Num. Math. 2. Mathematica. Lineáris Algebra. Lineáris Egyenletrendszerek. nummethods2x.nb 1. Numerikus egyenlet(rendszer) megoldó rutin

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Num. Math. 2. Mathematica. Lineáris Algebra. Lineáris Egyenletrendszerek. nummethods2x.nb 1. Numerikus egyenlet(rendszer) megoldó rutin"

Erika Takácsné
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 nummethods2x.nb Num. Math.2 Mathematica Lineáris Algebra Lineáris Egyenletrendszerek In[]:= Out[]= In[2]:= Solvex^250 x 5,x 5 Solvexy2, xy0,x, y Out[2]= x 3 0, y 5 Numerikus egyenlet(rendszer) megoldó rutin In[4]:= Out[4]= NSolvexy.5, xy.,x, y x 0.3, y 0.2 Kompakt írásmód, automatikus knoverzió megoldott (m rendszermátrix, v jobboldali oszlopvektor) In[9]:= In[]:= Out[]= In[8]:= v.5,.; m,,,; LinearSolvem, v 0.3, 0.2? LinearSolve LinearSolvem, b finds an x which solves the matrix equation m.x b. LinearSolvem generates a LinearSolveFunction... which can be applied repeatedly to different b. More Intermezzo: Mátrixok bevitele m

2 nummethods2x.nb 2 Cramer In[2]:= Out[2]= Detm 2 Nemszinguláris m, x i D i D In[3]:=? ReplacePart ReplacePartexpr, new, n yields an expression in which the nth part of expr is replaced by new. ReplacePartexpr, new, i, j,... replaces the part at position i, j,.... ReplacePartexpr, new, i, j,..., i2, j2,...,... replaces parts at several positions by new. ReplacePartexpr, new, pos, npos replaces parts at positions pos in expr by parts at positions npos in new. More In[4]:= MatrixFormTransposeReplacePartTransposem, v, Out[4]//MatrixForm= In[5]:= DetTransposeReplacePartTransposem, v, Detm Out[5]= 0.3 In[6]:= DetTransposeReplacePartTransposem, v, 2Detm Out[6]= 0.2 Demonstráció: Numerikus szempontok Vandermonde mátrix, paraméterek 2,3,4,5,...és bi i n i) Egy lineáris egyenletrendszer sorozatot vizsgálunk. Az n paraméter függvényében nő a rendszer mérete b oszlopvektor V(Vanderomnde) együtthatómátrix In[7]:= In[8]:= Out[8]= In[9]:= bn_ : Tablei^ni,i, n b4 5, 40, 85, 56 Vn_ : Tablei^j,i, 2, n,j, 0, n Változónevek automatikus generálása In[20]:= varlistn_ : TableToExpressionStringJoin"x", ToStringi,i, n

3 nummethods2x.nb 3 In[2]:= V4 MatrixForm Out[2]//MatrixForm= In[22]:= TimingLinearSolveV00, b00 Out[22]= Second,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Észretvételek: ha egzakt aritmetikát alkalmazunk, akkor a megoldásvektor meinden komponense. Most numerikus módszerekkel dolgozunk. In[23]:= Out[23]= In[24]:= TimingLinearSolveV5, Nb Second,.,.,.,.,. TimingLinearSolveV4, Nb4 LinearSolve::luc : Result for LinearSolve of badly conditioned matrix., 2., 4., 8., 6., 32., 64., 28., 256., 52., 4,., 3., 9., 27., 8., 243., 729., 287., 656., 9683., 4, 8, 4 may contain significant numerical errors. More Out[24]= Second, , , , ,.29352,.28758, ,.209, ,.0034, ,.0000,.,. In[25]:= NLinearAlgebra MatrixConditionNumberV4 Out[25]= Megj. Figyeljük meg a megoldásvektor komponenseit! A mátrix kondiciószáma nagy (a mátrix gyengén meghatározott)! NLinearAlgebra MatrixConditionNumber, 0,0, 0 Ugyanez Nsolve val, csak különbözõ pontossággal. In[26]:= ThreadV4.varlist4 b4 Out[26]= x 2 x2 4 x3 8 x4 5, x 3 x2 9 x3 27 x4 40, x 4 x2 6 x3 64 x4 85, x 5 x2 25 x3 25 x4 56 In[27]:= TimingNSolveThreadV4.varlist4 b4, varlist4 Out[27]= Second,x , x , x , x , x , x , x , x , x , x0.0068, x , x2.0000, x3., x4.

4 nummethods2x.nb 4 In[28]:= TimingNSolveThreadV4.varlist4 b4, varlist4, WorkingPrecision 6 Out[28]= Second, x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x Ez már elegendõen pontos. * Inverz A ; DetA 2 B InverseA; MatrixFormB MatrixFormA.B 0 0 Ált. (Moore Penrose) inverz A Transpose, 2, 3, 5,,,, ; A MatrixForm MatrixRankA 2 r=o A oszlopreguláris Ha A oszlopreg, akkor A T A reg. A A T A A T

5 nummethods2x.nb 5 InverseTransposeA.A.TransposeA 5, 3 35, 35, 9 35, 4 5, 7 35, 6 6, PseudoInverseA 5, 3 35, 35, 9 35, 4 5, 7 35, 6 6, Alkalmazás: LSM FindFitTranspose, 2, 3, 5,2, 2, 4, 6,Α xα0,α,α0, x Α.0857, Α PseudoInverseA.2, 2, 4, , 8 35 N%.0857, GraphicsRGBColor, 0, 0, PointSize.03, Point, 2, Point2, 2, Point3, 4, Point5, 6, RGBColor0,, 0, Line0, 835,7, ; Show%;

6 nummethods2x.nb 6 PlotΑ xα0.α.0857,α ,x, 0, 7, PlotStyleRGBColor0,, 0, PrologRGBColor, 0, 0, PointSize.03, Point, 2, Point2, 2, Point3, 4, Point5, 6; Demonstráció: Eüh. változtatása megoldásvektor komponeneinek változása Munka programcsomagokal: Nem minden függvény/szolgáltatás érhető el a Mathematica indítása után, de programcsoma gok bárnmikor betölthetők. Itt a Lináris Algebra csomagot töltjük be. In[30]:= In[3]:= LinearAlgebra? MatrixConditionNumber MatrixConditionNumbermat gives an estimate of the infinitynorm condition number of the matrix mat of approximate numbers. MatrixConditionNumbermat, p gives an estimate of the condition number in the pnorm, where p must be, 2, or Infinity. More Két egyenletrendszer megoldásvekrorainak összehasonlítása. Az együtthatók alig térnek el. Elsõ egyenletrendszer In[32]:= In[34]:= Out[34]= er 2x6y8; er2 2x600000^5 y800000^5; Solveer, er2,x, y x, y Második egyenletrendszer In[35]:= er2 2x6y8; er22 2x ^5 y ^5; General::spell : Possible spelling error: new symbol name "er2" is similar to existing symbol "er2". More

7 nummethods2x.nb 7 In[37]:= Out[37]= Solveer2, er22,x, y x 0, y 2 Mekkora eltérést okozott a 22 és b 2 kicsi megváltozása a megoldásvektorban? (! a számításokat szimbolikusan végeztük, ez nem okozhat pontatlanságot itt) In[38]:= A ^5 ; In[39]:= NMatrixConditionNumberA MatrixConditionNumber::prec : MatrixConditionNumber has received a matrix with infinite precision. Out[39]= Megj. Normálás szükségessége In[40]:= In[43]:= Out[43]= In[44]:= A., 2,3, 4; A2 0., 20,30, 40; A3.7, 27,37, 47; MatrixConditionNumberA, MatrixConditionNumberA2, MatrixConditionNumberA3 2., 2., 2. InverseA3 MatrixForm Out[44]//MatrixForm= In[45]:= NNormInverseA3, Infinity Out[45]= 2. In[46]:= InverseMatrixNormNA3 Out[46]= 2. Kondiciószám kiszámítása (lsd. később)

8 nummethods2x.nb 8 Gauss Elimináció, Trianguláris Felbontás LU (LR) felbontás Cél: LU (LR) felbontás, ahol L alsó trianguláris, l ii U felülrõl trianguláris Megj. Nem minden mátrixnak létezik, még akkor sem, ha az nemszinguláris. Ha létezik, nem feltétlen egyértelmű. Elegendõ felt. a felb. létezésére: Balfelsõ fõminorok nemzérók Feladat: Ellenõrizzük, hogy az alábbi mátrixok esetén létezik felbontás (és ezekre a mátrixokra a fõelem kiv. nélküli par ketta alg. meghatározza az egyértelmű felbontást) Vn_ : Tablei^j,i, 2, n,j, 0, n In[50]:= A ; A ; A3 V0; *Hint In[5]:= DetA2 Out[5]= 8 In[52]:= Out[52]= In[53]:= TableMinorsA2, i,,i, LengthA2, 3, 8 TableMinorsA3, i,,i, LengthA3 Out[53]=,, 2, 2, 288, 34560, , , , In[54]:= In[55]:= Out[55]= In[56]:= Out[56]= LinearAlgebra SubMatrixA2,,,2, 2, 2,4, 5 Det% 3

9 nummethods2x.nb 9 In[57]:= Out[57]= And TableDetSubMatrixA2,,,i, i 0,i, 3 True Elimináló mátrixok In[59]:= In[60]:= A A2; A MatrixForm Out[60]//MatrixForm= In[6]:= In[62]:= L ; 7 0 L.A MatrixForm Out[62]//MatrixForm= In[63]:= In[64]:= L ; 0 2 L2.L.A MatrixForm Out[64]//MatrixForm= In[65]:= InverseL.InverseL2 MatrixForm Out[65]//MatrixForm= In[66]:= Out[66]= MatrixFormInverseL.InverseL2, MatrixFormL2.L.A, MatrixFormA , ,

10 nummethods2x.nb 0 Feladat V[4], Mathematica built in fgv. In[7]:= LUD LUDecompositionV4; LUD MatrixForm Out[7]//MatrixForm= Hogyan kajuk L t és U t? In[72]:= MatrixForm Out[72]//MatrixForm= In[73]:= V4 MatrixForm Out[73]//MatrixForm=

Hasonló dokumentumok

anal2_03_szelsoertek_demo.nb 1

anal2_03_szelsoertek_demo.nb 1 anal szelsoertek_demo.nb parciális deriválás f x^ y^; f Sin x Cos y ; g D f, x ; h D f, y ; Show GraphicsArray PlotD f, x,,, y,,, AxesLabel StringForm "f ``", f, None, None, DisplayFunction Identity, PlotD