PANNON EGYETEM DOKTORI ISKOLA

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "PANNON EGYETEM DOKTORI ISKOLA"

Átírás

1 PANNON EGYETEM GAZDÁLKODÁS- ÉS SZERVEZÉSTUDOMÁNYOK DOKTORI ISKOLA Badics Tamás ARBITRÁZS ÉS MARTINGÁLMÉRTÉK PhD értekezés Témavezető: Dr. Medvegyev Péter Veszprém, 2011.

2 ARBITRÁZS ÉS MARTINGÁLMÉRTÉK Értekezés a PhD fokozat elnyerése érdekében a Pannon Egyetem Gazdálkodás- és Szervezéstudományok Doktori Iskolájához tartozóan Írta: Badics Tamás A jelölt a doktori szigorlaton 100%-ot ért el, Az értekezést bírálóként elfogadásra javaslom: Bíráló neve: igen/nem... (aláírás) Bíráló neve: igen/nem... (aláírás) Bíráló neve: igen/nem... (aláírás) A jelölt az értekezés nyilvános vitáján... %-ot ért el. Veszprém... (a Bíráló Bizottság elnöke) A doktori oklevél minősítése (az EDT elnöke)

3 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés Az alaptétel Az értekezés felépítése és újszerű eredményei A Delbaen Schachermayer-tétel előzményei Az általános egyensúlyelmélettől az arbitrázsárazásig Az Arrow Debreu-egyensúly A Radner-egyensúly Arbitrázsmentesség Életképesség és a Kreps Yan-tétel A sztochasztikus folyamatok általános elmélete A pénzpiac modellje több periódus esetén Pénzpiac végesen generált valószínűségi mező esetén Önfinanszírozó kereskedési stratégiák Ármérce-invariancia Az arbitrázs fogalma A Dallang Morton Willinger-tétel Folytonos idejű pénzpiacok Önfinanszírozó portfóliók Ármérce invariancia Alaptétel szemimartingál modellben Néhány előzetes eredmény A kompaktsági lemma Az L 0 korlátos és zárt részhalmazainak van maximális eleme 73 i

4 Gyenge* topológia és a sztochasztikus konvergencia Mémin tételére való visszavezetés A sztochasztikus integrálok értékének kiterjesztése a végtelenbe A lehetséges kaszálások terének korlátossága A C 0 Fatou-zártsága és a C gyenge* zártsága A maximális elem és a Fatou-zártság A közelítő sorozatok egyenletes konvergenciája A szemimartingál topológiában konvergens sorozat létezése Új mértékre való áttérés Néhány egyszerű becslés Néhány szörnyű becslés A szemimartingál topológiában konvergens sorozat meghatározása Az alaptétel többdimenziós szemimartingál modellek esetén Martingálmérték és optimális portfóliók A portfolió választás duális megközelítése véges dimenzió esetén A haszonmaximalizációs probléma A minimaxmérték Lagrange-dualitás A portfolióválasztás duális megközelítése végtelen dimenzió esetén A C kúp és a martingálmértékek halmaza közti duális kapcsolat A haszonmaximalizálási probléma és a duálisa A minimaxmérték A Frittelli-féle alaptétel Arbitrázs és preferenciák A sztochasztikus dominancia A no market free lunch fogalma Az alaptétel Arbitrázsfogalmak karakterizációja Az arbitrázsmentesség és NFLVR Az Orlicz-terek elmélete ii

5 7.3. A "nincs ingyenebéd" feltétel Az életképesség egy újabb megközelítése Az állapotár deflátor és az egy ár törvénye Az egy ár törvénye kétperiódusos modellben Állapotár deflátor és kockázati prémium Az egy ár törvényének karakterizációja Összegzés További kutatási lehetőségek 168 A szerzőnek az értekezés témájához kapcsolódó publikációi 170 Irodalom 171 iii

6 Ábrák jegyzéke 1.1. A martingálmérték geometriai interpretációja Konkáv függvény duális leírása iv

7 Abstract This dissertation deals with the foundation of the theory of asset pricing in a frictionless market under the most general assumptions. At this level of abstraction, the pricing techniques, treated in the known monographs on mathematical finance (e.g. [80], [33], [60] and [9]) do not work, so the semimartingale theory consists mainly of existence statements. One of the most important problem of asset pricing is the mathematical characterization of the economically consistent models of financial markets. From the economic point of view the assumption of no-arbitrage i.e. the assumption that one cannot do business in which one can only gain with strictly positive probability but without exposure to risk seems a fairly mild condition and it is astonishing what far-reaching consequences it has. Under the Fundamental Theorem of Asset Pricing we mean such types of statements which assert an equivalence between the above-mentioned consistency condition and some mathematical properties of the stochastic process describing asset prices. The fundamental theorem of asset pricing, loosely speaking, asserts that the absence of arbitrage is equivalent to the existence of an equivalent probability measure, under which the discounted price process is a "martingale", which means that there is a new fictive probability the martingale measure under which one can t systematically gain on average. It will be showed, the martingale measure play important role both in the theory of complete and incomplete markets. The aim of the dissertation is to survey the literature and the mathematical and economic antecedents of the fundamental theorem of asset pricing for semimartingale models, to present a didactic unified treatment of the semimartingale approach of asset pricing and to simplify some of the original proofs. A new feature of the dissertation is that it does not focus on questions of pricing but on the relations of the arbitrage theory and the classical theory of economics.

8 Estratto Questa tesi si occupa della fondazione della teoria della valutazione mezzi finanziari in un mercato privo di attrito sotto l ipotesi più generale. A questo livello di astrazione, le tecniche di valutazione, trattati nelle monografie noti sulla finanza matematica ([80], [33], [60] e [9]) non funzionano, quindi la teoria semimartingala consiste principalmente di dichiarazioni esistenzali. Uno dei problemi più importanti della valutazione è la caratterizzazione matematica dei modelli economicamente coerenti dei mercati finanziari. Dal punto di vista economico l assunzione di non-arbitraggio - cioè l ipotesi che non si puˇn fare business in cui si può solo guadagnare con probabilità strettamente positiva, ma senza esposizione al rischio - sembra una condizione abbastanza mite, ed è sorprendente quanto sono lontane le conseguenze di vasta portata che ha. Sotto il teorema fondamentale di valutazione si intende che questi tipi di dichiarazioni che affermano un equivalenza tra la condizione di coerenza di cui sopra e alcune proprietà matematiche del processo stocastico che descrivono i prezzi dei mezzi. Il teorema fondamentale di valutazione, in un senso non troppo preciso, afferma che l assenza di arbitraggio è equivalente alla esistenza di una misura di probabilità equivalente, sotto il quale il processo di prezzo scontato è una "martingala", che significa che c è una probabilità nuova fittizia - la martingala misura - in cui non si può sistematicamente guadagnare in media. Sarà mostrato che la misura martingala ha un ruolo molto importante sia nella teoria dei mercati completi che in quelle incompleti. Lo scopo della tesi è quello di una rassegna della letteratura e degli antecedenti matematici ed economici del teorema fondamentale di valutazione per i modelli semimartingale, e presentare un trattamento didattico unificato dei semimartingale approccio della valutazione e di semplificare alcune delle prove originali. Una nuova caratteristica del lavoro di tesi è che non si concentra su una questione

9 della valutazione, ma sulle relazioni tra la teoria arbitraggio e la teoria classica dell economia. 3

10 Kivonat Jelen értekezés a súrlódásmentes pénzpiacon történő árazás elméletének alapjaival foglalkozik, a lehető legáltalánosabb, szemimartingál árfolyamatokon alapuló megközelítésben. Az absztrakciónak ezen a szintjén az ismert pénzügyi matematikáról szóló monográfiák (ld. pl.: [80], [33], [60] és [9]) által tárgyalt speciális árazási eljárások legtöbbje már nem működik, így a szemimartingálokra vonatkozó elmélet elsősorban egzisztencia bizonyításokból áll. Az eszközárazás elméletének egyik legalapvetőbb kérdése, hogy egy pénzpiaci modellt mikor tekintünk közgazdasági szempontból konzisztensnek és milyen matematikai tulajdonságokkal karakterizálható egy ilyen modell. Közgazdasági szempontból az arbitrázsmentesség feltevése, vagyis az a feltevés, hogy a pénzpiacon nem köthetünk olyan üzletet amin pozitív valószínűséggel nyerünk, anélkül hogy bármit is kockáztatnánk, nem tűnik túlságosan megszorítónak, és egészen megdöbbentő, hogy milyen szerteágazó következtetéseket lehet levonni ebből az ártalmatlannak tűnő feltevésből. A pénzügyi eszközök árazásának alaptételén általában olyan típusú állításokat értünk, amelyek a konzisztencia fenti közgazdasági követelményének és a pénzpiacot pontosabban az eszközök árait leíró sztochasztikus folyamat valamely matematikai tulajdonságának ekvivalenciájáról szólnak. A legtöbb modellben bizonyítható annak az általános elvnek valamilyen formája, miszerint az arbitrázsmentesség feltevése ekvivalens azzal az állítással, miszerint a létezik egy olyan valószínűség, amiszerint az értékpapírok diszkontált árfolyamata egy bizonyos értelemben martingál. Mint látni fogjuk, az ún. martingálmérték mind a teljes, mind a nemteljes piacok elméletében fontos szerepet játszik. Jelen értekezés célja részben az alaptétel szemimartingálokra vonatkozó irodalmának, valamint közgazdaságtani és matematikai előzményeinek áttekintése, részben pedig a szemimartingálokra vonatkozó elmélet didaktikus egységes keretben való tárgyalása, helyenként pedig az eredeti cikkekben található bizonyítások egy-

11 szerűsítése. Az értekezés egy újszerű vonása, hogy nem az árazás kérdésére öszpontosít, hanem az arbitrázselmélet és a klasszikus közgazdaságtan kapcsolódási pontjait kívánja hangsúlyozni. 5

12 1. fejezet Bevezetés 1.1. Az alaptétel A közgazdasági elmélet központi eleme a hatékony piacok elmélete, vagy ahogyan az elméletet vitatók nevezni szokták a piaci fundamentalizmus. Ez a széles körben használt gondolatrendszer képezi a pénzügyi eszközök árazásának, illetve a rá épülő piaci kockázatkezelés gyakorlatának hátterét. A gondolatrendszer három alapvető feltételre épül. Az egyik a teljesség feltételezése, a másik az arbitrázs hiányának megkövetelése, a harmadik pedig a tranzakciós költségek elhanyagolhatósága. Mind a három inkább egy elv mint egy konkrétan megfogható matematikai állítás. A teljesség feltétele némiképpen elnagyoltan azt mondja ki, hogy a piacokon levő nagyszámú eszköz között jelentős redundancia van. Éppen ezért elegendő a termékek egy szűk csoportjának, az alaptermékeknek megfigyelni az árát, a többi termék ára már ezekből matematikai úton leszármaztatható. A leszármaztathatóság oka az arbitrázsmentesség és a tranzakciós költségek hiánya. A matematikai, úgymond képletszerű kapcsolat esetén az elhanyagolható tranzakciós költségek miatt a teljesség által garantált matematikai összefüggés alapján az alaptermékekből létrehozható, kikeverhető egy kompozit termék, amely úgymond replikálja az eredeti terméket és így a két termék ára meg kell hogy egyezzen. Két azonos méretű és korú tojás ára azonos kell, hogy legyen, függetlenül attól, hogy melyik tyúk tojta. Ellenkező esetben úgymond arbitrálni lehetne, vagyis az olcsóbb terméket meg lehetne venni, és a vele azonos tulajdonságú de drágább terméket el lehetne adni és így biztos profitra lehetne szert tenni. Közgazdasági szempontból természetesen mind a három feltétel vitatható, különösen a korlát- 6

13 lan és kontrolálatlan használatuk problémás. Ugyanakkor ezek az elvek mélyen és alapvetően meghatározzák a pénzügyi világ gondolatrendszerét, ahogyan a piaci szereplők a piacot látják, vagy látni vélik. A pénzügyi szektor legfőbb tevékenysége éppen a redundancia feltárásában van 1. A redundanciára épülő fedezéssel a kockázat csökkenthető, illetve a termékekben levő kockázatok elvileg átcsomagolhatóak és az egyes piaci szereplők számára diverzifikáltan kínálhatók. Még a naiv intuició alapján is érezhető, hogy a három feltétel közül a teljesség feltétele a leginkább vitatható. Természetesen a kulcskérdés az, hogy milyen eszközök állnak rendelkezésünkre a kompozit termék kialakításakor. Matematikailag milyen transzformációk használhatók amikor a redundanciát ki akarjuk aknázni? Modellezési oldalról ez úgy fogalmazható meg, hogy milyen operációk engedhetők meg a kompozit termékek előállításakor? Természetesen minél bővebb és minél vadabb matematikai eszközöket engedünk meg, annál szélesebb lesz az előállítható termékek köre. Így tehát adott modellen belül beszélhetünk csak a teljességről. Nyilvánvaló módon a matematikai modellekben szereplő előállíthatóság és a tényleges előállíthatóság nem fedi egymást. Már az egyszerű lineáris kombináció is olyan kompozit termékeket enged meg, amelyek a valóságban nem realizálhatóak. Például hogyan állítjuk elő két termék irracionális súlyokkal vett lineáris kombinációját? És akkor még nem is említettük a sztochasztikus integrálok különböző osztályait és egyéb, a területen alapvető műveleteket, amikor az előállíthatóságot egy időben folytonosan változó súlyrendszerrel valósítjuk meg 2. Nyilván a közgazdasági elmélet azon aspektusai kerülnek be a matematikai modellekbe, amelyek a matematika eszköztárával jól kezelhetők. Érdekes módon az alapvető teljesség feltétele matematikailag nehezebben tárgyalható, így a vezető matematikusok inkább az arbitrázsmentesség feltételére koncentráltak. Ennek oka, hogy az arbitrázsmentesség gondolata jól beilleszthető a modern matematika egyik központi elméletébe, a dualitáselméletbe. Jelen értekezésben kizárólag az arbitrázsmentesség feltételére fogunk koncentrálni, és a teljesség feltételével nem kívánunk élni. Az arbitrázsmentesség végső soron azt állítja, hogy a lehetséges kompozit termékek között csak egy olyan van, amely nem negatív, nevezetesen az azonosan 1 A fel nem tárt redundancia mögött általában a piac nem kellő hatékonysága áll, amit ki lehet használni és így közvetett módon a hatékonyságot növelni lehet. Legalábbis ez az ideológia. 2 Úgymond dinamikusan fedezünk, vagyis folyamatosan minden időpontban más és más, nyilván irracionális súlyokkal replikáljuk az adott pénzügyi eszközt. Vagyis már maga a redundancia fogalma is az alkalmazott matematikai fogalomrendszer keretében értelmezhető. 7

14 nulla 3. Vagyis az arbitrázsmentesség azt állítja, hogy két halmaz csak egy közös pontban metszi egymást 4. A közgazdasági matematikában triviálisan ismert észrevétel, hogy ez a helyzet jól jellemezhető a szeparáló hipersíkokról szóló tétellel 5. A tétel használatához két dolgot kell tenni: biztosítani kell, hogy a halmazok konvexek és hogy zártak legyenek. A konvexitás feltétele általában viszonylag egyszerűen garantálható, elég feltenni, hogy a lehetséges stratégiák konvex módon kombinálhatók legyenek. A dolog emlékeztet a játékelmélet kevert stratégiáinak bevezetésére. A stratégiai halmazok konvexitása egy olyan bevett és rutinszerűen használt feltétel a közgazdasági elméletben, amelynek használata jószerével már fel sem tűnik. Míg a stratégiai halmazok konvexitása például az általános egyensúlyelméletben széles körben használt, de azért vitatott feltétel, a pénzügyi elméletben minden további nélkül elfogadott 6. A pénzügyi elméletben a konvexitás eléréséhez egyedül azt kell feltenni, hogy a pénzügyi termékekből szabadon portfoliót lehet csinálni, vagyis szabadon vehetjük a termékek lineáris kombinációit. Az egyedüli újszerűnek mondható probléma, hogy vehetjük-e a termékek negatív együtthatóval vett kombinációit vagy sem 7. Miként látni fogjuk a probléma az elválasztandó halmazok zártságával van, amely zártság biztosítása az alább ismertetett tételek bizonyításának legfőbb nehézsége. Ennek oka, hogy természetes módon a pénzügyi elmélet valószínűségi változókkal foglalkozik, és valószínűségi változók esetén már magának a konvergenciának a fogalma sem egyértelmű. Másképpen fogalmazva a pénzügyi elmélet megalapozását adó arbitrázstételek matematikai szempontból lényegében megegyeznek a közgazdasági elmélet területén használt szokásos dualitási eszköztárral. 3 Vagyis nem lehet olyan portfoliót összeállítani, amely egy valószínűséggel nem negatív miközben pozitív valószínűséggel pozitív. 4 Egészen pontosan arról van szó, hogy a lehetséges portfoliók halmaza és a nem negatív valószínűségi változók halmaza csak egy pontban a nulla pontban metszik egymást. 5 Ezt az elvet számtalan tételben használjuk. Jószerével ez az első olyan gondolat, amivel egy matematikus közgazdász tanulmányai során megismerkedik. A lineáris programozás dualitási tétele, a jóléti közgazdaságtan második tétele, a Kuhn Tucker tételek, a játékelmélet nyeregponttételei stb. Dualitáselmélet alatt azokat a matematikai eredményeket értjük, amelyek a konvex halmazok hipersíkkal való elválaszthatóságára épülnek. 6 Valójában a konvexitás a pénzügyi eszközök területén jóval természetesebb mint az általános egyensúlyelméletben. Az oszthatatlanság megkövetelése mindig is az általános egyensúlyelmélet kritikájának egyik eleme volt. Az oszthatatlanság kérdése a pénzügyekben nem játszik szerepet. 7 Érdekes módon a matematikai elméletben az egyik legfontosabb közgazdaságilag inspirált áttörés a feltételes optimalizációban a nem negatív változók bevezetése és az ebből eredő komplikációk kezelése volt. Ez nagyban hozzájárult a konvex analízis kidolgozásához. Mivel a pénzügyekben az egyes változók lehetnek negatívak is, a stratégia halmazok általában alterek, ami a tárgyalást egyszerűsíti. 8

15 A matematikai eszköztár elvi szintjén az eltérés egyedül abból származik, hogy mivel a modellek dinamikusak és sztochasztikusak is, ezért a matematikai objektumok, amelyek körében a konvex analízis szokásos gondolatait alkalmazni kell, matematikailag nagyon bonyolultak. A szeparáló sík közgazdasági interpretációja mindig is a közgazdasági elmélet központi kérdése volt 8. Az általános és rutinszerűen használt válasz az, hogy a szeparáló sík az egyensúlyi árakat, vagy valamilyen szempontból az optimális árakat írja le. Az arbitrázselméletben a szeparáló hipersík mint martingálmérték jelenik meg. A martingálmérték a Lagrange-szorzók dinamikus, sztochasztikus környezetbeli párja. Jelen értekezés, az eszközárazás egyik központi problémájára, a martingálmérték létezésére vonatkozó irodalom áttekintésével, az arbitrázselmélet egyik matematikailag legmélyebb területének és a klasszikus közgazdaságtannak a kapcsolódási pontjait igyekszik feltárni. Az arbitrázselmélet egyik központi fogalma a martingál, ami a sztochasztikus folyamatok egy igen speciális osztályát jelöli. A martingál tulajdonság lényege legegyszerűbben a számegyenesen vett véletlen bolyongás fogalmából kiindulva érthető meg. Képzeljük el, hogy az origóból kiindulva, minden periódusban egyenlő valószínűséggel vagy jobbra vagy balra lépünk egyet. Ekkor minden t-re, a t- edik időpontbeli helyzetünk egy valószínűségi változó. Ha történetesen a t-edik időpillanatban a számegyenes a pontjában vagyunk, akkor a következő pillanatban a helyzetünk várható értéke éppen a lesz, és ez természetesen független attól, hogy hogyan jutottunk az a helyzetbe. A martingál tulajdonság a véletlen bolyongás ezen tulajdonságának egy általánosítása. Kissé leegyszerűsítve a dolgot, a valószínűségi változók egy X(1), X(2),... sorozata martingál, ha minden t-re igaz, hogy X(t) = a esetén az X(t + 1) várható értéke is éppen a. Kissé formálisabb jelölést használva E [X(t + 1) F t ] = X(t), ahol F t σ-algebra jelöli a befektetők információs struktúráját a t-edik időpontban. 9 A pénzügyi eszközök árazásának alaptétele 10 kissé pongyolán megfogalmazva azt állítja, hogy egy értékpapírpiacon akkor nincs arbitrázs, ha létezik egy az eredetivel ekvivalens valószínűségi mérték 11, amelyre vonatkozóan az értékpapírok 8 Gondoljunk csak a lineáris programozás duális megoldásának interpretációjára, vagy a Lagrange szorzók közgazdasági tartalmára. 9 Ld.: 10. definíció. 10 A fundamental theorem of asset pricing elnevezést a fentihez hasonló értelemben először P. H. Dybvig és R. A. Ross [31] használta. 11 Két mérték ekvivalenciája azt jelenti, hogy mindkét mérték szerint ugyanazok a nullmértékű halmazok. 9

16 diszkontált árait leíró folyamat egy bizonyos értelemben martingál (ld. 24., 26. és 31. tétel), vagyis létezik olyan új valószínűségi mérték, amely alatt pénzügyi eszközök segítségével nem lehet szisztematikusan átlagban nyerni. Hogy egészen pontosak legyünk, az állítás ebben a formában inkább csak egy alapelv, ami akkor válik ténylegesen igazolható állítássá, ha pontosan definiáljuk az arbitrázsmentesség és martingál" fogalmakat. Mint látni fogjuk, ezek pontos tartalma modellosztályonként eltérő lehet. Ezen a ponton érdemes egy nyilvánvaló, de azért igen fontos megjegyzést tenni. A tétel nem azt állítja, hogy a pénzügyi eszközök az arbitrázs hiánya esetén martingált alkotnak, vagyis hogy hosszú idő átlagában nem lehet rajtuk pénzügyi eszközökkel nyerni 12. A martingál tulajdonság kikényszerítéséhez két dolgot kell tenni. Egyrészt a folyamatokat diszkontálni kell, másrészt az egyes kimenetelekhez tartozó valószínűségeket ki kell cserélni egy mesterséges valószínűségre. Vagyis az egyes kimenetelek esetén elérhető nyereségeket és veszteségeket nem azok bekövetkezésének tényleges valószínűsége szerint kell súlyozni, hanem egy mesterségesen vett súlyrendszer szerint. A két mérték ekvivalenciája azt jelenti, hogy a pozitív valószínűségű halmazok súlya nem lesz nulla és fordítva. A szeparáló sík az új és a régi valószínűségek arányát adja meg. Mit jelent az, ha egy halmaz valószínűsége a kétszeresére nőtt és mit jelent az, ha a felére csökkent? Az elmélet a maga tiszta voltában erre nem ad választ, pusztán annyit mond, hogy az alkalmas súlyok megadhatóak 13. Másképpen a nincsen arbitrázs feltétel, vagyis hogy két alkalmas konvex halmaznak nincsen közös pontja, a modell megfelelően specifikált feltételei miatt pontosan azt jelenti, hogy van elválasztó sík, amely normálisának segítségével az egyes valószínűségeket ténylegesen átskálázva az eredeti folyamat az átskálázott valószínűségek esetén hosszú idő átlagában pusztán pénzügyi eszközökkel nem lesz manipulálható. A matematikai alapprobléma szemléltetéséhez tekintsünk egy olyan kétperiódusos pénzpiaci modellt, ahol az állapottér az Ω = {ω 1, ω 2 } kételemű halmaz. A P valószínűségi mértéket a p = (p 1, p 2 ) vektor reprezentálja, ahol p 1 = P({ω 1 }) > 0, 12 Nyilván lehet. A martingál tulajdonságot sok esetben félreértik. Hosszú idő átlagában a valós valószínűségekhez tartozó valós világban lehet pozitív nyereséget biztosítani. Ezt a matematikai fantáziavilágban létező martingálmérték alatt nem lehet megcsinálni. De senki sem állítja, hogy a két valószínűség azonos. A martingálmérték a nyerő esetek valószínűségét csökkenti, a veszteségekét növeli, így az esélyeket átlagban kiegyenlíti. Az arbitrázs hiánya csak bizonyos igen enyhe konzisztencia feltételt ír elő, de a konzisztencia feltételek közé nem tartozik az, hogy hosszú idő átlagában nem lehet nyerni. 13 Ezek a súlyok kulcsszerepet játszanak a származtatott termékek árazásában, de erre most nem térünk ki. Az ekvivalencia azt jelenti, hogy a súlyok, arányok kiszámolásakor nem lép fel semmilyen nullával való osztásból származó probléma. 10

17 p 2 = P({ω 2 }) > 0, P( ) = 0 és P({ω 1, ω 2 }) = 1. Ekkor az Ω feletti valószínűségi változók halmaza éppen az R 2, és a fentiek alapján az x R 2 valószínűségi változó várható értéke a px skaláris szorzat. Tegyük fel, hogy a pénzpiacon egy nulla kamatozású kockázatmentes kötvénnyel és egy kockázatos értékpapírral lehet kereskedni, és a kockázatos értékpapír hozama a fenti Ω halmazon értelmezett R valószínűségi változóval írható le. Ekkor rendre H 1 és H 2 -vel jelölve az első periódusban kötvénybe illetve kockázatos értékpapírba fektetett pénzmennyiséget, a H = (H 1, H 2 ) kereskedési stratégia kifizetése nyilván a H 1 +H 2 (1+R) valószínűségi változó. A fenti modellben feltételes követelésnek nevezzük az R 2 beli elemekkel reprezentálható f = (f 1, f 2 ) kifizetéseket, melyek p 1 valószínűséggel f 1 és p 2 valószínűséggel f 2 kifizetést biztosítanak a követelés birtokosának. Jelöljük A-val a zérusvektortól különböző nemnegatív koordinátájú R 2 -beli elemek halmazát, valamint K-val a nulla induló vagyonnal megvalósítható összes lehetséges kereskedési stratégiák kifizetéseinek halmazát, vagyis azon H 1 +H 2 (1+R) kifizetéseket melyekre H 1 +H 2 = 0. Ekkor azt mondjuk hogy nincs arbitrázs, ha K A =, vagyis ha nulla induló vagyon segítségével nem juthatunk olyan második periódusbeli véletlen kifizetéshez, mely minden kimenetel esetén nemnegatív, és legalább egy kimenetel esetén pozitív értékű. Például az (1, 1) vagy az (1, 0), illetve az (0, 1) kifizetés vektorok vagyis feltételes követelések arbitrázst tartalmaznak, ugyanis pozitív valószínűséggel nyereséget biztosítanak, miközben a veszteség valószínűsége nulla. Vegyük észre, hogy ez nem függ a valószínűségi mérték megválasztásától, mindaddig, amíg egyik kimenetel valószínűsége sem nulla, vagyis amíg a szóban forgó valószínűség az eredetivel ekvivalens. Következésképpen a piac arbitrázsmentességének tulajdonsága invariáns az ekvivalens valószínűségi mérték megválasztására vonatkozóan. Ez a megfigyelés motiválja a következő jelölés bevezetését. Jelöljük P -vel az x 1 > 0, x 2 > 0 és x 1 + x 2 = 1 feltételeknek elegettevő R 2 -beli (x 1, x 2 ) elemek halmazát. Ez utóbbi halmaz geometriailag egy olyan nyílt szakasszal reprezentálható, melynek végpontjai (0, 1) és (1, 0) (ld.: 1.1. ábra). A P halmaz elemeihez, csakúgy mint a (p 1, p 2 ) vektor esetében láttuk egyértelműen hozzá tudunk rendelni egy valószínűségi mértéket 14. Minden ilyen mérték ekvivalens lesz a P valószínűségi mértékkel, hiszen mindkét mérték szerint csak az üres halmaz nulla valószínűségű, sőt könnyen belátható, hogy minden P-vel ekvi- 14 Minden (x 1, x 2 ) P vektort azonosítsunk azzal a valószínűségi mértékkel, mely szerint az ω 1 kimenetel valószínűsége x 1 és az ω 2 valószínűsége x 2. 11

18 valens valószínűségi mérték P -beli elemmel reprezentálható. 15 Érdemes hangsúlyozni, hogy ha nincs arbitrázs, akkor a ( 1, 1) szintén nem lehet eleme a K-nak ugyanis a pénzügyekben ha valamely változó megengedett, akkor általában a negatívja is megengedett, mivel az egyik vektor a termék vételét, a másik az eladását reprezentálja, és a vétel, illetve az eladás eredménye egymás ellentettje. Ugyancsak pénzügyi feltételek miatt feltehetjük, hogy a termékek negatív súlyok felhasználásával is kombinálhatóak, így a K egy lineáris altere R 2 - nek. Következésképpen a K egy origón áthaladó egyenessel reprezentálható, amely egyenes a nincsen arbitrázs feltétel miatt nem metszi a pozitív síknegyedet (ld.: 1.1. ábra). A geometriai interpretáció alapján nyilvánvaló, hogy a nincs arbitrázs feltétel ekvivalens azzal, hogy a K-ra merőleges vektorok K halmazára K P. Ez azt jelenti, hogy van olyan q P valószínűségi mérték, amely merőleges minden x K-ra. Mivel két vektor pontosan akkor merőleges egymásra ha a skaláris szorzatuk zérus, ezért ez azt jelenti, hogy van olyan q P valószínűségi mérték, hogy minden K-beli x-re qx = 0, vagyis amely mellett a K minden elemének várható értéke nulla. Mivel ez speciálisan a (H 1, H 2 ) = ( 1, 1) kereskedési stratégia 1 + (1 + R) kifizetésvektorára is teljesül, ez azt jelenti, hogy R várható értéke zérus, vagyis a kockázatos értékpapír ára q szerint martingál. Összefoglalva az eddigieket, a fenti geometriai okoskodásból világosan látszik, hogy az itt tárgyalt kétdimenziós pénzpiacon pontosan akkor nincs arbitrázs, ha létezik egy az eredetivel ekvivalens martingálmérték. A továbbiakban fontos szerepet fog játszani a C = K R 2 + halmaz 16, és annak C 0 polárisa 17. Mivel a C halmaz konvex kúp, vagyis az összeadás mellett zárt a nemnegatív konstanssal való szorzásra, ezért C 0 = {y R n ( x C) : yx 0}. 15 A félreértések elkerülése végett megjegyezzük, hogy bár mind a K mind a P halmaz elemeit ugyanaban a koordináta rendszerben ábrázoltuk, ezen halmazok pontjai egymással még csak köszönő viszonyban sem állnak. Általános egyensúlyelméleti analógiával élve azt mondhatjuk, hogy míg a K halmaz a jószágtér egy részhalmza, a P halmaz minden eleme egy árrendszert határoz meg, és valójában a jószágtér duálisában fekszik. Mivel véges dimenzióban mind a primál térnek mind a duálisának pontjai ugyanazon R n -beli pontokkal reprezentálhatóak, ezért a K és a P közös koordinátarendszerben ábrázolható. 16 Kreps nevéhez fűződik az a felismerés, hogy általánosabb modellek esetén szükség van az ún. díjmentes lomtalanítási feltevésre (ld.: [64]). Ezen feltevés mellett a zérus indulóvagyon révén elérhető kifizetések halmaza nem K lesz, hanem K R A konvex analízis szóhasználatával egy B R n halmaz polárisának nevezzük, és B 0 -lal jelöljük az {y R n ( x B) : yx 1} halmazt. 12

19 K A 1 P K a q ábra. A martingálmérték geometriai interpretációja Fenti geometriai interpretációból világosan látszik, hogy egyrészt az ekvivalens martingálmértékek pontosan a C és A halmazokat elválasztó szeparáló hipersíkok egységnyi l 1 normájú normálvektorai, másrészt a C 0 egységnyi normájú elemeinek halmaza éppen az ekvivalens martingálmértékek halmazával egyezik meg. Minthogy az arbitrázselméletben nem beszélhetünk egyensúlyról, ígyhát egyensúlyi árról sem, ezért meg kell mondanunk, hogy ebben az esetben milyen értelemben beszélhetünk egy feltételes követelés áráról. A fenti modellben azt mondjuk, hogy egy f = (f 1, f 2 ) feltételes követelés arbitrázsmentes ára s, ha a modellt definiáló értékpapírpiacot kiegészítve az (f i s) /s, i = 1, 2 hozamú feletételes követeléssel mint értékpapírral, az így kapott kibővített piac arbitrázsmentes marad. Modellünkben egy f követelést replikálhatónak nevezünk, ha valamely H = (H 1, H 2 ) kereskedési stratégia kifizetése, vagyis H 1 + H 2 (1 + R) éppen f. 13

20 Megmutatjuk, hogy érvényes az ún. kockázatsemleges értékelés elve, miszerint tetszőleges replikálható f követelés arbitrázsmentes ára éppen az f követelésnek a q martingálmérték szerinti várható értéke. Mivel f előállítható a ( H 2, H 2 ) és a (H 1 + H 2, 0) stratégiák összegeként is, és ( H 2, H 2 ) kifizetése K-beli, ezért a fentiek alapján, és a várhatóérték képzésének linearitásából következik, hogy az f q szerinti várható értéke éppen H 1 + H 2, ami éppen a H kereskedési stratégiához szükséges kezdő vagyon. Ha az f követelés s ára nagyobb volna mint H 1 + H 2, akkor az f követelést eladva, e-mellett a H kereskedési stratégiát követve, továbbá s (H 1 + H 2 ) összeget a kockázatmentes kötvénybe fektetve, a kibővített piac egy olyan kereskedési stratégiáját kapjuk, amely s (H 1 + H 2 ) biztos kifizetést biztosít, ugyanakkor zérus kezdővagyon segítségével megvalósítható, vagyis arbitrázs. Ezzel beláttuk hogy az s nem lehet nagyobb mint az f q szerinti várható értéke. Hasonló arbitrázs megfontolásokkal belátható, hogy s nem lehet kisebb sem mint az f q szerinti várható értéke. Ahogy arra már korábban utaltunk, általános esetben nem az értékpapírok árfolyamata, hanem azok diszkontált árfolyamata lesz a martingálmérték szerint martingál. Ebben az esetben a kockázatsemleges értékelés elve azt mondja, hogy tetszőleges replikálható követelés arbitrázsmentes ára éppen a követelés diszkontált értékének valamely martingálmérték szerinti várható értéke. Természetesen előfordulhat, hogy bizonyos kifizetések az adott modellben nem replikálhatóak, vagyis a modell nem teljes. Ebben az esetben a feltételes követelések árazása nem oldható meg a befektetők preferenciáinak explicit szerepeltetése nélkül. Látni fogjuk, hogy az ekvivalens martingálmérték ebben az esetben is fontos szerepet játszik bizonyos portfolióválasztási döntések vizsgálatában. A bemutatott gondolatmenet minden különösebb bonyodalom nélkül kiterjeszthető a többdimenziós modellekre, mindaddig, amíg a probléma véges dimenziós marad, hiszen ezekben az esetekben a K halmaz triviálisan zárt, mivel tetszőleges topologikus vektortér véges dimenziós altere zárt. A releváns dinamikus sztochasztikus modellekben azonban pl. amikor az időhorizont végtelen, vagy az időparaméter folytonos, vagy csak egyszerűen nem végesen generált a valószínűségi mező a feltételes követelések tere tipikusan végtelen dimenziós, és ahogy funkcionálanalízisből tudjuk ilyenkor a matematikai problémák zöme topológiai természetű, így többek között a K zártsága sem fog automatikusan teljesülni, sőt ennek biztosítása teszi ki a bizonyítások túlnyomó részét. A bemutatott kétdimenziós példa jól mutatja az arbitrázsárazás lényegét, ám több szempontból félrevezető. A modell egy speciális vonása a véges számú perió- 14

Arbitrázs, kockázattal szembeni attitűd és az eszközárazás alaptétele

Arbitrázs, kockázattal szembeni attitűd és az eszközárazás alaptétele 2011. TIZEDIK ÉVFOLYAM 4. SZÁM 325 BADICS TAMÁS Arbitrázs, kockázattal szembeni attitűd és az eszközárazás alaptétele Az arbitrázselmélet egyik legfőbb vonzereje abban áll, hogy explicit módon nem hivatkozik

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Az arbitrázs preferenciákkal történő karakterizációjáról

Az arbitrázs preferenciákkal történő karakterizációjáról Közgazdasági Szemle, LVIII. évf., 2011. szeptember (727 742. o.) Badics Tamás Az arbitrázs preferenciákkal történő karakterizációjáról Köztudott, hogy az arbitrázsmentesség feltétele a befektetők preferenciáival

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Példa a report dokumentumosztály használatára

Példa a report dokumentumosztály használatára Példa a report dokumentumosztály használatára Szerző neve évszám Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítás 5 1.1. Események matematikai modellezése.............. 5 1.2. A valószínűség matematikai modellezése............

Részletesebben

PANNON EGYETEM DOKTORI ISKOLA

PANNON EGYETEM DOKTORI ISKOLA PANNON EGYETEM GAZDÁLKODÁS- ÉS SZERVEZÉSTUDOMÁNYOK DOKTORI ISKOLA Badics Tamás ARBITRÁZS ÉS MARTINGÁLMÉRTÉK Tézisgyűjtemény Témavezető: Dr. Medvegyev Péter Veszprém, 2011. 2011. február 14. Tartalomjegyzék

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

A származtatott termékek árazása és annak problémái az egyensúlyelmélet szempontjából

A származtatott termékek árazása és annak problémái az egyensúlyelmélet szempontjából Közgazdasági Szemle, LVI. évf., 2009. szeptember (769 789. o.) MEDVEGYEV PÉTER A származtatott termékek árazása és annak problémái az egyensúlyelmélet szempontjából A szerző röviden összefoglalja a származtatott

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha ALAPFOGALMAK 1 Á l l a p o t t é r Legyen I egy véges halmaz és legyenek A i, i I tetszőleges véges vagy megszámlálható, nem üres halmazok Ekkor az A= A i halmazt állapottérnek, az A i halmazokat pedig

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8.

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8. Pénzügyi matematika Medvegyev Péter 13. szeptember 8. Az alábbi jegyzet a korábbi ötéves gazdaságmatematikai képzés keretében a Corvinus egyetemen tartott matematikai el adásaim kib vített verziója. A

Részletesebben

Általános algoritmustervezési módszerek

Általános algoritmustervezési módszerek Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat

Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat PÉNZÜGYI MATEMATIKA Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat Algoritmuselmélet Algoritmusok bonyolultsága Analitikus módszerek a pénzügyekben Bevezetés az analízisbe Differential

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

Az Arbitrázs és árazó funkcionálok pénzügyi piacokon c. OTKA pályázat (F 49094) zárójelentése

Az Arbitrázs és árazó funkcionálok pénzügyi piacokon c. OTKA pályázat (F 49094) zárójelentése Az Arbitrázs és árazó funkcionálok pénzügyi piacokon c. OTKA pályázat (F 49094) zárójelentése Kutatásaimban tőzsdei származékos termékek (például opciók) árazását vizsgáltam. A pénzügyi matematika egyik

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Matematikai modellezés

Matematikai modellezés Matematikai modellezés Bevezető A diasorozat a Döntési modellek című könyvhöz készült. Készítette: Dr. Ábrahám István Döntési folyamatok matematikai modellezése Az emberi tevékenységben meghatározó szerepe

Részletesebben

1. A vállalat. 1.1 Termelés

1. A vállalat. 1.1 Termelés II. RÉSZ 69 1. A vállalat Korábbi fejezetekben már szóba került az, hogy különböző gazdasági szereplők tevékenykednek. Ezek közül az előző részben azt vizsgáltuk meg, hogy egy fogyasztó hogyan hozza meg

Részletesebben

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

További forgalomirányítási és szervezési játékok. 1. Nematomi forgalomirányítási játék

További forgalomirányítási és szervezési játékok. 1. Nematomi forgalomirányítási játék További forgalomirányítási és szervezési játékok 1. Nematomi forgalomirányítási játék A forgalomirányítási játékban adott egy hálózat, ami egy irányított G = (V, E) gráf. A gráfban megengedjük, hogy két

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005 2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia MI

Mesterséges Intelligencia MI Mesterséges Intelligencia MI Racionalitás: a hasznosság és a döntés Dobrowiecki Tadeusz Eredics Péter, és mások BME I.E. 437, 463-28-99 dobrowiecki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/tade

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, II. félév Losonczi László (DE) A Markowitz modell 2011/12 tanév,

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

Opkut deníciók és tételek

Opkut deníciók és tételek Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét

Részletesebben

5. előadás. Programozás-elmélet. Programozás-elmélet 5. előadás

5. előadás. Programozás-elmélet. Programozás-elmélet 5. előadás Elemi programok Definíció Az S A A program elemi, ha a A : S(a) { a, a, a, a,..., a, b b a}. A definíció alapján könnyen látható, hogy egy elemi program tényleg program. Speciális elemi programok a kövekezők:

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

Jelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék

Jelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék Jelek és rendszerek 1 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék 1 Ajánlott irodalom: FODOR GYÖRGY : JELEK ÉS RENDSZEREK EGYETEMI TANKÖNYV Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2006

Részletesebben

Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03

Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03 Jelek és rendszerek MEMO_03 Belépő jelek Jelek deriváltja MEMO_03 1 Jelek és rendszerek MEMO_03 8.ábra. MEMO_03 2 Jelek és rendszerek MEMO_03 9.ábra. MEMO_03 3 Ha a jelet méréssel kapjuk, akkor a jel következő

Részletesebben

Gazdaságpolitika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem

Gazdaságpolitika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem modellje az adós büntetésével Gazdaságpolitika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Nyitott gazdaságok makroökonómiája 1. Bevezetés modellje az adós büntetésével Teljes piacok, Arrow-Debreu-értékpapírok

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató 2015/2016. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

ACTA ACADEMIAE PAEDAGOGICAE AGRIENSIS

ACTA ACADEMIAE PAEDAGOGICAE AGRIENSIS Separatum ACTA ACADEMIAE PAEDAGOGICAE AGRIESIS OVA SERIES TOM. XXII. SECTIO MATEMATICAE TÓMÁCS TIBOR Egy rekurzív sorozat tagjainak átlagáról EGER, 994 Egy rekurzív sorozat tagjainak átlagáról TÓMÁCS TIBOR

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Rasmusen, Eric: Games and Information (Third Edition, Blackwell, 2001)

Rasmusen, Eric: Games and Information (Third Edition, Blackwell, 2001) Játékelmélet szociológusoknak J-1 Bevezetés a játékelméletbe szociológusok számára Ajánlott irodalom: Mészáros József: Játékelmélet (Gondolat, 2003) Filep László: Játékelmélet (Filum, 2001) Csontos László

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI 19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI Ebben a fejezetben aszimptotikus (nagyságrendi) alsó korlátot adunk az összehasonlításokat használó rendező eljárások lépésszámára. Pontosabban,

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták

Részletesebben

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói A matematikai feladatok és megoldások konvenciói Kozárné Fazekas Anna Kántor Sándor Matematika és Informatika Didaktikai Konferencia - Szatmárnémeti 2011. január 28-30. Konvenciók Mindenki által elfogadott

Részletesebben

13. A zöldborsó piacra jellemző keresleti és kínálati függvények a következők P= 600 Q, és P=100+1,5Q, ahol P Ft/kg, és a mennyiség kg-ban értendő.

13. A zöldborsó piacra jellemző keresleti és kínálati függvények a következők P= 600 Q, és P=100+1,5Q, ahol P Ft/kg, és a mennyiség kg-ban értendő. 1. Minden olyan jószágkosarat, amely azonos szükségletkielégítési szintet (azonos hasznosságot) biztosít a fogyasztó számára,.. nevezzük a. költségvetési egyenesnek b. fogyasztói térnek c. közömbösségi

Részletesebben

Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 29 (2002) PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL. Orosz Gyuláné (Eger, Hungary)

Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 29 (2002) PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL. Orosz Gyuláné (Eger, Hungary) Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 9 (00) 07 4 PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL Orosz Gyuláné (Eger, Hungary) Kiss Péter professzor emlékére Abstract. In this article, we characterize the odd-summing

Részletesebben

Automaták mint elfogadók (akceptorok)

Automaták mint elfogadók (akceptorok) Automaták mint elfogadók (akceptorok) Ha egy iniciális Moore-automatában a kimenőjelek halmaza csupán kételemű: {elfogadom, nem fogadom el}, és az utolsó kimenőjel dönti el azt a kérdést, hogy elfogadható-e

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull

14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 14 A Black-choles-Merton modell Copyright John C. Hull 01 1 Részvényárak viselkedése (feltevés!) Részvényár: μ: elvárt hozam : volatilitás Egy rövid Δt idő alatt a hozam normális eloszlású véletlen változó:

Részletesebben

Kockázatos pénzügyi eszközök

Kockázatos pénzügyi eszközök Kockázatos pénzügyi eszközök Tulassay Zsolt zsolt.tulassay@uni-corvinus.hu Tőkepiaci és vállalati pénzügyek 2006. tavasz Budapesti Corvinus Egyetem 2006. március 1. Motiváció Mi a fő különbség (pénzügyi

Részletesebben

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. : Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel

Részletesebben