PANNON EGYETEM DOKTORI ISKOLA

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "PANNON EGYETEM DOKTORI ISKOLA"

Átírás

1 PANNON EGYETEM GAZDÁLKODÁS- ÉS SZERVEZÉSTUDOMÁNYOK DOKTORI ISKOLA Badics Tamás ARBITRÁZS ÉS MARTINGÁLMÉRTÉK PhD értekezés Témavezető: Dr. Medvegyev Péter Veszprém, 2011.

2 ARBITRÁZS ÉS MARTINGÁLMÉRTÉK Értekezés a PhD fokozat elnyerése érdekében a Pannon Egyetem Gazdálkodás- és Szervezéstudományok Doktori Iskolájához tartozóan Írta: Badics Tamás A jelölt a doktori szigorlaton 100%-ot ért el, Az értekezést bírálóként elfogadásra javaslom: Bíráló neve: igen/nem... (aláírás) Bíráló neve: igen/nem... (aláírás) Bíráló neve: igen/nem... (aláírás) A jelölt az értekezés nyilvános vitáján... %-ot ért el. Veszprém... (a Bíráló Bizottság elnöke) A doktori oklevél minősítése (az EDT elnöke)

3 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés Az alaptétel Az értekezés felépítése és újszerű eredményei A Delbaen Schachermayer-tétel előzményei Az általános egyensúlyelmélettől az arbitrázsárazásig Az Arrow Debreu-egyensúly A Radner-egyensúly Arbitrázsmentesség Életképesség és a Kreps Yan-tétel A sztochasztikus folyamatok általános elmélete A pénzpiac modellje több periódus esetén Pénzpiac végesen generált valószínűségi mező esetén Önfinanszírozó kereskedési stratégiák Ármérce-invariancia Az arbitrázs fogalma A Dallang Morton Willinger-tétel Folytonos idejű pénzpiacok Önfinanszírozó portfóliók Ármérce invariancia Alaptétel szemimartingál modellben Néhány előzetes eredmény A kompaktsági lemma Az L 0 korlátos és zárt részhalmazainak van maximális eleme 73 i

4 Gyenge* topológia és a sztochasztikus konvergencia Mémin tételére való visszavezetés A sztochasztikus integrálok értékének kiterjesztése a végtelenbe A lehetséges kaszálások terének korlátossága A C 0 Fatou-zártsága és a C gyenge* zártsága A maximális elem és a Fatou-zártság A közelítő sorozatok egyenletes konvergenciája A szemimartingál topológiában konvergens sorozat létezése Új mértékre való áttérés Néhány egyszerű becslés Néhány szörnyű becslés A szemimartingál topológiában konvergens sorozat meghatározása Az alaptétel többdimenziós szemimartingál modellek esetén Martingálmérték és optimális portfóliók A portfolió választás duális megközelítése véges dimenzió esetén A haszonmaximalizációs probléma A minimaxmérték Lagrange-dualitás A portfolióválasztás duális megközelítése végtelen dimenzió esetén A C kúp és a martingálmértékek halmaza közti duális kapcsolat A haszonmaximalizálási probléma és a duálisa A minimaxmérték A Frittelli-féle alaptétel Arbitrázs és preferenciák A sztochasztikus dominancia A no market free lunch fogalma Az alaptétel Arbitrázsfogalmak karakterizációja Az arbitrázsmentesség és NFLVR Az Orlicz-terek elmélete ii

5 7.3. A "nincs ingyenebéd" feltétel Az életképesség egy újabb megközelítése Az állapotár deflátor és az egy ár törvénye Az egy ár törvénye kétperiódusos modellben Állapotár deflátor és kockázati prémium Az egy ár törvényének karakterizációja Összegzés További kutatási lehetőségek 168 A szerzőnek az értekezés témájához kapcsolódó publikációi 170 Irodalom 171 iii

6 Ábrák jegyzéke 1.1. A martingálmérték geometriai interpretációja Konkáv függvény duális leírása iv

7 Abstract This dissertation deals with the foundation of the theory of asset pricing in a frictionless market under the most general assumptions. At this level of abstraction, the pricing techniques, treated in the known monographs on mathematical finance (e.g. [80], [33], [60] and [9]) do not work, so the semimartingale theory consists mainly of existence statements. One of the most important problem of asset pricing is the mathematical characterization of the economically consistent models of financial markets. From the economic point of view the assumption of no-arbitrage i.e. the assumption that one cannot do business in which one can only gain with strictly positive probability but without exposure to risk seems a fairly mild condition and it is astonishing what far-reaching consequences it has. Under the Fundamental Theorem of Asset Pricing we mean such types of statements which assert an equivalence between the above-mentioned consistency condition and some mathematical properties of the stochastic process describing asset prices. The fundamental theorem of asset pricing, loosely speaking, asserts that the absence of arbitrage is equivalent to the existence of an equivalent probability measure, under which the discounted price process is a "martingale", which means that there is a new fictive probability the martingale measure under which one can t systematically gain on average. It will be showed, the martingale measure play important role both in the theory of complete and incomplete markets. The aim of the dissertation is to survey the literature and the mathematical and economic antecedents of the fundamental theorem of asset pricing for semimartingale models, to present a didactic unified treatment of the semimartingale approach of asset pricing and to simplify some of the original proofs. A new feature of the dissertation is that it does not focus on questions of pricing but on the relations of the arbitrage theory and the classical theory of economics.

8 Estratto Questa tesi si occupa della fondazione della teoria della valutazione mezzi finanziari in un mercato privo di attrito sotto l ipotesi più generale. A questo livello di astrazione, le tecniche di valutazione, trattati nelle monografie noti sulla finanza matematica ([80], [33], [60] e [9]) non funzionano, quindi la teoria semimartingala consiste principalmente di dichiarazioni esistenzali. Uno dei problemi più importanti della valutazione è la caratterizzazione matematica dei modelli economicamente coerenti dei mercati finanziari. Dal punto di vista economico l assunzione di non-arbitraggio - cioè l ipotesi che non si puˇn fare business in cui si può solo guadagnare con probabilità strettamente positiva, ma senza esposizione al rischio - sembra una condizione abbastanza mite, ed è sorprendente quanto sono lontane le conseguenze di vasta portata che ha. Sotto il teorema fondamentale di valutazione si intende che questi tipi di dichiarazioni che affermano un equivalenza tra la condizione di coerenza di cui sopra e alcune proprietà matematiche del processo stocastico che descrivono i prezzi dei mezzi. Il teorema fondamentale di valutazione, in un senso non troppo preciso, afferma che l assenza di arbitraggio è equivalente alla esistenza di una misura di probabilità equivalente, sotto il quale il processo di prezzo scontato è una "martingala", che significa che c è una probabilità nuova fittizia - la martingala misura - in cui non si può sistematicamente guadagnare in media. Sarà mostrato che la misura martingala ha un ruolo molto importante sia nella teoria dei mercati completi che in quelle incompleti. Lo scopo della tesi è quello di una rassegna della letteratura e degli antecedenti matematici ed economici del teorema fondamentale di valutazione per i modelli semimartingale, e presentare un trattamento didattico unificato dei semimartingale approccio della valutazione e di semplificare alcune delle prove originali. Una nuova caratteristica del lavoro di tesi è che non si concentra su una questione

9 della valutazione, ma sulle relazioni tra la teoria arbitraggio e la teoria classica dell economia. 3

10 Kivonat Jelen értekezés a súrlódásmentes pénzpiacon történő árazás elméletének alapjaival foglalkozik, a lehető legáltalánosabb, szemimartingál árfolyamatokon alapuló megközelítésben. Az absztrakciónak ezen a szintjén az ismert pénzügyi matematikáról szóló monográfiák (ld. pl.: [80], [33], [60] és [9]) által tárgyalt speciális árazási eljárások legtöbbje már nem működik, így a szemimartingálokra vonatkozó elmélet elsősorban egzisztencia bizonyításokból áll. Az eszközárazás elméletének egyik legalapvetőbb kérdése, hogy egy pénzpiaci modellt mikor tekintünk közgazdasági szempontból konzisztensnek és milyen matematikai tulajdonságokkal karakterizálható egy ilyen modell. Közgazdasági szempontból az arbitrázsmentesség feltevése, vagyis az a feltevés, hogy a pénzpiacon nem köthetünk olyan üzletet amin pozitív valószínűséggel nyerünk, anélkül hogy bármit is kockáztatnánk, nem tűnik túlságosan megszorítónak, és egészen megdöbbentő, hogy milyen szerteágazó következtetéseket lehet levonni ebből az ártalmatlannak tűnő feltevésből. A pénzügyi eszközök árazásának alaptételén általában olyan típusú állításokat értünk, amelyek a konzisztencia fenti közgazdasági követelményének és a pénzpiacot pontosabban az eszközök árait leíró sztochasztikus folyamat valamely matematikai tulajdonságának ekvivalenciájáról szólnak. A legtöbb modellben bizonyítható annak az általános elvnek valamilyen formája, miszerint az arbitrázsmentesség feltevése ekvivalens azzal az állítással, miszerint a létezik egy olyan valószínűség, amiszerint az értékpapírok diszkontált árfolyamata egy bizonyos értelemben martingál. Mint látni fogjuk, az ún. martingálmérték mind a teljes, mind a nemteljes piacok elméletében fontos szerepet játszik. Jelen értekezés célja részben az alaptétel szemimartingálokra vonatkozó irodalmának, valamint közgazdaságtani és matematikai előzményeinek áttekintése, részben pedig a szemimartingálokra vonatkozó elmélet didaktikus egységes keretben való tárgyalása, helyenként pedig az eredeti cikkekben található bizonyítások egy-

11 szerűsítése. Az értekezés egy újszerű vonása, hogy nem az árazás kérdésére öszpontosít, hanem az arbitrázselmélet és a klasszikus közgazdaságtan kapcsolódási pontjait kívánja hangsúlyozni. 5

12 1. fejezet Bevezetés 1.1. Az alaptétel A közgazdasági elmélet központi eleme a hatékony piacok elmélete, vagy ahogyan az elméletet vitatók nevezni szokták a piaci fundamentalizmus. Ez a széles körben használt gondolatrendszer képezi a pénzügyi eszközök árazásának, illetve a rá épülő piaci kockázatkezelés gyakorlatának hátterét. A gondolatrendszer három alapvető feltételre épül. Az egyik a teljesség feltételezése, a másik az arbitrázs hiányának megkövetelése, a harmadik pedig a tranzakciós költségek elhanyagolhatósága. Mind a három inkább egy elv mint egy konkrétan megfogható matematikai állítás. A teljesség feltétele némiképpen elnagyoltan azt mondja ki, hogy a piacokon levő nagyszámú eszköz között jelentős redundancia van. Éppen ezért elegendő a termékek egy szűk csoportjának, az alaptermékeknek megfigyelni az árát, a többi termék ára már ezekből matematikai úton leszármaztatható. A leszármaztathatóság oka az arbitrázsmentesség és a tranzakciós költségek hiánya. A matematikai, úgymond képletszerű kapcsolat esetén az elhanyagolható tranzakciós költségek miatt a teljesség által garantált matematikai összefüggés alapján az alaptermékekből létrehozható, kikeverhető egy kompozit termék, amely úgymond replikálja az eredeti terméket és így a két termék ára meg kell hogy egyezzen. Két azonos méretű és korú tojás ára azonos kell, hogy legyen, függetlenül attól, hogy melyik tyúk tojta. Ellenkező esetben úgymond arbitrálni lehetne, vagyis az olcsóbb terméket meg lehetne venni, és a vele azonos tulajdonságú de drágább terméket el lehetne adni és így biztos profitra lehetne szert tenni. Közgazdasági szempontból természetesen mind a három feltétel vitatható, különösen a korlát- 6

13 lan és kontrolálatlan használatuk problémás. Ugyanakkor ezek az elvek mélyen és alapvetően meghatározzák a pénzügyi világ gondolatrendszerét, ahogyan a piaci szereplők a piacot látják, vagy látni vélik. A pénzügyi szektor legfőbb tevékenysége éppen a redundancia feltárásában van 1. A redundanciára épülő fedezéssel a kockázat csökkenthető, illetve a termékekben levő kockázatok elvileg átcsomagolhatóak és az egyes piaci szereplők számára diverzifikáltan kínálhatók. Még a naiv intuició alapján is érezhető, hogy a három feltétel közül a teljesség feltétele a leginkább vitatható. Természetesen a kulcskérdés az, hogy milyen eszközök állnak rendelkezésünkre a kompozit termék kialakításakor. Matematikailag milyen transzformációk használhatók amikor a redundanciát ki akarjuk aknázni? Modellezési oldalról ez úgy fogalmazható meg, hogy milyen operációk engedhetők meg a kompozit termékek előállításakor? Természetesen minél bővebb és minél vadabb matematikai eszközöket engedünk meg, annál szélesebb lesz az előállítható termékek köre. Így tehát adott modellen belül beszélhetünk csak a teljességről. Nyilvánvaló módon a matematikai modellekben szereplő előállíthatóság és a tényleges előállíthatóság nem fedi egymást. Már az egyszerű lineáris kombináció is olyan kompozit termékeket enged meg, amelyek a valóságban nem realizálhatóak. Például hogyan állítjuk elő két termék irracionális súlyokkal vett lineáris kombinációját? És akkor még nem is említettük a sztochasztikus integrálok különböző osztályait és egyéb, a területen alapvető műveleteket, amikor az előállíthatóságot egy időben folytonosan változó súlyrendszerrel valósítjuk meg 2. Nyilván a közgazdasági elmélet azon aspektusai kerülnek be a matematikai modellekbe, amelyek a matematika eszköztárával jól kezelhetők. Érdekes módon az alapvető teljesség feltétele matematikailag nehezebben tárgyalható, így a vezető matematikusok inkább az arbitrázsmentesség feltételére koncentráltak. Ennek oka, hogy az arbitrázsmentesség gondolata jól beilleszthető a modern matematika egyik központi elméletébe, a dualitáselméletbe. Jelen értekezésben kizárólag az arbitrázsmentesség feltételére fogunk koncentrálni, és a teljesség feltételével nem kívánunk élni. Az arbitrázsmentesség végső soron azt állítja, hogy a lehetséges kompozit termékek között csak egy olyan van, amely nem negatív, nevezetesen az azonosan 1 A fel nem tárt redundancia mögött általában a piac nem kellő hatékonysága áll, amit ki lehet használni és így közvetett módon a hatékonyságot növelni lehet. Legalábbis ez az ideológia. 2 Úgymond dinamikusan fedezünk, vagyis folyamatosan minden időpontban más és más, nyilván irracionális súlyokkal replikáljuk az adott pénzügyi eszközt. Vagyis már maga a redundancia fogalma is az alkalmazott matematikai fogalomrendszer keretében értelmezhető. 7

14 nulla 3. Vagyis az arbitrázsmentesség azt állítja, hogy két halmaz csak egy közös pontban metszi egymást 4. A közgazdasági matematikában triviálisan ismert észrevétel, hogy ez a helyzet jól jellemezhető a szeparáló hipersíkokról szóló tétellel 5. A tétel használatához két dolgot kell tenni: biztosítani kell, hogy a halmazok konvexek és hogy zártak legyenek. A konvexitás feltétele általában viszonylag egyszerűen garantálható, elég feltenni, hogy a lehetséges stratégiák konvex módon kombinálhatók legyenek. A dolog emlékeztet a játékelmélet kevert stratégiáinak bevezetésére. A stratégiai halmazok konvexitása egy olyan bevett és rutinszerűen használt feltétel a közgazdasági elméletben, amelynek használata jószerével már fel sem tűnik. Míg a stratégiai halmazok konvexitása például az általános egyensúlyelméletben széles körben használt, de azért vitatott feltétel, a pénzügyi elméletben minden további nélkül elfogadott 6. A pénzügyi elméletben a konvexitás eléréséhez egyedül azt kell feltenni, hogy a pénzügyi termékekből szabadon portfoliót lehet csinálni, vagyis szabadon vehetjük a termékek lineáris kombinációit. Az egyedüli újszerűnek mondható probléma, hogy vehetjük-e a termékek negatív együtthatóval vett kombinációit vagy sem 7. Miként látni fogjuk a probléma az elválasztandó halmazok zártságával van, amely zártság biztosítása az alább ismertetett tételek bizonyításának legfőbb nehézsége. Ennek oka, hogy természetes módon a pénzügyi elmélet valószínűségi változókkal foglalkozik, és valószínűségi változók esetén már magának a konvergenciának a fogalma sem egyértelmű. Másképpen fogalmazva a pénzügyi elmélet megalapozását adó arbitrázstételek matematikai szempontból lényegében megegyeznek a közgazdasági elmélet területén használt szokásos dualitási eszköztárral. 3 Vagyis nem lehet olyan portfoliót összeállítani, amely egy valószínűséggel nem negatív miközben pozitív valószínűséggel pozitív. 4 Egészen pontosan arról van szó, hogy a lehetséges portfoliók halmaza és a nem negatív valószínűségi változók halmaza csak egy pontban a nulla pontban metszik egymást. 5 Ezt az elvet számtalan tételben használjuk. Jószerével ez az első olyan gondolat, amivel egy matematikus közgazdász tanulmányai során megismerkedik. A lineáris programozás dualitási tétele, a jóléti közgazdaságtan második tétele, a Kuhn Tucker tételek, a játékelmélet nyeregponttételei stb. Dualitáselmélet alatt azokat a matematikai eredményeket értjük, amelyek a konvex halmazok hipersíkkal való elválaszthatóságára épülnek. 6 Valójában a konvexitás a pénzügyi eszközök területén jóval természetesebb mint az általános egyensúlyelméletben. Az oszthatatlanság megkövetelése mindig is az általános egyensúlyelmélet kritikájának egyik eleme volt. Az oszthatatlanság kérdése a pénzügyekben nem játszik szerepet. 7 Érdekes módon a matematikai elméletben az egyik legfontosabb közgazdaságilag inspirált áttörés a feltételes optimalizációban a nem negatív változók bevezetése és az ebből eredő komplikációk kezelése volt. Ez nagyban hozzájárult a konvex analízis kidolgozásához. Mivel a pénzügyekben az egyes változók lehetnek negatívak is, a stratégia halmazok általában alterek, ami a tárgyalást egyszerűsíti. 8

15 A matematikai eszköztár elvi szintjén az eltérés egyedül abból származik, hogy mivel a modellek dinamikusak és sztochasztikusak is, ezért a matematikai objektumok, amelyek körében a konvex analízis szokásos gondolatait alkalmazni kell, matematikailag nagyon bonyolultak. A szeparáló sík közgazdasági interpretációja mindig is a közgazdasági elmélet központi kérdése volt 8. Az általános és rutinszerűen használt válasz az, hogy a szeparáló sík az egyensúlyi árakat, vagy valamilyen szempontból az optimális árakat írja le. Az arbitrázselméletben a szeparáló hipersík mint martingálmérték jelenik meg. A martingálmérték a Lagrange-szorzók dinamikus, sztochasztikus környezetbeli párja. Jelen értekezés, az eszközárazás egyik központi problémájára, a martingálmérték létezésére vonatkozó irodalom áttekintésével, az arbitrázselmélet egyik matematikailag legmélyebb területének és a klasszikus közgazdaságtannak a kapcsolódási pontjait igyekszik feltárni. Az arbitrázselmélet egyik központi fogalma a martingál, ami a sztochasztikus folyamatok egy igen speciális osztályát jelöli. A martingál tulajdonság lényege legegyszerűbben a számegyenesen vett véletlen bolyongás fogalmából kiindulva érthető meg. Képzeljük el, hogy az origóból kiindulva, minden periódusban egyenlő valószínűséggel vagy jobbra vagy balra lépünk egyet. Ekkor minden t-re, a t- edik időpontbeli helyzetünk egy valószínűségi változó. Ha történetesen a t-edik időpillanatban a számegyenes a pontjában vagyunk, akkor a következő pillanatban a helyzetünk várható értéke éppen a lesz, és ez természetesen független attól, hogy hogyan jutottunk az a helyzetbe. A martingál tulajdonság a véletlen bolyongás ezen tulajdonságának egy általánosítása. Kissé leegyszerűsítve a dolgot, a valószínűségi változók egy X(1), X(2),... sorozata martingál, ha minden t-re igaz, hogy X(t) = a esetén az X(t + 1) várható értéke is éppen a. Kissé formálisabb jelölést használva E [X(t + 1) F t ] = X(t), ahol F t σ-algebra jelöli a befektetők információs struktúráját a t-edik időpontban. 9 A pénzügyi eszközök árazásának alaptétele 10 kissé pongyolán megfogalmazva azt állítja, hogy egy értékpapírpiacon akkor nincs arbitrázs, ha létezik egy az eredetivel ekvivalens valószínűségi mérték 11, amelyre vonatkozóan az értékpapírok 8 Gondoljunk csak a lineáris programozás duális megoldásának interpretációjára, vagy a Lagrange szorzók közgazdasági tartalmára. 9 Ld.: 10. definíció. 10 A fundamental theorem of asset pricing elnevezést a fentihez hasonló értelemben először P. H. Dybvig és R. A. Ross [31] használta. 11 Két mérték ekvivalenciája azt jelenti, hogy mindkét mérték szerint ugyanazok a nullmértékű halmazok. 9

16 diszkontált árait leíró folyamat egy bizonyos értelemben martingál (ld. 24., 26. és 31. tétel), vagyis létezik olyan új valószínűségi mérték, amely alatt pénzügyi eszközök segítségével nem lehet szisztematikusan átlagban nyerni. Hogy egészen pontosak legyünk, az állítás ebben a formában inkább csak egy alapelv, ami akkor válik ténylegesen igazolható állítássá, ha pontosan definiáljuk az arbitrázsmentesség és martingál" fogalmakat. Mint látni fogjuk, ezek pontos tartalma modellosztályonként eltérő lehet. Ezen a ponton érdemes egy nyilvánvaló, de azért igen fontos megjegyzést tenni. A tétel nem azt állítja, hogy a pénzügyi eszközök az arbitrázs hiánya esetén martingált alkotnak, vagyis hogy hosszú idő átlagában nem lehet rajtuk pénzügyi eszközökkel nyerni 12. A martingál tulajdonság kikényszerítéséhez két dolgot kell tenni. Egyrészt a folyamatokat diszkontálni kell, másrészt az egyes kimenetelekhez tartozó valószínűségeket ki kell cserélni egy mesterséges valószínűségre. Vagyis az egyes kimenetelek esetén elérhető nyereségeket és veszteségeket nem azok bekövetkezésének tényleges valószínűsége szerint kell súlyozni, hanem egy mesterségesen vett súlyrendszer szerint. A két mérték ekvivalenciája azt jelenti, hogy a pozitív valószínűségű halmazok súlya nem lesz nulla és fordítva. A szeparáló sík az új és a régi valószínűségek arányát adja meg. Mit jelent az, ha egy halmaz valószínűsége a kétszeresére nőtt és mit jelent az, ha a felére csökkent? Az elmélet a maga tiszta voltában erre nem ad választ, pusztán annyit mond, hogy az alkalmas súlyok megadhatóak 13. Másképpen a nincsen arbitrázs feltétel, vagyis hogy két alkalmas konvex halmaznak nincsen közös pontja, a modell megfelelően specifikált feltételei miatt pontosan azt jelenti, hogy van elválasztó sík, amely normálisának segítségével az egyes valószínűségeket ténylegesen átskálázva az eredeti folyamat az átskálázott valószínűségek esetén hosszú idő átlagában pusztán pénzügyi eszközökkel nem lesz manipulálható. A matematikai alapprobléma szemléltetéséhez tekintsünk egy olyan kétperiódusos pénzpiaci modellt, ahol az állapottér az Ω = {ω 1, ω 2 } kételemű halmaz. A P valószínűségi mértéket a p = (p 1, p 2 ) vektor reprezentálja, ahol p 1 = P({ω 1 }) > 0, 12 Nyilván lehet. A martingál tulajdonságot sok esetben félreértik. Hosszú idő átlagában a valós valószínűségekhez tartozó valós világban lehet pozitív nyereséget biztosítani. Ezt a matematikai fantáziavilágban létező martingálmérték alatt nem lehet megcsinálni. De senki sem állítja, hogy a két valószínűség azonos. A martingálmérték a nyerő esetek valószínűségét csökkenti, a veszteségekét növeli, így az esélyeket átlagban kiegyenlíti. Az arbitrázs hiánya csak bizonyos igen enyhe konzisztencia feltételt ír elő, de a konzisztencia feltételek közé nem tartozik az, hogy hosszú idő átlagában nem lehet nyerni. 13 Ezek a súlyok kulcsszerepet játszanak a származtatott termékek árazásában, de erre most nem térünk ki. Az ekvivalencia azt jelenti, hogy a súlyok, arányok kiszámolásakor nem lép fel semmilyen nullával való osztásból származó probléma. 10

17 p 2 = P({ω 2 }) > 0, P( ) = 0 és P({ω 1, ω 2 }) = 1. Ekkor az Ω feletti valószínűségi változók halmaza éppen az R 2, és a fentiek alapján az x R 2 valószínűségi változó várható értéke a px skaláris szorzat. Tegyük fel, hogy a pénzpiacon egy nulla kamatozású kockázatmentes kötvénnyel és egy kockázatos értékpapírral lehet kereskedni, és a kockázatos értékpapír hozama a fenti Ω halmazon értelmezett R valószínűségi változóval írható le. Ekkor rendre H 1 és H 2 -vel jelölve az első periódusban kötvénybe illetve kockázatos értékpapírba fektetett pénzmennyiséget, a H = (H 1, H 2 ) kereskedési stratégia kifizetése nyilván a H 1 +H 2 (1+R) valószínűségi változó. A fenti modellben feltételes követelésnek nevezzük az R 2 beli elemekkel reprezentálható f = (f 1, f 2 ) kifizetéseket, melyek p 1 valószínűséggel f 1 és p 2 valószínűséggel f 2 kifizetést biztosítanak a követelés birtokosának. Jelöljük A-val a zérusvektortól különböző nemnegatív koordinátájú R 2 -beli elemek halmazát, valamint K-val a nulla induló vagyonnal megvalósítható összes lehetséges kereskedési stratégiák kifizetéseinek halmazát, vagyis azon H 1 +H 2 (1+R) kifizetéseket melyekre H 1 +H 2 = 0. Ekkor azt mondjuk hogy nincs arbitrázs, ha K A =, vagyis ha nulla induló vagyon segítségével nem juthatunk olyan második periódusbeli véletlen kifizetéshez, mely minden kimenetel esetén nemnegatív, és legalább egy kimenetel esetén pozitív értékű. Például az (1, 1) vagy az (1, 0), illetve az (0, 1) kifizetés vektorok vagyis feltételes követelések arbitrázst tartalmaznak, ugyanis pozitív valószínűséggel nyereséget biztosítanak, miközben a veszteség valószínűsége nulla. Vegyük észre, hogy ez nem függ a valószínűségi mérték megválasztásától, mindaddig, amíg egyik kimenetel valószínűsége sem nulla, vagyis amíg a szóban forgó valószínűség az eredetivel ekvivalens. Következésképpen a piac arbitrázsmentességének tulajdonsága invariáns az ekvivalens valószínűségi mérték megválasztására vonatkozóan. Ez a megfigyelés motiválja a következő jelölés bevezetését. Jelöljük P -vel az x 1 > 0, x 2 > 0 és x 1 + x 2 = 1 feltételeknek elegettevő R 2 -beli (x 1, x 2 ) elemek halmazát. Ez utóbbi halmaz geometriailag egy olyan nyílt szakasszal reprezentálható, melynek végpontjai (0, 1) és (1, 0) (ld.: 1.1. ábra). A P halmaz elemeihez, csakúgy mint a (p 1, p 2 ) vektor esetében láttuk egyértelműen hozzá tudunk rendelni egy valószínűségi mértéket 14. Minden ilyen mérték ekvivalens lesz a P valószínűségi mértékkel, hiszen mindkét mérték szerint csak az üres halmaz nulla valószínűségű, sőt könnyen belátható, hogy minden P-vel ekvi- 14 Minden (x 1, x 2 ) P vektort azonosítsunk azzal a valószínűségi mértékkel, mely szerint az ω 1 kimenetel valószínűsége x 1 és az ω 2 valószínűsége x 2. 11

18 valens valószínűségi mérték P -beli elemmel reprezentálható. 15 Érdemes hangsúlyozni, hogy ha nincs arbitrázs, akkor a ( 1, 1) szintén nem lehet eleme a K-nak ugyanis a pénzügyekben ha valamely változó megengedett, akkor általában a negatívja is megengedett, mivel az egyik vektor a termék vételét, a másik az eladását reprezentálja, és a vétel, illetve az eladás eredménye egymás ellentettje. Ugyancsak pénzügyi feltételek miatt feltehetjük, hogy a termékek negatív súlyok felhasználásával is kombinálhatóak, így a K egy lineáris altere R 2 - nek. Következésképpen a K egy origón áthaladó egyenessel reprezentálható, amely egyenes a nincsen arbitrázs feltétel miatt nem metszi a pozitív síknegyedet (ld.: 1.1. ábra). A geometriai interpretáció alapján nyilvánvaló, hogy a nincs arbitrázs feltétel ekvivalens azzal, hogy a K-ra merőleges vektorok K halmazára K P. Ez azt jelenti, hogy van olyan q P valószínűségi mérték, amely merőleges minden x K-ra. Mivel két vektor pontosan akkor merőleges egymásra ha a skaláris szorzatuk zérus, ezért ez azt jelenti, hogy van olyan q P valószínűségi mérték, hogy minden K-beli x-re qx = 0, vagyis amely mellett a K minden elemének várható értéke nulla. Mivel ez speciálisan a (H 1, H 2 ) = ( 1, 1) kereskedési stratégia 1 + (1 + R) kifizetésvektorára is teljesül, ez azt jelenti, hogy R várható értéke zérus, vagyis a kockázatos értékpapír ára q szerint martingál. Összefoglalva az eddigieket, a fenti geometriai okoskodásból világosan látszik, hogy az itt tárgyalt kétdimenziós pénzpiacon pontosan akkor nincs arbitrázs, ha létezik egy az eredetivel ekvivalens martingálmérték. A továbbiakban fontos szerepet fog játszani a C = K R 2 + halmaz 16, és annak C 0 polárisa 17. Mivel a C halmaz konvex kúp, vagyis az összeadás mellett zárt a nemnegatív konstanssal való szorzásra, ezért C 0 = {y R n ( x C) : yx 0}. 15 A félreértések elkerülése végett megjegyezzük, hogy bár mind a K mind a P halmaz elemeit ugyanaban a koordináta rendszerben ábrázoltuk, ezen halmazok pontjai egymással még csak köszönő viszonyban sem állnak. Általános egyensúlyelméleti analógiával élve azt mondhatjuk, hogy míg a K halmaz a jószágtér egy részhalmza, a P halmaz minden eleme egy árrendszert határoz meg, és valójában a jószágtér duálisában fekszik. Mivel véges dimenzióban mind a primál térnek mind a duálisának pontjai ugyanazon R n -beli pontokkal reprezentálhatóak, ezért a K és a P közös koordinátarendszerben ábrázolható. 16 Kreps nevéhez fűződik az a felismerés, hogy általánosabb modellek esetén szükség van az ún. díjmentes lomtalanítási feltevésre (ld.: [64]). Ezen feltevés mellett a zérus indulóvagyon révén elérhető kifizetések halmaza nem K lesz, hanem K R A konvex analízis szóhasználatával egy B R n halmaz polárisának nevezzük, és B 0 -lal jelöljük az {y R n ( x B) : yx 1} halmazt. 12

19 K A 1 P K a q ábra. A martingálmérték geometriai interpretációja Fenti geometriai interpretációból világosan látszik, hogy egyrészt az ekvivalens martingálmértékek pontosan a C és A halmazokat elválasztó szeparáló hipersíkok egységnyi l 1 normájú normálvektorai, másrészt a C 0 egységnyi normájú elemeinek halmaza éppen az ekvivalens martingálmértékek halmazával egyezik meg. Minthogy az arbitrázselméletben nem beszélhetünk egyensúlyról, ígyhát egyensúlyi árról sem, ezért meg kell mondanunk, hogy ebben az esetben milyen értelemben beszélhetünk egy feltételes követelés áráról. A fenti modellben azt mondjuk, hogy egy f = (f 1, f 2 ) feltételes követelés arbitrázsmentes ára s, ha a modellt definiáló értékpapírpiacot kiegészítve az (f i s) /s, i = 1, 2 hozamú feletételes követeléssel mint értékpapírral, az így kapott kibővített piac arbitrázsmentes marad. Modellünkben egy f követelést replikálhatónak nevezünk, ha valamely H = (H 1, H 2 ) kereskedési stratégia kifizetése, vagyis H 1 + H 2 (1 + R) éppen f. 13

20 Megmutatjuk, hogy érvényes az ún. kockázatsemleges értékelés elve, miszerint tetszőleges replikálható f követelés arbitrázsmentes ára éppen az f követelésnek a q martingálmérték szerinti várható értéke. Mivel f előállítható a ( H 2, H 2 ) és a (H 1 + H 2, 0) stratégiák összegeként is, és ( H 2, H 2 ) kifizetése K-beli, ezért a fentiek alapján, és a várhatóérték képzésének linearitásából következik, hogy az f q szerinti várható értéke éppen H 1 + H 2, ami éppen a H kereskedési stratégiához szükséges kezdő vagyon. Ha az f követelés s ára nagyobb volna mint H 1 + H 2, akkor az f követelést eladva, e-mellett a H kereskedési stratégiát követve, továbbá s (H 1 + H 2 ) összeget a kockázatmentes kötvénybe fektetve, a kibővített piac egy olyan kereskedési stratégiáját kapjuk, amely s (H 1 + H 2 ) biztos kifizetést biztosít, ugyanakkor zérus kezdővagyon segítségével megvalósítható, vagyis arbitrázs. Ezzel beláttuk hogy az s nem lehet nagyobb mint az f q szerinti várható értéke. Hasonló arbitrázs megfontolásokkal belátható, hogy s nem lehet kisebb sem mint az f q szerinti várható értéke. Ahogy arra már korábban utaltunk, általános esetben nem az értékpapírok árfolyamata, hanem azok diszkontált árfolyamata lesz a martingálmérték szerint martingál. Ebben az esetben a kockázatsemleges értékelés elve azt mondja, hogy tetszőleges replikálható követelés arbitrázsmentes ára éppen a követelés diszkontált értékének valamely martingálmérték szerinti várható értéke. Természetesen előfordulhat, hogy bizonyos kifizetések az adott modellben nem replikálhatóak, vagyis a modell nem teljes. Ebben az esetben a feltételes követelések árazása nem oldható meg a befektetők preferenciáinak explicit szerepeltetése nélkül. Látni fogjuk, hogy az ekvivalens martingálmérték ebben az esetben is fontos szerepet játszik bizonyos portfolióválasztási döntések vizsgálatában. A bemutatott gondolatmenet minden különösebb bonyodalom nélkül kiterjeszthető a többdimenziós modellekre, mindaddig, amíg a probléma véges dimenziós marad, hiszen ezekben az esetekben a K halmaz triviálisan zárt, mivel tetszőleges topologikus vektortér véges dimenziós altere zárt. A releváns dinamikus sztochasztikus modellekben azonban pl. amikor az időhorizont végtelen, vagy az időparaméter folytonos, vagy csak egyszerűen nem végesen generált a valószínűségi mező a feltételes követelések tere tipikusan végtelen dimenziós, és ahogy funkcionálanalízisből tudjuk ilyenkor a matematikai problémák zöme topológiai természetű, így többek között a K zártsága sem fog automatikusan teljesülni, sőt ennek biztosítása teszi ki a bizonyítások túlnyomó részét. A bemutatott kétdimenziós példa jól mutatja az arbitrázsárazás lényegét, ám több szempontból félrevezető. A modell egy speciális vonása a véges számú perió- 14

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

Példa a report dokumentumosztály használatára

Példa a report dokumentumosztály használatára Példa a report dokumentumosztály használatára Szerző neve évszám Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítás 5 1.1. Események matematikai modellezése.............. 5 1.2. A valószínűség matematikai modellezése............

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

A származtatott termékek árazása és annak problémái az egyensúlyelmélet szempontjából

A származtatott termékek árazása és annak problémái az egyensúlyelmélet szempontjából Közgazdasági Szemle, LVI. évf., 2009. szeptember (769 789. o.) MEDVEGYEV PÉTER A származtatott termékek árazása és annak problémái az egyensúlyelmélet szempontjából A szerző röviden összefoglalja a származtatott

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8.

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8. Pénzügyi matematika Medvegyev Péter 13. szeptember 8. Az alábbi jegyzet a korábbi ötéves gazdaságmatematikai képzés keretében a Corvinus egyetemen tartott matematikai el adásaim kib vített verziója. A

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat

Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat PÉNZÜGYI MATEMATIKA Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat Algoritmuselmélet Algoritmusok bonyolultsága Analitikus módszerek a pénzügyekben Bevezetés az analízisbe Differential

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Általános algoritmustervezési módszerek

Általános algoritmustervezési módszerek Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Az Arbitrázs és árazó funkcionálok pénzügyi piacokon c. OTKA pályázat (F 49094) zárójelentése

Az Arbitrázs és árazó funkcionálok pénzügyi piacokon c. OTKA pályázat (F 49094) zárójelentése Az Arbitrázs és árazó funkcionálok pénzügyi piacokon c. OTKA pályázat (F 49094) zárójelentése Kutatásaimban tőzsdei származékos termékek (például opciók) árazását vizsgáltam. A pénzügyi matematika egyik

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál

Részletesebben

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még

Részletesebben

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói A matematikai feladatok és megoldások konvenciói Kozárné Fazekas Anna Kántor Sándor Matematika és Informatika Didaktikai Konferencia - Szatmárnémeti 2011. január 28-30. Konvenciók Mindenki által elfogadott

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

Adatbázis rendszerek 6.. 6. 1.1. Definíciók:

Adatbázis rendszerek 6.. 6. 1.1. Definíciók: Adatbázis Rendszerek Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Fotogrammetria és Térinformatika 6.1. Egyed relációs modell lényegi jellemzői 6.2. Egyed relációs ábrázolás 6.3. Az egyedtípus 6.4. A

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Gazdaságpolitika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem

Gazdaságpolitika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem modellje az adós büntetésével Gazdaságpolitika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Nyitott gazdaságok makroökonómiája 1. Bevezetés modellje az adós büntetésével Teljes piacok, Arrow-Debreu-értékpapírok

Részletesebben

13. A zöldborsó piacra jellemző keresleti és kínálati függvények a következők P= 600 Q, és P=100+1,5Q, ahol P Ft/kg, és a mennyiség kg-ban értendő.

13. A zöldborsó piacra jellemző keresleti és kínálati függvények a következők P= 600 Q, és P=100+1,5Q, ahol P Ft/kg, és a mennyiség kg-ban értendő. 1. Minden olyan jószágkosarat, amely azonos szükségletkielégítési szintet (azonos hasznosságot) biztosít a fogyasztó számára,.. nevezzük a. költségvetési egyenesnek b. fogyasztói térnek c. közömbösségi

Részletesebben

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI 19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI Ebben a fejezetben aszimptotikus (nagyságrendi) alsó korlátot adunk az összehasonlításokat használó rendező eljárások lépésszámára. Pontosabban,

Részletesebben

Automaták mint elfogadók (akceptorok)

Automaták mint elfogadók (akceptorok) Automaták mint elfogadók (akceptorok) Ha egy iniciális Moore-automatában a kimenőjelek halmaza csupán kételemű: {elfogadom, nem fogadom el}, és az utolsó kimenőjel dönti el azt a kérdést, hogy elfogadható-e

Részletesebben

Kockázatos pénzügyi eszközök

Kockázatos pénzügyi eszközök Kockázatos pénzügyi eszközök Tulassay Zsolt zsolt.tulassay@uni-corvinus.hu Tőkepiaci és vállalati pénzügyek 2006. tavasz Budapesti Corvinus Egyetem 2006. március 1. Motiváció Mi a fő különbség (pénzügyi

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: Kőhegyi Gergely, Horn Dániel. Szakmai felelős: Kőhegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: Kőhegyi Gergely, Horn Dániel. Szakmai felelős: Kőhegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon:

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: A Formális nyelvek vizsga teljesítése a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: 1. Öt kis kérdés megválaszolása egyenként 6 pontért, melyet minimum 12

Részletesebben

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz I. évfolyam BA TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz TÁVOKTATÁS 2015/2016-os tanév I. félév A KURZUS ALAPADATAI Tárgy megnevezése: Gazdasági matematika I. (Analízis) Tanszék: Módszertani

Részletesebben

JÁTÉKELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK

JÁTÉKELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK 1.Feladat JÁTÉKELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK Az alábbi kifizetőmátrixok három különböző kétszemélyes konstans összegű játék sorjátékosának eredményeit mutatják: 2 1 0 2 2 4 2 3 2 4 0 0 1 0 1 5 3 4 3

Részletesebben

Csercsik Dávid ITK PPKE. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 1 / 21

Csercsik Dávid ITK PPKE. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 1 / 21 Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea Csercsik Dávid ITK PPKE Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 1 / 21 1 Nash bargaining 2 Kooperatív játékok TU CFF játékok tulajdonságai

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

A kompetitív piac közelítése sokszereplős Cournot-oligopóliumokkal

A kompetitív piac közelítése sokszereplős Cournot-oligopóliumokkal A kompetitív piac közelítése sokszereplős Cournot-oligopóliumokkal Tasnádi Attila Kivonat Mikroökonómia tankönyvekből és példatárakból ismert, hogy egy homogén termékű Cournot-oligopol piacon a termelők

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal. PhD értekezés

Miskolci Egyetem. Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal. PhD értekezés Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal PhD értekezés Készítette: Lengyelné Szilágyi Szilvia Hatvany

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

OOP. Alapelvek Elek Tibor

OOP. Alapelvek Elek Tibor OOP Alapelvek Elek Tibor OOP szemlélet Az OOP szemlélete szerint: a valóságot objektumok halmazaként tekintjük. Ezen objektumok egymással kapcsolatban vannak és együttműködnek. Program készítés: Absztrakciós

Részletesebben

Multinomiális és feltételes logit modellek alkalmazásai

Multinomiális és feltételes logit modellek alkalmazásai Multinomiális és feltételes logit modellek alkalmazásai Mikroökonometria, 10. hét Bíró Anikó A tananyag a Gazdasági Versenyhivatal Versenykultúra Központja és a Tudás-Ökonómia Alapítvány támogatásával

Részletesebben

Chomsky-féle hierarchia

Chomsky-féle hierarchia http://www.ms.sapientia.ro/ kasa/formalis.htm Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezetű), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

1/50. Teljes indukció 1. Back Close

1/50. Teljes indukció 1. Back Close 1/50 Teljes indukció 1 A teljes indukció talán a legfontosabb bizonyítási módszer a számítástudományban. Teljes indukció elve. Legyen P (n) egy állítás. Tegyük fel, hogy (1) P (0) igaz, (2) minden n N

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Amortizációs költségelemzés

Amortizációs költségelemzés Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Termeléstervezés és -irányítás Termelés és kapacitás tervezés Xpress-Mosel FICO Xpress Optimization Suite

Termeléstervezés és -irányítás Termelés és kapacitás tervezés Xpress-Mosel FICO Xpress Optimization Suite Termeléstervezés és -irányítás Termelés és kapacitás tervezés Xpress-Mosel FICO Xpress Optimization Suite Alkalmazásával 214 Monostori László egyetemi tanár Váncza József egyetemi docens 1 Probléma Igények

Részletesebben

(Solid modeling, Geometric modeling) Testmodell: egy létező vagy elképzelt objektum digitális reprezentációja.

(Solid modeling, Geometric modeling) Testmodell: egy létező vagy elképzelt objektum digitális reprezentációja. Testmodellezés Testmodellezés (Solid modeling, Geometric modeling) Testmodell: egy létező vagy elképzelt objektum digitális reprezentációja. A tervezés (modellezés) során megadjuk a objektum geometria

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Geometriai axiómarendszerek és modellek

Geometriai axiómarendszerek és modellek Verhóczki László Geometriai axiómarendszerek és modellek ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék Budapest, 2011 1) Az axiómákra vonatkozó alapvető ismeretek Egy matematikai elmélet felépítésének

Részletesebben

Kaposi Ambrus. University of Nottingham Functional Programming Lab. Hackerspace Budapest 2015. január 6.

Kaposi Ambrus. University of Nottingham Functional Programming Lab. Hackerspace Budapest 2015. január 6. Bizonyítás és programozás Kaposi Ambrus University of Nottingham Functional Programming Lab Hackerspace Budapest 2015. január 6. Bizonyítás, érvelés Példa: sáros a csizmám ha vizes a föld, esett az eső

Részletesebben

Az Országos kompetenciamérés (OKM) tartalmi kerete. a 20/2012. (VIII. 31.) EMMI rendelet 3. melléklete alapján

Az Országos kompetenciamérés (OKM) tartalmi kerete. a 20/2012. (VIII. 31.) EMMI rendelet 3. melléklete alapján Az Országos kompetenciamérés (OKM) tartalmi kerete a 20/2012. (VIII. 31.) EMMI rendelet 3. melléklete alapján Az OKM tartalmi keret Célja: definiálja azokat a tényezőket és szempontrendszereket, amelyek

Részletesebben

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba I. előadás Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva Informatika Tanszék A 602 szoba Tárggyal kapcsolatos anyagok megtalálhatók: http://www.sze.hu/~egertne Konzultációs idő: (páros tan. hét) csütörtök 10-11 30

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 3. hét A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 3. hét A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK KÖZGAZDASÁGTAN I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Közgazdaságtan 1. A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára Szakmai felel s: K hegyi Gergely

Részletesebben

Véletlen gráfok. Példák: Kávéra vizet öntünk és alul kifolyik a víz: Olaj vagy víz átszívárgása egy kőzetrétegen:

Véletlen gráfok. Példák: Kávéra vizet öntünk és alul kifolyik a víz: Olaj vagy víz átszívárgása egy kőzetrétegen: Virág Bálint Véletlen Gráfok/1 Véletlen gráfok Példák: Kávéra vizet öntünk és alul kifolyik a víz: Olaj vagy víz átszívárgása egy kőzetrétegen: Mind az olaj, mind a víz bekerül egy rendszerbe, mely makroszinten

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

Természettudományi Kar. Kornis Kristóf. Matematika BSc Matematikus szakirány. Szakdolgozat. Témavezető: Arató Miklós egyetemi docens. Budapest, 2014.

Természettudományi Kar. Kornis Kristóf. Matematika BSc Matematikus szakirány. Szakdolgozat. Témavezető: Arató Miklós egyetemi docens. Budapest, 2014. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kornis Kristóf Matematika BSc Matematikus szakirány Opciók Szakdolgozat Témavezető: Arató Miklós egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika

Részletesebben

Új típusú döntési fa építés és annak alkalmazása többtényezős döntés területén

Új típusú döntési fa építés és annak alkalmazása többtényezős döntés területén Új típusú döntési fa építés és annak alkalmazása többtényezős döntés területén Dombi József Szegedi Tudományegyetem Bevezetés - ID3 (Iterative Dichotomiser 3) Az ID algoritmusok egy elemhalmaz felhasználásával

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Értékesítések (összes, geográfiai -, ügyfelenkénti-, termékenkénti megoszlás)

Értékesítések (összes, geográfiai -, ügyfelenkénti-, termékenkénti megoszlás) Saját vállalkozás Értékesítések (összes, geográfiai -, ügyfelenkénti-, termékenkénti megoszlás) Piaci részesedés Haszonkulcs Marketing folyamatok Marketing szervezet Értékesítési/marketing kontrol adatok

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

IFJÚSÁG-NEVELÉS. Nevelés, gondolkodás, matematika

IFJÚSÁG-NEVELÉS. Nevelés, gondolkodás, matematika IFJÚSÁG-NEVELÉS Nevelés, gondolkodás, matematika Érdeklődéssel olvastam a Korunk 1970. novemberi számában Édouard Labin cikkét: Miért érthetetlen a matematika? Egyetértek a cikk megállapításaival, a vázolt

Részletesebben

Atomataelmélet: A Rabin Scott-automata

Atomataelmélet: A Rabin Scott-automata A 19. óra vázlata: Atomataelmélet: A Rabin Scott-automata Az eddigieken a formális nyelveket generatív szempontból vizsgáltuk, vagyis a nyelvtan (generatív grammatika) szemszögéből. A generatív grammatika

Részletesebben

Analízis lépésről - lépésre

Analízis lépésről - lépésre Analízis lépésről - lépésre interaktív tananyag Dr. Stettner Eleonóra Klingné Takács Anna Analízis lépésről - lépésre: interaktív tananyag írta Dr. Stettner Eleonóra és Klingné Takács Anna Tartalom Előszó...

Részletesebben

A sorozatok az egyetemen és a középiskolákban

A sorozatok az egyetemen és a középiskolákban A sorozatok az egyetemen és a középiskolákban Szakdolgozat Készítette: Piliszky András Matematika BSc, Matematika tanári szakirány Témavezető: Munkácsy Katalin, főiskolai docens ELTE TTK, Matematikatanítási

Részletesebben

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Vállalkozási finanszírozás kollokvium Harsányi János Főiskola Gazdaságtudományok tanszék Vállalkozási finanszírozás kollokvium F Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 43 50 pont jeles 35 42 pont jó 27 34 pont közepes 19 26

Részletesebben

Diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok

Diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok Diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok In English Integer Programming - IP Zero/One (boolean) programming 2007.03.12 Dr. Bajalinov Erik, NyF MII 1 Diszkrét és egészértékű változókat tartalmazó feladatok

Részletesebben

Száz János. Computer finance. Oktatás, válság, martingálok

Száz János. Computer finance. Oktatás, válság, martingálok Száz János Computer finance Oktatás, válság, martingálok Bologna, SPM, BPM 90-es évek: az angol atomfizikus phd-sok több mint fele befektetési bankba ment dolgozni Bologna a Közgázon: 50 év után nincs

Részletesebben

Automaták és formális nyelvek

Automaták és formális nyelvek Automaták és formális nyelvek Bevezetés a számítástudomány alapjaiba 1. Formális nyelvek 2006.11.13. 1 Automaták és formális nyelvek - bevezetés Automaták elmélete: információs gépek általános absztrakt

Részletesebben