunner, Kis, Dr. Kovács, Dr. Máté) 9. febr.. Kis Márta és Zombori Natasa Mátrixo Valószínűség-számítás Gyaorló feladato. Egy bevásárló özontban négy naon át felmérést végezte, három újonnan bevezetett termé: onzerv, csooládé, ávé forgalmáról. A fenti termée eladott darabszámát az alábbi táblázat tartalmazza. A Konzerv Csooládé Kávé Hétfő 8 Kedd 8 Szerda Csütörtö 7 4 Mártixműveleteel számítsa i és értelmezze a aott eredményt! * a. ( e e ) * A b. A Írja le mátrixműveleteel és számítsa i, hogy c. hány darabot adta el a ülönbözó fajta terméeből! d. hány doboz csooládét adta el szerdán!. Egy isolai büfé nai gyümölcs-forgalma a diáo örében a övetezőéen alault: A alma örte mandarin alsóso felsősö 4 gimnazistá A gyümölcsö árat a fenti sorrendben az * (,, ) a árvetor tartalmazza. Mártixműveleteel számítsa i és értelmezze a aott eredményt!

3 * a. A e * b. e A a Kombinatoria * c. A a Írja le mátrixműveleteel és számítsa i, d. hogy fajtánént mennyi gyümölcs fogyott! e. hogy mennyit öltötte a gimnazistá örtére!. Egy cégnél három osztályvezető, hat csoortvezető és harminc beosztott dolgozi. Hányféleéen választhatun i özülü egy üldöttséget, melyben egy osztályvezető, ét csoortvezető és tíz beosztott szereel? Hányféleéen tehetjü ezt, ha a eresedelmi osztály vezetője és az áruforgalmi csoort vezetője mindenéen a üldötte özött ell, hogy legyene?. Hány szót éezhetün az A, E, I, O, Ü magán- és B, C, D, F mássalhangzóból úgy, hogy minden szóban 4 magán- és 4 mássalhangzó legyen, ét magán- illetve ét mássalhangzó egymás mellé ne erüljön, és minden mássalhangzó csa egyszer szereeljen?. a. Hányféleéen osztható i személy özött db Ft-os, db Ft-os és 4 db Ft-os jutalom? b. Egy öniszolgáló étterem ultján tányér leves és 9 tányér főzelé áll. (Mind ülönböző.) Hányféle lehet egy 4 fős társaság együttes fogyasztása, ha mindeni eszi levest is, főzeléet is? 4. Egy üzletlánc fős relámrészlege olyan feladatot a, hogy a cég arculatváltozásával ismertesse meg a özönséget. Hányféleéen oszthatjá i magu özött a három munát, ha a. egy fő legfeljebb egy arculatváltozással acsolatos relámon dolgozhat, b. egy fő több arculatváltozást bemutató relámon is idolgozhat, c. minden arculatváltozást bemutató relámon étfős munacsoort dolgozi, és egy ember legfeljebb egy munacsoortban lehet?. Öt házasár foglal helyet egy adon. Hányféleéen helyezedhetne el, ha a házastársa egymás mellett aarna ülni, de sem ét nő, sem ét férfi nem ülhet egymás mellé? Eseményalgebra. Két helység özött három távbeszélővonalon folyhat beszélgetés. Jelentse A azt, hogy az első vonal hibás, B azt, hogy a másodi, a C edig azt, hogy a harmadi. Fejezze i A, B, C segítségével a övetező eseményeet: a. csa az első vonal hibás b. az első ettő hibás, a harmadi nem c. legalább az egyi hibás d. mindhárom vonal hibás e. legalább ét vonal hibás f. ontosan egy vonal hibás g. ontosan ét vonal hibás h. egyi vonal sem hibás i. legfeljebb egy vonal hibás j. legfeljebb ét vonal hibás

4 . a másodi nem hibás, de az első és a harmadi özül legalább az egyi hibás.. Egy nehéz anyagi örülménye özött élő család egy év alatt egymástól függetlenül, valószínűséggel a az önormányzattól,,4 valószínűséggel valamely egyházi szervezettől segélyt, és, valószínűséggel nyer egy szerencsejátéon. Vezesse be a fent megfogalmazott három eseményre rendre az A, B, illetve C jelölést! Adja meg eseményalgebrai műveleteel a övetező összetett eseményeet, majd számolja i az eseménye valószínűségét! a. Csa szerencsejátéon nyeréssel tesz szert iegészítő összegre a család a fenti három énzforrás özül. b. A fentie özül ontosan ét énzforrás által jut lusz énzforráshoz a család egy év alatt.. Egy bróercégnél egy alalmazott háromféle részvénnyel eresedi egy adott naon. Jelentse az A azt, hogy az adott naon ötött üzletet az első fajta, B azt, hogy ötött üzletet a másodi fajta, C azt, hogy ötött üzletet a harmadi fajta részvényre. Fogalmazza meg, hogy mit jelentene az alábbi eseménye: a. A B b. A B C c. A B C d. A B C e. A B C f. ( A B C) \ ( A B C) g. ( A B) ( A C) ( B C) h. A B C i. A B C j. A. A B C l. ( A B C) ( A B C) ( A B C) ( A B C) Formalizálja a övetező eseményeet: a. az adott naon nem mindegyi fajta részvényre ötött üzletet, b. ontosan étféle részvénnyel eresedett az adott naon, c. volt üzletötés az adott naon ennél az alalmazottnál. Klasszius élettel megoldható feladato. Mennyi a valószínűsége anna, hogy egy véletlenszerűen itöltött totószelvény,,, találatos lesz?. Egy érteezleten tízen érne feeteávét. A titárnő a csészébe összesen darab ocacurot tett úgy, hogy minden csészébe legfeljebb egy curot dobott. Mi a valószínűsége anna, hogy négy személy, ai eserűen szereti a ávét, véletlenül a négy cuor nélüli ávét választja?. Elhelyezün dobozba 8 tárgyat úgy, hogy az egyes tárgyaat megülönböztethetőne teintjü. Mennyi a valószínűsége, hogy: a. az egyes dobozoba rendre,4, tárgy erül; b. az egyes dobozoba rendre,, tárgy erül; 4

5 c. mind a 8 tárgy egy dobozba erül? 4. Egy mozi utolsó sorában, ahol szé van, néző ül. Tegyü fel, hogy az néző minden lehetséges elhelyezedése azonos valószínűségű. Számítsu i, mi anna a valószínűsége, hogy: a. az öt néző egymás mellett ül; b. az öt néző nem ül egymás mellett?. Egy üzletben három énztárhoz véletlenszerűen vásárló érezi. Mennyi anna a valószínűsége, hogy: a. az első énztárhoz 4, a másodi és harmadihoz - vásárló erül; b. az egyi énztárhoz 4, a mási ettőhöz edig - vásárló erül? Mintavétel. A mostani influenzajárvány mutatói szerint a laosság %-a betegedett meg. Mennyi anna a valószínűsége, hogy a 8 fős csoortban legfeljebb influenzás beteg van?. Egy elemű alatrészhalmazban 8 selejtes van. Visszatevés nélül hatelemű mintát veszün belőle. Mennyi anna a valószínűsége, hogy a. legalább egy selejtes lesz, b. legalább annyi selejt van, mint jó, c. legfeljebb ettő selejtes lesz?. Öt fiú és öt leány együtt menne moziba. Kiválasztun özülü hat főt. Meora a valószínűsége, hogy özöttü a. háromnál evesebb a leány? b. ugyanannyi a fiú, mint a leány? c. egy leány sincs? 4. Egy éviselő egy naon interellációt hallgatott meg, ebből hatot elfogadott. Tetszőlegesen iválasztottun három interellációt. a. Hányféleéen tehetjü ezt meg? b. Hány ülönböző olyan iválasztás van, amelye özül ontosan ettőt fogadott el a éviselő? c. Mennyi anna a valószínűsége, hogy özülü legalább ét interellációt fogadott el az adott éviselő?. A laosság %-a szenved valamilyen allergiás betegségben. Munatársain özül tetszőlegesen iválasztva főt, mennyi anna a valószínűsége, hogy háromnál több szenved allergiás betegségben?. Egy gyógyszergyárban minőség-ellenőrzés során aszulát vizsgálna meg. Anna a valószínűsége, hogy egy adott aszula nem a megfelelő mennyiséget tartalmazza a hatóanyagból:,. Adja meg a övetező valószínűségeet: a. a megvizsgált aszula mindegyie megfelelő mennyiséget tartalmaz a hatóanyagból, b. háromnál evesebb aszula van a tízben, amelyben nem megfelelő a hatóanyag menynyisége, c. a tíz aszulána ontosan a felében lesz megfelelő a hatóanyag mennyisége. 7. Egy urnában 4 iros, zöld és feete golyó van. Ebből húzun három golyót visszatevés nélül. Rendezzü a övetező eseményeet csöenő valószínűsége szerint:

6 a. mindegyi golyó iros, b. ettő iros, egy más, c. van zöld vagy feete golyó a ihúzotta özött, d. van iros a ihúzotta özött. 8. Egy üzemben a nai nyersanyagellátás egymástól függetlenül,7 valószínűséggel zavartalan. Mennyi a valószínűsége, hogy a. egy hét alatt ( na) ontosan háromszor zavartalan az ellátás, b. legalább háromszor aadozi az ellátás? 9. Három darab énzérmét egyszerre feldobun. Mennyi anna a valószínűsége, hogy a. legalább fejet dobun, b. ontosan írást dobun, c. több írást dobun, mint fejet, d. nem dobun más, csa írást vagy csa fejet?. Egy iseresedő minden Ft feletti összegben vásárló vevőjéne nyereményszelvényt ad. Ezeből havonta véletlenszerűen iválasztana négyet. Az elmúlt hónaban - en vásárolta Ft-ot meghaladó összegben. Eze özött öt ismerősöm van. Mennyi anna a valószínűsége, hogy a. lesz a iválasztott négy fő özött ismerősöm, b. legalább ét ismerős lesz özte, c. több lesz olyan, ait nem ismere, mint ait ismere?. Egy autószalonban érdelődő özül átlagosan öten vásárolna új autót a taasztalato alaján. Egy naon érdelődő ereste fel az autószalont, további információt nem tudun. Mennyi anna a valószínűsége, hogy a. adta el új autót az adott naon a szalonban, b. legfeljebb három autót adta el az autószalonban az adott naon, c. válaszoljon az a) és b) részben megfogalmazott érdésere, ha feltételezzü, hogy a vevő száma Poisson eloszlást övető valószínűségi változó! Független eseménye valószínűsége. Egy gyár három szerelőcsarnoában végzett statisztiai vizsgálat szerint az első szerelőcsarnoban a munaidő 8 %-ában, a másodi szerelőcsarnoban a munaidő 9 %- ában, a harmadi csarnoban edig a munaidő 8 %-ában zavartalan a termelés. A termelés zavartalansága az egyes csarnooban egymástól független. Mennyi anna a valószínűsége, hogy a munaidő egy adott időontjában: a. mind a három csarnoban zavartalan a termelés, b. legalább az egyi csarnoban zavartalan a termelés, c. csa az egyi csarnoban zavartalan a termelés?. A harmadéves főisolai hallgató 4 %-a rendelezi német nyelvből özéfoú nyelvvizsgával, %-ána nincsen utóvizsgája és %-ána 4,-t meghaladó az elmúlt félévi tanulmányi átlaga. A főisola egy németországi céghez üldhet egy hallgatót féléves gyaorlatra. Azo jelentezhetne a ályázatra, ai legalább ettőne eleget teszne a fenti három övetelmény özül, továbbá a német nyelvvizsgával rendelezés elengedhetetlen. Jelölje az A azt az eseményt, hogy egy harmadéves hallgató rendelezi nyelvvizsgával, B azt, hogy nincsen utóvizsgája és C azt, hogy 4-nél jobb a tanulmányi átlaga! Mennyi anna a valószínűsége, hogy véletlenszerűen iválasztva egy harmadéves hallgató a. jelentezhet a német céghez erre a gyaorlatra,

7 b. ontosan egy övetelményne tesz eleget a három özül. Feltételes valószínűség. Egy önyviadó ét nyomdával dolgozi. Az első nyomda a iadványo ¼ részét, a maradé részt a másodi nyomda észíti. Az első nyomdában elészülte %-a, a másodiban észülte %-a széséghibás. A ratárban a ét nyomda terméei összeeveredte. Jelentse A esemény a övetezőt: egy találomra iválasztott iadvány széséghibás. a. Adja meg a P( A) valószínűséget! b. Adja meg, meora a valószínűség, hogy egy iadványt az első nyomdában nyomtatta, ha az nem széséghibás!. Egy forgácsoló üzemben esztergagé műödi. Az elészült munadaraboat a minőségellenőrzésen I, II, illetve III. osztályba soroljá. B : I.o. B : II.o. B : III.o. A :.gé 4 A :.gé A :.gé 9 A nai összterméből véletlenszerűen iválasztun egyet. a. Írju fel szimbólumoal és számolju i: - mennyi a valószínűsége, hogy a. gé észítette a munadarabot, feltéve, hogy első osztályú, - mennyi a valószínűsége, hogy másodosztályú a munadarab, feltéve, hogy nem a. gé észítette? b. Számítsu i és fogalmazzu meg szavaal az alábbia jelentését: P ( B A ) P ( A B ). Egy tőzsdei elemző a recessziós időszao elemzéséne a secialistája. Előrejelzései az árfolyamo alaulására 8 %-ban helytállóa ilyen eriódusoban. Ha a gazdaság erős fellendülést mutat, aor előrejelzései csa %-ban helytállóa, míg ha a gazdaság normál állaotban van, aor ez az arány 7 %. Tegyü fel, hogy a gazdaságot %-ban receszszió, %-ban erős fellendülés jellemzi, a maradé idősza normál állaotú. a. Mennyi anna a valószínűsége, hogy iválasztva ezen elemző egy tetszőleges előrejelzését, az helytálló? b. Mennyi anna a valószínűsége, hogy ha az elemző helytálló előrejelzései özül iválasztun egyet, aor azt recessziós eriódusban jósolta? 4. Egy használtautó-eresedő többfajta megfigyelést végez az eladásait illetően. Például figyeli, hogy befolyásolja-e a ocsi fényezése az eladási árat. Megfigyelései a övetező: az eladott autó %-át megvetté atalógusár felett, %-át atalógusár alatt, a többiért atalógusárat adta. A atalógusár felett megvásárolt géocsi 7 %-a volt metálfényezésű, a atalógusár alatt eladott %-a volt metálfényezésű, míg a atalógusáron eladott autónál ez az arány 4 %. Kiválasztun tetszőlegesen egy eladott autót. Mennyi anna a valószínűsége, hogy a. metálfényezésű? b. ha metálfényezésű, aor atalógusár felett elt el? 7

8 . Egy özúti ellenőrzés és felmérés alaján a övetező adatain állna rendelezésre: a özleedő járműve 4 %-a személyautó, %-a teherautó, a fennmaradó rész az egyéb ategóriába sorolt. A személyautó %-ában, a teherautó %-ában, az egyéb ategória %-ában valami műszai hiányosság fedezhető fel. Az éen özleedő járművet megállítva, mennyi anna a valószínűsége, hogy a. műszai állaota ifogásolható, b. ha műszai állaota ifogásolható, aor teherautó, c. ha műszai állaota töéletes, aor nem személyautó.. Egy ingatlanözvetítő által -ben özvetített ingatlanoat a övetező szemonto alaján osztályoztá: - fővárosi, vidéi; - millió Ft alatt, és millió Ft özötti, millió Ft feletti. A fővárosi ingatlano a ereslet %-át adtá, melyene negyedrésze millió Ft alatt, harmadrésze és millió Ft özötti. Mennyi anna a valószínűsége, hogy ha a fővárosi ingatlano özül választun, aor millió Ft feletti az érté? Eloszláso. Egy ozmetiai cég három új terméet vezet be a iacra. A feleresett üzlete 8 %-a rendelt az első terméből, 4 %-a a másodi terméből, %-a a harmadi terméből. (Az egyes üzleteben az egyes terméere vonatozó megrendelése egymástól függetlene.) Egy feleresett üzletet vizsgálva, a ξ valószínűségi változó jelentse azt a számot, ahányféle terméet rendelt az üzlet a ozmetiai cég három új észítményéből! Adja meg a ξ valószínűségi változó eloszlását és várható értéét és a szórást!. Egy éviselő egy naon interellációt hallgatott meg, ebből hatra adott választ fogadott el. Tetszőlegesen iválasztun egyszerre három interellációt. Legyen a valószínűségi változó a iválasztott interelláció özött azo száma, amelyet a éviselő nem fogadott el! a. Adja meg a valószínűségi változó eloszlását és eloszlásfüggvényét! b. Mennyi anna a valószínűsége, hogy özülü legalább ét interellációt fogadott el az adott éviselő?. Egy üzlethálózat egy nagy vásárlási aciója során három személygéocsi a három főnyeremény. Tegyü fel, hogy a laosság %-ána van géocsiju. A vásárlási ació nagyon sieres volt, mivel rengeteg nyereményszelvény érezett be. A ξ valószínűségi változó legyen azon autó nyertese száma, aine már van géocsiju! a. Adja meg a ξ valószínűségi változó eloszlását, várható értéét és szórását! b. Adja meg az eloszlásfüggvényt! c. Mely esemény valószínűségét adja meg a F ( ) függvényérté? Fogalmazza meg szavaal is és a valószínűségi változót felhasználva formalizmussal is! 4. A Danone Túró Rudi tömege ξ-vel jelölt, normális eloszlást övető valószínűségi változó gramm várható értéel, és, gramm szórással. Mennyi anna a valószínűsége, hogy a. egy Túró Rudi tömege több mint gramm? b. egy Túró Rudi tömege, gramm és 8 gramm özé esi? c. Adjon alsó becslést a övetező valószínűségre: P(<ξ<7), ha valószínűségi változó eloszlása nem ismert, de várható értée és szórása a feladat szövege szerinti!. Egy rendezvényszervező iroda heti megrendeléseine száma Poisson eloszlású valószínűségi változó várható értéel. Ha az irodához heti vagy annál több megrendelés érezi, ülső munatársat is alalmazna. Mi a valószínűsége, hogy a. az adott héten ülső munatársat is ell alalmaznia az irodána? 8

9 b. heti megrendelése száma 4-nél isebb vagy -nál nagyobb? c. a várható értétől a szórás étszeresénél isebb mértében tér el?. A megfigyelése alaján a munanélüliene átlagban fél év alatt sierült elhelyezedniü valahol. Tegyü fel, hogy a munanélüliségben eltöltött idő exonenciális eloszlást övető valószínűségi változó! Véletlenszerűen iválasztun egy munanélüli személyt. Mennyi anna a valószínűsége, hogy a. egy éven belül el tud helyezedni, b. egy évnél több, de, évnél evesebb ideig lesz munanélüli, c. a várható érténél hosszabb ideig lesz munanélüli? 7. Egy üzlet nai forgalma a ülönböző sajtészítményeből g várható értéű, g szórású, normális eloszlást övető valószínűségi változó. Meora a valószínűsége anna, hogy egy naon a forgalom a. meghaladja a 4 ilogrammot, b. g és 8 g özé esi, c. becsülje alulról a b. részben meghatározott esemény valószínűségét, ha a valószínűségi változó eloszlása nem ismert! 8. Egy orvosi rendelő várószobájában a betege váraozással eltöltött ideje exonenciális eloszlást övető valószínűségi változó, melyne várható értée negyed óra. Mennyi anna a valószínűsége, hogy egy tetszőlegesen iválasztott beteg a. ercen belül sorra erül, b. váraozási ideje legalább erc, de legfeljebb 4 erc, c. a várható értée étszeresénél többet váraozi? 9. Egy szövőgé szállal dolgozi. Anna valószínűsége, hogy egy szál meghatározott időtartam alatt elszaad:, minden szálra. Feltételezzü, hogy a szálszaadáso száma Poisson- eloszlást övető valószínűségi változó. a. Az adott időtartam alatt mennyi a szálszaadáso várható értée? b. Mennyi anna a valószínűsége, hogy legalább 4, de 7-nél evesebb szál szaad el?. Egy oldalas önyvben sajtóhiba található. Feltételezhető, hogy a sajtóhibá száma Poisson eloszlást övető valószínűségi változó. Meora anna a valószínűsége, hogy a. véletlenszerűen iválasztott oldalon nem lesz sajtóhiba, b. véletlenszerűen iválasztott oldalon legalább 8, de -nél evesebb sajtóhiba található? Csebisev-egyenlőtlenség. Egy textilgyárban előállított vég szövet hosszána várható értée m, szórása, m. a. Legfeljebb mennyi anna a valószínűsége, hogy a vég hossza legalább m-rel eltér a várható értétől? b. Legalább 9 %-os valószínűséggel milyen határo özé esi a vég szövet hossza?. Egy strandon a nyári melegben a naonta fagyit vásárló számána várható értée, a szórása edig. Legfeljebb mennyi a valószínűsége anna, hogy a naonta fagyit vásárló száma vagy annál evesebb, illetve vagy annál több?. Egy tábla csooládé átlagos tömege: dg, a szórás g. Legfeljebb mennyi anna a valószínűsége, hogy a csoi tömege a várható értétől dg-nál nagyobb mértében tér el? 9

10 Nagy számo törvénye. Egy csillagászati megfigyelés lehetőségéne valószínűsége:, a. Hányszor tegyün ísérletet a megfigyelésre ahhoz, hogy a aott relatív gyaoriságna a valószínűségétől mért,-nél isebb eltérése legalább,9 valószínűségű legyen? b. Hányszor róbálozzun a megfigyeléssel aor, ha a megfigyelés lehetőségéne valószínűsége nem ismert?. Egy gyár taasztalatai alaján az általa előállított gyártmányo %-a hibás. A minőségi ellenőrzés csa aor találja elfogadhatóna a tételt, ha abban legfeljebb % hibás. Meora legyen a tételben a gyártmányo darabszáma, hogy a hibás áru relatív gyaorisága a megfelelő valószínűségtől legalább,9 valószínűséggel ne térjen el,-nél nagyobb értéel?. Egy gyárban tömegesen gyártana írható CD-et. Egy gé ezeet is tartóba helyezi. Anna a valószínűsége, hogy egy tartó üresen marad, és így erül a vásárlóhoz:,. Az elészült tartóból db-os mintát veszne, és maghatározzá a selejt előfordulásána relatív gyaoriságát. Legalább mennyi anna a valószínűsége, hogy a relatív gyaoriságna a selejt valószínűségétől való eltérése isebb mint,4?

11 MEGOLDÁSOK Mátrixo * * * *. a. ( e e ) A e A e A ( 8 ) ( 8 ) ( 7 ) A hétfői és eddi eladás özötti ülönbség. A b. ( ) * Naonénti eladás a harom terméből. * A 44 c. ( ) * * d. e A e ( ) ( ) *. a. A e ( ) ( 4 ) 8 Egész na 8 db alma fogyott el. * e A a Az alsóso Ft-ot öltötte gyümölcsre A büfé nai összbevétele gyümölcsből. A 4 8 b. ( ) ( ) * c. ( ) ( ) ( ) ( ) * 4 d. ( ) ( ) * * e. ( e A e ) ( a e ) 49 Kombinatoria. a. 7 b. 7. Magánhangzóval ezdődi: 4 Mássalhangzóval ezdődi: 4 4 4! 8. a. 4 b

12 4. a b. 8 c. 89. f n f n f n f n f n 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! Eseményalgebra n f n f n f n f n f 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!! 4. a. csa az első vonal hibás A B C b. az első ettő hibás, a harmadi nem A B C c. legalább az egyi hibás A B C d. mindhárom vonal hibás A B C e. legalább ét vonal hibás ( A B) ( A C) ( B C) vagy ( A B C) f. ontosan egy vonal hibás ( A B C) g. ontosan ét vonal hibás ( A B C) h. egyi vonal sem hibás A B C i. legfeljebb egy vonal hibás ( A B C) j. legfeljebb ét vonal hibás A B C. a másodi nem hibás, de az első és a harmadi özül legalább az egyi hibás. B ( A C). a. P ( A), P ( B), 4 ( C), P P ( A B C),7,,, 4 b. P ( A B C) ( A B C ),,4,9,,,,7,4,, 4. a. A B A B Az első ettőre nem ötne üzletet. b. A B C A B C A B C Csa az elsőre nem ötne üzletet. c. A B C A B C Legalább egyre nem ötne üzletet. d. A B C Egyire sem ötne üzletet. e. A B C A B C A B C Mindre ötne üzletet. f. ( A B C) \ ( A B C) Legalább egyre ötötte, de nem mindre. g. ( A B) ( A C) ( B C) Legalább ettőre nem ötötte. h. A B C Legalább az egyire megöti.

13 i. A B C Az első ettőre ötötte, de a harmadira nem. j. A Az elsőre nem ötötte üzletet.. A B C A B C Az első ettő özül legalább az egyire nem, de a harmadira ötne üzletet. l. ( A B C) ( A B C) ( A B C) ( A B C) Legalább ettőre nem ötne üzletet. Formalizálja a övetező eseményeet: a. az adott naon nem mindegyi fajta részvényre ötött üzletet, A B C b. ontosan étféle részvénnyel eresedett az adott naon, ( A B C) c. volt üzletötés az adott naon ennél az alalmazottnál. A B C A B C Klasszius élettel megoldható feladato., 4,,,., a., b., 8 8 c., a.,

14 4 b. 9,. a. 7, 4 b., 4 Mintavétel.,7,8, 8 8. a. 97, b. 4, c. 449, a. 9, 4 b. 47, c. 4. a.

15 4 b. 4 4 c., 7. ( ),,7, 7. a.,,9, 987 b.,,9, 9884 c.,,9, 4 7. a. a, 4 b. b, 4 c. c, 8 d. d d > > > c b 8. a.,7,, 7 b.,,7, 9. a.,,, 87 a

16 b.,., 7 c.,.,., d.,,, 4. a., b., c., 9 4 a,,9, 4 b. b,,9, 984 c. M ( ξ ) λ. a. ( vásárol), a e, b e, 98!! Független eseménye valószínűsége. a.,8,9,8, b.,,,, 997 c.,8,,,,9,,,,8,. a. P ( A), 4 P ( B), P ( C), P ( A B C) ),4,,,4,9,,4,,8, b. P ( A B C) ),4,9,8,,,8,,9,, 444 Feltételes valószínűség. a. B : első nyomda észíti B : másodi nyomda észíti

17 P P P ( B ), P( A B ), ( B ),7 P( A B ), ( A),,,7,,,,9, b. ( ), 4 P B A a. P ( A B ), 49 P ( B A ) ( 4) ( ) 9 b. ( ) ( 44 7) ( 9),7 P B A,97 ( ) ( 9) 9 A másodi és harmadi gé által észített termée özött az első- és harmadosztályúa valószínűsége. P ( A B ), 9 A másodosztályú termée özött azo valószínűsége, melyet a harmadi gé észített.. a. P P ( R), P( i R),8 ( E), P( i E), ( N ),4 P( i N ), 7 P P () i,,8,,,4,7, 9,,8,9 b. P ( R i), a. A: metálfényezésű B : atalógusár felett B : atalógusár alatt B : atalógusáron P P ( A B ), 7 P ( B ), ( B ), P P ( A B ), P ( B ), 4 P ( A B ), 4 ( A),,7,,,4,4,,,7, b. P ( B A), 49. a. A: műszai hiányosság B : személyautó B : teherautó B : egyéb P B, P ( A B ), P ( ) 4 ( B ), P P ( A B ), P ( B ), P ( A B ), ( A),4,,,,,, 7 7

18 ,,,7,,8,,,7 b. P ( B A), 8 c. P ( B A),. A: fővárosi B : < B : - B :> P ( A), P ( B A) 4 P ( B A) P B A, 4 Eloszláso. ( ) 47 x x x,,,8, 9,8,,8,,4,8,,,, 47,47,47,,4,,8,,,8,4,8, 8,7,47,8,4,, 4,9,7 x,4 x, ( ) M ξ D. a. x,4 ( ξ ) M ( ξ ) M ( ξ ),,4, 748 8

19 x 4,7 4, 4, 4,, ha x,7, ha < x F(x),7, ha < x,97, ha < x, ha < x. a. 4 4 b., 7 x,,8,,,8,84,,8,9,,8,8 x x,84,84,9,84,4,7 x, x,84 ( ) M ξ D x, ( ξ ) M ( ξ ) M ( ξ ),84,, 98 9

20 , ha,, ha b. F(x),89, ha,99, ha, ha x < x < x < x < x c. () ( ξ < ) F A három nyertes özött van olyan, ai nem rendelezi géocsival. 4. a. m σ, b. Φ, ( ξ > ) ( ξ ) F( ) Φ Φ( ) ( Φ( ) ) Φ( ), 977 8, (, < ξ < 8) F( 8) F(,) Φ Φ Φ( ) Φ( ) Φ( ) ( Φ( ) ) ( ) Φ( ),977,84, 88 ( ξ ) P( ξ < t,) t t t, t P,47 P,47 A valószínűség legalább,47. c. P M ( ξ ) < t D( ξ ),,. a. λ P ξ P ξ < P ξ, ξ,... ξ 9,,7,7...,, b. P ( ξ < 4, ξ > ) P( ξ,,,, 7,8,... ) P( ξ 4,,),7,7,4, 8 c. P ξ M ξ < D ξ P ξ < P ξ < 4,47 P ξ 9 P ξ,...9, ( ) ( ) ( ) 8 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 9. a. M ( ξ ), λ ( ξ < ) F() e, 847 b. ( < ξ <, ) F(,) F() e ( e ) e e, 8 c. ( ξ >,) F(,) ( e ) e, a. m σ Φ b. Φ ( ξ > 4) ( ξ 4) F( 4) Φ Φ(,7) ( Φ(,7) ) (,7), ( < ξ < 8) F( 8) F( ) Φ Φ Φ( ) Φ( ) ( ) ( Φ( ) ) Φ( ), 944 8

21 t t t P,7 A valószínűség legalább, c. P( ξ < t ) 8. a. M ( ξ ) λ e ( < ) F( ), ξ b. ( 4) F( 4) F( ) e ( e ) e e, 8 ξ c. a várható értée étszeresénél többet váraozi? ξ > ξ F e e ( ) ( ) ( ) ( ), 9. a. -na az,%-a: M ( ξ )! b. ( 4 ξ < 7) 4 b e,9,,, 4 M ξ,4 8 ξ <! 4. a.,4 hiba oldalanént ( ξ ) 4 λ b. ( ) λ 4 4 M e, 8! ( ) e,,,,7, 47 8 Csebisev-egyenlőtlenség ( ) t P( ξ t,) t t, t P,9 A valószínűség legfeljebb,9. P( ξ M ξ < t D ξ ) t.9 t t D( ξ ),, 4 t ξ M ( ξ ) < t D( ξ ) ξ <,4, < ξ <, 4 P ξ 4 t t 4 t 4 P, A valószínűség legfeljebb,.. a. M ( ξ ) D( ξ ), P ξ M ( ξ ) t D( ξ ) b. ( ) ( ). ( ) t t 4 t P, A valószínűség legfeljebb,.. P( ξ )

22 Nagy számo törvénye. a. P.9, q,7 ε,,,7,9, n n Legalább. b. P,9, q, ε,,,,9, n n Legalább.. P,9, q,9 ε,,,9,9, n n 4 Legalább 4.., q,97 ε,4 n,,97 P,4 P,997 A valószínűség legalább,997.